椭圆的简单几何性质导学案(定稿)

2.1。

2椭圆的简单几何性质（学案)一、知识梳理1。

椭圆的标准方程22221x y a b+=(0)a b >>，它有哪些几何性质呢？图形：范围：x : y :对称性:椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：( ）,（ ），（ ），（ ）; 长轴，其长为;短轴，其长为； 离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比c a 称为离心率，记ce a =，且01e <<．2.直线与椭圆的三种位置关系：；3.联立直线与椭圆方程组⎩⎨⎧=+=,0),(,y x f b kx y 消去y 得到关于x 的一元二次方程:02=++C Bx Ax.由其判别式∆可判断直线与椭圆公共点的个数:（1）当0>∆时,直线与椭圆公共点。

(2）当0=∆时，直线与椭圆公共点。

(3)当0<∆时,直线与椭圆公共点.4.若直线b kx y +=与椭圆相交于两点),(),,(2211y x Q y x P ，联立直线与椭圆方程组⎩⎨⎧=+=,0),(,y x f b kx y 得到关于x 的一元二次方程:02=++C Bx Ax ，则有:(1)ABx x A B x x=-=+2121,。

（2）弦长2122122122212214)(1||1)()(||x x x x k x x k y y x x PQ -+•+=-+=-+-=。

二、典例解析例1: 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。

源:］例2: 已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1,求P 点的坐标。

例3：设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点为F 1、F 2 ,若在椭圆上存在一点P ，使21PF PF⊥，求椭圆的离心率e 的取值范围.例4：已知椭圆1422=+y x及直线2+=kx y 。

当k 为何值时，直线与椭圆有2个公共点？1个公共点？没有公共点?三、当堂检测1.已知F 1、F 2为椭圆(a ＞b ＞0）的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ,若△AF 1B 的周长为16,椭圆离心率23=e ，则椭圆的方程是 （ )A 。

3.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的简单几何性质【学习目标】1.能直观猜想椭圆形状与大小的特征,并用其标准方程分析推导出椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.能说明椭圆特征量的几何意义.3.能根据焦点在不同坐标轴上的椭圆的标准方程给出相应几何性质的代数表达.◆ 知识点 椭圆的简单几何性质1.椭圆的几何性质标准方程x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0) y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0) 图形性 质焦点焦距 |F 1F 2|=2c (c=√a 2-b 2)范围对称性 关于 对称 长轴 |A 1A 2|=2a ,其中a 为长半轴长 短轴 |B 1B 2|=2b ,其中b 为短半轴长顶点离心率(0<e<1)2.离心率对椭圆扁圆程度的影响 (1)离心率椭圆的焦距与长轴长的比ca 叫作椭圆的离心率,用e 表示,即 ,e ∈(0,1). (2)离心率对椭圆扁圆程度的影响如图所示,在Rt △BF 2O 中,cos ∠BF 2O=c a,记e=c a,则0<e<1,e 越大,∠BF 2O 越小,椭圆越 ;e 越小,∠BF 2O 越大,椭圆越 .【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)设F 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的一个焦点,M 为椭圆上任一点,则|MF|的最大值为a+c (c 为椭圆的半焦距).( )(2)椭圆的离心率e 越大,椭圆就越圆. ( )(3)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的方程为x 225+y 216=1.( )◆ 探究点一 椭圆的简单几何性质例1 已知椭圆C 1:x 2100+y 264=1,椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C 2的焦点在y 轴上.(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;(2)写出椭圆C 2的方程,并写出x ,y 的取值范围及椭圆C 2的对称性、顶点、焦点和离心率.变式 (1)若点(3,2)在椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)上,则下列说法正确的是( )A .点(-3,-2)不在椭圆C 上B .点(3,-2)不在椭圆C 上 C .点(-3,2)在椭圆C 上D .无法判断上述点与椭圆C 的位置关系 (2)点A (a ,1)在椭圆x 24+y 22=1的外部,则a 的取值范围是 ( )A .(-√2,√2)B .(-∞,-√2)∪(√2,+∞)C .(-2,2)D .(-∞,-2)∪(2,+∞)[素养小结]由椭圆的标准方程研究椭圆的性质时要注意两点:(1)已知椭圆的方程讨论椭圆的性质时,若不是标准形式的方程,则先化成标准形式的方程,再确定焦点的位置,进而确定椭圆的类型.(2)焦点位置不确定的要分类讨论,找准a与b,正确利用a2=b2+c2求出焦点坐标,再写出顶点坐标.同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是2a,2b,2c.◆探究点二由几何性质求椭圆的标准方程例2 (1)长轴长是短轴长的5倍,且过点A(5,0)的椭圆的标准方程为.(2)在平面直角坐标系中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为√22.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么椭圆C的方程为.变式 (1)与椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点,且短轴长为2的椭圆的标准方程为.(2)已知F1(-2,0),F2(2,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且|AB|=6,则C 的方程为.[素养小结]利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤(1)确定焦点位置;(2)设出相应椭圆的标准方程;(3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数;(4)写出椭圆的标准方程.◆探究点三求椭圆的离心率例3 (1)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),其上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,且△AF1F2为等边三角形,则椭圆C的离心率为( )A.12B.√22C.√32D.23(2)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分别是C的左、右焦点,P为C上一点,若线段PF1的中点在y轴上,∠PF1F2=π6,则C的离心率为( )A.√33B.23C.√63D.2-√3变式 (1)[2024·黄山高二期中] 已知矩形ABCD的四个顶点都在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,边AD和BC分别经过椭圆的左、右焦点,且2|AB|=|BC|,则该椭圆的离心率为( ) A.-1+√2B.2-√2C.-1+√3D.2-√3(2)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,若在x轴上方的C上存在两个不同的点M,N满足∠F1MF2=∠F1NF2=2π3,则椭圆C离心率的取值范围是. [素养小结]求椭圆离心率的值(或范围)的步骤:(1)利用条件建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式);(2)借助a2=b2+c2消去b,转化为关于a,c的齐次方程或不等式;(3)将方程或不等式两边同时除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式;(4)解方程或不等式即可求得e的值或取值范围.拓展已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),M,N分别为椭圆C的左、右顶点,若在椭圆C上存在一点H,使得k MH·k NH∈(-12,0),则椭圆C的离心率e的取值范围为( )A.(√22,1)B.(0,√22)C.(√32,1)D.(0,√32)。

