理科数学小题训练(9)

课时规范练9 指数与指数函数基础巩固组1.(2019四川成都七中一模,2)设集合A=,B=,则A∩B=( ) A.(-1,2) B.[-1,2) C.(-1,2]D.[-1,2]2.化简√64x 12y 66(x>0,y>0)得( ) A.2x 2yB.2xyC.4x 2yD.-2x 2y3.(2019北京通州一模,2)已知c<0,则下列不等式中成立的是( ) A.c>2cB.c>(12)cC.2c >(12)cD.2c <(12)c4.(2019河北承德一中期中)设2x =8y+1,9y =3x-9,则x+y 的值为( ) A.18B.21C.24D.275.函数f (x )=a |2x-4|(a>0,a ≠1),满足f (1)=19,则f (x )的单调递减区间是( ) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]6.(2019黑龙江佳木斯一中调研二,5)设a=log37,b=21.1,c=0.81.1,则( ) A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<aD.a<c<b7.(2019陕西西安一中月考)下列函数中,与函数y=2x-2-x 的定义域、单调性、奇偶性均一致的是( ) A.y=sin x B.y=x 3 C.y=(12)xD.y=log 2x8.若偶函数f (x )满足f (x )=2x -4(x ≥0),则{x|f (x-3)>0}=( ) A.{x|x<-3或x>5} B.{x|x<1或x>5} C.{x|x<1或x>7}D.{x|x<-3或x>3}9.(2019广东韶关一中期末)设x>0,且1<b x <a x ,则 ( )A.0<b<a<1B.0<a<b<1C.1<b<aD.1<a<b10.不等式恒建立,则a 的取值范围是 . 11.函数y=xa x|x |(0<a<1)图象的大致形状是( )综合提升组12.(2019福建厦门期末,3)实数x,y满足x>y,则下列不等式成立的是( )<1 B.2-x<2-yA.yxC.lg(x-y)>0D.x2>y213.(2019湖北龙泉中学六月模仿,9)已知a>b>0,x=a+beb,y=b+aea,z=b+aeb,则( )A.x<z<yB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x14.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是()A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)C.(0,+∞)D.(-1,+∞)15.(2019福建泉州五中模拟)设a>0,且a≠1,函数y=a2x+2a x-1在[-1,1]上的最大值是14,则实数a的值为.创新应用组16.(2019湖南衡阳八中模拟)在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%,专家预测经过x年可能增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为( )17.(2019山西吕梁期末,20)已知定义域为R 的函数f(x)=是奇函数.(1)求实数m ,n 的值;(2)若对于任意的t∈[-1,1],不等式f(t2-2)+f(2a-at)≥0恒成立,求实数a 的取值范畴.参考答案课时规范练9 指数与指数函数1.A ∵集合A={x |2x >12},解得x>-1,B={x |x+1x -2≤0}={x|-1≤x<2},则A ∩B={x|-1<x<2},故选A . 2.A原式=(26x 12y 6)16=2x 2|y|=2x 2y.3.D 因为c<0,所以0<2c<1,(12)c>1,所以选项A,B,C 错,故选D .4.D 因为2x =8y+1=23(y+1),所以x=3y+3,因为9y =32y =3x-9,所以x-9=2y ,解得x=21,y=6,所以x+y=27. 5.B 由f (1)=19,得a 2=19.又a>0,∴a=13,即f (x )=13|2x-4|.∵y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,∴f (x )在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减,故选B .6.B ∵1<a=log 37<2,b=21.1>2,c=0.81.1<1,∴b>a>c.故选B .7.B y=2x-2-x 是定义域为R 的单调递增函数,且是奇函数.而y=sin x 不是单调递增函数;y=是非奇非偶函数;y=log 2x 的定义域是(0,+∞);只有y=x3是定义域为R 的单调递增函数,且是奇函数,符合题意.8.B ∵f (2)=0,∴f (x-3)>0等价于f (|x-3|)>0=f (2).∵f(x)=2x -4在[0,+∞)内为增函数,∴|x -3|>2,解得x<1或x>5.9.C 因为x>0时,1<b x,所以b>1.因为x>0时,b x<a x,所以x>0时,(a b )x>1.所以ab >1,所以a>b ,所以1<b<a.10.(-2,2) 由指数函数的性质知y=是减函数,由于恒建立,所以x 2+ax>2x+a-2恒成立, 所以x 2+(a-2)x-a+2>0恒成立,所以Δ=(a-2)2-4(-a+2)<0,即(a-2)(a+2)<0, 即a 的取值范围是(-2,2).11.D 函数定义域为{x|x∈R,x≠0},且y=当x>0时,函数是一个指数函数,∵0<a<1,∴函数在(0,+∞)上是减函数;当x<0时,函数图象与指数函数y=ax(x<0,0<a<1)的图象关于x轴对称,在(-∞,0)上是增函数,故选D.12.B 由题意,指数函数y=2x是定义域R上的单调递增函数,又由x>y,则-x<-y,所以2-x<2-y,故选B.13.A∵x=a+b e b,y=b+a e a,z=b+a e b,∴y-z=a(e a-e b).又a>b>0,e>1,∴e a>e b,∴y>z.z-x=(b-a)+(a-b)e b=(a-b)(e b-1).又a>b>0,e b>1,∴z>x.综上,x<z<y,故选A.14.D不等式2x(x-a)<1可变形为x-a<(12)x,如图,作出直线y=x-a与y=(12)x的图象.由题意,在(0,+∞)上,直线有一部分在曲线的下方.观察可知,有-a<1,所以a>-1.15.13或3令t=a x(a>0,且a≠1),则原函数化为y=f(t)=(t+1)2-2(t>0).①当0<a<1,x∈[-1,1]时,t=ax,此时f(t)在上为增函数.所以f(t)max=f-2=14.解得a=-15(舍去)或a=13.②当a>1时,x∈[-1,1],t=ax,此时f(t)在上是增函数.所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5(舍去).综上,a=13或3.16.D 设原有荒漠化土地面积为b,经过x年后荒漠化面积为z,所以z=b(1+10.4%)x,故y==(1+10.4%)x(x≥0),是底数大于1的指数函数.因此y=f(x)的图象为选项D.17.解(1)∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)==0,∴n=1,∴f(x)=又f(1)=-f(-1),∴1-2 m+4=-1-12m+1,解得m=2,∴f(x)=1-2x2x+1+2.经验证可得函数f(x)为奇函数,∴n=1,m=2.(2)由(1)知f(x)==-,∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.∵f(t2-2)+f(2a-at)≥0,∴f(t2-2)≥-f(2a-at),又f(x)是奇函数,∴f(t2-2)≥f(at-2a),又f(x)为减函数,∴t2-2≤at-2a对任意的t∈[-1,1]恒成立.∴t2-at+2a-2≤0对任意的t∈[-1,1]恒成立.令g(t)=t2-at+2a-2,则{g(-1)=1+a+2a-2=3a-1≤0, g(1)=1-a+2a-2=a-1≤0,解得a≤1 3 .∴实数a的取值范围为(-∞,13].。

（第5题图）2013届高三理科数学训练题（九）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．集合{}1,0,1-=P ，Q={|cos ,y y x x R =∈},则P Q ⋂=（ ） A ．PB ．QC ．{—1,1}D ．{}1,0 2 ．若复数()21i a ⋅+（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数=a （ ）A ．1±B ．1-C ．0D ．13．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C ．命题“存在,R x ∈使得210x x ++<”的否定是：“对任意,R x ∈ 均有210x x ++<”．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．4．阅读如图的程序框图．若输入6,4==n m ，则输出的i a ,分别等于 （ ） A ．12，2 B ．12，3 C ．24，2 D ．24，3 5．=+-⎰-dx x x )1(112（ ）A ．π B.2πC.1+πD.1-π6．4)2(x x +的展开式中3x 的系数是（ ）A ．6B ．12C ．24D ．7．已知函数()3sin()6f x x πω=-(0)ω>和()3cos(2)g x x ϕ=+的图象的对称中心完全相同，若[0,]2x π∈，则()f x 的取值范围是（ ）A ．3[,3]2- B ．[3,3]- C ．1[2- D ． 8．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,,1.a a ba b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩．设函数()()()221f x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )． A ．(]()1,12,-+∞ B ．(](]2,11,2-- C ．()(],21,2-∞- D ．[]2,1--班级：__________ 座号：__________ 姓名：__________ 评分：__________ 一、选择题答题卡：本大题共8小题,每小题5分,共40分。

绝密★启用前2021年全国乙卷理科数学试卷时间：120分钟满分：150分命卷人：审核人：一、选择题（（每小题5分,共60分））1. 设,则( )A. B.C. D.2. 已知集合,,则( )A. B.C. D.3. 已知命题﹐;命题,则下列命题中为真命题的是( )A. B.C. D.4. 设函数,则下列函数中为奇函数的是( )A. B.C. D.5. 在正方体中,为的中点,则直线与所成的角为( )A. B.C. D.6. 将名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰,短道速滑､冰球和冰壶个项目进行培训,每名志愿者只分配到个项目,每个项目至少分配名志愿者,则不同的分配方案共有( )A. 种B. 种C. 种D. 种7. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图像,则( )A. B.C. D.8. 在区间与中各随机取个数,则两数之和大于的概率为( )A. B.C. D.9. 魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.如图,点在水平线上,和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,称为“表距”,和都称为“表目距”.与的差称为“表目距的差”,则海岛的高( )A.B.C.D.10. 设,若为函数的极大值点,则A. B.C. D.11. 设是椭圆:的上顶点,若上的任意一点都满足,则的离心率的取值范围是( )A. B.C. D.12. 设,,,则( )A. B.C. D.二、填空题（（每小题5分,共20分））13. 已知双曲线:的一条渐近线为,则的焦距为__________.14. 已知向量,,若,则__________.15. 记的内角,,的对边分别为,,,面积为,,,则__________.16. 以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为__________(写出符合要求的一组答案即可).三、解答题（（每小题12分,共60分））17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了件产品,得到产品该项指标数据如下:旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和, 样本方差分别记为和. (1)求,,,: (2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 ( 如果,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高 , 否则不认为有显著提高 ) 。

2012高考真题分类汇编：直线与圆1.【2012高考真题重庆理3】任意的实数k ，直线1+=kx y 与圆222=+y x 的位置关系一定是（1） 相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心【答案】C【解析】直线1+=kx y 恒过定点)1,0(，定点到圆心的距离21<=d ，即定点在圆内部，所以直线1+=kx y 与圆相交但直线不过圆心，选C.2.【2012高考真题浙江理3】设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行 的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当1=a 时，直线1l ：02=+y x ，直线2l ：042=++y x ，则1l //2l ；若1l //2l ，则有012)1(=⨯-+a a ，即022=-+a a ，解之得，2-=a 或1=a ，所以不能得到1=a 。

故选A.4.【2012高考真题陕西理4】已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则（ ）A.l 与C 相交B. l 与C 相切C.l 与C 相离D. 以上三个选项均有可能【答案】A.【解析】圆的方程可化为4)2(22=+-y x ，易知圆心为)0,2(半径为2，圆心到点P 的距离为1，所以点P 在圆内.所以直线与圆相交.故选A.5.【2012高考真题天津理8】设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，则m+n 的取值范围是（A ）]31,31[+- （B ）),31[]31,(+∞+⋃--∞（C ）]222,222[+- （D ）),222[]222,(+∞+⋃--∞【答案】D【解析】圆心为)1,1(，半径为 1.直线与圆相切，所以圆心到直线的距离满足1)1()1(|2)1()1|22=+++-+++n m n m （，即2)2(1n m mn n m +≤=++，设z n m =+，即01412≥--z z ，解得,222-≤z 或,222+≥z6.【2012高考江苏12】（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ． 【答案】43。

