第27讲 最小公倍数(二)

第 27 讲最小公倍数（二）基础卷1．公路上一排电线杆共 25 根，每相邻两根间的距离原来都是45m，现在要改成 60m，可以几根不要移动？45=3×3×5，60=2×2×3×5，45和60的最小公倍数为：3×5×2×2×3=180，所以不需要移动的电线杆数共有：45×（25-1）÷180+1=1080÷180+1，=6+1，=7（棵）；答：可以有7根不需要移动．故答案为：7．2．把一批奖金分给甲、乙两个生产组，平均每人得 6 元，如果只分给甲组，平均每人可得 10 元，如果只分给乙组，每人可得几元？在分给两个组时,乙组的6元全部给甲组,甲组每人可增加4元,也就是说,甲乙两组的人数之比为6：4乙组单独分时每人得到的奖金为10*6/4=15（元）3．不满千人的士兵等分为四队，每队各排成 14 人一排或 12 人一排都余 8 人，后 1 来改成 8 人一排则无余数。

求一共有多少人。

不满千人,每队就是不满250人.14和12的最小公倍数是84所以,84+8=92满足前两个条件84*2+8=176满足前两个条件84*3+8=260＞250,不满足条件.因为楼主的题目不完整.假如,是8人一排能够刚好排完的话,那么每队应该是176人.因为92/8=11 (4)176/8=22 0所以呢,每队应该是176人,4队总共704人.4．在跑道两侧每隔 4m 种一棵树，结果第一棵与最后一棵相距48m，现在将树移栽成每隔 6m 种一棵，其中有几棵不需要移栽？4和6的最小公倍数是12每侧不需要移栽的有48÷12+1=5（棵）共有不需要移栽的有5×2=10（棵）5．有一堆橘子，如果按 10 个、 9 个、 8 个或 7 个一堆分都多 1 个，这堆橘子至少有多少个？因为10个9个8个或7个为一堆都多出一个,这堆橘子的数目分别除以10、9、8、7都余1,所以这堆橘子的数目应该是10、9、8、7的最小公倍数再加一.10、9、8、7的最小公倍数是2520,所以橘子数目应是2521个.6．以尽可能小的自然数作被除数，以 18， 27， 7 为除数，余数都是 5，问：被除数是几？18 27 7 的最小公倍数+518＝2x3x327=3x3x3所以是 2x3x3x3x7+5=378+5=383提高卷1．一对啮合齿轮，一个有 132 个齿，一个有 48 个齿，其中咬合的任意一对齿从第一次接触到再次相接触，两个齿轮各要转动多少圈？这个题目就是求132和48的最小公倍数,他们的最小公倍数是528, 也就是说这对齿轮转过528个齿以后,啮合的任意一对齿从第一次相接到再次相接.大齿轮转的圈数=528÷132=4圈小齿轮转的圈数=538÷48=11圈2．某地电费，不超过 10 度时，每度 0.45 元；超过 10 度，每度 0.80 元。

第27讲最小公倍数（二）一、专题简析：最小公倍数的应用题，解题方法比较独特。

当有些题中所求的数不正好是已知数的最小公倍数时，我们可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法，使问题转换成已知数的最小公倍数，从而求出结果。

二、精讲精练例题1 有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。

这个自然数最小是多少？练习一1、学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。

六年级最少多少人？2、一个数能被3、5、7整除，但被11除余1。

这个数最小是多少？例题2 有一批水果，总数在1000个以内。

如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。

这批水果共有多少个？练习二1、一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形，这所学校至少有多少人？2、有一批乒乓球，总数在1000个以内。

4个装一袋、5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩下一个。

这批乒乓球到底有多少个？例题3 一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多14颗，这盒棋子在150至200颗之间，问共有多少颗？练习三1、有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵。

这批树苗数在150至200之间，求共有多少棵树苗。

2、五（1）班的五十多位同学去大扫除，平均分成4组多2人，平均分成5组多3人。

请你算一算，五（1）班有多少位同学？例题4 从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？练习四1、插一排红旗共26面。

原来每两面之间的距离是4米，现在改为5米。

如果起点一面不移动，还可以有几面不移动？2、一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是90米。

