安徽省铜陵市高中数学第二章《圆锥曲线与方程》椭圆的简单几何性质1学案新人教A版选修21

§2.1.2椭圆的简单几何性质（一）【自主学习】阅读课本P-P 内容，完成导学案自主学习内容. 一．学习目标1．熟练掌握椭圆的简单几何性质2．掌握标准方程中c b a ,,的几何意义，以及e c b a ,,,的相互关系 3. 能利用椭圆的几何性质解决相关的问题 二．自主学习椭圆的标准方程及几何性质三．自主检测1.在同一坐标系中画出下列椭圆的简图：（1）2212516x y += （2）221925x y += 2.求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标： (1)221625400x y += (2)22981x y +=3. 长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)的椭圆的标准方程为答案：1.略；2.（1）长轴长：10；短轴长：8；离心率：35；焦点：(3,0),(3,0)-；顶点的坐标：(5,0),(5,0),(0,4),(0,4)--（2）长轴长：18；短轴长：6；离心率：3；焦点：(0,-；顶点的坐标：(0,9),(0,9),(3,0),(3,0)--3. 2219x y +=或221819y x +=§2.1.2椭圆的简单几何性质（一）【课堂检测】1、椭圆2266x y +=的长半轴长为 ，短轴长为 ，焦点坐标是 ，离心率为 。

2、椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，则k ＝ ，离心率是 。

3、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于（ ）A 、21B 、22C 、2D 、2【拓展探究】探究一：已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为e =m 的值探究二：椭圆22110064x y +=焦点为12F F 、，椭圆上的点P 满足1260F F ∠=︒P ，求12F F S ∆P【当堂训练】1、求满足下列条件的椭圆标准方程：（1）离心率为2，且过点(2,0)（2）长轴长是短轴长的2倍，且过点(2,6)-；2、椭圆2211625x y +=的焦点坐标是 ，离心率是 。

2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质学案新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质学案新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.1.2 第1课时椭圆的简单几何性质1。

掌握椭圆的简单几何性质,能用椭圆的简单几何性质求椭圆方程.(重点）2.掌握椭圆离心率的求法及a，b，c的几何意义。

（难点）3。

理解长轴长、短轴长、焦距与长半轴长、短半轴长、半焦距的概念。

（易混点）［基础·初探］教材整理椭圆的简单几何性质阅读教材P37观察～P40例4以上部分，完成下列问题。

1。

椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a顶点A1(－a,0），A2（a,0）B1(0，－b)，B2（0，b）A1（0，－a）,A2（0，a)B1(－b，0）,B2(b，0）轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点F1(－c，0），F2（c，0)F1(0，－c)，F2（0，c）焦距｜F1F2|＝2c对称性对称轴为坐标轴，对称中心为（0,0)离心率e＝错误!2.离心率性质离心率e的范围是(0，1).e越接近于1，椭圆越扁；e越接近于0,椭圆就越接近于圆。

2.2.2 椭圆的简单几何性质 (1学习目标:通过椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质 ; 掌握椭圆的几何性质并能应用性质解决简单的问题 .自主学习:椭圆的简单几何性质学习教材 P43-45内容 , 并填写下表 :思考 :1. 椭圆的离心率的大小与扁平程度的关系椭圆的离心率 e 越大 (越接近 1, 椭圆越 _______; 椭圆的离心率 e 越小 (越接近于 0, 椭圆越 ________.2. 椭圆 134:221=+y x C 与椭圆 11625:222=+y x C 哪个更扁 ? 为什么 ?自主学习 :例 1. 求椭圆 252522=+y x 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。

例 2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程 :(1 长轴长为 20, 离心率等于54;(2长轴长是短轴长的 2倍 , 且过点 (2,-6(3在 x 轴上的一个焦点与短轴的两端点的连线互相垂直 , 且焦距为 6的椭圆的标准方程为 ______________例 3. 若椭圆 12522=+y m x 的离心率为 31, 求 m 的值思维拓展 : 画出方程 25992x y -=表示的图形2.2.2 椭圆的简单几何性质 (1作业1. 椭圆 369422=+y x 的长轴长为 ______, 短轴长为 _____,离心率为______,焦点坐标 _______________2. 若椭圆的对称轴为坐标轴 , 长轴长与短轴长的和为 18, 焦距为 6, 则椭圆的方程为 _________________3. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程 :(1焦点在 x 轴上 , 31, 6==e a _______________ (2焦点在 y 轴上 , 53, 3==e c ______________ (3经过点 P(-3,0,Q(0,-2___ _______________(4短轴长为 8, 离心率为 53________________4. 若椭圆 1922=+k y x 的离心率为 43, 则 k 值为 _______ 5. 点 P 是椭圆 14522=+y x 上的一点 , 以点 P 及两焦点为顶点的三角形的面积等于 1, 则点 P 的坐标 ________6. 已知椭圆的中心在原点 , 焦点在 x 轴上 , 右焦点到短轴端点的距离为 2, 到右顶点的距离为 1, 求椭圆的方程 .。

安徽省长丰县高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2．2 椭圆的简单几何性质教案新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（安徽省长丰县高中数学第二章圆锥曲线与方程２．2．２椭圆的简单几何性质教案新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.2。

2 椭圆的简单几何性质学过程1．椭圆的定义是什么?2．椭圆的标准方程是什么？（二)几何性质根据曲线的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一。

1、范围即｜x|≤a,|y｜≤b，这说明椭圆在直线ｘ=±ａ和直线y＝±b所围成的矩形里，注意结合图形讲解，并指出描点画图时,就不能取范围以外的点．2．对称性先请大家阅读课本椭圆的几何性质2．设问：为什么“把ｘ换成-x，或把y换成-ｙ？，或把ｘ、y同时换成-x、-ｙ时，方程都不变,所以图形关于y轴、x轴或原点对称的”呢?事实上，在曲线的方程里,如果把x换成—x而方程不变,那么当点P(x,y)在曲线上时，点P关于y轴的对称点Ｑ（—x,y）也在曲线上,所以曲线关于ｙ轴对称.类似可以证明其他两个命题.同时向学生指出：如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种,那么它一定具有另一种对称．如:如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称．事实上，设P(x,y)在曲线上，因为曲线关于ｘ轴对称,所以点P1（x，—y）必在曲线上.又因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点对称点P２(—x，y）必在曲线上.因P（ｘ，y)、Ｐ２（－x，y)都在曲线上,所以曲线关于y轴对称.最后指出:ｘ轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心.3．顶点只须令x＝0，得ｙ=±b,点Ｂ1(0，-ｂ）、B2(0,b)是椭圆和y轴的两个交点;令ｙ=0，得x=±a,点A1（-a，0)、A2(a，0）是椭圆和x轴的两个交点．强调指出：椭圆有四个顶点A1（－ａ,0)、A2（ａ, 0)、Ｂ1（0,—b)、B2（0,b).教师还需指出：（１)线段A１A2、线段B1B２分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于２a和２b;(2)ａ、b的几何意义:ａ是长半轴的长，b是短半轴的长;这时,教师可以小结以下：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图,只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形．4．离心率教师直接给出椭圆的离心率的定义:等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e的几何意义．先分析椭圆的离心率ｅ的取值范围：∵a>ｃ＞０，∴０＜e＜１．再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响:（2)当ｅ接近0时，c越接近0,从而ｂ越接近a，因此椭圆接近圆；(3)当ｅ=0时,c=0,a＝b两焦点重合,椭圆的标准方程成为x2+y2＝a2,图形就是圆了.(三)应用为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法,给出如下例1．例、求椭圆16x2+2５ｙ2＝4０0的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形．本例前一部分请一个同学板演，教师予以订正,估计不难完成．后一部分由教师讲解,以引起学生重视,步骤是:(2)描点作图．先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆(图2-19)．要强调:利用对称性可以使计算量大大减少.板书设计2.２。

