2014-2015学年度山东省滕州市实验中学高三数学第一学期期中试题

2014-2015学年度山东省滕州市实验中学高三第一学期期中考试数学试题第Ⅰ卷（60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合A={2|320x x x -+=}，则满足AB={0，1，2}的集合B 的个数是 A ．1B ．3C ．4D ．62．已知b a >，则下列不等式一定成立的是A ．33->-b aB ．bc ac >C ．cbc a <D ．32+>+b a 3．已知b a,是两个非零向量，给定命题b a b a p =⋅:，命题R t q ∈∃:，使得b t a =，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，13213,,22a a a 成等差数列，则=++1081311a a a a A ．27B ．3C ．1-或3D ．1或275．函数)(x f 的定义域为]1,0(，则函数)2(lg 2xx f +的定义域为 A ．]4,5[-B ．)2,5[--C ．]4,1[]2,5[ --D ．]4,1()2,5[ --6．已知33)6cos(-=-πx ,则=-+)3cos(cos πx xA ．332-B ．332±C ．1-D ．1±7．已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by x y x x ，记目标函数2z x y =+的最小值为1，最大值为7，则,b c 的值分别为A ．-1，-2B ．-2，-1C ．1，2D ．1，-28．已知等比数列{}n a 满足n a ＞0，n ＝1,2，…，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当n ≥1时，2122221log log log n a a a -++⋅⋅⋅+＝A ．n （2n －1）B ．（n ＋1）2C ．n 2D ．（n －1）29．已知x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且函数f （x ）＝1＋2sin 2x sin 2x的最小值为b ，若函数g （x ）＝⎩⎨⎧－1⎝⎛⎭⎫π4＜x ＜π28x 2－6bx ＋4⎝⎛⎭⎫0＜x ≤π4，则不等式g （x ）≤1的解集为A ．⎝⎛⎭⎫π4，π2B ．⎝⎛⎦⎤π4，32C ．⎣⎡⎦⎤34，32D ．⎣⎡⎭⎫34，π2 10．设F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为AB C ．2D11．若曲线f （x ，y ）＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f （x ，y ）＝0的“自公切线”．下列方程：①x 2－y 2＝1；②y ＝x 2－|x |；③y ＝3sin x ＋4cos x ；④|x |＋1＝4－y 2对应的曲线中存在“自公切线”的有A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④12．函数()32f x x ax bx c =+++，在定义域[]2,2x ∈-上表示的曲线过原点，且在1x =±处的切线斜率均为1-．有以下命题：①()f x 是奇函数；②若()[],f x s t 在内递减，则t s -的最大值为4；③()f x 的最大值为M ，最小值为m ，则=0M m +；④若对[]()2,2x k f x '∀∈-≤，恒成立，则k 的最大值为2．其中正确命题的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分． 13．若函数()f x 在R 上可导，()()321f x x x f '=+，则()2f x dx =⎰ ．14．若0,0,x y ≥≥且21x y +=，则223x y +的最小值为 ．15．抛物线C 的顶点在原点，焦点F 与双曲线16322=-y x 的右焦点重合，过点P （2,0）且斜率为1的直线与抛物线C 交于A,B 两点，则弦AB 的中点到抛物线准线的距离为_______16．对于实数a,b,定义运算""*：⎩⎨⎧>-≤-=*)()(22b a ab b b a ab a b a 设)1()12()(-*-=x x x f ，且关于x 的方程)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的实数根321,,x x x ，则321x x x 的取值范围是___________三、解答题：本大题共六个大题，满分70；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分） （1）已知1411)cos(,71cos -=+=βαα，且)2,0(,πβα∈，求βcos 的值； （2）已知α为第二象限角，且42sin =α，求1)2sin(2cos )4cos(+---παααπ的值． 18．（本题满分12分）在锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，2sin 0c A -=．（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若2,a b c =+求的最大值． 19．（本题满分12分）设数列}{n a 是等差数列，数列}{n b 的前n 项和n S 满足)1(23-=n n b S 且2512,b a b a == （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式：（Ⅱ）设,n n n c a b =⋅，设n T 为{}n c 的前n 项和，求n T ． 20．（本题满分12分）设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率21=e ，右焦点到直线1=+b ya x 的距离721=d ，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于A,B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值，并求弦AB 长度的最小值。

2014-2015学年度上学期期中考试高三数学试卷一、选择题：有且仅有一个正确选项，每小题5分，共50分。

1.150cos 的值等于（ ）A. 23B. 21C.21-D.23-2. 设A 、B 是非空集合，则“B A ⊆”是“B B A = ”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件21世纪教育网C. 充要条件D. 不充分不必要条件3. 已知数列{}n a 的前n 项和()12-=n n a S ，那么=9a （ ）A. 128B. 256C. 512D. 10244. 设a 、b 是两个非零向量，则b a//的一个充分不必要条件是（ ）A. 0=⋅b aB. 0 =+b aC.ba =D. 存在R ∈λ，使b aλ=5. 设偶函数()x f 满足()()083≥-=x x x f ，则集合(){}=>-03|x f x （ ） A. ()()+∞∞-,51, B. ()5,1 C. ()()+∞∞-,40,D. ()4,06.要得到函数x y sin =的图象，只需将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6cos πx y 的图象（ ） A. 向右平移3π个单位B. 向右平移6π个单位 C. 向左平移3π个单位D. 向左平移6π个单位7. 锐角ABC ∆中，()53sin =+B A ，()51sin =-B A ，则=⋅B A cot tan （ ） A. 21B. 2C. 3D. 318. 定义在R 上的函数()x f 存在导函数()x f y '=，如果1x ，R x ∈2，21x x <，且 ()()x f x f x ->'对一切R x ∈恒成立，那么下列不等式一定成立的是（ ）A. ()()2211x f x x f x >B. ()()2211x f x x f x <C. ()()1221x f x x f x >D. ()()1221x f x x f x <21世纪教育网第II 卷 （非选择题，满分100分）二、填空题：把最后结果写在答卷上，每小题5分，共25分。

二〇一五届高三定时训练数学文科试题参考答案及评分标准 2014.11一、选择题（每小题5分,共50分）二、填空题(每小题5分,共25分) 11．e312．1-=x y 13．4 14．83π 15．75 三、解答题(共75分)(注意：答案仅提供一种解法，学生的其他正确解法应依据本评分标准，酌情赋分.) 16．解：（1）在△ABC 中,由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A +=,………………………2分 即sin (sin cos )0B A A +=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠所以sin cos 0A A +=)04A π+=， …………………………………4分又因为(0,)A π∈，所以34A π=. …………………………………6分 （2）在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅，则2512(c c =+-⋅……………………………8分即240c -=，解得c =-或c =10分又1sin 2S bc A =，所以111222S =⨯=. ………………………………12分 17．解：设函数()m x m x x x g --⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=412122，所以()x g 在[1,2]上是增函数，其最小值为()m g -=21，由20x x m +->在[1,2]x ∈上恒成立，因此只要20m ->即可，所以2m <． ………………………………3分又因为2y x =在[0,)+∞上是增函数，1y x =-在(,0)-∞上也是增函数，且10-<，所以()f x 在R 上是增函数，由2()(2)f m f m >+可得22m m >+，解得2m >或1m <-. ……………………………………6分 若p q ∨为真，p q ∧为假，所以p 与q 一真一假 …………………………………7分 若p 真q 假，应有2,12,m m <⎧⎨-≤≤⎩所以12m -≤<； …………………………………9分若p 假q 真，应有2,21,m m m ≥⎧⎨><-⎩或所以2m >； ………………………………11分因此m 的范围是1m ≥-且2m ≠. ……………………………………12分18．解：（1）由已知得=)(x f a ⋅b x x x x cos sin 32sin cos 22+-==cos 222sin(2)6x x x π+=+， ……………………………………3分)(x f 的最小正周期ππ==22T . ……………………………………4分 令226222πππππ+≤+≤-k x k ,Z ∈k ，可得63ππππ+≤≤-k x k （Z ∈k ）,则)(x f 的单调递增区间为]6,3[ππππ+-k k （Z ∈k ）.………………………6分（2）由1310)(=x f 得5sin(2)613x π+=， ……………………………………7分 由,46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得]2,3[62πππ-∈+x ，所以1312)62(sin 1)62cos(2=+-=+ππx x ， ………………………………9分 sin 2sin(2)sin(2)cos cos(2)sin 666666x x x x ππππππ=+-=+-+＝51211213213226⨯-⨯=. ……………………………………12分19．解：（1）当800<<x ，*N ∈x 时，2504031250)(50)(2-+-=--=x x x C x x L ,……………………………………2分 当80≥x ，*N ∈x 时，)100001200250)(50)(xx x C x x L +-=--=（,……………………………………4分 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥+-∈<<-+-=.,80 )10000(1200,,800 2504031)(**2N N x x x x x x x x x L ，， ………………………6分（2）当800<<x ，*N ∈x 时，9506031)(2+--=）（x x L此时，当60=x 时，)(x L 取得最大值950)60(=L ,………………………………8分当80≥x ，*N ∈x 时，由,20010000≥+xx 当且仅当100=x 时取等号； 此时1000)(≤x L ，即当100=x 时，)(x L 取得最大值1000)100(=L ，………10分 因为,9501000>所以年产量为100千件时，最大利润是1000万元. ………………………………12分 20. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为,d则()n d a n d d n n na S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=2221121，又，q pn n S n ++=2 所以0,2,121==-=q p da d ，可得0,1,21=-==q a p d ，又532,,a a a 成等比数列，所以5223a a a =，即()()()8241121++=+a a a ，解得01=a ，所以1-=p .………………………6分(2)由（1）知22-=n a n ，又,log log 22n n b n a =+则142-⋅=⋅=n a n n n b n，………………………………8分所以12021443424-⋅++⨯+⨯+=+++=n n n n b b b T 则n n n T 443424432⋅++⨯+⨯+= ， 两式相减可得()31431444443121--=⋅-++++=--n nn n n n T ，所以()[]141391+-=n n n T . ………………………………13分 21．解：(1) 当1-=a 时，()x x x f ln +-=，定义域为()∞+，0， ()xxx x f -=+-='111， ………………………………1分 令()0>'x f ，得10<<x ；令()0<'x f ，得1>x ． ………………………………2分 所以)(x f 在()1,0上是增函数，在()∞+，1上是减函数. ………………………………3分 (2) 由已知得()(]e x x a x f ,0,1∈+='，1x ∈1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，……………………………4分 ① 若1a e≥-，则(),0≥'x f 从而)(x f 在(]e ,0上为增函数，此时，)(x f 的最大值为(),01≥+=ae e f 不合题意．………………………………6分 ② 若1a e <-，由(),0>'x f 得10x a <<-，由0)(<'x f 得1x e a-<<， 从而)(x f 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数，在1,e a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数， 此时，)(x f 的最大值为)1ln(1)1(aaf -+-=-，……………………………………8分 令3)1ln(1-=-+-a ，得2)1ln(-=-a ，21-=-e a，2e a -=， 又2e -<1e-，所以2a e =-. ………………………………………………9分 (3) 由(1)知当1-=a 时，)(x f 的最大值为()11-=f ，所以1|)(|≥x f , ………………………10分令21ln )(+=x x x g ，2ln 1)('x xx g -=, …………………………………………11分 令()0>'x g ，得e x <<0，()x g 在()e ,0单调递增；令()0>'x g ，得e x >，()x g 在()+∞,e 单调递减． …………………………… 12分 ()x g 的最大值为1211)(<+=e e g ，即()1<x g . ………………………………13分 因此()()x g xf > ，即21ln |)(|+>x x x f ， 从而方程21ln |)(|+=x x x f 没有实数解. ……………………………………14分。

