最大公因数和最小公倍数2

[多選題][-].設a 、b 、c 均為整數，下列何者為真？ (A)若c|a 或c|b ，則c|ab (B)若a|c 且b|c ，則ab|c (C)若(a,c)=(b,c)，則a=b (D)若ab|c ，則a|c 且b|c (E)若c|a 且c|b ，則(a,b)|c 。

解答：AD.設a,b,c 都是異於零的整數，p 為質數，(a,b)表a 與b 的最大公因數，則下列何者恆成立？ (A)若(a,c)=1且b ∣c ，則(a,b)=1 (B)若(a,c)=1，則(a,b)=(a,bc) (C)若p ∣ab ，則p ∣a 或p ∣b (D)若(a,b)=1，則(a+b,a －b)=1 (E)若(a,b)=1，則(a －b,ab)=1。

解答：ABCE.a,b,c ∈Z ，下列何者為真？ (A)若a|bc 則a|b 或a|c (B)若a|b+c 則a|b 或a|c (C)若a|bc 且(a,b)=1則a|c (D)若a 為質數且a|bc 則a|b 或a|c (E)若a|b 且a|c 則a|b+c 。

解答：CDE.下列敘述何者正確？(a,b)表a 、b 之最大公因數。

(A)若(a,b)=1，則(a+b,ab)=1 (B)若(a,b)=1，則(a+b,a-b)=1 (C)若a|bc ，則a|b 或a|c (D)若(a,b)=1，則(2a,3b)=1 (E)若a|b,b|c ，則a|c 。

解答：ADE[計算題][-] .(1)試求最大公因數(713,1173)與最小公倍數[713,1173] (2)若(713,1173)=d ,試求一組整數m ,n ,使得713m +1173n =d .解答：23,36363,m=-23,n=14.設二自然數的和是528 ,最小公倍數是5797 ,求此二數.解答：341,187.兩個二位自然數最大公因數為12 ,其乘積為5040 ,求此二數.解答：60,84.設a,b 為二正整數,若2+b a =512++b a ,最小公倍數[a,b ]=144 ,最大公因數(a,b )>4 ,求二正整數a,b . 解答：a=72,b=16.設a ,b ∈N,a <b ,若(a ,b )+[a ,b ]=15 ,則數對(a ,b )共多少組?解答：2組.求最大公因數(540,504,810)與最小公倍數[540,504,810].解答：18,22680.二自然數a 與b ,其和為214,二者之最大公因數為14,設22b a +之最小值為)1010(1422r q p +⨯+⨯,其中p,q,r 為阿拉伯數碼,求p,q,r .解答：p=1,q=0,r=6.設a,b,c ∈N 且a+3b=2c ,22a +2c =32b ，又[a,b,c ]=300，求a,b,c 之值。

最大公因数和最小公倍数什么是最大公因数？最大公因数（GCD）是指两个或多个数中能够整除它们的最大正整数。

在数学中，最大公因数也被称为最大公约数或者最大公因子。

如何计算最大公因数？有多种方法可以计算最大公因数，其中最常用的方法是欧几里得算法。

这个算法基于如下的数学原理：两个整数a和b的最大公因数即为a除以b的余数c与b的最大公因数。

举个例子，假设我们要计算12和16的最大公因数。

我们可以通过以下步骤来执行欧几里得算法：1.令a等于较大的数字（16），令b等于较小的数字（12）。

2.用b除以a，并计算余数c。

在这种情况下，16除以12等于1，余数为4。

3.然后将b设置为a，而将c设置为新的b。

4.重复上述步骤，直到余数c为0。

此时，b即为最大公因数。

在这个例子中，最大公因数是4。

最大公因数的应用最大公因数在数学中有广泛应用。

例如，在分数运算中，我们可以通过求分子和分母的最大公因数来简化分数。

最大公因数还在密码学中发挥着关键作用。

一些加密算法，如RSA算法，依赖于对两个大质数进行运算，其中最大公因数的计算是一个关键步骤。

什么是最小公倍数？最小公倍数（LCM）是指两个或多个数中能够被它们整除的最小正整数。

最小公倍数也被称为最小公倍数或者最小公倍数。

如何计算最小公倍数？有多种方法可以计算最小公倍数，其中一种常用的方法是通过最大公因数来计算。

假设我们要计算12和16的最小公倍数，我们可以使用以下公式：LCM(a,b) = (a * b) / GCD(a,b)在这个公式中，LCM表示最小公倍数，a和b分别表示两个数字的值，而GCD 表示最大公因数。

