高中数学选修2-1苏教版课件：3.1.3空间向量基本定理

3.1.3-4空间向量基本定理空间向量的坐标表示(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握空间向量基本定理，能恰当地选择基底，用基向量表示空间任一向量．(2)理解空间向量的正交分解，理解向量坐标的意义．(3)掌握向量加法、减法、数乘的坐标运算法则，会应用向量坐标进行线性运算，能判断向量共线．2．过程与方法(1)由平面向量基本定理，类比得出空间向量基本定理，体会定理的条件及内涵；会在具体空间图形中，选取基底表示空间向量．(2)类比平面向量坐标运算法则，得出空间向量坐标运算法则，并运用这些法则进行向量坐标线性运算．(3)运用向量坐标进行向量共线的判定与应用．3．情感、态度与价值观能过教师的引导，学生探究，激发学生求知欲望和学习兴趣，使学生具备探究、归纳、应用的能力，形成严谨的思维习惯．●重点难点重点：用基底表示空间向量，向量线性运算的坐标表示．难点：用基底表示空间向量．教学时，应采用类比思维的方法，先回顾平面向量基本定理及坐标表示，得出空间向量基本定理及坐标表示，降低问题的难度，在具体的常见几何体(正方体、三棱锥、棱柱)中，展示用基底表示空间向量的方法与过程，突出本节的重点，化解教学的难点．(教师用书独具)●教学建议空间向量基本定理是向量法研究立体几何问题的基石，是本章的重中之重，空间向量的坐标表示及坐标运算，是坐标法研究立体几何的工具．因此本节课是全章内容的工具性内容，为学生学习立体几何提供新角度、新手段、新方法．由于学生已学习了平面向量基本定理及坐标运算，因而本节宜采用类比教学法，多发挥学生自主探究能力，通过回顾→类比→完善→应用的环节获取新知识，应用新知识．除使用常规的教学手段外，还将使用多媒体投影和计算机辅助教学，增加教学的直观性和趣味性．●教学流程回顾平面向量基本定理，类比得出空间向量基本定理，强调基向量的不共面性，线性表示的惟一性，常见几何体中基底的一般选法，定义单位正交基，推导空间向量基本定理的推论.⇒回顾平面向量的坐标表示，得出空间向量的坐标表示，理清向量坐标的实际意义，向量坐标与点坐标的关系．⇒回顾平面向量线性运算的坐标表示，得出空间向量的线性运算的坐标表示，向量坐标与起始点坐标的关系，共线向量的坐标条件．⇒通过例1及变式训练，让学生掌握基底的选取条件，即不共面向量，加深对基底概念的理解．⇒通过例2及变式训练，让学生掌握如何选取基向量，如何用基底表示某一向量，在具体操作中运用向量的线性运算法则．⇒通过例3及变式训练，让学生掌握向量坐标运算法则，掌握如何运用起点、终点坐标表示向量坐标．⇒通过例4及变式训练，让学生掌握向量共线的坐标条件的应用，由此判定向量共线或求值．⇒通过易错易误辨析，让学生分清向量共线与向量同向的区别，以免概念混淆，解题出错．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.123(x ，y ，z )，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3.123是空间不共面的三个向量，则把1e 2，e 3}称为空间的一个基底，e 1，e 2，e 3叫做基向量.0不能作为基向量．如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，特别地：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i ，j ，k }表示．设O 是不共面的四点，则对空间任意一点(x ，y ，z )，使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →.空间直角坐标系中，点的坐标与向量坐标有何联系与区别？【提示】 在空间直角坐标系中，当起点为原点时，向量坐标就是其终点坐标；当起点不是原点时，向量坐标是终点坐标减去起点坐标．所以向量坐标不是点的坐标，而是终点坐标与起点坐标的差值．在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点坐标就是向量a 的坐标．空间向量的坐标运算与几何运算相比较，有哪些好处？【提示】 坐标运算实际上是实数间的运算，运算起来更为简捷方便． 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量OD →＝2e 1－e 2＋3e 3；若不能，请说明理由．【思路探究】 判断{OA →，OB →，OC →}能否作为基底，关键是判断它们是否共面，一般假设其共面，利用共面向量定理分析；求OD →的表示式，设OD →＝pOA →＋qOB →＋zOC →，利用待定系数法求系数．【自主解答】 假设OA →、OB →、OC →共面，由向量共面的充要条件知存在实数x 、y 使OA →＝xOB →＋yOC →成立．∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3， ∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底， ∴e 1，e 2，e 3不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解，即不存在实数x 、y 使OA →＝xOB →＋yOC →， ∴OA →，OB →，OC →不共面．故{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一个基底． 设OD →＝pOA →＋qOB →＋zOC →，则有2e 1－e 2＋3e 3＝p (e 1＋2e 2－e 3)＋q (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋z (e 1＋e 2－e 3)＝(p －3q ＋z )e 1＋(2p ＋q ＋z )e 2＋(－p ＋2q －z )e 3∵{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底， ∴⎩⎪⎨⎪⎧p －3q ＋z ＝2，2p ＋q ＋z ＝－1，－p ＋2q －z ＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝17，q ＝－5，z ＝－30，∴OD →＝17OA →－5OB →－30OC →.1．判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助，进行判断．2．求一向量在不同基底下的表示式(或坐标)，一般采用待定系数法，即设出该向量在新基底下的表示式(或坐标)，转化为在原基底下的表示式，对比系数．若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间的一个基底．【解】假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)成立，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c.∵{a，b，c}是空间的一个基底，∴a，b，c不共面．∴⎩⎪⎨⎪⎧μ＝1λ＝1λ＋μ＝0，此方程组无解．即不存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )成立，∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面． 故{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能作为空间的一个基底．图3－1－10如图3－1－10，四棱锥P －OABC 的底面为矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC ，PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：BF →，BE →，AE →，EF →.