山东省枣庄市滕州二中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域作答．1．集合 A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，C={z|z=xy，x∈A且y∈B}，则集合C中的元素个数为( )A．3 B．11 C．8 D．12考点：集合的表示法．专题：集合．分析：根据题意和z=xy，x∈A且y∈B，利用列举法求出集合C，再求出集合C中的元素个数．解答：解：由题意得，A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，C={z|z=xy，x∈A且y∈B}，当x=1时，z=1或2或3；当x=2时，z=2或4或6；当x=3时，z=3或6或9；当x=4时，z=4或8或12；当x=5时，z=5或10或15；所以C={1，2，3，4，6，8，9，12，5，10，15}中的元素个数为11，故选：B．点评：本题考查集合元素的三要素中的互异性，注意集合中元素的性质，属于基础题．2．直线的倾斜角α=( )A．30°B．60°C．120°D．150°考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求．解答：解：可得直线的斜率为k==，由斜率和倾斜角的关系可得tanα=，又∵0°≤α≤180°∴α=30°故选A点评：本题考查直线的倾斜角，由直线的方程求出直线的斜率是解决问题的关键，属基础题．3．直线x=t（t＞0）与函数f（x）=x2+1，g（x）=lnx的图象分别交于A、B两点，当|AB|最小时，t值是( )A．1 B．C．D．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；两点间距离公式的应用．专题：压轴题．分析：将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．解答：解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx+1，求导数得y′=2x﹣=当0＜x＜时，y′＜0，函数在（0，）上为单调减函数，当x＞时，y′＞0，函数在（，+∞）上为单调增函数所以当x=时，所设函数的最小值为+ln2，所求t的值为．故选B．点评：可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．4．已知，则f（log23）=( )A．B．C．D．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值；对数的运算性质．专题：计算题．分析：本题考查分段函数求值，以及对数的运算性质与指数的运算性质，需先判断log23的取值范围，然后代入相应的解析式求值解答：解：由题意的，，∵2=log24＞log23＞log22=1，∴f（log23）=f（1+log23）=f（2+log23）=f（3+log23）=（）3+log23=故选B．点评：本题对对数积的运算性质连续运用，并且在解题过程中须注意自变量取值范围的判断，是分段函数与对数运算性质、指数运算性质综合考查的一道好题．5．若方程lnx+x﹣5=0在区间（a，b）（a，b∈Z，且b﹣a=1）上有一实根，则a的值为( ) A．5 B．4 C．3 D．2考点：二分法的定义．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：令f（x）=lnx+x﹣5，则函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，由题意可得f（a）=lna+a ﹣5＜0，且f（a+1）=ln（a+1）+a+1﹣5＞0，结合所给的选项，可得结论．解答：解：令f（x）=lnx+x﹣5，则函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．再由f（a）f（a+1）＜0可得 f（a）=lna+a﹣5＜0，且f（a+1）=ln（a+1）+a+1﹣5＞0．经检验，a=3满足条件，故选：C．点评：本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．6．函数y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，φ＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数的表达式为( )A．B．C． D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：通过函数的表达式的形式结合图象，求出B，A，求出函数的周期，得到ω，函数经过（2，3）以及φ的范围求出φ的值，得到选项．解答：解：由题意可知A=2，B=1，T==6，ω==，因为函数经过（2，3）所以3=2sin（×2+φ）+1，|φ|＜，φ=﹣，所以函数的表达式为；故选A．点评：本题考查三角函数的解析式的求法，函数图象的应用，注意周期的求法以及φ的求法是本题的关键，考查计算能力．7．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•2…（2n﹣1）（n∈N+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是( )A．2k+1 B．2k+3 C．2（2k+1）D．2（2k+3）考点：数学归纳法．专题：证明题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：分别求出n=k时左边的式子，n=k+1时左边的式子，用n=k+1时左边的式子，除以n=k 时左边的式子，即得所求．解答：解：当n=k时，左边等于（k+1）（k+2）…（k+k）=（k+1）（k+2）…（2k），当n=k+1时，左边等于（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是=2（2k+1），故选：C．点评：本题考查用数学归纳法证明等式，用n=k+1时，左边的式子除以n=k时，左边的式子，即得所求．8．若正数x，y满足x+y=1，且≥4对任意x，y∈（0，1）恒成立，则a的取值范围是( )A．（0，4] B． D．∴③满足条件，∴③正确．④h（x）=g（x）﹣f（x）=x﹣lnx，（x＞0），h′（x）=1﹣，令h′（x）＞0，可得x＞1，令h′（x）＜0，可得0＜x＜1，∴x=1时，函数取得极小值，且为最小值，最小值为h（1）=1﹣0=1，∴g（x）﹣f（x）≥1，∴当x0=1时，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1的x0唯一，∴④满足条件．故选：C．点评：本题主要考查对新定义的理解与运用，考查函数最值的判断，综合性较强，难度较大，考查学生分析问题的能力．二、填空题：本大题分必做题和选做题．（一）必做题：共4小题，每小题4分，满分16分．11．函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在上的最小值是﹣15．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：先求导y′=6x2﹣6x﹣12=6（x﹣2）（x+1），从而判断函数的单调性，再求最小值即可．解答：解：y′=6x2﹣6x﹣12=6（x﹣2）（x+1），则y=2x3﹣3x2﹣12x++5在上单调递减，在上单调递增，∴y min=2×8﹣3×4﹣12×2+5=﹣15．故答案为：﹣15．点评：本题考查了导数的应用，属于基础题．12．（文）若实数x，y满足则s=x+y的最大值为9．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数s=x+y的最大值．解答：解：满足约束条件的可行域，如图中阴影所示，由图易得：当x=4，y=5时，s=x+y=4+5=9为最大值．故答案为：9．点评：在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．13．在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=88．考点：等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质知S11=（a1+a11）=，由此能够求出结果．解答：解：等差数列{a n}中，∵a4+a8=16，∴S11=（a1+a11）===88．故答案为：88．点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．14．已知函数f（x）=e x﹣x2的导函数为f′（x），y=f（x）与y=f′（x）在同一直角坐标系下的部分图象如图所示，若方程f′（x）﹣f（a）=0在x∈（﹣∞，a]上有两解，则实数a 的取值范围是在（ln2，+∞）单调递增，要使满足题意，则由（1），（3）可知a≥2设h（a）=2﹣2ln2﹣e a+a2，h′（a）=﹣e a+2a＜0在a≥2恒成立，所以h（a）=2﹣2ln2﹣e a+a2在（二）选做题：本题设有三个选考题，请考生任选2题作答，并在答题卡的相应位置填写答案，如果多做，则按所做的前两题计分，满分5分．（选修4-2：矩阵与变换）15．设矩阵A=，B=（）（t为参数），则（AB）﹣1=．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：AB=，设=，可得=，解出即可．解答：解：AB=，设=，∴=，解得a=6，b=﹣2，c=3，d=﹣1，∴（AB）﹣1=．故答案为：．点评：本题考查了矩阵的运算、逆矩阵的求法，考查了计算能力，属于基础题．（选修4-4：极坐标与参数方程）16．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R），曲线C的参数方程为（θ为参数）．若直线l与曲线C交于A，B两点，则|AB|=．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：先将直线l的极坐标方程化为普通方程，再将曲线C的参数方程化为普通方程，再利用两曲线的方程解答：解：∵直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R），∴直线l的普通方程为：y=x．∵曲线C的参数方程为（θ为参数），∴曲线C的普通方程为：（x﹣1）2+y2=4．∵直线l与曲线C交于A，B两点，∴圆心（1，0）到直线l：x﹣y=0的距离为：，∴|AB|=2=2=．故答案为：．点评：本题考查了极坐标方程、参数方程转化为普通方程，还考查了求圆中的弦长，本题难度不大，属于基础题．（选修4-5：不等式选讲）17．函数y=的最大值等于2．考点：基本不等式．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由于y≥0，考虑平方法，化简整理，再由二次函数的值域，即可得到最大值．解答：解：由于y≥0，则y2=x﹣1+5﹣x+2=4+2=4+2当x=3时，y2取最大值4+2×2=8，即有y的最大值为2．故答案为：点评：本题考查函数的最值，考查可化为二次函数的最值的方法，注意运用平方法，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．18．函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为集合A，函数g（x）=2x﹣a（x≤2）的值域为集合B．（1）求集合A，B；（2）若集合A，B满足A∪B=A，求实数a的取值范围．考点：对数函数的定义域；并集及其运算；函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）解一元二次不等式求得A，再由x≤2，指数函数的单调性求得函数g（x）的值域B．（Ⅱ）由A∪B=A可得B⊆A，从而得到4﹣a＜﹣1或﹣a≥3，由此求得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）A={x|x2﹣2x﹣3}={x|（x﹣3）（x+1）＞0}={x|x＜﹣1，或 x＞3}，再由x≤2，可得 0＜2x≤22=4，∴函数g（x）=2x﹣a≤4﹣a，求g（x）=2x﹣a＞0﹣a=﹣a．故B=（﹣a，4﹣a]．（Ⅱ）∵A∪B=A；∴B⊆A，∴4﹣a＜﹣1或﹣a≥3，解得 a＞5或a≤﹣3，∴实数a的取值范围为{a|a＞5，或a≤﹣3}．点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，指数函数的单调性的应用，求函数的值域，两个集合间的包含关系，属于基础题．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求sinC；（2）若c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算；二倍角的正弦．专题：计算题．分析：（1）利用同角三角函数关系及三角形内角的范围可求；（2）利用正弦定理可知b=2a，再利用余弦定理，从而求出a、b的值，进而可求面积．解答：解：（1）由题意，，∴（2）由sinB=2sinA可知b=2a，又22=a2+b2﹣2abcosC，∴a=1，b=2，∴点评：此题考查学生灵活运用三角形的面积公式，灵活运用正弦、余弦定理求值，是一道基础题题．20．数列{a n}的前n项和为S n=2n+1﹣2，数列{b n}是首项为a1，公差为d（d≠0）的等差数列，且b1，b3，b9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用公式，能求出数列{a n}的通项公式；利用等差数列的通项公式和等比数列的性质能求出数列{b n}的通项公式．（Ⅱ）由c n=，利用裂项求和法能求出数列{c n}的前n项和．解答：解：（Ⅰ）因为S n=2n+1﹣2，所以，当n=1时，a1=S1=21+1﹣2=2=21，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n+1﹣2n=2n，又a1=S1=21+1﹣2=2=21，也满足上式，所以数列{a n}的通项公式为．b1=a1=2，设公差为d，则由b1，b3，b9成等比数列，得（2+2d）2=2×（2+8d），解得d=0（舍去）或d=2，所以数列{b n}的通项公式为b n=2n．（Ⅱ）c n=数列{c n}的前n项和：T n==1﹣=1﹣=．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列前n项和的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．21．已知向量；令，（1）求f（x）解析式及单调递增区间；（2）若，求函数f（x）的最大值和最小值；（3）若f（x）=，求的值．考点：平面向量的综合题；三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性；三角函数的最值．专题：综合题．分析：（1）由向量，知==++2，由此能求出f（x）解析式及单调递增区间．（2）由f（x）=2+2cos（x+），，知，由此能求出f（x）=2+2cos（x+）的最大值和最小值．（3）由f（x）=，知，由此能够求出的值．解答：解：（1）∵向量，∴==++2=2+2cos（x+），增区间是：﹣π+2kπ，k∈Z，∴，k∈Z，∴f（x）解析式为f（x）=2+2cos（x+），单调递增区间是，k∈Z．（2）∵f（x）=2+2cos（x+），，∴，∴当时，f（x）=2+2cos（x+）有最大值2+；当时，f（x）=2+2cos（x+）有最小值2﹣．（3）∵f（x）=，∴，所以．点评：本题考查平面向量的综合应用，综合性强，难度大，是2015届高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等式的灵活运用，合理地进行等价转化．22．如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？考点：基本不等式；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：（Ⅰ）求当t=时，直路l所在的直线方程，即求抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）在x=时的切线方程，利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（Ⅱ）求出x=t时的抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t＜）上的极大值，也就是最大值．解答：解：（I）∵y=﹣x2+2，∴y′=﹣2x，∴过点M（t，﹣t2+2）的切线的斜率为﹣2t，所以，过点M的切线方程为y﹣（﹣t2+2）=﹣2t（x﹣t），即y=﹣2tx+t2+2，当t=时，切线l的方程为y=﹣x+，即当t=时，直路l所在的直线方程为12x+9y﹣22=0；（Ⅱ）由（I）知，切线l的方程为y=﹣2tx+t2+2，令y=2，得x=，故切线l与线段AB交点为F（），令y=0，得x=，故切线l与线段OC交点为（）．地块OABC在切线l右上部分为三角形FBG，如图，则地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积为S=（2﹣）×2=4﹣t﹣=4﹣（t+）≤2．当且仅当t=1时，取等号．∴当t=100米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为20000平方米．点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，在实际问题中，函数在定义域内仅含一个极值，该极值往往就是最值．属中档题型．23．已知函数f（x）=aln（x+1）﹣ax﹣x2．（Ⅰ）若x=1为函数f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）讨论f（x）在定义域上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意正整数n，ln（n+1）＜2+．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（I）由，f′（1）=0，知，由此能求出a．（Ⅱ）由，令f′（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞），讨论两个根及﹣1的大小关系，即可判定函数的单调性；（Ⅲ）当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x2，由此能够证明ln（n+1）＜2+．解答：解：（1）因为，令f'（1）=0，即，解得a=﹣4，经检验：此时，x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，∴f（x）在x=1处取极大值．满足题意．（2），令f'（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞）①当，即a≥0时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；②当，即﹣2＜a＜0时，若x∈（﹣1，，则f'（x）＜0，f（x）递减；若，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；③当，即a=﹣2时，f'（x）≤0，f（x）在（﹣1，+∞）内递减，④当，即a＜﹣2时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＜0，f（x）递减；若x∈（0，，则f'（x）＞0，f（x）递增；若，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；（3）由（2）知当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x2，∵，∴，i=1，2，3，…，n，∴，∴．点评：本题考查函数极值的意义及利用导数研究函数的单调性，证明：对任意的正整数n．解题时要认真审题，注意导数的合理运用，恰当地利用裂项求和法进行解题．。

