2.3.1双曲线及其标准方程学案(人教A版选修2-1)

§2.3.1 双曲线及其标准方程学习目标：1、初步会按特定条件求双曲线的标准方程；2、理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形。

一、主要知识：1、双曲线的定义：2、双曲线方程的推导：3、双曲线的标准方程：二、典例分析：〖例1〗：（1）判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出其焦点的坐标。

①12422=-y x ；②12222=-y x ；③12422-=-y x ；④369422=-x y（2）已知方程221410x y k k+=--表示双曲线，则实数k 的取值范围为 。

〖例2〗：（1）已知焦点12(5,0),(5,0)F F -，双曲线上的一点P 到12,F F 的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。

（2）求与椭圆221255x y +=共焦点且过点(的双曲线的方程。

〖例3〗：已知ABC ∆的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，使A C B sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹。

三、课后作业：1、双曲线22221124x y m m -=+-的焦距是（ ）A 、4B 、C 、8D 、与m 无关2、椭圆222134x y n +=和双曲线222116x y n -=有相同的焦点，则实数n 的值是（ ） A 、5±B 、3±C 、5D 、93、双曲线2255x ky +=的一个焦点是)，那么实数k 的值为（ ） A 、25- B 、25 C 、1-D 、1 4、过双曲线221169x y -=左焦点1F 的弦AB 长为6，则2ABF ∆（2F 为右焦点）的周长是（ ） A 、28 B 、22 C 、14 D 、125、设12,F F 是双曲线2214x y -=的焦点，点P 在双曲线上，且1290F PF ∠=，则点P 到x 轴的距离为（ ）A 、1BC 、2 D6、（1）已知a =()2,5-，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为 。

§2.3双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程学习目标 1.掌握双曲线的定义.2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程.3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.知识点1双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.【预习评价】思考双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示当距离之差等于|F1F2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在.知识点2双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2ca，b，c的关系c2＝a2＋b2【预习评价】已知双曲线的焦点为F 1(－4，0)，F 2(4，0)，双曲线上一点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程是________.[解析] 由题知c ＝4，a ＝1，故b 2＝15，所以双曲线的标准方程为x 2－y 215＝1.[答案] x 2－y215＝1题型一 求双曲线的标准方程【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程. (1)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5；(2)c ＝6，经过点(－5，2)，焦点在x 轴上.解 (1)方法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154和Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5在双曲线上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9， (舍去).若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将P ，Q 两点坐标代入可得⎩⎪⎨⎪⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.综上，双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.方法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0). ∵P ，Q 两点在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)方法一 依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0).则有⎩⎨⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1. 方法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6).∵双曲线经过点(－5，2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去).∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a ，b 的值.若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂.若双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m ，n ，避免了讨论，从而简化求解过程.【训练1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；(2)焦点在x 轴上，经过点P (4，－2)和点Q (26，22).解 (1)由双曲线的定义知，2a ＝8，所以a ＝4， 又知焦点在x 轴上，且c ＝5， 所以b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9， 所以双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. (2)因为焦点在x 轴上，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 将点(4，－2)和(26，22)代入方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧16a 2－4b 2＝1， ①24a 2－8b 2＝1， ②解得a 2＝8，b 2＝4，所以双曲线的标准方程为x 28－y 24＝1.考查 方向题型二 双曲线定义的应用方向1 利用双曲线的定义求轨迹(方程)【例2－1】 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________.[解析] 如图，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |.因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝2，这表明动点M 与两定点C 2，C 1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，这里a ＝1，c ＝3，则b 2＝8， ∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).[答案] x 2－y 28＝1(x ≤－1)方向2 双曲线中的焦点三角形问题【例2－2】 已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点.(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；(2)如图，若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积.解 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1， 故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.故点M 到另一个焦点的距离为10或22. (2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6两边平方得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002×32＝0，且0°＜∠F 1PF 2＜180°，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.规律方法 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a ).(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.【训练2】 已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积. 解 由x 29－y 216＝1得，a ＝3，b ＝4，c ＝5. 由双曲线的定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.题型三与双曲线有关的轨迹问题【例3】如图，在△ABC中，已知|AB|＝42，且三个内角A，B，C满足2sin A ＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程.解以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(－22，0)，B(22，0).由正弦定理得sin A＝|BC|2R ，sin B＝|AC|2R，sin C＝|AB|2R(R为△ABC的外接圆半径).∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，从而有|AC|－|BC|＝12|AB|＝22<|AB|.由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点). ∵a＝2，c＝22，∴b2＝c2－a2＝6，即所求轨迹方程为x22－y26＝1(x>2).规律方法(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.【训练3】如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.解圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5，0)，半径r1＝1；圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5，0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|.∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝32，c＝5，于是b2＝c2－a2＝914.∴动圆圆心M的轨迹方程为x294－y2914＝1(x≤－32).课堂达标1.已知F1(3，3)，F2(－3，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则P点的轨迹是()A.双曲线B.双曲线的一支C.不存在D.一条射线[解析]因为|PF1|－|PF2|＝4，且4<|F1F2|，由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲线的一支.[答案] B2.若椭圆x234＋y2n2＝1和双曲线x2n2－y216＝1有相同的焦点，则实数n的值是() A.±5 B.±3 C.5 D.9[解析]由题意知，34－n2＝n2＋16，∴2n2＝18，n2＝9.∴n＝±3.[答案] B3.双曲线x210－y22＝1的焦距为()A.3 2B.42C.3 3D.4 3[解析]由标准方程得a2＝10，b2＝2，所以c2＝a2＋b2＝12，c＝23，所以焦距2c＝4 3.[答案] D4.已知双曲线中a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为______________________.[解析]当焦点在x轴上时，方程为x225－y224＝1，当焦点在y轴上时，方程为y225－x224＝1.[答案]x225－y224＝1或y225－x224＝15.P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝________.[解析]将x2－y2＝16化为标准形式为x216－y216＝1，所以a2＝16，2a＝8.因为P点在双曲线左支上，所以|PF1|－|PF2|＝－8.[答案]－8课堂小结1.双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线.2.在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立.要注意与椭圆中a，b，c的区别.在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.3.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a，b，c的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1 (mn<0)的形式求解.。

亲爱的同学:经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧！那今天就来小试牛刀吧！注意哦：在答卷的过程中一要认真仔细哦！不交头接耳，不东张西望！不紧张！养成良好的答题习惯也要取得好成绩的关键！祝取得好成绩！一次比一次有进步!-X J7< -JTS'rj 2 52 2 55 J -* 45 -* 48 JA/L-l-l ----- A i-z复习1:椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？复习2：在椭圆的标准方程4 + 4 = 1中，a,b,c有何关系？若a = 5,b = 3,则c = ?写出符合条件a b 的椭圆方程.二、新课导学探学习探究问题1:把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？如图2-23,定点耳，场是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|M引-笃|是常数，这样就画出一条曲线；由\MF2\-\MF t\是同一常数，可以画出另一支.新知1：双曲线的定义：图2-23平面内与两定点奸，巧的距离的差的____ 等于常数(小于|耳笃|)的点的轨迹叫做双曲线。

两定点耳,瑪叫做双曲线的________ ，两焦点间的距离冈坊|叫做双曲线的__________ -反思：设常数为2a ,为什么2°<|耳笃|?2a =|耳场|时，轨迹是___________________ ；2a>\F t F2\时，轨迹______________________ .试试：点A(1,O), B(-1,O),若\AC\-\BC\=1,则点C 的轨迹是___________________ .新知2：双曲线的标准方程：2 2r务一冬= l,(d>0上>0疋=；+方2)(焦点在兀轴)a' b 其焦点坐标为耳(-c,0),场(c,0).思考：若焦点在y轴，标准方程又如何？探典型例题例1已知双曲线的两焦点为耳(-5,0),笃(5,0),双曲线上任意点到坊，巧的距离的差的绝对值等于6 ,求双曲线的标准方程.2 2变式：已知双曲线--丄=1的左支上一点P到左焦点的距离为10,则点P到右焦点的距离16 9为____ - _____例2已知A, B两地相距800/7；,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2$ ,且声速为340"〃s ,求炮弹爆炸点的轨迹方程.变式：如果人B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？小结：采用这种方法可以确定爆炸点的准确位置.探动手试试练1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：(1)焦点在兀轴上，d = 4, b = 3 ；(2)焦点为(0,-6),(0,6),且经过点(2,-5).A. -25 B. 25 C.-1D.1练2.点人B的坐标分别是(-5,0), (5,0),直线AM ,相交于点M,且它们斜率之积是4试求点M的轨迹方程式，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状.9三、总结提升探学习小结1•双曲线的定义；2.双曲线的标准方程.探知识拓展GPS(全球定位系统)：双曲线的一个重要应用.在例2中，再增设一个观察点C,利用B, C两处测得的点P发出的信号的时间差，就可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定点P的准确位置.心学习评价探自我评价你完成本节导学案的情况为( ).A.很好B.较好C. 一般D.较差探当堂检测(时豊5分钟满分：10分)计分：1.动点P到点M(l,0)及点N(3,0)的距离之差为2,则点P的轨迹是().A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线D. 一条射线2.双曲线5川+炒2=5的一个焦点是(V6,0),那么实数丘的值为().=1表示双曲线，则加的取值1.求适合下列条件的双曲线的标准3. 双曲线的两焦点分别为耳(-3,0),耳(3,0),若a = 2,则0=( ).A. 5B. 13C. V5D. V134. 己知点M(-2,0),N(2,0),动点P 满足条件\PM\-\PN\=2y/2.则动点P 的轨迹方程 (1) 焦点在x 轴上，a = 2厉，经过点4(-5,2)；(2) 经过两点 A(-7,-6V2), B(2A /7,3).2.相距1400m A,B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ,已知声速是340m/s ，问炮弹爆炸 点在怎样的曲线上，为什么？ 为。

《双曲线及其标准方程》
本课教学双曲线及其标准方程。

学生之前已经学过椭圆及其标准方程，本课则是在椭圆的基础上引入双曲线的概念。

全课的内容分成两大部分：
先引入双曲线的定义，再推导双曲线的标准方程。

【知识与能力目标】
1、理解双曲线的定义，明确焦点、焦距的概念。

2、熟练掌握双曲线的标准方程，会根据所给条件画出双曲线的草图并确定双曲线的方程。

【过程与方法目标】
学生经历定义的归纳、发现，和标准方程的推导过程，进一步体会类比和数形结合的思想方法，提高观察能力和探究分析能力。

例题教学让学生熟练掌握双曲线的标准方程，会根据所给条件画出双曲线的草图并确定双曲线的标准方程。

【情感态度价值观目标】
1、学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题。

2、培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。

3、在教师的指导下进行交流探索，能用联系的观点认识问题，对数学学科方法有所认识，
能对数学学科产生兴趣。

【教学重点】
双曲线的定义和标准方程
【教学难点】
双曲线的标准方程的推导
多媒体课件
一、新课导入（课件2-3页）
1、悲伤的双曲线
谈话：前面我们学习了椭圆的概念，生活中还有许多美妙的数学图形，今天我们要学习的双曲线就是其中之一。

