二元一次不等式(组)与平面区域教案

§3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域学习目标 1.了解二元一次不等式(组)表示的平面区域；2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域(重、难点).预习教材P82－85完成下列问题：知识点一二元一次不等式(组)表示平面区域1.二元一次不等式(组)的概念含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做二元一次不等式.由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.2.二元一次不等式与平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0(＜0)表示直线Ax＋By＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界.不等式Ax＋By＋C≥0(≤0)表示的平面区域包括边界，把边界画成实线.【预习评价】1.二元一次不等式的一般形式是什么？提示二元一次不等式的一般形式是Ax＋By＋C＞0，Ax＋By＋C＜0，Ax＋By ＋C≥0，Ax＋By＋C≤0，其中A，B不同时为0.2.每一个二元一次不等式(组)都能表示平面上的一个区域吗？提示不一定.当不等式组的解集为空集时，不等式组不表示任何图形.知识点二二元一次不等式表示的平面区域的确定平面区域的确定依据直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它们的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得符号都相同方法在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域【预习评价】1.原点与点(－1，10)在直线x＋y－1＝0的________(填“同侧”或“两侧”).解析将点(0，0)和(－1，10)代入到x＋y－1中符号相反.答案两侧2.已知点A(2，1)，B(1，0)，C(－1，0)，则不等式x－2y＜0表示的平面区域内的点是________.解析由于－1－2×0＝－1＜0，故符合.而2－2×1＝0，1－2×0＞0.所以符合的为点C.答案C题型一二元一次不等式与平面区域【例1】(1)如图所示的平面区域(阴影部分)用不等式表示为________.(2)画出不等式2x＋y－4＞0表示的平面区域.解(1)由截距式得直线方程为x2＋y1＝1，即x＋2y－2＝0.因为0＋2×0－2＜0，且原点在阴影部分中，故阴影部分可用不等式x＋2y－2＜0表示.(2)先画直线2x＋y－4＝0(画成虚线).取原点(0，0)代入，得2x＋y－4＝2×0＋0－4＝－4＜0，所以不等式2x＋y－4＞0表示的区域是直线2x＋y－4＝0右上方的平面区域，如图中的阴影部分所示.规律方法 1.已知平面区域求不等式的步骤(1)利用已知平面区域边界上点的坐标求出直线方程.(2)将平面区域内的特殊点代入直线方程两侧，判断不等号的方向.(3)结合平面区域的边界虚实写出相应的不等式.2.二元一次不等式表示平面区域的判断方法(1)对于Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示的平面区域，直线Ax＋By＋C＝0，其中A＞0可以这样来确定：所表示区域位置不等式B＞0B＜0Ax＋By＋C＞0在直线右上方在直线右下方Ax＋By＋C＜0在直线左下方在直线左上方①当A＜0时，可通过不等式两边乘以－1的方法转化成上述情况.②当A或B为0时，可通过不等式直接确定.(2)对于区域的确定要灵活，如果给定点P(x0，y0)和直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)，判断点P在直线哪一侧时，设d＝B·(Ax0＋By0＋C)，则①d＞0⇔P在直线上方；②d＝0⇔P在直线上；③d＜0⇔P在直线下方.【训练1】 不等式组⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y ≤0表示的平面区域是( )解析 取特殊点坐标(如：(0，－1)，(－1，0)等)代入不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤0，检验可得C 符合. 答案 C题型二 不等式组表示平面区域的应用【例2】(1)画出不等式组⎩⎨⎧x ＋2y －1≥0，2x ＋y －5≤0，y ≤x ＋2所表示的平面区域，并求其面积；(2)求不等式组⎩⎨⎧y ≤2，|x |≤y ≤|x |＋1所表示的平面区域的面积大小.解 如图所示，其中的阴影部分便是不等式组所表示的平面区域.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y －5＝0，得A (1，3). 同理得B (－1，1)，C (3，－1). ∴|AC |＝22＋（－4）2＝25，而点B 到直线2x ＋y －5＝0的距离为 d ＝|－2＋1－5|5＝65，∴S △ABC ＝12|AC |·d ＝12×25×65＝6.(2)可将原不等式组分解成如下两个不等式组： ①⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，y ≤x ＋1，y ≤2，或②⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥－x ，y ≤－x ＋1，y ≤2.上述两个不等式组所表示的平面区域如图所示，所围成的面积S ＝12×4×2－12×2×1＝3.规律方法 求平面区域面积的方法求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积.(1)若画出的平面区域是规则的，则直接利用面积公式求解.(2)若平面区域是不规则的，可采用分割的方法，将平面区域分成几个规则图形求解.【训练2】 在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧y ≥0，x ＋3y ≤4，3x ＋y ≥4表示的平面区域的面积是( ) A.32 B.23 C.43D.34解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.平面区域为一个三角形及其内部，三个顶点的坐标分别为(4，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，0，(1，1)，所以平面区域的面积为S ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－43×1＝43.