【思路探究】选取基向量→观察空间图形→利用线性运算→用基底表示向量【自主解答】 连结OB ，则BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(－OA →－OC →＋OP →)＝ －12a －12b ＋12c . BE →＝BC →＋CE →＝－a ＋12CP →＝－a ＋12(CO →＋OP →)＝－a ＋12(－b ＋c )＝－a －12b ＋12c .AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12PC →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b＋12c . EF →＝12CB →＝12OA →＝－12a .1．空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是惟一的．2．用基底来表示空间中的向量是用向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则以及平行四边形法则的应用．图3－1－11如图3－1－11，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，＝c ，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AM →；(2)AN →.【解】 (1)AM →＝12(AC →＋)＝12(AB →＋AD →＋AD →＋)＝12(a ＋2b ＋c )＝12a ＋b ＋12c . (2)AN →＝12(＋)＝12[(AB →＋AD →＋)＋(AD →＋)]＝12(AB →＋2AD→＋2)＝12a ＋b ＋c .空间向量的坐标运算已知A ，B ，C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求适合下列条件的点P 的坐标．(1)OP →＝12(AB →－AC →)；(2)AP →＝12(AB →－AC →)．【思路探究】 利用向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标求出AB →，AC →，然后进行坐标运算得到OP →，AP →，从而可确定点P 的坐标．【自主解答】 AB →＝(2,6，－3)，AC →＝(－4,3,1)．(1)OP →＝12(AB →－AC →)＝12(6,3，－4)＝(3，32，－2)，则点P 的坐标为(3，32，－2)．(2)设点P 的坐标为(x ，y ，z )，则AP →＝(x －2，y ＋1，z －2)．由(1)知，AP →＝12(AB →－AC →)＝(3，32，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3y ＋1＝32z －2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝12z ＝0，则点P的坐标为(5，12，0)．1．牢记运算法则是正确进行向量线性运算的关键．2．涉及已知点的坐标进行向量运算时，注意利用终点的坐标减去起点的坐标得到向量的坐标，这是向量运算的前提．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，求AB →，AC →及2AB →＋3AC →.【解】 AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)，2AB →＋3AC →＝2(1,1,0)＋3(－1,0,2)＝(2,2,0)＋(－3，0,6)＝(－1,2,6)．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,2)，求满足DB ∥AC ，DC ∥AB 的点D 的坐标．【思路探究】 由已知条件DB ∥AC ，DC ∥AB ，转化为向量平行，用共线向量定理及空间向量平行的坐标表示，可求得D 点的坐标．【自主解答】 设D (x ，y ，z )，则DB →＝(－x,1－y ，－z )，AC →＝(－1,0,2)， 由DB ∥AC ，设DB →＝λAC →， 即(－x,1－y ，－z )＝(－λ，0,2λ)， 则⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝－λ，1－y ＝0，－z ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ，y ＝1，z ＝－2λ，得D (λ，1，－2λ)．∴DC →＝(－λ，－1,2＋2λ)，AB →＝(－1,1,0)． 又DC →∥AB →，设DC →＝μAB →， 即(－λ，－1,2＋2λ)＝(－μ，μ，0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧－λ＝－μ，－1＝μ，2＋2λ＝0.解得λ＝μ＝－1.∴点D 的坐标为(－1,1,2)．1．本例中，求点D 的坐标，主要是利用两向量平行的坐标条件，列出关于点D 的坐标的方程组，通过解方程组求得．2．两向量平行的充要条件有两个：①a ＝λb ，②⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx2y 1＝λy2z 1＝λz2，依此，既可以判定两向量共线，也可以通过两向量平行求待定字母的值．设a ＝(2,3,0)，b ＝(－3，－2,1)，计算2a ＋3b,5a －6b ，并确定λ，μ的值，使λa ＋μb 与向量b 平行．【解】 ∵a ＝(2,3,0)，b ＝(－3，－2,1)，∴2a ＋3b ＝2(2,3,0)＋3(－3，－2,1)＝(4,6,0)＋(－9，－6,3)＝(－5,0,3)， 5a －6b ＝5(2,3,0)－6(－3，－2,1)＝(10,15,0)－(－18，－12,6)＝(28,27，－6)． ∵λa ＋μb ＝λ(2,3,0)＋μ(－3，－2,1)＝(2λ－3μ，3λ－2μ，μ)，且(λa ＋μb )∥b ， ∴2λ－3μ－3＝3λ－2μ－2＝μ1.∴λ＝0，μ∈R ，即λ＝0，μ∈R时，λa＋μb与b平行.误解“两向量平行”和“两向量同向”已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，求x，y的值．【错解】由题意知a∥b，则x1＝x2＋y－22＝y3，可得⎩⎪⎨⎪⎧y＝3x①x2＋y－2＝2x②，把①代入②得x2＋x－2＝0，解得x＝－2或x＝1.当x＝－2时，y＝－6；当x＝1时，y＝3.【错因分析】“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．错解忽略了“同向”这一条件的限制，扩大了范围．【防范措施】由于向量具有平移不变性，因此有关向量的平行问题与直线的平行是有区别的，并且两向量同向与向量平行也是不等价的，向量平行则两向量可能同向也可能反向，因此，解决这类问题时要特别注意限制条件．【正解】 由题意知a ∥b ，则x 1＝x 2＋y －22＝y3，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ①x 2＋y －2＝2x ②，把①代入②得x 2＋x －2＝0，解得x ＝－2或x ＝1.当x ＝－2时，y ＝－6；当x ＝1时，y ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－6时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ，向量a 与b 反向，不符合题意，故舍去． 当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝3时，b ＝(1,2,3)＝a ，向量a 与b 同向， 故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3.1．用基底表示空间几何体中一向量时，应结合立体图形，根据空间向量线性运算法则，写出要求的向量表达式．2．建立空间直角坐标系后，空间向量都有惟一的坐标(x ，y ，z )，两向量间的线性运算也有相应的坐标运算法则．3．