2014-2015学年度第一学期期中考试高三数学试卷（理科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合13{|()}xM y y ==，2{|log (1)}N x y x ==-，则M R N =（ ） A ．（0，1） B ．(]0,1 C ．(1,)+∞ D ．（0，+∞）2．若120a b <<<，则（ ）A ．22ab a >B ．22ab b >C ．2log ()1ab >-D ．2log ()2ab <-3．等差数列{}n a 的通项公式是12n a n =-，其前项和为n S ，则数列{}nS n的前11项和为( )A ．－44 (B)－66 C ．－55 D ．554．已知函数2()21(0)f x ax ax a =-+<，若12x x <，120x x +=，则1()f x 与2()f x 的大小关系是（ ）A ．1()f x =2()f xB ．1()f x >2()f xC ．1()f x <2()f xD ．与a 的值有关5．抛物线22y x =-上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )A ．98B ．78C ．98-D ．78-6．已知向量a 与b 的夹角为o 60，3a =，13a b +=，则b 等于（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．57．已知m 、n 是两条直线，,,αβγ是三个平面，给出下列四个命题： ①若,,//,m n m n αβ⊥⊥则//αβ； ②若,,//αγβγαβ⊥⊥则；③若βαβα//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④若,m α⊥,n β⊥m n ⊥，则αβ⊥.其中真命题是（ ）A ．①和②B ．①和③C ．③和④D ．①和④8．设函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，且()21y f x =+的图像过点()1,2，则()131y f x -=-的图像必过点（ ）A ．()1,3B ．()3,1C ．()2,3D ．()2,19．已知(,1)AB k =，(2,4)AC =，若k 为满足||4AB ≤的一随机整数．．，则ABC ∆是直角三角形的概率是（ ）A ． 14B ．12C ．37 D ．3410．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、C 分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）11．若AB 是过椭圆22221x y a b+=(0)a b >>中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM ，BM 与坐标轴不平行，1k ，2k 分别为直线AM ，BM 的斜率(其中222c a b =-)，则12k k ⋅=（ ）A ．22c a -B ．22c b -C ．22b a -D ．22a b -12．已知函数3ax y e x =+()a R ∈有大于零的极值点，则( )A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-二、填空题(4×4′=16分)：13．在（51)x 展开式中，1x 的系数是： ；14．抛物线C ：2y x x =-+与直线l ：10x y --=所围成的平面图形的面积是： ；15．过P （－1，2）的直线⎩⎨⎧-=+-=t y tx 4231（t 为参数）与双曲线22(2)1y x --=相交于A 、B 两点，若C 为AB 的中点，则=PC ；E F DIA H GBC EF D AB C侧视 图1图2 BEABEB BECBED16．曲线2cos ρθ=关于直线4πθ=-对称的曲线方程为 ．三、解答题（满分74分）：17．(12分)在ABC ∆中，内角A ，B ，C ，的对边分别为,,a b c ，已知角3,A a π==B=x ，ABC ∆的周长为y ． (1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求函数()y f x =的值域．18．(12分)一个口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5，6的6个大小相同的球，从中任取3个，用ξ表示取出的3个球中的最大编号.(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的数学期望和方差．19．(12分)直三棱柱111ABC-A B C 中，1AC CC 2,AB BC ===，D 是1BA 上一点，且AD ⊥平面1A BC ．（1）求证：BC ⊥平面11ABB A ；（2）求异面直线1A C 与AB 所成角的大小； （3）求二面角1A C B A --余弦值的大小．20．(12分)已知中心在原点的双曲线C 的左焦点为)0,2(-，而C 的右准线方程为23=x .（1）求双曲线C 的方程；（2）若过点)2,0(，斜率为k 的直线与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且满足5OA OB ⋅< （其中O 为原点），求实数k 的取值范围.21．(12分)已知1=x 是函数1)1(3)(23+++-=nx x m mx x f 的一个极值点，0,,<∈m R n m（1）求m 与n 的关系表达式； （2）求函数)(x f 的单调区间；（3）当]1,1[-∈x 时，函数)(x f y =的图象上任意一点的切线斜率恒大于m 3，求m 的取值范围.22．(14分)已知函数()20y x x =≥的图象上有一列点()111,P x y ，()222,P x y ，…，(),n n n P x y ，…，以点n P 为圆心的圆n P 与以点n+1P 为圆心的圆n+1P 外切，且均与x 轴相切．若11x =，且1n n x x +<．（1）求数列{}n x 的通项；（2）圆n P 的面积为n S ，n n T S =+，求证：4n T <.高三数学（理科）参考答案一、选择题BDBCD ADACA CB二、填空题13.-80; 14.43; 15.157; 16.2sin ρθ=-三、解答题17.(1)()263)0,y x x ππ=++∈;(2)(y ∈.18.(1)(2) 214E ξ=; 6380D ξ=.19.(1)略; (2)3π ;.20.(1)2213x y -=;(2)(k ∈.21.(1)36n m =+;(2)单调递减区间()()2,1,1,m -∞++∞；单调递增区间()21,1m +； (3)()43,0m ∈-.22.(1)121n x n =-;(2)1n =时，1n T T =<1n >2n ==<=()111111114223141(1)11n n n n T -⎤<+-+-++-=+-⎤⎦⎦。

2014年山东省滕州市实验中学高三12月考数学理试题第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{11}A x x =-<<，2{log 0}B x x =≤，则AB =（ ）A ．{}11<<-x xB ．{}10<<x xC ．{}11≤<-x xD ．{}1≤x x 2．下列函数中，以为π最小正周期，且在 [0, 4π]上为减函数的是A ．f （x ）=sin2xcos2xB ．f （x ）=2 sin 2x ―1C ．f （x ）= cos 4x ―sin 4xD ．f （x ）=tan （4―x2） 33．设n S 是等3. 差数列{}n a 的前n 项和，若8310S S =+，则11S = A ．12B ．18C ．22D ．444．命题“p q ∨为真”是命题“p q ∧为真”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设曲线()ln 1axy e x =-+在点()0,1处的切线方程为210x y -+=，则a =A ．0B ．1C ．2D ．36．设0,1a b >>，若3121a b a b +=+-，则的最小值为A ．B ．8C ．D ．4+7．函数()()sin ln 2xf x x =+的图象可能是A ．B ．C ．D ．8．将函数()()sin 222f x x ππθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()(),f x g x的图象都经过点0,2P ⎛⎝⎭，则ϕ的值可以是 A ．53πB ．56π C ．2π D ．6π 9．双曲线221x y m-=的离心率2e =，则以双曲线的两条渐近线与抛物线2y mx =的交点为顶点的三角形的面积为AB．C．D．10．已知e 是自然对数的底数，函数()2xf x e x =+-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为b ，则下列不等式成立的是A ．()()()1f f a f b <<B ．()()()1f a f b f <<C ．()()()1f a f f b <<D ．()()()1f b f f a <<第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上． 11．函数()()2log 123f x x x =-+--的定义域为__________．12．若变量,x y 满足约束条件4,2y xx y z x y y k ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩且的最小值为6-，则k =_________．13．已知正方体1111ABCD A BC D -中，点E 是棱11A B 的中点，则直线AE 与平面11BDD B 所成角的正弦值是_________．14．已知圆O 过椭圆22162x y +=的两焦点且关于直线10x y -+=对称，则圆O 的方程为_______．15．如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12,x x ，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x⋅+⋅>⋅+⋅，则称函数()f x 为“H 函数”． 给出下列函数：①2y x =；②1xy e =+；③2sin y x x =-；④()ln ,01,0x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩．以上函数是“H 函数”的所有序号为__________（把所有正确命题的序号都填上）． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知△ABC 中的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且满足()()()sin sin sin ,cos 3.3b a B A bc C C a -+=-== （I ）求sin B ； （II ）求△ABC 的面积． 17．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形， AB//CD,∠ABC=60°,AB=2CB=2．在梯形ACEF 中，EF//AC ，且2AC EF EC =⊥，平面ABCD ．（I ）求证：BC AF ⊥；（II ）若二面角D AF C --为45°，求CE 的长． 18．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为248,40n S a S ==，且．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且*230n n T b n N -+=∈，．（I ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（II ）设n n n a n c b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前n 项和n P ．19．（本小题满分12分）某市近郊有一块大约500500m m ⨯的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S 平方米．（I ）分别用x 表示y 和S 的函数关系式，并给出定义域； （II ）怎样设计能使S 取得最大值，并求出最大值． 20．（本小题满分13分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，右焦点2F 到直线1:340l x y +=的距离为35． （I ）求椭圆C 的方程；（II ）过椭圆右焦点2F 斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 相交于E 、F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE ，AF 分别交直线3x =于点M ，N ，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为k '，求证：k k '⋅为定值． 21．（本小题满分12分）设函数()()12ln 2f x a x ax x=-++． （I ）当0a =时，求()f x 的极值；（II ）设()()[)11g x f x x=-+∞，在，上单调递增，求a 的取值范围；（III ）当0a ≠时，求()f x 的单调区间．参考答案一、选择题（每小题5分，共50分） 1-10CCCBD DABCC 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．(,0)(3,)-∞+∞ 12．2- 1314．22(1)5x y +-= 15．②③ 三、解答题：16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由正弦定理可得()()()b a b a b c c -+=-， ……………2分即222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，……………4分 又0A π<<, 所以3A π=；因为cos 3C =，所以sin 3C =． …………………6分 所以sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+12==……………………8分 （Ⅱ）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a cA C=,=c = ……………………10分 所以ABC ∆的面积113sin 32262S ac B ==⨯⨯=．………12分 17．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在ABC ∆中,2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅=，所以222AB AC BC =+,由勾股定理知90ACB ∠=所以 BC AC ⊥． ……2分又因为 EC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以 BC EC ⊥．………4分 又因为ACEC C = 所以 BC ⊥平面ACEF ，又AF ⊂平面ACEF所以 BC AF ⊥． ………………………6分 （Ⅱ）因为EC ⊥平面ABCD ，又由（Ⅰ）知BC AC ⊥，以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 C xyz -．设=CE h ，则()0,0,0C,)A,(,0,)2F h ，1,0)2D -,1(,0)2AD =--，()AF h =-．……8分 设平面DAF 的法向量为1(,,)x y z =n ，则110,0.AD AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以10,20.x y x hz ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令x =133)2h=-，n ． …………………9分又平面AFC 的法向量2(0,1,0)=n ……………………………10分所以1212cos 452⋅==⋅nn n n ， 解得h = ．……………………11分所以CE ……………………………………12分 18．（ 12分）解：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14,44n a a n d =⎧∴=⎨=⎩． …3分230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥数列{}n b 为等比数列，132n n b -∴=⋅． …………6分（Ⅱ）14 32n n nn c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数． 当n 为偶数时，13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++212(444)6(14)222214nn n n n ++-⋅-=+=+--． ……………9分当n 为奇数时，132241()()n n n n P a a a a b b b --=++++++++1221(44)6(14)2221214n n n n n n -++⋅-=+=++-- ． …………11分12222,221n n nn n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数，为奇数． ………12分19．（12分）解：（Ⅰ）由已知3000xy =，3000y x∴=，其定义域是(6,500)． (4)(6)(210),S x a x a x a =-+-=-又26y a =+，3000661500322y x a x--∴===-， 150015000(210)(3)3030(6)S x x x x=--=-+,其定义域是(6,500)．……………6分 （Ⅱ）150003030(6)3030303023002430S x x =-+=-=-⨯=， 当且仅当150006x x=，即50(6,500)x =∈时，上述不等式等号成立， 此时，50x =，60y =，max 2430S =．答：设计50x m =，60y m = 时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．……12分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得21==a c e35=，………2分 所以1c =，2=a ，所求椭圆方程为13422=+y x ． …………………… 4分 （Ⅱ）设过点()21,0F 的直线l 方程为：)1(-=x k y ，设点),(11y x E ，点),(22y x F ， …………………………………5分将直线l 方程)1(-=x k y 代入椭圆134:22=+y x C ，整理得：01248)34(2222=-+-+k x k x k ………………………………… 6分 因为点P 在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，0∆>恒成立，且3482221+=+k k x x 341242221+-=⋅k k x x …………………………7分 直线AE 的方程为：)2(211--=x x y y ，直线AF 的方程为：)2(222--=x x y y 令3=x ，得点11(3,)2y M x -，22(3,)2y N x -，所以点P 的坐标12121(3,())222yy x x +--， ……………………9分直线2PF 的斜率为)22(41130)22(21'22112211-+-=---+-=x y x yx y x y k4)(24)(32414)(2)(241212121212121211212++-++-⋅=++-+-+=x x x x k x x k x kx x x x x y y y x x y ，……… 11分将34124,34822212221+-=+=+k k x x k k x x 代入上式得：222222224128234134343'412844244343k k k k k k k k k k kk k -⋅-⋅+++=⋅=---+++， 所以'k k ⋅为定值43-． (13)21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为).,0(+∞ ……………1分 当0=a 时，x x x f 1ln 2)(+=，∴.1212)(22x x x x x f -=-=' ………………2分 由0)(='x f 得.1=x )(),(x f x f '随x 变化如下表： 故，2ln 22)2()(-==f x f 极小值，没有极大值． …………………………4分（Ⅱ）由题意，ax x a x g 2ln )2()(+-=，在),1[+∞上单调递增，02222)(≥+-=+-='xa ax a x a x g 在),1[+∞上恒成立， 设022)(≥-+=a ax x h 在),1[+∞上恒成立， ………………………………5分 当0=a 时，02≥恒成立，符合题意． ………………………………………6分 当0>a 时，)(x h 在),1[+∞上单调递增，)(x h 的最小值为022)1(≥-+=a a h ， 得2-≥a ，所以0>a , ………………………………………8分 当0<a 时，)(x h 在),1[+∞上单调递减，不合题意,所以0≥a （也可以用分离变量的方法）……………………………10分（Ⅲ）由题意，221)2(2)(x x a ax x f --+='，令0)(='x f 得a x 11-=，.212=x 10分 若0>a ，由0)(≤'x f 得]21,0(∈x ；由0)(≥'x f 得).,21[+∞∈x …………11分 若0<a ，①当2-<a 时，211<-a ，]1,0(a x -∈或),21[+∞∈x 时，0)(≤'x f ；]21,1[a x -∈时，0)(≥'x f ；②当2-=a 时，0)(≤'x f ；③当02<<-a 时，]21,0(,211∈>-x a 或),1[+∞-∈a x ,0)(≤'x f ;]1,21[ax -∈,.0)(≥'x f …………………………13分综上，当0>a 时，函数的单调递减区间为]21,0(，单调递增区间为),21[+∞；当2-<a 时，函数的单调递减区间为),21[],1,0(+∞-a ，单调递增区间为]21,1[a -；当2-=a 时，函数的单调递减区间为),0(+∞； 当02<<-a 时，函数的单调递减区间为),,1[],21,0(+∞-a 单调递增区间为]1,21[a-． …………………………14分。

