2020年湖北省鄂南七校联盟高一5月联考数学(含答案)

高一年级5月联考数学试卷时长：150分钟 满分：150分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号镇写在本试卷和答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集，，若，则（ ）{}016U A B x N x ==∈<+< {}1,2A =A B =∅ B =A. B.C.D.{}0,3,4{}0,1{}1,0-{}2,3,42.已知复数（其中i 是虚数单位）是实数，则实数a 的值是（ ） 2i12ia z +=+A.B.2C.3D.41-3.中内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，，ABC △()()3a b c a c b ac +++-=，那么是（ ）sin 2sin cos B A C =ABC △A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形4.函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭π()f x 6π位长度后，得到一个偶函数的图象，则（ ） A.B.C.D.3πϕ=6πϕ=3πϕ=-6πϕ=-5.的斜二测画法的直观图为，，，，则ABC △A B C '''△4A B ''=3B C ''=6A B C π'''∠=ABC△的面积为（ ）A.3B.C. D.6.中内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若的面积为，则ABC △ABC △2224a b c +-（ ）tan C =C.17.在中，，，D 为BC 的中点，将绕AD 旋转至，ABC △2AB AC ==BC =ACD △APD使得的外接球表面积为（ ）BP =P ABD -C. D. 7π8π8.在中，AD 为BC 上的中线，G 为的重心，M ，N 分别为线段AB ，AC 上的动ABC △ABC △点，且M ，N ，G 三点共线，若，，则的最小值为（ ）AM AB λ= AN AC μ=4λμ+A.B.3C.2D. 3294二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.如下图，点A ，B ，C ，P ，Q 是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足平面的有PQ∥ABC （）A.B. C. D.10.下列各式中，值是的是（ ） 12A. B.cos cos sin sin 33x x x x ππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan10tan 35tan10tan 35︒+︒+︒︒C. D.2tan 22.51tan 22.5︒-︒22cos 203sin50-︒-︒11.已知，将绕坐标原点O 分别旋转，60°，120°到，，34,55OP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭OP60-︒1OP 2OP 3OP 的位置，则（）A.点的坐标为B.1P 12PP PP =C.D.123OP OP OP OP ⋅=⋅ 132OP OP OP OP ⋅<⋅12.欧拉公式（其中，i 为虚数单位）由瑞士著名数学家欧拉发现，i ecos isin θθθ=+e 2.718=⋅⋅⋅该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，下列结论中正确的是（ ）A.B.321i eπθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2i i ei e πθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅C. D.()i i i e e e θαθα--=()2cos sin x i i i e e eθαθθαα⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=+三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知（i 为虚数单位），则______.()20232i iz -=z =14.已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为3.则四棱台的高为______. 15.在中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b，c ，若，，，则角A ABC △23A π=7a =3b =的角平分线______. AD =16.已知，如果存在实数，使得对任意的实数x ，都()()2sin cos 0f x x x x ωωωω=+>0x 有成立，则的最小值为______.()()()002023f x f x f x π≤≤+ω四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知复数，且为纯虚数.()()212i z m m m m R =-++-∈i z ⋅（1）求实数m ；（2）若，，求复数. z ω=2i ωω-=ω18.（本小题满分12分）已知向量，满足，a b 1a = (b =（1）若，求的值；23a b += 23a b -（2）若，求在上的投影向量的坐标.()0a a b ⋅-=a b 19.（本小题满分12分）如图所示，BD 为平面四边形的对角线，设，，ABCD 2AB =sin ABD ADB ∠=∠为等边三角形，记.BCD △()0BAD θθπ∠=<<（1）当时，求的面积；BD =ABD △（2）设S 为四边形的面积，用含有的关系式表示S ，并求S 的最大值. ABCD θ20.（本小题满分12分）已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选()()cos 20,2f x x πωϕωϕ=+><⎛⎫⎪⎝⎭择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定；()f x 条件①：的最小正周期为；条件②：；条件③：图象的一条对称轴为()f x π()00f =()f x .3x π=（1）求的解析式； ()f x （2）存在使得不等式成立，求实数m 的取值范围.,33x ππ⎡∈-⎤⎢⎥⎣⎦cos 36x x m ππω⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+-<21.（本小题满分12分） 如图，在正四棱锥中，，，N 、E 、F 分别为PD 、BC 、P ABCD -2AB =4PA =2PM MB =CD 中点.（1）求证：平面PMN ； EF ∥（2）三棱锥的体积. N MCD -22.（本小题满分12分）已知中，，，，Q 是边AB （含端点）上的动点.ABC △2AB =3AC =13BP BC =（1）若，O 点为AP 与CQ 的交点，请用，表示；25AQ AB =AB AC AO （2）若点Q 使得，求的取值范围及的最大值.AP CO ⊥cos BAC ∠AQC S △2023年湖北云学新高考联盟学校高一年级5月联考数学试卷评分细则1-8ADAD BCCB9.AD10.ACD11.BCD12.ABD13.15. 16. 12i 55-1581404617.解：（1）∵为纯虚数()()2i 21i z m m m ⋅=-+-+-，∴ （5分） 22010m m m +-=-≠⎧⎨⎩2m =-（2）由（1）有，∴（6分）3z =-3ω=令，∴()i ,a b a b R ω=+∈2i 2ib ωω-==∴ ∴ （8分）22922a b b +==⎧⎨⎩1a b =±=⎧⎪⎨⎪⎩∴ （10分）i ω=±+18.解：（1） （1分）2b =，∴ （3分）2222444179a b a a b b a b +=+⋅+=⋅+= 2a b ⋅=-∴ （6分）238a b -=== （2） ∴ （8分）()210a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=1a b ⋅= ∴ （10分）1cos ,2a b a a b b⋅==∴，∴投影向量坐标为（12分） 1124b b ⎛= ⎝14⎛ ⎝19.解：（1）在中，（2分）ABD △sin sin AD ABDABADB∠==∠AD==∴（3分） cos θ==又∵ ∴ 0θπ<<1sin2θ=∴. （5分） 11222ABD S =⨯⨯=△（2）在中，ABD △cos θ=∵ （7分）216BD θ=-∴ 211222S BD θ=⨯⨯+⨯6cosθθ=-+（10分）3πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∵，∴ 0θπ<<2,333πππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭∴当即时，（12分）32ππθ-=56πθ=max S =20.解：（1）选①③ （1分） ∵ ∴ （2分） 22T ππω==1ω=∴ ()()cos 2f x x ϕ=+又∵为对称轴，∴3x π=23k πϕπ+=而 ∴ ∴ （6分） 2πϕ<3πϕ=()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）令 cos 36y f x x ππω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（8分）22cos cos 166x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令 ∴在上单增 ()cos 016t x t π⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭221y t t =+-[]0,1∴当时， （11分）0t =min 1y =-∴ （12分） 1m >-21.解：（1）证明：连接BD∵四边形为正方形，E ，F 为BC ，CD 的中点 ABCD ∴ （1分）EF BD ∥又B ，D ，N ，P ，M 五点共面，平面，平面 （3分）EF ⊄PMN BD ⊂PMN ∴平面 （4分）EF ∥PMN （2）（6分） 1223N ABCDV -=⨯⨯=112111223336N MCD M CDN M PCD B PCD B PCD P BCD P ABCD V V V V V V -------===⨯⨯==== （12分） N MCD V -=22解：∵ ∴ （1分）13BP BC =2133AP AB AC =+ 又∵A 、O 、P 三点共线，令， 233AO AP AB AC λλλ==+∵ ∴， 52AB AQ = 533AO AQ AC λλ=+而C 、O 、Q 三点共线，∴∴ 5133λλ+=12λ=∴ （4分）1136AO AB AC =+（2）可得，又因为，1233AP AC AB =+ CQ AQ AC ==设，则， ()01AQ AB t =≤≤ CQ t AB AC =- 由，可得.即， （6分）AP CQ ⊥ 0AP CQ ⋅= ()12033AC AB AB AC t ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭所以，2212203333t AC AB AC t AB AC AB ⋅-+-⋅=即. 286cos 3033t BAC t -⨯∠-+=整理得 （8分）()()()()8873247333cos 2222362t t BAC t t t ----∠===-----因为，在上单调递增， []0,1t ∈()47362y t =---[]0,1故 （10分） ()4731cos ,36246BAC t ⎡⎤∠=--∈--⎢⎥-⎣⎦又因为1sin 332AQC ABCS tS tAB AC BAC ==⨯⨯==△△可知是关于t 的函数在上单调递增，所以当时，. （12AQC S △[]0,11t =AQC S △分）。

