2.1.1椭圆的简单几何性质学案及答案

2.1.2 椭圆的简单几何性质（一）教材新知提出问题图中椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．问题1：椭圆具有对称性吗？问题2：可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？问题3：椭圆方程中x，y的取值范围是什么？问题4：当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？导入新知椭圆的简单几何性质x2y2y2x2化解疑难1．由不等式x2a2＝1－y2b2≤1可得|x|≤a，由y2b2＝1－x2a2≤1可得|y|≤b，从而可得椭圆的范围．2．椭圆有四个顶点、两个焦点共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置，注意长轴长是2a，而不是a.3．椭圆的离心率e的大小，描述了椭圆的扁平程度．e越接近1，则c就越接近a，从而b ＝a2－c2越小，因此，椭圆越扁；反之，e越接近0，则c就越接近0，从而b越接近a，这时椭圆越接近圆．特别地，当a＝b时，c＝0，椭圆就变为圆了，此时方程为x2＋y2＝a2.常考题型题型一椭圆的几何性质例1求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．类题通法求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．活学活用已知椭圆C1：x2100＋y264＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．题型二利用椭圆的几何性质求其标准方程例2求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是10，离心率是45；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 类题通法(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： ①确定焦点位置．②设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)．③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式为b 2＝a 2－c 2，e ＝ca等．(2)在椭圆的简单性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件确定的椭圆方程可能有两个． 活学活用求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率e ＝22； (2)长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5,0)．题型三 椭圆的离心率例3 如图，已知F 1为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的一点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB (O 为椭圆的中心)时，求椭圆的离心率．类题通法椭圆的离心率的求法求椭圆的离心率，关键是寻找a 与c 的关系，一般地： (1)若已知a ，c ，则直接代入e ＝ca 求解；(2)若已知a ，b ，则由e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2求解；(3)若已知a ，b ，c 的关系，则可转化为a ，c 的齐次式，再转化为含e 的方程求解即可． 活学活用若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32 C.34 D.64 随堂即时演练1．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的标准方程是( )A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 2．椭圆C 1：x 225＋y 29＝1与椭圆C 2：x 225－k ＋y 29－k ＝1(k ＜9)( )A ．有相同的长轴B ．有相同的短轴C ．有相同的焦点D ．有相等的离心率3．椭圆x 2＋4y 2＝16的短轴长为________．4．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率e＝________.5．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12；(2)对称轴是坐标轴，一个焦点是(0,7)，一个顶点是(9,0)．参考答案教材新知提出问题问题1：提示：有．椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形．问题2： 提示：可以，令y ＝0得x ＝±a ，故A 1(－a,0)，A 2(a,0)，同理可得B 1(0，－b )，B 2(0，b )．问题3：提示：x ∈[－a ，a ]，y ∈[－b ，b ]． 问题4：提示：b 越小，椭圆越扁． 常考题型题型一 椭圆的几何性质例1 解：椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)， 离心率e ＝c a ＝53.活学活用解：(1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35.(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10； ②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④离心率：e ＝35.题型二 利用椭圆的几何性质求其标准方程例2 解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由已知得2a ＝10，a ＝5. 又∵e ＝c a ＝45，∴c ＝4.∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1.(2)依题意可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．如图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ， 则c ＝b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.活学活用解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝22，2b ＝2，解得a ＝2，b ＝1，因此，椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为x2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5.故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1.题型三 椭圆的离心率例3 解：由已知可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则由题意可知P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a . ∵△PF 1O ∽△BOA ，∴PF 1BO ＝F 1OOA ，∴b 2a b ＝c a ，即b ＝c ， ∴a 2＝2c 2，∴e ＝c a ＝22.活学活用 【答案】A【解析】依题意，△BF 1F 2是正三角形．∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°，∴a cos 60°＝c ， ∴c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12. 随堂即时演练 1．【答案】A【解析】因为2a ＝18,2c ＝13×2a ＝6，所以a ＝9，c ＝3，b 2＝81－9＝72.2．【答案】C【解析】25－9＝(25－k )－(9－k )，故两椭圆有相同的焦点． 3．【答案】4【解析】由x 216＋y 24＝1可知b ＝2，∴短轴长2b ＝4. 4．【答案】255【解析】由题意知椭圆焦点在x 轴上， ∴在直线x ＋2y －2＝0中， 令y ＝0得c ＝2；令x ＝0得b ＝1. ∴a ＝b 2＋c 2＝ 5. ∴e ＝c a ＝255.5．解：(1)由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∵椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12， ∴2a＝12，即a ＝6.∵椭圆的离心率为3 2，∴e＝ca＝a2－b2a＝36－b26＝32，∴b2＝9.∴椭圆的标准方程为x236＋y29＝1.(2)由题意知椭圆的焦点在y轴上，可设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，则b＝9.因为c＝7，所以a2＝b2＋c2＝81＋49＝130，∴椭圆的标准方程为y2130＋x281＝1.。