2014-2015学年山东省实验中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）设集合，则A∪B=（）A．{x|﹣1≤x＜2}B．C．{x|x＜2}D．{x|1≤x＜2} 2．（5分）已知α∈（π，π），cosα=﹣，则tan（﹣α）等于（）A．7 B．C．﹣ D．﹣73．（5分）下列有关命题的叙述，错误的个数为（）①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题②“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件③命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）下列函数中既是奇函数又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．a＜b C．D．5．（5分）函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．6．（5分）设a=log3π，b=log2，c=log3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a7．（5分）如果方程x2+（m﹣1）x+m2﹣2=0的两个实根一个小于﹣1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是（）A．B．（﹣2，0）C．（﹣2，1）D．（0，1）8．（5分）在△ABC中，若sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），则△ABC的形状一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不含60°角的等腰三角形9．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）＜，则f（x）＜+的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|＜﹣1}C．{x|x＜﹣1或x＞1}D．{x|x＞1} 10．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x﹣1），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题（本题包括5小题，共25分）11．（5分）设g（x）=，则g（g（））=．12．（5分）△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足a2+c2=b2+ac，则B=．13．（5分）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx 的图象，则f（）=．14．（5分）对任意实数x，若不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞k恒成立，则k的取值范围是．15．（5分）若函数f（x）满足∃m∈R，m≠0，对定义域内的任意x，f（x+m）=f（x）+f（m）恒成立，则称f（x）为m函数，现给出下列函数：①y=；②y=2x；③y=sinx；④y=lnx其中为m函数的序号是．（把你认为所有正确的序号都填上）三、解答题（本题包括5小题，共75分）16．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a≠0，q：实数x满足（Ⅰ）若a=1，p且q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．17．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=2sinxsin（﹣x）+sinxcosx+cos2x（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若0≤x≤，求函数f（x）的最值及取得最值时相应x的值．19．（12分）已知函数f（x）=x2+2ax﹣a+2（1）若对于任意x∈R，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若对于任意x∈[﹣1，1]，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）若对于任意a∈[﹣1，1]，x2+2ax﹣a+2＞0恒成立，求实数x的取值范围．20．（12分）已知函数．其图象的两个相邻对称中心的距离为，且过点．（I）函数f（x）的表达式；（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边，，，角C为锐角．且满，求c的值．21．（15分）已知函数f（x）=x2﹣（a+3）x+（2a+2）lnx．（1）函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与2x﹣y+1=0平行，求a的值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若不等式4n2ln（）≤2mn2+1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．2014-2015学年山东省实验中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）设集合，则A∪B=（）A．{x|﹣1≤x＜2}B．C．{x|x＜2}D．{x|1≤x＜2}【解答】解：∵，B={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1}∴A∪B={x|﹣1≤x＜2}，故选：A．2．（5分）已知α∈（π，π），cosα=﹣，则tan（﹣α）等于（）A．7 B．C．﹣ D．﹣7【解答】解：∵α∈（π，π），cosα=﹣，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα==，则tan（﹣α）===．故选：B．3．（5分）下列有关命题的叙述，错误的个数为（）①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题②“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件③命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①若p∨q为真命题，p或q一真命题就真，而P∧Q为真命题，必须两个命题都是真命题，所以①不正确．②“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件，满足前者推出后者，对数后者推不出前者，所以②正确．③命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则﹣p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0；满足特称命题的否定形式，所以③正确．④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”不满足逆否命题的形式，正确应为“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”．所以只有②③正确．故选：B．4．（5分）下列函数中既是奇函数又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．a＜b C．D．【解答】解：y=sinx是奇函数，但在区间[﹣1，1]上单调递增，故A错误；a＜b不是函数的解析式，故B错误；既是奇函数又在区间[﹣1，1]上单调递减，故C正确；为偶函数，故D错误；故选：C．5．（5分）函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．当x＞0时，，当x＜0时，，此时函数图象与当x＞0时函数的图象关于原点对称．故选：B．6．（5分）设a=log3π，b=log2，c=log3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【解答】解：∵∵，故选A7．（5分）如果方程x2+（m﹣1）x+m2﹣2=0的两个实根一个小于﹣1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是（）A．B．（﹣2，0）C．（﹣2，1）D．（0，1）【解答】解：构造函数f（x）=x2+（m﹣1）x+m2﹣2，∵方程x2+（m﹣1）x+m2﹣2=0的两个实根一个小于﹣1，另一个大于1，∴f（1）＜0且f（﹣1）＜0，1+（m﹣1）+m2﹣2＜0 1﹣（m﹣1）+m2﹣2＜0 解得m∈（0，1）∴实数m的取值范围是（0，1）故选：D．8．（5分）在△ABC中，若sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），则△ABC的形状一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不含60°角的等腰三角形【解答】解：∵sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），∴sin（A﹣B）=1﹣2cosAsinB，∴sinAcosB﹣cosAsinB=1﹣2cosAsinB，∴sinAcosB+cosAsinB=1，∴sin（A+B）=1，∴A+B=90°，∴△ABC是直角三角形．故选：B．9．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）＜，则f（x）＜+的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|＜﹣1}C．{x|x＜﹣1或x＞1}D．{x|x＞1}【解答】解：设g（x）=f（x）﹣﹣，则函数的g（x）的导数g′（x）=f′（x）﹣，∵f（x）的导函数f′（x）＜，∴g′（x）=f′（x）﹣＜0，则函数g（x）单调递减，∵f（1）=1，∴g（1）=f（1）﹣﹣=1﹣1=0，则不等式f（x）＜+，等价为g（x）＜0，即g（x）＜g（1），则x＞1，即f（x）＜+的解集{x|x＞1}，故选：D．10．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x﹣1），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：由题意f（1+x）=f（x﹣1）⇒f（x+2）=f（x），故f（x）是周期函数，T=2，令h（x）=f（x）﹣g（x）=0，则f（x）=g（x），在同一坐标系中作y=f（x）和y=g（x）图象，如图所示：故在区间[﹣5，5]内，函数y=f（x）和y=g（x）图象的交点有8个，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为8．故选：C．二、填空题（本题包括5小题，共25分）11．（5分）设g（x）=，则g（g（））=．【解答】解：∵g（x）=，∴g（）=ln=﹣ln2＜0，∴g（g（））=g（﹣ln2）=e﹣ln2==2﹣1=．故答案为：．12．（5分）△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足a2+c2=b2+ac，则B=．【解答】解：由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，以及a2+c2=b2+ac，可得cosB=．B是三角形内角，所以B=．故答案为：．13．（5分）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2ωx+φ）的图象．再把所得图象再向右平移个单位长度得到函数y=sin[2ω（x﹣）+φ）]=sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx的图象，∴2ω=1，且φ﹣ω=2kπ，k∈Z，∴ω=，φ=+2kπ，∴f（x）=sin（x+），∴f（）=sin（+）=sin=．故答案为：．14．（5分）对任意实数x，若不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞k恒成立，则k的取值范围是k＜﹣3．【解答】解：对任意实数x，若不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞k恒成立，而|x+1|﹣|x ﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1对应点的距离减去它到2对应点的距离，其最小值为﹣3，故有k＜﹣3，故答案为k＜﹣3．15．（5分）若函数f（x）满足∃m∈R，m≠0，对定义域内的任意x，f（x+m）=f（x）+f（m）恒成立，则称f（x）为m函数，现给出下列函数：①y=；②y=2x；③y=sinx；④y=lnx其中为m函数的序号是②③．（把你认为所有正确的序号都填上）【解答】解：①若，则由f（x+m）=f（x）+f（m）得，即，所以不存在常数m使f（x+m）=f（x）+f（m）成立，所以①不是m函数．②若f（x）=2x，由f（x+m）=f（x）+f（m）得，2（x+m）=2x+2m，此时恒成立，所以②y=2x是m函数．③若f（x）=sinx，由f（x+m）=f（x）+f（m）得sin（x+m）=sinx+sinm，所以当m=π时，f（x+m）=f（x）+f（m）成立，所以③y=sinx是m函数．④若f（x）=1nx，则由f（x+m）=f（x）+f（m）得ln（x+m）=lnx+lnm，即ln（x+m）=lnmx，所以x+m=mx，要使x+m=mx成立则有，所以方程无解，所以④y=1nx 不是m函数．所以为m函数的序号是②③．故答案为：②③三、解答题（本题包括5小题，共75分）16．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a≠0，q：实数x满足（Ⅰ）若a=1，p且q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由x2﹣4ax+3a2＜0，得：（x﹣3a）（x﹣a）＜0，当a=1时，解得1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由，得：2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．若p且q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3．（Ⅱ）p是q的必要不充分条件，即q推出p，且p推不出q，设A={x|p（x）}，B={x|q（x）}，则B是A的真子集，又B=（2，3]，当a＞0时，A=（a，3a）；a＜0时，A=（3a，a）．所以当a＞0时，有，解得1＜a≤2，当a＜0时，显然A∩B=∅，不合题意．所以实数a的取值范围是1＜a≤2．17．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．【解答】解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f'（x）=3x2+2ax+b由解得，f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：）所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣）和（1，+∞），递减区间是（﹣，1）．（2），当x=﹣时，f（x）=+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．要使f（x）＜c2对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需c2＞f（2）=2+c．解得c＜﹣1或c＞2．18．（12分）已知函数f（x）=2sinxsin（﹣x）+sinxcosx+cos2x（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若0≤x≤，求函数f（x）的最值及取得最值时相应x的值．【解答】解：（1）f（x）=2sinxsin（﹣x）+sinxcosx+cos2x=2sinx（cosx﹣sinx）+sin2x+cos2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+）…3分T==π…4分2kπ≤2x+≤2kπ，k∈Z﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，故函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；…7分（2）因为0≤x≤，得≤2x+≤，…8分2x+=，即x=时，f（x）max=2；2x+=，即x=时，f（x）min=﹣1；所以，x=时，f（x）max=2；x=时，f（x）min=﹣1…12分19．（12分）已知函数f（x）=x2+2ax﹣a+2（1）若对于任意x∈R，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若对于任意x∈[﹣1，1]，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）若对于任意a∈[﹣1，1]，x2+2ax﹣a+2＞0恒成立，求实数x的取值范围．【解答】解：（1）若对于任意x∈R，f（x）=x2+2ax﹣a+2≥0恒成立，则有△=4a2﹣4（﹣a+2）≤0，求得﹣2≤a≤1．（2）由于对于任意x∈[﹣1，1]，f（x）≥0恒成立，故f（x）min≥0．又函数f（x）的图象的对称轴方程为x=﹣a，当﹣a＜﹣1时，f min（x）=f（﹣1）=3﹣3a≥0，求得a无解；当﹣a＞1时，f min（x）=f（1）=3+a≥0，求得﹣3≤a＜﹣1；当﹣a∈[﹣1，1]时，f min（x）=f（﹣a）=﹣a2﹣a+2，求得﹣1≤a≤1．综上可得，a的范围为[﹣3，1]．（3）若对于任意a∈[﹣1，1]，x2+2ax﹣a+2＞0恒成立，等价于g（a）=（2x﹣1）a+x2+2＞0，∴，求得x≠﹣1，即x的范围为{x|x≠﹣1}．20．（12分）已知函数．其图象的两个相邻对称中心的距离为，且过点．（I）函数f（x）的表达式；（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边，，，角C为锐角．且满，求c的值．【解答】解：（I）∵=sin（ωx+φ），=[1﹣cos（ωx+φ）]∴=sin（ωx+φ）+[1﹣cos（ωx+φ）]=sin（ωx+φ﹣）+∵函数图象的两个相邻对称中心的距离为，∴函数的周期T==π，得ω=2∵点是函数图象上的点，∴f（）=sin（2×+φ+）+=1，解之得cosφ=∵φ∈（0，），∴φ=因此，函数f（x）的达式为f（x）=sin（2x+）+；（II）f（﹣）=sin（C﹣+）+=，解之得sinC=∵0＜C＜，∴cosC==又∵a=，S=2△ABC∴×a×b×sinC=2，即××b×=2，解之得b=6根据余弦定理，得c2=a2+b2﹣2abcosC=5+36﹣2××6×=21∴c=，即得c的值为．21．（15分）已知函数f（x）=x2﹣（a+3）x+（2a+2）lnx．（1）函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与2x﹣y+1=0平行，求a的值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若不等式4n2ln（）≤2mn2+1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f′（x）=x﹣a﹣3+，又∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与2x﹣y+1=0平行，∴f′（1）=2，即1﹣a﹣3+2a+2=2，解得a=2，（2）f′（x）=x﹣a﹣3+=（x﹣2）[x﹣（a+1）]，令f′（x）=0，解得x1=2，x2=a+1，①当a＞1时，a+1＞2，在（0，2]上，f′（x）≥0，f（x）单调递增，在[2，a+1]上，f′（x）≤0，f（x）单调递减，在[a+1，+∞）上，f′（x）≥0，f（x）单调递增，②当a=1时，在（0，+∞）上，f′（x）≥0，f（x）单调递增，③当﹣1＜a＜1时，在（0，a+1]上，f′（x）≥0，f（x）单调递增，在[a+1，2]上，f′（x）≤0，f（x）单调递减，在[2，+∞）上，f′（x）≥0，f（x）单调递增，④当a≤﹣1时，f（x）在（0，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增．（3）不等式4n2ln（）≤2mn2+1等价于2ln（1+）﹣≤m，令g（x）=2ln（1+x）﹣x2，x∈（0，1]，g′（x ）=﹣x=﹣，在（0，1]上g′（x ）≥0，g （x ）是增函数， 所以g （x ）≤g （1）=2ln2﹣，所以实数m 的取值范围是[2ln2﹣，+∞）．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 图象定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．x(0,1)O1y =x(0,1)O 1y =③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数。

