内蒙古包头市高一数学下学期期末考试试题 文

内蒙古包头市高一下学期数学期末试卷（A卷)姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）已知全集U=R，设函数的定义域为集合M，集合，则等于（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·泉州模拟) 已知实数x，y满足约束条件 z=x+y，则满足z≥1的点（x，y）所构成的区域面积等于（）A .B .C .D . 13. （2分）在△ABC中，已知sinB=2cosCsinA，则△ABC的形状是（）A . 等边三角形B . 等腰直角三角形C . 等腰三角形D . 直角三角形4. （2分） (2016高三上·呼和浩特期中) 放射性元素一般都有一个半衰期（剩留量为最初质量的一半所需的时间）．已知一种放射性元素的质量按每年10%衰减，那么这种放射性元素的半衰期是（）年（精确到0.1，已知lg2=0.3010，lg3=0.4771）．A . 5.2B . 6.6C . 7.1D . 8.35. （2分）(2020·厦门模拟) 中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：对于函数在处的函数值分别为，则在区间上可以用二次函数来近似代替，其中 .若令，，，请依据上述算法，估算的近似值是（）A .B .C .D .6. （2分）(2019·河南模拟) 函数的大致图象为（）A .B .C .D .7. （2分）(2012·江西理) 在中，，则的周长为（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高二下·鹤岗月考) 函数的单调递减区间为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高三上·成都期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 = ，则cosB=（）A . ﹣B .C . ﹣D .10. （2分）(2020·厦门模拟) 已知是正项等比数列的前n项和，，则的最小值为（）．A . 10B . 5C .D .二、双空题 (共4题；共4分)11. （1分）(2020·徐州模拟) 已知x＞1，y＞1，xy＝10，则的最小值是________．12. （1分） (2016高二上·济南期中) 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7=7，S15=75，则数列的前20项和为________．13. （1分） (2020高一下·奉化期中) 若，，则 ________，________．14. （1分）(2020·福建模拟) 已知双曲线的左焦点为，、为双曲线上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，的中点为，若，且直线的斜率为，则 ________，双曲线的离心率为________．三、填空题 (共3题；共3分)15. （1分）(2019·天河模拟) 设定义在R上的函数满足，当时，，则 ________．16. （1分）已知平面向量与的夹角θ∈[60°，120°]，且||=||=3，若=+，则||的取值范围是________17. （1分）(2017·日照模拟) 已知向量 =（m，1）， =（4﹣n，2），m＞0，n＞0，若∥ ，则+ 的最小值________．四、解答题 (共5题；共50分)18. （10分） (2018高一上·阜城月考)（1）求经过点，且与直线平行的直线的斜截式方程；（2）求经过点，且与直线垂直的直线的一般方程.19. （10分） (2017高一下·株洲期中) 在平行四边形ABCD中，E，G分别是BC，DC上的点且 =3 ，=3 ，DE与BG交于点O．（1）求| |：| |；（2）若平行四边形ABCD的面积为21，求△BOC的面积．20. （10分）已知函数f（x）=sin2x﹣2a（sinx+cosx）+a2 ，（1）当a=2时，求函数f（x）的最小值；（2）若函数f（x）的最小值为g（a），无论a为何值g（a）≥m恒成立，求m的取值范围．21. （10分） (2016高三上·宝安模拟) 已知等差数列{an}的首项a1=3，且公差d≠0，其前n项和为Sn ，且a1 ， a4 ， a13分别是等比数列{bn}的b2 ， b3 ， b4 ．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）证明．22. （10分） (2019高一上·重庆月考) 已知函数是奇函数.（1）求实数的值;（2）设函数 ,是否存在非零实数 ,使得方程恰好有两个解?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、双空题 (共4题；共4分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：三、填空题 (共3题；共3分)答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：四、解答题 (共5题；共50分)答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

2019-2020学年内蒙古包头市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．与直线3450x y -+=关于坐标原点对称的直线方程为（ ） A ．3450x y +-= B ．3450x y ++= C ．3450x y -+= D ．3450x y --=【答案】D【解析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设所求对称直线上任意一点的坐标为(),x y ，则关于原点对称点的坐标为(),x y --，该点在已知的直线上，则3450x y -++=，即3450x y --=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了直线关于点对称问题，考查运算能力，属于基础题. 2．下列命题为真命题的是（ ） A ．若0a b >>，则22ac bc > B ．若0a b >>，则22a b > C ．若0a b <<，则22a ab b << D ．若0a b <<，则11a b< 【答案】B【解析】取特殊值判断,,A C D 选项，根据不等式的性质判断B 选项. 【详解】解：A 中，2c =0时，22ac bc =； B 中，0a b >>，由性质7可得22a b >；C 中，令2,1a b =-=-，则224,2,1a ab b ===，显然22a ab b >>；D 中，令2,1a b =-=-，则111,12a b =-=-，显然11a b>. 故选：B 【点睛】本题主要考查了由已知条件判断所给不等式是否成立，属于基础题.3．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是（ ） ①平行的线段在直观图中仍然平行；②相等的线段在直观图中仍然相等； ③相等的角在直观图中仍然相等；④正方形在直观图中仍然是正方形 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】根据斜二侧画法的基本概念和作图原则，对每一个选项进行判断，即可得到结果． 【详解】对于①，平行的线段在直观图中仍然是平行线段，所以①正确；对于②，相等的线段在直观图中不一定相等， 如平行于x 轴的线段，长度不变，平行于y 轴的线段，变为原来的12，所以②错误； 对于③，相等的角在直观图中不一定相等， 如直角坐标系内两个相邻的直角，在斜二测画法内是45︒和135︒，所以③错误；对于④，正方形在直观图中不是正方形，是平行四边形，所以④错误； 综上，正确的命题序号是①，共1个． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了斜二侧画法的基本概念和作图原则，是基础题．4．点(,)P x y 在直线20x y +-=上，O 是坐标原点，则||OP 的最小值是（ ） A ．1 BC ．2D．【答案】B【解析】利用点到直线的距离公式，求出原点到直线20x y +-=的距离，即为OP 的最小值. 【详解】原点到直线20x y +-===. 故选：B. 【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 5．已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是（ ）A ．若13a a =，则12a a =B ．若21a a >，则32a a >C ．1322a a a +≥D ．2221322a a a +≥【答案】D【解析】利用等比数列的通项公式和性质，结合基本不等式，逐项进行判断即可． 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，若13a a =，则211a a q =，∴21q =，∴1q =±，∴12a a =或12a a =-，故A 不正确； 若21a a >，则11a q a >，所以2111321()q q a a a a a q q a --==-，当0q >时，32a a >；当0q <时，32a a <，故B 不成立.若130,0a a >>，则1232a a a +≥==，当且仅当13a a =，即1q =±时取等号；若130,0a a <<，则[]13132()()2a a a a a =+-+-≤==-，当且仅当13a a -=-，即1q =±时取等号，故C 不正确； 因为2222221322((2))a a a a q a q +=+≥，当且仅当2222()()aa q q=，即1q =±时取等号，故D 正确. 故选：D ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、等比数列的性质、基本不等式等知识的综合应用，解题的关键是灵活利用基本不等式和等比数列的性质．6．在△ABC 中，sin :sin :sin 7:3:5A B C =，那么这个三角形的最大角是（ ） A ．π2B ．2π3C ．4π5D ．5π6【答案】B【解析】由正弦定理，可得::7:3:5a b c =，设()7,3,50a k b k c k k ===>，易知该三角形的最大角是角A ，由余弦定理，可求出cos A ，进而可求出角A . 【详解】由正弦定理，::sin :sin :sin 7:3:5a b c A B C ==， 设()7,3,50a k b k c k k ===>， 显然该三角形的最大角是角A ，由余弦定理，可得222222925491cos 22352b c a k k k A bc k k +-+-===-⨯⨯，因为()0,πA ∈，所以2π3A =. 故选：B. 【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 7．某几何体的三视图如图所示，该几何体由一平面将正方体截去一部分后所得，则截去几何体的体积与剩余几何体的体积比值为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】C【解析】如图，正方体截去三棱锥D ABC -后，所得图形为三视图所对应的几何体，设正方体的棱长为()0a a >，求出正方体的体积为V ，及三棱锥D ABC -的体积，从而可求出截去几何体的体积与剩余几何体的体积的比值. 【详解】如下图，正方体截去三棱锥D ABC -后，所得图形为三视图所对应的几何体，设正方体的棱长为()0a a >，则正方体的体积为3V a =， 三棱锥D ABC -的体积为3111326V a a a a '=⨯⨯⨯=，则截去几何体的体积与剩余几何体的体积比值为333116156aV V V a a '=='--. 故选：C. 【点睛】本题考查三视图，考查几何体的体积，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于基础题.8．已知在正方体1111ABCD A B C D -中，,P Q 分别为111,A B CC 的中点，则异面直线1B C和PQ 所成的角为（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角. 【详解】解：如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则()0,2,0C ，()12,2,2B ，()2,1,2P ，()0,2,1Q()2,1,1PQ ∴=--，()12,0,2CB =设异面直线1B C 和PQ 所成的角为θ，则(11cos 2PQ CB PQ CB θ⋅===⋅- 0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦6πθ∴=故选：A【点睛】本题考查利用空间向量法解决立体几何问题，属于中档题.9．已知点(4,0)A -，(3,1)B -，若直线2y kx =+与线段AB 恒有公共点，则k 的取值范围是（ ） A ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,[1,)2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦ D ．1(,1],2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】作出图形，直线2y kx =+恒过定点()0,2C ，求出AC 、BC 的斜率，由直线2y kx =+与线段AB 恒有公共点，可求出k 的取值范围. 【详解】直线2y kx =+恒过定点()0,2C ， 直线AC 的斜率()1201042k -==--，直线BC 的斜率()221103k --==--，当12k ≥或1k ≤-时，直线2y kx =+与线段AB 恒有公共点.故选：D. 【点睛】本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中等题． 10．已知01a <<，01b <<，则22222222(1)(1)(1)(1)a b a b a b a b +++-+-++-+-的最小值为（ ）A ．2B ．22C ．23D ．4【答案】B【解析】根据两点之间的距离公式，令()()()()0,0,0,1,1,0,1,1,(,)P A B a C b O ，可得22222222(1)(1)(1)(1),,,a b PO a b PC a b PA a b PB+=+-=-+=-+-=，做出草图，再根据三角形的性质，即可求出结果． 【详解】如图，令()()()()0,0,0,1,1,0,1,1,(,)P A B a C b O ，则22222222(1)(1)(1)(1)a b PO a b PC a b PA a b PB +=+-=-+=-+-=可得22222222(1)(1)(1)(1)a b a b a b a b +++--+-+-PO PC PA PB =+++，又在PAC 中，PA PC AC +>，在POB 中，PO PB OB +>22PO PC PA PB AC OB +++>+=当P 是AC 与OB 的交点时，=22PO PC PA PB AC OB ++++= 所以22PO PC PA PB AC OB +++≥+=22222222(1)(1)(1)(1)a b a b a b a b +++--+-+-2 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了两点间距离公式的应用，函数最值得几何意义，考查了转化思想、数形结合思想，属于中档题．11．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥A BCD -为鳖臑，AB ⊥平面BCD ，2AB BC ==，22BD =，且三棱锥A BCD -的四个顶点都在一个正方体的顶点上，则该正方体的表面积为（ ） A ．12 B ．18C ．24D ．36【答案】C【解析】根据题意作出四个面都为直角三角形的三棱锥A BCD -，并根据该三棱锥的特点，作出满足题意的正方体，由此可知DC 为该正方体的一条棱，再根据题中所给数据，即可求出结果. 【详解】由于在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且四个面都为直角三角形，作出三棱锥A BCD -，如下图所示：其中DC BC ⊥，DC AC ⊥，又AC BC C =，所以DC ⊥平面ABC ；又因为三棱锥A BCD -四个面都为直角三角形且四个顶点都在一个正方体的顶点上， 所以该正方体如下图所示，可知DC 为正方体的一条棱；又2AB BC ==，22BD =， 所以在Rt BCD 中，22842DC BD BC =-+=-=;该正方体的表面积为26224⨯=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了线面垂直关系，同时考查了对三棱锥的认识和空间想象能力，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12．已知函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，若数列{}n a 满足121(0)(1)n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则数列{}n a 的前10项和为（ ） A ．652 B ．33C ．672D ．34【答案】A【解析】根据()(1)1f x f x +-=，并结合倒序相加法可求出12n n a +=，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，121(0)(1)n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，121(1)(0)n n n a f f f f f n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②，由①+②可得21n a n =+，12n n a +∴=， 所以数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列，其前10项和为10110165222+⎛⎫+ ⎪⎝⎭=.故选：A. 【点睛】本题考查了函数的性质，考查倒序相加法求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，属于中档题.二、填空题13．已知实数x ，y 满足101x y x y y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最小值为________.【答案】3-【解析】画出不等式组所对应的可行域，当目标函数2z x y =+过点P 时，z 取得最小值，求解即可.【详解】画出不等式组所对应的可行域，如下图阴影部分，当目标函数2z x y =+过点P 时，z 取得最小值， 联立01x y y -=⎧⎨=-⎩，解得1x y ==-，即()1,1P --，所以2z x y =+的最小值为()1213-+-=-. 故答案为：3-. 【点睛】本题考查线性规划，考查学生的计算求解能力，属于基础题.14．若关于x 的方程2(1)0mx m x m +-+=没有实数根，则实数m 的取值范围是 .【答案】1(,1)(,)3-∞-⋃+∞ 【解析】试题分析：若,则,有实数根,故,由题设,即,解之得或,故应填1(,1)(,)3-∞-⋃+∞.【考点】二次不等式及解法．15．《莱因德纸草书》（RhindPapyrus ）是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使得每个人所得成等差数列，且较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最大的1份为________. 