选修2-3复习

高中数学选修2-3计数原理测试题一、选择题1．若m 为正整数，则乘积()()()=+++2021m m m m Λ（ ） A ．20m A B ．21m A C ．2020+m A D ．2120+m A 2．若直线0=+By Ax 的系数B A ,同时从0,1,2,3,5,7六个数字中取不同的值,则这些方程表示不同的直线条数 （ ）A ． 22B ． 30C ． 12D ． 153．四个编号为1，2，3，4的球放入三个不同的盒子里，每个盒子只能放一个球，编号为1的球必须放入，则不同的方法有 （ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．96种2．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有 （ ）A ．81B ．64C ．12D ．144．用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第几个数 （ ）A ．6B ．9C ．10D ．85．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有 （ ）A.280种B.240种C.180种D.96种6. 若425225+=x x C C ，则x 的值为 （ ）A ．4B ．7C ．4或7D ．不存在7．某班举行联欢会，原定的五个节目已排出节目单，演出前又增加了两个节目，若将这两个节目插入原节目单中，则不同的插法总数为 （ ）A.42B.36C.30D.128.用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（ ）个数.A.6B.9C.10D.89. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）Ａ．1440种 Ｂ．960种Ｃ．720种 Ｄ．480种10．从字母,,,,,a b c d e f 中选出4个数字排成一列，其中一定要选出a 和b ，并且必须相邻（a 在b 的前面），共有排列方法（ ）种.A.36 B．7211．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为（）A．120 B．240 C．280 D．6012.从6个正方形拼成的12个顶点(如上图)中任取3个顶点作为一组，其中可以构成三角形的组数为( ) A．208 B．204 C．200 D．196二、填空题13. 今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）.14.4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有种不同排法. 15．以1239L，，，这几个数中任取4个数，使它们的和为奇数，则共有种不同取法.16. 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种。

排列与组合●本章知识网络一、根本计数原理●1. 分类计数原理(加法原理)分类计数原理的定义：做一件事，完成它有n类方法。

在第一类方法中有m1种不同的方法；在第二类方法中，有m2种不同的方法；……；在第n类方法中，有m n中不同的方法，则完成这件事共有N=_______________种不同的方法。

．●2. 分步计数原理(乘法原理)分步计数原理的定义：做一件事，完成它需要分成ｎ个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法，……，做第n个步骤有m n中不同的方法，则完成这件事共有N=______________种不同的方法．二、排列●1. 排列的定义从ｎ个不同的元素中任取ｍ(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列●2. 排列数1〕排列数的定义：从ｎ个不同的元素中取出ｍ(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用______表示2〕排列数公式mnA=_____________________________=___________________________特别的，nnA=_____________________= n!规定0！=______三、组合●1. 组合的定义从ｎ个不同的元素中，任意取出ｍ(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合●2. 组合数1〕组合数的定义：从ｎ个不同的元素中，任取ｍ(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中任意取出m个元素的组合数，用______表示2〕组合数公式mnC=___________=_______________________=______________________特别的，0nC=_______=______3）组合数的性质mnC=___________ mnC1+=______+______解决排列组合问题的根本规律：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合，正难则反，先选后排●前测1．*Nn∈且55n<,则乘积(55)(56)(69)n n n---等于( )A．5569nnA--B．1569nA-C．1555nA-D．1469nA-2．710695847CCCC+++=_______3．*八层大楼一楼电梯上来3名乘客，他们到各自的一层下电梯，下电梯的不同方法有____种4．4人排成一排，其中甲和乙都站在边上的不同站法有_________种5．用0,2,3,4,5五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有_______种.6．从3台甲型和4台乙型电脑中任意取出3台，其中至少要甲型和乙型电脑各一台，则不同的取法有________种.7．*停车场有8个连在一起的车位，有4辆不同的车要停进去，且恰有3辆车连在一起，则不同的停放方法有_______种.●典型例题1．有4封不同的信和3个信筒.(1)把4封信都寄出，有__________种寄信方法；(2) 把4封信都寄出，且每个信筒不空，有________种寄信方法．2．对*种产品的6件不同正品和4件不同次品，(1) 一件一件的不放回抽取，连续取3次，至少取到1件次品的不同取法有______种.(2)一一进展测试,到区分出所有次品为止，假设所有次品恰好在第五次测试被全部发现，则这样的测试方法有_______种.3．*台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：(1) 节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有_____种.(2) 原有的节目单保持顺序不变，但删去第一个节目和最后一个节目，添加两个新节目，该台晚会排列应用题根本计数原理排列组合排列数公式组合数公式与性质组合应用题组合数公式与性质节目演出顺序的编排方案共有_____种.〔3〕节目甲、乙、丙必须连排〔顺序不固定〕，且和节目丁不相邻，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有___种.4．9个篮球队中有3个强队，平均分三组.(1) 假设3个强队分别作为三个小组的种子队，不同的分组方法有_______种.(2) 假设恰有2个强队分在一组，不同的分组方法有_______种.5．用5种不同的颜色涂色，要求每小格涂一种颜色，有公共边的两格不同颜色，颜色可重复使用(1) 涂在"目〞字形的方格有________种不同的涂法(2) 涂在"田〞字形的方格有________种不同的涂法6．(1) 编号为1，2，3，4，5，6，7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有_______种(2)*仪表显示屏上一排有7个小孔，每个小孔可显示出0或1，假设每次显示其中三个孔，但相邻的两孔不能同时显示，则这个显示屏可以显示_______种不同的信号.7. 学校文艺队有10名会表演唱歌或跳舞的队员，其中会唱歌的有5人，会跳舞的有7人。

2-2 2-3综合试题（一）一．选择题（10小题，每小题5分，共50分）1．一个物体的位移s (米)和与时间t (秒)的关系为242s t t =-+，则该物体在4秒末的瞬时速度是 （ ）A ．12米/秒B ．8米/秒C ．6米/秒D ．8米/秒2．用反证法证明命题 “自然数a 、b 、c 中恰有一个偶数”时，需假设原命题不成立，下列正确的是（ ）A 、a 、b 、c 都是奇数B 、a 、b 、c 都是偶数C 、a 、b 、c 中或都是奇数或至少有两个偶数D 、a 、b 、c 中至少有两个偶数 3. 测得四组),(y x 的值)2,1()3,2()4,3()5,4(则y 与x 之间的回归直线方程为（ ） （A ）1+=x y （B ）2+=x y （C ） 12+=x y （D ） 1-=x y4．将一个各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，其中恰好有2面涂有颜色的概率是 （ ） A ．916B ．2764 C ．38 D ．11325．下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）A ．角度和它的正弦值B ．正方形边长和面积C ．正n 边形边数和顶点角度之和D ．人的年龄和身高 6．下面几种推理中是演绎推理．．．．的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；B ．猜想数列111,,,122334⋅⋅⋅⨯⨯⨯的通项公式为1(1)n a n n =+()n N +∈；C ．半径为r 圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=；D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=7．从6名学生中，选出4人分别从事A 、B 、C 、D 四项不同的工作，若其中，甲、乙两人不能从事工作A ，则不同的选派方案共有 （ ）A ．96种B ．180种C ．240种D ．280种8.若X 是离散型随机变量，()()1221,33P X x P X x ====，且12x x <，又已知49EX =，2DX =，则12x x +=（ ）（A ）53 或1 （B ）59 （C ）179 （D ）1399.如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线2y x =和曲线y =围成一个叶形图（阴影部分）， 向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方 形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点 落在叶形图内部的概率是（ ） （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）1610.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和(如图2所示).那么对于图中给定的01t t 和,下列判断中一定正确的是( ) A.在1t 时刻,甲车在乙车前面 B.1t 时刻后,甲车在乙车后面 C.在0t 时刻,两车的位置相同 D.0t 时刻后,乙车在甲车前面二．填空题（5小题，每小题5分，共25分） 11. 复数ii i )1)(1(+-在复平面中所对应的点到原点的距离是_______;____________________12．设随机变量X～N （2，4），则D （21X ）的值等于 。

