2020届湖北省四地七校联盟高三第五次模拟考试数学(理)试题

2020年湖北省高三（5月）调研模拟考试理科数学试卷 2020．5一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数i i-+12的共轭复数是 A ．i 2321- B ．i 2321+ C ．i 2321-- D ．i 2321+-2．已知集合{}0322<--=x x x A ，非空集合{}a x a x B +<<-=12，A B ⊆，则实数a 的取值范围为 A ．]2,(-∞ B ．]2,21( C ．)2,(-∞ D ．)2,21( 3．已知直线l 过圆062622=+--+y x y x 的圆心且与直线01=++y x 垂直，则l 的方程是 A ．02=-+y x B ．03=-+y x C ．02=--y x D ．03=--y x4．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器．晷长即为所测量影子的长度）．夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列．经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为A ．0.5尺B ． 1尺C ．1.5尺D ． 2尺5．函数xx xx x f cos 122ln2sin )(++-⋅=ππ在)2,2(ππ-的图像大致为6．如图的程序框图中，若输人a ，n 的值分别为2，3，且输出T 的值为5 ，则空白框中应填入A ．k<nB ．k ≤nC ．k-1≤nD ．k+1 < n7．△ABC 中，点D 为BC 的中点，3=，M 为AD 与CE 的交点，若),(R y x y x ∈+=，则y x -=A ．1-B ．21 C ．43D ．1 9．甲、乙、丙、丁戊五人等可能分配到A 、B 、C 三个工厂工作，每个工厂至少一人，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为 A ．2512 B ．2513 C ．2518 D ．25199．已知R c b a ∈,,．满足0ln 2ln 2ln 3<-==ca b ca b ．则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b a c >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．c a b >> 10．在棱长为1的正四面体ABCD 中，M 为AD 上的一-点且AM=31AD ．N 为AC 中点，则点A 到平面BMN 的距离为 A ．510 B ．55 C ．1010 D ．105 11．已知)0(sin )()(>--=-a x e e a x f xxπ存在唯一零点，则实数a 的取值范围 A ．),2(+∞πB ．),2[+∞πC ．),21(+∞D ．),21[+∞ 12．已知函数)0)(3sin()(>-=ωπωx x f 在],0[π有且仅有4个零点，有下述三个结论：①ω的取值范围为)313,310[；②)(x f 在)265,0(π单调递增； ③若21211)(2)(2x x x f x f ≠==，，则21x x +的最小值为134π 以上说法正确的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．二项式9)21(xx -的展开式中，常数项为 . 14．已知数列{}n a 的前项和为*N n S n ∈，满足11211==++S S S n n ，，则数列{}n a 的通项公式为 . 15．某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50， 100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[ 80，90），[90，100] ，得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名同学的得分的中位数为 .16．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的左焦点)0,(1c F -关于直线03=+y x 的对称点P 在双曲线上．则双曲线C 的离心率为 .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分 17．（本小题满分12分）在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，A=3π，422=+c b ，△ABC 的外接圆半径为R=1． （1）求△ABC 面积；（2）角A 的平分线AD 交BC 于D 点，求AD 长.18．（本小题满分12分）已知如图1直角△ABC 中，AC ⊥BC ，AC=6，BC=36，点D 为AB 的中点，BC=3BF ，将△ACD 沿CD 折起，使面ACD ⊥面BCD ，如图2． （1）求证：AC ⊥DF ；（2）求二面角C —AB —D 的余弦值．19．（本小题满分12分）如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x C ：的左、右焦点分别为21F F 、，5221=F F ，Q 是y 轴的正半轴上一点，2QF 交椭圆于P ，且21PF PF ⊥，1PQF ∆的内切圆⊙M 半径为1． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线AB ：m x y +=2和圆M 相切，且与椭圆C 交于A 、B 两点，求AB 的值..20．（本小题满分12分）甲、乙两厂均生产某种零件．根据长期检测结果：甲、乙两厂生产的零件质量（单位：g ）均服从正态分布)(2σμ，N ，在出厂检测处，直接将质量在)33(σμσμ+-，之外的零件作为废品处理，不予出厂；其它的准予出厂，并称为正品.（1）出厂前，从甲厂生产的该种零件中抽取10件进行检查，求至少有1片是废品的概率；（2）若规定该零件的“质量误差”计算方式为：该零件的质量为xg ，则“质量误差”g x x 0-.按标准．其中“优等”、“一级”、“合格”零件的“质量误差”范围分别是)3.0,0[，)6.0,3.0[、]0.1,6.0[（正品零件中没有“质量误差”大于1.0g 的零件），每件价格分别为75元、65元、50元.现分别从甲、乙两厂生产的正品零件中随机抽取100件，相应的“质量误差”组成的样本数据如下表（用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率）：（i ）记甲厂该种规格的2件正品零件售出的金额为X （元），求X 的分布列及数学期望E （X ）；（ii ）由上表可知，乙厂生产的该规格的正品零件只有“优等”、“一级”两种，求5件该规格零件售出的金额不少于360元的概率.附：若随机变量),(~2σμN Z ．则9974.0)33(=+<<-σμσμZ P ；9743.09974.010≈，4096.08.04=，32768.08.05=21．（本小题满分12分）已知R a ax x x f ∈-+=,1cos 2)(22π． （1）若0)(≥x f 恒成立．求a 的最大值0a ； （2）若2)12ln()(222πππ+-+=x x g ，取（1）中的0a ，当0a a =时，证明：2)()(≤-x f x g（二）选考题：共10分．请考生在22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时写清题号．22． [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中xOy ，曲线E 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=22sin 3sin 2cos sin 32ααααy x （α为参数），若以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线F 的极坐标方程为t 2)4cos(=-πθρ（t为参数）（1）求曲线E 的普通方程和曲线F 的直角坐标方程； （2）若曲线E 与曲线F 有公共点，求t 的取值范围．23．[选修4 -5：不等式选讲]（10分）已知函数01)(121)(>+--=x f x x x f ，的解集为M ． （1）求M ；（2）若)0,2(-∈∈b M a ，，且b a <-2，证明：b b a a ++->-+224．。

湖北2020届高三高考模拟考试试题理科数学（全卷满分150分，考试用时120分钟）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 是虚数单位，若复数ii z -=123，则z =（ ）A.i -1B.i +1C.i --1D.i +-1 2．已知集合{})3lg(,11x y x B x xA -==⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=，则（ ） A.)1,(-∞=B A I B.)3,0(=B A Y C.φ=B C A R I D.),1[+∞=B A C R Y 3.已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且m a a a =++9513，则9762S a a -=（ ） A.5m B.9m C.51 D.91 4．已知+∈R b a ,，则“1>ab ”是“2>+b a ”的（ ）A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．2019冠状病毒病（ CoronaVirus Disease2019（COVID-19））是由新型冠状病毒（2019-nCoV ）引发的疾病，目前全球感染者以百万计，我国在党中央、国务院、中央军委的坚强领导下，已经率先控制住疫情，但目前疫情防控形势依然严峻，湖北省中小学依然延期开学，所有学生按照停课不停学的要求，居家学习。

小李同学在居家学习期间，从网上购买了一套高考数学冲刺模拟试卷，快递员计划在下午4:00～5:00之间送货到小区门口的快递柜中，小李同学父亲参加防疫志愿服务，按规定，他换班回家的时间在下午4:30～5:00，则小李父亲收到试卷无需等待的概率为（ ） A.81 B.41 C.43 D.87 6．已知][x 表示不超过x 的最大整数，（如1]5.0[,1]2,1[-=-=），执行如图所示的程序框图输出的结果为（ ）A ，49850B ．49950 C. 50000 D ．500507.在二项式721)21(xx +的展开式中有理项的项数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 8．函数x x x x f sin )(2+=的图像大致为（ ）9．已知定义在R 上的函数y=f （x ）是偶函数，且图像关于点（1，0）对称.若当)1,0[∈x 时，x x f 2sin)(π=，则函数x e x f x g --=)()(在区间]2020,2019[-上的零点个数为（ ）A ．1009B ．2019 C.2020 D.403910．已函数],0[,cos sin )(2a x x x x f ∈+=的值域为]45,1[，则实数a 的取值范围是（ ） A.]6,0(πB.]3,0(πC.]2,6[ππD.]2,3[ππ11．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，直线034=-y x 与双曲线右支交于点M ，若OF OM =,|则该双曲线的离心率为（ ）A.3B.2C.5D.612．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，P 是空间中任意一点，下列正确命题的个数是（ ）①若P 为棱1CC 中点，则异面直线AP 与CD 所成角的正切值为25； ②若P 在线段B A 1上运动，则1PD AP +的最小值为226+； ③若P 在半圆弧CD 上运动，当三棱锥ABC P -ABC P -的体积最大时，三棱锥ABC P -外接球的表面积为π2；④若过点P 的平面α与正方体每条棱所成角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为433 A ．1个 B ．2个 C. 3个 D ．4个 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知)3,0(),2,1(-==b a ，则向量在向量方向上的投影为 ．14．一般都认为《九章算术》是中国现存最古老的数学著作。