【答案】1153【解析】设每个人所得由少到多为1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，公差为d ，从而可得()1134512754551010021a d a d a a a a a ⨯⎧+=+=⎪⎪⎨⎪++=+⎪⎩，进而求出5a 即可. 【详解】设每个人所得由少到多为1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，公差为d ， 由题意，()1134512754551010021a d a d a a a a a ⨯⎧+=+=⎪⎪⎨⎪++=+⎪⎩，即()1111112204723d d a d a a a a d a d +=⎧⎨++=+++++⎩， 整理得11220112a d a d +=⎧⎨=⎩，解得153556a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以最大的1份为5155511544363a a d =+=+⨯=. 故答案为：1153. 【点睛】 本题考查等差数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.三、双空题16．设三棱锥S ABC -的底面和侧面都是全等的正三角形，P 是棱SA 的中点.记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则α，β，γ中最大的是_________，最小的是________.【答案】α β【解析】作出线线角α，线面角β，二面角γ，根据它们的正弦值，比较出它们的大小关系.【详解】作//PD CA 交SC 于D ，由于AB BC CA ==，SA SB SC ==，所以S ABC -为正三棱锥，由对称性知BD PB =，取PD 中点E ，连接BE ，作EH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，连接BH ， 作PF ⊥平面ABC ，交平面ABC 于F ，连接BF ，作PG AC ⊥，交AC 于G ，连接GF ，所以BE PD ⊥，由于//PD AC ，所以BPD α=∠，由于PF ⊥平面ABC ，所以PBF β=∠，由于PG AC ⊥，PF ⊥平面ABC ，所以PGF γ=∠，222sin BE EH BH EH EH BP BP BP BPα+==>=， 因为//PD CA ，E 在PD 上，EH ⊥平面ABC 于H ，PF ⊥平面ABC 于F ， 所以EH PF =.所以sin PF EH BP BPβ==.所以sin sin αβ>， 由于,αβ都是锐角，所以αβ>，由于P 在SA 上，由对称性PB CP =，而CP PG >，则sin sin PF PF PF PG CP BPγβ=>==，由于γ也是锐角，所以γβ>， 由PB BG <,222sin BE EH BH EH EH PF BP BP BP BP BP α+==>==sin PF PG γ>=，所以αγ 综上所述，三个角中的最小角是β，最大角是α.故答案为：①α；②β.【点睛】本小题主要考查线线角、线面角、二面角的概念，考查数形结合的数学思想方法，考查空间想象能力，属于中档题.四、解答题17．已知0x y >>，0z >，求证：（1）z z x y<； （2）()()()8x y x z y z xyz +++>.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）由0x y >>，可得11y x >，结合0z >，可得z z x y<；（2）由0x >，0y >，0z >，利用基本不等式可得x y +≥，x z +≥，y z +≥，三个式子相乘，进而可证明结论成立.【详解】证明：（1）因为0x y >>，所以0xy >，10xy>， 于是11x y xy xy ⋅>⋅，即11y x>， 由0z >，得z z x y <.（2）因为0x >，0y >，0z >，所以x y +≥x z +≥，y z +≥，所以()()()8x y x z y z xyz +++≥=，当且仅当x y z ==时，等号同时成立，因为x y >，所以上式中等号不能同时取得. 所以()()()8x y x z y z xyz +++>.【点睛】本题考查不等式的证明，考查不等式的性质、基本不等式的应用，考查学生的推理能力，属于基础题.18．已知4sin 5α，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 5β=-，β是第三象限角. （1）求cos()αβ+的值；（2）求tan()αβ-的值.【答案】（1）25；（2）2 【解析】（1）求出cos α及sin β，进而利用cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，可求出答案；（2）由sin tan cos ααα=，sin tan cos βββ=，并结合tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+，可求出答案.【详解】 由4sin 5α，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得3cos 5α===-，由cos β=，β是第三象限角，得sin β===. （1）cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-34555525⎛⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由sin tan s 43co ααα==-，sin tan 2cos βββ==， 得42tan tan 3tan()241tan tan 123αβαβαβ----===+⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的运用，考查两角和与差的余弦、正切公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.19．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2a =，b =2B A =. （1）求sin A ；（2）求△ABC 的面积.【答案】（1（2【解析】（1）由正弦定理可得2sin A ==cos A ，进而可求出sin A ； （2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可求出c ，进而由△ABC 的面积1sin 2ABC S bc A =，可求出答案. 【详解】（1）由正弦定理，sin sin a b A B=，即2sin A ==因为0πA <<，所以sin 0A >，所以22cos A =，即cos A =.所以sin 4A ===.（2）由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，即2222c c =+-， 整理得22520c c -+=，解得2c =或12c =. 当2c =时，a c =，得A C =，又2B A =，故π4A C ==，π2B =，所以b ==b = 当12c =时，经检验符合题意.所以△ABC 的面积111sin 222416ABC Sbc A ==⨯=. 【点睛】 本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积，考查学生的计算求解能力，属于中档题.20．已知(3,0)A -，(1,0)B ，(0,3)C ，试求点D 的坐标，使四边形ABCD 为等腰梯形.【答案】(2,3)-或163,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】设所求点D 坐标为(,)x y ，若//AB CD ，则||||BC AD =，可求出,x y ；若//AD BC ，则|||AB CD=∣，可求出,x y ，即可得出点D 坐标. 【详解】设所求点D 坐标为(,)x y .①若//AB CD ，||||BC AD =，则3y =⎧= 解得23x y =-⎧⎨=⎩或43x y =-⎧⎨=⎩， 当23x y =-⎧⎨=⎩时，经验证AB CD ≠，符合题意； 当43x y =-⎧⎨=⎩时，4AB ==，4CD ==，AB CD =，不符合题意，舍去；②若//AD BC ，|||AB CD =∣，则030301y x --⎧=⎪+-=，解得16535x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或43x y =-⎧⎨=⎩， 当16535x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，经验证AD BC ≠，符合题意； 当43x y =-⎧⎨=⎩时，AD ==BC ==AD BC =，不符合题意，舍去. 综上，所求点D 的坐标为(2,3)-，或163,55⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查等腰梯形的性质，考查平行线的性质，考查两点间距离公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.21．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，221n n a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列12-⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n a 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）12362n n n T -+=- 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，由424S S =，221n n a a =+，可得()1111143442(21)22(1)1d a a a d a n d a n d ⨯⎧+=++⎪⎨⎪+-=+-+⎩，即可求出1a ，d ，进而可求出{}n a 的通项公式； （2）由112122n n n a n ---=，进而可利用错位相减法求出该数列的前n 项和. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由424S S =，221n n a a =+， 则()1111143442(21)22(1)1d a a a d a n d a n d ⨯⎧+=++⎪⎨⎪+-=+-+⎩，即1121d a a d =⎧⎨=-⎩， 解得11a =，2d =.所以21n a n =-.（2）由112122n n n a n ---=， 则2313572112222n n n T --=+++++①， 23111352321222222n n n n n T ---=+++++②， ①-②得，2221111111212123222231222222212n n n n n n n n n T --⎛⎫- ⎪--+⎝⎭=++++-=+-=--. 故12362n n n T -+=-. 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查利用错位相减法求数列的前n 项和，考查学生的计算求解能力，属于中档题.22．如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1B E EC ⊥.（1）证明：1B E ⊥平面EBC ；（2）若点E 为棱1AA 的中点，2AB =.①求四棱锥11E BB C C -的体积；②求直线1EC 与平面11BB C C 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）①163；②33. 【解析】（1）由BC ⊥平面11ABB A ，可得1BC B E ⊥，结合1B E EC ⊥，可证明1B E ⊥平面EBC ；（2）①由1B E ⊥平面EBC ，可得1B E BE ⊥，进而可证明11ABE A B E ≌，可知11A B E ABE ∠=∠，从而111145A B E A EB ︒∠=∠=，由AB ⊥平面11BB C C ，可知E 到平面11BB C C 的距离d AB =，进而可求出四棱锥11E BB C C -的体积;②先证明EF ⊥平面11BB C C ，从而可得1EF FC ⊥，即1EC F ∠为直线1EC 与平面11BB C C 所成的角，求解即可.【详解】（1）证明：由长方体1111ABCD A B C D -，可知BC ⊥平面11ABB A .∵1B E ⊂平面11ABB A ，∴1BC B E ⊥.∵1B E EC ⊥，BC EC C =，且,BC EC ⊂平面EBC ，∴1B E ⊥平面EBC .（2）①∵1B E ⊥平面EBC ，且BE ⊂平面EBC ，∴1B E BE ⊥，即190BEB ︒∠=，∵1190AEB A EB AEB ABE ︒∠+∠=∠+∠=，∴11A EB ABE ∠=∠，又111111AE EA AB A B BAE B A E =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴11ABE A B E ≌， ∴11A B E ABE ∠=∠，则111145A B E A EB ︒∠=∠=，∴1112A E A B ==.在长方体1111ABCD A B C D -中，1//AA 平面11BB C C ，1E AA ∈，AB ⊥平面11BB C C . ∴E 到平面11BB C C 的距离2d AB ==，∴四棱锥11E BB C C -的体积11624233V =⨯⨯⨯=. ②取F 为棱1BB 的中点，连接EF 、1C F ，则//EF AB .由题意知AB ⊥平面11BB C C ，所以EF ⊥平面11BB C C ，∵1FC ⊂平面11BB C C ，∴1EF FC ⊥，∴1EC F ∠为直线1EC 与平面11BB C C 所成的角.在11Rt A B E中，112B E A E =， 在11Rt EB C中，1EC ===于是11sin 3EF EC F EC ∠===. 所以直线1EC 与平面11BB C C所成的角的正弦值为3.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥体积的求法，考查线面角的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.。

2020-2021学年内蒙古包头市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 若a >b ，则下列不等式成立的是( )A. |a|>|b|B. 2a >2bC. a 2>b 2D. 1a <1b2. 直线√6√2=1的倾斜角大小为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π63. 设α、β、γ是三个不同平面，l 是一条直线，下列各组条件中可以推出α//β的有( )①l ⊥α，l ⊥β；②l//α，l//β；③α//γ，β//γ；④α⊥γ，β⊥γ．A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知α∈(0,2π)，且5sinα=6sin α2，则tan α2=( )A. −43B. −34C. 34D. 435. 若直线(a +2)x +(1−a)y −3=0与直线(a −1)x +(2a −3)y +2=0互相垂直．则a 的值为( )A. 1B. −1C. ±1D. −326. 若x ，y 满足约束条件{x +y <3x −y <−13x +y >1，则z =2x +y 的取值范围是( )A. (1,2)B. (1,3)C. (1,4)D. (2,4)7. 若直线ax +y −1=0与连接A(2,3)，B(−3,2)的线段总有公共点，则a 的取值范围是( )A. [−1,13] B. (−∞,−1]∪[13,+∞) C. [−13,1]D. (−∞,−13]∪[1,+∞)8. 已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A. 2π3+12B. 4π3+16C. √2π3+12D. √2π6+169.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2C2=a+b2a，则△ABC的形状是()A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形10.已知三棱锥A−BCD的四个顶点都在球O的球面上，若AB⊥平面BCD，∠CBD=90°,CD=4,AB=2√3，则球O的表面积为()A. 28πB. 30πC. 32πD. 36π11.已知锐角α，β满足α+β=π6，则1sinαcosβ+9cosαsinβ的最小值为()A. 34B. 32C. 30D. 2812.记S n为等比数列{a n}的前n项和．若S5=8，a12+a22+a32+a42+a52=32，则a1+a3+a5=()A. 4B. 5C. 6D. 7二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知tan(45°−α)=3，则tan2α=______．14.已知a n=lg n+1n(n∈N∗)，若数列{a n}的前n项和S n=1，则n=______．15.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2BC，E为棱AB的中点，直线D1E与底面ABCD所成角为45°，则异面直线D1E与BC所成角的大小为______．16.在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2bsinA=√3a，则cosA+cosB+cosC的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知△ABC的顶点A(2,6)，B(4,2)，C(−2,0)．(1)求AB边所在直线的方程；(2)求△ABC的面积．18.在△ABC中，AC=√10，CD平分∠ACB交AB于点D，已知CD=√2，∠BDC=π．4(1)求AD；(2)求BD．BC19.如图，在四棱锥P−ABCD中，已知底面ABCD是菱形，且对角线AC与BD相交于点O．(1)若PB=PD，求证：平面PBD⊥平面PAC；(2)设点E为BC的中点，在棱PC上是否存在点F，使得PB//平面AEF？请说明理由．20.如图，已知直线l1//l2，A为l1，l2之间的定点，并且A到l1，l2的距离分别为3，4，点B，C分别是直线l1，l2上的动点，使得AB⊥AC.过点A作直线DE⊥l1，交l1于点D，交l2于点E，设∠ACE=θ．(1)求△ABC的面积S△ABC关于θ的解析式f(θ)；(2)求f(θ)的最小值及取得最小值时θ的值．21.已知定义在R上的函数f(x)=x2−x+k，其中k为常数．(1)求解关于x的不等式f(x)<kx的解集；(2)若f(2)是f(a)与f(b)的等差中项，求a+b的取值范围．22.记S n为数列{a n}的前n项和．已知a n>0,a n2+2a n=4S n+3．(1)求a n及S n；(2)记b n=1，数列{b n}的前n项和为T n，是否存在正整数m，n(m<n)，使得a n⋅a n+15T1,T m,T n成等比数列？若存在，求出所有满足条件的m，n；若不存在，请说明理3由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：当a=1，b=−2时，|a|<|b|，故选项A不成立；由指数函数的单调性知，2a>2b，故选项B正确；当a=1，b=−2时，a2<b2，故选项C不成立；当a=1，b=−2时，1a >1b，故选项D不成立；故选：B．