高考数学(理)考前抢分必做 考前回扣7 Word版含解析

“锁定70分”专项练41．设全集U ＝{x |x <9且x ∈Z }，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{3,4,5,6}，图中阴影部分所表示的集合为________．答案 {1,2,4,5,6}2．已知i 为虚数单位，则复数2i1＋i ＝________.答案 1＋i3．(·浙江改编)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是______________________． 答案 ∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2解析 原命题是全称命题，条件为∀x ∈R ，结论为∃n ∈N *，使得n ≥x 2，其否定形式为存在性命题，条件中改量词，并否定结论． 4． sin 47°cos 17°＋cos 47°cos 107°＝________. 答案 12解析 sin 47°cos 17°＋cos 47°cos 107°＝sin 47°cos 17°－cos 47°sin 17°＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝12.5．若k ∈R ，则k >3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的________________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 方程x 2k －3＋y 2－(k ＋3)＝1表示双曲线，只需满足(k －3)(－k －3)＜0，解得k ＞3或k ＜－3.所以k ＞3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的充分不必要条件．6．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，BB 1的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为________．答案 25解析 设正方体的边长为2，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(如图)，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，M (2,1,2)，N (2,2,1)．所以AM →＝(0,1,2)，CN →＝(2,0,1)， 所以cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AM →·CN →|AM →||CN →|＝25. 7．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E －A 1B 1C 1D 1的体积为V 1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．答案 19解析 连结B 1D 1∩A 1C 1＝F ，平面A 1BC 1∩平面BDD 1B 1＝BF ，因为E ∈平面A 1BC 1，E ∈平面BDD 1B 1，所以E ∈BF ，连结BD ，因为F 是A 1C 1的中点，所以BF 是中线， 又根据B 1F 平行且等于12BD ，所以EF EB ＝12，所以E 是△A 1BC 1的重心，那么点E 到平面A 1B 1C 1D 1的距离是BB 1的13，所以V 1＝13SA 1B 1C 1D 1×13BB 1，而V 2＝SA 1B 1C 1D 1×BB 1，所以V 1V 2＝19.8．设函数f (x )＝x a ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，则数列{1f (n )}的前9项和是________．答案3655解析由题意得函数f(x)＝x a＋ax的导函数f′(x)＝2x＋2，即ax a－1＋a＝2x＋2，所以a＝2，即f(x)＝x2＋2x，1f(n)＝1n(n＋2)＝12(1n－1n＋2)，所以S n＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－1n＋2)＝12(1＋12－1n＋1－1n＋2)，则S9＝12(1＋12－110－111)＝3655.9．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为________．答案13解析先排B，有A13(非第一与最后)种方法，再排A有A13(非第一)种方法，其余三个自由排，共有A13A13A33＝54(种)方法，这是总结果；学生C第一个出场，先排B，有A13(非第一与最后)种方法，再排A有A13种方法，C第一个出场，剩余2人自由排，故有A13A13A22＝18(种)，故学生C第一个出场的概率为1854＝13.10．已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1(a>0，b<0)的渐近线交于A，B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为－32，则ab的值是________．答案－32解析双曲线ax2＋by2＝1的渐近线方程可表示为ax2＋by2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y＝1－x，ax2＋by2＝0得(a＋b)x2－2bx＋b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2ba＋b，y1＋y2＝2aa＋b，所以原点和线段AB中点的直线的斜率为k＝y1＋y22x1＋x22＝y1＋y2x1＋x2＝ab＝－32.11．已知函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象如图所示，则该函数的解析式是______________．答案y＝2sin(27x＋π6)解析 由图知A ＝2，y ＝2sin(ωx ＋φ)，∵点(0,1)在函数的图象上，∴2sin φ＝1，解得sin φ＝12，φ＝π6.∵点(－7π12，0)在函数的图象上，可得2sin(－7π12ω＋π6)＝0，∴可得－7π12ω＋π6＝k π，k ∈Z ，解得ω＝27－12k7，k ∈Z ，∵ω＞0，∴当k ＝0时，ω＝27，∴y ＝2sin(27x ＋π6)．12．(·课标全国丙)执行下面的程序框图，如果输入的a ＝4，b ＝6，那么输出的n ＝________.答案 4解析 第一次循环a ＝6－4＝2，b ＝6－2＝4，a ＝4＋2＝6，s ＝6，n ＝1； 第二次循环a ＝4－6＝－2，b ＝4－(－2)＝6，a ＝6－2＝4，s ＝10，n ＝2； 第三次循环a ＝6－4＝2，b ＝6－2＝4，a ＝4＋2＝6，s ＝16，n ＝3；第四次循环a ＝4－6＝－2，b ＝4－(－2)＝6，a ＝6－2＝4，s ＝20，n ＝4，满足题意，结束循环． 13．(x ＋1)(1x－1)3的展开式中的常数项为______． 答案 －4解析 (1x －1)3的通项公式是T r ＋1＝C r 3(1x)3－r (－1)r＝323C (1)rr r x --－，所以原式中出现常数项则－3－r 2＝－1或－3－r 2＝0，解得r ＝1或r ＝3，所以其常数项为C 13(－1)＋C 33(－1)3＝－3－1＝－4.14．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝6，AD ＝DC ＝2，若AD →⊥DC →， 则AC →·BD →＝________. 答案 －8解析 因为AC →＝AD →＋DC →，BD →＝BA →＋AD →， 所以AC →·BD →＝(AD →＋DC →)·(BA →＋AD →) ＝AD →·BA →＋AD →2＋DC →·BA →＋DC →·AD → ＝0＋4＋(－12)＋0＝－8.。

“锁定70分”专项练21．(·课标全国丙改编)设集合A ＝{0,2,4,6,8,10}，B ＝{4,8}，则∁A B 等于________． 答案 {0,2,6,10}2．若复数z 满足z i ＝1＋2i ，则z 的共轭复数是________．答案 2＋i解析 ∵z i ＝1＋2i ，∴z ＝1＋2i i＝2－i ，∴z ＝2＋i. 3．(·北京改编)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案 既不充分也不必要解析 若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为菱形，a ＋b ，a －b 表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，所以“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．4．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中0<φ<2π，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，则φ＝________.答案 7π6解析 若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立， 所以f (x )max ＝|f (π6)|＝|sin(2×π6＋φ)|＝|sin(π3＋φ)|， 即π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 又0<φ<2π，所以φ＝π6或φ＝7π6， 当φ＝π6时，f (π2)＝sin(π＋π6)＝－sin π6＝－12， f (π)＝sin(2π＋π6)＝sin π6＝12，f (π2)＜f (π)， 不合题意，当φ＝7π6时，f (π2)＝sin(π＋7π6)＝－sin 7π6＝12， f (π)＝sin(2π＋7π6)＝sin 7π6＝－12，f (π2)＞f (π)，符合题意，所以φ＝7π6. 5．(·课标全国丙改编)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝________. 答案 31010解析 设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，BD ＝13BC ，DC ＝23BC ，tan ∠BAD ＝1，tan ∠CAD ＝2，tan A ＝1＋21－1×2＝－3，所以sin A ＝31010. 6．已知{a n }为等比数列， a 1>0，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 4＋a 7＋a 10＝________. 答案 －5解析 由等比数列性质可得a 5a 6＝a 4a 7＝－8，又a 4＋a 7＝2，解之得a 4＝－2或a 7＝4或a 7＝－2，a 4＝4，因为a 7＝a 1q 6>0，所以a 4＝－2，a 7＝4，a 7＝a 4q 3＝－2q 3＝4，所以q 3＝－2，所以a 1＝a 4q3＝1，a 10＝a 7q 3＝－8，所以a 1＋a 4＋a 7＋a 10＝－5. 7．设随机变量X ～B ( n , p )，且E (X )＝6，V (X )＝3，则P (X ＝1)＝________.答案 31 024解析 根据二项分布的均值和方差公式，有⎩⎪⎨⎪⎧np ＝6，np (1－p )＝3， 解得n ＝12，p ＝12， 所以P (X ＝1)＝C 112(12)12＝31 024. 8．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图和第n 个图中小正方形的个数分别为________．答案 28，(n ＋1)(n ＋2)2解析 观察所给图形的小正方形，可得a n －a n －1＝n ＋1(n ≥2，n ∈N )，即a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝4，…，a n －a n －1＝n ＋1，这n －1个式子相加得到a n －a 1＝(n －1)(3＋n ＋1)2＝(n －1)(n ＋4)2，a 1＝3，解得a n ＝(n －1)(n ＋4)2＋3＝n 2＋3n ＋22＝(n ＋1)(n ＋2)2，验证n ＝1成立，当n ＝6时，a n ＝28.9．定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，已知f (x ＋1)是偶函数，(x －1)f ′(x )<0，若x 1<x 2且x 1＋x 2>2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为________．答案 f (x 1)>f (x 2)解析 因为f (x ＋1)是偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，则f (x )的图象关于x ＝1对称，由(x －1)f ′(x )＜0得，x ＞1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；x ＜1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．若x 1≤1，由x 1＋x 2>2，得x 2>2－x 1≥1，所以f (x 1)＝f (2－x 1)>f (x 2)；若x 1>1，则1<x 1<x 2，所以f (x 1)>f (x 2)．综上知f (x 1)>f (x 2)．10．如图是一个算法的程序框图，最后输出的S ＝________.答案 25解析 因为a ＝1时，P ＝9＞0，则S ＝9，此时a ＝2，P ＝16>9，继续可得S ＝16，将a ＝3代入得P ＝21>16，则得S ＝21，将a ＝4代入得P ＝24>21，则S ＝24，将a ＝5代入得P ＝25>24，得S ＝25，将a ＝6代入得P ＝24<25，此时输出S ＝25.11．若⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≤0，x ＋y ≥0，y ≤a ，若z ＝x ＋2y 的最大值为3，则a 的值是________．答案 1解析 画出可行域如图所示，A (a ，a )为最优解，故z ＝3a ＝3，a ＝1.12．如图，已知△ABC 的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若|AB →|＝3，|AC →|＝5，则(AP →＋AQ →)·(AB →－AC →)的值为________．答案 －16解析 (AP →＋AQ → )·(AB →－AC → )＝(QP →＋2AQ → )·(AB →－AC → )＝QP → ·(AB →－AC → )＋2AQ → ·(AB →－AC → )＝QP →·CB →＋2AQ →·(AB →－AC →)＝2AQ →·(AB →－AC →)＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝9－25＝－16.13．设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________.答案 324解析 设P (－c ，y 0)，代入双曲线C ∶x 2a 2－y 2b2＝1， 得y 20＝(b 2a )2，由题意知y 0＜0，∴y 0＝－b 2a， 又∵P 在直线y ＝b 3ax 上，代入得c ＝3b ， 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴e ＝c a ＝324.14．如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的上、下底面中心分别为O 1，O 2，将正方体绕直线O 1O 2旋转一周，其中由线段BC 1旋转所得图形是________．答案④解析由图形的形成过程可知，在图形的面上能够找到直线，在②④中选，显然②不对，因为BC1中点绕O1O2旋转得到的圆比B点和C1点的小，故④正确．。