2020年5月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试理科数学一､选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的｡ 1.已知(a+2i) ·i=b-2i,其中a,b 为实数,i 是虚数单位,则复数a bi += A.2 +2iB.2-2iC.-2 +2iD. -2- 2i2.已知集合2{,,0},{1,2}A a a B ==, 若A∩B={1},则实数a 的值为 A. -1B.0C.1D.±13.设a 1132411log 2,(),()23b c ===,则a,b,c 的大小关系为A.a>b>cB. c>b> aC. b>a >cD. b>c> a4.执行如图所示的程序框图,则输出n 的值为A.5B.6C.7D.85.若等比数列{}n a }的前n 项和为,n S 且636S S =,则96SS = 11.6A 31.6B5.6C D.36.据《九章算术》记载,商高是我国西周时期的数学家,曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题,比毕达哥拉斯早500年｡如图,现有△ABC 满足“勾3股4弦5”,其中AC=3,BC=4,点D 是CB 延长线上的一点,则AC AD ⋅=A.3B.4C.9D.不能确定7.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ∈(-∞,0］时,2()2f x x x =-+,若实数m 满足2(log )3f m ≤,则m 的取值范围是A.(0,2］1.[,2]2B C. (0,8］1.[,8]8D 8.已知定义在正整数集上的函数()sin 2xf x π=和()cos,2xg x π=则当x ∈［0,2020］时,y =f(x)图像在y=g(x)图像上方的点的个数为A.505B.504C.1010D.10099.如果两个方程的曲线经过若千次平移或对称变换后能够完全重合,则称这两个方程为“互为镜像方程对”,给出下列四对方程:①y=sinx 与cos()6y x π=+②y= 2lnx 与2ln y x =24x y =③与24y x =3y x =④与3233 2.y x x x =-++则“互为镜像方程对”的是 A.①②③B.①③④C.②③④D.①②③④10.第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行｡某电视台在19日至24日六天中共有8场直播(如下表所示),逸凡打算选取其中的三场观看｡但由于工作较忙,观看的任意两场直播中间至少间隔一天( 如21日观看直播则22日不能观看直播),则逸凡选择观看的不同种数是日期 19日 20日 21日 22日 23日 24日 时间 全天 全天 上午 下午 全天 全天 上午 下午 内容 飞行比赛赛前训练射击游泳击剑篮球障碍跑定向越野A.8B.10C.12D.1411.已知P,A,B,C 是半径为3的球面上四点,其中PA 过球心,2,AB BC AC ===则三棱锥P- ABC 的体积是BCD 12.已知斜率为k(k >0)的直线l 过抛物线2:6C y x =的焦点F,与抛物线C 交于A,B 两点,过A,B 作x 轴的垂线,垂足分别为11,.A B 若112,ABB ABA S S=则直线l 的斜率k 等于A.1BC D 二､ 填空题:本题共4小题, 每小题5分,共20分｡13.若变量x,y 满足约束条件24y x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩，则z=x-2y 的最小值是___.7114.()x x+展开式中的常数项等于＿＿＿.15.已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A,过A 作双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为M,N,且4||||5MN OA =（O 为坐标原点),则此双曲线的离心率是＿＿＿. 16.对于正整数n,设n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x +-=+的实数根｡记1[]2n n a x =,其中[x]表示不超过x 的最大整数,则1a =__ ;设数列{}n a 的前n项和为,n S ＿＿＿.三､解答题:共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答｡第22､23题为选考题,考生根 据要求作答｡(一)必考题:共60分｡17.(本小题满分12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知2222sin sin .sin b c a B Aab A+--=(1)求C 的大小;(2)若△ABC 的周长为18,面积为63,求△ABC 外接圆的面积｡18. (本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,AD// BC,AD ⊥AB,PA ⊥平面ABCD,过AD 的平面与PC,PB 分别交于点M,N,连接MN.(1)证明:BC// MN;(2)若PA=AD=AB=2BC=2,平面ADMN ⊥平面PBC,求二面角P- BM- D 的正弦值｡19. (本小题满分12分)在平面直角坐标系中,椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2,且过点2(1)求椭圆C 的方程;(2)过椭圆C 左焦点1F 的直线l(不与坐标轴垂直)与椭圆C 交于A,B 两点,若点1(,0)3H -满足|HA| = |HB| ,求|AB|.20. (本小题满分12分)已知函数()ln(1)sin .x f x e x a x =+++ (1)当a=0时,求f(x)在(0 f(0))处的切线方程;(2)若f(x)≥1对任意x ∈[0,π]恒成立,求实数a 的取值范围.21. (本小题满分12分)一只蚂蚁在如图所示的棱长为1米的正四面体的棱上爬行,每次当它到达四面体顶点后,会在过此顶点的三条棱中等可能的选择一条棱继续爬行(包含来时的棱) ,已知蚂蚁每分钟爬行1米,t=0时蚂蚁位于点A 处.(1) 2分钟末蚂蚁位于哪点的概率最大;(2)记第n 分钟末蚂蚁位于点A,B,C,D 的概率分别为(),(),n n P A P B(),().n n P C P D①求证:()()()n n n P B P C P D ==；②辰辰同学认为,一段时间后蚂蚁位于点A ､B ､C ､D 的概率应该相差无几,请你通过计算10分钟末蚂蚁位于各点的概率解释辰辰同学观点的合理性.附:9510511()510,() 1.71033--≈⨯=⨯，9910411() 1.910,()9.81023--≈⨯=⨯.(二)选考题:共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分10分)[选修4-4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为122x t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程是ρ+3cosθ=0.(1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程; (2)设P( -2,0),直线l 与曲线C 交于A,B 两点,求||.APOBPOS S-23. (本小题满分10分)[选修4- -5:不等式选讲] 已知函数f(x) =|x+2|-|x-1|. (1)求不等式f(x)≥-2的解集;(2)设a,b,c 为正实数,若函数f(x)的最大值为m,且a +b +2c=m ,求证:29.4ab ac bc c +++≤。

2020年湖北省高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数的共轭复数是A. B. C. D.2.已知集合，非空集合，，则实数a的取值范围为A. B. C. D.3.已知直线l过圆的圆心且与直线垂直，则l的方程是A. B. C. D.4.我国古代的天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同晷是按照日影测定时刻的仪器．晷长即为所测量影子的长度夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列．经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为A. 尺B. 1尺C. 尺D. 2尺5.函数在的图象大致为A. B.C. D.6.如图的程序框图中，若输入a，n的值分别为2，3，且输出T的值为5，则空白框中应填入A. B. C. D.7.中，点D为BC的中点，，M为AD与CE的交点，若，则A. B. C. D. 18.甲、乙、丙、丁戊五人等可能分配到A、B、C三个工厂工作，每个工厂至少一人，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为A. B. C. D.9.已知a，b，，满足，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.10.在棱长为1的正四面体ABCD中，M为AD上的一点且，N为AC中点，则点A到平面BMN的距离为A. B. C. D.11.已知存在唯一零点，则实数a的取值范围A. B. C. D.12.已知函数在有且仅有4个零点，有下述三个结论：的取值范围为；在单调递增；若，，则的最小值为以上说法正确的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.展开式中的常数项是______用数字作答14.已知数列的前项和为，满足，，则数列的通项公式为______．15.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在内，按得分分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名同学的得分的中位数为______．