2020-2021年江苏高中数学课时选修试题：简单复合函数的导数(苏教版)

5.2.3简单复合函数的导数-A 基础练一、选择题1．（2021·湖北潜江市高二期末）已知()3sin 3f x x x =+，则其导函数()'f x =（）A ．233cos x x +B ．33cos x x +C ．33cos3x x +D ．233cos3x x+【答案】D【详解】22()3cos3(3)33cos3f x x x x x x ¢¢=+×=+,故选：D.2．（2021·山东高二专题练习）已知函数()sin 2cos 2f x x x =+，那么2f p æö¢=ç÷èø（ ）A ．2-B ．2C ．12D ．12-【答案】A【详解】由题意，()2cos 22sin 2f x x x ¢=-，所以2cos 22sin 2f p p p æö¢=ç÷ø-=-è.故选：A.3．（2020·全国高二课时练）函数3(20208)y x =-的导数y ¢=（ ）A ．23(20208)x -B ．24x-C ．224(20208)x --D ．224(20208)x -【答案】C【详解】2223(20208)(20208)3(20208)(8)24(20208)y x x x x =-´-=´-´-=--¢¢.4．（2020·河北石家庄市高二月考）原子有稳定和不稳定两种．不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出α、β、γ等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”．这种不稳定的元素就称为放射性同位素．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N （单位：贝克）与时间t （单位：天）满足函数关系240()2tN t N -=，其中N 0为0t =时钍234的含量．已知24t =时，钍234含量的瞬时变化率为8ln 2-，则()120N =（ ）A ．12贝克B ．12 ln2贝克C ．6贝克D ．6 ln2贝克【答案】A【详解】解：240ln 2()224tN t N -¢=-××，所以00ln 218ln 2,384242N N -=-××=，24240()23842tt N t N --==×，12024(120)384212N -=×=(贝克)，故选：A.5．（多选题）（2020·江苏常州市高二期末）下列求导数运算不正确的是（）A ．(sin )cos x x¢=-B ．2ln 2(log )x x¢=C ．2ln 1ln ()x xx x +¢=D ．2121(e )2e x x ++¢=【答案】ABC【详解】选项A ，(sin )cos x x ¢=，故A 错误；选项B ，21(log )ln 2x x ¢=，故B 错误；选项C ，2ln 1ln (x x x x-¢=，故C 错误；选项D ，212121(e )e (21)'2e +++¢=×+=x x x x 正确.6．（多选题）（2020·全国高二专题练习）下列结论中不正确的是（ ）A ．若1cosy x =，则11sin y x x¢=-B ．若2sin y x =，则22cos y x x ¢=C ．若cos5y x =，则sin 5y x ¢=-D ．若1sin 22y x x =，则sin 2y x x ¢=【答案】ACD【详解】对于A ，1cos y x =，则211sin y x x¢=，故错误；对于B ，2sin y x =，则22cos y x x ¢=，故正确；对于C ，cos5y x =，则5sin 5y x ¢=-，故错误；对于D ，1sin 22y x x =，则1sin 2cos 22y x x x ¢=+，故错误．故选：ACD二、填空题7．（2021·江苏省丰县中学高二期末）函数51y x x æö=+ç÷èø的导数为________．【答案】421151y x x x æöæö¢=+-ç÷ç÷èøèø【详解】函数51y x x æö=+ç÷èø是函数5y u =与1u x x =+的复合函数，则421151x u x y u y x x x æöæö¢+-¢¢=ç÷ç÷èøè=ø×.8．（2021·全国高二课时练）函数cos2()xxf x e=的导函数()f x ¢=_________．【答案】2sin 2cos2xx xe +-【详解】由cos2()xxf x e =，得22sin 2cos 22sin 2cos 22sin 2cos 2()x x x x xe x e x x x x xf x e e e----==-¢+=.9．（2020·沙坪坝区重庆南开中学高二月考）已知函数()πsin cos 23f x f x x æö¢=ç÷èø（其中()f x ¢为()f x 的导函数），则π2f æö=ç÷èø______.【答案】0【详解】()()()()(sin cos 2sin cos 2(cos cos 22sin sin 233f x f x x x x f x x x x p péù¢¢¢¢¢=+=-êúëûQ ，227()(cos cos 2sin sin(33333343f f f p p p p p pp æö¢¢¢\=-=-ç÷èø，(03f p ¢\=，()0f x \=，π02f æö\=ç÷èø.10．（2021·全国高二专题练习）函数()sin2xf x x e =+在()0,1处的切线方程为______【答案】310x y -+=【详解】求导得()2cos2xf x x e ¢=+，所以()0213f ¢=+=，所以函数()f x 在()0,1处的切线方程为13y x -=，即310x y -+=.三、解答题11．（2021·江苏高二）求下列函数的导函数：（1）5(21)y x =+；（2）()132a y og x =+．【详解】（1）445(21)210(21)y x x ¢=+´=+；（2）133(32)ln (32)ln y x a x a¢=´=++．12．（2020·洮南市第一中学高二月考）已知函数()1ln1xf x x+=-．（1）求函数()y f x =的定义域；（2）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程.【详解】解：（1）由题知：101xx+>-，所以()()110x x +->，解得11x -<<.所以函数()y f x =的定义域为()-1,1.（2）因为()()()()()()()2111121111x x x f x x x x x--+×--¢==+-×+-，所以()()()2021010f ¢==-×+，又因为()100lnln1010f +===-，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()020y x -=-，即2y x =.。

