1992,1994-2013武汉大学高等代数

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高等代数（二）（9287）自学考试大纲一、课程性质与设置目的（一）课程性质与特点高等代数是湖北省高等教育自学考试数学教育专业的重要基础课之一。

它与解析几何、数学分析、抽象代数、高等几何、常微分方程等其他数学课程都存着密切的联系。

随着科学技术的发展，高等代数的应用越来越广泛。

高等代数内容多，自学中分为两门课程开设，一门是高等代数（一），另一门就是本课程——高等代数（二）。

高等代数（二）在高等代数（一）的基础上继续学习高等代数的基本知识、基本理论、基本方法。

本课程的特点是内容比较抽象，与高等代数（一）联系紧密、不可分割，因此要求高等代数（一）掌握得比较好。

（二）基本要求学习本课程应达到的总体目标是：1）掌握向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型等的基本概念、基本的计算方法以及证明方法；2）在熟悉一些常见的向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型的基础上，学习抽象的向量空间、线性变换和欧氏空间的基本理论。

通过本课程的学习，培养自学者抽象思维能力和逻辑推理能力，为进一步学习其他的数学专业课程和指导中小学数学教学及其研究打基础。

（三）本课程与相关课程的联系本课程以中学数学、高等代数（一）为基础，与解析几何、数学分析相互联系，为抽象代数、高等几何、常微分方程等后续课程打基础。

高等代数（二）的重点、难点是向量空间和线性变换。

向量空间、线性变换的内容和思想方法掌握得如何，将直接影响欧氏空间和二次型的学习。

二、课程内容与考核目标第一章向量空间（一）学习目的与要求1．理解向量空间的定义，熟悉一些常见的向量空间的例子。

2．理解向量的线性相关、线性无关，线性组合等概念，并注意与高等代数（一）中第三章的n维向量的联系。

–1–3．掌握向量空间的维数、基、坐标的概念及三者的联系。

4．理解基变换与坐标变换的意义及它们之间的联系，并且能用矩阵表示三者的关系。

5．理解向量子空间的概念、性质、判断和子空间中向量与生成元的联系，掌握维数公式并能应用维数公式证明问题。

高等代数（山东理工大学）知到章节测试答案智慧树2023年最新绪论单元测试1.高等代数以( )为主要研究对象.参考答案:线性系统和结构2.四千多年前, 古( )人就已掌握含两个方程的二元一次方程组的解法.参考答案:巴比伦3.《九章算术》对线性方程组解法的描述中已经出现矩阵思想的雏形.参考答案:对4.我国数学家华蘅芳首次将“Algebra”一词翻译为“代数”，是汉语中代数一词的来历.参考答案:错5.下列数学家中, ( )没有对行列式理论的建立做出过直接的突出贡献.参考答案:阿基米德6.高等代数在下列哪些领域中有直接和重要的作用？参考答案:机器人动作控制;搜索引擎技术;数字图像处理;GPS导航7.19世纪末, 拉普拉斯在前人工作的基础上定义出了线性相关、线性无关以及秩的概念，并由此得出了线性方程组解的一般结构.参考答案:错8.我们对学习本课程的主要建议包括参考答案:注重知识之间的联系;善于提出问题;做好学习常规;注重独立思考9.求解一般线性方程组的算法中，程序化的消元法则由欧拉制定，至今仍使用在计算机求解过程中.参考答案:错10.高等代数的学科特点是逻辑严谨, 推理缜密, 强调抽象化、公理化的思想参考答案:对第一章测试1.参考答案:错2.两个数域的交仍是数域.参考答案:对3.三个多项式两两互素则它们一定互素.参考答案:对4.两个多项式的公因式与数域的扩大无关.参考答案:错5.两个多项式的最大公因式与数域的扩大无关.参考答案:对6.两个多项式的互素关系与数域的扩大无关.参考答案:对7.不可约多项式一定没有重根.参考答案:对8.四次实系数多项式一定有实数根.参考答案:错9.有无数个零点的复系数多项式是零次多项式.参考答案:错10.存在9次的有理数域上的不可约多项式.参考答案:对第二章测试1.参考答案:32.参考答案:（13，-5）3.参考答案:-244.参考答案:5.下列n阶行列式值（n>2）必为0的是参考答案:行列式中不等于0的元素少于n个;上下三角形行列式主对角线上有一个元素是06.一个n阶行列式值不为0，则行列式中不为0的元素至少应有_____个.参考答案:n7.下列构成六阶行列式展开式各项中，取“+”的有___参考答案:8.参考答案:-49.参考答案:10.下列n阶行列式D不为0的充分条件是__参考答案:D中非零行的各元素与其代数余子式值都相等第三章测试1.参考答案:对2.参考答案:对3.参考答案:对4.参考答案:对5.参考答案:对6.参考答案:27.参考答案:8.参考答案:9.参考答案:10.参考答案:第四章测试1.参考答案:错2.参考答案:对3.参考答案:错4.参考答案:错5.初等矩阵的逆矩也是初等矩阵。