吉林省实验中学高考数学模拟试卷（理科）（九）一、选择题：（本大题共12小题, 每小题5分, 共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|1＜x＜4}, 集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}, 则A∩（∁R B）=（）A．（1, 4）B．（3, 4）C．（1, 3）D．（1, 2）∪（3, 4）2．已知命题p：∀x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0, 则￢p是（）A．∃x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0B．∀x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0D．∀x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜03．若复数z满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位）, 则z为（）A．3+5iB．3﹣5iC．﹣3+5iD．﹣3﹣5i4．已知{a n}是等差数列, 公差d不为零, 前n项和是S n, 若a3, a4, a8成等比数列, 则（）A．a1d＞0, dS4＞0B．a1d＜0, dS4＜0C．a1d＞0, dS4＜0D．a1d＜0, dS4＞05．已知x, y满足约束条件, 若z=ax+y的最大值为4, 则a=（）A．3B．2C．﹣2D．﹣36．阅读如图所示的程序图, 运行相应的程序输出的结果s=（）A．1B．4C．9D．167．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况, 抽出了一个容量为n的样本, 其频率分布直方图如图所示, 其中支出在[50, 60）元的同学有30人, 则n的值为（）A．100B．1000C．90D．9008．关于正态曲线性质的叙述：①曲线关于直线x=μ对称, 这个曲线在x轴上方；②曲线关于直线x=σ对称, 这个曲线只有当x∈（﹣3σ, 3σ）时才在x轴上方；③曲线关于y轴对称, 因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；④曲线在x=μ时处于最高点, 由这一点向左右两边延伸时, 曲线逐渐降低；⑤曲线的对称轴由μ确定, 曲线的形状由σ确定；⑥σ越大, 曲线越“矮胖”, σ越小, 曲线越“高瘦”．上述说法正确的是（）A．①④⑤⑥B．②④⑤C．③④⑤⑥D．①⑤⑥9．节日前夕, 小李在家门前的树上挂了两串彩灯, 这两串彩灯的第一次闪亮相互独立, 且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生, 然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮, 那么这两串彩灯同时通电后, 它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A．B．C．D．10．抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A．B．C．1D．11．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示, 则此几何体的体积等于______cm2．（）A．16B．18C．24D．2612．函数f（x）=﹣cosx在[0, +∞）内（）A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点二、填空题：（本大题共4小题, 每小题5分, 共20分）13．已知向量夹角为45°, 且, 则=．14．（1+x）8（1+y）4的展开式中x2y2的系数是．15．sinxdx=．16．已知半球内有一内接正方体, 则这个半球的表面积与正方体的表面积之比是．三、解答题：（本大题共5小题, 共70分．解答应写出说明文字, 证明过程或演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中, 已知向量=（, ﹣）, =（sinx, cosx）, x∈（0, ）．（1）若⊥, 求tanx的值；（2）若与的夹角为, 求x的值．18．在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手（1至5号）登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手．（Ⅰ）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望．19．如图, 在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中, AB⊥AC, AB=AC=2, AA1=4, 点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．20．如图, 点P（0, ﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点, C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径, l1, l2是过点P且互相垂直的两条直线, 其中l1交圆C2于A、B两点, l2交椭圆C1于另一点D．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．21．设x1, x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2﹣a2x（a＞0）的两个极值点．（1）若x1=﹣1, x2=2, 求函数f（x）的解析式；（2）若, 求b的最大值．（3）若x1＜x＜x2, 且x2=a, g（x）=f'（x）﹣a（x﹣x1）, 求证：．请考生在第22, 23, 24三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图, △ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．（1）证明：△ABE∽△ADC；（2）若△ABC的面积S=AD•AE, 求∠BAC的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中, 直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位, 且以原点O为极点, 以x轴正半轴为极轴）中, 圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B, 若点P的坐标为（3, ）, 求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]24．例3．设a＞0, b＞0, 解关于x的不等式：|ax﹣2|≥bx．吉林省实验中学高考数学模拟试卷（理科）（九）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题, 每小题5分, 共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|1＜x＜4}, 集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}, 则A∩（∁R B）=（）A．（1, 4）B．（3, 4）C．（1, 3）D．（1, 2）∪（3, 4）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由题意, 可先解一元二次不等式, 化简集合B, 再求出B的补集, 再由交的运算规则解出A∩（∁R B）即可得出正确选项【解答】解：由题意B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}, 故∁R B={x|x＜﹣1或x＞3},又集合A={x|1＜x＜4},∴A∩（∁R B）=（3, 4）故选B2．已知命题p：∀x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0, 则￢p是（）A．∃x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0B．∀x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0D．∀x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0【考点】命题的否定．【分析】由题意, 命题p是一个全称命题, 把条件中的全称量词改为存在量词, 结论的否定作结论即可得到它的否定, 由此规则写出其否定, 对照选项即可得出正确选项【解答】解：命题p：∀x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题, 其否定是一个特称命题,故¬p：∃x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．故选：C．3．若复数z满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位）, 则z为（）A．3+5iB．3﹣5iC．﹣3+5iD．﹣3﹣5i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】等式两边同乘2+i, 然后化简求出z即可．【解答】解：因为z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位）,所以z（2﹣i）（2+i）=（11+7i）（2+i）,即5z=15+25i,z=3+5i．故选A．4．已知{a n}是等差数列, 公差d不为零, 前n项和是S n, 若a3, a4, a8成等比数列, 则（）A．a1d＞0, dS4＞0B．a1d＜0, dS4＜0C．a1d＞0, dS4＜0D．a1d＜0, dS4＞0【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由a3, a4, a8成等比数列, 得到首项和公差的关系, 即可判断a1d和dS4的符号．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1, 则a3=a1+2d, a4=a1+3d, a8=a1+7d,由a3, a4, a8成等比数列, 得, 整理得：．∵d≠0, ∴,∴,=＜0．故选：B．5．已知x, y满足约束条件, 若z=ax+y的最大值为4, 则a=（）A．3B．2C．﹣2D．﹣3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域, 利用目标函数的几何意义, 利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2, 0）, B（1, 1）,若z=ax+y过A时取得最大值为4, 则2a=4, 解得a=2,此时, 目标函数为z=2x+y,即y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z, 当直线经过A（2, 0）时, 截距最大, 此时z最大为4, 满足条件,若z=ax+y过B时取得最大值为4, 则a+1=4, 解得a=3,此时, 目标函数为z=3x+y,即y=﹣3x+z,平移直线y=﹣3x+z, 当直线经过A（2, 0）时, 截距最大, 此时z最大为6, 不满足条件,故a=2,故选：B6．阅读如图所示的程序图, 运行相应的程序输出的结果s=（）A．1B．4C．9D．16【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序, 依次写出每次循环得到的n, s, a的值, 当n=3时, 不满足条件n＜3, 退出循环, 输出s的值为9．【解答】解：模拟执行程序框图, 可得a=1, s=0, n=1s=1, a=3满足条件n＜3, n=2, s=4, a=5满足条件n＜3, n=3, s=9, a=7不满足条件n＜3, 退出循环, 输出s的值为9,故选：C．7．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况, 抽出了一个容量为n的样本, 其频率分布直方图如图所示, 其中支出在[50, 60）元的同学有30人, 则n的值为（）A．100B．1000C．90D．900【考点】用样本的频率分布估计总体分布．【分析】根据频率直方图的意义, 由前三个小组的频率可得样本在[50, 60）元的频率, 计算可得样本容量．【解答】解：由题意可知：前三个小组的频率之和=（0.01+0.024+0.036）×10=0.7,∴支出在[50, 60）元的频率为1﹣0.7=0.3,∴n的值=；故选A．8．关于正态曲线性质的叙述：①曲线关于直线x=μ对称, 这个曲线在x轴上方；②曲线关于直线x=σ对称, 这个曲线只有当x∈（﹣3σ, 3σ）时才在x轴上方；③曲线关于y轴对称, 因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；④曲线在x=μ时处于最高点, 由这一点向左右两边延伸时, 曲线逐渐降低；⑤曲线的对称轴由μ确定, 曲线的形状由σ确定；⑥σ越大, 曲线越“矮胖”, σ越小, 曲线越“高瘦”．上述说法正确的是（）A．①④⑤⑥B．②④⑤C．③④⑤⑥D．①⑤⑥【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态曲线的性质, 分析选项, 即可得出结论．【解答】解：根据正态曲线的性质, 曲线关于直线x=μ对称, 当x∈（﹣∞, +∞）时, 正态曲线全在x轴上方, 故①正确, ②不正确；只有当μ=0时, 正态曲线才关于y轴对称, 故③不正确；曲线关于直线x=μ对称, 曲线在x=μ时处于最高点, 由这一点向左右两边延伸时, 曲线逐渐降低, 故④正确；曲线的对称轴由μ确定, 曲线的形状由σ确定；σ越大, 曲线越“矮胖”, σ越小, 曲线越“高瘦”．故⑤⑥正确．故选：A．9．节日前夕, 小李在家门前的树上挂了两串彩灯, 这两串彩灯的第一次闪亮相互独立, 且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生, 然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮, 那么这两串彩灯同时通电后, 它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x, y, 由题意可得0≤x≤4, 0≤y≤4, 要满足条件须|x﹣y|≤2, 作出其对应的平面区域, 由几何概型可得答案．【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x, y,由题意可得0≤x≤4, 0≤y≤4,它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒, 则|x﹣y|≤2,由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比,由图可知所求的概率为：=故选C10．抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A．B．C．1D．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】根据抛物线的标准方程, 算出抛物线的焦点F（1, 0）．由双曲线标准方程, 算出它的渐近线方程为y=±x, 化成一般式得：, 再用点到直线的距离公式即可算出所求距离．【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x∴2p=4, 可得=1, 抛物线的焦点F（1, 0）又∵双曲线的方程为∴a2=1且b2=3, 可得a=1且b=,双曲线的渐近线方程为y=±, 即y=±x,化成一般式得：．因此, 抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d==故选：B11．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示, 则此几何体的体积等于______cm2．（）A．16B．18C．24D．26【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图得出该几何体是直三棱柱, 去掉一个底面相同的三棱锥, 求出它的体积即可．【解答】解：根据几何体的三视图得：该几何体是底面为直角三角形, 高为5的直三棱柱,去掉一个底面为相同的直角三角形, 高为3的三棱锥,∴该几何体的体积为：V几何体=V三棱柱﹣V三棱锥=×4×3×5﹣××4×3×3=24故选：C．12．函数f（x）=﹣cosx在[0, +∞）内（）A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据余弦函数的最大值为1, 可知函数在[π, +∞）上为正值, 在此区间上函数没有零点, 问题转化为讨论函数在区间[0, π）上的零点的求解, 利用导数讨论单调性即可．【解答】解：f′（x）=+sinx①当x∈[0．π）时, ＞0且sinx＞0, 故f′（x）＞0∴函数在[0, π）上为单调增取x=＜0, 而＞0可得函数在区间（0, π）有唯一零点②当x≥π时, ＞1且cosx≤1故函数在区间[π, +∞）上恒为正值, 没有零点综上所述, 函数在区间[0, +∞）上有唯一零点二、填空题：（本大题共4小题, 每小题5分, 共20分）13．已知向量夹角为45°, 且, 则=3．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】由已知可得, =, 代入|2|====可求【解答】解：∵, =1∴=∴|2|====解得故答案为：314．（1+x）8（1+y）4的展开式中x2y2的系数是168．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据（1+x）8和（1+y）4的展开式的通项公式可得x2y2的系数．【解答】解：根据（1+x）8和（1+y）4的展开式的通项公式可得, x2y2的系数为C82•C42=168, 故答案为：16815．sinxdx=0．【考点】定积分．【分析】直接根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：sinxdx=﹣cosx|=0,故答案为：016．已知半球内有一内接正方体, 则这个半球的表面积与正方体的表面积之比是3π：4．【考点】球的体积和表面积．【分析】将半球补成整个的球, 同时把原半球的内接正方体再补接一同样的正方体, 构成的长方体刚好是这个球的内接长方体, 那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径．【解答】解：将半球补成整个的球, 同时把原半球的内接正方体再补接一同样的正方体, 构成的长方体刚好是这个球的内接长方体, 那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径．设原正方体棱长为a, 球的半径是R, 则根据长方体的对角线性质, 得（2R）2=a2+a2+（2a）2, 即4R2=6a2, ∴R=\frac{\sqrt{6}}{2}a从而S半球的表面积=3πR2=πa2, S正方体=6a2,因此S半球的表面积：S正方体=3π：4,故答案为：3π：4．三、解答题：（本大题共5小题, 共70分．解答应写出说明文字, 证明过程或演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中, 已知向量=（, ﹣）, =（sinx, cosx）, x∈（0, ）．（1）若⊥, 求tanx的值；（2）若与的夹角为, 求x的值．【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．【分析】（1）若⊥, 则•=0, 结合三角函数的关系式即可求tanx的值；（2）若与的夹角为, 利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值．【解答】解：（1）若⊥,则•=（, ﹣）•（sinx, cosx）=sinx﹣cosx=0,即sinx=cosxsinx=cosx, 即tanx=1；（2）∵||=, ||==1, •=（, ﹣）•（sinx, cosx）=sinx﹣cosx,∴若与的夹角为,则•=||•||cos=,即sinx﹣cosx=,则sin（x﹣）=,∵x∈（0, ）．∴x﹣∈（﹣, ）．则x﹣=即x=+=．18．在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手（1至5号）登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手．（Ⅰ）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（I）设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”, 观众甲选中3号歌手的概率为, 观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣=, 利用互斥事件的概率公式,即可求得结论；（II）由题意, X可取0, 1, 2, 3, 求出相应的概率, 即可得到X的分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”,观众甲选中3号歌手的概率为, 观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣=,∴P（A）=,∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为；（Ⅱ）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 则X可取0, 1, 2, 3．观众甲选中3号歌手的概率为, 观众乙选中3号歌手的概率为,当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时, 这时X=0, P（X=0）=（1﹣）（1﹣）2=,当观众甲、乙、丙只有一人选中3号歌手时, 这时X=1,P（X=1）=（1﹣）2+（1﹣）（1﹣）+（1﹣）（1﹣）=,当观众甲、乙、丙只有二人选中3号歌手时, 这时X=2,P（X=2）=•（1﹣）+（1﹣）•+（1﹣）=,当观众甲、乙、丙都选中3号歌手时, 这时X=3,P（X=3）=•（）2=,X的分布列如下：X 0 1 2 3P∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．19．如图, 在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中, AB⊥AC, AB=AC=2, AA1=4, 点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz, 利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量, 利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值, 再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz,则由题意知A（0, 0, 0）, B（2, 0, 0）, C（0, 2, 0）,A1（0, 0, 4）, D（1, 1, 0）, C1（0, 2, 4）,∴, =（1, ﹣1, ﹣4）,∴cos＜＞===,∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA1的一个法向量,设平面ADC1的法向量为,∵,∴, 取z=1, 得y=﹣2, x=2,∴平面ADC1的法向量为,设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ,∴cosθ=|cos＜＞|=||=,∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．20．如图, 点P（0, ﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点, C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径, l1, l2是过点P且互相垂直的两条直线, 其中l1交圆C2于A、B两点, l2交椭圆C1于另一点D．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可得b=1, 2a=4, 即可得到椭圆的方程；（2）设A（x1, y1）, B（x2, y2）, D（x0, y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在, 设为k, 则直线l1的方程为y=kx﹣1．利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l1的距离和弦长|AB|, 又l2⊥l1, 可得直线l2的方程为x+kx+k=0, 与椭圆的方程联立即可得到点D的横坐标, 即可得出|PD|, 即可得到三角形ABD的面积, 利用基本不等式的性质即可得出其最大值, 即得到k的值．【解答】解：（1）由题意可得b=1, 2a=4, 即a=2．∴椭圆C1的方程为；（2）设A（x1, y1）, B（x2, y2）, D（x0, y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在, 设为k, 则直线l1的方程为y=kx﹣1．又圆的圆心O（0, 0）到直线l1的距离d=．∴|AB|==．又l2⊥l1, 故直线l2的方程为x+ky+k=0, 联立, 消去y得到（4+k2）x2+8kx=0, 解得,∴|PD|=．∴三角形ABD的面积S△==,令4+k2=t＞4, 则k2=t﹣4,f（t）===,∴S△=, 当且仅, 即, 当时取等号,故所求直线l1的方程为．21．设x1, x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2﹣a2x（a＞0）的两个极值点．（1）若x1=﹣1, x2=2, 求函数f（x）的解析式；（2）若, 求b的最大值．（3）若x1＜x＜x2, 且x2=a, g（x）=f'（x）﹣a（x﹣x1）, 求证：．【考点】函数在某点取得极值的条件；函数解析式的求解及常用方法；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】（1）求导函数, 根据x1=﹣1, x2=2是函数f（x）的两个极值点, 即可求得函数f（x）的解析式；（2）根据x1, x2是函数f（x）的两个极值点, 可知x1, x2是方程3ax2+2bx﹣a2=0的两根, 从而, 利用, 可得b2=3a2（6﹣a）, 令h（a）=3a2（6﹣a）, 利用导数, 即可求得b的最大值；（3）根据x1, x2是方程3ax2+2bx﹣a2=0的两根, 可得f'（x）=3a（x﹣x1）（x﹣x2）, 根据, 可得, 进而有=, 利用配方法即可得出结论．【解答】解：（1）求导函数, 可得f′（x）=3ax2+2bx﹣a2,∵x1=﹣1, x2=2是函数f（x）的两个极值点,∴f'（﹣1）=0, f'（2）=0,∴3a﹣2b﹣a2=0, 12a+4b﹣a2=0,解得a=6, b=﹣9．∴f（x）=6x3﹣9x2﹣36x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵x1, x2是函数f（x）的两个极值点, ∴f'（x1）=f'（x2）=0．∴x1, x2是方程3ax2+2bx﹣a2=0的两根, 故有△=4b2+12a3＞0对一切a＞0, b∈R恒成立．∴,∵a＞0, ∴x1•x2＜0,∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由得,∴b2=3a2（6﹣a）．∵b2≥0, ∴3a2（6﹣a）≥0, ∴0＜a≤6．令h（a）=3a2（6﹣a）, 则h′（a）=36a﹣9a2．当0＜a＜4时, h′（a）＞0, ∴h（a）在（0, 4）内是增函数；当4＜a＜6时, h′（a）＜0, ∴h（a）在（0, 4）内是减函数；∴当a=4时, h（a）是极大值为96,∴h （a）在（0, 6）上的最大值是96, ∴b的最大值是．…（3）∵x1, x2是方程3ax2+2bx﹣a2=0的两根．∴f'（x）=3a（x﹣x1）（x﹣x2）∵, ∴∴…∵x1＜x＜x2,∴═=﹣3a请考生在第22, 23, 24三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图, △ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．（1）证明：△ABE∽△ADC；（2）若△ABC的面积S=AD•AE, 求∠BAC的大小．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）要判断两个三角形相似, 可以根据三角形相似判定定理进行证明, 但注意观察已知条件中给出的是角的关系, 故采用判定定理1更合适, 故需要再找到一组对应角相等, 由圆周角定理, 易得满足条件的角．（2）根据（1）的结论, 我们可得三角形对应对成比例, 由此我们可以将△ABC的面积转化为S=AB•AC, 再结合三角形面积公式, 不难得到∠BAC的大小．【解答】证明：（1）由已知△ABC的角平分线为AD,可得∠BAE=∠CAD因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角,所以∠AEB=∠ACD故△ABE∽△ADC．解：（2）因为△ABE∽△ADC,所以,即AB•AC=AD•AE．又S=AB•ACsin∠BAC,且S=AD•AE,故AB•ACsin∠BAC=AD•AE．则sin∠BAC=1,又∠BAC为三角形内角,所以∠BAC=90°．[选修4-4：坐标系与参数方程]24．例3．设a＞0, b＞0, 解关于x的不等式：|ax﹣2|≥bx．【考点】绝对值不等式．【分析】首先分析题目由a＞0, b＞0, 解关于x的不等式：|ax﹣2|≥bx, 去绝对值号得到ax﹣2≥bx或ax﹣2≤﹣bx, 对于不等式ax﹣2≤﹣bx, 可直接解得．对于不等式ax﹣2≥bx, 需要分别讨论当a＞b＞0时, 当a=b＞0时, 当0＜a＜b时的解集, 然后取它们的并集即得到答案．【解答】解：原不等式|ax﹣2|≥bx可化为ax﹣2≥bx或ax﹣2≤﹣bx,（1）对于不等式ax﹣2≤﹣bx, 即（a+b）x≤2 因为a＞0, b＞0即：．（2）对于不等式ax﹣2≥bx, 即（a﹣b）x≥2①当a＞b＞0时, 由①得, ∴此时, 原不等式解为：或；当a=b＞0时, 由①得x∈ϕ, ∴此时, 原不等式解为：；当0＜a＜b时, 由①得, ∴此时, 原不等式解为：．综上可得, 当a＞b＞0时, 原不等式解集为,当0＜a≤b时, 原不等式解集为．23．在直角坐标系xOy中, 直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位, 且以原点O为极点, 以x轴正半轴为极轴）中, 圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B, 若点P的坐标为（3, ）, 求|PA|+|PB|．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由⊙C的方程可得：, 利用极坐标化为直角坐标的公式x=ρcosθ, y=ρsinθ即可得出．．（II）把直线l的参数方程（t为参数）代入⊙C的方程得到关于t的一元二次方程, 即可得到根与系数的关系, 根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|即可得出．【解答】解：（I）由⊙C的方程可得：, 化为．（II）把直线l的参数方程（t为参数）代入⊙C的方程得=0, 化为．∴．（t1t2=4＞0）．根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=．[选修4-5：不等式选讲]。