1.2.3 简单复合函数的导数明目标、知重点 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．2．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间的关系为y x′＝y u′·u x′.即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积．探究点一复合函数的定义思考1 观察函数y＝2x cos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？答y＝2x cos x是由u＝2x及v＝cos x相乘得到的；而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln u(x>－2)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数，所以y＝ln(x＋2)称为复合函数．思考2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？答复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出y＝f(u)；再根据内层的主体函数结构找出函数u＝g(x)，函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x))．思考3 在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？答A⊆B.小结要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法．例1 指出下列函数是怎样复合而成的：(1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos 3x.解(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的；(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的；(3)y ＝cos 3x 是由函数y ＝cos u ，u ＝3x 复合而成的．反思与感悟 分析函数的复合过程主要是设出中间变量u ，分别找出y 和u 的函数关系，u 和x 的函数关系．跟踪训练1 指出下列函数由哪些函数复合而成：(1)y ＝ln x ；(2)y ＝e sin x ；(3)y ＝cos (3x ＋1)．解 (1)y ＝ln u ，u ＝x ；(2)y ＝e u ，u ＝sin x ；(3)y ＝cos u ，u ＝3x ＋1.探究点二 复合函数的导数思考 如何求复合函数的导数？答 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第(3)步回代的过程．例 2 求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝11－2x ； (3)y ＝sin(－2x ＋π3)；(4)y ＝102x ＋3. 解 (1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3；(2)y ＝11－2x＝(1－2x )－12可看作y ＝u －12，u ＝1－2x 的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－12)u －32·(－2)＝(1－2x )－32＝1－2x 1－2x ； (3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π3的复合函数， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋π3) ＝－2cos(2x －π3)； (4)原函数可看作y ＝10u ，u ＝2x ＋3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝10u ·ln 10·2＝(ln 100)102x ＋3.反思与感悟 分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数．复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．跟踪训练2 求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋3)2；(2)y ＝e －0.05x ＋1；(3)y ＝sin(πx ＋φ)．解 (1)函数y ＝(2x ＋3)2可以看成函数y ＝u 2，u ＝2x ＋3的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(2x ＋3)′＝2u ·2＝4(2x ＋3)＝8x ＋12.(2)函数y ＝e －0.05x ＋1可以看成函数y ＝e u ，u ＝－0.05x ＋1的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′·(－0.05x ＋1)′＝－0.05e u ＝－0.05 e －0.05x ＋1.(3)函数y ＝sin(πx ＋φ)可以看成函数y ＝sin u ，u ＝πx ＋φ的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(sin u )′·(πx ＋φ)′＝cos u ·π＝πcos(πx ＋φ)．探究点三 复合函数导数的应用例 3 求曲线y ＝e2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程． 解 ∵y ′＝e 2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋1，∴y ′|x ＝－12＝2， ∴曲线y ＝e 2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程为 y －1＝2(x ＋12)，即2x －y ＋2＝0.反思与感悟 求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法．跟踪训练3 曲线y ＝esin x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程．解 设u ＝sin x ，则y ′＝(esin x )′＝(e u )′(sin x )′. ＝cos x e sin x .y ′|x ＝0＝1.则切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0.两平行线间的距离d ＝|c －1|2＝2⇒c ＝3或c ＝－1. 故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.1．函数y ＝(3x －2)2的导数y ′＝________.答案 18x －12解析 y ′＝2(3x －2)·(3x －2)′＝6(3x －2)．2．若函数y ＝sin 2x ，则y ′＝________.答案 sin 2x解析 y ′＝2sin x ·(sin x )′＝2sin x ·cos x ＝sin 2x .3．若f (x )＝sin(3x ＋π4)，则f ′(π4)＝________. 答案 －3解析 f ′(x )＝3cos(3x ＋π4)， ∴f ′(π4)＝－3. 4．(1)设函数f (x )＝e x －e －x ，证明：f (x )的导数f ′(x )≥2；(2)设函数f (x )＝x ＋ln(x －5)，g (x )＝ln(x －1)，解不等式f ′(x )>g ′(x )．(1)证明 f ′(x )＝(e x －e －x )′＝e x ＋e －x ，因为e x >0，e －x >0，所以e x ＋e －x ≥2e x ·e －x ＝2，当且仅当e x ＝e －x ，即e 2x ＝1，x ＝0时，等号成立，所以f ′(x )≥2.(2)解 因为f ′(x )＝1＋1x －5，g ′(x )＝1x －1， 所以由f ′(x )>g ′(x )，得1＋1x －5>1x －1， 即x －2x －x －>0，所以x >5或x <1.又两个函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧ x －5>0x －1>0，即x >5，所以不等式f ′(x )>g ′(x )的解集为(5，＋∞)．[呈重点、现规律]求简单复合函数f (ax ＋b )的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键.一、基础过关1．函数y ＝1x －2的导数y ′＝________. 答案 －6x －3解析 y ′＝[1x －2]′＝－2x －3·(3x －1)′＝－6x －3. 2．函数y ＝x 2cos 2x 的导数y ′＝________.答案 2x cos 2x －2x 2sin 2x解析 y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2·(－2sin 2x )＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .3．若f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)＝________.答案 1ln 3解析 ∵f ′(x )＝[log 3(x －1)]′＝1x －1ln 3， ∴f ′(2)＝1ln 3. 4．函数y ＝(2 015－8x )3的导数y ′＝________.答案 －24(2 015－8x )2解析 y ′＝3(2 015－8x )2×(2 015－8x )′＝3(2 015－8x )2×(－8)＝－24(2 015－8x )2.5．曲线y ＝cos(2x ＋π6)在x ＝π6处切线的斜率为______． 答案 －2解析 ∵y ′＝－2sin(2x ＋π6)， ∴切线的斜率k ＝－2sin(2×π6＋π6)＝－2. 6．函数y ＝x (1－ax )2(a >0)，且y ′|x ＝2＝5，则实数a 的值为________．答案 1解析 y ′＝(1－ax )2＋x [(1－ax )2]′＝(1－ax )2＋x [2(1－ax )(－a )]＝(1－ax )2－2ax (1－ax )．由y ′|x ＝2＝(1－2a )2－4a (1－2a )＝12a 2－8a ＋1＝5(a >0)，解得a ＝1.7．求下列函数的导数：(1)y ＝(1＋2x 2)8；(2)y ＝11－x 2；(3)y ＝sin 2x －cos 2x ；(4)y ＝cos x 2.解 (1)设y ＝u 8，u ＝1＋2x 2，∴y ′＝(u 8)′(1＋2x 2)′＝8u 7·4x＝8(1＋2x 2)7·4x ＝32x (1＋2x 2)7. (2)设y ＝u －12，u ＝1－x 2， 则y ′＝(u －12)′(1－x 2)′＝(－12u －32)·(－2x )＝x (1－x 2)－32.(3)y ′＝(sin 2x －cos 2x )′＝(sin 2x )′－(cos 2x )′＝2cos 2x ＋2sin 2x ＝22sin(2x ＋π4)．(4)设y ＝cos u ，u ＝x 2，则y ′＝(cos u )′·(x 2)′＝(－sin u )·2x ＝(－sin x 2)·2x ＝－2x sin x 2.二、能力提升8．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________答案 2解析 设直线y ＝x ＋1切曲线y ＝ln(x ＋a )于点(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )，又y ′＝1x ＋a ，∴y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a＝1，即x 0＋a ＝1.又y 0＝ln(x 0＋a )，∴y 0＝0，∴x 0＝－1，∴a ＝2.9．曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．答案 e 2 解析 ∵y ′＝e 12x ·12，∴y ′|x ＝4＝12e 2.∴曲线在点(4，e 2)处的切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)， 切线与坐标轴的交点分别是(0，－e 2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积 S ＝12|－e 2||2|＝e 2.10．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.答案 1解析 f ′(x )＝2(2x ＋a )·2＝4(2x ＋a )，f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.11．已知a >0，f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，l 是曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线．求切线l 的方程．解 f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，f (0)＝1.∴f ′(x )＝2ax －2＋1x ＋1＝2ax 2＋a －x －1x ＋1，f ′(0)＝－1，∴切点P 的坐标为(0,1)，l 的斜率为－1，∴切线l 的方程为x ＋y －1＝0.12.有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离S (单位：m)关于时间t (单位：s)的函数为S ＝S (t )＝5－25－9t 2.求函数在t ＝715s 时的导数，并解释它的实际意义． 解 函数S ＝5－25－9t 2可以看作函数S ＝5－x 和x ＝25－9t 2的复合函数，其中x 是中间变量．由导数公式表可得S x ′＝－12x －12，x t ′＝－18t . 故由复合函数求导法则得S t ′＝S x ′·x t ′＝(－12x －12)·(－18t )＝9t 25－9t2， 将t ＝715代入S ′(t )，得S ′(715)＝0.875 (m/s)． 它表示当t ＝715s 时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s. 三、探究与拓展13.曲线y ＝e 2x ·cos 3x 在点(0,1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程． 解 y ′＝(e 2x )′·cos 3x ＋e 2x ·(co s 3x )′＝2e 2x ·cos 3x －3e 2x ·sin 3x ，∴y ′|x ＝0＝2.∴经过点(0,1)的切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.设直线的方程为y＝2x＋b，根据题意，得5＝|b－1|5，∴b＝6或－4.∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.。

第8课时简单复合函数的导数教学过程一、问题情境问题1(教材第23页)求函数y=(3x-1)2的导数.解一方面,y'x=[(3x-1)2]'=(9x2-6x+1)'=18x-6=6(3x-1).另一方面,函数y=(3x-1)2可由y=u2,u=3x-1复合而成,y关于u的导数记为y'u,y'u=2u,将u关于x的导数记为u'x,即u'x=(3x-1)'=3,因而有y'x=y'u u'x.问题2(教材第23页)求函数y=sin2x的导数.解一方面,y'x=(sin2x)'=(2sin x cos x)'=2cos2x.另一方面,函数y=sin2x可由y=sin u,u=2x复合而成,y关于u的导数记为y'u.y'u=cos u,将u关于x的导数记为u'x,即u'x=(2x)'=2,因而有y'x=y'u u'x.二、数学建构问题3举例说明哪些函数是复合函数?[2]问题4怎样求复合函数的导数?[3]一般地,若y=f(u),u=ax+b,则y'x=y'u·u'x=ay'u.法则理解1.复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量u的导数,乘以中间变量u对自变量x的导数;2.求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导;3.法则可以推广到两个以上的中间变量,但不要求掌握.三、数学运用【例1】(教材第24页例2)求下列函数的导数:(1)y=;(2)y=cos(1-2x).(见学生用书P15)[处理建议]让学生练习对复合函数进行分解,再运用法则求导.[规范板书]解(1)函数y=可由y=,u=3x-1复合而成,则y'x=y'u·u'x=·3=-·3=-.(2)函数y=cos(1-2x)可由y=cos u,u=1-2x复合而成,则y'x=y'u·u'x=(cos u)'·(-2)=(-sin u)·(-2)=2sin(1-2x).[题后反思](1)对于简单复合函数的求导,要注意分析复合函数的结构,适当选取中间变量;(2)弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导,不要混淆;(3)求导的次序是由外向内;(4)复合函数求导的基本步骤是:分解—求导—相乘—回代.变式求函数y=的导数.[规范板书]解y==(3x-1)-4.设y=u-4,u=3x-1,则y'x=y'u·u'x=(u-4)'·(3x-1)'=-4u-5·3=-12u-5=-12(3x-1)-5=.[题后反思]熟练掌握求导法则后,本例可以直接写成y'x=[(3x-1)-4]'=-4(3x-1)-5·3=-12(3x-1)-5=.高中数学【例2】求曲线y=sin2x在点P处的切线方程.(见学生用书P16)[处理建议]学生讨论、判断,并且由学生给出理由.[规范板书]解设f(x )=sin2x,则f'(x)=2cos2x,故曲线在点P(π,0)处的切线方程为2x+y-π=0.四、课堂练习1.函数y=cos(1-2x)的导数y'=2sin(1-2x).2.若y=e-2x-1,则y'=-2e-2x-1.3.函数y=x·的导数y'=.4.若某港口在一天24 h内潮水高度近似地满足关系S(t)=3sin(0≤t≤24),则18点时潮水起落的速度为多少?解S'(t)=3cos·=cos,所以S'(18)=cos=,即18点时潮水速度为.五、课堂小结1.对于简单复合函数的求导,要注意分析复合函数的结构,关键在于分清函数的复合关系,适当选取中间变量,利用幂函数的求导公式.2.一些根式函数或分母上是幂函数、分子为常数的分式函数,通常经过变形,转化成幂函数,这样求导起来会比较方便.3.求导的次序是由外向内.4.复合函数求导的基本步骤是:分解—求导—相乘—回代.高中数学。