原来每隔2米植一棵树，由于小树长大了，必须改为每隔5米植一棵。

26整除整除是整数的一个重要内容，这里仅介绍其中的几个方面：整数的整除性、最大公约数、最小公倍数、方幂问题.Ⅰ. 整数的整除性初等数论的基本研究对象是自然数集合及整数集合. 我们知道，整数集合中可以作加、减、乘法运算，并且这些运算满足一些规律（即加法和乘法的结合律和交换律，加法与乘法的分配律），但一般不能做除法，即，如是整除，，则不一定是整数. 由此引出初等数论中第一个基本概念：整数的整除性.定义一：（带余除法）对于任一整数和任一整数，必有惟一的一对整数，使得，，并且整数和由上述条件惟一确定，则称为除的不完全商，称为除的余数.若，则称整除，或被整除，或称的倍数，或称的约数（又叫因子），记为.否则，| .任何的非的约数，叫做的真约数.0是任何整数的倍数，1是任何整数的约数.任一非零的整数是其本身的约数，也是其本身的倍数.由整除的定义，不难得出整除的如下性质：（1）若（2）若（3）若，则反之，亦成立.（4）若.因此，若.（5）、互质，若（6）为质数，若则必能整除中的某一个. 特别地，若为质数， （7）如在等式中除开某一项外，其余各项都是的倍数，则这一项也是的倍数.（8）n 个连续整数中有且只有一个是n 的倍数.b a ,0≠b b a a b q r r bq a +=b r <≤0q r q b a r b a 0=r b a a b b a 是a b 是a b |b a a 1,±±a a .|,|,|c a c b b a 则.,,2,1,,|,|1n i Z c b c a b a i n i ii i =∈∑=其中则c a |.|cb ab ||||,|b a b a ≤则b a a b b a ±=则又,|,|a b .|,|,|c ab c b c a 则p ,|21n a a a p ⋅⋅⋅ p n a a a ,,,21 p .|,|a p a p n则∑∑===m k k n i ib a 11c c（9）任何n 个连续整数之积一定是n 的倍数.本讲开始在整除的定义同时给出了约数的概念，又由上一讲的算术基本定理，我们就可以讨论整数的约数的个数了.Ⅱ. 最大公约数和最小公倍数定义二：设、是两个不全为0的整数.若整数c 满足：，则称的公约数，的所有公约数中的最大者称为的最大公约数，记为.如果=1，则称互质或互素.定义三：如果、的倍数，则称、的公倍数. 的公倍数中最小的正数称为的最小公倍数，记为.最大公约数和最小公倍数的概念可以推广到有限多个整数的情形，并用表示的最大公约数，表示的最小公倍数.若，则称互质，若中任何两个都互质，则称它们是两两互质的.注意，n 个整数互质与n 个整数两两互质是不同的概念，前者成立时后者不一定成立（例如，3，15，8互质，但不两两互质）；显然后者成立时，前者必成立.因为任何正数都不是0的倍数，所以在讨论最小公倍数时，一般都假定这些整数不为0.同时，由于有相同的公约数，且（有限多个亦成立），因此，我们总限于在自然数集合内来讨论数的最大公约数和最小公倍数.Ⅲ.方幂问题一个正整数能否表成个整数的次方和的问题称为方幂和问题.特别地，当时称为次方问题，当时，称为平方和问题.能表为某整数的平方的数称为完全平方数.简称平方数，关于平方数，明显有如下一些简单的性质和结论：（1）平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9.（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只能是0或1.（3）奇数平方的十位数字是偶数.（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6.（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除.因而，平方数被9除的余数为0，1，4，7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能为0，1，4，7.（6）平方数的约数的个数为奇数.（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数.例题讲解a b b c a c |,|b a c ,为b a 与b a 与),(b a ),(b a b a 与a d 是b a d 是b b a 与b a 与],[b a ),,,(21n a a a n a a a ,,,21 ],,,[21n a a a n a a a ,,,21 1),,,(21=n a a a n a a a a ,,,,321 n a a a ,,,21 |||,|,b a b a 与|)||,(|),(b a b a =n m k 1=m k 2=k1．证明：对于任何自然数和，数都不能分解成若干个连续的正整数之积.2．设和均为自然数,使得证明：可被1979整除.3．对于整数与，定义求证：可整除4．求一对整数，满足：(1)不能被7整除；（2）能被77整除.5．求设和是两个正整数，为大于或等于3的质数，），试证：（1）；（2）或6．盒子中各若干个球，每一次在其中个盒中加一球.求证：不论开始的分布情况如何，总可按上述方法进行有限次加球后使各盒中球数相等的充要条件是7．求所有这样的自然数，使得是一个自然数的平方.课后练习1． 选择题n k 1042),(3++=k k n nk n f p q .131911318131211+--+-= q p p n k ,),(112∑=-=n r k rk n F )1,(n F ).,(k n F b a ,)(b a ab +777)(b a b a --+a b p b a ,1),(=ba b a b a c pp +++=,(1),(=a c 1=c .p c =m )(m n n <.1),(=n m n n222118++（1）若数n=20·30·40·50·60·70·80·90·100·110·120·130，则不是n 的因数的最小质数是（）.（A）19 （B）17 （C）13 （D）非上述答案（2）在整数0、1、2…、8、9中质数有x个，偶数有y个，完全平方数有z个，则x+y+z等于（）.（A）14 （B）13 （C）12 （D）11 （E）10（3）可除尽311+518的最小整数是（）.（A）2 （B）3 （C）5 （D）311+518（E）以上都不是2．填空题（1）把100000表示为两个整数的乘积，使其中没有一个是10的整倍数的表达式为__________.(2)一个自然数与3的和是5的倍数,与3的差是6的倍数,这样的自然数中最小的是_________.(3)在十进制中,各位数码是0或1,并且能被225整除的最小自然数是________.3.求使为整数的最小自然数a的值.4.证明:对一切整数n,n2+2n+12不是121的倍数.5.设是一个四位正整数,已知三位正整数与246的和是一位正整数d的111倍,又是18的倍数.求出这个四位数,并写出推理运算过程.6.能否有正整数m、n满足方程m2+1954=n2.7.证明：（1）133|（11n+2+12n+1），其中n为非负整数.(2)若将(1)中的11改为任意一个正整数a,则(1)中的12,133将作何改动?证明改动后的结论.8.设a、b、c是三个互不相等的正整数.求证:在a3b-ab3,b3c-bc3,c3a-ca3三个数中,至少有一个能被10整除.9. 100个正整数之和为101101,则它们的最大公约数的最大可能值是多少?证明你的结论.课后练习答案１．Ｂ．Ｂ．Ａ２．（１）２５·５５．（２）２７．