3.26一元二次不等式(组)表示的平面区域

1 二元一次不等式(组)表示的平面
区域问题
在平面直角坐标系中,若不等式组 -
- -
(
a 为常数)所表示的平面区域内的面积等于2,则a= .
解析:当a<0时,不等式组所表示的平面区域如图中的M ,一个无限的角形区域,面积不可能为2,故只能a ≥0,
此时不等式组所表示的平面区域如图中的N ,区域为三角形区域, 若这个三角形的面积为2,
则AB=4,即点B 的坐标为(1,4),
代入y=ax+1,得a=3. 答案:3
与目标函数有关的最
值问题
已知x ,y 满足约束条件 -
- - 则z=x+2y 的最大值为( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
解析:画出满足条件的平面区域,
如图所示:
将z=x+2y 转化为y=- x+ ,
通过图象得出函数过(0,1)时,z 取到最大值,z max =2.
答案:D
若点P (x ,y )满足线性约束条件 -
-
点A (3, ),O 为坐标原点,则 的最大值为(
) A.0
B.3
C.-6
D.6
解析:设z=
,则z=3x+ y ,即y=- x+ ,
作出不等式组对应的平面区域如图:。

直线把平面内不在直线上的点分成两部分，同一侧的点的坐标代入Ax+By+C中的值的符号相同，异侧的点的坐标代入Ax+By+C中的值的符号相反。

对于直线Ax+By+C=0当B≠0时，可化为：y=kx+b的形式。

对于二元一次不等式表示的平面区域是直线y=kx+b的上方（包括直线y=kx+b）.对于二元一次不等式表示的平面区域是直线y=kx+b的下方（包括直线y=kx+b）注意：二元一次不等式与二元一次不等式表示的平面区域不同，前者不包括直线Ax+By+C=0,后者包括直线Ax+By+C=0.一、有关平面区域的问题例1、①画出下列不等式组表示的平面区域。

②写出图（2）表示的平面区域对应的不等式组。

分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分。

①解：不等式x<3表示的平面区域是直线x=3左边的区域（不包括直线x=3）不等式表示的平面区域是直线2y=x上方的区域（包括直线2y=x）不等式的平面区域是直线3x+2y=6上方的区域（包括直线3x+2y=6）不等式3y<x+9表示的平面区域是直线3y=x+9下方的区域（不包括直线3y=x+9）（如图（1））图（1）图（2）②解：由图中的数据知：直线L1的方程是：，直线L2的方程是y=2,直线AB的方程是：。

故图中的平面区域是不等式组表示的平面区域。

注意：在由不等式（组）画平面区域的时候，要注意是实线还是虚线。

二、由平面区域研究整数点的问题例2、（1）满足线性约束条件的可行域中有多少个整点可行解？（2）求满足不等式整点（x,y）的个数及平面区域的面积。

分析：求可行域中的整点的个数常用的方法：首先作出准确的可行域，其次在可行域内找格点。

解：（1）作出可行域如图（1），由图知：可行域中的整点可行解有三个（0，0），（1，－1），（2，－2）（2）对x,y的符号进行讨论，去掉绝对值，有如下的四种情形：（i）x>0,y>0时，不等式化为：，（ii）x<0，y<0时，不等式化为：（iii）,x>0,y<0时，不等式化为：,（iv）,x<0,y>0时，不等式化为：。

二元一次不等式（组）表示平面区域主备人：审核：使用人：班级：【课题】：二元一次不等式（组）表示平面区域【学习目标】1、了解二元一次不等式（组）的概念，理解其解集的几何意义；2、会画二元一次不等式（组）所表示的平面区域。