答案 C题型三 用二元一次不等式组表示实际问题【例3】 投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米.现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，用数学关系式和图形表示上述要求.解 设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百吨，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤14，2x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.用图形表示以上限制条件，得其表示的平面区域如图所示(阴影部分). 规律方法 用平面区域来表示实际问题的基本方法(1)根据问题的需要选取两个起关键作用的关联较多的量，用字母表示. (2)把问题中有关的量用这两个字母表示.(3)把实际问题中有关的限制条件用不等式表示出来. (4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来.【训练3】 某人准备投资1 200万元兴办一所中学，他对教育市场进行调查后，得到了下面的数据表格(以班级为单位)： 学段 班级学生人数配备教师数硬件建设/万元教师年薪/万元初中 45 2 26/班 2/人 高中40354/班2/人因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜.分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件.解 设开设初中班x 个，开设高中班y 个，根据题意，总共招生班数限制在20～30之间，所以有20≤x ＋y ≤30，考虑到所投资金的限制，得到26x ＋54y ＋2×2x ＋2×3y ≤1 200，即x ＋2y ≤40， 另外，开设的班数不能为负且为整数，则x ≥0，y ≥0，x ，y ∈Z . 把上面的四个不等式合在一起，得到⎩⎪⎨⎪⎧20≤x ＋y ≤30，x ＋2y ≤40，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈Z .用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域(阴影部分中x ，y 为整数点).课堂达标1.不在不等式3x ＋2y ＜6表示的平面区域内的一个点是( ) A.(0，0) B.(1，1) C.(0，2)D.(2，0)解析 将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2，0)代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x ＋2y ＜6表示的平面区域内，故选D. 答案 D2.如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是()A.⎩⎨⎧y ≥－2，3x －2y ＋6＞0，x ＜0B.⎩⎨⎧y ≥－2，3x －2y ＋6≥0，x ≤0C.⎩⎨⎧y ＞－2，3x －2y ＋6＞0，x ≤0D.⎩⎨⎧y ＞－2，3x －2y ＋6＜0，x ＜0解析 观察图象可知，阴影部分在直线y ＝－2上方，且不包含直线y ＝－2，故可得不等式y ＞－2.又阴影部分在直线x ＝0左边，且包含直线x ＝0，故可得不等式x ≤0.由图象可知，第三条边界线过点(－2，0)、(0，3)， 故可得直线3x －2y ＋6＝0，因为此直线为虚线且原点O (0，0)在阴影部分， 故可得不等式3x －2y ＋6＞0.观察选项可知选C. 答案 C3.完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成.请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，满足工人工资预算条件的数学关系式为________.答案⎩⎨⎧50x ＋40y ≤2 000，x ∈N *，y ∈N *4.画出二元一次不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0表示的平面区域，则这个平面区域的面积为________.解析 平面区域如图阴影部分(含边界)所示. S 阴＝12×1×1＝12. 答案 12课堂小结1.对于任意的二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0(或<0)，无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数，当B >0时， (1)Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的区域； (2)Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的区域.2.画平面区域时，注意边界线的虚实问题.基础过关1.已知点P 1(0，1)，P 2(2，1)，P 3(－1，2)，P 4(3，3)，则在4x －5y ＋1≤0表示的平面区域内的点的个数是( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 经验证，P 1，P 3，P 4均在区域内. 答案 C2.若点(m ，1)和(－3，m )不在直线x ＋2y －1＝0的同侧，则实数m 的取值范围是( ) A.(－1，2) B.(－2，1)C.[－1，2]D.(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析 记f (x ，y )＝x ＋2y －1，则f (m ，1)·f (－3，m )≤0，即(m ＋1)(2m －4)≤0，解得－1≤m ≤2. 答案 C3.已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω内随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为( ) A.13 B.23 C.19D.29解析 Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}表示的平面区域面积为12×62＝18， A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}表示的平面区域面积为12×4×2＝4，由几何概型计算公式，P ＝418＝29.选D. 答案 D4.在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1所表示的平面区域的面积为________.