利用不等式的性质对选项A、C、D依次判断，利用指数函数的单调性判断选项B即可．本题考查了不等式的性质及指数函数单调性的应用，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：直线√6√2=1的斜率为k=−1√61√2=−√33，即tanθ=−√33，又倾斜角θ的取值范围是[0,π]，所以θ=5π6．故选：D．根据直线的斜率与倾斜角的关系，计算即可．本题考查了直线的斜率与倾斜角的应用问题，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由α、β、γ是三个不同平面，l是一条直线，得：对于①，l⊥α，l⊥β，由面面平行的判定定理得α//β；对于②，由l//α，l//β，得α与β相交或平行；对于③，α//γ，β//γ，由面面平行的判定定理得α//β；对于④，由α⊥γ，β⊥γ，得α与β平行或相交．∴可以推出α//β的有①③．故选：A．利用面面平行的判定定理直接求解．本题考查两个平面的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．4.【答案】D【解析】解：∵α∈(0,2π)，∴α2∈(0,π)，sinα2>0，∵5sinα=6sinα2，可得10sinα2cosα2=6sinα2，可得5cosα2=3，即cosα2=35>0，∴α2∈(0,π2)，∴tanα2=√1cos2α−1=√1(35)2−1=43．故选：D．由已知可求范围α2∈(0,π)，利用二倍角的正弦函数公式化简可求cosα2=35>0，可求范围α2∈(0,π2)，根据同角三角函数基本关系式可求tanα2的值．本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由题意，∵直线(a+2)x+(1−a)y−3=0与(a−1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直∴(a+2)(a−1)+(1−a)(2a+3)=0∴(a−1)(a+2−2a−3)=0∴(a−1)(a+1)=0∴a=1，或a=−1故选：C．根据两条直线垂直的充要条件可得：(a+2)(a−1)+(1−a)(2a+3)=0，从而可求a 的值本题以直线为载体，考查两条直线的垂直关系，解题的关键是利用两条直线垂直的充要条件．6.【答案】C【解析】解：存在实数x，y满足约束条件{x+y<3x−y<−1 3x+y>1，则直线2x+y=z与前三个不等式表示的平面区域(如图中阴影部分所示)有交点，由图易知，A(1,2)，C(0,1)，故z<2×1+2=4，z>2×0+1=1，所以1<z<4，所以z的取值范围为(1,4)．故选：C．由题意，画出可行域，根据条件结合图象求出z的范围即可．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合思想，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：直线ax+y−1=0经过定点P(0,1)，k PA=3−12−0=1，k PB=2−1−3−0=−13，直线ax+y−1=0与连接A(2,3)，B(−3,2)的线段总有公共点，则−a≥1，或−a≤−13，解得a≤−1，或a≥13．则a的取值范围是(−∞,−1]∪[13,+∞)，故选：B．利用斜率的计算公式及其意义即可得出．本题考查了斜率的计算公式及其意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：由三视图知，原几何体是一个三棱锥和一个半球的组合体，其中三棱锥的一个侧棱垂直于底面等腰直角三角形，且高为1，底面等腰直角三角形的腰为1，球的直径为√2半径为√22∴原几何体的体积为V=13×12×1×1×1+12×43×π×(√22)3=√2π6+16．故选D．先把三视图还原成原几何体，再根据三视图中的长度关系得到原几何体的棱长，从而求得原几何体的体积．本题考查三视图，要求能根据三视图还原成原几何体，并能找到原几何体的棱长及其中的垂直平行关系．属简单题9.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦定理，勾股定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式可得cosC=ba，由余弦定理整理可得a2=b2+c2，根据勾股定理即可判断三角形的形状．【解答】解：∵cos2C2=a+b2a=1+cosC2，∴可得a+b=a+acosC，可得：cosC=ba，∴由余弦定理可得：cosC=a2+b2−c22ab =ba，整理可得：a2=b2+c2，∴△ABC为直角三角形．故选：A．10.【答案】A【解析】解：如图，由已知可得，BA、BC、BD两两相互垂直，则三棱锥A−BCD的外接球即为以BA、BC、BD为过同一顶点的三条侧棱的长方体的外接球，长方体的对角线长为√AB2+BC2+BD2=√AB2+CD2=√(2√3)2+42=2√7．则外接球的半径R=√7，外接球的表面积S=4π×(√7)2=28π．故选：A．由题意画出图形，可知三棱锥A−BCD的外接球即为以BA、BC、BD为过同一顶点的三条侧棱的长方体的外接球，求出外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．本题考查多面体外接球表面积的求法，训练了分割补形法，是中档题．11.【答案】B【解析】解：∵α+β=π6，∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=sin π6=12，设x =sinαcosβ，y =cosαsinβ，则x +y =12， ∵α、β均为锐角， ∴x >0，y >0， ∴1sinαcosβ+9cosαsinβ=1x+9y=2(x +y)(1x+9y)=2(10+9x y+yx)≥2×(10+2√9xy ⋅yx )=32，当且仅当9xy =yx ，即xy =13，即x =18，y =38时，等号成立． ∴1sinαcosβ+9cosαsinβ的最小值为32． 故选：B ．根据正弦的两角和公式可知sinαcosβ+cosαsinβ=12，设x =sinαcosβ，y =cosαsinβ，则x +y =12，且x >0，y >0，此时有1sinαcosβ+9cosαsinβ=1x +9y =2(x +y)(1x +9y )=2(10+9x y+yx)，再结合基本不等式的性质即可得解．本题考查三角函数的最值问题，运用换元法，将原问题转化为基本不等式中常见的最值问题，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，若q =1，S 5=8，则a 1=85，a 12+a 22+a 32+a 42+a 52=5×6425≠32， 故q ≠1， 则S 5=a 1(1−q 5)1−q=8，a 12+a 22+a 32+a 42+a 52=a 12(1−q 10)1−q 2=32，②②①可得：a 1(1+q 5)1+q=4，则有a 1−a 2+a 3−a 4+a 5=4，③ 而S 5=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=8，④ 联立③④，可得a 1+a 3+a 5=6； 故选：C ．根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，分析q ≠1，由等比数列的前n 项和公式，分析可得a1(1+q 5)1+q=4，由此可得a1−a2+a3−a4+a5=4，与S5=a1+a2+a3+a4+ a5=8联立可得答案．本题考查等比数列的求和，注意等比数列前n项和公式的形式，属于基础题．13.【答案】43【解析】解：因为tan(45°−α)=1−tanα1+tanα=3，所以tanα=−12，则tan2α=2tanα1−tan2α=2×121−(12)2=43．故答案为：43．由已知利用两角差的正切公式可求tanα的值，进而根据二倍角的正切公式即可求解．本题主要考查了两角差的正切公式，二倍角的正切公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.【答案】9【解析】解：数列{a n}满足a n=lg n+1n(n∈N∗)，整理得：a n=lg(n+1)−lgn，所以：S n=a1+a2+...+a n=lg2−lg1+lg3−lg2+...+lg(n+1)−lgn=lg(n+ 1)=1，即n+1=10，整理得：n=9．故答案为：9．直接利用数列的递推关系和裂项相消法的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．15.【答案】60°【解析】解：取CD中点F，连结DE，EF，∵长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2BC，E为AB的中点，∴EF//BC，且EF=BC，设BC=1，则AB=2，EF=1，DE=√2，∵直线D1E与底面ABCD成45°角，DD1⊥平面ABCD，∴∠DED1是直线D1E与底面ABCD所成角，∴∠DED1=45°，∴DD1=DE=√2，∴D1E=√2+2=2，D1F=√2+1=√3，∵EF//BC，∴∠D1EF是异面直线D1E与BC所成角(或所成角的补角)，∵cos∠D1EF=D1E2+EF2−D1F22⋅D1E⋅EF =4+1−32×2×1=12，∴∠D1EF=60°，∴异面直线D1E与BC所成角的大小为60°．故答案为：60°．取CD中点F，连结DE，EF，则EF//BC，且EF=BC，设BC=1，推导出∠DED1是直线D1E与底面ABCD所成角，∠DED1=45°，由EF//BC，得∠D1EF是异面直线D1E与BC 所成角(或所成角的补角)，由此能求出异面直线D1E与BC所成角的大小．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】(√3+12,3 2 ]【解析】解：由正弦定理及2bsinA=√3a，知2sinAsinB=√3sinA，因为sinA≠0，所以sinB=√32，因为锐角三角形ABC，所以B=π3，{0<A<π20<C=2π3−A<π2，解得π6<A<π2，所以cosA+cosB+cosC=cosA+cosπ3+cos(2π3−A)=cosA+cosπ3+cos2π3cosA+sin2π3sinA=12cosA+√32sinA+12=sin(A+π6)+12，因为π6<A<π2，所以π3<A+π6<2π3，所以sin(A+π6)∈(√32,1]，sin(A+π6)+12∈(√3+12,32]，所以cosA+cosB+cosC的取值范围为(√3+12,3 2 ].故答案为：(√3+12,3 2 ].利用正弦定理化边为角，可求得B的大小，由锐角三角形ABC，可确定A的范围，再结合两角差的余弦公式、辅助角公式对所求式子进行化简，然后由正弦函数的图象与性质，即可得解．本题考查解三角形与三角函数的综合，熟练掌握正弦定理，两角差的余弦公式，辅助角公式，以及正弦函数的图象与性质等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)k AB=6−22−4=−2，∴AB边所在直线的方程为：y−6=−2(x−2)，化为：2x+y−10=0．(2)|AB|=√(2−4)2+(6−2)2=2√5，点C到直线AB的距离d=|2×(−2)+0−10|√22+12=14√5，∴△ABC的面积S=12|AB|⋅d=12×2√5×14√5=14．【解析】本题考查点斜式直线方程、两点之间的距离公式、点到直线距离公式、三角形面积计算公式，属于基础题．(1)利用点斜式即可得出．(2)利用两点之间的距离公式可得|AB|，利用点到直线距离公式可得点C到直线AB的距离d，即可得出△ABC的面积S．18.【答案】解：(1)设AD=m，∠ADC=π−∠BDC=π−π4=3π4，所以，在△ADC中，由余弦定理可得：m2+CD2−2m⋅CD⋅cos3π4=AC2，即m2+2−2√2m⋅(−√22)=10，解得m=2，即AD=2．(2)在△BDC，△ADC中，由正弦定理可得：BDBC =sin∠DCBsin∠BDC=sin∠DCAsin∠ADC=ADAC=2√10=√105．【解析】(1)设AD=m，在△ADC中，由余弦定理可得AD的值；(2)在△BDC，△ADC中，由正弦定理即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．19.【答案】解：(1)证明：连接PO，因为底面ABCD为菱形，所有BD⊥AC，BO=DO，又因为PB=PD，所以BD⊥PO，又因为PO∩AC=O，且AC，PO⊂平面PAC，又BD⊥平面PAC，因为BD⊂平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD；(2)棱PC上存在点F，使得PB//平面AEF，证明如下：取PC的中点F，连接AF，EF．因为E是BC的中点，所以EF//PB，因为PB⊄平面AEF，所以PB//平面AEF．【解析】(1)连接PO，由题意利用线面垂直的判定可证BD⊥平面PAC，进而根据面面垂直的判定即可证明平面PAC⊥平面PBD；(2)取PC的中点F，连接AF，EF，由E是BC的中点，可得EF//PB，进而根据线面平行的判定即可证明PB//平面AEF．本题主要考查空间平面与平面的垂直的判定与性质和空间直线与平面的平行的判定与性质，主要考查学生对于空间几何的定理的掌握与应用，属于中档题．20.【答案】解：(1)过A作l1、l2的垂线，分别交l1、l2于D、E，则AD=3，AE=4，设∠ACE=θ，则Rt△ACF中，AC=AEsinθ=4snθ，Rt△ABD中，∠BAD=θ，可得AB=ADcosθ=3cosθ，∴△ABC面积为f(θ)=12AB⋅AC=6sinθcosθ=12sin2θ，θ∈(0,π2)，(2)∵θ∈(0,π2)，∴当且仅当θ=π4时，sin2θ=1达到最大值1，此时△ABC面积f(θ)有最小值12，【解析】由直角三角形中三角函数的定义，算出AC，AB，从而得到△ABC面积，利用正弦函数的有界性，可得θ=π4时△ABC面积有最小值12．此题考查了直角三角形中锐角三角函数定义，正弦函数的定义域及值域及二倍角的正弦函数公式，利用了数形结合的思想，属于中档题．21.【答案】解：(1)由f(x)<kx，可得x2−x+k<kx，即(x−k)(x−1)<0，当k=1时，不等式的解集为⌀；当k<1时，不等式的解集为(−∞,k)∪(1,+∞)；当k>1时，不等式的解集为(−∞,1)∪(k,+∞)．(2)若f(2)是f(a)与f(b)的等差中项，则2(2+k)=(a2−a+k)+(b2−b+k)，整理得a2+b2−(a+b)=4，∴4=a2+b2−(a+b)=(a+b)2−(a+b)−2ab≥(a+b)2−(a+b)−2(a+b2)2，解得−2≤a+b≤4，所以a+b的取值范围为[−2,4]．【解析】(1)对k分类讨论，利用一元二次不等式的解法可得结论；(2)由等差中项的性质可得关于a，b的等式，再利用基本不等式即可得结论本题主要考查一元二次不等式的解法，等差中项的性质，基本不等式的运用，属于中档题．22.【答案】解：(1)n=1时，a12+2a1=4a1+3，a1>0，解得a1=3．∵a n>0,a n2+2a n=4S n+3．∴n≥2时，a n−12+2a n−1=4S n−1+3，相减可得：a n2+2a n−(a n−12+2a n−1)=4a n，化为：(a n+a n−1)(a n−a n−1−2)=0，又a n>0，∴a n−a n−1=2，∴数列{a n}为等差数列，公差为2，首项为3．∴a n=3+2(n−1)=2n+1，S n=n(3+2n+1)2=n2+2n．(2)b n=1a n⋅a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，∴数列{b n}的前n项和为T n=12(13−15+15−17+⋯…+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)=n3(2n+3)．假设存在正整数m，n(m<n)，使得53T1,T m,T n成等比数列，则m 29(2m+3)2=53×115×n3(2n+3)，化为：(2+3m )2=3(2+3n)，m=2时，494=6+9n，n不为整数，等号不成立；m=3时，左边=9，由于n≥4，∴右边≤3×(2+34)<9，等号不成立；m=4时，左边=12116=7+916，由于n=5，∴右边=3×(2+35)=7+45，等号不成立；n≥6时，右边≤3×(2+36)=7.5，等号不成立；同理可得：m=5时，没有满足条件的m，n；m=6时，n=36，满足条件；m≥7时，左边≤28949<6，右边>3×2=6，没有满足条件的m，n．综上可得：只有存在一组正整数m=6，n=36，使得53T1,T m,T n成等比数列．【解析】(1)n=1时，a12+2a1=4a1+3，a1>0，解得a1．a n>0,a n2+2a n=4S n+3，n≥2时，a n−12+2a n−1=4S n−1+3，相减化简并且利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出结论．(2)b n=1a n⋅a n+1=12(12n+1−12n+3)，利用裂项求和可得数列{b n}的前n项和为T n，假设存在正整数m，n(m<n)，使得53T1,T m,T n成等比数列，可得：T m2=53T1⋅T n，代入通过分类讨论，利用数列的单调性即可得出结论．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及求和公式、数列的单调性、裂项求和方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

