按章节分类汇编人教A理选修23第一章计数原理

高中数学人教版选修2-3（理科）第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（ ）A ．5种B ．6种C ．7种D ．8种 2．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数为（ ）A ．20B ．15C ．12D ．103．身穿红、黄两种颜色衣服的各有2人，现将这4人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ）A. 4种B. 6种C. 8种D. 12种4．若4个人报名参加3项体育比赛，每个人限报一项，则不同的报名方法的种数有（）A ．33B ．43C ．34D ．44 5．已知集合{}3,2,1-=M ，{}7,6,5,4--=N ，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，可得直角坐标系中第一、二象限不同点的个数是（ ）A ．18B ．16C ．14D ．106．由十个数和一个虚数单位i ，可以组成虚数的个数为（ ）A ．B ．C ．D ．7．一位同学希望在暑假期间给他的4位好友每人发一条短信问候，为省下时间学习，他准备从手机草稿箱中直接选取已有短信内容发出．已知他手机草稿箱中有3条适合的短信，则该同学共有不同的发短信的方法（ ）A ．12种B ．24种C ．64种D ．81种8．现准备将6台型号相同的电脑分配给5所小学，其中A 、B 两所希望小学每个学校至少2台，其他小学允许1台也没有，则不同的分配方案共有（ ）A ．13种B ．15种C ．20种D ．30种二、填空题9．一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种0,1,2,3,...,9方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是 .10．如图，用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有种．11．4张卡片的正、反面分别写有0与1，2与3，4与5，6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成________个不同的三位数．三、解答题12．如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，电阻断路的可能性共有多少种情况.13．13．某体育彩票规定：从01至36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，此人想把这种特殊要求的号买全，需要花多少钱? 14．某学校高二年级有12名语文教师、13名数学教师、15名英语教师，市教育局拟召开一个新课程研讨会.（1）若选派1名教师参会，有多少种派法?（2）若三个学科各派1名教师参会，有多少种派法?（3）若选派2名不同学科的教师参会，有多少种派法?参考答案1．B【解析】由分步计数原理得，可选方式有2×3＝6种．故选B．考点：分步乘法计数原理．2．D【解析】试题分析：抓住上底面的一个顶点，看从此顶点出发的对角线有多少条即可解决．解：由题意正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有2条．正五棱柱对角线的条数共有2×5=10条．故选D点评：本题考查计数原理在立体几何中的应用，考查空间想象能力．3．C【解析】首先将两个穿红衣服的人排列，2种结果，再把两个穿黄色衣服的人排列在上面两个人形成的三个空中，同时，两人中间必须有一个，避免两个穿红色衣服的人相邻，共有2×2+2×2=8种，故选C.考点：计数原理.4．B【解析】4名同学报名参加3项体育比赛，每人限报一项，每人有3种报名方法；根据分步计数原理，可得共有3×3×3×3=43种不同的报名方法，故选C.考点：计数原理.5．C【解析】分两类：第一类：M中取横坐标，N中取纵坐标，共有3×2=6个第一、二象限的点；第二类：M中取纵坐标，N中取横坐标，共有2×4=8个第一、二象限的点.共有6+8=14个不同的点.故选C.考点：计数原理.6．D【解析】复数()i ,,0a b a b b +∈≠R 为虚数，则有种可能，有种可能，共有种可能.故选D. 考点：计数原理.7．D【解析】给每一位好友都有3种选择，因此共有发短信的方法种，故选D ．考点：计数原理.8．B【解析】①先给A 、B 两所希望小学分配电脑，若每个学校2台，由于电脑型号相同，故只有1种情况，其次将剩余的2台电脑分给其他3所小学，若一所小学2台，其他的没有，有3种情况；若2所小学各1台，另一所小学没有，有3种情况，共有6中情况；②若A 、B 两所希望小学其中一所得3台，另一所2台，有2种情况，再将剩余的1台电脑分给其他3所小学，有3种情况，共3×2=6种情况； ③若给A 、B 两所希望小学各分配3台电脑，有1种情况；④若A 、B 两所希望小学其中一所得4台，另一所2台，有2种情况.综上，共6+6+1+2=15种情况，故选B ．考点：计数原理.9．8【解析】利用分类加法计数原理，可知完成一件事可以分为两类，第一种方法完成有3种，第二种方法完成有5种，一共有3+5=8种.考点：分类计数原理.10．180【解析】试题分析：第一步涂B 、C ，共25A 种方法；第二步涂A 、D ，共23=9种方法，由分步计数原理，共259=180A ⨯种方法； 考点：1.涂色问题；2.排列；3.分步计数原理；11．1684381=【解析】要组成三位数，根据百位、十位、个位可知应分三步：第一步：百位可放8－1＝7个数；第二步：十位可放6个数；第三步：个位可放4个数．故由分步计数原理，得共可组成7×6×4＝168个不同的三位数．考点：分步计数原理.12．63【解析】每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线a、-=种；支线c中至少有一个电阻断b、c，支线a，b中至少有一个电阻断路情况都有2213-=种，每条支线至少有一个电阻断路，灯A就不亮，因此灯A不亮的情路的情况有3217况共有3×3×7=63种情况.考点：计数原理问题.13．8640元【解析】第一步：从01至10中选3个连续的号码有01,02,03；02,03,04；…；08,09,10，共8种不同的选法；第二步：同理，从11至20中选2个连续的自然数有9种不同的选法；第三步：从21至30中选一个号码有10种不同的选法；第四步：从31至36中选一个号码有6种不同的选法.共可组成8×9×10×6=4320注，所以需要花费2×4320=8640元钱.考点：分步计数原理.视频14．（1）40（2）2340（3）531【解析】（1）分三类：第一类选语文老师，有12种不同选法；第二类选数学老师，有13种不同选法；第三类选英语老师，有15种不同选法，共有12+13+15=40种不同的选法. （2）分三步：第一步选语文老师，有12种不同选法；第二步选数学老师，有13种不同选法；第三步选英语老师，有15种不同选法，共有12×13×15=2340种不同的选法.（3）分三类：第一类选一位语文老师和一位数学老师共有12×13种不同的选法；第二类选一位语文老师和一位英语老师共有12×15种不同的选法；第三类选一位英语老师和一位数学老师共有15×13种不同的选法，共有12×13+12×15+13×15=531种不同的选法.考点：计数原理问题.。