使用这个公式，我们可以计算出12和16的最小公倍数：LCM(12,16) = (12 * 16) / 4 = 48所以，12和16的最小公倍数是48。

最小公倍数的应用最小公倍数在数学和实际生活中都有应用。

例如，在时间单位转换中，我们可以通过求两个时间单位的最小公倍数来进行换算。

两数最大公因数和最小公倍数关系好吧，今天咱们来聊聊数学里的两位“老朋友”：最大公因数和最小公倍数。

这两位，听起来有点严肃，但其实它们的关系可有趣了，像一对打打闹闹的兄弟，让我们慢慢来捋一捋。

你想想，最大公因数就像是最强的“拼图块”，它把两个数的共同因素都找出来，找出最大的那个。

而最小公倍数嘛，就像是“团结就是力量”，把两个数的共同倍数都找出来，最小的那个。

所以啊，这俩在一起，就像是麻辣火锅里的豆腐和牛肉，缺一不可。

想象一下，咱们有两个数字，嘿，假设是12和18。

先说最大公因数，咱们来找找这俩数字的“亲戚”。

12的因数是1、2、3、4、6、12，18的因数是1、2、3、6、9、18。

看吧，最大的共同因数就是6。

没错，6就是这俩数的“家长”，把它们紧紧联系在一起，真是个好家长啊，给它们找到了共同的根源。

再来看看最小公倍数，咱们要找的就是12和18的最小倍数。

12的倍数有12、24、36、48……18的倍数有18、36、54……你瞧，最小的共同倍数就是36！这就像是说，兄弟俩有了共同的“舞台”，在36这个时刻一起闪亮登场。

可能有的小伙伴就会问了，哎，这俩有啥关系呢？让我告诉你，最大公因数和最小公倍数之间有个神奇的关系，那就是：这俩数相乘等于最大公因数乘以最小公倍数。

也就是说，12乘以18，结果是216，而6乘以36也是216。

简直是巧合吧，像偶然间碰到的老友，仿佛命中注定要相遇。

数学里就是这么神奇，貌似毫不相干的东西，竟然可以联手搞出这么大的新闻。

我常常想，这就像人生一样。

有时候你觉得两个看似不搭界的人，竟然能在某个时刻产生奇妙的联系。

就像最大公因数和最小公倍数，都是为了更好地理解和解决问题。

听起来有点高大上，但其实就是把复杂的事情简单化，和朋友一起分享生活中的小乐趣。

说到这里，咱们不妨想想，生活中其实也充满了这样的例子。

比如说，团队合作，大家各自带着不同的技能，有的人擅长沟通，有的人擅长分析，结合起来就是最大的力量。

最小公倍数与最大公因数的求法最小公倍数和最大公因数，听起来像是数学课上那些让人头疼的概念，不过别担心，咱们轻松点儿聊聊。

最小公倍数，简称最小公倍数，其实就是找到几个数共同的倍数，越小越好。

就像找个大家都能接受的时间，约个饭局，大家都好安排。

比如，咱们找 4 和 6 的最小公倍数，4 的倍数有 4、8、12、16，6 的倍数有 6、12、18，嘿，12 是个大家都能接受的选择，最小公倍数就定了。

说到最大公因数，咱们就像在找一群人里能一起干活的那几个，大家干得最起劲儿。

最大公因数，就是能同时整除几个数的最大数。

比如说，8 和 12，这俩数的公因数有 1、2、4，4 就是最大的一个。

想象一下，四个人一起去旅行，大家都能住的地方，就是最大公因数，能同时容得下所有人的那个地方。

找最小公倍数的时候，最简单的办法就是把数列写出来，然后找出最小的那个。

不过，咱们也可以用一种更聪明的方法，叫做“分解质因数”。

这就像拆家，把数拆成最基本的元素。

比如，4 可以拆成2 × 2，6 拆成2 × 3，然后把所有质因数取个最大次数，比如这里的 2 最大出现 2 次，3 最大出现 1 次，最后把它们乘在一起，结果就是 12，哎，这方法简单又高效。