椭圆的简单几何性质教案教学目标：1. 理解椭圆的定义及其简单几何性质；2. 掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等基本概念；3. 能够运用椭圆的性质解决相关问题。

教学重点：1. 椭圆的定义及简单几何性质；2. 椭圆的长轴、短轴、焦距等基本概念。

教学难点：1. 椭圆的性质在实际问题中的应用。

教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 尺子、圆规等绘图工具。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的性质，复习圆的基本概念；2. 提问：圆有什么特殊的性质？它的形状是什么样的？二、新课导入（10分钟）1. 引入椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹；2. 讲解椭圆的基本性质：椭圆的长轴、短轴、焦距等；3. 示例：绘制一个椭圆，并标出其长轴、短轴、焦距等。

三、课堂练习（10分钟）1. 让学生自主绘制几个椭圆，并标出其长轴、短轴、焦距等；2. 互相交流，检查答案。

四、巩固知识（10分钟）1. 讲解椭圆的性质在实际问题中的应用；2. 示例：解决一些与椭圆相关的几何问题。

五、课堂小结（5分钟）2. 强调椭圆的长轴、短轴、焦距等基本概念。

教学反思：六、案例分析：椭圆在现实生活中的应用（10分钟）1. 展示椭圆在自然界中的实例，如行星的运动轨迹、鸟蛋的形状等；2. 分析椭圆在这些实例中的作用和意义；3. 提问：椭圆在现实生活中还有哪些应用？七、互动探究：探索椭圆的面积公式（10分钟）1. 引导学生回顾圆形面积公式；2. 提问：椭圆的面积公式是什么？能否从圆的面积公式入手，探索椭圆的面积公式？3. 分组讨论，让学生自主探索椭圆的面积公式。

八、课堂练习：解决椭圆面积问题（10分钟）1. 让学生自主解决一些与椭圆面积相关的问题；2. 互相交流，检查答案。

九、拓展延伸：椭圆的进一步研究（10分钟）1. 介绍椭圆的一些更深入的性质，如离心率、焦距等；2. 引导学生思考：这些性质有什么实际应用？十、课堂小结与作业布置（5分钟）2. 强调椭圆的面积公式及其应用；3. 布置作业：解决一些与椭圆相关的实际问题。

1椭圆的简单几何性质导学案
【学习目标】
1．掌握椭圆简单的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率等。

2. 体会和运用代数方法研究曲线的几何性质。

【学习重点、难点】
重点：椭圆的简单几何性质
难点：用代数方法研究椭圆的几何性质
椭圆的简单几何性质
例1: 求椭圆9 x2 + 4y2 =36的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标。

例2: 求适合下列条件的椭圆的标准方程 （1）经过点Ｐ（-3，0）、Ｑ（0，-2）； （2）长轴的长等于20，离心率等于5
3。

【沙场点兵】
1、求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标： （ 1）142
2
=+y x （2） 8192
2
=+y x
2、求适合下列条件的椭圆的标准方程.
⑴经过点(0，-8)、(6，0)；
(2)椭圆过（5，0），离心率e=
5
5
2
【品味高考】
(2022·广东卷)若一个椭圆的长轴的长度､短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )
54.A 53.B 52.C 5
1.D （2022课标全国卷）椭圆
18
162
2=+y x 的离心率为( ) 21.A 3
1
.B 33.C D.22。

2.1.2椭圆的简单几何性质（导学案）一、课前导读（一）学习目标：1.理解椭圆的简单几何性质①范围②对称性③顶点④离心率；2.掌握ea,,的几何意义及相互关系；,bc3.会通过椭圆的方程求椭圆的范围、对称性、顶点、离心率；4.会通过椭圆的性质求椭圆的标准方程；5.体会用代数方法研究几何问题的思想方法.（二）学法指导：通过几何图形观察，代数方程验证椭圆几何性质的学习过程，体会数形结合的数学思想.（三）学习重点及难点：1.由椭圆的方程求其相关几何性质；2.利用椭圆的性质求椭圆方程.二、学习过程（一）复习案：1.椭圆的定义： .2.椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上时：；（2）焦点在y轴上时：；3.椭圆中,,a b c的关系是 .（二）探究案：[学生活动1]①在稿纸上作出一个椭圆；②类比椭圆标准方程的建立过程，将所作椭圆置于直角坐标系中.探究一：椭圆的对称性[问题1]观察所作椭圆，它具有对称性吗？如果有,是什么？能否用椭圆的标准方程论证其对称性？[结论]从图形上看，椭圆关于，，对称.[论证]在椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中：①把x 换成x -方程不变，说明图像关于 轴对称； ②把y 换成y -方程不变，说明图像关于 轴对称；③把x 换成x -，同时把y 换成y -方程不变，说明关于 对称，因此 是椭圆的对称轴， 是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做 .探究二：椭圆的顶点坐标[问题2]所作椭圆与对称轴有交点吗？若有，有几个交点？从方程如何求出交点？[结论]椭圆与对称轴有 个交点.[求解]由椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 知：交点为：( , ) 、 ( , ) 、 ( , ) 、 ( , ). [定义]线段12A A 叫做椭圆的 ，其长度为 . 线段12B B 叫做椭圆的 ，其长度为 .a b 和分别叫做椭圆的 和 . 探究三：椭圆的范围[问题3]请同学们观察所作椭圆，结合椭圆的对称性和顶点坐标，考察椭圆横纵坐标的取值范围是什么？从方程如何求出椭圆的范围呢？[结论]从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是 ；椭圆上点的纵坐标的范围是 .[求解]由椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 知：①222210y x b a =-⇒22ax 1，即 ≤≤x ；②222210x y a b=-⇒22by 1，即 ≤≤y .因此)0(12222>>=+b a by a x 位于直线 和 围成的矩形里.探究四：椭圆的离心率[定义]椭圆与之比称为椭圆离心率，用表示，即 .[意义]刻画椭圆的量.[范围] .[问题4]离心率是如何影响椭圆形状的呢？若e越接近1，椭圆越；若e越接近0，椭圆越接近于 .[学生活动2]度量自己所作椭圆，写出其标准方程、长轴和短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标.（三）考点透析案：求椭圆221625400x y+=的长轴长、离心率、焦点和顶点坐标.求适合下列条件的椭圆的标准方程:（1）经过点(3,0),(0,2)P Q--；（2）长轴长等于20，离心率35.三、总结提升（一）知识要点：（二）思想方法：四、检测与反馈1.已知椭圆方程为121222=+y x ，则它的：长轴长： ；短轴是： ； 焦距是： ；离心率： ； 焦点坐标是：_________________________； 顶点坐标是：_________________________.2.已知椭圆长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P ，求该椭圆的标准方程.3.已知中心在原点的椭圆的右焦点为(1,0)F ，离心率等于12，求椭圆的标准方程.4.已知椭圆221:1124x y C +=，222:1168x y C +=，比较12C C 、哪个更圆，哪个更扁？并说明理由.5.椭圆的中心在原点，一个顶点是（0，2），离心率 23=e ，求椭圆的标准方程.。