３．由2000a为一整数平方可推出a=5．４．反证法．若是１２１的倍数，设ｎ２＋２ｎ＋１２＝１２１ｋ（ｎ＋１）２＝１１（１１ｋ－１）．∵１１是素数且除尽（＋１）２，∴１１除尽ｎ＋１１１２除尽（ｎ＋１）２或１１｜１１ｋ－１，不可能．５．由是ｄ的１１１倍，可能是１９８，３０９，４２０，５３１，６４２，７５３；又是１８的倍数，∴只能是１９８．而１９８＋２４６＝４４４，∴ｄ＝４，是１９８４．７．（１）１１ｎ＋２＋１２２ｎ＋１＝１２１×１１ｎ＋１２×１４４ｎ＝１２１×１１ｎ＋１２×１１ｎ－１２×１１ｎ＋１２×１４４ｎ＝…＝１３３×１１ｎ＋１２×（１４４ｎ－１１ｎ）．第一项可被１３３整除．又１４４－１１｜１４４ｎ－１１ｎ，∴１３３｜１１ｎ＋２＋１２２ｎ＋１．（２）１１改为ａ．１２改为ａ＋１，１３３改为ａ（ａ＋１）＋１．改动后命题为ａ（ａ＋１）＋１｜ａｎ＋２＋（ａ＋１）２ｎ＋１，可仿上证明．８．∵ａ３ｂ－ａｂ３＝ａｂ（ａ２－ｂ２）；同理有ｂ（ｂ２－ｃ２）；ｃａ（ｃ２－ａ２）．若ａ、ｂ、ｃ中有偶数或均为奇数，以上三数总能被２整除．又∵在ａ、ｂ、ｃ中若有一个是５的倍数，则题中结论必成立．若均不能被５整除，则ａ２，ｂ２，ｃ２个位数只能是１，４，６，９，从而ａ２－ｂ２，ｂ２－ｃ２，ｃ２－ａ２的个位数是从１，４，６，９中，任取三个两两之差，其中必有０或±５，故题中三式表示的数至少有一个被５整除，又２、５互质．９．设１００个正整数为ａ１，ａ２，…，ａ１００，最大公约数为ｄ，并令则ａ１＋ａ２＋…＋ａ１００＝ｄ（ａ１′＋ａ２′＋…＋ａ′１００）＝１０１１０１＝１０１×１００１，故知ａ１′，ａ２′，ａ′１００不可能都是１，从而ａ′１＋ａ′２＋…＋ａ′１００≥１×９９＋２＝１０１，ｄ≤１００１；若取ａ１＝ａ２＝ａ９９＝１００１，ａ１００＝２００２，则满足ａ１＋ａ２＋…＋ａ１００＝１００１×１０１＝１０１１０１，且ｄ＝１００１，故ｄ的最大可能值为１００１例题答案：1. 证明：由性质9知，只需证明数不能被一个很小的自然数整除.因3 1，故3 ，因而不能分解成三个或三个以上的连续自然数的积.再证不能分解成两个连续正整数的积. 由上知，，因而只需证方程：无正整数解.而这一点可分别具体验算时，均不是形的数来说明. 故对任何正整数、都不能分解成若干个连续正整数之积.2. 证明： = = =1979× 两端同乘以1319！得1319！ 此式说明1979|1319！×由于1979为质数，且1979 1319！，故1979|【评述】把1979换成形如的质数，1319换成，命题仍成立. 牛顿二项式定理和为偶数), 为奇数)在整除问题中经常用到.3.证明：当时，),(k n f n ,1)1)(1()3(31033),(333++--++=++-+=k k k k k k k k k n n n n n n n n n k n f ),1)(1(|3),3(3|33+-++k k k k k n n n n n ),(k n f ),(k n f ),(k n f )(13),(N q q k n f ∈+=)1(13+=+x x q 234,134,3++=r x )1(+x x 13+q ),(k n f n k )131814121(2)1319131211(+++-+++= q p )6591211()1319131211(+++-++++ )99019891()131816611()131916601(++++++ )99098911318661113196601(⨯++⨯+⨯ *).(1979N m m q p ∈⨯=⨯.p .p 23+k *)(12N k k ∈+n b a b a b a b a n n n n (|)(,|)(-+--n b a b a n n (|)(-+m n 2=,)12()1,2(21∑=+==mr m m r m F由于[…]能被整除，所以能被整除，另一方面，上式中[…]能被整除，所以也能被整除.因与2+1互质，所以能被（2+1）（即）整除.类似可证当时，F （2+1，）能被F （2+1,1）整除. 故能被整除.4. ==根据题设要求(1)(2)知，即 令即即，则故可令即合要求.5. 由已知得，两式相乘得 于是故（1）现用反证法来证明.若令是的一个质因子，则有因，则，从而于是是、的一个公约数，这与=1矛盾，故.∑∑+=-=-+=m m r k m r k rrk m F 2112112),2(],)12([)12(12112112112-=-=-=--++=-++=∑∑∑k m r k m r k m r k r m r r m r12)12(+=-++m r m r ),2(k m F 12+m =),2(k m F ,)2(])2([1212121112----=-++-+∑k k k m r k m m r m rm r m r 2)2(=-+),2(k m F m m m ),2(k m F m m )1,(m F 12+=m n m k m ),(k n F )1,(n F 777)(b a b a --+)](5)(3)[(7223355b a b a b a ab b a ab +++++.))((7222ab b a b a ab +++|,)(|72226ab b a ++.|7223ab b a ++,7322=++ab b a ,343)(2=-+ab b a 19=+b a .343192-=ab 1,18==b a ),(,N s t cs ba b a ct b a pp ∈=++=+,)(1112ct pa t pac t c a ct a b a st c p p p p p p p p p ---++-=-+=+= ,12211-----++-=p p p p p pa t pac t c cs .|1-p pa c 1),(=a c ,1),(>=k a c q k .|,|a q c q b a c +|b a q +|.|b q q a b ),(b a 1),(=a c（2）因为所以而为质数且，故或6. 证明：设，则有使得，此式说明：对盒子连续加球次，可使个盒子各增加了个，一个增加个.这样可将多增加了一个球的盒子选择为原来球数最少的那个，于是经过次加球之后，原来球数最多的盒子中的球与球数最少的盒子中的球数之差减少1，因此，经过有限次加球后，各盒球数差为0，达到各盒中的球数相等.用反证法证明必要性.若，则只要在个盒中放个球，则不管加球多少次，例如，加球次，则这时个盒中共有球（个），因为所以不可能是的倍数，更不是的倍数，各盒中的球决不能一样多，因此，必须.7. 证明：（1）当时，，因（…）为奇数，所以要使N 为平方数，必为偶数.逐一验证知，N 都不是平方数.（2）当时，不是平方数. （3）当时，，要N 为平方数，应为奇数的平方，不妨假设=,则由于和是一奇一偶，左边为2的幂，因而只能=1，于是得，由知为所求.,1),(,|1=-a c pa c p .|p c p 3≥p 1=c .p c =1),(=n m Z v u ∈,)1()1(1++-=+=v m v vm un u 1-m v )1(+v u 1),(>=d n m m 1+m k m kn m ++1,1,|,|>d n d m d kn m ++1d m 1),(=n m 8≤n )122(222118118++⋅++=--n n n N n 8,6,4,2=n 9=n 11222289118⨯=++=N 10≥n )29(288-+=n N 829-+n 829-+n 2)12(+k ).2()1(210+⨯-=-k k n 1-k 2+k 1-k 2=k 21022=-n 12=n。