说到最大公因数，咱们同样可以用分解质因数的办法，先把每个数拆解成质因数，然后找出相同的部分。

就像寻找团队里最能干的那几个人，留住最牛的，最终把他们的力量汇聚起来。

比如 8 拆成2 × 2 × 2，12 拆成2 × 2 × 3，嘿，能一起干活的就是2 × 2，最后最大公因数就是 4，找个合适的地方，大家一起把事情做好。

当你在生活中碰到这些数学问题时，别觉得这难上加难。

找最小公倍数和最大公因数其实就像在生活中寻求平衡。

像朋友间的关系，偶尔得妥协，找到一个大家都满意的折中点，才能继续走得更远。

用数学的眼光来看，生活的方方面面都有这些公因数和倍数在潜藏，只是我们未必注意到罢了。

最大公因数和最小公倍数定义最大公因数和最小公倍数是数学中两个重要的概念。

它们可以帮助我们解决许多实际问题，例如求解分数的最简形式、解决整数倍数关系等等。

本文将从定义、性质和求解方法等方面介绍最大公因数和最小公倍数的相关知识。

最大公因数定义两个或多个整数的最大公因数，简称最大公因数，是能够整除每一个给定整数的最大正整数。

最大公因数一般用符号“gcd”表示，例如gcd(a,b)表示整数a和b的最大公因数。

性质最大公因数有以下几个重要性质：1.gcd(a,b) = gcd(b,a)：最大公因数具有交换律。

2.gcd(a,b) = gcd(a-b,b)：欧几里得算法，也称为辗转相除法，利用这一性质求解最大公因数。

3.若c是a和b的公因数，且c是a和b的最大公因数，则c是a和b的最大公因数的倍数。

求解方法求解最大公因数有多种方法，这里介绍两种常用的方法：欧几里得算法和素因数分解法。

欧几里得算法欧几里得算法是一种通过不断求出两个数的余数来迭代计算最大公因数的方法。

算法的步骤如下：1.用较大的数除以较小的数，得到商和余数。

2.用较小的数除以余数，再次得到商和余数。

3.重复上述过程，直到余数为0为止。

4.最大公因数就是最后一次运算中的被除数。

例如，求解gcd(12, 8)：12 ÷ 8 = 1 余 48 ÷ 4 = 2 余 0最大公因数为4。

素因数分解法素因数分解法是通过将两个数分别分解成素数因子的乘积，并取两个数相同部分的乘积作为最大公因数。

算法的步骤如下：1.将两个数分别进行素因数分解，得到各自的素因子乘积。

2.取两个数相同部分的乘积作为最大公因数。

例如，求解gcd(12, 8)：12 = 2² × 38 = 2³相同部分为2²，最大公因数为4。

最小公倍数定义两个或多个整数的最小公倍数，简称最小公倍数，是能够同时整除每一个给定整数的最小正整数。

最小公倍数一般用符号“lcm”表示，例如lcm(a,b)表示整数a和b的最小公倍数。

最大公因数和最小公倍数（二）例1、把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。

至少能剪块。

【分析】：根据题意，剪得的小正形的边长必须是90和42的最大公约6。

所以原长方形的长要分90÷6＝15段，宽要分42÷6＝７段，至少能剪17×７＝105（块）解：（１）求90和42的最大公约数2 90 423 45 2115 7（90，42）＝60（2）求至少剪多少块正方形铁板90÷6＝1545÷6 ＝715×7＝105（块）答：至少可以剪105块正方形铁板。

练习1、把一块长90厘米宽35厘米的长方形铁板加工成边长是整厘米数。

并面积相等的最大正方形铁片。

并且无剩余，至少可以加工成多少块？2、用96朵红花和72朵白花做成花束，如果每束花里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花？3、38支钢笔，41只计算器，平均奖给四、五年级评比的优秀学生，结果钢笔多出2支，计算器差1只。

问：评出的优秀学生最多有几人？例2、求437和551的最大公约数。

分析：用较大的数除以较小的数，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数。

∴437和551的最大公约数为19。

练习：1、437与323的最大公约数是多少？2、24871和3468的最小公倍数是多少？3、254216933的最简分数是多少？例3、求289，3512，5615的最大公约数。