2012年高考数学按章节分类汇编（人教A 理：选修2-3）第一章计数原理一、选择题1 ．（2012陕西理）两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有（ ）A ．10种B ．15种C ．20种D ．30种2 ．（2012山东理）现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 （ ） A ．232 B ．252 C ．472 D ．4843 ．（2012辽宁理）一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为（ ）A ．3×3!B ．3×(3!)3C ．(3!)4D ．9!4 ．（2012四川文）方程22ay b x c =+中的,,{2,0,1,2,3}a b c ∈-,且,,a b c 互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有（ ）A ．28条B ．32条C ．36条D ．48条5 ．（2012大纲文）6名选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有 （ ）A ．240种B ．360种C ．480种D ．720种6 ．（2012新课标理）将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有 （ ）A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种7 ．（2012浙江理）若从1,2,2,,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有 （ ）A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种8 ．（2012四川理）方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--,且,,a b c 互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有（ ）A ．60条B ．62条C ．71条D ．80条9．（2012湖北理）设a ∈Z ,且013a ≤<,若201251a +能被13整除,则a =（ ）A ．0B ．1C ．11D ．1210．（2012大纲理）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有 （ ）A ．12种B ．18种C ． 24种D ．36种11．（2012北京理）从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为（ ）A ．24B ．18C ．12D ．612．（2012安徽理）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品,已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为 （ ）A ．1或3B ．1或4C ．2或3D ．2或413．（2012安徽理）2521(2)(1)xx +-的展开式的常数项是 （ ）A ．3-B ．2-C ．2D ．314 ．（2012重庆文）5(13)x - 的展开式中3x 的系数为（ ）A ．-270B ．-90C ．90D ．27015 ．（2012四川文）7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A ．21B ．28C ．35D ．4216 ．（2012天津理）在251(2)xx -的二项展开式中,x 的系数为 （ ）A ．10B ．10-C ．40D ．40-17 ．（2012重庆理）8的展开式中常数项为（ ）A ．1635B ．835 C ．435 D ．10518 ．（2012四川理）7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A ．42B ．35C ．28D ．21二、填空题19 ．（2012湖南文）某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定,需要优选培养温度,实验范围定为29℃~63℃.精确度要求±1℃.用分数法进行优选时,能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为_______.20 ．（2012福建文）某地图规划道路建设,考虑道路铺设方案,方案设计图中,点表示城市,两点之间连线表示两城市间可铺设道路,连线上数据表示两城市间铺设道路的费用,要求从任一城市都能到达其余各城市,并且铺设道路的总费用最小.例如:在三个城市道路设计中,若城市间可铺设道路的路线图如图1,则最优设计方案如图2,此时铺设道路的最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图3,则铺设道路的最小总费用为____________.21．（2012浙江理）若将函数()5f x x =表示为()()()()250125111f x a a x a x a x =+++++++其中0a ,1a ,2a ,,5a 为实数,则3a =______________.22．（2012重庆理）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为_______(用数字作答).23 ．（2012重庆文）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节,则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答).24．（2012上海理）在6)2(xx -的二项展开式中,常数项等于 _________ . 25．（2012上海春）若52345012345(21),x a a x a x a x a x a x -=+++++则012345a a a a a a +++++=___.26．（2012陕西理）5()a x +展开式中2x 的系数为10, 则实数a 的值为__________. 27．（2012湖南理）( 2x x)6的二项展开式中的常数项为_____.(用数字作答) 28．（2012广东理）(二项式定理)621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为_________.(用数字作答)29．（2012福建理）4()a x +的展开式中3x 的系数等于8,则实数a =_________.30．