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则直线l的方程为y=2x+6或y=2x-4.
【延伸探究】将本例改为曲线y=f(x)=e2x·cos 3x在点(0,1)处的切线与过点
(2,3)的直线l垂直,求直线l的方程.
【解析】由例题知y在点(0,1)处的切线斜率为e0·(2cos 0-3sin 0)=2, 所以所求直线的斜率为- 1 .
3
【思路导引】分析函数是怎样复合而成的,找出中间变量,分层求导.
【解析】(1)因为y=(3x-2)2由函数y=u2和u=3x-′·(3x-2)′=6u=18x-12. (2)因为y=ln(6x+4)由函数y=ln u和u=6x+4复合而成,所以
yx′=yu′·ux′=(ln u)′·(6x+4)′=
【思考】 (1)函数y=sin 3x的导函数是y′=cos 3x吗? 提示:不是.y=sin 3x是由两个函数y=sin t,t=3x复合在一起的复合函 数,y′=cos 3x·(3x)′=3cos 3x.
(2)函数y=ln(-x)的导函数与y=ln x的导函数都为y′= 1 吗?
x
提示:结果y′= 是1 正确的.因为y=ln(-x)是由y=ln t和t=-x复合在一起的复
′(=2x2＋co)s u=2cos
3
. (2x＋)
3
【方法技巧】 复合函数求导的步骤
【变式训练】 函数f(x)=(2x+1)5,则f′(0)的值为____________.
【解析】f′(x)=5(2x+1)4·(2x+1)′=10(2x+1)4, 所以f′(0)=10. 答案:10
【补偿训练】 求下列函数的导数. (1)y=cos(2x-1).(2)y=2xe-x. 【解析】(1)y′=-sin(2x-1)·(2x-1)′ =-2sin(2x-1). (2)y′=(2x)′e-x+2x(e-x)′=2e-x-2xe-x.

一、单选题
1. 下列求导运算错误的是（）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
2. 已知函数在处的切线斜率为，则
（）
A．B．
C．D．
3. 函数的导数是（）
A．B．
C．D．
4. 函数的导数为（）
A．B．
C．D．
5. 已知是自然对数的底数，则函数的图象在原点处的切线方程是（）
A．B．
C．D．
6. 若函数，函数，则的最小值为（）
A．B．
C．D．
二、多选题
7. 下列函数的求导正确的是（）
A．B．C．
D．
8. 下列求导计算中，正确的有（）
A．若，则B．若，则
C．若，则
D．若，则
三、填空题
9. 已知是定义在上的偶函数，则________.
10. 由线在处的切线方程是__________.
11. 若函数，则_____________.
12. 已知直线是曲线的一条切线，则实数________.
四、解答题
13. 某质点位移随时间变化的函数为，其中的单位为，位移单位为，若的图象为一条连续曲线.
(1)求的值；
(2)求质点在时的瞬时速度.
14. 求下列函数的导函数．
(1)；
(2)；
(3)．
15. 已知函数，（a为常数）．
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
16. 已知函数.
(1)求的解析式；
(2)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.。

核心任务
如何获得复合函数的求导法则？
如何理解复合函数的求导法则？ 如何运用复合函数的求导法则？
01 简单复合函数的定义 ------研究对象的确定
1.1复合函数的概念
由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数. 如y ln(5x 1)由y ln u及u 5x 1复合而成. y f ( (x))由y f (u)及u (x)复合而成.
2.1法则猜想
思考：对照下列复合函数的复合形式，发现规律. (2) y (3x 1)2, y 6(3x 1) (4) y sin 2x, y 2 cos 2x
2.1法则猜想
思考：对照下列复合函数的复合形式，发现规律. (2) y (3x 1)2由y u2及u=3x 1复合而成,yu 2u,ux 3
1 u
,
ux
2, yu ux
2, u
又y
ln(2x)= ln x ln 2, yx
1 x
yu ux符合猜想.
2.3法则论证
对于y (3x 1)2, yu u2,ux 3x 1 yx 6(3x 1)，yu 2u,ux 3
考察特殊的位置：x 1时，u 2 思考：此时yx 12，yu 4,ux 3分别代表什么含义？
15 u
5 5x 1
(2) y cos(1 2x)可由y cos u及u 1 2x复合而成，从而
yx yu ( 2) (cos u) ( 2) sin u ( 2) 2sin(1 2x)
3.2能求导，现在更简单的
例2：求下列函数的导数
(1) y (2x 3)3
(2) y 1 3x 1
(1) y (2x 3)3可由y u3及u 2x 3复合而成，从而
yx (2) y
yx