高等代数课程教学大纲一、课程说明1、课程性质：高等代数是高等院校数学系数学与应用数学专业的一门重要基础课。

对学生数学思想的形成有着重要意义，是进一步学习近世代数、常微分方程等后继课的基础，也为深入理解中学数学打下必要的基础。

高等代数是现代数学的基础知识，是学习其它数学学科和现代科学知识的必备基础和重要工具，尤其在本世纪，计算机技术、通讯信息技术和现代生物工程技术已成为最热门的学科领域，这些学科的发展均需要代数学的知识与支持。

高等代数也是师范院校数学与应用数学专业的一门重要基础课程，既是中学代数的继续和提高，对于中学数学教学工作具有重要的理论指导作用，又是输送更高层次优秀人才的专业知识保证。

2、课程教学目的要求（1）使学生掌握多项式理论、线性代数理论的基础知识和基本理论，着重培养学生解决问题的基本技能。

(2) 使学生熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力。

(3) 使学生进一步掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养其辩证唯物主义观点。

(4) 逐步培养学生的对真理知识的发现和创新的能力，训练其对特殊实例的观察、分析、归纳、综合、抽象概括和探索性推理的能力。

(5) 使学生对中学数学有关内容从理论上有更深刻的认识，以便能够居高临下地掌握和处理高级中学数学教材，进一步提高中学数学教学质量。

(6) 根据教学的实际内容的需要，对大纲所列各章内容，分别提出了具体的目的要求，教学时必须着重抓住重点内容进行教学。

本课程分以一元多项式为主体的多项式理论和线性代数两部分。

线性代数部分涉及行列式、矩阵、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧几里得空间等。

本课程教学重点应放在多项式理论与线性代数理论。

多项式理论以一元多项式的因式分解唯一性定理为主体介绍了有关多项式的一些必要的知识，为后继课提供准备；线性代数部分则较为系统地介绍了线性方程组，线性空间与线性变换理论。

经过一年的努力奋斗终于如愿以偿考到自己期望的学校，在这一年的时间内，我秉持着天将降大任于斯人也必先苦其心志劳其筋骨饿其体肤空乏其身的信念终于熬过了这段难熬却充满期待和自我怀疑的岁月。

可谓是痛并快乐着。

在这期间，我不止一次地怀疑自己有没有可能成功上岸，这样的想法，充斥在我的头脑中太多次，明知不可想这么多，但在休息时，思想放空的时候就会凭空冒出来，难以抵挡。

这对自己的心绪实在是太大的干扰，所以在此想跟大家讲，调整好心态，无论成功与否，付出自己全部的努力，到最后，总不会有那种没有努力过而与成功失之交臂的遗憾。

总之就是，付出过，就不会后悔。

在此，我终于可以将我这一年来的所有欣喜，汗水，期待，惶惑，不安全部写出来，一来是对这一重要的人生转折做一个回顾和告别，再有就是，希望我的这些经验，可以给大家以借鉴的作用。