2.1 椭圆第1课时椭圆及其标准方程[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P32～P36的内容，回答下列问题．(1)阅读教材P32“探究”的内容，思考下列问题：①移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？提示：椭圆．②笔尖在移动的过程中，笔尖到两个定点F1和F2的距离之和是一个定值吗？提示：是．其距离之和始终等于线段的长度．(2)观察教材P33－图2.1－2.设M(x，y)，F1(－c，0)，F2(c，0)，且|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c)，则M点的轨迹方程是什么？提示：．(3)观察教材P34“思考”．设M(x，y)，F1(0，－c)，F2(0，c)，且|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c)，则M点的轨迹方程是什么？提示：．2．归纳总结，核心必记(1)椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的标准方程[问题思考](1)定义中，将“大于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”或“小于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示：当距离之和等于|F 1F 2|时，动点的轨迹就是线段F 1F 2;_当距离之和小于|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在．(2)如图，你能从中找出表示a ，b ，c 的线段吗？提示：a ＝|PF 2|，b ＝|OP |，c ＝|OF 2|． (3)确定椭圆的标准方程需要知道哪些量？ 提示：a ，b 的值及焦点的位置．[课前反思](1)椭圆的定义是： ； (2)椭圆的标准方程是： ； 特点： ；(3)在椭圆的标准方程中，a ，b ，c 之间的关系是： ．讲一讲1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2是它的焦点．过F 1的直线AB 与椭圆交于A 、B 两点，求△ABF 2的周长．[尝试解答] ∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，又∵△ABF 2的周长＝|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ， ∴△ABF 2的周长为4a .由椭圆的定义可知，点的集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }(其中|F 1F 2|＝2c )表示的轨迹有三种情况：当a >c 时，集合P 为椭圆；当a ＝c 时，集合P 为线段F 1F 2；当a <c 时，集合P 为空集．在利用椭圆的定义判断有关点的轨迹问题时一定要注意所给常数与已知两定点之间距离的大小关系．因为椭圆上的点与两个焦点构成一个三角形，所以可联系三角形两边之和大于第三边来帮助记忆．练一练1．已知命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a ，其中a 为大于0的常数；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若点P 的轨迹是椭圆，则一定有|PA |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)． 所以甲是乙的必要条件．反过来，若|PA |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)，当2a >|AB |时，点P 的轨迹是椭圆；当2a ＝|AB |时，点P 的轨迹是线段AB ；当2a <|AB |时，点P 的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件．综上可知，甲是乙的必要不充分条件．2．已知定点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝8，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段解析：选D 因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，所以动点P 的轨迹是线段F 1F 2.讲一讲2．(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32，求它的标准方程；(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，求椭圆的标准方程．[尝试解答] (1)法一：∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝210，∴a ＝10.又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6. ∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.法二：设标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧254a 2＋94b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝10，b 2＝6.∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1. (2)法一：当椭圆的焦点在x 轴上时，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，设所求椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0a 2＋4b 2＝1，1a 2＋0b2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.与a >b 矛盾，故舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.法二：设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． ∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行分类讨论，但要注意a >b >0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．练一练3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0)；(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26.解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．因为2a ＝（5＋3）2＋02＋（5－3）2＋02＝10，2c ＝6， 所以a ＝5，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16. 所以所求椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1. (2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．因为2a ＝26，2c ＝10， 所以a ＝13，c ＝5. 所以b 2＝a 2－c 2＝144. 所以所求椭圆的标准方程为y 2169＋x 2144＝1.讲一讲3．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程．[尝试解答] 由已知得圆M 的圆心为M (－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1，0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .动圆P 与圆M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆定义可知，曲线C 是以M 、N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．(2)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．练一练4．如图，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝16及点A (1，0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，求点M 的轨迹方程．解：由垂直平分线性质可知|MQ |＝|MA |，∴|CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |. ∴|CM |＋|MA |＝4.又|AC |＝2， ∴M 点的轨迹为椭圆．由椭圆的定义知，a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴所求轨迹方程为x 24＋y 23＝1.讲一讲4．如图所示，P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一点，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[思考点拨] 由余弦定理结合椭圆的定义求出|PF 1|，再代入三角形的面积公式求解． [尝试解答] 由已知a ＝2，b ＝3， 得c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|·cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|， ① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|. ② ②代入①解得|PF 1|＝65.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335.即△PF 1F 2的面积是335.对于椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1，F 2构成的△F 1PF 2，求其三角形的面积时注意整体思想的应用，如已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求出|PF 1|和|PF 2|，这样可以减少运算量．练一练5．将本讲中“∠PF 1F 2＝120°”改为“∠F 1PF 2＝60°”，求△PF 1F 2的面积． 解：由已知a ＝2，b ＝3， 得c ＝a 2－b 2＝4－3＝1. ∴|F 1F 2|＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos 60°，即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°. ∴4＝16－3|PF 1||PF 2|. ∴|PF 1||PF 2|＝4.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin 60°＝12×4×32＝ 3. ——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是椭圆的定义、标准方程的求法，以及与椭圆焦点有关的三角形问题． 2．对椭圆定义的理解易忽视“2a >2c ”这一条件，是本节课的易错点． 平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2； 当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在． 3．本节课要重点掌握的规律方法 (1)椭圆标准方程的求法，见讲2. (2)与椭圆有关的轨迹问题的求法，见讲3. (3)与椭圆焦点有关的三角形问题，见讲4.课时达标训练（六） [即时达标对点练]题组1 椭圆的标准方程 1．已知方程x 2k －4＋y 210－k＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．(4，10)B ．(7，10)C ．(4，7)D ．(4，＋∞)解析：选B 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k －4>0，10－k >0，k －4>10－k ，解得7<k <10.2．已知椭圆 x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1 D.x 26＋y 22＝1解析：选D 由题意知，椭圆焦点在x 轴上，且c ＝2，∴a 2＝2＋4＝6，因此椭圆方程为x 26＋y 22＝1，故选D.3．椭圆9x 2＋16y 2＝144的焦点坐标为________． 解析：椭圆的标准方程为x 216＋y 29＝1，∴a 2＝16，b 2＝9，c 2＝7，且焦点在x 轴上， ∴焦点坐标为(－7，0)，(7，0)． 答案：(－7，0)，(7，0)4．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a ＝2b ，则椭圆的标准方程为________．解析：∵c ＝23，a 2＝4b 2，∴a 2－b 2＝3b 2＝c 2＝12，b 2＝4，a 2＝16.又∵焦点在y 轴上，∴标准方程为y 216＋x 24＝1.答案：y 216＋x 24＝1题组2 与椭圆有关的轨迹问题5．已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线，垂足为P ′，则PP ′的中点M 的轨迹方程是( )A ．4x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 214＝1C.x 24＋y 2＝1 D ．x 2＋y 24＝1 解析：选A 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 02，y ＝y 0.∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴x 20＋y 20＝1. ①将x 0＝2x ，y 0＝y 代入方程①，得4x 2＋y 2＝1.6．已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．解：以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8，可知点B (－4，0)，C (4，0)．由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，|BC |＝8，得|AB |＋|AC |＝10.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，c ＝4.但点A 不在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．题组3 椭圆的定义及焦点三角形问题7．椭圆的两焦点为F 1(－4，0)、F 2(4，0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为________．解析：如图，当P 在y 轴上时△PF 1F 2面积最大，∴12×8b ＝12，∴b ＝3， 又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.答案：x 225＋y 29＝18．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4，0)和C (4，0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上．则sin A ＋sin Csin B＝________． 解析：由椭圆方程x 225＋y 29＝1知，a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，即点A (－4，0)和C (4，0)是椭圆的焦点．又点B 在椭圆上，∴|BA |＋|BC |＝2a ＝10，且|AC |＝8.于是，在△ABC 中，由正弦定理，得sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝54.答案：549．已知椭圆的焦点在x 轴上，且焦距为4，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若△PF 1F 2的面积为23，求点P 坐标． 解：(1)由题意知，2c ＝4，c ＝2， |PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝8， 即2a ＝8，∴a ＝4. ∴b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. ∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设点P 坐标为(x 0，y 0)， 依题意知，12|F 1F 2||y 0|＝23，∴|y 0|＝3，y 0＝± 3.代入椭圆方程x 2016＋y 2012＝1，得x 0＝±23，∴点P 坐标为(23，3)或(23，－3)或(－23，3)或(－23，－3)．[能力提升综合练]1．设定点F 1(0，－3)，F 2(0，3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a(a >0)，则点P的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 解析：选D ∵a ＋9a≥2a ·9a＝6， 当且仅当a ＝9a，即a ＝3时取等号，∴当a ＝3时，|PF 1|＋|PF 2|＝6＝|F 1F 2|， 点P 的轨迹是线段F 1F 2；当a >0，且a ≠3时，|PF 1|＋|PF 2|>6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是椭圆．