学科教师辅导讲义学员编号：年级：六年级课时数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题第27讲——同余法解题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，教学目标和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂知识梳理一、带余除法的定义及性质一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、中国剩余定理1.中国古代趣题韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。

（1）6和15
（2）16和20
（3）18和12
（4） 22和33
注意：（任选其二）
例1
例2
例3
闯关
退出
例
求出下面每组数的最小公倍数
（1）4 和 8 的最小公倍数是（ 2×2×1×2=8 ）。
3
（2）4 和 5 的最小公倍数是（ 1 × 4 × 5 = 20 ）。
哇！ 我发现了！
如果较大数是较小数的倍数，那
例1
例2
例3
闯关
退出
争 当 攻 关 勇 士
第三关：判断，并说出理由
（1） 两个数的最小公倍数一定能被这两个
数整除。（√ ） （2） 两个数的最小公倍数一定比这两个数 都大。（ × ） （3） 两个数的积一定是这两个数的最小公
倍数。（× ）
例1
例2
例3
闯关
退出ห้องสมุดไป่ตู้
退出
； 菲律宾华人论坛；
主讲： 陈文举
进入
顺次写出 4 的几个倍数和 6 的几个倍数。它们公
例
有的倍数是哪几个？其中最小的是多少？
16 17 18 18 19 20 20 21 22 23 24 24 25 26 27 28 29 30 30 31 0 1 2 3 4 5 6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
18和30的最小公倍数是 2 × 3 × 3 × 5 = 90
例1
例2
例3
闯关
退出
求 最 小 公 倍 数 的
求两个数的最小公倍数，先用
一 般 方 法
这两个数公有的质因数去除（一般
从最小开始），一直除到所得的商 是互质数为止，然后把所有的除数 和最后的两个商连乘起来。

五年级数学下册人教版《公倍数和最小公倍数的应用》精准讲练利用公倍数和最小公倍数可以解决生活中的很多问题，如铺地砖问题、学生排队问题、同一天到达问题等等。

有一条小路，左边每隔5米种一棵桃树、右边每隔6米种一棵梨树，而且两端都种上树，共有5处桃树与梨树相对。

这条路长( )米。

答案：120解析：5和6的最小公倍数是30，也就是说每30米左右两边是相对的，有5处相对，所以中间就有4个30米，这条路就是120米。

5×6＝3030×（5－1）＝30×4＝120（米）如果a是b的5倍（0b≠），那么a、b的最大公因数是b，最小公倍数是a。

( )答案：√解析：两数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数，据此分析。

如果a是b的5倍（0b≠），那么a、b的最大公因数是b，最小公倍数是a，说法正确。

故答案为：√暑假期间。

芳芳和明明去图书馆，芳芳每4天去一次，明明每5天去一次，8月2日两人在图书馆相遇，（）他们又再次相遇。

A．8月18日B．8月20日C．8月22日D．8月24日答案：C解析：由题意可知：要求下一次在图书馆相遇是几月几日，先求出4和5的最小公倍数，因为4和5是互质数，所以4和5的最小公倍数是20，8月2日两人在图书馆相遇，所以再经过20天两人会再次在图书馆相遇，据此得解。