2014-2015学年山东省枣庄市滕州二中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填写在答题卷上的相应题目的答题区域内．1．（5分）已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（）A．﹣3∈A B．3∉B C．A∩B=B D．A∪B=B2．（5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（2，+∞）3．（5分）下列函数在定义域内为奇函数的是（）A．y=x+B．y=xsinx C．y=|x|﹣1 D．y=cosx4．（5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为900、900、1200人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为（）A．15 B．20 C．25 D．305．（5分）若a=3，b=log cos60°，c=log 2tan30°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c6．（5分）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m C．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l∥m7．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则它的一个对称中心是（）A．（，0）B．（﹣，0） C．（﹣，0） D．（，0）8．（5分）已知函数f（x）=若f（a）≥1，则实数a的取值范围为（）A．[0，1]B．[1，+∞）C．[0，3]D．[0，+∞）9．（5分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线相交于点O，P是线段BD的一个三等分点，则•等于（）A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）已知函数f（x）=xsinx的图象是下列两个图象中的一个，请你选择后再根据图象作出下面的判断：若x1，x2∈（﹣，），且f（x1）＞f（x2），则（）A．x1＞x2B．x1+x2＞0 C．x1＜x2D．x12＞x22二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．11．（4分）命题：“∀x∈R，x2+2x+1≥0．”的否定是．12．（4分）等差数列{a n}中，a3+a8=6，则=．13．（4分）已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为．14．（4分）已知a＞0，b＞0，且a+2b=1，则的最小值为．15．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为．16．（4分）记S k=1k+2k+3k+…+n k，当k=1，2，3，…时，观察下列等式：S1=n，S2=n，S3=，S4=n，S5=An6+，…可以推测，A﹣B=．三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列，a1=1，且a2，a3+1，a6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）已知向量=（cosx+sinx，2cosx），=（cosx﹣sinx，sinx），函数f（x）=•（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．19．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．20．（12分）如图，某海滨城市位于海岸A处，在城市A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，现测得与B处相距31海里的C处，有一艘豪华游轮正沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向城市A直线航行，30分钟后到达D处，此时测得B、D间的距离为21海里．（1）求sin∠BDC的值；（2）试问这艘游轮再向前航行多少分钟即可到达城市A？21．（14分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD；（Ⅱ）若EC=3，求证：ND⊥FC；（Ⅲ）求四面体NFEC体积的最大值．22．（14分）已知a∈R，函数．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）讨论f（x）的单调性；（3）是否存在a的值，使得方程f（x）=2有两个不等的实数根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．2014-2015学年山东省枣庄市滕州二中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填写在答题卷上的相应题目的答题区域内．1．（5分）已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（）A．﹣3∈A B．3∉B C．A∩B=B D．A∪B=B【解答】解：∵|x|≥0，∴|x|﹣1≥﹣1；∴A={y|y≥﹣1}，又B={x|x≥2}∴A∩B={x|x≥2}=B．故选：C．2．（5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（2，+∞）【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：K OA=，数形结合可得＜k＜1，故选：B．3．（5分）下列函数在定义域内为奇函数的是（）A．y=x+B．y=xsinx C．y=|x|﹣1 D．y=cosx【解答】解：A．函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，则f（﹣x）=﹣x﹣=﹣（x+）=﹣f（x），则函数是奇函数．B．f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）=xsinx=f（x）为偶函数，C．f（﹣x）=|﹣x|﹣1=|x|﹣1=f（x）为偶函数，D．f（﹣x）=cos（﹣x）=cosx=f（x），为偶函数．故选：A．4．（5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为900、900、1200人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为（）A．15 B．20 C．25 D．30【解答】解：三个年级的学生人数比例为3：3：4，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为人，故选：B．5．（5分）若a=3，b=log cos60°，c=log 2tan30°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c【解答】解：∵a=3＞30=1，0=＜b=log cos60°＜=1，c=log2tan30°＜log21=0，∴a＞b＞c．故选：A．6．（5分）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m C．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l∥m【解答】解：若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则当m与n相交时，l⊥α，故A错误；若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥β，所以l⊥m，故B正确；若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故C错误；若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l与m相交、平行或异面，故D错误．故选：B．7．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则它的一个对称中心是（）A．（，0）B．（﹣，0） C．（﹣，0） D．（，0）【解答】解：函数y=sin2x的图象向右平移个单位，则函数变为y=sin[2（x﹣）]=sin（2x﹣）；考察选项不难发现：当x=时，sin（2×﹣）=0；∴（，0）就是函数的一个对称中心坐标．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=若f（a）≥1，则实数a的取值范围为（）A．[0，1]B．[1，+∞）C．[0，3]D．[0，+∞）【解答】解：若a≤1，则由f（a）≥1，得f（a）=2a≥1，解得0≤a≤1，若a＞1，则由f（a）≥1，得f（a）=a2﹣4a+5≥1，即a2﹣4a+4=（a﹣2）2≥0，解得a＞1，综上a≥0，故选：D．9．（5分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线相交于点O，P是线段BD的一个三等分点，则•等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线相交于点O，P是线段BD的一个三等分点，∴A（0，1），C（0，﹣1），P．则•=•（0，﹣2）=2．故选：B．10．（5分）已知函数f（x）=xsinx的图象是下列两个图象中的一个，请你选择后再根据图象作出下面的判断：若x1，x2∈（﹣，），且f（x1）＞f（x2），则（）A．x1＞x2B．x1+x2＞0 C．x1＜x2D．x12＞x22【解答】解：因为y=x和y=sinx都是奇函数，所以函数f（x）=xsinx为偶函数，图象关于y轴对称，所以图象为第二个．且当x∈（0，）时，函数f（x）=x•sinx是增函数，当x∈（﹣，0）时，函数f（x）=x•sinx是减函数．若x1，x2∈（0，），f（x1）＞f（x2），则有x1＞x2，故C不正确；若x1，x2∈（﹣，0），f（x1）＞f（x2），此时x1＜x2，所以此时A，B都不正确，排除A，B．因为x12，x22∈（0，），f（x1）＞f（x2），所以x12＞x22，成立．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．11．（4分）命题：“∀x∈R，x2+2x+1≥0．”的否定是．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：“∀x∈R，x2+2x+1≥0．”的否定是：．故答案为：（写成∃x∈R，x2+2x+1＜0也给分）12．（4分）等差数列{a n}中，a3+a8=6，则=30．【解答】解：由等差数列{a n}，a3+a8=6，∴a1+a10=a2+a9=a3+a8=…，∴==a1+a2+…+a10=5（a3+a8）=5×6=30．故答案为30．13．（4分）已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为．【解答】解：由题意，点在第四象限∵==∴角α的最小正值为故答案为：14．（4分）已知a＞0，b＞0，且a+2b=1，则的最小值为．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+2b=1，∴=（a+2b）=3+=，当且仅当a=b时取等号．∴的最小值为．故答案为：．15．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为2．【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=1；由主视图知CD=2，由左视图知BE=1，在Rt△BCE中，BC=，在Rt△BCD中，BD=，在Rt△ACD中，AD=2．则三棱锥中最长棱的长为2．故答案为：2．16．（4分）记S k=1k+2k+3k+…+n k，当k=1，2，3，…时，观察下列等式：S1=n，S2=n，S 3=，S4=n，S5=An6+，…可以推测，A﹣B=．【解答】解：根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1；最高次项的系数为该项次数的倒数；所以A=，解得B=，所以A﹣B=，故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列，a1=1，且a2，a3+1，a6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2，a3+1，a6成等比数列．∴，即（2d+2）2=（1+d）（1+5d），解得d=3或d=﹣1．由已知数列{a n}各项均为正数，∴d=3，故a n=1+3（n﹣1）=3n﹣2．（2）∵，∴．∴S n=1﹣=．18．（12分）已知向量=（cosx+sinx，2cosx），=（cosx﹣sinx，sinx），函数f（x）=•（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（I）∵=，∴函数f（x）的最小正周期为．（II）令，∵，∴，即，∴sint在上是增函数，在上是减函数，∴当，即，时，．当或，即x=0或时，．19．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BD，AB∩BD=B，∴CD⊥平面ABD；（Ⅱ）解：∵AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BD．∵AB=BD=1，=，∴S△ABD∵M为AD中点，=S△ABD=，∴S△ABM∵CD⊥平面ABD，=V C﹣ABM=S△ABM•CD=．∴V A﹣MBC20．（12分）如图，某海滨城市位于海岸A处，在城市A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，现测得与B处相距31海里的C处，有一艘豪华游轮正沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向城市A直线航行，30分钟后到达D处，此时测得B、D间的距离为21海里．（1）求sin∠BDC的值；（2）试问这艘游轮再向前航行多少分钟即可到达城市A？【解答】解：（1）由已知可得CD=40×=20，△BDC中，根据余弦定理求得cos∠BDC==﹣，∴sin∠BDC==．（2）由已知可得∠BAD=20°+40°=60°，∴sin∠ABD=sin（∠BDC﹣60°）=×﹣（﹣）×=．△ABD中，由正弦定理可得．又BD=21，∴AD==15，∴t==22.5分钟．即这艘游轮再向前航行22.5分钟即可到达城市A．21．（14分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD；（Ⅱ）若EC=3，求证：ND⊥FC；（Ⅲ）求四面体NFEC体积的最大值．【解答】（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形，所以MN∥EF∥CD，MN=EF=CD．所以四边形MNCD是平行四边形，…（2分）所以NC∥MD，…（3分）因为NC⊄平面MFD，所以NC∥平面MFD．…（4分）（Ⅱ）证明：连接ED，设ED∩FC=O．因为平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，所以NE⊥平面ECDF，…（5分）因为FC⊂平面ECDF，所以FC⊥NE．…（6分）又EC=CD，所以四边形ECDF为正方形，所以FC⊥ED．…（7分）所以FC⊥平面NED，…（8分）因为ND⊂平面NED，所以ND⊥FC．…（9分）（Ⅲ）解：设NE=x，则EC=4﹣x，其中0＜x＜4．由（Ⅰ）得NE⊥平面FEC，所以四面体NFEC的体积为．…（11分）所以．…（13分）当且仅当x=4﹣x，即x=2时，四面体NFEC的体积最大．…（14分）22．（14分）已知a∈R，函数．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）讨论f（x）的单调性；（3）是否存在a的值，使得方程f（x）=2有两个不等的实数根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）当a=1时，∴k=f′（1）=0所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为0；（2）①当a ≤0时，f′（x ）＜0，f （x ）在（0，+∞）上单调递减； ②当.．∴（3）存在a ∈（0，e 3），使得方程f （x ）=2有两个不等的实数根． 理由如下：由（1）可知当a ≤0时，f′（x ）＜0，f （x ）在（0，+∞）上单调递减，方程f （x ）=2不可能有两个不等的实数根； 由（2）得，，使得方程f （x ）=2有两个不等的实数根，等价于函数f （x ）的极小值，即，解得0＜a ＜e 3所以a 的取值范围是（0，e 3）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mna a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质第21页（共21页）。