高考数学（理）真题专题汇编：空间立体几何一、选择题（本题共9道小题，每小题0分，共0分）1.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则（ ）A. ,βγαγ<<B. ,βαβγ<<C. ,βαγα<<D. ,αβγβ<<2.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积(cm 3)是（ ）A. 158B. 162C. 182D. 3243.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅱ） 设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面4.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅲ）如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED的中点，则A．BM=EN，且直线BM、EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线5.【来源】0（08年全国卷2）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1 B． C． D．26.【来源】0(08年四川卷文)若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于( )（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）7.【来源】0（08年北京卷）如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（）8.【来源】2011年高考数学理（安徽）一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A）48+（B）32817+（C）48817（D）509.【来源】2011年高考数学理（全国新课标）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为二、填空题10.【来源】2019年高考真题——理科数学（北京卷）已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．12.【来源】2019年高考真题——理科数学（天津卷）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 .13.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅱ）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________.（本题第一空2分，第二空3分.）学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O -EFGH 后所得几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.15.【来源】（07年浙江卷文）已知点O 在二面角α－AB －β的棱上，点P 在α内，且∠POB ＝45°．若对于β内异于O 的任意一点Q ，都有∠POQ ≥45°，则二面角α－AB －β的取值范围是_________．16.【来源】2011年高考数学理（全国新课标）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为 。

