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第一部分 专题二 第三讲A 组1．(文)已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′(π2)＝( C )A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π[解析] ∵f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，∴f (π)＋f ′(π2)＝－1π＋2π·(－1)＝－3π．(理)已知⎠⎛1e (1x－m )d x ＝3－e 2，则m 的值为( B )A ．e －14eB ．12C ．－12D ．－1[解析] ⎠⎛1e (1x－m )d x ＝(ln x －mx )|e 1＝(lne －m e)－(ln1－m )＝1＋m －m e ＝3－e 2，∴m ＝12( 故选B ．2．曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( A ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －1[解析] k ＝y ′|x ＝0＝(e x ＋x e x ＋2)|x ＝0＝3， ∴切线方程为y ＝3x －1，故选A ．3．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程为x －y ＋2＝0，则f (1)＋f (′(1)＝( D )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由条件知(1，f (1))在直线x －y ＋2＝0上，且f (′(1)＝1，∴f (1)＋f (′(1)＝3＋1＝4．4．已知m 是实数，函数f (x )＝x 2(x －m )，若f ′(－1)＝－1，则函数f (x )的单调递增区间是( C )A ．(－43，0)B ．(0，43)C ．(－∞，－43)，(0，＋∞)D ．(－∞，－43)∪(0，＋∞)[解析] 因为f ′(x )＝3x 2－2mx ，所以f ′(－1)＝3＋2m ＝－1， 解得m ＝－2 所以f ′(x )＝3x 2＋4x ． 由f ′(x )＝3x 2＋4x >0，解得x <－43或x >0，即f (x )的单调递增区间为(－∞，－43)，(0，＋∞)，故选C ．5．若函数f (x )＝lo g a (x 3－ax )(a >0，a ≠1)在区间(－12，0)内单调递增，则a 的取值范围是( B )A ．[14，1)B ．[34，1)C ．(94，＋∞)D ．(1，94)[解析] 由x 3－ax >0得x (x 2－a )>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x >0x 2－a >0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2－a <0，所以x >a 或－a <x <0，即函数f (x )的定义域为(a ，＋∞)∪(－a ，0)． 令g (x )＝x 3－ax ，则g ′(x )＝3x 2－a ， 当g ′(x )≥0时，x ≥3a3，不合要求， 由g ′(x )<0得－3a3<x <0． 从而g (x )在x ∈(－3a3，0)上是减函数， 又函数f (x )在x ∈(－12，0)内单调递增，则有⎩⎨⎧0<a <1，－a ≤－12，－3a 3≤－12，所以34≤a <1．6．函数y ＝x ＋2cos x 在区间[0，π2]上的最大值是6．[解析] y ′＝1－2sin x ，令y ′＝0，且x ∈[0，π2]，得x ＝π6，则x ∈[0，π6)时，y ′>0；x ∈(π6，π2]时，y ′<0，故函数在[0，π6)上递增，在(π6，π2]上递减，所以当x ＝π6时，函数取最大值π6＋3． 7．(文)若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是____(－∞，0)__． [解析] 由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ax ，要使函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则需方程1＋ax＝0在(0，＋∞)上有解，即x ＝－a ，∴a <0．(理)如图，已知A(0，14)，点P(x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2上，若阴影部分面积与△OAP 面积相等，则x 0＝4．([解析] 因为点P(x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2上， 所以y 0＝x 20，则△OAP 的面积S ＝12|OA||x 0|＝12×14x 0＝18x 0，阴影部分的面积为∫x (00x 2d x ＝13x 3|x 00＝13x 30，因为阴影部分面积与△OAP 的面积相等， 所以13x 30＝18x 0， 即x 20＝38． 所以x 0＝38＝64． 8．(文)已知函数f(x)＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性．[解析] (1)对f (x )求导得f (′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f (′(－43)＝0， 即3a ·169＋2·(－43)＝16a 3－83＝0，解得a ＝12．(2)由(1)得g (x )＝(12x 3＋x 2)e x ，故g ′(x )＝(32x 2＋2x )e x ＋(12x 3＋x 2)e x ＝(12x 3＋52x 2＋2x )e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x ．令g ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4． 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当－4<x <－1时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数； 当－1<x <0时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当x >0时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数． 综上知g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数， 在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数． (理)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)．(1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求实数a 的取值范围． [解析] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)， f (′(x )＝ln x ＋1x －3，f (′(1)＝－2，f (1)＝0．曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0． (2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0等价于 ln x －a (x －1)x ＋1>0．设g (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1，则g ′(x )＝1x －2a(x ＋1)2＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2，g (1)＝0．①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0， g (x )在(1，＋∞)内单调递增，因此g (x )>g (1)＝0． ②当a >2时，令g ′(x )＝0，得x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a －1＋(a －1)2－1． 由x 2>1和x 1x 2＝1，得x 1<1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)内单调递减，此时g (x )<g (1)＝0． 综上，a 的取值范围是(－∞，2]． 9．(文)已知函数f (x )＝ax(x ＋r )2(a >0，r >0)． (1)求f (x )的定义域，并讨论f (x )的单调性； (2)若ar ＝400，求f (x )在(0，＋∞)内的极值．[解析] (1)由题意知x ≠－r ，所以定义域为(－∞，－r )∪(－r ，＋∞)， f (x )＝ax (x ＋r )2＝axx 2＋2rx ＋r 2， f (′(x )＝a (x 2＋2rx ＋r 2)－ax (2x ＋2r )(x 2＋2rx ＋r 2)2＝a (r －x )(x ＋r )(x ＋r )4，所以当x <－r 或x >r 时，f (′(x )<0； 当－r <x <r 时，f (′(x )>0．因此，f (x )的单调递减区间是(－∞，－r )，(r ，＋∞)； f (x )的单调递增区间是(－r ，r )．(2)由(1)可知f (x )在(0，r )上单调递增，在(r ，＋∞)上单调递减，因此，x ＝r 是f (x )的极大值点，所以f (x )在(0，＋∞)内的极大值为f (r )＝ar (2r )2＝a4r＝100． (理)设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4． (1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．[解析] (1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ， 所以f (′(x )＝(1－x )e a －x ＋b ．依题设，得⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝2e ＋2，f (′(2)＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1， 解得a ＝2，b ＝e ．(2)由(1)，知f (x )＝x e 2－x ＋e x ．由f (′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知， f (′(x )与1－x ＋e x－1同号．令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1． 所以当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0， g (x )在区间(－∞，1)内单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0， g (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)内的最小值．B 组1．(文)已知函数f (x )的导函数为f (′(x )，且满足f (x )＝2xf (′(e)＋ln x ，则f (′(e)＝( C ) A ．1 B ．－1( C ．－e －1D ．－e[解析] 依题意得，f (′(x )＝2f (′(e)＋1x ，取x ＝e 得f (′(e)＝2f (′(e)＋1e ，由此解得f (′(e)＝－1e＝－e －1，故选C ．(理)(2019·兰州市诊断考试)定义在(0，π2)上的函数f (x )，已知f ′(x )是它的导函数，且恒有cos x ·f ′(x )＋sin x ·f (x )<0成立，则有( C )A ．f (π6)>2f (π4)B ．3f (π6)>f (π3)C ．f (π6)>3f (π3)D ．f (π6)>3f (π4)[解析] ∵cos x ·f ′(x )＋sin x ·f (x )<0， ∴在(0，π2)上，[f (x )cos x ]′<0，∴函数y ＝f (x )cos x 在(0，π2)上是减函数，∴f (π6)cos π6>f (π3)cos π3，∴f (π6)>3f (π3)．故选C ．2．(文)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值，若过点A (0,16)作曲线y ＝f (x )的切线，则切线方程是( B )A ．9x ＋y －16＝0B ．9x －y ＋16＝0C ．x ＋9y －16＝0D ．