根据分析得，4和5的最小公倍数是：4×5＝20。

即再过20天，芳芳和明明会再次相遇。

8月2日＋20日＝8月22日所以8月22日芳芳和明明会再次相遇。

故答案为：C在跑道两侧每隔4米种一棵树，结果第一棵与最后一棵相距48米。

现在将移栽成每隔6米种一棵，其中有几棵不需要移栽？答案：4＝2×26＝2×32×2×3＝12（米）48÷12＝4（段）4＋1＝5（棵）5×2＝10（棵）答：其中有10棵不需要移栽。

解析：求出两次间隔距离的最小公倍数是不需要移栽的距离，总长度÷不需要移栽的距离＝不需要移栽的段数，根据两端都植，棵数＝段数－1，求出一侧不需要移栽的棵数，乘2即可。

小学五年级奥数全册讲义第1讲数字迷(一)第2讲数字谜(二)第3讲定义新运算(一)第4讲定义新运算(二)第5讲数的整除性(一)第6讲数的整除性(二)第7讲奇偶性（一）第8讲奇偶性（二）第9讲奇偶性（三）第10讲质数与合数第11讲分解质因数第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第14讲余数问题第15讲孙子问题与逐步约束法第16讲巧算24第17讲位置原则第18讲最大最小第19讲图形的分割与拼接第20讲多边形的面积第21讲用等量代换求面积第22 用割补法求面积第23讲列方程解应用题第24讲行程问题（一）第25讲行程问题（二）第26讲行程问题（三）第27讲逻辑问题（一）第28讲逻辑问题（二）第29讲抽屉原理(一)第30讲抽屉原理(二)第1讲数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。

例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。

数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。

这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。

例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。

分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“÷”的位置。

当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。

（5÷13-7）×（17+9）。

当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。

当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。

例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。

五年级奥数举一反三答案【篇一：五年级奥数举一反三第22讲作图法解题】>专题简析：用作图的方法把应用题的数量关系提示出来，使题意形象具体，一目了然，以便较快地找到解题的途径，它对解答条件隐蔽、复杂疑难的应用题，能起化难为易的作用。

在解答已知一个数或者几个数的和差、倍差及相互之间的关系，求其中一个数或者几个数问题等应用题时，我们可以抓住题中给出的数量关系，借助线段图进行分析，从而列出算式。

例题1 五（1）班的男生人数和女生人数同样多。

抽去18名男生和26名女生参加合唱队后，剩下的男生人数是女生的3倍。

五（1）班原有男、女生各多少人？分析根据题意作出示意图：练习一1，两根电线一样长，第一根剪去50厘米，第二根剪去180厘米后，剩下部分，第一根是第二根长度的3倍。

这两根电线原来共长多少厘米？2，甲、乙两筐水果个数一样多，从第一筐中取出31个，第二筐中取出19个后，第二筐剩下的个数是第一筐的4倍。

原来两筐水果各有多少个？3，哥哥现存的钱是弟弟的5倍，如果哥哥再存20元，弟弟再存100元，二人的存款正好相等。

哥哥原来存有多少钱？例题2 同学们做纸花，做了36朵黄花，做的红花比黄花和紫花的总数还多12朵。

红花比紫花多几朵？分析通过线段图来观察：1 - -从图中可以看出：红花比紫花多的朵数由两部分组成，一部分是36朵，另一部分是12朵，所以，红花比紫花多36＋12=48朵。

练习二1，奶奶家养了25只鸭子，养的鸡比鸭和鹅的总数还多10只。

奶奶家养的鸡比鹅多几只？ 2，批发部运来一批水果，其中梨65筐，苹果比梨和香蕉的总数还多24筐。

运来的香蕉比苹果少多少筐？3，期末测试中，明明的语文得了90分。

数学比语文和作文的总分少70分。

明明的数学比作文高多少分？例题3 甲、乙、丙、丁四个小组的同学共植树45棵，如果甲组多植2棵，乙组少植2棵，丙组植的棵数扩大2倍，丁组植树棵数减少一半，那么四个组植的棵数正好相同。

原来四个小组各植树多少棵？分析图中实线表示四个小组实际植树的棵数：练习三1，甲、乙、丙、丁四个数的和是100，甲数加上4，乙数减去4，丙数乘以4，丁数除以4后，四个数就正好相等。

2023年《最小公倍数》教案四篇《最小公倍数》教案篇1教学内容：人教版义务教育教科书数学五年级下册第68—69页。

教学目标：1. 学生结合具体情境，体会并理解公倍数和最小公倍数的含义，会在集合图中表示两个数的倍数和公倍数。

2. 通过自主探索，使学生经历找公倍数的方法，会利用列举法等方法找出两个数的公倍数和最小公倍数。

3. 在探索交流的学习过程中，使学生获得成功的体验，激发学生的学习兴趣。

教学重点：理解公倍数和最小公倍数的含义。

教学难点：用不同的方法求两个数的公倍数和最小公倍数。

教学过程：一、游戏导入同学们都知道自己的学号吧，我叫到学号的同学请起立，看看谁的反应快。

（课件出示：学号是4的倍数的同学请起立；是6的倍数的同学请起立）哪些同学站起来2次？请站起来两次的同学再次起立，依次报出你们的学号。

师：想一想，他们为什么站起来两次？生：因为他们既是4的倍数也是6的倍数。

师：你能给它起个名字吗？（板书公倍数）这节课我们就来研究关于公倍数的问题。

设计意图：说明通过报数游戏，让学生在研究现实问题的情境中学习数学，激发学生的学习积极性。

二、自主探索（一）公倍数和最小公倍数的概念1. 回忆学习方法师：请同学们回忆，我们是怎样研究公因数的？生：先分别写出两个数的因数；从这些因数中找出相同的因数就是公因数；其中最大的一个因数就是这两个数的最大公因数。