解析 画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分，由题意M (2，3)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13，P (0，－1)，Q (0，1)，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1所表示的平面区域的面积为：12×2×2＋12×2×23＝83.答案835.若点A (1，1)，B (2，－1)位于直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为________. 解析 ∵点A (1，1)，B (2，－1)位于直线x ＋y －a ＝0的两侧，∴(1＋1－a )(2－1－a )＜0，即(2－a )(1－a )＜0，则(a －1)(a －2)＜0，即1＜a ＜2. 答案 (1，2)6.某夏令营有48人，出发前要从A ，B 两种型号的帐篷中选择一种，A 型号的帐篷比B 型号少5顶，若只选A 型号的，每顶帐篷住4人，则帐篷不够，每顶帐篷住5人，则有一顶帐篷没有住满，若只选B 型号的，每顶帐篷住3人，则帐篷不够，每顶帐篷住4人，则有帐篷多余，设A 型号的帐篷有x 顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来.解 由题意得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＞0，x ＋5＞0，4x ＜48，0＜5x －48＜5，3（x ＋5）＜48，4（x ＋5）＞48，x ∈N *.7.画出下列不等式(组)表示的平面区域： (1)3x ＋2y ＋6＞0；(2)⎩⎨⎧x ≤1，y ≥－2，x －y ＋1≥0.解 (1)画出满足条件的平面区域，如图所示：(2)画出满足条件的平面区域，如图所示：能力提升8.若不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a 的取值范围是( ) A.[43，＋∞) B.(0，1]C.[1，43]D.(0，1]∪[43，＋∞)解析 先画出不含参数的不等式表示的平面区域，如图所示，要使不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，需使直线x ＋y ＝a 在点A (1，0)的下方或在点B (23，23)的上方.当直线x ＋y ＝a 过点A 时，a ＝1.当直线x ＋y ＝a 过点B 时，a ＝43.又因为直线x ＋y ＝a 必在原点O 的上方，所以0＜a ≤1或a ≥43. 答案 D9.在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( ) A.－5 B.1 C.2D.3解析 由题意知，不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，设为△ABC ，则A (1，0)，B (0，1)，C (1，1＋a )，且a ＞－1.∵S △ABC ＝2，∴12(1＋a )×1＝2，∴a ＝3. 答案 D10.在平面直角坐标系内，不等式组⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为________.解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1表示的平面区域如图，y ＝x －1与y ＝－3|x |＋1的交点为(12，－12)，(－1，－2). ∴S ＝12×2×12＋12×2×1＝34×2＝32. 答案 3211.若不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2所表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________.解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，0≤x ≤2表示的平面区域如图中的阴影部分所示，用平行于x 轴的直线截该平面区域，若得到一个三角形，则a 的取值范围是[5，7).答案 [5，7)12.画出下列不等式表示的平面区域. (1)(x －y )(x －y －1)≤0；(2)|3x ＋4y －1|＜5； (3)x ≤|y |≤2x .解 (1)由(x －y )(x －y －1)≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x －y －1≤0，解得0≤x －y ≤1；或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x －y －1≥0，无解.故不等式表示的平面区域如图(1)所示. (2)由|3x ＋4y －1|＜5，得－5＜3x ＋4y －1＜5， 得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －6＜0，3x ＋4y ＋4＞0，故不等式表示的平面区域如图(2)所示.(3)当y ≥0时，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≤y ，y ≤2x ，x ≥0，点(x ，y )在第一象限内两条过原点的射线y ＝x (x ≥0)与y ＝2x (x ≥0)所表示的区域内. 当y ≤0时，由对称性作出另一半区域， 故不等式表示的平面区域如图(3)所示.13.(选做题)若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0相交于P ，Q 两点，且P ，Q 关于直线x ＋y ＝0对称，则不等式组⎩⎨⎧kx －y ＋1≥0，kx －my ≤0，y ≥0表示的平面区域的面积是多少？解 P ，Q 关于直线x ＋y ＝0对称，故PQ 与直线x ＋y ＝0垂直，直线PQ 即为直线y ＝kx ＋1，故k ＝1；又线段PQ 为圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0的一条弦， 故该圆的圆心在线段PQ 的垂直平分线上， 即为直线x ＋y ＝0，又圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k2，－m 2，∴m ＝－k ＝－1，∴不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≤0，y ≥0.它表示的平面区域如图所示，是一个三角形，直线x －y ＋1＝0与x ＋y ＝0的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，∴S △＝12×1×12＝14. 故平面区域的面积为14.。