椭圆的简单几何性质教学目标：1. 理解椭圆的定义及其基本性质。

2. 掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等几何参数的计算方法。

3. 能够运用椭圆的性质解决相关几何问题。

教学重点：1. 椭圆的定义及其基本性质。

2. 椭圆几何参数的计算方法。

教学难点：1. 椭圆性质的应用。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 尺子、圆规等绘图工具。

教学过程：一、导入1. 引导学生回顾圆的性质，提出问题：“如果将圆的半径缩小，圆的形状会发生什么变化？”2. 学生讨论并得出结论：圆的形状会变成椭圆。

二、新课讲解1. 引入椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。

2. 讲解椭圆的基本性质：a) 椭圆的两个焦点对称，且位于椭圆的长轴上。

b) 椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，短轴是垂直于长轴的线段。

c) 椭圆的半长轴a和半短轴b是椭圆的几何参数，焦距2c与a、b之间的关系为c^2=a^2-b^2。

3. 演示如何用尺子和圆规绘制椭圆，并引导学生动手实践。

三、案例分析1. 给出一个椭圆，让学生计算其长轴、短轴和焦距。

2. 学生分组讨论并解答，教师巡回指导。

四、课堂练习1. 布置课堂练习题，让学生运用椭圆的性质解决问题。

2. 学生独立完成练习题，教师批改并给予反馈。

五、总结与拓展1. 总结本节课所学的椭圆的基本性质和几何参数的计算方法。

2. 提出拓展问题：“椭圆在实际应用中有什么意义？”，引导学生思考和探索。

教学反思：本节课通过导入、新课讲解、案例分析、课堂练习和总结与拓展等环节，使学生掌握了椭圆的基本性质和几何参数的计算方法。

在教学过程中，注意引导学生主动参与、动手实践，提高学生的学习兴趣和积极性。

通过课堂练习和拓展问题，培养学生的思维能力和解决问题的能力。

但在教学过程中，也要注意对学生的个别辅导，确保每个学生都能跟上教学进度。

六、椭圆的离心率1. 引入离心率的定义：椭圆的离心率e是焦距c与半长轴a之比，即e=c/a。

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.1.2椭圆的几何性质》导学案【学习目标】1.理解椭圆的范围、对称性、顶点、长轴长及短轴长；2.掌握椭圆的离心率及c b a ,,的几何意义；3.会应用椭圆的简单几何性质解题.【重点难点】椭圆的简单几何性质及其应用 ；椭圆离心率【学习过程】一、问题情景导入1. 我们知道圆222R y x =+有边长为R 2外切正方形，圆上所有的点都在这个正方形的范围内，同样，椭圆12222=+by a x ()0>>b a 也有一个外切矩形，这个矩形的长为a 2，宽为b 2，椭圆上所有的点都在这个矩形的范围之内.2.圆是中心对称图形又是轴对称图形.同样地，椭圆是中心对称图形，又是轴对称图形.3.圆上的各点到圆心的距离相等，而椭圆上的各点到椭圆的中心距离有最大，也有最小.4.有些椭圆很扁平，有些椭圆凸的很接近圆，描述这种“扁”与“凸”的性质时，专门有个几何量，叫椭圆的离心率.二、自学探究：(阅读课本第37-42页，完成下面知识点的梳理)思考：⑴ 椭圆12222=+bx a y ()0>>b a 时，其性质如何？ ⑵椭圆的离心率的范围是什么？为什么？⑶离心率e 的大小与椭圆的扁或圆的关系是怎样的？三、例题演练：例1、求椭圆4x 2+9y 2=36的长长轴和短轴长、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形.例2 在我国某卫星发射基地升空的“探测一号”赤道星，运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，其近地点与地球表面相距555km ，远地点与地球表面相距74051km .已知地球半径约为6371km ，求“探测一号”星运行轨道的近似方程(长短半轴长精确到1km ).例3 有一椭圆形溜冰场，长轴长100m ，短轴长60m .现要在这溜冰场上划定一个顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个矩形区域面积最大，那么应把这个矩形的顶点定在何处？这时矩形的面积是多少？【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1.求下列椭圆的焦点坐标：⑴13610022=+y x ；⑵8222=+y x .2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，31,6==e a ； ⑵焦点在y 轴上，53,3==e c .；3.⑴若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为______________.⑵若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为______________. ⑶若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率为______________. ⑷若椭圆19822=++y k x 的离心率为21，则： k =_____ ⑸若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，则其离心率e =__________。