内蒙古包头市数学高一下学期文数期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 13 题；共 25 分)1. （2 分） (2019 高三上·广东月考) 设集合 （），集合，则A. B. C. D. 2. （2 分） 下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（ ） A . y=2x﹣1B . y= C . y=﹣（x﹣1）2D . y=log （x﹣1）3. （2 分） 下表是 x 与 y 之间的一组数据，则 y 关于 x 的线性回归直线必过点（ ）x0123y1357A.B.C.D.第1页共9页4. （2 分） 程序框图如图所示：如果输入 x=5，则输出结果为（ ）A . 325 B . 109 C . 973 D . 295 5. （2 分） 函数的一个单调增区间是（ ）A.B.C.D.6. （2 分） 以下命题正确的是（ ）A . α，β 都是第一象限角，若 cosα＞cosβ，则 sinα＞sinβB . α，β 都是第二象限角，若 sinα＞sinβ，则 tanα＞tanβC . α，β 都是第三象限角，若 cosα＞cosβ，则 sinα＞sinβD . α，β 都是第四象限角，若 sinα＞sinβ，则 tanα＞tanβ7. （2 分） 下列关系正确的是（ ）A . 0∉N第2页共9页B . 0 =0 C . cos0.75°＞cos0.7D . lge＞（lge）2＞lg8. （2 分） 在△ABC 中，D 为 BC 边上的点， = + ， 则 的最大值为（ ） A.1B.C.D.9. （2 分） (2017·深圳模拟) 已知函数 =f（x2），且 x1≠x2 ， 则 f（x1+x2）=（ ）的图象如图所示，若 f（x1）A.1B.C.D.210. （2 分） 已知等比数列 中，公比 若 则A . 最小值-4第3页共9页有（ ）B . 最大值-4 C . 最小值 12 D . 最大值 1211. （2 分） (2017 高三上·四川月考) 已知等差数列 的公差，且 ， ， 成等比数列，若， 为数列 的前 项和，则A.B.的最小值为（ ）C.D.12. （2 分） (2017 高二上·大连期末) 若函数不等式恒成立，则 a 的取值范围是（ ）A . [﹣1，0]B . [﹣1，+∞）C . [0，3]D . [3，+∞）在内任取两个实数 p，q，且 p≠q，13. （1 分） (2017·南开模拟) 若 a＞0，b＞0，且 2a+b=1，则 2二、 填空题 (共 3 题；共 3 分)﹣4a2﹣b2 的最大值是________．14. （1 分） (2018·山东模拟) 已知向量 ________．，，若，则实数15. （1 分） (2017·闵行模拟) 已知无穷数列{an}，a1=1，a2=2，对任意 n∈N* ， 有 an+2=an ， 数列{bn}满足 bn+1﹣bn=an（n∈N*），若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的 b1 的值为第4页共9页________ 16. （1 分） (2016 高一下·江阴期中) 若点（1，3）和（﹣4，﹣2）在直线 2x+y+m=0 的两侧，则 m 的取值范围是________三、 解答题 (共 5 题；共 40 分)17. （5 分） (2017 高一上·密云期末) 已知向量，．（Ⅰ）若 ， 共线，求 x 的值；（Ⅱ）若 ⊥ ，求 x 的值；（Ⅲ）当 x=2 时，求 与夹角 θ 的余弦值．18. （10 分） (2017 高二上·汕头月考) 设 是数列 的前 项和，已知.（1） 求数列 的通项公式；（2） 令，求数列 的前 项和 .19. （10 分） (2019 高二上·林芝期中) 设数列 ．的前 项和为（1） 求数列 和 的通项公式；， 为等比数列，且，（2） 设，求数列 的前 项和 ．20. （10 分） (2020·华安模拟) 已知 .的内角 ､ ､ 所对的边分别为 ， ， ，且（1） 若，角，求角 的值；（2） 若，，求 ， 的值.21. （5 分） (2017 高一上·长春期中) 定义在[﹣3，3]上的增函数 f（x）满足 f（﹣x）=﹣f（x），且 f（m+1） +f（2m﹣1）＞0，求实数 m 的范围．第5页共9页一、 单选题 (共 13 题；共 25 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、二、 填空题 (共 3 题；共 3 分)14-1、 15-1、参考答案第6页共9页16-1、三、 解答题 (共 5 题；共 40 分)17-1、18-1、 18-2、第7页共9页19-1、 19-2、 20-1、20-2、第8页共9页21-1、第9页共9页。

内蒙古包头市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2016高二上·惠城期中) 如图是计算1+ + +…+ 的值的一个程序框图，其中判断框内应填的是（）A . i＞10B . i＜10C . i＞20D . i＜202. （2分） (2019高二上·会宁期中) 在中，，则（）A .B .C .D .3. （2分）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润（）A . 4650元B . 4700元C . 4900元D . 5000元4. （2分）从6名男同学，3名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高二下·凯里期末) 某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量（单位：度）与气温（单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以照表：（单位：）171410-1（单位：度）24343864由表中数据得线性回归方程：，则由此估计：当气温为时，用电量约为（）A . 56度B . 62度C . 64度D . 68度6. （2分） (2018高二下·辽宁期末) 已知 ,则（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高一下·虎林期末) 在数列中， =1，，则的值为（）A . 512B . 256C . 2048D . 10248. （2分）如果不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a的取值范围是（）A . （﹣∞，7）B . （﹣∞，7]C . （﹣∞，5）D . （﹣∞，5]二、填空题 (共6题；共7分)9. （2分）某小组共有8名同学，其中男生6人，女生2人，现从中按性别用分层抽样方法从中抽取4人参加社区志愿者服务，则男生抽取________ 人；女生抽取________人．10. （1分）(2020·西安模拟) 设的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，若，，，则 ________.11. （1分）设函数y=f(x)在区间[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线,且恒有0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似计算由曲线y=f(x)及直线x=0,x=1,y=0所围成部分的面积S.先产生两组(每组N个)0~1区间上的均匀随机数x1,x2,…,xN和y1,y2,…,yN,由此得到N个点(xi,yi)(i=1,2,…,N).再数出其中满足yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的点数N1,那么由随机模拟方法可得S的近似值为________.12. （1分）(2018·济南模拟) 已知函数，且，则的最小值为________.13. （1分）设Sn为数列{an}的前n项和，且a1=， an+1=2Sn﹣2n ，则a8=________14. （1分）设函数f（x）= ，若对x＞0恒有xf（x）+a＞0成立，则实数a的取值范围是________．三、解答题 (共8题；共60分)15. （5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2csinA．（1）求角C的值；（2）若c=，且S△ABC=，求a+b的值．16. （10分） (2018高二上·石嘴山月考) 已知数列是首项公比的等比数列，是首项为1公差的等差数列.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和 .17. （10分）(2017·腾冲模拟) 根据微信同程旅游的调查统计显示，参与网上购票的1000位购票者的年龄（单位：岁）情况如图所示．（1）已知中间三个年龄段的网上购票人数成等差数列，求a，b的值；（2）为鼓励大家网上购票，该平台常采用购票就发放酒店入住代金券的方法进行促销，具体做法如下：年龄在[30，50）岁的每人发放20元，其余年龄段的每人发放50元，先按发放代金券的金额采用分层抽样的方式从参与调查的1000位网上购票者中抽取5人，并在这5人中随机抽取3人进行回访调查，求此3人获得代金券的金额总和为90元的概率．18. （5分） (2017高一下·新乡期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， asinB+bcosA=c．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若a=2 c，S△ABC=2 ，求b．19. （5分）已知不等式x2﹣3x+t＜0的解集为{x|1＜x＜m，x∈R}，求t，m的值．20. （10分）(2017·黄冈模拟) 数列{an}中，a1=2，（n∈N*）．（1）证明数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）设，若数列{bn}的前n项和是Tn，求证：．21. （5分）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若b=2，求ac的最大值．22. （10分） (2017高一下·玉田期中) 设数列{an}的前n项和为Sn ，已知S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N* ．（1）求通项公式an；（2）求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共7分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共8题；共60分)15-1、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。

2024届内蒙古包头市第一中学数学高一下期末考试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知直线过点()1,2-且与直线2340x y -+=垂直，则该直线方程为（） A ．3210x y +-= B ．2310x y C ．3210x y ++=D ．2310x y2．已知球面上有,,A B C 三点，如果||||||23AB AC BC ===，且球心到平面ABC 的距离为1，则该球的体积为 （ ） A ．203π B ．2053π C ．1553π D ．1053π 3．已知实数x ，y 满足1x >，1y >，且1ln 4x ，14，ln y 成等比数列，则xy 有（ ）A ．最大值eB ．最大值eC ．最小值eD ．最小值e4．点(1,2)P -到直线kx y k 0--=（k ∈R ）的距离的最大值为 A ．22 B ．2C ．2D ．325．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（ ） A ．B ．C ．D ．6．若集合{}2123A =-，，，，{}2B x x n n N ==∈，，则A B =（ ）A ．{}2-B ．{}2C ．{}22-，D ．∅7．如图是正方体的展开图，则在这个正方体中：①AF 与CN 平行； ②BM 与AN 是异面直线； ③AF 与BM 成60°角； ④BN 与DE 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是 A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④8．与圆22:(2)(2)1C x y ++-=关于直线10x y -+=对称的圆的方程为（ ） A ．22(1)(1)1x y -++= B ．22(1)(1)1x y +++= C ．22(1)(1)1x y -+-=D ．22(1)(1)1x y ++-=9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，636S =，则8a =（ ） A ．21B ．15C ．12D ．910．已知1sin,sin ,sin ,222a x x b x ωωω⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0>ω，若函数1()2f x a b =⋅-在区间(,2)ππ内有零点，则实数ω的取值可能是（ ）A ．18B ．14C ．12D ．34二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2016～2017学年度第二学期高一年级期末考试文科数学试题考试时间：2017年7月14日 满分：150分 考试时长：120分钟第一部分一.选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知0a b <<，则下列不等式一定成立的是( )A.2a ab <B.a b <C. 1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.11a b> 2.直线220ax y +-=与直线()120x a y -++=互相垂直，则这两条直线的交点坐标为( ) A.26,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B. 26,55⎛⎫⎪⎝⎭C. 26,55⎛⎫-⎪⎝⎭ D.26,55⎛⎫-⎪⎝⎭ 3.等差数列{}n a 中，已知9015=S ，那么=8a ( ) A. 3B. 4C. 6D. 124.向量()()1,1,1,2=-=-a b ，则()⋅2a+b a =( ) A.1- B.0C.1D.25. 某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A.200+9π B.200+18π C.140+9π D.140+18π6.ABC 中的内角,,CA B 的对边分别为,,a b c ，已知2,2,c o s 3a c A ===，则b =( )7. 若0,0a b >>且直线20ax by +-=过点()2,1P ，则12ab+的最小值为（ ）A.92B. 4C.72D.6,x y 满足约束条件，设 ,x y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值为( )8.设 A.0B.1C.2D.39. 如图所示，要测量河对岸A ，B 两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C ，D 两点，测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，∠ADC ＝30°，则AB 的距离是( )A.402米B.202米C.203米D.206米10.如图，在四面体ABCD 中，E ,F 分别是AC 与BD 的中点，若CD =2AB =4，EF BA ⊥，则EF与CD 所成角为( ) A.2πB.4π C.6π D.3π 11.过点()3,1作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为 ( )A.230x y +-=B.230x y --=C.430x y --=D.430x y +-=12．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2sin cos 2sin sin ,3C B A B c ab =+=，则ab 的最小值是（ ）A.19B.13C.29+ D.29- 第二部分二、填空题：本题共有4小题,每小题5分, 共20分13.直线10x y ++=截圆224250x y x y +-+-=所得的弦长为________．14.若点()1,2P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在P 处的切线方程为__________.15.设P 表示一个点，m,n 表示两条不重合的直线，αβ，是两个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是_______①,.P m P m αα∈∈⇒⊂ ②,mn P n m ββ=⊂⇒⊂③m n ∥,,,m P n P n ααα⊂∈∈⇒⊂ ④,,n P P P n αβαβ=∈∈⇒∈16.《九章算术》中“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有恒厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，如果墙厚316432，_______天后两只老鼠打洞打穿城墙.三、解答题：本题共有6小题,其中17题10分,18~22题每题12分，共120分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）(1)求过点()1,3A ，斜率是直线4y x =-的斜率的13的直线方程； (2)求经过点()5,2A -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程.18.（本小题满分12分）如图所示在三棱锥A BCD -中，,,3,4AB BCD BC BD AB BC BD ⊥⊥===平面，点,E F 分别是,AC AD 的中点.(1)判断直线EF 与平面BCD 的位置关系，并说明理由； (2)求三棱锥A BCD -的体积.19. （本小题满分12分）已知函数()14.1f x x x =+- (1)当1x >时，求函数()f x 的最小值；(2)当1x <时，()f x a ≤恒成立，求a 的最小值.20. （本小题满分12分）在数列{}n a 中, ()2114,122.n n a na n a n n +=-+=+(1)求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； (2)求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .21. （本小题满分12分）在ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sin cos b A B =. (1)求角B 的大小;(2)若b求ABC 周长的取值范围.22.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点()2,4A .(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；(3)设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围.高一年级期末考试文科数学试题答案1~5 DBCCA 6~10 DBDCC 11~12 AB13.250x y +-= 15.○3○4 16.6 17.(1)43130x y +-=；(2)22105y x x y =-++=或 18.(1)EF ABCD ∥平面 (2)8A BCD V -=19. (1)()()14141f x x x =-++- ∵1x >，∴10x ->∴()14141x x -+≥-（等号成立当且仅当32x =） ∴()min 8f x =（2）∵1x <，∴10x -<∴()14141x x -+≤--（等号成立当且仅当12x =）∴()max 0f x = ∴0a ≥ ∴min 0a =.20. （Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）().21nn +（Ⅱ）由（Ⅰ），得()121n a a n n =+-，即22n an n=+ 即222n a n n =+，故()()21111111222121n n n a n n n n n n +-⎛⎫==⋅=⋅- ⎪+++⎝⎭,所以111111122231n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111123231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++-+++⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1112121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． 21.(1)3π(2)(22.【答案】（1）22(6)(1)1x y -+-=（2）:25215l y x y x =+=-或（3）22t -≤+(2)因为直线l||OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为y=2x+m ，即2x-y+m=0， 则圆心M 到直线l 的距离d==因为BC OA===而2 22,2BC MC d⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()252555m+=+，解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.。