（2012大纲理）若1()nx x+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中21x的系数为___________. 31 ．（2012上海文）在6)1(x x -的二项展开式中,常数项等于 _________ .32 ．（2012大纲文）81()2x x+的展开式中2x 的系数为____.33 ．（2012年高考（上海理））三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是______(结果用最简分数表示).参考答案一、选择题1. 解析:先分类:3:0,3:1,3:2共计3类,当比分为3:0时,共有2种情形;当比分为3:1时,共有12428C A 种情形;当比分为3:2时,共有225220C A 种情形;总共有282030种,选D.2. 【解析】若没有红色卡,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,若都不同色则有64141414=⨯⨯C C C 种,若2色相同,则有14414241223=C C C C ;若红色卡片有1张,则剩余2张若不同色,有19214142314=⨯⨯⨯C C C C 种,如同色则有72242314=C C C ,所以共有4727219214464=+++,故选C.3. 【答案】C【解析】此排列可分两步进行,先把三个家庭分别排列,每个家庭有3!种排法,三个家庭共有33!3!3!(3!)⨯⨯=种排法;再把三个家庭进行全排列有3!种排法.因此不同的坐法种数为4(3!),答案为C【点评】本题主要考查分步计数原理,以及分析问题、解决问题的能力,属于中档题. 4. [答案]B[解析]方程22ay b x c =+变形得222b cy b a x -=,若表示抛物线,则0,0≠≠b a 所以,分b=-2,1,2,3四种情况:(1)若b=-2,⎪⎩⎪⎨⎧======2,1,033,1,0,23,2,0c ,1或或，或或或或c a c a a ; (2)若b=2, ⎪⎩⎪⎨⎧-==-===-=1,0,233,0,2c ,13,1,0,2或或，或或或或c a a c a以上两种情况下有4条重复,故共有9+5=14条;同理 若b=1,共有9条; 若b=3时,共有9条. 综上,共有14+9+9=32种[点评]此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽视重复的4条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用. 5. 答案C【命题意图】本试题考查了排列问题的运用.利用特殊元素优先安排的原则分步完成得到结论.【解析】甲先安排在除开始与结尾的位置还有14C 个选择,剩余的元素与位置进行全排列有55A ,故不同的演讲次序共有1545480C A =种.6. 【解析】选A 甲地由1名教师和2名学生:122412C C =种 7. 【答案】D【解析】1,2,2,,9这9个整数中有5个奇数,4个偶数.要想同时取4个不同的数其和为偶数,则取法有:4个都是偶数:1种;2个偶数,2个奇数:225460C C =种;4个都是奇数:455C =种.∴不同的取法共有66种.8. [答案]B[解析]方程22ay b x c =+变形得222bcy b a x -=,若表示抛物线,则0,0≠≠b a 所以,分b=-3,-2,1,2,3五种情况:(1)若b=-3,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==-===-=2,1,0,233,1,0,2,23,2,0,2c ,13,2,1,0,2或或或，或或或或或或或或或c a c a a c a ; (2)若b=3,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==-===-=2,1,0,233,1,0,2,23,2,0,2c ,13,2,1,0,2或或或，或或或或或或或或或c a c a a c a 以上两种情况下有9条重复,故共有16+7=23条;同理当b=-2,或2时,共有23条; 当b=1时,共有16条. 综上,共有23+23+16=62种[点评]此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽视重复的18条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用. 9.考点分析:本题考察二项展开式的系数.解析:由于51=52-1,152...5252)152(1201120122011120122012020122012+-+-=-C C C ,又由于13|52,所以只需13|1+a,0≤a<13,所以a=12选D.10.答案A【命题意图】本试题考查了排列组合的用用.【解析】利用分步计数原理,先填写最左上角的数,有3种,再填写右上角的数为2种,在填写第二行第一列的数有2种,一共有32212⨯⨯=. 11. 【答案】B【解析】由于题目要求是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况:奇偶奇,偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况,可以从个位开始分析3种选择,之后二位,有2种选择,最后百位2种选择,共12种;如果是第二种情况偶奇奇,分析同理,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有一种选择,共6种,因此总共12618+=种,选B. 【考点定位】 本题是排列组合问题,属于传统的奇偶数排列的问题,解法不唯一,需先进行良好的分类之后再分步计算,该问题即可迎刃而解.12. 【解析】选D 261315132C -=-=①设仅有甲与乙,丙没交换纪念品,则收到4份纪念品的同学人数为2人 ②设仅有甲与乙,丙与丁没交换纪念品,则收到4份纪念品的同学人数为4人 13. 【解析】选D第一个因式取2x ,第二个因式取21x得:1451(1)5C ⨯-= 第一个因式取2,第二个因式取5(1)-得:52(1)2⨯-=- 展开式的常数项是5(2)3+-=14. 【答案】A【解析】33345(3)270T C x x =-=-【考点定位】本题考查二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定问题. 15. [答案]A[解析]二项式7)1(x +展开式的通项公式为1+k T =k k x C 7,令k=2,则2273x C T 、= 21C x 272=∴的系数为[点评]高考二项展开式问题题型难度不大,要得到这部分分值,首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式,其次需要强化考生的计算能力. 16. 【答案】D【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中的通项公式的运用,并借助于通项公式分析项的系数.