实际问题 数学模型 数学模型的解 实际问题的解二元一次不等式〔组〕所表示的平面区域 [教学目标]1．知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；3．情态与价值：通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。

[教学重点]用二元一次不等式〔组〕表示平面区域；[教学过程]Jack 准备在2006年德国世界杯期间，一边看球，一边去卖点纪念品。

现在他有本钱1000美元，准备投入去购买单价50美元球衣和单价20元足球纪念品，希望使足球纪念品，球衣的总数尽可能多，但足球纪念品数量不多于球衣数量1.5倍，那么Jack 买足球纪念品和球衣各多少才行？一般实际问题的求解步骤如下表：你有．．遇到什么难题了吗？．．．．．．．．．设：．．球衣x 件，足球纪念品y 只，总和为S 1.5502010000,0,y x x y x y x y N≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈⎩ S=x+y 学生此时应该到第三步，无法解决数学模型的解！二元一次不等式所表示的平面区域对于像上面这样有两个参量控制的取值X 围问题，我们都可以用下面的几何方法来求解。

第一步：研究出问题的约束条件，确定数对〔x,y 〕的X 围第二步：在第一步所得到的数对〔x,y 〕的X 围中，通过图形的方法，找出所求问题达到最大数对的〔x,y 〕我们不妨来画出其中一个32y x ≤练一练〔113x + 〔3〕260y +< 小结：一般地，直线y=kx+b 把平面分成两个部分： __________________________________________________________想一想请根据上面所画的图象时所得到的规律，完成下表B>0 表示的区域是直线0Ax By C ++= B<0 表示的区域是 直线0Ax By C ++= 0Ax By C ++> 0Ax By C ++>0Ax By C ++< 0Ax By C ++<请体会你在研究上面新的问题的过程中，用到了什么样的思想？〔化归〕大家有没有发现判断二元一次不等式所表示的平面区域问题，我们可以有新的方法了???〔由上面规律的总结，发现特殊点法〕如果有这样一个二元一次不等式组变化 1.550201000y x x y ≤⎧⎨+≤⎩如何表示出它的几何意义？我们在必修2中，学过曲线与方程的思想，它有这样两句话 〔1〕以方程0Ax By C ++=的解x,y 为横、纵坐标的点(x,y)都在直线0Ax By C ++=上 〔2〕直线0Ax By C ++=上的任一点〔x,y 〕的横、纵坐标值都是方程0Ax By C ++=的解 那么请你试描述一个关于不等式与曲线的关系 见必修5的教学参考书再变化1.5502010000,0y xx yx y≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，那么又有什么变化？？再再变化1.5502010000,0,y xx yx yx y N≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈⎩那么又有什么变化？？？如果问题现在倒过来怎么办呢？倒过来：如果给出阴影，如何用不等式表示！小结：我们今天学习了：______________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ ____作业：书P78页练习4，5 80页1，2，3，4！并阅读P88页上的第7题的阅读题，并写下你的感受！。