北师大版选修2-3第二章概率期末复习卷一、单选题1．某工厂有A ，B 两套生产线，每周需要维护的概率分别为0.2和0.25，且每周A ，B 两套生产线是否需要进行维护是相互独立的，则至多有一套生产线需要维护的概率为（ ） A ．0.95 B ．0.6C ．0.35D ．0.152．若随机变量()5,X B p ，()54D X =，则()E X =（ ）A ．15 B ．14C ．1516D ．523．已知某随机变量ξ服从正态分布N (1，32)，则P (27ξ-<<)为（ ）(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，2σ)，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=)A ．87.22%B ．13.59%C ．27.18%D ．81.85%4．已知离散型随机变量12,ζζ的分布列为则下列说法一定正确的是（ ） A ．()()12E E ζζ> B ．()()12E E ζζ< C ．()()12D D ζζ>D ．()()12D D ζζ<5．在5道题中有3道理科试题和2道文科试题．如果不放回地依次抽2道题，则第一次和第二次都抽到理科题的概率是（ ） A ．25B ．12C ．35D ．3106．已知随机变量()2~1,X N σ，若()00.6P X ≥=，则()2PX >=（ ）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8个球，所取的3个球中至少有1个红球的概率为（ ）A ．12125B ．16 C ．98125D ．568．随机变量X 的分布列如下表所示，若()1E X =，则()31D X +=（ ）A ．9B ．7C ．5D ．39．甲乙两个两位同学同时看了天气预报，甲说明天下雨的概率是80%，乙说如果明天下雨则后天下雨的概率是40%，如果甲乙说的都是对的，那么明天和后天都会下雨的概率是（ ） A ．50%B ．40%C ．32%D ．20%10．某工厂的一台流水线生产质量稳定可靠，已知在正常工作状态下生产线上生产的零件内径尺寸Z (单位：m μ)服从正态分布()60,4N .甲､乙两名同学正进行尺寸测量练习.甲､乙对各自抽取的5个零件测量零件内径尺寸(单位：m μ)如下，甲同学测量数据：59，60，62，63，65；乙同学测量数据：52，53，55，57，62.则可以判断（ ） A ．甲､乙两个同学测量都正确 B ．甲､乙两个同学测量都错误 C ．甲同学测量正确，乙同学测量错误D ．甲同学测量错误，乙同学测量正确11．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立12．某中学高一年级和高二年级进行篮球比赛，赛制为3局2胜制，若比赛没有平局，且高二队每局获胜的概率都是112p p ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，记比赛的最终局数为随机变量X ，则（ ）A ．2(2)P X p ==B ．(3)(1)P X p p ==-C ．5()2E X < D ．1()4D X >二、填空题13．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若1()3E X =，则234a b c ++=_________．X 1- 0 1p ab c14．根据天文学有关知识，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于58-︒，能在扬州的夜空中看到它.下表列出了10颗恒星的“赤纬”数值：星名天狼星老人星南门二大角星织女一五车二参宿七南河三水委一参宿四赤纬16.7-︒ 52.7-︒ 60.8-︒ 19.2︒ 38.8︒ 46︒ 8.2-︒ 5.2︒ 57.2-︒ 7.4︒现有四名学生从这10颗恒星中各随机选择1颗进行观测，其中有X 人能在扬州的夜空中看到观测目标，则X 的数学期望为___________.15．某班为响应校团委发起的“青年大学习”号召组织了有奖知识竞答活动，第一环节是一道必答题，由甲乙两位同学作答，每人答对的概率均为0.7，两人都答对的概率为0.5，则甲答对的前提下乙也答对的概率是________．（用分数表示）16．用X ，Y ，Z 三个不同的元件连接成如图系统，毎个元件是否正常工作相互独立，已知X ，Y ，Z 正常工作的概率均为13，则系统正常工作的概率为___________.三、解答题17．甲､乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢3局的学校获胜，比赛结束)，约定比赛规则如下：先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球此赛中，每局甲校获胜的概率为23，乙校获胜的概率为13，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为13，乙校获胜的概率为23.每局比赛结果相互独立.（1）求甲校以3：1获胜的概率；（2）记比赛结束时女生比赛的局数为ξ，求ξ的概率分布.18．为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路.该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图，求样本中的这1000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；（2）设该公路上机动车的行车速度v 服从正态分布()2,N μσ，其中μ，2σ分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差2s (经计算2210.25s =).（i ）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数(精确到个位)： （ii ）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为X ，求X 的数学期望.附注：若()2~,N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+=，()220.9545P μσξμσ-<≤+=，()330.9973P μσξμσ-<≤+=.参考数据：229841=.19．2020年是全面建成小康社会之年，是脱贫攻坚收官之年．莲花村是乡扶贫办的科学养鱼示范村，为了调查该村科技扶贫成果，乡扶贫办调查组从该村的养鱼塘内随机捕捞两次，上午进行第一次捕捞，捕捞到60条鱼，共105kg ，称重后计算得出这60条鱼质量（单位kg ）的平方和为200.41，下午进行第二次捕捞，捕捞到40条鱼，共66kg ．称重后计算得出这40条鱼质量（单位kg ）的平方和为117．（1）请根据以上信息，求所捕捞100条鱼质量的平均数z 和方差2s ； （2）根据以往经验，可以认为该鱼塘鱼质量X 服从正态分布()2,N μδ，用z 作为μ的估计值，用2s 作为2δ的估计值．随机从该鱼糖捕捞一条鱼，其质量在[]1.21,3.21的概率是多少？（3）某批发商从该村鱼塘购买了1000条鱼，若从该鱼塘随机捕捞，记ξ为捕捞的鱼的质量在[]1,21,3.21的条数，利用（2）的结果，求ξ的数学期望．附：（1）数据1t ，2t ，…n t 的方差()22221111n n i i i i s t tt nt n n ==⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∑∑， （2）若随机变量X 服从正态分布()2,N μδ，则()0.6827P X μδμδ-≤≤+=；()22P X μδμδ-≤≤+0.9545=；()330.9973P X μδμδ-≤≤+=．20．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 21．某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如表：（1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X 近似地服从正态分布()218,140N ，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？（2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率．22．某学校高一年级进行班级之间的中国历史知识竞赛活动，甲、乙两位同学代表各自班级以抢答的形式展开，共五道题，抢到并回答正确者得一分，答错则对方得一分，先得三分者获胜.每一次抢题甲、乙两人抢到每道题的概率都是12，甲、乙正确回答每道题的概率分别为35，45，且两人各道题是否回答正确均相互独立. （1）比赛开始，求甲先得一分的概率； （2）求甲获胜的概率；（3）问：若将题干中的抢答五道题改为抢答三道题，先得两分者获胜，其余条件不变，则对甲更有利还是更不利?请说明理由.参考答案1．A 【分析】由相互独立事件概率计算公式可得结果. 【详解】由题可得至多有一套生产线需要维护的概率0.20.750.80.250.750.80.95P =⨯+⨯+⨯=. 故选：A. 2．D 【分析】根据二项分布的期望与方程的计算公式，由题中条件，列出方程，即可求出结果. 【详解】 因为()5,XB p ，()54D X =，则()()5514D X p p =-=，解得12p =，所以()552E X p ==. 故选：D. 3．D 【分析】由P (27ξ-<<)(2)P =-<<+，结合所给条件，即可得解.【详解】因为p (-2<ξ<4) ()68.26%P =-<<+=μσξμσ， p (-5<ξ<7)= (22)95.44%P μσξμσ-<<+=， 所以p (-2<ξ<7)=68.26%+12(95.44%-68.26%)=81.85%， 故选：D. 4．D 【分析】利用公式计算出两个随机变量的期望和方程后可得正确的选项. 【详解】()()1216512453,344E E ζζ+++++====，故()()12E E ζζ=， ()()2222222121325124592,9 2.544D E ζζ+⨯++++=-==-=，()()12D D ζζ<，故选：D. 5．D 【分析】根据题意，设A 事件为第一次抽到理科试题，B 事件为第二次抽到理科试题，进而()()()3135210P AB P A P B ==⨯=.【详解】设A 事件为第一次抽到理科试题，B 事件为第二次抽到理科试题， 所以第一次和第二次都抽到理科题的概率是()()()3135210P AB P A P B ==⨯=. 故选：D. 6．B 【分析】利用正态密度曲线的对称性可得出()()()2010P X P X P X >=<=-≥，即可得解. 【详解】因为随机变量()2~1,X N σ，则()()()20100.4P X P X P X >=<=-≥=.故选：B. 7．D 【分析】根据题意，该问题符合超几何分布，利用超几何分布概率公式计算所取的3个球中没有1个红球的概率，进而可得答案. 【详解】根据题意，该问题符合超几何分布，其基本事件总数为310C ， 其中所取的3个球中没有1个红球的基本事件为36C ，所求概率为36310C 1511C 66-=-=.故选:D. 8．C 【分析】利用离散型随机变量的分布列、数学期望的性质，列出方程组，求出a ，b ，由此能求出方差，再根据方差的性质计算可得． 【详解】解：依题意可得1161110163a b a b ⎧++=⎪⎪⎨⎪-⨯+⨯+⨯=⎪⎩，解得1312a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()22211111151013633329D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()()25313959D X D X +==⨯= 故选：C 9．C 【分析】根据条件概率的概率公式计算可得； 【详解】解：记明天下雨为事件A ，后天下雨为事件B ，依题意可得()80%P A =，()|40%P B A =，所以()()()|80%40%32%P AB P B A P A =⋅=⨯= 故选：C 10．C 【分析】根据3σ原则可确定()54660.9974P Z <<=，可知甲同学测量数据正确，乙同学测量数据中发生了小概率事件，可认为其测量数据错误. 【详解】()60,4ZN ，()330.9974P Z μσμσ∴-<<+=，即()54660.9974P Z <<=；甲同学测量的数据均落在()54,66之间，测量数据正确；乙同学测量的数据中有两个数据落在()54,66之外，即小概率事件发生，知其测量错误. 故选：C. 11．B 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙，丁， ，1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁，1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选：B 【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立 12．C 【分析】根据实际意义得2X =或3．求得概率后判断AB ，由期望公式计算出期望可判断C ，由均值求出方差可判断D ． 【详解】赛制为3局2胜制，比赛没有平局，因此随机变量X 的可能值为2或3，222(2)(1)221P X p p p p ==+-=-+，A 错；222(3)(1)(1)(1)(1)(1)22P X p p p p p p p p p p p p ==-+-+-+--=-+，B 错；222215()2(221)3(22)2222()22E X p p p p p p p =-++-+=-++=--+，因为112p <<，所以5()(2,)2E X ∈，C 正确； 记2222p p t -++=，5(2,)2t ∈，2222()4(221)9(22)1010456E X p p p p p p t =⨯-++⨯-+=-++=-，222251()()()56()24D XE X E X t t t =-=--=--+，因为5(2,)2t ∈，所以1()4D X <，D 错． 故选：C ． 【点睛】结论点睛：本题考查随机变量的概率分布列与数学期望、方差等概念．随机变量的期望与方差之间有关系：[]22()()()D X E X E X =-．13．103【分析】利用离散型随机变量的分布列、数学期望的性质、等差数列性质，列出方程组，求出a ，b ，c ，即得解．【详解】 由题意知：1213a b c b a c a c ⎧⎪++=⎪=+⎨⎪⎪-+=⎩， 解得16a =，13b =，12c =， 所以111102342+3+4=6323a b c ++=⨯⨯⨯．故答案为：103【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据已知列出关于,,a b c 的方程组. 14．3.6 【分析】利用二项分布可求数学期望. 【详解】大于58-︒的有9个，小于58-︒的有1个 在扬州能看到的概率为910，9~4,10X B ⎛⎫⎪⎝⎭，()94 3.610E X =⨯=.故答案为：3.6. 15．57【分析】记事件A:甲答对，事件B:乙答对，分别求出()()P A P AB ，,利用条件概率公式直接求解. 【详解】记事件A:甲答对，事件B:乙答对， 则有：()()()0.7,0.5PA PB P AB ===,所以()()()0.550.77P AB P B A P A ===. 