2014-2015学年山东省枣庄市滕州实验中学高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（12×5=60分）1．（5分）若向量=（1，2），=（4，5），则=（）A．（5，7）B．（﹣3，﹣3）C．（3，3）D．（﹣5，﹣7）2．（5分）集合A={（x，y）|y=ax+1}，B={（x，y）|y=x+3}，且A∩B={（2，5）}，则（）A．a=3B．a=2C．a=﹣3D．a=﹣23．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，成等差数列，则=（）A．﹣1或3B．3C．27D．1或274．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0，﹣＜ϕ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．2，﹣B．2，﹣C．D．，5．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=s iny”的逆否命题为真命题6．（5分）已知：x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）7．（5分）已知实数x，y满足，若z=y﹣ax取得最大值时的唯一最优解是（3，2），则实数a的取值范围为（）A．a＜1B．a＜2C．a＞1D．0＜a＜1 8．（5分）已知函数f（x）=|lnx|，若＞a＞b＞1，则f（a），f（b），f（c）比较大小关系正确的是（）A．f（c）＞f（b）＞f（a）B．f（b）＞f（c）＞f（a）C．f（c）＞f（a）＞f（b）D．f（b）＞f（a）＞f（c）9．（5分）已知A，B，C，D，E是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜一个周期内的图象上的五个点，如图所示，，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为（）A．ω=2，φ=B．ω=2，φ=C．ω=，φ=D．ω=，φ= 10．（5分）定义式子运算为=a1a4﹣a2a3将函数f（x）=的图象向左平移n（n＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为（）A．B．C．D．11．（5分）当x∈（1，2）时，不等式x2+1＜2x+log a x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（1，2]D．[2，+∞）12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对于任意的x，f′（x）恒成立，则不等式f（lg2x）＜+的解集为（）A．（0，）B．（10，+∞）C．（，10）D．（0，）∪（10，+∞）二、填空题（5×4=20分）13．（5分）已知向量，向量，且，则实数x等于．14．（5分）在正项等比数列{a n}中，lga3+lga6+lga9=6，则a1a11的值是．15．（5分）如图，AB是半圆O的直径，C，D是弧AB三等分点，M，N是线段AB的三等分点，若OA=6，则的值是．16．（5分）对任意实数a，b定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（x2﹣1）⊗（4+x），若函数y=f（x）+k恰有三个零点，则实数k的取值范围是．三、解答题17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．18．（12分）设命题p：f（x）=在区间（1，+∞）上是减函数；命题q；x1x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两个实根，不等式m2+5m﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数α∈[﹣1，1]恒成立；若￢p∧q为真，试求实数m的取值范围．19．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=5，S9=99．（1）求a n及S n；（2）若数列{}的前n项和T n，试证明不等式≤T n＜1成立．20．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d为奇函数，且在x=﹣1处取得极大值2．（1）求f（x）的解析式．（2）若f（x）+（m+2）x≤x2（e x﹣1）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）若存在x0∈[，e]（e是自然对数的底数，e=2.71828…），使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．选修4-5：不等式选讲22．（10分）已知函数f（x）=|x﹣2|（1）解不等式xf（x）+3＞0；（2）对于任意的x∈（﹣3，3），不等式f（x）＜m﹣|x|恒成立，求m的取值范围．2014-2015学年山东省枣庄市滕州实验中学高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（12&#215;5=60分）1．（5分）若向量=（1，2），=（4，5），则=（）A．（5，7）B．（﹣3，﹣3）C．（3，3）D．（﹣5，﹣7）【解答】解：∵向量=（1，2），=（4，5），∴==（1，2）﹣（4，5）=（﹣3，﹣3）；故选：B．2．（5分）集合A={（x，y）|y=ax+1}，B={（x，y）|y=x+3}，且A∩B={（2，5）}，则（）A．a=3B．a=2C．a=﹣3D．a=﹣2【解答】解：联立得：，把x=2，y=5代入得：5=2a+1，解得：a=2，故选：B．3．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，成等差数列，则=（）A．﹣1或3B．3C．27D．1或27【解答】解：∵各项均为正数的等比数列{a n}中，公比为q，∵成等差数列，∴a3=3a1+2a2，可得a1q2=33a1+2a1q2，解得q=﹣1或3，∵正数的等比数列q=﹣1舍去，故q=3，∴====27，故选：C．4．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0，﹣＜ϕ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．2，﹣B．2，﹣C．D．，【解答】解：由图知，==﹣=，故ω=2．由“五点作图法”知，×2+ϕ=，解得ϕ=﹣∈（﹣，），故选：A．5．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【解答】解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法得到D正确．故选：D．6．（5分）已知：x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）【解答】解：∵x＞0，y＞0，且，∴x+2y=（x+2y）（）=2+++2≥8（当且仅当x=4，y=2时取到等号）．∴（x+2y）min=8．∴x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜（x+2y）min=8，解得：﹣4＜m＜2．故选：D．7．（5分）已知实数x，y满足，若z=y﹣ax取得最大值时的唯一最优解是（3，2），则实数a的取值范围为（）A．a＜1B．a＜2C．a＞1D．0＜a＜1【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．则A（3，2），B（1，0），C（2，0）由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．平移直线y=ax+z，则直线的截距最大时，z也最大，当a＜0时，直线y=ax+z，在A（3，2）处的截距最大，此时满足条件，当a=0时，y=z在A（3，2）处的截距最大，此时满足条件，当a＞0时，要使直线y=ax+z，在A（3，2）处的截距最大则目标函数的斜率a小于直线AB的斜率1，即0＜a＜1，综上a＜1，故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=|lnx|，若＞a＞b＞1，则f（a），f（b），f（c）比较大小关系正确的是（）A．f（c）＞f（b）＞f（a）B．f（b）＞f（c）＞f（a）C．f（c）＞f（a）＞f（b）D．f（b）＞f（a）＞f（c）【解答】解：∵函数f（x）=|lnx|，且＞a＞b＞1时，ln＞lna＞lnb＞0；∴|ln|＞|lna|＞|lnb|＞0；又ln=﹣lnc，∴|lnc|=|ln|；即|lnc|＞|lna|＞|lnb|；∴f（c）＞f（a）＞f（b）．故选：C．9．（5分）已知A，B，C，D，E是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜一个周期内的图象上的五个点，如图所示，，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为（）A．ω=2，φ=B．ω=2，φ=C．ω=，φ=D．ω=，φ=【解答】解：因为A，B，C，D，E是函数y=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜一个周期内的图象上的五个点，如图所示，，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，所以T=4×（）=π，所以ω=2，因为，所以0=sin（﹣+ϕ），0＜ϕ＜，ϕ=．故选：B．10．（5分）定义式子运算为=a1a4﹣a2a3将函数f（x）=的图象向左平移n（n＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知f（x）=cosx﹣sinx=2cos（x+）将函数f（x）的图象向左平移n（n＞0）个单位后得到y=2cos（x+n+）为偶函数∴2cos（﹣x+n+）=2cos（x+n+）∴cosxcos（n+）+sinxsin（n+）=cosxcos（n+）﹣sinxsin（n+）∴sinxsin（n+）=﹣sinxsin（n+）∴sinxsin（n+）=0∴sin（n+）=0∴n+=kπ∴n=﹣+kπn大于0的最小值等于故选：C．11．（5分）当x∈（1，2）时，不等式x2+1＜2x+log a x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（1，2]D．[2，+∞）【解答】解：∵x∈（1，2）时，不等式x2+1＜2x+log a x恒成立，即x∈（1，2）时，log a x＞（x﹣1）2恒成立．∵函数y=（x﹣1）2在区间（1，2）上单调递增，∴当x∈（1，2）时，y=（x﹣1）2∈（0，1），∴若不等式log a x＞（x﹣1）2恒成立，则a＞1且log a2≥1，故1＜a≤2．即a∈（1，2]，故选：C．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对于任意的x，f′（x）恒成立，则不等式f（lg2x）＜+的解集为（）A．（0，）B．（10，+∞）C．（，10）D．（0，）∪（10，+∞）【解答】解：设g（x）=f（x）﹣x，由f′（x）＜，得到g′（x）=f′（x）﹣＜0，∴g（x）为减函数．又f（1）=1，∵f（lg2x）＜+，∴g（lg2x）=f（lg2x）﹣lg2x＜+﹣lg2x==f（1）﹣=g（1）=g（lg210），∴lg2x＞lg210，∴（lgx+lg10）（lgx﹣lg10）＞0，∴lgx＜﹣lg10，或lgx＞lg10，解得0＜x＜，或x＞10，故选：D．二、填空题（5&#215;4=20分）13．（5分）已知向量，向量，且，则实数x等于9．【解答】解：∵向量，向量，∴=（1﹣x，4）．∴，∴=（1，2）•（1﹣x，4）=1﹣x+8=0，∴x=9，故答案为9．14．（5分）在正项等比数列{a n}中，lga3+lga6+lga9=6，则a1a11的值是10000．【解答】解：∵lga3+lga6+lga9=6，∴lg（a3a6a9）=6，∴a63=106，解得a6=102．∴a1a11=a62=104=10000．故答案为：10000．15．（5分）如图，AB是半圆O的直径，C，D是弧AB三等分点，M，N是线段AB的三等分点，若OA=6，则的值是26．【解答】解：∵，，∴=（）•（）==﹣4+2×=26，故答案为：2616．（5分）对任意实数a，b定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（x2﹣1）⊗（4+x），若函数y=f（x）+k恰有三个零点，则实数k的取值范围是﹣2≤k＜1．【解答】解：当（x2﹣1）﹣（x+4）＜1时，f（x）=x2﹣1，（﹣2＜x＜3），当（x2﹣1）﹣（x+4）≥1时，f（x）=x+4，（x≥3或x≤﹣2），函数y=f（x）=的图象如图所示：由图象得：要使函数y=f（x）+k恰有三个零点，只要函数f（x）与y=﹣k的图形由三个交点即可，所以﹣1＜﹣k≤2，所以﹣2≤k＜1；故答案为：﹣2≤k＜1．三、解答题17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵•=2，cosB=，∴c•acosB=2，即ac=6①，∵b=3，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，∴a2+c2=13②，联立①②得：a=3，c=2；（Ⅱ）在△ABC中，sinB===，由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，∵a=b＞c，∴C为锐角，∴cosC===，则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．18．（12分）设命题p：f（x）=在区间（1，+∞）上是减函数；命题q；x1x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两个实根，不等式m2+5m﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数α∈[﹣1，1]恒成立；若￢p∧q为真，试求实数m的取值范围．【解答】解：∵f（x）=在区间（﹣∞，m），（m，+∞）上是减函数，而已知在区间（1，+∞）上是减函数，∴m≤1，即命题p为真命题时m≤1，命题p为假命题时m＞1，∵x1，x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两个实根∴∴|x1﹣x2|==∴当a∈[﹣1，1]时，|x1﹣x2|max=3，由不等式m2+5m﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数a∈[﹣1，1]恒成立．可得：m2+5m﹣3≥3，∴m≥1或m≤﹣6，∴命题q为真命题时m≥1或m≤﹣6，∵﹣p∧q为真，∴命题p假q真，即，∴实数m的取值范围是m＞1．19．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=5，S9=99．（1）求a n及S n；（2）若数列{}的前n项和T n，试证明不等式≤T n＜1成立．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=5，S9=99．∴a1+d=5，9a1+d=99，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1，S n=3n+n（n﹣1）•2=n2+2n；（2）证明：设b n=，∵a n=2n+1，∴a n2﹣1=4n（n+1），∴b n===﹣，即有T n=b1+b2+b3+…+b n=（1﹣）+（）+（）+…+（﹣）=1﹣＜1，又T n=1﹣为递增数列，即有T n≥T1=1﹣，综上所述：不等式≤T n＜1成立．20．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d为奇函数，且在x=﹣1处取得极大值2．（1）求f（x）的解析式．（2）若f（x）+（m+2）x≤x2（e x﹣1）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=ax3+bx2+cx+d为奇函数，∴b=d=0，∴f（x）=ax3+cx，f′（x）=3ax2+c；又∵f（x）在x=﹣1处取得极大值2，∴，解得，a=1，c=﹣3；故f（x）解析式为f（x）=x3﹣3x；（2）∵f（x）+（m+2）x≤x2（e x﹣1），∴x3﹣3x+（m+2）x≤x2（e x﹣1），即（m+2）x≤x2（e x﹣1）﹣x3+3x，当x=0时，m∈R；当x＞0时，m+2≤xe x﹣x﹣x2+3，即m≤x（e x﹣x﹣1）+1，令h（x）=e x﹣x﹣1，h′（x）=e x﹣1＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，故h（x）＞h（0）=0；∴x（e x﹣x﹣1）+1＞1；∴m≤1；∴实数m的取值范围为（﹣∞，1]．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）若存在x0∈[，e]（e是自然对数的底数，e=2.71828…），使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由已知知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，当x∈（0，），f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（），f′（x）＞0，f（x）单调递增，∵t＞0，∴t+2＞①当0＜t＜＜t+2，即0＜t＜时，f（x）min=f（）=﹣；②当，即t时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt．∴．（2）∵不等式2f（x0）≥g（x0）成立，即2x0lnx0≥﹣，∴a≤2lnx+x+，x∈[，e]，设h（x）=2lnx+x+，x∈[，e]，则，x∈[，e]，①x∈[，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，②x∈（1，e]时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）max=h（）=﹣2+，对一切x0∈[，e]使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，∴a≤h（x）max=﹣2++3e．选修4-5：不等式选讲22．（10分）已知函数f（x）=|x﹣2|（1）解不等式xf（x）+3＞0；（2）对于任意的x∈（﹣3，3），不等式f（x）＜m﹣|x|恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=|x﹣2|，∴xf（x）+3＞0⇔x|x﹣2|+3＞0⇔①或②，解①得：﹣1＜x≤2，解②得x＞2，∴不等式xf（x）+3＞0的解集为：（﹣1，+∞）；（2）f（x）＜m﹣|x|⇔f（x）+|x|＜m，即|x﹣2|+|x|＜m，设g（x）=|x﹣2|+|x|（﹣3＜x＜3），则，g （x ）在（﹣3，0]上单调递减，2≤g （x ）＜8； g （x ）在（2，3）上单调递增，2＜g （x ）＜4 ∴在（﹣3，3）上有2≤g （x ）＜8，故m ≥8时不等式f （x ）＜m ﹣|x |在（﹣3，3）上恒成立．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f(p)f (q)()2bf a-0x x>O-=f(p) f(q) ()2b f a-0xx<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-0xx<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-0x。

标方程为 ρsinθ﹣ρcosθ=﹣1．则曲线 C1 与曲线 C2 的交点个数为
一、几何证明选讲选做题 15． 如图， 已知 AB 是⊙O 的直径， TA 是⊙O 的切线， 过 A 作弦 AC∥BT， 若 AC=4，
AT=2
，则 AB=
．
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三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤． 16． （12 分）已知函数 f（x）=sin（2x+φ） （0＜φ＜π）的图象经过点 （1）求 φ 的值； （2）在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c，若 a2+b2﹣c2=ab， 且 ．求 sinB． ．
（3）若 P（1，3） ，点 Q 为直线 y=2x 上的动点，则 d（P，Q）的最小值为 ． 其中为真命题的是（ ） C． （1 ） （3） D． （2） （3）
A． （1 ） （2） （3） B． （1） （2）
二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 25 分．本 大题分为必做题和选做题两部分． （一）必做题：第 9、10、11、12、13 题为 必做题，每道试题考生都必须作答． 9． （5 分）函数 y= 的定义域为 ．
2014-2015 学年山东省枣庄市滕州三中高三（上）期末数学试卷 （理科）
一、选择题：本大题共 8 个小题；每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个 选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1． （5 分）已知集合 A={0，1，2，3}，B={x|x=a+b，a，b∈A，a≠b}，则（ A．A∩B=A C．∁（A∪B）A={1} B．A∪B=B D．∁（A∪B）A={4，5} ） ）

数学（文）试题参考答案
1~10DBBB A D B A B D
11． 12． 13． 14． 15．②④
16．（本小题满分12分）
解: 为真： ,……………………3分
为真： ……………………6分
因为 或 为真， 且 为假， p,q一真一假
当p真q假时， ……………………8分
当p假q真时， ……………………11分
A． B．
C． D．
7．已知 ，则向量 与 的夹角为
A． B． C． D．
8．若 ，且 ，则
A． B． C． D．
9．已知函数 的导函数图象如下图所示，若 为锐角三角形，则一定成立的是
A． B．
C． D．
10．对任意实数a，b定义运算“ ”： 设 ，若函数 恰有三个零点，则实数k的取值范围是
A． B． C． D．
19．（本小题满分12分）
如图，某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的小矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间均设有1米宽的走道，已知三块绿化区的总面积为200平方米，求该矩形区域ABCD占地面积的最小值。
20．（本小题满分13分）
已知数列 ， 满足条件： ， ．
（I）求证数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
解 （I）因为f（x）＝sin＋sinx
＝cosx＋sinx＝2
＝2sin，………………………4分
所以f（x）的最小正周期为2π．………………………5分
（II）∵将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，
∴g（x）＝f＝2sin[＋]
＝2sin．………………………7分
∵x∈[0，π]，∴x＋∈，………………………8分