椭圆的简单几何性质教学目标：1. 理解椭圆的定义及其基本几何性质。

2. 学会运用椭圆的性质解决相关问题。

3. 培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。

教学内容：1. 椭圆的定义2. 椭圆的焦点3. 椭圆的长轴和短轴4. 椭圆的离心率5. 椭圆的面积教学准备：1. 教学课件或黑板2. 椭圆模型或图片3. 直尺、圆规等绘图工具教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入椭圆的概念，展示椭圆模型或图片，让学生观察并描述椭圆的特点。

2. 引导学生思考：椭圆与其他几何图形（如圆、矩形等）有什么不同？二、椭圆的定义（10分钟）1. 给出椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和等于常数的点的集合。

2. 解释椭圆的焦点概念，说明焦点的作用。

3. 引导学生通过实际操作，绘制一个椭圆，并标记出焦点。

三、椭圆的焦点（10分钟）1. 介绍椭圆的焦点与椭圆的离心率的关系。

2. 引导学生通过实际操作，观察焦点的位置与椭圆的形状之间的关系。

3. 解释椭圆的离心率的定义及其几何意义。

四、椭圆的长轴和短轴（10分钟）1. 介绍椭圆的长轴和短轴的概念。

2. 引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的长轴和短轴的长度。

3. 解释长轴和短轴与椭圆的形状之间的关系。

五、椭圆的面积（10分钟）1. 介绍椭圆的面积的计算公式。

2. 引导学生通过实际操作，计算一个给定椭圆的面积。

3. 解释椭圆面积与长轴和短轴之间的关系。

教学评价：1. 通过课堂讲解和实际操作，学生能够理解椭圆的定义及其基本几何性质。

2. 通过解决问题和完成作业，学生能够运用椭圆的性质解决相关问题。

3. 通过课堂讨论和提问，学生能够展示对椭圆的理解和应用能力。

六、椭圆的离心率（10分钟）1. 回顾椭圆的离心率的定义和计算方法。

2. 引导学生通过实际操作，观察离心率与椭圆的形状之间的关系。

3. 解释离心率在几何中的应用，如椭圆的焦点和直线的交点等。

七、椭圆的参数方程（10分钟）1. 介绍椭圆的参数方程及其意义。

2.1.2椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程□01x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)□02y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围□03－a≤x≤a且－b≤y≤b□04－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点□05A(±a,0)，B(0，±b)□06A(0，±a)，B(±b,0)轴长短轴长＝□072b，长轴长＝□082a焦点□09(±c,0)□10(0，±c)焦距|F1F2|＝□112c对称性对称轴□12x轴、y轴，对称中心□13(0,0)离心率e＝□14c a(0<e<1)1．椭圆几何性质的应用(1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据a，b的值可确定其性质．(2)明确a，b的几何意义，a是长半轴长，b是短半轴长，不要与长轴长、短轴长混淆，由c2＝a2－b2，可得“已知椭圆的两个顶点，求焦点”的几何作图法，只要以短轴的端点B1(或B2)为圆心，以a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是焦点．(3)如图所示椭圆中的△OF2B2中，a，b，c，e对应的线段或量为a＝|F2B2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|，e＝ca＝|OF2||F2B2|＝cos∠OF2B2.(4)若椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则椭圆与x轴的交点A1，A2到焦点F2的距离分别最大和最小，且|A1F2|＝a＋c，|A2F2|＝a－c.2．椭圆的离心率对椭圆形状的影响椭圆的焦距与长轴长的比称作椭圆的离心率，记作e＝2c2a＝ca.∵a>c>0，∴0<e<1.e越接近于1，则c就越接近于a，从而b＝a2－c2越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆，当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合，这时图形就变为圆，此时方程即为x2＋y2＝a2.3．利用方程研究曲线对称性的方法若把曲线方程中的x换成－x，y换成－y，方程不变，则曲线关于原点对称；若把曲线方程中的y换成－y，方程不变，则曲线关于x轴对称；若把曲线方程中的x换成－x，方程不变，则曲线关于y轴对称．4．点P(x0，y0)和椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的关系(1)P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2<1；(2)P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；(3)P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2>1.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长等于a.()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.()(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．()答案(1)×(2)√(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)椭圆x2＋9y2＝36的短轴的端点为________．(2)椭圆x24＋y29＝1的离心率e＝________.(3)设P(m，n)是椭圆x225＋y29＝1上任意一点，则m的取值范围是________．答案(1)(0,2)，(0，－2)(2)53(3)[－5,5]探究1 椭圆的简单几何性质例1 已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标．[解] 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1，∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >mm ＋3.∴椭圆焦点在x 轴上．∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3.由e ＝32得，m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2；短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0；四个顶点分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.拓展提升1.用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置． (3)求出a ，b ，c .(4)写出椭圆的几何性质．2．根据椭圆的几何性质求标准方程此类问题通常采用待定系数法，其步骤仍然是“先定型，后计算”，即首先确定焦点位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数．【跟踪训练1】 (1)求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标；解 椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)． (2)求适合下列条件的椭圆的标准方程． ①长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5,0)； ②离心率e ＝35，焦距为12.解 ①若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎨⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1，故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由题意，得⎩⎨⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5，故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1.②由e ＝c a ＝35，2c ＝12，得a ＝10，c ＝6， ∴b 2＝a 2－c 2＝64.当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 2100＋x 264＝1. 综上所述，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1. 探究2 椭圆的离心率问题例2 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34[解析] 不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c,0)，b >0，c >0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bc b 2＋c 2＝14×2b ，解得b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以c 2a 2＝14，即e 2＝14，所以e ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＝－12舍去.故选B.[答案] B[解法探究] 例2有没有其他解法呢？ 解 如图，由题意得在椭圆中，OF ＝c ，OB ＝b ，OD ＝14×2b ＝12b ，BF ＝a .在Rt △OFB 中，|OF |·|OB |＝|BF |·|OD |，即c ·b ＝a ·12b ，解得c a ＝12，所以椭圆的离心率e ＝12.拓展提升求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca 求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．【跟踪训练2】 (1)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22答案 C解析 设P (m ，n )，PF 1→·PF 2→＝c 2＝(－c －m ，－n )·(c －m ，－n )＝m 2－c 2＋n 2，∴m 2＋n 2＝2c 2,2c 2－m 2＝n 2①，把P (m ，n )代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1得b 2m 2＋a 2n 2＝a 2b 2②，把①代入②得m 2＝a 2b 2－2a 2c 2b 2－a 2≥0，∴a 2b 2≤2a 2c 2，∴b 2≤2c 2，∴a 2≤3c 2，∴e ＝c a ≥33.又m 2＝a 2b 2－2a 2c 2b 2－a 2≤a 2，∴a 2≥2c 2，∴e ＝c a ≤22.综上知此椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.故选C.(2)已知F 1为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB (O 为椭圆中心)时，求椭圆的离心率．解 解法一：由已知可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，c 2＝a 2－b 2，F 1(－c,0)，∵PF 1⊥F 1A ， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 1－c 2a 2，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ， ∵AB ∥PO ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，∴b ＝c ，∴a 2＝2c 2，∴e ＝c a ＝22.解法二：由解法一知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，又△PF 1O ∽△BOA ，∴PF 1BO ＝F 1OOA ，∴b 2a b ＝c a ，即b ＝c ，∴a 2＝2c 2， ∴e ＝c a ＝22.探究3 直线与椭圆的位置关系例3 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.[解] (1)由已知，a ＝2b .又椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，故34b 2＋14b 2＝1，解得b 2＝1，所以a 2＝4， 所以椭圆E 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ＋m ，得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0， ① 方程①的判别式为Δ＝4(2－m 2)， 由Δ>0，即2－m 2>0，解得－2<m < 2. 由①得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2，所以M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ，m 2，直线OM 的方程为y ＝－12x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－12x ，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，22，D ⎝⎛⎭⎪⎫2，－22或C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－22，D ⎝⎛⎭⎪⎫－2，22，所以|MC |·|MD |＝52(－m ＋2)·52(2＋m )＝54(2－m 2)，又|MA |·|MB |＝14|AB |2＝14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2]＝516[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝516[4m 2－4(2m 2－2)]＝54(2－m 2)，所以|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.拓展提升1.利用设而不求的方法解决直线与椭圆位置关系问题的解题步骤 (1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (2)联立直线与椭圆的方程．(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程． (4)利用根与系数的关系设而不求．(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2，进而求解． 2．直线与椭圆相交弦长的有关问题(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式． (3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．【跟踪训练3】 (1)在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．解 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ，代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，显然y ＝32x －4距l 最近，d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813，切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－74.