x －9y ＋16＝0 [解析] f (′(x )＝3ax 2＋2bx －3， 依题意f (′(1)＝f (′(－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b －3＝0，3a －2b －3＝0， 解得a ＝1，b ＝0． 所以f (x )＝x 3－3x ．因为曲线方程为y ＝x 3－3x ，点A (0,16)不在曲线上，设切点为M (x 0，y 0)，则点M 的坐标满足y 0＝x 30－3x 0， 因此f (′(x 0)＝3(x 20－1)，故切线的方程为y －y 0＝3(x 20－1)(x －x 0)． 注意到点A (0,16)在切线上，有16－(x 30－3x 0)＝3(x 20－1)(0－x 0)， 化简得x 30＝－8． 解得x 0＝－2．所以，切点为M (－2，－2)，切线方程为9x －y ＋16＝0．(理)物体A 以v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5(m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后物体A 追上物体B 所用的时间t (s)为( C )A ．3B ．4(C ．5D ．6[解析] 因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)dt ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t 10tdt ，所以⎠⎛0t (3t 2＋1－10t )dt ＝(t 3＋t －5t 2)|t 0＝t 3＋t －5t 2＝5，所以(t －5)(t 2＋1)＝0，即t ＝5．3．定义：如果函数f (x )在[m ，n ]上存在x 1，x 2(m <x 1<x 2<n )满足f ′(x 1)＝f (n )－f (m )n －m ，f ′(x 2)＝f (n )－f (m )n －m则称函数f (x )是[m ，n ]上的“双中值函数”，已知函数f (x )＝x 3－x 2＋a 是[0，a ]上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是( C )A ．(13，12)B ．(32，3)C ．(12，1)D ．(13，1)[解析] 因为f (x )＝x 3－x 2＋a ，所以由题意可知，f ′(x )＝3x 2－2x 在区间[0，a ]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<a )，满足f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝f (a )－f (0)a －0＝a 2－a ，所以方程3x 2－2x ＝a 2－a 在区间(0，a )上有两个不相等的实根．令g (x )＝3x 2－2x －a 2＋a (0<x <a )，则(⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12(－a 2＋a )>0，g (0)＝－a 2＋a >0，g (a )＝2a 2－a >0，解得12<a <1，所以实数a的取值范围是(12，1)．4．(文)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是____－3__．[解析] ∵y ＝ax 2＋bx ，∴y ′＝2ax －bx2，由题意可得⎩⎨⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2∴a ＋b ＝－3．(理)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为____(1,1)__．[解析] y ′＝e x ，则y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 切＝1，又曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线与y ＝e x 在点(0,1)处的切线垂直，所以y ＝1x (x >0)在点P 处的斜率为－1，设P (a ，b )，则曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线的斜率为y ′|x ＝a ＝－a －2＝－1，可得a ＝1，又P (a ，b )在y＝1x上，所以b ＝1，故P (1,1)． 5．(文)若函数y ＝－13x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是____a >0__．[解析] y ′＝－x 2＋a ，若y ＝－13x 3＋ax 有三个单调区间，则方程－x 2＋a ＝0应有两个不等实根，故a >0．(理)已知函数f (x )＝12x 2＋3ax －lnx ，若f (x )在区间[13，2]上是增函数，则实数a 的取值范围为____[89，＋∞)__．[解析] 由题意知f ′(x )＝x ＋3a －1x ≥0在[13，2]上恒成立，即3a ≥－x ＋1x 在[13，2]上恒成立．又y ＝－x ＋1x 在[13，2]上单调递减，∴(－x ＋1x )max ＝83，∴3a ≥83，即a ≥89．6．已知函数f (x )＝x 3－3ax (a ∈R )，若直线x ＋y ＋m ＝0对任意的m ∈R 都不是曲线y ＝f (x )的切线，则a 的取值范围为____(－∞，13)__．[解析] f (x )＝x 3－3ax (a ∈R )，则f ′(x )＝3x 2－3a ，若直线x ＋y ＋m ＝0对任意的m ∈R 都不是曲线y ＝f (x )的切线，则直线的斜率为－1，f ′(x )＝3x 2－3a 与直线x ＋y ＋m ＝0没有交点，又抛物线开口向上则必在直线上面，即最小值大于直线斜率，则当x ＝0时取最小值，－3a >－1，则a 的取值范围为a <13．7．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值为10，则a ＋b ＝____－7__． [解析] f (′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由x ＝1时，函数取得极值10，得⎩⎪⎨⎪⎧f (′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， ①f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，((② 联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3当a ＝4，b ＝－11时，f (′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)在x ＝1两侧的符号相反，符合题意．当a ＝－3，b ＝3时，f (′(x )＝3(x －1)2在x ＝1两侧的符号相同，所以a ＝－3，b ＝3不符合题意，舍去．综上可知，a ＝4，b ＝－11，∴a ＋b ＝－7． 8．(文)已知函数f (x )＝2ax －1x －(2＋a )ln x (a ≥0)．(1)当a ＝0时，求f (x )的极值； (2)当a >0时，讨论f (x )的单调性．[解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝－1x －2ln x ⇒f (′(x )＝1x 2－2x ＝1－2xx 2(x >0)．由f (′(x )＝1－2xx 2>0，解得0<x <12，由f (′(x )＝1－2xx 2<0，解得x >12．∴f (x )在(0，12)内是增函数，在(12，＋∞)内是减函数．∴f (x )的极大值为f (12)＝2ln2－2，无极小值．(2)f (x )＝2ax －1x－(2＋a )ln x ⇒f (′(x )＝2a ＋1x 2－(2＋a )1x ＝2ax 2－(2＋a )x ＋1x 2＝(ax －1)(2x －1)x 2．①当0<a <2时，f (x )在(0，12)和(1a ，＋∞)内是增函数，在(12，1a )内是减函数；②当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内是增函数；③当a >2时，f (x )在(0，1a )和(12，＋∞)内是增函数，在(1a ，12)内是减函数．(理)已知函数f (x )＝12ax 2＋ln x ，其中a ∈R ．(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上的最大值是－1，求a 的值． [解析] (1)f (′(x )＝ax 2＋1x，x ∈(0，＋∞)．当a ≥0时，f (′(x )>0，从而函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，令f (′(x )＝0，解得x ＝－1a，舍去x ＝－－1a． 此时，f (x )与f (′(x )的情况如下：↘所以，f (x )的单调递增区间是(0，－1a)； 单调递减区间是(－1a，＋∞)． (2)①当a ≥0时，由(1)得函数f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a2．令a 2＝－1，得a ＝－2，这与a ≥0矛盾，舍去a ＝－2． ②当－1≤a <0时，－1a ≥1，由(1)得函数f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a 2． 令a 2＝－1，得a ＝－2，这与－1≤a <0矛盾， 舍去a ＝－2．③当a <－1时，0<－1a <1，由(1)得函数f (x )在(0,1]上的最大值为f (－1a )． 令f (－1a )＝－1，解得a ＝－e ，满足a <－1．综上，当f (x )在(0,1]上的最大值是－1时，a ＝－e ．。
河北衡水中学高三第2轮模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}|0B x x =≥，且A B A =，则集合A 可能是（ ）A ． {}1,2B ．{}|1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R 2.复数1iz i=+ 的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知平面向量,a b 满足()5a a b +=，且2,1a b ==，则向量a 与b 夹角的余弦值为（ ） A ． 2 B ． 2-C ．12D ．12-4.执行如图所示的程序框图，若输人的a 值为1，则输出的k 值为（ ）A ． 1B ． 2C ．3D ．45.已知数列{}n a 中，()111,21,n n na a a n NS *+==+∈为其前n 项和，5S的值为（ ）祝您高考马到成功！A ．57B ．61C ．62D ．636.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．23π B ．3πC ．29π D ．169π7.为了得到cos 2y x =，只需将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭作如下变换（ ） A ．向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位C ．向左平移12π个单位D ．向右平移12π个单位8.若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域，则当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A中的那部分区域的面积为（ ）A ．1B ．32C ．34D ．749.焦点在x 轴上的椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．2310.在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥=====，二面角S AC B--的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是（ ） A ． B ．6πC ．24πD祝您高考马到成功！11.已知函数()()()()()52log 11221x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程()()f x a a R =∈实根个数不可能为 （ ） A ． 2个B ．3个C ． 4个D ．5 个12.