四种回归设计方法比较表 试验设计方法一次回归正交二次回归正交二次回归正交旋转二次回归通用旋转 特点正 交 性 在p维因素空间内，如果试验方案使所有j个因素的不同水平x ij 满足: ) ; ,..., 2,1 ; ,..., 2,1 ; ,..., 2,1 ( 1 1 j t N t x x N j N i x N i it ij N i ij ≠ = = = = = ∑ ∑ = = 则该方案具有正交性。则，一次回归正交、二次回归正交，及二次回归正交旋转试验均具有正交性， 具有以下特点： 1.利用正交试验设计安排试验，运用回归分析方法处理数据； 2.减少试验次数，适用于因素水平不太多的多因素试验； 3.“均匀分散，整齐可比”； 4.由于试验设计的正交性，消除回归系数之间的相关性，使其具有独立性。 注：二次回归正交旋转中，由公式p m m c 2 ) 1(42/1 - + =计算出m0为整数时，则旋转组合设计是 完全正交的；当m0不为整数时，则旋转组合设计是近似正交的。 一次项系数b j与交互项系数b ij具有 正交性，但常数项b0与平方项回归 系数b jj，以及各平方项回归系数b jj 之间均存在相关，因此不具有正交 性。 旋 转 性 具有旋转性无 具有旋转性（在p维因素空间中，若使用方案使得试验指标预测值 ?的预测方差仅与试验点到试验中心的距离ρ有关，而与方向无关， 因此具有旋转性。） 通 用 性 无 具有通用性（各试验点与中心的 距离ρ在因子空间编码值区间0< ρ <1范围内，其预测值?的方差基 本相等，即具有通用性。）
优点科学地安排实验，用最少的试验次数，获得最全面的试验信息，并对试验结果进行科学分析，从而得 到最佳实验条件，迅速建立经验公式，简化计算。 1.中心点试验次数m0有所减少。 2.试验方案具有通用性与旋转性。消除回归系数之间的相关性，使其具有独立性，剔除回归方程某一 变量时，其余变量的回归系数不变。 1.可直接比较各点预测值的好 坏，找出预测值相对较优的区 域； 2.有助于寻找最优生产的过程 中排除误差的干扰。 缺点1.只适用于因素水平不太多的多 因素试验，且水平数一般不大于 3； 2.适用性具有局限，一次回归方程 经检验可能在区域内部拟合不 好。 试验指标预测值?的方差依靠 试验点在p维空间的位置，影响 不同回归值之间的直接比较。 1.中心试验次数明显增加，对于 试验费用昂贵或试验数据难以 取得的研究不利。 2.在不同半径球面上各试验点 的预测值?的方差不等，不便 于比较。 常数项b0与平方项回归系数b jj、以 及各平方项回归系数b jj 存在相关， 牺牲了部分正交性而达到一致精度 的要求。 因素水平编码试验次 数N N(不包括零水平试验次数) 2 2 2 + = ≥ + + = p c C q N m p m N m0根据试验设计需求而定 p m m m p m N c 2 ) 1(4 2 2/1 - + = + + = m0由公式求得 2m p m N c + + = m0查相关工具表或由公式求得 确定星 号臂r 无 2 ) 2 ( 2c c c m m m p m r - + + = ? ? ? ? ? = = - 实施 实施 全面实施 4/1,2 2/1,1 ,0 , 24i r i p 中心化 处理 无) ,..., 2,1 ; ,..., 2,1 (, 1 1 2 2p j N i x N x x N i ij j j = = - = '∑ = 无
二次回归正交试验 为了检测某种原料的吸水倍率，重点考察氮肥含量和催化剂对试验指标的影响，已知氮肥含量（x1）的变化范围为0.7～0.9，催化剂（x2）的变化范围为1～3 mL，用二次正交组合设计分析出这两个因素与试验指标（y）之间的关系。 (1)因素水平编码 计算依据 m=2，取m0=2，根据星号臂γ计算公式或查表得γ=1.078 X(1γ)=0.9 ，x(-1γ)=0.7， x(10)=0.8 Δ1=(0.9-0.8)/1.078=0.093 X(2γ)=3 ，x(-1γ)=1， x(10)=2 Δ2=(3-2)/1.078=0.93
(2)试验方案 借助excel分析如下：
①回归方程显著性检验：F=186.5564，， ，12.4)74(95.0=F 因此回归方程非常显著。 '74.41'37.2375.656.2609.952.468y 212121z z z z z z ----+= ②偏回归系数的显著性检验 9 .496.113305.113806.113308.47058.14583.1822.44615.5528.4705701.274.41)(8.1458701.224.23)(3.182475.6)(2 .4461324.656.265.552324.609.95.113801046852206303)(122111221221222222221 121111221 21212 1222 1222222 112112212 1 =-=-==++++=++++==?===?===?===?===?===-=-=∑∑∑∑∑∑∑=======R T e R n i i n i i n i n i i n i i n i i n i i T SS SS SS SS SS SS SS SS SS z b SS z b SS z z b SS z b SS z b SS y n y SS 方差分析： dfT=n-1=10-1=9 df1=df2=df12=df1’=df2’=1
一次回归正交设计 某产品的产量与时间、温度、压力和溶液浓度有关。实际生产中，时间控制在30~40min，温度控制在50~600C，压力控制在2*105~6*105Pa，溶液浓度控制在 20%~40%，考察Z 1~Z 2 的一级交互作用。 因素编码 Z j (x j ) Z 1 /min Z 2 /o C Z 3 /*105Pa Z 4 /% 下水平Z 1j （-1）30 50 2 20 上水平Z 2j （+1）40 60 6 40 零水平Z 0j （0）35 55 4 30 变化间距 5 5 2 10 编码公式X 1=（Z 1 -35）/5 X 2 =(Z 2 -55）/5 X 3 =(Z 3 -4)/2 X 4 =(Z 4 -30)/10 选择L8（27)正交表 因素x 1,x 1 ,x 3 ,x 4 依次安排在第1、2、4、7列，交互项安排在第3列。 试验号X0 X1(Z1) X2(Z2) X3(Z3) X4(Z4) X1X2 Yi 1 1 1 1 1 1 1 9.7 2 1 1 1 -1 -1 1 4.6 3 1 1 -1 1 -1 -1 10.0 4 1 1 -1 -1 1 -1 11.0 5 1 -1 1 1 -1 -1 9.0 6 1 -1 1 -1 1 -1 10.0 7 1 -1 -1 1 1 1 7.3 8 1 -1 -1 -1 -1 1 2.4 9 1 0 0 0 0 0 7.9 10 1 0 0 0 0 0 8.1 11 1 0 0 0 0 0 7.4 Bj=∑ xjy 87.4 6.6 2.6 8.0 12.0 -16.0 aj=∑ xj2 11 8 8 8 8 8 bj = Bj /aj 7.945 0.825 0.325 1.000 1.500 -2.00 Qj = Bj2 /aj 393 5.445 0.845 8.000 18.000 32.000 可建立如下的回归方程。 Y=7.945+0.825x1+0.325x2+x3+1.5x4-2x1x2 显著性检验： 1、回归系数检验