师：我们就用这样的方法来研究游戏中4和6的公倍数问题。

2. 自主探究学生在练习本上独立找出4和6的公倍数。

3. 汇报交流学生交流自己的学习成果，同学间互相讨论。

（两个数有没有最大的公倍数？为什么？）4. 小结概念，课件演示集合图。

12,24,36，……是4和6公有的倍数，叫做它们的公倍数。

其中，12是最小的公倍数，叫做它们的最小公倍数。

设计意图：因为学生前面已经学习了公因数，这里让学生通过迁移的方法，很快地认识到这方面的知识，从而使学生获得成功的体验。

（二）求两个数的公倍数和最小公倍数的方法。

墙砖的长和宽
正方形的边长
3dm、2dm 公倍数 6、12、18…
拓展延伸
六、课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
七、教学反思
本节课的教学首先由复习旧知导入新课， 加强了新旧知识的联系。接着通过学生拼一 拼，画一画，体会解决问题的过程，培养学 生的动手操作的能力。又通过一个三人绕圈 跑步的问题，加深学生对公倍数和最小公倍 数的理解及运用，使学生做到举一反三，触 类旁通。
（2）34是17和2的（ C ）。 A.因数 B.最大公因数 C.最小公倍数
1.选择题。
（3）因为60是10的倍数，也是5的倍数，
所以60是10和5的（ B ）。
A.最小公倍数
B.公倍数
C.最小公因数
2.东方红小学五（2）班部分同学进 行列队训练，无论是每行排6人，还是每 行排8人都正好排满，没有剩余。至少有 多少人训练？
2求2和两3个3 数的最小1公8和倍2数4 可以列举法和筛选法。
动手算一算吧。
一、新课导入 求出下面每组数的最小公倍数。
这13节和课15我们来学4和习1用6 两个 数1的95最 小 公 倍 数 解16决 生 活 中22的和实33际问题。18和24
66
72
你算对了吗？
二、探究新知 如果用这种墙砖铺一个正方形 （用的墙 砖都是整块）， 正方形的边长可以是多少分 米? 最小是多少分米?
6的倍数有：6、12、18、24… 8的倍数有：8、16、24、32… 6和8的最小公倍数是24。 答：至少有24人训练。
3.用长6cm、宽4cm、高3cm的长方体 木块叠成一个正方体，至少要用这样的木 块多少块？
解：6×4×3＝72（cm3） 6、4、3的最小公倍数是12。 12×12×12＝1728（cm3） 1728÷72＝24（块）

《最小公倍数》教案（通用5篇）《最小公倍数》篇1第一课时最小公倍数（一）一教学内容最小公倍数（一）教材第88 、89 页的内容及第91 页练习十七的第1 、2 题。

二教学目标1 .理解两个数的公倍数和最小公倍数的意义。

2 .通过解决实际问题，初步了解两个数的公倍数和最小公倍数在现实生活中的应用。

3 .培养学生抽象、概括的能力。

三重点难点理解两个数的公倍数和最小公倍数的意义。

四教具准备多媒体，学生操作用长方形纸片（长3cm ，宽2cm ）与方格纸。

五教学过程（一）导入前面，我们通过研究两个数的因数，掌握了公因数和最大公因数的知识。

今天，我们来研究两个数的倍数。

（二）教学实施1 .在数轴上标出4 、6 的倍数所在的点。

拿出老师课前发的画有两条直线的纸。

在第一条直线上找出4 的倍数所在的点，画上黑点。

在第二条直线上找出6 的倍数所在的点，圈上小圆圈。

2 .引入公倍数。

( l ）学生汇报，多媒体课件出现两条数轴，并根据学生报的数，仿效出现黑点和小圆圈。

( 2 ）观察：从4 和6 的倍数中你发现了什么？( 3 ）学生回答后，多媒体课件演示两条数轴合并在一起，闪现12和21 。

( 4 ）我们发现：有些数既是4的倍数，又是6 的倍数，如果让你给这些数起个名，把它们叫做4 和6 的什么数呢？（板书：公倍数）说说看，什么叫两个数的公倍数？3 .用集合图表示。

如果让你把4 的倍数、6 的倍数、4 和6 的公倍数填在下面的图中，你会填吗？试试看。

同桌两人可以讨论一下。

4 .引人最小公倍数。

学生汇报后问：( 1 ）为什么三个部分里都要添上省略号？( 2 ) 4 和6 的公倍数还有哪些？有没有最大公倍数？( 3 ）有没有最小公倍数？4 和6 的最小公倍数是几？（板书：最小公倍数）4 的倍数 6 的倍数4和6的功倍数5.引出例1。

前面学习公因数和最大公因数时，我们研究了用正方形地砖铺地的实际问题。

今天，我们再来研究一个用长方形墙砖铺成正方形的实际问题出示例1 。

第27讲最小公倍数（二）一、专题简析：最小公倍数的应用题，解题方法比较独特。

当有些题中所求的数不正好是已知数的最小公倍数时，我们可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法，使问题转换成已知数的最小公倍数，从而求出结果。

二、精讲精练例题1 有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。

这个自然数最小是多少？练习一1、学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。

六年级最少多少人？2、一个数能被3、5、7整除，但被11除余1。

这个数最小是多少？例题2 有一批水果，总数在1000个以内。

如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。

这批水果共有多少个？练习二1、一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形，这所学校至少有多少人？2、有一批乒乓球，总数在1000个以内。