2．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作x 轴的垂线与椭圆相交，一个交点为P ，则△PF 1F 2的面积等于( )A.32B. 3C.72D ．4解析：选A 如图所示，由定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，c ＝a 2－b 2＝3，又由PF 1⊥F 1F 2，可设点P 的坐标为(－3，y 0)，代入x 24＋y 2＝1，得|y 0|＝12，即|PF 1|＝12，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|＝32. 3．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1 B.x 212＋y 29＝1或 x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或 x 245＋y 248＝1 解析：选B 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，∴c ＝ 3. ∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， ∴a ＝2 3.∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.4．设F 1，F 2是椭圆C ：x 28＋y 24＝1的焦点，在曲线C 上满足的点P 的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．4 解析：选B ∵，∴PF 1⊥PF 2.∴点P 为以线段F 1F 2为直径的圆与椭圆的交点，且此圆的半径为c ＝8－4＝2. ∵b ＝2，∴点P 为该椭圆y 轴的两个端点．5．F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是________．解析：∵|OF 2|＝c ，∴由已知得3c24＝3，∴c 2＝4，c ＝2.设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由△POF 2为正三角形， ∴|x 0|＝1，|y 0|＝3，代入椭圆方程得1a 2＋3b2＝1.∵a 2＝b 2＋4，∴b 2＋3(b 2＋4)＝b 2(b 2＋4)， 即b 4＝12，∴b 2＝2 3. 答案：2 36．椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于________．解析：如图，设椭圆的右焦点为F 2，则由|MF 1|＋|MF 2|＝10，知|MF 2|＝10－2＝8.又因为点O 为F 1F 2的中点，点N 为MF 1的中点， 所以|ON |＝12|MF 2|＝4.答案：47．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．解：设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)． ∵F 1A ⊥F 2A ，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∴c 2＝25，即c ＝5. 即F 1(－5，0)，F 2(5，0)． 则2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32＝10＋90＝410. ∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15. 故所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.8．已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)当∠F 1PF 2＝60°时，求△F 1PF 2的面积； (2)当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 横坐标的取值范围．解：(1)由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4且F 1(－3，0)，F 2(3，0)．①在△F 1PF 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°.② 由①②得|PF 1|·|PF 2|＝43.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝33.(2)设点P (x ，y )，由已知∠F 1PF 2为钝角， 得即(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )<0.又y 2＝1－x 24， 所以34x 2<2，解得－263<x <263.所以点P 横坐标的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263.第2课时 椭圆的简单几何性质[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 37～P 40“探究”的内容，回答下列问题． 观察教材P 38－图2.1－7，思考以下问题：(1)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中x ，y 的取值范围各是什么？提示：－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ．(2)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的对称轴和对称中心各是什么？提示：对称轴为x 轴和y 轴，对称中心为坐标原点(0，0)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与坐标轴的交点坐标是什么？提示：与x 轴的交点坐标为(±a ，0)，与y 轴的交点坐标为(0，±b )． (4)椭圆的长轴和短轴分别对应图中的哪些线段？ 提示：长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2.(5)椭圆的离心率是什么？用什么符号表示？其取值范围是什么？ 提示：离心率e ＝c a；0<e <1.(6)如果保持椭圆的长半轴长a 不变，改变椭圆的短半轴长b 的值，你发现b 的变化与椭圆的扁圆程度有什么关系？提示：b 越大，椭圆越圆；b 越小，椭圆越扁． (7)根据离心率的定义及椭圆中a ，b ，c 的关系可知，e ＝c a ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以e 越接近于1，则c 越接近于a ，从而b ＝a 2－c 2就越小；e 越接近于0，则c 越接近于0，从而b 越接近于a .那么e 的大小与椭圆的扁圆程度有什么关系？提示：e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆． 2．归纳总结，核心必记 椭圆的简单几何性质续表[问题思考](1)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？ 提示：短轴端点B 1和B 2到中心O 的距离最近；长轴端点A 1和A 2到中心O 的距离最远． (2)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值各是何值？ 提示：点(a ，0)，(－a ，0)与焦点F 1(－c ，0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F 1的最大距离和最小距离，分别为a ＋c 和a －c ．(3)如何用a ，b 表示离心率？提示：由e ＝c a 得e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2，∴e ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. ∴e ＝1－b 2a2. [课前反思](1)椭圆的几何性质：；(2)椭圆的离心率与椭圆的扁圆程度的关系是： ．讲一讲1．求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． [尝试解答] 将椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2.∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5. ∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6，2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3，0)，A 2(3，0)，B 1(0，－2)，B 2(0，2)，离心率e ＝c a ＝53.解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．练一练1．求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解：椭圆的方程m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)， 可转化为x 21m 2＋y 214m 2＝1.∵m 2<4m 2， ∴1m 2>14m2， ∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距长c ＝32m .∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32m ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫32m ，0， 顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎪⎫0，－12m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12m .离心率e ＝ca ＝32m 1m＝32.讲一讲2．求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5，0)； (2)离心率e ＝35，焦距为12.[尝试解答] (1)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5.故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1.(2)由e ＝c a ＝35，2c ＝12，得a ＝10，c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝64.当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 2100＋x 264＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1.(1)根据椭圆的几何性质求标准方程，通常采用待定系数法，其步骤仍然是“先定型，后计算”，即首先确定焦点位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数．(2)在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论．一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定其所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长、焦距时，则不能确定焦点的位置，这时应对两种情况分别求解并进行取舍．练一练2．求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的2倍，且经过点A (2，3)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 解：(1)若椭圆的焦点在x 轴上，设标准方程为x 24b 2＋y 2b2＝1(b >0)，∵椭圆过点A (2，3)，∴1b 2＋9b2＝1，b 2＝10.∴方程为x 240＋y 210＝1.若椭圆的焦点在y 轴上．设椭圆方程为y 24b 2＋x 2b2＝1(b >0)，∵椭圆过点A (2，3)，∴94b 2＋4b 2＝1，b 2＝254. ∴方程为y 225＋4x225＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x 240＋y 210＝1或y 225＋4x225＝1.(2)由已知⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.讲一讲3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－c ，0)，A (－a ，0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，求椭圆的离心率e .[尝试解答] 由A (－a ，0)，B (0，b )， 得直线AB 的斜率为k AB ＝b a，故AB 所在的直线方程为y －b ＝b ax ，即bx －ay ＋ab ＝0. 又F 1(－c ，0)，由点到直线的距离公式可得d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b7，∴7·(a －c )＝a 2＋b 2.又b 2＝a 2－c 2，整理，得8c 2－14ac ＋5a 2＝0，即8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－14c a ＋5＝0.∴8e 2－14e ＋5＝0.解得e ＝12或e ＝54(舍去)．综上可知，椭圆的离心率e ＝12.求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c ，可直接利用e ＝c a求解．若已知a ，b 或b ，c ，可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝c a求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．练一练3．如图，已知F 1为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的一点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB (O 为椭圆的中心)时，求椭圆的离心率．解：由已知可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则由题意可知P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵△PF 1O ∽△BOA ， ∴PF 1BO ＝F 1OOA. ∴b 2a b ＝ca，即b ＝c ， ∴a 2＝2c 2， ∴e ＝c a ＝22.——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是椭圆的几何性质及椭圆离心率的求法，难点是求椭圆的离心率． 2．由椭圆的几何性质求标准方程时易忽视椭圆的焦点位置，这也是本节课的易错点． 3．本节课要重点掌握的规律方法(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式，见讲1. (2)根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法，见讲2.(3)求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用，见讲3.课时达标训练（七） [即时达标对点练]题组1 由椭圆的标准方程研究几何性质1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是 ( ) A ．5、3、0.8 B ．10、6、0.8 C ．5、3、0.6 D ．10、6、0.6解析：选B 把椭圆的方程写成标准方程为x 29＋y 225＝1，知a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴2a ＝10，2b ＝6，c a＝0.8.2．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )A ．(±13，0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：选D 由题意知，其焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69.3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( )A ．a 2＝25，b 2＝16 B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25 D ．a 2＝25，b 2＝9解析：选D 因为椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9.题组2 由椭圆的几何性质求标准方程4．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1B.x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 解析：选A 因为2a ＝18，2c ＝13×2a ＝6，所以a ＝9，c ＝3，b 2＝81－9＝72.5．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8解析：选D 由题意得m －2>10－m 且10－m >0，于是6<m <10，再由(m －2)－(10－m )＝22，得m ＝8.6．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，两个焦点分别为F 1和F 2，椭圆G 上一点到F 1和F 2的距离之和为12.