2.1。

2椭圆的简单几何性质（学案)一、知识梳理1。

椭圆的标准方程22221x y a b+=(0)a b >>，它有哪些几何性质呢？图形：范围：x : y :对称性:椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：( ）,（ ），（ ），（ ）; 长轴，其长为;短轴，其长为； 离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比c a 称为离心率，记ce a =，且01e <<．2.直线与椭圆的三种位置关系：；3.联立直线与椭圆方程组⎩⎨⎧=+=,0),(,y x f b kx y 消去y 得到关于x 的一元二次方程:02=++C Bx Ax.由其判别式∆可判断直线与椭圆公共点的个数:（1）当0>∆时,直线与椭圆公共点。

(2）当0=∆时，直线与椭圆公共点。

(3)当0<∆时,直线与椭圆公共点.4.若直线b kx y +=与椭圆相交于两点),(),,(2211y x Q y x P ，联立直线与椭圆方程组⎩⎨⎧=+=,0),(,y x f b kx y 得到关于x 的一元二次方程:02=++C Bx Ax ，则有:(1)ABx x A B x x=-=+2121,。

（2）弦长2122122122212214)(1||1)()(||x x x x k x x k y y x x PQ -+•+=-+=-+-=。

二、典例解析例1: 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。

源:］例2: 已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1,求P 点的坐标。

例3：设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点为F 1、F 2 ,若在椭圆上存在一点P ，使21PF PF⊥，求椭圆的离心率e 的取值范围.例4：已知椭圆1422=+y x及直线2+=kx y 。

当k 为何值时，直线与椭圆有2个公共点？1个公共点？没有公共点?三、当堂检测1.已知F 1、F 2为椭圆(a ＞b ＞0）的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ,若△AF 1B 的周长为16,椭圆离心率23=e ，则椭圆的方程是 （ )A 。

椭圆的简单几何性质基础卷1．设a , b , c 分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a , b , c 的大小关系是 （A ）a >b >c >0 （B ）a >c >b >0 （C ）a >c >0, a >b >0 （D ）c >a >0, c >b >02．椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，那么椭圆的方程为（A ）221916x y += （B ）2212516x y += （C ）2212516x y +=或2211625x y += （D ）2211625x y += 3．已知P 为椭圆221916x y +=上一点，P 到一条准线的距离为P 到相应焦点的距离之比为 （A ）54 （B ）45 （C ）417 （D ）7474．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为 （A ）23 （B ）33 （C ）316 （D ）6165．在椭圆12222=+by a x 上取三点，其横坐标满足x 1+x 3=2x 2，三点顺次与某一焦点连接的线段长是r 1, r 2, r 3，则有（A ）r 1, r 2, r 3成等差数列 （B ）r 1, r 2, r 3成等比数列 （C ）123111,,r r r 成等差数列 （D ）123111,,r r r 成等比数列 6．椭圆221925x y +=的准线方程是 （A ）x =±254 （B ）y =±165 （C ）x =±165 （D ）y =±2547．经过点P (－3, 0), Q (0, －2)的椭圆的标准方程是 .8．对于椭圆C 1: 9x 2+y 2=36与椭圆C 2:2211612x y +=，更接近于圆的一个是 . 9．椭圆12222=+by a x 上的点P (x 0, y 0)到左焦点的距离是r = .10．已知定点A (－2, 3)，F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使|AM |+2|MF |取得最小值。