对于两向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，a ∥b ⇔a ＝λb ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2y 1＝λy 2z 1＝λz 2(b ≠0)，依此可以判定两向量平行或由两向量平行求待定字母的值.1．下列说法正确的是________．①任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底； ②不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底； ③单位正交基底中的基向量模为1，且互相垂直；④不共面且模为1的三个向量可构成空间的单位正交基底．【解析】 根据基底的有关概念可知：任何三个不共面的向量都可以构成一个基底，当这三个基向量是模为1且两两垂直的向量时，称此基底为单位正交基底，故有③正确，①②④错误．【答案】 ③图3－1－122．如图3－1－12，已知平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′中，OA →＝a ，OC →＝c ，＝b ，D 是四边形OABC 的中心，则OD →＝________.【解析】 结合图形，充分利用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则，利用基向量a 、b 、c 表示OD →.仔细观察会发现OD →与OA →、OC →是共面向量，故它们三者之间具有线性关系，即可得到答案．【答案】 12a ＋12c3．已知a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(－1,2，－1)，则b ＝______. 【解析】 设b ＝(x ，y ，z )，则a ＋b ＝(x ＋1，y －2，z ＋1)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝－1，y －2＝2，z ＋1＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4，z ＝－2.∴b ＝(－2,4，－2)． 【答案】 (－2,4，－2)4．设a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k . 【解】 法一 ∵a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．∴k a ＋b ＝k (1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)．a －3b ＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(7，－4，－16)． ∵(k a ＋b )∥(a －3b )． ∴k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16. ∴k ＝－13.法二 ∵(k a ＋b )∥(a －3b )． ∴k a ＋b ＝λ(a －3b )．∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－3λ，∴k ＝－13.一、填空题1．设命题p ：a ，b ，c 是三个非零向量，命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的______条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)．【解析】 命题q 中，{a ，b ，c }为空间的一个基底，则根据基底的定义，可知a ，b ，c 为非零向量，且为不共面向量．故q ⇒p ，pD ⇒/q ，所以命题p 是命题q 的必要不充分条件．【答案】 必要不充分2．设向量a ，b ，c 不共面，则下列可作为空间的一个基底的是________． ①{a ＋b ，b －a ，a }； ②{a ＋b ，b －a ，b }； ③{a ＋b ，b －a ，c }; ④{a ＋b ＋c ，a ＋b ，c }．【解析】 因为只有③中三个向量不共面，所以可以作为一个基底． 【答案】 ③3．已知{i ，j ，k }为空间的一个基底，若a ＝i －j ＋k ，b ＝i ＋j ＋k ，c ＝i ＋j －k ，d ＝3i ＋2j －4k ，又d ＝α a ＋β b ＋γc ，则α＝________，β＝________，γ＝________.【解析】 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝3－α＋β＋γ＝2α＋β－γ＝－4，解之得：⎩⎨⎧α＝12β＝－1γ＝72.【答案】 12 －1 72图3－1－134．如图3－1－13，已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 是底面A ′B ′C ′D ′的中心，a ＝12AA ′→，b ＝12AB →，c ＝13AD →，AE →＝x a ＋y b ＋z c ，则x ，y ，z 的值分别为x ＝________，y ＝________，z ＝________.【解析】 由题意知AA ′→，AB →，AD →为不共面向量，而AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12(A ′B ′→＋A ′D ′→)＝AA ′→＋12AB →＋12AD →＝2a ＋b ＋32c ，∴x ＝2，y ＝1，z ＝32.【答案】 2 1 325．已知A (3,2,1)，B (－4,5,3)，C (－1,2,1)，则2AB →＋5AC →的坐标为________． 【解析】 2AB →＋5AC →＝2(－7,3,2)＋5(－4,0,0) ＝(－14－20,6＋0,4＋0)＝(－34,6,4)． 【答案】 (－34,6,4)6．(2013·平遥高二检测)已知a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝ (6,2μ－1,2)，a ∥b ，则λ与μ的值分别为________． 【解析】 根据已知a ∥b ，则有λ＋16＝2λ2且2μ－1＝0，解得：λ＝15，μ＝12.【答案】 15，12图3－1－147．在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，则在如图3－1－14所示的空间直角坐标系中，DO →的坐标是________．【解析】 由题意得A 1(4,0,4)，B 1(0，2,4)，由D 为A 1B 1的中点可得D (2,1,4)，故OD →＝(2,1,4)，所以DO →＝－OD →＝(－2，－1，－4)．【答案】 (－2，－1，－4)8．(2013·威海高二检测)有下列命题： ①若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线； ②若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线；③若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b ；④若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0.其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．【解析】 ①AB →∥CD →时，四点A ，B ，C ，D 可能共线也可能AB ∥CD ，故①为假命题； ②AB →∥AC →时，又AB →，AC →共起点，所以A ，B ，C 三点共线，②为真命题； ③a ＝4e 1－25e 2＝－4(－e 1＋110e 2)＝－4b ，∴a ∥b ，故③为真命题；④中，k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，又e 1，e 2，e 3不共面，根据空间向量基本定理可知，只能k 1＝0，k 2＝0，k 3＝0，所以④为真命题．【答案】 ②③④ 二、解答题图3－1－159．如图3－1－15所示，M 、N 分别是四面体OABC 的边OA 、BC 的中点，P 、Q 是MN 的三等分点，用向量OA →，OB →，OC →表示OP →和OQ →.