则椭圆G 的方程为_______________________．解析：依题意可设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，a >b >0，半焦距为c ， ∵椭圆G 的离心为率为32， ∴c a ＝32⇒c ＝32a . ∵椭圆G 上一点到F 1和F 2的距离之和为12， ∴2a ＝12⇒a ＝6.∴c ＝33，b ＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝1题组3 椭圆的离心率7．椭圆x 2＋4y 2＝4的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.23解析：选A 化为标准方程为x 24＋y 2＝1，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，∴e ＝c a ＝32.8．椭圆的短半轴长为3，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为( ) A.513 B.35 C.45 D.1213解析：选C 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，a －c ＝9，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，a ＋c ＝9.当a －c ＝9时，由b 2＝9得a 2－c 2＝9＝(a －c )(a ＋c )，a ＋c ＝1，则a ＝5，c ＝－4(不合题意)．当a ＋c ＝9时，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，c ＝4，故e ＝45.9．A 为y 轴上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，△AF 1F 2为正三角形，且AF 1的中点B 恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．解：如图，连接BF 2.∵△AF 1F 2为正三角形， 且B 为线段AF 1的中点， ∴F 2B ⊥AF 1.又∵∠BF 2F 1＝30°，|F 1F 2|＝2c ， ∴|BF 1|＝c ，|BF 2|＝3c ， 根据椭圆定义得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 即c ＋3c ＝2a ， ∴ca＝3－1.∴椭圆的离心率e 为3－1.[能力提升综合练]1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 解析：选A 由题意可得21m ＝2×2，解得m ＝14.2．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.52B.33 C.12 D.13解析：选B 记|F 1F 2|＝2c ，则由题设条件，知|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c 3，则椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝2c 2c 3＋4c 3＝33.3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若，则椭圆的离心率是( )A.32 B.22 C.13D.12解析：选D又∵PO ∥BF ，∴|PA ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即aa ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12. 4．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________． 解析：椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，因此可设待求椭圆为x 2m ＋y 2m ＋5＝1.又b ＝25，故m ＝20，得x 220＋y 225＝1.答案：x 220＋y 225＝15．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过P (－5，4)，则椭圆的方程为________．解析：∵e ＝c a ＝55， ∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15， ∴5a 2－5b 2＝a 2即4a 2＝5b 2.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a2＝1(a >0)，∵椭圆过点P (－5，4)，∴25a 2＋5×164a2＝1. 解得a 2＝45.∴椭圆方程为x 245＋y 236＝1. 答案：x 245＋y 236＝16．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．因为，所以MF 1⊥MF 2，所以点M 的轨迹是以O 为圆心，c 为半径的圆． 因为点M 总在椭圆内部，所以c <b ， 所以c 2<b 2＝a 2－c 2，所以2c 2<a 2，所以e 2<12，所以0<e <22.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 7．中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆上有M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，432，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，2两点，求椭圆的标准方程．解：当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0).将点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，432，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，2代入上式，得 ⎩⎪⎨⎪⎧12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4322b2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－3222a 2＋（2）2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝4.此时椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1.当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．将点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，432，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，2代入上式得 ⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫4322a 2＋12b2＝1，（2）2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3222b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝9.因为a >b >0，所以舍去， 所以椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1.8．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，由m >0，易知m >mm ＋3，∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3. ∴c ＝a 2－b 2＝ m （m ＋2）m ＋3.由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1， ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1， 两焦点坐标分别为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0， 顶点坐标分别为A 1(－1，0)，A 2(1，0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.第3课时 直线与椭圆的位置关系(习题课)[思考1] 判断直线与圆的位置关系有哪几种方法？名师指津：(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与圆的半径的大小关系判断，d＝r⇔相切；d>r⇔相离；d<r⇔相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，利用方程组解的个数判断．[思考2] 能否利用判断直线与圆的位置关系的方法判断直线与椭圆的位置关系？名师指津：不能采用几何法，但是可以利用代数法判断直线与椭圆的位置关系．[思考3] 已知直线l和椭圆C的方程，如何判断直线与椭圆的位置关系？名师指津：判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离．讲一讲1．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.问m为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离．[尝试解答] 将y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，消去y整理得5x2＋2mx＋m2－1＝0.Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2.当Δ＝0时，得m＝±52，直线与椭圆相切；当Δ>0时，得－52<m<52，直线与椭圆相交；当Δ<0时，得m<－52或m>52，直线与椭圆相离．判断直线与椭圆的位置关系的方法练一练1．若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆 x 25＋y 2m ＝1总有公共点，求m 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 25＋y 2m＝1，消去y ，整理得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0，所以Δ＝100k 2－20(m ＋5k 2)(1－m )＝20m (5k 2＋m －1)， 因为直线与椭圆总有公共点， 所以Δ≥0对任意k ∈R 都成立， 因为m >0，所以5k 2≥1－m 恒成立， 所以1－m ≤0， 即m ≥1.又因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以0<m <5， 综上，1≤m <5，即m 的取值范围是[1，5)．[思考1] 若直线l 与圆C 相交于点A ，B ，如何求弦长|AB |?名师指津：(1)利用r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22求解；(2)利用两点间的距离公式求解；(3)利用弦长[思考2] 若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如何求|AB |的值？讲一讲2．已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4，2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．[尝试解答] (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18.于是|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（x 1－x 2）2＋14（x 1－x 2）2＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)法一：设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 29＝1，y －2＝k （x －4），消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4，2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k2＝4，解得k ＝－12，且满足Δ>0.这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0，整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9（x 2＋x 1）36（y 2＋y 1）， 由于P (4，2)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.(1)弦长公式设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2， 所以|AB |＝（x 1－x 2）2＋（kx 1－kx 2）2＝1＋k 2·（x 1－x 2）2 ＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2， 或|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y 1－1k y 22＋（y 1－y 2）2＝1＋1k 2·（y 1－y 2）2＝1＋1k2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y 或x 后得到关于x 或y 的一元二次方程得到．(2)解决椭圆中点弦问题的两种方法①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．②点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，①x 22a 2＋y 22b 2＝1，②由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB＝－b 2x 0a 2y 0.练一练2．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得线段的中点的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，53B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，73 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，－172解析：选C 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，消去y 得3x 2＋4x －2＝0.设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)， ∴x 1＋x 2＝－43，x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝13.∴所求中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13.3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且椭圆与直线x ＋2y ＋8＝0相交于P ，Q ，且|PQ |＝10，求椭圆方程．解：∵e ＝32，∴b 2＝14a 2.∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝a 2. 与x ＋2y ＋8＝0联立消去y ，得2x 2＋16x ＋64－a 2＝0，由Δ>0得a 2>32，由弦长公式得10＝54×[64－2(64－a 2)]．∴a 2＝36，b 2＝9.∴椭圆方程为x 236＋y 29＝1.讲一讲3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e ＝63.(1)若2a2c＝32，求椭圆方程；(2)直线l 过点C (－1，0)交椭圆于A 、B 两点，且满足：，试求△OAB 面积的最大值．[尝试解答] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，2a 2c ＝32，解得a ＝3，c ＝ 2.所以a 2＝3，b 2＝1， 所以椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)由e ＝c a ＝63，及a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝3b 2，可设椭圆的方程为x 23b 2＋y 2b2＝1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2),由题意知直线l 的斜率存在，则设l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 23b 2＋y 2b2＝1， 得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－3b 2＝0， 且Δ＝12(3b 2－1)k 2＋12b 2， 因为直线l 交椭圆于A 、B 两点，且，所以点C 在椭圆内部，所以a >1，所以3b 2>1，所以Δ>0.所以x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1.因为，所以(x 1＋1，y 1)＝3(－1－x 2，－y 2)，所以x 1＝－4－3x 2，所以x 2＋1＝－13k 2＋1，所以|x 1－x 2|＝43k 2＋1.又O 到直线l 的距离为d ＝|k |1＋k2，所以S △ABO ＝12|AB |d ＝121＋k 2|x 1－x 2|·d。