16.双曲线C：的左焦点为F，若F关于直线的对称点A是双曲线C上的点，则双曲线C的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，，，的外接圆半径为．求面积；角A的平分线AD交BC于D点，求AD长．18.已知如图1直角中，，，，点D为AB的中点，，将沿CD折起，使面面BCD，如图2．求证：；求二面角的余弦值．19.如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，，Q是y轴的正半轴上一点，交椭圆于P，且，的内切圆半径为1．求椭圆C的标准方程；若直线AB：和圆M相切，且与椭圆C交于A、B两点，求的值20.甲、乙两厂均生产某种零件．根据长期检测结果：甲、乙两厂生产的零件质量单位：均服从正态分布，在出厂检测处，直接将质量在之外的零件作为废品处理，不予出厂；其它的准予出厂，并称为正品．出厂前，从甲厂生产的该种零件中抽取10件进行检查，求至少有1片是废品的概率；若规定该零件的“质量误差”计算方式为：该零件的质量为xg，则“质量误差”按标准．其中“优等”、“一级”、“合格”零件的“质量误差”范围分别是，、正品零件中没有“质量误差”大于的零件，每件价格分别为75元、65元、50元．现分别从甲、乙两厂生产的正品零件中随机抽取100件，相应的“质量误差”组成的样本数据如表用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率：质量误差甲厂频数103030510510乙厂频数25302551050记甲厂该种规格的2件正品零件售出的金额为元，求X的分布列及数学期望；由上表可知，乙厂生产的该规格的正品零件只有“优等”、“一级”两种，求5件该规格零件售出的金额不少于360元的概率．附：若随机变量则；，，21.已知，．若恒成立．求a的最大值；若，取中的，当时，证明：．22.在直角坐标系中xOy，曲线E的参数方程为为参数，若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线F的极坐标方程为为参数．求曲线E的普通方程和曲线F的直角坐标方程；若曲线E与曲线F有公共点，求t的取值范围．23.已知函数，的解集为M．求M；若，，且，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：，复数的共轭复数是．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简得答案，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：B解析：解：，，当时，解得，实数a的取值范围为故选：B．解出集合A，由可列出关系式，解出a的范围即可．本题主要考查集合的包含关系和一元二次不等式的解法，属于基础题．3.答案：C解析：解：由圆，得其圆心坐标为，又所求直线与直线垂直，则所求直线的斜率为．所求直线方程为，即．故选：C．由圆的方程求得圆心坐标，再由已知求得所求直线的斜率，代入直线方程的点斜式得答案．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．4.答案：C解析：解：夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续的十二个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这十二节气的所有晷长之和为84尺，夏至、处暑、霜降三个节气晷长之和为尺，，，解得，．夏至的晷长为尺．故选：C．利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，能求出夏至的晷长．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：A解析：解：，则函数为偶函数，可排除B，D；又，可排除C．故选：A．由函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解．本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于基础题．6.答案：B解析：解：模拟程序的运行过程知，输入，，，满足条件，；，满足条件，；，满足条件，；，满足条件，；时，不满足条件，终止循环，输出；所以空白框中应填入．故选：B．模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出时空白框中应填入的条件．本题考查了程序框图的运行问题，也考查了运算求解能力，是基础题．7.答案：D解析：解：如下图：取BE的中点F，则，结合，，是底边上的中位线，．，，，故．故选：D．如图：根据已知可以取BE中点F，可推出，且，由此得到，则利用平行四边形法则，结合数乘运算，容易将用线性表示，则x，y可求．本题考查平面1向量基本定理及应用，将涉及到的向量结合平行四边形法则、数乘运算，用基底表示出来是解题的关键，考查了学生运用化归思想解题的能力．属于中档题．8.答案：D解析：解：甲、乙、丙、丁戊五人等可能分配到A、B、C三个工厂工作，每个工厂至少一人，基本事件总数，甲、乙两人在同一工厂工作包含的基本事件个数，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为．故选：D．先求出基本事件总数，甲、乙两人在同一工厂工作包含的基本事件个数，由此能求出甲、乙两人不在同一工厂工作的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：A解析：解：已知a，b，，令，则：，所以．由于，且，故，解得，同理，且，故，解得．由于，，所以，故，整理得，所以．故选：A．直接利用对数的运算的应用和赋值法的应用求出结果．本题考查的知识要点：对数的运算的应用，赋值法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.答案：C解析：解：由题意，，，由余弦定理可得：，，在直角三角形BNC中，求得，，则．．又，求得正四面体的高，则B到平面AMN的距离也为．，即．设A到平面BMN的距离为h，则，即．即点A到平面BMN的距离为．故选：C．由题意，，，分别求出BM、BN、MN的长度，再求三角形BMN的面积，求出三棱锥的体积，利用等体积法求A到平面BMN的距离．本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查三角形的解法，训练了利用等体积法求点到面的距离，考查计算能力，是中档题．11.答案：B解析：解：由题意知，存在唯一零点，只有一个零点0．，是奇函数，故只考虑当时，函数无零点即可．当时，有，令，，则，，，，在上单调递增，，，解得．故选：B．先由题设条件得到，再研究的奇偶性，把问题转化为当时，函数无零点．利用放缩法与单调性求出a的取值范围．本题考查导数在研究函数单调性、极值和最值中的综合应用，利用导数证明不等式成立，变换过程复杂，需要很强的逻辑推理能力，是高考的常考点和难点，属于难题．12.答案：C解析：解：函数在有且仅有4个零点，此时，，，求得，故正确；由，，得，则，可得在单调递增，故正确；由，得，又，可知，关于过最大值点的对称轴对称，由，得，．，．当时，，当时，．的最小值为，而无最大值，则取不到最小值，故错误．以上说法正确的个数为2．故选：C．由题意利用正弦函数的零点，正弦函数的周期性，可得，由此求得的范围判断；由x的范围得到相位的范围，再由正弦函数的单调性判断；由已知求出的值判断．本题考查命题的真假判断与应用，考查型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．13.答案：解析：解：展开式中的通项公式：．令，解得．常数项．故答案为：．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：解析：解：数列的前项和为，满足，；，所以：，；可得：因为，；；；数列是首项为1，公比为的等比数列；；故答案为：．先根据递推关系式求出进而得到数列是首项为1，公比为的等比数列；即可求得结论．本题主要考查数列递推关系式的应用，以及由前n项和求通项，属于基础题目．15.答案：解析：解：由频率分布直方图，得：的频率为，的频率为，估计这100名同学的得分的中位数为：．故答案为：．由频率分布直方图，求出的频率为，的频率为，由此能估计这100名同学的得分的中位数．本题考查中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.答案：解析：【分析】本题考查了双曲线的性质，点关于直线的对称问题，属于中档题．求出A点坐标，代入双曲线方程化简得出a，b，c的关系，得出离心率．【解答】解：设关于直线的对称点为，则解得代入双曲线C的方程可得：，即，故，又，解得．故答案为：．17.答案：解：由正弦定理可得，，，，由余弦定理可得，，，；不妨设，，，，，，由且，，，由，．解析：由已知结合正弦定理可求A，然后结合余弦定理可求bc，再由三角形的面积公式即可求解；由已知可求b，c，a，结合角平分线性质可求DC，DB，进而可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的综合应用，属于中档试题．18.答案：解：证明：在三棱锥中，取CD中点E，连结AE，在中，，，，，，点D为AB的中点，，，，，，，，为直角三角形，，将没CD折起，使面面BCD，如图，由点E为CD中点，在等边中，，而面，面BCD，又面BCD，，，，面ACD，面ACD，．解：以D为原点，分别以DC，DF，过点D且垂直面DBC的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，0，，0，，0，，，0，，，0，，，设面ABC的法向量y，，则，取，得，设平面ABD的法向量b，，则，取，得，，二面角的余弦值为．解析：取CD中点E，连结AE，推导出，面BCD，，，从而面ACD，由此能证明．以D为原点，分别以DC，DF，过点D且垂直面DBC的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：设的内切圆且，，PQ于E，F，G，，，，由，且，有，，，由，可得，，解得，故，即，，故所求的椭圆的方程为；设，设，，由，解得，，即，则的斜率为，即有直线的方程为，由M到直线的距离为1，有，解得或舍去，即，故圆M的方程为，设，，由可得，则，，，，而与相切，由，解得或，故或．解析：设的内切圆且，，PQ于E，F，G，，，，运用三角形的内切圆的性质和切线的性质以及勾股定理，解得x，结合椭圆的定义，可得a，b，进而得到椭圆方程；设，设，，列方程求得P的坐标，求得直线的方程，由点到直线的距离公式计算可得M的坐标，求得圆M的方程，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件，解方程可得m，可得所求．本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于难题．20.答案：解：由正态分布可知，抽取的一件零件的质量在之内的概率为，这10件零件的质量均在之内即没有废品的概率为，故这10件零件中至少有1件是废品的概率为．用频率估计概率，得甲厂生产的一件正品零件为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为，，，则X的可能取值为150，140，130，125，115，100元，，，，，，．