“12＋4”专项练71。

已知全集U ＝R ，A ＝{y ｜y ＝2x ＋1}，B ＝{x |ln x ＜0｝，则(∁U A ）∩B 等于( )A.∅B.{x ｜错误!＜x ≤1｝C 。

{x |x ＜1｝D.｛x |0＜x ＜1}答案 D2。

设a ，b ∈R ，且i （a ＋i ）＝b －i ，则a －b 等于( )A 。

2B.1C.0D.－2答案 C3.命题“∀n ∈N *，f (n ）∈N ＊且f (n )≤n ”的否定形式是( ）A 。

∀n ∈N ＊，f （n ）∈N ＊且f （n ）>nB 。

∀n ∈N ＊，f （n )∉N *且f （n )〉nC.∃n 0∈N *，f (n 0）∈N *或f (n 0)〉n 0 D 。

∃n 0∈N ＊，f （n 0)∉N *或f (n 0）〉n 0答案 D4。

(2016·四川)为了得到函数y ＝sin 错误!的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( ）A.向左平行移动错误!个单位长度 B 。

向右平行移动错误!个单位长度C 。

向左平行移动错误!个单位长度 D.向右平行移动错误!个单位长度答案 D解析 由题可知,y ＝sin 错误!＝sin 错误!，则只需把y ＝sin 2x 的图象向右平移错误!个单位，故选D 。

5.下列结论错误的是( ）A.命题“若p ,则q ”与命题“若綈q ，则綈p ”互为逆否命题B.命题p ：“∀x ∈[0,1］，1≤e x ≤e （e 是自然对数的底数），命题q ：“∃x 0∈R ，x 错误!＋x 0＋1〈0”，则p ∨q 为真C.“am 2<bm 2”是“a 〈b ”成立的必要不充分条件D 。

若p ∨q 为假命题，则p 、q 均为假命题答案 C6.将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位长度,再向上平移1个单位长度，所得函数图象对应的解析式为（ ) A 。

y ＝sin （2x －错误!)＋1B.y ＝2cos 2x C 。

“锁定 70 分”专项练 71．复数 z ＝ 5＋ i的虚部为 ________．1＋i 答案－ 22．命题 p ： ? x 0∈ R ， x 0>1 的否认是 ____________ ．答案 ? x ∈ R ， x ≤ 13．设平面 α与平面 β订交于直线 l ，直线 a 在平面 α内，直线 b 在平面 β内，且 b ⊥ l ，则“a ⊥ b ”是“ α⊥β”的 ________条件． (填“充足不用要”“必需不充足”“充要”或“既不充足也不用要” )答案 必需不充足π4． (2016 课·标全国甲改编 )若将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 ______________．k π π答案 x ＝ 2 ＋6( k ∈ Z )分析 由题意将函数y ＝ 2sin2x 的图象向左平移πy ＝12个单位长度后获得函数的分析式为ππ πk π π，由 2x ＋ ＝ k π＋2(k ∈ Z )，得函数的对称轴为＋2sin 2x ＋66x ＝ 2 6(k ∈ Z )．5．(2016 四·川雅安天全中学期中 )已知数列 { a n } 知足 a n ＋ 1＝ a n ＋ 2n 且 a 1＝2，则数列 { a n } 的通 项公式 a n ＝ ________. 答案 n 2－ n ＋ 2分析 a n ＋ 1＝ a n ＋ 2n ， ∴ a n ＋1 －a n ＝2n ，采纳累加法可得a n － a 1＝( a n － a n －1) ＋(a n －1－ a n － 2)＋ ＋ (a 2－ a 1)＝ 2(n － 1)＋ 2(n － 2)＋ ＋ 2＝ n 2－ n.∴a n ＝ n 2－ n ＋ 2.6． (2016 江·西金溪一中期中 )已知以下四个等式：21× 1＝ 222× 1× 3＝ 3× 423× 1× 3× 5＝ 4× 5× 624× 1× 3× 5× 7＝ 5× 6×7× 8依此类推，猜想第 n 个等式为 __________________ ．答案 2n × 1× 3× 5× 7× × (2n － 1)＝ (n ＋ 1)×( n ＋ 2)× (n ＋ 3)× × (n ＋n)分析 察看给出的四个等式能够发现第n 个等式的左侧是 2n 乘上从 1 开始的 n 个奇数，右侧是从 (n ＋ 1) 开始的 n 个连续正整数的积，依据这一规律即可概括出第n 个等式为2n × 1× 3× 5× 7× × (2n － 1)＝ (n ＋ 1)× (n ＋ 2)× (n ＋3) × × (n ＋ n)．→→ → → →→7．在△ ABC 中，若 |AB ＋ AC|＝ |AB － AC|，AB ＝ 2，AC ＝ 1，E ，F 为 BC 边的三平分点， 则 AE ·AF＝ ________.答案109→→ → → → →＝0，分析 ∵ |AB ＋ AC |＝ |AB － AC|， ∴ AB ·AC→ →即AB ⊥AC ，如图成立平面直角坐标系， ∵ AB ＝ 2，AC ＝ 1， E ，F 为 BC 边的三平分点，2 24 1 → → 10∴E(3， 3)， F(3，3)， AE ·AF ＝ 9 .8．设棱长为 a 的正方体的体积和表面积分别为 V 1，S 1，底面半径高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为 V 2， S 2，若V 1＝ 3，则S 1的值为 ________．V 2 πS 2答案3 2π分析 圆锥的母线 l ＝r 2＋ r 2＝ 2r.V 1＝ a 3， S 1＝ 6a 2，V 2＝13πr 3， S 2＝ πrl ＝ 2πr 2.3V 1 a∵ ＝V 2 13πr 3＝ 3， ∴a ＝ r . π∴S 1＝ 6a 22＝3 2 . S 22πrπ9．已知△ ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 5tanB ＝ 2 6ac2 2，则 sinB 的值a ＋ c － b是________．答案 35a 2＋ c 2－b 26ac6ac 3分析 ∵ cosB ＝， ∴ 5tanB＝a 2＋ c 2－ b 2＝ 2accosB ＝ cosB ，2ac∴ 5sinB ＝ 3， ∴sinB ＝ 3.510． A ，B ，C 三点与 D ，E ，F ，G 四点分别在一个以O 为极点的角的不一样的两边上，则在A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ， O 这 8 个点中任选三个点作为三角形的三个极点，可组成的三角形的个数为 ________．答案 42分析 由题意得三点不可以共线，可用间接法，所以可组成的三角形的个数为C 38－ C 34－ C 35＝ 42.x － y ＋ 2≥ 0，11．设变量x ， y 知足拘束条件 2x ＋ 3y － 6≥0，则目标函数z ＝ 2x ＋ 5y 的最小值为3x ＋ 2y － 9≤ 0，________． 答案 6分析 由拘束条件作出可行域以下图，目标函数可化为y ＝－2 1 y ＝5x ＋ z ，在图中画出直线52－ 5x ，平移该直线，易知经过点 A 时 z 最小．又知点 A 的坐标为 (3,0)，∴ z min ＝2× 3＋ 5×0＝ 6.2y212． (2016 课·标全国乙改编 x－＝ 1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间22)已知方程 m ＋ n 3m － n的距离为 4，则 n 的取值范围是 ________．答案 (－ 1,3)分析 ∵方程x 2y 2＝ 1 表示双曲线，－m 2＋ n 3m 2－ n∴ ( m 2＋ n) ·(3m 2－ n)>0 ，解得－ m 2<n<3m 2，由双曲线性质，知c 2＝ (m 2＋ n)＋ (3m 2－ n) ＝ 4m 2(此中 c 是半焦距 )，∴焦距 2c ＝2× 2|m|＝ 4，解得 |m|＝ 1，∴－ 1<n<3.13．设函数 y ＝ f( x)的定义域为 D ，若关于随意的 x 1， x 2∈ D ，当 x 1＋ x 2＝ 2a 时，恒有 f(x 1)＋f(x 2)＝2b ，则称点 ( a ， b)为函数 y ＝ f(x)图象的对称中心，研究函数f(x)＝ x 3＋ sinx ＋ 2 的某一1919个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可获得 f(－ 1)＋ f － 20 ＋ ＋ f 20 ＋ f(1) ＝________. 答案 82分析 由 f(x) ＝x 3 ＋ sinx ＋ 2 知当 x 1＋ x 2＝ 2× 0 时，f(x 1)＋f(x 2)＝ 2× 2.∵－ 1＋ 1＝2× 0，－191920＋20＝ 2× 0， ，19 191919∴f(－ 1)＋ f(1)＝ 2× 2，f － 20 ＋ f 20 ＝2× 2， ，则 f( －1)＋ f － 20 ＋ ＋f 20 ＋ f(1)＝20× 2× 2＋ 2＝ 82.14．定义在 (0，＋∞ )上的函数f(x) 知足：对 ? x ∈ (0，＋∞ )，都有 f(2x)＝ 2f(x)；当 x ∈ (1,2]时， f(x)＝ 2－x ，给出以下结论，此中全部正确结论的序号是________．①对 ? m ∈ Z ，有 f(2m )＝ 0；②函数 f(x) 的值域为 [0，＋∞ )；③存在 n ∈ Z ，使得 f(2 n ＋ 1)＝ 9；④函数 f(x) 在区间 (a ， b)单一递减的充足条件是“存在 k ∈ Z ，使得 (a ， b)? (2k,2k ＋1)”．答案 ①②④mm 1 m1 分析 ① f(2 )＝ f(2 ·2 －)＝ 2f(2 －)＝＝ 2m －1f(2)，正确；m, m ＋1xxxx2 xmx m②取 x ∈ (22 )，则 m，f m＝ 2－ m2 ＝ 2 f 2＝ ＝ 2 f m＝ 22 ∈ (1,2] 2 2 ，进而 f(x)＝ 2f 2 2＋1－ x ，此中， m ＝0,1,2， ，所以 f(x)∈ [0，＋ ∞ )，正确；③ f (2n＋ 1)＝ 2n ＋1－2n －1，假定存在 n 使 f(2n ＋ 1)＝ 9，即存在 x 1，x 2,2x 1－2x 2＝ 10，又 2x 变化以下： 2,4,8,16,32，明显不存在，所以该命题错误；④依据 ② 可知：由 ② 知当 x? (2 k,2k ＋ 1)时， f(x)＝ 2k ＋1－ x 单一递减，为减函数，所以函数f( x)在区间 (a ， b)单一递减的充足条件是“存在 k ∈ Z ，使得 (a ， b)? (2k,2k＋1)， ” 所以正确，故答案为 ①②④ .“。

