余角与补角PPT课件

6.3.3
余角和补角
符号语言：
因为∠3 +∠4 = 180°，
所以∠3 与∠4 互为补角.
3
注意：(1) 补角是指两个角的关系；
(2) 补角只考虑两个角的数量关系，与位置无关.
4
6.3.3
余角和补角
思考
∠1 与∠2 、∠3 都互为补角，那么∠2 与∠3 的大小有什么关系？
∠1 与∠2 、∠3 都互为补角，那么∠2 = 180° -∠1，∠3 = 180° -∠1.
6.3.3
余角和补角
七年级上
6.3.3
余角和补角
学习目标
1. 了解余角、补角的概念.
重点
2. 掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的性质解决相关问题.
重点
6.3.3
余角和补角
新课引入
问题1：下图中的∠A 和∠B 有怎样的数量关系？
A
A
30°
45°
90° 45°
C
B
∠A +∠B = 90°
90° 60°
6.3.3
余角和补角
例3 如图，点A，O，B在同一直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分
∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？
解:因为点A，O，B在同一直线上，所以∠AOC 和∠BOC
互为补角.
又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，



所以∠COD+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC= (∠AOC+∠BOC )
6.3.3
余角和补角
3.如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB 的度数，但人不能进入围墙
，如何测量？

变式 若一个角的补角等于它的余角的3倍,则这个角的度数
与 为 45° .
应
用
课 [检测]
堂
小 1.若∠α=25°,则∠α的补角等于
结 与
A.25°
B.65°
检 C.155°
测
D.115°
(C)
课 2.如图6-3-25所示,点O在直线ED上,∠AOB=∠COD=90°,则
堂
小 下列说法错误的是( C )
相关解析
例2 变式 45° [解析] 设这个角的度数是x°, 则180-x=3(90-x). 解得x=45. 故这个角的度数是45°.
[检测] 3.30° [解析] 设这个角的度数为x. 根据题意,得90°-x=12(180°-x)-15°. 解得x=30°.
谢 谢 观 看！
结
与 A.∠AOC=∠BOD
检 测
B.∠AOE和∠AOC互余
C.∠AOE=∠BOD
图6-3-25
D.∠AOC和∠BOE互补
课 堂
3.一个角的余角比它的补角的12还小15°,则这个角的度数为
小 结
30° .
与
检
测
课 4.三角尺和直尺按图6-3-26所示方式放置.
堂
小 (1)∠1与∠2的数量关系是
;
结
与 解:∠1+∠2=180°-90°=90°.
检
测 故答案为∠1+∠2=90°.
图6-3-26
课 (2)若∠1的补角比∠2的2倍多25°,求∠1的大小.
堂
小 结
解:设∠1=x°,则∠2=(90-x)°.
与 根据题意,得180-x=2(90-x)+25.
检 测
解得x=25.所以∠1=25°.

2.连一连：图中给出的各角，哪些互为补角？
10o 30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
练一练
1.∠A=25°37′，则它的余角为__1_5_4_°__2_3_′ _，它的补角为__6_4_°__2_3_′__. 2.已知∠A=50°，则∠A的余角是_____4_0_°___，补角是____1_3_0_°___， 补角与余角的差是_____9_0_°___. 3.一个锐角为x度，它的余角为 __(_9_0_-_x_) _度，它的补角为_(_1_8_0_-_x_)_度， 则它的补角比余角大___9_0___度.
新知导入
认识方位角： 在航行、测绘等日常生活中，我们经常会碰到如何描述一个物体的 方位的问题．描述一个物体的方位，通常要用到表示方位的角—方 位角．方位角的表示习惯上以正北、正南方向为基准来描述物体的 方向．即用“北偏东多少度”、“北偏西多少度”或者“南偏东多少度”、 “南偏西多少度”来表示方向．
谢谢观看
合作探究
1 2
3 4
1.如图∠1 与∠2互余，∠3 与∠4互余 ，如果∠1＝∠3，那么∠2与 ∠4相等吗？为什么？
解：∠2与∠4相等.
理由如下：∵∠1与∠2互余，
∴ ∠2=90°-∠1，
1
∵∠3与∠4互余，
2
∴∠4=90°-∠3，
∵∠1 =∠3，
∴∠2 =∠4(等量减等量，差相等)
余角的性质：同角(等角)的余角相等.
北
如图，射线表示的方位为：
射线OA：____南__偏__西__2_5_°_____；
B 西
70° O
射线OB：____北__偏__西__7_0_°_____； 东