【解】 OP →＝OM →＋MP →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →＋23(ON →－12OA →) ＝16OA →＋23×12(OB →＋OC →) ＝16OA →＋13OB →＋13OC →. OQ →＝OM →＋MQ →＝12OA →＋13MN →＝12OA →＋13(ON →－OM →) ＝12OA →＋13(ON →－12OA →) ＝13OA →＋13×12(OB →＋OC →) ＝13OA →＋16OB →＋16OC →. 10．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出AA 1→，AB 1→，AC 1→的坐标．【解】 分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为原点，分别以DC →，DA →，DD 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A (0，32，0)，A 1(0，32，2)，B 1(－12，0,2)，C 1(12，0,2)，所以AA 1→＝(0,0,2)，AB 1→＝(－12，－32，2)，AC 1→＝(12，－32，2)．11．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,2)． (1)若DB →∥AC →，DC →∥AB →，求点D 的坐标．(2)是否存在实数x ，y ，使AC →＝xAB →＋yBC →成立．若存在，求出x ，y 的值；若不存在，请说明理由．【解】 (1)设D (x ，y ，z )，则有 DB →＝(－x,1－y ，－z )，AC →＝(－1,0,2)， DC →＝(－x ，－y,2－z )，AB →＝(－1,1,0)． ∵DB →∥AC →，DC →∥AB →， ∴DB →＝λ1AC →且DC →＝λ2AB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＝－λ11－y ＝0－z ＝2λ1且⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＝－λ2，－y ＝λ2，2－z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝λ1y ＝1z ＝－2λ1且⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝λ2，y ＝－λ2，z ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝2，∴D 点坐标为(－1,1,2)．(2)∵AC →＝(－1,0,2)，AB →＝(－1,1,0)， BC →＝(0，－1,2)，假设满足条件的x ，y 存在， 即AC →＝xAB →＋yBC →，也即(－1,0,2)＝(－x ，x,0)＋(0，－y ，2y ) ＝(－x ，x －y,2y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－x ，x －y ＝0，2＝2y ，解得x ＝1，y ＝1. ∴存在实数x ＝1，y ＝1， 使AC →＝xAB →＋yBC →成立．(教师用书独具)如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 分AC →成的比为1∶2，N 分A 1D →成的比为2∶1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，用基底{a ，b ，c }表示向量MN →.【思路探究】 由于AB →、AD →、AA 1→三个向量不共面，故AB →，AD →，AA 1→可作为一个基底来表示空间中的向量MN →.【自主解答】 如图，连结AN ，则MN →＝MA →＋AN →. 由已知四边形ABCD 是平行四边形， 可知AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， 又M 分AC →成的比为1∶2，故MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )． ∵N 分A 1D →成的比为2∶1，故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →＝13(c ＋2b )， ∴MN →＝MA →＋AN →＝－13(a ＋b )＋13(c ＋2b ) ＝13(－a ＋b ＋c )．1．由基底表示空间任一向量，首先明确基底是哪三个向量，然后将所求向量进行分解，分解时主要看三种运算，即相加、相减与数乘(倍数关系)．2．用基底表示一个空间向量，要注意数形结合，结合图形逐步转化．如图，已知矩形ABCD 中，P 为面ABCD 外一点，且P A ⊥面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且PM →＝2MC →，PN →＝ND →，求满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ，y ，z 的值．【解】 取PC 的中点E ，连结NE ， 则MN →＝EN →－EM →.∵EN →＝12CD →＝12BA →＝－12AB →， EM →＝PM →－PE →＝23PC →－12PC → ＝16PC →， 连结AC ，则PC →＝AC →－AP →＝AB →＋AD →－AP →. ∴MN →＝－12AB →－16(AB →＋AD →－AP →) ＝－23AB →－16AD →＋16AP →. ∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.。

3.1.3 空间向量基本定理3.1.4 空间向量的坐标表示双基达标 (限时20分钟)1．有以下命题：①如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a ，b 的关系是不共线；②O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定共面；③已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，则向量a ＋b ，a －b ，c ，也是空间的一个基底．其中正确的命题序号是________．解析 对于①“如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a ，b 的 关系一定共线”所以①错误；②③正确．答案 ②③2.如图所示，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，则CE →＝________.解析 ∵G 为△ABC 的重心，∴AG →＝23AM →＝23×12(AB →＋AC →) ＝13(AB →＋AC →)， ∵BE →＝3ED →∴BE →＝34BD →＝34(AD →－AB →) AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋34(AD →－AB →)＝14AB →＋34AD →， 故GE →＝AE →－AG →＝14AB →＋34AD →－13(AB →＋AC →) ＝－112AB →－13AC →＋34AD → 答案 －112AB →－13AC →＋34AD →3.已知空间四边形OABC ，其对角线OB ，AC ，点M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN ，用基底向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →为________．解析 OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN → ＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－12OA →] ＝12OA →＋13(OB →＋OC →)－13OA → ＝16OA →＋13OB →＋13OC →. 