函数()()sin 2,02f x A x A πϕϕ⎛⎫=+≤> ⎪⎝⎭部分图象如图所示，且()()0f a f b ==，对不同的[]12,,x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()12f x x += ）A ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数 B ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数C ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数 D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上增减函数 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. ()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为 ．14.已知抛物线()220y px p =>上一点()1,M m 到其焦点的距离为5，双曲线221y x a-=的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a = ． 15.如图，为测量出山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60,MAN C ∠=点的仰角45CAB ∠=以及75MAC ∠=，从C 点测得60MCA ∠=，已知山高100BC m =，则山高MN =m ．祝您高考马到成！16.设函数()()21,x x xf xg x x e+==，对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的0099.（1）求实施新政策后第n 年的人口总数n a 的表达式（注：2016年为第一年）;（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施, 问到2035年后是否需要调整政策？（说明:()10100.9910.010.9=-≈）.18.（本小题满分12分）如图, 已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面, 平面ABCD平面ABPE AB =,且2,1,AB BP AD AE AE AB ====⊥,且AE BP .（1）设点M 为棱PD 中点, 在面ABCD 内是否存在点N ,使得MN ⊥平面ABCD ？若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由; （2）求二面角D PE A --的余弦值.祝您高考马到成功！19.（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次1,2,...8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件; 乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.（1）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：且1X 的数学期望()16E X =,求,a b 的值;（2）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望； （3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.注：①产品的“性价比”；②“性价比”大的产品更具可购买性.20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3460x y ++=与圆()222x y b a +-=相切.（1）求椭圆C 的方程;（2）已知椭圆C 的左顶点A 的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,M N 两点, 且12l l ⊥,求证:直线MN 过定点, 并求出定点坐标； (3)在(2) 的条件下求AMN ∆面积的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数()()()1x f x a x e a =--(常数0a R a ∈≠且).祝您高考马到成！（1）证明: 当0a >时, 函数()f x 有且只有一个极值点;（2）若函数()f x 存在两个极值点12,x x ,证明:()()12224400f x f x e e <<<<且. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,,,,A B C D 四点在同一个圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ,点F 在BA 的延长线上. （1）若11,32EC ED EB EA ==,求DCAB的值; （2）若2EF FA FB =,证明:EF CD .23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为:1(12x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数), 曲线C 的极坐标方程为:4cos ρθ=. （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程;（2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点, 求PQ 的值. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()223,12f x x a x g x x =-++=-+. （1）解不等式()5g x <;（2）若对任意1x R ∈,都有2x R ∈,使得()()12f x g x =成立, 求实数a 的取值范围.祝您考马到成功！一、 选择题：每小题5分，共60分，每小题所给选项只有一项符合题意.ADCBA DCDCB DB二、 填空题：每题5分，共20分.13.2 14.1415.15016. 1e 21k -≥三、解答题 17.本题满分12分解：（1）当10n ≤时，数列{}n a 是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，因此，新政策实施后第年的人口总数n a （单位：万）的表达式为()1045.50.51,110500.99,11n n n n a n -⎧+⨯-≤≤⎪=⎨⨯≥⎪⎩n 祝您高考马到成功！（2）设n S 为数列{}n a 的前项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得：()()102010111220...477.5495010.99972.5S S a a a =++++=+⨯-≈万新政策实施到2035年年人口均值为2048.634920S ≈< 故到2035年不需要调整政策． 18．本题满分12分解：（1）连接AC ，BD 交于点N ，连接MN ，则⊥MN 平面ABCD 证明： M 为PD 中点，N 为BD 中点MN ∴为PDB ∆的中位线，PBMN //∴又平面⊥ABCD 平面ABPE平面平面=,⊂BC 平面,ABBC ⊥⊥∴BC 平面PB BC ⊥∴，又AB PB ⊥，B BC AB =⋂⊥∴PB 平面ABCD所以⊥MN 平面ABCD（2）以A 为原点，AE ，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系，⊥AD 平面PEA∴平面PEA 的法向量)1,0,0(1==AD n 另外)1,0,0(D ，)0,0,1(E ，)0,2,2(P)1,0,1(-=∴DE ，)1,2,2(-=DP ,设平面DPE 的法向量),,(2z y x n =，则⎩⎨⎧=-+=-0220z y x z x ，令1=x ，得)1,21,1(2-=n 32,cos 21>=<∴n n 又A PE D --为锐二面角,所以二面角A PE D --的余弦值为32n S n ∴ABCD ABPE AB ABCD ABPE 祝您高考马到成功！19．本题满分12分解：（1）16,50.46780.16EX a b =⨯+++⨯=，即67 3.2a b +=①又由1X 的概率分布列得0.40.11,0.5a b a b +++=+= ② 由①②得0.30.2a b =⎧⎨=⎩（2）由已知得，样本的频率分布表如下：用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：所以，230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. （3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6 ，价格为6 元/件，所以其性价比为616=因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8 ，价格为4 元/件，所以其性价比为4.81.24=据此，乙厂的产品更具可购买性。
2020年高考数学答题模板-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高考数学解答题常考公式及答题模板（文理通用）题型一：解三角形 1、正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === （R 是ABC ∆外接圆的半径） 变式①：⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 变式②：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===Rc C R bB R a A 2sin 2sin 2sin 变式③：C B A c b a sin :sin :sin ::=2、余弦定理：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+==+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222 变式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2222222223、面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆4⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=A b B a c A c C a b Bc C b a cos cos cos cos cos cos （少用，可以不记哦^o^）5，即π=++C B A 6、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限利用以上关系和诱导公式可得公式：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+A C B B C A C B A sin )sin(sin )sin(sin )sin( 和 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+A C B B C A CB A cos )cos(cos )cos(cos )cos(7、平方关系和商的关系：①1cos sin 22=+θθ ②θθθcos sin tan = 8、二倍角公式：①θθθcos sin 22sin =②θθθθθ2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ⇒降幂公式：22cos 1cos 2θθ+=，22cos 1sin 2θθ-=③θθθ2tan 1tan 22tan -=8、和、差角公式：①⎩⎨⎧-=-+=+βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin )sin(sin cos cos sin )sin(②⎩⎨⎧+=--=+βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos cos(sin sin cos cos cos(））③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--+=+βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan tan 1tan tan )tan( 9、基本不等式：①2b a ab +≤),(+∈R b a②22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab ),(+∈R b a ③222b a ab +≤ ),(R b a ∈注意：基本不等式一般在求取值范围或最值问题中用到，比如求ABC ∆面积的最大值时。
