最小公倍数(二)

第27讲最小公倍数（二）一、专题简析：最小公倍数的应用题，解题方法比较独特。

当有些题中所求的数不正好是已知数的最小公倍数时，我们可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法，使问题转换成已知数的最小公倍数，从而求出结果。

二、精讲精练例题1 有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。

这个自然数最小是多少？练习一1、学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。

六年级最少多少人？2、一个数能被3、5、7整除，但被11除余1。

这个数最小是多少？例题2 有一批水果，总数在1000个以内。

如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。

这批水果共有多少个？练习二1、一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形，这所学校至少有多少人？2、有一批乒乓球，总数在1000个以内。

4个装一袋、5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩下一个。

这批乒乓球到底有多少个？例题3 一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多14颗，这盒棋子在150至200颗之间，问共有多少颗？练习三1、有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵。

这批树苗数在150至200之间，求共有多少棵树苗。

2、五（1）班的五十多位同学去大扫除，平均分成4组多2人，平均分成5组多3人。

请你算一算，五（1）班有多少位同学？例题4 从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？练习四1、插一排红旗共26面。

原来每两面之间的距离是4米，现在改为5米。

如果起点一面不移动，还可以有几面不移动？2、一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是90米。

原来每隔2米植一棵树，由于小树长大了，必须改为每隔5米植一棵。

最大公约数与最小公倍数（二）这一讲我们主要介绍最大公约数、最小公倍数的性质以及两者之间的关系。

1． 最大公约数的性质：（1） 两个数的公约数一定是两个数的最大公约数的因数。

（2） 两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商一定互质。

2． 最小公倍数的性质：（1） 两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

（2） 如果一个数c 能同时被两个自然数a 、b 整除，那么c 一定能被这两个数的最小公倍数整除。

或者说，一些数的公倍数一定是这些数的最小公倍数的倍数。

3． 最小公倍数和最大公约数之间的关系：)(b a ab ， ×］，［b a 或］，［b a =)(b a ab ， 学习例题：例1. 两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？例2. 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210，这两个数的和是77，求这两个数。

例3. 两个自然数的和是432，它们的最大公约数是36，求这两个数。

例4.两个数的最大公约数为21，最小公倍数为126，求这两个数。

例5.两个自然数的和是54，它们的最小公倍数与最大公约数的差是114，求这两个自然数。

例6.已知两个自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和为84，求这两个数。

例7.三个三位数，它们的最大公约数是26，最小公倍数是10010，满足条件的三位数有几组？思考与练习：1.两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。

已知其中一个数为24，求另一个自然数。

2.两个数的最大公约数是18，最小公倍数是180，两个数的差是54，求这两个数的和。

3.两个数的和是70，它们的最大公约数是7，求这两个数是多少？4.两个自然数的最小公倍数是144，它们的最大公约数是24，求这两个数。

5.两个数的最大公约数是6，最小公倍数是504，其中一个数是42，那么另一个数是多少？6.两个整数的最小公倍数是140，最大公约数是4，这两个数的和为48，这两个数分别是多少？7.两个数的最大公约数是6，最小公倍数是144，这两个数的和是多少？8.两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。

第27周最小公倍数（二）专题简析：最小公倍数的应用题，解题方法比较独特。

当有些题中所求的数不正好是已知数的最小公倍数时，我们可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法，使问题转换成已知数的最小公倍数，从而求出结果。

例题1 有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。

这个自然数最小是多少？分析根据已知条件可知，假如把这个自然数增加3，所得的数就正好能被10、7和4这三个数整除，即10、7和4的最小公倍数，然后再减去3就能得到所求的数了。