故答案为：5716．527【分析】系统正常工作的情况是X 正常工作，同时,Y Z 中至少一个能正常工作，由此利用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式能求出系统正常工作的概率. 【详解】系统正常工作的情况是X 正常工作，同时,Y Z 中至少一个能正常工作，因为X ，Y ，Z 正常工作的概率均为13， 所以系统正常工作的概率为：2115[1(1)]3327P =--=，故答案为：527. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关概率的求法，正确解题的关键是用好相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式等基础知识. 17．（1）427；（2）分布列答案见解析. 【分析】（1）根据相互独立事件概率乘法公式计算出所求概率.（2）根据相互独立事件概率乘法公式计算出所求分布列. 【详解】（1）甲校以3：1获胜，则甲校在第四局获胜，前三局胜两局，2122111221484C 3333333818127P ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅+⨯⨯=+=⎪⎝⎭. （2）ξ的所有可能取值为1，2，3，()2221122133339P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2124122211210227333333327P C ξ⎛⎫⎛⎫==+⋅⋅⋅⋅+⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()4101131272727P ξ==--=， 故ξ的概率分布为：18．（1）70.5千米/时；（2）（i ）1587辆，（ii ）()8.4135E X =. 【分析】（1）利用频率直方图，确定各组中点值i a ，由6110()i ii v a f ==∑即可求平均车速.（2）由题设易知(70.5,210.25)vN ，（i ）(85)()P v P v μσ≥=≥+，结合所提供的三段区间概率值求概率，进而求10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数. （ii ）由（i ）知车速低于85千米/时的概率，则(10,0.84135),X B 利用二项分布的期望公式即可求期望. 【详解】 （1）由图知：(450.01550.015650.02750.03850.015950.01)1070.5v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=千米/时.∴这1000辆机动车的平均车速为70.5千米/时. （2）由（1）及题设知：(70.5,210.25)vN ，则70.5,14.5μσ==，（i ）1()(85)()0.158652P v P v P v μσμσμσ--≤≤+≥=≥+==，∴10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数100000.158651587⨯≈辆. （ii ）由（2）知：车速低于85千米/时的概率为10.158650.84135P =-=，故(10,0.84135),X B∴()100.841358.4135E X =⨯=.19．（1） 1.71z =，20.25s =；（2）0.84；（3）840． 【分析】(1)根据题目中的数据先求出平均数，再结合给出的方差公式()22211n i i s t nt n =⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑可求得方差.(2)根据题意可得()~ 1.71,0.25X N ，则()()1.21 3.213P X P X μδμδ≤≤=-≤≤+，根据题目给出的数据，结合正态分布曲线的性质可得答案.(3) 由(2)可得鱼的质量在[]1,21,3.21的概率为0.84，则()~1000,0.84B ξ，由二项分布的数学期望公式可得答案. 【详解】 解：（1）105661.716040z +==+，22200.41117 1.710.25100s +=-=．（2）该鱼塘鱼质量满足()2~,X N μδ，其中 1.71μ=，20.25δ=，即()~ 1.71,0.25X N则()0.682702P X μδ-≤≤=，()0.9973032P X μδ≤≤+=∴()()1.21 3.213P X P X μδμδ≤≤=-≤≤+．()()0.68270.99730030.842P X P X μδμδ+=-≤≤+<≤+==（3）由(2)可得鱼的质量在[]1,21,3.21的概率为0.84. 由题意可知()~1000,0.84B ξ，由二项分布的数学期望公式可得，ξ的数学期望为()10000.84840Eξ=⨯=．20．（1）见解析；（2）B类．【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答B类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．【详解】（1）由题可知，X的所有可能取值为0，20，100．()010.80.2P X==-=；()()200.810.60.32P X==-=；()1000.80.60.48P X==⨯=．所以X的分布列为（2）由（1）知，()00.2200.321000.4854.4E X=⨯+⨯+⨯=．若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100．()010.60.4P Y==-=；()()800.610.80.12P Y==-=；()1000.80.60.48P X==⨯=．所以()00.4800.121000.4857.6E Y=⨯+⨯+⨯=．因为54.457.6<，所以小明应选择先回答B类问题．21．（1）不能；17.6；（2）37．【分析】（1）利用直方图求得一、二等品所占比例的和，比较即可判定结论；利用各组的中间值乘以相应频率，求和即得活动前质量指标值的均值的估计值，利用正态分布求得“质量提升月”活动后该企业生产的这种产品的质量指标值的均值，作差即得所求；（2）先求得一、二、三等品的频率分别，得到分层抽样的方法抽取8件，一、二、三等品的件数，再考虑从这8件中随机抽取4件，抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的情况，利用先分类后分步的思想，利用组合计数求得相应事件的方法种数，即可得所求概率．【详解】解：（1）根据抽样调查数据可知：一、二等品所占比例的估值0.2000.3000.2600.0900.025=++++0.8750.92=<，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定．“质量提升月”活动前该企业生产的这种产品的质量指标值的均值约为：1700.0251800.11900.2⨯+⨯+⨯2000.32100.262200.092300.025200.4+⨯+⨯+⨯+⨯=．“质量提升月”活动后该企业生产的这种产品的质量指标值X近似地服从正态分布()218,140N，则()218E X=．∴“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了218200.417.6=-=．（2）由频率分布直方图可知：一、二、三等品的频率分别为：0.375，0.5，0.125．故在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，一、二、三等品的件数分别为：3，4，1．再从这8件中随机抽取4件，抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的情况有2种：①一、二、三等品的件数分别为：2，1，1．②一、二、三等品的件数分别为：1，2，1．故所求概率2111213413414837C C C C C CPC+==．22．（1）25；（2）9923125；（3）对甲更有利，理由见解析.【分析】（1）记甲得一分为事件M.M发生有两种可能：抢到题且答对，乙抢到题且答错，从而求得概率.（2）由（1）知，在每道题的抢答中甲、乙得一分的概率分别为25，35，设两人共抢答了X道题比赛结束，且甲获胜.根据比赛规则，X的所有可能取值分别为3，4，5，分别计算出(3)P X=，(4)P X=，(5)P X=，相加即甲获胜的概率.（3）先求得改变规则后甲获胜的概率，然后与（2）中的概率比较即可.【详解】解：（1）每道题的抢答中，记甲得一分为事件M .M 发生有两种可能：抢到题且答对，乙抢到题且答错，∴13112()25255P M =⨯+⨯=， ∴比赛开始，甲率先得一分的概率为25. （2）由（1）知，在每道题的抢答中甲、乙得一分的概率分别为25，35， 设两人共抢答了X 道题比赛结束，且甲获胜. 根据比赛规则，X 的所有可能取值分别为3，4，5，则328(3)5125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，3133272(4)C 55625P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 232432432(5)C 553125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则甲获胜的概率992(3)(4)(5)3125P P X P X P X ==+=+==. （3）由（1）（2）知改变规则后甲获胜的概率22112232441100(2)(3)C 5551253125P P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+==+== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而110099231253125>， 即1P P >此时甲获胜的概率更大了，对甲更有利. 【点睛】关键点点睛：根据竞赛规则，分别把每种规则下对应的甲得分情况分清楚，然后计算获胜概率即可.。

复习课(一)计数原理对应学生用书P48(1)两个计数原理是学习排列与组合的基础，高考中一般以选择题、填空题的形式出现，难度中等．(2)运用两个计数原理解题的关键在于正确区分“分类”与“分步”．分类就是能“一步到位”——任何一类中任何一种方法都能完成这件事情，而分步则只能“局部到位”——任何一步中任何一种方法都不能完成这件事情，只能完成事件的某一部分，只有当各步全部完成时，这件事情才完成．[考点精要]计数原理(1)分类加法计数原理：N＝n1＋n2＋n3＋…＋n m；(2)分步乘法计数原理：N＝n1·n2·n3·…·n m．[典例]如图所示，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多的栽种方案有()A．180种B．240种C．360种D．420种[解析]由题意知，最少用三种颜色的花卉，按照花卉选种的颜色可分为三类方案，即用三种颜色，四种颜色，五种颜色．①当用三种颜色时，花池2,4同色和花池3,5同色，此时共有A35种方案．②当用四种颜色时，花池2,4同色或花池3,5同色，故共有2A45种方案．③当用五种颜色时有A55种方案．因此所有栽种方案为A35＋2A45＋A55＝420(种)．[答案] D[类题通法]使用两个原理解决问题时应注意的问题(1)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．(2)当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类方法里再分步．[题组训练]1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有()A．24种B．18种C．12种D．6种解析：选B法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2＝6种不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18种．法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有4×3×2＝24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种方法，故共有不同的种植方法24－6＝18种．2．有红、黄、蓝旗各3面，每次升一面、二面或三面在旗杆上纵向排列表示不同的信号，顺序不同则表示不同的信号，共可以组成的信号有________种．解析：每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号；每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号．根据分类加法计数原理，共可组成3＋9＋27＝39种不同的信号．答案：39(1)高考中往往以实际问题为背景，考查排列与组合的综合应用，同时考查分类讨论的思想方法，常以选择题、填空题形式出现，有时与概率结合考查．(2)解决排列组合问题的关键是掌握四项基本原则①特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置的解题原则．②先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列中，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列．③正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题的原则．