§2.1.2橢圓的簡單幾何性質3
【學情分析】：
學生已經掌握了橢圓的概念、標準方程的概念，也能夠運用標準方程中的a,b,c的關係解決題目，但還不夠熟練。

另外對於求軌跡方程、解決直線與橢圓關係的題目，還不能很好地分析、解決。

【三維目標】：
1、知識與技能：
①進一步強化學生對於橢圓標準方程中a,b,c關係理解，並能運用到解題當中去。

②強化求軌跡方程的方法、步驟。

③解決直線與橢圓的題目，強化數形結合的運用。

2、過程與方法：
通過習題、例題的練講結合，達到學生熟練解決橢圓有關問題的能力。

3、情感態度與價值觀：
通過一部分有難度的題目，培養學生克服困難的毅力。

【教學重點】：
知識與技能②③
【教學難點】：
知識與技能②③
【課前準備】：
學案。

§2.1.2橢圓的簡單幾何性質2
【學情分析】：
學生對於解析幾何部分“利用方程來解決曲線公共點的問題”有一定的認識，對橢圓的性質比較熟悉的情況下，進一步提高學生的運算水準。

【三維目標】：
1、知識與技能：
①進一步掌握“利用方程組求解來解決曲線公共點”的方法、步驟。

②理解求公共點的過程中△對於公共點的個數的影響。

③進一步提高學生的運算能力，培養學生的總結能力。

2、過程與方法：
通過學生研究直線與橢圓的交點問題，掌握“數形結合”的方法。

3、情感態度與價值觀：
通過“數形結合法”的學習，培養學生辨證看待問題。

【教學重點】：
知識與技能③
【教學難點】：
知識與技能①②
【課前準備】：
課件。

2.1.2椭圆的简单几何性质（导学案）一、课前导读（一）学习目标：1.理解椭圆的简单几何性质①范围②对称性③顶点④离心率；2.掌握ea,,的几何意义及相互关系；,bc3.会通过椭圆的方程求椭圆的范围、对称性、顶点、离心率；4.会通过椭圆的性质求椭圆的标准方程；5.体会用代数方法研究几何问题的思想方法.（二）学法指导：通过几何图形观察，代数方程验证椭圆几何性质的学习过程，体会数形结合的数学思想.（三）学习重点及难点：1.由椭圆的方程求其相关几何性质；2.利用椭圆的性质求椭圆方程.二、学习过程（一）复习案：1.椭圆的定义： .2.椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上时：；（2）焦点在y轴上时：；3.椭圆中,,a b c的关系是 .（二）探究案：[学生活动1]①在稿纸上作出一个椭圆；②类比椭圆标准方程的建立过程，将所作椭圆置于直角坐标系中.探究一：椭圆的对称性[问题1]观察所作椭圆，它具有对称性吗？如果有,是什么？能否用椭圆的标准方程论证其对称性？[结论]从图形上看，椭圆关于，，对称.[论证]在椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中：①把x 换成x -方程不变，说明图像关于 轴对称； ②把y 换成y -方程不变，说明图像关于 轴对称；③把x 换成x -，同时把y 换成y -方程不变，说明关于 对称，因此 是椭圆的对称轴， 是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做 .探究二：椭圆的顶点坐标[问题2]所作椭圆与对称轴有交点吗？若有，有几个交点？从方程如何求出交点？[结论]椭圆与对称轴有 个交点.[求解]由椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 知：交点为：( , ) 、 ( , ) 、 ( , ) 、 ( , ). [定义]线段12A A 叫做椭圆的 ，其长度为 . 线段12B B 叫做椭圆的 ，其长度为 .a b 和分别叫做椭圆的 和 . 探究三：椭圆的范围[问题3]请同学们观察所作椭圆，结合椭圆的对称性和顶点坐标，考察椭圆横纵坐标的取值范围是什么？从方程如何求出椭圆的范围呢？[结论]从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是 ；椭圆上点的纵坐标的范围是 .[求解]由椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 知：①222210y x b a =-⇒22ax 1，即 ≤≤x ；②222210x y a b=-⇒22by 1，即 ≤≤y .因此)0(12222>>=+b a by a x 位于直线 和 围成的矩形里.探究四：椭圆的离心率[定义]椭圆与之比称为椭圆离心率，用表示，即 .[意义]刻画椭圆的量.[范围] .[问题4]离心率是如何影响椭圆形状的呢？若e越接近1，椭圆越；若e越接近0，椭圆越接近于 .[学生活动2]度量自己所作椭圆，写出其标准方程、长轴和短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标.（三）考点透析案：求椭圆221625400x y+=的长轴长、离心率、焦点和顶点坐标.求适合下列条件的椭圆的标准方程:（1）经过点(3,0),(0,2)P Q--；（2）长轴长等于20，离心率35.三、总结提升（一）知识要点：（二）思想方法：四、检测与反馈1.已知椭圆方程为121222=+y x ，则它的：长轴长： ；短轴是： ； 焦距是： ；离心率： ； 焦点坐标是：_________________________； 顶点坐标是：_________________________.2.已知椭圆长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P ，求该椭圆的标准方程.3.已知中心在原点的椭圆的右焦点为(1,0)F ，离心率等于12，求椭圆的标准方程.4.已知椭圆221:1124x y C +=，222:1168x y C +=，比较12C C 、哪个更圆，哪个更扁？并说明理由.5.椭圆的中心在原点，一个顶点是（0，2），离心率 23=e ，求椭圆的标准方程.。