答案 16OA →＋13OB →＋13OC → 4．已知a ＝{3λ，6，λ＋6}，b ＝{λ＋1，3，2λ}，若a ∥b ，则λ＝________.解析 由a ∥b ，得3λλ＋1＝63＝λ＋62λ，解得λ＝2. 答案 25．已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，若k a ＋b 与2a －b 平行，则实数k ＝________.解析 计算得k a ＋b ＝(k －1，k ，2)，2a －b ＝(3，2，－2)，由k a ＋b 与2a －b 平行得k －13＝k 2＝2－2，解得k ＝－2. 答案 －26．已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，且P A ＝AD .建立适当坐标系求MN →的坐标．解 设AD →＝i ，AB →＝j ，AP →＝k ，以i ，j ，k 为坐标向量建立如图所示的空间直角坐标系．∵MN →＝MA →＋AP →＋PN →①MN →＝MB →＋BC →＋CN →②又∵M 、N 分别为AB 、PC 的中点由①＋②得2MN →＝AP →＋BC →＝k ＋i ，∴MN →＝12(k ＋i )＝12i ＋12k ，∴MN →＝⎝⎛⎭⎫12，0，12. 综合提高（限时25分钟）7．在△ABC 中，A (2，－5，3)，AB →＝(4，1，2)，BC →＝(3，－2，5)，则顶点B 、C 的坐标分别为________．解析 由A (2，－5，3)，AB →＝(4，1，2)，解得B (6，－4，5)，再由BC →＝(3，－2，5)，解得C (9，－6，10)．答案 B (6，－4，5)，C (9，－6，10)8.如图，点M 为OA 的中点，以{OA →，OC →，OD →}为基底，DM →＝xOA→＋yOC →＋zOD →，则实数对(x ，y ，z )＝________.解析 DM →＝OM →－OD →＝12OA →＋0OC →－OD →，所以实数对(x ，y ， z )＝(12，0，－1)． 答案 (12，0，－1) 9．已知a ＝2(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ的值为________．解析 有共面向量定理知存在实数x ，y 使得a ＝x b ＋y c ，即(4，－2，6)＝(－x ，4x ，－ 2x )＋(7y ，5y ，λy )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝－x ＋7y －2＝4x ＋5y ，6＝－2x ＋λy ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3433y ＝1433λ＝657答案657 10．设点C (2a ＋1，a ＋1，3)在点P (2，0，0)，A (1，－3，2)，B (8，－1，4)确定的平面上，则实数a 的值为________．解析 P A →＝(－1，－3，2)，PB →＝(6，－1，4)，根据共面向量定理，可设PC →＝xP A →＋yPB →(x ，y ∈R )，则(2a －1，a ＋1，3)＝x (－1，－3，2)＋y (6，－1，4)，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝－x ＋6y ，a ＋1＝－3x －y .3＝2x ＋4y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝214，a ＝834，即实数a 的值是834. 答案 834 11．已知O ，A ，B ，C 四点的坐标分别是(0，0，0)，(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求P 点坐标，分别满足：(1)OP →＝12(AB →－AC →)；(2)AP →＝12(AB →－AC →)． 解 AB →＝OB →－OA →＝(2，6，－3)，AC →＝OC →－OA →＝(－4，3，1)．(1)设P 点坐标为(x ，y ，z )，则OP →＝(x ，y ，z )，12(AB →－AC )＝(3，32，－2)， 所以OP →＝(3，32，－2)，即P 点坐标为(3，32，－2)； (2)设P 点坐标为(x ，y ，z )，则AP →＝OP →－OA →＝(x －2，y ＋1，z －2)，12(AB →－AC →)＝(3，32，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y ＋1＝32，z －2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝12，z ＝0，所以P 点坐标为(5，12，0)． 12．如图所示，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是△ABC 、△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB→＝b ，OC →＝c ，试用向量a 、b 、c 表示向量GH →.解 GH →＝OH →－OG →，∵OH →＝23OD →，∴OH →＝23×12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )，OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋23(OD →－OA →)＝13OA →＋23×12(OB →＋OC →)＝13a ＋13(b ＋c )，∴GH →＝13(b ＋c )－13a －13(b ＋c )＝－13a ，即GH →＝－13a .13．(创新拓展)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC的中点．(1)化简：A 1O →－12AB →－12AD →；(2)设E 是棱DD 1上的点且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，试求x 、y 、z 的值．解 (1)∵AB →＋AD →＝AC →，∴A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－12AC →＝A 1O →－AO →＝A 1A →.(2)∵EO →＝ED →＋DO →＝23D 1D →＋12DB →＝23D 1D →＋12(DA →＋AB →)＝23A 1A →＋12DA →＋12AB →＝12AB →－12AD →－23AA 1→.即：x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.。

.3.1.3 空间向量基本定理[对应学生用书P53]空间向量基本定理某次反恐演习中，一特别行动小组获悉：“恐怖分子”将“人质”隐藏在市华联超市往南1 000 m ，再往东600 m 处的某大厦5楼(每层楼高3.5 m)，行动小组迅速赶到目的地，完成解救“人质”的任务．“人质”的隐藏地由华联超市“南1 000 m ”、“东600 m ”、“5楼”这三个量确定，设e 1是向南的单位向量，e 2是向东的单位向量，e 3是向上的单位向量．问题：请把“人质”的位置用向量p 表示出来． 提示：p ＝1 000e 1＋600e 2＋14e 3.1．空间向量基本定理如果三个向量e 1，e 2，e 3不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3.2．推论设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任意一点P ，都存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使得OP u u u r ＝x OA u u u r ＋y OB u u u r ＋z OC u u u r.基底空间任何一个向量，都可以用空间任意三个向量惟一表示吗？提示：不一定，由空间向量基本定理知，只有三个向量e 1，e 2，e 3不共面时，空间任何一向量才可以用e 1，e 2，e 3惟一表示，否则不可能表示．