(2)已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(ⅰ)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (ⅱ)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解 (ⅰ)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52.(ⅱ)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(ⅰ)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2.所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x .探究4 椭圆的中点弦问题例4 已知椭圆x 216＋y 24＝1，过点P (2,1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程．[解] 解法一：如图，易知直线斜率存在，设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0，(*) 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是(*)方程的两个根， ∴x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.∵P 为弦AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2.解得k ＝－12，且满足Δ>0. ∴所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.解法二：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵P 为弦AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又∵A ，B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16. 两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12.∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)， 即x ＋2y －4＝0.解法三：设所求直线与椭圆的一交点为A (x ，y )，另一交点为B (4－x,2－y )，∵A ，B 在椭圆上，∴x 2＋4y 2＝16，① (4－x )2＋4(2－y )2＝16.②①－②得x ＋2y －4＝0，则A ，B 在直线x ＋2y －4＝0上，而过A ，B 的直线只有一条，∴所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 拓展提升解决椭圆中点弦问题的三种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P (x 0，y 0)，设其一交点为A (x ，y )，则另一交点为B (2x 0－x ，2y 0－y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，(2x 0－x )2a 2＋(2y 0－y )2b 2＝1，两式作差即得所求直线方程．这三种方法中又以点差法最为常用，点差法中体现的设而不求思想还可以用于解决对称问题，因为这类问题也与弦中点和斜率有关．与弦中点有关的问题有平行弦的中点轨迹、过定点且被定点平分的弦所在的直线方程等．这类问题的解决，从不同的角度体现了判别式、根与系数的关系、点差法、椭圆的性质、线段的垂直平分线的性质等知识在直线与椭圆的位置关系中的作用，解法多、方法活．【跟踪训练4】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解 (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证法一：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得 (2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． 证法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 218＋y 214＝1，①x 228＋y 224＝1，②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)8＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－4(x 1＋x 2)8(y 1＋y 2)＝－12·x My M .又k OM ＝y M x M，∴k AB ·k OM ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．1.求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法；(2)方程法.2.判断直线与椭圆的位置关系的方法3.求弦长的两种方法(1)求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解； (2)结合根与系数的关系，利用弦长公式 l ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] 或l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]求解. 4.两个特殊结论(1)如图，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦|AB |＝2b 2a ，称为通径. (2)椭圆上的点到一焦点的最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c . 5.解决椭圆中点弦问题的三种方法(1)根与系数的关系法. (2)点差法. (3)共线法.1．椭圆4x 2＋49y 2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．7,2，357 B ．14,4，357 C ．7,2，57 D ．14,4，－57答案 B解析 先将椭圆方程化为标准形式：x 249＋y 24＝1，其中b ＝2，a ＝7，c ＝35，则2a ＝14,2b ＝4，e ＝c a ＝357.故选B.2．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－2<a < 2 B ．a <－2或a > 2 C ．－2<a <2 D ．－1<a <1 答案 A解析 由已知可得a 24＋12<1，∴a 2<2，即－2<a < 2.3．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.52B.33C.12D.13 答案 B解析 ∵PF 1⊥F 1F 2，F 1F 2＝2c ，∠F 1PF 2＝60°，∴|PF 1|＝233c ，|PF 2|＝433c ，∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴233c ＋433c ＝2a ，得e ＝c a ＝33.4．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13解析 把y ＝x ＋1代入椭圆方程，整理得3x 2＋4x －2＝0，所以弦的中点坐标(x 0，y 0)满足x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝－23＋1＝13，所以中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13.5．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解 直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，x 24＋y 22＝1，消去y ，得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.①方程①的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程①有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．A 级：基础巩固练一、选择题1．已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则( ) A ．C 1与C 2顶点相同 B ．C 1与C 2长轴长相同 C ．C 1与C 2短轴长相同 D ．C 1与C 2焦距相等答案 D解析 由两个椭圆的标准方程可知，C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为4 2.故选D.2．椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为( )A.x 22＋y 22＝1B.x 22＋y 2＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.y 24＋x 22＝1答案 C解析 设椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，则由题意得|AF 1|＝|AF 2|＝a ＝2，|F 1F 2|＝22，c ＝b ＝2，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 22＝1.3．若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( ) A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33 答案 C解析 把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0，由于Δ＝0，∴k 2＝23，∴k ＝±63.4．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|为( )A.32B. 3C.72 D ．4 答案 C解析 ∵|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|＝b 2a ＝12，∴|PF 2|＝4－12＝72.5．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 答案 C解析 由MF 1→·MF 2→＝0知MF 1⊥MF 2，∴椭圆上的点均满足∠F 1MF 2<90°，∴只需F 1，F 2与短轴端点形成的角为锐角，所以c <b ⇒c 2<b 2＝a 2－c 2，即2c 2<a 2，解得e ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22.6．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)的位置( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能 答案 A解析 由e ＝12知c a ＝12，a ＝2c .由a 2＝b 2＋c 2得b ＝3c ，代入ax 2＋bx －c ＝0，得2cx 2＋3cx －c ＝0，即2x 2＋3x －1＝0，则x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝74<2.二、填空题7．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C 的标准方程为________．答案 x 24＋y 23＝1解析 由题意可知a ＋c ＝3，a －c ＝1，解得a ＝2，c ＝1，则b 2＝3，又焦点在x 轴上，∴椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.8．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．答案 6解析 由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)，O (0,0)．设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14x 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.9．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A 和B ，右焦点为F .若|AF |，|AB |,3|BF |成等比数列，则该椭圆的离心率为________．答案3－52解析 ∵|AF |＝a －c ，|AB |＝a 2＋b 2，3|BF |＝3a ，∴由|AF |·3|BF |＝|AB |2得，a 2＋b 2＝3a (a －c )， ∵b 2＝a 2－c 2，∴c 2－3ac ＋a 2＝0，则e 2－3e ＋1＝0，解得e ＝3－52或e ＝3＋52(舍去)．三、解答题10．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝13，又知椭圆上一点M ，它的横坐标等于焦点的横坐标，纵坐标是4，求此椭圆的方程．解 ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵e ＝c a ＝13，∴a ＝3c .∵b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝9c 2－c 2＝8c 2. 又∵M (c,4)在椭圆上，∴c 29c 2＋168c 2＝1， 解之得c 2＝94， ∴a 2＝814，b 2＝18， ∴所求椭圆的方程为x 2814＋y 218＝1.B 级：能力提升练1．焦点分别为(0,52)和(0，－52)的椭圆截直线y ＝3x －2所得弦的中点的横坐标为12，求此椭圆的方程．解 解法一：设椭圆的方程为x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)，且a 2－b 2＝(52)2＝50.①由⎩⎨⎧x 2b 2＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2，消去y 得(a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋4b 2－a 2b 2＝0.设弦两端点横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝12b 2a 2＋9b 2. ∵x 1＋x 22＝12，∴6b 2a 2＋9b 2＝12， 即a 2＝3b 2.②由①②得a 2＝75，b 2＝25，此时Δ>0. ∴椭圆的方程为x 225＋y 275＝1.解法二：设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线y ＝3x －2与椭圆交于A ，B 两点，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21a 2＋x 21b 2＝1， ①y 22a 2＋x 22b 2＝1.②①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)a 2＝－(x 1＋x 2)(x 1－x 2)b 2，即y 1－y 2x 1－x 2＝a 2(x 1＋x 2)－b 2(y 1＋y 2)＝－a 2(x 1＋x 2)b 2(y 1＋y 2). ∵k AB ＝3，AB 中点为(x 0，y 0)，x 0＝12，y 0＝－12， ∴3＝－a 2b 22×122×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝a 2b 2，即a 2＝3b 2.又a 2－b 2＝(52)2＝50， ∴a 2＝75，b 2＝25， ∴椭圆方程为y 275＋x 225＝1.数学•选修1－12．如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．解 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12. (2)直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )． 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c . 所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝a 2－c 2＝32a ＝5 3.。