首先让我们通过一首小诗来认识双曲线。

（显示课件第2页）
2、认识生活中的双曲线。

谈话：双曲线在生活中的应用十分广泛，许多大型建筑的设计外观都采用了双曲线，如图中所展示的法拉利主题公园和巴西利亚大教堂。

第1课时 双曲线及其标准方程[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 52～P 55的内容，回答下列问题． (1)观察教材P 52－图2.3－1，思考下列问题：①在点M 移动的过程中，|||MF 1|－|MF 2|的值发生变化吗？ 提示：不变.|||MF 1|－|MF 2|＝|FF 2|． ②动点M 的轨迹是什么？ 提示：双曲线．(2)利用教材P 53－图2.3－2所建立的坐标系，类比椭圆标准方程的推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？提示：设M (x ，y )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，由|||MF 1|－|MF 2|＝2a ，可得x 2a 2－y 2c －a 2＝1，令b 2＝c 2－a 2，则双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 2．归纳总结，核心必记 (1)双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．(2)双曲线的标准方程焦点位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)(1)双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？提示：双曲线的一支．(2)在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F 1F 2|”，那么“常数等于|F 1F 2|”，“常数大于|F 1F 2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？提示：①如果定义中常数等于|F 1F 2|，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线(包括端点)．②如果定义中常数大于|F 1F 2|，此时动点轨迹不存在．③如果定义中常数为0，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线．(3)如何判断方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点位置？提示：若x 2的系数为正，则焦点在x 轴上，若y 2的系数为正，则焦点在y 轴上． (4)方程x 2m ＋y 2n＝1表示哪种曲线呢？提示：当m ＝n >0时表示圆；当m >n >0或n >m >0时表示椭圆；当mn <0时表示双曲线． (5)椭圆标准方程和双曲线标准方程中的a ，b ，c 之间的关系有什么区别？ 提示：在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)双曲线的定义是： ；(2)双曲线的标准方程是： ； (3)如何由双曲线方程确定焦点的位置？．[思考] 要求双曲线的标准方程，应确定哪些条件？ 名师指津：(1)确定焦点的位置；(2)确定a 和b 的值． 讲一讲1．根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5； (2)c ＝6，经过点(－5，2)，焦点在x 轴上．[尝试解答] (1)法一：若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由于点P ⎝⎛⎭⎫3，154和Q ⎝⎛⎭⎫－163，5在双曲线上， 所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 2 9－x 216＝1.法二：设双曲线方程为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)．∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)法一：依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.法二：∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5，2)，∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，实为一种好方法．练一练1．求满足下列条件的双曲线方程：(1)焦点在y 轴上，且过点(3，－42)和⎝⎛⎭⎫94，5； (2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．解：(1)由已知可设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则⎩⎨⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝9， ∴双曲线的方程为y 216－x 29＝1.(2)法一：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.由题意易求得c ＝2 5. 又双曲线过点(32，2)， ∴（32）2a 2－4b2＝1.又∵a 2＋b 2＝(25)2， ∴a 2＝12，b 2＝8.故所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1.法二：设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1(－4<k <16)，将点(32，2)代入得k ＝4， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.讲一讲2．如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积． [尝试解答] 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义得|||MF 1|－|MF 2|＝2a ＝6， 又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16， 假设点M 到另一个焦点的距离等于x ， 则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22. 故点M 到另一个焦点的距离为10或22.(2)将|||PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据|||PF 1|－|PF 2|＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件|||PF 1|－|PF 2|＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．练一练2．已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解：由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，则S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.讲一讲3．如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．[尝试解答] 以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R ，sin C ＝c2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．因为2sin A ＋sin C ＝2sin B ，所以2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2，从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)． 因为a ＝2，c ＝22，所以b 2＝c 2－a 2＝6， 即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．练一练3．如图所示，已知定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5，0)，半径r 1＝1；圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5，0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3<10＝|F 1F 2|.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1⎝⎛⎭⎫x ≤－32. ——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是双曲线的定义及标准方程的求法，难点是双曲线定义的应用． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)双曲线标准方程的求法，见讲1；(2)利用双曲线的定义解决与焦点有关的三角形问题，见讲2；(3)求与双曲线有关的轨迹问题，见讲3.|PF1|－|PF2|＝2a(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表3．双曲线定义中||示两条射线．在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立．要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.这是本节课的两个易错点．。