2020届河北省衡水中学新高考冲刺模拟考试（四)文科数学试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足(1+2)34i z i =-+，则z =（ ）A.B. 5C.D.【答案】C 【解析】()()()()34i 12i 510i 12i,12i 12i 12i 5z -+-+===++=+-故选C .2.已知集合{|2}A x Z x =∈≥，()(){|130}B x x x =--<，则A B ⋂=（ ） A. ∅ B. {}2C. {}2,3D. {}|23x x ≤<【答案】B 【解析】 【分析】化简集合B ，根据交集的定义写出A B ⋂即可．【详解】解：集合{|2}A x Z x =∈≥，()(){}{|130}=|13B x x x x x =--<<<，则{}2A B ⋂= 故选B ．【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型. 3.已知131log 4a =，154b=，136c =，则（ ） A. a b c >> B. a c b >>C. c a b >>D. b c a >>【答案】C 【解析】 【分析】首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较32与,a c的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】因为154b=，所以551log log 104b =<=，又因为(133331log log 4log 3,log 4a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以c a b >>. 故选：C.【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.4.2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。
河北省衡水中学2020届高三上学期第二次调研考试数学（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。
共4页，满分150分，考试时间120分钟。
第I卷（选择题共60 分）、选择题（本题共12小题，每小题5分，共合题目要求的）3 口，且一x5 - 60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符已知cosx ，则tanx sin x的值是2.3.4.5.6.32158158153215已知a 0.23,bA. a b已知奇函数4A. -3已知圆O:xlog2 0.3, c log s 2 ,B. acf (x)满足f (x)-23B.32c bf (x 4)，当C.x (0,1)时,3C.—4cf(x)cabD.x2,则f (log 212)()3D. -8z轴的正半轴为始边,函数f（x）4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆0顺时针运动一弧长达到点N，以3ON为终边的角记为，则sineV _322sinx，x （,0）（0,）的图象大致为在区间-,‘1il1■uii!- V卡b■pl閃二Jt\ JP； 01o■1111i:"*11111如图是函数y sin（) 0,0m（m 0）个单位长度后，所得图象关于直线Z对称，则A . B. 一6 C.—4上的图象，将该图象向右平移的最小值为（）127 •已知函数 f(x) |x|(e x e x )，对于实数 a,b,“a b 0” 是“ f(a) f(b) 0” 的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C •充要条件D.既不充分也不必要条件sin1cos2”8 •已知0,, 0-，且一，则 tan 2 —()22cos2 cossin 242 2 2 2A • - 1B . 1C .3D •39.已知函数f(x) sinx cosx , g(x)是f (x)的导函数，则下列结论中错误的个数是 ()①函数f (x)的值域与g(x)的值域相同；②若x 0是函数f(x)的极值点，则x 0是函数f (x)的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数2方，则 的取值范围是()13.已知曲线y x 3 x 在点(X 0，y 0)处的切线平行于直线 2x y 2 0，则x °= _____________________A . 0B . 1C . 2D 31 0.对于函数y cosx,若存在实数X 1,X 2, ,X n 满足 0 X 1 X 2x4,且| f (Gf(x>) | | f (X ) f (X 3)||f(X n1) f(X n )| 8,nn N* , 则 n 的最小值为 )A . 3B .4 C . 5D61 | x 1|,x ( ,2),11已知函数f(x)1上则函数F(x) xf(x) 1的零点个数为 ()f (x 22),x [2,),A . 7B .6C . 5D.412.已知0,| |2，在函数f(x) sin(X)与函数 g(x) cos(: X )图象的交点中，相——上都是增函数.4 4邻两个交点的横坐标之差的绝对值为 一，当x2—,— 时，函数f(x)的图象恒在x 轴的上6 4g(x)的图象；④g(x)的零点；③把函数函数f (x)和g(x)在区间A • 6,3B • 6, 3、填空题(本题共第H 卷(非选择题4小题，每小题5分，共20 分)共90分)x 1R 的函数f(x)满足f (x) f (x)，则不等式 e f (x)14 .已知定义域为f (2x 1)的解15•如图阴影部分是由曲线 y 2x 2和x 2 y 2 3及x 轴围成的部分封闭图形，则阴影部分的面积为 ________________ •(1)求证：sinCsinA; 2cosA2⑵若B 为钝角，且△ ABC 的面积S 满足S (bsi nA)，求A.19. （12 分）已知函数 f （x ） asinx xcosx, x 0,— 2 （1）当 a 1 时，求证：f （x ） 0; ⑵如果f(x) 0恒成立，求实数 a 的最小值.16. 已知△ ABC 的内角 A , B , C 的对边长a , b , c 成等比数列,cos （A C ）至D ，若BD = 三、解答题(共 70分。
第一部分 专题二 第四讲A 组1．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是( A )A ．a >0，b <0，c >0，d >0B ．a >0，b <0，c <0，d >0C ．a <0，b <0，c >0，d >0D ．a >0，b >0，c >0，d <0[解析] 由图象知f (0)＝d >0，因为f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0有两个不相等的正实根，所以a >0，－2b 6a ＝－b3a>0，所以b <0，又f ′(0)＝c >0，所以a >0，b <0，c >0，d >0．2．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( D ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)[解析] ∵2x (x －a )<1，∴a >x －12x ．令f (x )＝x －12x ，∴f ′(x )＝1＋2－x ln2>0． ∴f (x )>f (0)＝0－1＝－1，∴a 的取值范围为(－1，＋∞)，故选D ．3．(文)(2019·昆明市高三摸底调研测试)若函数f (x )＝2x －x 2－1，对于任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，都有f (x )≤0恒成立，则实数a 的取值范围为( D )A ．(－∞，1]B ．(－∞，0]C ．(－∞，4]D ．(－∞，5][解析] 对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，都有f (x )≤0恒成立，可转化为对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，2x ≤x 2＋1恒成立． 令g (x )＝2x ，h (x )＝x 2＋1， 当x <0时，g (x )<h (x )， 当x ＝0或1时，g (x )＝h (x )， 当x ＝2或3或4时，g (x )<h (x )， 当x ≥5时，g (x )>h (x )．综上，实数a 的取值范围为(－∞，5]，故选D ．(理)已知函数y ＝f (x )是R 上的可导函数，当x ≠0时，有f ′(x )＋f (x )x >0，则函数F (x )＝xf (x )＋1x的零点个数是( B )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 由F (x )＝xf (x )＋1x ＝0，得xf (x )＝－1x ，设g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， 因为x ≠0时，有f ′(x )＋f (x )x >0，所以x ≠0时，f (x )＋xf ′(x )x>0，即当x >0时，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0，此时函数g (x )单调递增，此时g (x )>g (0)＝0，当x <0时，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0，此时函数g (x )单调递减，此时g (x )>g (0)＝0，作出函数g (x )和函数y ＝－1x 的图象，(直线只代表单调性和取值范围)，由图象可知函数F (x )＝xf (x )＋1x的零点个数为1个．4．(文)已知x ＝1是函数f (x )＝ax 3－bx －ln x (a >0，b ∈R )的一个极值点，则ln a 与b －1的大小关系是( B )A ．ln a >b －1B ．ln a <b －1C ．ln a ＝b －1D ．以上都不对[解析] f ′(x )＝3ax 2－b －1x ，∵x ＝1是函数f (x )的极值点，∴f ′(1)＝3a －b －1＝0，即3a －1＝b ． 令g (a )＝ln a －(b －1)＝ln a －3a ＋2(a >0)， 则g ′(a )＝1a －3＝1－3a a，∴g (a )在(0，13)上递增，在(13，＋∞)上递减，故g (a )max ＝g (13)＝1－ln3<0．故ln a <b －1．(理)已知函数f (x )＝ln(e x ＋e －x )＋x 2，则使得f (2x )>f (x ＋3)成立的x 的取值范围是( D ) A ．(－1,3) B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) C ．(－3,3)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)[解析] ∵函数f (x )＝ln(e x ＋e －x )＋x 2， ∴f ′(x )＝e x －e －xe x ＋e－x ＋2x ，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ＝0时，f ′(x )＝0，f (x )取最小值，∵f (x )＝ln(e x ＋e －x )＋x 2是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (2x )>f (x ＋3)等价于|2x |>|x ＋3|， 整理，得x 2－2x －3>0， 解得x >3或x <－1，∴使得f (2x )>f (x ＋3)成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)，故选D ． 5．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且g (x )≠0，当x <0时，f ′(x )g (x )>f (x )g ′(x )，且f (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是____(－∞，－3)∪(0,3)__．[解析] 因为f (x )和g (x )(g (x )≠0)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， 所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )． 