回扣概率与统计
牢记概念与公式
()概率的计算公式
①古典概型的概率计算公式
()＝；
②互斥事件的概率计算公式
(∪)＝()＋()；
③对立事件的概率计算公式
()＝－()；
④几何概型的概率计算公式
()＝.
()抽样方法
简单随机抽样、分层抽样、系统抽样．
①从容量为的总体中抽取容量为的样本，则每个个体被抽到的概率都为；
②分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量．
()统计中四个数据特征
①众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．
②中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．
③平均数：样本数据的算术平均数，
即＝(＋＋…)．
④方差与标准差：
方差：＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]．
标准差：
＝.
()直方图的三个结论
①小长方形的面积＝组距×＝频率．
②各小长方形的面积之和等于.
③小长方形的高＝，所有小长方形高的和为. ()八组公式
①离散型随机变量的概率分布的两个性质
Ⅰ≥(＝，…，)；Ⅱ＋＋…＋＝.
②均值公式
()＝＋＋…＋.
③均值的性质
Ⅰ(＋)＝()＋；
Ⅱ.若～(，)，则()＝；
Ⅲ.若服从两点分布，则()＝.
④方差公式
()＝[－()]·＋[－()]·＋…＋[－()]·，标准差.
⑤方差的性质
Ⅰ(＋)＝()；
Ⅱ.若～(，)，则()＝(－)；
Ⅲ.若服从两点分布，则()＝(－)．。