内蒙古包头市高一下学期期数学期末质量监测试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一下·鞍山期末) 点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为（）A .B .C .D . π2. （2分） (2016高一下·南市期中) 函数y= + 的值域是（）A . {﹣1，0，1，2}B . {﹣2，0，2}C . {﹣2，0}D . {﹣2，2}3. （2分） (2020高一上·武汉期末) 如图所示，扇形OAB中，弦AB的长等于半径，则弦AB所对的圆心角的弧度数满足（）A .B .C .D . 以上都不是4. （2分）把389化为四进制数的末位为（）A . 1B . 2C . 3D . 05. （2分） (2016高二上·芒市期中) 某大学有A、B、C三个不同的校区，其中A校区有4000人，B校区有3000人，C校区有2000人，采用按校区分层抽样的方法，从中抽取900人参加一项活动，则A、B、C校区分别抽取（）A . 400人、300人、200人B . 350人、300人、250人C . 250人、300人、350人D . 200人、300人、400人6. （2分） (2017高一上·辽源月考) 函数（）A . 上是减函数B . 上是增函数C . 上是减函数D . 上是减函数7. （2分）(2018·恩施模拟) 已知函数的最小正周期为，且其图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（）B .C .D .8. （2分）在△ABC中，若，则△ABC是（）A . 等边三角形B . 锐角三角形C . 钝角三角形D . 直角三角形9. （2分）一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时袋中抽取的白球的个数为随机变量ξ，则 =（）A .B .C .D .10. （2分）已知函数f（x）=2sin2x+2 sin xcos x－1的图象关于点（φ，0）对称，则φ的值可以是（）A .B .D .11. （2分）函数是（）A . 奇函数且在上单调递增B . 奇函数且在上单调递增C . 偶函数且在上单调递增D . 偶函数且在上单调递增12. （2分）已知M（，）是双曲线C：上的一点，，是C上的两个焦点，若＜0，，则的取值范围是（）A . （，）B . （，）C . （，）D . （，）二、填空题 (共8题；共8分)13. （1分） (2016高一下·溧水期中) 设平面向量 =（﹣1，2）， =（2，b），若，则等于________．14. （1分）已知，则 =________．15. （1分） (2017高二上·石家庄期末) 若五个数1、2、3、4、a的平均数为4，则这五个数的标准差为________．16. （1分） (2018高一下·珠海月考) 用更相减损术或辗转相除法求459和357的最大公约数为________.17. （1分）函数y=cos2x+sinx的最大值是________ ．18. （1分）某校为了解学生的睡觉情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为________ h19. （1分）化简 =________．20. （1分）(2020·杨浦期末) 在直角坐标平面中，，动点在圆上，则的取值范围为________.三、解答题 (共5题；共60分)21. （10分）(2018高一上·西宁期末) 已知为坐标原点，，，若 .（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）当时，若方程有根，求的取值范围.22. （10分）某工厂对某产品的产量与单位成本的资料分析后有如下数据：月份123456产量x千件234345单位成本y元/件737271736968（Ⅰ）求单位成本y与月产量x之间的线性回归方程．（其中已计算得：x1y1+x2y2+…+x6y6=1481，结果保留两位小数）（Ⅱ）当月产量为12千件时，单位成本是多少？23. （10分）已知：f（x）=2cos2x+2 sinxcosx+a（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期和增区间；（2）若f（x）在[﹣， ]上最大值与最小值之和为3，求a的值．24. （15分） (2018高二下·长春期末) 市某机构为了调查该市市民对我国申办年足球世界杯的态度，随机选取了位市民进行调查，调查结果统计如下：支持不支持合计男性市民女性市民合计附：，其中 .（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；（2）利用（1）完成的表格数据回答下列问题：（i）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为支持申办足球世界杯与性别有关；（ii）已知在被调查的支持申办足球世界杯的男性市民中有位退休老人，其中位是教师，现从这位退休老人中随机抽取人，求至多有位老师的概率.25. （15分）已知函数y=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，ω＞0，﹣＜ϕ＜）的一段图象如图（1）求该函数的解析式；（2）求该函数的增区间．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共8题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共60分) 21-1、22-1、23-1、23-2、24-1、24-2、25-1、25-2、第11 页共11 页。

内蒙古包头市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 已知函数 f(x)的定义域是(0，1)，那么 f(2x)的定义域是（）A . (0，1)B . ( ， 1)C . (－∞，0)D . (0，＋∞)2. （2 分） (2019 高二上·龙潭期中) 为比较甲、乙两地某月 14 时的气温状况，随机选取该月中的 5 天，将 这 5 天中 14 时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：①甲地该月 14 时的平均气温低于 乙地该月 14 时的平均气温；②甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温；③甲地该月 14 时的平均 气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差；④甲地该月 14 时的平均气温的标准差大于乙地该月 14 时的气 温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（ ）A . ①③B . ①④C . ②③D . ②④3. （2 分） (2016 高二上·河北期中) 从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为 m 甲 ， m 乙 ，则（ ）第 1 页 共 13 页A.，m 甲＞m 乙B.，m 甲＜m 乙C.，m 甲＞m 乙D.，m 甲＜m 乙4. （2 分） (2017 高一上·深圳期末) 2001 年至 2013 年北京市电影放映场次的情况如图所示．下列函数模型 中，最不合适近似描述这 13 年间电影放映场次逐年变化规律的是（ ）A . y=ax2+bx+cB . y=aex+bC . y=aax+bD . y=alnx+b5. （2 分） 已知 为两条不同直线， 为两个不同平面，则下列命题中不正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则第 2 页 共 13 页D.若，则6. （ 2 分 ） (2018· 广 东 模 拟 ) 在 ，则中，内角所对的边分别是，若（）A.B.C.D. 7. （2 分） 若， 则直线 ax+by+c=0 被圆所截得的弦长为（ ）A. B.１C.D. 8. （2 分） 平行于直线 2x＋y＋1＝0 且与圆 x2＋y2＝5 相切的直线的方程是（ ） A . 2x＋y＋5＝0 或 2x＋y－5＝0B . 2x＋y＋ ＝0 或 2x＋y－ ＝0 C . 2x－y＋5＝0 或 2x－y－5＝0D . 2x－y＋ ＝0 或 2x－y－ ＝09. （2 分） (2019 高二上·宁波期中) 长方体点，则异面直线与 所成角为（ ）第 3 页 共 13 页中，,为中A.B.C.D.10. （2 分） (2018·台州模拟) 已知圆 ：圆 引两条切线，为切点，则直线，点 为直线 经过定点（ ）A.B. C.D.上一动点，过点 向11. （2 分） 设正方体的棱长为 ,则它的外接球的表面积为（ ） A. B. C.D. 12. （ 2 分 ） (2019 高 三 上 · 湖 南 月 考 ) 已 知，若 分别是线段 的中点，则是圆 （）A.B. C . 12第 4 页 共 13 页的两个动点，D.4二、 填空题 (共 4 题；共 6 分)13. （1 分） (2016 高二上·温州期中) 若圆锥的侧面展开图是半径为 2 的半圆，则圆锥的高是________，圆 锥的轴截面面积是________．14. （1 分） (2019 高二下·临海期中) 曲线 程为________．在点处的切线的斜率是________ ；切线方15. （2 分） (2019 高二上·宜昌月考) 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是________.16. （2 分） (2019 高三上·泰州月考) 已知向量 满足与 的夹角的正切为，，则的值为________.且 与 的夹角的正切为，三、 解答题 (共 6 题；共 28 分)17. （2 分） (2019 高一下·普宁期末) 某工厂有工人 1000 名，其中 250 名工人参加过短期培训（称为 A 类 工人），另外 750 名工人参加过长期培训（称为 B 类工人）.现用分层抽样方法（按 A 类，B 类分二层）从该工厂的 工人中共抽查 100 名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）（1） A 类工人中和 B 类工人各抽查多少工人？（2） 从 A 类工人中抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2：表 1：生产能力分组人数48x53表 2：生产能力分组人数6y3618①先确定 x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与 B第 5 页 共 13 页类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）②分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据 用该区间的中点值作代表）图 1A 类工人生产能力的频率分布直方图图 2B 类工人生产能力的频率分布直方图18. （2 分） (2017·宝鸡模拟) 某市对贫困家庭自主创业给予小额贷款补贴，每户贷款为 2 万元，贷款期限 有 6 个月、12 个月、18 个月、24 个月、36 个月五种，这五种贷款期限政府分别需要补助 200 元、300 元、300 元、 400 元，从 2016 年享受此项政策的困难户中抽取了 100 户进行了调查，选取贷款期限的频数如表：贷款期限 频数6 个月 2012 个月 4018 个月 2024 个月 1036 个月 10以上表各种贷款期限频率作为 2017 年贫困家庭选择各种贷款期限的概率．（1） 某小区 2017 年共有 3 户准备享受此项政策，计算其中恰有两户选择贷款期限为 12 个月的概率；（2） 设给享受此项政策的某困难户补贴为 ξ 元，写出 ξ 的分布列，若预计 2017 年全市有 3.6 万户享受此 项政策，估计 2017 年该市共需要补贴多少万元．19. （2 分） (2015 高二上·承德期末) 已知点 P（0，2）和圆 C：x2+y2﹣8x+11=0．（1） 求过点 P，点 C 和原点三点圆的方程；（2） 求以点 P 为圆心且与圆 C 外切的圆的方程．20. （10 分） 已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，bcosC+ bsinC﹣a﹣c=0．求证：A，B， C 成等差数列．21. （2 分） (2019 高二上·汇川期中) 如图，四棱锥 P－ABCD 的底面是平行四边形，PD⊥AB，O 是 AD 的中点，第 6 页 共 13 页BO＝CO.（1） 求证：AB⊥平面 PAD；（2） 若 AD＝2AB＝4， PA＝PD，点 M 在侧棱 PD 上，且 PD＝3MD，二面角 P－BC－D 的大小为 与平面 MAC 所成角的正弦值.，求直线 BP22. （10 分） (2020 高一下·潮州期中) 已知圆 C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a＞0）关于直线 3x﹣2y=0 对称， 且与直线 3x﹣4y+1=0 相切．（1） 求圆 C 的方程；（2） 若直线 l：y=kx+2 与圆 C 交于 M，N 两点，是否存在直线 l，使得 在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由．（O 为坐标原点）若存第 7 页 共 13 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 6 分)参考答案13-1、 14-1、第 8 页 共 13 页15-1、16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 28 分)17-1、17-2、18-1、第 9 页 共 13 页18-2、 19-1、19-2、第 10 页 共 13 页20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。

内蒙古包头一中2021-2021学年高一数学下学期期末考试（含解析）第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知α为第三象限角，那么2α所在的象限是（ ）A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限 【答案】D 【解析】试题分析：由题可知3222,k a k k z ππππ+<<+∈因此sin()cos 2a a π+=因此2a在第二或第四象限． 考点：象限角的概念和判定2．已知51sin()25πα+=,那么cos α= （ ） A ．25- B ．15- C ．15 D ．25【答案】C 【解析】 试题分析：由51sin()25πα+==sin()cos 2a a π+=,因此选C ． 考点：三角函数诱导公式的应用3．如图，F E D ,,别离为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点， 则=+FC EB （ ） A ．AD B ．12AD C ．12BC D ．BC 【答案】A 【解析】试题分析：由题知EB FC ED EF FC ED EC AF AE AD +=++=+=+=,因此选A ． 考点：向量的运算和平行四边形法那么的应用4．在以下向量组中，能够把向量()2,3=a 表示出来的是（ ）A ．)2,1(),0,0(21==e eB ．)2,5(),2,1(21-=-=e eC ．)10,6(),5,3(21==e eD ．)3,2(),3,2(21-=-=e e 【答案】B 【解析】试题分析：由12(3,2)2a e e ==+可知，选B ． 考点：向量的坐标运算和平面向量大体定理5．设sin 33,cos55,tan 35,a b c =︒=︒=︒那么（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【答案】C 【解析】试题分析：0tan 35,cos55sin 35,sin 33,c b a ====所以c>b>a ． 考点：三角函数诱导公式和三角函数单调性6．等边ABC ∆的边长为1,设,,AB a BC b AC c ===,那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅=（ ） A ．23 B ．21 C ．23- D ．21- 【答案】B 【解析】试题分析：由000111cos12011cos6011cos602a b b c c a ⋅+⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，∴选B ． 考点：向量数量积的运算7．已知等腰ABC △的腰为底的2倍，那么顶角A 的正切值是（ ） ABCD【答案】D 【解析】试题分析：由题知222tan 21tan 2tantan AAA A -===选D ．考点：二倍角公式的应用8．以下函数中，图像的一部份如下图的是（ ） A ．sin()6y x π=+B ．sin(2)6y x π=-C ．cos(4)3yx π=- D ．cos(2)6y x π=-【答案】D 【解析】试题分析：由12=2,1T Y D ππω==∴得，X=选． 考点：三角函数图像及性质的应用 9．△ABC 中，假设cos cos a bB A=，那么该三角形必然是（ ） A ．等腰三角形但不是直角三角形 B ．直角三角形但不是等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 试题分析：由cos cos a b B A =，得cos sin cos sin a B Ab A B==，得sin cos sin cos sin2sin2A A B B A B A B ⋅=⋅∴=∴=或=2A B π+，选D ．考点：正弦定理和余弦定理的应用10．已知点(1,1)A -,(1,2)B ,(2,1)C --,(3,4)D ，那么向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A B C ． D ．【答案】A 【解析】试题分析：(21),(55),=AB CD AB CD ==∴，，向量在向量上的投影2=． 考点：向量数量积的运算和投影的概念11．设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，那么（ ） A ．32παβ-= B ．22παβ-=C ．32παβ+=D ．22παβ+=【答案】 B 【解析】试题分析：2222424222sin cos tan 11sin tan tan()cos cos sin 1tan a B βββββππββββαβ+++====+∴=+∴--选． 考点：两角和的正切公式和倍角公式的应用12．已知函数()sin cos f x a x b x =-（a b ，为常数，0a x ≠∈R ，）的图象关于 直线4π=x 对称，那么函数)43(x f y -=π是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 【答案】D 【解析】 试题分析：由()f x 的图像关于直线4x π=对称，得334444())()sin()sin f a b a b f x x x ππππ=-=∴=-∴-=-+=∴选D ． 考点：三角函数图像和性质及辅助角公式的应用 第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13．已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=_________． 【答案】（5，7）【解析】试题分析：22(2,4)(1,1)(5,7)a b -=--=． 考点：向量的坐标运算14．通过观看所给两等式的规律，①;23150sin 90sin 30sin 222=︒+︒+︒②.23125sin 65sin 5sin 222=︒+︒+︒ 请你写出一个（包括上面两命题）一样性的命题： ． 【答案】23)120(sin )60(sin sin 222=++++ ααα【解析】试题分析：观看两式的特点，角度相差060，和为32考点：归纳与推理思想的应用15．将函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin πϕπωϕω，x x f 图像上每一点的横坐标缩短为原先的一半，纵坐标不变，再向右平移6π的单位长度取得x y sin =的图像，那么=⎪⎭⎫⎝⎛6πf ____________．【解析】试题分析：由题知1266()sin()()f x x f ππ=+∴=考点：三角函数图像的变换 16．概念在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,那么线段P 1P 2的长为______ ． 【答案】23【解析】 试题分析：212223(0,),6cos 5tan sin ,x x x x PPπ∈=∴=的距离为P 点的纵坐标． 考点：三角函数图像和数形结合思想的应用三、解答题（题型注释）17．已知2sin cos 3α+α=，求22sin sin 21tan α+α+α的值．【答案】59-【解析】 试题分析：由条件2sin cos 3α+α=得2592sin sin 22sin (sin cos )52sin cos 2sin cos ,cos sin 1tan 9cos ααααααααααααα++=-===-++，化简原式整体代入得原式=5-9试题解析：由2sin cos 3α+α=,于是得252sin cos (sin cos )19αα=α+α-=-22sin sin 22sin (sin cos )52sin cos cos sin 1tan 9cos α+ααα+α∴==αα=-α+α+αα ．考点：1．倍角公式的应用；2．三角函数化简计算；3．整体代换思想． 18．已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-与123b ee =-的夹角为β，求cos β的值。