2、3、1双曲线及其标准方程•三维目标1、知识与技能理解双曲线得概念，掌握双曲线得定义，会用双曲线得定义解决问题；了解双曲线标准方程得推导过程及化简无理方程得常用方法.2. 过程与方法通过定义及标准方程得挖掘与探究，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法得运用，提高学生得观察与探究能力.3. 情感、态度与价值观通过教师指导下学生得交流探索活动，激发学生得学习兴趣，培养学生用联系得观点认识问题.•重点难点重点：理解与掌握双曲线得定义及其标准方程.难点：双曲线标准方程得推导.由于双曲线得定义与标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆得经验，所以本节课用“启发探究”式得教学方式，重点突出以下两点：①以类比思维作为教学得主线；②以自主探究作为学生得学习方式，并结合多媒体辅助教学，进而实现重点、难点得突破.在教法上，宜采用探究性教学法与启发式教学法.让学生根据教学目标得要求与题目中得已知条件，自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题.以启发、引导为主，采用设疑得形式，逐步让学生进行探究性得学习.通过创设情境，充分调动学生已有得学习经验，让学生经历“观察一一猜想一一证明一一应用”得过程，发现新得知识，把学生得潜意识状态得好奇心变为自觉求知得创新意识. 又通过实际操作，使刚产生得数学知识得到完善，提高了学生动手动脑得能力与增强了研究探索得综合素质.•教学流程复习椭圆定义，提出问题：与两定点距离得差为常数得轨迹就是什么? ?引导学生结合试验分析，得出满足条件得曲线形状，给出双曲线定义并探究特殊情形、通过例2及其变式训练，使学生掌握用待定系数法求双曲线得标准方程、【问题导思】1 •我们知道，与两个定点距离得与为非零常数（大于两定点间得距离）得点得轨迹就是椭圆，那么与两定点距离得差为非零常数得点得轨迹就是什么？【提示】 双曲线得一支.2.若定义中得常数大于或等于|F 1F 2|时，轨迹就是什么？ 【提示】 当常数等于|F 1F 2| 时，轨迹为以F 1, F 2为端点，在直线F 1F 2上反向得两条射线 F 1A , F 2B （包括端点），如图所 示.\~A Ti K F当常数大于|F 1F 2|时，轨迹不存在.把平面内与两个定点 F 1, F 2得距离得差得绝对值等于常数 （小于|F 1F 2|）得点得轨迹叫 做双曲线，这两个定点叫做双曲线得焦点，两焦点间得距离叫做双曲线得焦距.【问题导思】类比椭圆标准方程得建立过程，您能说说怎样选择坐标系，建立双曲线得标准方程吗？【提示】 以经过两焦点 F i 、F 2得直线为x 轴，线段F 1F 2得垂直平分线为y 轴建坐标 系.焦点在x 轴上焦点在y 轴上 标准 方程 羊二£=l(a > 0, b > 0)v 2 x 2y 二x =l (a > 0, b > 0) 焦占 八 '、八\、 F 1(-C ,0), F 2(C ,0)F 1(0, - C ) , F 2(0 , C )焦距|F 1F 2|= 2C , C 2= a 2 + b 2合作究区X 2 y 2咧已知双曲线石一16= 1得左、右焦点分别就是F l 、F 2，若双曲线上一点/ F 1PF 2= 60 ° 求厶 F 1PF 2 得面积.【思路探究】 (1)在厶PF 1F 2中，由余弦定理能得到|F 1F 2|、|PF 1|、|PF 21三者满足怎样得 关系式？⑵结合双曲线得定义，能否求出 |PF 1| |PF 2|得值进而求出△ F 1PF 2得面积?x 2 v 2【自主解答】 由x -話=1, 得 a = 3, b = 4, c = 5、由定义与余弦定理得|PF 1|- |PF 2|= ±5, |F 1F 2|2= |PF 1|2+ |PF 2|2- 2|PF 1||PF 2|COS 60 , 所以 102 = (|PF 1|- |PF 2|)2+ |PF 1| |PF 2|, 所以 |PF 1| |PF 2|= 64,,-S^F 1PF 2 =》PF 1| |PF 2| sin ZF 1PF 2双曲线定义得应用P 使得=64 X ~^3= 16 3、II 规律方法I求双曲线中焦点三角形面积得方法：法一：⑴根据双曲线得定义求出||PF i |—|PF 2||= 2a ; (2)利用余弦定理表示出|PF I |、|PF 2|、 |F i F 2|之间满足得关系式；(3)通过配方，整体得思想求出|PF i | |PF 2得值；⑷利用公式S^F i F 2 1 1=2X |PF 1| |PF 2|sin/F 1PF 2求得面积•法二：利用公式S^F 1F 2=|F 1F 2|X |y p |求得面积.卜□动］1聽本例中若/ F 1PF 2= 90 °其她条件不变，求△ F 1PF 2得面积. 【解】 由双曲线方程知a = 3, b = 4, c = 5 由双曲线得定义，||PF 1|— |PF 2||= 2a = 6, •••|PF 1|2+ |PF 2|2— 2|PF 1| |PF 2|= 36①在 Rt △Z 1PF 2 中，由勾股定理 |PF 1|2+ |PF 2|2= |F 1F 2|2= (2c)2 = 100②将②代入①得：|PF 1| |P F 2|= 32,.•S^1PF 2= 2|PF 1| |PF 2|= 16、►fill(1) a = 4 (2) 经过点 P 1 (— 2, 3 ,5)与 P 2(； . 7, 4)两点.【思路探究】 (1)所求曲线得焦点位置确定吗？ (2)如何求出a 2、b 2得值？ 【自主解答】(1)①若所求双曲线得标准方程为 a 2 —岸=1(a >0, b >0),则将a =4代入，得X6—y 2=1、求适合下列条件得双曲线得标准方程.,且经过点 A(1,丝^)；又•••点A(1 ,—亍)在双曲线上，•■•16 —衆=1、由此得b2v 0,•••不合题意，舍去.丄 1 a 2=9解得，即 a 2= 9, b 2= 16、1 1 b 2=16y 2 x 2故所求双曲线方程为9—16=1、法二 因为双曲线得焦点位置不确定，所以设曲线方程为代入点A （1 ,冷®）,得b 2 = 9, 一 y 2 x 2•双曲线得标准方程为16—-9 = 1、（2）法一当双曲线得焦点在 x 轴上时，设双曲线方程为 x 2 孑—子=1(a > 0, b > 0).••卩1、P 2在双曲线上, 3厂2—2 2 2 5 h — b^=1• 4 2，3 7 42厂—11 1 了=—16解得（不合题意舍去）.1 1 产-9当双曲线得焦点在 y 轴上时，y 2 x 2设双曲线得方程为 當一了= 1（a > 0, b > 0）. ••P1、P2在双曲线上,mx 2+ ny 2= 1(mn v 0)，因为②若所求双曲线方程为2xb 2= 1(a > 0, b > 0），则将a = 4代入得2• 1 b 2=1,a 23P1、P2在双曲线上,45 4m +才门=1 所以有16 ,9 x 7m + 16n = 11m =_16解得n =9II 规律方法I1.求双曲线标准方程得两个关注点:(1) 定位：就是指确定与坐标系得相对位置，在标准方程得前提下，确定焦点位于哪条 坐标轴上，以确定方程得形式.(2) 定量：就是指确定 a 2、b 2得数值，常由条件列方程求解. 2.若焦点得位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx 2 + ny 2= 1得形式，为简单起见，常标明条件mn v 0、3E fl Oil S求适合下列条件得双曲线得标准方程. (1) 一个焦点就是(0, - 6)，经过点 A( — 5,6); (2) a = 5, c = 7、【解】(1)由已知c = 6,且焦点在y 轴上，另一焦点为(0,6). 由双曲线定义2a =「，‘ — 5— 0 2+ 6 + 6 2— ' — 5 — 0 2+ 6— 6 2|= 8、 •'a = 4,「.b 2 = c 2 — a 2 = 20、y 2 x 2•所求双曲线得标准方程为16— 20= 1、所求双曲线方程为一 16 ' 9=1'即 9162X=1、(2)由已知a= 5, c= 7,「・b2= c2—a2= 24,焦点不确定2 2 2 2•所求双曲线得标准方程为25—24= 1或25—24= 1、得实际应用咧“神舟”九号飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排了三个救援中心（记为A, B，C）, A在B得正东方向，相距6千米，C在B得北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点.某一时刻，A接收到P得求救信号，由于B, C两地比A距P远，在此4秒后，B, C两个救援中心才同时接收到这一信号•已知该信号得传播速度为1千米/秒•求在A处发现P得方位角.【思路探究】由“ A接收到P得求救信号得时间比其她两个救援中心早 4 s”能否得到|PB|与|FA|得差为定值？就是否说明点P在以A、B为焦点得双曲线得一支上？【自主解答】因为|PC|=|PB|,所以P在线段BC得垂直平分线上•又因为|PB|—|PA|=4,所以P在以A, B为焦点得双曲线得右支上.以线段AB得中点为坐标原点，AB得垂直平分线所在直线为y轴，正东方向为x轴正方向建立直角坐标系，如图所示.则A(3,0), B(—3,0),C( —5, 2 .3).x2 y2所以双曲线方程为 -—y = 1(x> 0),4 5BC得垂直平分线方程为x—,3y+ 7= 0、联立两方程解得x= 8, y= 5 . 3,所以P(8,5 .3),k PA= tan/FAx = 3，所以/ FAx = 60 °所以P点在A点得北偏东30方向.II««方法I解答此类题首先应建立平面直角坐标系，取两定点所在得直线为x轴，以两定点为端点得线段得中点为坐标原点；然后根据双曲线得定义求出标准方程，再由标准方程解有关问题•本题得解法主要运用了数形结合思想与函数与方程思想.K Dll £某工程要挖一个横断面为半圆得柱形得坑，挖出得土只能沿道路AP, BP运到P处（如图2-3 —1所示）,|PA|= 100 m , |PB|= 150 m，/ APB = 60° 试说明怎样运土才能最省工.【解】设M就是分界线上得任意一点，则有:|MA|+ |PA|= |MB|+ |PB|,于就是|MA—|MB|=|PB|—|PA|= 150—100 = 50、在APAB中，由余弦定理得，|AB2 = |FA|2+ |PB2 —2|FA||PB| cos 60 °1=1002+ 1502—2 X 100X 150 X 2= 17 500、•••以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立平面直角坐标系，则分界线就是双曲线, x2y即625 — 3 750= 1（x> 25）.故运土时，将此双曲线左侧得土沿AP运到P处，右侧得土沿BP运到P处最省工、混淆a 、b 、c 得关系致误典俺 双曲线8kx 2— ky 2= 8得一个焦点坐标为（0,3），求k 得值.【错解】 将双曲线得方程化成标准形式为 、 2 8 2 1 因为双曲线得焦点在y 轴上，所以a =匚，b = k 、 8 【错因分析】 上述解法有两处错误：一就是 a 2, b 2值确定错误，应该就是 a 2 = — k ,1 b 2=— 1；二就是基本量 a 、b 、c 得关系错误，在双曲线中基本量 a 、b 、c 得关系应该就是 kc 2= a 2+ b 2、【防范措施】 在椭圆中，a 、b 、c 得关系就是c 2= a 2— b 2;而在双曲线中，a 、b 、c 得关系就是c 2 = a 2+ b 2,二者极易混淆，要注意区分，以防错误.k【正解】 将双曲线得方程化成 kx 2— 8y 2= 1、因为双曲线得一个焦点坐标就是 （0,3），所以焦点在y 轴上，且c = 3、所以 a 2= — 8， b 2=—匚、所以一［—1 = 9，解得 k =— 1、1•理解双曲线定义应注意以下三点：①定义中得动点与定点在同一平面内；②距离得 3，即k = 9,所以k = 9x 21k 02 1- k - 8- k差要加绝对值，否则只表示双曲线得一支；③距离差得绝对值必须小于焦距，否则不就是双曲线，而就是两条射线或无轨迹.2 •利用待定系数法可以求双曲线得标准方程， 求解步骤包括“定位”与“定量 ”两步、1.动点P 到点M(1,0)，N(— 1,0)得距离之差得绝对值为 2,则点P 得轨迹就是( )A •双曲线B •双曲线得一支C .两条射线D •一条射线【解析】 •••||PM —|PN||= 2=|MN|,「.点P 得轨迹就是两条射线.【答案】 C2. (2013徐州高二检测)双曲线方程为x 2— 2y 2= 1，则它得右焦点坐标为() A .迸,0) B •閉 0)C .(中，0)D • ( .3, 0)【解析】 将双曲线方程化为标准形式 所以 a 2= 1, b 2= 2,.・.c = 'a 2+ b 2 = ^,•••右焦点坐标为, 0) •【答案】 C3•满足条件a = 2, 一个焦点为(4,0)得双曲线得标准方程为(2 2 x _ — y_16 4【解析】 由a = 2, c = 4,得b 2= c 2— a 2= 12,又一焦点(4,0)在x 轴上,【答案】 A当¥双垄达标砸童综生生車功遂“取样x 2C、 4 12y 2=1D 、•双曲线得标准方程为-X2 y24•已知双曲线乔一9 = 1得左支上一点M到其左焦点F1得距离为10,求点M到该曲线左焦点F2得距离.2 2【解】由X6 —£ =1得a = 4,：•点M在双曲线得左支上•••|MF2|> |MF I|,「.|MF2|—|MF I|= 2a = 8,又v|MF i|= 10,.・.|MF2|= 18、方甸能枪jlilil* AH |Ji& ｛温1 需r 删 l 考从 升区1、选择题1. (2013东营高二检测 2 2)方程y — 1表示双曲线，则m 得取值氾围() A . — 2v m v 2B . m > 0C . m >0D . |m|>2 【解析】 •••已知方程表示双曲线，••• (2 + m)(2 — m)> 0、--—2 v m v 2、【答案】 AA( — 5,0)得距离与它到 B(5,0)距离得差等于6,贝U P 点得轨迹方程就是最小值就是(2 .设动点P 到( )x 2「A 、9 — 16 =2 2 2 2 y -—乞=1 9 16C 、 3 — h = 1(x W — 3)D 、 9 162 29 -16= g 3) 【解析】 由题意, 应为以 A( — 5,0), B(5,0)为焦点得双曲线得右支.由 c = 5, a = 3，知b 2= 16, 【答案】 D2 2 x_ y _ 161(x > 3).3. (2013泉州高二检测 )已知定点 A 、B 且 |AB|= 4，动点 P 满足 |PA|— |PB|= 3，则 |PA|得【解析】 C、 由题意知，动点 B 为焦点得双曲线得一支(如图)从|PA|得最小值就是图中AP '得长度，即a + c= 7、图上不难发现,【答案】4 •若椭圆m + yn = 1（m > n >o ）与双曲线a - yb =1（a > 0，b > 0）有相同得焦点 F i 、F 2, P 就是两曲线得一个交点，则|PF i | |PF 2|得值就是（）1A . m — aB 、2（m — a ）C . m 2— a 2D 、 m — a【解析】 由椭圆定义知|PF i |+ |PF 2|= 2 .m 、①由双曲线得定义知||PF i |— |PF 2||= 2 a 、②① 2—② 2得 4|PF i | |PF 2|= 4(m — a),【答案】 A5. 已知双曲线得两个焦点分别为F i （— 5, 0）, F 2（ 5, 0）,P 就是双曲线上得一点,且PF i 丄PF 2, |PF i ||P F 2|= 2,则双曲线得标准方程就是 （ ）弓—学i B 、x 2—挙i2 3 3 2C . x 2—弓=1D 、琴-y 2=1【解析】 设 |PF i |= m , |PF 2|= n ,在 Rt △D F i F 2中,m 2 + n 2= (2c)2= 20, m n = 2,由双曲线定义，知|m — n|2= m 2 + n 2— 2mn = 16、••4a 2= 16、「・a 2 = 4, b 2= c 2— a 2= 1、x 2•双曲线得标准方程为——y 2= 1、【答案】 D、填空题 2 x 6. 双曲线m 2+ 12【解析】 c 2= m 2 + 12+ 4 — m 2= 16,：c = 4,2c = 8、【答案】 8 2亠—4 —m 2 得焦距为x2y27. （2013郑州高二检测）设点P就是双曲线-—16=1上任意一点，F i, F2分别就是其左、右焦点，若|PF i|= 10,则|PF2|= __________ 、【解析】由双曲线得标准方程得， a = 3, b= 4、于就是c= - a2+ b2= 5、(1) 若点P在双曲线得左支上，则|PF2|- |PF1|= 2a = 6,.・.|PF2|= 6+ |PF1|= 16;(2) 若点P在双曲线得右支上，则|PF1 —|PF2|= 6,•••|PF2|= |PF1|-6 = 10-6= 4、综上，|PF2|= 16 或4、【答案】16或4X 2& (2013泰安高二检测)方程4—k+k-1 = 1表示得曲线为C,给出下列四个命题：①曲线C不可能就是圆；②若1v k v 4,则曲线C为椭圆；③若曲线C为双曲线，则k v 1或k>4;④若曲线C表示焦点在x轴上得椭圆，则1v kv|、其中正确命题得序号就是_________ (写出所有正确得命题得序号)【解析】当4—k = k- 1>0时，即k=号时，曲线C就是圆，•命题①就是假命题•对5于②，当1v k v 4且k M 5时，曲线C就是椭圆，则②就是假命题.根据双曲线定义与标准方程，③④就是真命题.【答案】③④三、解答题9. 求与双曲线X4 —专=1有相同焦点且过点P(2,1)得双曲线得方程.【解】双曲线2 2 x_y_4 - 2 =1得焦点在x轴上.依题意，设所求双曲线为a2-y2=1(a>0，b>0).又两曲线有相同得焦点,•'a2+ b2= c2= 4+ 2= 6、①x2 y2又点P(2,1)在双曲线孑一詁=1上,4 1 -•訐亡=1②由①、②联立，得a2= b2= 3, 故所求双曲线方程为彳—y3=1、10. 已知方程kx2+ y2= 4，其中k为实数，对于不同范围得k值分别指出方程所表示得曲线类型.【解】(1)当k= 0时，y= 12，表示两条与x轴平行得直线；(2)当k= 1时，方程为x2+ y2= 4，表示圆心在原点，半径为2得圆;x2(3)当k v 0时，方程为4~ = 1,表示焦点在y轴上得双曲线;一k2 2⑷当0 v k v 1时，方程为4+ ；= 1,表示焦点在x轴上得椭圆;kx2 y2⑸当k> 1时，方程为~ + 4 = 1,表示焦点在y轴上得椭圆.k11. 某部队进行军事演习，一方指挥中心接到其正西、正东、正北方向三个观测点A,B, C得报告：正西、正北两个观测点同时听到了炮弹得爆炸声，正东观测点听到爆炸声得时间比其她两观测点晚 4 s,已知各观测点到该中心得距离都就是 1 020 m，试确定该枚炮弹得袭击位置.(声音得传播速度为340 m/s，相关各点均在同一平面内).【解】如图，以指挥中心为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴得正方向建立平面直角坐标系，则A(— 1 020,0), B(1 020,0), C(0,1 020).设P(x，y)为袭击位置，则|PB|—|PA= 340X 4v AB|、由双曲线定义，知点P在以A，B为焦点得双曲线得左支上，且a= 680，c= 1 020，所以 b 2= 1 0202-6802= 5X 3402、又|PA|= |PC ,因此P 在直线y = — x 上,把y = — x 代入①式，得x =— 680,5、所以 P(— 680 5, 680_；5), |OP|= 680 . 10(m).故该枚炮弹得袭击位置在北偏西45 °距指挥中心680 10 m 处、 教岬备课资源 2麼囲卄戦嚴W 严匱兽（教师用书独具） >3 iSHIS如图所示，已知定圆 F 1： x 2+ y 2+ 10x + 24= 0,定圆 F 2： x 2 + y 2— 10X + 9 = 0,动圆 M【自主解答】 圆F 1：（x + 5）2 + y 2= 1,•••圆心 F 1(— 5,0)，半径 n= 1、圆 F 2： (x — 5)2 + y 2= 42,•圆心 F 2（5,0），半径 r 2= 4、设动圆M 得半径为 R ,则有|MF 1|= R + 1 , |MF 2|= R + 4, •••|MF 2— |MF 1|= 3V IF 1F 2I 、•••点M 得轨迹就是以F 1, F 2为焦点得双曲线（左支）, □ 3 ,2 2 2 91且 a = 2， c = 5, b = c — a = 4、•双曲线方程为 討—9fy 2= 1(x < — § .>9 iSSg.所以双曲线方程为 x 268^ y 2 2 5 X 3402 1(x w — 680).① 与定圆F 1, F 2都外切，求动圆圆心已知动圆M 与圆C l ：（X + 4）2+ y 2= 2外切，与圆C 2：（X — 4）2 + y 2 = 2内切，求动圆圆心M 得轨迹方程.又 C i （ — 4,0）, C 2（4,0）,•••|C i C 2|= 8,「.2 .2v |C i C 2|、M 得轨迹就是以C i （— 4,0）, C 2（4,0）为焦点得双曲线得右支. '•'a = 2, c = 4,「.b 2= c 2— a 2= i4、x 2 y 2故点M 得轨迹方程为2 — i4= i （x > 一2）、 【解】 设动圆M 得半径为 r ，则由已知 |MC i |=r + 2, |MC 2|= r —. 2（如图所示）. 根据双曲线得。