⑴如果两个角的和等于 ，就说这两个角互 为余角。 ⑵如果两个角的和等于 ，就说这两个角互 为补角。 ⑶如果∠a=61°38'，则∠a得余角为 ， ∠a的补角为 。 ⑷如果一个角与它的余角之比是1：2，那么 这两个角是 ，这个角与它的补角之比是 。
⑸一个角等于它的补角的3倍，则这个角的补角 的余角是 。 ⑹已知∠1与∠2互为余角，则∠1与∠2的补角 之和是 。 ⑺已知∠1=120°-3m，∠2=3m-30°，则∠1 与∠2得关系是 。 1 ⑻已知一个角的余角是这个角的 ，求这个角 5 的度数 。
课 堂 作 业：
①P140 13题。 ②已知∠1=35°19´，则∠1的余角等于 度。 ③若∠1=30°，则∠1的补角为 度。 ④一个锐角的补角和它的余角之差为 度。 ⑤已知∠A是它补角的4倍，那么∠A为 度。 ⑥已知∠1与∠2互余，且∠1=15°、则∠2的 补角为 度。

第四章 图形认识初步
4.3.3.余角和补角
学习目标
理解余角和补角的定义。 会运用互余、互补P137思考前） 结合图形理解余角、补角的概念。 思考如何求一个角的余角和补角。 4分钟后，比谁能创造性地做出与例题类似 的习题。
检 测 题：
挫折的名言 1、 我觉得坦途在前，人又何必因为一点小障碍而不走路呢？——鲁迅 2、 “不耻最后”。即使慢，弛而不息，纵会落后，纵会失败，但一定可以达到他所向的目标。——鲁迅 3、 故天将降大任于是人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，曾益其所不能。 战胜挫折的名言 1、卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不饶。——贝多芬 2、每一种挫折或不利的突变，是带着同样或较大的有利的种子。——爱默生 3、我以为挫折、磨难是锻炼意志、增强能力的好机会。——邹韬奋 4、斗争是掌握本领的学校，挫折是通向真理的桥梁。——歌德 激励自己的座右铭 1、 请记得，好朋友的定义是：你混的好，她打心眼里为你开心；你混的不好，她由衷的为你着急。 2、 要有梦想，即使遥远。 3、 努力爱一个人。付出，不一定会有收获；不付出，却一定不会有收获，不要奢望出现奇迹。 4、 承诺是一件美好的事情，但美好的东西往往不会变为现实。 工作座右铭 1、 不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。——《荀子劝学》 2、 反省不是去后悔，是为前进铺路。 3、 哭着流泪是怯懦的宣泄，笑着流泪是勇敢的宣言。 4、 路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。——屈原《离骚》 5、 每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的路。 国学经典名句 1、知我者，谓我心忧，不知我者，谓我何求。（诗经王风黍离） 2、人而无仪，不死何为。 （诗经风相鼠） 3、言者无罪，闻者足戒。 （诗经大序） 4、他山之石，可以攻玉。 （诗经小雅鹤鸣） 5、投我以桃，报之以李。 （诗经大雅抑） 6、天作孽，犹可违，自作孽，不可活。（尚书） 7、满招损，谦受益。 （尚书大禹谟） 青春座右铭 1、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 2、把手握紧，什么也没有；把手伸开，你就拥有了一切。 3、不在打击面前退缩，不在困难面前屈服，不在挫折面前低头，不在失败面前却步。勇敢前进！ 4、当你能飞的时候就不要放弃飞。 5、当你能梦的时候就不要放弃梦。 激励向上人生格言 1、实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。 2、世界会向那些有目标和远见的人让路。 3、为了不让生活留下遗憾和后悔，我们应该尽可能抓住一切改变生活的机会。 4、无论你觉得自己多么的不幸，永远有人比你更加不幸。 5、无论你觉得自己多么的了不起，也永远有人比你更强。 6、打击与挫败是成功的踏脚石，而不是绊脚石。 激励自己的名言 1、忍别人所不能忍的痛，吃别人所别人所不能吃的苦，是为了收获得不到的收获。 2、销售是从被别人拒绝开始的。 3、好咖啡要和朋友一起品尝，好机会也要和朋友一起分享。 4、生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。 5、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。 6、有识有胆，有胆有识，知识与胆量是互相促进的。 7、体育锻炼可以（有时可以迅速）使人乐观（科学实验证明）。 8、勤奋，机会，乐观是成功的三要素。（注意：传统观念认为勤奋和机会是成功的要素，但是经过统计学和成功人士的分析得出，乐观是成功的第三要素） 9、自信是人格的核心。 10、获得的成功越大，就越令人高兴。