因为当x <0时，f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0， 当x <0时，[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )>0，令h (x )＝f (x )g (x )，则h (x )在(－∞，0)上单调递增． 因为h (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－h (x )，所以h (x )为奇函数，根据奇函数的性质可得函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增， 因为f (－3)＝－f (3)＝0， 所以h (－3)＝－h (3)＝0．h (x )<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．6．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____⎝⎛⎭⎫－2，0__． [解析] ⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0． 7．定义1：若函数f (x )在区间D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在区间D 上也可导，则称函数f (x )在区间D 上存在二阶导数，记作f ″(x )，即f ″(x )＝[f ′(x )]′．定义2：若函数f (x )在区间D 上的二阶导数恒为正，即f ″(x )>0恒成立，则称函数f (x )在区间D 上为凹函数．已知函数f (x )＝x 3－32x 2＋1在区间D 上为凹函数，则x 的取值范围是____(12，＋∞)__．[解析] ∵f (x )＝x 3－32x 2＋1，∴f ′(x )＝3x 2－3x ，∴f ″(x )＝6x －3.令f ″(x )>0，即6x －3>0，解得x >12．∴x 的取值范围是(12，＋∞)．8．已知f (x )＝ln x ＋ax ，a ∈R ． (1)讨论函数f (x )的单调性．(2)若函数f (x )的两个零点为x 1，x 2，且x 2x 1≥e 2，求证：(x 1－x 2)f ′(x 1＋x 2)>65．[解析] (1)函数f (x )＝ln x ＋ax 的定义域为{x |x >0}， 所以f ′(x )＝1x＋a ．①若a ≥0，则f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)内单调递增． ②若a <0，则f ′(x )＝1x ＋a ，由f ′(x )>0，得0<x <－1a ，∴f (x )在(0，－1a )内单调递增；由f ′(x )＝1x ＋a <0，得x >－1a ，∴f (x )在(－1a ，＋∞)内单调递减．(2)证明：∵ln x 1＋ax 1＝0，ln x 2＋ax 2＝0，∴ln x 2－ln x 1＝a (x 1－x 2)． (x 1－x 2)f ′(x 1＋x 2)＝(x 1－x 2)(1x 1＋x 2＋a )＝x 1－x 2x 1＋x 2＋ a (x 1－x 2)＝x 1－x 2x 1＋x 2＋ln x 2x 1＝1－x 2x 11＋x 2x 1＋ln x 2x 1．令x 2x 1＝t ≥e 2，令φ(t )＝1－t 1＋t ＋ln t ， 则φ′(t )＝t 2＋1(1＋t )2t>0，∴φ(t )在[e 2，＋∞)内单调递增， φ(t )≥φ(e 2)＝1＋2e 2＋1>1＋232＋1＝65．∴(x 1－x 2)f ′(x 1＋x 2)>65．9．某造船公司年最大造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R (x )＝3 700x ＋45x 2－10x 3(单位：万元)，成本函数为C (x )＝460x ＋5 000(单位：万元)，又在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )．(1)求利润函数P (x )及边际利润函数MP (x )．(提示：利润＝产值－成本) (2)问：年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP (x )的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么． [解析] (1)P (x )＝R (x )－C (x )＝－10x 3＋45x 2＋3 240x －5 000(x ∈N *，且1≤x ≤20)； MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝－30x 2＋60x ＋3 275(x ∈N *，且1≤x ≤19)． (2)P ′(x )＝－30x 2＋90x ＋3 240 ＝－30(x －12)(x ＋9)，因为x >0，所以P ′(x )＝0时，x ＝12，当0<x <12时，P ′(x )>0，当x >12时，P ′(x )<0， 所以x ＝12时，P (x )有极大值，也是最大值．即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大． (3)MP (x )＝－30x 2＋60x ＋3 275 ＝－30(x －1)2＋3 305．所以，当x ≥1时，MP (x )单调递减．所以单调减区间为[1,19]．MP (x )是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少．B 组1．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足1－x f ′(x )≤0，则必有( A )A ．f (0)＋f (2)>2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)≥2f (1)[解析] 当x <1时，f ′(x )<0，此时函数f (x )递减；当x >1时，f ′(x )>0，此时函数f (x )递增，即当x ＝1时，函数f (x )取得极小值同时也取得最小值f (1)，所以f (0)>f (1)，f (2)>f (1)，则f (0)＋f (2)>2f (1)．故选A ．2．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( B ) A ．(－∞，0) B ．(0，12)C ．(0,1)D ．(0，＋∞)[解析] ∵f (x )＝x (ln x －ax )，∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，故f ′(x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点，令f ′(x )＝0，则2a ＝ln x ＋1x ，设g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝－ln xx2，∴g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．又∵当x →0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0，而g (x )max ＝g (1)＝1，∴只需0<2a <1⇒0<a <12．3．(文)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a >0，b ∈R )，若对任意x >0，f (x )≥f (1)，则( A ) A ．ln a <－2b B ．ln a ≤－2b C ．ln a >－2bD ．ln a ≥－2b[解析] f ′(x )＝2ax ＋b －1x ，由题意可知f ′(1)＝0，即2a ＋b ＝1，由选项可知，只需比较ln a ＋2b 与0的大小，而b ＝1－2a ，所以只需判断ln a ＋2－4a 的符号．构造一个新函数g (x )＝2－4x ＋ln x ，则g ′(x )＝1x －4，令g ′(x )＝0，得x ＝14，当x <14时，g (x )为增函数；当x >14时，g (x )为减函数，所以对任意x >0有g (x )≤g (14)＝1－ln4<0，所以有g (a )＝2－4a ＋ln a ＝2b＋ln a <0⇒ln a <－2b .故选A ．(理)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2.若f (x 1)＝x 1<x 2，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为( A )A ．3B ．4C ．5D ．6[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，原题等价于方程3x 2＋2ax ＋b ＝0有两个不等实数根x 1，x 2，且x 1<x 2，x ∈(－∞，x 1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴x 1为极大值点，x 2为极小值点．∴方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0有两个不等实根， f (x )＝x 1或f (x )＝x 2．∵f (x 1)＝x 1，∴由图知f (x )＝x 1有两个不同的解，f (x )＝x 2仅有一个解．故选A ．4．已知函数f (x )＝2ax 3－3ax 2＋1，g (x )＝－a 4x ＋32，若任意给定的x 0∈[0,2]，总存在两个不同的x i (i ＝1,2)∈[0,2]，使得f (x i )＝g (x 0)成立，则实数a 的取值范围是( A )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1][解析] 当a ＝0时，显然不成立，故排除D ；当a >0时，注意到f ′(x )＝6ax 2－6ax ＝6ax (x －1)，即f (x )在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数，又f (0)＝1<32＝g (0)，当x 0＝0时，结论不可能成立；进一步，可知a <0，此时g (x )在[0,2]上是增函数，且取值范围是[32，－a 2＋32]，同时f (x )在0≤x ≤1时，函数值从1增大到1－a ， 在1≤x ≤2时，函数值从1－a 减少到1＋4a ，所以“任意给定的x 0∈[0,2]，总存在两个不同的x i (i ＝1,2)∈[0,2]，使得f (x i )＝g (x 0)成立”，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f (x )的最大值>g (x )的最大值，f (x )的最小值<g (x )的最小值，即⎩⎨⎧1－a >－a 2＋32，1＋4a <32，解得a <－1．5．已知y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，且xf ′(x )＋f (x )>0，则函数g (x )＝xf (x )＋1(x >0)的零点个数为____0__．[解析] 因为g (x )＝xf (x )＋1(x >0)，g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增．又g (0)＝1，y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，所以g (x )为(0，＋∞)上的连续可导函数，所以g (x )>g (0)＝1，所以g (x )在(0，＋∞)上无零点．6．已知函数f (x )＝e xx ，g (x )＝－(x －1)2＋a 2，若当x >0时，存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围是．[解析] 由题意得存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，等价于f (x )min ≤g (x )max ． 因为g (x )＝－(x －1)2＋a 2，x >0， 所以当x ＝1时，g (x )max ＝a 2．因为f (x )＝e xx，x >0，所以f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x (x －1)x 2．所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)＝e ． 又g (x )max ＝a 2，所以a 2≥e ⇔a ≤－e 或a ≥e ．故实数a 的取值范围是(－∞，－e]∪[e ，＋∞)．7．(2019·武汉市武昌区调研考试)已知函数f (x )＝ln x ＋ax ，a ∈R ．(1)讨论函数f (x )的单调性； (2)当a >0时，证明f (x )≥2a －1a ．