【学习重难点】会画二元一次不等式（组）所表示的平面区域。

【课前预习案】1、二元一次不等式表示平面区域：一般的，二元一次不等式Ax By C++>在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C++=某一侧所有点组成的________________.我们把直线画成_________以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画出不等式0Ax By C++≥所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成___________.2、如何确定二元一次不等式0Ax By C++>（或<0）表示的平面区域？【预习检测】画出不等式组10230x yx y--<⎧⎨--≥⎩表示的平面区域.【课内探究案】一、二元一次不等式表示平面区域例1、画出下列不等式表示的平面区域（1）230x y-->；（2）3260x y+-≤【变式训练】画出二元一次不等式320ax y++≥表示的平面区域，已知点（-1，0）在区域边界上.二、二元一次不等式组表示平面区域例2、画出不等式组表示的平面区域(1)21010x yx y-+≥⎧⎨+-≥⎩(2)232021030x yyx-+>⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩【变式训练】已知直线ax=2与x-by+1=0的交点为（1，2），试分别画出2a x<与10x by-+≥所表示的平面区域.三、用二元一次不等式组表示实际问题例3．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需用的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨，生产1车皮乙种肥料需用的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨，现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨。

如果在此基础上进行生产，设x，y分别是计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。

课时作业19 二元一次不等式(组)所表示的平面区域时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．下列各点中，与点(1,2)位于直线x ＋y －1＝0同一侧的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3)【答案】 C【解析】 首先把点(1,2)代入有x ＋y －1＝1＋2－1＝2>0，然后把选项中的坐标逐个代入检验，只有C 项能使x ＋y －1>0.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43 D.34【答案】 C【解析】 如图阴影部分△ABC ，由⎩⎨⎧x ＋3y ＝43x ＋y ＝4，得点A 坐标为(1,1)，又B 、C 两点坐标分别为(0,4)、⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，∴S △ABC ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－43×1＝43.3．用三条直线x ＋2y ＝2,2x ＋y ＝2，x －y ＝3围成一个三角形，则三角形部区域(不包括边界)可用不等式组表示为________．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＜22x ＋y ＞2x －y ＜34．设x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，试作出其表示的平面区域．【解析】 ∵x －y ≥－1，∴x －y ＋1≥0，表示的平面区域为直线x－y ＋1＝0及其右下方．∵x ＋y ≤3，∴x ＋y －3≤0，∴表示的平面区域为直线x ＋y －3＝0及其左下方；x ≥0表示的平面区域为y 轴及其右侧；y ≥0表示的平面区域为x 轴及其上方．然后找出公共部分．依题意，画出不等式组表示的平面区域如图所示，为四边形ABOC .课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．下面给出的四个点中，位于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1<0，x －y ＋1>0表示的平面区域的是( )A ．(0,2)B ．(－2,0)C ．(0，－2)D ．(2,0)【答案】 C【解析】 将选项(0,2)代入x ＋y －1，得1>0，不等式不成立，∴(0,2)不在不等式组表示的平面区域，同理可验证B ，D 也不符合题意．2．满足不等式(x －y )(x ＋2y －2)>0的点(x ，y )所表示的区域为( )【答案】 B 【解析】原不等式等价为⎩⎨⎧x －y >0，x ＋2y －2>0或⎩⎨⎧x －y <0，x ＋2y －2<0.3．如图所示，阴影部分可用二元一次不等式组表示为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≤2，2x －y ＋4≤0B.⎩⎪⎨⎪⎧0≤y ≤2，2x －y ＋4≤0C.⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ≤0，2x －y ＋4≥0 D.⎩⎪⎨⎪⎧0≤y ≤2，2x －y ＋4≥0，x ≤0【答案】 D【解析】 2x －y ＋4≤0表示的区域在直线2x －y ＋4＝0上及其左上方，故A 、B 错，C 缺少y ≥0.4．