无论是心态方面，考研选择方面，还是备考复习方面。

都希望可以跟大家做一个深入交流，否则这一年来的各种辛酸苦辣真是难吐难吞。

由于心情略微激动了些，所以开篇部分可能略显鸡汤，不过，认真负责的告诉大家，下面的内容将是满满的干货。

只是由于篇幅过长还望大家可以充满耐心的把它看完。

文章结尾会附赠我的学习资料供各位下载使用。

武汉大学计算数学的初试科目为：(101)思想政治理论和(201)英语一(653)数学分析和(873)线性代数参考书目为：1.《数学分析》华东师范大学高等教育出版社2.《数学分析教程》常庚哲史济怀著高等教育出版社3.《高等代数与解析几何》陈志杰高等教育出版社4.《高等代数》北京大学高等教育出版社先说英语吧。

词汇量曾经是我的一块心病，跟我英语水平差不多的同学，词汇量往往比我高出一大截。

从初中学英语开始就不爱背单词。

在考研阶段，词汇量的重要性胜过四六级，尤其是一些熟词僻义，往往一个单词决定你一道阅读能否做对。

所以，一旦你准备学习考研英语，词汇一定是陪伴你从头至尾的一项工作。

考研到底背多少个单词足够？按照大纲的要求，大概是5500多个。

武汉大学高等代数（基础课程内部讲义）目录真题分析 (3)参考书目知识点分析 (4)重点知识点汇总分析（大纲） (4)武汉大学数学专业基础知识点框架梳理及其解析 (13)第一章多项式 (13)第二章行列式 (13)第三章线性方程组 (16)第四章矩阵 (20)第五章二次型 (28)第六章线性空间 (32)第七章线性变换 (37)第八章入-矩阵与约当标准型 (41)第九章欧几里得空间 (42)第十章双线性函数与辛空间 (45)武汉大学数学专业初试线性代数考研知识点深度分析真题分析年份题型分值考察范围考察难度（了解、理解、掌握、应用）2009计算40行列式计算，根据行列式的秩求未知数，求线性空间的一个基计算的题目都不是很难，只要是按定义来做都是可以做出来的证明110证明向量的线性相关性，证明与方程组解个数有关的不等式，特殊矩阵有关的证明，特征值的范围，矩阵相似，线性变换证明题中前面几个很简单属于理解定义就可以做的，后面关于线性变换的题目有一定难度2008计算70行列式求值球线性空间的位数和一组基，求满足条件的正交变换，求零化多项式，极小多项式，Jordan标准型，求双线性变换的矩阵。

计算的题目都不是很难，只是有些计算起来有些复杂，只要细心就可以了，这基本属于理解定义就可以的题目证明80证明满足某种条件矩阵存在性的问题，线性子空间的直和证明矩阵可逆，证明矩阵正定、合同，证明不变子空间，证明矩阵之间秩的关系前面两个证明存在性的问题看起来是比较新的题型，但具体分析一下就知道这都是很简单的，只是最后一个证明矩阵之间秩的不等式难度较大，是已有知识的一个应用2007计算70求满足一定条件的矩阵，求行列式的值，求线性方程组的基础解系，求不变因子，约当标准型，极小多项式，线性变换的基计算题的题目都不是很难，一般只要是考生能正确的应用定义就可以做出来。

证明80线性方程组是否有公共解，关于代数余子式的证明，矩阵的秩，矩阵的正定，矩阵的相似，线性子空间的直和，线性变换的对角化问题，两个线性变换之间的关系证明题相对于计算题来说难度稍微大一些，但根据最近这些年武汉大学线性代数出题的规律来看，代数的题目都不难，所以基础一定要扎实。

南京大学高等代数2013年期末考试试卷及答案（A 卷)一、 填空题(每小题3分，共15分）1、线性空间[]P x 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基,由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C,列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵，则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是:二、 单项选择题（每小题3分，共15分）1、 ( )复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； (B)数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间.2、（ ）设是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：(A ）的核是零子空间的充要条件是是满射；（B ）的核是V 的充要条件是是满射；（C ）的值域是零子空间的充要条件是是满射；(D ）的值域是V 的充要条件是是满射.3、( ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的;()()D A λ是方阵.4、（ ）设实二次型f X AX '=(A 为对称阵）经正交变换后化为： 2221122...n n y y y λλλ+++, 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数;()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。