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编9：两角和与差的三角函数及二倍角公式一、选择题1 ．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）已知,135)4sin(-=+πx 则x 2sin 的值等于（ ）A ．169120B ．169119C ．169120-D ．119169-【答案】D【解析】因为,135)4sin(-=+πx所以5cos )13x x +=-,两边平方得125(1sin 2)2169x +=,解得119sin 2169x =-,选 D ． 2 ．（山东师大附中2013届级高三12月第三次模拟检测理科数学）若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,1tan ,sin ()47παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭则（ ）A ．35B ．45C ．35-D ．45-【答案】A 【解析】由1tan ,47πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭得11tan()tan3744tan tan()14441tan()tan 1447ππαππααππα-+-=+-===-+++,所以解得3sin 5α=,选A 3 ．（山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）已知3cos ,05ααπ=<<,则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．15B ．17C ．1-D ．7-【答案】D 【解析】因为3cos 0,05ααπ=><<,所以0,sin 02παα<<>,所以4sin ,5α=故4tan ,3α=所以41tan tan34tan()7441tan tan 143παπαπα+++===--⋅-,选D 4 ．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）一已知倾斜角为α的直线l 与直线220x y -+=平行,则tan 2α的值为（ ） A ．45 B ．43 C ．34 D ．23【答案】B【解析】直线的斜率为12,即直线l 的斜率为1tan 2k α==,所以22122tan 142tan 2131tan 31()24ααα⨯====--,选 B ．5 ．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理A ．）已知34(,),cos ,25αππα∈=-则)4tan(απ-等于 （ ）A ．7B ．71C ．71-D ．7-【答案】B【解析】因为34(,),cos ,25αππα∈=-所以sin 0α<,即33sin tan 54αα=-=，.所以311tan 14tan()341tan 71+4πααα---===+,选 B ． 6 ．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知向量a=(sin α,1),b=(2,2cos α2παπ<<),若a⊥b,则sin(4πα-)= （ ）A ．B ．-12 C ．12D【答案】D7 ．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学）若3)4tan(=-απ,则αcot 等于（ ）A ．2B ．21-C ．21 D ．-2【答案】D 【解析】由3)4tan(=-απ得,tantan()13144tan tan[()]441321tan()4ππαππααπα---=--===-++-,所以1cot 2tan αα==-选 D ． 8 ．（山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）已知ααsin 2sin -=,⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,2,则=αtan（ ）A ．23-B ．53- C ．33- D ．3- 【答案】D9 ．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）已知α为第二象限角,3sin 5α=,则sin 2α= （ ）A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．2425【答案】A 【解析】因为α为第二象限角,所以4c o s 5α=-,所以3424s i n 22s i n c o s 2()5525ααα==⨯⨯-=-,选A ． 10．（2012年山东理）(7)若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,sin 2θ,则sin θ=（ ）A ．35B ．45CD ．34【答案】解析:由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得],2[2ππθ∈,812sin 12cos 2-=--=θθ,4322cos 1sin =-=θθ,答案应选D ． 另解:由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，及sin 2θ可得434716776916761687312sin 1cos sin +=++=+=+=+=+θθθ,而当42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时θθcos sin >,结合选项即可得47cos ,43sin ==θθ.答案应选 D ．11．（山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）已知2)tan(-=-απ,则221sin 2cos αα=- （ ）A ．2B ．52 C ．3 D ．25【答案】D12．（山东省淄博市2013届高三上学期期末考试数学（理））已知,54cos ,23,-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈αππα则)4tan(απ-等于 （ ）A ．7B ．71C ．71-D ．7-【答案】B【 解析】因为 ,54cos ,23,-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈αππα所以3sin 5α=-,3tan 4α=.所以3tan tan 1144tan()3471tan tan 144παπαπα---===++,选 B ．13．（山东省寿光市2013届高三10月阶段性检测数学（理）试题）已知4cos 5α=-,且π(,π)2α∈,则πtan()4α-等于（ ）A ．-17B ．-7C ．17D ． 7【答案】D14．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）设向量()()cos ,1,2,sin a b αα=-=,若a b ⊥ ,则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于 （ ）A ．13-B ．13C ．3-D ．3【答案】B【解析】因为a b⊥ ,所以2cos sin 0a b αα=-=,即tan 2α=.所以tan 1211tan()41tan 123πααα---===++,选 B ．15．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知53)4sin(=+x π,则x 2sin 的值为 （ ）A ．2524-B ．2524 C ．257-D ．257 【答案】C【 解析】27sin 2sin[2()]cos 2()[12sin ()]424425x x x x ππππ=+-=-+=--+=-,选 C ．16．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）已知25242sin -=α,⎪⎭⎫⎝⎛-∈04，πα,则ααcos sin +等于（ ） A ．51- B ．51 C ．57- D ．57【答案】B 【解析】由⎪⎭⎫⎝⎛-∈04，πα知|,cos ||sin |0cos ,0sin αααα<><，ααcos sin +∴ .512sin 1=+=x 故选B二、填空题 17．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）在ABC ∆中,若sin 2cos cos A B C =,则tan tan B C +=__________.【答案】2 【解析】在ABC ∆中,C B C B C B A sin cos cos sin )sin(sin +=+=,cos cos 2C B =两边.同除以cos cos B C 得tan tan 2B C +=.18．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）若α是锐角,且1sin(),cos 63παα-=则的值是__________.【答案】【解析】∵α是锐角,∴02πα<<,663πππα-<-<,所以cos()63πα-==,cos cos[()]cos()cos sin()sin 666666ππππππαααα=-+=---1132=-⨯= 19．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）若tan()2α-=π,则sin 2α=___________.【答案】45-由tan()2α-=π得tan =2α-,所以22222sin cos 2tan 2(2)4sin 2sin cos 1tan 1(2)5ααααααα⨯-====-+++-. 三、解答题20．（山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）已知函数f(x)=2 sin 63x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭(0≤x≤5),点A 、B 分别是函数y=f(x)图像上的最高点和最低点.(1)求点A 、B 的坐标以及OA ·OB的值;(2)设点A 、B 分别在角α、β的终边上,求tan(2αβ-)的值.【答案】解:(1)50≤≤x , ππ7π3636x π∴≤+≤, ∴1ππsin()1263x -≤+≤当πππ632x +=,即1=x 时,ππsin()163x +=,)(x f 取得最大值2; 当ππ7π636x +=,即5=x 时,ππ1sin()632x +=-,)(x f 取得最小值1-. 因此,点A 、B 的坐标分别是(1,2)A 、(5,1)B - 152(1)3OA OB ∴⋅=⨯+⨯-=(2) 点)2,1(A 、)1,5(-B 分别在角α、β的终边上,tan 2α∴=,51tan -=β,212()55tan 21121()5β⨯-==---, ∴52()2912tan(2)5212()12αβ---==+⋅- 21．（山东省泰安市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知函数()5sin cos 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(I)求()f x 的单调递增区间;(II)已知()()()33cos ,cos ,0,552f παβαβαββ-=+=-<<≤求. 【答案】22．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）已知 .471217,53)4(cos πππ<<=+x x(1) 求x 2sin 的值. (2)求 xxx tan 1sin 22sin 2-+的值【答案】解: (1) ∵x x x 2sin )22cos()4(2cos -=+=+ππ1)4(cos 2)4(2cos 2-+=+x x ππ又25712592-=-⨯= ∴2572sin =x )4tan(2sin tan 1)tan 1(2sin tan 1)cos sin 1(2sin tan 1sin 22sin )2(2x x x x x xxxx xxx +=-+=-+=-+π∵.471217ππ<<x ∴πππ2435<+<x ∴54)4(cos 1)4sin(2-=+--=+x x ππ∴34)4tan(-=+x π∴ x x x tan 1sin 22sin 2-+7528)34(257-=-⨯=(此题也可先求出x x cos ,sin 再进行计算)。

2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）理科数学本试卷共22题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 1．已知全集{}{}1,2,3,4,5,6,1,4,5,6U A ==,{}1,2,3,5B =,则5∉（ ） A ．()U A BB ．()U B A C ．A B D ．A B2．复数2i1ia z -+=+在复平面上对应的点位于虚轴上,则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．1-D ．2-3．已知2022年第1季度农村居民人均消费支出为4391元,为本季度农村居民人均可支配收入的76%,本季度农村居民人均可支配收入的来源及其占比的统计数据的饼状图如图所示,根据饼状图,则下列结论正确的是（ ）A ．财产净收入占农村居民人均可支配收入的4%B ．工资性收入占农村居民人均可支配收入的40%C ．经营净收入比转移净收入大约多659元D ．财产净收入约为173元4．已知a b ，是平面内两个非零向量,那么“a b ∥”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知3sin 375︒≈,）A ．34B ．43C．4D．36．某个函数的大致图象如图所示,则该函数可能是（ ）A ．21cos 41x xy x =+B ．22sin 1xy x =+ C ．22(e e )1x x y x -+=+ D ．32sin 1x xy x -+=+ 7．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing 比赛半决赛中,来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔方由27个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了45︒之后,表面积增加了（ ）A ．54 B．54-C．108-D．81-8．设M 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点,P 是C 上的一个动点．当P 运动到下顶点时,||PM 取得最大值,则C 的离心率的取值范围是（ ） A．⎫⎪⎪⎣⎭B．⎛ ⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦9．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC ,4AB AC ==,点(1,3)B -,点(4,2)C -,且其“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切.则圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为（ ） A．B．C．D ．610.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为正方形,12,1AA AB ==,P 为1CC 的中点,过,,A B P 三点作平面α,则该四棱柱的外接球被平面α截得的截面圆的周长为（ ）ABC ．2πD 11.若直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切,则12k k 的值为（ ） A ．12B ．1C ．eD ．2e12．已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ,(1)f x +为偶函数,且1(3)()f x g x -+=,1()(1)f x g x --=,则下面判断错误的是( )A ．()f x 的图象关于点(2,1)中心对称B ．()f x 与()g x 均为周期为4的周期函数C ．20221()2022i f i ==∑D ．2023()0i g i ==∑二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．53x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是__________.14．某高校鼓励学生深入当地农村拍摄宣传片,带动当地旅游业的发展,帮助当地居民提升经济收入.若统计发现在某一时段内,200部宣传片的浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,则该时段内这200部宣传片中浏览量在(]0.9,1.8万次的个数约为______.（参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈,(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈） 15．如图,四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,AC 平分DAB ∠,π3ABC ∠=,33AB BC ==,则sin DAB ∠的值_______.16．已知抛物线24y x =的焦点为F ,点,P Q 在抛物线上,且满足π3PFQ ∠=,设弦PQ 的中点M 到y 轴的距离为d ,则1PQd +的最小值为__________． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17．（12分）．如图,四棱锥-P ABCD 中,底面ABCD 为等腰梯形,AB CD ∥,12AD DC AB ==,且平面PAD ⊥平面ABCD ,PD AD ⊥.(1)求证：BD PA ⊥；(2)PB 与平面ABCD 所成的角为30,求二面角--A PB C 的正弦值.18.（12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1n a + (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)能否从{}n a 中选出以1a 为首项,以原次序组成的等比数列()121,,,,1m k k k a a a k =.若能,请找出公比最小的一组,写出此等比数列的通项公式,并求出数列{}n k 的前n 项和n T ；若不能,请说明理由.19.（12分）人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学,自诞生以来,理论和技术日益成熟.某公司成立了,A B 两个研究性小组,分别设计和开发不同的AI 软件用于识别音乐的类别.记两个研究性小组的AI 软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为12,P P .为测试AI 软件的识别能力,计划采取两种测试方案.方案一：将100首音乐随机分配给,A B 两个小组识别,每首音乐只被一个AI 软件识别一次,并记录结果； 方案二：对同一首歌,,A B 两组分别识别两次,如果识别的正确次数之和不少于三次,则称该次测试通过.(1)若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的35；在正确识别的音乐数中,A 组占23；在错误识别的音乐数中,B 组占12.（i ）请根据以上数据填写下面的22⨯列联表,并通过独立性检验分析,是否有95%的把握认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？（ii ）利用（i ）中的数据,视频率为概率,求方案二在一次测试中获得通过的概率； (2)研究性小组为了验证AI 软件的有效性,需多次执行方案二,假设1243P P +=,问该测试至少要进行多少次,才能使通过次数的期望值为16？并求此时12,P P 的值.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d K -=++++,其中n a b c d =+++.20.（12分）已知双曲线:C ()22210y x b b-=>的左、右焦点分别为1F ,2F ,A 是C 的左顶点,C 的离心率为2．设过2F 的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点,其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线12x =于M 、N 两点,证明：22MF NF ⋅为定值； (3)是否存在常数λ,使得22PF A PAF λ∠=∠恒成立？若存在,求出λ的值；否则,说明理由． 21.（12分）已知函数()()2111ln 22f x x a x b x x x ⎛⎫=----+ ⎪⎝⎭,其中,R a b ∈. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 存在三个零点123,,x x x （其中123x x x <<）. （i ）若1a >,函数()1ln 2g x x x =+,证明：()102b g a a a<-<-；（ii ）若01a <<,证明：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--<⎪⎪++⎝⎭⎝⎭. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为2240x y x +-=．曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数）．以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程； (2)若射线θα=（0ρ≥,π02α<<）交曲线1C 于点P ,直线()π2θαρ=+∈R 与曲线1C 和曲线2C 分别交于点M 、N ,且点P 、M 、N 均异于点O ,求MPN △面积的最大值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()1g x x =-的最小值为m ,()()f x g x x =+的最小值为n ．实数a ,b ,c 满足a b c m ++=,abc n =,ab ,0c >．(1)求m 和n ； (2)证明：a b +<。

