矩阵理论-第三章 矩阵的Jordan标准型

矩阵化jordan标准型步骤矩阵化Jordan标准型是线性代数中一种重要的矩阵标准形式。

在特定的线性代数问题中，通过进行一系列的矩阵转换，可以将一个复杂的矩阵转化为Jordan标准型，从而更方便地研究和处理其性质。

本文将介绍矩阵化Jordan标准型的详细步骤。

第一步：寻找特征值和特征向量要完成矩阵化Jordan标准型的转换，首先需要寻找给定矩阵的特征值和特征向量。

对于一个n阶矩阵A，特征值λ可以通过求解方程|A-λI|=0来得到。

然后，对于每个特征值λ，求解方程(A-λI)x=0，得到对应的特征向量x。

第二步：求解Jordan块的大小对于每个特征值λ，我们需要计算其对应的Jordan块的大小。

设矩阵A的特征值λ的代数重数为m，几何重数为r。

根据矩阵理论，λ的Jordan块大小为m个，其中r个Jordan块大小为1，剩余的m-r个Jordan块大小不超过r。

第三步：构造Jordan块对于每个特征值λ，根据其对应的Jordan块大小，我们可以构造出对应的Jordan块。

一个大小为r的Jordan块可以用一个r阶方阵表示，其对角线为特征值λ，上方为1的次对角线。

将所有特征值λ对应的Jordan块按照特征值的顺序拼接起来，得到一个大的Jordan矩阵J。

第四步：寻找相似矩阵现在我们需要找到一个相似矩阵P，使得A=JPJ^-1，其中J是步骤三中构造的Jordan矩阵。

为了找到P，我们需要找到一组线性无关的特征向量v，并通过P=[v1,v2,...,vn]来构造相似矩阵P。

特征向量的选择要满足A−λI)v=0，其中λ是A的特征值。

第五步：求解逆矩阵通过步骤四，我们可以求得相似矩阵P。

接下来，需要求解矩阵P的逆矩阵P^-1。

根据矩阵理论，P的逆矩阵可以通过求解线性方程组P^-1P=I得到。

第六步：矩阵化Jordan标准型最后一步是将给定矩阵A转化为Jordan标准型。

根据矩阵相似性的定义，我们有A=JPJ^-1，即A可以通过矩阵P和J进行表示。

矩阵的Jordan 标准型介绍——Jordan 标准型是相似意义下零元素最多的矩阵吗？线性代数中的一个核心的结果(见[1,2])是Jordan 标准型定理：任何一个复数域上的方阵A 都相似于一个Jordan 矩阵1122()((),(),,())J A diag J J J σσλλλ=…，其中11()1i i i i i i J λλλλλ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，1,2,,i σ=…，i λ为矩阵A 的特征值。

(注意：对i ，可能有j j ≠i λλ=成立)对于Jrodan 块的置换来说，Jordan 标准型是唯一的(见[2])。

由线性代数中的内容已知，所有与A 相似的矩阵都有与A 置换意义下相同的Jordan 标准型。

那么所有与A 相似的矩阵(包括A )中，是不是含有0元素最多的矩阵呢？答案是否定的。

例如：取()J A 0201100001000010A −⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则，11000100()00110001J A −⎛⎞⎜⎟−⎜=⎜⎜⎟⎝⎠⎟⎟A 有11个0元素，却只有10个0元素。

()J A 通过观察我们还能发现，矩阵A 的主对角线元素都为0，而且去掉主对角元素以后A 含有7个0元素，而则仍含有10个0元素，那么我们就要问：所有与()J A A 相似的矩阵(包括A )中，是不是含有非主对角线0元素最多的矩阵呢？答案是肯定的。

文献[3]给出了证明。

()J A参考文献[1]. R.A. Brualdi, The Jordan canonical form: an old proof, Amer. Math. Monthly 94(1987) 257–267.[2].R.A. Horn, C.R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985,121–127 and 150–153.[3].R. A. Brualdi, P. Pei, X. Zhan, An extremal sparsity property of the Jordancanonical form, Linear Algebra Appl. 429(2008) 2367-2372.。