例4、求289，3512，5615的最小公倍数。

1、求2518、3527、509的最大公约数。

2、求2518、3527、509的最小公倍数。

3、苹果每个重283千克，梨每个重245千克，橘子每个重212千克。

如果苹果、梨、橘子的总重量都相等，苹果、梨、橘子最少各有多少个？思考题：1、动物园的饲养员给三群猴子分花生，如果只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群，则每只猴子可得20粒。

最大公约数最小公倍数(2)例1 一次会餐供有三种饮料，平均每两人饮用一瓶椰汁，平均每三人饮用一瓶果汁，平均每四人饮用一瓶可乐．这次会餐共饮用这三种饮料65瓶，参加会餐的人数是多少人？例2 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳1.5米，黄鼠狼每次跳1米，它们每秒钟都只跳一次．比赛途中，从起点开始，猎人每隔1.2米设有一个陷阱，当他们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米?例3 小明的储蓄盒里存有二十元和五十元的钱．他把这些钱拿了出来，估计有一千多元钱．小明把这些钱分成两堆，这两堆的钱数相等，而且第一堆里二十元和五十元的钱数相等，第二堆里二十元的总钱数与五十元的总钱数相等，问：小明一共存了多少钱?例4 在一根长木棍上，有二种刻度线，第一种刻度线将木棍分成12等分，第二种刻度线把木棍分成15等分，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段?例5 已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少?1. 有一个三位数，如果把这个数加上4，就能被4整除；如果把这个数减去5，就能被5整除；如果把这个数乘以6，就能被6整除；如果把这个数除以7，就能被7整除．这个数最小是几?1．从一个三位数中，减去7，则能被7整除，减去8，则能被8整除；减去9，则能被9整除．这个三位数是多少?2. 有若干棵树苗，植树时，如果每行10棵，那么最后一行缺1棵；如果每行9、8、7、6、5、4、3、2棵，最后一行都缺一棵．这批树苗的数量在5000棵左右，这批树苗有多少棵？3．某班学生人数不超过60人，一次测验成绩分为优、良、及格和不及格四等．已知这次测验该班有71的学生得优，31的学生得良，21的学生及格，问该班不及格的学生有多少人？4. 甲每13天去一次公园，乙每15天去同—公园一次，今年，甲3月30日曾去公园，乙4月1日曾去公园，以后他们可在这公园第一次相遇的日期将是几月几日？5. 大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长，亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印．问，这个花圃的周长是多少米?6．已知甲、乙两数的最大公约数是6，最小公倍数是36，求甲、乙两数.。

初中六年级数学第二课时最大公因数和最小公倍数学习目标1.理解和掌握公因数与最大公因数的概念，并会求得两个数的最大公因数；2.理解和掌握互素的概念，掌握互素的两个数的特点；3.理解和掌握公倍数和最小公倍数的概念，并会求得两个数的最小公倍数；4.理解和掌握求三个数最小公倍数的方法.核心知识一、公因数与最大公因数1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

2、如果2个整数只有公因数1，那么这两个数互素。

两数互素是指两个数的最大公因数是1这样一种关系。

它和素数、素因数是不同的概念，不要混淆。

判断：只有2个数都是素数才能互素，对吗？错。

比如：4和9。

两数互素，这两个数一般有以下四种情况；（1）素数和素数（19和23）；（2）素数和合数（13和14）；（3）合数和合数（21和22）；（4）1和任何正整数（1和100）3、求两个数最大公因数的常用方法有：列举法、分解素因数法、短除法。

运用规律法：规律：两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数；如果这两个数互素，那么他们的最大公因数就是 1.如果两个数满足上面的规律，便可直接运用规律求出它们的最大公因数。

辗转相除法：求36和84的最大公因数3 36 84 236 720 12上面式子的意思是：84除以36，商是2（写在右边），36×2=72（写在被除数84下方），余数是12，再用36除以12，商是3（写在左边），12×3=36（写在被除数36下方），余数是0，这样，最后的除数12就是36和84的最大公因数。

像上面这种求两个数的最大公因数的方法就是辗转相除法。

求：280和160的最大公因数。

1 280 160 1160 1203 120 40120所以，280和160的最大公因数是40.求三个数的最大公因数：用一个数去除18、24、60都能整除，这个数最大是多少？你能用几种方法求解？你觉得哪种方法更快捷呢？用短除法求解可得：18、24、60的最大公因数是2×3=6，所以这个数最大是6.4、求几个正整数的最大公因数，只要把它们所有的公有素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数。