2.3.1双曲线及其标准方程
教学设计
教学目标
（一）知识与技能目标
掌握双曲线的定义，焦点，焦距的概念和标准方程；理解双曲线标准方程的推导；并能初步运用定义和标准方程解决有关问题.
（二）过程与方法目标
通过学生自主探索，亲身经历双曲线的定义及其标准方程的获得过程，体验数形结合的思想在处理几何问题中优越性；培养学生观察、比较、分析、归纳、概括等思维能力，形成良好的思维品质.
（三）情感态度与价值观目标
通过实例，激发学生对数学的好奇心，引导学生从数学的角度发现和提出问题，正确使用数学语言表达问题、进行交流，形成用数学的意识.让学生在自主探索，合作交流中获得新知识，培养学生实事求是的科学态度，锲而不舍的探索精神以及对数学学科的热爱，坚定学好数学的信心，形成正确的数学观.
教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用
教学难点：双曲线标准方程的推导。

教法学法
（一）教学方法引导探索、发现法
（二）学习方法自主探索、合作交流．
（三）教学手段多媒体辅助教学．
（四）学具毛线一根，钥匙环一个.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教学情境设计。

2. 3.1双曲线及其标准方程课前预习学案一．预习目标：了解双曲线的定义及焦点、焦距的意义。

二．预习内容：平面内与两定点 , 的距离的差的绝对值等于常数(小于||)的点的轨迹叫做-------。

两定点 , 叫做双曲线的_________ ，两焦点间的距离||叫做双曲线的________ ．三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一.学习目标：掌握双曲线的标准方程及其特点；会求简单的双曲线的标准方程。

学习重难点：双曲线的定义的理解和标准方程的特点 二.学习过程：问题 1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？如图 2-23，定点 , 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，|| - || 是常数，这样就画出一条曲线；由 || - || 是同一常数，可以画出另一支．新知 1：双曲线的定义：平面内与两定点 , 的距离的差的绝对值等于常数(小于||)的点的轨迹叫做双曲线。

两定点 , 叫做双曲线的_________ ， 两焦点间的距离||叫做双曲线的________ ． 反思：设常数为2a ，为什么2a < || ？ 2a = ||时，轨迹是__________ ； 2a > || 时，轨迹____________ ．试一试：点 A ( 1,0) ， B (-1 ,0) ，若 |AC | - |BC | = 1 ，则点C 的轨迹是__________ ．新知 2：双曲线的标准方程：,(a> 0,b> 0, )（焦点在x 轴）其焦点坐标为(- c ,0) ， (c ,0) ．1F 2F 21F F 1F 2F 21F F 1F 2F 1MF 2MF 2MF 1MF 1F 2F 21F F 1F 2F 21F F 21F F 21F F 21F F 12222=-by a x 222b a c +=1F 2F思考：若焦点在 y 轴，标准方程又如何？三.反思总结：1.双曲线定义中需要注意的条件：2.双曲线方程的特点（注意与椭圆对比、区分）：、的系数符号相反，若的系数为正，则焦点在轴上，反之则在轴上。

§2.3双曲线2．3.1 双曲线及其标准方程学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题．知识点一双曲线的定义1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0<2a<|F1F2|}．3．焦点：两个定点F1，F2.4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.知识点二双曲线标准方程1．平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(×) 2．平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(×)3．平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×) 4．在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．(×)题型一 求双曲线的标准方程例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)a ＝4，经过点A ⎝⎛⎭⎫1，－4103；(2)焦点在x 轴上，经过点P (4，－2)和点Q (26，22)； (3)过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5且焦点在坐标轴上． 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 解 (1)当焦点在x 轴上时， 设所求标准方程为x 216－y 2b2＝1(b >0)，把点A 的坐标代入，得b 2＝－1615×1609<0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y 216－x 2b 2＝1(b >0)，把点A 的坐标代入，得b 2＝9. 故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)因为焦点在x 轴上，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，将点(4，－2)和(26，22)代入方程得⎩⎨⎧16a 2－4b 2＝1， ①24a 2－8b 2＝1，②解得a 2＝8，b 2＝4，所以双曲线的标准方程为x 28－y 24＝1.(3)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1，AB <0. 因为点P ，Q 在双曲线上，则⎩⎨⎧9A ＋22516B ＝1，2569A ＋25B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝－116，B ＝19.故双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.反思感悟 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂．若双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m ，n ，避免了讨论，从而简化求解过程． 跟踪训练1 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8； (2)以椭圆x 28＋y 25＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，10)．考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 解 (1)由双曲线的定义知，2a ＝8，所以a ＝4， 又知焦点在x 轴上，且c ＝5， 所以b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9， 所以双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)由题意得，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝2 2. 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则有a 2＋b 2＝c 2＝8，9a 2－10b 2＝1，解得a 2＝3，b 2＝5.故所求双曲线的标准方程为x 23－y 25＝1.题型二 双曲线定义的应用命题角度1 双曲线中的焦点三角形问题 例2 若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)如图，若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积． 考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用与双曲线的焦点三角形 解 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6， 又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16， 假设点M 到另一个焦点的距离等于x ， 则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22. 故点M 到另一个焦点的距离为10或22.(2)将|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6两边平方得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， 则|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2| ＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002×32＝0，且∠F 1PF 2∈(0°，180°)，所以∠F 1PF 2＝90°，故12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.引申探究将本例(2)中的条件“|PF 1|·|PF 2|＝32”改为“∠F 1PF 2＝60°”，求△F 1PF 2的面积． 解 由x 29－y 216＝1得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF 2|－|PF 1|＝6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，所以12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3. 反思感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一：①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值；④利用公式12PF F S △＝12×|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2求得面积．(2)方法二：利用公式12PF F S △＝12×|F 1F 2|×|y P |(y P 为P 点的纵坐标)求得面积．跟踪训练2 已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________． 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 [答案] 2 3[解析] 不妨设点P 在双曲线的右支上， 因为PF 1⊥PF 2，所以|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(22)2， 又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＝4，可得2|PF 1|·|PF 2|＝4，则(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝12， 所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 3.命题角度2 利用定义确定与双曲线有关的轨迹方程例3 在△ABC 中，已知|AB |＝42，A (－22，0)，B (22，0)，且内角A ，B ，C 满足sin B －sin A ＝12sin C ，求顶点C 的轨迹方程．考点 求与双曲线有关的轨迹方程 题点 双曲线的一支解 由sin B －sin A ＝12sin C 及正弦定理，可得b －a ＝c2，从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<|AB |，由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去右顶点)． ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6， ∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．反思感悟 (1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．跟踪训练3 如图所示，已知定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．考点 求与双曲线有关的轨迹方程 题点 双曲线的一支解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1； 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3<10＝|F 1F 2|.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1⎝⎛⎭⎫x ≤－32.双曲线在生活中的应用典例“神舟”九号飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点．某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角．解因为|PC|＝|PB|，所以P在线段BC的垂直平分线上．又因为|PB|－|P A|＝4<6＝|AB|，所以P在以A，B为焦点的双曲线的右支上．以线段AB的中点为坐标原点，AB的垂直平分线所在直线为y轴，正东方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示．则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,23)．所以双曲线方程为x24－y25＝1(x>2)，BC的垂直平分线方程为x－3y＋7＝0.联立两方程解得x＝8(舍负)，y＝53，所以P(8,53)，k P A＝tan∠P Ax＝3，所以∠P Ax＝60°，所以P点在A点的北偏东30°方向．[素养评析]利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下：(1)建立适当的坐标系；(2)求出双曲线的标准方程；(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题．注意：①解答与双曲线有关的应用问题时，除要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用．②实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围.1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则P 点的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．直线D ．一条射线 考点题点[答案] D[解析] F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|＝10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应为一条射线．2．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值为( ) A ．1B ．1或－2C ．1或12D.12 考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数[答案] A[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，0<a 2<4，4－a 2＝a ＋2，解得a ＝1.3．过点(1,1)，且b a ＝2的双曲线的标准方程是( ) A.x 212－y 2＝1 B.y 212－x 2＝1C ．x 2－y 212＝1 D.x 212－y 2＝1或y 212－x 2＝1 考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程[答案] D[解析] ∵b a ＝2，∴b 2＝2a 2. 当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 22a 2＝1， 将点(1,1)代入方程中，得a 2＝12. 此时双曲线方程为x 212－y 2＝1. 同理求得焦点在y 轴上时，双曲线方程为y 212－x 2＝1. 4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2为其两个焦点，若过焦点F 1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB |＝m ，则△ABF 2的周长为( )A ．4aB ．4a －mC ．4a ＋2mD ．4a －2m考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用[答案] C[解析] 不妨设|AF 2|>|AF 1|，由双曲线的定义，知|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，所以|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|BF 1|)＋4a ＝m ＋4a ，于是△ABF 2的周长l ＝|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＋2m .故选C.5．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________．考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程[答案] y 225－x 275＝1[解析] 设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧ m ＝－175，n ＝125，故双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a >b 不一定成立．要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别．在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a ，b ，c 的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式求解．。