第1课时 椭圆的简单几何性质学习目标：1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点)2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．(重点，难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．椭圆的简单几何性质 焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0) 范围 －a ≤x ≤a 且－b ≤y ≤b－b ≤x ≤b 且－a ≤y ≤a对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) B 1(0，－b )，B 2(0，b )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长 短轴长|B 1B 2|＝2b ，长轴长|A 1A 2|＝2a焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距 |F 1F 2|＝2c(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比c a称为椭圆的离心率．(2)性质：离心率e 的范围是(0,1)．当e 越接近于1时，椭圆越扁；当e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆．思考：(1)离心率e 能否用b a表示？ (2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？[提示] (1)e 2＝c 2a2＝a 2－b 2a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2.(2)不是．离心率相同的椭圆焦距与长轴的长的比值相同．[基础自测]1．思考辨析(1)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b )的长轴长为a ，短轴长为b .( ) (2)椭圆的离心率越大，则椭圆越接近于圆．( )(3)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称． [答案] (1)× (2)× (3)√2．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的端点坐标是( ) A ．(－1,0)，(1,0) B ．(－6,0)，(6,0) C ．(－6，0)，(6，0) D ．(0，－6)，(0，6)D [椭圆方程可化为x 2＋y 26＝1，则长轴的端点坐标为(0，±6)．]3．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )【导学号：97792060】A ．5,3,0.8B ．10,6,0.8C ．5,3,0.6D ．10,6,0.6B [椭圆方程可化为x 29＋y 225＝1，则a ＝5，b ＝3，c ＝25－9＝4，e ＝c a ＝45，故B.][合 作 探 究·攻 重 难]根据椭圆的方程研究其几何性质设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m ＞0)的离心率为2，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标．[解] 椭圆方程可化为x 24＋y 2m＝1.(1)当0＜m ＜4时，a ＝2，b ＝m ，c ＝4－m ，∴e ＝c a ＝4－m 2＝12，∴m ＝3，∴b ＝3，c ＝1，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是4,23，焦点坐标为F 1()－1，0，F 2()1，0，顶点坐标为A 1()－2，0，A 2()2，0，B 1(0，－3)，B 2(0，3)．(2)当m ＞4时，a ＝m ，b ＝2，∴c ＝m －4，∴e ＝c a＝m －4m＝12，解得m ＝163，∴a ＝433，c ＝233，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为833，4，焦点坐标为F 1⎝⎛⎭⎪⎫0，－233，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，顶点坐标为A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－433，A 2⎝⎛⎭⎪⎫0，433，B 1(－2,0)，B 2(2,0)．[规律方法] 用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式．(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a ，b ，c . (4)写出椭圆的几何性质．提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍． [跟踪训练]1．已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．[解] (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35.(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1.性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10； ②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④离心率：e ＝35.利用几何性质求椭圆的标准方程(1)椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8； (3)求经过点M (1,2)，且与椭圆x 212＋y 26＝1有相同离心率的椭圆的标准方程.【导学号：97792061】[思路探究] (1)焦点位置不确定，分两种情况求解． (2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．(3)法一：先求离心率，根据离心率找到a 与b 的关系．再用待定系数法求解．法二：设与椭圆x 212＋y 26＝1有相同离心率的椭圆方程为x 212＋y 26＝k 1(k 1>0)或y 212＋x 26＝k 2(k 2>0)[解] (1)若焦点在x 轴上，则a ＝3， ∵e ＝ca ＝63，∴c ＝6， ∴b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3. ∴椭圆的方程为x 29＋y 23＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝3，∵e ＝c a ＝1－b 2a 2＝1－9a 2＝63，解得a 2＝27. ∴椭圆的方程为y 227＋x 29＝1.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．如图所示，△A 1FA 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ， ∴c ＝b ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝32， 故所求椭圆的方程为x 232＋y 216＝1.(3)法一：由题意知e 2＝1－b 2a 2＝12，所以b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2设所求椭圆的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1或y 22b 2＋x 2b2＝1.将点M (1,2)代入椭圆方程得 12b 2＋4b 2＝1或42b 2＋1b 2＝1 解得b 2＝92或b 2＝3.故所求椭圆方程为x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1.法二：设所求椭圆方程为x 212＋y 26＝k 1(k 1>0)或y 212＋x 26＝k 2(k 2>0)，将点M 的坐标代入可得112＋46＝k 1或412＋16＝k 2，解得k 1＝34，k 2＝12，故x 212＋y 26＝34或y 212＋x 26＝12，即所求椭圆的标准方程为x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1.2．(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为( )A.x 29＋y 216＝1 B.x 225＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D.x 216＋y 29＝1 B [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2b ＝18，c ＝3，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝4.因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.](2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA ＝23，则椭圆的标准方程是________．x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1 [因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA ＝23，所以点A 不是长轴的端点(是短轴的端点)．所以|OF |＝c ，|AF |＝a ＝3，所以c 3＝23，所以c ＝2，b 2＝32－22＝5，所以椭圆的方程是x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.]求椭圆的离心率[1．已知F 是椭圆的左焦点，A ，B 分别是其在x 轴正半轴和y 轴正半轴上的顶点，P 是椭圆上的一点，且PF ⊥x 轴，OP ∥AB ，怎样求椭圆的离心率？提示：如图，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，P (－c ，m )．∵OP ∥AB ， ∴△PFO ∽△BOA ， ∴c a ＝m b，①又P (－c ，m )在椭圆上，∴c 2a 2＋m 2b2＝1.② 将①代入②，得2c2a2＝1，即e 2＝12，∴e ＝22.2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－c,0)，A (－a ，0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，求椭圆的离心率e .提示：由A (－a,0)，B (0，b )，得直线AB 的斜率为k AB ＝b a， 故AB 所在的直线方程为y －b ＝b ax ， 即bx －ay ＋ab ＝0.又F 1(－c,0)，由点到直线的距离公式可得d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b7，∴7·(a －c )＝a 2＋b 2. 又b 2＝a 2－c 2，整理，得8c 2－14ac ＋5a 2＝0，即8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－14c a ＋5＝0.∴8e 2－14e ＋5＝0，∴e ＝12或e ＝54(舍去)．综上可知，椭圆的离心率e ＝12.已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B两点，若△ABF 2是正三角形，则该椭圆的离心率是________.【导学号：97792062】[思路探究] △ABF 2为正三角形⇒∠AF 2F 1＝30°⇒把|AF 1|，|AF 2|用C 表示． [解析] 不妨设椭圆的焦点在x 轴上，因为AB ⊥F 1F 2，且△ABF 2为正三角形，所以在Rt△AF 1F 2中，∠AF 2F 1＝30°，令|AF 1|＝x ，则|AF 2|＝2x ，所以|F 1F 2|＝|AF 2|2－|AF 1|2＝3x ＝2c ，再由椭圆的定义，可知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝3x ，所以e ＝2c 2a ＝3x 3x ＝33.[答案]33[规律方法] 求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝c a求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝c a求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．3．(1)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点为F ，该椭圆上有一点A ，满足△OAF 是等边三角形(O 为坐标原点)，则椭圆的离心率是( )A.3－1 B ．2－ 3 C.2－1 D ．2－ 2(2)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．(1)A (2)3－1 [(1)如图，设F (c,0)，由△OAF 是等边三角形，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，3c 2，因为点A 在椭圆上，所以有c 24a 2＋3c 24b 2＝1 ①，在椭圆中有a 2＝b 2＋c 2②，联立①②，得c 2＝(4－23)a 2，即c ＝(3－1)a ，则其离心率e ＝c a＝3－1.(2)法一 如图，∵△DF 1F 2为正三角形，N 为DF 2的中点，∴F 1N ⊥F 2N ， ∵|NF 2|＝c ，∴|NF 1|＝|F 1F 2|2－|NF 2|2＝4c 2－c 2＝3c ， 由椭圆的定义可知|NF 1|＋|NF 2|＝2a ， ∴3c ＋c ＝2a ， ∴e ＝c a＝23＋1＝3－1.法二 注意到焦点三角形NF 1F 2中，∠NF 1F 2＝30°，∠NF 2F 1＝60°，∠F 1NF 2＝90°，则由离心率的三角形式，可得e ＝sin∠F 1NF 2sin∠NF 1F 2＋si n∠NF 2F 1＝sin 90°sin 30°＋sin 60°＝112＋32＝3－1.][当 堂 达 标·固 双 基]1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)的短轴长与y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A ．a 2＝15，b 2＝16 B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25 D ．a 2＝25，b 2＝9D [由题意得，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的焦点在x 轴上，且a 2＝25，b 2＝9.]2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 D [右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上，c ＝1.又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.]3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15 B [由题意得：2b ＝a ＋c ， ∴4b 2＝(a ＋c )2， 又∵a 2＝b 2＋c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋2ac ＋c 2， 即3a 2－2ac －5c 2＝0，∴3－2·c a－5·⎝ ⎛⎭⎪⎫c a2＝0，即5·⎝ ⎛⎭⎪⎫c a2＋2·c a－3＝0，∴e ＝c a ＝35.]4．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________．32 [由题意知0<m <2，且e 2＝1－b 2a 2＝1－m 2＝14. 所以m ＝32.]5．椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1(0，－c )，F 2(0，c )(c >0)，离心率e ＝32，焦点到椭圆上点的最短距离为2－3，求椭圆的方程.[解] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝32，a －c ＝2－3，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，y2 4＋x2＝1.所以所求椭圆的方程为。