中档大题规范练中档大题规范练1 三角函数1.(2016·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小.(1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ， 故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B ) ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是sin B ＝sin(A －B ).又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . (2)解 由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，由sin B ≠0，得sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.2.(2016·北京)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间.解 (1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2⎝⎛⎭⎫22sin 2ωx ＋22cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4， 由ω＞0，f (x )的最小正周期为π，得2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z ，即f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z ). 3.已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1，x ∈R . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的最大值及取得最大值时x 的集合. 解 (1)f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1 ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin(2x －π4)，令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为[k π－π8，k π＋3π8](k ∈Z ).(2)由已知，得g (x )＝2sin(x ＋π4)，∴当sin(x ＋π4)＝1，即x ＋π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，也即x ＝2k π＋π4(k ∈Z )时，g (x )max ＝ 2.∴当{x |x ＝2k π＋π4(k ∈Z )}时，g (x )的最大值为 2.4.(2016·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc .(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .(1)证明 根据正弦定理，可设 a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k (k >0)， 则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C . 代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C，变形可得sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ).在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C .所以sin A sin B ＝sin C . (2)解 由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B .故tan B ＝sin B cos B＝4.5.已知向量m ＝(3sin x ，cos x )，n ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，设f (x )＝m·n . (1)求函数f (x )的解析式及单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a ＝1，b ＋c ＝2，f (A )＝1，求△ABC 的面积.解 (1)f (x )＝m·n ＝3sin x cos x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin(2x ＋π6)＋12，由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得，－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为[－π3＋k π，π6＋k π]，k ∈Z .(2)∵f (A )＝1，∴sin(2A ＋π6)＝12，∵0<A <π，∴π6<2A ＋π6<13π6，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得1＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝4－3bc ，∴bc ＝1，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34.中档大题规范练2 立体几何与空间向量1.如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A ＝PD ＝2，P A ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1，O 为AD 的中点.(1)求证：PO ⊥平面ABCD ； (2)求B 点到平面PCD 的距离；(3)线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q —AC —D 的余弦值为63？若存在，求出PQ QD的值；若不存在，请说明理由.(1)证明 因为P A ＝PD ＝2，O 为AD 的中点， 所以PO ⊥AD ，因为侧面P AD ⊥底面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD .(2)解 以O 为原点，OC ，OD ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，则B (1，－1，0)，C (1，0，0)，D (0，1，0)，P (0，0，1).PB →＝(1，－1，－1)，设平面PDC 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，CP →＝(－1，0，1)，PD →＝(0，1，－1).则⎩⎪⎨⎪⎧u ·CP ，→＝－x ＋z ＝0，u ·PD ，→＝y －z ＝0，取z ＝1，得u ＝(1，1，1)，B 点到平面PDC 的距离 d ＝|BP ，→·u ||u |＝33.(3)解 假设存在，则设PQ →＝λPD →(0<λ<1)， 因为PD →＝(0，1，－1)，所以Q (0，λ，1－λ)，设平面CAQ 的法向量为m ＝(a ，b ，c )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC ，→＝0，m ·AQ ，→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，(λ＋1)b ＋(1－λ)c ＝0，所以取m ＝(1－λ，λ－1，λ＋1)， 平面CAD 的法向量n ＝(0，0，1)， 因为二面角Q —AC —D 的余弦值为63， 所以|m·n||m||n |＝63，所以3λ2－10λ＋3＝0，所以λ＝13或λ＝3(舍去)，所以PQ QD ＝12.2.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，F 为D 1E 上的一点，D 1F ＝2FE .(1)证明：平面DFC ⊥平面D 1EC ； (2)求二面角A —DF —C 的大小.(1)证明 以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A (1，0，0)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，D 1(0，0，2). ∵E 为AB 的中点， ∴E 点坐标为(1，1，0)， ∵D 1F ＝2FE ，∴D 1F →＝23D 1E →＝23 (1，1，－2)＝(23，23，－43)，DF →＝DD 1→＋D 1F →＝(0，0，2)＋(23，23，－43)＝(23，23，23).设n ＝(x ，y ，z )是平面DFC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DF →＝0，n ·DC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y ＋23z ＝0，2y ＝0，取x ＝1得平面FDC 的一个法向量n ＝(1，0，－1). 设p ＝(x ，y ，z )是平面ED 1C 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ p ·D 1F →＝0，p ·D 1C →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y －43z ＝0，2y －2z ＝0，取y ＝1得平面D 1EC 的一个法向量p ＝(1，1，1). ∵n·p ＝(1，0，－1)·(1，1，1)＝0， ∴平面DFC ⊥平面D 1EC .(2)解 设q ＝(x ，y ，z )是平面ADF 的法向量， 则q ·DF →＝0，q ·DA →＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y ＋23z ＝0，x ＝0，取y ＝1得平面ADF 的一个法向量q ＝(0，1，－1)， 设二面角A —DF —C 的平面角为θ， 由题中条件可知θ∈(π2，π)，则cos θ＝－|n·q|n|·|q ||＝－0＋0＋12×2＝－12，∴二面角A —DF —C 的大小为120°.3.如图所示，在直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点.(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； (2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值.解 (1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，D (1，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4)，所以A 1B →＝(2，0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4).因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B ，→·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 因为AD →＝(1，1，0)，AC 1→＝(0，2，4)， 所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→＝0， 即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0， 取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以n 1＝(2，－2，1)是平面ADC 1的一个法向量. 取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0，1，0)， 设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ. 由|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝29×1＝23， 得sin θ＝53. 因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53. 4.如图，在四棱锥P —ABCD 中，平面P AD ⊥底面ABCD ，其中底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，P A ＝AB ＝BC ＝CD ＝2，PD ＝23，P A ⊥PD ，Q 为PD 的中点.(1)证明：CQ ∥平面P AB ； (2)求二面角D —AQ —C 的余弦值.(1)证明 如图所示，取P A 的中点N ，连接QN ，BN .在△P AD 中，PN ＝NA ，PQ ＝QD ， 所以QN ∥AD ，且QN ＝12AD .在△APD 中，P A ＝2，PD ＝23，P A ⊥PD ， 所以AD ＝P A 2＋PD 2＝22＋(23)2＝4， 而BC ＝2，所以BC ＝12AD .又BC ∥AD ，所以QN ∥BC ，且QN ＝BC ， 故四边形BCQN 为平行四边形，所以BN ∥CQ . 又CQ ⊄平面P AB ，BN ⊂平面P AB ，所以CQ ∥平面P AB .(2)解 如图，在平面P AD 内，过点P 作PO ⊥AD 于点O ，连接OB .因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PO ⊥平面ABCD . 又PO ⊥AD ，AP ⊥PD ，所以PO ＝AP ×PD AD ＝2×234＝3，故AO ＝AP 2－PO 2＝22－(3)2＝1.在等腰梯形ABCD 中，取AD 的中点M ，连接BM ，又BC ＝2，AD ＝4，AD ∥BC ，所以DM ＝BC ＝2，DM ∥BC ，故四边形BCDM 为平行四边形. 所以BM ＝CD ＝AB ＝2.在△ABM 中，AB ＝AM ＝BM ＝2，AO ＝OM ＝1，所以BO ⊥AD .又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以BO ⊥平面P AD .如图，以O 为坐标原点，分别以OB ，OD ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，D (0，3，0)，A (0，－1，0)，B (3，0，0)，P (0，0，3)，C (3，2，0)，则AC →＝(3，3，0).因为Q 为DP 的中点，故Q ⎝⎛⎭⎫0，32，32，所以AQ →＝⎝⎛⎭⎫0，52，32.设平面AQC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥AC →，m ⊥AQ →，可得⎩⎨⎧m ·AC →＝3x ＋3y ＝0，m ·AQ →＝52y ＋32z ＝0，令y ＝－3，则x ＝3，z ＝5.故平面AQC 的一个法向量为m ＝(3，－3，5). 因为BO ⊥平面P AD ，所以OB →＝(3，0，0)是平面ADQ 的一个法向量.故cos 〈OB →，m 〉＝OB →·m |OB →|·|m |＝333·32＋(－3)2＋52＝337＝33737.从而可知二面角D —AQ —C 的余弦值为33737.5.在四棱锥P —ABCD 中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝PD ＝1，CD ＝2.(1)求证：BC ⊥平面PBD ；(2)在线段PC 上是否存在一点Q ，使得二面角Q —BD —P 为45°？若存在，求PQPC的值；若不存在，请说明理由.(1)证明 平面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ， 所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD . 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz ，则A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，2，0)，P (0，0，1)， DB →＝(1，1，0)，BC →＝(－1，1，0)， 所以BC →·DB →＝0，BC ⊥DB ，又由PD ⊥平面ABCD ，可得PD ⊥BC ， 因为PD ∩BD ＝D ， 所以BC ⊥平面PBD .(2)解 平面PBD 的法向量为BC →＝(－1，1，0)， PC →＝(0，2，－1)，设PQ →＝λPC →，λ∈(0，1)， 所以Q (0，2λ，1－λ)，设平面QBD 的法向量为n ＝(a ，b ，c )， DB →＝(1，1，0)，DQ →＝(0，2λ，1－λ)， 由n ·DB →＝0，n ·DQ →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，2λb ＋(1－λ)c ＝0， 令b ＝1，所以n ＝(－1，1，2λλ－1)， 所以cos 45°＝|n ·BC →||n ||BC →|＝222＋(2λλ－1)2＝22， 注意到λ∈(0，1)，得λ＝2－1，所以在线段PC 上存在一点Q ，使得二面角Q —BD —P 为45°，此时PQPC ＝2－1.中档大题规范练3 数 列1.(2016·课标全国甲)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1. (1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和.解 (1)设{a n }的公差为d ，据已知有7＋21d ＝28， 解得d ＝1.所以{a n }的通项公式为a n ＝n . b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2. (2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n <10，1，10≤n <100，2，100≤n <1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893. 2.在数列{a n }中，a 1＝1，a 4＝7，a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *). (1)求数列a n 的通项公式；(2)若b n ＝1n (3＋a n )(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)， ∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n (n ∈N *)， 即数列{a n }为等差数列， ∵a 1＝1，a 4＝7，∴公差d ＝a 4－a 13＝7－13＝2，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. (2)∵a n ＝2n －1，∴b n ＝1n (3＋a n )＝1n (3＋2n －1)＝12·1n (n ＋1)＝12·(1n －1n ＋1)，∴S n ＝12·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝12·(1－1n ＋1).3.已知数列{a n }是递增的等比数列，满足a 1＝4，且54a 3是a 2，a 4的等差中项，数列{b n }满足b n ＋1＝b n ＋1，其前n 项和为S n ，且S 2＋S 6＝a 4. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为T n ，若不等式n log 2(T n ＋4)－λb n ＋7≥3n 对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 则q >1，a n ＝4q n －1， ∵54a 3是a 2，a 4的等差中项， ∴2×54a 3＝a 2＋a 4，即2q 2－5q ＋2＝0. ∵q >1，∴q ＝2， ∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1.依题意，数列{b n }为等差数列，公差d ＝1， 又S 2＋S 6＝a 4＝32，∴(2b 1＋1)＋6b 1＋6×52＝32，∴b 1＝2，∴b n ＝n ＋1. (2)∵a n ＝2n ＋1，∴T n ＝4(2n －1)2－1＝2n ＋2－4.不等式n log 2(T n ＋4)－λb n ＋7≥3n 化为 n 2－n ＋7≥λ(n ＋1)， ∵n ∈N *，∴λ≤n 2－n ＋7n ＋1对一切n ∈N *恒成立.而n 2－n ＋7n ＋1＝(n ＋1)2－3(n ＋1)＋9n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－3≥2(n ＋1)9n ＋1－3＝3，当且仅当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝2时等号成立， ∴λ≤3.4.在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 3，3a 2，a 4成等差数列. (1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝(n ＋2)log 2a n ，求数列{1b n }的前n 项和T n .解 (1)由已知6a 2＝a 3＋a 4， 则6a 2＝a 2q ＋a 2q 2， 即q 2＋q －6＝0，又q >0，所以q ＝2，a n ＝2n .(2)b n ＝(n ＋2)log 22n ＝n (n ＋2)， 则1b n ＝12(1n －1n ＋2)， T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝12(1－13)＋12(12－14)＋…＋12(1n －1－1n ＋1)＋12(1n －1n ＋2) ＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2) ＝34－2n ＋32(n 2＋3n ＋2). 5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6＋a 8＝－10，S 10＝－35. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n2n －1}的前n 项和T n .解 (1)由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝－5，2a 1＋9d ＝－7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1，所以a n ＝1－(n －1)＝2－n . (2)因为a n 2n －1＝12n －2－n ·12n －1，所以T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－(1＋2×12＋3×122＋…＋n ·12n －1)，令S n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2，S n ′＝1＋2×12＋3×122＋…＋n ·12n －1，则T n ＝S n －S n ′，因而S n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2＝2(1－12n )12＝4(1－12n )＝4－12n －2，因为S n ′＝1＋2×12＋3×122＋…＋n ·12n －1，所以12S n ′＝12＋2×122＋3×123＋…＋n ·12n ，以上两式两边相减可得12S n ′＝1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－n ·12n ＝1－12n1－12－n ·12n ＝2－12n －1－n ·12n ，所以S n ′＝4－12n －2－n ·12n －1，因此T n ＝S n －S n ′＝n2n －1.中档大题规范练4 概率与统计1.(2016·北京)A ，B ，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：(1)试估计C 班的学生人数；(2)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取1人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； (3)再从A ，B ，C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25(单位：小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小(结论不要求证明). 解 (1)C 班学生人数约为100×85＋7＋8＝100×820＝40.(2)设事件A i 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”，i ＝1，2，...，5， 事件C j 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”，j ＝1，2， (8)由题意可知P (A i )＝15，i ＝1，2，…，5；P (C j )＝18，j ＝1，2， (8)P (A i C j )＝P (A i )P (C j )＝15×18＝140，i ＝1，2，...，5，j ＝1，2， (8)设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，由题意知，E ＝A 1C 1∪A 1C 2∪A 2C 1∪A 2C 2∪A 2C 3∪A 3C 1∪A 3C 2∪A 3C 3∪A 4C 1∪A 4C 2∪A 4C 3∪A 5C 1∪A 5C 2 ∪A 5C 3∪A 5C 4.因此P (E )＝P (A 1C 1)＋P (A 1C 2)＋P (A 2C 1)＋P (A 2C 2)＋P (A 2C 3)＋P (A 3C 1)＋P (A 3C 2)＋P (A 3C 3)＋P (A 4C 1)＋P (A 4C 2)＋P (A 4C 3)＋P (A 5C 1)＋P (A 5C 2)＋P (A 5C 3)＋P (A 5C 4)＝15×140＝38.(3)μ1＜μ0.2.某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩(单位：cm).跳高成绩在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“合格”，成绩在175 cm 以下定义为“不合格”.鉴于乙队组队晚，跳高成绩相对较弱，为激励乙队队员，学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队.(1)求甲队队员跳高成绩的中位数；(2)如果将所有的运动员按“合格”与“不合格”分成两个层次，用分层抽样抽取“合格”与“不合格”的人数共5人，则各层应抽取多少人？(3)若从所有“合格”运动员中选取2名，用X 表示所选运动员中甲队能参加市运动会开幕式旗林队的人数，试写出X 的分布列，并求X 的均值.解 (1)由茎叶图知，甲田径队12名队员的跳高成绩从小到大排列后中间的两个成绩为176、178，故中位数为12(176＋178)＝177.(2)由茎叶图可知，甲、乙两队合格人数为12，不合格人数为18，所以抽取五人，合格人数为530×12＝2，不合格人数为530×18＝3. (3)X ＝0，1，2，P (X ＝0)＝C 24C 212＝111，P (X ＝1)＝C 18C 14C 212＝1633，P (X ＝2)＝C 28C 212＝1433.故X 的分布列为E (X )＝0×111＋1×1633＋2×1433＝43.3.安排5个大学生到A ，B ，C 三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的. (1)求5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率； (2)设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列.解 (1)5个大学生到三所学校支教的所有可能为35＝243(种)，设“恰有2个人去A 校支教”为事件M ，则有C 25·23＝80(种)，∴P (M )＝80243. 即5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率为80243.(2)由题意得：ξ＝1，2，3， ξ＝1⇒5人去同一所学校，有C 13＝3(种)，∴P (ξ＝1)＝3243＝181，ξ＝2⇒5人去两所学校，即分为4，1或3，2有C 23·(C 45＋C 35)·A 22＝90(种)，∴P (ξ＝2)＝90243＝3081＝1027，ξ＝3⇒5人去三所学校，即分为3，1，1或2，2，1有(C 35·C 12·12！＋C 25·C 23·12！)·A 33＝150(种)，∴P (ξ＝3)＝150243＝5081. ∴ξ 的分布列为4.甲、乙两人进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点A ，在点A 处投中一球得2分，不中得0分；在距篮筐3米线外设一点B ，在点B 处投中一球得3分，不中得0分，已知甲、乙两人在A 点投中的概率都是12，在B 点投中的概率都是13，且在A ，B 两点处投中与否相互独立，设定甲、乙两人先在A 处各投篮一次，然后在B 处各投篮一次，总得分高者获胜. (1)求甲投篮总得分ξ的分布列和均值； (2)求甲获胜的概率.解 (1)设“甲在A 点投中”为事件A ，“甲在B 点投中”为事件B ，根据题意，ξ的可能取值为0，2，3，5，则P (ξ＝0)＝P (A B )＝(1－12)×(1－13)＝13，P (ξ＝2)＝P (A B )＝12×(1－13)＝13，P (ξ＝3)＝P (A B )＝(1－12)×13＝16，P (ξ＝5)＝P (AB )＝12×13＝16.所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×13＋2×13＋3×16＋5×16＝2.(2)同理，乙的总得分η的分布列为甲获胜包括：甲得2分、3分、5分三种情形，这三种情形之间彼此互斥.因此，所求事件的概率为P ＝P (ξ＝2)×P (η＝0)＋P (ξ＝3)×P (η<3)＋P (ξ＝5)×P (η<5)＝13×13＋16×(13＋13)＋16×(1－16)＝1336. 5.某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制， 已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表， 规定：A 、B 、C 三级为合格等级，D 为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况， 从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计， 按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图如图1所示， 样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.(1)求n 和频率分布直方图中x ，y 的值；(2)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人， 求至少有1人成绩是合格等级的概率；(3)在选取的样本中， 从A 、C 两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研， 记ξ表示所抽取的3名学生中为C 等级的学生人数， 求随机变量ξ的分布列及均值. 解 (1)n ＝60.012×10＝50，x ＝250×10＝0.004，y ＝1－0.04－0.1－0.12－0.5610＝0.018.(2)成绩是合格等级人数为(1－0.1)×50＝45， 抽取的50人中成绩是合格等级的频率为910，故从该校学生中任选1人， 成绩是合格等级的概率为910，设在该校高一学生中任选3人， 至少有1人成绩是合格等级的事件为A ， 则P (A )＝1－C 03×(1－910)3＝9991 000. (3) 由题意可知C 等级的学生人数为0.18×50＝9，A 等级的学生人数为3， 故ξ的取值为0，1，2，3，则P (ξ＝0)＝C 33C 312＝1220，P (ξ＝1)＝C 19C 23C 312＝27220，P (ξ＝2)＝C 29C 13C 312＝108220＝2755，P (ξ＝3)＝C 39C 312＝84220＝2155，所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×1220＋1×27220＋2×2755＋3×2155＝94.。