2.2.2《椭圆的简单几何性质》导学案【学习目标】1.了解用方程的方法研究图形的对称性；2.理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；3.掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的几何性质解决实际问题.【导入新课】复习导入1. 椭圆的定义；椭圆的标准方程的推导；2. 椭圆的标准方程中字母,a b 的大小与其焦点的位置情况的判断.新授课阶段1.椭圆的简单几何性质①范围：由椭圆的标准方程可得，222210y x b a=-≥，进一步得 ，同理可得： 即椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框图里；②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以 为对称轴， 为对称中心；③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对轴与称圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做 ，较短的叫做 ；④离心率： 椭圆的焦距与长 轴长的比 叫做椭圆的离心率.1,0e c a b →→→⎧⎨⎩当时 椭圆图形越扁；⎩⎨⎧→→→椭圆越接近于圆时当a ，b ，c e 00 ． 注：离心率的取值范围为 .2.椭圆性质的运用例1 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量.解：依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有,,a b m =，=，得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有a b c ===，253m =⇒=. 例2过椭圆C ：)0(12222>>=+b a bx a y 上一点P 引圆O ：222b y x =+的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点.（1）设),(00y x P ，且000≠y x ，求直线AB 的方程；（2）若椭圆C 的短轴长为8，且1625||||2222=+ON b OM a ，求此椭圆的方程；（3）试问椭圆C 上是否存在满足PA → ·PB → =0的点P ，说明理由.解：（1）直线AB 的方程：)0(00200≠=+y x b y y x x ；（2）椭圆C 的方程：)0(1251622≠=+xy y x ； （3）假设存在点),(00y x P 满足PA → ·PB → =0，连结OA 、OB ，由|PA|=|PB|，知四边形PAOB 为正方形， |OP|=2|OA| ， ∴220202b y x =+. ①又P 在椭圆上，∴22202202b a y b x a =+ . ② 由①②得2222220)2(b a b a b x --=，222220b a b a y -=. ∵0>>b a ， ∴22b a >.∴当0222>≥b a 即b a 2≥时，椭圆C 上存在点P 满足题设条件； 当222b a <即b a b 2<<时，椭圆C 上不存在满足题设的点P.课堂小结1.掌握椭圆的简单几何性质；2.能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；3.理解已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性.作业见同步练习部分拓展提升1．点(31)P -，在椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的左准线上，过点P 且方向为(25)a =-，的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A B ．13 C ．12 2．一个中心在原点的椭圆，其一条准线的方程是x=4，对应的焦点F （2，0），则椭圆的方程是 .3．已知AB 是过椭圆22419x y +=左焦点F 1的弦，且|AF 2|＋|BF 2|=4，其中F 2为椭圆的右焦点，则弦AB 的长是 .4．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 .5．把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等分，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1，P 2，…，P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，求|PF 1|＋|PF 2|＋…＋|PF 7|的值.6．在直角坐标平面内，已知两点A （－3，0）及B （3，0），动点P 到点A 的距离为8，线段BP 的垂直平分线交AP 于点Q .（1）求点Q 的轨迹T 的方程；（2）若过点B 且方向向量为（－1，3）的直线l ，与（1）中的轨迹T 相交于M 、N 两点，试求△AMN 的面积.7．已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是F （－m,0）(m 是大于0的常数). (1)求椭圆的方程；(2)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M. =，求直线l 的斜率.8.已知点P 是⊙O ：229x y +=上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ,动点Q 满足23DQ DP =. （1）求动点Q 的轨迹方程；（2）已知点(1,1)E ，在动点Q 的轨迹上是否存在两个不重合的两点M 、N ，使1()2OE OM ON =+ (O 是坐标原点)，若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，请说明理由.参考答案1.椭圆的简单几何性质a x a -≤≤b y b -≤≤ x 轴和y 轴，原点 长轴，短轴；ac e = 10<<e .2.椭圆性质的运用例1分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量．解：依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有,,a b m =，=，得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有a b c ===，2553m =⇒=. 例2 解：（1）直线AB 的方程：)0(00200≠=+y x b y y x x ；（2）椭圆C 的方程：)0(1251622≠=+xy y x ； （3）假设存在点),(00y x P 满足PA → ·PB → =0，连结OA 、OB ，由|PA|=|PB|，知四边形PAOB 为正方形， |OP|=2|OA| ， ∴220202b y x =+ .①又P 在椭圆上，∴22202202b a y b x a =+ . ② 由①②得2222220)2(b a b a b x --=，222220b a b a y -=. ∵0>>b a ， ∴22b a > .∴当0222>≥b a 即b a 2≥时，椭圆C 上存在点P 满足题设条件； 当222b a <即b a b 2<<时，椭圆C 上不存在满足题设的点P.拓展提升 1．A 【解析】求出入射光线所在直线方程及椭圆焦点坐标准线方程.2．221164x y +=【解析】直接用公式. 3．2【解析】数形结合用定义.4．4 3 【解析】用椭圆定义.5．35【解析】用焦半径公式：|PF i |= a ＋ex i .6．解：（1）由于QB=QP ，故AQ+BQ=AP ＞AB ，Q 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆. 其中2a=8,a=4,a 2=16, c=3,c 2=9, b 2=a 2－c 2=7， 椭圆方程为171622=+y x . （2）∵l 过点B 且方向向量为（－1，3），∴l 的方程为y=－3（x －3）. 将直线方程代入椭圆方程化简得：55x 2－288x ＋320=0， x 1+x 2=55288,x 1x 2=55320. |x 1－x 2|=212214)(x x x x -+=55112， |MN |=2)3(1-+|x 1－x 2|=55224 . A 到MN 的距离333136=+=d .S △AMN =55333621=MN d . 7．分析：（1）直接求出a 、b ，用m 表示；（2）F 是MQ 的中点.答案：（1） 2222143x y m m +=； （2）k =±0. 8.解：（1）设()00(,),,P x y Q x y ，依题意，则点D 的坐标为0(,0)D x ，00(,),(0,)DQ x x y DP y =-=，又 23DQ DP =， ∴ 00000,,23,.32x x x x y y y y -==⎧⎧⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩即 ∵ P 在⊙O 上，故22009x y +=， ∴ 22194x y +=. ∴ 点Q 的轨迹方程为221.94x y += （2）假设椭圆22194x y +=上存在两个不重合的两点()1122(,),,M x y N x y 满足 1()2OE OM ON =+，则(1,1)E 是线段MN 的中点，且有121212121,2,2 2.1,2x x x x y y y y +⎧=⎪+=⎧⎪⎨⎨++=⎩⎪=⎪⎩即 又 ()1122(,),,M x y N x y 在椭圆22194x y +=上， ∴ 221122221,941,94x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减，得 ()()()()12121212094x x x x y y y y -+-++=. ∴ 121249MN y y k x x -==--. ∴ 直线MN 的方程为 49130x y +-=.∴ 椭圆上存在点M 、N 满足1()2OE OM ON =+，此时直线MN 的方程为 49130x y +-=.。