2020-2021学年湖北省重点高中智学联盟高一（下）联考数学试卷（5月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合M ={x|y =lg(x 2−4)}，N ={x|0<x <4}，则(∁R M)∪N =( )A. {x|−2≤x <4}B. {x|0<x ≤2}C. {x|−2≤x ≤2}D. {x|x <4}2. 若复数z 满足z −(1+i)=2i(i 是虚数单位)，则复数z 的虚部为( )A. iB. −iC. 1D. −13. 下列命题中，正确的是( )A. ∀x ∈R ，2x >x 2B. ∃x ∈(0,π2)，sinx +cosx =1 C. ∃x ∈(0,1)，log 2x >xD. ∀x ∈R ，x 2+x +2>04. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，三角形的面积s 可由公式S =√p(p −a)(p −b)(p −c)求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦−秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a +b =10，c =6，则此三角形面积的最大值为( )A. 10B. 11C. 12D. 135. G 是△ABC 的重心，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若20a GA⃗⃗⃗⃗⃗ +15b GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12c GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则cosA =( ) A. 0B. 35C. 45D. 16. 下列函数中，有对称中心或对称轴的有( )①y =2x−5x+1，②y =|3sinx −7cosx|，③y =x 3−1，④y =2x +1．A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个7. 若α，β是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a ，a ⊥α，a ⊥β； ②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a//β，b//α； ④存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a//β，b//α． 那么可以是α//β的充分条件有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个8. 如图所示，一个棱长为4的正四面体，沿棱的四等分点作平行于底面的截面，截去四个全等的棱长为1的正四面体，得到截角四面体，则该截角四面体的体积为( )A. 4B. 4√2C. 5D. 5√2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B =π3,b =1，则a +c 的值不可能为( )A. 1B. 2C. 3D. 410. 如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成θ(θ≠π2)角的两条数轴，e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 分别是与x ，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ仿射坐标系，若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x e 1⃗⃗⃗ +y e 2⃗⃗⃗ ，则把有序数对(x,y)叫做向量OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的仿射坐标，记为OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)，在θ=2π3的仿射坐标系中，a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(2,−1)，则下列结论中，正确的是( )A. a ⃗ −b ⃗ =(−1,3)B. |a ⃗ |=√3C. a ⃗ ⊥b⃗ D. |a ⃗ |=|b⃗ | 11. 如图，在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为棱CC 1上的动点(点P 不与点C ，C 1重合)，过点P 作平面α使A 1C ⊥平面α，分别与棱BC ，CD 交于M ，N 两点，则下列说法正确的是( )A. CP =CM =CNB. 存在点P ，使得AC 1//平面αC. 存在点P ，使得点A 1到平面α的距离为74D. 用过点P ，M ，D 1的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形12. 已知函数f(x)={ln(x +1),x ≥0x 2−2ax +1,x <0，其中实数a ∈R ，则下列关于x 的方程f 2(x)−(1+a)f(x)+a =0的实数根的情况，说法正确的有( )A. a 取任意实数时，方程最多有4个根B. 当−1−√52<a <1+√52时，方程有3个根 C. 当a =−1−√52时，方程有3个根 D. 当a ≤−5时，方程有4个根三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设α，β都是锐角，且sinα=35,cos(α+β)=817，则cosβ=______． 14. 幂函数y =f(x)，x ∈D ，∀x 1，x 2∈D ，满足f(x 1+x 22)>f(x 1)+f(x 2)2，则下列幂函数满足上述性质的有______(填序号) ①y =x −1(x >0)； ②y =x 12； ③y =x ； ④y =x 2．15. 已知△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2中，∠A 1=∠A 2=π4,B 1C 1=B 2C 2=√2，若“A 1B 1=A 2B 2=t(t ∈R)”是“△A 1B 1C 1≌△A 2B 2C 2”的充要条件，则t 的范围为______． 16. 在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 是棱CC 1的中点，N 是侧面B 1BCC 1内的动点，且满足直线A 1N//平面AD 1M ，当直线A 1N 与平面B 1BCC 1所成角最小时，记过点D ，M ，N 的平面截正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1所得到的截面为Ω，则截面Ω的周长为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. (1)计算：(12+√32i)2+i(1−√3i)2(2+2i)2；(2)解方程：x 2+6x +10=0(x ∈C)．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(sinA+sinC)2=sin2B+sinAsinC．(1)求B的大小；(2)若a=3，且S△ABC=15√3，BD是AC边的中线，求BD的长度．419.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，E为CC1的中点．(1)求证：AC1//平面BDE；(2)求二面角A−D1C−D的余弦值．)，点A、B、C时直线y=m(m>0) 20.已知函数f(x)=2sin(ωx−φ),(ω>0,0<φ<π2π.将f(x)的与函数f(x)的图像自左至右的某三个的相邻交点，且3|AB|=|BC|=34图像向左平移π个单位，得到的函数关于原点对称．8(1)求函数f(x)的解析式．]，以f(a)+t、f(b)+t、f(c)+t的值为边长可以构成一个(2)若对∀a,b,c∈[0,π2锐角三角形，求实数t的取值范围．21.如图，已知正三棱锥P−ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.作GH//PB交PA于H．(1)证明：G是AB的中点；(2)证明：GH⊥面PAC；(3)过点E作EF⊥面PAC，F为垂足，求三棱锥P−DEF的外接球体积．22.对于函数f(x)(x∈D)，若存在正常数T，使得对任意的x∈D，都有f(x+T)≥f(x)成立，我们称函数f(x)为“T同比不减函数”．(1)求证：对任意正常数T，f(x)=x2都不是“T同比不减函数”；(2)若函数f(x)=kx+sin2x是“π同比不减函数”，求k的取值范围；2[|x−a2|+|x−(3)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=122a2|−3a2].是否存在正常数T，使得对于任意的a∈[−3,3]，函数f(x)都为“T同比不减函数”，若存在，求T的取值范围；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合M ={x|y =lg(x 2−4)}={x|x <−2或x >2}， ∴∁R M ={x|−2≤x ≤2}， ∵N ={x|0<x <4}，∴(∁R M)∪N ={x|−2≤x <4}． 故选：A ．求出集合M ，进而求出∁R M ，由此能求出(∁R M)∪N ．本题考查了集合的运算，考查补集、并集、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：由z −(1+i)=2i ，得z −=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2+2i12−i 2=2+2i 2=1+i ，∴z =1−i ，则复数z 的虚部为−1． 故选：D ．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：对于A ，取x =2时，2x =x 2，故A 错误， 对于B ，sinx +cosx =√2sin(x +π4)，又x ∈(0,π2)， 所以√2sin(x +π4)∈(1,√2]，故B 错误，对于C ，当x ∈(0,1)时，log 2x <0<x ，故C 错误，对于D ，对∀x ∈R.x 2+x +2=(x +12)2+74≥74>0，故D 正确， 故选：D ．对于A ，取x =2，即可判断正确与否，对于B ，根据辅助角公式及三角函数的性质，即可sinx +cosx =√2sin(x +π4)∈(1,√2]，由此即可判断，对于C ，根据对数函数的性质即可判断，对于D ，根据二次函数的性质，采用配方法即可判断．本题考查函数的基本性质，及命题的相关知识，考查学生的分析问题的能力，属于中档题．4.【答案】C【解析】解：由题意，a +b =10，c =6，可得p =8，S =√8(8−a)(8−b)(8−c)=√16(8−a)(8−b)≤√16⋅8−a+8−b2=12，当且仅当a =b 时等号成立， 所以此三角形面积的最大值为12． 故选：C ．由题意可得p =8，S =√16(8−a)(8−b)，进而利用基本不等式，即可得出结论． 本题考查面积的计算，考查基本不等式的运用，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：∵G 是△ABC 的重心，∴GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∵20a GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +15b GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12c GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴20a 1=15b 1=12c 1，∴20a =15b =12c ，不妨取c =53a ，b =4a 3，∴cosA =b 2+c 2−a 22bc=25a 29+16a 29−a 22×5a 3×4a 3=45． 故选：C ．G 是△ABC 的重心，可得GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，由20a GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +15b GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12c GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，可得20a 1=15b 1=12c 1，可得20a =15b =12c ，再利用余弦定理即可得出．本题考查了三角形重心性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：对于①y=2x−5x+1=2−7x+1，其图象相当于将y=−7x向左平移1个单位再向上平移2个单位得到的，所以对称中心为(−1,2)，故有对称中心；对于②y=|3sinx−7cosx|=|√58sin(x−φ)|(tanφ=73)，令x−φ=kπ+π2，k∈Z，所以对称轴为x=kπ+π2+φ，k∈Z，故有对称轴；③y=x3−1，其图象相当于将y=x3的图象向下平移1个单位得到的，所以对称中心为(0,−1)，有对称中心；④y=2x+1，其图象相当于将y=2x的图象向上平移1个单位得到的，结合图象可知，无对称中心和对称轴；故满足题意的有3个．故选：A．①利用分离常数的方法确定对称中心；②利用辅助角公式说明对称轴；③根据三次函数图象的特点以及图象平移进行说明；④根据指数函数图象的的特点以及图象平移进行说明．本题主要考查函数的对称性，熟练掌握常见函数的性质以及图象的平移是解题的关键，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：当α、β不平行时，不存在直线a与α、β都垂直，∴a⊥α，a⊥β⇒α//β，故①正确；对②，γ⊥α，γ⊥β，α、β可以相交也可以平行，∴②不正确；对③，∵a//b，a⊂α，b⊂β，a//β，b//α时，α、β位置关系不确定，∴③不正确；对④，∵异面直线a，b.∴a过上一点作c//b；过b上一点作d//a，则a与c相交；b与d相交，根据线线平行⇒线面平行⇒面面平行，∴④正确．故选C根据垂直于同一直线的两平面平行，判断①是否正确；根据垂直于同一平面的两平面位置关系部确定来判断②是否正确；借助图象，分别过两平行线中一条的二平面位置关系部确定，判断③的正确性；利用线线平行，线面平行，面面平行的转化关系，判断④是否正确．本题考查面面平行的判定．通常利用线线、线面、面面平行关系的转化判定．8.【答案】D【解析】解：棱长为4的正四面体的底面正三角形的高为4×√32=2√3，则其高为√42−(23×2√3)2=4√63，故此正四面体的体积为13×√34×42×4√63=16√23，同理可得，棱长为1的正四面体的体积为√212，所以该截角四面体的体积为16√23−4×√212=5√2．故选：D．先计算出棱长为4的正四面体的体积，然后再计算出棱长为1的正四面体的体积，由此可求得答案．本题考查了空间几何体体积的求解，主要考查了正四面体的几何性质的应用，正四面体体积的求解，考查了空间想象能力与化简运算能力，属于中档题．9.【答案】ACD【解析】解：因为asinA =bsinB=csinC=1sinπ3=2√33，所以a=2√33sinA，c=2√33sinC，所以a+c=2√33(sinA+sinC)，又A+C=2π3，且{0<C=2π3−A<π20<A<π2，所以A∈(π6,π2)，所以a+c=2√33[sinA+sin(2π3−A)]=2√33(32sinA+√32cosA)=2sin(A+π6)，又A∈(π6,π2 )，所以A+π6∈(π3,2π3)，所以a+c=2sin(A+π6)∈(√3,2]，所以a+c不可能为1，3，4．故选：ACD．利用正弦定理将a，c表示为角的正弦形式，结合三角形形状求解出角的范围，利用三角函数性质求解出a+c的取值范围并进行判断．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的应用，考查了函数思想和转化思想，属于中档题．10.【答案】AB【解析】解：∵θ=2π3，∴e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =|e1⃗⃗⃗ ||e2⃗⃗⃗ |cos2π3=−12，∵a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,−1)，∴a⃗=e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ ，b⃗ =2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ ，则a⃗−b⃗ =e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ −2e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ =−e1⃗⃗⃗ +3e2⃗⃗⃗ =(−1,3)，故A正确，|a⃗|=|e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ |=√(e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ )2=√e1⃗⃗⃗ 2+4e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ +4e2⃗⃗⃗ 2=√1+4×(−12)+4=√1−2+4=√3，故B正确，a⃗⋅b⃗ =(e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ )⋅(2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ )=2e1⃗⃗⃗ 2−2e2⃗⃗⃗ 2+3e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =2−2−32=−32，则a⃗⊥b⃗ 不成立，故C错误，|b⃗ |=|2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ |=√(2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ )2=√4e1⃗⃗⃗ 2−4e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ 2=√4+2+1=√7，故D 错误，故选：AB．根据仿射坐标系的定义，结合向量数量积的应用分别进行判断即可．本题主要考查向量数量积的应用，根据仿射坐标系的定义转化为向量数量积的基本运算是解决本题的关键，是中档题．11.【答案】AD【解析】解：连接BC1，BD，DC1，AD1，D1P，因为CM=CN，CB=CD，所以CMCB =CNCD，所以MN//BD，则CM=CN，又MN⊄平面C1BD，BD⊂平面C1BD，所以MN//平面C1BD，同理可证MP//BC1，所以MP=CP，故C P=CM=CN，故A正确，MP ⊄平面C 1BD ，BC 1⊂平面C 1BD ，所以MP//平面C 1BD ， 又MP ∩MN =M ，MN 、MP ⊂平面α，所以平面C 1BD//平面α， 易证A 1C ⊥平面C 1BD ，所以A 1C ⊥平面α，又AC 1∩平面C 1BD =C 1，所以AC 1与平面α相交，不存在点P ，使得AC 1//平面α，故B 不正确；因为|A 1C|=√1+1+1=√3，点C 到平面C 1BD 的距离为√33，所以点A 1到平面α的距离的取值范围为(2√33,√3)， 又√3<74，所以不存在点P ，使得点A 1到平面α的距离为74，故C 不正确．因为AD 1//BC 1，所以AD 1//MP ，所以用过点P ，M ，D 1的平面去截正方体得到的截面是四边形AD 1PM ，又AD 1//MP ，且AD 1≠MP ，所以截面为梯形，D 正确． 故选：AD ．连接BC 1，BD ，DC 1，AD 1，D 1P ，因为CM =CN ，CB =CD ，所以CMCB =CNCD ，所以MN//BD ，即可判断A ；证明C 1BD//平面α，然后由A 1C ⊥平面C 1BD ，由AC 1∩平面C 1BD =C 1可判断B ，由点A 1到平面α的距离的取值范围为(2√33,√3)可判断C ，过点P ，M ，D 1的平面去截正方体得到的截面是四边形AD 1PM ，可判断D ．本题主要考查线面平行的判定，点面距离的计算，立体几何中的截面问题等知识，属于中等题．12.【答案】ACD【解析】解：关于x 的方程f 2(x)−(1+a)⋅f(x)+a =0， 即[f(x)−1][f(x)−a]=0，解得f(x)=1或f(x)=a ， 函数f(x)={ln(x +1),x ≥0x 2−2ax +1,x <0，当x ≥0时，f(x)=ln(x +1)单调递增，当x <0时，f(x)=x 2−2ax +1=(x −a)2+1−a 2， 对称轴为x =a ，判别式Δ=4(a +1)(a −1)， 当a ≥0时，函数f(x)的图象如下：由图象可知，方程f(x)=1有一个根， 当a >1时，方程f(x)=a 有2个根， 当0≤a <1时，方程f(x)=a 有1个根，故当a >1时，已知方程有3个根，当0≤a <1时，已知方程有2个根， 当a =1时，已知方程有1个根， 当a =−1时，函数f(x)的图象如下：当−1<a <0时，函数f(x)的图象如下：由两个图象可知，−1≤a<0时，方程f(x)=1有2个根，方程f(x)=a没有根，故已知方程有2个根，(3)当a<−1时，函数f(x)的图象如下：，方程f(x)=1有2个根，下面讨论最小值1−a2与a的关系，由1−a2<a，解得a<−1−√52，1−a2<a，直线y=a如图①，方程f(x)=a有2个根，当a<−1−√52故已知方程有4个根，当a=−1−√5时，1−a2=a，直线y=a如图②，方程f(x)=a有1个根，2故已知方程有3个根，<a<−1时，1−a2>a，直线y=a如图③，方程f(x)=a没有根，当−1−√52故已知方程有2个根，综上可知，a取任意值时，方程最多有4个根，故A正确，<a<−1时，方程有2个根，当−1−√52当a=1时，方程有1个根，当a>1时，已知方程有3个根，故B错误，当a=−1−√5时，方程有3个根，故C正确，2时，方程有4个根，故D错误．当a<−5<−1−√52故选：ACD．先化简方程为f(x)=1或f(x)=a，再对a进行分类讨论，结合图象来确定f(x)=1或f(x)=a分别有几根，根据结果对选项逐一判断即可．本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查学生的运算能力及数形结合能力，属于难题．13.【答案】7785【解析】解：∵α、β为锐角，∴α+β∈(0,π)，∵cos(α+β)=817>0，sinα=35，∴sin(α+β)=√1−cos2(α+β)=1517，cosα=√1−sin2α=45，∴cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=817×45+1517×35=7785．故答案为：7785．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin(a+β)，cosa的值，利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，属于基础题．14.【答案】②【解析】解：如图，只有凸函数才满足f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2，故只有②满足，故答案为：②．由f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2得到函数为凸函数，再利用幂函数的图象与性质求解即可．本题考查了求幂函数的图象与性质，凸函数的性质，是基础题．15.【答案】(0,√2]∪{2}【解析】解：若A 1B 1=A 2B 2=t(t ∈R)是△A 1B 1C 1≌△A 2B 2C 2的充要条件， 则△A 1B 1C 1只有唯一解，①当B 1C 1=A 1B 1sinA 时，则√2=√22t ，∴t =2，②当{B 1C 1≥A 1B1A 1B 1>0时，则{√2≥t t >0，∴0<t ≤√2，∴t 的范围为(0,√2]∪{2}． 故答案为：(0,√2]∪{2}．△A 1B 1C 1只有唯一解包含两种情况：①∠C =90°，②B 1C 1≥A 1B 1，分别求出t 的范围即可．本题考查了三角形有唯一解问题，充要条件的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】2+√5或3√22+√5【解析】解：取E 为BB 1中点，F 为B 1C 1中点， 由正方体的性质得EM//A 1D 1，EM =A 1D 1， ∴四边形A 1EMD 1是平行四边形， ∴A 1E//MD 1，∵A 1E ⊄面AMD 1，MD 1⊂面AMD 1， ∴A 1E//面AMD 1，由中位线性质得：EF//BC 1， 又∵AD 1//BC 1， ∴EF//AD 1，∵EF ⊄面AMD 1，AD 1⊂面AMD 1， ∴EF//平面AMD 1， 又∵A 1E ∩EF =E ， ∴面A 1EF//面AMD 1， ∴N 在EF 上，又∵直线A 1N 与平面B 1BCC 1所成角为∠A 1NB 1，sin∠A 1NB 1=A 1B 1A 1N，∴当A 1N 最大时，直线A 1N 与平面B 1BCC 1所成角最小，即N与E、F重合时，直线A1N与平面B1BCC1所成角最小，当N与E重合时，过点D、M、N的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1所得到的截面为四边形AEMD，此时截面Ω的周长为2(1+√1+14)=2+√5；当N与F重合时，过点D、M、N的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1所得到的截面为四边形A1FMD，此时截面Ω的周长为√2+2√1+14+√22=3√22+√5．故答案为：2+√5或3√22+√5．取E为BB1中点，F为B1C1中点，证明面面平行，再根据线面角正弦值，讨论N的两种位置情况可得答案．本题考查线面所成角，面面平行的判定，正方体中的截面问题，考查空间思维能力，运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)(12+√32i)2+i(1−√3i)2(2+2i)2=14+√32i−34+i(1−2√3i−3)4+8i−4=−12+√32i+√3−i4i=−12+√32i+−i(√3−i)−4i2=−12+√32i−14−√34i=−34−√34i；(2)由x2+6x+10=0，得x=−6±√4i2=−3±i．∴方程x2+6x+10=0的根为−3−i或−3+i．【解析】(1)直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案；(2)直接利用实系数一元二次方程的求根公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查实系数一元二次方程根的求法，是基础题．18.【答案】解：(1)因为(sinA+sinC)2=sin2B+sinAsinC，可得sin2A+sin2C= sin2B−sinAsinC，所以由正弦定理可得a2+c2=b2−ac，即a2+c2−b2=−ac，所以cosB =a 2+c 2−b 22ac=−ac 2ac=−12，因为B ∈(0,π)， 所以B =2π3．(2)因为AB =5，BC =3，B =2π3，则cos 2π3=52+32−AC 22×5×3=−12，可得AC =7，则AD =DC =72，又∠BDA +∠BDC =π，可得cos∠BDA +cos∠BDC =0， 由余弦定理可得BD 2+(72)2−522×72×BD +BD 2+(72)2−322×72×BD =0，整理可得BD 2=194，解得BD =√192．【解析】(1)由正弦定理化简已知等式可得a 2+c 2−b 2=−ac ，由余弦定理可得cosB =−12，结合范围B ∈(0,π)，可得B 的值．(2)由题意利用余弦定理可求AC 的值，进而可得AD =DC =72，又cos∠BDA +cos∠BDC =0，由余弦定理建立等式即可解得BD 的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.【答案】解：(1)连接AC ，AC⋂BD =O ，连接OE ，因为E 为CC 1的中点，四边形ABCD为正方形，所以O 为AC 的中点， 在△ACC 1中，OE//AC 1，又AC 1⊄面EDB ，OE ⊂面EDB ，故AC 1//面EDB ．(2)因为在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中AD ⊥面DCC 1D 1，即AD ⊥面DCD 1， 作DG ⊥D 1C 于G ，连接AG ，则∠AGD 即为二面角A −D 1C −D 的平面角， 在Rt △D 1DC 中，12×DD 1×DC =12×DG ×D 1C ， 且DD 1=2,DC =1,D 1C =√5，故DG =2√55， 在Rt △ADG 中，AG 2=AD 2+DG 2=12+(2√55)2=95，故AG =3√55， cos∠AGD =DGAG =23，故二面角A −D 1C −D 的余弦值为23．【解析】(1)连接AC ，AC⋂BD =O ，连接OE ，利用三角形中位线的性质得到OE//AC 1，即可得证；(2)依题意可得AD ⊥面DCD 1，作DG ⊥D 1C 于G ，连接AG ，则∠AGD 即为二面角A −D 1C −D 的平面角，利用等面积法求出DG ，再利用勾股定理求出AG ，最后利用锐角三角函数计算可得二面角的余弦值．本题主要考查线面平行的证明，二面角余弦值的计算等知识，属于中等题．20.【答案】解：(1)函数f(x)=2sin(ωx −φ)，由3|AB|=|BC|=34π，解得|AB|=π4， 所以T =|AB|+|BC|=π， 故ω=2πT=2，所以f(x)=2sin(2x −φ)，将f(x)的图象向左平移π8个单位得到f(x +π8)=2sin[2(x +π8)−φ]=2sin(2x +π4−φ)关于原点对称，所以π4−φ=kπ(k ∈Z)， 所以φ=π4−kπ，k ∈Z ， 因为0<φ<π2， 所以φ=π4，所以f(x)=2sin(2x −π4)；(2)x ∈[0,π2]时，2x −π4∈[−π4,34π]，f(x)∈[−√2,2]，f(x)+t ∈[−√2+t,2+t]，由题意知，要构成锐角三角形，则要使{f(a)+t +f(b)+t >f(c)+t[f(a)+t]2+[f(b)+t]2>[f(c)+t]2对任意的a,b,c ∈[0,π2]恒成立，所以{[f(a)+t]min +[f(b)+t]min >[f(c)+t]max[f(a)+t]min 2+[f(b)+t]min 2>[f(c)+t]max 2成立，即{(−√2+t)+(−√2+t)>2+t (−√2+t)2+(−√2+t)2>(2+t)2， 所以{t >2+2√2t >4+4√2，所以t >4+4√2．故t 的取值范围是(4+4√2,+∞)．【解析】(1)由已知求得|AB|=π4，从而求得周期T =π,ω=2πT=2，再根据图象的平移和正弦函数的对称性求得φ，得出函数的解析式； (2)由已知求得函数f(x)的值域，将问题转化为使{f(a)+t +f(b)+t >f(c)+t [f(a)+t]2+[f(b)+t]2>[f(c)+t]2对任意的a,b,c ∈[0,π2]恒成立，根据函数f(x)的值域建立不等式组，解之可求得答案．本题考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．21.【答案】(1)证明：因为PD ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，则PD ⊥AB ，又DE ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，则DE ⊥AB ， 因为PD ∩DE =D ， 所以AB ⊥平面PDG ，又PG ⊂平面PDG ，则AB ⊥PG ， 三棱锥P −ABC 为正三棱锥， 所以PA =PB ， 故PG 为AB 边的中线， 故G 为AB 的中点；(2)证明：因为三棱锥P −ABC 为正三棱锥， 所以各个侧面都是全等的等腰三角形，且PA ⊥PB ， 故PC ⊥PB ，PA ⊥PC ，且PA ∩PC =P ， 则PB ⊥平面PAC ，又GH//PB，所以GH⊥平面PAC；(3)解：作EF//GH，且EF交PA于点F，则EF⊥平面PAC，因为G为AB的中点，且D为正△ABC的中心，所以C，D，G三点共线，且DG=13CG，又AB=√2PA=6√2，所以GC=√32AC=√32×6√2=3√6，故DG=13CG=√6，又PG=AG=3√2，所以PD=√PG2−GD2=2√3，在Rt△PGD中，12⋅GD⋅PD=12⋅PG⋅DE，即12×√6×2√3=12×3√2⋅DE，解得DE=2，所以PE=√PD2−DE2=√12−4=2√2，故PEPG =EFGH=23，又GH=12AP=3，所以EF=2，因为EF⊥平面PAC，PA⊂平面PAC，则PA⊥EF，又DE⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，则PA⊥DE，因为EF∩DE=E，所以PA⊥平面DEF，又DF⊂平面DEF，第21页，共23页故PA⊥DF，取PD的中点O，在Rt△PFD和Rt△PED中，FO=EO=OP=OD，所以O为三棱锥P−DEF的外接球的球心，则OD=12PD=√3，设三棱锥P−DEF的外接球的半径为R，则R=√3，所以三棱锥P−DEF的外接球的体积V=43πR3=4√3π．【解析】(1)利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面PDG，从而AB⊥PG，由正三棱锥的几何性质即可证明；(2)利用正三棱锥的几何性质结合线面垂直的判定定理证明PB⊥平面PAC，由GH//PB，即可证明结论；(3)作EF//GH，且EF交PA于点F，利用边的关系求出所需线段的长度，利用线面垂直的判定定理和性质证明△PFD和△PED为直角三角形，取PD的中点O，求出外接球的半径，由球的体积公式求解即可．本题考查了线面垂直的判定定理和性质的理解与应用，空间几何体几何性质的应用，空间几何体的外接球问题，解题的关键是确定外接球球心的位置，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．22.【答案】证明：(1)任取常数T，存在x0+T=0，∵f(x0)=f(−T)=T2>f(0)=f(x0+T)，即f(x)≤f(x+T)不恒成立，所以f(x)=x2不是“T同比不减函数”，解：(2)因为函数f(x)=kx+sin2x是“π2同比不减函数”，所以f(x+π2)≥f(x)恒成立，代入k(x+π2)+sin2(x+π2)≥kx+sin2x恒成立，k×π2+cos2x≥sin2x，k×π2≥sin2x−cos2x，k×π2≥1−2cos2x，cosx∈[−1,1]，cos2x∈[0,1]，k≥2π(1−2cos2x)，1−2cos2x∈[−1,1]，∴k≥[2π(1−2cos2x)]max=2π，第22页，共23页,+∞)，所以k的取值范围为[2π(3)当x≥0时，(a2−x+2a2−x−3a2)=−x，当0≤x≤a2，f(x)=12(x−a2+2a2−x−3a2)=−a2，当a2≤x≤2a2，f(x)=12(x−a2+x−2a2−3a2)=x−3a2，当x≥2a2，f(x)=12由题知f(x)为奇函数，关于原点对称，如图所示：根据图象易得：要使f(x+T)≥f(x)对任意的x恒成立，只需T>6a2，对任意的a∈[−3,3]恒成立，∴T≥(6a2)max=54即可．所以T∈[54,+∞)．【解析】(1)由题意，利用“T同比不减函数”的定义，进行证明即可，(2)已知得f(x)为“π同比不减函数”，代入解析式，求出k的范围即可，2(3)化简出函数解析式，再由函数的性质，求出T的范围即可．本题考查函数与方程的综合应用，考查学生的运算能力，属于难题．第23页，共23页。