回扣复数、算法、推理与证明
.复数的相关概念及运算法则
()复数＝＋(，∈)的分类
①是实数⇔＝.
②是虚数⇔≠.
③是纯虚数⇔＝且≠.
()共轭复数
复数＝＋的共轭复数＝－.
()复数的模：
复数＝＋的模＝.
()复数相等的充要条件
＋＝＋⇔＝且＝(，，，∈).
特别地，＋＝⇔＝且＝(，∈).
()复数的运算法则
加减法：(＋)±(＋)＝(±)＋(±)；
乘法：(＋)(＋)＝(－)＋(＋)；
除法：(＋)÷(＋)＝＋；
其中，，，∈.
.复数的几个常见结论
()(±)＝±；
()＝，＝－；
()＝，＋＝，＋＝－，＋＝－，＋＋＋＋＋＋＝(∈)；
()ω＝－±，且ω＝，ω＝，ω＝，＋ω＋ω＝.
.程序框图的三种基本逻辑结构
()顺序结构：如图()所示.
()条件结构：如图()和图()所示.
()循环结构：如图()和图()所示.
程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；流程线带有方向箭头，按照算法进行的顺序将程序框连接起来.程序框图的基本逻辑结构包括顺序结构、条件结构和循环结构三种.
.推理
推理分为合情推理与演绎推理，合情推理包括归纳推理和类比推理；演绎推理的一般模式是三段论.
合情推理的思维过程
()归纳推理的思维过程：
―→→
()类比推理的思维过程：
―→→
.证明方法
()分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知.
推理模式：
框图表示：→→→…→。

回扣计数原理．分类计数原理完成一件事，可以有类办法，在第一类办法中有种方法，在第二类办法中有种方法，……，在第类办法中有种方法，那么完成这件事共有＝＋＋…＋种方法(也称加法原理)．．分步计数原理完成一件事需要经过个步骤，缺一不可，做第一步有种方法，做第二步有种方法，……，做第步有种方法，那么完成这件事共有＝××…×种方法(也称乘法原理)．．排列()排列的定义：从个不同元素中取出(≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．()排列数的定义：从个不同元素中取出(≤)个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用表示．()排列数公式：＝(－)(－)…(－＋)．()全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，＝·(－)·(－)·…··＝！.排列数公式写成阶乘的形式为＝，这里规定！＝.．组合()组合的定义：从个不同元素中取出(≤)个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．()组合数的定义：从个不同元素中取出(≤)个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用表示．()组合数的计算公式：＝＝＝，由于！＝，所以＝.()组合数的性质：①＝；②＝＋.．二项式定理(＋)＝＋－＋…＋－＋…＋(∈*)．这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(＋)的二项展开式，其中的系数(＝，…，)叫做二项式系数．式中的－叫做二项展开式的通项，用＋表示，即展开式的第＋项：＋＝－.．二项展开式形式上的特点()项数为＋.()各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为.()字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增直到.()二项式的系数从，，一直到，.．二项式系数的性质()对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即＝.()增减性与最大值：二项式系数，当<时，二项式系数是递增的；当>时，二项式系数是递减的．当是偶数时，那么其展开式中间一项112nT-＋的二项式系数最大．当是奇数时，那么其展开式中间两项112nT-＋和112nT+＋的二项式系数相等且最大．()各二项式系数的和(＋)的展开式的各个二项式系数的和等于，即＋＋＋…＋＋…＋＝.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即＋＋＋…＝＋＋＋…＝－.．关于两个计数原理应用的注意事项()分类和分步计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．。

回扣7 解析几何1.直线方程的五种形式(1)点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)(直线过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线).(2)斜截式：y ＝kx ＋b (b 为直线l 在y 轴上的截距，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线).(3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(直线过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线).(4)截距式：x a ＋yb ＝1(a 、b 分别为直线的横、纵截距，且a ≠0，b ≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线).(5)一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0). 2.直线的两种位置关系当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时： (1)两直线平行l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (2)两直线垂直l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.提醒：当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略. 3.三种距离公式(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离： |AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点到直线的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0).(3)两平行线间的距离：d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0).提醒：应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x ，y 的系数应对应相等. 4.圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0). 5.直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法.(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法.6.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质|x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥07.直线与圆锥曲线的位置关系判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断.弦长公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|.8.范围、最值问题的常用解法(1)几何法①直线外一定点P到直线上各点距离的最小值为该点P到直线的垂线段的长度.②圆C外一定点P到圆上各点距离的最大值为|PC|＋R，最小值为|PC|－R(R为圆C的半径).③过圆C内一定点P的圆的最长的弦即为经过点P的直径，最短的弦为过点P且与经过点P 的直径垂直的弦.④圆锥曲线上本身存在最值问题，如(ⅰ)椭圆上两点间最大距离为2a(长轴长)；(ⅱ)双曲线上两点间最小距离为2a(实轴长)；(ⅲ)椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[a－c，a＋c]，a－c与a＋c分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；(ⅳ)在抛物线上的点中，顶点与抛物线的准线距离最近.(2)代数法把要求的最值表示为某个参数的解析式，然后利用函数、最值、基本不等式等进行求解.9.定点、定值问题的思路求解直线或曲线过定点问题的基本思路是把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.求证某几何量为定值，首先要求出这个几何量的代数表达式，然后对表达式进行化简、整理，根据已知条件列出必要的方程(或不等式)，消去参数，最后推出定值.10.解决存在性问题的解题步骤第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在；第三步：得出结论.1.不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错.2.易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为xa＋ya＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等.3.讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0.4.在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注意有可能这两条直线重合；在立体几何中提到的两条直线，一般可理解为它们不重合.5.求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式|C1－C2|A2＋B2，导致错解.6.在圆的标准方程中，误把r2当成r；在圆的一般方程中，忽视方程表示圆的条件.7.易误认两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解.8.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支.9.易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误.10.已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解. 11.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制.尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、 弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进行.1.直线2mx －(m 2＋1)y －m ＝0倾斜角的取值范围为( ) A.[0，π) B.[0，π4]∪[3π4，π) C.[0，π4] D.[0，π4]∪(π2，π)答案 C解析 由已知可得m ≥0.直线的斜率k ＝2m m 2＋1.当m ＝0时，k ＝0，当m >0时，k ＝2m m 2＋1＝2m ＋1m ≤22m ·1m＝1，又因为m >0，所以0<k ≤1.综上可得直线的斜率0≤k ≤1.设直线的倾斜角为θ，则0≤tan θ≤1，因为0≤θ<π，所以0≤θ≤π4.2.若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则a 等于( ) A.2或－1 B.2 C.－1 D.以上都不对 答案 C解析 由题意a (a －1)＝2，得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，l 1方程为2x ＋2y ＋6＝0，即x ＋y ＋3＝0，l 2方程为x ＋y ＋3＝0，两直线重合，不合题意，舍去；当a ＝－1时，直线l 1，l 2的方程分别为－x ＋2y ＋6＝0，x －2y ＝0，符合题意.所以a ＝－1.故选C.3.直线x ＋y ＝3a 与圆x 2＋y 2＝a 2＋(a －1)2相交于点A ，B ，点O 是坐标原点，若△AOB 是正三角形，则实数a 等于( ) A.1 B.－1 C.12 D.－12答案 C解析 由题意得，圆的圆心坐标为O (0，0)，设圆心到直线的距离为d ， 所以弦长为2r 2－d 2＝r ，得4d 2＝3r 2. 所以6a 2＝3a 2＋3(a －1)2， 解得a ＝12，故选C.4.直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于( ) A.4 3 B.3 3 C.2 3 D. 3答案 C解析 由于圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0，0)，半径r ＝2，而圆心O (0，0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|32＋42＝1，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.5.与圆O 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0都相切的直线条数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案 B解析 圆O 1(－2，2)，r 1＝1，圆O 2(2，5)，r 2＝4， ∴|O 1O 2|＝5＝r 1＋r 2，∴圆O 1和圆O 2相外切， ∴与圆O 1和圆O 2相切的直线有3条.故选B.6.已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( ) A.m ∥l ，l 与圆相交 B.m ⊥l ，l 与圆相切 C.m ∥l ，l 与圆相离 D.m ⊥l ，l 与圆相离答案 C解析 以点P 为中点的弦所在的直线的斜率是－ab ，直线m ∥l ，点P (a ，b )是圆x 2＋y 2＝r 2内一点，所以a 2＋b 2<r 2，圆心到ax ＋by ＝r 2，距离是r 2a 2＋b 2>r ，故相离. 7.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F 1、F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝30°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是( )A.7－4 3B.2－ 3C.3－1D.4－2 3 答案 B解析 由题意设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线方程为x 2a 21－y 2b 21＝1，且c ＝c 1.由题意c a ·ca 1＝1，(*)由∠F 1PF 2＝30°，由余弦定理得：椭圆中4c 2＝4a 2－(2＋3)|PF 1||PF 2|， 双曲线中：4c 2＝4a 21＋(2－3)|PF 1||PF 2|，可得b 21＝(7－43)b 2，代入(*)式，c 4＝a 21a 2＝(c 2－b 21)a 2＝(8－43)c 2a 2－(7－43)a 4，即e 4－(8－43)e 2＋(7－43)＝0， 得e 2＝7－43，即e ＝2－3，故选B.8.若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成5∶3两段，则此椭圆的离心率为( ) A.255 B.41717 C.35 D.45答案 A解析 ∵c ＋b2c －b 2＝53，a 2－b 2＝c 2，c ＝2b ，∴5c 2＝4a 2，∴e ＝c a ＝25＝255.9.如图，已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，|F 1F 2|＝4，点A 在双曲线的右支上，线段AF 1与双曲线左支相交于点B ，△F 2AB 的内切圆与BF 2相切于点E ，若|AF 2|＝2|BF 1|，|BE |＝22，则双曲线C 的离心率为________.答案2解析 设|AF 2|＝2|BF 1|＝2m ，由题意得|AF 1|＝2m ＋2a ，|BF 2|＝m ＋2a ，因此|AB |＝m ＋2a ，2|BE |＝|AB |＋|BF 2|－|AF 2|＝4a ， 即a ＝2，又|F 1F 2|＝4⇒c ＝2，所以离心率为ca＝ 2.10.已知F 1，F 2是双曲线x 216－y 29＝1的焦点，PQ 是过焦点F 1的弦，且PQ 的倾斜角为60°，那么|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |的值为________. 答案 16解析 由双曲线方程x 216－y 29＝1知，2a ＝8，由双曲线的定义得，|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8， ① |QF 2|－|QF 1|＝2a ＝8，②①＋②得|PF 2|＋|QF 2|－(|QF 1|＋|PF 1|)＝16， ∴|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |＝16. 11.抛物线y 2＝4x的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________.答案32解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1，0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线为y ＝±ba x ，即y ＝±3x .由于焦点(1，0)到双曲线的两条渐近线距离相等，所以只考虑焦点到其中一条之间的距离d ＝|3|3＋1＝32. 12.过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________. 答案 56解析 ∵1|AF |＋1|BF |＝2p ＝2，|AB |＝|AF |＋|BF |＝2512，|AF |<|BF |，∴|AF |＝56，|BF |＝54.13.已知圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝r 2与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝(4－r )2 (0<r <4)的公共点的轨迹为曲线E ，且曲线E 与y 轴的正半轴相交于点M .若曲线E 上相异两点A 、B 满足直线MA ，MB 的斜率之积为14.(1)求曲线E 的方程；(2)证明：直线AB 恒过定点，并求定点的坐标； (3)求△ABM 的面积的最大值. 解 (1)设圆F 1，圆F 2的公共点为Q ， 由已知得，|F 1F 2|＝2，|QF 1|＝r ，|QF 2|＝4－r ， 故|QF 1|＋|QF 2|＝4>|F 1F 2|，因此曲线E 是长轴长2a ＝4，焦距2c ＝2的椭圆，且b 2＝a 2－c 2＝3，所以曲线E 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由曲线E 的方程得，上顶点M (0，3)，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，x 1≠0，x 2≠0，若直线AB 的斜率不存在，则直线AB 的方程为x ＝x 1，故y 1＝－y 2，且y 21＝y 22＝3(1－x 214)，因此k MA ·k MB ＝y 1－3x 1·y 2－3x 2＝－y 21－3x 21＝34，与已知不符，因此直线AB 的斜率存在，设直线AB ：y＝kx ＋m ，代入椭圆E 的方程x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0.①因为直线AB 与曲线E 有公共点A ，B ，所以方程①有两个非零不等实根x 1，x 2， 所以x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2，又k AM ＝y 1－3x 1＝kx 1＋m －3x 1，k MB ＝y 2－3x 2＝kx 2＋m －3x 2， 由k AM ·k BM ＝14，得4(kx 1＋m －3)(kx 2＋m －3)＝x 1x 2，即(4k 2－1)x 1x 2＋4k (m －3)(x 1＋x 2)＋4(m －3)2＝0，所以4(m 2－3)(4k 2－1)＋4k (m －3)(－8km )＋4(m －3)2(3＋4k 2)＝0， 化简得m 2－33m ＋6＝0，故m ＝3或m ＝23， 结合x 1x 2≠0知m ＝23，即直线AB 恒过定点N (0，23). (3)由Δ>0且m ＝23得k <－32或k >32，又S △ABM ＝|S △ANM －S △BNM |＝12|MN |·|x 2－x 1|＝32(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝32(－8km 3＋4k 2)2－4·4(m 2－3)3＋4k 2＝64k 2－93＋4k 2＝64k 2－9＋124k 2－9≤32， 当且仅当4k 2－9＝12，即k ＝±212时，△ABM 的面积最大，最大值为32.。

