2.1.1椭圆的简单几何性质学案及答案

2.1.2 椭圆的简单几何性质（一）教材新知提出问题图中椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．问题1：椭圆具有对称性吗？问题2：可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？问题3：椭圆方程中x，y的取值范围是什么？问题4：当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？导入新知椭圆的简单几何性质x2y2y2x2化解疑难1．由不等式x2a2＝1－y2b2≤1可得|x|≤a，由y2b2＝1－x2a2≤1可得|y|≤b，从而可得椭圆的范围．2．椭圆有四个顶点、两个焦点共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置，注意长轴长是2a，而不是a.3．椭圆的离心率e的大小，描述了椭圆的扁平程度．e越接近1，则c就越接近a，从而b ＝a2－c2越小，因此，椭圆越扁；反之，e越接近0，则c就越接近0，从而b越接近a，这时椭圆越接近圆．特别地，当a＝b时，c＝0，椭圆就变为圆了，此时方程为x2＋y2＝a2.常考题型题型一椭圆的几何性质例1求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．类题通法求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．活学活用已知椭圆C1：x2100＋y264＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．题型二利用椭圆的几何性质求其标准方程例2求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是10，离心率是45；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 类题通法(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： ①确定焦点位置．②设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)．③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式为b 2＝a 2－c 2，e ＝ca等．(2)在椭圆的简单性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件确定的椭圆方程可能有两个． 活学活用求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率e ＝22； (2)长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5,0)．题型三 椭圆的离心率例3 如图，已知F 1为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的一点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB (O 为椭圆的中心)时，求椭圆的离心率．类题通法椭圆的离心率的求法求椭圆的离心率，关键是寻找a 与c 的关系，一般地： (1)若已知a ，c ，则直接代入e ＝ca 求解；(2)若已知a ，b ，则由e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2求解；(3)若已知a ，b ，c 的关系，则可转化为a ，c 的齐次式，再转化为含e 的方程求解即可． 活学活用若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32 C.34 D.64 随堂即时演练1．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的标准方程是( )A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 2．椭圆C 1：x 225＋y 29＝1与椭圆C 2：x 225－k ＋y 29－k ＝1(k ＜9)( )A ．有相同的长轴B ．有相同的短轴C ．有相同的焦点D ．有相等的离心率3．椭圆x 2＋4y 2＝16的短轴长为________．4．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率e＝________.5．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12；(2)对称轴是坐标轴，一个焦点是(0,7)，一个顶点是(9,0)．参考答案教材新知提出问题问题1：提示：有．椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形．问题2： 提示：可以，令y ＝0得x ＝±a ，故A 1(－a,0)，A 2(a,0)，同理可得B 1(0，－b )，B 2(0，b )．问题3：提示：x ∈[－a ，a ]，y ∈[－b ，b ]． 问题4：提示：b 越小，椭圆越扁． 常考题型题型一 椭圆的几何性质例1 解：椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)， 离心率e ＝c a ＝53.活学活用解：(1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35.(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10； ②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④离心率：e ＝35.题型二 利用椭圆的几何性质求其标准方程例2 解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由已知得2a ＝10，a ＝5. 又∵e ＝c a ＝45，∴c ＝4.∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1.(2)依题意可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．如图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ， 则c ＝b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.活学活用解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝22，2b ＝2，解得a ＝2，b ＝1，因此，椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为x2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5.故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1.题型三 椭圆的离心率例3 解：由已知可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则由题意可知P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a . ∵△PF 1O ∽△BOA ，∴PF 1BO ＝F 1OOA ，∴b 2a b ＝c a ，即b ＝c ， ∴a 2＝2c 2，∴e ＝c a ＝22.活学活用 【答案】A【解析】依题意，△BF 1F 2是正三角形．∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°，∴a cos 60°＝c ， ∴c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12. 随堂即时演练 1．【答案】A【解析】因为2a ＝18,2c ＝13×2a ＝6，所以a ＝9，c ＝3，b 2＝81－9＝72.2．【答案】C【解析】25－9＝(25－k )－(9－k )，故两椭圆有相同的焦点． 3．【答案】4【解析】由x 216＋y 24＝1可知b ＝2，∴短轴长2b ＝4. 4．【答案】255【解析】由题意知椭圆焦点在x 轴上， ∴在直线x ＋2y －2＝0中， 令y ＝0得c ＝2；令x ＝0得b ＝1. ∴a ＝b 2＋c 2＝ 5. ∴e ＝c a ＝255.5．解：(1)由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∵椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12， ∴2a＝12，即a ＝6.∵椭圆的离心率为3 2，∴e＝ca＝a2－b2a＝36－b26＝32，∴b2＝9.∴椭圆的标准方程为x236＋y29＝1.(2)由题意知椭圆的焦点在y轴上，可设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，则b＝9.因为c＝7，所以a2＝b2＋c2＝81＋49＝130，∴椭圆的标准方程为y2130＋x281＝1.。