【解析】∵25-1+15=(2)()r r r r T C x x -⋅-=5-10-352(1)r r r rC x -,∴103=1r -,即=3r ,∴x 的系数为40-. 17. 【答案】B【解析】841881()2rrr r r r r T C C x --+==,令404r r -=⇒=,故展开式中的常数项为4458135()28T C ==. 【考点定位】本题考查利用二项展开式的通项公式求展开公的常数项. 18. [答案]D[解析]二项式7)1(x +展开式的通项公式为1+k T =k k x C 7,令k=2,则2273x C T 、= 21C x 272=∴的系数为[点评]:高考二项展开式问题题型难度不大,要得到这部分分值,首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式,其次需要强化考生的计算能力.二、填空题.19. 【答案】7【解析】用分数法计算知要最少实验次数为7.【点评】本题考查优选法中的分数法,考查基本运算能力. 20. 【答案】16【解析】走线路E A F G C B -----消费最少,用16.【考点定位】本题考查实际应用能力,创新能力,分析问题解决问题的能力. 21. 【答案】10【解析】法一:由等式两边对应项系数相等.即:545543315544310100a C a a a C a C a a =⎧⎪+=⇒=⎨⎪++=⎩. 法二:对等式:()()()()2550125111f x x a a x a x a x ==+++++++两边连续对x 求导三次得:2234560624(1)60(1)x a a x a x =++++,再运用赋值法,令1x =-得:3606a =,即310a =.22. 【答案】53 【解析】语文、数学、英语三门文化课间隔一节艺术课,排列有种排法,语文、数学、英语三门文化课相邻有3344A A 种排法,语文、数学、英语三门文化课两门相邻有3312122223A C C A C 种排法.故所有的排法种数有在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为3322113343222366235A A C A C C A p A +==. 【考点定位】本题在计数时根据具体情况运用了插空法,做题时要注意体会这些方法的原理及其实际意义.23. 【答案】:15【解析】语文、数学、外语三门文化课两两不相邻排法可分为两步解决,先把其它三门艺术课排列有33A 种排法,第二步把语文、数学、外语三门文化课插入那三个隔开的四个空中,有34A 种排法,故所有的排法种数有3334144A A =种,在课表上相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为6614415p A ==. 【考点定位】本题在计数时根据具体情况选用了插空法,做题时要注意体会这些方法的原理及其实际意义24. [解析] 展开式通项r r r r r r rr rr x C x xC T 2666612)1(2)1(---+-=-=,令6-2r =0,得r =3,故常数项为1602336-=⨯-C .25. 126.解析:5()a x +展开式中第k 项为555kk k k T C a x ,令2k ,2x 的系数为23510C a ,解得1a .27. 【答案】-160【解析】(-)6的展开式项公式是663166C (C 2(1)rr r r rr r r T x ---+==-.由题意知30,3r r -==,所以二项展开式中的常数项为33346C 2(1)160T =-=-.【点评】本题主要考察二项式定理,写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.28.解析:20.621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()621231661kk k k kk T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭,令1233k -=,解得3k =,所以621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为3620C =. 29. 【答案】2【解析】r 414,3r r T C a x r -+==∵∴时,34348,=2C a a -=∴【考点定位】该题主要考查二项式定理、二项式定理的项与系数的关系,考查计算求解能力. 30.答案56【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中通项公式的运用.利用二项式系数相等,确定了n 的值,然后进一步借助于通项公式,分析项的系数.【解析】根据已知条件可知26268n n C C n =⇔=+=,所以81()x x+的展开式的通项为818r r r T C x -+=,令8225r r -=-⇔=所以所求系数为5856C =.31. [解析] 展开式通项rr r r rr r r x C x xC T 266661)1()1(---+-=-=,令6-2r =0,得r =3,故常数项为2036-=-C .32. 答案7【命题意图】本试题主要考查了二项式定理展开式通项公式的运用.利用二项式系数相等,确定了n 的值,然后进一步借助通项公式,得到项的系数. 【解析】根据已知条件可得81()2x x+展开式的通项公式为88218811()()22r r r r r r r T C x C x x --+==,令8223r r -=⇒=,故所求2x 的系数为3381()72C =.33. [解析] 设概率p=n k ,则27232323=⋅⋅=C C C n ,求k ,分三步:①选二人,让他们选择的项目相同,有23C 种;②确定上述二人所选择的相同的项目,有13C 种;③确定另一人所选的项目,有12C 种. 所以18121323=⋅⋅=C C C k ,故p=322718=.。

第一章计数原理
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三维目标
掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理，并能利用它们分析和解决一些简单的应用问题；通过对分类计数原理与分步计数原理的理解和运用，提高分析问题和解决问题的能力，训练逻辑思维能力；通过比较分类计数原理与分步计数原理的异同，培养学习比较、类比、归纳等数学思想方法和灵活应用的能力；培养周密思考、细心分析的良好学习习惯.
正确理解排列的意义,能利用树形图写出简单问题的所有排列；了解排列和排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；掌握排列数公式，并能根据具体的问题，写出符合要求的排列数；会分析与数字有关的排列问题，培养抽象能力和逻辑思维能力；通过对排列应用问题的学习以及对具体事例的观察、归纳,找出规律，得出结论，培养解决实际问题的能力和严谨的学习态度.