[解析] (1)f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2(a >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a >0时，若x >a ，则f ′(x )>0，函数f (x )在(a ，＋∞)上单调递增； 若0<x <a ，则f ′(x )<0，函数f (x )在(0，a )上单调递减． (2)证明：由(1)知，当a >0时，f (x )min ＝f (a )＝ln a ＋1． 要证f (x )≥2a －1a ，只需证ln a ＋1≥2a －1a ，即证ln a ＋1a －1≥0．令函数g (a )＝ln a ＋1a －1，则g ′(a )＝1a －1a 2＝a －1a2(a >0)，当0<a <1时，g ′(a )<0，当a >1时，g ′(a )>0， 所以g (a )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 所以g (a )min ＝g (1)＝0． 所以ln a ＋1a －1≥0恒成立，所以f (x )≥2a －1a．8．(文)设函数f (x )＝(1－x 2)e x ． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥0时，f (x )≤ax ＋1，求a 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝(1－2x －x 2)e x ．令f ′(x )＝0得x ＝－1－2或x ＝－1＋2． 当x ∈(－∞，－1－2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－1－2，－1＋2)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－1＋2，＋∞)时，f ′(x )<0．所以f (x ) 在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)上单调递减，在(－1－2，－1＋2)上单调递增．(2)f (x )＝(1＋x )(1－x )e x ．当a ≥1时，设函数h (x )＝(1－x )e x ， 则h ′(x )＝－x e x <0(x >0)， 因此h (x )在[0，＋∞)上单调递减． 而h (0)＝1，故h (x )≤1所以f (x )＝(x ＋1)h (x )≤x ＋1≤ax ＋1． 当0<a <1时，设函数g (x )＝e x －x －1， 则g ′(x )＝e x －1>0(x >0)， 所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增． 而g (0)＝0，故e x ≥x ＋1．当0<x <1时，f (x )>(1－x )(1＋x )2，(1－x )(1＋x )2－ax －1＝x (1－a －x －x 2)， 取x 0＝5－4a －12， 则x 0∈(0,1)，(1－x 0)(1＋x 0)2－ax 0－1＝0， 故f (x 0)>ax 0＋1． 当a ≤0时，取x 0＝5－12，则x 0∈(0,1)，f (x 0)>(1－x 0)(1＋x 0)2＝1≥ax 0＋1． 综上，a 的取值范围是[1，＋∞)．(理)已知函数f (x )＝ax 2－ax －x ln x ，且f (x )≥0． (1)求a ；(2)证明：f (x )存在唯一的极大值点x 0，且e －2<f (x 0)<2－2． [解析] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)． 设g (x )＝ax －a －ln x ，则f (x )＝xg (x )，f (x )≥0等价于g (x )≥0． 因为g (1)＝0，g (x )≥0，故g ′(1)＝0， 而g ′(x )＝a －1x ，g ′(1)＝a －1，得a ＝1．若a ＝1，则g ′(x )＝1－1x．当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．所以x ＝1是g (x )的极小值点，故g (x )≥g (1)＝0． 综上，a ＝1．(2)证明：由(1)知f (x )＝x 2－x －x ln x ， f ′(x )＝2x －2－ln x ．设h (x )＝2x －2－ln x ，则h ′(x )＝2－1x ．当x ∈(0，12)时，h ′(x )<0；当x ∈(12，＋∞)时，h ′(x )>0．所以h (x )在(0，12)上单调递减，在(12，＋∞)上单调递增．又h (e －2)>0，h (12)<0，h (1)＝0，所以h (x )在(0，12)上有唯一零点x 0，在[12，＋∞)上有唯一零点1，且当x ∈(0，x 0)时，h (x )>0；当x ∈(x 0,1)时，h (x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )>0． 因为f ′(x )＝h (x )，所以x ＝x 0是f (x )的唯一极大值点． 由f ′(x 0)＝0，得ln x 0＝2(x 0－1)，故f (x 0)＝x 0(1－x 0)． 由x 0∈(0，12)得f (x 0)<14．因为x ＝x 0是f (x )在(0,1)上的最大值点， 由e －1∈(0,1)，f ′(e －1)≠0得f (x 0)>f (e －1)＝e －2． 所以e －2<f (x 0)<2－2．。
2020年河北省衡水二中高考数学二模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.设集合A={x∈Z|x2−2x−3<0}，B={−1,0，1，2}，则A∩B=()A. {0,1}B. {0,1,2}C. {−1,0,1}D. {−1,0}2.i是虚数单位，z=4i则|z|=()1−iA. 2B. 2√2C. 4D. 4√23.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成，其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．下图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影，其正六边形的边长计算方法如下：A1B1=A0B0−B0B1，A2B2=A1B1−B1B2，A3B3=A2B2−B2B3，…，A n B n=A n−1B n−1−B n−1B n，其中B n−1B n=⋯=B2B3=B1B2=B0B1，n∈N∗.根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若A0B0=8m，B0B1=0.5m，则这五层正六边形的周长总和为()A. 35mB. 45mC. 210mD. 270m4.已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是()A. l⊂α，m⊂β，且l⊥mB. l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥nC. m⊂α，n⊂β，且l⊥m，l⊥nD. l⊂α，l//m，且m⊥β5.下图可能是下列哪个函数的图象()A. y=x2(x−2)x−1B. y=x(x−2)ln|x−1|C. y=x2ln|x−1|D. y=tanx⋅ln(x+1)6.已知a⃗，b⃗ 为单位向量，其夹角为120°，则(a⃗−2b⃗ )⋅b⃗ =()A. −52B. −32C. −1D. 27.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么至多有一名女生参加的概率是()A. 110B. 310C. 35D. 9108.条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成，用来表示一定的信息，我们通常见的条形码是“EAN−13”通用代码，它是由从左到右排列的13个数字(用a1，a2，…，a13表示)组成，这些数字分别表示前缀部分、制造厂代码、商品代码和校验码，其中a13是校验码，用来校验前12个数字代码的正确性．图(1)是计算第13位校验码的程序框图，框图中符号[m]表示不超过m的最大整数(例如[365.8]=365).现有一条形码如图(2)所示(97a37107202551)，其中第3个数被污损，那么这个被污损数字a3是A. 9B. 8C. 7D. 69.如图是1990年−2017年我国劳动年龄(15−64岁)人口数量及其占总人口比重情况：根据图表信息，下列统计结论不正确的是()A. 2000年我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大B. 2010年后我国人口数量开始呈现负增长态势C. 2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值D. 我国劳动年龄人口占总人口比重极差超过6%10. 设抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为k(k >0)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且点P 恰为AB 的中点，过点P 作x 轴的垂线与抛物线交于点M ，若|MF |=3，则直线l 的方程为( )A. y =2√2x +1B. y =√3x +1C. y =√2x +1D. y =2√3x +211. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 和AA 1的中点，则直线EF 与平面ACC 1A 1所成的角等于( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90° 12. 若函数在(0,2)上存在两个极值点，则a 的取值范围是( ) A.B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为√3，则双曲线C 的焦距为_______．14. 在等比数列{a n }中，已知a 1+a 2+⋯+a n =2n −1，则a 12+a 22+⋯+a n 2=______．15. 已知定义在R 上的函数f (x )满足：f(x)={x 2+2,x ∈[0,1),2−x 2,x ∈[−1,0),且f(x +2)=f(x)，g(x)=2x+5x+2，则方程f (x )=g (x )在区间[−5,1]上的所有实根之和为____．16. 在三棱锥D − ABC 中，AB = BC = DB = DC = 1，当三棱锥D – ABC 的体积最大时，其外接球的表面积为 ____________ ．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 如图所示，在平面四边形ABCD 中，BC =CD =2，△BCD 的面积是2．(1)求∠BCD 的大小(2)若∠ABD =2∠ACB =60°，求线段AD 的长．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，已知PA=AC=2，，CE⊥AD与E．(1)求证：AD⊥PC；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，且AD=3，求二面角C−PD−A的余弦值．19.已知F1(−1,0)，F2(1,0)为椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，△F1AB的周长为8．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)已知P(x0,y0)(y0≠0)是直线l：x=4上一动点，若PA，PB与x轴分别交于点M(x M,0)，N(x N,0)，则1x M−1+1x N−1是否为定值，若是，求出该定值，不是请说明理由．20.已知函数f(x)=x2−aln x有两个零点x1，x2(x1<x2)，有一个极值点x0．(1)求实数a的取值范围；(2)求证：x1+3x2>4x0．21.在某市创建全国文明城市的过程中，创文专家组对该市的中小学进行了抽检，其中抽检的一个环节是对学校的教师和学生分别进行问卷测评．下表是被抽检到的5所学校A、B、C、D、E 的教师和学生的测评成绩(单位：分)：(1)建立y关于x的回归方程ŷ=b̂x+â；(2)现从A、B、C、D、E这5所学校中随机选2所派代表参加座谈，用X表示选出的2所学校中学生的测评成绩大于90分的学校数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)．附：b ̂=ni=1i −x)(y i −y)∑(x −x)2n ，a ̂=y −b ̂x ．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =−4t +2y =kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为{x =m −2y =m k(m 为参数)，当k 变化时，设 l 1与l 2的交点的轨迹为曲线C ．(I)以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程； (II)设曲线C 上的点A 的极角为π6，射线OA 与直线l 3：ρsin(θ+φ)−2√2=0 (0<φ<π2)的交点为B ，且|OB|=√7|OA|，求φ的值．23. 已知函数f(x)=|x +2a|+|x −a|．(1)当a =1时，求不等式f(x)≥4−|x +2|的解集；(2)设a >0，b >0，f(x)的最小值为t ，若t +3b =3，求1a +2b 的最小值。