已知点M (x 0，y 0)与点A (1,2)在直线l ：3x ＋2y －8＝0的两侧，则( )A ．3x 0＋2y 0>0B ．3x 0＋2y 0<0C ．3x 0＋2y 0>8D ．3x 0＋2y 0<8【答案】 C【解析】 ∵点M (x 0，y 0)，与点A (1,2)在直线l 的两侧，把点A (1,2)代入3x ＋2y －8得3×1＋2×2－8＝－1<0，∴3x 0＋2y 0－8>0，即3x 0＋2y 0>8.故选C.5．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值围是( )A ．a <5B ．a ≥7C ．5≤a <7D ．a ≥7或a <5 【答案】 C【解析】 先画出x －y ＋5≥0和0≤x ≤2表示的区域，再确定y ≥a 表示的区域．由图知：5≤a <7.故选C.6．二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y －4≤0x ≥0，y ≥0表示的平面区域为A ，二元一次不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤40≤y ≤52表示的平面区域为B ，则A 与B 的关系是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．B AD ．AB【答案】 C【解析】 画出平面区域A 、B 如图，可见A B .7．若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12 B ．1 C.32 D ．2【答案】 B【解析】 由题知满足约束条件的可行域如下图中阴影部分．y ＝2x 与x ＋y －3＝0相交于A (1,2)，∴m ≤1，∴m 的最大值为1，∴选B.8．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ≤0，x ＋2y ＋3>0，5x ＋3y －5<0表示的平面区域中共有( )个整点．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】 C【解析】 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ≤0，x ＋2y ＋3>0，5x ＋3y －5<0表示的平面区域如图中阴影部分，显然，满足条件的平面区域中的整点为(1，－1)、(2，－2)、(0,0)、(0，－1)，共有4个整点．二、填空题(每小题10分，共20分)9．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，x ≤2表示的平面区域的面积是________．【答案】 4 【解析】首先画出满足线性约束条件的可行域，如图中阴影部分．由题意知，△ABC 为等腰直角三角形，且AB ＝AC ＝22，所以S △ABC ＝12×(22)2＝4.10．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≥0，y ≥0表示的平面区域整点的个数为________个．【答案】 9【解析】 首先画出满足线性约束条件的可行域，如图阴影部分．对于直线l 2：当x ＝－2时，y ＝0，当x ＝－1时，y ＝1，当x ＝0时，y ＝2，左半区域有整点(－2,0)，(－1,0)，(－1，1)3个，又l 1与l 2关于y 轴对称，y 轴上整点(0,0)，(0,1)，(0,2)3个，故阴影区域共有整点3＋3＋3＝9个．三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，求a 的值．【分析】 先找出此平面区域对应图形的边角关系，然后得到关于a 的等式求解．【解析】 如图所示，可得阴影区域为不等式组⎩⎨⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0表示的平面区域．直线ax －y ＋1＝0恒过定点A (0,1)，斜率为a .因为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0所表示的平面区域的面积等于2，所以此平面区域为“封闭”图形．所以可判断直线ax －y ＋1＝0与直线x －1＝0的交点C 在点B (1,0)的上方，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0所表示的平面区域为△ABC .由⎩⎨⎧ ax －y ＋1＝0，x －1＝0，得C (1，a ＋1)．因为点C 在点B 的上方，所以|BC |＝a ＋1－0＝a ＋1，所以S ＝12×BC ×1＝a ＋12＝2，所以a ＝3.12．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0，x ≤0，0≤y ≤k表示的平面区域是一个梯形，试求k 的取值围．【分析】 首先作出不等式组所表示的平面区域，然后根据平面区域的形状确定k 的取值． 【解析】 如图，首先作出不等式组⎩⎨⎧ 2x －y ＋2≥0，x ≤0，y ≥0所表示的可行域——△OAB ，其中B (0,2)，然后作出直线y ＝k ，则不等式组⎩⎨⎧ 2x －y ＋2≥0，x ≤0，0≤y ≤k 表示的平面区域就是直线y ＝k 下方的平面区域与△OAB 的交集，由已知，该平面区域是一个梯形，所以直线y ＝k 在点B 和x 轴之间，故0<k <2.。

【高中数学】3.3二元一次不等式（组）与平面区域知识与技能：1.理解二元一次不等式表示平面区域；2.掌握确定二元一次不等式表示的平面区域的方法；3.会画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，并掌握步骤；过程与方法：让学生通过实验、观察、作图归纳得出结论，体现了数形结合的思想提高分析问题、解决问题的能力。