1．2.3简单复合函数的导数学习目标 1.理解掌握复合函数的求导法则.2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导．知识点复合函数的概念及求导法则已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．思考1这三个函数都是复合函数吗？思考2试说明函数y＝ln(2x＋5)是如何复合的？思考3试求函数y＝ln(2x＋5)的导数．类型一 复合函数的概念例1 下列函数是否为复合函数，若是，说明是怎样复合而成的？(1)y ＝(2－x 2)3；(2)y ＝sin x 2；(3)y ＝cos(π4－x )； (4)y ＝ln sin(3x －1)．反思与感悟 根据复合函数的定义，若是一个复合函数，分清哪个是里层函数，哪个是外层函数，引入中间变量，将复合函数分解成较为简单的函数．跟踪训练1 写出由下列函数复合而成的函数．(1)y ＝cos u ，u ＝1＋x 2；(2)y ＝ln u ，u ＝ln x .类型二 求复合函数的导数例2 求下列函数的导数：(1)y ＝32x －1；(2)y ＝1(2x ＋1)4； (3)y ＝5log 3(1－x )；(4)y ＝x 2cos(2x －π3)．跟踪训练2 (1)若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝ .(2)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝ . (3)已知y ＝sin 3x ＋cos 3x ，则y ′＝ . 类型三 复合函数导数的综合应用例3 求曲线y ＝1x 2－3x 在点⎝⎛⎭⎫4，12处的切线方程．反思与感悟 (1)复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．(2)先求出复合函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．跟踪训练3 设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R 且为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切．求a ，b 的值．1．函数y ＝sin 3x 是由函数 复合而成的．2．设f (x )＝e －x 则f ′(x )＝ .3．函数y ＝(1－2x )4在x ＝12处的导数为 ． 4．过曲线y ＝11＋x 2上一点，使曲线在该点的切线平行于x 轴，求切线方程．1．复合函数求导的步骤2．求复合函数的导数的注意点：(1)分解的函数通常为基本初等函数；(2)求导时分清是对哪个变量求导；(3)计算结果尽量简洁．提醒：完成作业 1.2.3答案精析问题导学知识点思考1 函数y ＝ln(2x ＋5)，y ＝sin(x ＋2)是复合函数，函数y ＝2x ＋5＋ln x 不是复合函数． 思考2 设u ＝2x ＋5，则y ＝ln u ，从而y ＝ln(2x ＋5)可以看作是由y ＝ln u 和u ＝2x ＋5，经过“复合”得到的，即y 可以通过中间变量u 表示为自变量x 的函数．思考3 y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5. x 的函数 f (g (x )) y ′u ·u ′x y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积题型探究例1 解 (1)y ＝(2－x 2)3是由y ＝u 3及u ＝2－x 2复合而成．(2)y ＝sin x 2是由y ＝sin t 及t ＝x 2复合而成．(3)y ＝cos(π4－x )是由y ＝cos u 及u ＝π4－x 复合而成． (4)y ＝ln sin(3x －1)是由y ＝ln u ，u ＝sin t 及t ＝3x －1复合而成．跟踪训练1 解 (1)y ＝cos(1＋x 2)．(2)y ＝ln(ln x )．例2 解 (1)函数y ＝32x －1看作函数y ＝3u 与函数u ＝2x －1的复合，∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝(3u )′·(2x －1)′＝(2ln 3)·3u ＝2·32x －1·ln 3.(2)y ＝1(2x ＋1)4＝(2x ＋1)－4，函数y ＝1(2x ＋1)4看作函数y ＝u －4与u ＝2x ＋1的复合． y ′＝y ′u ·u ′x ＝(u －4)′·(2x ＋1)′＝－4u －5×2＝－8(2x ＋1)－5＝－8(2x ＋1)5. (3)函数y ＝5log 3(1－x )看作函数y ＝5log 3u 与函数u ＝1－x 的复合．y ′＝y ′u ·u x ′＝(5log 3u )′(1－x )′＝5u ln 3×(－1)＝5(ln 3)(x －1). (4)函数t ＝cos(2x －π3)看作函数t ＝cos u 与u ＝2x －π3的复合． ∴[cos(2x －π3)]′＝(cos u )′(2x －π3)′ ＝－2sin u ＝－2sin(2x －π3)，∴y ′＝(x 2)′cos(2x －π3)＋x 2[cos(2x －π3)]′ ＝2x cos(2x －π3)－2x 2sin(2x －π3)． 跟踪训练2 (1)1 (2)1－ln 3e(3)3sin 2x cos x －3sin 3x例3 解 y ′＝[(x 2－3x )－12]′＝－12(x 2－3x )－32·(2x －3)， ∴y ＝1x 2－3x 在点⎝⎛⎭⎫4，12处的切线斜率为k ＝y ′| x ＝4＝－12×(42－3×4)－32×(2×4－3)＝－516， ∴切线方程为y －12＝－516(x －4)，即5x ＋16y －28＝0. 跟踪训练3 解 由y ＝f (x )过点(0,0)得b ＝－1，∴f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax －1，∴f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ， 又∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，即曲线y ＝f (x )在点(0,0)处切线的斜率为32，∴f ′(0)＝32，即1＋12＋a ＝32，∴a ＝0. 达标检测1．y ＝u 3及u ＝sin x 2.－e －x 3.04．解 设切点的坐标为(x 0，y 0)，因为过点(x 0，y 0)的切线平行于x 轴，于是k ＝0，由导数几何意义知k ＝f ′(x 0)＝－2x 0(1＋x 20)2＝0，所以x 0＝0.又因为点(x 0，y 0)在曲线y ＝11＋x 2上，将x 0＝0代入得y 0＝1.故切点坐标为(0,1)，切线方程为y －1＝0.。

简单复合函数的导数【学习目标】1.理解复合函数的结构规律，掌握求复合函数的求导法则：“由外及内，层层求导”．2.能熟练运用求导法则对函数进行求导. 【要点梳理】要点一：复合函数的概念对于函数[()]y f x ϕ=，令()u x ϕ=，则()y f u =是中间变量u 的函数，()u x ϕ=是自变量x 的函数，则函数[()]y f x ϕ=是自变量x 的复合函数．要点诠释： 常把()u x ϕ=称为“内层”， ()y f u =称为“外层” 。

要点二：复合函数的导数设函数()u x ϕ=在点x 处可导，''()x u x ϕ=，函数()y f u =在点x 的对应点u 处也可导''()u y f u =，则复合函数[()]y f x ϕ=在点x 处可导，并且'''x u x y y u =⋅，或写作'[()]'()'()x f x f u x ϕϕ=⋅． 要点三：复合函数的求导方法1.分层：将复合函数[()]y f x ϕ=分出内层、外层。

2.各层求导：对内层()u x ϕ=，外层()y f u =分别求导。

得到'(),'()x f u ϕ3.求积并回代：求出两导数的积：'()'()f u x ϕ⋅，然后将()u x ϕ用替换，即可得到[()]y f x ϕ=的导数。

要点诠释：1. 整个过程可简记为分层——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程。

若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。

2. 选择中间变量是复合函数求导的关键。

求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。

求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。

【典型例题】类型一：求复合函数的导数 例1.求下列函数的导数： （1）4)31(1x y -=； （2）)63cos(π-=x y ；（3）2ln(231)y x x =++； 【解析】（1）设μ=1-3x ，4-=μy ，则55)31(12)3(4'''x y y x x -=-⋅-=⋅=-μμμ。

1．2.3 简单复合函数的导数1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些简单复合函数的求导(仅限于形如f (ax ＋b )的导数)．一、知识回顾函数的和、差、积、商的求导法则设两个函数分别为f (x )和g (x ) 两个函数的和的导数[f (x )＋g (x )]′＝ 两个函数的差的导数[f (x )－g (x )]′＝ 常数与一个函数的乘积的导数[C ·f (x )]′＝ (C 为常数) 两个函数的积的导数[f (x )·g (x )]′＝ 两个函数的商的导数 [f (x )g (x )]′＝ (g (x )≠0) 二、知识探究1．复合函数的概念由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数．cos()cos 44y x y u u x 如由及复合而成.3221(1)(2)(31)(3)sin (4)sin 2y x y x xy x x y x思考：下列哪些函数可以由两个基本初等函数复合得到？2．复合函数的求导法则2(2)(31)(4)sin 2y x y x 思考：下列这些复合函数可以借助于已有的知识求出导函数吗？2(2)(31),6(31)(4)sin 2,2cos 2y x y x y x y x思考：对照下列复合函数的复合形式，发现规律.ln(2)x u x y y u y x 对于猜想，尝试对函数求导进行验证 若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y x ′＝ ，即y x ′＝ ． 其中y x ′，y u ′分别表示y 关于 的导数及y 关于 的导数．三、知识应用(1)ln(51)(2)cos(12)y x y x 例1：求下列函数的导数31(1)(23)(2)31y x y x 例2：求下列函数的导数四、当堂训练1.指出下列函数的复合关系：(1)y ＝(a ＋bx n )m ；(2)y ＝(x 2＋4x )3；(3)y ＝e2＋x 2；(4)y ＝2sin(2－x 2)．2.求下列函数的导数．(1)y ＝(2x ＋3)2；(2)y ＝e －2x ；(3)y ＝sin (πx ＋φ)(其中π，φ均为常数)．。