正确理解组合的意义，正确区分排列、组合问题；掌握组合数的计算公式以及组合数与排列数之间的关系，并能运用这些知识解决一些简单的组合应用题；通过对排列、组合综合问题的求解与剖析,按事件发生的过程进行熟练地分类与分步，培养严谨科学的思维习惯,通过对比排列学习组合知识，掌握类比的学习方法，提高分析问题和解决问题的能力，并树立用对立统一规律和辩证唯物主义思想解决实际问题的思想.
掌握二项式定理及二项式系数的性质，并能运用于计算或证明一些简单的问题之中;通过揭示二项式定理是代数中乘法公式的推广和二项式定理的推导过程，理解从特殊到一般的思维方法，培养观察归纳能力、抽象思维能力和逻辑思维能力以及将实际问题转化为数学问题的意识和能力;掌握解决与二项式定理有关的综合问题的思想方法;通过二项式定理的学习，感受数学的对称美、和谐美与符号应用的简洁美.
知识网络
1。

章末复习学习目标 1.掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.理解排列与组合的区别与联系，能利用排列组合解决一些实际问题.3.能用计数原理证明二项式定理，掌握二项式定理和二项展开式的性质．1．分类加法计数原理完成一件事有n 类不同的方案，在第1类方案中有m 1种不同的方法，在第2类方案中有m 2种不同的方法，…，在第n 类方案中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法． 2．分步乘法计数原理完成一件事需要n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，…，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N ＝m 1×m 2×…×m n 种不同的方法． 3．排列数与组合数公式及性质4.二项式定理(1)二项式定理的内容：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C k n an －k b k ＋…＋C n n b n(n ∈N *)． (2)通项公式：T k ＋1＝C k n an －k b k ，k ∈{0,1,2，…，n }． (3)二项式系数的性质：①与首末两端等距离的两个二项式系数相等；②若n 为偶数，中间一项⎝⎛⎭⎫第n2＋1项的二项式系数最大；若n 为奇数，中间两项⎝⎛⎭⎫第n ＋12项和第n ＋12＋1项的二项式系数相等且最大．③C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ；C 0n ＋C 2n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＝2n －1.类型一 数学思想方法在求解计数问题中的应用 命题角度1 分类讨论思想例1 车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？ 考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题解 方法一 设A ，B 代表2位老师傅．A ，B 都不在内的选派方法有C 45C 44＝5(种)，A ，B 都在内且当钳工的选派方法有C 22C 25C 44＝10(种)， A ，B 都在内且当车工的选派方法有C 22C 45C 24＝30(种)，A ，B 都在内且一人当钳工，一人当车工的选派方法有A 22C 35C 34＝80(种)， A ，B 有一人在内且当钳工的选派方法有C 12C 35C 44＝20(种)， A ，B 有一人在内且当车工的选派方法有C 12C 45C 34＝40(种)，所以共有C 45C 44＋C 22C 25C 44＋C 22C 45C 24＋A 22C 35C 34＋C 12C 35C 44＋C 12C 45C 34＝185(种)． 方法二 5名男钳工有4名被选上的方法有C 45C 44＋C 45C 34C 12＋C 45C 24C 22＝75(种)， 5名男钳工有3名被选上的方法有C 35C 12C 44＋C 35C 34A 22＝100(种)， 5名男钳工有2名被选上的方法有C 25C 22C 44＝10(种)，所以共有75＋100＋10＝185(种)．方法三 4名女车工都被选上的方法有C 44C 45＋C 44C 35C 12＋C 44C 25C 22＝35(种)， 4名女车工有3名被选上的方法有C 34C 12C 45＋C 34C 35A 22＝120(种)， 4名女车工有2名被选上的方法有C 24C 22C 45＝30(种)，所以共有35＋120＋30＝185(种)．反思与感悟 解含有约束条件的排列、组合问题，应按元素的性质进行分类，分类时需要满足两个条件：①类与类之间要互斥(保证不重复)；②总数要完备(保证不遗漏)．跟踪训练1 从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有________个．(用数字作答)考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用答案60解析1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类．分三类：①没有数字1和3时，有A34个；②只有1和3中的一个时，有2A24个；③同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入3个空当中的1个即可，有C14·C13个．所以满足条件的三位数共有A34＋2A24＋C14·C13＝60(个)．命题角度2“正难则反”思想例2设集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1<a2<a3，a3－a2≤6，那么满足条件的集合A的个数为()A．78 B．76 C．83 D．84考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 C解析若从正面考虑，需分当a3＝9时，a2可以取8,7,6,5,4,3，共6类；当a3＝8时，a2可以取7,6,5,4,3,2，共6类；…分类较多，而其对立面a3－a2>6包含的情况较少，当a3＝9时，a2取2，a1取1，只有这一种情况，利用正难则反思想解决．集合S的含有三个元素的子集的个数为C39＝84.在这些含有三个元素的子集中能满足a1<a2<a3且a3－a2>6的集合只有{1,2,9}，故满足题意的集合A的个数为84－1＝83.反思与感悟对于正面处理较复杂或不易求解的问题，常常从问题的对立面去思考．跟踪训练2由甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛，每科至少1人(且每人仅报一科)，若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛，则不同的参赛方案共有________种．考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用答案30解析从4人中选出两个人作为一个元素有C24种方法，同其他两个元素在三个位置上排列有C24A33＝36(种)方案，其中有不符合条件的，即学生甲、乙同时参加同一竞赛有A33种方法，∴不同的参赛方案共有36－6＝30(种)．类型二排列与组合的综合应用例3 在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目． (1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？ (3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？ 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题解 (1)第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A 77＝5 040(种)方法；第二步再松绑，给4个节目排序，有A 44＝24(种)方法． 根据分步乘法计数原理，一共有5 040×24＝120 960(种)安排顺序．(2)第一步将6个演唱节目排成一列(如图中的“□”)，一共有A 66＝720(种)方法． ×□×□×□×□×□×□×第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置)这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A 47＝840(种)方法．根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝ 604 800(种)安排顺序．(3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A 1212种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有A 1212A 1010＝A 212＝132(种)排列． 反思与感悟 排列与组合的综合问题，首先要分清何时为排列，何时为组合．对含有特殊元素的排列、组合问题，一般先进行组合，再进行排列．对特殊元素的位置有要求时，在组合选取时，就要进行分类讨论，分类的原则是不重、不漏．在用间接法计数时，要注意考虑全面，排除干净．跟踪训练3 在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，称该数为“驼峰数”，比如：“102”“546”为驼峰数，由数字1,2,3,4,5这5个数字构成的无重复数字的“驼峰数”的十位上的数字之和为________． 考点 排列的应用 题点 数字的排列问题 答案 30解析 三位“驼峰数”中1在十位的有A 24个，2在十位上的有A 23个，3在十位上的有A 22个，所以所有的三位“驼峰数”的十位上的数字之和为12×1＋6×2＋2×3＝30. 类型三 二项式定理及其应用命题角度1 二项展开式的特定项问题例4 已知在⎝⎛⎭⎪⎫x －23x n 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3.(1)求展开式中的所有有理项； (2)求展开式中系数绝对值最大的项；(3)求n ＋9C 2n ＋81C 3n ＋…＋9n －1C nn 的值． 考点 二项式定理的应用 题点 二项式定理的简单应用解 (1)由C 4n (－2)4∶C 2n (－2)2＝56∶3，解得n ＝10(负值舍去)，通项为T k ＋1＝C k 10(x )10－k⎝⎛⎭⎪⎫－23x k ＝(－2)k C k10556kx -，当5－5k6为整数时，k 可取0,6，于是有理项为T 1＝x 5和T 7＝13 440. (2)设第k ＋1项系数的绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C k 102k ≥C k －1102k －1，C k 102k≥C k ＋1102k ＋1，解得⎩⎨⎧k ≤223，k ≥193，又因为k ∈{1,2,3，…，9}，所以k ＝7，当k ＝7时，T 8＝－15 36056x -，又因为当k ＝0时，T 1＝x 5， 当k ＝10时，T 11＝(－2)10103x-＝1 024103x-，所以系数的绝对值最大的项为T 8＝－15 36056x-.(3)原式＝10＋9C 210＋81C 310＋…＋910－1C 1010 ＝9C 110＋92C 210＋93C 310＋…＋910C 10109＝C 010＋9C 110＋92C 210＋93C 310＋…＋910C 1010－19＝(1＋9)10－19＝1010－19.反思与感悟 (1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素．(2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项．(3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数．(4)求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入．(5)确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质． 跟踪训练4 已知二项式⎝⎛⎭⎫5x －1x n展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的16倍． (1)求n ；(2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中所有有理项． 考点 二项式定理的应用 题点 二项式定理的简单应用 解 (1)令x ＝1得二项式⎝⎛⎭⎫5x －1x n展开式中各项系数之和为(5－1)n ＝4n ，各项二项式系数之和为2n ，由题意得，4n ＝16·2n ，所以2n ＝16，n ＝4. (2)通项T k ＋1＝C k 4(5x )4－k ⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k C k 454－k ·342k x-，展开式中二项式系数最大的项是第3项：T 3＝(－1)2C 2452x ＝150x .(3)由(2)得4－32k ∈Z (k ＝0,1,2,3,4)，即k ＝0,2,4，所以展开式中所有有理项为T 1＝(－1)0C 0454x 4＝625x 4， T 3＝(－1)2C 2452x ＝150x ， T 5＝(－1)4C 4450x －2＝x －2.命题角度2 二项展开式的“赋值”问题 例5 若(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10. (1)求a 2；(2)求a 1＋a 2＋…＋a 10；(3)求(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 7＋a 9)2. 考点 展开式中系数的和问题 题点 多项展开式中系数的和问题 解 (1)(x 2－3x ＋2)5＝(x －1)5(x －2)5， a 2是展开式中x 2的系数，∴a 2＝C 55(－1)5C 35(－2)3＋C 45(－1)4C 45(－2)4＋C 35(－1)3·C 55(－2)5＝800. (2)令x ＝1，代入已知式可得，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，而令x＝0，得a0＝32，∴a1＋a2＋…＋a10＝－32.(3)令x＝－1可得，(a0＋a2＋a4＋…＋a10)－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝65，再由(a0＋a2＋a4＋…＋a10)＋(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝0，把这两个等式相乘可得，(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2＝65×0＝0.反思与感悟与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和，主要方法是赋值法，通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，再由方程组求出结果．