人教版初三数学上册因式分解(20201017183214)

初三人教版上册数学因式分解法知识点知识点(一)运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子： a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

(三)因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

③有一项是这两个数的积的两倍。

(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

(4)完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

(5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

(五)分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式.如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式.原式=(am +an)+(bm+ bn)=a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义.但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)=a(m+ n)+b(m+ n)=(m +n)?(a +b).这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.(六)提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式.2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：1.必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数.2.将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：① 列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况;②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数.3.将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式.(七)分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式.3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分.4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y=-(y-x)，(x-y)2=(y-x)2， (x-y)3=-(y-x)3.5.分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理.当然，简单的分式之分子分母可直接乘方.6.注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减.(八)分数的加减法1.通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形.约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言;约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来.2.通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变.3.一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备.4.通分的依据：分式的基本性质.5.通分的关键：确定几个分式的公分母.通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母.6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.7.同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

(1)x2-4=0;
(2)(x+1)2-25=0.
解：(x+2)(x-2)=0, 解：[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+2=0或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
∴x+6=0或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
提升练习
用分解因式法解下列方程：
5x2 2x 1 x2 2x 3
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式 的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解 一元二次方程的方法称为分解因式法.
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零. 2.理论根据是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因 式等于零.”
例题分析
例 用分解因式法解方程:
x1=0或x2=9
小亮的解法：
解：设这个数为x
x2=9 x
约去x得
x=9
他们做得是否 正确，若是错 了,错在哪里, 给与改正
(2)2x(2x-1) 3(2x 1) 0 解：(2x 1)(2x 3) 0
5x 0或3x 2 0
x1
0，x2
2 3
2x 1 0或2x 3 0
x1
1 2
，x2
3 2
当堂检测
6.一个数的平方与这个数的9倍相等这个数是几？
下面是明明,小亮解题过程
明明的解法： 解：设这个数为x
x2=9x x2-9x=0 x(x-9)=0 x=0或x-9=0
第21章 一元二次方程
21.2.3 一元二次方程的解法---因式分解法
人教版 九年级上册
学习目标
1.了解因式分解法解一元二次方程的概念，并会用分解因式 法解某些一元二次方程.

九年级数学上册《因式分解法》知识点总结人教版1.2．3因式分解法知识点一因式分解法解一元二次方程把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。

因式分解法的详细步骤：①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；④解一元一次方程即可得到原方程的解。

知识点二用合适的方法解一元一次方程1.2.4一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q.若一元二次方程a2x+bx+c=0有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=，?,x1x2=22.3实际问题与一元二次方程知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤：审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。

设：是指设元，也就是设出未知数。

列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。

解：就是解方程，求出未知数的值。

验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。

答：写出答案。

知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型baca数字问题三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。

三个连续偶数：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。

三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是100a+10b+c.增长率问题设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a2=b。

利润问题利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率图形的面积问题根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。

3.十字相乘法:x²+(p+q)x+pq= (x+p)(x+q)
复习回顾
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?
2.什么叫分解因式?
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.
直接开平方法
配方法
x2=a (a≥0)
(mx+n)2=p (n=p≥0)
公式法
复习回顾
分解因式的方法有那些?
你会灵活解一元二次方程吗？
1.解方程x－ ＝( －x)2最适合的方法是( )A．配方法 B．公式法 C．因式分解法 D．直接开平方法
C
2．直角三角形的两条直角边长分别为方程x2－7x＋12＝0的两个实数根，则直角三角形的斜边长为 ．
问题 3 ：
解下列方程（因式分解法）
（1）x2 - 16 = 0 ； (2) x-2 = -x(x-2) ★ 通过因式分解使方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次 方程方法叫做因式分解法．
(1)2(x＋3)2＝8； (2)4x2－ x＋1＝0；
以上解方程 x(10-4.9x)=0 的方法是如何使二次方程降为一次的？
合作探究
解方程：例 1、(x+3)(x－1)=-7
解：原方程可变形为:
(x+2)²=0
x+2=0或x+2=0
∴ x1=-2 ,x2=-2
x2+2x+4 =0
左边分解成两个一次因式 的乘积
至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
这种解法是不是很简单？
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．