1.2.2-3 简单复合函数的导数 双基达标 限时20分钟1．函数y ＝1x ＋2x 2＋1x3的导数是________． 解析 y ＝1x ＋2x 2＋1x3＝x －1＋2x －2＋x －3， ∴y′＝(x －1＋2x －2＋x －3)′＝－x －2－4x －3－3x －4答案 －x －2－4x －3－3x －42．函数y ＝x 2sin x 的导数是____________．解析 y′＝(x 2sin x)′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x)′＝2xsin x ＋x 2cos x.答案 2xsin x ＋x 2cos x3．函数y ＝sin x x的导数是____________． 解析 y′＝⎝⎛⎭⎫sin x x ′＝sin x ′·x －sin x·x ′x 2 ＝xcos x －sin x x 2. 答案xcos x －sin x x 2 4．函数y ＝(3x －2)2的导数是________．解析 法一 y x ′＝[(3x －2)2]′＝(9x 2－12x ＋4)′＝18x －12；法二 将函数y ＝(3x －2)2看作是函数y ＝u 2和函数u ＝3x －2复合函数，并分别求对应变量的导数如下：y u ′＝(u 2)′＝2u ，u x ′＝(3x －2)′＝3两个导数相乘，得y u ′u x ′＝2u·3＝2(3x －2)·3＝18x －12，从而有y x ′＝y u ′·u x ′＝18x －12.答案 y′＝18x －125．已知函数y ＝xln x ，则这个函数在点x ＝1处的切线方程是________．解析 y′＝ln x ＋1，k ＝f′(1)＝ln 1＋1＝1，切点坐标为(1,0)．所以切线方程是：y －0＝1·(x －1)，即y ＝x －1.答案 y ＝x －16．求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝x·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －4x ＋4. 解 (1)y′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′ ＝(x 4)′－3(x 2)′－5(x)′＋6′＝4x 3－6x －5；(2)y′＝(x·tan x)′＝⎝⎛⎭⎫xsin x cos x ′＝xsin x ′cos x －xsin x cos x ′cos 2x＝sin x ＋xcos x cos x ＋xsin 2x cos 2x＝sin xcos x ＋x cos 2x； (3)法一 y′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2＝3x 2＋12x ＋11；法二 ∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11；(4)法一 y′＝⎝⎛⎭⎪⎫x －4x ＋4′ ＝x －4′x ＋4－x －4x ＋4′x ＋42 ＝x ＋4－x －4x ＋42＝8x ＋42；法二 ∵y ＝x －4x ＋4＝x ＋4－8x ＋4＝1－8x ＋4， ∴y′＝⎝⎛⎭⎫1－8x ＋4′＝⎝⎛⎭⎫－8x ＋4′＝8x ＋42. 综合提高 限时25分钟7．已知f(x)＝x 3＋3x ＋ln 3，则f′(x)＝________________________________________________________________________.解析 (ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝13的错误． 答案 3x 2＋3x ·ln 38．曲线y ＝xe x ＋1在点(0,1)处的切线方程是________________________________________________________________________． 解析 y′＝e x ＋xe x ，当x ＝0时，导数值为1，故所求的切线方程是y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.答案 x －y ＋1＝09．设f(x)＝ax 2－1且f′(1)＝2，得a ＝________.解析 ∵f′(x)＝2ax 2 ax 2－1＝ax ax 2－1. ∴f′(1)＝a a －1，又f′(1)＝2. ∴a a －1＝2，解得a ＝2. 答案 210．曲线y ＝e x 2在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 解析 y′＝12e x 2，曲线在点(4，e 2)处的切线斜率为12e 2， 所以切线方程为：y －e 2＝12e 2(x －4)． 令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，所以与坐标轴所围三角形的面积S △＝12×2×e 2＝e 2. 答案 e 211．求下列函数的导数：(1)y ＝10x ；(2)y ＝x ＋cos x x －cos x； (3)y ＝2x cos x －3xlog 2 011x ；解 (1)y′＝(10x )′＝10x ln 10.(2)y′＝x ＋cos x ′x －cos x －x ＋cos x x －cos x ′x －cos x 2 ＝1－sin x x －cos x －x ＋cos x 1＋sin x x －cos x 2 ＝－2cos x ＋xsin x x －cos x 2(3)y′＝(2x )′cos x ＋(cos x)′2x －3[x′log 2 011x ＋(log 2 011x)′x]＝2x ln 2·cos x －sin x·2x －3⎣⎡⎦⎤log 2 011x ＋⎝⎛⎭⎫1x log 2 011e x＝2x ln 2·cos x －2x sin x －3log 2 011x －3log 2 011e.12．求下列函数的导数：(1)y ＝(1＋2x 2)8；(2)y ＝11－x 2； (3)y ＝sin 2x －cos 2x ；(4)y ＝cos x 2.解 (1)设y ＝u 8，u ＝1＋2x 2，∴y′＝(u 8)′(1＋2x 2)′＝8u 7·4x ＝8(1＋2x 2)7·4x＝32x(1＋2x 2)7. (2)设y ＝u －12，u ＝1－x 2， 则y′＝(u －12)′(1－x 2)′ ＝⎝⎛⎭⎫－12u －32·(－2x)＝x(1－x 2)－32. (3)y′＝(sin 2x －cos 2x)′＝(sin 2x)′－(cos 2x)′＝2cos 2x ＋2sin 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (4)设y ＝cos u ，u ＝x 2，则y′＝(cos u)′·(x 2)′＝(－sin u)·2x＝(－sin x 2)·2x ＝－2xsin x 2.13．(创新拓展)已知曲线f(x)＝x 3－3x ，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．解 设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝f′(x 0)＝3x 20－3，∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16.又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16，即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0.。

1.2。

3 简单复合函数的导数5分钟训练 （预习类训练,可用于课前）1。

函数y=(3x —4)2的导数是( ）A 。

4（3x-2）B 。

6x C.6x （3x —4） D.6(3x —4)答案：D解析：y′=［(3x-4)2］′=2(3x -4）·3=6（3x —4).2.函数y=sin2x 的导数是( ）A 。

cos2xB 。

2xsin2xC 。

2cos2xD 。

2sin2x答案：C解析:y′=(sin2x)′=cos2x·(2x ）′=2cos2x 。

3。

函数y=122+x 的导数为_____________。

解析：令y=21u ，u=2x 2+1，则y′x =y′u ·u′x =1221-u·（4x)=2x 212)12(-+x . 答案:2x 212)12(-+x4。

函数y=xcosx 2的导数是_____________。

解析：y′=cosx 2+x （-sinx 2）·2x=cosx 2—2x 2sinx 2.答案：cosx 2-2x 2sinx 210分钟训练 （强化类训练，可用于课中）1。