高等代数教学笔记3：行列式 I1994 年, 一个叫夏侯惇, 呃......不, Sheldon 的人 (不知道是不是“生活大爆炸”里的那位), 写了一篇文章, 题目是 Down with determinant, 后来发展成一本书《Linear algebra done right》. 他抛弃了行列式这个概念, 把高等代数的内容重新写了一遍, 最后一章才给出行列式的定义. 理由是很多书上的行列式定义不自然, 并且高等代数的大部分内容不需要行列式也可以讲. 这至少给了我们两点启迪: 一是行列式的定义应该尽可能自然地引入, 二是在学习高等代数的时候我们可以使用行列式, 不过随时需要考虑一下, 不用行列式如何得到类似的结论. 不过, 我个人还是喜欢讲行列式.首先, 行列式具有传奇色彩, 它是日本数学家关孝和在 1683 年首先提出, 十年后德国数学家 Leibniz 又独立提出的. 有趣的是, 有证据表明, 关孝和当时已经有了微积分的思想, 这与 Leibniz 以及 Newton 不谋而合. 看起来, 代数和分析是有千丝万缕的联系的, 实际上也是这样, 比如分析中做变量替换就涉及到 Jacobi 行列式, 而前文提到的多项式的导数却是从微积分里来的.其次, 行列式的概念还是非常有用的, 涉及到代数中的解方程组, 分析中的Jacobi 行列式, 几何中的平行四边形和平行六面体体积, 外代数的最高次外积, 群表示论的导火线——群行列式等等.最重要的是, 行列式作为一个数学对象, 本身没有太复杂的理论背景, 它的提出和探索过程很有启发性, 这是数学家们进行数学研究或者数据处理的一个典范,启发我们怎么从一堆纷繁复杂的数据中找出有用的信息. 或许, 如今热门的大数据学科可以给被 Sheldon 打倒的行列式正个名, 把其发现者关孝和与Leibniz 奉为大数据的祖师爷.二、三阶行列式行列式是从线性方程组求解中发展出来的, 所以初学者必须自己动手算一算以下的几个问题. 我每次讲的时候都会花挺长时间展示如下的二元、三元一次方程组的求解过程, 不厌其烦地展示其中的细节, 希望学生们能从中得到启发, 理解行列式为什么会被提出. 不过效果并不太理想, 因为不少学生并不在乎问题的起源, 也不耐烦从繁琐的计算过程中寻找有用的线索, 而这其中不乏一些刻苦用功而事倍功半的学生.问题 1判断二元一次线性方程组何时有唯一解, 并求解的表达式.这个问题自然很简单, 不过它的解答蕴含着规律, 数学研究在很大程度上都是在探索规律. 中学生就可以尝试做一做的, 毕竟我们没必要每次遇到二元一次方程组时都用消元法求解. 实际上, 三十多年前的中学课本上是有求解公式的. 我们需要引入一个很关键的记号——二阶行列式, 即利用二阶行列式可以把解写得非常整齐, 推理完了可以好好欣赏一下其中展现的数学之美. 如果不觉得解的表达式漂亮, 可能是没有把解写得很对称, 可以调整一下, 当然更可能是审美观念的问题.为了找到一般规律, 我们需要再研究一下三元一次方程组. 其实很多很漂亮的结论并不是一开始就被想到, 大部分是经过了长期的摸索, 删繁就简, 去伪存真后才得到现在的样子. 这个过程常常被忽略, 但对于初学者还是应该走一走. 问题 2解三元一次线性方程组在有唯一解的情况下求出解的表达式.可以利用二元情形的结论, 把看作已知的, 利用后两个方程求出(用二阶行列式来表达), 再代入第一个方程解出. 在这个过程中尽量保持二阶行列式, 不要展开. 这个过程很简单, 但是会启发我们定义三阶行列式为这样就得到了以及的非常漂亮的表达式, 同样值得好好欣赏, 因为这时候可以看出规律性越来越明显.需要注意的是, 在这个过程中需要处理二阶行列式, 比如这里蕴含了行列式计算的拆项、提取系数、交换行列等几大法宝:(1) 一个行列式可以拆成两个行列式;(2) 行列式的一列的共同倍数可以提出来; (3) 两列互换, 行列式变号.