姓名，年级：时间：高一阶段检测数学试卷一、选择题.(每小题4分，共52分，其中1-10为单选题，11-13为多选题）1．设集合{}1,2,3A =,{}220Bx x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（ )A ．{}1,3-B ．{}2,3-C ．{}1,2,3--D ．{}32．某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法随机抽取2%的学生进行调查，其中被抽取的小学生有80人,则样本容量和该地区的高中生近视人数分别为（ ）A ．100，50B ．100，1250C ．200，50D ．200，12503.已知θ是第四象限角,且sin （θ+π4)=35，则tan （θ–π4）= ( ）A ．43-B ．43C ．34D ．34-4.设,,a b c 分别是ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=与sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直5．如图，已知ABC ∆中，D 为AB 的中点，13AE AC =,若DE AB BC λμ=+，则λμ+=（ )A ．56-B ．16-C ．16D ．566．设a ,b ，c 均为正数，且11232112log ,()log ,()log 22ab c b c a ===，则（ ） A ．b c a >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a c b >>7．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点,线段AB 的中点为M （1，－1），则直线l 的斜率为（ ）A ．32B ．23C ．32-D ．23-8．如图，已知A(4,0)、B （0，4），从点P （2，0）射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是 ( ）A ．25B ．33C ．6D ．2109．已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ） A ．32 B ．105C ．155D ．3310.已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ,C 的对边分别为,,a b c ，且2sin a b A =，则cos sin A C +的取值范围是( ） A 。

3． 已知向量 a (1,0) ， b (0,1) ， a c b c 1，则向量 a 在向量 c 上的投影向量为
A．
1 2
,
1 2
B．
2, 2
2 2
4． 22024 被 9 除的余数为
A．1
B． 4
C．
-
1 2
,
1 2
C． 5
D．
2, 2
2 2
D． 8
5． 已知数列{an} 为等差数列， {bn} 为等比数列， a4 b4 3 ，则
题目要求的． 1． 已知复数 z 满足 z i2024 （ i 为虚数单位），则 | z |
1 3i
A． 3
B． 10
C． 4
D． 5
2．
已知集合 M
x
x
n 2
1 4
,
n
Z
，
N
x
x
n 4
1 2
,
n
Z
，则下列表述正确的是
A． M N B． M N R
C． M N
D． N M
C．若 M ， N 分别为直线 AC ， BD 上的动点，则 M ， N 两点的距
离最小值为 2 2
D．与该正四面体各个顶点的距离都相等的截面有10 个 11． 已知 f (x) sin(x )( 0) ，下列结论正确的是
A．若 ， f (x) 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于 y 轴对称，则 可以等于 5
0
，若 |
AF
||
AD
|
，|
BF
|
1 2
，则
C
的方程为
A． y2 2 x 3
B． y2 4 x 3

2020年5月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试数学（文史类）参考答案一、选择题二、填空题13.4-14.1315.13x x⎧⎫>⎨⎬⎩⎭16. 22三、解答题（一）必考题17．解：(1）……………………………4分（2）由题可知，当车速在[]85,90时超速，此时车辆共有：201001.0200=⨯⨯（辆）；……………………………8分这200辆汽车在该路段的平均速度为：721001.08506.07502.06501.055=⨯⨯+⨯+⨯+⨯）（（公路/小时）……………12分18.解：（1）当2n≥时，11(*)2nnnaa n Na--=∈+15:DABDC610:CACAB1112:CB11112(1)n n a a -∴+=+……………………………4分所以数列是以2为公比，以为首项的等比数列，从而……………………………6分（2）由（1）121n n a =-，12(21)(21)nn n n b +∴=--1112121n n +=--- ……………8分 2231111111()()()212121212121n n n T +∴=-+-+⋅⋅⋅+-------11121n +=-- …………………12分 19.解：（1）证明：AD BC //Θ，ADMN AD ADMN BC 平面平面⊂⊄,，∴ADMN BC 平面//. ……………………………2分又BC ⊂平面PBC ，平面PBC I 平面ADMN MN = BC ∴∥MN ……………………………4分（2） 平面⊥PA ΘABCD ，BC ⊂平面ABCDBC PA ⊥∴，又A AB PA AB BC =⊥I ,，PAB BC 平面⊥∴………………………6分 AN ⊂Q 平面PAB ，BC AN ∴⊥，又BC ∥MN ，AN MN ∴⊥ Q 平面ADMN ⊥平面PBC 平面ADMN I 平面PBC MN = AN ∴⊥平面PBC AN PB ∴⊥ ………………………8分 AB PA =Θ，N ∴为PB 中点，又BC ∥MN ，∴21=PC PM 1122P BDM C BDM B CDM B PCD P BCD V V V V V -----∴==== ………………………10分 11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭1112a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭12111221n n n n a a -+=⨯⇒=-11123213BCD P BCD M BCDP ABCD P ABCD ABCD S h V V V V S h ∆----∆⋅⋅∴=⋅，又13BCD ABCD S S ∆∆= 16M BCD P ABCD V V --∴= ………………………12分 20.解：（1）由题可知1c =，又221112a b +=，221a b =+ 2221112(1)a a ∴+=- 422520a a ∴-+= 22(2)(21)0a a ∴--=又21a > 22a ∴=，21b = ………………………4分（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点00(,)P x y ，直线AB 的方程为：(1)y k x =+ 由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得2222(21)4220k x k x k +++-= 212221224212221k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+∴⎨-⎪⋅=⎪+⎩………………………6分 122221k y y k ∴+=+ 2222(,)2121k k P k k -∴++ ………………………8分 HA HB =Q 1PH AB k k ∴⋅=- 22221121213kk k k k +∴⋅=--++ ………………………10分 21k ∴= 1k ∴=± :1AB l y x ∴=+或1y x =--，AB ∴==………………………12分21.解：（1）当1a e=时，1)(-=='x x e ae x f Θ1)1(='∴f ，又1)1(=f ， ∴函数)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程为x y = ………………………4分（2）1a e≥Q ，1-≥∴x x e ae 令x e x m x -=-1)(，则1)(1-='-x e x m ，令1,0)(=='x x m 则 当)1,0(∈x 时，0)(<'x m ，)(x m 单调递减；当),1(+∞∈x 时，0)(>'x m ，)(x m 单调递增，∴0)1()(min ==m x m 故x e x ≥-1恒成立， ………………………6分 只需证1ln +≥xx x ，即证0ln 2≥--x x x ………………………8分 令x x x x n --=ln )(2，则xx x x x x x x x n )1)(12(12112)(2-+=--=--=' 令1,0)(=='x x n 则 当)1,0(∈x 时，0)(<'x n ，)(x n 单调递减；当),1(+∞∈x 时，0)(>'x n ，)(x n 单调递增 ∴min ()(1)0n x n ==，∴ 0)(≥x n 恒成立 ln 1x x x∴≥+ ………………………10分 1ln 1x x x ae e x x -∴≥≥≥+，()()f x g x ∴≥ ()()0f x g x ∴-≥恒成立. ………………………12分（此种解法仅供参考，其它解法斟情给分）（二）选考题22.【选修4—4：坐标系与参数方程】解:（1）（I）直线0y ++= 曲线C ：2239()24x y ++= …………………5分 （2）方法一：联立直线与曲线C得：22139(2))224t --++= 化简得：21202t t +-=， ∴1212t t +=-l lO 到直线的距离d == ………………………8分1211||| |||| |=||2224APO BPO S S AP d BP d t t ∆∆-=⋅-⋅+=．………………10分 方法二：联立直线与曲线C得：22039(2)24y y ++=⎨-++=⎪⎩化简得：2302y y -=，∴12y y += ………………………8分121211||||||||||| |=||224APO BPO S S OP y OP y y y ∆∆-=⋅-⋅+=……………10分 21. 解：（1）由题可知，3,2()21,213,1x f x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩， ……………2分当21x -<<时，212x +≥-312x ∴-≤<； 当1x ≥时，成立， ……………4分 故()2f x ≥-的解集为32x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭. ……………5分 （2）由（1）可知，()f x 的最大值为3，23a b c ∴++= ……………6分 2229()()()24a b c ab ac bc c a c b c ++∴+++=++≤=. ……………10分l l。