④先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配．[考点精要]1．排列与组合的概念2．排列数与组合数的概念3．排列数与组合数公式 (1)排列数公式①A m n ＝n (n －1)…(n －m ＋1)＝n ！(n －m )！；②A n n ＝n ！． (2)组合数公式C mn ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！．4．组合数的性质(1)C m n ＝C n－mn；(2)C m n ＋C m －1n＝C mn ＋1． [典例] (1)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A ．3×3!B ．3×(3！)3C ．(3！)4D ．9!(2)(重庆高考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A ．72B ．120C ．144D ．168(3)从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为( )A ．9B ．14C ．12D ．15[解析] (1)把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．(2)依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A 33A 34＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A 22A 22A 33＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B ．(3)法一：(直接法)分两类，第一类张、王两同学都不参加，有C 44种选法；第二类张、王两同学中只有1人参加，有C 12C 34种选法．故共有C 44＋C 12C 34＝9种选法．法二：(间接法)C46－C24＝9种．[答案](1)C(2)B(3)A[类题通法]排列与组合综合问题的常见类型及解题策略(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列．(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用．(3)特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．[题组训练]1．有5盆各不相同的菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是()A．12 B．24C．36 D．48解析：选B2盆黄菊花捆绑作为一个元素与一盆红菊花排列，2盆白菊花采用插空法，所以这5盆花的不同摆放共有A22A22A23＝24种．2．某班准备从含甲、乙的7名男生中选取4人参加4×100米接力赛，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们在赛道上顺序不能相邻，那么不同的排法种数为()A．720 B．520C．600 D．360解析：选C根据题意，分2种情况讨论．①只有甲乙其中一人参加，有C12C35A44＝480种情况；②若甲乙两人都参加，有C22C25A44＝240种情况，其中甲乙相邻的有C22C25A33A22＝120种情况，不同的排法种数为480＋240－120＝600种，故选C．(1)求二项展开式中的项或项的系数是高考的热点，通常以选择题、填空题形式考查，难度中低档．(2)解决此类问题常遵循“知四求一”的原则在二项式的通项公式中共含有a, b，n，k，T k＋1这五个元素，只要知道其中的4个元素，便可求第5个元素的值，在有关二项式定理的问题中，常常会遇到这样的问题：知道这5个元素中的若干个(或它们之间的关系)，求另外几个元素．这类问题一般是利用通项公式，把问题归结为解方程(组)或不等式(组)．这里要注意n为正整数，k为自然数，且k≤n．[考点精要]1．二项式定理2．二项式系数的性质[典例](1)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()A．－4 B．－3C．－2 D．－1(2)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝()A．5 B．6C．7 D．8(3)若(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＋a2＋a3＋a4＝________．[解析](1)展开式中含x2的系数为C25＋a C15＝5，解得a＝－1，故选D．(2)由题意得：a＝C m2m，b＝C m2m＋1，所以13C m2m＝7C m2m＋1，∴13·(2m)！m！·m！＝7·(2m＋1)！m！·(m＋1)！，∴7(2m＋1)m＋1＝13，解得m＝6，经检验为原方程的解，选B．(3)令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1，令x＝0，可得a0＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＝0．[答案](1)D(2)B(3)0[类题通法]求二项式展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项．可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可． (2)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数．(3)与二项式各项系数的和有关的问题一般用赋值法求解．[题组训练]1．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15D ．10解析：选C 只需求(1＋x )6的展开式中含x 2项的系数即可，而含x 2项的系数为C 26＝15，故选C ．2．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( ) A ．9 B ．8 C ．6D ．5解析：选B 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，∴a 0＋a 2＋a 4＝8．1．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋3x n 的展开式各项系数的和为a ，所有二项式系数的和为b ，若a ＋2b ＝80，则n 的值为( )A ．8B ．4C ．3D ．2解析：选C 由题意a ＝4n ，b ＝2n ，∵a ＋2b ＝80， ∴4n ＋2×2n －80＝0，即(2n )2＋2×2n －80＝0，解得n ＝3．2．教室里有6盏灯，由3个开关控制，每个开关控制2盏灯，则不同的照明方法有( ) A ．63种 B ．31种 C ．8种D ．7种解析：选D 由题意知，可以开2盏、4盏、6盏灯照明，不同方法有C 13＋C 23＋C 33＝7(种)．3．分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道．要求4名水暖工都分配出去，且每户居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有( )A ．A 34种B ．A 33A 13种 C ．C 24A 33种D ．C 14C 13A 33种解析：选C 先将4名水暖工选出2人分成一组，然后将三组水暖工分配到3户不同的居民家，故有C 24A 33种．4．(x ＋2)2(1－x )5中x 7的系数与常数项之差的绝对值为( ) A ．5 B ．3 C ．2D ．0解析：选A 常数项为C 22·22·C 05＝4，x 7系数为C 02·C 55(－1)5＝－1，因此x 7系数与常数项之差的绝对值为5．5．⎝⎛⎭⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( ) A ．－54B ．54C ．－1516D ．1516解析：选D T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝⎛⎭⎫－12x r ＝⎝⎛⎭⎫－12r C r 6x 12－13r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4． ∴常数项为⎝⎛⎭⎫－124C 46＝1516．故选D ． 6．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )A ．10种B ．20种C ．36种D ．52种解析：选A 分为两类：①1号盒子放入1个球，2号盒子放入3个球，有C 14＝4种放球方法；②1号盒子放入2个球，2号盒子放入2个球，有C 24＝6种放球方法．∴共有C 14＋C 24＝10种不同的放球方法．7．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________．解析：不妨设1＋x ＝t ，则x ＝t －1，因此有(t －1)5＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3＋a 4t 4＋a 5t 5，则a 3＝C 25(－1)2＝10．答案：108．农科院小李在做某项试验中，计划从花生、大白菜、大豆、玉米、小麦、高粱这6种种子中选出4种，分别种植在4块不同的空地上(1块空地只能种1种作物)，若小李已决定在第1块空地上种玉米或高粱，则不同的种植方案有________种．(用数字作答)解析：由已知条件可得第1块地有C 12种种植方法，则第2～4块地共有A 35种种植方法，由分步乘法计数原理可得，不同的种植方案有C 12A 35＝120种．答案：1209．(北京高考)把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．解析：将A ，B 捆绑在一起，有A 22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A 44种摆法，共有A 22A 44＝48种摆法，而A ，B ，C 3件在一起，且A ，B 相邻，A ，C 相邻有CAB ，BAC 两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A 33＝12种摆法，故A ，B 相邻，A ，C不相邻的摆法有48－12＝36种．答案：3610．若(2x ＋3)3＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋a 3(x ＋2)3，求a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3的值． 解：由(2x ＋3)3＝[2(x ＋2)－1]3＝C 03[2(x ＋2)]3(－1)0＋C 13[2(x ＋2)]2(－1)1＋C 23[2·(x ＋2)]1(－1)2＋C 33[2(x ＋2)]0(－1)3＝8(x ＋2)3－12(x ＋2)2＋6(x ＋2)－1 ＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋a 3(x ＋2)3． 则a 0＝－1，a 1＝6，a 2＝－12，a 3＝8． 则a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝5．11．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中． (1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？ (2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C 36＝20种不同的放入方式．(2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C 310＝120种放入方式．12．已知(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992． (1)求展开式中二项式系数的最大项； (2)求展开式中系数最大的项．解：(1)令x ＝1，则二项式各项系数和为(1＋3)n ＝4n ， 展开式中各项的二项式系数之和为2n ． 由题意，知4n －2n ＝992．∴(2n )2－2n －992＝0．∴(2n ＋31)(2n －32)＝0． ∴2n ＝－31(舍)或2n ＝32，∴n ＝5． 由于n ＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是 T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223．(2)展开式通项公式为T r ＋1＝C r 53r·(x 23)5－r (x 2)r ＝C r 5·3r ·x 103＋4r 3．假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧5！(5－r )！r ！×3≥5！(6－r )！(r －1)！，5！(5－r )！r ！≥5！(4－r )！(r ＋1)！×3.∴⎩⎨⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92． ∵r ∈N *，∴r ＝4．∴展开式中系数最大项为T 5＝C 45·34·x 103＋4×43＝405x 263．。