函数y=（x+x 1)5的导数为( ） A.5(x+x 1)4 B.5(x+x 1）4（1+x1） C 。

5(x+x 1）4（1—x —2） D 。

5（x+x1)4(1+x -2） 答案：C解析：y′=［(x+x1)5]′ =5（x+x 1）4·(x+x1)′ =5(x+x 1)4（1—x -2). 2。

函数y=2sin3x 的导数是（ ）A.2cos3x B 。

—2cos3x C.6sin3x D 。

6cos3x答案：D解析:y′=(2sin3x)′=2cos3x·（3x ）′=6cos3x 。

3.若f （x)=-e —x ,则f′（x ）为（ ）A.—e —xB.e —x C 。

e x D.-e x答案：B解析：f′（x)=-e -x ·（—1)=e -x .4。

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课时素养评价五简单复合函数的导数(25分钟·60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=cos 2x的导数为 ( )A.y′=sin 2xB.y′=-sin 2xC.y′=-2sin 2xD.y′=2sin 2x【解析】选C.y′=-sin 2x·(2x)′=-2sin 2x.2.设f(x)=ln(3x-1),若f(x)在x0处的导数f′(x0)=6,则x0的值为( )A.0B.C.3D.6【解析】选B.由f(x)=ln(3x-1),得f′(x)=.由f′(x 0)==6,解得x0=.3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的图象关于y轴对称,则f′(0)=_________.(其中f′(x)是f(x)的导函数) ( )A.0B.ωC.φD.1【解析】选A.因为函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的图象关于y 轴对称,所以f(0)=sin φ=±1,故φ=kπ+,k∈Z,①当k=2n,n∈Z时,f(x)=sin=cos ωx,这时,f′(x)=-ωsin ωx,所以f′(0)=0.②当k=2n+1,n∈Z时,f(x)=sin=-cos ωx,这时,f′(x)=ωsin ωx,所以f′(0)=0,综上所述,f′(0)=0.4.设函数f(x)=ax2+2ln(2-x)(a∈R)在点(1,f(1))处的切线为l,若直线l与圆C:x2+y2=相切,则实数a的值为( )A. B. C. D.2【解析】选C.因为f(1)=a,f′(x)=2ax+(x<2),所以f′(1)=2a-2,所以切线l的方程为2(a-1)x-y+2-a=0.因为直线l与圆相切,所以圆心到直线l的距离等于半径,即=,解得a=.【延伸探究】若将上题中条件改为“直线l与圆C:x2+y2=相交”,则a的取值范围为____________.【解析】由题目知,直线l的方程为2(a-1)x-y+2-a=0.因为直线l与圆C:x2+y2=相交,所以圆心到直线l的距离小于半径.即<.解得a>.答案:5.曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.4B.e2C.D.4e2【解析】选B.y′=,曲线在点(4,e2)处的切线斜率为e2,所以切线方程为:y-e2=e2(x-4).令x=0,得y=-e2,令y=0,得x=2,所以与坐标轴所围成的三角形的面积S△=×2×e2=e2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设f(x)=ln,则f′(2)=____________.【解题指南】令u(x)=,可求得u′(x)=,从而可求得f′(x),求出f′(2).【解析】因为f(x)=ln,令u(x)=,则f(u)=ln u,因为f′(u)=,u′(x)=·=,由复合函数的导数公式得:f′(x)=·=,所以f′(2)=.答案:【补偿训练】设f(x)=cos22x,则f′=____________.【解析】因为f(x)=cos22x=+cos 4x,所以f′(x)=(cos 4x)′(4x)′=-2sin 4x,所以f′=-2sin =-2.答案:-27.已知函数f(x)的导函数为f′(x),若f(x)=f′sin 3x+cos 3x,则f′=_______________.【解析】因为f(x)=f′sin 3x+cos 3x,所以f′(x)=f′·3cos 3x-3sin 3x,所以令x=可得f′=f′3cos -3sin=f′×-3×,解得f′=3 .答案:3【补偿训练】设y=g(x)=f(sin2x)+f(cos2x),其中f(x)可导,则g′=____________.【解析】g′(x)=[f(sin2x)]′+[f(cos2x)]′=f′(sin2x)·2sin x·cos x+f′(cos2x)·2cos x·(-sin x)=sin 2x[f′(sin2x)-f′(cos2x)],所以g′=f′-f′=0.答案:08.已知函数f(x)=x,则f′(2)=_______________.【解析】因为f′(x)=(xe-x)′=x′e-x+x(e-x)′=e-x+x(-e-x)=(1-x)e-x.所以f′(2)=-e-2=-.答案:-三、解答题(每小题10分,共20分)9.求下列函数的导数:(1)y=(-2)2.(2)y=x-sin cos.(3)y=sin2.【解析】(1)因为y=(-2)2,所以y′=2(-2)(-2)′=2(-2)·=1-.(2)因为y=x-sin cos=x-sin 2,所以y′=1-(2)′cos 2=1-cos 2.(3)方法一:y′=2sin·′=2sin cos·′=2sin.方法二:因为y=sin2=,所以y′=′+×sin×′=2sin.10.已知曲线y=x3+x-2在点P0处的切线l1平行于直线4x-y-1=0,且点P0在第三象限.(1)求P0的坐标.(2)若直线l⊥l1,且l也过切点P0,求直线l的方程.【解析】(1)由y=x3+x-2,得y′=3x2+1,由已知令3x2+1=4,解得x=±1.当x=1时,y=0;当x=-1时,y=-4.又因为点P0在第三象限,所以切点P0的坐标为(-1,-4).(2)因为直线l⊥l1,l1的斜率为4,所以直线l的斜率为-.因为l过切点P0,点P0的坐标为(-1,-4),所以直线l的方程为y+4=-(x+1),即x+4y+17=0.(20分钟·40分)1.(5分)f(x)=e sin x cos x sin x,则f′(0)=( )A.0B.1C.2D.e【解析】选B.因为f(x)=e sin x cos x sin x,所以f′(x)=(e sin x)′cos x sin x+e sin x(cos x)′(sin x)+e sin x cos x(sin x)′=e sin x cos2x sin x+e sin x(-sin2x)+e sin x cos2x.所以f′(0)=0+0+1=1.2.(5分)若对任意x∈R,f′(x)=4x3,f(1)=-1,则f(x)= ( )A.x4B.x4-2C.4x3-5D.x4+2【解析】选B.因为f′(x)=4x3.所以f(x)=x4+c,c∈R,因为f(1)=1+c=-1,所以c=-2,所以f(x)=x4-2.3.(5分)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y= f(x)在点(1,2)处的切线方程是____________.【解析】设x>0,则-x<0,因为x≤0时,f=e-x-1-x,所以f=e x-1+x,又因为f为偶函数,所以f=e x-1+x,f′=e x-1+1,f′=e1-1+1=2,所以切线方程为y-2=2,即2x-y=0.答案:2x-y=0【补偿训练】函数y=ln的导数为_______________.【解析】y′=′=··=·=.答案:4.(5分)f(x)=,且f′(1)=1,则a的值为____________.【解析】因为f′(x)=·(ax-1)′=,所以f′(1)==1.解得a=2.答案:25.(10分)求曲线y=ln(3x-2)上的点到直线l:3x-y+3=0的最短距离. 【解析】作出直线l:3x-y+3=0和曲线y=ln(3x-2)的图象(略)可知它们无公共点,所以,平移直线l,使之与曲线相切时,切点到直线l的距离就是曲线上的点到直线l的最短距离,y′=(3x-2)′=.设切点为P(x0,y0),所以=3,所以x0=1,所以y0=ln(3×1-2)=0,P(1,0).所以,曲线y=ln(3x-2)上的点到直线l:3x-y+3=0的最短距离为P(1,0)到直线l:3x-y+3=0的距离,d==.6.(10分)设曲线y=f(x)=e-x(x≥0)在点M(t,e-t)处的切线L与x轴,y 轴所围成的三角形面积为S(t),求S(t)的解析式.【解题指南】要求S(t)的解析式,必须知道三角形的底和高,可以通过求曲线与x轴,y轴的交点来得到底与高.【解析】对f(x)=e-x求导可得f′(x)=(e-x)′=-e-x,故切线L在点M(t,e-t)处的斜率为f′(t)=-e-t,故切线L的方程为y-e-t=-e-t(x-t).即e-t x+y-e-t(t+1)=0,令y=0可得x=t+1,令x=0可得y=e-t(t+1),所以S(t)=(t+1)·e-t(t+1)=(t+1)2e-t(t≥0).关闭Word文档返回原板块。