湖北省重点中学2020-2021学年高一数学下学期5月联考试题本试卷共4页，22题。

全卷满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效。

4.考试结束后，请将答题卡上交。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝A.4B.3C.2D.02.设复数z＝102i-(其中i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部为A.2B.2iC.－2D.－2i3.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中O'A'＝2，∠B'A'O'＝45°，B'C'//O'A'。

则原平面图形的面积为22322D.344.在一次分层随机抽样中，可分两层进行抽样，通过计算，已知第一层抽取m个数，其平均数为a，第二层抽取n个数其平均数为b，则抽取的总样本的平均数为A.a b2+B.a bm n++ma nba b++D.ma nbm n++5.在空间中，已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是A.若m⊂α，m//n，则n//αB.若m⊥α且m//β，则α⊥βC.若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αD.若α⊥β，α⊥γ，则β//γ6.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。

意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。

2020年5月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试文科数学本试卷共4页，23题.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答在本试题卷上无效.3.非选择题的作答：用黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在本试题卷上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知(2)2a i i b i +⋅=-，其中a ，b 为实数，i 是虚数单位，则复数i a b +=（ ） A. 22i + B. 22i - C. 22i -+ D. 22i --【答案】D 【解析】 【分析】将(2)2a i i b i +⋅=-化为22ai b i -+=-后，根据复数相等的条件可得. 【详解】由(2)2a i i b i +⋅=-得22ai b i -+=-， 所以2,2b a =-=-， 所以22a bi i +=--。