2021-2022学年内蒙古自治区包头市高一下学期期末数学试题一、单选题1．若，下列命题正确的是（ ）,R a b ∈A ．若，则B ．，若，则a b >22a b>R c ∈a b >22ac bc>C ．若，则D ．，，若，则33a b ->-a b <0a ≠0b ≠a b >11a b <C【分析】利用特值法可判断ABD ，利用不等式的性质可判断C.【详解】对于A ，当时，，故A 错误；12a b =>=-2214a b =<=对于B ，当时，，故B 错误；0c =22ac bc =对于C ，若，则，故C 正确；33a b ->-a b <对于D ，当时，，故D 错误，12a b =>=-11112a b =>=-故选：C.2．直线l ：的倾斜角为，则的值为（ ）210x y +-=αtan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．33-1-13D【分析】由题知，然后利用两角差的正切公式即得.tan 2α=-【详解】由题可知，tan 2α=-所以.()tan tan214tan 341211tan tan 4παπαπα---⎛⎫-=== ⎪+-⨯⎝⎭+⋅故选：D.3．已知，，则的值为（ ）()1sin 5αβ+=()3sin 5αβ-=tan tan αβA ．2B ．C ．D ．2-1212-B【分析】首先根据正弦两角和差公式得到，再利用同角三角函数的商2sin cos 51cos sin 5αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩数关系求解即可.【详解】由题知：，解得，()()1sin sin cos cos sin 53sin sin cos cos sin 5αβαβαβαβαβαβ⎧+=+=⎪⎪⎨⎪-=-=⎪⎩2sin cos 51cos sin 5αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以.tan sin cos 2tan cos sin ααββαβ==-故选：B4．某四面体的三视图如图所示（三个三角形都为等腰直角三角形），该四面体的外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．3π4π6π12πA【分析】根据三视图把几何体还原到正方体中，体对角线即球的直径，计算表面积即可.【详解】在正方体内将三视图还原为直观图，如图，棱锥为三视图的直观图，ABCD 四个顶点均为正方体的顶点，故棱锥的外接球为正方体的外接球，ABCD由三视图知正方体的棱长为1，则2R =R =所以.243S R ππ==故选：A.5．等差数列的前n 项和为，公差为d ，已知且．则使{}n a n S 10a <1270a d +=成立的最小正整数n 的值为（ ）0n S >A ．4B ．5C ．8D ．9D【分析】利用等差数列求和公式结合条件可得，然后解不等式即得.211877n a n n S a =-+【详解】因为，，1270a d +=127d a =-所以，又，()211118277n n n da na n a S n -=+=-+10a <由，可得，即，0n S >280n n ->8n >所以使成立的最小正整数n 的值为9.0n S >故选：D.6．正方体中，P 、Q 分别为棱、的中点，则异面直线与1111ABCD A B C D -11B C 1BB PQ BD 所成角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°C【分析】连接，可得，即为所求，然后利用正方体的性质即11,BC DC 1//PQ BC 1DBC ∠得.【详解】连接，∵P 、Q 分别为棱、的中点，11,BC DC 11B C 1BB∴，故即为所求，1//PQ BC 1DBC ∠由正方体的性质可知为等边三角形，1BDC 所以，即异面直线与BD 所成角的大小为.160DBC ∠=PQ 60故选：C.7．在正项等比数列中，，则（ ）{}n a 836520a a a a +=1210lg lg lg a a a ++⋅⋅⋅+=A ．5B ．10C ．50D ．10000A【分析】利用等比数列的性质结合对数的运算性质可求得结果.【详解】因为，836565220a a a a a a +==所以，6510a a =因此，.()()551210121065lg lg lg lg lg lg105a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+==== 故选：A.8．过点，在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）()1,2M --A ．B ．或30x y ++=20x y -=30x y ++=C ．D ．或1y x =-30x y ++=1y x =-B【分析】根据直线过原点和不过原点两种情况讨论，分别设出所求直线的方程，结合过点，即可求解.()1,2M --【详解】当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为，x y a +=因为直线过点，代入可得，即；()1,2M --3a =-30x y ++=当所求直线过原点时，设直线方程为，y kx =因为直线过点，代入可得，即，()1,2M --2k =20x y -=综上可得，所求直线的方程为或.20x y -=30x y ++=故选：B.9．已知的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法中错误的是ABC （ ）A ．若，则一定是等边三角形cos cos cos A B Ca b c ==ABCB ．若，则一定是等腰三角形cos cos b B a A =ABC C ．若，则一定是等腰三角形cos cos a B b A a +=ABC D ．若，则一定是钝角三角形222b c a +<ABC B【分析】根据正余弦定理中，边角互化即可求解.【详解】对于A:由正弦定理以及得cos cos cos A B Ca b c ==，因为,所以,故cos cos cos n s n in ta ta tan si s n n i A C C A B CA B B ==⇒==(),,0,πA B C ∈A B C ==是等边三角形，故A 对，ABC 对B:由以及正弦定理得：,cos cos b B a A =sin cos sin cos sin 2sin 2B B A A B A =⇒=由于，因此,或者,即,()()(),0,π20,2π,20,2πA B A B ∈∴∈∈，22B A =22πA B +=B A =或者，故为等腰三角形或者直角三角形，故B 错误，π2A B +=ABC 对C:由正弦定理得,()sin cos sin cos sin sin sin A B B A A A B A+=⇒+=由于在中，,因此可得,ABC ()sin sin A B C+=sin sin A C =由于,故,故C 正确，(),0,π,πA C A C ∈+<A C =对于D:由得，故为钝角，因此D 正确222b c a +<222cos 02b c a A bc +-=<A 故选：B10．若等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则（ ）A ．B ．A B C +=2B AC=C ．D ．()22A B C A B +=+()()A C AB B A -=-D【分析】利用等比数列的性质可得，所以，进2322,n n n n n n n n n S S S S q q S S S --==-B A C B A B A --=-行整理可得答案．【详解】有题意可知：,由等比数列的性质可得：，23,,n n n A S B S C S ===2nn nnS S q S -=，所以，整理可得：．进而得322nn nn nS S q S S -=-B A C BA B A --=-22()A B A B C +=+()()A C AB B A -=-故选：D11．圆锥顶点为S ，SA 和SB 是两条互相垂直的母线，SA 与底面所成的角大小为30°，若）AB =A ．BC ．Dπ3πA【分析】由题可知，然后结合条件可得圆锥的高和底面半径，再根据圆锥2SA SB ==的体积公式可求出结果.【详解】因为 ,SA SB AB ⊥=所以，2SA SB ==所以圆锥的高，底面半径1sin 30212h SA ==⨯= cos302r SA === 所以该圆锥的体积为.2113133r h πππ⋅=⨯⨯⨯=故选：A.12．若一个三角形三边长成公差为2的等差数列，且最大角为120°，则这个三角形的面积为（ ）A ．24B ．C D 154D【分析】设三边长为x ，x +2，x +4，利用余弦定理及面积公式即得．【详解】∵最大角为，且三边长成公差为2的等差数列，120不妨设三边长为，,2,4x x x ++()0x >则由余弦定理可得：()()()222241222x x x x x ++-+=-+解得或（舍去），3x =2x =-∴三角形三边长为3,5,7，∴三角形的面积为．135sin1202⨯⨯⨯=故选：D ．二、填空题13．若实数x ，y 满足约束条件则的最小值是______．20,270,20,x x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩2z x y =-1【分析】首先根据题意画出不等式组表示的可行域，再根据的几何意义求解即可.z【详解】由题知：不等式组表示的可行域如图所示：，()222,32703x x A x y y ==⎧⎧⇒⇒⎨⎨+-==⎩⎩因为，所以，2z x y =-2y x z =-表示直线的轴截距的相反数，z 2y x z =-y 当直线过时，取得最小值，.2y x z =-()2,3A z min 2231z =⨯-=故114．已知直线平面，直线平面，有下面四个l ⊥αm ⊂β①；②；③；④.//αβl m ⇒⊥αβ⊥//l m ⇒//l m αβ⇒⊥l m ⊥//αβ⇒其中正确命题序号是_______ ．①③【分析】由线面、面面位置关系，根据平面的基本性质判断线线、面面的位置关系即可.【详解】当时，由有，而，故，①对；//αβl α⊥l β⊥m ⊂βl m ⊥当时，由则或，故位置关系不能确定，②错；αβ⊥l α⊥l β//l β⊂,l m 当时，由有，而，故，③对；//l m l α⊥m α⊥m ⊂βαβ⊥当时，平行、相交或均有可能，故不能确定成立，④错．l m ⊥,l βl β⊂//αβ故①③15．直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点，l 1:210l x y +-=2:250l x y ++=则直线l 的方程为______．30x y +=【分析】设交点坐标分别为和，根据题意得到，(,12)A a a -(52,)B b b --520120a b a b --=⎧⎨-+=⎩求得的值，进而求得直线的方程.,a b l 【详解】设直线与和，分别交于点和l 1:210l x y +-=2:250l x y ++=(,12)A a a -，(52,)B b b --因为所截得的线段中点恰为坐标原点，可得，解得，520120a b a b --=⎧⎨-+=⎩1,3a b =-=-所以和，则，(1,3)A -(1,3)B -3AB k =-可得直线的方程为，即.l 33(1)y x -=-+30x y +=故答案为.30x y +=三、双空题16．小茗同学爱好气象研究．小茗用数列记录其生活城市2022年5月份31天中{}n a 每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记；当第k 天没下过雨时，记1k a =（）．他用数列记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：1k a =-131k ≤≤{}n b 当预报第k 天有雨时，记；当预报第k 天没有雨时，记（）记录1k b =1k b =-131k ≤≤完毕后，小茗计算出，若已知5月气象台预报准确27天，则11223131a b a b a b m ++⋅⋅⋅+=m =______；若（），则气象台k 天中预报准确的天数1122k k a b a b a b n ++⋅⋅⋅+=131k ≤≤为______（用n ，k 表示）． 23 2n k +【分析】根据题意，已知天气预报是否有雨的表达式，按照条件要求求解即可.【详解】由题意知，当气象台预报准确时，，1,1,1k k k k a b a b ==⋅=当气象台预报不准确时，有下面两种情况第一种情况：1,1,1k k k k a b a b ==-⋅=-第二种情况：1,1,1k k k k a b a b =-=⋅=-，若全准确，此时该式的值为31，11223131a b a b a b m ++⋅⋅⋅+= 则预报不准确的天数为：（天），312m-而预报准确的天数为：（天），已知5月气象台预报准确27天，31312m--，解得；3131272m -∴-=23m =若（），1122k k a b a b a b n ++⋅⋅⋅+=131k ≤≤假设气象台k 天中预报准确的天数为天，即等式的左边有个1，,个-1，则x x ()k x -，解得，即气象台预报准确的天数为.()x k x n --=2n k x +=2n k +故23；.2n k+四、解答题17．已知直线过点，O 为坐标原点．l ()2,1M (1)若与OM 垂直，求直线的方程；l l (2)若O 到的距离为2，求直线的方程．l l (1)250x y +-=(2)或34100x y +-=20x -=【分析】（1）由点，求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可()2,1M l 2k =-求解；（2）分直线斜率存在和斜率不存在，两种情况，结合点到直线的距离公式，即可求l 解.【详解】(1)解：因为点，可得，则直线的斜率，()2,1M 12OM k =l 2k =-所以直线的方程为，即．l ()122y x -=--250x y +-=(2)解：当直线斜率存在时，设方程为，即，l l ()12y k x -=-120kx y k -+-=由，解得，直线l 方程为；2d 34k =-34100x y +-=当直线斜率不存在时，的方程为，原点到的距离为2，l l 2x =l综上可得，直线的方程为或．l 34100x y +-=20x -=18．在中，角所对的边分别为．在①，②ABC ,,A B C ,,a b c ()()b c a b c a bc +-++=，③这三个条件中选择一个做条2cos cos cos 0a A b C c B ++=()2cos 2cos 2AB C +=件．(1)求角的大小；A (2)若，求面积的最大值．3a =ABC （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）(1)条件选择见解析，120A =︒【分析】（1）分别选择条件①②③，结合正弦定理和余弦定理，以及余弦的倍角公式，化简求得的值，进而求得的大小；cos A A （2）根据余弦定理和基本不等式，求得，结合三角形的面积公式，即可求解.3bc ≤【详解】(1)解：选条件①：由，()()b c a b c a bc +-++=可得，整理得，()22b c a bc+-=222b c a bc +-=-又由余弦定理得，2221cos 22b c a A bc +-==-因为，所以．0A π<<23A π=选条件②：因为，2cos cos cos 0a A b C c B ++=由正弦定理得，2sin cos sin cos sin cos 0A A B C C B ++=即，()2sin cos sin 0A ABC ++=在中，因为，可得．ABC ()sin sin 0B C A +=>1cos 2A =-因为，所以．0A π<<23A π=选条件③：由，可得，()2cos 2cos 2AB C +=()cos 1cos B C A +=+在中，因为，所以．ABC ()cos cos B C A+=-1cos 2A =-因为，所以．0A π<<23A π=(2)解：由，且，23A π=3a =根据余弦定理，可得，222b c bc a ++=229b c bc ++=又由，即，所以，222b c bc +≥923bc bc bc ≥+=3bc ≤当且仅当，b c =11sin 322ABC S bc A =≤⨯=△所以ABC 19．已知函数.()()2sin sin cos f x x x x =+(1)求的最小正周期和最小值；()f x (2)若，求的值．322f α⎛⎫=⎪⎝⎭sin 2α(1)，最小值T=π1(2)3sin 24α=【分析】（1）由二倍角公式以及辅助角公式化简，进而可求()π214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭最小值和周期，（2）由二倍角公式以及诱导公式即可求解.【详解】(1)由题意得，()sin 2c 1os 2π21=4f x x x x ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭+的最小正周期为．()f x 2πT==π2令,则（）时，有最小值．ππ22π42x k -=-ππ8x k =-Z k ∈()f x 1(2)由得322f α⎛⎫= ⎪⎝⎭πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以，2ππ3cos 212sin 244αα⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以．π3sin 2cos 224αα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭20．数列是等差数列，，，．其中{}n a ()11a f m =+25a =()31a f m =-．