简单复合函数的导数[A 级 基础巩固]1．函数y ＝(2 020－8x )3的导数y ′等于( ) A ．3(2 020－8x )2B ．－24xC ．－24(2 020－8x )2D ．24(2 020－8x )2解析：选C y ′＝3(2 020－8x )2×(2 020－8x )′ ＝3(2 020－8x )2×(－8)＝－24(2 020－8x )2. 2．函数y ＝x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的导数为( )A ．y ′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3B ．y ′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ′＝x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3D ．y ′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2x 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3解析：选B y ′＝(x 2)′cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.3．设f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)＝( ) A ．ln 3 B ．－ln 3 C.1ln 3D ．－1ln 3解析：选C f ′(x )＝1（x －1）ln 3，故f ′(2)＝1ln 3.4．(多选)下列结论中不正确的是( ) A ．若y ＝cos 1x ，则y ′＝－1x sin 1xB ．若y ＝sin x 2，则y ′＝2x cos x 2C ．若y ＝cos 5x ，则y ′＝－sin 5xD ．若y ＝12x sin 2x ，则y ′＝x sin 2x解析：选ACD 对于A ，y ＝cos 1x ，则y ′＝1x 2sin 1x，故错误；对于B ，y ＝sin x 2，则y ′＝2x cos x 2，故正确； 对于C ，y ＝cos 5x ，则y ′＝－5sin 5x ，故错误；对于D ，y ＝12x sin 2x ，则y ′＝12sin 2x ＋x cos 2x ，故错误．5．曲线y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在x ＝π6处切线的斜率为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12解析：选B 设y ＝cos u ，u ＝2x ＋π6，y x ′＝(cos u )′⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6′＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故k ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝－2.6．函数y ＝sin 2x cos 3x 的导数是____________________． 解析：∵y ＝sin 2x cos 3x ，∴y ′＝(sin 2x )′cos 3x ＋sin 2x (cos 3x )′ ＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x . 答案：2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x 7．曲线y ＝x ·ex －1的导数y ′＝________，该曲线在P (1，1)处切线的方程为________． 解析：y x ′＝x ′e x －1＋x (ex －1)′＝ex －1＋x ex －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点P (1，1)处切线斜率k ＝(1＋1)·e 1－1＝2，所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. 答案：(x ＋1)ex －1y ＝2x －18．若y ＝f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________，f ′(x )＝________． 解析：令u ＝2x ＋a ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′(2x ＋a )′＝4(2x ＋a )，则f ′(2)＝4(2×2＋a )＝20，∴a ＝1，故f ′(x )＝4(2x ＋1)＝8x ＋4. 答案：1 8x ＋4 9．求下列函数的导数： (1)y ＝(3x ＋5)3；(2)y ＝e－0.05x ＋1；(3)y ＝ln(2x －1)．解：(1)函数y ＝(3x ＋5)3可以看作函数y ＝u 3和u ＝3x ＋5的复合函数．根据复合函数的求导法则，有y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 3)′·(3x ＋5)′＝3u 2×3＝9(3x ＋5)2. (2)函数y ＝e －0.05x ＋1可以看作函数y ＝e u和u ＝－0.05x ＋1的复合函数．根据复合函数的求导法则，有y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′·(－0.05x ＋1)′＝－0.05e u＝－0.05e－0.05x ＋1.(3)函数y ＝ln(2x －1)可以看作函数y ＝ln u 和u ＝2x －1的复合函数．根据复合函数的求导法则，有y x ′＝y u ′·u x ′＝(ln u )′·(2x －1)′＝2×1u ＝22x －1.10．曲线y ＝e 2xcos 3x 在(0，1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为 5，求直线l 的方程．解：由y ′＝(e 2xcos 3x )′ ＝(e 2x)′cos 3x ＋e 2x(cos 3x )′ ＝2e 2xcos 3x ＋e 2x(－3sin 3x ) ＝e 2x (2cos 3x －3sin 3x )，故曲线在点(0，1)处的斜率为k ＝2， 则切线方程为 y －1＝2(x －0)， 即2x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行，可设直线l 的方程为2x －y ＋c ＝0， 两平行线间的距离d ＝|c －1|5＝5，解得c ＝6或c ＝－4.故直线l 的方程为2x －y ＋6＝0或2x －y －4＝0.[B 级 综合运用]11．函数f (x )＝e2xx的导函数是( )A ．f ′(x )＝2e 2xB ．f ′(x )＝2e2xxC ．f ′(x )＝（2x －1）e2xx2D ．f ′(x )＝（x －1）e2xx2解析：选C 对于函数f (x )＝e 2x x ，对其求导可得：f ′(x )＝（e 2x ）′·x －e 2x·x ′x2＝2x ·e 2x －e2xx 2＝（2x －1）e2xx 2.故选C.12．(2021·安徽池州月考)y ＝x 2与y ＝ln(x ＋a )有一条斜率为2的公切线，则a ＝( )A ．－12ln 2B.12ln 2 C ．－ln 2D ．ln 2解析：选B 由y ′＝2x ＝2⇒x ＝1，由点斜式得切线方程：y －1＝2(x －1)， 对曲线y ＝ln(x ＋a )求导，y ′＝1x ＋a ＝2⇒x ＝12－a ， 代入y ＝ln(x ＋a )得：y ＝－ln 2，将⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ，－ln 2代入y ＝2x －1，得：－ln 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a －1⇒a ＝12ln 2.故选B.13．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值为________(答案不唯一)．解析：因为y ＝4e x ＋1，所以y ′＝－4e x（e x ＋1）2＝－4exe 2x ＋2e x＋1＝－4e x＋1ex ＋2. 因为e x>0，所以e x＋1e x ≥2(当且仅当x ＝0时取等号)，所以y ′∈[－1，0)， 所以tan α∈[－1，0)． 又因为α∈[0，π)， 所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：3π414．(1)已知f (x )＝e πxsin πx ，求f ′(x )及f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12；(2)在曲线g (x )＝11＋x 2上求一点，使过该点的切线平行于x 轴，并求切线方程．解：(1)∵f (x )＝e πxsin πx ，∴f ′(x )＝πe πxsin πx ＋πe πxcos πx ＝πe πx(sin πx ＋cos πx )．∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝πe π2⎝⎛⎭⎪⎫sin π2＋cos π2＝πe π2.(2)设切点坐标为P (x 0，y 0)，由题意可知g ′(x 0)＝0.又g ′(x )＝－2x（1＋x 2）2，∴g ′(x 0)＝－2x 0（1＋x 20）2＝0.解得x 0＝0，此时y 0＝1.即该点的坐标为P (0，1)，切线方程为y －1＝0.[C 级 拓展探究]15．已知点P 在曲线y ＝ln(2x －1)上运动．问：点P 运动到何位置时到直线l ：2x －y ＋3＝0的距离最短？并求此最短距离． 解：作出直线 l ：2x －y ＋3＝0和曲线 y ＝ln(2x －1)的图象(图略)，可知它们无公共点，所以平移直线l ，当l 与曲线相切时，切点到直线l 的距离就是曲线上的点到直线l 的最短距离，y ′＝12x －1(2x －1)′＝22x －1.设切点为P (x 0，y 0)， 所以22x 0－1＝2，所以x 0＝1，所以y 0＝ln (2×1－1)＝0，P (1，0)．所以曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离为P (1，0)到直线l ：2x －y ＋3＝0的距离，最短距离d ＝|2×1－0＋3|22＋12＝55＝ 5.。

课时跟踪检测（五）简单复合函数的导数[课下梯度提能]一、基本能力达标1．下列函数不是复合函数的是( )A ．y ＝－x 3－1x ＋1B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4 解析：选A A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u 的复合函数，C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u的复合函数，D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数，故选A.2．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( )A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2xB ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2xC ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x解析：选B y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .3．曲线y ＝x ex －1在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A ．2e B ．eC ．2D ．1解析：选C y ′＝e x －1＋x e x －1，故曲线在点(1,1)处切线的斜率为y ′|x ＝1＝2.4．设f (x )＝ln(2x －1)，若f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)＝1，则x 0的值为( )A.e ＋12B.32C ．1 D.34解析：选B 由f (x )＝ln(2x －1)，得f ′(x )＝22x －1. 由f ′(x 0)＝22x 0－1＝1，解得x 0＝32.故选B. 5．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．3x ＋2y ＋2ln 2－3＝0B ．2x －3y ＋2ln 2－3＝0C ．3x －2y ＋2ln 2－3＝0D ．2x ＋3y ＋2ln 2－3＝0解析：选C f ′(x )＝11＋x－1＋2x . 由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.6．函数y ＝x sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的导数为________． 解析：∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝x 2sin(4x ＋π) ＝－x 2sin 4x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2′sin 4x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2·(sin 4x )′ ＝－12sin 4x －2x cos 4x . 答案：－12sin 4x －2x cos 4x 7．已知函数f (x )＝(2x ＋a )2且f ′(2)＝20，则a ＝________.解析：f ′(x )＝2(2x ＋a )(2x ＋a )′＝8x ＋4a ，则8×2＋4a ＝20，解得a ＝1. 答案：18．函数f (x )＝ln (2x ＋3)－2x 2x的图象在点(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋3－4x x －[ln (2x ＋3)－2x 2]x 2＝2x 2x ＋3－ln (2x ＋3)－2x 2x 2， 则f ′(－1)＝－4，故该切线方程为y ＝－4x －2，切线在x ，y 轴上的截距分别为－12，－2， 故所求三角形的面积为12. 答案：129．求下列函数的导数：(1)y ＝sin(2x －1)；(2)y ＝x ·e 2x ＋1.解：(1)y ＝sin(2x －1)由y ＝sin u 与u ＝2x －1复合而成，∴y x ′＝(sin u )′·(2x －1)′＝2cos u ＝2cos(2x －1)．(2)y ′＝(x ·e2x ＋1)′＝x ′·e 2x ＋1＋x ·(e 2x ＋1)′ ＝e 2x ＋1＋x ·e 2x ＋1·(2x ＋1)′＝e 2x ＋1(1＋2x )．10．求曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离．解：设直线l 与曲线y ＝ln(2x －1)相切于点P (x 0，y 0)，且与直线2x －y ＋3＝0平行．由直线l 的斜率k ＝22x 0－1＝2，得x 0＝1，所以P (1,0)，因此直线l 的方程为2x －y －2＝0.直线l 与直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝55＝5，所以曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x－y ＋3＝0的最短距离是 5.二、综合能力提升1．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：选B ∵y ＝ln(x ＋a )，∴y ′＝1x ＋a ， ∵直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，∴切线的斜率为1，则1x ＋a＝1， ∴x ＝1－a ，y ＝ln 1＝0，∴切点坐标为(1－a,0)，∵切点(1－a,0)在切线y ＝x ＋1上，∴0＝1－a ＋1，解得a ＝2.2．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(－π＜φ＜0)．若f (x )＋f ′(x )是偶函数，则φ＝( )A.π3B ．－π3 C.π6D ．－π6解析：选B f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋5π6，因为f (x )＋f ′(x )为偶函数， 所以当x ＝0时2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋5π6＝±2，则φ＋5π6＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π－π3，k ∈Z ， 又－π＜φ＜0，所以φ＝－π3. 3．已知A (1，f ′(1))是函数y ＝f (x )的导函数图象上的一点，点B 的坐标为(x ，ln(2－x ))，向量a ＝(1,1)，设f (x )＝AB ―→·a ，试求函数y ＝f (x )的表达式．解：∵AB ―→＝(x －1，ln(2－x )－f ′(1))，a ＝(1,1)，∴f (x )＝AB ―→·a ＝x －1＋ln(2－x )－f ′(1)＝ln(2－x )＋x －f ′(1)－1，∴f ′(x )＝12－x ·(2－x )′＋1＝1x －2＋1， ∴f ′(1)＝0，∴f (x )＝ln(2－x )＋x －1.4．某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s (t )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋5π6(0≤t ≤24)，其中s 的单位是m ，t 的单位是h ，求函数在t ＝18时的导数，并解释它的实际意义．解：设f (x )＝3sin x ，x ＝φ(t )＝π12t ＋5π6. 由复合函数求导法则得s ′(t )＝f ′(x )·φ′(t )＝3cos x ·π12＝π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋5π6. 将t ＝18代入s ′(t )，得s ′(18)＝π4cos 7π3＝π8(m/h)． 它表示当t ＝18 h 时，潮水的高度上升的速度为π8m/h.。