的分布列为：X 150 140 130 125 115 100P数学期望元．设乙厂生产的5件该零件规格的正品零件中有n件“优等”品，则有件“一级”品，，解得，取4或5，故所求的概率为．解析：先由正态分布可知，抽取的一件零件的质量在之内的概率为，再求出10件零件的质量均在之内的概率，最后根据对立事件的概率，即可得解；用频率估计概率，结合表格中的数据，得甲厂生产的一件正品零件为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为，，，而X的可能取值为150，140，130，125，115，100元，然后利用相互独立事件的概率逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；设乙厂生产的5件该零件规格的正品零件中有n件“优等”品，则有件“一级”品，根据销售金额列出关于n的不等式，解得，所以n取4或5，然后利用独立重复事件的概率求解即可．本题考查正态分布、对立事件的概率、独立事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．21.答案：解：显然是偶函数，，且时，不恒成立，故题意可为：，，若恒成立，求a的最大值，，，若，则恒成立，在递增，又，有恒成立，此时a的最大值；若，则存在最小的正数，使得成立，此时，当时，，在递减，又，有，，故在递减，又，有，，故，不恒成立，即a无最大值，综合可知，满足题意a的最大值；由知，，要证明，即证明，，，，由，恒成立，有，即证明，，，，，当时，的最大值为，当时，的最小值是，故式恒成立，即证得恒成立．解析：问题转化为，，若恒成立，求a的最大值，求出的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出a的最大值即可；问题转化为证明，得到，，，分别令，，求出函数的最值，从而证明结论成立．本题考查了不等式的证明，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.答案：解：曲线E的参数方程为为参数，所以，代入，得到．曲线F的极坐标方程为为参数，整理得，转换为直角坐标方程为．由于曲线E：经过点．所以点在直线上，所以．由于曲线E和曲线F相切时，，，．故t的范围是．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用直线和曲线的位置关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和曲线的位置关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.答案：解：，则，由，可得当时，；当时，恒成立；当时，，综上可得，；证明：由可得，，，，且有，由，可得，即，可得，即为，可得，又，，故，即．解析：由绝对值的意义，运用零点分区间法，去绝对值，解不等式，求并集，即可得到所求解集；分别求得，，，，且有，由，可得，再由不等式的性质和两边平方法，化简变形，即可得证．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式的证明，注意运用综合法和不等式的性质，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

2020年湖北省高三（5月）调研模拟考试理科数学试卷本试卷共5页，23题（含选考题）.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数21ii +=-（ ） A. 1322i -+B. 1322i -- C.1322i - D.1322i + 2.已知集合{}2230A x x x =--<，非空集合{}21B x a x a =-<<+，B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）. A. (],2-∞B. 1,22⎛⎤⎥⎝⎦C. (),2-∞D. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭3.已知直线l 过圆226260x y x y +--+=圆心且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是（ ）.A. 20x y +-=B. 30x y +-=C. 20x y --=D. 30x y --=4.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器.晷长即为所测量影子的长度）.夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列.经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为（ ）A. 0.5尺B. 1尺C. 1.5尺D. 2尺5.函数()2sin 2ln21cos xx x f x xππ-⋅+=+在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的图像大致为（ ）. A. B.C. D.6.如图的程序框图中，若输人a ，n 的值分别为2，3，且输出T 的值为5，则空白框中应填入（ ）.A. k n <B. k n ≤C. 1k n -≤D. 1k n +<7.ABC V 中，点D 为BC 的中点，3AB AE →→=，M 为AD 与CE 的交点，若(),CM x AB y AC x y R →→→=+∈，则x y -=（ ）. A. 1-B.12C.34D. 18.甲、乙、丙、丁、戊五人等可能分配到A 、B 、C 三个工厂工作，每个工厂至少一人，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为（ ）. A.1225B.1325C.1825D.19259.已知,,a b c ∈R .满足3220ln ln ln b a cb a c==-<.则a ，b ，c 的大小关系为（ ）.A. c a b >>B. a c b >>C. c b a >>D. b a c >>10.在棱长为1的正四面体ABCD 中，M 为AD 上的一点且13AM AD =.N 为AC 中点，则点A 到平面BMN 的距离为（ ）.A.B.C.D.11.已知()()()sin 0xxf x a e ex a π-=-->存在唯一零点，则实数a的取值范围（ ）.A. ,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. ,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12.已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π有且仅有4个零点，有下述三个结论： ①ω的取值范围为1013,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭；②()f x 在50,26π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增；③若()()12221f x f x ==，12x x ≠，则12x x +的最小值为413π 以上说法正确个数为（ ）. A. 0B. 1C. 2D. 3二.填空题：13.912x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为______.14.已知数列{}n a 的前项和为n S ，n *∈N 满足121n n S S ++=，11S =，则数列{}n a 的通项公式为______. 15.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[]50,100内，按得分分成5组：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名同学的得分的中位数为______.16.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点()1,0F c -关于直线30x y +=的对称点P 在双曲线上.则双曲线C 的离心率为______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：17.在ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3A π=，224b c +=，ABC V 的外接圆半径为1R =.（1）求ABC V 面积；（2）角A 的平分线AD 交BC 于D 点，求AD 长.18.已知如图1直角三角形ACB 中，AC BC ⊥，6AC =，63BC =，点D 为AB 的中点，3BC BF =，将ACD V 沿CD 折起，使面ACD ⊥面BCD ，如图2.（1）求证：AC DF ⊥；（2）求二面角C AB D --的余弦值.19.如图，已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，1225F F =Q 是y 轴的正半轴上一点，2QF 交椭圆于P ，且12PF PF ⊥，1PQF △的内切圆M e 半径为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:2AB y x m =+和圆M 相切，且与椭圆C 交于A 、B 两点，求AB 的值.20.甲、乙两厂均生产某种零件.根据长期检测结果：甲、乙两厂生产的零件质量（单位：g ）均服从正态分布()2,N μσ，在出厂检测处，直接将质量在()3,3μσμσ-+之外的零件作为废品处理，不予出厂；其它的准予出厂，并称为正品.（1）出厂前，从甲厂生产的该种零件中抽取10件进行检查，求至少有1片是废品的概率；（2）若规定该零件的“质量误差”计算方式为：该零件的质量为x g ，则“质量误差”0x x g -.按标准，其中“优等”、“一级”、“合格”零件的“质量误差”范围分别是[)0,0.3，[)0.3,0.6、[]0.6,1.0（正品零件中没有“质量误差”大于1.0g 的零件），每件价格分别为75元、65元、50元.现分别从甲、乙两厂生产的正品零件中随机抽取100件，相应的“质量误差”组成的样本数据如下表（用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率）： 质量误差 [)0,0.1 [)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6 []0.6,0.7甲厂频数 103030510510乙厂频数 2530 255105（ⅰ）记甲厂该种规格的2件正品零件售出的金额为X （元），求X 的分布列及数学期望()E X ； （ⅱ）由上表可知，乙厂生产的该规格的正品零件只有“优等”、“一级”两种，求5件该规格零件售出的金额不少于360元的概率. 附：若随机变量()2,Z N μσ~.则()330.9974P Z μσμσ-<<+=；100.99740.9743≈，40.80.4096=，50.80.32768=.21.已知()222cos 1f x x ax π=+-，a ∈R .（1）若()0f x ≥恒成立.