单元优选卷（2）充分条件与必要条件1、已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()f x f x -=,且在区间[0,2]上是增函数,则“(0)0f <”是“函数()f x 在区间[0,6]上有3个零点”的( ) A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2、“22a b >”是“22log log a b >”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3、若“2340x x -->”是“223100x ax a -->”的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是( ) A.63,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.42,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.(]6,3,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D.(]4,2,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭4、“直线1y kx =+与圆22(2)1x y -+=相切”是“43k =-”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5、“1λ<”是“数列2*{2}(N )n n n λ-∈为递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6、已知直线1:(3)210l a x y -++=,直线2:30l ax y +-=,则“2a =”是“12l l ⊥”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件7、设集合{1,2}M =,2{}N a =,则“1a =”是“N M ⊆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件8、下列“若p ,则q ”形式的命题中,p 是q 的充分条件的命题个数为( )①若()f x 是周期函数,则()sin f x x =; ②若5x >,则2x >;③若290x -=,则3x =. A.0B.1C.2D.39、下列式子：①1x <；②01x <<；③11x -<<；④10x -<<.其中，可以是21x <的一个充分条件的所有序号为( ) A.①②B.①②③C.②③D.②③④10、设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C.丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件D.无法判断11、“向量a r 与向量b r 的夹角θ为锐角”是“0a b ⋅>r r”的____________条件.12、函数2()23f x x x =-+,若|()|2f x a -<恒成立的充分条件是12x ≤≤,则实数a 的取值范围是____________.13、已知数列{},{}n n a b 满足*2(N )n a n b n =∈,则“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等比数列”的___________条件.14、设函数()||f x x a ax =--,其中a 为常数,则函数()f x 存在最小值的充要条件是a ∈__________.15、“2320x x -+<”是“12x -<<”的_______________条件.16、已知2:230p x x --<，若1a x a -<-<是p 的一个必要条件，则使a b >恒成立的实数b 的取值范围是____________.17、已知:44,:(2)(3)0p x a q x x -<-<--<，且q 是p 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为__________.18、已知函数ln(4)y x =-的定义域为A ，集合{}|B x x a =>，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为___________.19、已知:;:11x a x αβ≥-<.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为__________.20、不等式()(1)0a x x ++<成立的一个充分不必要条件是21x -<<-，则实数a 的取值范围是___________.答案以及解析1答案及解析： 答案：C解析：依题意,得(4)()()f x f x f x -==-,即函数()f x 是以4为周期的函数.因此,当(0)0f <时,不一定能得出函数()f x 在区间[0,6]上有3个零点,如当(2)0f <时,结合该函数的性质及图象,分析可知此时函数()f x 在区间[0,6]上不存在零点;当函数()f x 在区间[0,6]上有3个零点时,结合该函数的性质及图象,分析可知此时(0)0f <.综上,“(0)0f <”是“函数()f x 在区间[0,6]上有3个零点”的必要不充分条件.2答案及解析： 答案：B解析：若22a b >,则只能得到a b >,但不能确定,a b 的正负,当0a b >>时,22log ,log a b 均无意义,更不能比较其大小;若22log log a b >,则0a b >>,从而有22a b >成立.综上,“22a b >”是“22log log a b >”的必要不充分条件.3答案及解析： 答案：D解析：23404x x x -->⇒>或1x <-.当0a ≥时,由223100x ax a -->,得5x a >或2x a <-,当0a <时,由223100x ax a -->,得5x a <或2x a >-.由题意,得05421a a a ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤-⎩或02451a a a <⎧⎪-≥⎨⎪≤-⎩,解得45a ≥或2a ≤-,选D.4答案及解析： 答案：C解析：当43k =-时,圆心(2,0)到直线413y x =-+8|1|1-+=,直线413y x =-+与圆22(2)1x y -+=相切,故必要性成立;若直线1y kx =+与圆22(2)1x y -+=相切,则43k =-或0k =,故充分性不成立,所以“直线1y kx =+与圆22(2)1x y -+=相切”是“43k =-”的必要不充分条件,故选C.5答案及解析： 答案：A解析：记22n a n n λ=-,若数列{}n a 为递增数列,则有10n n a a +->,即212n λ+>对任意*N n ∈都成立,于是有32λ>,32λ<.因为由1λ<可推出32λ<,由32λ<不能推出1λ<,所以“1λ<”是“数列2*{2}(N )n n n λ-∈为递增数列”的充分不必要条件,选A.6答案及解析： 答案：A解析：若12l l ⊥,则3()12a a --⨯-=-,即2320a a -+=,解得1a =或2a =,所以“2a =”是“12l l ⊥”的充分不必要条件,选A.7答案及解析： 答案：A解析：当1a =时,{1}N =,此时N M ⊆;当N M ⊆时,21a =或22a =,解得1a =或-1或故“1a =”是“N M ⊆”的充分不必要条件.8答案及解析： 答案：B解析：①∵()sin ()f x x f x =⇒是周期函数, ∴p 是q 的必要条件;②∵52x x >⇒>,∴p 是q 的充分条件;③∵2390x x =⇒-=,∴p 是q 的必要条件,故选B.9答案及解析： 答案：D解析：∵21x <，∴11x -<<，∴②③④可以是21x <的充分条件.10答案及解析： 答案：A解析：∵乙⇒甲，丙⇒乙，乙丙，∴丙⇒甲，甲丙，∴丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件11答案及解析： 答案：充分不必要解析：若向量a r 与向量b r 的夹角θ为锐角,则cos 0||||a ba b θ⋅=>r rr r ,即0a b ⋅>r r ,可得cos 0||||a ba b θ⋅=>r rr r ,故θ为锐角或0θ=︒,故“若向量a r 与向量b r 的夹角θ为锐角”是“0a b ⋅>r r”的充分不必要条件.12答案及解析： 答案：(1,4)解析：∵|()|2f x a -<恒成立的充分条件是12x ≤≤,∴当12x ≤≤时,|()|2f x a -<恒成立,即()2()2f x a f x -<<+恒成立.又当12x ≤≤时,()2f x +的最小值是4,()2f x -的最大值是1,所以14a <<.13答案及解析： 答案：充要解析：若数列{}n a 是等差数列,设公差为d ,则当2n ≥时,1112222nn n n a a a d n a n b b ----===为非零常数,∴数列{}n b 是等比数列;若数列{}n b 是等比数列,设公比为q ,则0q >,∴当2n ≥时,111222nn n n a a a n a n b q b ----===,∴12log n n a a q --=为常数,∴数列{}n a 是等差数列.综上“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等比数列”的充要条件.14答案及解析： 答案：[1,1]-解析：当x a ≥时,()(1)f x a x a =--;当x a <时,()(1)f x a a x =-+,要使()f x 存在最小值,则10(1)0a a -≥⎧⎨-+≤⎩,解得11a -≤≤,所以[1,1]a ∈-.15答案及解析： 答案：充分不必要解析：由2320x x -+<,得12x <<,因为“12x <<”是“12x -<<”的充分不必要条件,所以“2320x x -+<”是“12x -<<”的充分不必要条件.16答案及解析： 答案：(,2)-∞解析：2:23013p x x x --<⇔-<<；111a x a a x a -<-<⇔-<<+.依题意，得{}{}|13|11x x x a x a -<<⊆-<<+，所以1113a a -≤-⎧⎨+≥⎩解得2a ≥.则使a b >恒成立的实数b 的取值范围是(,2)-∞.17答案及解析： 答案：[]1,6-解析：设,p q 表示的x 的范围分别为集合,A B ，则(4,4),(2,3)A a a B =-+=.因为q 是p的充分不必要条件，所以B A ≠⊂,即4243a a -≤⎧⎨+>⎩或4243a a -<⎧⎨+≥⎩解得16a -≤≤.18答案及解析： 答案：(,4)-∞解析：要使函数ln(4)y x =-有意义，则40x ->，即4x >，即(4,)A =+∞.若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则A B ≠⊂,即4a <，故实数a 的取值范围是(,4)-∞.19答案及解析： 答案：(],0-∞解析：:x a α≥，可看作集合{}|A x x a =≥.∵:11x β-<，∴02x <<，∴β可看作集合{}|02B x x =<<.又∵α是β的必要不充分条件，∴B A ≠⊂,∴0a ≤.20答案及解析： 答案：(2,)+∞解析：不等式可变形为(1)()0x x a ++<.∵当21x -<<-时不等式成立，∴不等式的解为1a x -<<-.由题意有(2,1)(,1)a ≠--⊂--，∴2a ->-，即2a >.。

期末练习（二）1．如果复数)2)(1(i bi ++是纯虚数，则bii b ++132的值为 （ ） A ．2 B ．5 C ．5 D ．152．)('0x f =0是可导函数)(x f 在点0x x =处取极值的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.(2010年广东卷.文)函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是( ) A. )2,(-∞ B.(0,3) C.(1,4) D. ),2(+∞4．函数()323922y x x x x =---<<有（ ）A ．极大值5，极小值27-B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值5．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序C B ,实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有 （ ）A ．24种B ．96种C ．120种D ．144种6．某盏吊灯上并联着3个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是7.0 则在这段时间内吊灯能照明的概率是 （ ）A ．343.0B ．833.0C ．973.0D ．029.17．用数学归纳法证明“（n +1）（n +2）·…·（n +n ）=2n ·1·3·…·（2n －1）”，从“k 到k +1”左端需增乘的代数式为（ ）A.2k +1B.2（2k +1）C.112++k k D.132++k k 8．已知(p x x -22)的展开式中，不含x 的项是2720,那么正数p 的值是 （ ）A ． 1B ．2C ．3D ．4 9．某人制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览。