备战2014年高考之2013届全国统考区（甘肃、贵州、云南）精选理科试题（大部分详解）分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．（贵州省六校联盟2013届高三第一次联考理科数学试题）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F 、2F 是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当6021=∠PF F 时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ）A ．3B ．2C ．332 D ．2 【答案】A 【解析】设椭圆的半长轴为1a ，椭圆的离心率为1e ，则1111,c ce a a e ==.双曲线的实半轴为a ，双曲线的离心率为e ，,c ce a a e==.12,,(0)PF x PF y x y ==>>，则由余弦定理得2222242cos 60c x y xy x y xy =+-=+- ，当点P 看做是椭圆上的点时,有22214()343c x y xy a xy =+-=-，当点P 看做是双曲线上的点时,有2224()4c x y xy a xy =-+=+，两式联立消去xy 得222143c a a =+，即22214()3()c cc e e =+，所以22111()3()4e e +=，又因为11e e =，所以22134e e +=，整理得42430e e -+=，解得23e =，所以e ，选A.2 ．（甘肃省河西五市部分普通高中2013届高三第二次联合考试 数学（理）试题）若P 点是以A （-3，0）、B （3，0）为焦点，实轴长为52的双曲线与圆922=+yx 的一个交点，则PB PA +=（ ）A ．134 B.142 C. 132 D. 143【答案】C3 ．（【解析】云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理科数学）已知抛物线方程为24yx =，直线l 的方程为40x y -+=，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为1d ，P 到直线l 的距离为2d ，则22d d +的最小值 ( )A2+ B1 C2- D1 【答案】D 【解析】因为抛物线的方程为24y x =，所以焦点坐标(1,0)F ,准线方程为1x =-。

排列组合专题训练试题一．选择题（共23小题）1．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种2．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（）A．360 B．520 C．600 D．7203．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（）A．24对B．30对C．48对D．60对4．航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼﹣15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（）A．12种B．16种C．24种D．36种5．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种6．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种7．记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，则不同的排法有（）A．72种B．144种C．240种D．480种8．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i=1，2，…6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）A．22种B．24种C．25种D．36种9．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A，B可以不相邻），那么不同的排法共有（）10．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）A．232 B．252 C．472 D．48411．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有（）A．30种B．60种C．90种D．150种12．将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中．若每个盒子放2个，其中标号为1，2的小球放入同一盒子中，则不同的方法共有（）A．12种B．16种C．18种D．36种13．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序有（）A．240种B．360种C．480种D．720种14．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为（）A．80 B．120 C．140 D．5015．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼﹣15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（）A．12 B．18 C．24 D．4816．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（）A．6种B．12种C．30种D．36种17．两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A．10种B．15种C．20种D．30种18．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（）A．72 B．96 C．108 D．14419．2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共（）A．6种B．12种C．18种D．24种20．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开了三个班．选课结束后，有四名选修英语的同学要求改修数学，但数学选修每班至多可再接收两名同学，那么安排好这四名同学的方案有（）21．甲和乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲和乙不在同一岗位服务的概率为（）A．B．C．D．22．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为（）A．18 B．24 C．30 D．3623．用数字0，1，2，3组成数字可以重复的四位数，其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为（）A．144 B．120 C．108 D．72二．填空题（共7小题）24．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有种（用数字作答）．25．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种．26．某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种．（用数字作答）27．10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有种．28．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．29．从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有种（用数字作答）30．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种．（用数字作答）排列组合专题训练试题参考答案与试题解析一．选择题（共23小题）1．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题．【分析】本题是一个分步计数问题，首先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有C42，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，∵先从3个信封中选一个放1，2，有=3种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个信封，每个信封两个有=6种放法，∴共有3×6×1=18．故选：B．【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列．2．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（）A．360 B．520 C．600 D．720【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题．【分析】根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21•C53•A44=480种情况；若甲乙两人都参加，有C22•C52•A44=240种情况，其中甲乙相邻的有C22•C52•A33•A22=120种情况；则不同的发言顺序种数480+240﹣120=600种，故选C．【点评】本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法．3．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（）A．24对B．30对C．48对D．60对【考点】排列、组合及简单计数问题；异面直线及其所成的角．【专题】排列组合．【分析】利用正方体的面对角线形成的对数，减去不满足题意的对数即可得到结果．【解答】解：正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有=66条，同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数，不满足题意的共有：3×6=18．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有：66﹣18=48．故选：C．【点评】本题考查排列组合的综合应用，逆向思维是解题本题的关键．4．航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼﹣15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（）A．12种B．16种C．24种D．36种【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；排列组合．【分析】先考虑甲、乙两机是12、23、34、45位置，再考虑甲、乙两机，位置交换，即可得出结论．【解答】解：先考虑甲、乙两机，若甲、乙两机是12位置，则其余3架飞机有=6种方法；甲、乙两机是23位置，则丁有，其余2架飞机有种方法，共有=4种方法；同理，甲、乙两机是34、45位置，均分别有4种方法，若乙、甲两机是12位置，则其余3架飞机有=4种方法；乙、甲两机是23位置，则丁有，其余2架飞机有种方法，共有=4种方法；同理，乙、甲两机是34位置，有4种方法乙、甲是45位置，则其余3架飞机有=6种方法故共有2（6+4+4+4）=36种不同的着舰方法．故选：D．【点评】本题考查排列、组合知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题．5．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】应用题；排列组合．【分析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．【解答】解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选：B．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．6．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【考点】排列、组合及简单计数问题；排列、组合的实际应用．【专题】排列组合．【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，则不同的选法共有15×5=75种；故选C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．7．记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，则不同的排法有（）A．72种B．144种C．240种D．480种【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题．【分析】本题是一个分步问题，采用插空法，首先将4名志愿者排成一列，再将2位老人看成一个整体插到4名志愿者形成的三个空中，然后2位老人内部还有一个排列，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步问题，采用插空法，先将4名志愿者排成一列，再将2位老人看成一个整体插到4名志愿者形成的三个空中（除去两端的），然后将2位老人排列，则不同的排法有A44C31A22=144种．故选B．【点评】本题考查分步计数原理，是一个基础题，题目中要求两个元素相邻的问题，一般把这两个元素看成一个元素进行排列，注意这两个元素内部还有一个排列．8．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i=1，2，…6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）A．22种B．24种C．25种D．36种【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，列举出在点数中三个数字能够使得和为12的1，5，6；2，4，6；3，3，6；5，5，2；4，4，4，共有4种组合，前四种组合又可以排列出A33种结果，由此利用分类计数原理能得到结果．【解答】解：由题意知正方形ABCD（边长为3个单位）的周长是12，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，列举出在点数中三个数字能够使得和为12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，3，6；5，5，2；4，4，4；共有6种组合，前三种组合1，5，6；2，4，6；3，4，5；又可以排列出A33=6种结果，3，3，6；5，5，2；有6种结果，4，4，4；有1种结果．根据分类计数原理知共有24+1=25种结果，故选C．【点评】排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．9．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A，B可以不相邻），那么不同的排法共有（）A．24种B．60种C．90种D．120种【考点】排列、组合的实际应用．【专题】转化思想．【分析】根据题意，首先计算五人并排站成一排的情况数目，进而分析可得，B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，使用倍分法，计算可得答案．【解答】解：根据题意，使用倍分法，五人并排站成一排，有A55种情况，而其中B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，则其情况数目是相等的，则B站在A的右边的情况数目为×A55=60，故选B．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意使用倍分法时，注意必须保证其各种情况是等可能的．10．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）A．232 B．252 C．472 D．484【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】排列组合．【分析】不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，由此可得结论．【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣﹣=560﹣16﹣72=472故选C．【点评】本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．11．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有（）A．30种B．60种C．90种D．150种【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题．【分析】根据题意，分两种情况讨论：①将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，②将5名教师分成三组，一组3人，另两组都是1人，由组合数公式计算可得每种情况下的分配方案数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，有2种情况：①将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有=15种分组方法，再将3组分到3个班，共有15•A33=90种不同的分配方案，②将5名教师分成三组，一组3人，另两组都是1人，有=10种分组方法，再将3组分到3个班，共有10•A33=60种不同的分配方案，共有90+60=150种不同的分配方案，故选：D．【点评】本题考查排列、组合的运用，注意先要根据题意要求，进行分类讨论，其次要正确运用分组公式．12．将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中．若每个盒子放2个，其中标号为1，2的小球放入同一盒子中，则不同的方法共有（）A．12种B．16种C．18种D．36种【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题．【分析】根据题意，分3步分析：首先从3个盒子中选一个放标号为1，2的小球，再从剩下的4个小球中选两个放一个盒子，余下的2个放入最后一个盒子，由组合数公式计算每一步的情况数目，进而由分步计数原理得到结果．【解答】解：先从3个盒子中选一个放标号为1，2的小球，有3种不同的选法，再从剩下的4个小球中选两个，放一个盒子有C42=6种放法，余下放入最后一个盒子，∴共有3C42=18故选C．【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列．13．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序有（）A．240种B．360种C．480种D．720种【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题．【分析】直接从中间的4个演讲的位置，选1个给甲，其余全排列即可．【解答】解：因为6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，甲先安排在除开始与结尾的位置还有个选择，剩余的元素与位置进行全排列有，所以甲只能在中间的4个位置，所以不同的演讲次序有=480种．故选C．【点评】本题考查排列、组合以及简单的计数原理的应用，考查计算能力．14．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为（）A．80 B．120 C．140 D．50【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题．【分析】本题是一个分步计数问题，首先选2个放到甲组，共有C52种结果，再把剩下的3个人放到乙和丙两个位置，每组至少一人，共有C32A22，相乘得到结果，再表示出甲组含有3个人时，选出三个人，剩下的两个人在两个位置排列．【解答】解：由题意知本题是一个分步分类计数问题，首先选2个放到甲组，共有C52=10种结果，再把剩下的3个人放到乙和丙两个位置，每组至少一人，共有C32A22=6种结果，∴根据分步计数原理知共有10×6=60，当甲中有三个人时，有C53A22=20种结果∴共有60+20=80种结果故选A．【点评】本题考查排列组合及简单计数问题，本题是一个基础题，解题时注意对于三个小组的人数限制，先排有限制条件的位置或元素．15．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼﹣15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（）A．12 B．18 C．24 D．48【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题．【分析】分两大步：把甲、乙看作1个元素和戊全排列，调整甲、乙，共有种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位种，有种方法，由分步计算原理可得答案．【解答】解：把甲、乙看作1个元素和戊全排列，调整甲、乙，共有种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位种，有种方法，由分步计算原理可得总的方法种数为：=24故选C【点评】本题考查简单的排列组合问题，捆绑法和插空法结合是解决问题的关键，属中档题．16．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（）A．6种B．12种C．30种D．36种【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；概率与统计．【分析】“至少1门不同”包括两种情况，两门均不同和有且只有1门相同，再利用分步计数原理，即可求得结论．【解答】解：甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：1、甲、乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有C42C22=6种．2、甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步：①从4门中先任选一门作为相同的课程，有C41=4种选法；②甲从剩余的3门中任选1门乙从最后剩余的2门中任选1门有C31C21=6种选法，由分步计数原理此时共有C41C31C21=24种．综上，由分类计数原理，甲、所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种．故选C．【点评】本题考查排列组合知识，合理分类、正确分步是解题的关键．17．两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A．10种B．15种C．20种D．30种【考点】排列、组合及简单计数问题；计数原理的应用．【专题】计算题．【分析】根据分类计数原理，所有可能情形可分为三类，在每一类中可利用组合数公式计数，最后三类求和即可得结果【解答】解：第一类：三局为止，共有2种情形；第二类：四局为止，共有2×=6种情形；第三类：五局为止，共有2×=12种情形；故所有可能出现的情形共有2+6+12=20种情形故选C【点评】本题主要考查了分类和分步计数原理的运用，组合数公式的运用，分类讨论的思想方法，属基础题18．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（）A．72 B．96 C．108 D．144【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题．【分析】本题是一个分步计数原理，先选一个偶数字排个位，有3种选法，对于5要求比较多，需要分类，若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数原理，先选一个偶数字排个位，有3种选法，①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，有A32种，然后剩下的两个位置全排列，共有2A32A22=24个；②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，有A22种，然后剩下的两个位置全排列，共3A22A22=12个根据分步计数原理知共计3（24+12）=108个故选C【点评】本题考查分步计数原理，考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个数字问题，这种问题的限制条件比较多，注意做到不重不漏．19．2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共（）A．6种B．12种C．18种D．24种【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】分析法．【分析】首先要分析2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．考虑到先把一所学校分好，剩下的一所学校的人就确定了，然后求出结果即可．【解答】解：2所学校，每校分配1名医生和2名护士，考虑先把一所分好，剩下的一所学校的人就确定了，所以有2×C42=12种分法．故选B．【点评】此题主要考查排列，组合简单计数问题的求法，在做此类题目要注意分析题中要求，再作答，属于中档题目．20．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开了三个班．选课结束后，有四名选修英语的同学要求改修数学，但数学选修每班至多可再接收两名同学，那么安排好这四名同学的方案有（）A．72种B．54种C．36种D．18种【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题．【分析】由题意知，安排四名同学到三个班里，每班至多可再接收两名同学，需要分类来解，将四名同学分成三组：1，1，2；和2，2两种情况，首先要分组，再把分好的组排列到三个班里．【解答】解：由题意知有四名选修英语的同学要求改修数学，但数学选修每班至多可再接收两名同学，需要分类来解，将四名同学分成三组：1，1，2；和2，2两种情况分成1，1，2安排在三个数学班中：有=36；分成两组2，2．安排在两个班里，有=18．∴一共有36+18=54种安排方案故选B．【点评】本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，本题是一个易错题，在分组时，本题是一个平均分组，注意不要重复出现相同的情况．21．甲和乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲和乙不在同一岗位服务的概率为（）A．B．C．D．【考点】排列、组合及简单计数问题；古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；概率与统计．【分析】所有的结果共有C52A44种，不满足条件的事件数A44 ，可得不满足条件的概率，用1减去此概率即得所求．【解答】解：5个人分到4个岗位，每个岗位至少有一名志愿者共有C52A44种结果，不满足条件的事件数A44 ，则甲和乙不在同一岗位服务的概率为1﹣=，故选B．【点评】本题主要考查古典概型和排列组合，排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素，属于中档题．22．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为（）A．18 B．24 C．30 D．36【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题．【分析】由题意知本题可以先做出所有情况再减去不合题意的结果，用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C42，顺序有A33种，而甲乙被分在同一个班的有A33种，两个相减得到结果．【解答】解：∵每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C42，元素还有一个排列，有A33种，而甲乙被分在同一个班的有A33种，∴满足条件的种数是C42A33﹣A33=30故选C．【点评】本题考查排列组合的实际应用，考查利用排列组合解决实际问题，是一个基础题，这种题目是排列组合中经常出现的一个问题．。