求a的最大值0a ；（2）若()()222ln 212g x x πππ=+-+，取（1）中的0a ，当0a a =时，证明：()()2g x f x -≤.（二）选考题：22.在直角坐标系中xOy ，曲线E 的参数方程为2cos 2sin 22x y αααα⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩（α为参数），若以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线F 的极坐标方程为πcos 4ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭t 为参数）.（1）求曲线E 的普通方程和曲线F 的直角坐标方程； （2）若曲线E 与曲线F 有公共点，求t 的取值范围. 23.已知函数()112f x x x =--，()10f x +>的解集为M . （1）求M ；（2）若a M ∈，()2,0b ∈-，且2a b -<>2020年湖北省高三（5月）调研模拟考试理科数学试卷本试卷共5页，23题（含选考题）.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数21ii +=-（ ） A. 1322i -+B. 1322i -- C.1322i - D.1322i + 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则，准确运算，即可求解.【详解】根据复数的除法运算法则，可得()()()()2121313111222i i i i i i i i ++++===+--+. 故选：D .【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的四则运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.2.已知集合{}2230A x x x =--<，非空集合{}21B x a x a =-<<+，B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）.A. (],2-∞B. 1,22⎛⎤⎥⎝⎦C. (),2-∞D. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合A ，由集合的包含关系可构造不等式组求得结果. 【详解】()(){}{}31013A x x x x x =-+<=-<<，Q 集合B 为非空集合且B A ⊆，121321a aa a +>-⎧⎪∴+≤⎨⎪-≥-⎩，解得：122a <≤，即实数a 的取值范围为1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故选：B .【点睛】本题考查根据集合的包含关系求解参数范围的问题，涉及到一元二次不等式的求解，属于基础题.3.已知直线l 过圆226260x y x y +--+=的圆心且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是（ ）.A. 20x y +-=B. 30x y +-=C. 20x y --=D. 30x y --=【答案】C 【解析】 【分析】由圆的一般方程可确定圆心坐标，由两直线垂直可得直线斜率，利用直线点斜式可求得结果. 【详解】由圆的方程知其圆心为：()3,1，l Q 与直线10x y ++=垂直，l ∴的斜率1k =， l ∴的方程为13y x -=-，即20x y --=.故选：C .【点睛】本题考查直线方程的求解问题，涉及到由圆的一般方程确定圆心、直线的垂直关系的应用等知识；关键是明确两直线垂直则斜率乘积为1-.4.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器.晷长即为所测量影子的长度）.夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列.经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为（ ） A. 0.5尺 B. 1尺C. 1.5尺D. 2尺【答案】C 【解析】 【分析】根据日影子长成等差数列可利用夏至日影子长对应的1a 和公差d 表示出已知的两个日影子长之和，解方程组可求得结果.【详解】将十二个节气对应的日影子长看作等差数列{}n a 的前十二项，按顺序夏至日影子长对应1a ，处暑日影子长对应5a ，霜降日影子长对应9a ， 则1595316.5a a a a ++==，解得：5 5.5a =；设等差数列{}n a 的公差为d ，则114 5.5126684a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：1 1.51a d =⎧⎨=⎩，即夏至的日影子长为1.5尺. 故选：C .【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，涉及到等差数列通项公式和前n 项和公式的应用，属于基础题. 5.函数()2sin 2ln21cos xx x f x xππ-⋅+=+在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的图像大致为（ ）. A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】通过()()f x f x -=知函数为偶函数，排除,B D ；利用04f π⎛⎫< ⎪⎝⎭排除C ，进而得到结果.【详解】当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()()22sin 2ln sin 2ln 221cos 1cos x xx x x x f x f x x x ππππ+--⋅⋅-+-===+-+， ()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，可排除,B D ；当4x π=时，2sinln 132ln 320421cos 14f πππππ⋅⎛⎫==< ⎪⎝⎭++，可排除C ，则A 正确.故选：A .【点睛】本题考查函数图象的识别，属于常考题型；解决此类问题的常用方法是采用排除法的方式，排除的依据为奇偶性、特殊位置符号、单调性等.6.如图的程序框图中，若输人a ，n 的值分别为2，3，且输出T 的值为5，则空白框中应填入（ ）.A. k n <B. k n ≤C. 1k n -≤D. 1k n +<【答案】B 【解析】 【分析】按照程序框图运行程序，直到5T =时输出结果，可根据k 的取值确定所填条件.【详解】按照程序框图运行程序，输入2a =，3n =，0k =，0T =，满足所填条件，循环；()3002121T =+⨯-=-，1k =，满足所填条件，循环；()2112121T =-+⨯-=，2k =，满足所填条件，循环； ()1212123T =+⨯-=-，3k =，满足所填条件，循环； ()0332125T =-+⨯-=，4k =，不满足所填条件，输出5T =；由3k =满足条件、4k =不满足条件且3n =可知所填条件应：k n ≤.故选：B .【点睛】本题考查根据程序框图循环结构输出结果补充条件的问题，关键是准确确定输出时的k 的取值. 7.ABC V 中，点D 为BC 的中点，3AB AE →→=，M 为AD 与CE 的交点，若(),CM x AB y AC x y R →→→=+∈，则x y -=（ ）. A. 1- B.12C.34D. 1【答案】D 【解析】 【分析】作//DF BE 交CE 于点F ，根据三角形中位线性质和平行线分线段成比例可求得M 为EF 中点，得到34CM CE →→=，利用向量的线性运算可用,AB AC →→表示出CE →，代入可求得,x y ，进而得到结果.【详解】作//DF BE 交CE 于点F ，D Q 为BC 中点，//DF BE ，F ∴为CE 中点，//DF BE ∴且12DF BE =，3AB AE →→=Q ，23BE AB ∴=，13DF AB AE ∴==，又//DF BE ，EM FM ∴=， 即M 为EF 中点，34CM CE →→∴=.又13CE AE AC AB AC →→→→→=-=-，1344CM AB AC →→→∴=-，即14x =，34y =-，13144x y ∴-=+=. 故选：D .【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，考查了利用基底表示向量的知识；解题关键是能够确定CM 与CE 之间的比例关系.8.甲、乙、丙、丁、戊五人等可能分配到A 、B 、C 三个工厂工作，每个工厂至少一人，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为（ ）. A.1225B.1325C.1825D.1925【答案】D 【解析】 【分析】利用排列组合中的部分平均分组分配的解决办法可求得分配方案总数和甲乙在同一工厂的分配方案总数，利用古典概型概率公式和对立事件概率公式可求得结果.【详解】五人分配到三个工厂工作，每个工厂至少一人共有：221135354322150C C C C A A +⋅=种分配方案； 其中甲乙在同一工厂工作的分配方案共有：12211133233236C C A C C C +=种；∴甲、乙两人不在同一工厂工作的概率36619111502525p =-=-=. 故选：D .【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到对立事件概率的求解和排列组合中的部分平均分组问题；解题关键是能够熟练应用排列组合的知识计算得到基本事件总数和符合条件的基本事件个数.9.已知,,a b c ∈R .满足3220ln ln ln b a cb a c==-<.则a ，b ，c 的大小关系为（ ）.A. c a b >>B. a c b >>C. c b a >>D. b a c >>【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数值域可确定1c >，(),0,1a b ∈；构造函数()()201ln xf x x x =<<，利用导数可知()f x 在()0,1上单调递减，利用232ln ln ln a b ba b b=<可知b a <，由此可得结果.【详解】30b >Q ，20a >，20c >，ln 0b ∴<，ln 0a <，ln 0c >，01b ∴<<，01a <<，1c >；320bb>>Q ，ln 0b <，232ln ln ln a b ba b b∴=<， 令()()201ln xf x x x=<<，则()()()22122ln 2ln 2ln 2ln ln ln x x xx x x x f x x x ⎛⎫⋅-⋅- ⎪⎝⎭'==， 当01x <<时，ln 0x <，10x-<，()0f x '∴<，()f x ∴在()0,1上单调递减， 22ln ln a ba b<Q ，即()()f a f b <，b a ∴<，c a b ∴>>. 故选：A .【点睛】本题考查根据函数单调性比较大小类的问题，解题关键是能够通过构造函数，利用导数求得函数的单调性，进而根据单调性确定自变量的大小关系.10.