公路桥梁锥坡的计算方法和计算公式关以基础工程量的计公路桥梁锥坡的计算方法和计算公式公路桥梁锥坡的计算方法和计算公式锥坡浆砌片石计算公式锥坡计算采用正交公式，外锥-内锥V=π/12*m*n*(H3-H03)t片石厚度H：锥坡高度H0：内锥高度=H-(α0+β0)/t/2 m、n为两个方向的坡度α0=(1+m2)0.5/mβ0=(1+n2)0.5/n关以基础工程量的计算与难点(造价专业可以用到)大开挖土方1、开挖土方计算规则(1)、清单规则：挖基础土方按设计图示尺寸以基础垫层底面积乘挖土深度计算。

(2)、定额规则：人工或机械挖土方的体积应按槽底面积乘以挖土深度计算。

槽底面积应以槽底的长乘以槽底的宽，槽底长和宽是指混凝土垫层外边线加工作面，如有排水沟者应算至排水沟外边线。

排水沟的体积应纳入总土方量内。

当需要放坡时，应将放坡的土方量合并于总土方量中。

2、开挖土方计算方法(1)、清单规则：①、计算挖土方底面积：方法一、利用底层的建筑面积+外墙外皮到垫层外皮的面积。

外墙外边线到垫层外边线的面积计算(按外墙外边线外放图形分块计算或者按"外放图形的中心线×外放长度"计算。

)方法二、分块计算垫层外边线的面积(同分块计算建筑面积)。

②、计算挖土方的体积：土方体积=挖土方的底面积*挖土深度。

(2)、定额规则：①、利用棱台体积公式计算挖土方的上下底面积。

V=1/6×H×(S上+4×S中+S下)计算土方体积(其中，S上为上底面积，S 中为中截面面积，S下为下底面面积)。

如下图S下=底层的建筑面积+外墙外皮到挖土底边线的面积(包括工作面、排水沟、放坡等)。

用同样的方法计算S中和S下3、挖土方计算的难点⑴、计算挖土方上中下底面积时候需要计算"各自边线到外墙外边线图"部分的中心线，中心线计算起来比较麻烦(同平整场地)。