()224f x x x =++(1)求数列的通项公式；{}n a (2)当数列为递增数列时，数列的前n 项和为（），求的前n 项{}n a {}n a n S 2n ≥1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭和．n T (1)或．29n a n =-+21n a n =+(2)13112212n T n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭【分析】（1）根据等差数列的性质求出的值，然后代入、求出通项公式.m 1a 3a （2）利用递增数列的要求求出通项公式，求出，然后表达出的通项公式后，n S 1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭利用裂项求和求解即可.【详解】(1)解：由题意得：由()()222211(2)332410210f m f m m m m m a ++-=++++=++==解得：或．0m =2m =-当时，，，，0m =()117a f ==()313a f =-=29n a n =-+当时，，，．2m =-()113a f =-=()337a f =-=21n a n =+(2)由题意，数列为递增数列时，，得，，{}n a 0d >21n a n =+()2n S n n =+所以．111122n n n S ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭当时2n ≥11111111111232435112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭13112212n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭21．如图，三棱柱中，，，．111ABC A B C -AB AC =1BC BB =160CBB ∠=︒(1)证明：；1BC AB ⊥(2)若，，求三棱柱的体积．4AB BC ==1AB =111ABC A B C -(1)证明见解析(2)24【分析】（1）根据等腰三角形可得线线垂直，进而根据线线垂直可证明线面垂直，（2）根据线线垂直可知线面垂直进而可得柱体的高，根据体积公式即可求解.【详解】(1)证明：取BC 中点O ，连接OA ，，．1OB 1B C 因为，所以．AB AC =AO BC ⊥因为，，所以为等边三角形．1BC BB =160CBB ∠=︒1BB C △所以，1BC OB ⊥又因为，所以平面．1AO OB O = BC ⊥1AOB 又因为平面，所以．1AB ⊂1AOB 1BC AB ⊥(2)在中，，所以ABC 4AB BC CA ===AO =同理，，1OB =1AB =所以，所以，22211AB AO B O =+1AO OB ⊥又，，1OB BC ⊥BC AO O ⋂=所以平面ABC ．1OB ⊥所以111114242ABC A B C ABC V S OB -=⋅=⨯⨯=△22．已知函数（）．()()226f x x m x =-++R m ∈(1)解关于x 的不等式；()62f x m≥-(2)若对任意的，恒成立，求实数m 的取值范围．[]14x ∈，()10f x m ++≥(1)答案见解析(2)m ≤【分析】（1）首先根据题意得到，再分类讨论求解不等式即可.()2220x m x m -++≥（2）根据题意得到恒成立，再分类讨论利用基本不等式求解即可.()2127m x x x -≤-+【详解】(1)即，()62f x m ≥-()2220x m x m -++≥所以．()()20x m x --≥当时，解得或，2m >x m ≥2x ≤当时，解得，2m =R x ∈当时，解得或．2m <x m ≤2x ≥综上可得，当时，不等式的解集为或2m >()62f x m ≥-{|2x x ≤}x m ≥当时，不等式的解集为；2m =()62f x m ≥-R 当时，不等式的解集为或．2m <()62f x m ≥-{|x x m ≤}2x ≥(2)即，()10f x m ++≥()2127m x x x -≤-+当时，对都成立；1x =07≤R m ∈当时，．(]1,4x ∈2276111x x m x x x -+≤=-+--因为，所以，所以 (]1,4x ∈10x ->611x x -+≥=-当且仅当，即有最小值611x x -=-1x =611x x -+-所以m ≤。

2019-2020学年内蒙古包头市高一(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1.对任意的实数m，直线y=mx+n−1与椭圆x2+4y2=1恒有公共点，则n的取值范围是()A. [12,32] B. (12,32) C. [−√33,√33] D. (−√33,√33)2.设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则S5a2=()A. 2B. 4C. 152D. 3123.已知D是△ABC中AC边上一点，且ADDC =2+2√3，∠C=45°，∠ADB=60°，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 2B. 0C. √3D. 14.等腰三角形ABC中，AB=AC，其直观图可能是图中的()A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足，若CD=6cm，AD：DB=1：2，则AD的值是()A. 6cmB. 3√2cmC. 18cmD. 3√6cm6.一个几何体的三视图为下列图形，则这个几何体为()A. 圆锥B. 圆柱C. 棱锥D. 棱柱7.正△ABC中，过其中心G作边BC的平行线，分别交AB，AC于点B1，C1，将△AB1C1沿B1C1折起到△A1B1C1的位置，使点A1在平面BB1C1C上的射影恰是线段BC的中点M，则二面角A1−B1C1−M的平面角大小是()A. π6B. π4C. π3D. π28.设，则，，，中最大的一个是()A. B. C. D.9.已知约束条件对应的平面区域如图所示，其中对应的直线方程分别为：，若目标函数仅在点处取到最大值，则有A.B.C.D. 或10.正四棱锥则的底面边长为，高，则过点的球的半径为()A. 3B. 4C. 5D. 611.已知直线，若直线与关于直线对称，则的斜率为()A. −2B. −C.D. 212.德国数学家洛萨⋅科拉茨1937年提出了一个猜想：任给一个正整数n，如果它是偶数，就将它减半；如果它是奇数，则将它乘3再加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1(出现1后运算结束).现在请你研究：如果对正整数5(首项)，按照上述规则实施变换，所得到的数组成一个数列(末项为1)，则这个数列的各项之和为多少()A. 34B. 35C. 36D. 37二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13.若tanα=12，tanβ=−13，则tan(α+β)=______．14.当x，y满足条件{y≥1x−y≥0x+2y−6≤0时，目标函数z=2x−y最小值是______．15.在等差数列{a n}中，若a4=4，a3+a5+a7=15，则前10项和S10=______．16.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，给出以下结论：①DB1⊥平面ACD1；②AD1//平面BCC1；③AD⊥平面D1DB；④平面ACD1⊥平面B1D1D；⑤AB与DB1所成的角为45°．其中所有正确结论的序号为______ (请把正确结论的序号都填上)．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.(1)求证：n∈N∗时，(√5+2)2n+1−(√5−2)2n+1为正整数；(2)设(√5+2)2n+1=m+α(m,n∈N∗,0<α<1)，求证：α(m+α)=1．18.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．其中A(2π3,2)，B(−7π3,0)．(Ⅰ)求ω、φ的值；(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间；(Ⅲ)求函数f(x)在[π,3π]上的值域．19.已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx)+m，(m∈R)，在区间[0,π4]内最大值为√2，(1)求实数m的值；(2)在△ABC中，三内角A、B、C所对边分别为a，b，c，且f(34B)=1,a+c=2，求b的取值范围．20.在数列{a n}与{b n}中，数列{a n}的前n项和S n满足S n=n2+2n，数列{b n}的前n项和T n满足3T n=nb n+1，且b1=1，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{b n}的通项公式；(Ⅲ)设c n=b n(a n−1)n+1cos2nπ3，求数列{c n}的前n项和R n．21.求满足下列条件的直线的方程．(1)经过点A(3,2)，且与直线4x+y−2=0平行；(2)经过点B(3,0)，且与直线2x+y−5=0垂直．22.如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，对角线AC，BD相交于点O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B−ACD，点M是棱BC的中点，DM=3√2.求证：(1)OM//平面ABD；(2)平面ABC⊥平面MDO．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查了直线与椭圆的位置关系、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．直线方程与椭圆方程联立化为(1+4m 2)x 2+8m(n −1)x +4(n −1)2−1=0，由于直线y =mx +n −1与椭圆x 2+4y 2=1恒有公共点，可得△≥0，解出即可．解：联立{y =mx +n −1x 2+4y 2=1，化为(1+4m 2)x 2+8m(n −1)x +4(n −1)2−1=0， ∵直线y =mx +n −1与椭圆x 2+4y 2=1恒有公共点， ∴△=64m 2(n −1)2−4(1+4m 2)[4(n −1)2−1]≥0， 化为：4n 2−8n +3≤4m 2， 由于对于任意的实数m 上式恒成立， ∴4n 2−8n +3≤0， 解得12≤n ≤32． ∴n 的取值范围是[12,32]． 故选：A ．2.答案：D解析：解：S 5=a 1(1−25)1−2=31a 1，a 2=2a 1，则S5a 2=31a 12a 1=312．故选：D ．由公比q 的值，利用等比数列的前n 项和公式表示出S 5，利用通项公式表示出a 2，求出比值即可． 此题考查学生灵活等比数列的通项公式及前n 项和公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道基础题．3.答案：B解析：解：令CD =t ，则AD =2(1+√3)t ， 在△BCD 中，由正弦定理CDsin15°=BDsin45°=BCsin120°， 可得BD =CD⋅sin45°sin15°=√22√6−√24t =(1+√3)t ，在△ABC 中，由余弦定理可得， AB 2=AD 2+BD 2−2AD ⋅BD ⋅cos60° =4(1+√3)2t 2+(1+√3)2t 2−4(1+√3)2t 2⋅12 =3(1+√3)2t 2， 则AB =√3(1+√3)t ， 由于AB 2+DB 2=AD 2， 则AB ⊥DB ， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0． 故选：B ．令CD =t ，则AD =2(1+√3)t ，由正弦定理和余弦定理即可求得BD ，AB ，再由勾股定理可得AB ⊥DB ，则由向量垂直的条件即可得到所求值．本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．4.答案：D解析：解：由直观图的画法可知，当∠x′O′y′=45°时，等腰三角形ABC 的直观图是④； 当∠x′O′y′=135°时，等腰三角形ABC 的直观图是③； 综上所述，等腰三角形ABC 的直观图可能是③④． 故选：D ．根据斜二测画法的规则，结合“一变两不变”的原则，逐项进行判断，即可得到答案．本题主要考查了平面图形的直观图的画法及应用，其中解答中熟记斜二测画法的规则，画出平面图形的直观图是解答的关键，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．5.答案：B解析：解：∵AD ：DB =1：2， ∴DB =2AD ，由射影定理知CD 2=AD ⋅DB ， ∴AD ⋅2AD =36， ∴AD =3√2． 故选：B ．先根据AD 和BD 的比例关系，求得用AD 表示DB ，进而利用射影定理建立等式求得AD ． 本题主要考查了解三角形问题．在直角三角形问题中，射影定理是常用公式，应熟练掌握．解析：解：由题意可知几何体是圆锥，故选：A．利用三视图，判断几何体的形状即可．本题考查三视图求解几何体的形状，是基本知识的考查．7.答案：C解析：解：连接A1G，MG，∵G是正三角形ABC的中心，B1C1//BC，∴B1C1⊥A1G，GM⊥B1C1，∴∠A1GM为二面角A1−B1C1−M的平面角，∵G是正三角形ABC的中心，∴A1G=2GM，又A1M⊥平面BB1C1C，∴cos∠A1GM=GMA1G =12，∴∠A1GM=π3．故选：C．连接A1G，MG，由G为三角形ABC的中心可得B1C1⊥A1G，GM⊥B1C1，故而∠A1GM为二面角A1−B1C1−M的平面角，在Rt△A1GM中，根据A1G和GM的数量关系得出∠A1GM．本题考查了二面角的计算，作出二面角的平面角是关键，属于中档题．8.答案：C解析：试题分析：含限定条件的不等式比较大小的问题，最有效的方法为特殊值法，取，得c 大，故选C．考点：本题考查了不等式的性质点评：特殊值法是处理含参式子大小比较的常用方法，要熟练运用9.答案：B解析：试题分析：是与的交点，目标函数仅在点处取到最大值，所以直线的倾斜角比的要大，比的要小，即有考点：线性规划和最优解解析：试题分析：由正四棱锥及其外接球的对称性，球心O在在正四棱锥的高线SE上，如图，球半径，。

头一中2012━2013学年度第二学期期末考试高一年级文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分，把唯一正确的答案的代码填在答题卡上）1.设全集R U =,集合M ={|1x x >或1x <-},{}|02N x x =<<,则()U N M =I ð（ ）A ．{}|21x x -≤<B ．{}|01x x <≤C ．{}|11x x -≤≤D ．{}|1x x <2. 已知向量(3,1),(1,3),a b ==-r r那么 （ ）A. a b ⊥r rB. //a b r rC. ||||a b <r rD. a b <r r3. 一枚均匀质地的硬币连续抛掷3次，至少出现1次正面朝上的概率是（ ） A.12 B.18 C. 78 D. 344. 如图,1e ，2e 为互相垂直的单位向量，则向量c b a ++可表示为 ( )A ．-13e 22eB ．--13e 23eC ．+13e 22eD ．+12e 23e5. 如图是甲、乙两名射击运动员各射击10次后所得到的成绩的茎叶图(茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字)，由图可知( ) A ．甲、乙中位数的和为18.2，乙稳定性高 B ．甲、乙中位数的和为17.8，甲稳定性高 C ．甲、乙中位数的和为18.5，甲稳定性高 D ．甲、乙中位数的和为18.65，乙稳定性高6. 执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（ ） A 4 B 5 C ．6 D 7开始n=5，k=0n 为偶数是否2nn =31n n =+1k k =+1n =是否7．对一批产品的长度（单位：mm ）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上的为一等品，在区间[15，20）和区间[25，30）上的为二等品，在区间[10，15）和[30，35）上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（ ）A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.458.设02x π≤≤sin cos x x =-，则 （ ）A ．0x π≤≤ B.744x ππ≤≤C. 544x ππ≤≤D. 322x ππ≤≤9. 直线0323=-+y x 截圆224x y +=得的劣弧所对的圆心角是 （ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π10. 已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且2sin cos sin A B C =,则△ABC 一定是 （ ）A ．等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 11. ()3312454134πππαβπαββα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈+--+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭已知，、，，sin =,sin =,则cos 的值为 （ ） A ．1365-B. 5665-C. 5665D. 28653 32正视图侧视图俯视图12. 函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的部分图象如图所示，则(1)(2)(2013)f f f +++L 的值是（ ）A.0B. 2－2C.－2D. 2＋2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，将正确答案写在答题卡中的相应横线上） 13.求值：sin15cos75cos15sin105+=oooo____.14.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.15.已知向量(3sin ,cos ),(23,1)m x x p ==u r u r ．若m u r 与p u r共线，则sin x ·cos x ＝________. 16.给出下列命题： ○1函数3sin(2)3y x π=-的图像关于直线1112x π=对称； ○2函数()2sin(2)4f x x π=+()f x 在区间5,28ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数； ○3函数sin 23cos 2y x x =-的图像向左平移3π个单位，得到2sin 2y x =的图像； ○4函数sin 2|sin |y x x =+的值域为[1,3]. 其中正确命题的序号为_______________(把你认为正确的都填上)三、 解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）已知11tan ,tan 73αβ==，求tan(2)αβ+的值.18.（本小题满分12分）已知3,4a b ==r r ，且向量a b r r 与的夹角是60o.（Ⅰ）求 a b -r r；（Ⅱ）k 为何值时，a kb a kb +-r r r r与互相垂直.19.