安徽省铜陵市高中数学第二章《圆锥曲线与方程》椭圆的简单几何性质2学案（无答案）新人教A版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（安徽省铜陵市高中数学第二章《圆锥曲线与方程》椭圆的简单几何性质2学案（无答案）新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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椭圆的简单几何性质2展示课（时段：正课时间： 40分钟（自研）+60分钟（展示））学习主题： 1、掌握椭圆的简单几何性质； 2、会判断直线与椭圆的位置关系。

【主题定向·五环导学·展示反馈】例题导析重点:命题的改写板书：呈现例6，例7（理）的解题过程，及每个例题的解题技巧总结；展示例6例7（理）；③注重例题的解答过程，及总结如何这类例题解法；高二 班 组 姓名： 满分：100分 得分：考查内容: 椭圆的几何性质2 考查主题： 灵活运用数形结合解题考查形式： 封闭式训练，导师不指导、不讨论、不抄袭。

温馨提示：本次训练时间约为40分钟,请同学们认真审题,仔细答题，安静、自主的完成训练内容.基础巩固1。

已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是（－，0），(，0),离心率是,则椭圆C 的方程为 ( ）． A.1322=+yxB.1322=+y x C ．12322=+y x D ．13222=+y x2.一个顶点的坐标为（0，2)，焦距的一半为3的椭圆的标准方程为（ ） A ．＋＝1 B ．＋＝1C ．＋＝1D ．＋＝13。

已知F 1、F 2为椭圆（a 〉b 〉0)的两个焦点,过F 2作椭圆的弦AB ,若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率e ＝,则椭圆的方程是( )A ．＋＝1B ．＋＝1C ．＋＝1D ．＋＝14。