2.3.1 双曲线及其标准方程（一）教学目标1.知识与技能：(1) 理解双曲线的定义明确焦点、焦距的概念。

(2) 熟练掌握双曲线的标准方程，会根据所给的条件画出双曲线的草图并确定双曲线的标准方程。

2.过程与方法：事例引入，动手操作理解双曲线的定义明确焦点、焦距的概念。

通过学生动手推导、例题教学让学生熟练掌握双曲线的标准方程，会根据所给的条件画出双曲线的草图并确定双曲线的标准方程。

3.情感、态度与价值观：(1) 学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；(2) 培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。

（二）教学重点与难点重点：双曲线的定义和标准方程。

难点：双曲线标准方程的推导。

（三）教学过程活动一：创设情景、引入课题（5分钟）回忆前面几节课学习，说一说椭圆的相关知识？问题 1：椭圆的定义是什么？问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？问题3：如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）问题4：探究新知:（1）演示一：做书本P52页拉拉链的过程。

(2)演示二：引导学生用《几何画板》作出双曲线的图象，并利用课件进行双曲线的模拟实验，思考以下问题。

(3)设问：①|MF1|与|MF2|哪个大？②点M到F1与F2两点的距离的差怎样表示？③||MF1|-|MF2||与|F1F2|有何关系？1、双曲线定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹叫作 ，这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做即1212||PF ||||||PF F F -<；焦点：12,F F ；焦距：12||F F注意:双曲线定义中容易遗漏的两处地方：（1）两个定点---两点间距离确定（2）当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={}122M MF MF a -=问题5：类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，你能利用上一节学过的坐标法求出双曲线的方程吗？（1）建系：取过焦点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系。

§2.3.1 双曲线及其标准方程学习目标：1．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程．2．掌握双曲线的标准方程．3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．学习重点：双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程学习难点：利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题课前预习案教材助读：阅读教材52-54页的内容，思考并完成下列问题：1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的________________等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做______________，______________叫做双曲线的焦距．课内探究案一、新课导学：探究任务1 双曲线的定义问题1：取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？新知1：双曲线的定义是问题2：双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？问题3：双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数2a,2a<|F1F2|?问题4：已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？(1)|x＋2＋y2－x－2＋y2|＝6； (2)x＋2＋y2－x－2＋y2＝6.探究任务2：双曲线的标准方程问题1： 类比椭圆的标准方程推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？问题2：两种形式的标准方程怎样进行区别？能否统一？问题3; 如图，类比椭圆中a ，b ，c 的意义，你能在y 轴上找一点B ，使|OB |＝b 吗？二、合作探究例 1 ：(1)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程．例2 ：已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点)．例3: 已知A ，B 两地相距800 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．三、当堂检测教材55页练习1-3题.四、课后反思课后训练案1．已知A (0，－5)、B (0,5)，|PA |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为 ( )A ．双曲线或一条直线B ．双曲线或两条直线C ．双曲线一支或一条直线D ．双曲线一支或一条射线2．过点(1,1)且b a ＝2的双曲线的标准方程是( )A.x 212－y 2＝1B.y 212－x 2＝1 C ．x 2－y 212＝1 D.x 212－y 2＝1或y 212－x 2＝1 3．如图，从双曲线x 23－y 25＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于 ( ) A. 3 B. 5 C.5－ 3 D.5＋ 34．若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是 ( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在y 轴上的双曲线D ．焦点在x 轴上的双曲线5．双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到(－5,0)的距离为( )A ．7B ．23C ．5或25D ．7或23 6．若双曲线以椭圆x 216＋y 29＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为____________．7．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心的轨迹方程．。

2.3.1 双曲线及其标准方程教学要求：学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导．教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．教学难点：在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．教学过程：一、新课导入：1. 提问：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书)2. 在椭圆的标准方程22221x y a b+=中，,,a b c 有何关系，若5,3a b ==，则?c =写出符合条件的椭圆方程。

二、讲授新课：1. 双曲线的定义：① 提问：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？如图2-23，定点12,F F 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，|MF 1|-|MF 2|是常数，这样就画出一条曲线；由|MF 2|-|MF 1|是同一常数，可以画出另一支．② 定义：平面内与两定点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。

两定点12,F F 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的焦距。

③ （理科）类比椭圆标准方程的建立过程推导出双曲线的标谁方程。

（文科）简单讲解推导给出标准方程。

标准方程：22222221,(0,0,)x y a b c a b a b-=>>=+（焦点12(,0),(,0)F c F c -在x 轴） 思考：若焦点在y 轴，标准方程又如何？④ 例1、58P 分析：由双曲线的标准方程知，只要求出,a b 即可得方程；练习：1、已知双曲线的两焦点为12(8,0),(8,0)F F -，双曲线上任意点到12,F F 的距离的差的绝对值等于10，求此双曲线的标准方程。

2、双曲线的两焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -，①若2,___;a b ==则②若1,___;b a ==则3、双曲线的两焦点分别为12(10,0),(10,0)F F -，点(8,0)在双曲线上求双曲线的标准方程。

§2.3.1 双曲线及其标准方程 【使用说明及学法指导】1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；2．小组合作，动手实践。

【学习目标】1．从具体情境中抽象出双曲线的模型2．理解双曲线的定义；3．掌握双曲线的标准方程．【重点】理解双曲线的定义【难点】掌握双曲线的标准方程一、自主学习（一）复习回顾复习1：在椭圆的标准方程22221x y a b+=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c =写出符合条件的椭圆方程．（二）导学提纲预习教材P 52～P 55, 找出疑惑之处1．做实验把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？如下图，定点12,F F 是两个图钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，12MF MF -是常数，这样就画出一条曲线；由21MF MF -是同一常数，可以画出另一支．2．双曲线的定义：平面内与两定点12,F F 的距离的差的 等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。

两定点12,F F 叫做双曲线的 ， 两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的 ．反思：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？2a =12F F 时，轨迹是 ；2a >12F F 时，轨迹 ．试试：点(1,0)A ，(1,0)B -，若1AC BC -=，则点C 的轨迹是 ．3．独立推导双曲线的方程。

4．填表)0二、典型例题1．已知双曲线的两焦点为1(5,0)F-，2(5,0)F，双曲线上任意点到12,F F的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．变式：已知双曲线221169x y-=的左支上一点P到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为2．求适合下列条件的双曲线的标准方程式：（1）焦点在x轴上，4a=，3b=；（2）焦点为(0,6),(0,6)-，且经过点(2,5)-．3.已知,A B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340/m s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．变式：如果,A B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？三、拓展探究4．点,A B的坐标分别是(5,0)，(5,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们斜率之积是49，试求点M的轨迹方程式，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状．四、变式训练课本第55页2、3题五、课堂小结1．知识：2．数学思想、方法：六、课后巩固1．动点P到点(1,0)M及点(3,0)N的距离之差为2，则点P的轨迹是（B ）．A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 两条射线D. 一条射线2．双曲线2255x ky +=的一个焦点是，那么实数k 的值为（ C ）．A ．25-B ．25C ．1-D ．13．已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=则动点P 的轨迹方程为221,(0)22x y x -=>．4．教材61页2题5．教材62页2题。