（本小题满分12分）《我是歌手》是2013年最受欢迎的歌唱节目之一，它的赛制是：有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组, 各组的人数如下:(Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委,其中从B 组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表.(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A , B 两组被抽到的评委中各有1人支持1号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都不．支持．．1号歌手的概率.20. （本小题满分12分）已知函数22()sin 2sin cos 3cos ()f x x x x x x R =+⋅+∈，(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期；(Ⅱ)若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域.21.（本小题满分12分）已知向量(2,2),(,)a b x y ==r r.(Ⅰ)若{},1,0,1,2x y ∈-，求向量//a b r r的概率；(Ⅱ)若[],1,2x y ∈-且均匀分布，求向量,a b r r的夹角是钝角的概率.22. （本小题满分12分）设.)(),sin cos ,sin 4(),sin cos ,42(sin 2b a x f x x x b x x x a ρρρρ⋅=-=++=π(Ⅰ)求函数)(x f 的解析式；(Ⅱ)已知常数0>ω, 若)(x f y ω=在区间]32,2[ππ-上是增函数，求ω的取值范围.包头一中2012━2013学年度高一年级 期末考试数学参考答案及评分标准（文科）13.1 14.9182π+ 15.2516. ○1○2 17.（本题满分10分）解：由已知1tan 3β=所以2122tan 33tan 211tan 419βββ⨯===--…………………………5分 由1tan 7α=13tan tan 274tan(2)1131tan tan 2174αβαβαβ+++===--⨯ (10)分（本题写出公式各给两分） 18.（本题满分12分）（1）2222()||2||a b a b a a b b -=-=-+r r r r r r r r g………………………………………………2分 2232||||cos6041923416132a b =-⋅⋅⋅+=-⨯⨯⨯+=o r r……………………………………………5分所以a b -=r r6分（2）若a kb a kb +-r r r r与互相垂直，则()()0a kb a kb +⋅-=r u u r r r ………………………8分即2222()()9160a kb a kb a k b k +⋅-=-=-=r u u r r r r r ……………………………10分解得2916k =即34k =±…………………………………………………………12分19．（本题满分12分） （1）填表如图（每个1分 共4分）（2）设A 组的两名评委为A 、B ，B 组的四名评委为a 、b 、c 、d其中A 与a 支持1号选手 …………5分则从AB 两组各取1人的事件包括Aa 、Ab 、Ac 、Ad 、Ba 、Bb 、Bc 、Bd 共计8个基本事件………………………………………………………………7分 设“两人都不支持1号选手”的事件为A则A 事件包括Bb 、Bc 、Bd 共计3个基本事件……………………… ……9分所以P(A)=38…………… ……………… ……………………………………11分 则这2人都不．支持．．1号歌手的概率为38…………………………… …… …12分 20. （本题满分12分） （1）22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =+⋅+1cos 21cos 2sin 2322x xx -+=++⋅…………………………………2分 sin 2cos22x x =++)24x π=++………………………………………………4分所以()f x 的周期为2||ππω=……………………………………………………6分（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则有52444x πππ≤+≤………………………………………7分 则当242x ππ+=即8x π=时()f x2……………………9分当5244x ππ+=即2x π=时()f x 取到最小值1…………………………11分 所以()f x的值域为1,2⎡⎣…………………………………………12分21.（本题满分12分）（1）若{},1,0,1,2x y ∈-则基本事件包括(-1,-1)、(-1,0)、(-1,1)、(-1,2)、(0,-1)、(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,-1)、(1,0)、(1,1)、(1,2)、(2,-1)、(2,0)、(2,1)、(2,2)共计16个基本事件…………………………………………………………1分因为设向量//a b r r的事件为A ………………………………………………2分//a b r r则有220x y -=即x y =………………………………………………3分则符合//a b r r 的b r坐标为(-1,-1)、(0,0)、(1,1)、(2,2)共4个基本事件……4分所以41()164P A ==……………………………………………………………5分 则向量//a b r r 的概率为14……………………………………………………6分（2）[],1,2x y ∈-且均匀分布则基本事件表示为{}(,)|12,12,,x y x y x y R -≤≤-≤≤∈……………………7分若设向量,a b r r的夹角是钝角的事件为B则应坐标,a b r r 应满足0a b ⋅<r r 且,a b r r不能共线反向即220x y x y +<⎧⎨≠⎩………………………………10分如图所示P(B)=阴影部分面积正方形面积=12222339⨯⨯=⨯ 所以向量,a b r r 的夹角是钝角的概率为29…………12分22.（本小题12分）（1）22()sin 4sin (cos sin )(cos sin )4x f x a b x x x x x π+=⋅=⋅++⋅-r r (1)分2221cos 2()44sin cos sin 2xx x x π+-=⋅+-………………………………2分2221cos()sin cos sin 2x x x π⎡⎤=-+⋅+-⎢⎥⎣⎦22sin (1sin )12sin x x x =++-……………………………………………4分 222sin 2sin 12sin 2sin 1x x x x =++-=+所以()2sin 1f x x =+………………………………………………………6分（2）()2sin 1f x x ωω=+ 根据正弦函数的单调性22()22k x k k Z πππωπ-≤≤+∈解得()f x 的单增区间为,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦……………………………………8分 又由已知()f x 的单增区间为]32,2[ππ-所以有2,,2322ππππωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…………………………………………10分 即 22223ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩解得34ω≤………………………………………………11分所以ω的取值范围是3(0,]4π…………………………………………12分。

包头一中2021-2021年度第二学期期末考试高一年级数学试题一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共计60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的）1. 已知α为第三象限角，那么2α所在的象限是 （ ） A. 第一或第二象限 B. 第二或第三象限 C.第一或第三象限 D. 第二或第四象限 2．已知51sin()25πα+=,那么cos α= （ ） A ．25-B ．15- C ．15D ．253．如图，F E D ,,别离为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点， 则=+FC EB ( ) A. AD B.AD 21C.BC 21D. BC 4. 在以下向量组中，能够把向量()2,3=a 表示出来的是（ ） A. )2,1(),0,0(21==e e B . )2,5(),2,1(21-=-=e e C. )10,6(),5,3(21==e e D. )3,2(),3,2(21-=-=e e5. 设sin33,cos55,tan35,a b c =︒=︒=︒那么 （ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>6. 等边ABC ∆的边长为1,设c AC b BC a AB ===,,,那么=⋅+⋅+⋅a c c b b a （ ）A ．23 B ．21 C ．23- D ．21- 7. 已知等腰ABC △的腰为底的2倍，那么顶角A 的正切值是（ ） A.．32B ．3C ．158D ．1578. 以下函数中，图像的一部份如右图所示的是( ) A. sin()6y x π=+B. sin(2)6y x π=-C.cos(4)3y x π=- D.cos(2)6y x π=-9. △ABC 中，假设acos B ＝bcos A，那么该三角形必然是( ) A ．等腰三角形但不是直角三角形 B ．直角三角形但不是等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形10. 已知点(1,1)A -,(1,2)B ,(2,1)C --,(3,4)D ，那么向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A B C ．D ．11. 设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，那么（ ） A.32παβ-=B.22παβ-=C.32παβ+=D.22παβ+=12. 已知函数()sin cos f x a x b x =-（a b ，为常数，0a x ≠∈R ，）的图象关于 直线4π=x 对称，那么函数)43(x f y -=π是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共计20分） 13. 已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=_________.14. 通过观看所给两等式的规律， ①;23150sin 90sin 30sin 222=︒+︒+︒ ②.23125sin 65sin 5sin 222=︒+︒+︒ 请你写出一个（包括上面两命题）一样性的命题： ．15．将函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin πϕπωϕω，x x f 图像上每一点的横坐标缩短 为原先的一半，纵坐标不变，再向右平移6π的单位长度取得x y sin =的图像， 则=⎪⎭⎫⎝⎛6πf ____________.16. 概念在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,那么线段P 1P 2的长为______ .三、解答题（本大题共6小题，共计70分，解许诺写出必要的文字说明和解题步骤）17. (本小题总分值10分) 已知2sin cos 3α+α=，求22sin sin 21tan α+α+α的值.18. （本小题总分值12分）已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，求cos β的值。

内蒙古包头一中2013-2014学年高一数学下学期期末考试（含解析）第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是（ ）A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限 【答案】D 【解析】试题分析：由题可知3222,k a k k z ππππ+<<+∈所以sin()cos 2a a π+=所以2a在第二或第四象限．考点：象限角的概念和判断2．已知51sin()25πα+=,那么cos α= （ ） A ．25- B ．15- C ．15 D ．25【答案】C【解析】 试题分析：由51sin()25πα+==sin()cos 2a a π+=,所以选C ． 考点：三角函数诱导公式的应用3．如图，F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点， 则=+（ ）A ．ADB ．12ADC ．12BC D ．BC 【答案】A【解析】试题分析：由题知EB FC ED EF FC ED EC AF AE AD +=++=+=+=,所以选A ． 考点：向量的运算和平行四边形法则的应用4．在下列向量组中，可以把向量()2,3=表示出来的是（ ） A ．)2,1(),0,0(21==e e B ．)2,5(),2,1(21-=-=e eC ．)10,6(),5,3(21==e eD ．)3,2(),3,2(21-=-=e e 【答案】B 【解析】试题分析：由12(3,2)2a e e ==+可知，选B ． 考点：向量的坐标运算和平面向量基本定理5．设sin33,cos55,tan35,a b c =︒=︒=︒则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【答案】C 【解析】试题分析：0000tan35,cos55sin35,sin33,c b a ====所以c>b>a ． 考点：三角函数诱导公式和三角函数单调性6．等边ABC ∆的边长为1,设,,AB a BC b AC c ===,则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=（ ） A ．23 B ．21 C ．23- D ．21- 【答案】B 【解析】试题分析：由000111cos12011cos 6011cos 602a b b c c a ⋅+⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，∴选B ． 考点：向量数量积的运算7．已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ） A．2 B．8 D．7【答案】D 【解析】试题分析：由题知222tan 21tan 2tantan AA A A -===选D ． 考点：二倍角公式的应用8．下列函数中，图像的一部分如图所示的是（ ）A ．sin()6y x π=+ B ．sin(2)6y x π=-C ．cos(4)3y x π=- D ．cos(2)6y x π=- 【答案】D 【解析】试题分析：由12=2,1T Y D ππω==∴得，X=选．考点：三角函数图像及性质的应用 9．△ABC 中，若cos cos a bB A=，则该三角形一定是（ ） A ．等腰三角形但不是直角三角形 B ．直角三角形但不是等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 试题分析：由cos cos a bB A=，得c o s s i n c o s s i na B Ab A B ==，得s i nc o s s i nc o s A A B B A B A B ⋅=⋅∴=∴=或=2A B π+，选D ．考点：正弦定理和余弦定理的应用10．已知点(1,1)A -,(1,2)B ,(2,1)C --,(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）AB．．【答案】A 【解析】试题分析：(21),(55),=AB CD AB CD ==∴，，向量在向量上的投影=． 考点：向量数量积的运算和投影的概念 11．设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（ ） A ．32παβ-= B ．22παβ-=C ．32παβ+=D ．22παβ+=【答案】 B【解析】试题分析：2222424222sin cos tan 11sin tan tan()cos cos sin 1tan a B βββββππββββαβ+++====+∴=+∴--选． 考点：两角和的正切公式和倍角公式的应用12．已知函数()sin cos f x a x b x =-（a b ，为常数，0a x ≠∈R ，）的图象关于 直线4π=x 对称，则函数)43(x f y -=π是（ ）A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 【答案】D 【解析】试题分析：由()f x 的图像关于直线4x π=对称，得334444())()sin()sin f a b a b f x x x ππππ=-=∴=-∴-=-+=∴选D ．考点：三角函数图像和性质及辅助角公式的应用第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13．已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=_________． 【答案】（5，7） 【解析】试题分析：22(2,4)(1,1)(5,7)a b -=--=． 考点：向量的坐标运算14．通过观察所给两等式的规律，①;23150sin 90sin 30sin 222=︒+︒+︒②.23125sin 65sin 5sin 222=︒+︒+︒ 请你写出一个（包含上面两命题）一般性的命题： ． 【答案】23)120(sin )60(sin sin 222=++++ ααα【解析】试题分析：观察两式的特点，角度相差060，和为32考点：归纳与推理思想的应用15．将函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin πϕπωϕω，x x f 图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π的单位长度得到x y sin =的图像，则=⎪⎭⎫⎝⎛6πf ____________．【解析】试题分析：由题知1266()sin()()f x x f ππ=+∴=．考点：三角函数图像的变换 16．定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为______ ．【答案】23【解析】 试题分析：212223(0,),6cos 5tan sin ,x x x x PPπ∈=∴=的距离为P 点的纵坐标． 考点：三角函数图像和数形结合思想的应用三、解答题（题型注释）17．已知2sin cos 3α+α=，求22sin sin 21tan α+α+α的值．【答案】59-【解析】 试题分析：由条件2sin cos 3α+α=得2592sin sin 22sin (sin cos )52sin cos 2sin cos ,cos sin 1tan 9cos ααααααααααααα++=-===-++，化简原式整体代入得原式=5-9试题解析：由2sin cos 3α+α=,于是得252sin cos (sin cos )19αα=α+α-=-22sin sin 22sin (sin cos )52sin cos cos sin 1tan 9cos α+ααα+α∴==αα=-α+α+αα ．考点：1．倍角公式的应用；2．三角函数化简计算；3．整体代换思想． 18．已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，求cos β的值。