故选：D【点睛】本题考查了复数的乘法运算和复数相等的条件，属于基础题.2.已知集合{}2,,0A a a =，{}1,2B =，若{}1A B ⋂=，则实数a 的值为（ ）A. 1-B. 0C. 1D. ±1【答案】A 【解析】根据{}1A B ⋂=，得1A ∈，根据元素的互异性可知1a =- 【详解】因为{}1A B ⋂=，所以1A ∈， 又2a a ≠，所以0a ≠且1a ≠，所以21a =，所以1a =-(1a =已舍)，此时满足{}1A B ⋂=. 故选：A【点睛】本题考查了集合的交集的概念，考查了集合中元素的互异性，属于基础题.3.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222sin sin sin b c a B Aab A+--=.则角C 等于（ ） A.π6B.π3C.π4D.2π3【答案】B 【解析】 【分析】根据已知等式以及正弦定理可得222b a c ab +-=，再根据余弦定理可得1cos 2C =，根据0C π<<可得答案.【详解】由2222sin sin sin b c a B A ab A +--=以及正弦定理可得2222b c a b aab a+--=， 即222b a c ab +-=，所以222122b ac ab +-=，即1cos 2C =，又0C π<<，所以3C π=.故选：B【点睛】本题考查了正弦定理以及余弦定理，属于基础题.4.设4log 2a =，1212b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. c b a >>C. b a c >>D.【答案】D 【解析】 【分析】化简得12a =，利用16y x =在(0,)+∞上递增可以得到bc >，利用13y x =在(0,)+∞上递增可以得到c a >，根据传递性可得答案.【详解】242211log 2log 2log 222a ====, 113611()()39c ==116211()()82b <==,1133111()()283a c ==<=,所以b c a >>， 故选：D【点睛】本题考查了对数的运算性质，考查了幂函数在(0,)+∞上的单调性，解题关键是将幂值变为同指数的形式，然后利用幂函数的单调性比较大小.5.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>3焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的实轴长为（ ） 2 B. 2C. 22D. 4【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的性质可得2b =，再根据离心率以及222+=a b c 可解得结果. 【详解】由双曲线的性质可得2b =，又3ca=3c a =， 根据222+=a b c 得2243a a +=，解得2a =所以实轴长为222a =. 故选：C【点睛】本题考查了双曲线的性质，考查了离心率公式以及222+=a b c ，考查了实轴的概念，属于基础题.6.从分别标有数字1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数字的奇偶性不同的概率是（ ） A.15B.25C.35D.45【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法得到所有基本事件的总数和所求事件的个数，再根据古典概型的概率公式可得结果.【详解】所有基本事件有：12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，21，31，41，51，32，42，52，43，53，54，共20种，其中抽到的2张卡片上的数字的奇偶性不同的有12，14，23，25，34，45，21，41，32，52，43，54，共12种，根据古典概型的概率公式可得所求事件的概率为123205=. 故选：C【点睛】本题考查了利用列举法求古典概型的概率，属于基础题.7.平行于直线4x y +=且与圆221x y +=相切的直线的方程是（ ）A. 20x y ++=或20x y +-=B. 20x y -+=或20x y -=C. 10x y ++=或10x y +-=D. 40x y +-=或40x y ++=【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，设出切线方程，再根据圆心到切线的距离等于圆的半径列等式可解得结果. 【详解】依题意设圆的切线方程为0x y m ++=，111=+，解得2m =±，所以所求圆的切线方程为20x y ++=或20x y +-=. 故选：A【点睛】本题考查了两直线平行的位置关系，考查了求圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式，属于基础题.8.据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年.如图，现有ABC 满足“勾3股4弦5”，其中3AC =，4BC =，点D 是CB 延长线上的一点，则AC AD ⋅=（ ）A. 3B. 4C. 9D. 不能确定【答案】C 【解析】 【分析】根据ABC 满足“勾3股4弦5”可得AC CB ⊥，再利用平面向量的线性运算以及两个垂直向量的数量积为0，可求得结果.【详解】因为3,4,5AC CB AB ===，所以222AC CB AB +=， 所以AC CB ⊥，所以0AC CB ⋅=，所以0AC CD ⋅=， 所以2()AC AD AC AC CD AC AC CD ⋅=⋅+=+⋅909=+=. 故选：C【点睛】本题考查了勾股定理，考查了平面向量的线性运算，考查了两个垂直向量的数量积为0，属于基础题.9.已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差为d ，前n 项和为n S .若8n S S ≤恒成立，则公差d 的取值范围是（ ）A. 11,78⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B. 1,7⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C. 1,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D.11,78⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为80a ≥且90a ≤，再根据通项公式列不等式组可解得结果.【详解】根据等差数列{}n a 的前n 项和为n S 满足8n S S ≤恒成立，可知80a ≥且90a ≤， 所以170d +≥且180d +≤，解得1178d -≤≤-. 故选：A【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了不等式恒成立转化为最值成立，考查了等差数列前n 项和的最大值，属于基础题.10.如果两个方程的曲线经过若干次平移或对称变换后能够完全重合，则称这两个方程为“互为镜像方程对”，给出下列四对方程： ①sin y x =与πcos 5y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭②2ln y x =与2ln y x = ③24x y =与24y x =④3y x =与32332y x x x =-++则“互为镜像方程对”的是（ ） A. ①②③ B. ①③④C. ②③④D. ①②③④【答案】B 【解析】 【分析】对于①，根据诱导公式化为同名函数后可知，πcos 5y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可以通过平移变换得到，所以①是互为镜像方程对方程；对于②，将2ln y x =化为分段函数后，可知②不是互为镜像方程对方程； 对于③，两个函数的图象关于y x =对称，所以③是互为镜像方程对方程； 对于④，利用差的立方公式变形可知，④是互为镜像方程对方程【详解】对于①，因为7cos()sin()sin()55210y x x x ππππ=+=++=+，所以将sin y x =向左平移710π可得πcos 5y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以①是互为镜像方程对方程；对于②因为22ln 0ln 2ln 2ln()0x x y x x x x >⎧===⎨-<⎩，所以2ln y x =的图象是2ln y x =的图象的一部分，故②不是互为镜像方程对方程；对于③因为24x y =与24y x =关于y x =对称，所以③是互为镜像方程对方程；对于④因为32332y x x x =-++3(1)3x =-+，所以将3y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位可得32332y x x x =-++的图象，故④是互为镜像方程对方程. 故选：B【点睛】本题考查了诱导公式，考查了图象的平移变换和对称变换，考查了差的立方公式，属于基础题.11.ABC 是边长为2的等边三角形，M 为AC 的中点.将ABM 沿BM 折起到PBM 的位置，当三棱锥P BCM -体积最大时，三棱锥P BCM -外接球的表面积为（ ）A. πB. 3πC. 5πD. 7π【答案】C 【解析】 【分析】根据三棱锥P BCM -体积最大，可得,,PM MC PM BM BM MC ⊥⊥⊥，可得三棱锥P BCM -的外接球与以,,MP MB MC 为邻边的长方体的外接球是同一个球，根据长方体的对角线长定理可得外接球的半径，从而可得其表面积. 【详解】当三棱锥P BCM-体积最大时，P 点最高，此时,,PM MC PM BM BM MC ⊥⊥⊥，因为三棱锥P BCM -的外接球与以,,MP MB MC 为邻边的长方体的外接球是同一个球， 设其半径为R ，因为1,3MP MC MB ===， 所以2222(2)1135R MP MC MB =++=++=， 所以三棱锥P BCM -外接球的表面积为245R ππ=. 故选：C【点睛】本题考查了三棱锥的体积，考查了长方体的对角线长定理，考查了球的表面积公式，属于中档题.12.已知函数()()3sin cos 0,0f x x a x a ωωω=+>>，对任意12,x x R ∈，()()12f x f x +的最大值为4，若()f x 在()0,π上恰有两个极值点，则实数ω的取值范围是（ ） A. 47,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 4733⎛⎤ ⎥⎝⎦，C. 713,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 713,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】由题意得()f x 的最大值为2，由此可求得1a =，所以()2sin()6f x x πω=+，求导后可知cos()06x πω+=在()0,π上恰有两个零点，换元后可知cos 0t =在(,)66ππωπ+在上恰有两个零点，所以函数cos y t =的图象与t 轴恰有两个交点，所以35262πππωπ<+≤，由此解得即可.【详解】因为对任意12,x x R ∈，()()12f x f x +的最大值为4， 所以()f x 的最大值为2，232a +=，又0a >，所以1a =， 所以()2sin()6f x x πω=+，所以()2cos()6f x x πωω'=+，因为()f x 在()0,π上恰有两个极值点，所以()2cos()06f x xπωω'=+=，即cos()06xπω+=在()0,π上恰有两个零点，设6t xπω=+，则(,)66tππωπ∈+，所以cos0t=在(,)66ππωπ+在上恰有两个零点，所以函数cosy t=的图象与t轴恰有两个交点，所以35262πππωπ<+≤，解得4733ω<≤.故选：B【点睛】本题考查了三角函数的最值，考查了利用导数研究函数的极值，考查了函数的零点，余弦函数的图像，考查了等价转化思想，属于中档题.二、填空题13.若变量x，y满足约束条件24y xy xx y≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩，则2z x y=-的最小值是______.【答案】-4【解析】【分析】作出可行域，根据图形找到最优解，将最优解的坐标代入目标函数即可得到答案.【详解】作出可行域如图：由图可知，点M为最优解，联立24y x x y =⎧⎨+=⎩解得48,33x y ==，所以48(,)33M ，所以min 482433Z =-⨯=-， 故答案为：4-【点睛】本题考查了线性规划求目标函数的最值，解题关键是找到最优解，属于基础题. 14.若sin 3cos 10αα+=tan α=______. 【答案】13【解析】 【分析】 设10cos ϕ=，310sin ϕ=，将sin 3cos 10αα+=化为sin()1αϕ+=，可得2,2k k Z παπϕ=+-∈，求出sin α和cos α后，相除可得结果.【详解】因为sin 3cos 10αα+=103101αα=， 设10cos ϕ=310sin ϕ=， 则sin()1αϕ+=， 所以2,2k k Z παϕπ+=+∈，所以2,2k k Z παπϕ=+-∈，所以10sin sin(2)cos 210k παπϕϕ=+-==，k Z ∈ 310cos cos(2)sin 2k παπϕϕ=+-==k Z ∈， 所以10sin 110tan cos 3310ααα===.故答案为：13【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了诱导公式，属于基础题. 15.已知函数()2xxf x e ex -=-+，使不等式()()210f x f x -+>成立的x 的取值范围是______.【答案】13x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】根据奇函数的定义可得()f x 为奇函数，利用导数可得()f x 为增函数，再将不等式化为(21)()()f x f x f x ->-=-，利用单调性可解得结果.【详解】因为()2xxf x e ex -=-+，所以()2()x x f x e e x f x --=--=-，所以函数()f x 为奇函数， 又()20xxf x e e-'=++>，所以()f x 在R 上为递增函数，所以()()210f x f x -+>等价于(21)()()f x f x f x ->-=-， 所以21x x ->-，解得13x >. 故答案为：13x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数的奇偶性，考查了利用奇偶性和单调性解不等式，属于基础题.16.已知斜率为()0k k >的直线l 过抛物线C ：26y x =的焦点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为1A ，1B ，若112ABB ABA S S ∆∆=，则k 的值为______.【答案】22【解析】 【分析】1122(,),(,)A x y B x y ，联立直线与抛物线，由韦达定理可得212223663k x x k k++==+，1294x x =，设1A ，1B 到直线l 的距离分别为12,d d ，根据11212ABB ABA S d S d ∆∆==得21922x x +=，联立方程组可解得22k =【详解】依题意可得3(,0)2F ，直线3:()2l y k x =-， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则1112(,0),(,0)A x B x ，联立23()26y k x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y 并整理得22229(36)04k x k x k -++=，所以212223663k x x k k ++==+，1294x x =， 设1A ，1B 到直线l 的距离分别为12,d d ，则1112233||||2211kx k k x d k k --==++2222233||||2211kx k k x d k k --==++所以1122113||223||2ABB ABA x S d S d x -===-，因为1233()()022x x --< 所以21922x x +=，联立211292294x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得134x =，23x =，所以236334k+=+，所以28k =，又0k >，所以22k =故答案为：22【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，点到直线的距离，韦达定理，考查了运算求解能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：17.三峡大坝专用公路沿途山色秀美，风景怡人.为确保安全，全程限速为80公里/小时.为了解汽车实际通行情况，经过监测发现某时段200辆汽车通过这段公路的车速均在[50，90]（公里/小时）内，根据监测结果得到如下组距为10的频率分布折线图：（1）请根据频率分布折线图，将颊率分布直方图补充完整（用阴影部分表示）；（2）求这200辆汽车在该路段超速的车辆数以及在该路段的平均速度.【答案】（1）作图见解析（2）72（公里/小时）【解析】【分析】（1）分别以0.06和0.01为高，10为宽作出两个矩形即可；（2）用第四个矩形的面积乘以样本容量即得这200辆汽车在该路段超速的车辆数，用四个矩形底端的中点值乘以各个矩形的面积，再相加即可得这200辆汽车在该路段的平均速度. 【详解】（1）（2）由题可知，当车速在[80，90]时超速，此时车辆共有：⨯⨯=（辆）；2000.011020这200辆汽车在该路段的平均速度为：()550.01650.02750.06850.011072⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（公里/小时）【点睛】本题考查了频率分布折线图和频率分布直方图，考查了利用频率分布直方图求平均值，属于基础题.18.已知数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，*11()2n n n a a n N a --=∈+，数列{}n b 满足12n n n n b a a +=⋅.（1）证明：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）证明见解析；121n n a =-（2）11121n +--【解析】 【分析】 （1）将()*112n n n a a n N a --=∈+两边倒过来，再加上1，可得111121n n a a -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据定义可知数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，从而可得其通项公式； （2）由()()1121121212121n nn n n n b ++==-----进行裂项求和可得结果.【详解】（1）证明：当2n ≥时，()*112n n n a a n N a --=∈+， ∴111121n n a a -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以2为公比，以1112a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭为首项的等比数列， 从而11112221n n n n a a -+=⨯⇒=-， （2）由（1）121n n a =-，∴()()1121121212121n nn n n n b ++==-----，∴2231111111212121212121n n nT+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭11121n+=--【点睛】本题考查了用定义证明数列为等比数列，考查了由递推关系式求通项公式，考查了裂项求和方法，将nb裂成两项之差是求和的关键，属于中档题.19.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为直角梯形，//AD BC，AD AB⊥，PA⊥平面ABCD，过AD的平面与PC，PB分别交于点M，N，连接MN.（1）证明：//BC MN；（2）已知2PA AD AB BC===，平面ADMN⊥平面PBC，求P BDMP ABCDVV--的值.【答案】（1）证明见解析；（2）16【解析】【分析】（1）根据直线与平面平行的判定定理得//BC平面ADMN，再根据直线与平面平行的性质定理可得//BC MN；（2）根据2PA AD AB BC===，平面ADMN⊥平面PBC，推出M为PC的中点，然后将三棱锥P BDM-的体积转化为三棱锥P BCD-的体积的一半，再根据锥体的体积公式，将将体积比转化为底面积之比即可得到结果.【详解】（1）证明：如图：∵//BC AD ，BC ⊄平面ADMN ，AD ⊂平面ADMN ， ∴//BC 平面ADMN . 又BC ⊂平面PBC ，平面PBC 平面ADMN MN =，∴//BC MN（2）∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PA BC ⊥，又BC AB ⊥，PAAB A =，∴BC ⊥平面PAB ，∵AN ⊂平面PAB ，∴BC AN ⊥，又//BC MN ， ∴AN MN ⊥，∵平面ADMN ⊥平面PBC ，平面ADMN 平面PBC MN =，∴AN ⊥平面PBC ∴AN PB ⊥，∵PA AB =∴N 为PB 中点，又//BC MN ，∴12PM PC =， ∴1122P BDM C BDM B CDM B PCD P BCD V V V V V -----====， 设四棱锥P ABCD -的高为h ，∴11123213BCD P BCDP BDMP ABCDP ABCDABCD S h V V V V S h ----⋅⋅==⋅△△，又13BCD ABCD S S =△△， ∴16P BDM P ABCD V V --=.【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理和性质定理，考查了平面与平面垂直的性质定理，考查了椎体的体积公式，属于中档题.20.在平面直角坐标系中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的焦距为2，且过点21,2⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 左焦点1F 的直线l （不与坐标轴垂直）与椭圆C 交于A ，B 两点，若点1,03H ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足HA HB =，求AB .【答案】（1）2212x y +=（242【解析】 【分析】（1）根据1c =，又221112a b+=，221a b =+，联立方程组可解得22a =，21b =，由此可得椭圆C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()00,P x y ，直线AB 的方程为：()1y k x =+，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理得212221224212221k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，可得2222,2121k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，再利用HA HB =得1PH AB k k =-，可得21k =，再根据弦长公式可得结果.【详解】（1）由题可知1c =，又221112a b+=，221a b =+， ∴()2211121a a +=-， ∴422520a a -+=∴()()222210a a --=， 又21a >∴22a =，21b =，所以椭圆C 的方程为：2212x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()00,P x y ，直线AB 的方程为：()1y k x =+，由()22112y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩可得()2222214220k x k x k +++-=，∴212221224212221k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩， ∴122221ky y k +=+，∴2222,2121k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ∵HA HB =，∴1PH AB k k =-，∴22221121213kk k k k +⋅=--++， ∴21k =，∴1k =±， 所以1243x x +=-，120x x =， 所以221212||1()4AB k x x x x =++-244211()33=+-=. 【点睛】本题考查了根据椭圆的性质求椭圆方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了利用弦长公式求弦长，考查了运算求解能力，属于中档题. 21.已知函数()()xf x ae a R =∈，()ln 1xg x x=+. （1）当1a e =时，求函数()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； （2）当1a e≥时，证明：()()0f x g x -≥.【答案】（1）y x =（2）证明见解析；【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再用直线方程的点斜式即可得到所求切线方程； （2）根据1a e ≥可得1x x ae e -≥，再利用导数证明1x e x -≥和ln 1x x x≥+，根据不等式的传递性可证()()0f x g x -≥.【详解】（1）当1a e =时，1()xx e f x e e-==,所以()1x f x e-'=，∴()11f '=，(1)1f =，∴函数()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为11y x -=-，即y x =. （2）∵1a e≥，∴1x x ae e -≥， 令()1x m x ex -=-，则()11x m x e -'=-，令()0m x '=，则1x =，当()0,1x ∈时，()0m x '<，()m x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0m x '>，()m x 单调递增，∴()()min 10m x m ==， 故1x e x -≥恒成立，所以只需证ln 1xx x≥+，即证2ln 0x x x --≥， 令()2ln n x x x x =--，则()()()221112121x x x x n x x x x x+---'=--==， 令()0n x '=，则1x =，当()0,1x ∈时，()0n x '<，()n x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0n x '>，()n x 单调递增，∴()()min 10n x n ==，∴()0n x ≥恒成立， ∴ln 1xx x≥+， ∴1ln 1xx xae ex x-≥≥≥+， ∴()()f x g x ≥，∴()()0f x g x -≥恒成立.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数证明不等式，考查了不等式的传递性，解题关键是转化为证明三个不等式，属于中档题.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12232x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是3cos 0ρθ+=. （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设()2,0P -，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求APO BPO S S ∆∆-.【答案】（1）直线l 3230x y ++=；曲线C ：223924x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭（23【解析】 【分析】（1）消去参数t 可得直线l 的普通方程，在极坐标方程两边同时乘以ρ，然后利用公式222x y ρ=+，cos x ρθ=，可得曲线C 的直角坐标方程；（2）设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，联立直线l 与曲线C ，根据韦达定理可得1212t t +=-，求得点O 到直线l 得距离后，再根据1211322APO BPO S S d BP d P t t A -=⋅-⋅=+△△即可求得结果. 【详解】（1）由12232x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t 可得直线l 330x y ++=，由3cos 0ρθ+=得23cos 0ρρθ+=，因222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以2230x y x ++=，所以曲线C ：223924x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.高考资源网（ ） 您身边的高考专家（2）联立直线l 与曲线C 得：22133922224t ⎛⎫⎛⎫--++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得：21202t t +-=， 设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ， ∴1212t t +=-， 因为O 到直线l 的距离()2223313d ==+所以12113322APO BPO A S S d BP d t P t -=⋅-⋅=+=△△【点睛】本题考查了参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了直线参数方程中参数的几何意义，属于中档题. 23.已知函数()21f x x x =+--.（1）求不等式()2f x ≥-的解集；（2）设a ，b ，c 为正实数，若函数()f x 的最大值为m ，且2a b c m ++=，求证294ab ac bc c +++≤. 【答案】（1）32x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭（2）证明见解析； 【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值，变成分段函数后可解得结果；（2）由（1）可知，3m =，所以23a b c ++=，再将2ab ac bc c +++分解因式后利用基本不等式可证.【详解】（1）由题可知，32()212131x f x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，高考资源网（） 您身边的高考专家 当2x -≤时，显然不成立，当21x -<<时，212x +≥-，∴312x -≤<； 当1x ≥时，成立，故()2f x ≥-的解集为32x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭. （2）证明：由（1）可知，()f x 的最大值为3，∴23a b c ++=，∴()()222924a b c ab ac bc c a c b c ++⎛⎫+++=++≤= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了分类讨论法解绝对值不等式，考查了利用基本不等式证明不等式，属于基础题.高考资源网（）您身边的高考专家。