最新高考数学(理)抢分秘籍07 平面向量1．向量e 1→=（1，2），e 2→=（3，4），且x ，y ∈R ，x e 1→+ye 2→=（5，6），则x ﹣y=（ ） A ．3 B ．﹣3C ．1D ．﹣1【答案】B【解答】：向量e 1→=（1，2），e 2→=（3，4）， 且x ，y ∈R ，x e 1→+ye 2→=（5，6）， 则（x+3y ，2x+4y ）=（5，6）， ∴{x +3y =52x +4y =6， 解得{x =−1y =2，∴x ﹣y=﹣3． 故选：B ．2．已知向量a →=（λ，﹣2），b →=（1，3），若a →⊥（a →+b →），则λ=（ ） A ．1 B ．﹣2C ．l 或﹣2D ．1 或 2【答案】C【解答】：∵向量a →=（λ，﹣2），b →=（1，3）， ∴a →+b →=（λ+1，1）， ∵a →⊥（a →+b →），∴a →•（a →+b →）=λ（λ+1）﹣2=0， 解得λ=1或λ=﹣2． 故选：C ．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用. 1．向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB u u u r=（x 2－x 1，y 2－y 1）. 2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ＋b =（x 2+x 1，y 2+y 1），a －b =（x 1－x 2，y 1－y 2），λa =（λx 1，λy 1）， |a |=2211+x y ，|a ＋b |=221212(+)+(+)x x y y .3．平面向量共线的坐标表示设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1=0.注：（1）共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得λ=b a .（2）若存在实数λ，使AB AC λ=u u u r u u u r，则A ，B ，C 三点共线．4．平面向量垂直的坐标表示设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则0⊥⇔⋅=⇔a b a b 12120x x y y +=3．在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB →=a →，AD →=b →，则向量BF →=（ ） A ．13a →+23b →B ．﹣13a →﹣23b →C ．﹣13a →+23b → D ．13a →﹣23b →【答案】C【解答】：如图所示，∵点E 为CD 的中点，CD ∥AB ，∴BF EF =ABEC =2，∴BF →=23BE →，BE →=BC →+CE →=b →﹣12a →， ∴BF →=23(b →−12a →)=﹣13a →+23b →， 故选：C ．应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的． 1．应用平面向量基本定理的关键点（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.4．设向量a →与b →的夹角为θ，且a →=(−2，1)，a →+2b →=(2，3)，则cosθ=（ ）A ．−35B ．35C ．√55D ．−2√55【答案】A【解答】：∵向量a →与b →的夹角为θ，且a →=(−2，1)，a →+2b →=(2，3)， ∴b →=a →+2b →−a→2=（2，1）， 则cosθ=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=√5⋅√5=﹣35， 故选：A ．5．若|a →|=|b →|=1，（a →+2b →）⊥a →，则向量a →与b →的夹角为（ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 【答案】C【解答】：|a →|=|b →|=1，（a →+2b →）⊥a →，可得a →2+2a →⋅b →=0，即：1+2cos ＜a →，b →＞=0，所以＜a →，b →＞=120°．故选：C ．【名师点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是夹角公式⋅=a b ||||cos θa b ；二是坐标公式⋅=a b 1212x x y y +，主要应用有以下几个方面： （1）求夹角的大小：若a ，b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos θ=||||⋅a ba b ；（2）求投影：向量a 在b 上的投影是⋅a bb； （3）若向量,a b 垂直，则0⋅=a b ；（4）求向量m n +a b 的模（平方后需求⋅a b ）.设非零向量1122(,),(,)x y x y ==a b ，θ是a 与b 的夹角. （1）数量积：⋅=a b 1212||||cos x x y y θ=+a b .（2）模：2211||x y =⋅=+a a a .（3）夹角：cos ||||θ⋅==a ba b 121212122222x y x y +⋅+.注：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.1．已知P 是ABC △所在平面内一点，且2AB AC PB +=u u u r u u u ru u u r ，BC AP λ=u u ur u u u r ，则λ=A ．2B ．1C ．2-D ．1-【答案】C【解析】由题意得,2AB ACPB +=u u u r u u u ru u u r ∴()2PA AB AB AC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴2PA AC AB BC =-=u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴2BC AP =-u u u r u u u r，故选C.【名师点睛】本题考查了平面向量的加减及数乘运算，解题的关键把多个向量的关系转化为两个变量的关系即可，类似“减元”思想.2．已知点A(2,3),B(4,5),C(7,10)，若AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB⃑⃑⃑⃑⃑ +λAC ⃑⃑⃑⃑⃑ (λ∈R )，且点P 在直线x −2y =0上，则λ的值为 A ．23 B ．−23 C ．32D ．−32【答案】B【解析】设点P 的坐标为（x ，y ），所以AP →=(x −2，y −3)，AB →=(2，2)，AC →=(5，7)， 由AP →=AB →+λAC →，所以有（x ﹣2，y ﹣3）＝(2，2)+λ(5，7)，得：{x =4+5λy =5+7λ，由点P 在直线x −2y =0上 则有4+5λ＝2(5+7λ)，λ=−23 ．故选B.用向量解决平面几何问题的步骤①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系.3．已知OAB △是边长为1的正三角形，若点P 满足()()2OP t OA tOB t =-+∈R u u u r u u u r u u u r，则AP u u u r 的最小值为A 3B ．1C 3D 3 【答案】C【解析】以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，建立坐标系，∵OAB △为边长为1的正三角形，()13,,1,022A B ⎛∴ ⎝⎭，∴()2OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r 131322t ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，1133,2222AP OP OA t t ⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ， ∴2211332222AP t t ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r 22133124t t t ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭ 故选C ．【名师点睛】本题主要考查向量的模与平面向量的坐标运算，属于难题．向量的运算主要有两种方法，一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（1）平行四边形法则；（2）三角形法则；二是坐标运算，通过建立坐标系转化为解析几何问题解答.向量与平面几何综合问题的解法 ①坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．【注】求最值与求范围问题往往运用坐标运算来解答. ②基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解． 【注】用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用基向量解题时要选择适当的基底．1．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →=（ ） A ．34AB →﹣14AC →B ．14AB →﹣34AC →C ．34AB →+14AC →D ．14AB →+34AC →2．已知两个单位向量a →和b →夹角为60°，则向量a →−b →在向量a →方向上的投影为（ ）A ．﹣1B ．1C ．−12D ．123．已知平面向量a →=（1，1），b →=（x ，﹣3），且a →⊥b →，则|2a →+b →|=（ ）A ．√26B ．3√2C ．3√5D ．√174．已知两个非零向量a →，b →互相垂直，若向量m →=4a →+5b →与n →=2a →+λb →共线，则实数λ的值为（ ）A ．5B ．3C ．2.5D ．25．若向量AB →=(12，√32)，BC →=(√3，1)，则△ABC 的面积为（ ）A ．12B ．√32C ．1D ．√36．设a →，b →是单位向量，则“a →•b →＞0”是“a →和b →的夹角为锐角”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2，a →与b →的夹角为60°，则|2a →−b →|=（ ）A ．2√3B ．2√2C ．4D ．28．已知点G 是△ABC 内一点，满足GA →+GB →+GC →=0→，若∠BAC=π3，AB →•AC →=1，则|AG →|的最小值是（ ）A ．√33B ．√22C ．√63D ．√629．在△ABC 中，∠A=60°，AB=AC=3，D 是△ABC 所在平面上的一点．若BC →=3DC →，则DB →•AD →=（ ）A ．﹣1B ．﹣2C ．5D ．9210．在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，BM →=2MA →，CN →=2NA →，则BC →⋅OM →的值为（ ）A ．﹣15B ．﹣9C ．﹣6D ．011．如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD →+AE →=x AB →+yAC →，则1x +4y 的最小值为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．9212已知平面向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2，|a →﹣b →|=√3，则a →在b →方向上的投影是 ． 13.已知向量a →，b →的夹角为60°，|a →|=2，|b →|=1，则|a →+2b →|= ． 14.与向量a →=(3，4)共线的一个单位向量是 ．15．已知G 为△ABC 的重心，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，满足AG →=x AM →+y AN →，其中x+y=1，若AM →=34AB →，则△ABC 和△AMN 的面积之比为 ．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a 、b 、c ，已知a →=(cosA ，cosB)，b →=(a ，2c −b)，且a →∥b →． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若b=3，△ABC 的面积S △ABC =3√3，求a 的值．17.已知向量a →=(√2sin α，1)，b →=(1，sin(α+π4))．（1）若角α的终边过点（3，4），求a →•b →的值； （2）若a →∥b →，求锐角α的大小．18.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知c=√52b ． （1）若C=2B ，求cosB 的值；（2）若AB →⋅AC →=CA →⋅CB →，求cos （B +π4）的值．19.已知向量a →=（cosx ，﹣1），b →=（√3sinx ，﹣12），函数f(x)=(a →+b →)⋅a →−2． （1）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知函数f （x ）的图象经过点(A ，12)，b 、a 、c成等差数列，且AB →•AC →=9，求a 的值．1.【答案】A【解答】：在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点， EB →=AB →﹣AE →=AB →﹣12AD →=AB →﹣12×12（AB →+AC →）=34AB →﹣14AC →， 故选：A ． 2.【答案】D【解答】：两个单位向量a →和b →夹角为60°， 可得a →•b →=1×1×12=12，（a →﹣b →）•a →=a →2﹣a →•b →=1﹣12=12， 向量a →−b →在向量a →方向上的投影为(a →−b →)⋅a →|a →|=121=12，故选：D ． 3.【答案】A【解答】：∵平面向量a →=（1，1），b →=（x ，﹣3），且a →⊥b →， ∴a →⋅b →=x ﹣3=0，解得x=3，2a →+b →=（5，﹣1），|2a →+b →|=√25+1=√26． 故选：A ． 4.【答案】C【解答】：∵a →⊥b →，a →≠0→，b →≠0→； ∴4a →+5b →≠0→，即m →≠0→， ∵m →，n →共线，∴n →=μm →； 即2a →+λb →=μ(4a →+5b →)； ∴{2=4μλ=5μ，解得λ=2.5． 故选：C ． 5.【答案】A 【解答】：∵AB →=（12，√32），BC →=(√3，1)，∴BA →=（﹣12，−√32）， ∴cos ＜BA →，BC →＞=BA →⋅BC→|BA →|⋅|BC →|=﹣√32，∴sin ＜BA →，BC →＞=√1−34=12，∴S △ABC=12×|BA →|×|BC →|×sin ＜BA →，BC →＞=12×1×2×12=12． 故选：A ． 6.【答案】B【解答】：设a →与b →的夹角是θ，因为a →，b →是单位向量，所以a →•b →＞0等价于cosθ＞0，由0≤θ≤π得，0≤θ＜π2，所以“a →•b →＞0”推不出“a →和b →的夹角为锐角”；反之，a →和b →的夹角为锐角得cosθ＞0，即得a →•b →＞0，所以“a →和b →的夹角为锐角”推出“a →•b →＞0”， 综上可得，“a →•b →＞0”是“a →和b →的夹角为锐角”的必要不充分条件， 故选：B ． 7.【答案】D【解答】：向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2，a →与b →的夹角为60°， 可得a →•b →=|a →|•|b →|•cos60°=1×2×12=1，则|2a →−b →|=√(2a →−b →)2=√4a →2−4a →⋅b →+b →2=√4−4×1+4=2，故选：D ． 8.【答案】C【解答】：∵点G 是△ABC 内一点，满足GA →+GB →+GC →=0→，∴G 是△ABC 的重心， ∴AG →=13（ AB →+AC →），∴AC →2=19（AB →2+AC →2+2AB →•AC →）=19（|AB|2+|AC|2）+29， ∵AB →•AC →=12|AB|•|AC|=1，∴|AB|•|AC|=2，∴AB 2+AC 2≥2|AB|•|AC|=4，∴AG →2≥49+29=23． ∴|AG →|≥√63． 故选：C ． 9.【答案】A【解答】：由题意建立如图所示平面直角坐标系，则A （0，0），B （3，0），C （32，3√32）， 设D （x ，y ），则BC →=(−32，3√32)，DC →=(32−x ，3√32−y)，由BC →=3DC →，得(−32，3√32)=(92−3x ，9√32−3y)，解得x=2，y=√3．∴D （2，√3），则DB →=(1，−√3)，AD →=(2，√3)， ∴DB →•AD →=1×2−√3×√3=−1． 故选：A ． 10.【答案】C【解答】：由题意，BM →=2MA →，CN →=2NA →，∴BM MA =CNNA =2，∴BC ∥MN ，且BC=3MN ，又MN 2=OM 2+ON 2﹣2OM•ON•cos120°=1+4﹣2×1×2×（﹣12）=7，∴MN=√7；∴BC=3√7， ∴cos ∠OMN=OM 2+MN 2−ON 22OM⋅MN =2×1×√7=√7，∴BC →•OM →=|BC →|×|OM →|cos （π﹣∠OMN ）=3√7×1×（﹣7）=﹣6．故选：C ．11.【答案】D【解答】：设AD →=mAB →+nAC →，AE →=λAB →+μAC →， ∵B ，D ，E ，C 共线，∴m+n=1，λ+μ=1． ∵AD →+AE →=x AB →+yAC →，则x+y=2，∴1x+4y =12（1x+4y）（x+y ）=12（5+y x+4xy）≥12(5+2√y x⋅4xy)=92则1x +4y 的最小值为92． 故选：D ． 12.【答案】12【解答】：∵|a →|=1，|b →|=2，|a →﹣b →|=√3，∴|a →|2+|b →|2﹣2a →•b →=3，解得a →•b →=1， ∴a →在b →方向上的投影是a →⋅b →|b →|=12，故答案为：1213.【答案】2√3【解答】：向量a →，b →的夹角为60°，且|a →|=2，|b →|=1， ∴(a →+2b →)2=a →2+4a →•b →+4b →2 =22+4×2×1×cos60°+4×12=12， ∴|a →+2b →|=2√3．14.【答案】(35，45)，或(−35，−45)【解答】：与向量a →=(3，4)共线的一个单位向量=±a→|a →|=±√32+42=±(35，45)． 故答案为：(35，45)，或(−35，−45)． 15.【答案】209【解答】：设BC 的中点为D ，则AG →=23AD →=13AB →+13AC →，又AM →=34AB →，即AB →=43AM →，∴AG →=49AM →+13AC →，∴x=49，又x+y=1，∴y=59， ∴59AN →=13AC →，即AN →=35AC →， ∴S △ABCS△AMN=12AB⋅AC⋅sin ∠BAC 12AM⋅AN⋅sin ∠BAC =AB AM ⋅AC AN =43⋅53=209．故答案为：209．16.【解答】：（Ⅰ）∵a →∥b →，∴（2c ﹣b ）•cosA ﹣a •cosB=0，∴cosA •（2sinC ﹣sinB ）﹣sinA •cosB=0，即2cosAsinC ﹣cosAsinB ﹣sinA •cosB=0， ∴2cosAsinC=cosAsinB+sinA •cosB ，∴2cosAsinC=sin （A+B ）， 即2cosAsinC=sinC ，∵sinC ≠0∴2cosA=1，即cosA =12又0＜A ＜π∴A =π3，（Ⅱ）∵b=3，由（Ⅰ）知∴A =π3，S △ABC =12bcsinA =12×3c ×√32=3√3，∴c=4，由余弦定理有a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=32+42−2×3×4×12=13 ∴a =√13．17.【解答】：（1）角α的终边过点（3，4），∴r=√32+42=5， ∴sin α=y r =45，cos α=x r =35；∴a →•b →=√2sin α+sin （α+π4） =√2sin α+sin αcos π4+cos αsin π4=√2×45+45×√22+35×√22 =3√22； （2）若a →∥b →，则√2sin αsin(a +π4)=1， 即√2sin α(sin αcos π4+cos αsin π4)=1， ∴sin2α+sin αcos α=1， ∴sin αcos α=1﹣sin2α=cos2α， 对锐角α有cos α≠0， ∴tan α=1， ∴锐角α=π4．18.【解答】：（1）因为c=√52b ，则由正弦定理，得sinC=√52sinB ． 又C=2B ，所以sin2B=√52sinB ，即2sinBcosB=√52sinB ． 又B 是△ABC 的内角，所以sinB ＞0，故cosB=√54．（2）因为AB →⋅AC →=CA →⋅CB →，所以cbcosA=bacosC ，则由余弦定理得b 2+c 2﹣a 2=b 2+a 2﹣c 2，得a=c ． 从而cosB=a 2+c 2−b 22ac=c 2+c 2−45c22c 2=35，又0＜B ＜π，所以sinB=√1−cos 2B =45． 从而cos （B+π4）=cosBcos π4﹣sinBsin π4=35×√22−45×√22=−√21019.【解答】：f(x)=(a →+b →)⋅a →−2=|a →|2+a →⋅b →−2=12cos2x +√32sin2x =sin(2x +π6)，（1）最小正周期：T =2π2=π由2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2(k ∈Z)得：kπ−π3≤x ≤kπ+π6(k ∈Z)，所以f （x ）的单调递增区间为：[kπ−π3，kπ+π6](k ∈Z)； （2）由f(A)=sin(2A +π6)=12可得：2A +π6=π6+2kπ或5π6+2kπ(k ∈Z)所以A =π3，又因为b ，a ，c 成等差数列，所以2a=b+c ，而，AB →•AC →=bccosA=12bc =9，∴bc=18，cosA =12=(b+c)2−a 22bc−1=4a 2−a 236−1=a 212−1，∴a =3√2．。