2.1。

2椭圆的简单几何性质（学案)一、知识梳理1。

椭圆的标准方程22221x y a b+=(0)a b >>，它有哪些几何性质呢？图形：范围：x : y :对称性:椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：( ）,（ ），（ ），（ ）; 长轴，其长为;短轴，其长为； 离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比c a 称为离心率，记ce a =，且01e <<．2.直线与椭圆的三种位置关系：；3.联立直线与椭圆方程组⎩⎨⎧=+=,0),(,y x f b kx y 消去y 得到关于x 的一元二次方程:02=++C Bx Ax.由其判别式∆可判断直线与椭圆公共点的个数:（1）当0>∆时,直线与椭圆公共点。

(2）当0=∆时，直线与椭圆公共点。

(3)当0<∆时,直线与椭圆公共点.4.若直线b kx y +=与椭圆相交于两点),(),,(2211y x Q y x P ，联立直线与椭圆方程组⎩⎨⎧=+=,0),(,y x f b kx y 得到关于x 的一元二次方程:02=++C Bx Ax ，则有:(1)ABx x A B x x=-=+2121,。

（2）弦长2122122122212214)(1||1)()(||x x x x k x x k y y x x PQ -+•+=-+=-+-=。

二、典例解析例1: 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。

源:］例2: 已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1,求P 点的坐标。

例3：设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点为F 1、F 2 ,若在椭圆上存在一点P ，使21PF PF⊥，求椭圆的离心率e 的取值范围.例4：已知椭圆1422=+y x及直线2+=kx y 。

当k 为何值时，直线与椭圆有2个公共点？1个公共点？没有公共点?三、当堂检测1.已知F 1、F 2为椭圆(a ＞b ＞0）的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ,若△AF 1B 的周长为16,椭圆离心率23=e ，则椭圆的方程是 （ )A 。

椭圆的简单几何性质基础卷1．设a , b , c 分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a , b , c 的大小关系是 （A ）a >b >c >0 （B ）a >c >b >0 （C ）a >c >0, a >b >0 （D ）c >a >0, c >b >02．椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，那么椭圆的方程为（A ）221916x y += （B ）2212516x y += （C ）2212516x y +=或2211625x y += （D ）2211625x y += 3．已知P 为椭圆221916x y +=上一点，P 到一条准线的距离为P 到相应焦点的距离之比为 （A ）54 （B ）45 （C ）417 （D ）7474．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为 （A ）23 （B ）33 （C ）316 （D ）6165．在椭圆12222=+by a x 上取三点，其横坐标满足x 1+x 3=2x 2，三点顺次与某一焦点连接的线段长是r 1, r 2, r 3，则有（A ）r 1, r 2, r 3成等差数列 （B ）r 1, r 2, r 3成等比数列 （C ）123111,,r r r 成等差数列 （D ）123111,,r r r 成等比数列 6．椭圆221925x y +=的准线方程是 （A ）x =±254 （B ）y =±165 （C ）x =±165 （D ）y =±2547．经过点P (－3, 0), Q (0, －2)的椭圆的标准方程是 .8．对于椭圆C 1: 9x 2+y 2=36与椭圆C 2:2211612x y +=，更接近于圆的一个是 . 9．椭圆12222=+by a x 上的点P (x 0, y 0)到左焦点的距离是r = .10．已知定点A (－2, 3)，F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使|AM |+2|MF |取得最小值。

§2.1.2橢圓的簡單幾何性質3
【學情分析】：
學生已經掌握了橢圓的概念、標準方程的概念，也能夠運用標準方程中的a,b,c的關係解決題目，但還不夠熟練。

另外對於求軌跡方程、解決直線與橢圓關係的題目，還不能很好地分析、解決。

【三維目標】：
1、知識與技能：
①進一步強化學生對於橢圓標準方程中a,b,c關係理解，並能運用到解題當中去。

②強化求軌跡方程的方法、步驟。

③解決直線與橢圓的題目，強化數形結合的運用。

2、過程與方法：
通過習題、例題的練講結合，達到學生熟練解決橢圓有關問題的能力。

3、情感態度與價值觀：
通過一部分有難度的題目，培養學生克服困難的毅力。

【教學重點】：
知識與技能②③
【教學難點】：
知識與技能②③
【課前準備】：
學案。