⑵、中截面面积不好计算。

⑶、重叠地方不好处理(同平整场地)。

1.2 椭圆的简单性质自主整理椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的简单性质1.对称性椭圆2222by a x +=1是以x 轴,y 轴为对称轴的_____________,且是以原点为对称中心的_____________,这个对称中心称为_____________. 2.范围椭圆上所有的点都位于直线_____________所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足_____________. 3.顶点(1)椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的_____________. (2)椭圆2222b y a x +=1的四个顶点的坐标分别为A 1_____________,A 2_____________,B 1_____________,B 2_____________. (3)线段A 1A 2,B 1B 2分别叫作椭圆的_____________和_____________,|A 1A 2|=_____________,|B 1B 2|=_____________. (4)a 和b 分别叫作椭圆的_____________和_____________. 4.离心率(1)我们规定椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的_____________,用e 表示,e=_____________.(2)e 的取值范围是.e 越接近1,椭圆就越_____________,反之,e 越接近0,椭圆接近于_____________.当且仅当a=b 时,c=0,这时两个焦点重合,图形变为_____________,它的方程为_____________. 高手笔记我们根据椭圆的标准方程2222by a x +=1(a ＞b ＞0)来研究椭圆的几何性质.(1)椭圆的范围.由标准方程可知,椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式22ax ≤1,22b y ≤1,即x 2≤a 2,y 2≤b 2,所以|x|≤a,|y|≤b.这说明椭圆位于直线x=±a 和y=±b 所围成的矩形区域里. (2)椭圆的对称性.①判断曲线关于x 轴,y 轴,原点对称的依据.a.若把方程中的x 换成-x,方程不变,则曲线关于y 轴对称;b.若把方程中的y 换成-y,方程不变,则曲线关于x 轴对称;c.若把方程中的x,y 同时换成-x,-y,方程不变,则曲线关于原点对称. ②椭圆关于x 轴,y 轴对称,也关于原点对称.对于椭圆标准方程,把x 换成-x,或把y 换成-y,或把x,y 同时换成-x,-y,方程都不变,所以图形关于y 轴,x 轴和原点都是对称的.这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫作椭圆的中心. (3)椭圆的顶点.①椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)与坐标轴的交点.令x=0,得y=±b;令y=0,得x=±a.这说明A 1(-a,0),A 2(a,0)是椭圆与x 轴的两个交点,B 1(0,-b),B 2(0,b)是椭圆与y 轴的两个交点.因为x 轴,y 轴是椭圆的对称轴,所以,椭圆和它的对称轴有四个交点,这四个交点叫作椭圆的顶点.②椭圆的长轴,短轴.线段A 1A 2叫作椭圆的长轴,它的长为2a,a 叫作椭圆的长半轴长. 线段B 1B 2叫作椭圆的短轴,它的长为2b,b 叫作椭圆的短半轴长. (4)椭圆的离心率.椭圆的焦距与长轴长的比,称作椭圆的离心率,记作e=ac a c =22. 因为a ＞c ＞0, 所以0＜e ＜1.e 越接近1,则c 就越接近a,从而b=22c a -越小,因此椭圆越扁;反之,e 越接近于0,c 就越接近0,从而b 越接近于a,这时椭圆就越接近于圆.当且仅当a=b 时,c=0,这时两个焦点重合,图形这时就变为圆,此时方程即为x 2+y 2=a 2. 名师解惑1.如何解决与特征△PF 1F 2(P 为椭圆上的点)有关的计算问题?剖析:一般涉及与△PF 1F 2有关的计算问题时,常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理),面积公式相结合的方法进行计算与解题. 2.如何研究椭圆的扁圆程度与离心率的关系? 剖析:离心率e=ac与a,b,c 之间的关系:c 2=a 2-b 2,长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化.椭圆的离心率e=a c ,用a,b 表示为e=2)(1ab -,当a b 越小时,椭圆越扁,e 越大;当a b 越大,椭圆趋近圆,e 越小,并且0＜e ＜1.