理由：由（1）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180° 由（2）可知 ∠1+∠3=∠2+∠4=∠1+∠4=∠2+∠3=90°
知识的Ne超twor市k Op，timi生zatio命n Ex的pert狂Tea欢m
第3关：合作展示 求知、求真、求健，求美
2.若一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角. 解：设这个角是x°， 则 180－x= 4 ( 90－x) 解得x = 60 答：这个角是60°.
第3关：合作展示 求知、求真、求健，求美
1.如下图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平
分∠AOC和∠BOC，
（1）∠AOC与∠BOC的关系是什么？
互补 （2）图中有哪几对相等的角？
因为OD平分∠AOC，所以∠1=∠2，
23
1
4
同理，∠3=∠4
（3）图中有哪几对互余的角？
∠2和∠3， ∠1和∠4， ∠1和∠3， ∠2和∠4.
的角？ ∠1=∠A ，∠2=∠B
因为∠1与∠2互余
因为∠1与∠2互余
∠A与∠2互余恭喜大家∠1！与∠B互余
所以∠1=∠A 闯关所成以功∠2！=∠B
（同角的余角相等） （同角的余角相等）
知识的Ne超twor市k Op，timi生zatio命n Ex的pert狂Tea欢m
课堂小结
求知、求真、求健，求美
思考：直角和平角中，被分成的两个角的度数分别有什 么关系呢？
1 2
3
4
∠1+∠2=__9_0_°，
∠3+∠4=__1_8_0.°
结论：两个角的数量关系与角的位置无关.
知识的Ne超twor市k Op，timi生zatio命n Ex的pert狂Tea欢m

角描述一个物体的方位。
方位角是表示方向的角.
E
以正北、正南方向为基准
来描述物体所处的方向.
正东：射线 OA
八大 方位
正南：射线 OB 正西：射线 OC
正北：射线 OD
西 西北方向：射线 OE C
西南方向：射线 OF
东北方向：射线 OH 东南方向：射线 OG
F
北 D
45° 45°
O
45°45°
B 南
H A东 G
100o
120o
150o
170o
课堂练习
练习4 填空
（1）若∠1与∠2互补，则∠1＋∠2=__1_8_0_°_. （2）∠1=90º－∠2，则∠1与∠2的关系为_互__为__余__角____.
二 余角、补角的性质
思考1：∠1与∠2，∠3都互为补角，∠2与∠3有什 么大小关系
解：∵∠1与∠2， ∠3都互为补角，
30o
50o
60o
40o
80o
一 余角、补角的定义
思考：∠3 与∠4 有什么数量关系？
2
∠3+∠4 = 180°
1
补角
4 3
如果两个角的和是180°(平角)，就说这
两个角互为补角(简称两角互补)，即其中一个
角是另一个角的补角。
课堂练习
练习3 图中给出的各角，哪些互为补角？
10o
30o
60o
80o
等角的补角相等
二 余角、补角的性质
补角的性质：同角(等角)的补角相等
符号语言： ∵∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠C＝180° ∴∠B＝∠C(同角的补角相等) 符号语言： ∵∠A＋∠B＝180°，∠D＋∠C＝180°，∠A＝∠D ∴∠B＝∠C(等角的补角相等)

解得： x =60 答：这个角的度数是60 °。
已知一个角的补角是它的3倍,这个角是多度?
解:设这个角为x°, 则这个角的补角是(180－x)° 由题意得180－x=3x 解得 x = 45 则这个角的度数为45°
变式训练: 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍,求这个 角的度数
探究:余角和补角的性质 如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ， 如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为 什么？
人教版数学七年级上册 4 . 3 . 3余角与补角课件( 共2 4 张P PT)
注意点
1 互余、互补是两角之间的数量关系，只与他们的 度数和有关，与位置无关。
2 互余、互补概念中的角是成对出现的。
3 角 的余角是 90 ，补角是 180 ,
同一个锐角的补角比90余。角大 90 。
4 只有锐角才有余角。 5 同角的余角（补角）相等；
•
2.对于这种能力，人们普遍存在一种 疑问， 即为什 么只有 一部分 人会发 生联觉 现象。 一些人 用基因 来解释 这个问 题。有 研究者 已经注 意到， 如果一 个家族 中有一 人具有 联觉能 力，那 么很可 能会出 现更多 这样的 人。
•
3.科学研究指出，联觉现象大多出现 在数学 较差的 人身上 ，此外 ，左撇 子、方 向感较 差以及 有过预 知经历 的人也 通常会 出现联 觉现象 。也有 人认为 ，联觉 能力与 一个人 的创造 力有关 ，许多 著名的 科学家 和艺术 家都具 备联觉 能力。
DC
E
1
23 4
A
O
B
人教版数学七年级上册 4 . 3 . 3余角与补角课件( 共2 4 张P PT)
小结
互余
互补
两角间 1 2 90 1 2 180