类似地, 也可以用前两个方程或第一、三个方程来求解, 这样会得到行列式的其他两种定义, 分别是按照第二行或第三行定义的.n 阶行列式: 按第一行展开和完全展开三阶行列式是通过二阶行列式来定义的, 涉及的二阶行列式都是这个三阶行列式去掉一行一列之后得到的. 为了方便, 我们把去掉第 i 行第 j 列后得到的行列式记为, 称为元素的余子式, 于是三阶行列式可以简记为很自然地想到: 对于一般的含 n 个未知量 n 个方程的线性方程组, 如果存在唯一解, 则可以通过定义行列式来求解. 我们把线性方程组的系数排列成矩形称为n 阶方阵, 记为 A. 以后会考虑行数和列数不相等的矩阵. 方阵 A 的n 阶行列式记为|A|, 可以按照三阶情形推广如下.定义 3(行列式按第一行展开)上述行列式的定义只是一个递推关系, 我们有必要了解一下其通项公式, 这就需要把行列式完全展开. 我们还是要从三阶行列式看起.问题 4三阶行列式的完全展开式为这里需要注意的是, 展开式中一共有 6 = 3! 项, 其中正负单项各半. 展开式中每一个单项的行标都是 1,2,3, 列标是 1,2,3 的所有排列, 自然, 每个单项前面的正负号与排列有关系. 这也是一个寻找规律的过程, 也需要充分的耐心. 其中的规律是与排列的逆序数或者奇偶性有关. 这里不想解释逆序数, 每本高代书上都有. Simon Singh 的《费马大定理》上记录了一个与逆序数有关的有趣游戏.问题 5 (行列式的完全展开)其中求和取遍1,2,··· ,n 的所有排列, 表示该排列的逆序数.很多书上都是先讲逆序数, 然后用完全展开式来定义行列式. 我很不喜欢这种定义方式, 因为完全看不出逆序数是干什么的, 而行列式的意义又在哪里! 逆序数与行列式的表达式的内在联系是在对行列式的研究中发现的, 而不是直接想到用逆序数来定义行列式, 这不合乎逻辑, 就像著名的 Fibonacci 数列, 它的递推关系非常简单, 但通项公式比较复杂, 没人会直接用通项公式来定义Fibonnaci 数列.行列式的计算从两个定义 (按第一行展开和完全展开) 可以看出, 计算行列式并不是一件容易的事. 不过我们还是可以计算一些特殊的行列式, 用任何一个定义都可以试试, 体会一下其中的异同.问题 6计算如下行列式 |A|:上述几个行列式有对称性, 这与正方形的对称性有关系.问题 7正方形绕某条直线反射或绕某个点旋转一个角度后得到的图形与原图形重合, 则这个反射或旋转称为正方形的一个对称.(1) 试求正方形的所有对称;(2) 对任何 n 阶行列式 |A|, 利用正方形的所有对称可以得到很多新的行列式, 试求它们之间的关系.稍微复杂一点的行列式有问题 8计算 n 阶行列式.(1)(2) (Fibonacci 数列的第n+1 项)这些都是先求递推关系, 再通过递推关系求通项公式. 详见“代数学发展史: 线性空间”一文. 这表明我们熟悉的很多东西都可以用至少形式上简单的行列式来表达. 又如上一章学到的多项式也可以表示成行列式.问题9证明:这个问题非常重要, 因为它把首一多项式与行列式以及后文的矩阵 (上面的行列式中把 x 取成 0 所得到的矩阵) 联系起来了, 在后续课程中经常出现, 也是解决代数数论一些问题的关键.正如引言部分所说, 代数与分析是有千丝万缕的联系的, 行列式也可以和分析学联系起来, 比如与三大中值定理的关系.