情感态度与价值观：培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生大胆探索，勇于创新的科学精神。

教学重点：二元一次不等式（组）表示平面区域.教学难点：如何确定不等式表示的哪一侧区域？教学过程：【创设问题情境】问题1：在平面直角坐标系中，二元一次方程x+y-2=0表示什么图形？请学生画出来.问题2：写出以二元一次方程x+y-2=0的解为坐标的点的集合(引出点集{(x，y)? x+y-2=0 })问题3: 点集{(x，y)? x+y-2?0 }在平面直角坐标系中表示什么图形？点集{(x，y)? x+y-2>0 }与点集{(x，y)? x+y-2>0 }又表示什么图形呢?【讲授新课】研究问题:在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x+y-2>0的解为坐标的点的集合{(x，y)? x+y-2>0 }是什么图形?引导提问：的点在哪里？生：直线x+y-2=0外提问：有哪些情况？生：x+y-2>0或x+y-2<0师：在平面直角坐标系中，所有的点被直线x+y-2=0分成三类：即在直线x+y-2=0上；在直线x+y-2=0的左下方的平面区域内；在直线x+y-2=0的右上方的平面区域内。

师：x+y-2>0或x+y-2<0他们究竟在分别在哪侧呢？一、学生实验：师：1、2两组学生合为A组。

3、4两组学生合为B组，A组学生：取右上方的点计算x+y-2的值并判断满足哪个关系？ B组学生：取左下方的点计算x+y-2的值并判断满足哪个关系？二、学生猜想A组：直线x+y-2=0右上方的任意点(x，y)， x+y-2>0都成立.B组：直线l: x+y-2=0左下方的任意点(x，y)， x+y-2<0成立三、证明猜想在直线x+y-2=0上任取一点P(x0，y0)，过点P作垂直于x轴的直线y= y0，在此直线上点P右侧的任意一点(x，y)，都有x= x0， y> y0，所以， x+y> x0+ y0=0，所以， x+y-2> x0+ y0 -2=0，即 x+y-2>0，因为点P(x0，y0)是直线x+y-2=0上的任意点，所以，对于直线x+y-2=0右上方的任意点(x，y)， x+y-2>0都成立.同理，对直线l: x+y-2=0左下方的任意点(x，y)， x+y-2<0成立所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x+y-2>0的解为坐标的点的集合{(x，y)? x+y-2>0 }是在直线x+y-2=0右上方的平面区域，类似地，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x+y-2<0的解为坐标的点的集合{(x，y)? x+y-2<0 }是在直线x+y-2=0左下方的平面区域.提出:直线x+y-2=0的两侧的点的坐标代入x+y-2中，得到的数值的符号，仍然会“同侧同号，异侧异号”吗？通过分析引导学生得出一般二元一次不等式表示平面区域的有关结论.四、一般二元一次不等式表示平面区域结论：在平面直角坐标系中，（1）二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域，Ax+By+C<0则表示直线另一侧所有点组成的平面区域; (同侧同号，异侧异号)（2）有等则实，无等则虚;（3）取点定域，原点优先.五.应用举例例1 画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。

1§3.5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域【学习目标】1、了解二元一次不等式（组）的概念，理解其解集的几何意义；2、会画二元一次不等式（组）所表示的平面区域。