[10，7，4]=140140－3=137即：这个自然数最小是137。

练习一1，学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。

六年级最少多少人？答案：解：六年级最少人数等于：3×7×11+2=233(人).2，一个数能被3、5、7整除，但被11除余1。

这个数最小是多少？答案：解：思路启发：先求出几个3、5、7的公倍数(从小到大)，再找出用11去除余1的最小数即可.一个数能被3，5，7整除，这个数一定是3，5，7的公倍数.3，5，7的公倍数依次为：105，210，315，420，其中被11除余数为1的最小数是210，所以这个最小数是210．3，一袋糖，平均分给15个小朋友或20个小朋友后，最后都余下5块。

这袋糖至少有多少块？答案：解：20＝2×2×5，15＝3×5所以20和15的最小公倍数是5×2×2×3＝60所以这袋糖果至少有：60＋5＝65(粒)答：这袋糖果至少有65粒．例题2 有一批水果，总数在1000个以内。

如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。

这批水果共有多少个？分析根据题意可知，这批水果再增加2个后，每24个装一箱，每28个装一箱或每32个装一箱都能装整箱数，也就是说，只要把这批水果增加2个，就正好是24、28和32的公倍数。

第2课时最小公倍数（2）课题最小公倍数（2）课型新授课设计说明1.本节课的教学设计强调了学习方法的借鉴，让学生借鉴求最大公因数的方法，理解最小公倍数的意义。

新课伊始，我就引入情境，既激发了学生的学习兴趣，使学生初步理解公倍数和最小公倍数的概念，又使学生学会了求最小公倍数的方法。

2.在找公倍数的过程中，呈现找法的多样性，引导学生分析出各种方法的优势，促进了学生思维的个性化发展，最后通过寻找最小公倍数的练习，探究求有特殊关系的两个数的最小公倍数的方法，加深了学生的理解和应用，使学生初步感知从特殊到一般的规律。

学习目标会用公倍数、最小公倍数的知识解决简单的实际问题，体会数学与生活的联系，增强应用数学意识。

学习重点用最小公倍数解决简单的实际问题。

学习难点能把实际问题转化成求最小公倍数的问题。

学习准备教具准备：PPT课件学具准备：若干张长3dm，宽2dm的卡片。

课时安排1课时教学环节导案学案达标检测一、复习旧知，引入新课。

（5分钟）1.求出下面每组数的最小公倍数。

13和15 4和1622和33 18和242.小结求两个数的最小公倍数的方法。

3.引入新课：这节课我们来学习用两个数的最小公倍数解决生活中的实际问题。

（板书课题）1.独立完成后，小组交流。

2.明确可以用分解质因数的方法求两个数的最小公倍数。

3.明确本节课的学习内容。

1.选择题。

（1）一个数的（）的个数是无限的。

A.因数B.倍数C.最小公倍数（2）34是17和2的（）。

A.因数B.最大公因数C.最小公倍数（3）因为60是10的倍数，也是5的倍数，所以60是10和5的（）。

A.最小公倍数B.公倍数C.最小公因数答案：（1）B （2）C（3）B2.东方红小学五（2）班部分同学进行列队训练，无论是每行排6人，还是每行排8人都正好排满，没有剩余。

至少有多少人训练？答案：6的倍数有：6、12、18、24……8的倍数有：8、16、24、32……6和8的最小公倍数是24。

最大公约数与最小公倍数（一）教学目标：1．通过学生对应用题的条件与问题的全面分析，培养学生发现问题和解决问题的意识。

2．通过比较与辨析，使学生进一步理解和掌握“最大公约数和最小公倍数”应用题的解题规律。

3．培养学生的合作交流意识和创新意识，发展学生的空间观念与想像力。

教学过程：一、基本概念知识1.公约数和最大公约数①如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。

②如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。

在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。

例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12; 18的约数有：1，2，3，6，9，18。

自然数的最大公约数通常用符号（）表示，例如，12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作(12，18)=6。

（8，12）=4，（6，9，15）=3。

　2.公倍数和最小公倍数　③如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。

在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。

例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，… 18的倍数有：18，36，54，72，90，…自然数的最小公倍数通常用符号[]表示，例如12和18的公倍数有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。