湖北省2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题一、单项选择题：（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复平面内复数z 所对应的点为()2,1-，则i z +=（）A.2B.C. D.【正确答案】C【分析】由复数的几何意义以及共轭复数的定义，根据模长公式即可求解.【详解】由题意可知2i z =-，所以2i z =+，进而i 22i z +=+==故选：C2.已知点()1,3A ，()5,1B m -，()3,1C m +，若AB 与AC 共线，则AB在AC 上的投影向量的坐标为（）A.()2,2- B.()2,2- C.()2,2 D.()2,2--【正确答案】D【分析】求向量,AB AC 的坐标，根据向量共线的坐标表示求m ，结合投影向量的定义求AB在AC上的投影向量的坐标.【详解】因为()1,3A ，()5,1B m -，()3,1C m +，所以()()6,2,2,2AB m AC m =--=-，因为AB与AC 共线，所以()()()62220m m -⨯---⨯=，所以4m =，()2,2AB =-- ，()2,2AC =，所以AB 在AC 上的投影向量为AB AC AC AB AC AB AC AC ⋅⋅⋅=-，所以AB在AC上的投影向量的坐标为()2,2--.故选：D.3.已知3a b ⋅=，2a = ，22a b -= ，则a ，b 的夹角为（）A.π3B.π6C.2π3 D.5π6【正确答案】B【分析】由条件结合数量积的运算性质求b ，再由向量夹角公式求a ，b的夹角.【详解】因为22a b -=，所以224a b -= ，故444a a a b b b ⋅-⋅+⋅=，又3a b ⋅=，2a = ，所以b =，所以3cos ,2a b a b a b ⋅===⋅，又[],0,πa b ∈ ，所以π6,a b = ，即a ，b 的夹角为π6，故选：B.4.某广场内供休闲人员休息的石凳是由一个正方体石块截去8个相同的四面体得到的，如图所示，若被截正方体石块棱长为60cm ，则该石凳的体积为（）（单位3cm）A.B.C.D.【正确答案】A【分析】利用割补法，结合几何体的体积公式运算求解.【详解】正方体的体积为3606060216000cm ⨯⨯=，切去的每个四面体的体积为3113030304500cm 32⨯⨯⨯⨯=，所以该石凳的体积为321600084500180000cm -⨯=.故选：A.5.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin cos 2sin cos A C C A =，且222a c b -=，则b =（）A.9B.6C.3D.18【正确答案】B【分析】利用正弦定理和余弦定理将条件转化为边的关系，解方程求b 即可.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，因为sin cos 2sin cos A C C A =，所以22222222222a a b c c c b a R ab R cb+-+-⨯=⨯⨯，所以222222222a b c c b a +-=+-，所以22233a c b -=，又222a c b -=，所以260b b -=，所以6b =或0b =（舍去），故选：B.6.如图，现有A ，B ，C 三点在同一水平面上的投影分别为1A ，1B ，1C ，且11130AC B ∠=︒，11160A B C ∠=︒，由C 点测得B 点的仰角为45︒，1BB 与1CC 的差为10，由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面111A B C 的高度差11AA CC -为（）A.15B.16C.17D.18【正确答案】A【分析】过点C 作1CE BB ⊥，垂足为E ，过点B 作1BF AA ⊥，垂足为F ，由条件解三角形求AF可得结论.【详解】过点C 作1CE BB ⊥，垂足为E ，过点B 作1BF AA ⊥，垂足为F ，则1111,CE C B BF B A ==，设11A B x =，在111A B C △中，由11130AC B ∠=︒，11160A B C ∠=︒，可得11190C A B ∠=，所以112B C x =，因为1BB 与1CC 的差为10，所以10BE =，在CEB 中，90CEB ∠=o ，10BE =，45BCE ∠=o ，所以10CE =，故210x =，所以5x =，在AFB △中，90AFB ∠= ，5BF =，45ABF ∠=o ，所以5AF =，所以A ，C 两点到水平面111A B C 的高度差1115AA CC BE AF -=+=，故选：A.7.在ABC 中，2BA =，4BC =，D 为AC 的中点，BE AC ⊥于E ，H 是线段BE 上的动点，则HD CA ⋅= （）A.8-B.8C.6- D.6【正确答案】C【分析】利用向量的线性运算,结合数量积的运算律,即可化简求解.【详解】法一：()()()12HD CA HB BD CA HB CA BD CA BD CA BA BC BA BC⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=+⋅- ()()2211416622BA BC ==-=-- .法二：将H 特殊到B ，则()()12HD CA BD CA BA BC BA BC ⋅=⋅=+⋅-()()2211416622BA BC ==-=-- .故选：C8.在ABC 中，已知30B =︒，3AC =，点D 在边AB 上，且3BD =，DA DC =，则A ∠=A.π3B.π6C.π3或π9D.π6或π18【正确答案】C【分析】由三角形的内角和以及正弦定理可得335π2cos 2sin 26CD θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，进而结合三角函数的性质，由角的范围即可得关系式求解.【详解】设A θ∠=，∴DCA θ∠=，2BDC θ∠=，5π26BCD ∠θ=-，则0520,512206πθπθπθ⎧<<⎪⎪⎛⎫⇒∈⎨⎪⎝⎭⎪->⎪⎩，BDC 中，33π5π5πsin sin 22sin 2666CD CD θθ=⇒=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ADC △中，()33sin 3sin sin π2sin22cos CD CD θθθθθ=⇒==-故335ππ5πcos sin 2sin sin 25π2cos 6262sin 26CD θθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒=-⇒-=- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，又πππ,2122θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，5π5π20,66θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴π5π226θθ-=-或π5π2π26θθ-+-=，则π3θ=或π9，故选：C二、多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.将向量a替换为复数z ，以下是向量的性质类比到复数中，其中在复数中结论仍然成立的是A.由a a -=，类比为：z z-=B.由a b a b +≤+，类比为：1212z z z z +≤+C.由22a a = ，类比为22z z=D.由a b a b ⋅≤⋅，类比为：1212z z z z ⋅≤⋅【正确答案】AB【分析】根据复数的模的性质和运算性质判断各命题的对错即可.【详解】设i z x y =+，,R x y ∈，则i z x y -=--，所以z -==，z =A 正确；()2222i 2i z x y x y xy =+=-+，2222z x y ==+，C 错误；设12i,i z a b z c d =+=+，所以()12i z z ac bd ad bc ⋅=-++，12z z =，因为复数与实数不能比较大小，故D 错误，()()22222221222z z a c b d a b c d ac bd +=+++=+++++，()2222212z z a b c d +=++++，因为(()2222222224a c a db c b d =+++，()()222222242ac bd a c b d abcd +=++，由基本不等式可得22222a d b c abcd +≥，当且仅当ad bc =时等号成立，所以22ac bd ≥+，故()()221212z z zz +≤+，又12120,0z z z z +≥+≥，所以1212z z z z +≤+，B 正确；故选：AB.10.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的是（）A.“sin2sin2A B =”是“ABC 是等腰三角形”的充分不必要条件B.“sin sin A B >”是“A B >”的充要条件C.若60A =︒，2a =，则ABC 面积的最大值为D.若60A =︒，2a =，则ABC 周长的最大值为6【正确答案】BCD【分析】利用三角函数的性质即可判断A ，由正弦定理边角化即可判断B,由余弦定理,结合不等式即可求解CD.【详解】对于A,在ABC 中由sin2sin2A B =可得22A B,=或22πA B +=，所以,A B =或π2A B +=，所以ABC 为等腰三角形或者为直角三角形，故“sin2sin2A B =”是“ABC 是等腰三角形”的既不充分也不必要条件，故A 错误，对于B,由正弦定理可得sin sin A B >⇔a b >⇔A B >,故“sin sin A B >”是“A B >”的充要条件，故B 正确，对于CD,60A =︒，2a =时,则由余弦定理得224=c b bc +-，则224=24bc c b bc bc ++侈，当且仅当b c =时取等号，故11sin 4222bc A ４�故C 正确，又()()()()2222224==34=34344b c c b bc b c bc b c bc b c b c ++-+-�-�-＾+，当且仅当b c =时取等号，故6a b c ++≤，故D 正确，故选：BCD11.矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，动点P 满足AP AB AD λμ=+，[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则下列说法正确的是（）A.若1λ=，则DP的最小值为4B.若1μ=，则ABP 的面积为定值C.若12μ=，则满足PA PB ⊥ 的点P 不存在D.若13λ=，23μ=，则ABP 的面积为83【正确答案】BCD【分析】建立平面直角坐标系，由条件确定点P 的坐标，依次判断各选项即可.【详解】以点A 为原点，,AB AD为,x y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，则()()()0,0,2,0,0,4A B D ，所以()()2,0,0,4AB AD ==，因为AP AB AD λμ=+ ，所以()2,4AP λμ=，故点P 的坐标为()2,4λμ，对于A ：因为1λ=，所以点P 的坐标为()2,4μ，[]0,1μ∈，所以()2,44DP μ=-，所以()2221612DP μ=+-≥ ，当且仅当1μ=时取等号，所以当1μ=时，DP取最小值，最小值为2，A 错误；对于B ，因为1μ=，所以点P 的坐标为()2,4λ，所以点P 到边AB 的距离为4，所以ABP 的面积12442S =⨯⨯=，B 正确；对于C ，因为12μ=，所以点P 的坐标为()2,2λ，所以()2,2PA λ=-- ，()22,2PB λ=--，若PA PB ⊥，则24440λλ-++=，化简得210λλ-+=，方程210λλ-+=无实数根，即满足PA PB ⊥的点P 不存在，C 正确；对于D ，因为13λ=，23μ=，所以点P 的坐标为28,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以ABP 的面积为1882233⨯⨯=，D 正确；故选：BCD.12.已知圆锥的母线长为6，侧面积为18π，则下列说法正确的是（）A.该圆锥的体积为93πB.该圆锥的内切球的体积为23πC.该圆锥的外接球的表面积为48πD.该圆锥的内接正方体的棱长为12318【正确答案】AC【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解底面圆半径，由体积公式即可判断A,由内切球以及外接球的几何性质,结合勾股定理,相似,即可判断BCD.【详解】对于A ：设圆锥底面半径为r ，母线为l ,则侧面积为12π618π32r r ⋅⋅=⇒=，=21π33V =⨯⨯=，故A 正确；对于B ：由于62l r ==,所以60ABO ∠= ,如图，内切球和圆锥侧面和底面分别切于,C O ,OO B CO B ⅱ@,故内切球半径3tan30r '=⋅︒=，故内切球的体积为34π3⨯=，故B错误；对于C ：外接球的球心为,M 半径R ,则满足：()2223R RR =-+⇒=(24π48πS =⨯=，故C正确；对于D ：以圆锥的顶点以及正方体的一条面对角线作截面如下，设内接正方体的棱长为a ，则由相似可得23a =⇒=，故D 错.故选：AC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数()()221i z m m m m =-+-∈R 为纯虚数，则复数1iz+的虚部为______.【正确答案】12-##0.5-【分析】根据纯虚数的定义可得0m =，进而利用复数的除法运算即可化简求解.【详解】()()221i z m m m m =-+-∈R 为纯虚数，则2=0m m -且210m -≠，故0m =，则i z =-，所以()()()i 1i i 1i ===1i 1i 1i 1i 2z -----+++-，故1i z+的虚部为12-，故12-14.ABC 中，π6B ∠=，AB =，2AC =，则BC =______.【正确答案】2或4【分析】利用余弦定理解三角形可得结论.【详解】由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅，又π6B ∠=，AB =2AC =，所以2680BC BC -+=，所以2BC =或4BC =，满足构成三角形.故2或415.将边长为1的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转3π弧度，则纸片扫过的区域形成的几何体的表面积为______.【正确答案】2π23+【分析】确定几何体的结构特征，计算各面的面积相加即可.【详解】由已知可得该几何体为底面半径为1，高为1的圆柱的16，如下图：所以该几何体的表面积2112π22π12π12663S =+⨯⨯⨯+⨯⨯=+，故答案为.2π23+16.如图所示，ABC中，AB AC ==2BC =，以BC 的中点O 为圆心，BC 为直径在三角形的外部作半圆弧BC ，点P 在半圆弧上运动，设BOP θ∠=，[]0,πθ∈，则当PA PB ⋅ 取最大值时，cos θ=______.【正确答案】5-【分析】建立直角坐标系，利用单位圆以及向量数量积的坐标运算，结合辅助角公式即可求解.或者利用向量的线性运算，由数量积的运算律以及定义即可求解.【详解】法一：如图建立平面直角坐标系，得()0,2A -，()10B ,，()cos ,sin P θθ，()()cos ,2sin 1cos ,sin 12sin cos PA PB θθθθθθ⋅=---⋅--=+-∴()1sin cos 11PA PB θθθϕ⋅=+-=+-≤ ϕ为锐角且1tan 2ϕ=，此时πcos sin 25θϕθϕ-=⇒=-==-.法二：()()11PA PB PO OA PO OB PO OB OA PO OP OB OA OP ⋅=+⋅+=+⋅+⋅⋅=--⋅π1cos 12cos 2θθ⎛⎫=++⋅⋅+ ⎪⎝⎭12sin cos θθ=+-，以下同上.故5-四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知(),2a m =- ，()4,b m m =- ，)c = ，m ∈R .（1）若a b ∥ ，且方向相反，求实数m 的值；（2）若a 与c 的夹角为120︒，求实数m 的值.【正确答案】（1）2（2）0【分析】（1）由向量共线的坐标运算即可求解，（2）由数量积的坐标运算以及定义，列方程即可化简求解.【小问1详解】由a 与b平行得：()224280m m m m m ⋅=-⋅-⇒+-=，∴()()2402m m m -+=⇒=或4m =-，当2m =时，()2,2a =- ，()2,2b =- ，a 与b 平行，且方向相反，满足要求；当4m =-时，()4,2a =-- ，()8,4b =-- ，方向相同，不满足要求；故2m =.【小问2详解】22cos120a c⋅=-=⨯︒，2-=，平方得：2223440m m m -+=+⇒-=，∴0m =或m =，20-<,所以m =不符合要求,故舍去；∴0m =18.某种建筑使用的钢筋混凝土预制件模型如下图所示，该模型是由一个正四棱台从正中间挖去一个圆柱孔而成，已知该正四棱台上底和下底的边长分别为40cm 和100cm ，棱台的高为40cm ，中间挖去的圆柱孔的底面半径为10cm .计算时π取3.14.（1）求浇制一个这样的预制件大约需要多少立方厘米混凝土；（2）为防止该预制件风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液，若每升保护液大约可以涂27000cm ，请计算涂一个这样的预制件大约需要购买保护液多少升？（结果取整数）【正确答案】（1）3195440cm （2）4升【分析】（1）由台体体积公式求正四棱台的体积，再求所挖去的圆柱的体积，相减可得几何体的体积；（2）计算该几何体的表面积，由此计算所需购买保护液的体积.【小问1详解】由已知正四棱台的上底面积21401600S ==，下底面积2210010000S ==，高40h =，所以正四棱台的体积(221140401002080003V =⋅⋅+=；由已知圆柱的底面半径10r =，高40h '=，所以圆柱的体积22π10404000π4000 3.1412560V =⋅⋅=≈⨯=；故该预制件的体积320800012560195440cm V =-=故浇制一个这样的预制件大约需要3195440cm 混凝土.【小问2详解】作该几何体的截面，过点A 作AM CD ⊥，垂足为M ，如下：由已知10040302DM -==，40AM =，50=，故该预制件的表面积()22240100504010042π102π104025600600π2S +⨯=++⨯-⋅+⨯⨯=+，∴225600600 3.1427484cm S ≈+⨯=，274847000 3.94÷≈≈，所以涂一个这样的预制件大约需要购买保护液4升.19.已知1e ，2e 是夹角为60︒的两个单位向量.（1）若()()1212423e ke ke e +⊥- ，求实数k 的值；（2）若两向量12e e λ- 与122e e + 的夹角为钝角，求实数λ的取值范围.【正确答案】（1）1k =或6k =-；（2）115,,224⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）根据向量垂直的性质列方程，利用数量积运算化简方程求k 的值；（2）结合向量夹角公式列不等式求λ的取值范围.【小问1详解】因为()()1212423e ke ke e +⊥- ，所以()()12124230e ke ke e +⋅-= ，又1e ，2e 是夹角为60︒的两个单位向量.所以()21832121102k k k -+-⨯⨯⨯=，化简得2560k k +-=所以()()160k k -+=，所以1k =或6k =-；【小问2详解】因为两向量12e e λ- 与122e e + 的夹角为钝角，所以()()121220e e e e λ-⋅+< ，且向量12e e λ- 与122e e + 不共线，由()()121220e e e e λ-⋅+< ，可得()12211102λλ-+-⨯⨯⨯<，所以54λ<，当向量12e e λ- 与122e e + 平行时，()121212122t e e t e e t λλλ=⎧-=+⇒⇒=-⎨-=⎩ ，实数λ的取值范围是115,,224⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.20.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()20b c AB AC b BA BC +⋅⋅+⋅⋅= ．（1）求角A ；（2）若D 为BC的中点，且AD =，BAC 的角平分线交BC 于点E ，且43AE =，求边长a ．【正确答案】（1）2π3（2）【分析】（1）利用向量的夹角公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得出cos A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的值；（2）根据D 为BC 的中点，有()12AD AB AC =+ ，从而得到()2312b c bc +-=，再根据ABE AEC ABC S S S =+ ，从而得到()43bc b c =+，再结合余弦定理即可求得a 的值．【小问1详解】由()20b c AB AC b BA BC +⋅⋅+⋅⋅= ，则()2cos cos 0b c bc A b ac B +⋅+⋅=，所以()2cos cos 0b c A a B ++=，则由正弦定理得()sin 2sin cos sin cos 0B C A A B ++=，即sin cos 2sin cos sin cos 0B A C A A B ++=，所以()sin 2sin cos 0A B C A ++=，即sin 2sin cos 0C C A +=，又()0,πC ∈，则sin 0C ≠，所以12cos 0A +=，得1cos 2A =-，又()0,πA ∈，所以2π3A =．【小问2详解】由D 为BC 的中点，则()12AD AB AC =+ ，即12AD AB AC =+ ，所以222242cos π3AD b c bc =++⋅ ，即()222123b c bc b c bc =+-=+-，即()2312b c bc +-=，由AE 是BAC ∠的角平分线，所以π3BAE CAE ∠=∠=，又ABE AEC ABC S S S =+ ，则12π1π1πsin sin sin 232323bc c AE b AE ⋅=⋅⋅+⋅⋅，所以()bc AE b c =⋅+，得()43bc b c =+，所以()()2412b c b c +-+=，解得6b c +=，8bc =由余弦定理得()22222π2cos 368283a b c bc b c bc =+-⋅=+-=-=，故a =．21.在正三棱柱111ABC A B C -中，AB =12AA =，F 为线段11A B 上的动点，设111A F A B λ= ，[]0,1λ∈.（1）当12λ=时，求三棱锥1F ACC -的体积；（2）求1AF FC +的最小值，并求取最小值时λ的值.【正确答案】（1（2）7，213λ=【分析】（1）根据锥体体积公式求解即可；（2）将矩形11A B BA 沿11A B 展开，使之与111A B C 共面，利用余弦定理求1AC ，即得1AF FC +的最小值，利用正弦定理求11sin A AC ∠，再求1A F ，由此λ的值.【小问1详解】当12λ=时，得出F 为11A B 的中点，则(111111112111322234F ACC F AC A A FC A A B C A V V V V ----====⨯⨯⨯=【小问2详解】将矩形11A B BA 沿11A B 展开，与111A B C 共面，如图所示，11150C A A ∠=︒，∴()2212332233cos1507AC =+-⨯⨯⨯︒=，故1AF FC +的最小值为711C A A △中，由正弦定理得：11111111173333sin 1sin150sin sin 142C A C A A AC A AC A AC ∠∠∠=⇒=⇒=︒，因为()110,30A AC ∠∈ ，∴2111113cos 1sin 14A AC A AC ∠∠=-=，所以1133tan 13A AC ∠=∴111632tan 13A F A AC ∠=⋅=，则111632131333A F A B λ===.22.已知在ABC 中，D 为边AB 上的点，且13AD DB = ，2BC =.（1）若4AB =，2sin 3CDB ∠=，求边AC 的长；（2）若23CD DB =，设CDB θ∠=，()0,πθ∈，试将ABC 的面积S 表示为θ的函数，并求函数()y S θ=最大值.【正确答案】（1）2213（2）16sin 1312cos y θθ=-，()0,πθ∈；165【分析】（1）由条件求DB ，根据正弦定理求sin DCB ∠，由此可求cos DBC ∠，再由余弦定理求AC ；（2）设3DB t =，根据余弦定理用θ表示2t ，结合三角形面积公式用θ表示ABC 的面积，方法一：利用正弦函数的范围求函数()y S θ=的最大值，方法二：利用二倍角公式和同角关系化简可得232tan225tan 12y θθ=+，结合基本不等式求其最大值.【小问1详解】由13AD DB = ，4AB =，则3DB =，在BCD △中，23sin 12sin sin sin 3BC DB DCB CDB DCB DCB ∠∠∠∠=⇒=⇒=，∵()0,πDCB ∠∈，∴π2DCB ∠=，∴2cos sin 3DBC CDB ∠∠==；在ABC中，由余弦定理得.3AC ==【小问2详解】由23CD DB =，设3DB t =，则2CD t =，∵13AD DB = ，∴AD t =，在BCD △中，由余弦定理得：2224449223cos 1312cos t t t t t θθ=+-⋅⋅⋅⇒=-，ABC 的面积244116sin 23sin 4sin 3321312cos BCD S S t t t θθθθ==⨯⨯⨯⨯==- ，∴16sin 1312cos y θθ=-，()0,πθ∈.法一：16sin 16sin 12cos 131312cos y y y θθθθ=⇒+=-（※）()13y θϕ⇒+=，其中cos ϕ=，sin ϕ=，∴()222sin 116916144y y θϕ+=≤⇒≤+∴222516y ≤，又0y >，所以1605y <≤，当且仅当()sin 1θϕ+=时等号成立，所以当512sin cos ,cos sin 1313θϕθϕ====时，函数16sin 1312cos y θθ=-取最大值，最大值为165故函数()y S θ=最大值为165.法二：∴222232sin cos 16sin 221312cos 13sin 13cos 12cos 12sin 2222y θθθθθθθθ==-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22232sin cos 32tan22225sin cos 25tan 1222θθθθθθ==++，又()0,πθ∈，所以32161525tan 2tan 2y θθ=≤=+，当且仅当125tan 2tan 2θθ=，即1tan 25θ=，即5tan 12θ=取最大值，故函数()y S θ=最大值为165..。