山东省滕州市2015届高三上学期期中考试数学理试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知全集为R ，集合21{|()1},{|2}2A xB x x =≤=≥，则()R AC B =（ ）A ．[]0,2B ．[)0,2C ．()1,2D ．[)1,2 2、设向量(1,1),(3,1)a x b x =-=+，则//a b 是2x =的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件3、命题22:,0p x R x ax a ∀∈++≥；命题:,sin cos 2q x R x x ∈+=，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∨C ．()p q ⌝∨D ．()()p q ⌝∧⌝ 4、一直1sin 23α=，则cos()4πα-=（ ） A ．13 B ．16 C ．23 D ．895、函数sin ,[,]y x x x ππ=+∈-的大致图象是（ ）6、已知a 是函数()122log xf x x =-的零点，若00x a <<，则0()f x 的值满足（ ）A ．0()0f x =B ．0()0f x >C ．0()0f x <D ．正负不定 7、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1510S π=，则tan n a 的值是（ ）A ．．．8、由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．2ln 3+ B ．2ln 3- C ．4ln 3+ D ．4ln 3-9、已知()f x 为R 上的可导函数，且对任意的x R ∈，均有()()f x f x '>，则有（ ） A ．20142015(2014)(0),(2015)(0)e f f f e f -<> B ．20142015(2014)(0),(2015)(0)e f f f e f -<< C ．20142015(2014)(0),(2015)(0)e f f f e f ->> D ．20142015(2014)(0),(2015)(0)e f f f e f -><10、已知[)x 表示大于x 的最小整数，例如[)[)34, 1.31=-=-，定义()[)f x x x =-，则下列命题中正确的是（ ） ①[)[)x y x y +≤+；②函数()[)f x x x =-的值域是(]0,1；③()f x 为R 上的奇函数，且()f x 为周期函数； ④若()1,2015x ∈，则方程[)12x x -=有2014个根。

2014-2015学年度山东省滕州市第五中学第一学期高三期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的选项．）1．已知集合{}{}1,2,3,4,5,6,1,2,4U M ==，则U M =ðA ．UB ．{}1,3,5C ．{}2,4,6D ．{}3,5,62．定义运算a b ad bc c d =-，若函数()123x f x x x -=-+在(,)m -∞上单调递减，则实数m 的取值范围是A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(,2]-∞-3．已知向量m 、n 满足||2=m ，||3=n ，||-=m n ||+=m n （ ）A B ．3C D4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A ．xe y = B ．21x y = C ．3y x = D ．sin y x = 5．设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ,已知7863==S S ，，则=++987a a a （ ） A ．81 B ．81- C ．857D ．855 6．若不等式2230x x a -+-<成立的一个充分条件是40<<x ，则实数a 的取值范围应为（ ）A ．11≥aB ．11>aC ．9>aD ．9≥a7．将函数x y 2sin =的图像向右平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得函数图像对应的解析式为（ ）A ．1)42sin(+-=πx yB ．x y 2cos 2=C ．x y 2sin 2=D ．x y 2cos -=8．设函数()sin cos f x x x x =+的图像在点(,())t f t 处切线的斜率为k ，则函数()t g k =的部分图像为（ ）9．已知变量y x ,满足约束条件2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，，若目标函数ax y z +=仅在点()3,5处取得最小值, 则实数a 的取值范围为（ ） A ．()+∞,1B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,73 C ．()+∞,0D ．()1,-∞-10．已知函数()x f 对定义域R 内的任意x 都有()()x f x f -=4，且当2≠x 时其导函数()x f '满足()(),2x f x f x '>'若42<<a ，则（ ） A ．2(2)(3)(log )a f f f a << B ．2(3)(log )(2)a f f a f <<C ．2(log )(3)(2)a f a f f <<D ．2(log )(2)(3)a f a f f <<第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．不要求写出解题步骤，只要求将题目的答案写在答题卷的相应位置上．）11．由曲线23y x =-和直线2y x =所围成的封闭图形的面积为 ．12．若函数1,0()1(),03x x xf x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为____________13．若等边ABC ∆的边长为1，平面内一点M 满足1132CM CB CA =+，则MA MB ⋅= ． 14．已知nn a )31(=，把数列{}n a 的各项排列成如下的三角形状，记),n m A （表示第m 行的第n 个数，则）（12,10A = ．15．关于函数()cos2cos f x x x x =-，下列命题： ①存在1x ，2x ，当12x x π-=时，()()12f x f x =成立；②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增；③函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称；④将函数()f x 的图像向左平移512π个单位后将与2sin 2y x =的图像重合； 其中正确的命题序号为 ．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，272cos 2sin42=-+C B A，且7,5==+c b a ， （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求△ABC 的面积． 17．（本小题满分12分）某城市旅游资源丰富，经调查，在过去的一个月内（以30天计），第t 天的旅游人数()t f （万人）近似地满足()tt f 14+=，而人均消费()t g （元）近似地满足()25125--=t t g ． （Ⅰ）求该城市的旅游日收益W （t ）（万元）与时间t （1≤t ≤30，t ∈N ＋）的函数关系式； （Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值． 18．（本小题满分12分）设数列{}n a 为等差数列，且9,553==a a ；数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2=+n n b S 。

山东省枣庄市滕州实验中学 2015届高三上学期12月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|log2x≤0}，则A∪B=( )A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣∞＜x≤1}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的并集即可．解答：解：由B中的不等式变形得：log2x≤0=log21，即0＜x≤1，∴B={x|0＜x≤1}，∵A={x|﹣1＜x＜1}，∴A∪B={x|﹣1＜x≤1}．故选：C．点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．下列函数中，以为π最小正周期，且在上为减函数的是( )A．f（x）=sin2xcos2x B．f（x）=2sin2x﹣1C．f（x）=cos4x﹣sin4x D．f（x）=tan （﹣）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：常规题型；三角函数的图像与性质．分析：先把函数解析式化成标准形式，然后求周期，研究函数在上的单调性，选出答案．解答：解：选项A，f（x）=sin2xcos2x=sin4x，所以周期为；选项B，f（x）=2sin2x﹣1=﹣cos2x，在上为增函数；选项C，f（x）=cos4x﹣sin4x=cos2x，周期为π，在上为减函数，满足题意；选项D，函数的周期为2π．故选C．点评：本题考查了三角函数的周期性及单调性，解题关建是选择恰当的公式把函数解析式化成标准形式．3．若S n是等差数列{a n}的前n项和，且S6=S5+2，则S11的值为( )A．12 B．18 C．22 D．44考点：等差数列的前n项和．分析：由等差数列前n项和公式知，条件须转化为项的形式．解答：解：∵s6=s5+2∴a6=2而故选C点评：本题主要考查等差数列的性质和前n项和公式．4．已知命题p、q，则“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：常规题型．分析：由判断充要条件的方法，我们可知：若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；而根据已知条件可得：“p∨q为真命题”⇒“p∧q为真命题”为假命题，“p∧q为真命题”⇒“p∨q为真命题”是真命题．故得“p∨q为真命题”是“p∧q为真命题”的必要不充分条件．解答：解：由于“p∨q为真命题”，则p、q中至少有一个为真命题，又由“p∧q为真命题”，则p、q都为真命题，所以“p∨q为真命题”⇒“p∧q为真命题”为假命题，“p∧q为真命题”⇒“p∨q为真命题”是真命题．再根据充要条件的判断方法，可知“p∨q为真命题”是“p∧q为真命题”的必要不充分条件．故答案为B．点评：本题考查充分、必要与充要条件的判断，属于基础题，要掌握判断充要条件的方法．5．设曲线y=e ax﹣ln（x+1）在点（0，1）处的切线方程为2x﹣y+1=0，则a=( )A．0 B．1 C．2 D．3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再根据曲线y=e ax﹣ln（x+1）在点（0，1）处的切线方程为2x﹣y+1=0，建立等式关系，解之即可．解答：解：∵y=e ax﹣ln（x+1），∴y′=ae ax﹣∴x=0时，切线的斜率为a﹣1∵曲线y=e ax﹣ln（x+1）在点（0，1）处的切线方程为2x﹣y+1=0，∴a﹣1=2，即a=3．故选：D．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生的计算能力，属于基础题．6．设a＞0，b＞1，若a+b=2，则的最小值为( )A．B．8 C．D．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵设a＞0，b＞1，a+b=2，∴=（a+b﹣1）=4+=4+2，当且仅当a=（b ﹣1）=时取等号，∴的最小值为4+2．故选：D．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．7．函数的图象可能是( )A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除B，D答案；分析x∈（﹣2，﹣1）时，函数值的符号，进而可以确定函数图象的位置后可可排除C答案．解答：解：若使函数的解析式有意义则，即即函数的定义域为（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）可排除B，D答案当x∈（﹣2，﹣1）时，sinx＜0，ln（x+2）＜0则＞0可排除C答案故选A点评：本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是解答的关键．8．将函数f（x）=sin（2x+θ）（）的图象向右平移φ（φ＞1）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（），则φ的值可以是( )A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：求出平移后的函数解析式，利用两个函数都经过P（0，），解出θ，然后求出φ即可．解答：解：函数向右平移φ个单位，得到g （x）=sin（2x+θ﹣2φ），因为两个函数都经过P（0，），所以，，所以g（x）=sin（2x+﹣2φ），sin（﹣2φ）=，φ＞1，所以﹣2φ=2kπ+，φ=﹣kπ，与选项不符舍去，﹣2φ=2kπ+，k∈Z，当k=﹣1时，φ=．故选B．点评：本题考查函数图象的平移，函数值的求法，考查分析问题解决问题的能力与计算能力．9．双曲线的离心率e=2，则以双曲线的两条渐近线与抛物线y2=mx的交点为顶点的三角形的面积为( )A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的离心率e=2，求出m的值，可得双曲线的两条渐近线方程，抛物线方程，联立求出交点坐标，即可求出三角形的面积．解答：解：∵双曲线的离心率e=2，∴，∴m=3，∴双曲线的两条渐近线方程为y=±x，抛物线方程为y2=3x，联立可得交点坐标为（9，±3），∴所求三角形的面积为=27．故选：C．点评：本题考查双曲线的性质，考查双曲线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．10．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式中成立的是( )A．f（a）＜f（1）＜f（b）B．f（a）＜f（b）＜f（1）C．f（1）＜f（a）＜f（b）D．f（b）＜f（1）＜f（a）考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的零点的判定定理，可得0＜a＜1＜b＜2，再由函数f（x）=e x+x﹣2在（0，+∞）上是增函数，可得结论．解答：解：∵函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，∴0＜a ＜1．∵函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，g（1）=﹣1＜0，g（2）=ln2＞0，∴1＜b＜2．综上可得，0＜a＜1＜b＜2．再由函数f（x）=e x+x﹣2在（0，+∞）上是增函数，可得 f（a）＜f（1）＜f（b），故选A．点评：本题主要考查函数的零点的判定定理，函数的单调性的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上．11．函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x﹣2|﹣3）的定义域为（﹣∞，0）∪（3，+∞）．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：令g（x）=|x﹣1|+|x﹣2|﹣3，g（x）＞0⇒|x﹣1|+|x﹣2|＞3，通过对x的取值范围的分类讨论，去掉绝对值符号再解即可．解答：解：令g（x）=|x﹣1|+|x﹣2|﹣3，则g（x）＞0，∴|x﹣1|+|x﹣2|＞3；当x＜1时，1﹣x+2﹣x＞3，解得：x＜0，又x＜1，∴x＜0；当1≤x≤2时，有x﹣1+2﹣x＞3，即1＞3，∴x∈∅；当x＞2时，有x﹣1+x﹣2＞3，解得：x＞3，又x＞2，∴x＞3；综上所述，函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x﹣2|﹣3）的定义域为（﹣∞，0）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，0）∪（3，+∞）．点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查对数函数的性质，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．12．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=﹣2．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定k的值即可．解答：解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．目标函数为2x+y=﹣6，由，解得，即A（﹣2，﹣2），∵点A也在直线y=k上，∴k=﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．13．已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱A1B1的中点，则直线AE与平面BDD1B1所成角的正切值是．考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：首先利用转化法，求出线面所夹的角，进一步利用解三角形知识求出结果．解答：解：已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱A1B1的中点，连接AC交BD于O，做AB的中点F，连接B1F，取BO的中点G，连接FG，GB1所以：B1F∥AE，FG⊥BD，所以：AE与平面BDD1B1所成角为：∠FB1G设正方体的棱长为1，进一步求得：FG=，则：tan∠FB1G==故答案为：点评：本题考查的知识要点：线面的夹角问题，解三角形知识的应用，属于基础题型．14．已知圆O过椭圆的两焦点且关于直线x﹣y+1=0对称，则圆O的方程为x2+（y﹣1）2=5．考点：椭圆的简单性质；圆的标准方程．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出椭圆的两焦点，圆心O（a，a+1），利用圆O过椭圆的两焦点且关于直线x﹣y+1=0对称，求出圆心与半径，即可求出圆O的方程．解答：解：椭圆的两焦点为（2，0），（﹣2，0）．由题意设圆心O（a，a+1），则∵圆O过椭圆的两焦点且关于直线x﹣y+1=0对称，∴a=0，∴圆心为（0，1），半径为，∴圆O的方程为x2+（y﹣1）2=5．故答案为：x2+（y﹣1）2=5．点评：本题考查椭圆的性质，考查圆的方程，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．15．如果对定义在R上的函数f（x），对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数①y=x2；②y=e x+1；③y=2x﹣sinx；④．以上函数是“H函数”的所有序号为②③．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．解答：解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f （x1）恒成立，∴不等式等价为（x1﹣x2）＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．①函数y=x2在定义域上不单调．不满足条件．②y=e x+1为增函数，满足条件．③y=2x﹣sinx，y′=2﹣cosx＞0，函数单调递增，满足条件．④f（x）=．当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H函数”的函数为②③，故答案为：②③．点评：本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（b﹣a）（sinB+sinA）=（b﹣c）sinC，cosC=，a=3．（Ⅰ）求sinB；（Ⅱ）求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式得到关系式，再利用余弦定理表示出cosA，将得出的关系式代入求出cosA的值，确定出A的度数，由cosC的值求出sinC的值，将sinB变形为sin（A+C），利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值；（Ⅱ）由a，sinA，sinC的值，利用正弦定理求出c的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）由正弦定理化简已知等式得：（b﹣a）（b+a）=c（b﹣c），即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∵A为三角形的内角，∴A=，∵cosC=，∴sinC==，∴sin B=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=；（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理=，得：=，即c=2，则S△ABC=acsinB=×3×2×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC=60°，AB=2CB=2．在梯形ACEF中，EF∥AC，且AC=2EF，EC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BC⊥AF；（Ⅱ）若二面角D﹣AF﹣C为45°，求CE的长．考点：用空间向量求平面间的夹角；与二面角有关的立体几何综合题．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）证明BC⊥AC，BC⊥EC，AC∩EC=C，可得BC⊥平面ACEF，从而BC⊥AF；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面DAF的法向量，平面AFC的法向量，根据二面角D﹣AF ﹣C为45°，利用向量的夹角公式，即可求CE的长．解答：（Ⅰ）证明：在△ABC中，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcos60°=3所以AB2=AC2+BC2，由勾股定理知∠ACB=90°所以BC⊥AC．…又因为EC⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD所以BC⊥EC．…又因为AC∩EC=C，所以BC⊥平面ACEF，又AF⊂平面ACEF所以BC⊥AF．…（Ⅱ）解：因为EC⊥平面ABCD，又由（Ⅰ）知BC⊥AC，以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 C﹣xyz．设CE=h，则C（0，0，0），，，，所以，．…设平面DAF的法向量为=（x，y，z），则令．所以=（，﹣3，）．…又平面AFC的法向量=（0，1，0）…所以cos45°==，解得．…所以CE的长为．…点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查面面角，考查向量知识的运用，正确求出平面的法向量是关键．18．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=8，S4=40．数列{b n}的前n项和为T n，且T n﹣2b n+3=0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和P n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）运用等差数列的通项公式与求和公式，根据条件列方程，求出首项和公差，得到通项a n，运用n=1时，b1=T1，n＞1时，b n=T n﹣T n﹣1，求出b n；（Ⅱ）写出c n，然后运用分组求和，一组为等差数列，一组为等比数列，分别应用求和公式化简即可．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由题意，得，解得，∴a n=4n，∵T n﹣2b n+3=0，∴当n=1时，b1=3，当n≥2时，T n﹣1﹣2b n﹣1+3=0，两式相减，得b n=2b n﹣1，（n≥2）则数列{b n}为等比数列，∴；（Ⅱ）．当n为偶数时，P n=（a1+a3+…+a n﹣1）+（b2+b4+…+b n）=．当n为奇数时，（法一）n﹣1为偶数，P n=P n﹣1+c n=2（n﹣1）+1+（n﹣1）2﹣2+4n=2n+n2+2n﹣1，（法二）P n=（a1+a3+…+a n﹣2+a n）+（b2+b4+…+b n﹣1）=．∴．点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项与求和公式的运用，考查方程的思想在数列中的运用，同时考查数列的通项与前n项和的关系式，考查数列的求和方法：分组求和，是一道综合题．19．某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；压轴题．分析：（1）总面积为xy=3000，且2a+6=y，则y=，（其中6＜x＜500），从而运动场占地面积为S=（x﹣4）a+（x﹣6）a，代入整理即得；（2）由（1）知，占地面积S=3030﹣6x﹣=3030﹣（6x+），由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x的值．解答：解：（1）由已知xy=3000，∴，其定义域是（6，500）．S=（x﹣4）a+（x﹣6）a=（2x﹣10）a，∵2a+6=y，∴，∴，其定义域是（6，500）．（2），当且仅当，即x=50∈（6，500）时，上述不等式等号成立，此时，x=50，y=60，S max=2430．答：设计x=50m，y=60m时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查应用基本不等式求函数最值，构建函数关系式是关键，属于中档题．20．已知椭圆C：的离心率为，右焦点F2到直线l1：3x+4y=0的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点F2斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于E、F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x=3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′，求证：k•k′为定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率等于，结合右焦点F2到直线l1：3x+4y=0的距离为联立方程组求解a，c的值，进一步求得b的值，则椭圆C的方程可求；（Ⅱ）设过点F2（1，0）的直线l方程为：y=k（x﹣1），和椭圆方程联立后利用根与系数关系求得E，F两点的横坐标的和与积，写出AE和AF的方程，取x=3求得点M和点P的坐标，由两点求斜率公式求得直线PF2的斜率为k′，代入k•k′整理为定值．解答：（Ⅰ）解：由题意得，，∴c=1，a=2，∴所求椭圆方程为；（Ⅱ）设过点F2（1，0）的直线l方程为：y=k（x﹣1），再设点E（x1，y1），点F（x2，y2），将直线l方程y=k（x﹣1）代入椭圆，整理得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．∵点P在椭圆内，∴直线l和椭圆都相交，△＞0恒成立，且，直线AE的方程为：，直线AF的方程为：．令x=3，得点，，∴点P的坐标，直线PF2的斜率为=，将代入上式，得：∴k•k'为定值．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，这是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是2015届高考试卷中的压轴题．21．设函数．（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）设，在令f'（x）=0得x1=﹣，x2=，…若a＞0，由f'（x）≤0得x∈（0，]；由f'（x）≥0得x∈若a＜0，①当a＜﹣2时，0＜﹣＜，x∈（0，﹣]或x∈，f'（x）≥0，②当a=﹣2时，f'（x）≤0；③当﹣2＜a＜0时，﹣＞，x∈（0，]或x∈，f'（x）≥0．综上，当a＞0时，函数的单调递减区间为（0，]，单调递增区间为，；当a=﹣2时，函数的单调递减区间为（0，+∞）；当﹣2＜a＜0时，函数的单调递减区间为（0，]，．…点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究函数的单调性，突出考查转化与分类讨论的数学思想，考查综合分析与运算能力，属于难题．。