如果A 、B 为必选城市，并且在游览过程中必须按先A 后B 的次序经过A 、B 两城市（A 、B 两城市可以不相邻），则有不同的游览线路 （ ）A ．120种B ．240种C ．480种D ．600种10. 三位同学乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少有2位同学上了同一车厢的概率为（ ）A ．20029B ．1257C ．187D ．257 11.甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，设每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响.设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则==)(k P ξ（ ）A.4.06.01⨯-kB.76.024.01⨯-kC.6.04.01⨯-kD.24.076.01⨯-k12.设随机变量ξ的概率分布如下表所示： ξ0 1 2 p a 31 61 )()(x P x f ≤=ξ,则当x 的范围是[)2,1时，)(x f 等于（ ）A.31B.61C.21D.6514．在的系数为的展开式中226,)1()1(x x x x ++-15．小明通过英语四级测试的概率为43，他连续测试3次，那么其中恰有一次获得通过的概率 _.16. 已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '等于17.若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是___18．（12分）已知函数3()3f x x x =-（1）求函数()f x 在3[3,]2-上的最大值和最小值（2）过点(2,6)P -作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程19.设函数2e ()xf x x ax a=++，其中a 为实数．（I ）若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围；（II ）当()f x 的定义域为R 时，求()f x 的单调减区间.20.某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否哪门课互不影响，已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08，选修甲和乙而不选修丙的的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的成积.（1）记“函数x x x f ξ+=2)(为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率；（2）求ξ的分布列.21.设函数321()(1)4243f x x a x ax a =--++，其中常数a>1 讨论f(x)的单调性;。

高二数学理科选修2-3第二章综合复习命题人朱效利 审核人朱效利 4.11一、1、给出下列四个命题： ①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；②在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．其中正确的个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．42、已知10件产品中有3件次品，从中任取2件，取到次品的件数为随机变量，用X 表示，那么X 的取值为 （ ）A. 0，1B. 0，2C. 1，2D. 0，1，23、甲、乙两人独立解答某道题，解错的概率分别为a 和b ，那么两人都解对此题的概率是（ ）A ．1-abB ．(1-a )(1-b )C ．1-(1-a )(1-b )D ．a (1-b )+b (1-a )4、在15个村庄中，有7个村庄不太方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于46781015C C C 的是 （ ） A. (2)P X = B. (2)P X ≤ C. (4)P X = D. (4)P X ≤5、盒子里有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为 （ ）A. 15B.25C. 13D. 236、将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 （ ） A.5216 B.25215 C. 31216 D. 91216 7、一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ）A. 0.1536B. 0.1808C. 0.5632D. 0.97288、已知随机变量X 的分布为则()E X 等于 （ ） A. 0 B. －0.2 C. －1 D. －0.39、随机变量Y ～),(p n B ，且() 3.6E Y =,16.2)(=Y D ，则此二项分布是 （ ）A. (4,0.9)BB. (9,0.4)BC. (18,0.2)BD. (36,0.1)B10、某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（ ）Ａ．甲学科总体的方差最小 Ｂ．丙学科总体的均值最小 Ｃ．乙学科总体的方差及均值都居中 Ｄ．甲、乙、丙的总体的均值不相同二、11、某射手射击1次，击中目标的概率是0.9 .她连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是30.90.1⨯；③他至少击中目标1次的概率是410.1-.其中正确结论的序号是___________。

第一章计数原理章末复习课［自我校对］①分类加法计数原理②分步乘法计数原理③排列④排列数公式⑤组合数公式⑥组合数⑦二项展开式的通项⑧对称性⑨增减性匚题型探究二'兴型V 两个计数原理的应用——/ --------------------- -------------------------分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本部分内容的基础,对应用题的考查，经常要对问题进行分类或者分步进而分析求解.“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事情.“分步”表现为必须把各步骤均完成，才能完成所给事情，所以准确理解两个原理的关键在于弄清分类加法计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，不论哪一类办法中的哪一种方法都能够独立完成事件.分步乘法计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法.【例1】王华同学有课外参考书若干本,其中有5本不同的外语书, 4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读.⑴若他从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法？(2)若带外语、数学、物理参考书各一本，有多少种不同的带法？(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？【精彩点拨】解决两个原理的应用问题，首先应明确所需完成的事情是什么，再分析每一种做法使这件事是否完成，从而区分分类加法计数原理和分步乘法计数原理.【解】⑴完成的事情是带一本书，无论带外语书，还是数学书、物理书，事情都已完成，从而确定为应用分类加法计数原理，结果为5+4 +3=12（种）.（2）完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，结果为5X4X3=60（种）.（3）选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理，有5X4= 20种选法；同样，选外语书、物理书各1本，有5X3 = 15种选法；选数学书、物理书各1本，有4X3 = 12种选法.即有三类情况，应用分类加法计数原理,结果为20+15+12=47（种）.「规律方袪 ----------------------------------应用两个计数原理解决应用问题时主要考虑三方面的问题:⑴要做什么事；(2)如何去做这件事；(3)怎样才算把这件事完成了.并注意计数原则: 分类用加法，分步用乘法.L 如图所示的电路图，从A 到〃共有 ____司的线路可通电.【解析】先分三类.第一类，经过支路①有3种方法；第二类，经过支路②有1种方法；第三类，经过支路③有2X2=4（种）方法，所以总 的线路条数N=3+l+4二8.【答案】8 B\李彰丿排列、组合的应用排列、组合应用题是高考的重点内容，常与实际问题结合命题，要认真审题，明确问题本质，利用排列、组合的知识解决.【例2】⑴某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲不到银川，乙不到西宁，\李彰丿排列、组合的应用共有多少种不同派遣方案?(2)在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.①当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？②当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？③若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？【精彩点拨】按照“特殊元素先排法”分步进行，先特殊后-般.【解】（1）因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案皿种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有总种方法，所以共有3启种方法；③若乙参加而甲不参加同理也有3总种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余学生到另两个城市有A?种，共有7A：种方法.所以共有不同的派遣方法总数为A笄3A汁3A汁7朋=4088种.(2)①第一步，先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A匸5040种方法；第二步，再松绑，给4个节目排序, 有皿=24种方法.根据分步乘法计数原理，一共有5 040X24=120 960种.②第一步，将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，一共有廣=720种方法.XDXDXQXnxnxDX第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间（即图中“X”的位置），这样相当于7个“X”选4个来排，一共有用=840种.根据分步乘法计数原理，一共有720X840=604 800种.③若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A］；种排法，但原来的A 12节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有寻二A：2=132种排Aio法.规律方进解排列、组合应用题的解题策略1.特殊元素优先安排的策略.2.合理分类和准确分步的策略.3.排列、组合混合问题先选后排的策略.4.正难则反、等价转化的策略.5.相邻问题捆绑处理的策略.6.不相邻问题插空处理的策略.7.定序问题除序处理的策略.8.分排问题直排处理的策略.9.“小集团”排列问题中先整体后局部的策略.10.构造模型的策略. 简单记成：合理分类，准确分步; 特殊优先，一般在后; 先取后排，间接排除; 集团捆绑，间隔插空; 抽象问题，构造模型; 均分除序，定序除序.艇Pill练.2.⑴一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题, 要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是（:C. 84D. 200A. 40B. 74C. 84D. 200(2)A, B, C, D, E, F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B, C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有()A. 60 种B. 48 种C. 30 种D. 24 种【解析】⑴分三类：第一类,前5个题目的3个，后4个题目的3个;第二类，前5个题目的4个，后4个题目的2个;第三类，前5个题目的5个，后4个题目的1个.由分类加法计数原理得CgC 汁CfC 汁G C]=74.(2)由题意知，不同的座次有A埶扌=48种，故选B.【答案】(1)B (2)B类型3丿二项式定理问题的处理方法和技巧对于二项式定理的考查常岀现两类问题,一类是直接运用通项公式来求特定项.另一类，需要运用转化思想化归为二项式定理来处理问题./ \【例3】⑴若二项式2x+f的展开式中g的系数是84,则实数°\ x)兀=()4A. 2B.D.C. 1(2)已知(l+x+H)x+dhwN+)的展开式中没有常数项，且2W/W8,\兀丿则&二_______ .(3)设(3L 1)6=财6+〃5(+0扌+财3+°2『+0区+。