选修2-1 2.3.1 双曲线及其标准方程（学案）【知识要点】1．双曲线定义；2．双曲线的焦点、焦距； 3.双曲线的标准方程. 【学习要求】1． 了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2． 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第52 页～第 55页）1．我们把 的点的 轨迹叫做双曲线.两个顶点 叫做双曲线的焦点， 叫做双曲线的焦距.双曲线定义中的“常数”常用 表示，焦距常用 表示.2.在双曲线定义中，要求常数212F F a <,为什么要加这一条件？若212F F a =,动点的轨迹是 ；若212F F a >，动点的轨迹是 .3.若双曲线的焦点在x 轴上，标准方程为 ；若焦点在y 轴上，标准方程为 .4.双曲线标准方程中，c b a ,,之间的关系为 .5.阅读例1、例2，完成课后（第55页）练习. 【基础练习】1．已知()0,3),0,3(21F F -,动点P 满足421=-PF PF ,则P 的轨迹是（ ）. （A ）双曲线 （B ）双曲线一支 （C ）直线 （D ）一条射线2.已知()()a PB PA B A 2,4,0,4,0=--，当3=a 和4时，点P 轨迹为（ ）. （A ）双曲线和一条直线 （B ）双曲线和两条射线 （C ）双曲线一支和一条直线 （D ）双曲线一支和一条射线3.已知顶点()0,2),0,2(21F F -，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，为双曲线是（ ）.（A ）321=-PF PF （B ）521=-PF PF（C ）421=-PF PF （D ）42221±=-PF PF4.在双曲线方程中，已知8,6==b a ，则其方程是（ ）.（A ）1643622=-yx（B ）1366422=-yx(C)1643622=-xy（D ）1643622=-yx或1643622=-xy【典型例题】例1 在MNG ∆中，已知4=NG ,当动点M 满足条件M N G sin 21sin sin =-时，求动点M 的轨迹方程.变式训练1：在ABC ∆中，已知24=AB ，且三内角A 、B 、C 满足B C A s i n 2s i n s i n 2=+，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程.例2 当01800≤≤α时，方程1sin cos 22=+ααy x 表示的曲线怎样变化？变式训练2：9>k ，是方程14922=-+-k ykx表示双曲线的 条件.1.已知方程11122=--+kykx表示双曲线，则k 的取值范围是（ ）.（A ）11<<-k （B ）0>k （C ）0≥k （D ）11-<>k k 或 2.在方程n mymx=-22中，若0<mn ，则方程的曲线是（ ）.（A ）焦点在x 轴上的椭圆 （B ）焦点在x 轴上的双曲线 （C ）焦点在y 轴上的椭圆 （D ）焦点在y 轴上的双曲线 3.双曲线191622=-yx上的点P 到点()0,5的距离是15，则P 到()0,5-的距离是（ ）.（A ）7 （B ）23 （C ）255或 （D ）237或 4.双曲线8822=-kykx 的一个焦点是()3,0，则k 的值是（ ）.（A ）1 （B ）1- （C ）2 （D ）5 5.设椭圆1C 离心率为135，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为（ ）.（A ）191622=-yx（B ）12516922=-yx（C ）116922=-yx（D ）114416922=-yx6.已知双曲线的方程为12222=-by ax ，点A 、B 在双曲线的右支上，线段AB 经过右焦点2F ,AB 1,F m =为另一焦点，则1ABF ∆周长为（ ）.(A)m a 22+ （B ）m a 24+ （C ）m a + （D ）m a 42+ 7.若方程14922=---mymx表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是 .8.已知21,F F 是双曲线191622=-yx的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为060，那么PQ QF PF -+22为 . 9.双曲线k y x =-222的焦距是6，求k .10.已知顶点()0,3A 和定圆()163:22=++y x C ，动圆和圆C 相外切，并且过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程.1.如果双曲线的焦点在坐标轴上，并且关于原点对称，那么双曲线的方程式标准的，否则是不标准的.求双曲线的标准方程就是求a 、b ，并且判断焦点所在的坐标轴. a 、b 、c 之间的关系是222c b a =+.2.当P 满足21210F F PF PF <-<时，点P 的轨迹是双曲线一支；当21120F F PF PF <-<时，点P 的轨迹是双曲线的另一支；当2121F F PF PF ±=-时，点P 的轨迹是两条射线.21PF PF -不肯大于21F F .3.已知1PF 求2PF 可以利用a PF PF ±=-21.已知221π=∠PF F 时，往往利用勾股定理，并且对a PF PF ±=-21进行平方.选修2-1 2.3.1 双曲线及其标准方程（教案）【教学目标】1．理解双曲线的定义，明确焦点、焦距的概念； 2．掌握双曲线的方程及其标准方程的推导； 【重点】双曲线的定义及其标准方程； 【难点】标准方程的推导及其应用；【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第52 页～第 55页）1 轨迹叫做双曲线.两个顶点 叫做双曲线的焦点， 两焦点间的距离 叫做双曲线的焦距.双曲线定义中的“常数”常用 a2 表示，焦距常用 c 2 表示.2.在双曲线定义中，要求常数212F F a <,为什么要加这一条件？若212F F a =,动点的轨迹是 两条射线 ；若212F F a >，动点的轨迹是 不存在 .3.若双曲线的焦点在x 轴上，标准方程为()0,012222>>=-b a by ax ；若焦点在y 轴上，标准方程为()0,012222>>=-b a bx ay .4.双曲线标准方程中，c b a ,,之间的关系为 222b a c += . 5.阅读例1、例2，完成课后（第55页）练习. 【基础练习】1．已知()0,3),0,3(21F F -,动点P 满足421=-PF PF ,则P 的轨迹是（ B ）. （A ）双曲线 （B ）双曲线一支 （C ）直线 （D ）一条射线2.已知()()a PB PA B A 2,4,0,4,0=--，当3=a 和4时，点P 轨迹为（ D ）. （A ）双曲线和一条直线 （B ）双曲线和两条射线 （C ）双曲线一支和一条直线 （D ）双曲线一支和一条射线3.已知顶点()0,2),0,2(21F F -，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，为双曲线是（ A ）.（A ）321=-PF PF （B ）521=-PF PF（C ）421=-PF PF （D ）42221±=-PF PF4.在双曲线方程中，已知8,6==b a ，则其方程是（ D ）.（A ）1643622=-yx（B ）1366422=-yx(C)1643622=-xy（D ）1643622=-yx或1643622=-xy【典型例题】例1 在MNG ∆中，已知4=NG ,当动点M 满足条件M N G sin 21sin sin =-时，求动点M 的轨迹方程.【审题要津】由题设条件可建立M 的几何灯饰，进而求出M 的轨迹方程.解：以NG 边所在的直线为x 轴，NG 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则()()0,2,0,2G N -，由正弦定理得RNG M RMG N RMN G ===sin ,sin ,sin ,M N G sin 21sin sin =-,42421<=⨯=-∴MG MN .由双曲线的定义知，点M 的轨迹为双曲线的右支，所以顶点M 的轨迹方程是 ()11322>=-x yx .【方法总结】寻找动点M 的约束关系很关键.解答本题应注意：（1）将角的关系M N G sin 21sin sin =-换为距离关系NG MG MN 21=-,联想双曲线的定义使问题简化；（2）不可忽视三角形的条件，由点M 、N 、G 不共线，除去点()0,1.变式训练1：在ABC ∆中，已知24=AB ，且三内角A 、B 、C 满足B C A s i n 2s i n s i n 2=+，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程.【审题要津】由题设条件可建立C 的几何灯饰，进而求出C 的轨迹方程.解：以AB 边所在的直线为x ，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则()()0,22,0,22B A -.由正弦定理得Rc C Rb B Ra A 2sin ,2sin ,2sin ===.B C A sin 2sin sin 2=+ b c a 22=+∴即2c a b =-，从而AB AB CB CA <==-2221.由双曲线的定已知，点C 的轨迹为双曲线的右支，6,22,2222=-=∴==ac bc a .所以顶点C 的轨迹方程为()216222>=-x yx.【方法总结】寻找动点C 的约束关系很关键.解答本题应注意：（1）将角的关系B C A s in 2s in s in 2=+换为距离关系AB CB CA 21=-,联想双曲线的定义使问题简化；（2）不可忽视三角形的条件，由点A 、B 、C 不共线，除去点()0,2.例2 当001800≤≤α时，方程1sin cos 22=+ααy x 表示的曲线怎样变化？ 【审题要津】此题应对α的取值范围进行讨论.解：方程1sin cos 22=+ααy x 表示的轨迹是与参数α相关的，因此要确定轨迹需对参数α进行讨论.（1）当00=α时，方程为12=x ，它表示两条平行直线1±=x . （2）当00450<<α时，它表示焦点在y 轴上的椭圆. （3）当045=α时，它表示圆心在原点的圆.（4）当009045<<α时，它表示焦点在x 轴上的椭圆. （5）当090=α时，方程为12=y，它表示两条平行直线1±=y .（6）当018090<<α时，它表示焦点在x 轴上的双曲线. (7)当0180=α时，方程为12±=x ，它不表示任何曲线.【方法总结】分类讨论是解决数学问题的一个主要方法，解题时要善用之. 变式训练2：9>k ，是方程14922=-+-k ykx表示双曲线的 充分 条件.1.已知方程11122=--+kykx表示双曲线，则k 的取值范围是（A ）.（A ）11<<-k （B ）0>k （C ）0≥k （D ）11-<>k k 或 2.在方程n mymx=-22中，若0<mn ，则方程的曲线是（ D ）.（A ）焦点在x 轴上的椭圆 （B ）焦点在x 轴上的双曲线 （C ）焦点在y 轴上的椭圆 （D ）焦点在y 轴上的双曲线 3.双曲线191622=-yx上的点P 到点()0,5的距离是15，则P 到()0,5-的距离是（ D ）.（A ）7 （B ）23 （C ）255或 （D ）237或4.双曲线8822=-ky kx 的一个焦点是()3,0，则k 的值是（ B ）. （A ）1 （B ）1- （C ）2 （D ）55.设椭圆1C 离心率为135，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为（ A ）.（A ）191622=-yx（B ）12516922=-yx（C ）116922=-yx（D ）114416922=-yx6.已知双曲线的方程为12222=-by ax ，点A 、B 在双曲线的右支上，线段AB 经过右焦点2F ,AB 1,F m =为另一焦点，则1ABF ∆周长为（ B ）.(A)m a 22+ （B ）m a 24+ （C ）m a + （D ）m a 42+ 7.若方程14922=---mymx表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是 .8.已知21,F F 是双曲线191622=-yx的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为060，那么PQ QF PF -+22为 . 9.双曲线k y x =-222的焦距是6，求k .【审题要津】 关键点就是确定焦点在那个坐标轴上. 解：当0>k 时，1222=-ky k x，k k k c2322=+=焦距为6，3=∴c ， 6=∴k .当0<k 时，1222=---k x ky，同理可得6-=k .【方法总结】当等式中含有参数，主要分类讨论.10.已知顶点()0,3A 和定圆()163:22=++y x C ，动圆和圆C 相外切，并且过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程.【审题要津】利用双曲线的定义.解：设动圆半径为r ，圆心为()y x P ,，定圆C 的圆心为()0,3-C ，半径为4.由平面几何知识有r PA r PC =+=,4， 4=-∴PA PC ，∴动点P 的估计为双曲线右支. 5,2,3222=-===ac ba c ，∴圆心P 的轨迹方程为15422=-yx.)0(>x【方法总结】注意双曲线的定义，这只是右支.1.如果双曲线的焦点在坐标轴上，并且关于原点对称，那么双曲线的方程式标准的，否则是不标准的.求双曲线的标准方程就是求a 、b ，并且判断焦点所在的坐标轴. a 、b 、c 之间的关系是222c b a =+.2.当P 满足21210F F PF PF <-<时，点P 的轨迹是双曲线一支；当21120F F PF PF <-<时，点P 的轨迹是双曲线的另一支；当2121F F PF PF ±=-时，点P 的轨迹是两条射线.21PF PF -不肯大于21F F.11 3.已知1PF 求2PF 可以利用a PF PF ±=-21.已知221π=∠PF F 时，往往利用勾股定理，并且对a PF PF ±=-21进行平方.。