在棱长为1的正四面体ABCD 中，M 为AD 上的一点且13AM AD =.N 为AC 中点，则点A 到平面BMN 的距离为（ ）.A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】取BC 中点E ，连接AE 交BN 于点O ，连接DO ，由正四面体结构特征可知DO ⊥平面ABC ，则以N 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用点到面的距离的空间向量求法可求得结果. 【详解】取BC 中点E ，连接AE 交BN 于点O ，连接DO ，Q 四面体ABCD 为正四面体，,N E 分别为,AC BC 中点，O ∴为等边三角形ABC 的中心，且DO ⊥平面ABC ，则以N 为坐标原点可作如图所示空间直角坐标系，其中//DO z 轴，Q 正四面体ABCD 棱长为1，221313343AO AE ∴==-=，16133DO ∴=-= 则10,,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，36D ⎝⎭，3B ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,0,0N ， 13AM AD =Q ，即13AM AD →→=，3163M ∴-⎝⎭， 3NB →⎫∴=⎪⎪⎝⎭，3163NM →=-⎝⎭，设平面BMN 的法向量(),,n x y z →=，则3231601839n NB x n NM x y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩u u u r r u u u u r r ，令3z =，则0x =，6y =()6,3n →∴=，又10,,02AN →⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴点A 到平面BMN 的距离61021069AN nd n→→→⋅===+故选：C .【点睛】本题考查点到面的距离的求解，求解点到面的距离的常用方法有两种：（1）利用空间向量法求解；（2）利用体积桥的方式来求解；属于常考题型. 11.已知()()()sin 0xxf x a e ex a π-=-->存在唯一零点，则实数a 的取值范围（ ）.A. ,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. ,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】利用奇偶性可确定唯一零点0x =，将问题转化为()f x 在0x >时无零点问题的求解；利用放缩法，令()()x x h x a e e x π-=--，利用导数可求得2a π≥时()0h x >，由此知满足题意；当02a π≤<，利用零点存在定理可确定()f x '在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在零点，由此可确定存在()00,x x ∈时，()0f x <，结合x →+∞时，()f x →+∞，可确定02a π≤<不合题意，由此得到结论.【详解】()f x Q 定义域为R 且()()()sin xx f x a ee xf x π--=-+=-，()f x ∴为定义在R 上的奇函数，()f x ∴的唯一零点为0x =，则只需0x >时，()f x 无零点即可得到结论；当0x >时，令()sin g x x x ππ=-，则()()cos cos 10g x x x πππππ'=-=-≤，()g x ∴在()0,∞+上单调递减，()()00g x g ∴<=，即sin x x ππ<，∴()()sin x x x x a e e x a e e x ππ---->--，令()()xxh x a e ex π-=--，则()()xx h x a ee π-'=+-，()()x x h x a e e -''=-，0a >Q ，则()0h x ''>，()()02h x h a π''∴>=-，当2a π≥时，()()00h x h ''>≥，()()00h x h ∴>=，()()sin 0xxa e ex h x π-∴-->>，满足当0x >时，()f x 无零点； 当02a π≤<时，()()cos xxf x a e ex ππ-'=+-，()020f a π'∴=-<，111122221cos 022f a e e a e e ππ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+-=+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()f x '∴在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上存在最小零点0x ，使得()00f x '=，又()f x '为连续函数，则当()00,x x ∈时，()0f x '<；()()00f x f ∴<=，又x →+∞时，()f x →+∞，()f x ∴在()0,∞+上必存在零点，不合题意；综上所述：实数a 的取值范围为,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：B .【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，涉及到函数奇偶性、零点存在定理的应用；关键是能够根据函数奇偶性确定零点位置，进而将问题转化为函数在0x >时无零点问题的求解；难点在于通过放缩和零点存在定理确定符合题意的区间.12.已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π有且仅有4个零点，有下述三个结论：①ω的取值范围为1013,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭；②()f x 在50,26π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增；③若()()12221f x f x ==，12x x ≠，则12x x +的最小值为413π 以上说法正确的个数为（ ）. A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】利用()f x 在[]0,π上的零点个数可构造不等式求得ω范围，知①正确；当50,26x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可确定332x πππω-<-<，知②正确；由()()1212f x f x ==可求得()12121523x x k k πω⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，根据ω的范围可知③错误.【详解】当[]0,x π∈时，333x πππωωπ-≤-≤-，()f x Q 在[]0,π上有且仅有4个零点，343ππωππ∴≤-<，解得：101333ω≤<，对于①，1013,33ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，①正确； 对于②，当50,26x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，533263x ππωππω-<-<-， 1013,33ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭Q ，512,263392ωππππ⎡⎫∴-∈⎪⎢⎣⎭，332x πππω∴-<-<，()f x ∴在50,26π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，②正确；对于③，由()()12221f x f x ==知：()()1212f x f x ==， 令()12f x =，则236x k ππωπ-=+或()5236x k k Z ππωπ-=+∈， 22k x ππωω∴=+或726k x ππωω=+()k Z ∈令1122k x ππωω=+，22276k x ππωω=+，12,k k Z ∈， ()()12121212222751522633k k k k x x k k πππππππωωωωωωω+⎛⎫∴+=+++=+=++ ⎪⎝⎭()12352133k k π⎛⎫>⨯++ ⎪⎝⎭， 当121k k +=-时，()12min5233k k ππ⎛⎫++=⎪⎝⎭，1213x x π∴+>，③错误.故选：C .【点睛】本题考查正弦函数的性质相关命题的辨析，涉及到根据正弦型函数区间内的零点个数求解参数范围、单调性的求解、根据函数值求解自变量等知识；关键是能够熟练应用整体对应的方式来进行求解，属于较难题.二.填空题：13.912x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为______.【答案】212- 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式即可求出.【详解】因为993r r 22+19911=()()22r rr r r r T C x x C x----=-， 令9302r-=，解得3r =， 所以展开式中常数项为3349121=()22T C -=-. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式，属于中档题.14.已知数列{}n a 的前项和为n S ，n *∈N 满足121n n S S ++=，11S =，则数列{}n a 的通项公式为______. 【答案】()12n n a -=-【解析】 【分析】利用n a 与n S 的关系可求得12n na a +=-，验证1n =时也满足此式，由此可确定数列{}n a 为等比数列，根据等比数列通项公式可求得结果.【详解】当2n ≥时，121n n S S -+=，1122n n n n S S S S +-∴+=+，12n n a a +∴=-，即12n na a +=-， 又11a =，121222331S S a a a +=+=+=，22a ∴=-，满足12n na a +=-， ∴当n *∈N 时，12n na a +=-，∴数列{}n a 是以1为首项，2-为公比的等比数列， ()12n n a -∴=-.故答案为：()12n n a -=- .【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，解题关键是能够通过n a 与n S 的关系确定数列为等比数列. 15.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[]50,100内，按得分分成5组：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名同学的得分的中位数为______.【答案】72.5 【解析】 【分析】利用频率分布直方图估计中位数的方法可直接构造方程求得结果.【详解】设所求中位数为x ，则()0.01100.03100.04700.5x ⨯+⨯+⨯-=，解得：72.5x =. 故答案为：72.5.【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计中位数的问题，属于基础题.16.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点()1,0F c -30x y +=的对称点P 在双曲线上.