(时间：40分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分)1．已知直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，则极点到该直线的距离是________． 解析 由题意知，ρsin θ＋ρcos θ＝1，∴x ＋y －1＝0，由点到直线的距离公式得所求的距离d ＝22. 答案222．(2011·汕头调研)在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点A ⎝⎛⎭⎫4，π6到圆心C 的距离是________．解析 将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，圆心坐标为(0,2)．又易知点A ⎝⎛⎭⎫4，π6的直角坐标为(23，2)，故点A 到圆心的距离为0－232＋2－2 2＝2 3. 答案 2 33．在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ－22sin θ的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为________．解析 由ρ＝6cos θ－22sin θ⇒ρ2＝6ρcos θ－22ρsin θ，所以圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－6x ＋22y ＝0，将其化为标准形式为(x －3)2＋(y ＋2)2＝11，故圆心的坐标为(3，－2)，所以过圆心且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝3，将其化为极坐标方程为ρcos θ＝3. 答案 ρcos θ＝34．(2011·华南师大模拟)在极坐标系中，点M ⎝⎛⎭⎫4，π3到曲线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝2上的点的距离的最小值为________．解析 依题意知，点M 的直角坐标是(2,23)，曲线的直角坐标方程是x ＋3y －4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M 到该直线的距离，即为|2＋23×3－4|12＋32＝2.答案 25．(2011·广州广雅中学模拟)在极坐标系中，圆ρ＝4上的点到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝8的距离的最大值是________．解析 把ρ＝4化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝16，把ρ(cos θ＋3sin θ)＝8化为直角坐标方程为x ＋3y －8＝0，∴圆心(0,0)到直线的距离为d ＝82＝4.∴直线和圆相切，∴圆上的点到直线的最大距离是8. 答案 86．在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝2cos θ，曲线C 2：θ＝π4，若曲线C 1与C 2交于A 、B 两点，则线段AB ＝________.解析 曲线C 1与C 2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2cos θ，θ＝π4得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，θ＝π4，即曲线C 1与C 2的另一个交点与极点的距离为2，因此AB ＝ 2. 答案27．(2011·湛江模拟)在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：ρ2＋2ρcos θ＝0，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π2过点P 作圆C 的切线，则两条切线夹角的正切值是________．解析 圆C 的极坐标方程：ρ2＋2ρcos θ＝0化为普通方程：(x ＋1)2＋y 2＝1，点P 的直角坐标为(0,2)，圆C 的圆心为(－1,0)．如图，当切线的斜率存在时，设切线方程为y ＝kx ＋2，则圆心到切线的距离为|－k ＋2|k 2＋1＝1，∴k ＝34，即tan α＝34.易知满足题意的另一条切线的方程为x ＝0.又∵两条切线的夹角为α的余角，∴两条切线夹角的正切值为43.答案 438．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是________．解析 注意到曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0的直角坐标方程是x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.要使直线3x ＋4y ＋m ＝0与该曲线没有公共点，只要圆心(1，－2)到直线3x ＋4y ＋m ＝0的距离大于圆的半径即可，即|3×1＋4×－2 ＋m |5＞1，|m －5|＞5，解得，m ＜0，或m ＞10.答案 (－∞，0)∪(10，＋∞) 二、解答题(共20分)9．(10分)设过原点O 的直线与圆(x －1)2＋y 2＝1的一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点，当点P 在圆上移动一周时，求点M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．解 圆(x －1)2＋y 2＝1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2，设点P 的极坐标为(ρ1，θ1)，点M 的极坐标为(ρ，θ)，∵点M 为线段OP 的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ.∴点M 轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ－⎝⎛⎭⎫π2≤θ≤π2，它表示圆心在点⎝⎛⎭⎫12，0，半径为12的圆．10．(10分)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1，－5)，点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆 C 以M 为圆心、4为半径．(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； (2)试判定直线l 和圆C 的位置关系．解 (1)由题意，直线l 的普通方程是y ＋5＝(x －1)tan π3，此方程可化为y ＋5sin π3＝x －1cos π3，令y ＋5sinπ3＝x －1cos π3＝a (a 为参数)，得直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12a ＋1，y ＝32a －5(a 为参数)．如图，设圆上任意一点为P (ρ，θ)，则在△POM 中，由余弦定理，得PM 2＝PO 2＋OM 2－2·PO ·OM cos ∠POM ，∴42＝ρ2＋42－2×4ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π2. 化简得ρ＝8sin θ，即为圆C 的极坐标方程． (2)由(1)可进一步得出圆心M 的直角坐标是(0,4)， 直线l 的普通方程是3x －y －5－3＝0，圆心M 到直线l 的距离d ＝|0－4－5－3|3＋1＝9＋32＞4，所以直线l 和圆C 相离．。