§2.2.2 椭圆及其简单几何性质（1）学习目标1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．学习过程一、课前准备复习1：椭圆2211612x y+=上一点P到左焦点的距离是2，那么它到右焦点的距离是．复习2：方程2215x ym+=表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是．二、新课导学学习探究问题1：椭圆的标准方程22221x ya b+=(0)a b>>，它有哪些几何性质呢？图形：范围：x：y：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比ca称为离心率，记cea=，且01e<<．试试：椭圆221169y x+=的几何性质呢？图形：范围：x：y：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：cea== ．反思：ba或cb的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？典型例题例1 求椭圆221625400x y+=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．变式：若椭圆是22981x y+=呢？小结：①先化为标准方程，找出,a b，求出c；②注意焦点所在坐标轴．例 2 点(,)M x y与定点(4,0)F的距离和它到直线25:4l x=的距离的比是常数45，求点M的轨迹．小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆．练一练练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x轴上，6a=，13e=；⑵焦点在y轴上，3c=，35e=；⑶经过点(3,0)P-，(0,2)Q-；⑷长轴长等到于20，离心率等于35．三、总结提升学习小结1 ．椭圆的几何性质：图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；2 ．理解椭圆的离心率．当堂检测1．若椭圆2215x ym+=的离心率105e=，则m的值是（）．A．3 B．3或253C ．15D ．15或51532．若椭圆经过原点，且焦点分别为1(1,0)F，2(3,0)F，则其离心率为（）．A．34B．23C．12D．143．短轴长为5，离心率23e=的椭圆两焦点为12,F F，过1F作直线交椭圆于,A B两点，则2ABF∆的周长为（）．A．3 B．6 C．12 D．244．已知点P是椭圆22154x y+=上的一点，且以点P及焦点12,F F为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标是．5．某椭圆中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是．6．比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？⑴22936x y+=与2211612x y+=；⑵22936x y+=与221610x y+=．7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴经过点(22,0)P-，(0,5)Q；⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P；⑶焦距是8，离心率等于0.8．§2.2.2 椭圆及其简单几何性质(2)学习目标1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质； 2．椭圆与直线的关系． 学习过程 一、课前准备复习1： 椭圆2211612x y +=的焦点坐标是（ ）（ ） ；长轴长 、短轴长 ；离心率 ．复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？二、新课导学 学习探究问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？反思：点与椭圆的位置如何判定？典型例题例1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ，已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =，试建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程．变式：若图形的开口向上，则方程是什么？小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ；②注意焦点所在坐标轴．例2 已知椭圆221259x y +=，直线l ：45400x y -+=。