1．基底和基向量如果三个向量e 1、e 2、e 3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e 1、e 2、e 3线性表示，我们把{e 1，e 2，e 3}称为空间的一个基底，e 1，e 2，e 3叫做基向量．2．正交基底和单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i ，j ，k }表示．1．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面向量组{a ，b ，c }可以线性表示出空间的任意一个向量，而且表示的结果是惟一的．2．空间中的基底是不惟一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底．[对应学生用书P54]基底的概念[例1] 若{a ，b ，c }是空间的一个基底．试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为该空间的一个基底． [思路点拨] 判断a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．[精解详析] 假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数λ、μ使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )， ∴a ＋b ＝λb ＋μa ＋(λ＋μ)c .∵{a ，b ，c }为基底，∴a ，b ，c 不共面．∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ.此方程组无解，∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面． ∴{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }可以作为空间的一个基底．[一点通] 空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，所以空间中的基底有无穷多个．但是空间中的基底一旦选定，某一向量对这一基底的线性表示只有一种，即在基底{a ，b ，c }下，存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .证明三个向量能否构成空间的一个基底，就是证明三个向量是否不共面，证明三个向量不共面常用反证法并结合共面向量定理来证明．1．设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底．给出下列向量组： ①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }，③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }． 其中可以作为空间的基底的向量组有________个．解析：如图所设a ＝AB u u u r ，b ＝1AA u u u u r ，c ＝AD u u u r ，则x ＝1AB u u u u r ，y ＝1AD u u u u r ，z ＝AC u u u r，a ＋b ＋c ＝1AC u u u u r.由A ，B 1，D ，C 四点不共面可知向量x ，y ，z 也不共面．同理可知b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，可以作为空间的基底．因为x ＝a ＋b ，故a ，b ，x 共面，故不能作为基底．答案：32．已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA u u u r ＝e 1＋2e 2－e 3，OB u u u r ＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC u u u r＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r }能否作为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量OD u u u r＝2e 1－e 2＋3e 3；若不能，请说明理由．解：假设OA u u u r 、OB u u u r 、OC u u u r 共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x 、 y 使OA u u u r ＝x OB u u u r ＋y OC u u u r成立．∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3) ＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3.∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，∴e 1，e 2，e 3不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解，即不存在实数x 、y 使OA u u u r ＝x OB u u u r ＋y OC u u u r ， ∴OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r不共面．故{OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r}能作为空间的一个基底， 设OD u u u r ＝p OA u u u r ＋q OB u u u r ＋z OC u u u r，则有2e 1－e 2＋3e 3＝p (e 1＋2e 2－e 3)＋q (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋z (e 1＋e 2－e 3) ＝(p －3q ＋z )e 1＋(2p ＋q ＋z )e 2＋(－p ＋2q －z )e 3. ∵{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ p －3q ＋z ＝2，2p ＋q ＋z ＝－1，－p ＋2q －z ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝17，q ＝－5，z ＝－30.∴OD u u u r ＝17OA u u u r －5OB u u u r －30OC u u u r .用基底表示向量[例2] 如图所示，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是△ABC 、△OBC 的重心，设OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r ＝c ，试用向量a 、b 、c 表示向量GH u u u r .[思路点拨] GH u u u r ＝OH u u u r －OG u u u r →用OD u u u r 表示OH u u u r →用OB u u u r、OC u u u r表示OD u u u r ，用OA u u u r 、AG u u u r 表示OG u u u r →用AD u u u r表示AG u u u r →用OD u u u r 、OA u u u r 表示AD u u u r用OB u u u r 、OC u u u r 表示OD u u u r[精解详析] GH u u u r ＝OH u u u r －OG u u u r ，∵OH u u u r ＝23OD u u u r，∴OH u u u r ＝23×12(OB u u u r ＋OC u u u r )＝13(b ＋c )，OG u u u r ＝OA u u u r ＋AG u u u r ＝OA u u u r ＋23AD u u u r＝OA u u u r ＋23(OD u u u r －OA u u u r )＝13OA u u u r ＋23×12(OB u u u r ＋OC u u u r )＝13a ＋13(b ＋c )， ∴GH u u u r ＝13(b ＋c )－13a －13(b ＋c )＝－13a ，即GH u u u r ＝－13a .