问题 10设 f(x),g(x),h(x) 在 [a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可导, 利用Rolle 中值定理证明: 存在ξ ∈ (a,b) 使得试由此证明:(1) (Lagrange 中值定理) 如果 f(x) 在 [a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可导, 则存在ξ ∈ (a,b) 使得 f(b) − f(a) = f′(ξ)(b − a);(2) (Cauchy 中值定理) 如果 f(x),g(x) 在 [a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可导, 且对任意x ∈(a,b), , 则存在ξ ∈ (a,b) 使得f(b) − f(a)n 阶行列式: 按第一列展开为了计算更多的行列式, 我们还需要行列式的一些性质, 这其实也是我们研究任何一个数学对象时必须要走的路. 让我们回到三元一次方程组的求解. 我们可以通过几个方程的加减消元, 把消去得到只有的方程. 这个过程实际上是把三个方程各乘一个系数再加在一起使得的系数都变为零! 问题 11求使得过程有点繁琐, 但并不难, 值得尝试! 结论是取或其倍数即可! 但是不要直接验证, 而是探索一下这个结论是怎么得到的.进一步有问题 12这个等式表明, 三阶行列式的行与列有对称性! 于是可以看出行列式有第三种定义方式:问题 13 (行列式按第一列展开) n 阶行列式可以定义为或者这个定义预示着行列式的行列地位是相当的, 直接证明它与前两个定义的等价性并不容易, 需要注意到如下问题, 用完全展开式可以很容易证明.问题 14转置 (所有的行与列互换) 不改变行列式.行列式的几何意义有一件与行列式相关的非常值得做的事情, 详情可以参考我参编的《高代代数与解析几何》一书.问题 15平面直角坐标系中, 给定平面矢量(1) 求α 与β 的夹角; (由此可以自然引出平面矢量的内积的定义)(2) 求α 与β 张成的平行四边形面积. (行列式与面积)这个过程推广到三维有:问题 16给定立体空间的矢量(1) 求α,β 的夹角; (空间矢量的内积)(2) 求α,β 张成的平行四边形面积; (空间矢量的外积)(3) 求α,β,γ 张成的平行六面体体积. (行列式、混合积与体积)高等代数教学笔记3：行列式 II行列式的计算(II)现在我们可以看一些典型行列式的计算了. 行列式的计算除了使用前面提到的完全展开、按某一行 (列) 展开、按某些行 (列) 展开以及行列初等变换的几个性质, 常见的行列式计算技巧有递推关系、拆项 (把某一行或列拆开为两行(列))、镶边 (增加一行一列把行列式化成高一阶的), 很多书上都有相关例题, 不再赘述. 这里仅选择几个有背景的行列式的计算.前文提到了 Vandermonde 行列式, 它在 Lagrange 插值公式中有应用. 以后我们会发现, Vandermonde 行列式还有另一个作用: 我们可以随心所欲写下任意阶数的非零行列式, 当然这样的行列式不能是简单的对角形或上、下三角形的. Vandermonde 行列式的计算有不同的方法, 其中之一是把它看成一个多元多项式, 利用行列式的性质去寻找这个多项式的公因式. 类似的方法可以用在很多地方. 我们举几个例子. 先看一个简单的.题3.32计算行列式:行列式(1) 很典型, (2) 是其众多变形之一. (1) 的计算方法也很多: 行列变换、拆项、镶边等等. 当然也可以用多项式的方法: 容易看出来行列式是一个一元n 次首一多项式f(x), 而f(a) = 0, 因此x − a 是f(x) 的一个根. 以后学到矩阵的秩的时候, 我们很容易看出 a 是f(x) 的至少n − 1 重根, 这一点现在也可以得到, 只要利用多项式的导数即可. 在这里就需要知道, 对行列式求导实际上是对每列(或行) 分别求导得到n 个行列式, 再把它们加起来就行. 这就说明 x − a 是f(x) 的(至少) n − 1 因式. n 次多项式最多有n 个根, 于是需要求出最后一个根. 