第1课时椭圆的几何性质学习目标 1.依据椭圆的方程研究椭圆的几何性质，并正确地画出它的图形.2.依据几何条件求出椭圆方程，并利用椭圆方程研究它的性质、图形．知识点一椭圆的范围、对称性和顶点思考在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？答案在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b)．梳理椭圆的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形焦点坐标(±c,0)(0，±c) 对称性关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)范围|x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a 长轴、短轴长轴A1A2长为2a，短轴B1B2长为2b知识点二 椭圆的离心率椭圆的焦距与长轴长的比c a 称为椭圆的离心率，记为e ＝c a，因为a ＞c ，故椭圆离心率e 的取值范围为(0,1)，当e 越近于1时，椭圆越扁，当e 越近于0时，椭圆越圆．(1)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长是a .(×)(2)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．(×)(3)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.(×)(4)设F 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，M 为其上任一点，则|MF |的最大值为a ＋c (c为椭圆的半焦距)．(√)类型一 椭圆的简单几何性质例1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m ＞0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 考点 椭圆的简单几何性质题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 解 由已知得x 21m 2＋y 214m 2＝1(m ＞0)，因为0＜m 2＜4m 2， 所以1m 2＞14m2，所以椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m，短半轴长b ＝12m ，半焦距c ＝32m ，所以椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32m ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫32m ，0， 顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎪⎫0，－12m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12m ，离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32.反思与感悟 从椭圆的标准方程出发，分清其焦点位置，然后再写出相应的性质． 跟踪训练1 已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质． 考点 椭圆的简单几何性质题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35.(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1.性质如下：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e ＝35.类型二 由几何性质求椭圆的标准方程例2 (1)椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点(0,13)，(－10，0)，则焦点坐标为( ) A ．(±13,0) B ．(0，±10) C ．(0，±13)D ．(0，±69)考点 椭圆的简单几何性质题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 答案 D解析 由题意知，椭圆的焦点在y 轴上， 且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故选D.(2)已知椭圆中心在原点，一个焦点为F (－23，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是___________________． 考点 椭圆的简单几何性质题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性答案x 216＋y 24＝1 解析 由已知，得焦点在x 轴上，且⎩⎨⎧a ＝2b ，c ＝23，a 2－b 2＝c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝4，a 2＝16，∴所求椭圆的标准方程为x 216＋y 24＝1.反思与感悟 此类问题应由所给的几何性质充分找出a ，b ，c 所应满足的关系式，进而求出a ，b ，在求解时，需注意椭圆的焦点位置．跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6. 考点 由椭圆的简单几何性质求方程 题点 由椭圆的几何特征求方程解 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ，4a 2＋36b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝237，b ＝37，∴椭圆方程为x 2148＋y 237＝1. 同样地可求出当焦点在y 轴上时， 椭圆方程为x 213＋y 252＝1.故所求的椭圆方程为x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 252＝1.(2)依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，c ＝6，∴b ＝c ＝6， ∴a 2＝b 2＋c 2＝72，∴所求的椭圆方程为x 272＋y 236＝1.类型三 求椭圆的离心率例3 如图，设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率．考点 椭圆的离心率问题题点 求a ，b ，c 的齐次关系式得离心率解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵F 1(－c,0)，∴P (－c ，y p )，代入椭圆方程得c 2a 2＋y 2p b 2＝1，∴y 2p ＝b 4a2， ∴|PF 1|＝b 2a ＝|F 1F 2|，即b 2a＝2c ，∴c 2＋2ac －a 2＝0，又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2a＝2c ，∴c 2＋2ac －a 2＝0，∴e 2＋2e －1＝0，又∵0＜e ＜1，∴e ＝2－1.反思与感悟 求解椭圆的离心率，其实质就是构建a ，b ，c 之间的关系式，再结合b 2＝a 2－c 2，从而得到a ，c 之间的关系式，进而确定其离心率．跟踪训练3 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36B.13C.12D.33考点 椭圆的离心率问题 题点 求a ，b ，c 得离心率 答案 D解析 由题意可设|PF 2|＝m (m ＞0)，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33.1．椭圆9x 2＋y 2＝36的短轴长为( ) A ．2B ．4C ．6D ．12 考点 椭圆的简单几何性质题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 答案 B解析 原方程可化为x 24＋y 236＝1，所以b 2＝4，b ＝2，从而短轴长为2b ＝4.2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32 C.34D.64考点 椭圆的离心率问题 题点 求a ，b ，c 得离心率 答案 A解析 不妨设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 为椭圆的上顶点． 依题意可知，△BF 1F 2是正三角形． ∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ， |BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°，∴cos 60°＝c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12，故选A.3．(2017·嘉兴一中期末)中心在坐标原点的椭圆，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为22，则该椭圆的方程为( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 28＝1 C.x 212＋y 24＝1 D.x 28＋y 24＝1 答案 D4．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是______________． 考点 由椭圆的简单几何性质求方程 题点 由椭圆的几何性质求方程 答案x 216＋y 24＝1 解析 由已知，得a ＝4，b ＝2，且椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆的方程是x 216＋y 24＝1.5．求椭圆25x 2＋16y 2＝400的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标． 考点 由椭圆方程研究简单几何性质题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率解将椭圆方程变形为y225＋x216＝1，得a＝5，b＝4，所以c＝3，故椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝10,2b＝8，离心率e＝ca＝35，焦点坐标为(0，－3)，(0,3)，顶点坐标为(0，－5)，(0,5)，(－4,0)，(4,0)．求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝ca求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝ca求解．(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．一、选择题1．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为( )A.13B.33C.22D.12考点由椭圆方程研究简单几何性质题点由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率答案 B解析由2x2＋3y2＝m(m>0)，得x2m2＋y2m3＝1，∴c2＝m2－m3＝m6，∴e2＝13，∴e＝33.2．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是( )A.x22＋y24＝1 B.x2＋y26＝1C.x26＋y2＝1 D.x28＋y25＝1考点 由椭圆的简单几何性质求方程 题点 由椭圆的几何性质求方程 答案 B解析 由已知c ＝5，b ＝1，故椭圆的标准方程为y 26＋x 2＝1.3．椭圆4x 2＋49y 2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．7,2，357B ．14,4，357C ．7,2，57D ．14,4，－57考点 由椭圆方程研究简单几何性质题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率 答案 B解析 先将椭圆方程化为标准形式为x 249＋y 24＝1，其中b ＝2，a ＝7，c ＝3 5.4．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A.x 236＋y 216＝1 B.x 216＋y 236＝1 C.x 26＋y 24＝1 D.y 26＋x 24＝1 考点 由椭圆的简单几何性质求方程 题点 由椭圆的几何特征求方程 答案 A解析 依题意得c ＝25，a ＋b ＝10，又a 2＝b 2＋c 2，所以解得a ＝6，b ＝4.5．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A.3B.32C.83D.23考点 由椭圆方程研究简单几何性质 题点 由椭圆的几何特征求方程 答案 B解析 ∵a 2＝2，b 2＝m ，e ＝ca＝1－b 2a 2＝1－m 2＝12，∴m ＝32. 6．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是( )A.2m －1m －1B.－2－mmC.2m mD ．－21－mm －1考点 由椭圆方程研究简单几何性质题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率 答案 C解析 椭圆方程可化简为x 211＋m ＋y 21m＝1， 由题意，知m >0，∴11＋m <1m ，∴a ＝m m， ∴椭圆的长轴长2a ＝2mm.7．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为( ) A.12B.23C.34D.45考点 椭圆的离心率问题 题点 求a ，b ，c 得离心率 答案 C解析 设直线x ＝3a2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°，在Rt △PF 2M 中，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|F 2M |＝3a 2－c ，故cos60°＝|F 2M ||PF 2|＝3a 2－c2c ＝12，解得c a ＝34，故离心率e ＝34.二、填空题8．A 为y 轴上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，△AF 1F 2为正三角形，且AF 1的中点B 恰好在椭圆上，则此椭圆的离心率为________． 考点 椭圆的离心率问题 题点 求a ，b ，c 得离心率答案 3－1解析 如图，连接BF 2.因为△AF 1F 2为正三角形，且B 为线段AF 1的中点， 所以F 2B ⊥BF 1.又因为∠BF 2F 1＝30°，|F 1F 2|＝2c ，所以|BF 1|＝c ，|BF 2|＝3c ， 由椭圆定义得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 即c ＋3c ＝2a ，所以c a＝3－1， 所以椭圆的离心率e ＝3－1.9．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是____________． 考点 由椭圆的简单几何性质求方程 题点 由椭圆的几何特征求方程 答案x 25＋y 24＝1 解析 ∵x ＝1是圆x 2＋y 2＝1的一条切线， ∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c ＝1.设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，则k OP ＝12，∵OP ⊥AB ，∴k AB ＝－2，则直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，它与y 轴的交点为(0,2)．∴b ＝2，a 2＝b 2＋c 2＝5，故椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.10．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________． 考点 椭圆的离心率问题 题点 求a ，b ，c 得离心率 答案2－1解析 因为△F 1PF 2为等腰直角三角形，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝22c ，又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以22c ＋2c ＝2a ，即(2＋1)c ＝a ， 于是e ＝c a＝12＋1＝2－1.11．在△ABC 中，tan A ＝13，B ＝π4.若椭圆E 以AB 为长轴，且过点C ，则椭圆E 的离心率是_______．考点 椭圆的离心率问题 题点 求a ，b ，c 得离心率答案 63解析 由tan A ＝13，得sin A ＝1010，cos A ＝31010. 又B ＝π4，∴sin B ＝22，cos B ＝22， 则sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝1010×22＋31010×22＝255. 由正弦定理，得|BC |∶|CA |∶|AB |＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶5∶2 2.不妨取|BC |＝1，|CA |＝5，|AB |＝2 2.以AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点建立直角坐标系(C 在x 轴上方)，D 是C 在AB 上的射影．易求得|AD |＝322，|OD |＝22，|CD |＝22， ∴点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22. 设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)， 则a 2＝2，且12a 2＋12b 2＝1，解得b 2＝23， ∴c 2＝a 2－b 2＝2－23＝43， ∴e 2＝c 2a 2＝23，∴e ＝63. 三、解答题12．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m ＞0)，其焦距与长轴长的比值是32，求m 的值及椭圆的长轴长、短轴长及顶点坐标．考点 由椭圆方程研究简单几何性质题点 由椭圆方程求顶点、焦点、长短轴、离心率 解 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1. 因为m ＞0，所以m －mm ＋3＝m (m ＋2)m ＋3＞0，所以m ＞m m ＋3，所以a 2＝m ，b 2＝m m ＋3， 所以c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由ca ＝32，得m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1， 所以a ＝1，b ＝12，则椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1， 所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1，四个顶点的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.13．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，斜率为k 的直线l 过左焦点F 1且与椭圆的交点为A ，B ，与y 轴的交点为C ，且B 为线段CF 1的中点，若|k |≤142，求椭圆离心率e 的取值范围．考点 由椭圆方程研究简单几何性质题点 由椭圆的几何特征求参数解 依题意得F 1(－c,0)，直线l ：y ＝k (x ＋c )，则C (0，kc )．因为点B 为线段CF 1的中点，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2，kc 2. 因为点B 在椭圆上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫kc 22b 2＝1，即c 24a 2＋k 2c 24(a 2－c 2)＝1. 所以e 24＋k 2e 24(1－e 2)＝1，所以k 2＝(4－e 2)(1－e 2)e 2. 由|k |≤142，得k 2≤72，即(4－e 2)(1－e 2)e 2≤72， 所以2e 4－17e 2＋8≤0.解得12≤e 2≤8. 因为0<e <1，所以12≤e 2<1，即22≤e <1， 即e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1. 四、探究与拓展 14．已知c 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距，则b ＋c a的取值范围是( ) A ．(1＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(1，2]考点 由椭圆方程研究简单几何性质题点 由椭圆的几何特征求参数答案 D解析 椭圆的中心、一个短轴的顶点、一个焦点构成一个直角三角形，两直角边长分别为b ，c ，斜边为a ，由直角三角形的两直角边之和大于斜边得b ＋c ＞a ，∴b ＋c a ＞1，又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c a 2＝b 2＋c 2＋2bc a 2≤2(b 2＋c 2)a 2＝2(当且仅当b ＝c 时，取等号)，∴1＜b ＋c a ≤2，故选D. 15．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．考点 椭圆离心率问题题点 求a ，b ，c 得离心率解 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1.因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8，故|AF 2|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k ＞0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k .由椭圆定义，得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .在△ABF 2中，由余弦定理，得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k ＞0，故a ＝3k .于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k .因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，故△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.。