芯衣州星海市涌泉学校探究教学课例—二元一次不等式〔组〕与平面区域2、教学策略选择与设计讨论，从而加深对本节课教学内容的理解，使之形成理性认识．3、教学目的知识与技能：知道二元一次不等式〔组〕的几何意义——表示平面区域；会画二元一次不等式〔组〕表示的平面区域并能用平面区域表示二元一次不等式〔组〕．过程与方法：通过画二元一次不等式〔组〕表示的平面区域的过程体会不等式的几何意义；通过详细例子，引导学生会用)1,0(),0,1(),0,0(等特殊点检验不等式0(0)Ax By C ++><所表示的平面区域，由此归纳、猜想确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧的一般方法，即“直线定界，特殊点定域〞的方法．情感、态度与价值观：通过画图的过程训练学生养成用直尺标准作图的良好习惯，认同事物是普遍联络的辩证唯物主义观点，体验一些事物在一定的条件下是可以互相转化的．4、教学内容简单的线性规划是应用数形结合思想解题的重要方法之一，应用线性规划解决“最优化〞问题是数学的一个重大应用．“二元一次不等式〔组〕所表示的平面区域〞是简单的线性规划的重要根底，因此本节课内容重点强调“平面区域〞与“不等式的〔组〕〞的对应关系．而建立这种对应关系的过程可以引导学生自主探究发现．本节课内容的难点在于寻求二元一次不等式〔组〕所表示的平面区域，打破难点的有效方法可以通过对详细例子探究、尝试获得结论，培养学生复杂问题简单化、普遍规律一般化的思维方式．同时探究不等式“定域〞方法时，可以鼓励学生发挥协作精神，采用探究的学习方法，充分调动学生的思维．5、教学重点和难点教学重点：二元一次不等式表示平面区域，体会数形结合思想；教学难点：把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答。

解决难点的关键是根据实际问题中的条件，找出约束条件和目的函数，利用图解法求得最优解。

6、教学过程为了表达课改特色以及结合本节课内容的特点，将本节课设计为“思-疑-释-讲-练〞的教学形式，详细如下：①完成学案：明确课标对本节课的要求；设计预习导引问题；自主学习、解决部分问题；整理疑问、课上解决．②创设情境、导悟要点→生生互释、教师点拨→小组讨论、探究→魅力精讲、概括升华→理论、成就素能→课堂点评、目的反响．学案的精心设计，可以使学生把感悟时间是是置于课前，有利于培养学生的自学才能、质疑才能、探究才能，做到学生有准备的进入本节课的学习；教学过程中“导悟要点、生生互释、小组讨论、魅力精讲、理论〞的设计表达了“思-疑-释-讲-练〞的教学形式，唤起学生的主体意识，突出学生的主体地位，培养学生的自主学习、探究问题和勇于创新的才能．7、教学媒介本节课的教学内容设计目的在于通过二元一次不等式表示平面区域来让学生体会到数与形的结合，因此为了进步作图的快捷、图示的准确性和直观性，本节课将恰当使用多媒体进展教学辅助．同时多媒体的引入可直观演示本节课所设计问题及相关习题答案，大大节板书时间是是，进步课堂效率．二元一次不等式〔组〕所表示的平面区域〔导学案〕二、教学过程实录〔一〕创设情境、导悟要点【师生活动】一家银行的信贷部方案年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，那么，信贷部应该如何分配资金呢？这个问题中存在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢？同学们陆陆续续列出不等式。