2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程一、教学目标 （一）学习目标1．理解并掌握双曲线的定义，了解双曲线的焦点、焦距；2．掌握双曲线的标准方程，能够根据双曲线的标准方程确定焦点的位置． （二）学习重点 1．双曲线的定义； 2．双曲线的标准方程． （三）学习难点1．由双曲线的标准方程确定焦点位置； 2．根据条件求双曲线的标准方程． 二、教学设计 （一）预习任务设计 1．预习任务 写一写：（1）定义：平面内与两个定点12,F F 的距离差的绝对值 等于常数 2a ，小于|F 1F 2| 的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的 焦点 ，两定点间距离叫做 焦距 ．（2）双曲线的标准方程：焦点在x 轴上：22221(0,0)x y a b a b -=>>．焦点在y 轴上：22221(0,0)y x a b a b -=>>．2．预习自测1．下面语句正确的个数是（ ）①平面内到点12(0,4),(0,4)F F -的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线． ②双曲线标准方程中,,a b c 的关系是222a b c +=．③双曲线2213y x -=的焦点在y 轴上．A ．0B ．1C ．2D ．3答案：B （二）课堂设计探究一：结合实例，认识双曲线 ●活动① 回顾旧知，实验探索前面我们学习了椭圆，椭圆是如何定义的？平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数122(2||)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆．若将椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”．即平面内与两个定点21,F F 的距离的差等于非零常数的点的轨迹是什么?我们不妨通过画图来探究，借助于拉链来说明作图方法．（如图）取一条拉链，拉开它的一部分，在拉链拉开的两边上各选择一点，分别固定在纸板上的点F 1 ，F 2处，取拉头处为M 点，由于拉链两段是等长的，则221FF MF MF =-，把笔尖放在点M 处，随着拉链的拉开或闭拢，M 点到F 1，F 2的距离的差为常数．这样的动点M 的轨迹是什么呢？【学生活动】请一位同学上黑板演示(用两段绳子来模拟拉链，进行作图)，其他同学观察、思考．画出一条曲线（如图1），这条曲线就是满足下面条件的点的集合：12{|||||}P M MF MF =-=常数如果使点M 到F 2的距离减去到点F 1的距离所得的差等于同一个常数，就得到另一条曲线（图2）．这条曲线是满足下面条件的点的集合：21{|||||}P M MF MF =-=常数．现在我们知道，平面内到两定点距离的差为常数的点的轨迹是这样的两条曲线．这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支．双曲线在科研和日常生产生活中应用广泛．(如：冷却塔、立交桥、广州塔、埃菲尔铁塔) 这是继椭圆之后我们要学习的第二种圆锥曲线．【设计意图】通过复习回顾椭圆概念，引出新问题．从学生认知的最近发展区入手，激发学生的求知欲． ●活动② 抽象概括，归纳定义类比椭圆的定义，归纳概括出双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点12,F F 叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．记为122F F c =．我们通常将定义中的常数记为2a,也就是说，双曲线就是点集：1212{|||||||2,02||}P M MF MF a a F F =-=<<． 当a =0时，点的轨迹为12F F 的垂直平分线； 当a <c 时，点的轨迹是以12,F F 为焦点的双曲线； 当a =c 时，点的轨迹为线段12F F 的延长线或反向延长线； 当a >c 时，点的轨迹不存在．图1图2【设计意图】本环节在学生经历双曲线形成的基础上，类比椭圆定义，归纳概括双曲线定义，有助于学生对双曲线定义的理解． 探究二：探究双曲线的方程 ●活动① 类比椭圆，建立方程得到了双曲线的定义，知道了它的基本几何特征，这只是一种“定性”的描述，但是对于这种曲线还具有哪些性质，尚需进一步研究． 根据解析几何的基本思想方法，我们需要利用坐标法先建立双曲线的方程“定量”的描述，然后通过对双曲线的方程的讨论，来研究其几何性质．你能类比椭圆标准方程的建立过程，建立适当的坐标系，推导双曲线的标准方程吗？ 分析如下：（1）建系设点：取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，设M (x,y )为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c (c >0)，那么21,F F 的坐标分别是12(,0),(,0)F c F c -．又设点M 与21,F F 的距离的差的绝对值为2a ．（2）写动点满足的集合:由定义可知，点M 满足集合：1212{|||||||2,02||}P M MF MF a a F F =-=<<． （3）列方程（用坐标表示条件）：1||MF =,2||MF =,2-=±a（4）化简方程:将这个方程移项，使式子两边平衡,再两边平方得：2222222222222()44(),:(-)-(-)x c y a x c y c a x a y a c a ++=±-+=移项整理两边平方可得类比椭圆的标准方程的处理方式进行简化,使其简洁美观，即222221x y a c a-=-设222(0)c a b b -=>，代入上式222221x y a c a -=-，将式子进一步简化,使其简洁、对称，得到方程：22221(0,0)x y a b a b-=>>．类比椭圆，只要交换方程中的x 和y 即可，这样就得到了焦点在y 轴上的双曲线的标准方程，即为()222210,0-=>>y x a b a b ．●活动② 归纳梳理，强化概念得到了双曲线的定义和方程．借助于表格进行双曲线再认识．●活动③ 巩固基础，检查反馈例1：求满足条件的双曲线方程：a =，经过点A (2,-5)． 【知识点】双曲线的定义及标准方程．【解题过程】若焦点在x 轴上，设其方程为2221(0)20x y b b -=>，将A (2,-5)代入得2425120b -=，22545b =-无解； 若焦点在y 轴上，设其方程为222120y x b -=，将A (2,-5)代入得2254120b-=，216b =， 综上，所求双曲线的方程为2212016y x -=．【思路点拨】求双曲线标准方程与求椭圆标准方程类似，要先“定位”，确定焦点在哪个坐标轴上，再“定量”，即确定a 、b 的值，从而写出标准方程，这里一般使用待定系数法，需要注意双曲线有两支，在具体问题中是否需要舍去某一支．【答案】2212016y x -=．同类训练 求满足条件的双曲线方程：焦点在y 轴上，中心在原点，且经过点)24,3(1-P 和)5,49(2P ． 【知识点】双曲线的定义及标准方程．【解题过程】法一：因为双曲线的焦点在，中心在原点，所以设所求双曲线的标准方程为：12222=-bx a y （0,0>>b a ）则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--1)49(513)24(22222222b a b a ，即⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-⋅=⋅-⋅1116811251191322222b a b a 解关于221,1b a 的二元一次方程组，得911,161122==b a所以，所求双曲线的标准方程为191622=-x y法二：因为双曲线的焦点在y 轴上，中心在原点，所以设所求双曲线的标准方程为221(0,0)my nx m n -=>>则1329116811251169m n m m n n ⎧-==⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⎪=⎩⎪⎩故所求双曲线的标准方程为191622=-x y 【思路点拨】用待定系数法来求解b a ,时，得到关于待定系数b a ,的一个分式方程组，并且分母的次数是2，可将22,b a 的倒数作为未知数，直接看作二元一次方程组也可用一般方程，利用形式更为简便的二元一次方程组来求解．【答案】191622=-x y例2．已知△ABC 的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，使A CB sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹【知识点】双曲线的定义及标准方程．【解题过程】以底边BC 为x 轴，底边BC 的中点为原点建立xoy 坐标系，这时)0,6(),0,6(C B -，由A C B sin 21sin sin =-得621==-a c b ,即6||||=-AB AC所以，点A 的轨迹是以)0,6(),0,6(C B -为焦点，2'6a =（为了与前面的a 进行区分）的双曲线的左支其方程为：)3(127922-<=-x y x【思路点拨】解决轨迹方程问题，需要突出数形结合的思考方法，运用逻辑推理，结合平面几何的基本知识，分析、归纳，这里安排本例就是针对以上情况来进行训练的【答案】)3(127922-<=-x y x同类训练 求与圆1)3(22=+-y x 及9)3(22=++y x 都外切的动圆圆心的轨迹 【知识点】双曲线的定义及标准方程．【解题过程】设动圆的圆心为M ，半径为r ，圆（x +3）2+y 2=9的圆心为F 1，圆（x -3）2+y 2=1的圆心为F 2，则由动圆与定圆都外切得r MF r MF +=+=1,321，又因为2)1()3(21=+-+=-r r MF MF ，由双曲线的定义可知，点M 的轨迹是双曲线的一支所求动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，其方程为：18122=-y x )1(≥x ． 【思路点拨】求轨迹方程的过程中，有一个重要的步骤就是找出(或联想到)轨迹上的动点所满足的几何条件，列方程就是根据这些条件确定的，由于轨迹问题比较普遍，题型多样，有些轨迹上的动点满足的几何条件可能比较隐蔽和复杂．【答案】18122=-y x )1(≥x ．●活动④ 强化提升，灵活应用例3． 已知双曲线的两个焦点为M 、N ，M (-2,-12)且点S (-7,0)、T (7,0)在双曲线上，利用双曲线的定义求点N 的轨迹方程． 【知识点】双曲线的定义．【解题过程】设点N 的坐标为(x,y )，它不同于点M (-2,-12)，由双曲线的定义知||||||||||||0SM SN TM TN -=-≠．(7,0)(7,0)S T -Q 、||13,||15SM TM ∴==①当||||||||SM SN TM TN -=-时，有||||214||TN SN ST -=<=，∴点N 的轨迹是中心在ST 中点(0,0)，焦点为S 、T 的双曲线的左支，除去点M (-2,-12)和点D (-2,12)．∴点N 的轨迹方程是221(0,2)48y x x x -=<≠-． ②当||||(||||)SM SN TM TN -=--时，有||||2814||TN SN ST +=>=，∴点N 的轨迹是中心在ST 中点(0,0)，焦点为S 、T 的椭圆，除去点M (-2,-12)和点D (-2,12)．∴点N 的轨迹方程是221(2)196147x y x +=≠-． 综上，N 的轨迹方程是221(0,2)48y x x x -=<≠-和221(2)196147x y x +=≠-． 【思路点拨】解本题的关键就是抓住双曲线定义中动点到两定点的距离之差的绝对值为定值这一特征，找出N 满足的几何条件，判断出曲线类型，要注意，依定义解题是圆锥曲线中的重要方法．【答案】221(0,2)48y x x x -=<≠-和221(2)196147x y x +=≠-．3． 课堂总结 知识梳理（1）双曲线定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线．（2）双曲线标准方程：焦点在x 轴上：22221(0,0)x y a b a b -=>>；焦点在y 轴上：()222210,0-=>>y x a b a b重难点归纳（1）定义中的距离之差的“绝对值”不可缺少，若点P 满足12||||2(0)PF PF a a c -=<<时，则点P 的轨迹为双曲线右支；若点P 满足 21||||2(0)PF PF a a c -=<<时，则点P 的轨迹为双曲线左支；（2）求双曲线标准方程与求椭圆标准方程类似，要先“定位”，确定焦点在哪个坐标轴上，再“定量”，即确定a 、b 的值，从而写出标准方程，这里一般使用待定系数法，需要注意双曲线有两支，在具体问题中是否需要舍去某一支． （三）课后作业 基础型 自主突破1．在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn <0，则方程的曲线是（ ） A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线【知识点】双曲线的方程．【解题过程】方程mx 2－my 2＝n 可化为：y 2－n m －x 2－n m＝1，∵mn <0，∴－nm >0，∴方程的曲线是焦点在y 轴上的双曲线． 【思路点拨】几何性质判断图形． 【答案】D ．2．双曲线x 225－y 29＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ） A ．22或2 B ．7 C ．22D ．2【知识点】双曲线的几何性质．【解题过程】∵a 2＝25，∴a ＝5，由双曲线定义可得||PF 1|－|PF 2||＝10，由题意知|PF 1|＝12，∴|PF 1|－|PF 2|＝±10，∴|PF 2|＝22或2． 【思路点拨】几何性质判断图形． 【答案】A ．3．若k ∈R ，方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．－3<k <－2 B ．k <－3 C ．k <－3或k >－2D ．k >－2 【知识点】双曲线的标准方程．【解题过程】由题意可知，⎩⎨⎧k ＋3>0，k ＋2<0，解得－3<k <－2．【思路点拨】由双曲线定义判断即可． 【答案】A ．4．椭圆x 24＋y 2m 2＝1与双曲线x 2m 2－y 22＝1有相同的焦点，则m 的值是（ ） A ．±1 B ．1 C ．－1D ．不存在 【知识点】双曲线的标准方程．【解题过程】验证法：当m ＝±1时，m 2＝1， 对椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3． 对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3， 故当m ＝±1时，它们有相同的焦点． 直接法：显然双曲线焦点在x 轴上， 故4－m 2＝m 2＋2．∴m 2＝1，即m ＝±1【思路点拨】注意到椭圆与双曲线中,,a b c 三者的不同关系． 【答案】A5．双曲线2x 2－y 2＝m 的一个焦点是(0，3)，则m 的值是__________________． 【知识点】双曲线的标准方程．【解题过程】双曲线的标准方程为x 2m 2－y 2m ＝1，由题意得a 2＝－m ，b 2＝－m 2，∴c 2＝－32m ＝3， ∴m ＝－2．【思路点拨】由双曲线性质即可． 【答案】－26．已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，则双曲线的方程为________． 【知识点】双曲线的方程．【解题过程】椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，且c ＝3，a 2＋b 2＝9．由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A (15，4)、B (－15，4)， 由点A 在双曲线上知，16a 2－15b 2＝1． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，16a2－15b 2＝1，得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝5.∴所求曲线的方程为y 24－x 25＝1．【思路点拨】充分利用两种圆锥曲线的相同焦点，再结合,,a b c 三者关系解题． 【答案】y 24－x 25＝1能力型 师生共研7．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，线段AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是（ ） A ．16 B ．18 C ．21D ．26【知识点】双曲线的几何性质．【解题过程】|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26． 【思路点拨】由双曲线性质求解即可． 【答案】D8．设θ∈(3π4，π)，则关于x 、y 的方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1 所表示的曲线是（ ） A ．焦点在y 轴上的双曲线 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在x 轴上的椭圆 【知识点】双曲线的标准方程．【解题过程】方程即是x 2sin θ＋y 2－cos θ＝1，因θ∈(3π4，π)，∴sin θ>0，cos θ<0，且－cos θ>sin θ，故方程表示焦点在y 轴上的椭圆，故选C ． 【思路点拨】由双曲线性质求解即可． 【答案】C 探究型 多维突破9．当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线怎样变化？ 【知识点】双曲线的标准方程．【解题过程】(1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝1和x ＝－1．(2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1．①当0°<α<45°时，0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆． ②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝2．③当45°<α<90°时，1cos α>1sin α>0，它表示焦点在x 轴上的椭圆． (3)当α＝90°时，方程为y 2＝1，它表示两条平行直线y ＝1和y ＝－1． (4)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x 2＝－1，它不表示任何曲线． 【思路点拨】由双曲线性质分类讨论求解即可． 【答案】见解析10．在△ABC 中，A 、B 、C 所对三边分别为a 、b 、c ，B (－1,0)、C (1,0)，求满足sin C －sin B ＝12sin A 时，顶点A 的轨迹，并画出图形． 【知识点】双曲线的标准方程．【解题过程】∵sin C －sin B ＝12sin A ，∴c －b ＝12a ＝12×2＝1， 即|AB |－|AC |＝1<|BC |＝2．∴动点A (x ，y )的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线∴⎩⎨⎧2a ′＝1，2c ′＝2，b ′2＝c ′2－a ′2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ′＝12，b ′＝32.∴A 点轨迹方程为x 214－y 234＝1．由于c >b 就是|AB |>|AC |，可知A 点的轨迹是双曲线的右支，还需除去点(12，0)如图所示．【思路点拨】注意利用线段的长度判断轨迹是双曲线的左支还是右支． 自助餐1．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线C 上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线C 的方程为（ ） A ．x 29－y 27＝1B ．x 29－y 27＝1(y >0) C ．x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D ．x 29－y 27＝1(x >0)【知识点】双曲线的标准方程．【解题过程】由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 27＝1(x >0)． 【思路点拨】利用双曲线的定义求解,,a b c ． 【答案】D2．已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于（ ） A ．23 B ．1 C ．2D ．4【知识点】双曲线的定义．【解题过程】NO 为△MF 1F 2的中位线，所以|NO |＝12|MF 1|，又由双曲线定义知，|MF 2|－|MF 1|＝10，因为|MF 2|＝18，所以|MF 1|＝8，所以|NO |＝4，故选D ． 【思路点拨】利用几何关系结合双曲线定义解题． 【答案】D3．设F 1，F 2是双曲线x 2－y224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于（ ） A ．4 2 B ．8 3 C ．24D ．48【知识点】双曲线的定义．【解题过程】由3|PF 1|＝4|PF 2|知|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又c 2＝a 2＋b 2＝1＋24＝25，∴c ＝5，∴|F 1F 2|＝10， ∴△PF 1F 2为直角三角形，S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝24． 【思路点拨】利用双曲线的定义计算△PF 1F 2的三边求解面积． 【答案】C4．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，若顶点B 在双曲线2212511x y -=的左支上，则sin A －sin C sin B ＝________．【知识点】双曲线的定义．【解题过程】由条件可知|BC |－|BA |＝10，且|AC |＝12，又在△ABC 中，有|BC |sin A ＝|AB |sin C ＝|AC |sin B ＝2R ，从而sin A －sin C sin B ＝|BC |－|AB ||AC |＝56． 【思路点拨】圆锥曲线的定义是主要考查目标之一，当涉及圆锥曲线的焦半径时，常考虑应用定义解决． 【答案】565．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的直线被双曲线截取的线段的长度为________．【知识点】双曲线的方程．【解题过程】∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7，该直线方程为x ＝7， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833．【思路点拨】通过点的坐标计算长度．【答案】8336．已知圆(x ＋4)2＋y 2＝25的圆心为M 1，圆(x －4)2＋y 2＝1的圆心为M 2，动圆与这两圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为______________． 【知识点】双曲线的定义．【解题过程】设动圆圆心为M ，动圆半径为r ，根据题意得，|MM 1|＝5＋r ，|MM 2|＝1＋r ，两式相减得|MM 1|－|MM 2|＝4<8＝|M 1M 2|，故M 点在以M 1(－4,0)，M 2(4,0)为焦点的双曲线的右支上，故圆心M 的轨迹方程为x 24－y 212＝1(x ≥2)．【思路点拨】注意结合线段的长度大小确定双曲线的左右支． 【答案】x 24－y 212＝1(x ≥2)．。