1.2.3 简单复合函数的导数学习目标1．掌握简单复合函数的导数的推导2．简单复合函数的导数的应用学习重点:掌握简单复合函数的导数的推导学习难点:简单复合函数的导数的应用学习过程【基础知识梳理】1、根据导数的概念，求函数导数的过程可以用下面的流程图来表示2、运算法则法则1:两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即：[()()]()().f x g x f x g x '''±=±法则2：[()]().()Cf x Cf x C ''=为常数法则3：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数：[()()]()()()().f x g x f x g x f x g x '''=+法则4：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即： 2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''-'= ()0g x ≠其中. 3、复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数.由函数()y f u = 与 ()u x ϕ= 复合而成的函数一般形式是[()]y f x φ=，其中u 称为中间变量.【问题探究】问题1：求函数2(32)y x =-的导数 .问题2：考察函数sin 2y x =的导数.【建构数学】一般地，我们有u =ax +b 时，有若 y =f (u ),u =ax +b ，则'''x u x y y u=⋅，''x u y y a =⋅即： •对于一般的复合函数，结论也成立 . •复合函数的求导法则 • 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 ，即'''x u x y y u =⋅【数学运用】例1 试说明下列函数是怎样复合而成的，并求下列函数的导数：31(1)(23);(2)ln(51);(3);(4)cos(12).31y x y x y y x x =-=+==-- 练习：试说明下列函数是怎样复合而成的，并求下列函数的导数：22(1)(2);(2)sin ;(3)cos();(4)ln sin(31).4y x y x y x y x =-==-=π － 例2 写出由下列函数复合而成的函数，并求它们的导数.（1）cos y u =,21u x =+ ; （2）ln y u =,ln u x =.例3 求y =(2x +1)5在x =1处的切线方程.【课堂练习】1.求下列函数的导数： 2321(1)(23);(2)(13);(3);(4)lnx y x y x y e y x =+=-==. 2.求曲线y =sin2x 在点P (π，0）处的切线方程.。

复合函数的导数问题【考情分析】复合函数的导数在近10年的江苏高考中曾两次出现，一是2008江苏高考23题，考查内容是以复合函数的导数为工具证明排列组合中的恒等式；二是2015年江苏高考20题，通过构造复合函数并研究其单调性，确定方程解的个数．在各省的数学联赛中更是将复合函数的导数问题提到相当重要的位置，甚至作为压轴题出现．对复合函数导数的考查主要呈现出两种形式，一是用导数研究函数性质（单调性、极值、最值、零点、不等式），二是将复合函数的的导数作为工具，解决导数与其它知识的融合问题．第一讲复合函数导数的基本应用在用导数研究函数性质时，单调性是解决一切问题之“根”．通过本节的学习，掌握利用导数判断函数单调性的基本方法，对于含参问题，要能从函数的图象、值域及导函数的零点等视角感知分类讨论的原因以及讨论的标准，并能进行严格的推理论证； 【知识要点】1．复合函数的求导法则函数()y f ax b =+是由函数()y f u =与u ax b =+复合而成，则xu x y y u '''=⋅，即x u y y a ''=⋅． 注：一般地，函数[()]y f g x =是由函数()y f u =与()u g x =复合而成，则()()xy f u g x '''=⋅． 求导过程中的注意点：（1）分清复合函数是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量联系因变量与自变量； （2）每步明确对哪个变量求导，特别注意中间变量的关系；（3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求各函数导数的积，并换中间变量为自变量的函数． 【典型例题】【例1】已知函数2()ln(1)f x ax x =+-（0,(0,1]a x >∈）． （1）求()f x 的单调区间；（2）若不等式()212ln 1n nλ++≥对一切正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围．【分析】（1）222()211a ax x a f x x ax ax--+'=-=++， 由于0,(0,1]a x >∈，故1ax +恒大于0，因此()f x '的正负由2()22h x ax x a =--+的正负决定， 结合()h x 的图象，且(0)0(1)20h a h a =>=--<，知，()f x 在[0,1]上“先增后减”，下面进行严格论证．【解】（1）222()211a ax x a f x x ax ax--+'=-=++（0,(0,1]a x >∈）． 令()0f x '=，即2220ax x a --+=，解得10x =<，2(0,1)x ==． 当2(0,)x x ∈时，()0f x '>，当2(,1)x x ∈时，()0f x '<．所以()f x的单调增区间为⎛ ⎝⎭，单调减区间⎫⎪⎝⎭． 【分析】（2）利用分离变量法得，()221ln 1n n λ+-≥恒成立．问题转化为求不等式右边的最大值，观察其结构，可以构造函数，借助导数研究其单调性．【解】（2）方法一：不等式()212ln 1n n λ++≥，即为()221ln 1n n λ+-≥． 令1x n=，当n *∈N 时，(0,1]x ∈，则2ln(12)x x λ+-≥．令2()ln(12)g x x x =+-，(0,1]x ∈，由（1）知，当2a =时，()()g x f x =．又因为2a =12=， 所以()g x 在()10,2上单调递增，在()1,12上单调递减．所以当12x =时，()g x 取得最大值为1ln 24-，此时2n =． 即2n =时，()221ln 1n n +-取得最大值1ln 24-．所以，实数λ的取值范围是1ln 24λ-≥．方法二：不等式()212ln 1n n λ++≥，即为()221ln 1n nλ+-≥．令()221()ln 1(1)g x x x x =+-≥，则2233322(1)(2)2224()2(2)(2)1x x x x x g x x x x x x x--+--++'=+==+++． 当(1,2)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当(2,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减． 所以当2x =时，()g x 取得最大值为1ln 24-，此时2n =．即2n =时，()221ln 1n n +-取得最大值1ln 24-．所以，实数λ的取值范围是1ln 24λ-≥．。

休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
考点三 复合函数导数的应用
[典例] 已知函数 f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R )，设曲线 y
＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为 l，若 l 与圆 C：x2＋y2＝14相切， 求 a 的值．
[解] ∵f′(x)＝a(x2)′＋2·2－1 x·(2－x)′ ＝2ax－2－2 x， ∴f′(1)＝2a－2， 又 f(1)＝a＋2ln 1＝a，
∴切线 l 的方程为 y－a＝2(a－1)(x－1)， 即 2(a－1)x－y－a＋2＝0. ∵直线 l 与圆 C：x2＋y2＝14 相切， ∴圆心(0,0)到直线 l 的距离为12， 所以有 4a|2－－1a|2＋1＝12，解得 a＝181. ∴a 的值为181.
考点二 求导法则的综合应用 [典例] 求下列函数的导数． (1)y＝31－xsin(2x－1)； (2)y＝ln22xx－－11.
[解] (1)y′＝(31－x)′sin(2x－1)＋31－x·[sin(2x－1)]′ ＝－31－xln 3·sin(2x－1)＋31－x·2cos(2x－1) ＝31－x[2cos(2x－1)－sin(2x－1)·ln 3]．
(3)灵活运用复合函数的求导法则，正确地进行求导运算， 树立多角度、换方位思考问题的意识，达到优化解题思维、简 化解题过程的目的．
结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
[类题通法] 1．求复合函数的导数的步骤
2．求复合函数的导数的注意点 (1)内、外层函数通常为基本初等函数． (2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是 求复合函数导数时的易错点．