[8，12]=24，[6，9，15]=90。

3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。

常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。

用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别：求个数的最大公约数：（1）必须每次都用个数的公约数去除；（2）一直除到个数的商互质（但不一定两两互质）；（3）个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。

求个数的最小公倍数：（1）必须先用（如果有）个数的公约数去除，除到个数没有除去1以外的公约数后，在用个数的公约数去除，除到个数没有除1以外的公约数后，再用个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；（2）只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到个数的商两两互质为止；（3）个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。

最大公因数、最小公倍数（二）姓名1、180的因数有（）个。

2、算式：（121＋122＋…＋170）－（41＋42＋…＋98）的结果是（）（填奇数或偶数）。

3、在乘积1×2×3×…×98×99×100中，末尾有（）个零。

4、一个最简分数，如果分母除了（）和（）以外，不含有其它质因数的分数就一定能化成有限小数。

5、A、B是两个连续的非零的自然数，它们的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

6、在a÷b＝5……3中，把a、b同时扩大3倍，商是（），余数是（）。

7、数一堆贝壳的个数，若4个4个地数，则剩1个；若5个5个地数，则剩2个；若6个6个地数，则剩3个。

由以上情况可推知，这堆贝壳至少有（）个。

8、晚上小明家正开着灯在吃晚饭，顽皮的弟弟按了5下开关，这时灯是（），如果按了50下灯是（）。

9、、如果M、N的最小公倍数是210，最大公约数是10，M、N的差是40，M、N 分别是多少？10、有一个三位纯循环小数化成最简分数时，分子与分母的和是149，这个循环小数是多少？11、有30多本作业本，如果分给4个同学，正好分完；如果分给6个同学也正好分完，有多少本作业本？12、如图，甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别是多少齿？13 有三根铁丝分别长15、18、27米，要把它们锯成同样长的小段，不许有剩余，每段最长多少米？一共得多少段？14、．一个长方体的玻璃容器，从里面量长8分米，宽5分米，高4分米，现在量得水深2.5分米。

如果投入一块棱长2分米的正方体铁块后，水的深度是多少？15、一个正方体的棱长总和是24 厘米，它的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？16、要做一种管口周长40厘米的通气管子10根，管子长2米，至少需要铁皮多少平方米？。

最大公因数和最小公倍数（二）例1、把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。

至少能剪块。

【分析】：根据题意，剪得的小正形的边长必须是90和42的最大公约6。

所以原长方形的长要分90÷6＝15段，宽要分42÷6＝７段，至少能剪17×７＝105（块）解：（１）求90和42的最大公约数2 90 423 45 2115 7（90，42）＝60（2）求至少剪多少块正方形铁板90÷6＝1545÷6 ＝715×7＝105（块）答：至少可以剪105块正方形铁板。

练习1、把一块长90厘米宽35厘米的长方形铁板加工成边长是整厘米数。

并面积相等的最大正方形铁片。

并且无剩余，至少可以加工成多少块？2、用96朵红花和72朵白花做成花束，如果每束花里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花？3、38支钢笔，41只计算器，平均奖给四、五年级评比的优秀学生，结果钢笔多出2支，计算器差1只。

问：评出的优秀学生最多有几人？例2、求437和551的最大公约数。

分析：用较大的数除以较小的数，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数。

∴437和551的最大公约数为19。

练习：1、437与323的最大公约数是多少？2、24871和3468的最小公倍数是多少？3、254216933的最简分数是多少？例3、求289，3512，5615的最大公约数。

例4、求289，3512，5615的最小公倍数。

1、求2518、3527、509的最大公约数。

2、求2518、3527、509的最小公倍数。

3、苹果每个重283千克，梨每个重245千克，橘子每个重212千克。

如果苹果、梨、橘子的总重量都相等，苹果、梨、橘子最少各有多少个？思考题：1、动物园的饲养员给三群猴子分花生，如果只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群，则每只猴子可得20粒。