[一点通]用基底表示向量的方法及注意的问题：(1)结合已知条件与所求结论，观察图形，就近表示所需向量．(2)对照目标，将不符合目标要求的向量作为新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止．(3)在进行向量的拆分过程中要正确使用三角形法则及平行四边形法则．3. 如图，已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x 、y 、z 的值．(1)BD 'u u u r ＝x AD u u u r ＋y AB u u u r ＋z AA 'u u u r ； (2)AE u u u r ＝x AD u u u r ＋y AB u u u r ＋z AA 'u u u r .解：(1)∵BD 'u u u r ＝BD u u u r ＋DD 'u u u u r＝BA u u u r ＋BC u u u r ＋DD 'u u u u r＝－AB u u u r ＋AD u u u r ＋AA 'u u u r ， 又BD 'u u u r ＝x AD u u u r ＋y AB u u u r ＋z AA 'u u u r ，∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)∵AE u u u r ＝AA 'u u u r ＋A E 'u u u u r ＝AA 'u u u r ＋12A C ''u u u ur＝AA 'u u u r ＋12(A B ''u u u u r ＋A D ''u u u u r )＝AA 'u u u r ＋12A B ''u u u u r ＋12A D ''u u u u r＝12AD u u ur ＋12AB u u u r ＋AA 'u u u r 又AE u u u r ＝x AD u u u r ＋y AB u u u r ＋z AA 'u u u r∴x ＝12，y ＝12，z ＝1.4．如图，四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA u u u r ＝a ，OC u u u r ＝b ，OP u u u r＝c ，E ，F分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：BF u u u r ，BE u u u r ，AE u u u r ，EF u u u r.解：连接BO ，则BF u u u r ＝12BP u u u r ＝12(BO u u u r ＋OP u u u r )＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c .BE u u u r ＝BC u u u r ＋CE u u u r ＝－a ＋12CP u u u r ＝－a ＋12(CO u u u r ＋OP u u u r )＝－a －12b ＋12c .AE u u u r ＝AP u u u r ＋PE u u u r ＝AO u u u r ＋OP u u u r ＋12(PO u u u r ＋OC u u u r )＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c . EF u u u r ＝12CB u u ur ＝12OA u u u r ＝12a.空间向量基本定理的应用[例3] 证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点互相平分．[思路点拨] 利用空间向量基本定理，只要证明四条对角线的中点与A 点所构成的向量的线性表示是同一种形式即可．[精解详析] 如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，设点O是AC 1的中点，则AO u u u r ＝121AC u u u u r＝12(AB u u ur ＋BC u u u r ＋1CC u u u u r ) ＝12(AB u u ur ＋AD u u u r ＋1AA u u u u r )， 设P ，M ，N 分别是BD 1，CA 1，DB 1的中点，则AP u u u r ＝AB u u u r ＋BP u u u r ＝AB u u u r ＋121BD u u uu r＝AB u u u r ＋12(BA u u u r ＋AD u u u r ＋1DD u u u ur )＝AB u u u r ＋12(－AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u u u r )＝12(AB u u u r ＋AD u u u r ＋AA u u u r1)，同理可证：AM u u u u r ＝12(AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u u u r )，AN u u u r ＝12(AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u u u r)．由此可知，O ，P ，M ，N 四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分． [一点通]用空间向量基本定理证明立体几何问题的步骤： (1)作出空间几何体的图形；(2)将立体几何问题转化为空间向量问题，选取一组不共面的向量作基底； (3)用基向量将其它向量表示出来；(4)利用向量的性质得到向量的关系，进而得到几何结论．5．求证：在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC u u u r ＋1AB u u u u r ＋1AD u u u u r ＝21AC u u u u r.证明：因为平行六面体的六个面均为平行四边形，所以AC u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r， 1AB u u u u r ＝AB u u u r ＋1AA u u u u r ，1AD u u u u r ＝AD u u u r ＋1AA u u u u r ， ∴AC u u u r ＋1AB u u u u r ＋1AD u u u u r＝(AB u u u r ＋AD u u u r )＋(AB u u u r ＋1AA u u uu r )＋(1AD u u u u r ＋1AA u u u u r )＝2(AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u uu r )，又1AA u u u u r ＝1CC u u u u r ，AD u u u r ＝BC u u ur ，∴AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u u u r ＝AB u u u r ＋BC u u u r ＋1CC u u u u r ＝1AC u u u u r， ∴AC u u u r ＋1AB u u u u r ＋1AD u u u u r ＝21AC u u u u r .6．如图，M 、N 分别是四面体O -ABC 的边OA 、BC 的中点，P 、Q 是MN 的三等分点，用向量OA u u u r 、OB u u u r、OC u u u r 表示OP u u u r 和OQ u u u r .