秘密★启用前理科数学试卷注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数2022i z =的模是（ ） A ．iB ．1-C ．0D ．12．已知集合{}0,1,2A =，(){},,,,B x y x A y A x y A x y A =∈∈+∈-∈，则集合B 中元素的个数是（ ） A ．1 B ．4 C ．3 D ．23．从2名男生和4名女生中选3人参加校庆汇报演出，其中至少要有一男一女，则不同的选法共有（ ） A ．16种 B ．192种 C ．96种 D ．32种4．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，若椭圆C 的焦点在x 轴上，且椭圆C的离心率为23，面积为．则椭圆C 的标准方程为（ ） A ．2212036x y += B ．22195x y += C ．2213620x y += D ．22159x y += 5．已知一个三棱锥的三视图如图1所示，正视图为正方形，侧视图和俯视图均为直角三角形，则该几何体的体积是（ ）A ．12B ．2C ．4D ．66．已知{}n a 是等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，则“对任意的n *∈N 且3n ≠，3n S S >”是“43a a >”的（ ） A ．既不充分也不必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．充要条件7．设实数x ，y 满足约束条件22043120220y x x y x y --<⎧⎪+-≤⎨⎪++>⎩．则目标函数()()2242z x y =-+-的最小值为（ ） A ．40B ．2C ．4D ．68．已知函数()3sin cos f x x a x =+，若()3f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 在区间3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 的图象关于直线3x π=-对称C ．06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭D．a =9．已知⊙O 1：222x y +=，⊙O 2：2220x y mx my +---=（m ∈R 且0m ≠），则⊙O 1与⊙O 2的公切线有（ ） A ．4条 B ．1条C ．2条D ．3条10．对于函数()y f x =的图象上不同的两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），记这两点处的切线的斜率分别为A k 和B k ，定义(),A Bk k A B ABϕ-=（|AB|为线段AB 的长度）为曲线()y f x =上A ，B 两点间的“弯曲度”．下列命题中真命题是（ ） ①若函数321y x x =-+图象上A ，B 两点的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ> ②存在这样的函数，其图象上任意两点间的“弯曲度”为常数； ③设A ，B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设指数曲线xy e =上不同的两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），且121x x -=，若(),1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞．A ．②④B ．①②C ．①④D ．②③11．如图2，椭圆的焦点在x轴上，长轴长为，左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上第一象限的一个点A 满足：直线F 1A与直线x =B ，直线x =与x 轴的交点为C ，且射线BF 2为∠ABC 的角平分线，则△F 1AF 2的面积为（ ）A ．5B ．35C ．35+ D ．512．已知在(],2-∞上的连续函数()f x ，其导函数为()'f x ，满足(],2x ∀∈-∞，()()()()2256'220xx f x x x f x -++-->恒成立，设()21a ef =-，()120b f =-，0c =，则（ ） A ．a c b >> B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b a c >>二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若4AB AC ⋅=-，且3AB =，2AC =，则AB 与AC 夹角的余弦值为________． 14．函数()()ln 1sin 2f x x x =+++在点（0，()0f ）处的切线方程为________．15．5321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数是________．16．用基因型为Aa 的小麦分别进行连续自交、随机交配，连续自交并逐代淘汰隐性个体、随机交配并逐代淘汰隐性个体，则第9代Aa 基因型频率为________．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 2021年云南省有11937个文科考生分数达到了一本线，其中大约有10000人的分数集中在[565，620]内，其成绩的频率分布如下表所示：（1）求a ，b ，c ，d ，e ；（2）求这10000人分数的中位数的估计值（结果保留两位小数）．如图3，△ABC 中，点D 在AB 上且满足：14AD AB ==sin sin AD A BD B =．在①DC =3，②∠CDA =4π，③sin ∠ACD =5补充在题设中，求△ABC的面积．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）图319．（本小题满分12分） 图4甲是由直角梯形ABCD 和等边三角形CDE 组成的一个平面图形，其中BC ∥AD ，AB ⊥BC ，AD =2BC =2AB =2，将△CDE 沿CD 折起使点E 到达点P 的位置（如图乙），在四棱锥P −ABCD 中，若AP =2．（1）证明：平面PCD ⊥平面ABCD ；（2）若平面PCD 与平面PAB 的交线为l ，求l 与平面PAD 所成角的正弦值．图4已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，F 1，F 2为双曲线C 的左、右焦点，A （2，3）是双曲线C 上的一个点．（1）求双曲线C 的方程：（2）若过点B （4，0）且不与渐近线平行的直线l （斜率不为0）与双曲线C 的两个交点分别为M ，N ，记双曲线C 在点M ，N 处的切线分别为l 1，l 2，点P 为直线l 1与直线l 2的交点，试求点P 的轨迹方程．（注：若双曲线的方程为22221x y a b-=，则该双曲线在点（0x ，0y ）处的切线方程为00221x x y ya b-=）21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x x ax =++，a ∈R ，函数()()21ln 2x g x x x e x x x =-++-，)2,x e -⎡∈+∞⎣．（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）若0x 是函数()g x 的最小值点，且函数()()h x xf x =在0x x =处的切线斜率为2，试求a 的值．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系x O y 中，已知曲线C 的参数方程为2cos 2sin cos sin x y αααα=+⎧⎨=-⎩，（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θβ=（02πβ<<，0ρ≥）．（1）求曲线C 的普通方程和射线l 的直角坐标方程；（2）射线l 与曲线C 相交于点P ，点Q 在极轴上（异于极点），当sin β=且△OPQ 的时，求△OPQ 的外接圆的极坐标方程． 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】已知a ，b ，c ∈R ． （1）若a b c >>，求证：1110a b b c c a++>---； （2）若2221a b c ++=，求ab bc ca ++的最小值．理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DBACBBCCCDAD【解析】1．2022i 1z ==-，所以复数z 的模是1，故选D ．2．集合B 中的元素有(00)(10)(20)(11)，，，，，，，，共4个，故选B ． 3．至少要有一男一女的选法有21122424C C C C 16+=，故选A ．4．设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，焦距为2c ，则22223125c a ab a b c ⎧=⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎩，，，解得625a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，，∴椭圆C 的标准方程为2213620x y +=，故选C ． 5．该几何体为图1中三棱锥A BCD -，1112232332A BCD V sh -==⨯⨯⨯⨯=，故选B ．6．因为对任意的*n ∈N 且33n n S S ≠>，，当2n =时，2332300S S S S a >⇒-<⇒<，当4n =时，4343400S S S S a >⇒->⇒>，所以43a a >成立；当43a a >成立时，可推出等差数列{}n a 的公差大于零，但“对任意的*n ∈N 且33n n S S ≠>，”未必恒成立，例如，n a n =，当1n =时，3n S S >不成立，故选B ． 7．约束条件所满足的区域如图2所示，目标函数22(4)(2)z x y =-+-的几何意义是点(42)，到区域内一个点的距离的平方，由图知此最小值为以点(42)，为圆心，与直线43120x y +-=相切的圆的半径的平方，根据点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离为|442312|25r d ⨯+⨯-===，故最小值为4，故选C ．8．由题()3sin cos f x x a x =+，且22π33199322f a a a ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，解得3a =图1图2于是π()3sin 6f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以π06f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故选C ． 9．解法一：2O 的圆心为22m m ⎛⎫⎪⎝⎭，，则圆心之间的距离12||O O =，<有(11)-，，(11)-，两个公共点，故两圆相交，有两条公切线，故选C ．10．由321y x x =-+得，2123218xx y x x y y =='''=-⇒==，，则()A B ϕ=，<所以①错；常值函数的“弯曲度”为零（常数），所以②正确；由21y x =+得，222A A B B y x k x k x '=⇒==，，则()A B ϕ==，2≤，所以③正确；④：由1211()1()()t A B t A B A B ϕϕϕ<<=，可得，而，，1=>，1t ∴≤，故④错误，故选D ．11．设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则c a c b a =⇒=，方程为22163x y +=；又射线2BF 为ABC ∠的角平分线，在1F BC △根据角平分线定理，有1122||||||||F B F F BC F C ==，则在1Rt F BC △中11sin 2BFC ∠=，故1π6BFC ∠=，所以直线1F B l y x =：，点A 为直线1F B l与椭圆的交点，联立方程22361x y y x ⎪=⎨⎧+=⎪⎪⎪⎩，，解得y =（舍负），故1212||32F AF S c y ==⨯=△，故选A ． 12．令2()(2)(3)e ()x g x x x f x =--，22()e (2)[(56)()(22)x g x x x x f x x x ''=--++--()]f x ，在(2]-∞，上，()0g x '≤，()g x 单调递减，(0)12(0)g f b =-=，(1)2e (1)g f a =-=，(2)0g c ==，(0)(1)(2)g g g >>，b a c >>，故选D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．设AB 与AC 的夹角为θ，||||cos AB AC AB AC θ=，2cos 3||||AB AC AB AC θ==-∴.14．函数()f x 的导函数为1()cos 1f x x x'=++，则(0)2f '=，故切线斜率为2，又(0)2f =，所以切线方程为22y x =+．15．5321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项3515515521C ()C rr r r rr T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1555r -=，解得2r =，所以5x 的系数为25C 10=． 16．设第n 代含基因型为AA 的个体数为n a ，基因型为Aa 的个体数为n b ，第1n +代总个体数为1n S +，可得21112n n n n n n n n a a b S a b a b ++⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭①，1111222n n n n n n n n n n n b a b b S a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭②，①÷②得1112n n n n a a b b ++=+，故数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公差的等差数列，2n n a n b =，解得22n n n b a b n =++，故第9代Aa 基因型频率为211． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）29240.292410000a ==， 25180.251810000b ==， 20140.201410000c ==， 14390.143910000d ==， 11050.110510000e ==．…………………………………………………………（5分） （2）设这10000人分数的中位数的估计值为x ，分数低于576分的频率为0.2924<0.5，分数低于587分的频率为0.5442>0.5，∴这10000人分数的中位数的估计值11(0.50.2924)576585.070.2518x ⨯-=+≈．…………………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：选①3DC =．如图3，在ABC △中，由已知sin sin AD A BD B =及正弦 定理得，AD BC BD AC =， 因为122324AD AB AD BD ==⇒==， 232BC AC =，即3BC AC =（1）， ……………………………………（5分）在ADC △中，由余弦定理得，2222222(2)3cos 22222AD AC CD AC CAD AD AC AC AC +-+-∠===，在ABC △中，由余弦定理及（1）得，2cos 82BAC AC∠，因为CAD BAC ∠=∠5AC ⇒=，则335BC AC ==，3cos 5ACB ∠=，于是4sin 5ACB ∠=， 所以1sin 62ABC S AC BC ACB =∠=△．………………………………………（12分） 选②π4CDA ∠=． 在ACD BCD △，△中，由已知sin sin AD A BD B =及正弦定理得，sin sin CD ACD CD BCD ∠=∠， 故CD 是ACB ∠的角平分线； 因为122324AD AB AD BD ==⇒==， 232BC AC =，即3BC AC =，…………………………………………（5分） 在ADC △中，设ACD θ∠=22=1sin ACθ=， 因为CD 是ACB ∠的角平分线，故222cos cos212sin 1ACB AC θθ∠==-=-， 图3在ABC △中，由余弦定理得22222222cos 103261AC BC AB AC BC ACB AC AC AC ⎛⎫+-=∠⇒-=- ⎪⎝⎭， 故45sin sin 55AC ACB θ∠=，，则1sin 62ABC S AC BC ACB =∠=△．………………………………………………（12分）选③5sin ACD ∠=． 在ACD BCD △，△中，由已知sin sin AD A BD B =及正弦定理得，sin sin CD ACD CD BCD ∠=∠， 故CD 是ACB ∠的角平分线； 因为122324AD AB AD BD ==⇒==，232BC AC =，即3BC AC =， ………………………………………………………………………（5分） 设ACD θ∠=，则23cos cos212sin 5ACB θθ∠==-=，4sin 5ACB ∠=，在ABC △中，由余弦定理得22222182cos 10325AC BC AB AC BC ACB AC AC +-=∠⇒-=， 解得5AC ，则1=sin 62ABC S AC BC ACB ∠=△．…………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：如图4，取AD 中点为F ，连接AC ，CF ， 由题得AFBC ，得CF AD ⊥，1CF FD ==，222PC PD CD CF DF ===+， 222CD AC AD +=∵，AC CD ⊥∴，222CP AC AP +=∵，AC CP ⊥∴，CP CD C =，AC ⊥∴平面PCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以平面PCD ⊥平面ABCD ．…………………………………………………………………………………………（6分）（2）解：如图，延长AB 和DC 交于点G ，连接GP ，则GP 为平面PCD 与平面PAB 的交线，即为l ，取CD 中点为O ，连接OF ，OP ，图4OP AC OF AC OP OF OF CD OP CD ⊥⊥⊥⊥∵，，∴，，，∥如图，以O 为坐标原点，OF OD OP ，，分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，00P ⎛ ⎝⎭，，0A ⎫⎪⎪⎭，00G ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，00D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0PD ⎛=- ⎝⎭，(0)AD =-，0PG ⎛= ⎝⎭，， 设平面PAD 的法向量为()m a b c =，，，00PD m AD m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，00=⎨⎪+=⎩，，解得(31)m =，， 设l 与平面PAD 的所成角为θ， 则||2sin 7||||m PG m PG θ==．…………………………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（1）据题意2ce a==，则2c a =， 点(23)A ，在双曲线C 上，则22491a b -=， 又22223b c a a =-=，则22431a a -=， 21a =∴，23b =，24c =，∴双曲线C 的方程为2213y x -=. ……………………………………………………（5分）（2）设1122()()M x y N x y ，，，，直线4l x ty t ⎛=+≠ ⎝⎭：， 联立22224(31)2445013x ty t y ty y x =+⎧⎪⇒-++=⎨-=⎪⎩，， 22212224(24)445318036180031tt t t y y t -∆=-⨯⨯+=+>+=-，，……………………（8分） 由题知，切线11113yy l xx -=：，切线22213yyl xx -=：，记()P m n ，，则11221313ny mx ny mx ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，①，② ①+②得12121212()()()2[()8]233n y y n y y m x x m t y y +++-=⇒++-=， 将1222431ty y t -+=-代入得21434m t tn -=-③； ①−②得12121212()()()0()033n y y n y y m x x mt y y ----=⇒--=， 由12y y ≠得3nt m=④，联立③和④得22222414(14)333n n n m m m m m -=-=-，故221(14)03n m m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，又t ≠2213n m ≠，则14m =，故点P 的轨迹方程为14m =．………………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（1）11()0ax f x a x x x+'=+=>，， 当0a ≥时，函数()f x 在定义域上单调递增；……………………………………（1分） 当0a <时，函数的单调性如表格所示：…………………………………………………………………………（6分）（2）22()(121)e 1ln 2()e ln 1x x g x x x x x x x x '=-++-++-=++-，0x >， 则()g x '是一个单调递增的函数，当2e x -=时，2242e (e )(e e )e 30g ----'=+-<，当1x =时，(1)2e 10g '=->，故2(e1)t -∃∈，，使得()0g t '=，且 …………………………………………………………………………………（8所以0200000()()e ln 10x x t g x x x x '==++-=，，整理该式有 0000200000000011111()e 1ln (1)e ln (1ln e )e 1ln x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+=-⇒+=+⇒+=+ ⎪⎝⎭， 令()(1ln )m x x x =+，则()2ln m x x '=+， 所以函数在2[e )-+∞，上单调递增，故000011(1ln e )e 1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的解满足001e x x =；……………………………………（10分）又2()ln h x x x ax x =++，()1ln 21h x x ax '=+++，000()2ln 22h x x ax '=++=， 所以00ln 20x ax +=，由001e x x =知0020x ax -+=，故12a =．……………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）由2cos 2sin cos sin x y αααα=+⎧⎨=-⎩，，（α为参数），得cos sin 2cos sin xy αααα⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，，（α为参数），两式平方相加，得22182x y +=为C 的普通方程；射线l 的直角坐标方程为tan (0)y x x β=≥．………………………………………（5分） （2）当sin β=时，由π02β<<，得cos β=，设11(cos sin )P ρβρβ，，则1P ρρ⎛ ⎝⎭， 代入椭圆方程得，22112133182ρρ+=，解得2111402ρρρ=>=，∵，∴， 设2(0)Q ρ，122211sin 222OPQ S ρρβρρ==⨯=△， 在OPQ △中，由余弦定理得，||PQ =所以OPQ △是以OQ 为斜边的直角三角形，设OPQ △的外接圆上的动点()M ρθ，，ρθ=．……………………………（1023．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 （1）证明：欲证：1110a b b c c a ++>---，即证：111a b b c a c+>---， 由1100a b c b c a b a c a b a c>>⇒-<-⇒<-<-⇒>>--， 又因为10b c >-，所以111a b b c a c+>---. ……………………………………（5分） （2）解：因为2222+2()=(+)0a b c ab bc ca a b c +++++≥， 所以2221()2ab bc ca a b c ++-++≥，又因为2221a b c ++=，所以12ab bc ca ++-≥，当且仅当22201a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，取a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩时，等号成立（取等条件不唯一）， 所以ab bc ca ++的最小值是12-. (10)。