第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理知识一、分类加法计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法.2．分类加法计数原理的推广完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……在第n类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法．【注】分类加法计数原理的特点是各类中的每一个方法都可以完成要做的事情.二、分步乘法计数原理1．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法．2．分步乘法计数原理的推广完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法．【注】分步乘法计数原理的特点是每一步中都要使用一个方法才能完成该步要做的事情.可以用下图表示分步乘法计数原理的原理：3．两个计数原理的联系与区别三、两个计数原理的应用1．用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——需要分类还是需要分步．应用分类加法计数原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性，各类中的每个方法都能独立的将这件事情完成；应用分步乘法原理时，要注意“步”与“步”之间是连续的，做一件事需分成若干个互相联系的步骤，所有步骤依次相继完成，这件事才算完成．2．分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．3．分步要做到“步骤完整”，步与步之间要相互独立，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总数．知识参考答案：一、1．m+n2．m1＋m2＋···＋m n二、1．m×n2．m1×m2×···×m n重点1．分类加法计数原理的应用对分类加法计数原理的理解注意点：（1）明确问题中所指的“完成一件事”是指什么，怎样才算是完成这件事，然后根据问题的特点确定一个分类标准，在这个标准下进行分类.（2）“完成一件事有n类不同方案”是指完成这件事的所有方法可分为n类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务，而不需要再用到其他方法；每一类没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中.简单地说，就是应用分类加法计数原理时要做到“不重不漏”.【例1】从甲地到乙地一天之中有三次航班、两趟火车，某人利用这两种交通工具在当天从甲地赶往乙地的方法有A．2种B．3种C．5种D．6种【答案】C【例2】把3枚相同的纪念邮票和4枚相同的纪念币作为礼品送给甲、乙两名学生，要求全部分完且每人至少有一件礼品，则不同的分法共有种.【答案】18【解析】以甲分得的礼品数为标准分类（用(a,b)表示甲分得纪念邮票a枚，纪念币b枚），可分为6类：第1类，甲分得1件礼品有2种分法：（1,0），（0,1）；第2类，甲分得2件礼品有3种分法：（2,0），（1,1），（0,2）；第3类，甲分得3件礼品有4种分法：（3,0），（2,1），（1,2），（0,3）；第4类，甲分得4件礼品有4种分法：（3,1），（2,2），（1,3），（0,4）；第5类，甲分得5件礼品有3种分法：（3,2），（2,3），（1,4）；第6类，甲分得6件礼品有2种分法：（3,3），（2,4）.根据分类加法计数原理，不同的分法共有2+3+4+4+3+2=18种.【名师点睛】本题的分类标准并不明显，根据题意，这些礼品要全部分完且每人至少有一件礼品，因此可以将甲、乙这两人中一人分得的礼品数作为分类标准，本题从甲分得的礼品数考虑，也可以从两类礼品的角度考虑，分两个步骤完成，应用分步乘法计数原理解决.2．分步乘法计数原理的应用对分步乘法计数原理的理解注意点：（1）明确问题中所指的“完成一件事”是指什么，怎样才算是完成这件事，然后根据问题的特点确定分步标准，标准不同，分步的步骤也会不同.（2）“完成一件事需要n个步骤”是指完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成所有这些步骤就能完成这件事.即各步骤是相互依存的，只有每个步骤都完成才能完成这件事.简单地说，就是应用分步乘法计数原理时要做到“步骤完整”.【例3】某市汽车牌照号码(由4个数字和1个字母组成)可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B,C,D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码所有可能的情况有A．180种B．360种C．720种D．960种【答案】D【解析】分五步完成,第i步取第i个号码由分步乘法计数原理,可得车牌号码共有种.【例4】（1）用数字1,2,3可以组成多少个三位数？（2）用数字1,2,3可以组成多少个没有重复数字的三位数？【答案】（1）27；（2）6.【解析】（1）要完成“组成三位数”这件事,需分以下3步：第一步：确定个位数字,1,2,3三个数字都可以选择,有3种选法；第二步：确定十位数字,1,2,3三个数字都可以选择,有3种选法；第三步：确定百位数字,1,2,3三个数字都可以选择,有3种选法.根据分步乘法计数原理,可以组成的三位数有3×3×3=27个.（2）要完成“组成没有重复数字的三位数”这件事,需分以下3步：第一步：确定个位数字,1,2,3三个数字都可以选择,有3种选法；第二步：确定十位数字,第一步选过的数字不能选择,因此有2种选法；第三步：确定百位数字,只有1种选法.根据分步乘法计数原理,知可以组成的三位数有3×2×1=6个.【规律总结】（1）应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可．（2）利用分步乘法计数原理解题的一般思路．①分步：将完成这件事的过程分成若干步；②计数：求出每一步中的方法数；③结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．3．两个计数原理的综合应用应用两个计数原理解题时的策略：（1）确定计数原理：要分清涉及的问题从大的方面看是利用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理，还是两种原理综合应用解题．（2）处理好类与步的关系：对于较为复杂的题目，在某一类中需要分步计算所用的方法，而在某一步中又可能分类计算所用的方法，两者要有机结合．（3）注意不重不漏：做到分类类不重，分步步不漏．【例5】编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1，2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种？【例6】集合A＝{1，2，－3}，B＝{－1，－2，3，4}.现从A，B中各取一个元素作为点P(x，y)的坐标.（1）可以得到多少个不同的点？（2）在这些点中，位于第一象限的有几个？【解析】（1）一个点的坐标由x，y两个元素确定，若它们有一个不同，则表示不同的点，可分为两类：第一类：选A中的元素为x，B中的元素为y，有3×4＝12(个)不同的点；第二类：选A中的元素为y，B中的元素为x，有4×3＝12(个)不同的点.由分类加法计数原理得不同点的个数为12＋12＝24(个).（2）第一象限内的点，即x，y必须为正数，从而只能取A，B中的正数，同样可分为两类.由分类加法计数原理得适合题意的不同点的个数为2×2＋2×2＝8(个).4．分类或分步时考虑不全致误【例7】有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面、3面在某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？【错解】每次升一面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×2＝6种不同信号；每次升3面旗可组成3×2×1＝6种不同的信号，根据分类加法计数原理知，共有不同信号3＋6＋6＝15种．【错因分析】每次升起2面或3面旗时，颜色可以相同．【正解】每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号；每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号．根据分类加法计数原理得，共可组成：3＋9＋27＝39种不同的信号．【易错警示】审题时要细致，把题意弄清楚．本题中没有规定升起旗子的颜色不同，故既要考虑升起旗子的面数，又要考虑其颜色，不可偏废遗漏．【例8】甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况有种.【错解】错解1：分四步完成这件事.第1步，第1名同学去夺3门学科的冠军，有可能1个也没获得，也可能获得1个或2个或全部，因此，共有4种不同情况；同理，第2，3，4步分别由其他3名同学去夺这3门学科的冠军，都各自有4种不同情况.由分步乘法计数原理知，共有4×4×4×4=44=256种不同的冠军获得情况.错解2：分四步完成这件事.第1步，第1名同学去夺3门学科的冠军，有3种不同情况；同理，第2，3，4步分别由其他3名同学去夺这3门学科的冠军，都各自有3种不同情况.由分步乘法计数原理知，共有3×3×3×3=34=81种不同的冠军获得情况.【错因分析】要完成的“一件事”是“争夺3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生”.但错解1、2中都有可能出现某一学科冠军被2人、3人，甚至4人获得的情形，另外还可能出现某一学科没有冠军产生的情况.【正解】可先举例说出其中的一种情况，如数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军分别是甲、甲、丙，可见研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生1名冠军，才完成了这件事，而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分三步.第1步，产生第1个学科冠军，它一定被其中1名同学获得，有4种不同的获得情况；第2步，产生第2个学科冠军，因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军，所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况；第3步，同理，产生第3个学科冠军，也有4种不同的获得情况.由分步乘法计数原理知，共有4×4×4=43=64种不同的冠军获得情况.【答案】64【易错警示】此类问题是一类元素允许重复选取的计数问题，可以用分步乘法计数原理来解决，关键是明确要完成的一件事是什么.也就是说，用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据.基础训练1．某学生去书店,发现2本不同的好书,决定至少买其中一本,则购买方式共有A．1种B．2种C．3种D．4种2．设某班有男生30名，女生24名．现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，则不同的选法共有A．24种B．30种C．54种D．720种3．体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某人到该体育场晨练，则他进、出门的方案有A．12种B．7种C．14种D．49种4．在一次才艺展示活动中,甲、乙、丙三位同学欲报名“朗诵比赛”、“歌唱比赛”,但学校规定每位同学限报其中的一个,且乙知道自己唱歌不如甲,若甲报唱歌比赛乙就报朗诵比赛,则他们三人不同的报名方法有A．3种B．6种C．7种D．8种5．从1,2,3,4,5五个数中任取3个,可组成不同的等差数列的个数为A．2 B．4C．6 D．86．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有A．12 B．24C．36 D．407．若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有_______种. 8．甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，则共有________种不同的推选方法.9．工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续．．．．固定相邻的2个螺栓，则不同的固定螺栓方式的种数是________．10．现从高一四个班的学生中选取34人，其中一、二、三、四班分别选取7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．（1）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（2）推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？能力提升11．把4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，参观券全部分完，则不同的分法共有A．120种B．1024种C．625种D．5种12．如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A、B、C、D、E、F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有A．6种B．36种C．63种D．64种13．设集合I={1，2，3，4,5}，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有A．