解：OP u u u r ＝OM u u u u r ＋MP u u u r ＝12OA u u u r ＋23MN u u u u r＝12OA u uu r ＋23(ON u u u r －OM u u u u r )＝12OA u u u r ＋23(ON u u u r －12OA u u u r ) ＝16OA u uu r ＋23×12(OB u u u r ＋OC u u u r )＝16OA u u u r ＋13OB u u u r ＋13OC u u u r . OQ u u u r ＝OM u u u u r ＋MQ u u u u r ＝12OA u u u r ＋13MN u u u u r＝12OA u uu r ＋13(ON u u u r －OM u u u u r )＝12OA u u u r ＋13(ON u u u r －12OA u u u r ) ＝13OA u uu r ＋13×12(OB u u u r ＋OC u u u r )＝13OA u u u r ＋16OB u u u r ＋16OC u u u r .1．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量组{a ，b ，c }可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的．2．空间任意三个不共面的向量a 、b 、c 皆可构成空间向量的一个基底，因此，基底有无数个，所以基底往往选择具有特殊关系的三个不共面向量作为基底．3．由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个基向量中，就隐含着它们都不是0.[对应课时跟踪训练(二十)]1．空间中的四个向量a ，b ，c ，d 最多能构成基底的个数是________．解析：当四个向量任何三个向量都不共面时，每三个就可构成一个基底，共有4组． 答案：4若AE u u u r ＝122.如图所示，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，OD u u u r ＋x OB u u u r ＋y OA u u u r，则x ＝________，y ＝________.解析：∵AE u u u r ＝OE u u ur －OA u u u r＝12OC u u ur －OA u u u r ＝12(OD u u ur ＋DC u u u r )－OA u u u r ＝12OD u u ur ＋12AB u u u r －OA u u u r ＝12OD u u ur ＋12(OB u u u r －OA u u u r )－OA u u u r ＝12OD u u ur ＋12OB u u u r －32OA u u u r ， ∴x ＝12，y ＝－32.答案：12 －323．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC 、OB ，M 、N 分别是OA 、BC 的中点，点G 是MN 的中点，取{OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r }为基底，则OG u u u r＝________.解析： 如图，OG u u u r ＝12(OM u u u u r ＋ON u u u r)＝12OM u u uu r ＋12×12(OB u u u r ＋OC u u u r ) ＝14OA u uu r ＋14OB u u u r ＋14OC u u u r ＝14(OA u uu r ＋OB u u u r ＋OC u u u r )． 答案：14(OA u uu r ＋OB u u u r ＋OC u u u r )4．平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC 'u u u u r ＝x AB u u u r＋2y BC u u u r －3z CC 'u u u r ，则x ＋y ＋z ＝________.解析：∵AC 'u u u u r ＝AB u u u r ＋BC u u u r ＋CC 'u u u r ＝x AB u u u r＋2y BC u u u r －3z CC 'u u u r ，∴x ＝1,2y ＝1，－3z ＝1， 即x ＝1，y ＝12，z ＝－13.∴x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76.答案：765．设a 、b 、c 是三个不共面向量，现从①a ＋b ，②a －b ，③a ＋c ，④b ＋c ，⑤a ＋b －c 中选出一个使其与a 、b 构成空间向量的一个基底，则可以选择的向量为______(填写序号)．解析：根据基底的定义，∵a ，b ，c 不共面， ∴a ＋c ，b ＋c ，a ＋b －c 都能与a ，b 构成基底． 答案：③④⑤6．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝αa ＋β b ＋γc ，求α、β、γ的值．解：由题意a 、b 、c 为三个不共面的向量，所以由空间向量定理可知必然存在惟一的有序实数对{α，β，γ}，使d ＝αa ＋β b ＋γc ，∴d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3) ＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3. 又∵d ＝e 1＋2e 2＋3e 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝52，β＝－1，γ＝－12.7.如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AC 和A 1D 的一个三等分点，且AM MC ＝12，A 1NND＝2，设AB u u u r ＝a ，AD u u u r ＝b ，1AA u u u u r ＝c ，试用a ，b ，c 表示MN u u u u r .解：如图所示，连接AN ，则MN u u u u r ＝MA u u u r ＋AN u u u r由ABCD 是平行四边形，可知AC u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r＝a ＋b ，MA u u u r ＝－13AC u u u r ＝－13(a ＋b )．ND u u u r ＝131A D u u uu r ＝13(b －c )，AN u u u r ＝AD u u u r ＋DN u u u r ＝AD u u u r －ND u u u r ＝b －13(b －c )＝13(c ＋2b )， 所以MN u u u u r ＝MA u u u r ＋AN u u u r＝－13(a ＋b )＋13(c ＋2b )＝13(－a ＋b ＋c )． 8．如图所示，平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′，且OA u u u r ＝a ，OC u u u r ＝b ，OO 'u u u r＝c ，用a ，b ，c 表示如下向量：(1) OB 'u u u r 、O B 'u u u u r 、AC 'u u u u r ； (2)GH u u u r(G 、H 分别是B ′C 和O ′B ′的中点)．解：(1)OB u u u r ′＝OB u u u r ＋BB 'u u u r ＝OA u u ur ＋OC u u u r ＋OO 'u u u r ＝a ＋b ＋c ， O B 'u u u u r ＝O O 'u u u u r ＋OB u u u r ＝O O 'u u u u r ＋OA u u u r ＋OC u u u r ＝－c ＋a ＋b ＝a ＋b －c ，AC 'u u u u r ＝AC u u u r ＋CC u u u r ′＝AB u u u r ＋AO u u u r ＋AA 'u u u r＝OC u u u r ＋AA 'u u u r －OA u u ur ＝b ＋c －a . (2)GH u u u r ＝GO u u u r ＋OH u u u r ＝－OG u u u r ＋OH u u u r＝－12(OB u u ur ′＋OC u u u r )＋12(OB 'u u u r ＋OO 'u u u r )＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c )＝12(c －b )．。