C． [ , ) 3
4 D． ( , )
3
12．若函数 f (x) x2 | x a | b 在区间 ( ,0] 上为减函数，则实数 a 的取值范围是
A． a 0
B． a 0
C． a 1
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
D． a 1
13．已知函数 f ( x) 是定义域为 R 的奇函数，且 f ( 1) 2 ，则 f ( 0) f (1)
C． 9 x2 4x 5. 那么当
1
D．
9 4 x 1时， f ( x) 的
最大值为
A．－ 5
B．1
6．化简
x 3 x2
的结果是
x6x
C．－ 1
D． 5
A． x
B． x
C． x 2
D． 1
7．函数 f (x) x3 3x 5的零点所在的区间为
A． (1,2)
B． ( 2,0)
C． (0,1)
D． ( 2,1)
则只要 g （x） min>0 即可，
∵x∈[ － 1,1]，∴g（ x） min＝g （1）＝－ 1－m ，
∴－ 1－ m>0，即 m <－1 ．
故实数 m 的取值范围是 {m | m<－ 1}．
h( 2014 )
1 h( )
2
1 h( )
3
1 h( )
4
h( 1 ) 。 2014
21．（ 12 分）已知 f (x) 是定义在（－ 4,4）上的奇函数，且它在定义域内单调递减，若 a 满足：
f (1 a) f ( 2a 3) 0 ，求实数 a 的取值范围． 22．（ 12 分）已知二次函数 f ( x) 的最小值为 1，且 f （ 0）＝ f（ 2）＝ 3． （ 1）求 f (x) 的解析式； （ 2）若 f (x) 在区间 [ 2a, a 1 ]上不单调，求实数 a 的取值范围； （ 3）在区间 [－ 1,1]上， y f ( x) 的图象恒在 y 2x 2m 1 的图象上方，试确定实数 m 的

2014年山东省滕州市第一中学第一学期高三期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域作答．1． 设集合M={a+1}，N={x ∈R|≤4}，若M ∪N=N ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[-1，3],B ．[-3，1],C ．[-3，3],D ．（-∞，-3]∪[3，+∞） 2． 已知命题p ：x ∈A ∪B ，则非p 是（ ）A ．x 不属于A∩B,B ．x 不属于A 或x 不属于BC ．x 不属于A 且x 不属于B,D ．x ∈A∩B 3． 已知t ＞0，若，则t=（ ）A ．1,B ．-2,C ．-2或4,D ．44．已知()()1,41,42x f x x f x x ⎧+<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，则＝（ ）A ．B ．C ．D ．5．若方程在区间，，且上有一实根，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6．函数),2||.0,0()sin(R x A B x A y ∈<>>++=πϕωϕω的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）A ．1)63sin(2+-=ππx y B ．1)36sin(2+-=ππx yC ．1)63sin(2++=ππx yD ．1)66sin(2++=ππx y7．用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n”时，从“到”时，左边应添乘的式子是（ ）A ．B ．C ．D ．8．若正数，满足，且对任意，恒成立，则的取值范围是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，9．已知定义在上的函数满足：对任意，都有成立，且，设1(0),(),(3)2a fb fc f ===，则三者的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．10．对于函数与和区间，如果存在，使，则称是函数与在区间上的“友好点”．现给出组函数： ①，； ②，；③，；④，；其中在区间，上存在“友好点”的有（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题分必做题和选做题．（一）必做题：共4小题，每小题4分，满分16分．11．函数5123223+--=x x x y 在上的最小值分别是 ．12．若实数，满足220,4,5.x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩则的最大值为 ．13．在等差数列中，已知，则该数列前项和 ．14．已知函数的导函数为，与在同一直角坐标系下的部分图象如图所示，若方程在上有两解，则实数的取值范围是 ．（二）选做题：本题设有三个选考题，请考生任选2题作答，并在答题卡的相应位置填写答案，如果多做，则按所做的前两题计分，满分8分．15．（1）（选修4-2：矩阵与变换）设矩阵A ＝，B ＝，则＝ ．（2）（选修4-4：极坐标与参数方程）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）．若直线与曲线交于两点，则= ．（3）（选修4-5：不等式选讲）函数的最大值等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数2()lg(23)f x x x =--的定义域为集合，函数的值域为集合 （1）求集合，；（2）若，求实数的取值范围．17．（本小题满分12分）在中，角、、所对的边分别是、、，则； （1）求；（2）若，，求的面积．18．（本小题满分12分）数列的前项和为，数列是首项为，公差为的等差数列，且，，成等比数列． （1）求数列与的通项公式；（2）若*2())(1)n nc n N n b =∈+，求数列的前项和．19．（本小题满分12分）已知向量33(cos ,sin ),(cos(),sin())444343x x x x a b ππ==+-+；令 （1）求解析式及单调递增区间； （2）若，求函数的最大值和最小值；（3）若=，求的值．20．（本小题满分12分）如图，某小区有一边长为（单位：百米）的正方形地块， 其中是一个游泳池，计划在地块内修一条与池边相切的直路（宽度不计），切点为，并把该地块分为两部分．现以点为坐标原点，以线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系，若池边满足函数22(0y x x =-+≤≤的图象，且点到边距离为． （1）当时，求直路所在的直线方程；（2）当为何值时，地块在直路不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？21．（本小题满分14分）已知函数2()ln(1)f x a x ax x =+--．（1）若为函数的极值点，求的值；（2）讨论在定义域上的单调性；（3）证明：对任意正整数，222134232)1ln(n n n +++++<+ ．2014年山东省滕州市第一中学第一学期高三期中考试数学（理）试题参考答案一、选择题：（共10小题，每小题5分，满分50分） BCBAC ABDCD二、填空题：（共5小题，每小题４分，满分24分） 11．； 12．； 13．； 14． 15．（1） （2） （3）14．（解法一）设/2()()()2()xag x f x f a e x e a =-=---令>0，则，所以在单调递增，在单调递减要使满足题意，则2220(1)()0(ln 2)022ln 20(2)ln 2ln 2(3)a a a e a e a g a g e a a a ⎧--+≥---≥⎧⎪⎪<⇒--+<--⎨⎨⎪⎪<<---------⎩⎩由（1），（3）可知设2()22ln 2ah a e a =--+，/()20ah a e a =-+<在恒成立 所以2()22ln 2ah a e a =--+在上单调递减， 所以2()(2)62ln 20h a h e ≤=--< 所以（2）对任意的都成立 综上所述．（解法二）在上有两解函数/12()()y f x y f a ==与有两交点/1(),(,]y f x x a =∈-∞---表示右端点位置变化的函数--------表示与x 轴平行的一组直线，它的高低与的值有关 所以一定在/1(),(,]y f x x a =∈-∞的极值点右侧，同时三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分） 解：（1）集合：， 解得：或集合B ：图象单调递增，，则{|4}B y a y a =-<≤- ．8分（2），由，结合数轴，或，解得或． 13分 17．（本题满分12分）解：由已知：（1），41)46(212sin21cos 22=⨯-=-=∴C C 又，415)41(1cos 1sin 22=-=-=∴C C ． ．．…．5分 （2），由正弦定理得，由余弦定理，得C ab b a c cos 2222-+=，得，从而．4154152121sin 21=⨯⨯⨯==∆C ab S ABC ．．…．13分 18．（本题满分13分）解：（1）当，时11222n n nn n n a S S +-=-=-= 又21112222a S ==-==，也满足上式，所以数列的通项公式为，设公差为，则由，，成等比数列，得 2(22)2(28)d d +=⨯+ 解得（舍去）或所以数列的通项公式为 ．．…．7分 （2）解：21(1)(1)n n c n b n n ==++数列的前项和1111122334(1)n T n n =++++⨯⨯⨯⨯+11111111223111nn n n n =-+-++-=-=+++ ．．…．13分 19．解：22233()()212[cos cos()sin sin()]144344322cos()3x x x x f x a b a a b b x πππ=+=+⋅+=++-++=++ …2分 当，，即：422,33k k k Z πππππ-≤≤-∈时，单调递增， 增区间为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--32,342ππππk k ， …5分 （Ⅱ）由得，当时当时， …9分 （3）51()22cos()cos()3234f x x x ππ=++=∴+=，所以1sin()sin()cos()6634x xx πππ-=--=-+=-。