讲练互动【例1】已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-6),求椭圆的标准方程. 解析:设出方程,将点的坐标代入,求a 2,b 2,用待定系数法求方程.答案:设椭圆的标准方程为2222b y a x +=1或2222by a x +=1(a ＞b ＞0).由已知a=2b,又过点(2,-6),所以1)6(22222=-+b a 或12)6(2222=+-ba . 所以⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==.13,5237,1482222b a b a 或所以所求方程为3714822y x +=1或135222x y +=1. 绿色通道当方程有两种形式时,应分类求解,即设出两种形式的方程,再由其他条件求出参数.椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,它们之间的关系确定题中椭圆的形状. 变式训练1.已知c=8,e=32,求椭圆的标准方程. 答案:因为e=32,所以a c =32.又因为c=8,所以a=12.所以b 2=a 2-c 2=122-82=80.所以所求椭圆的标准方程为118014411801442222=+=+x y y x 或. 【例2】已知椭圆x 2+(m+3)y 2=m(m ＞0)的离心率e=23,求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长,焦点坐标,顶点坐标.解析:解决本题的关键是确定m 的值,应先将椭圆方程化为标准形式,用m 表示a,b,c,再由e=23,求出m 的值. 答案:椭圆方程可化为m y m x 22+=1, 因为m-3+m m =3)2(++m m m ＞0, 所以m ＞3+m m,即a 2=m,b 2=3)2(22++=-m m m b a .由e=23,得32++m m =23,所以m=1.所以椭圆的标准方程为x 2+412y =1.所以a=1,b=21,c=23. 所以椭圆的长轴长为2,短轴长为1;两焦点坐标分别为F 1(23-,0),F 2(23,0);四个顶点分别为A 1(-1,0),A 2(1,0),B 1(0,21-),B 2(0, 21).绿色通道解决有关椭圆的问题,一般首先应弄清椭圆的类型,而椭圆的类型又决定于焦点的坐标.要掌握好椭圆的几何性质:范围,对称性,顶点,离心率.熟练掌握椭圆的定义,标准方程,几何性质这些基本概念是解决计算问题,证明问题及其他有关问题的基础和关键. 变式训练2.椭圆9x 2+y 2=81的长轴长为___________,短轴长为___________,焦点坐标为___________,顶点坐标为___________,离心率为___________.解析:将9x 2+y 2=81化为标准方程1932222=+y x ,所以椭圆长轴在y 轴上,其中a=9,b=3,c=62.所以长轴长2a=18,短轴长2b=6,焦点坐标为F 1(0,-62)、F 2(0,62),顶点坐标为A 1(-3,0),A 2(3,0),B 1(0,-9),B 2(0,9). 离心率为e=322926==a c . 答案:18 6 (0,-62),(0,62) (-3,0),(3,0),(0,-9),(0,9)322 【例3】椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(-c,0),A(-a,0),B(0,b)是两个顶点,如果F 1到直线AB 的距离为7b,则椭圆的离心率e=___________-. 解析:要求e 的值,就是要求出a,c 的值或a 与c 的关系,为此需利用F 1到直线AB 的距离为7b 建立方程,从而求解.答案:如图,过点F 1作F 1P ⊥AB,交AB 于P,|AB|=22b a +,|AF 1|=a-c,|F 1P|=7b,由△AF 1B 面积公式得a 2+b 2·7b=(a-c)·b.又因为b 2=a 2-c 2,所以整理得8c 2-14ac+5a 2=0.所以8(a c )2-14·a c+5=0,即8e 2-14e+5=0. 所以e=21或e=45(舍去).所以e=21绿色通道解决椭圆离心率的问题,要利用题目中条件及椭圆的几何性质,建立关于a,b 的方程进而求出离心率.同时要注意0＜e ＜1,同时题目中还利用了三角形面积的转换与点到直线的距离公式. 变式训练3.设M 为椭圆2222by a x +=1上一点,F 1,F 2为椭圆的焦点,如果∠MF 1F 2=75°,∠MF 2F 1=15°,求椭圆的离心率. 答案:由正弦定理得︒+︒=︒+︒+=︒=︒︒75sin 15sin 275sin 15sin ||||75sin ||15sin ||90sin 22121aMF MF MF MF c ,所以e=3660sin 2115cos 15sin 1=︒=︒+︒=a c .。