3 2y满分冲刺 1x2 1、已知直线l : y = 2x + 3 被椭圆C :a22+=1(a >b > 0) 截得的弦长为 7，则下列直线中被b25.2016 年 1 月 1 日起全国统一实施全面两孩政策。
为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取 70 后和80 后作为调查对象，随机调查了 100 位，得到数据如下表：椭圆C 截得的弦长一定为7 的有（）①y = 2x -3②y = 2x +1③y =-2x -3 ④y =-2x + 3A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条2、若存在实常数k 和b ，使得函数F (x) 和G(x) 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：（Ⅰ）以这 100 个人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率，若从该市 70 后公民中随机抽取 3 位,记其中生二胎的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望。
F (x) ≥kx +b 和G(x) ≤kx +b 恒成立，则称此直线y =kx +b 为F (x) 和G(x) 的“隔离直线”，已知函数f (x) =x2 (x ∈R), g(x) =1(x < 0), h(x) = 2e ln x ，有下列命题：x（Ⅱ）根据调查数据，是否有 90% 以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由；参考数据：① F (x) =f (x) -g(x) 在x ∈(-1, 0) 内单调递增；② f (x) 和g(x) 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为-4 ；③ f (x) 和g(x) 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(-4, 0] ；（参考公式：K 2 =n(ad -bc)2(a +b)(c +d )(a +c)(b +d )，其中n =a +b +c +d ）④ f (x) 和h(x) 之间存在唯一的“隔离直线” y = 2 ex -e ．其中真命题的个数有（）A．1个B．2 个C．3 个D．4个3.在∆ABC 中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c，若∆ABC 的面积为S ，且6S=（a+b）2-c2，则tan C等于4.过点M(2，－2p)作抛物线x2＝2py(p>0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则p 的值是．生二胎不生二胎合计70 后30 15 4580 后45 10 55合计75 25 100P(K 2 >k)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.8796．如图，抛物线C : x2 = 2 py ( p > 0) 的焦点为F (0,1) ，取垂直于y 轴的直线与抛物线交于不同的两点P ，P ，过P ，P 作圆心为Q 的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且PQ ⊥PQ 。
第一部分专题一第一讲A组1．(文)(2018·天津卷，1)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1，0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝(C)A．{－1,1}B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}[解析]∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．又C＝{x∈R|－1≤x<2}，∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．故选C．(理)(2018·天津卷，1)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝(B) A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}[解析]全集为R，B＝{x|x≥1}，则∁R B＝{x|x<1}．∵集合A＝{x|0<x<2}，∴A∩(∁R B)＝{x|0＜x＜1}．故选B．2．(2019·安徽皖南八校联考)已知集合A＝{(x，y)|x2＝4y}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B 的真子集个数为(B)A ．1B ．3C ．5D ．7[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝4y ，y ＝x 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即A ∩B ＝{(0,0)，(4,4)}，∴A ∩B 的真子集个数为22－1＝3.故选B ．3．(文)命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是( C ) A ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x <0 B ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0 C ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0 D ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥0[解析] 全称命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是特称命题“∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0”．(理)已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈(0，π2)，f (x )<0，则( C )A ．p 是假命题，¬p ：∀x ∈(0，π2)，f (x )≥0B ．p 是假命题，¬p ：∃x 0∈(0，π2)，f (x 0)≥0C ．p 是真命题，¬p ：∃x 0∈(0，π2)，f (x 0)≥0D ．p 是真命题，¬p ：∀x ∈(0，π2)，f (x )≥0[解析] 因为f ′(x )＝3cos x －π，所以当x ∈(0，π2)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，即对∀x ∈(0，π2)，f (x )<f (0)＝0恒成立，所以p 是真命题．又全称命题的否定是特称命题，所以¬p ：∃x 0∈(0，π2)，f (x 0)≥0．4．(文)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( D ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 取a ＝－b ≠0，则|a |＝|b |≠0，|a ＋b |＝|0|＝0，|a －b |＝|2a |≠0，所以|a ＋b |≠|a －b |，故由|a |＝|b |推不出|a ＋b |＝|a －b |.由|a ＋b |＝|a －b |，得|a ＋b |2＝|a －b |2，整理得a·b ＝0，所以a⊥b，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|.故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a －b|”的既不充分也不必要条件．故选D．(理)若p是q的充分不必要条件，则下列判断正确的是(C)A．¬p是q的必要不充分条件B．¬q是p的必要不充分条件C．¬p是¬q的必要不充分条件D．¬q是¬p的必要不充分条件[解析]由p是q的充分不必要条件可知p⇒q，q⇒/ p，由互为逆否命题的两命题等价可得¬q⇒¬p，¬p⇒/ ¬q，∴¬p是¬q的必要不充分条件，故选C．5．(文)已知全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9，x∈R}和B＝{x|－4<x<4，x∈Z}关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所求集合中的元素共有(B)A．3个B．4个C．5个D．无穷多个[解析]由Venn图可知，阴影部分可表示为(∁U A)∩B．由于∁U A＝{x|x≤0或x≥9}，于是(∁U A)∩B＝{x|－4<x≤0，x∈Z}＝{－3，－2，－1,0}，共有4个元素．(理)设全集U＝R，A＝{x|x(x－2)<0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为(B)A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2}C．{x|0<x≤1} D．{x|x≤1}[解析]分别化简两集合可得A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x<1}，故∁U B＝{x|x≥1}，故阴影部分所示集合为{x|1≤x<2}．6．(2019·洛阳市第一统考)设全集U＝R，集合A＝{x|log2x≤1}，B＝{x|x2＋x－2≥0}，则A∩∁U B＝(C)A．(0,1] B．(－2,2]C．(0,1) D．[－2,2][解析]不等式log2x≤1，即log2x≤log22，由y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，得不等式的解集为(0,2]，即A＝(0,2]．由x2＋x－2≥0，得(x＋2)(x－1)≥0，得B＝{x|x≤－2或x≥1}，所以∁U B＝(－2,1)，从而A∩∁U B＝(0,1)．故选C．7．下列结论错误的是(C)A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”B．命题“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件C．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”[解析]C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，即m≥－1，不能推出m>0.所以不是真命题，故选C．48．已知全集U＝R，设集合A＝{x|y＝ln(2x－1)}，集合B＝{y|y＝sin(x－1)}，则(∁U A)∩B为( C )A ．(12，＋∞)B ．(0，12]C ．[－1，12]D ．∅[解析] 集合A ＝{x |x >12}，则∁U A ＝{x |x ≤12}，集合B ＝{y |－1≤y ≤1}，所以(∁U A )∩B ＝{x |x ≤12}∩{y |－1≤y ≤1}＝[－1，12]．9．给定命题p ：函数y ＝ln[(1－x )(1＋x )]为偶函数；命题q ：函数y ＝e x －1e x ＋1为偶函数，下列说法正确的是( B )A ．p ∨q 是假命题B ．(¬p )∧q 是假命题C ．p ∧q 是真命题D ．(¬p )∨q 是真命题 [解析] 对于命题p ：y ＝f (x )＝ln[(1－x )(1＋x )]， 令(1－x )(1＋x )>0，得－1<x <1．所以函数f (x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称， 因为f (－x )＝ln[(1＋x )(1－x )]＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，所以命题p 为真命题；对于命题q ：y ＝f (x )＝e x －1e x ＋1，函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，因为f (－x )＝e －x －1e －x＋1＝1e x －11e x ＋1＝1－e x 1＋e x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，所以命题q 为假命题，所以(¬p )∧q 是假命题．