3.5.1 二元一次不等式（组）所表示的平面区域 教案一、教学目标：1．知识目标：能做出二元一次不等式（组）所表示平面区域；会把若干直线围成的平面区域用二元一次不等式组表示．2．能力目标：培养学生用数形结合思想分析问题、解决问题的能力； 3．情感目标：体会数学的应用价值，激发学生的学习兴趣． 二、教学重点、难点：重点：二元一次不等式（组）表示的平面区域 难点：用二元一次不等式（组）表示平面区域． 三、教学方法与手段本节课采用探究式教学法，采用启发、引导、探索、讨论交流的方式进行组织教学．并充分利用多媒体辅助教学．四、教学过程（一）创设情景，引入新课本班计划用少于100元的钱购买单价分别为2元和1元的大、小彩球装点元旦晚会的会场，根据需要，大球数不少于10个，小球数不少于20个，请你给出几种不同的购买方案？分析：（1）引入问题中的变量：设买大球x 个，买小球y 个； （2）把文字语言转化为数学符号语言：（少于100元的钱购买） ⇒ 1002<+y x （1） （大球数不少于10） ⇒ 10≥x ，N x ∈ （2） （小球数不少于20） ⇒ 20≥y ，N y ∈（3）（3）抽象出数学模型： 2x y 100x 10y 20,x,y N +<⎧⎪≥⎨⎪≥∈⎩（二）讲授新课1．二元一次不等式（组）的定义（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式．（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．注意：二元一次不等式（组）是根据未知数的个数和未知数的最高次数加以区分．2．探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间 二元一次方程表示的是什么图形？ 直线思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？问题一：平面直角坐标系中不在直线上的点被直线Ax By C 0++=分为几部分？两部分 以x y 10+-=为例进行直观说明，引出以下概念：每部分叫做开半平面，开半平面与直线的并集叫做闭半平面．以不等式解（x,y ）为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的区域或不等式的图象．如何求二元一次不等式表示的平面区域？我们先研究具体的二元一次不等式x y 10+->的解集所表示的图形． 问题二：平面内所有的点被直线x y 10+-=分成几类？ 如图：在平面直角坐标系内，x y 10+-=表示一条直线． 平面内所有的点被直线分成三类： 第一类：在直线x y 10+-=上的点；第二类：在直线x y 10+-=左下方的区域内的点；第三类：在直线x y 10+-=右上方的区域内的点． 问题三：每部分中的点都有哪些特点？ 在直线的上方、下方取一些点：上方：（0，2），（1，3），（0，5），（2，2） 下方：（-1，0），（0，0），（0，-2），（1，-1） 分别把点的坐标代入式子x y 1+-中，会有什么结果？直线上方的点使的x y 10+->；直线下方的点使的x y 10+-<． 猜想：直线同侧点的坐标是否使式子的值具有相同的符号？问题四：直线x y 10+-=右上方的平面区域如何表示？左下方的平面区域呢？x y 10+->；x y 10+-<．由学生自行归纳总结，不要求证明．结论：直线Ax By C 0++=把平面直角坐标系中不在直线上的点分为两部分，同一侧点的坐标使式子Ax By C ++的值具有相同的符号，并且两侧的点的坐标使式子Ax By C ++的值符号相反，一侧都大于0，一侧都小于0．问题五：如何判断Ax By C 0++>表示直线Ax By C 0++=哪一侧平面区域？ 根据以上结论，只需要在直线的某一侧取一个特殊点(x 0 , y 0)，从00A B C y ++x 的正负即可判断不等式Ax By C 0++>表示直线哪一侧的平面区域，这种方法称为代点法．x概括为：“直线定界，特殊点定域”．特别地，当0≠C时，常把原点作为特殊点，即“直线定界、原点定域”．问题六：0≥++CyAx B表示的平面区域与0>++CyAx B表示的平面区域有何不同？如何体现这种区别？把直线画成实线以表示区域包含边界直线；把直线画成虚线以表示区域不包含边界直线．（三）应用新知，练习巩固例1．画出下面二元一次不等式表示的平面区域：（1）2x y30-->；（2）3x2y60+-≤．设计以下几个问题:(1)不等式表示的区域是在哪条直线的一侧？这条直线是画实线还是虚线？(2)运用代点法判断平面区域的位置时取哪个特殊点代入较好?学生完成，师指导．例2．画出下列不等式组表示的平面区域（1）2x y10x y10-+>⎧⎨+-≥⎩（2）2x3y202y10x30-+>⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩设计以下几个问题：(1)不等式组表示的平面区域如何确定？(各个不等式表示的平面点集的交集即各个不等式所表示的平面区域的公共部分)(2)第二小题中加上条件x,y N∈，又会是什么图形呢？多媒体演示平面区域 (是上述公共平面区域内的整点)例3．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨．如果在此基础上进行生产，设x,y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．解：x,y满足的数学关系式为：4x y1018x15y66x0y0+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩分别画出不等式组中，各不等式表示的区域，然后取交集．如图中的阴影部分．（四）课堂小结知识上：1．二元一次不等式（组）表示平面区域2．判定方法:“直线定界，特殊点定域”．小诀窍：如果C≠0,可取(0,0)；如果C＝0,可取(1,0)或(0,1)．思想方法上：数形结合的数学思想方法．（五）布置作业大屏幕展示思考题：（再次回到引例）为下一节课做准备。