1.2 椭圆的简单性质1．椭圆的对称性及范围(1)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1是以__________为对称轴的__________，且是以____为对称中心的____________，这个对称中心称为椭圆的____．(2)椭圆上所有的点都位于直线____________所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足____________．预习交流1想一想：如果知道椭圆在第一象限的图像，能否画出其他象限的图像？ 2．椭圆的顶点、离心率(1)椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的____．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1中的a 和b 分别叫作椭圆的________和________．(2)我们规定椭圆的____与________的____叫作椭圆的离心率，用e 表示，即e ＝________.显然________，e 越接近1，椭圆就____．反之，e 越接近0，椭圆就越______，当______时，______，这时两个焦点重合，图形变为____，它的方程为____________．预习交流2想一想：你能运用三角知识解释为什么e ＝c a 越大，椭圆越扁，e ＝ca越小，椭圆越接近于圆吗？答案：1．(1)x 轴、y 轴 轴对称图形 原点 中心对称图形 中心 (2)x ＝±a ，y ＝±b |x |≤a ，|y |≤b预习交流1：提示：可以．因为椭圆是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，如把第一象限的图像关于x 轴、y 轴对称，就可得到第四、第二象限内的图像，又知椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，所以作出以原点为对称中心的中心对称图形就可得到第三象限内的图像，坐标轴上的点亦如此．2．(1)顶点 长半轴长 短半轴长 (2)焦距 长轴长度 比 ca0＜e ＜1 越扁 接近圆 a ＝b c ＝0 圆 x 2＋y 2＝a 2预习交流2：提示：如图所示，在Rt △BF 2O 中，cos ∠BF 2O ＝c a ，ca越大，∠BF 2O 越小，椭圆越扁；ca越小，∠BF 2O 越大，椭圆越接近于圆，当a ＝b 时，图形变为圆．1．椭圆的简单性质的理解如图所示，椭圆上哪两个点到椭圆的焦点F 1的距离分别最大和最小？其最值为多少？如图，把椭圆x 225＋y216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作y 轴的平行线交椭圆上半部分于P 1，P 2，P 3，…，P 7七个点，F 1是椭圆的一个焦点，则|P 1F 1|＋|P 2F 1|＋…＋|P 7F 1|＝________.凡涉及焦点问题，应先考虑椭圆的定义，有时借助椭圆的对称性，可使复杂问题简单化，收到意想不到的效果．2．椭圆的顶点和离心率如图所示，椭圆9x 2＋y 2＝81的长轴长为________，短轴长为________，焦点坐标为________________，顶点坐标为________________，离心率为________．求满足下列条件的椭圆的离心率． (1)椭圆的长轴长是短轴长的2倍；(2)椭圆两焦点间的距离等于长轴的端点与短轴端点间的距离．椭圆的离心率e ＝ca是椭圆的固有性质，与椭圆的位置无关．求椭圆的离心率e ，即求比值ca，而在椭圆方程中a 2＝b 2＋c 2，所以求离心率只需寻求a ，b ，c 三者或者其中两者之间的关系即可．3．根据性质求椭圆的方程求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程．思路分析：由x 29＋y 24＝1易得椭圆的焦点，又e ＝c a ＝55，可求a ，c 的值，再由b 2＝a 2－c 2解得b 值，从而求得椭圆方程．已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求椭圆的标准方程．求椭圆的标准方程时，要确定焦点的位置及a ，b 的值．若不能确定焦点的位置时，应分两种情况进行讨论．答案：活动与探究1：解：设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，椭圆与y 轴的两交点为B 1，B 2，则点B 2到F 1的距离最大，其最大值为a ＋c ，点B 1到焦点F 1的距离最小，其最小值为a －c .迁移与应用1：35 解析：根据椭圆的对称性，设椭圆的另一个焦点为F 2，利用椭圆的定义，则：|P 1F 1|＋|P 2F 1|＋…＋|P 7F 1|＝(P 1F 1＋P 7F 1)＋(P 2F 1＋P 6F 1)＋(P 3F 1＋P 5F 1)＋P 4F 1 ＝(P 1F 1＋P 1F 2)＋(P 2F 1＋P 2F 2)＋(P 3F 1＋P 3F 2)＋P 4F 1 ＝7a ＝35.