２．１．２椭圆的简单几何性质第１课时椭圆的简单几何性质学习目标核心素养１．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．（重点）２．根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．（重点、难点）１．通过学习椭圆的几何性质，培养学生直观想象的数学素养.２．借助椭圆的几何性质，培养数学运算及逻辑推理的数学素养.１．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）错误!＋错误!＝１（a>b>0）范围—a≤x≤a且—b≤y≤b—b≤x≤b且—a≤y≤a对称性对称轴为坐标轴，对称中心为原点顶点A１（—a,0），A２（a,0），B１（0，—b），B２（0，b）A１（0，—a），A２（0，a），B１（—b,0），B２（b,0）轴长短轴长|B１B２|＝２b，长轴长|A１A２|＝２a焦点F１（—c,0），F２（c,0）F１（0，—c），F２（0，c）焦距|F１F２|＝２c（１）定义：椭圆的焦距与长轴长的比错误!称为椭圆的离心率．（２）性质：离心率e的范围是（0,１）．当e越接近于１时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．思考：（１）离心率e能否用错误!表示？（２）离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？[提示] （１）e２＝错误!＝错误!＝１—错误!错误!，所以e＝错误!.（２）不是．离心率相同的椭圆焦距与长轴的长的比值相同．１．椭圆6x２＋y２＝6的长轴的端点坐标是（）Ａ．（—１,0），（１,0）Ｂ．（—6,0），（6,0）Ｃ．（—错误!，0），（错误!，0）Ｄ．（0，—错误!），（0，错误!）D[椭圆方程可化为x２＋错误!＝１，则长轴的端点坐标为（0，±错误!）．]２．椭圆错误!＋错误!＝１的离心率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!D[∵a＝５，b＝４，c＝错误!＝３，∴e＝错误!.]３．若点P（m，n）是椭圆错误!＋错误!＝１上任意一点，则m的取值范围是________，n的取值范围是________．[—２,２] [—错误!，错误!] [由题意可知错误!＋错误!＝１，由错误!≤１可知—２≤m≤２；同理，由错误!≤１可知—错误!≤n≤错误!.]根据椭圆的方程研究其几何性质２２的长、焦点坐标及顶点坐标．[解] 椭圆方程可化为错误!＋错误!＝１．（１）当0＜m＜４时，a＝２，b＝错误!，c＝错误!，∴e＝错误!＝错误!＝错误!，∴m＝３，∴b ＝错误!，c＝１，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是４,２错误!，焦点坐标为F１错误!，F２错误!，顶点坐标为A１错误!，A２错误!，B１（0，—错误!），B２（0，错误!）．（２）当m＞４时，a＝错误!，b＝２，∴c＝错误!，∴e＝错误!＝错误!＝错误!，解得m＝错误!，∴a＝错误!，c＝错误!，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为错误!，４，焦点坐标为F１错误!，F２错误!，顶点坐标为A１错误!，A２错误!，B１（—２,0），B２（２,0）．用标准方程研究几何性质的步骤１将椭圆方程化为标准形式.２确定焦点位置.焦点位置不确定的要分类讨论３求出a，b，c.,４写出椭圆的几何性质.提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍.错误!１．（１）椭圆x２＋错误!＝１的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．２Ｄ．４（２）对椭圆C１：错误!＋错误!＝１（a>b>0）和椭圆C２：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的几何性质的表述正确的是（）Ａ．范围相同Ｂ．顶点坐标相同Ｃ．焦点坐标相同Ｄ．离心率相同（１）A（２）D[（１）由题意可知a２＝１，b２＝m，由a＝２b可知１＝４m，∴m＝错误!.故选Ａ．（２）结合椭圆的几何性质可知，C１与C２的离心率相同，均为错误!，故选Ｄ．]利用几何性质求椭圆的标准方程（１）椭圆过点（３,0），离心率e＝错误!；（２）在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；（３）经过点M（１,２），且与椭圆错误!＋错误!＝１有相同的离心率．[思路点拨] （１）焦点位置不确定，分两种情况求解．（２）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．（３）法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系，再用待定系数法求解．法二：设与椭圆错误!＋错误!＝１有相同离心率的椭圆方程为错误!＋错误!＝k１（k１>0）或错误!＋错误!＝k２（k２>0）．[解] （１）若焦点在x轴上，则a＝３，∵e＝错误!＝错误!，∴c＝错误!，∴b２＝a２—c２＝9—6＝３．∴椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．若焦点在y轴上，则b＝３，∵e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，解得a２＝２7．∴椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．∴所求椭圆的方程为错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１．（２）设椭圆方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）．如图所示，△A１FA２为等腰直角三角形，OF为斜边A１A２的中线（高），且|OF|＝c，|A１A２|＝２b，∴c＝b＝４，∴a２＝b２＋c２＝３２，故所求椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．（３）法一：由题意知e２＝１—错误!＝错误!，所以错误!＝错误!，即a２＝２b２.设所求椭圆的方程为错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１．将点M（１,２）代入椭圆方程得错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１，解得b２＝错误!或b２＝３．故所求椭圆方程为错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１．法二：设所求椭圆方程为错误!＋错误!＝k１（k１>0）或错误!＋错误!＝k２（k２>0），将点M的坐标代入可得错误!＋错误!＝k１或错误!＋错误!＝k２，解得k１＝错误!，k２＝错误!，故错误!＋错误!＝错误!或错误!＋错误!＝错误!，即所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１．利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：１确定焦点位置；２设出相应椭圆的标准方程对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程；３根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程组求参数，列方程组时常用的关系式有b２＝a２—c２，e＝错误!等.错误!２．若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为１8，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１A[由２a＝１8得a＝9，又a—c＝２c，则c＝３，b２＝a２—c２＝8１—9＝7２，∴椭圆方程为错误!＋错误!＝１．]求椭圆的离心率１．已知F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的顶点，P是椭圆上的一点，且PF⊥x轴，OP∥AB，怎样求椭圆的离心率？提示：由OP∥AB可知，k OP＝k AB，又A（a,0），B（0，b），P错误!.故—错误!＝—错误!，即b＝c，∴a＝错误!c.∴e＝错误!＝错误!.２．设A，B是椭圆C：错误!＋错误!＝１长轴的两个端点，若P是曲线C上的动点，当P在何处时∠APB最大？若C上存在点P满足∠APB＝１２0°，如何求椭圆的离心率？图１提示：当P位于短轴的端点处时，∠APB最大．如图１，要使存在P使得∠APB＝１２0°，只需∠APB≥１２0°，即∠APO≥60°，∴tan∠APO≥错误!，即错误!≥错误!，∴0<m≤１．此时由e＝错误!＝错误!可知e∈错误!．图２如图２，由题意可知错误!≥错误!，∴m≥9，又m>３，∴m≥9．由e＝错误!＝错误!可知e∈错误!.综上可知离心率e∈错误!.【例３】设椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点分别为F１，F２，P是C上的点，PF２⊥F１F２，∠PF１F２＝３0°，则C的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误![思路点拨] 设|PF２|＝m，在Rt△PF１F２中，依题意可求得|PF１|，|F１F２|，进而求得离心率．D[设|PF２|＝m，结合条件可知|PF１|＝２m，|F１F２|＝错误!m，故离心率e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.]１．（变条件）若将本例中“PF２⊥F１F２，∠PF１F２＝３0°”改为“∠PF２F１＝7５°，∠PF１F２＝４５°”，求C的离心率．[解] 在△PF１F２中，∵∠PF１F２＝４５°，∠PF２F１＝7５°，∴∠F１PF２＝60°，设|PF１|＝m，|PF２|＝n，|F１F２|＝２c，椭圆的长轴长为２a，则在△PF１F２中，有错误!＝错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，∴e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.２．（变条件，变设问）若将本例中“PF２⊥F１F２，∠PF１F２＝３0°”改为“C上存在点P，使∠F１PF２为钝角”，求C的离心率的取值范围．[解] 由题意，知c>b，∴c２>b２.又b２＝a２—c２，∴c２>a２—c２，即２c２>a２.∴e２＝错误!>错误!，∴e>错误!.故C的离心率的取值范围为错误!.求椭圆离心率的值或范围的两种方法（１）直接法：若已知a，c的值，可直接利用公式e＝错误!求解；若已知a，b或b，c的值，可借助于a２＝b２＋c２求出c，a的值，再代入公式e＝错误!求解．（２）方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a２＝b２＋c２，转化为关于c，a的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．１．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．２．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距．３．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．１．判断正误（１）椭圆错误!＋错误!＝１（a>b）的长轴长为a，短轴长为b. （）（２）椭圆的离心率越大，则椭圆越接近于圆．（）（３）若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称．[答案] （１）×（２）×（３）√２．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是（0,１３），另一个顶点是（—１0,0），则焦点坐标为（）Ａ．（±１３,0）Ｂ．（0，±１0）Ｃ．（0，±１３）Ｄ．（0，±错误!）D[由题意可知a＝１３，b＝１0，∴c＝错误!，又焦点在y轴上，故选Ｄ．]３．如图，直线l：x—２y＋２＝0过椭圆的左焦点F１和一个顶点B，该椭圆的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!D[由题意可知F１（—２,0），B（0,１），即c＝２，b＝１，∴a２＝b２＋c２＝５，∴e＝错误!＝错误!＝错误!，故选Ｄ．]４．椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的两焦点为F１（0，—c），F２（0，c）（c>0），离心率e＝错误!，焦点到椭圆上点的最短距离为２—错误!，求椭圆的方程．[解] 由题意知错误!解得错误!所以b２＝a２—c２＝１，所以所求椭圆的方程为错误!＋x２＝１．。