2015高中数学 双曲线及其标准方程教学设计1 新人教A 版选修2-1教学设计（一）创设情境，引出新课某火力发电厂通风塔图片并指出：实际生活中有与双曲线有关的实例，它在自然界和科学技术中也有着广泛的应用，比如有的无周期彗星的运动轨迹是双曲线;卫星导航系统等.那如何定义双曲线呢？怎样建立它的方程呢？这就是本节课所要研究的内容，由此引出课题： 双曲线及其标准方程.【设计意图】让学生形成双曲线的感性认识，感受数学的应用价值，体现数学来源于生活实际，又服务于生活实际.同时培养学生学会用数学眼光去观察周围事物的能力 .（二）探究定义1、拉链与双曲线小实验：2、实验分析：分析实验中的“变”与“不变”的条件.3、定义平面内与两个定点F 1, F 2的距离的等于的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫做双曲线的.4、思考：(1)2a=0, 动点M 的轨迹是什么？(2)0<2a<2c ， 动点M 的轨迹是什么？(3)0<2a=2c, 动点M 的轨迹是什么？(4)2a>2c, 动点M 的轨迹是什么？ 【设计意图】{}a MF －MF M P ＝221=的动点M 的轨迹的全面说明,体现了数学的严谨.（三）类比探究 建立方程1 、先引导学生回顾求曲线方程的一般步骤，然后循此步骤，并类比椭圆标准方程的推导过程，在教师的启发下，由学生自主推导双曲线的标准方程.第一步，建立直角坐标系及设点：设M(x ，y)，焦点分别为)0,(1c F -和)0,(2c F .第二步，根据定义写出M 点的轨迹构成的点集：{}a MF MF M P 221±=-=第三步，列出方程：a y c x y c x 2)()(2222±=+--++第四步，化简方程：移项：平方：整理(将根式放在一边，其余项移至等式的另一边)：第二次平方：整理得：思考：如果焦点在y 轴上呢？ 标准方程应该是【设计意图】为了真正做到让学生主动思考、学习，让学生自己动手，独立的完成这个任务，从而进一步体会用坐标法求曲线方程的思想.前三步学生容易掌握，第四步的二次根式较复杂，学生常因运算能力不强而功亏一篑.故在此，教师搭设台阶引导学生比较椭圆标准方程推导中的二次根式的化简：移项，平方，整理，第二次平方，再整理，赋值，将含有两个根式之差的等式转化为含有a ，b ，c 三字母的整式，再化为等号右端为1的方程形式.教师对个别有困难的学生进行必要的指导，并选一名学生在黑板上书写化简过程，然后教师点评.有效的突破本节的教学难点.2、判断下列双曲线焦点的位置：思考：如何确定双曲线焦点的位置？能力提升：已知方程表示双曲线，则m 的取值X 围是__________【设计意图】观察、比较，发现问题;概括、归纳，解决问题，不仅加强了学生对所学知识的进一步理解，而且培养了学生自主探究和鉴别的能力，检验了学生的掌握情况.四 典型例题【例1】 已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5(1-F 、)0,5(2F ，双曲线上一点P 到1F 、2F 的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.【变式练习】两定点1(5,0)F -,2(5,0)F ,动点P 满足126PF PF -=,求动点P 的轨迹方程.【设计意图】数学概念是要在运用中得以巩固的，通过该例题使学生进一步理解双曲线的定义，掌握标准方程，使知识内化为智能.五 巩固与练习求适合下列条件的双曲线标准方程(1)a=4,b=5,焦点在y 轴(2)a=3,c=522222222(1)1,(2)1,(3)1,(4)143343443x y x y y x x y -=-=-=-=-22121x y m m -=++(3)焦点为(0,6) , (0，-6)且经过点（2，-5）【设计意图】检验学生对双曲线标准方程的掌握情况.六、本课小结：通过本节课的学习，你学到了哪些知识？你又掌握了哪些数学思想方法？双曲线标准方程与椭圆标准方程的比较：【设计意图】对比双曲线和椭圆的标准方程和c b a ,,的关系，有助于学生克服椭圆学习中的思维定势.七、作业：基础题：课本P61：1、2发展题：1 方程22322x y -=-表示的是双曲线吗？若是，写出焦点坐标；2 方程22221x y m m +=-表示焦距为3的双曲线，求m 的值；3 请给出一个焦距为2的双曲线的方程。