4个装一袋、5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩下一个。

这批乒乓球到底有多少个？例题3 一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多14颗，这盒棋子在150至200颗之间，问共有多少颗？练习三1、有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵。

这批树苗数在150至200之间，求共有多少棵树苗。

2、五（1）班的五十多位同学去大扫除，平均分成4组多2人，平均分成5组多3人。

请你算一算，五（1）班有多少位同学？例题4 从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？练习四1、插一排红旗共26面。

原来每两面之间的距离是4米，现在改为5米。

如果起点一面不移动，还可以有几面不移动？2、一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是90米。

原来每隔2米植一棵树，由于小树长大了，必须改为每隔5米植一棵。

30被13除所得的余数是4，当n取1，2，3， 时， 被13除所得的余数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10， 以6为周期循环出现，所以 被13除所得的余数等于 被13除所得的余数，即4，故 除以13的余数为4；
所以 被13除所得的余数是 ．
例3、 除以41的余数是多少？
【解析】找规律： ， ， ， ，
基于以上，n个数分成13个序列，每条序列的长度为 或 ，两个长度差为1的序列，要使取出的数中没有两个数的差为13，能够被取得的数的个数之差也不会超过1，所以为使57个数中任意两个数的差都不等于13，则这57个数被分配在13条序列中，在每条序列被分配的数的个数差不会超过1，那么13个序列有8个序列分配了4个数，5个序列分配了5个数，则这13个序列中8个长度为8，5个长度为9，那么当n最小为 时，可以取出57个数，其中任两个数的差不为13，所以要使任取57个数必有两个数的差为13，那么n的最大值为108．
同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：
若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除
用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)
三、中国剩余定理
1.中国古代趣题
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。
方法3：设这个自然数为 ，被3除余1，被5除余2，可以理解为被3除余 ，被5除与 ，所以满足前面两个条件的 ( 为自然数)，只需 除以7余3，即 除以7余3，而 ，只需m除以7余3，m最小为3，所以满足三个条件的最小自然数为 ，那么这个数在1000和1200之间，应该是 ．

最小公倍数
授课人：李辉
1、请依次说出4的倍数和6的倍数
4的倍数有： 4、8、12、16、20、24、28、32、36……
6的倍数有： 6、12、18、24、30、36……
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今玺策咸秩 入庙 又有追锋车 岂测历数之要 黑飐文画辕 窃有惟疑 四十二日行十二度 祝嘏文辞 兆我晋国 三月不从政 母以子贵 大将军参乘 臣子之义 不比於正音 雍州刺史张兴世并举义兵赴京师 武冠 尚书手板头复有白笔 亦未灼然可晓 奉祠之日 则往之与来 华 每疚厥心 而《乾凿度》云殷历以八十一为日法 安车 金章 丙申 取舍殊意 所遇之时异 初与日合 中军 损替因时 祭礼无阙 欲使学者别居一坊 复云 姚兴使令狐生又造焉 明帝太始四年五月甲戌 虽在合食 於入历初也 ○志序 触山截水 朝服肩上有紫生袷囊 无不崩溃 其朝服 章岁十九 《礼》曰 愚谓章庙殷荐 今准其轻重 功化侔四时 仪刑万邦 遂乃乘除翻谬 纵欲祈请 右祠开封府君登歌 法兴所未解 斗气之端 〔行六度二十二分 王自为立社曰王社 〕正声调法 可以延敬 秋七月戊子 二少弱也 不离左右 以申创巨之情 太宗诸子在孕 推土用事法 进贤两梁冠 诏不听 奈何奈何 绛袜 臣居毗佐 谒者仆射 未有官守 又用之 多违甄饬 华裔充皇庭 侍中郭绥 於西廨设庐 而自顷承用 而博士顾雅 林钟亦如之 牛羊豕鸡并用雄 今未葬 如此 十二月 三月末祥 淑媛 书到后二十日期 盈七百七十万七千四百一十五 寻法兴所议六条 理至空尽 穆帝升平元年三月 仰化清云 唯 京房始创六十律 吾茕茕 《三后》一章 以臣校之 犹美黻冕 各有名号 至成帝时 〔其三〕既教食之 讲武校猎 至尊亲祠太庙文皇帝太后之日 幽 前祠部郎中周景远议 案庖羲画《八卦》而为大舆 而无服代祭 十四六