10．已知命题p ：x ≥1，命题q ：1x <1，则¬p 是q 的__既不充分也不必要__条件．[解析] 由题意，得¬p 为x <1，由1x <1，得x >1或x <0，故q 为x >1或x <0，所以¬p 是q的既不充分也不必要条件．11．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x －x －a 有零点，则¬p ：__∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x 0－x －a 0没有零点__．[解析] 全称命题的否定为特称命题，¬p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x 0－x －a 0没有零点．12．已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于__3__． [解析] A ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x ∈R |－1<x <3}，集合A 中包含的整数有0,1,2，故A ∩Z ＝{0,1,2}．故A ∩Z 中所有元素之和为0＋1＋2＝3．13．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0；命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为__(－∞，－2]__．[解析] 由已知条件可知p 和q 均为真命题，由命题p 为真得a ≤0，由命题q 为真得a ≤－2或a ≥1， 所以a ≤－2．B 组1．(文)设全集U ＝{x |e x >1}，函数f (x )＝1x －1的定义域为A ，则∁U A ＝( A ) A ．(0,1] B ．(0,1) C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)[解析] 全集U ＝{x |x >0}，f (x )的定义域为{x |x >1}，所以∁U A ＝{x |0<x ≤1}．(理)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg(x －1)}，集合B ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋5}，则A ∩B ＝( C )A ．∅B ．(1,2]C ．[2，＋∞)D ．(1，＋∞)[解析] 由x －1>0，得x >1，故集合A ＝(1，＋∞)，又y ＝x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4≥4＝2，故集合B ＝[2，＋∞)，所以A ∩B ＝[2，＋∞)，故选C ．2．(2019·辽宁八校联考)设集合M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}，集合N ＝{x |(12)x ≤4}，则M ∪N ＝( A )A ．{x |x ≥－2}B ．{x |x >－1}C ．{x |x <－1}D ．{x |x ≤－2}[解析] 因为M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}＝{x |－2<x <－1}，N ＝[－2，＋∞)，所以M ∪N ＝[－2，＋∞)，故选A ．3．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( D ) A ．[－1,3]B ．(－1,3)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)[解析] ∵∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0是真命题， ∴x 2＋(a －1)x ＋1<0有解．由Δ＝(a －1)2－4>0，可得a <－1或a >3，故选D ．4．在△ABC 中，角A ，B 的对边分别为a ，b ，则“cos A >cos B ”是“a <b ”成立的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] ①∵a ，b 分别是角A ，B 所对的边且a <b ， ∴0<A <B <π．而在(0，π)上，f (x )＝cos x 为减函数， ∴cos A >cos B ．②在(0，π)上，函数f (x )＝cos x 为减函数，0<A ，B <π，cos A >cos B ， ∴A <B ，∴a <b ，∴为充要条件，故选C ． 5．给出下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >cb ”的逆否命题；④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题． 其中真命题的是( A ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④D ．②③④[解析] ①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log 2x ＋1log 2x ≥2，得x >1；③中由a >b >0，得1a <1b ，而c <0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④由p 且q 为假只能得出p ，q 中至少有一个为假，④不正确．6．设x ，y ∈R ，则“|x |≤4且|y |≤3”是“x 216＋y 29≤1”的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]“|x|≤4且|y|≤3”表示的平面区域M为矩形区域，“x216＋y29≤1”表示的平面区域N为椭圆x216＋y29＝1及其内部，显然N M，故选B．7．(文)若集合A＝{x|2<x<3}，B＝{x|(x＋2)(x－a)<0}，则“a＝1”是“A∩B＝∅”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]当a＝1时，B＝{x|－2<x<1}，∴A∩B＝∅，则“a＝1”是“A∩B＝∅”的充分条件；当A∩B＝∅时，得a≤2，则“a＝1”不是“A∩B＝∅”的必要条件，故“a＝1”是“A∩B ＝∅”的充分不必要条件．(理)设x，y∈R，则“x≥1且y≥1”是“x2＋y2≥2”的(D)A．既不充分又不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．充分不必要条件[解析]当x≥1，y≥1时，x2≥1，y2≥1，所以x2＋y2≥2；而当x＝－2，y＝－4时，x2＋y2≥2仍成立，所以“x≥1且y≥1”是“x2＋y2≥2”的充分不必要条件，故选D．8．已知命题p：函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)内单调递减；命题q：函数y＝2cos x是偶函数，则下列命题中为真命题的是(A)A．p∧q B．(¬p)∨(¬q)C．(¬p)∧q D．p∧(¬q)[解析]命题p：函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上单调递减，是真命题；命题q：函数y＝2cos x是偶函数，是真命题．则p∧q是真命题．故选A．9．若集合P＝{x|3<x≤22}，非空集合Q＝{x|2a＋1≤x<3a－5}，则能使Q⊆(P∩Q)成立的a的取值范围为(D)A．(1,9) B．[1,9]C．[6,9) D．(6,9][解析]依题意，P∩Q＝Q，Q⊆P，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1<3a －5，2a ＋1>3，3a －5≤22，解得6<a ≤9，即实数a 的取值范围为(6,9]．10．f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则a 的取值范围是( A )A ．(0，12]B ．[12，3]C ．[3，＋∞)D ．(0,3][解析] 由于函数g (x )在定义[－1,2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1,2]使得g (x 1)＝f (x 0)，因此问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集，函数f (x )的值域是[－1,3]，函数g (x )的值域是[2－a,2＋2a ]，则有⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥－1，2＋2a ≤3，解得a ≤12，又a >0，故a 的取值范围是(0，12]． 11．已知命题p ：若ax 2－ax －1<0在R 上恒成立，则0<a <4；命题q ：在锐角三角形ABC 中，若A ＝π3，则12<sin B <1.则下列结论正确的是( C )A ．p ∧q 为真B ．p ∧(¬q )为真C ．(¬p )∧q 为真D ．p ∨(¬q )为真[解析] 先判断命题p ，当a ＝0时，不等式为－1<0，显然恒成立，故该命题为假．再判断命题q ，因为A ＝π3，所以C ＝π－A －B ＝2π3－B ，又 △ABC 为锐角三角形，所以⎩⎨⎧0<C ＝2π3－B <π2，0<B <π2，解得π6<B <π2．因为函数y ＝sin x 在(π6，π2)上单调递增，所以sin B ∈(12，1)，故该命题为真．综上可知，p 假q 真，故¬p 为真，¬q 为假，所以p ∧q 为假，p ∧(¬q )为假，p ∨(¬q )为假，(¬p )∧q 为真，故选C ．12．(2019·湖北黄冈质检)下列命题中，是假命题的是( D ) A ．∃x 0∈R ，ln x 0<0 B ．∀x ∈(－∞，0)，e x >x ＋1 C ．∀x >0,5x >3xD ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 0<sin x 0[解析] ∃x 0＝1e ，ln x 0＝－1<0，A 是真命题；令y ＝e x －x －1，则当x ∈(－∞，0)时，y ′＝e x －1<0，所以y ＝e x －x －1，当x ∈(－∞，0)时，是减函数，则e x －x －1>e 0－0－1＝0，所以∀x ∈(－∞，0)，e x >x ＋1，B 是真命题；∀x >0，设t (x )＝(53)x ，由指数函数的单调性可知，当x >0时，t (x )＝(53)x >1恒成立，即有5x >3x 恒成立，故C 是真命题；令y ＝x －sin x ，x ∈(0，＋∞)，则y ′＝1－cos x ≥0，x ∈(0，＋∞)恒成立，所以y ＝x －sin x ，x ∈(0，＋∞)是增函数，则x －sin x >0，即∀x ∈(0，＋∞)，x >sin x ，D 是假命题，故选D ．13．如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x,0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝__{0,6}__．[解析] 由题意可知，－2x ＝x 2＋x ， 所以x ＝0或x ＝－3，而当x ＝0时，不符合元素的互异性，舍去； 当x ＝－3时，A ＝{－6,0,6}，所以A ∩B ＝{0,6}．14．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝{(x ，y )|y －3x －2＝1}，P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则∁U (M ∪P )＝__{(2,3)}__．[解析] 集合M ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，且x ≠2，y ≠3}， 所以M ∪P ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，且x ≠2，y ≠3}． 则∁U (M ∪P )＝{(2,3)}．15．设p ：(x －a )2>9，q ：(x ＋1)(2x －1)≥0，若¬p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__(－∞，－4]∪[72，＋∞)__．[解析] ¬p ：(x －a )2≤9，所以a －3≤x ≤a ＋3，q ：x ≤－1或x ≥12，因为¬p 是q 的充分不必要条件，。