一种方法是把其他行都加到第一行就可以得到−(n − 1)a 也是f(x) 的根; 另一种方法是利用Vieta 定理, 所有根的和是f(x) 的n − 1 项系数的相反数, 而此时这个系数为0 (为什么?). 这里又蕴含了矩阵的另一个重要概念——迹, 也就是对角元素的和, 学到相关概念时再回头看看, 可以达到温故知新的功效.像上述问题中这样的对角线上有未知量、其他位置都是常数的行列式我们会经常遇到, 这就是后面要着重研究的矩阵的特征行列式 (特征多项式). 比如前面已经提到过的1978 年, 中科院的一道高等代数考研试题与如下的行列式问题本质上是一样的, 这也是许以超先生的书上的习题.问题3.33计算行列式这个复杂的行列式的结果出人意料的简单: . 的确可以通过一些行列变换把这个行列式降阶从而找到规律. 不过, 这样生硬的计算方式会把这个问题的神奇的背景掩盖了! 这个问题实际上与 Lie 代数有关, 去掉对角线上的 x 所得的矩阵实际上是一个幂零矩阵, 也就是它的 n 次方 (矩阵乘法) 是零. 当然不能直接验证, 巧妙的方式是要用到 Lie 代数的运算: [A,B] = AB −BA, 这里 A,B 都是 n 阶方阵.还有很多的行列式与群论有关, 比如下面的两个例子.问题3.34证明:上述四阶行列式竟然可以分解成一次因式的乘积, 这本身就是一件值得玩味的事. 实际上它与 Klein 群有关系. 熟悉一点群论的应该知道, 四阶群一共有两种, 另一种是循环群. 更一般地有任意 n 阶循环群, 与之相关的行列式如下.问题3.35 (循环矩阵的行列式)求上述行列式有一个因式是明显的:这可以通过把其他行加到第一行得到. 关键在于寻找其他的因式, 我们也可以把其他行的倍数加到第一行, 比如第二行的倍, ···, 第 n 行的倍加到第一行去. 我们只看第一行的前两项:于是取为 n 次单位根即可, 而是我们已经用过的. 这样我们就可以得到了 n 个不同的一次因式, 它们的乘积自然也是原行列式的因式 (需要多元多项式的因式分解的存在唯一性). 再比较一下次数和首项系数即可.这个复杂但又有规律的行列式竟然也可以写成一次因式的乘积, 这也是值得玩味的. 后面我们还可以用矩阵乘法 (矩阵相似) 的观点再来看这个问题. 感兴趣的读者还可以试一试计算如下行列式.问题3.36计算:上述三个行列式加在一起就是一道通向有限群表示论的桥梁.问题3.37 计算 n 阶 Cauchy 行列式这个行列式是 Cauchy 在 1841 年的书中提到的 (没找到原文, 所以不知道Cauchy 考虑这个行列式的背景), 在 Euclid 空间中会出现其中的对称情形. 这个行列式看起来复杂, 计算难度却不大, 只要作一作初等变换, 把任意两行减一减就会发现公因式了.我们也可以用多元多项式的观点看: 首先每行通分, 把分母提到行列式外面, 余下的行列式就是一个多元多项式. 再注意到或时行列式都是 0, 于是与是这个 2n 元的行列式的因式. 从而是行列式的因式, 比较一下次数, 再加上分母就能得到结果了.不过, 这里值得停一下: Cauchy 行列式似乎与两个 Vandermonde 行列式有关, 实际上是与 Lagrange 插值公式有关, 这一点从通分以后行列式的各项能看出来. 其中细节不再赘述.问题3.38试求 Hilbert 矩阵的行列式.Hilbert 在 1894 年考虑一个逼近问题: 在闭区间 [a,b] 上是否存在非零整系数多项式 P(x) 使得可以任意小? 这实际上就是计算多项式P(x) 的长度, 与后文的Euclid 空间有关, 其中的度量矩阵就与Hilbert 矩阵有关.Hilbert 矩阵自然是 Cauchy 矩阵的特殊情形. 不过好玩的是, 很多学生会计算 Cauchy 行列式, 却不会求 Hilbert 矩阵的行列式.。