又 BC ∥ MN AN MN ，
……………………………6 分
又 平面ADMN 平面PBC ，且平面 PBC 平面 ADMN MN AN 平面PBC AN PB 又
PA＝AB N是PB 的中点，
M 是PC 的中点， M（1，1 ，1）， N（1，0，1）
……………………………8 分
C. 5
二､ 填空题:本题共 4 小题, 每小题 5 分,共 20 分｡
D.2 2
y x
13.若变量
x,y
满足约束条件
y
2x
，则 z=x-2y 的最小值是___.
x y 4
14.(x 1)(3 x 1)7 展开式中的常数项等于＿＿＿. x
15.已知双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的左顶点为 A,过 A 作双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为 M,N,且
| MN | 4 | OA | （O 为坐标原点),则此双曲线的离心率是＿＿＿. 5
16.对于正整数
n,设
xn
是关于
x
的方程
1
logn1
xn
n2
3n 的实数根｡记 an
[ 1 2 xn
] ,其中[x]表示不超过
x
的最大整数,则 a1 __ ;设数列{an} 的前 n 项和为 Sn , 则 S2020 ＿＿＿. 三､解答题:共 70 分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作
设 平面PBM 与平面 BMD 所成的角为 ，则 sin
2
.
2
………………12 分
19.
解:
（1）由题可知 c

2020年5月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试文科数学本试卷共4页，23题.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答在本试题卷上无效.3.非选择题的作答：用黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在本试题卷上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知(2)2a i i b i +⋅=-，其中a ，b 为实数，i 是虚数单位，则复数i a b +=（ ） A. 22i + B. 22i - C. 22i -+ D. 22i --【答案】D 【解析】 【分析】将(2)2a i i b i +⋅=-化为22ai b i -+=-后，根据复数相等的条件可得. 【详解】由(2)2a i i b i +⋅=-得22ai b i -+=-， 所以2,2b a =-=-， 所以22a bi i +=--。