13
14
15
16
17
9.一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍，则比这个角小15°32′的角的度数是________.
24°28′
解析 设这个角为x°，则它的余角为90°－x°，补角为180°－x°，根据题意，得180°－x°＋10°＝3×(90°－x°)，解得x＝40，40°－15°32′＝24°28′.
14
15
16
17
解析 ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
∴∠MOC与∠NOC互余，∠MOA与∠NOC互余，∠MOC与∠NOB互余，∠MOA与∠NOB互余，故选A.
14.如图，∠AOB与∠COD都是直角，∠AOD＝140°21′，则∠COB＝________°.若∠AOD＝α，则∠COB＝__________.
解 如图所示，∠BOC与∠BOC′即为所求；
(2)在(1)的条件下，若OP是∠AOC的角平分线，直接写出∠AOP的度数(不需要计算过程).
解 ∵∠AON＝45°，∠BON＝30°，∴∠AOB＝75°，∵∠BOC与∠AOB互余，∴∠BOC＝15°，∴∠AOC＝90°或60°，∵OP是∠AOC的角平分线，∴∠AOP＝45°或30°.
解 当∠AOD＝α时，∠DOE＝90°.
解
归纳总结 本题考查了余角和补角以及角平分线的定义；熟练掌握两个角的互余和互补关系是解决问题的关键.
例2 (教材例2变式训练)一个角的余角的3倍比它的补角的2倍少120°，则这个角的度数为________.

16
(2) 如图(2)所示，直线 MN 与 PQ 相交于点 E，∠1与
∠2相等吗？为什么？ 解：(2) 相等.
因为点 M，E，N 在同一条直线上，
所以∠MEN=180°，即∠2+∠PEN= 180°.
因为点 P，E，Q 在同一条直线上， 所以∠PEQ=180°，即∠l +∠PEN= 180°，
所以∠1=∠2.
两个角互余或互补是两个角之间的数量关系,与它们的位置无关，只与角的度数有关.
角是多少度？ 如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB
的度数．
一个角的补角与这个角的余角的和比平角少30°，这个角为( )
因为点 M，E，N 在同一条直线上，
解：设这个角的度数是 x. 因为∠AOD +∠BOD=∠AOB = 180°，
(2) 图中互补的角有几对？各是哪些？ 同理∠AOD和∠BOE,
(2) 图中互补的角有几对？各是哪些？
由题意，得( 解：设这个角的度数是 x.
锐角的补角比它的余角大_____.
180°-x)-3(90°-
x)=10°，
如图，OD，OE 分别平分∠AOC，∠BOC，A，O，B 三点在同一条直线上，OF 为 OD 的反向延长线，请分别写出∠AOD 的余角和
将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角.
∠1与∠2,∠3都互为补角,∠2 与∠3 的大小有什么关系？
因为∠AOB=90°，所以∠1 +∠BOC=90°.
(2) 图中互补的角有几对？各是哪些？
15 24 o 如图所示，点 O 为直线 AB 上一点，∠AOC=∠DOE=90°.

∠WOA= ∠SOB，∠SOA= ∠EOB.
综合应用创新
解法提醒
1.以观测点为顶点，南北方向线和东西方向线各自形成
平角，可以解决互补问题.
2.以观测点为顶点，南北方向线和东西方向线相交形成
直角，可以解决互余问题.
3.利用角度计算或同角(或等角)的余角、补角相等，解决
等角问题.
综合应用创新
题型
4
利用角的和差关系及余角的性质探究两角之间的关系
2.等式的性质在角的推理中的应用，即若∠
1= ∠ 2，则∠1±∠3=∠2±∠3.
综合应用创新
方法点拨：
在图形的变换探究中，应善于抓住不变
的量(如本题的两个直角)和变化的量(如本题
图6.3－29 ①中∠ AOD=∠ AOB＋∠ BOD，
图6.3－29 ②中∠ AOD=∠AOB－ ∠BOD).结
合两个量才能探究出结论是否变化.
的符合要求.
综合应用创新
解：因为∠1＋∠2 =180°，所以∠2＋∠1＋∠2 >180°，故
A 选项不是∠2 的余角. 因为∠2＋∠1 － ∠2 = ∠1 ≠ 9 0°，


故B 选项不是∠2 的余角. 因为∠1＋∠2 =180 °，所以 ∠1










＋ ∠2 =9 0°. 所以∠2＋ ∠1 = ∠1＋ ∠2＋ ∠2 >9 0°，
例 8 如图6.3－29 ①所示，将一副三角尺的直角顶点重合
在点О 处.
思路引导：紧扣要判定的角和
两个90 °角的关系进行分析.
综合应用创新
(1)(ⅰ)∠AOD和∠BOC 相等吗？请说明理由.
解：(ⅰ)∠AOD= ∠BOC. 理由如下：