高二数学上学期期末复习题九（理科）（2013.12）考试时长：120分钟，满分：100分．时间：2014年1月13号下午1:30—3:30文科：必修二和选修1-1全部内容,其中必修二约各占50%，选修1-1约占50%.理科：必修二和选修2-1全部内容,其中必修二约各占55%，选修2-1约占45%.文科：理科：（一）选择题（一）选择题(1)命题的否定 (1)命题的否定(2)直线的几何特征 (2)直线的几何特征(3)双曲线的几何性质 (3)双曲线的几何性质(4)导数的概念 (4)直线的性质(5)空间两点间距离 (5)椭圆的几何性质(6)直线的性质 (6)空间向量的线性运算(7)椭圆的几何性质 (7)充分必要条件(8)充分必要条件 (8)线面位置关系判断(9)线面位置关系判断 (9)面面平行的判定(10)圆的几何性质 (10)两直线所成角问题(11)导数的应用 (11)圆锥曲线综合问题(12)圆锥曲线综合问题 (12)轨迹问题(二)填空题 (二)填空题(13) 导数的几何意义 (13) 直线与圆的关系问题(14)两直线垂直问题 (14)两直线的位置关系(15)直线与椭圆相交的问题 (15)直线与椭圆相交的问题(16)三视图问题 (16)三视图问题(17)直线与圆相交弦的问题 (17) 直线与圆相交弦的问题(18)圆锥曲线综合问题 (18)圆锥曲线综(三)解答题 (三)解答题(19)线面平行与面面垂直问题 (19)线面平行与面面垂直问题(20)直线与圆的综合问题 (20)直线与圆的综合问题(21)导数概念及其应用（21)线面垂直和二面角计算(22)圆锥曲线综合问题 (22)圆锥曲线综合问题（一）选择题（每题4分）(1)命题的否定：已知命题P：∃n∈N，2n＞1000，则⌝p为（）A∀n∈N，2n≤1 000 B∀n∈N，2n＞1 000C∃n∈N，2n≤1 000 D∃n∈N，2n＜1 000(2)直线的几何特征已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是( ) A．1 B．－1 C．－2或－1 D．－2或1(3)双曲线的几何性质4．设F1，F2是双曲线22124yx-=的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )．A．．．24 D．48(4)直线的性质直线2x－my＋1－3m＝0，当m变化时，所有直线都过定点( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－12，3 B.⎝⎛⎭⎪⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎪⎫12，－3 D.⎝⎛⎭⎪⎫－12，－3(5)椭圆的几何性质设F1，F2是椭圆E：22221x ya b+=(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线32ax=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )．A．12B．23C．34D．45(6)空间向量的线性运算：设空间四点O，A，B，P满足OP＝OA＋t AB，其中0<t<1，则有( ) A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的延长线上C．点P在线段BA的延长线上 D．点P不一定在直线AB上(6)/已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( ) A.627B.637C.607D.657(7)充分必要条件设集合A{x R x20}=?>，B{x R x0}=?，C{x R x(x2)0}=?>，则“x A BÎU”是“x C∈”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件(8)线面位置关系判断已知直线n⊥平面α，下列判断不正确的是（）A 若m⊥n，则m∥αB 若m⊥α，则m∥nC若m∥α，则m⊥n， D 若m∥n，则若m⊥α(9)面面平行的判定判断下列命题，其中正确的是（）①垂直于同一直线的两平面互相平行。

2023年高考-数学（理科）考试备考题库附带答案第1卷一.全考点押密题库(共50题)1.(单项选择题)(每题 5.00 分) 已知集合A = { - 2 ，-1 ，0 ，1 ，2 } ，B = { x | ( x - 1 ) ( x + 2 ) A. {-1 ，0 }B. { 0 ，1 }C. { -1 ，0 ，1 }D. { 0 ，1 ，2 }正确答案：A,2.(填空题)(每题 5.00 分) （）已知f(x)为偶函数，当x正确答案：y = - 2x - 1，3.(单项选择题)(每题 5.00 分) 设集合 A = { 1 ，2 ，4 } ，B = { x | x2 - 4x + m = 0 } . 若A ∩B = { 1 } ，则 B =A. { 1，-3 }B. { 1 ，0 }C. { 1 ，3 }D. { 1 ，5 }正确答案：C,4.(单项选择题)(每题5.00 分) 已知集合A=(x,y)▏x2+y2≤3,x∈z,y∈z}，则A中元素的个数为{A. 9C. 5D. 4正确答案：A,5.(填空题)(每题 5.00 分) 函数f(x) = sin( x + 2φ ) - 2sin φcos( x + φ )的最大值为________.正确答案：1，6.(单项选择题)(每题 5.00 分) 设集合S=｛x|(x-2)(x-3)≥0｝,T=｛x|x＞0｝,则S∩T=A. ［2,3］B. (-∞,2］∪［3,﹢∞］C. ［3,﹢∞)D. (0,2］∪［3,﹢∞)正确答案：D,7.(单项选择题)(每题 5.00 分) (1+1/x2)(1+x)6展开式中x2的系数为A. 15B. 20C. 30D. 35正确答案：C,8.(填空题)(每题 5.00 分) (x-y)(x+y)2的展开式中x2y7的系数为________.正确答案：-20，9.(单项选择题)(每题 5.00 分) 若tanα=3/4，则cos2α+2sin2α=A. 64/25B. 48/25C. 1D. 16/25正确答案：A,10.(填空题)(每题 5.00 分) 设等比数列 { an } 满足a1 + a3 = 10，a2 + a4 = 5 ，则a1 a 2 … an 的最大值为________.正确答案：64，11.(填空题)(每题 5.00 分) 若直线 y = kx + b 是曲线 y = In x + 2 的切线，也是曲线 y = ln ( x + 1 ) 的切线，则 b = ________.正确答案：1 - ln 2，12.(单项选择题)(每题 5.00 分) 已知向量 a = ( 1 ，m )，b =( 3，-2 )，且（a + b ）丄 b ，则 m=A. - 8C. 6D. 8正确答案：D,13.(单项选择题)(每题 5.00 分) 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.45正确答案：A,14.(单项选择题)(每题 5.00 分) 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1,AA1=√3，则异面直线AD1，与BD1所成角的余弦值为A. 1/5B. √5/6C. √5/5D. √2/2正确答案：C,15.(单项选择题)(每题 5.00 分) 定义“规范01数列”|an|如下：|an|共有2m项,其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m,a1,a2,...,ak:中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有A. 18个B. 16个C. 14个D. 12个正确答案：C,16.(填空题)(每题 5.00 分) 设向量a ，b 不平行，向量λa + b 与 a + 2b 平行，则实数λ = ________ .正确答案：1/2 ，17.(单项选择题)(每题 5.00 分) 设函数f(x)=x3+(α-1)x2+αx,.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点（0.0）处的切线方程为A. y=-2xB. y=-xC. y=2x;D. y=x正确答案：D,18.(填空题)(每题 5.00 分) 已知向量 a = ( 1，2 ) ，b = ( 2 ，-2 ) ，c = ( 1 ，λ ) . 若 c // ( 2a + b ) ，则λ =_______ 。

石室中学2022—2023学年第一学期第2次质量检测 高一数学满分: 150分 时间：120分钟 年级: 高一一选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合 U ={x ∈N ∗∣x ≤5},A ={0,1,2,3},B ={2,3,5}, 则A ∩(C U B )=( ) A.∅B.{1}C.{1,2}D.{2,3}2. 命题 p:∃x ∈R,x +2≤0, 则命题p 的否定是( ) A.∃x ∈R,x +2>0 B.∀x ∈R,x +2≤0 C.∃x ∈R,x +2≥0D.∀x ∈R,x +2>03. 已知 p:−1<2x −3<1,q:x(x −3)<0, 则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 已知函数 f(x)=−x 2−4x +5, 则函数y =f(x)的单调递增区间为( ) A.(−∞,−2]B.(−∞,2]C.[−2,+∞)D.[2,+∞)5. 若正数 x,y 满足3x +1y=5, 则3x +4y 的最小值是( )A.245B.285C.5D.66. 已知函数 f(x)=ax 3−bx +2, 若f(2)=5, 则f(−2)=( ) A.−1B.1C.3D.−37. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下：若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民本月用水量为( ) A.20m 3B.18m 3C.15m 3D.14m 38. 设函数 f(x)={x 2−2(a −1)x +5,x ≤1−x +a,x >1, 若函数y =f(x)在R 上是减函数, 则实数a 的 取值范围是( ) A.(2,3)B.[2,3]C.(1,3)D.[1,3]二多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分,在每小题给的四个选项中，有多项是符合题目要求的，多选或错选得0分，漏选得2分)9. 对于任意实数 a,b,c,d , 下列四个命题中其中假命题的是( ) A.若 a >b,c ≠0, 则ac >bc B.若 a >b , 则ac 2>bc 2 C.若 ac 2>bc 2, 则a >b D.若 a >b >0,c >d , 则ac >bd10.已知集合 A ={x ∣ax 2−3x +2=0}中有且只有一个元素,那么实数a 的取值可能是( )A.98B.1C.0D.2311. 如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下列对应的图象表示该容器中水面的高度h 与时间t 之间的关系，其中正确的( )A. B.C. D.12. 对于任意实数 x,x 均能写成的整数部分[x]与小数部分{x}的和, 其中[x]称为x 的整数 部分函数,{x}称为x 的小数部分函数, 即x =[x]+{x}. 比如1.7=[1.7]+{1.7}=1+0.7, 其中[1.7]=1,{1.7}=0.7;,[−1.7]=−2,{−1.7}=0.3, 则下列的结论正确的是( ) A.{−13}=23B.0≤{x}<1C.∀x,y ∈R,{x}+{y}={x +y}+1D.存在 x 0∈R , 使得{x 0}+{1x 0}=1.三.填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13. 函数 f(x)=1x+√1−x 的定义域是______________________14. 已知函数 f(x)=x 2+ax +2在区间(−∞,−3)上单调递减, 则实数a 的取值范围为_______ 15. 若函数 f(x)=√x 2+ax +1的定义域为实数集R , 则实数a 的取值范围为___________ 16. 若不等式 ax 2+bx +2<0的解集为{x ∣x <−12或x >13}, 则a−ba的值为_________四.解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. （本题满分10分）已知函数 f(x)={3x +5,x ≤0x +1x ,x >0 (1) 求 f (12),f(−2)的值(2) 若 f(f(a))=2, 求实数a 的值。