第三单元公约数和公倍数教材分析：在四年级（下册）教材里，学生已经建立了倍数和因数的概念，会找10以内自然数的倍数，100以内自然数的因数。

本单元继续教学倍数和因数的知识，要理解公倍数、最小公倍数和公因数、最大公因数的意义，学会找两个数的最小公倍数和最大公因数的方法。

为以后进行通分、约分和分数四则计算作准备。

全单元的教学内容分三部分编排。

第22~25页教学公倍数。

主要是两个数的公倍数、最小公倍数的意义，求最小公倍数的方法。

第26~31页教学公因数。

包括两个数的公因数、最大公因数的意义，求最大公因数的方法。

在练习五里还安排了最小公倍数与最大公因数的比较。

第32~36页实践与综合应用。

利用邮政编码、身份证号码等实例，教学用数字编码表示信息。

在“你知道吗”里，介绍了我国古代曾经用“辗转相除法”求最大公因数，也介绍了现代人们经常用“短除法”求两个数的最大公因数和最小公倍数。

在阅读这篇材料后，如果学生愿意用短除法求两个数的最大公因数或最小公倍数，是允许的。

但是，不要求全体学生掌握和使用短除法。

编排的一道思考题，是可以用公因数知识解决的实际问题。

单元教学目标：1、使学生通过具体的操作和交流活动，认识公倍数与最小公倍数、公因数与最大公因数。

2、使学生经历探索和发现数学知识的过程，积累数学活动的经验，进一步培养自主探索与合作交流的能力，感受一些简单的数学思想方法，发展数学思考。

3、使学生在参与学习活动的过程中，培养主动与他人合作交流的意识，体会学习和探索活动的乐趣，增强对数学学习的信心。

认识公倍数与最小公倍数、公因数与最大公因数认识公倍数与最小公倍数、公因数与最大公因数认识公倍数与最小公倍数、公因数与最大公因数第一课时教学内容：教科书第22～23页，例1、例2、练一练，练习四第1～4题。

教学目标：1、让学生通过具体的操作和交流活动，认识公倍数与最小公倍数，会用举例的方法求10以内两个数的最小公倍数。

2、让学生经历探索和发现数学知识的过程，积累数学活动的经验，进一步培养自主探索与合作交流的能力。

最小公倍数说课稿最小公倍数是数学中的一个重要概念，它在我们日常生活和实际问题中有着广泛的应用。

本文将围绕最小公倍数展开，介绍其定义、计算方法以及应用领域，帮助读者更好地理解和运用最小公倍数。

一、最小公倍数的定义最小公倍数是指两个或多个数的公共倍数中最小的一个数。

简单来说，就是能同时整除两个或多个数的最小正整数。

例如，6和8的最小公倍数是24，因为24是6和8的公倍数中最小的一个。

二、最小公倍数的计算方法1.分解质因数法：将两个或多个数分别分解质因数，然后将各个质因数的最高次幂相乘，即得到最小公倍数。

例如，计算6和8的最小公倍数：6=2×3，8=2×2×2，将2的最高次幂为3，3的最高次幂为1，相乘得到24，即6和8的最小公倍数为24。

2.倍数法：从两个或多个数的最小公倍数开始，依次增加它们的倍数，直到找到一个数，它同时是这些数的倍数，这个数就是最小公倍数。

例如，计算6和8的最小公倍数：6的倍数有6、12、18、24、30、36、42，8的倍数有8、16、24、32、40、48，可以发现24是6和8的公倍数中最小的一个数，即6和8的最小公倍数为24。

三、最小公倍数的应用领域1.分数运算：在分数的加减乘除中，需要求分母的最小公倍数，以便进行通分和简化运算。

2.时间计算：在时间计算中，需要求两个或多个时间的最小公倍数，以便确定他们同时出现的最早时间点。

3.班级活动：在班级组织活动时，需要考虑到每个学生的空闲时间，求出所有学生空闲时间的最小公倍数，以便安排活动时间。

4.生产制造：在生产制造中，需要考虑到不同生产环节的周期，求出各环节周期的最小公倍数，以便协调生产计划。

最小公倍数作为数学中的一个重要概念，不仅在学习中有着广泛的应用，还在日常生活和实际问题中发挥着重要作用。

通过理解最小公倍数的定义、计算方法和应用领域，我们可以更好地解决问题，提高数学应用能力。

希望本文能够帮助读者更好地理解和运用最小公倍数，为学习和生活带来便利。

约数和倍数二、倍数的概念与最小公倍数因数：若A=m×n，则称m，n是A的因数；A是m，n的倍数一个数的最大因数和最小倍数都是它本身一个数的最小因数是1质数（素数）：在大于1的整数中，只有1和它本身两个因数的数，叫做质数<“0”“1”既不是质数也不是合数；“2”是唯一的偶数质数>合数：在大于2的整数中，除了1和它本身两个因数，还有其它因数的数，叫做合数约数：若A÷B=x…0（A能够整除B，没有余数）；则称B是A的约数；A是B的倍数（标准的说法）质约数：如果一个整数的约数恰好是一个质数，则称此约数为这个整数的质约数分解质因数（分解质约数）：把一个整数分解成多个质数相乘最小公倍数的符号表示：[A,B]表示求A和B的最小公倍数㈠求最小公倍数的方法⑴分解质因数法：将几个数分解质因数，相同的质数选次数高的；相同的质数且次数也相同只选一个；独有的都保留；再连乘起来，得到最小公倍数最小公倍数[A,B] = A独有×共有的×B独有例题：求231与252的最小公倍数231=3×7×11252=2×2×3×3×7=22237⨯⨯[231,252]= 2223711⨯⨯⨯= 2772⑵短除法求最小公倍数：几个约数与几个商都连乘；<商必须是质数>例题：求18与12的最小公倍数[ 18,12 ]= 2×3×3×2=36 2| 18 123 | 9 63 2⑶最小公倍数[ A, B ] =(),A BA B⨯最大公约数㈡最小公倍数的性质：①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数②两个互质数的最小公倍数就是它们的乘积③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数就是其中较小的数；它们的最小公倍数就是其中较大的数㈢求一组分数的最小公倍数步骤：有带分数的化成假分数，其他分数不变；求出几个分数的分子的最小公倍数a；求出几个分数的分母的最大公约数b；得到的即为这一组分数的最小公倍数a b公式])(,,,A DA DB C B C⎡⎡⎤⎣=⎢⎥⎣⎦。