跟踪训练5若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________．考点展开式中系数的和问题题点多项展开式中系数的和问题答案 5解析令x＝2，得a0＝(22＋1)(2－3)9＝－5，令x＝3，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝(32＋1)(3－3)9＝0，所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.1．设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则(a，b)为() A．(34，34) B．(43，34)C．(34，43) D．(A34，A34)考点分步乘法计数原理题点分步乘法计数原理的应用答案 C解析由题意知本题是一个分步乘法问题，首先每名学生报名有3种选择，根据分步乘法计数原理知4名学生共有34种选择，每项冠军有4种可能结果，根据分步乘法计数原理知3项冠军共有43种可能结果．故选C.2．5名大人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有()A ．A 55·A 24种 B ．A 55·A 25种C ．A 55·A 26种D ．A 77－4A 66种考点 排列的应用题点 元素“在”与“不在”问题 答案 A解析 先排大人，有A 55种排法，去掉头尾后，有4个空位，再分析小孩，用插空法，将2个小孩插在4个空位中，有A 24种排法，由分步乘法计数原理可知，有A 24·A 55种不同的排法，故选A.3．我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为( ) A ．72 B ．108 C ．180 D ．216 考点 排列组合综合问题 题点 排列与组合的综合应用 答案 C解析 根据题意，分析可得，必有2人参加同一社团，首先分析甲，甲不参加“围棋苑”，则其有3种情况，再分析其他4人，若甲与另外1人参加同一个社团，则有A 44＝24(种)情况，若甲是1个人参加一个社团，则有C 24·A 33＝36(种)情况，则除甲外的4人有24＋36＝60(种)情况，故不同的参加方法的种数为3×60＝180(种)，故选C. 4．(x －2y )6的展开式中，x 4y 2的系数为( ) A ．15 B ．－15 C ．60 D ．－60 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 答案 C解析 (x －2y )6展开式的通项为T k ＋1＝C k 6·x 6－k ·(－2y )k ，令k ＝2，得T 3＝C 26·x 4·(－2y )2＝60x 4y 2，所以x 4y 2的系数为60，故选C.5．若⎝⎛⎭⎫2x ＋ax n 的展开式的系数和为1，二项式系数和为128，则展开式中x 2的系数为________．考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 －448解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫21＋a 1n ＝1，2n ＝128，所以n ＝7，a ＝－1， 所以⎝⎛⎭⎫2x ＋－1x 7展开式的通项为T k ＋1 ＝C k 7(2x )7－k⎝⎛⎭⎫－1x k ＝C k 727－k (－1)k 732k x-，令7－3k2＝2，得k ＝1. 所以x 2的系数为C 1726(－1)1＝－448.1．排列与组合(1)排列与组合的区别在于排列是有序的，而组合是无序的．(2)排列问题通常分为无限制条件和有限制条件，对于有限制条件的排列问题，通常从以下两种途径考虑：①元素分析法：先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素． ②位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)排列与组合综合应用是本章内容的重点与难点，一般方法是先分组，后分配． 2．二项式定理(1)与二项式定理有关，包括定理的正向应用、逆向应用，题型如证明整除性、近似计算、证明一些简单的组合恒等式等，此时主要是要构造二项式，合理应用展开式．(2)与通项公式有关，主要是求特定项，比如常数项、有理项、x 的某次幂等，此时要特别注意二项展开式中第k ＋1项的通项公式是T k ＋1＝C k n an －k b k (k ＝0,1，…，n )，其中二项式系数是C k n ，而不是C k ＋1n ，这是一个极易错点．(3)与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和等主要方法是赋值法．一、选择题1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( ) A ．10种 B ．20种 C ．25种D ．32种考点 分步乘法计数原理 题点 分步乘法计数原理的应用 答案 D解析 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25＝32(种)，故选D.2．某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有( )A ．8种B ．10种C ．12种D ．32种考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题 答案 B解析 根据题意，要求从A 地到B 地路程最短，必须只向下或向右行走即可．分别可得，需要向下走2次，向右走3次，共5次，从5次中选3次向右，剩下2次向下即可，则有C 35＝10(种)不同走法．3．4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，则出场方案的种数是( ) A ．6A 33 B ．3A 33C ．2A 33D ．A 22A 14A 44考点 排列的应用题点 元素“相邻”与“不相邻”问题 答案 D解析 先从4名男歌手中选一名放在两名女歌手之间，并把他们捆绑在一起，看做一个元素和另外的3名男歌手进行全排列，故有A 22A 14A 44种不同的出场方案．4．在⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 6的展开式中，含x 7的项的系数是( )A ．180B ．160C ．240D ．60考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 6的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(2x 2)6－k ⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k 26－k C k 65122k x -， 令12－52k ＝7，得k ＝2，即含x 7项的系数为(－1)224C 26＝240. 5．已知⎝⎛⎭⎫x －a x 8的展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 C解析 由题意知C 48·(－a )4＝1 120，解得a ＝±2.令x ＝1，得展开式中各项系数的和为1或38. 6．(1－x )13的展开式中系数最小的项为( )A ．第6项B ．第8项C ．第9项D ．