50 种B．49 种C．48 种D．47 种14．若直线方程Ax+By=0中的A,B可以从0,1,2,3,5这5个数字中任取2个不同的数字，则方程所表示的不同直线有A ．5条B ．7条C ．12条D ．14条15．如图所示给五个区域涂色，现有四种颜色可供选择．要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同涂色方法种数为A ．24种B ．48种C ．72种D ．96种16．已知a ∈{3,4,6}，b ∈{2,5,7,8}，则方程x 2a ＋y 2b＝1可表示________个不同的椭圆.17．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为______ 18．我们把个位数比十位数小的两位数称为“和谐两位数”，则1，2，3，4四个数组成的两位数中，“和谐两位数”有________个.19．用n 种不同的颜色为下列两块广告牌（如图甲、乙）着色，要求A ，B ，C ，D 四个区域中相邻（有公共边界）的区域用不同的颜色.（1）若n =6,求为甲图着色时共有多少种不同的方法； （2）若为乙图着色时共有120种不同方法，求n .真题练习20．(新课标全国Ⅱ)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A ．24B ．18C ．12D ．921．(2019新课标全国Ⅱ)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个22．(2019福建模拟)满足a ，b ∈{−1,0,1,2}，且关于x 的方程有实数解的有序数对的个数为 A ．14 B ．13 C ．12D ．1023．(2019山东模拟)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为A ．243B ．252C ．261D ．27924．(2019安徽模拟)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对参考答案2k m ≤12,,,k a a a 220ax x b ++=(,)a b1．【答案】C【解析】分两类:买1本书、买2本书,各类购买方式依次有2种、1种,故购买方式共有2+1=3种.2．【答案】D【解析】第一步，从30名男生中选出1人，有30种不同的选法；第二步，从24名女生中选出1人，有24种不同的选法．根据分步乘法计数原理得，共有30×24=720种不同的选法．3．【答案】D【解析】要完成进、出门这件事，需要分两步，第一步进体育场，第二步出体育场，第一步进门有4+3=7种方法，第二步出门也有4+3=7种方法，由分步乘法计数原理知，进、出的方案有7×7=49种.4．【答案】B【解析】从甲着手分析,分两类：若甲报唱歌比赛,则乙报朗诵比赛,丙可任选,有2种报名方法；若甲报朗诵比赛,则乙、丙均可任选,有2×2=4种报名方法.所以共有2+4=6种不同的报名方法.5．【答案】D【解析】分两类:第1类,公差大于0,有①1,2,3,②2,3,4,③3,4,5,④1,3,5,共4个等差数列；第二类,公差小于0,也有4个.根据分类加法计数原理可知,共有4+4=8个不同的等差数列.【名师点睛】完成这件事，只要两位数的个位、十位确定了，这件事就算完成了，因此可考虑按十位上的数字情况或按个位上的数字情况进行分类．应用分类加法计数原理解题时要注意以下三点：（1）明确题目中所指的“完成一件事”指的是什么事，怎样才算是完成这件事．（2）完成这件事的n类办法中的各种方法是互不相同的，无论哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事．（3）确立恰当的分类标准，这个“标准”必须满足：①完成这件事情的任何一种方法必须属于其中的一个类；②分别在不同两类中的两种方法不能相同．即不重复，无遗漏．7．【答案】81【解析】4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则每人有3种报名方法，则4人共有3×3×3×3=81种方法.8．【答案】31【解析】分为三类：第一类，甲班选一名，乙班选一名，根据分步乘法计数原理有3×5＝15种选法；第二类，甲班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有3×2＝6种选法；第三类，乙班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有5×2＝10种选法.综合以上三类，根据分类加法计数原理，共有15＋6＋10＝31种不同选法.9．【答案】60【解析】第一步任意选取一个螺栓，有6种方法；第二步，按照要求以此固定，不妨第一次固定螺栓1，则有如下的固定方法：1,3,5,2,4,6；1,3,5,2,6,4；1,3,6,4,2,5；1,5,2,4,6,3；1,5,3,6,2,4；1,5,3,6,4,2；1,4,2,6,3,5；1,4,2,5,3,6；1,4,6,3,5,2；1,4,6,2,5,3，共有10种方法，所以总共有种方法，故答案是60.10．【解析】（1）分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5040(种)．（2）分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．11．【答案】D【解析】由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，每次分完只有一个代表队得不到，所以共有5种不同的分法．故选D．12．【答案】C【解析】每个焊接点都有正常与脱落两种情况，只要有一个脱落电路即不通，∴共有26－1＝63种．故选C．13．【答案】B【解析】按分类加法计数原理做如下讨论：①当A中最大的数为1时，B可以是{2，3，4，5}的非空子集，即有24－1＝15种方法；②当A中最大的数为2时，A可以是{2}或{1，2}，B可以是{3，4，5}的非空子集，即有2×(23－1)＝14种方法；③当A中最大的数为3时，A可以是{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，B可以是{4，5}的非空子集，即有4×(22－1)＝12种方法；④当A中最大的数为4时，A可以是{4}，{1，4}，{2，4}，{3，4}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}，B可以是{5}，即有8×1＝8种方法.故共有15＋14＋12＋8＝49种方法.14．【答案】D【解析】方法一（直接法）：本题中有特殊数字0，所以，以A,B中是否有数字0为标准进行分类，可分两类：第1类，当A,B中有一个为0时，表示直线x=0或y=0，共2条不同直线.第2类，当A,B都不为0时，确定直线Ax+By=0需要分两步完成：第1步，确定A的值，有4种不同的方法；第2步，确定B的值，有3种不同的方法.由分步乘法计数原理知，共可确定4×3=12条不同直线.由分类加法计数原理知，方程所表示的不同直线共有2+12=14条.方法二（间接法）：分两步：第1步，确定A的值，有5种不同的方法；第2步，确定B的值，有4种不同的方法.由分步乘法计数原理知，可以确定5×4=20条直线.在这20条直线中，A=0，B=1，2，3，5，以及B=0，A=1，2，3，5各表示一条直线，即有6条直线是重复计数的，因此，符合条件的不同直线共有20−6=14条.【名师点睛】间接法体现了“正难则反”的思想.若问题从正面考虑的话情况比较多,而问题的反面情况较少,且容易计数,则宜采用间接法,即先求出方法总数,再减去不符合条件的方法数或重复计数的方法数. 15．【答案】C【解析】解法1：分两种情况：①A、C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B、D有1种，由分步乘法计数原理知有4×3×2＝24种．②A、C同色，先涂A有4种，E有3种，E有2种，B、D各有2种，由分步乘法计数原理知有4×3×2×2＝48种．由分类加法计数原理知，共有72种，故选C．解法2：先涂A，有4种涂法，再涂B、D，①若B 与D 同色，则B 有3种，E 有2种，C 有2种，共有4×3×2×2＝48种；②若B 与D 不同色，则B 有3种，D 有2种，E 有1种，C 有1种，共有4×3×2×1×1＝24种， 由分类加法计数原理知，共有不同涂法48＋24＝72种． 故选C ．【名师点睛】这是一个有限制条件的计数问题，解决方法是：特殊位置、特殊元素优先安排的原则．本题是先分类再分步，而分类的标准是两个特殊位置，这样，在分类时才能做到“不重不漏”．应用两个计数原理解题时的策略：(1)确定计数原理：要分清涉及的问题从大的方面看是利用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理，还是两种原理综合应用解题．(2)处理好类与步的关系：对于较为复杂的题目，在某一类中需要分步计算所用的方法，而在某一步中又可能分类计算所用的方法，两者要有机结合． (3)注意不重不漏：做到分类类不重，分步步不漏． 16．【答案】12【解析】∵a ∈{3,4,6}，b ∈{2,5,7,8}，∴x 2a ＋y 2b ＝1可表示不同的椭圆个数为3×4＝12个．17．【答案】【解析】黑白两个球随机放入编号为的三个盒子中，每个球都有三种放法，故共有种放法，黑白两球均不在一号盒，都有两种放法，共有，所以黑白两球均不在一号盒的概率为，故答案为. 【名师点睛】计数原理与其他知识交汇命题，常以“个数”或“概率”形式出现，计数常采用列举数数、树状图、表格等方法．解答时，先依据其他知识转化，将所求问题归结为计数问题，再按计数原理进行计算．49494919．【解析】（1）对区域A ，B ，C ，D 按顺序着色，共有6×5×4×4=480种不同的方法.（2）对区域A ，B ，C ，D 按顺序着色，依次有n 种、n −1种、n −2种和n −3种， 由分步乘法计数原理，不同的着色方法共有n (n −1)(n −2)(n −3)=120，整理得(n 2−3n )(n 2−3n +2)=120，(n 2−3n )2+2(n 2−3n )−120=0，n 2−3n −10=0或n 2−3n +12=0（舍去）， 解得n =5.【名师点睛】（1）由题意知本题考查的是分步乘法计数原理，对区域A ，B ，C ，D 按顺序着色，第一块有6种方法，第二块就不能选第一块的颜色，有5种结果，以此类推，根据分步计数原理得到结果． （2）利用分步乘法计数原理得到不同的染色方法有n (n −1)(n −2)(n −3)种，再根据共有120种结果，列出等式，解关于n 的方程，即可得到结果． 对于着色问题的两种典型现象：一是平面图涂颜色：先涂接触区域最多的一块；二是立体图涂颜色：先涂具有同一顶点的几个平面，其他平面每步涂法分类列举. 20．【答案】B【解析】由题意可知E →F 共有6种走法，F →G 共有3种走法，由乘法计数原理知，则共有6×3=18种走法，故选B.【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的． 21．【答案】C【解析】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：10a =81a =由上表知，不同的“规范01数列”共有14个，故选C.【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果． 22．【答案】B【解析】当时，关于x 的方程为，此时有序数对均满足要求；当时，，所以，此时满足要求的有序数对为 ．综上，共有13个满足要求的有序数对． 23．【答案】B【解析】十个数排成不重复数字的三位数的求解方法是： 第1步，排百位数字，有9种方法(0不能作首位)； 第2步，排十位数字，有9种方法； 第3步，排个位数字，有8种方法，根据乘法原理，共有9×9×8=648个没有重复数字的三位数． 可以组成所有三位数的个数有9×10×10=900（个）， 所以可以组成有重复数字的三位数的个数为900−648=252.0a =20x b +=()()()0,10,00,102),(-，，，0a ≠440ab ∆=-≥1ab ≤()()(1,11,01,11,2)()-----,,,,()()()111,01,1212,0()()--,,,，,,24．【答案】C【解析】如图，在上底面中选，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样对应的也有8对，下底面也有16对，共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对．所以全部共有48对．1.2 排列与组合知识一、排列 1．排列的定义一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成 ，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列(arrangement).【注】（1）排列的定义包含两方面的含义：一是“取出元素”；二是“按照一定的顺序”．（2）定义中规定给出的n 个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不能再取了．（3）定义中的“一定的顺序”与位置有关.如取出数字1，2，3组成一个三位数，就与位置有关，因为123和321是不同的三位数. 2．排列数、排列数公式 （1）排列数从n 个不同元素中取出个元素的所有 的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号表示.11B D 11AC ()m m n A mn。