回扣7 解析几何1．直线方程的五种形式(1)点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)(直线过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)．(2)斜截式：y ＝kx ＋b (b 为直线l 在y 轴上的截距，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)．(3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(直线过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．(4)截距式：x a ＋yb ＝1(a 、b 分别为直线的横、纵截距，且a ≠0，b ≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．(5)一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)． 2．直线的两种位置关系当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时： (1)两直线平行l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (2)两直线垂直l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.提醒：当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略．3．三种距离公式(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离： AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点到直线的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0)．(3)两平行线间的距离：d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0)．提醒：应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x ，y 的系数应对应相等． 4．圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．5．直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法．(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法．6．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义PF1＋PF2＝2a(2a>F1F2)|PF1－PF2|＝2a(2a<F1F2)PF＝PM点F不在直线l上，PM⊥l于M标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2＝2px(p>0)图形几何性质范围|x|≤a，|y|≤b|x|≥a x≥0顶点(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0)(p2，0)轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率e＝ca＝1－b2a2(0<e<1)e＝ca＝1＋b2a2(e>1)e＝1准线x＝－p2渐近线y＝±ba x7.直线与圆锥曲线的位置关系判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断．弦长公式：AB＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|.8．范围、最值问题的常用解法(1)几何法①直线外一定点P到直线上各点距离的最小值为该点P到直线的垂线段的长度．②圆C外一定点P到圆上各点距离的最大值为PC＋R，最小值为PC－R(R为圆C的半径)．③过圆C内一定点P的圆的最长的弦即为经过点P的直径，最短的弦为过点P且与经过点P的直径垂直的弦．④圆锥曲线上本身存在最值问题，如a.椭圆上两点间最大距离为2a(长轴长)；b.双曲线上两点间最小距离为2a(实轴长)；c.椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[a－c，a＋c]，a－c与a＋c分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；d.在抛物线上的点中，顶点与抛物线的准线距离最近．(2)代数法把要求的最值表示为某个参数的解析式，然后利用函数、最值、基本不等式等进行求解．9．定点、定值问题的思路求解直线或曲线过定点问题的基本思路是把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．求证某几何量为定值，首先要求出这个几何量的代数表达式，然后对表达式进行化简、整理，根据已知条件列出必要的方程(或不等式)，消去参数，最后推出定值．10．解决存在性问题的解题步骤第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在；第三步：得出结论．1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错．2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为xa＋ya＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等．3．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0.4．在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注意有可能这两条直线重合；在立体几何中提到的两条直线，一般可理解为它们不重合．5．求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式|C1－C2|A2＋B2，导致错解．6．在圆的标准方程中，误把r2当成r；在圆的一般方程中，忽视方程表示圆的条件．7．易误认两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解．8．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a <F 1F 2.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．9．易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a ，b ，c 三者之间的关系，导致计算错误．10．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解． 11.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、 弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”的条件下进行．1．直线2mx －(m 2＋1)y －m ＝0倾斜角的取值范围为________． 答案 [0，π4]解析 由已知可得m ≥0.直线的斜率k ＝2m m 2＋1.当m ＝0时，k ＝0，当m >0时，k ＝2mm 2＋1＝2m ＋1m ≤22m ·1m＝1，又因为m >0，所以0<k ≤1.综上可得直线的斜率0≤k ≤1.设直线的倾斜角为θ，则0≤tan θ≤1，因为0≤θ<π，所以0≤θ≤π4.2．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则a 等于________． 答案 －1解析 由题意a (a －1)＝2，得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，l 1方程为2x ＋2y ＋6＝0，即x ＋y ＋3＝0，l 2方程为x ＋y ＋3＝0，两直线重合，不合题意，舍去；当a ＝－1时，直线l 1，l 2的方程分别为－x ＋2y ＋6＝0，x －2y ＝0，符合题意．所以a ＝－1.3．直线x ＋y ＝3a 与圆x 2＋y 2＝a 2＋(a －1)2相交于点A ，B ，点O 是坐标原点，若△AOB 是正三角形，则实数a 等于________． 答案 12解析 由题意得，圆的圆心坐标为O (0,0)，设圆心到直线的距离为d ， 所以弦长为2r 2－d 2＝r ，得4d 2＝3r 2. 所以6a 2＝3a 2＋3(a －1)2，解得a ＝12.4．直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于________． 答案 23解析 由于圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，半径r ＝2，而圆心O (0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|32＋42＝1，∴AB ＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.5．与圆O 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0都相切的直线条数是________． 答案 3解析 圆O 1(－2,2)，r 1＝1，圆O 2(2,5)，r 2＝4， ∴O 1O 2＝5＝r 1＋r 2，∴圆O 1和圆O 2相外切， ∴与圆O 1和圆O 2相切的直线有3条．6．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1、F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝30°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是________． 答案 2－3解析 由题意设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线方程为x 2a 21－y 2b 21＝1，且c ＝c 1.由题意c a ·ca 1＝1，(*)由∠F 1PF 2＝30°，由余弦定理得：椭圆中4c 2＝4a 2－(2＋3)PF 1·PF 2， 双曲线中：4c 2＝4a 21＋(2－3)PF 1·PF 2，可得b 21＝(7－43)b 2，代入(*)式，c 4＝a 21a 2＝(c 2－b 21)a 2＝(8－43)c 2a 2－(7－43)a 4，即e 4－(8－43)e 2＋(7－43)＝0， 得e 2＝7－43，即e ＝2－ 3.7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成5∶3两段，则此椭圆的离心率为________． 答案255解析 ∵c ＋b 2c －b 2＝53，a 2－b 2＝c 2，c ＝2b ，∴5c 2＝4a 2，∴e ＝c a ＝25＝255.8．如图，已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，F 1F 2＝4，点A 在双曲线的右支上，线段AF 1与双曲线左支相交于点B ，△F 2AB 的内切圆与BF 2相切于点E ，若AF 2＝2BF 1，BE ＝22，则双曲线C 的离心率为________．答案2解析 设AF 2＝2BF 1＝2m ，由题意得AF 1＝2m ＋2a ，BF 2＝m ＋2a ， 因此AB ＝m ＋2a,2BE ＝AB ＋BF 2－AF 2＝4a ， 即a ＝2，又F 1F 2＝4⇒c ＝2，所以离心率为ca＝ 2.9．已知F 1，F 2是双曲线x 216－y 29＝1的焦点，PQ 是过焦点F 1的弦，且PQ 的倾斜角为60°，那么|PF 2＋QF 2－PQ |的值为________． 答案 16解析 由双曲线方程x 216－y 29＝1知，2a ＝8，由双曲线的定义得，|PF 2－PF 1|＝2a ＝8，① |QF 2－QF 1|＝2a ＝8，②①＋②得|PF 2＋QF 2－(QF 1＋PF 1)|＝16， ∴|PF 2＋QF 2－PQ |＝16. 10．抛物线y 2＝4x的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________． 答案32解析 抛物线y 2＝4x的焦点为(1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线为y ＝±bax ，即y ＝±3x .由于焦点(1,0)到双曲线的两条渐近线距离相等，所以只考虑焦点到其中一条之间的距离d ＝|3|3＋1＝32. 11．过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若AB ＝2512，AF <BF ，则AF ＝________. 答案 56解析 ∵1AF ＋1BF ＝2p ＝2，AB ＝AF ＋BF ＝2512，AF <BF ，∴AF ＝56，BF ＝54.12．已知圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝r 2与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝(4－r )2 (0<r <4)的公共点的轨迹为曲线E ，且曲线E 与y 轴的正半轴相交于点M .若曲线E 上相异两点A ，B 满足直线MA ，MB 的斜率之积为14.(1)求曲线E 的方程；(2)证明：直线AB 恒过定点，并求定点的坐标； (3)求△ABM 的面积的最大值． 解 (1)设圆F 1，圆F 2的公共点为Q ， 由已知得，F 1F 2＝2，QF 1＝r ，QF 2＝4－r ， 故QF 1＋QF 2＝4>F 1F 2，因此曲线E 是长轴长2a ＝4，焦距2c ＝2的椭圆，且b 2＝a 2－c 2＝3，所以曲线E 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由曲线E 的方程得，上顶点M (0，3)，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，x 1≠0，x 2≠0，若直线AB 的斜率不存在，则直线AB 的方程为x ＝x 1，故y 1＝－y 2，且y 21＝y 22＝3(1－x 214)，因此k MA ·k MB ＝y 1－3x 1·y 2－3x 2＝－y 21－3x 21＝34，与已知不符，因此直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，代入椭圆E 的方程x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0.①因为直线AB 与曲线E 有公共点A ，B ，所以方程①有两个非零不等实根x 1，x 2， 所以x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2，又k AM ＝y 1－3x 1＝kx 1＋m －3x 1， k MB ＝y 2－3x 2＝kx 2＋m －3x 2， 由k AM ·k BM ＝14，得4(kx 1＋m －3)(kx 2＋m －3)＝x 1x 2，即(4k 2－1)x 1x 2＋4k (m －3)(x 1＋x 2)＋4(m －3)2＝0，所以4(m 2－3)(4k 2－1)＋4k (m －3)(－8km )＋4(m －3)2(3＋4k 2)＝0，化简得m 2－33m ＋6＝0，故m ＝3或m ＝23， 结合x 1x 2≠0知m ＝23， 即直线AB 恒过定点N (0,23)． (3)由Δ>0且m ＝23得k <－32或k >32，又S △ABM ＝|S △ANM －S △BNM |＝12MN ·|x 2－x 1|＝32(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝32(－8km 3＋4k 2)2－4·4(m 2－3)3＋4k 2＝64k 2－93＋4k 2＝64k 2－9＋124k 2－9≤32， 当且仅当4k 2－9＝12，即k ＝±212时，△ABM 的面积最大，最大值为32.。