故选：D【点睛】本题考查了复数的乘法运算和复数相等的条件，属于基础题.2.已知集合{}2,,0A a a =，{}1,2B =，若{}1A B ⋂=，则实数a 的值为（ ）A. 1-B. 0C. 1D. ±1【答案】A 【解析】根据{}1A B ⋂=，得1A ∈，根据元素的互异性可知1a =- 【详解】因为{}1A B ⋂=，所以1A ∈， 又2a a ≠，所以0a ≠且1a ≠，所以21a =，所以1a =-(1a =已舍)，此时满足{}1A B ⋂=. 故选：A【点睛】本题考查了集合的交集的概念，考查了集合中元素的互异性，属于基础题.3.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222sin sin sin b c a B Aab A+--=.则角C 等于（ ） A.π6B.π3C.π4D.2π3【答案】B 【解析】 【分析】根据已知等式以及正弦定理可得222b a c ab +-=，再根据余弦定理可得1cos 2C =，根据0C π<<可得答案.【详解】由2222sin sin sin b c a B A ab A +--=以及正弦定理可得2222b c a b aab a+--=， 即222b a c ab +-=，所以222122b ac ab +-=，即1cos 2C =，又0C π<<，所以3C π=.故选：B【点睛】本题考查了正弦定理以及余弦定理，属于基础题.4.设4log 2a =，1212b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. c b a >>C. b a c >>D.【答案】D 【解析】 【分析】化简得12a =，利用16y x =在(0,)+∞上递增可以得到bc >，利用13y x =在(0,)+∞上递增可以得到c a >，根据传递性可得答案.【详解】242211log 2log 2log 222a ====, 113611()()39c ==116211()()82b <==,1133111()()283a c ==<=,所以b c a >>， 故选：D【点睛】本题考查了对数的运算性质，考查了幂函数在(0,)+∞上的单调性，解题关键是将幂值变为同指数的形式，然后利用幂函数的单调性比较大小.5.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的实轴长为（ ）B. 2C. D. 4【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的性质可得2b =，再根据离心率以及222+=a b c 可解得结果.【详解】由双曲线的性质可得2b =，又ca=c =，根据222+=a b c 得2243a a +=，解得a =所以实轴长为2a =. 故选：C【点睛】本题考查了双曲线的性质，考查了离心率公式以及222+=a b c ，考查了实轴的概念，属于基础题.6.从分别标有数字1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数字的奇偶性不同的概率是（ ） A.15B.25C.35D.45【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法得到所有基本事件的总数和所求事件的个数，再根据古典概型的概率公式可得结果.【详解】所有基本事件有：12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，21，31，41，51，32，42，52，43，53，54，共20种，其中抽到的2张卡片上的数字的奇偶性不同的有12，14，23，25，34，45，21，41，32，52，43，54，共12种，根据古典概型的概率公式可得所求事件的概率为123205=. 故选：C【点睛】本题考查了利用列举法求古典概型的概率，属于基础题.7.平行于直线4x y +=且与圆221x y +=相切的直线的方程是（ ）A. 0x y ++=或0x y +-=B. 0x y -=或0x y -=C. 10x y ++=或10x y +-=D. 40x y +-=或40x y ++=【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，设出切线方程，再根据圆心到切线的距离等于圆的半径列等式可解得结果. 【详解】依题意设圆的切线方程为0x y m ++=，1=，解得m =，所以所求圆的切线方程为20x y ++=或20x y +-=. 故选：A【点睛】本题考查了两直线平行的位置关系，考查了求圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式，属于基础题.8.据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年.如图，现有ABC 满足“勾3股4弦5”，其中3AC =，4BC =，点D 是CB 延长线上的一点，则AC AD ⋅=（ ）A. 3B. 4C. 9D. 不能确定【答案】C 【解析】 【分析】根据ABC 满足“勾3股4弦5”可得AC CB ⊥，再利用平面向量的线性运算以及两个垂直向量的数量积为0，可求得结果.【详解】因为3,4,5AC CB AB ===，所以222AC CB AB +=， 所以AC CB ⊥，所以0AC CB ⋅=，所以0AC CD ⋅=， 所以2()AC AD AC AC CD AC AC CD ⋅=⋅+=+⋅909=+=. 故选：C【点睛】本题考查了勾股定理，考查了平面向量的线性运算，考查了两个垂直向量的数量积为0，属于基础题.9.已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差为d ，前n 项和为n S .若8n S S ≤恒成立，则公差d 的取值范围是（ ）A. 11,78⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B. 1,7⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C. 1,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D.11,78⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为80a ≥且90a ≤，再根据通项公式列不等式组可解得结果.【详解】根据等差数列{}n a 的前n 项和为n S 满足8n S S ≤恒成立，可知80a ≥且90a ≤， 所以170d +≥且180d +≤，解得1178d -≤≤-. 故选：A【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了不等式恒成立转化为最值成立，考查了等差数列前n 项和的最大值，属于基础题.10.如果两个方程的曲线经过若干次平移或对称变换后能够完全重合，则称这两个方程为“互为镜像方程对”，给出下列四对方程： ①sin y x =与πcos 5y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭②2ln y x =与2ln y x = ③24x y =与24y x =④3y x =与32332y x x x =-++则“互为镜像方程对”的是（ ） A. ①②③ B. ①③④C. ②③④D. ①②③④【答案】B 【解析】 【分析】对于①，根据诱导公式化为同名函数后可知，πcos 5y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可以通过平移变换得到，所以①是互为镜像方程对方程；对于②，将2ln y x =化为分段函数后，可知②不是互为镜像方程对方程； 对于③，两个函数的图象关于y x =对称，所以③是互为镜像方程对方程； 对于④，利用差的立方公式变形可知，④是互为镜像方程对方程【详解】对于①，因为7cos()sin()sin()55210y x x x ππππ=+=++=+，所以将sin y x =向左平移710π可得πcos 5y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以①是互为镜像方程对方程；对于②因为22ln 0ln 2ln 2ln()0x x y x x x x >⎧===⎨-<⎩，所以2ln y x =的图象是2ln y x =的图象的一部分，故②不是互为镜像方程对方程；对于③因为24x y =与24y x =关于y x =对称，所以③是互为镜像方程对方程；对于④因为32332y x x x =-++3(1)3x =-+，所以将3y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位可得32332y x x x =-++的图象，故④是互为镜像方程对方程. 故选：B【点睛】本题考查了诱导公式，考查了图象的平移变换和对称变换，考查了差的立方公式，属于基础题.11.ABC 是边长为2的等边三角形，M 为AC 的中点.将ABM 沿BM 折起到PBM 的位置，当三棱锥P BCM -体积最大时，三棱锥P BCM -外接球的表面积为（ ）A. πB. 3πC. 5πD. 7π【答案】C 【解析】 【分析】根据三棱锥P BCM -体积最大，可得,,PM MC PM BM BM MC ⊥⊥⊥，可得三棱锥P BCM -的外接球与以,,MP MB MC 为邻边的长方体的外接球是同一个球，根据长方体的对角线长定理可得外接球的半径，从而可得其表面积. 【详解】当三棱锥P BCM-体积最大时，P 点最高，此时,,PM MC PM BM BM MC ⊥⊥⊥，因为三棱锥P BCM -的外接球与以,,MP MB MC 为邻边的长方体的外接球是同一个球，设其半径为R ，因为1,MP MC MB ===， 所以2222(2)1135R MP MC MB =++=++=， 所以三棱锥P BCM -外接球的表面积为245R ππ=. 故选：C【点睛】本题考查了三棱锥的体积，考查了长方体的对角线长定理，考查了球的表面积公式，属于中档题.12.已知函数()()cos 0,0f x x a x a ωωω=+>>，对任意12,x x R ∈，()()12f x f x +的最大值为4，若()f x 在()0,π上恰有两个极值点，则实数ω的取值范围是（ ） A. 47,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 4733⎛⎤ ⎥⎝⎦，C. 713,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 713,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】由题意得()f x 的最大值为2，由此可求得1a =，所以()2sin()6f x x πω=+，求导后可知cos()06x πω+=在()0,π上恰有两个零点，换元后可知cos 0t =在(,)66ππωπ+在上恰有两个零点，所以函数cos y t =的图象与t 轴恰有两个交点，所以35262πππωπ<+≤，由此解得即可.【详解】因为对任意12,x x R ∈，()()12f x f x +的最大值为4， 所以()f x 的最大值为2，2=，又0a >，所以1a =， 所以()2sin()6f x x πω=+，所以()2cos()6f x x πωω'=+，因为()f x 在()0,π上恰有两个极值点，所以()2cos()06fx x πωω'=+=，即cos()06x πω+=在()0,π上恰有两个零点， 设6t x πω=+，则(,)66t ππωπ∈+， 所以cos 0t =在(,)66ππωπ+在上恰有两个零点， 所以函数cos y t =的图象与t 轴恰有两个交点，所以35262πππωπ<+≤，解得4733ω<≤. 故选：B【点睛】本题考查了三角函数的最值，考查了利用导数研究函数的极值，考查了函数的零点，余弦函数的图像，考查了等价转化思想，属于中档题. 二、填空题13.若变量x ，y 满足约束条件24y xy x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值是______.【答案】-4 【解析】 【分析】作出可行域，根据图形找到最优解，将最优解的坐标代入目标函数即可得到答案. 【详解】作出可行域如图：由图可知，点M 为最优解，联立24y x x y =⎧⎨+=⎩解得48,33x y ==，所以48(,)33M ，所以min 482433Z =-⨯=-， 故答案为：4-【点睛】本题考查了线性规划求目标函数的最值，解题关键是找到最优解，属于基础题. 14.若sin 3cos αα+=tan α=______. 【答案】13【解析】 【分析】设cos ϕ=，sin ϕ=，将sin 3cos αα+=化为sin()1αϕ+=，可得2,2k k Z παπϕ=+-∈，求出sin α和cos α后，相除可得结果.【详解】因为sin 3cos αα+=1αα=，设cos ϕ=sin ϕ=， 则sin()1αϕ+=， 所以2,2k k Z παϕπ+=+∈，所以2,2k k Z παπϕ=+-∈，所以sin sin(2)cos 210k παπϕϕ=+-==，k Z ∈cos cos(2)sin 2k παπϕϕ=+-==k Z ∈，所以sin 1tan cos 3ααα===.故答案为：13【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了诱导公式，属于基础题. 15.已知函数()2xxf x e ex -=-+，使不等式()()210f x f x -+>成立的x 的取值范围是______.【答案】13x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】根据奇函数的定义可得()f x 为奇函数，利用导数可得()f x 为增函数，再将不等式化为(21)()()f x f x f x ->-=-，利用单调性可解得结果.【详解】因为()2xxf x e ex -=-+，所以()2()x x f x e e x f x --=--=-，所以函数()f x 为奇函数， 又()20xxf x e e-'=++>，所以()f x 在R 上为递增函数，所以()()210f x f x -+>等价于(21)()()f x f x f x ->-=-， 所以21x x ->-，解得13x >. 故答案为：13x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数的奇偶性，考查了利用奇偶性和单调性解不等式，属于基础题.16.已知斜率为()0k k >的直线l 过抛物线C ：26y x =的焦点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为1A ，1B ，若112ABB ABA S S ∆∆=，则k 的值为______.【答案】【解析】 【分析】1122(,),(,)A x y B x y ，联立直线与抛物线，由韦达定理可得212223663k x x k k++==+，1294x x =，设1A ，1B 到直线l 的距离分别为12,d d ，根据11212ABB ABA S d S d ∆∆==得21922x x +=，联立方程组可解得k =【详解】依题意可得3(,0)2F ，直线3:()2l y k x =-， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则1112(,0),(,0)A x B x ，联立23()26y k x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y 并整理得22229(36)04k x k x k -++=，所以212223663k x x k k ++==+，1294x x =， 设1A ，1B 到直线l 的距离分别为12,d d ，则11133||||kx k k x d --==22233||||kx k k x d --==所以1122113||223||2ABB ABA x S d S d x -===-，因为1233()()022x x --< 所以21922x x +=，联立211292294x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得134x =，23x =，所以236334k+=+，所以28k =，又0k >，所以k =故答案为：【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，点到直线的距离，韦达定理，考查了运算求解能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：17.三峡大坝专用公路沿途山色秀美，风景怡人.为确保安全，全程限速为80公里/小时.为了解汽车实际通行情况，经过监测发现某时段200辆汽车通过这段公路的车速均在[50，90]（公里/小时）内，根据监测结果得到如下组距为10的频率分布折线图：（1）请根据频率分布折线图，将颊率分布直方图补充完整（用阴影部分表示）；（2）求这200辆汽车在该路段超速的车辆数以及在该路段的平均速度.【答案】（1）作图见解析（2）72（公里/小时）【解析】【分析】（1）分别以0.06和0.01为高，10为宽作出两个矩形即可；（2）用第四个矩形的面积乘以样本容量即得这200辆汽车在该路段超速的车辆数，用四个矩形底端的中点值乘以各个矩形的面积，再相加即可得这200辆汽车在该路段的平均速度. 【详解】（1）（2）由题可知，当车速在[80，90]时超速，此时车辆共有：⨯⨯=（辆）；2000.011020这200辆汽车在该路段的平均速度为：()550.01650.02750.06850.011072⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（公里/小时）【点睛】本题考查了频率分布折线图和频率分布直方图，考查了利用频率分布直方图求平均值，属于基础题.18.已知数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，*11()2n n n a a n N a --=∈+，数列{}n b 满足12n n n n b a a +=⋅.（1）证明：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）证明见解析；121n n a =-（2）11121n +--【解析】 【分析】 （1）将()*112n n n a a n N a --=∈+两边倒过来，再加上1，可得111121n n a a -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据定义可知数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，从而可得其通项公式； （2）由()()1121121212121n nn n n n b ++==-----进行裂项求和可得结果.【详解】（1）证明：当2n ≥时，()*112n n n a a n N a --=∈+， ∴111121n n a a -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以2为公比，以1112a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭为首项的等比数列， 从而11112221n n n n a a -+=⨯⇒=-， （2）由（1）121n n a =-，∴()()1121121212121n nn n n n b ++==-----，∴2231111111212121212121n n nT+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭11121n+=--【点睛】本题考查了用定义证明数列为等比数列，考查了由递推关系式求通项公式，考查了裂项求和方法，将nb裂成两项之差是求和的关键，属于中档题.19.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为直角梯形，//AD BC，AD AB⊥，PA⊥平面ABCD，过AD的平面与PC，PB分别交于点M，N，连接MN.（1）证明：//BC MN；（2）已知2PA AD AB BC===，平面ADMN⊥平面PBC，求P BDMP ABCDVV--的值.【答案】（1）证明见解析；（2）16【解析】【分析】（1）根据直线与平面平行的判定定理得//BC平面ADMN，再根据直线与平面平行的性质定理可得//BC MN；（2）根据2PA AD AB BC===，平面ADMN⊥平面PBC，推出M为PC的中点，然后将三棱锥P BDM-的体积转化为三棱锥P BCD-的体积的一半，再根据锥体的体积公式，将将体积比转化为底面积之比即可得到结果.【详解】（1）证明：如图：∵//BC AD ，BC ⊄平面ADMN ，AD ⊂平面ADMN ， ∴//BC 平面ADMN . 又BC ⊂平面PBC ，平面PBC 平面ADMN MN =，∴//BC MN（2）∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PA BC ⊥，又BC AB ⊥，PAAB A =，∴BC ⊥平面PAB ，∵AN ⊂平面PAB ，∴BC AN ⊥，又//BC MN ， ∴AN MN ⊥，∵平面ADMN ⊥平面PBC ，平面ADMN 平面PBC MN =，∴AN ⊥平面PBC ∴AN PB ⊥，∵PA AB =∴N 为PB 中点，又//BC MN ，∴12PM PC =， ∴1122P BDM C BDM B CDM B PCD P BCD V V V V V -----====， 设四棱锥P ABCD -的高为h ，∴11123213BCD P BCDP BDMP ABCDP ABCDABCD S h V V V V S h ----⋅⋅==⋅△△，又13BCD ABCD S S =△△， ∴16P BDM P ABCD V V --=.【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理和性质定理，考查了平面与平面垂直的性质定理，考查了椎体的体积公式，属于中档题.20.在平面直角坐标系中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的焦距为2，且过点21,2⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 左焦点1F 的直线l （不与坐标轴垂直）与椭圆C 交于A ，B 两点，若点1,03H ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足HA HB =，求AB .【答案】（1）2212x y +=（2【解析】 【分析】（1）根据1c =，又221112a b+=，221a b =+，联立方程组可解得22a =，21b =，由此可得椭圆C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()00,P x y ，直线AB 的方程为：()1y k x =+，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理得212221224212221k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，可得2222,2121k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，再利用HA HB =得1PH AB k k =-，可得21k =，再根据弦长公式可得结果.【详解】（1）由题可知1c =，又221112a b+=，221a b =+， ∴()2211121a a +=-， ∴422520a a -+=∴()()222210a a --=， 又21a >∴22a =，21b =，所以椭圆C 的方程为：2212x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()00,P x y ，直线AB 的方程为：()1y k x =+，由()22112y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩可得()2222214220k x k x k +++-=，∴212221224212221k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩， ∴122221ky y k +=+，∴2222,2121k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ∵HA HB =，∴1PH AB k k =-，∴22221121213kk k k k +⋅=--++， ∴21k =，∴1k =±， 所以1243x x +=-，120x x =，所以||AB =3==. 【点睛】本题考查了根据椭圆的性质求椭圆方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了利用弦长公式求弦长，考查了运算求解能力，属于中档题. 21.已知函数()()xf x ae a R =∈，()ln 1xg x x=+. （1）当1a e =时，求函数()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； （2）当1a e≥时，证明：()()0f x g x -≥.【答案】（1）y x =（2）证明见解析；【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再用直线方程的点斜式即可得到所求切线方程； （2）根据1a e ≥可得1x x ae e -≥，再利用导数证明1x e x -≥和ln 1x x x≥+，根据不等式的传递性可证()()0f x g x -≥.【详解】（1）当1a e =时，1()xx e f x e e-==,所以()1x f x e-'=，∴()11f '=，(1)1f =，∴函数()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为11y x -=-，即y x =. （2）∵1a e≥，∴1x x ae e -≥， 令()1x m x ex -=-，则()11x m x e -'=-，令()0m x '=，则1x =，当()0,1x ∈时，()0m x '<，()m x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0m x '>，()m x 单调递增，∴()()min 10m x m ==， 故1x e x -≥恒成立，所以只需证ln 1xx x≥+，即证2ln 0x x x --≥， 令()2ln n x x x x =--，则()()()221112121x x x x n x x x x x+---'=--==， 令()0n x '=，则1x =，当()0,1x ∈时，()0n x '<，()n x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0n x '>，()n x 单调递增，∴()()min 10n x n ==，∴()0n x ≥恒成立， ∴ln 1xx x≥+， ∴1ln 1xx xae ex x-≥≥≥+， ∴()()f x g x ≥，∴()()0f x g x -≥恒成立.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数证明不等式，考查了不等式的传递性，解题关键是转化为证明三个不等式，属于中档题.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是3cos 0ρθ+=. （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设()2,0P -，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求APO BPO S S ∆∆-.【答案】（1）直线l0y ++=；曲线C ：223924x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭（2【解析】 【分析】（1）消去参数t 可得直线l 的普通方程，在极坐标方程两边同时乘以ρ，然后利用公式222x y ρ=+，cos x ρθ=，可得曲线C 的直角坐标方程；（2）设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，联立直线l 与曲线C ，根据韦达定理可得1212t t +=-，求得点O 到直线l得距离后，再根据121122APO BPO S S d BP d P t t A -=⋅-⋅=+△△即可求得结果. 【详解】（1）由1222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t 可得直线l0y ++=，由3cos 0ρθ+=得23cos 0ρρθ+=，因222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以2230x y x ++=，所以曲线C ：223924x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.（2）联立直线l 与曲线C得：2213922224t ⎛⎫⎛⎫--++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得：21202t t +-=， 设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ， ∴1212t t +=-， 因为O 到直线l 的距离d ==所以121122APO BPO A S S d BP d t P t -=⋅-⋅=+=△△【点睛】本题考查了参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了直线参数方程中参数的几何意义，属于中档题. 23.已知函数()21f x x x =+--.（1）求不等式()2f x ≥-的解集；（2）设a ，b ，c 为正实数，若函数()f x 的最大值为m ，且2a b c m ++=，求证294ab ac bc c +++≤. 【答案】（1）32x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭（2）证明见解析； 【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值，变成分段函数后可解得结果；（2）由（1）可知，3m =，所以23a b c ++=，再将2ab ac bc c +++分解因式后利用基本不等式可证.【详解】（1）由题可知，32()212131x f x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，当2x -≤时，显然不成立，当21x -<<时，212x +≥-，∴312x -≤<； 当1x ≥时，成立，故()2f x ≥-的解集为32x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭. （2）证明：由（1）可知，()f x 的最大值为3，∴23a b c ++=，∴()()222924a b c ab ac bc c a c b c ++⎛⎫+++=++≤= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了分类讨论法解绝对值不等式，考查了利用基本不等式证明不等式，属于基础题.。