椭圆的简单几何性质导学案（复习课）教学目标：1.深入了解椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质。

2.掌握a、b、c几何意义以及a、b、c、e 的相互关系。

3.能利用椭圆的有关知识解释实际问题。

4.贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质。

教学重、难点：重点：椭圆的简单几何性质。

难点：运用椭圆的几何性质解决有关椭圆的综合问题。

椭圆的标准方程及其几何性质：常见题型一:椭圆几何性质的简单应用例1 已知椭圆方程为16x 2+25y 2=400,它的长轴长是： 。

短轴长是：焦距是 。

离心率等于： 。

焦点坐标是： 。

顶点坐标是： 。

例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)与椭圆4x 2+9y 2=36有相同的焦点，且离心率为 55 ；(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点A （2，0）；练习：(1) 在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6，求椭圆的标准方程；(2) 椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离之比为1:4，短轴长为8，求椭圆的标准方程。

常见题型二：有关椭圆的离心率例3（1）已知椭圆C: 14222=+y a x 的一个焦点（2,0），求椭圆的离心率。

（2）若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，求椭圆的离心率.练习：1、若椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率．2. (13四川)从椭圆 22221(0)x y a b a b +=>>上一点Ｐ向ｘ轴作垂线，垂足恰为左焦点，A 是椭圆与ｘ轴正半轴的交点，Ｂ是椭圆与ｙ轴正半轴的交点，且 //AB OP ，Ｏ是坐标原点，则该椭圆离心率是（ ）Ａ．4 Ｂ． 12Ｃ．2 Ｄ.2目标测试：1. 椭圆以坐标轴为对称轴，离心率 e= 32，长轴长为6，则椭圆的方程为（ ）A. 1203622=+y xB.15922=+y xC.15922=+y x 或15922=+x yD.1203622=+x y 或1203622=+y x2.椭圆 12222=+b y a x 和 k b y a x =+2222 （k>0）具有（ ）A.相同的长轴B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的离心率思考： 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为21F F 、，如果椭圆上存在点P ，使︒=∠90PF F 21，求离心率e 的取值范围。

导学案—椭圆的简单几何性质12.2.2 椭圆的简单几何性质一、教学目标一）知识与技能1.熟悉椭圆的几何性质，包括对称性、范围、顶点和离心率；2.掌握标准方程中a、b、c的几何意义，以及a、b、c、e 的相互关系，能说明离心率的大小对椭圆形状的影响。

二）过程与方法培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力；运用数形结合思想解决实际问题的能力。

二、重点与难点重点：椭圆的几何性质。

难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质。

教材助读】研究椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的几何性质。

1.范围：椭圆位于直线$x=\pm a$和$y=\pm b$围成的矩形里。

2.对称性：椭圆关于$x$轴、$y$轴、原点都是对称的。

3.顶点：上述椭圆的四个顶点坐标分别是$(\pm a,0)$和$(0,\pm b)$。

4.离心率：椭圆的焦距与长轴长的比$e=\frac{c}{a}$。

请你将预中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决。

分组讨论，完成表格】问题一：椭圆曲线的定义是什么？问题二：“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的$x,y$取值范围是什么？其图形位置是怎样的？问题三：标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？问题四：椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？$a,b,c$的几何意义各是什么？问题五：观察不同的椭圆图，我们发现，椭圆的扁平程度不一，那么，用什么量可以刻画椭圆的扁平程度呢？它的范围如何？问题六：画椭圆草图的方法是怎样的？合作探究，例题点评】探究一：椭圆的简单几何性质例1、(1)求椭圆$16x^2+25y^2=400$的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。

(2)求椭圆$m^2x^2+4m^2y^2=1(m>0)$的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。