活动与探究2：18 6 F 1()0，－62，F 2()0，62 A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－9)，B 2(0,9) e ＝223解析：椭圆方程9x 2＋y 2＝81可化为x 29＋y 281＝1，∴a 2＝81，∴a ＝9,2a ＝18，b 2＝9，b ＝3,2b ＝6，c 2＝a 2－b 2＝81－9＝72，∴c ＝62，∴e ＝c a ＝629＝223.∴长轴长为2a ＝18，短轴长为2b ＝6，焦点坐标为F 1()0，－62，F 2()0，62，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－9)，B 2(0,9)．迁移与应用2：解：(1)依题意可得2a ＝4b ，即a ＝2b ，∴a 2＝4b 2， 又∵a 2＝b 2＋c 2，∴3a 2＝4c 2， ∴c a ＝32，∴离心率e ＝32. (2)由椭圆的性质知2c ＝a 2＋b 2， ∴4c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋(a 2－c 2)，∴5c 2＝2a 2，∴c a ＝105，即离心率e ＝105.活动与探究3：解：由题意知，所求椭圆的焦点为()－5，0，()5，0，∴c ＝ 5.又∵e ＝c a ＝55，∴a ＝5，∴b 2＝a 2－c 2＝25－5＝20，∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 220＝1.迁移与应用3：解：当椭圆的焦点在x 轴上时，设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵2c ＝8，∴c ＝4，又a ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝20，∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.当椭圆的焦点在y 轴上时，设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵2c ＝8，∴c ＝4，又b ＝6，∴a 2＝b 2＋c 2＝52，∴椭圆的标准方程为y 252＋x 236＝1.1．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2→|等于( )．A.32 B ．－ 3 C.72D ．4 2．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0＜k ＜9)的关系为( )．A ．有相等的长、短轴B ．有相等的焦距C ．有相同的焦点D ．有相同的顶点3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 到过顶点A (－a,0)，B (0，b )的直线的距离为b7，则椭圆的离心率为( )．A.12B.54C.7－76D.7＋764．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为__________．5．已知1m ＋2n ＝1(m ＞0，n ＞0)，当m ·n 取得最小值时，求椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1的离心率．答案：1．C 解析：易知|PF 1→|＝12，∴|PF 2→|＝2a －|PF 1→|＝4－12＝72.2．B 解析：对于x 225＋y 29＝1，有c 2＝25－9＝16，∴c ＝4，对于x 29－k ＋y 225－k＝1，有c 2＝25－k －(9－k )＝16，∴c ＝4.故它们有相等的焦距．3．A 解析：如图，过点F 作FP ⊥AB ，交AB 于点P ，连接BF .|AB |＝a 2＋b 2，|AF |＝a －c ，|FP |＝b 7，由△AFB 的面积公式得a 2＋b 2·b7＝(a －c )·b .又因为b 2＝a 2－c 2，整理得8c 2－14ac ＋5a 2＝0，所以8⎝⎛⎭⎫c a 2－14·c a＋5＝0，即8e 2－14e ＋5＝0.所以e ＝12或e ＝54(舍去)，所以e ＝12.4.x 281＋y272＝1 解析：由两个焦点三等分长轴知3×2c ＝2a ，即a ＝3c ， 又a ＝9，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，∴所求椭圆的标准方程为：x 281＋y 272＝1.5．解：∵1m ＋2n＝1(m ＞0，n ＞0)，∴1m ＋2n ≥22mn ，即m ·n ≥8，当且仅当1m ＝2n ，即n ＝2m 时等号成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2m ，mn ＝8，∴m ＝2，n ＝4， ∴c 2＝n 2－m 2＝16－4＝12，∴c ＝23，∴e ＝c n ＝32.。