二元一次不等式（组）表示的平面区域教学设计一、教学目标1.知识与技能目标：（1）理解“同侧同号”并掌握不等式区域的判断方法；（2）能作出二元一次不等式（组）表示的平面区域。

2.过程与方法目标：（1）增强学生数形结合的思想；（2）理解数学的转化思想，提高分析问题、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：（1）通过学生的主动参与、学生的合作交流，培养学生的探索方法与精神；（2）体会数学的应用价值；（3）体会由一般到特殊，由特殊到一般的思想。

二、教学重、难点重点：二元一次不等式（组）表示的平面区域难点：寻求二元一次不等式（组）表示的平面区域三、教法设计本节课采用探究教学法，通过“猜想，验证，证明”来探究二元一次不等式（组）表示的平面区域，并通过讲练结合巩固所学的知识。

使用多媒体辅助教学。

四、学法设计引导学生通过主动参与、合作探讨学习知识五、教学过程设计教学过程教学内容教学活动新课引问题：营养学家指出，成人的日常饮食应该摄入至少0.075kg碳水化合物，0.06kg蛋白质，0.06kg脂肪。

已知1kg食物A含有0.15kg碳水化合物，0.06kg蛋白质，0.12kg脂肪；已知1kg食物B含有0.15kg碳水化合物，0.12kg蛋白质，0.06kg脂肪。

设x，y分别为每天需要食物A,B的数量（单位：千克），请列出满足营养学家日常饮食要求的数学关系式。

学生列出满足要求的数学关系式。

入教师结合学生列出的关系式给出二元一次不等式和二元一次不等式组的概念。

探求二元一次不等式解集的几何意义1.介绍开半平面和闭半平面的定义。

2.引导1：二元一次方程在直角坐标系中的图像是一条直线，那么二元一次不等式在直角坐标平面上表示什么区域？引导2：直线将平面分成两部分，这与两个二元一次不等式有什么关联？引导3：如何验证我们的猜想？3. 选择直线，在平面上选择一点，观察其在每一侧区域运动时，的正负符号。

4.证明：在直线的同一侧任取一点的坐标使式子的值具有相同的符号。