第7项 考点 展开式中系数最大(小)的项问题题点 求展开式中系数最大(小)的项答案 B解析 依据二项式系数与项的系数的关系来解决．展开式中共有14项，中间两项(第7,8项)的二项式系数最大．由于二项展开式中二项式系数和项的系数满足奇数项相等，偶数项互为相反数，所以系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项．故选B.7．航天员在进行一项太空实验时，先后要实施6个程序，其中程序B 和C 都与程序D 不相邻，则实验顺序的编排方法共有( )A ．216种B ．180种C ．288种D ．144种考点 排列的应用题点 元素“相邻”与“不相邻”问题答案 C解析 当B ，C 相邻，且与D 不相邻时，有A 33A 24A 22＝144(种)方法；当B ，C 不相邻，且都与D 不相邻时，有A 33A 34＝144(种)方法．故共有288种编排方法． 8．某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的2个班级中且每班安排2名，则不同的安排方法种数为( )A ．A 26C 24B.12A 26C 24 C ．A 26A 24 D ．2A 26考点 排列组合综合问题题点 排列与组合的综合应用答案 B解析 将4人平均分成两组有12C 24种方法，将这两组分配到6个班级中的2个班有A 26种方法．所以不同的安排方法有12C 24A 26种． 二、填空题9．设二项式⎝⎛⎭⎫x －a x 6的展开式中x 2的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a ＝________. 考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 －3解析 因为二项式⎝⎛⎭⎫x －a x 6的展开式中x 2的系数为A ＝C 26a 2＝15a 2； 常数项为B ＝－C 36a 3＝－20a 3.因为B ＝4A ，所以－20a 3＝4×15a 2，所以a ＝－3.10．某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4名运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________．考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题答案 80解析 先抽派4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽派1人，故有C 45C 12C 12C 12C 12＝80(种)抽派方法．11．高三(三)班学生要安排毕业晚会的3个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，3个音乐节目恰有2个节目连排，则不同排法的种数是________．考点 排列的应用题点 元素“相邻”与“不相邻”问题答案 288解析 先从3个音乐节目中选取2个排好后作为1个节目，有A 23种排法，这样共有5个节目，其中2个音乐节目不连排，2个舞蹈节目不连排．如图，若曲艺节目排在5号(或1号)位置，则有4A 22A 22＝16(种)排法；若曲艺节目排在2号(或4号)位置，则有4A 22A 22＝16(种)排法；若曲艺节目排在3号位置，则有2×2A 22A 22＝16(种)排法．故共有不同排法A 23×(16×3)＝288(种).三、解答题12．现有5名教师要带3个不同的兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，求不同的带队方案有多少种？考点 排列组合综合问题题点 排列与组合的综合应用解 第一类，把甲、乙看做一个复合元素，和另外的3人分配到3个小组中，有C 23A 33＝18(种)，第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲、乙分配到其中2个小组，有A 33A 23＝36(种)，根据分类加法计数原理可得，共有18＋36＝54(种)．13．已知⎝⎛⎭⎪⎫3a －3a n (n ∈N *)的展开式的各项系数之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫43b －15b 5的展开式中的常数项，求⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n 的展开式中含a －1项的二项式系数． 考点 二项式定理的应用 题点 二项式定理的简单应用解 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43b －15b 5的展开式的通项为 T k ＋1＝C k 5(43b )5－k ⎝⎛⎭⎫－15b k ＝C k 5·(－1)k ·45－k ·25k-·1056k b -，令10－5k ＝0，得k ＝2，此时得常数项为T 3＝C 25·(－1)2·43·5－1＝27. 令a ＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n 的展开式的各项系数之和为2n ， 由题意知2n ＝27，所以n ＝7， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a 7的展开式的通项为 T k ＋1＝C k 7⎝⎛⎭⎫3a 7－k ·(－3a )k ＝C k 7·(－1)k ·37－k ·5216k a -.令5k －216＝－1，得k ＝3， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n 的展开式中含a －1项的二项式系数为C 37＝35. 四、探究与拓展14.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＋133n 展开式中的第7项与倒数第7项的系数比是1∶6，则展开式中的第7项为______．考点 二项式定理的应用题点 二项式定理的简单应用答案 563解析 第7项为T 7＝C 6n (32)n －6⎝ ⎛⎭⎪⎫1336， 倒数第7项为T n －5＝C n －6n (32)6⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －6， 由C 6n (32)n －6⎝ ⎛⎭⎪⎫1336C n －6n (32)6⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －6＝16，得n ＝9， 故T 7＝C 69(32)9－6⎝ ⎛⎭⎪⎫1336＝C 39·2·19＝563. 15．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数．(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组成多少个四位偶数？(3)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么？ 考点 排列的应用题点 数字的排列问题解 (1)用间接法，从6个数中，任取4个组成4位数，有A 46种情况， 但其中包含0在首位的有A 35种情况，依题意可得，有A 46－A 35＝300(个)．(2)根据题意，分0在末尾与不在末尾两种情况讨论，0在末尾时，有A 35种情况，0不在末尾时，有A 12A 24A 14种情况，由分类加法计数原理，共有A 35＋A 12A 24A 14＝156(个)．(3)千位是1的四位数有A 35＝60(个)，千位是2，百位是0或1的四位数有2A 24＝24(个)，∴第85项是2 301.。