回扣数列.牢记概念与公式 等差数列、等比数列.活用定理与结论()等差、等比数列{}的常用性质 ()判断等差数列的常用方法 ①定义法：＋－＝ (常数) (∈*)⇔{}是等差数列.②通项公式法：＝＋ (，为常数，∈*)⇔{}是等差数列. ③中项公式法：＋＝＋＋ (∈*)⇔{}是等差数列.④前项和公式法：＝＋(，为常数，∈*)⇔{}是等差数列. ()判断等比数列的三种常用方法①定义法：＝ (是不为的常数，∈*)⇔{}是等比数列. ②通项公式法：＝ (，均是不为的常数，∈*)⇔{}是等比数列.③中项公式法：＝·＋(·＋·＋≠，∈*)⇔{}是等比数列..数列求和的常用方法()等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和.()形如{·}(其中{}为等差数列，{}为等比数列)的数列，利用错位相减法求和. ()通项公式形如＝(其中，，，为常数)用裂项相消法求和.()通项公式形如＝(－)·或＝·(－)(其中为常数，∈*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分为奇数、偶数两种情况讨论. ()分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成＝＋形式的数列求和问题的方法，其中{}与{}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.()并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求..已知数列的前项和求，易忽视＝的情形，直接用－－表示.事实上，当＝时，＝；当≥时，＝－－..易混淆几何平均数与等比中项，正数，的等比中项是±..等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算.如等差数列{}与{}的前项和分别为和，已知＝，求时，无法正确赋值求解..易忽视等比数列中公比≠，导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解..运用等比数列的前项和公式时，易忘记分类讨论.一定分＝和≠两种情况进行讨论..利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项..裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等，如≠－，而是＝..通项中含有(－)的数列求和时，要把结果写成分为奇数和为偶数两种情况的分段形式..已知数列{}的前项和为，若＝－(∈*)，则等于()＋－－答案解析＋＝＋－＝＋－－(－)⇒＋＝，再令＝，∴＝－⇒＝，∴数列{}是以为首项，为公比的等比数列，∴＝·－＝＋，故选..已知数列{}满足＋＝＋－，且＝，＝，为数列{}的前项和，则的值为()答案解析由题意得，＝－＝，＝－＝－，＝－＝－，＝－＝－，＝－＝，∴数列{}是周期为的周期数列，而＝·，∴＝＝，故选..已知等差数列{}的前项和为，若＝－，则等于()答案解析＝－⇒＋＝，＝＝＝.故选..已知等差数列{}的前项和为，＝，＝，则使取得最小值时的值为()。