则双曲线C 的离心率为______. 31 【解析】 【分析】利用点关于直线对称点的求法可求得P 点坐标，代入双曲线方程可构造关于,a c 的齐次方程，进而求得离心率.【详解】设(),P x y ，则033022y x c x c y ⎧-=⎪⎪+-+=，解得：123x c y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即132P c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， P Q 在双曲线上，22223144c c a b∴-=，即()222223144c c a c a ∴-=-， 解得：222423c e a==-2423e =+31e ∴=.1.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是能够利用点关于直线对称点的求解方法求得双曲线上点的坐标，进而构造出关于,a c 的齐次方程求得结果.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：17.在ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3A π=，224b c +=，ABC V 的外接圆半径为1R =.（1）求ABC V 面积；（2）角A 的平分线AD 交BC 于D 点，求AD 长.【答案】（12）2AD = 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求得a ，利用余弦定理求得bc ，代入三角形面积公式可得结果；（2）设0b c ≥>，求得,b c ；利用角平分线定理可求得,CD DB ；根据cos cos ADB ADC ∠=-∠，利用余弦定理构造方程可求得结果.【详解】（1）ABC QV 的外接圆半径1R =，2sin a R A ∴== 由余弦定理得：2222cos 43a b c bc A bc =+-=-=，解得：1bc =，ABC ∴V 的面积1sin 2S bc A ==. （2）角A 的平分线AD 交BC 于D 点，且224b c +=，1bc =，不妨设0b c ≥>，有b c +=b c -=2b =，c =，又a =AC DC AB DB =且DC DB +=DC =DB =， 在ABD △中，222cos 2AD BD AB ADB AD BD+-∠=⋅；在ADC V 中，222cos 2AD CD AC ADC AD CD+-∠=⋅；ADB ADC π∠+∠=Q ，cos cos ADB ADC ∴∠=-∠，22222222AD BD AB AD CD AC AD BD AD CD +-+-∴=-⋅⋅，解得：212AD =，22AD ∴=. 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用等知识；关键是熟练掌握正余弦定理的形式，考查学生的运算和求解能力.18.已知如图1直角三角形ACB 中，AC BC ⊥，6AC =，63BC =，点D 为AB 的中点，3BC BF =，将ACD V 沿CD 折起，使面ACD ⊥面BCD ，如图2.（1）求证：AC DF ⊥；（2）求二面角C AB D --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）65【解析】 【分析】（1）取CD 的中点E ，连AE ，利用勾股定理、面面垂直和线面垂直性质可分别证得CD DF ⊥、DF AE ⊥，利用线面垂直判定定理可知DF ⊥面ACD ，由线面垂直性质得到结论； （2）以D 为原点可建立起空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）在图2中，取CD 的中点E ，连AE .在直角ABC V 中，AC BC ⊥，6AC =，3BC =90ACB ∴∠=o ，60CAB ∠=o ，又点D 为AB 的中点，3BC BF =，有6CD =，23BF=，43CF =， 由2222cos3012DF CD CF CD CF =+-⨯⨯=o 得：23DF =，222CF CD DF ∴=+，CD DF ∴⊥.将ACD V 沿CD 折起，使面ACD ⊥面BCD ，由点E 为CD 的中点，在等边ACD V 中，AE CD ⊥，面ACD I 面BCD CD =，AE ∴⊥面BCD ，又DF ⊂面BCD ，DF AE ∴⊥，又DF CD ⊥，CD AE E =I ，,CD AE ⊂平面ACD ，DF ⊥∴面ACD ， 又AC ⊂面ACD ，AC DF ∴⊥.（2）以D 为原点，分别以DC ，DF ，过点D 且垂直于平面DBC 的直线为x ，y ，z 轴建立如下图所示空间直角坐标系：则()0,0,0D ，(3,0,33A ，()6,0,0C ，()3,33,0B -， 在面ABC 中，设其一个法向量()111,,m x y z →=， 又(3,0,33CA →=-，()9,33,0CB →=-，则1111330009330x z CA m CB m x ⎧⎧-+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩u u u r ru u u r r ，令11z =，则13x =13y =，)3,3,1m →∴=，在面ABD 中，设其一个法向量()222,,n x y z →=， 又(3,0,33DA →=，()3,33,0DB →=-，则22223330003330x z DA n DB n x ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩u u u r ru u u r r ，令21y =，则23x =，21z =-，)3,1,1n →∴=-，()()()()22222233311165cos ,13331311m nm n m n→→→→→→⨯+⨯+⨯-⋅∴<>===⋅++⨯++-，Q 二面角C AB D --为锐二面角，∴二面角C AB D --的余弦值为65.【点睛】本题考查立体几何中线线垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；涉及到线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理等知识的应用，属于常考题型.19.如图，已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，1225F F =，Q 是y 轴的正半轴上一点，2QF 交椭圆于P ，且12PF PF ⊥，1PQF △的内切圆M e 半径为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:2AB y x m =+和圆M 相切，且与椭圆C 交于A 、B 两点，求AB 的值.【答案】（1）22194x y +=（2）32AB =3AB =【解析】 【分析】（1）利用内切圆的性质可知21PF x =-，11PF x =+，利用勾股定理构造方程可求得x ，结合椭圆定义和,,a b c 关系可求得,a b ，由此得到椭圆方程；（2）利用M e 与直线1PF 相切可求得(5M ，将直线方程代入椭圆方程，可利用弦长公式求得AB ；利用直线AB 与M e 相切可求得m ，代入AB 中即可得到结果.【详解】（1）设1PQF △的内切圆M e 切1PF 、1QF 、PQ 于点E 、F 、G ，11EF FF x ==，()0,0QF QG y x y ==>>，由12PF PF ⊥，且1PE PG ==，有21GF FF x ==，则21PF x =-，11PF x =+， 由2221212PF PF F F +=得：()()(()2221150x x x -++=>，解得：3x =，故12226a PF PF x =+==，即3a =，222b a c -=，故所求的椭圆标准方程为：22194x y +=.（2）由（1）知：121tan 2PF F ∠=，∴直线1PF 方程为(152y x =+， 设点()0,M t ，其到直线1PF 的距离为12515t -+=，解得：5t =或0t =（舍），即(5M ，故圆M 的方程为(2251x y +-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由22249360y x mx y =+⎧⎨+-=⎩得：2240369360x mx m ++-=， 则12910m x x +=-，21293640m x x -=，()()222121336440936404010x x m m m ∴-=-⨯⨯-=-， 22123514010AB k x x m ∴=+-=-， 而2y x m =+与(2251x y +-=515m -=，解得：0m =或5m =故32AB =3AB =.【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、直线与圆相切的位置关系的应用、弦长问题的求解等；考查学生的运算和求解能力，属于中档题.20.甲、乙两厂均生产某种零件.根据长期检测结果：甲、乙两厂生产的零件质量（单位：g ）均服从正态分布()2,N μσ，在出厂检测处，直接将质量在()3,3μσμσ-+之外的零件作为废品处理，不予出厂；其它的准予出厂，并称为正品.（1）出厂前，从甲厂生产的该种零件中抽取10件进行检查，求至少有1片是废品的概率；（2）若规定该零件的“质量误差”计算方式为：该零件的质量为x g ，则“质量误差”0x x g -.按标准，其中“优等”、“一级”、“合格”零件的“质量误差”范围分别是[)0,0.3，[)0.3,0.6、[]0.6,1.0（正品零件中没有“质量误差”大于1.0g 的零件），每件价格分别为75元、65元、50元.现分别从甲、乙两厂生产的正品零件中随机抽取100件，相应的“质量误差”组成的样本数据如下表（用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率）：（ⅰ）记甲厂该种规格的2件正品零件售出的金额为X （元），求X 的分布列及数学期望()E X ； （ⅱ）由上表可知，乙厂生产的该规格的正品零件只有“优等”、“一级”两种，求5件该规格零件售出的金额不少于360元的概率. 附：若随机变量()2,Z N μσ~.则()330.9974P Z μσμσ-<<+=；100.99740.9743≈，40.80.4096=，50.80.32768=.【答案】（1）0.0257（2）（ⅰ）详见解析（ⅱ）0.73728 【解析】 【分析】（1）求得没有废品的概率之后，利用对立事件概率公式可求得结果；（2）（ⅰ）首先确定“优等”、“一级”、“合格”的概率，接着确定ξ所有可能的取值，求解出每个取值对应的概率后可得分布列，由数学期望计算公式计算可得期望；（ⅱ）利用()7565536n n +-≥构造不等式可确定n 可能的取值，利用二项分布概率公式可求得结果. 【详解】（1）由正态分布可知，抽取一件零件的质量在()3,3μσμσ-+之内的概率为0.9974， 则这10件质量全都在()3,3μσμσ-+之内（即没有废品）的概率为100.99740.9743≈； 则这10件零件中至少有1件是废品的概率为10.97430.0257-=.