【学习重难点】会画二元一次不等式（组）所表示的平面区域。

【课前预习案】1、二元一次不等式表示平面区域：一般的，二元一次不等式0Ax By C ++>在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C ++=某一侧所有点组成的________________.我们把直线画成_________以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画出不等式0Ax By C ++≥所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成___________.2、如何确定二元一次不等式0Ax By C ++>（或<0）表示的平面区域？【预习检测】1. 请在直角坐标系画出下列直线：（1）01x =--y ； （2）03x 2=--y ； （3）01x =- ； （4）01y =+试一试：2. 你是否能在直角坐标系上下列不等式的平面区域：（1）01x <--y ； （2）03x 2≥--y ； （3）01x ≤- ； （4）01y >+ .3. 画出不等式组10230x y x y --<⎧⎨--≥⎩表示的平面区域.【课内探究案】一、二元一次不等式表示平面区域 例1、画出下列不等式表示的平面区域 （1）230x y -->；（2）3260x y +-≤例2.若点（1，3）和（-4，-2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m 的取值范围是 .二、二元一次不等式组表示平面区域 例3、画出不等式组表示的平面区域(1)21010x y x y -+≥⎧⎨+-≥⎩ (2) 232021030x y y x -+>⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩2例4.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32B.23C.43D.34例5.画出不等式所表示的平面区域⎩⎨⎧-≤-≤-≤+<122421y x y x课后作业1、设点P(x,y)，其中,x y N ∈，满足3x y +≤的点P 的个数是（ ） A.10 B.9 C.3 D.无数个2、已知点1231(0,0),(1,1),(,0)3P P P ，则在3210x y +-≥表示的平面区域内的点是（ ） A. 12,P P B. 13,P P C. 23,P P D. 2P3.不等式组02040x x y x y ≤≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域的面积是___________________.4. 不等式组⎩⎨⎧≤≤≥+-+300))(5(x y x y x 表示的平面区域是一个( )A ．三角形B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．矩形5. 0312≤+--+y x y x 画出二元不等式所表示的区域6．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤|y |，|x |<1，的点(x ，y )的集合用阴影表示为图中的()。

二元一次不等式组表示的平面区域
时33(2) 二元一次不等式组表示的平面区域
一、知识梳理
1．二元一次不等式组。

2．二元一次不等式组的解集是，
其几何意义是。

3．二元一次不等式组所表示的平面区域应如何作出？
（1）（2）
二、例题讲解
例1．画出下列不等式组所表示的平面区域：
（1）（2）
例2．的三个顶点坐标为，求内人一点所满足的条件。

例3．画出表示的平面区域。

三、随堂练习：
1．图中阴影区域用不等式组可表示为。

2．不等式组表示的平面区域中的整点有个。

3．不等式组表示的平面区域的面积是。

4．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是。

四、作业反馈：
1．若，不等式表示的区域是直线的方；
不等式表示的区域是直线的方。

若，不等式表示的区域是直线的方；
不等式表示的区域是直线的方。

2．二元一次不等式组表示的平面区域的整点坐标是。

3．不等式组表示的平面区域的的面积为。

4．画出下列不等式组所表示的平面区域：
(1) （2）
5．用不等式组表示下列各图中的阴影区域：
6．若点不在的平面区域内，则实数的取值范围是。

7．若点和在直线的两侧，则实数的范围是。

8．如果点在两平行线和之间，则应取的整数值为。

9．满足的整点的个数是。

10．不等式的区域面积为。

勤奋是智慧的双胞胎，懒惰是愚蠢的亲兄弟！。

)3,5(A)1,1(B)522,1(Co xy一元二次不等式与简单线性规划问题知识点1.一元二次不等式含义例1. 已知点()3,1和点()4,6-在直线320x y m -+=的两侧，求m 的取值范围。

知识点2.画平面区域1、画出不等式260x y +-<表示的平面区域.2、画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x yx 表示的平面区域3、画出下列不等式表示的平面区域（1）1+>x y ； （2）．y x >； （3）．y x >（4）．3<+y x4、画出下列不等式表示的平面区域（1）(5)()0x y x y -++≥； （2）．220x y -≥；知识点3.写出平面区域表示的不等式例1、画出下列区域表示的不等式组(1) (2)知识点4.求可行域的面积例1.不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为_______例2.由12+≤≤≤x y x y 及围成的几何图形的面积是多少?例3.已知R y x ∈,，则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥02|||1|x x y x y 表示的平面区域的面积是_______知识点5.简单线性规划问题例1.x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+002y x y x 求y x z -=的最大值、最小值。

例2.设变量x 、y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，求目标函数y x z +=2取值范围。

例3.若实数x ，y 满足1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩ ，求4x +2y 的取值范围．例4.已知x ，y 满足约束条件 50,0,3.x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则y x z -=4的最小值为______________．例5.在△ABC 中，三顶点坐标为A （2 ，4），B （－1，2），C （1 ，0 ）， 点P （x ，y ）在△ABC 内部及边界运动，则 z = x – y 的最大值和最小值分别是。