（2）（ⅰ）由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，得该厂 生产的一件正品零件为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为0.7,0.2,0.1； 则ξ的可能取值为150,140,130,125,115,110元，有：()1500.70.70.49P X ==⨯=；()1400.70.220.28P X ==⨯⨯=； ()1300.20.20.04P X ==⨯=；()1250.70.120.14P X ==⨯⨯=； ()1150.20.120.04P X ==⨯⨯=；()1000.10.10.01P X ==⨯=，得到X 的分布列如下：则数学期望为：()1500.491400.281300.041250.141150.041000.01E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯141=（元）.（ⅱ）设乙厂生产的5件该零件规格的正品零件中有n 件“优等”品，则有5n -件“一级”品， 由已知有()75655360n n +-≥，解得： 3.5n ≥，则n 取4或5.故所求的概率为：44550.80.20.80.40960.327680.73728P C =⨯⨯+=+=.【点睛】本题考查概率分布中离散型随机变量分布列与数学期望的求解、二项分布概率问题的求解、正态分布的相关知识，是对概率分布部分知识的综合考查，属于中档题. 21.已知()222cos 1f x x ax π=+-，a ∈R .（1）若()0f x ≥恒成立.求a 的最大值0a ； （2）若()()222ln 212g x x πππ=+-+，取（1）中的0a ，当0a a =时，证明：()()2g x f x -≤.【答案】（1）02πa =（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性可知()f x 为偶函数，根据0a =时，()0f x ≥恒成立可将问题转化为0a >时，[)0,x ∈+∞，()0f x ≥恒成立，求0a ；利用导数，分别在02a π<≤和2a π>两种情况下得到函数单调性，进而确定a 的范围，从而得到最大值；（2）将所证不等式转化为证明当21122x π>-，()2222cos 212x x x πππ-+≤++，根据余弦函数和二次函数单调性可分别求得不等号左右两侧函数的最大值和最小值，由此可证得不等式成立，从而得到结论. 【详解】（1）()()222cos 1f x x ax f x π-=+-=Q ，()f x ∴为偶函数，当0a =时，()0f x ≥恒成立，故题意可为：0a >，[)0,x ∈+∞，若()0f x ≥恒成立，求a 的最大值0a .()24sin f x x a ax π'=-，()2222244cos cos f x a ax a ax a ππ⎛⎫''=-=-- ⎪⎝⎭，①若02a π<≤，则()0f x ''≥恒成立，()f x '在[)0,+∞单调递增， 又()00f '=，有()0f x '≥，[)0,x ∈+∞，故()f x 在[)0,+∞单调递增， 又()00f =，有()0f x ≥恒成立，此时a 的最大值02a π=.②若2a π>，则存在最小的正数0x ，使()00f x ''=成立，此时2024cos ax aπ=，当[)00,x x ∈时，()0f x ''≤，()f x '在[)00,x 单调递减，又()00f '=，有()0f x '≤，[)00,x x ∈，故()f x 在[)00,x 单调递减， 又()00f =，有()0f x ≤，[)00,x x ∈，故()0f x ≥，[)0,x ∈+∞不恒成立， 即a 无最大值.综合①②可知，满足题意a 的最大值02a π=.（2）由（1）知，()222cos21f x x x ππ=+-，证明：()()2g x f x -≤，即证：()()22222ln 212cos 2122x x x πππππ+-+-+-≤，21122x π>-， ()22222ln 212cos 212x x x πππππ⇔+-≤+-+，21122x π>-， 由ln 1t t ≤-，0t >恒成立，有()2222ln 212x x ππππ+-≤-，即证：2222222cos 212x x x πππππ-≤+-+，21122x π>-， ()2222cos 212xx x πππ⇔-+≤++，21122x π>-，（*） 当21122x π>-时，()()222h x x x π=-+的最大值为2122h π⎛⎫= ⎪⎝⎭，当21122x π>-时，()2cos 212x x πϕπ=++的最小值为22π， 故（*）式恒成立，即证得()()2g x f x -≤恒成立.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到恒成立问题的求解、不等式的证明；本题证明不等式的关键是能够将所证不等式进行转化，转化为不等号左右两侧均为可求最值的函数的形式，进而利用最大值和最小值之间大小关系的比较证得结论，属于难题.（二）选考题：22.在直角坐标系中xOy ，曲线E的参数方程为2cos 2sin 22x y αααα⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩（α为参数），若以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线F的极坐标方程为πcos 4ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭t 为参数）.（1）求曲线E 的普通方程和曲线F 的直角坐标方程； （2）若曲线E 与曲线F 有公共点，求t 的取值范围.【答案】（1）21y x =+；2x y t +=（2）37,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2020届高三元月联考理科数学试题本试卷共2页，共23题（含选考题）满分150分，考试用时120分钟★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色中性笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z 满足()1z i i -=，则z 在复平面上对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知全集U R =，集合{}2|230A x x x =--≤，集合{}2lo |g 1x B =≤，则()U AC B =（ ） A.(]2,3 B.∅C.[)(]1,02,3-D.[](]1,02,3- 3.已知0.22a =，0.812b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，52log 2c =则（ ） A.c a b << B.c b a << C.a b c << D.b a c <<4.据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n （n 为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（ ）盏.A.2B.3C.26D.27 5.若直线()200,0ax by a b ++=>>截得圆()()22211x y +++=的弦长为2，则12a b +的最小值为（ ） A.4 B.6 C.8 D.106.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征.如函数()21cos 21x x f x x +=-的图象大致是（ ） A. B. C. D.7.函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移________个单位长度得到. A.6π B.3π C.2π D.23π 8.若向量a 与b 的夹角为60︒，()2,0a =，223a b +=，则b =（ ）B.1C.4D.39.如图，AB 和CD 是圆O 两条互相垂直的直径，分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A.21π- B.112π- C.2π D.1π10.设函数()f x 的定义域为R ，满足()()21f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()()1f x x x =--.若对任意[),x m ∈+∞.都有()89f x ≤二，则m 的取值范围是（ ） A.7,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B.5,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C.5,4⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭ D.4,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭11.SC 是球O 的直径，A 、B 是该球面上两点，AB =30ASC BSC ∠=∠=︒，棱锥S ABC -的体O 的表面积为（ ）A.4πB.8πC.16πD.32π 12.关于函数()2ln f x x x=+，下列说法正确的是（ ） （1）2x =是()f x 的极小值点；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点；（3）()12f x x >恒成立； （4）设函数()()24g x xf x x =-++，若存在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊂+∞⎪⎢⎣⎭，使()g x 在[],a b 上的值域是()()2,2k a k b ++⎡⎤⎣⎦，则92ln 21,10k +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. A.（1）（2） B.（2）（4） C.（1）（2）（4） D.（1）（2）（3）（4）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知曲线2sin xy e x =-，则其在点()0,2处的切线方程是___________. 14.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，396,,S S S 成等差数列，362a a +=，则9a =___________.15.根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派4位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动，则周一、周二都有专家参加调研活动的概率为___________.16.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上支与焦点为F 的抛物线()220y px p =>交于A ，B 两点.若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为___________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a b c <<，sin A =。