第三讲矩阵的对角化与Jordan标准形对任何线性空间，给定基后，我们对元素进行线性变换或线性运算时，只需用元素的坐标向量以及线性变换的矩阵即可，因此，在后面的内容中着重研究矩阵和向量。

对角矩阵的形式比较简单，处理起来较方便，比如求解矩阵方程=时，将矩阵A对角化后很容易得到方程的解。

对角化的过程实Ax b际上是一个去耦的过程。

以前我们学习过相似变化对角化。

那么，一个方阵是否总可以通过相似变化将其对角化呢？或者对角化需要什么样的条件呢？如果不能对角化，我们还可以做哪些处理使问题变得简单呢？一、特征值与特征向量1. 定义：对m阶方阵A，若存在数λ，及非零向量（列向量）x，使=λ,则称λ为A的特征值，x为A的属于特征值λ的得Ax x特征向量。

∙特征向量不唯一∙特征向量非零∙(I A)x 0λ-=有非零解，则det(I A)0λ-=，称det(I A)λ-为A 的多项式。

[例1]122A 212221⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求其特征值和特征向量。

[解] 122det(I A)2120221λ---λ-=-λ--=--λ-2(1)(5)0λ+λ-= 121λ=λ=- 35λ=属于特征值1λ=-的特征向量 (I A)x 0--=1232222220222ξ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥ξ=⎢⎥⎢⎥ξ⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1230ξ+ξ+ξ=1122312ξ=ξ⎧⎪ξ=ξ⎨⎪ξ=-ξ-ξ⎩ 可取基础解系为 11x 01⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 20x 11⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦属于5λ=的特征向量 (5I A)x 0-=1234222420224--ξ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--ξ=⎢⎥⎢⎥--ξ⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 123ξ=ξ=ξ可取基础解系为 31x 11⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2. 矩阵的迹与行列式nii i 1trA a ==∑ 所有对角元素之和n i i 1det A ==λ∏ ni i 1trA ==λ∑3. 两个定理（1） 设A 、B 分别为m n ⨯和n m ⨯阶矩阵，则 tr(AB)tr(BA)=（2）sylvster 定理：设A 、B 分别为m n ⨯和n m ⨯阶矩阵，则m n m n det(I AB)det(I BA)-λ-=λλ-即：AB 与BA 的特征值只差零特征值的个数，非零特征值相同。

矩阵化jordan标准型步骤矩阵化Jordan标准型步骤在线性代数中，Jordan标准型是可逆矩阵与相似变换的重要概念之一。

通过将一个矩阵转换为Jordan标准型，我们可以更好地理解线性变换在向量空间中的表现，这对于解析和计算矩阵的特征值和特征向量非常有用。

本文将详细介绍将一个矩阵转换为Jordan标准型的步骤。

步骤1：找到矩阵的特征值。

首先，我们需要找到矩阵的特征值。

一个nxn矩阵A的特征值是一个标量λ，满足方程Ax=λx，其中x是非零向量。

为了找到矩阵的特征值，我们需要解决特征方程A-λI =0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。

步骤2：找到每个特征值对应的特征向量。

接下来，我们需要找到每个特征值对应的特征向量。

对于每个特征值λ，我们需要解决方程组(A-λI)x=0，其中x是特征向量。

注意，特征向量不为零，因为特征向量的零向量在任何情况下都不是非零向量。

步骤3：计算矩阵的几何重数。

在计算Jordan标准型之前，我们需要计算矩阵的几何重数。

矩阵的几何重数是特定特征值的线性无关特征向量的数量。

在计算几何重数时，我们应该将特征向量进行标准化处理。

步骤4：根据特征值的代数重数创建块。

接下来，我们需要根据每个特征值的代数重数创建Jordan块。

矩阵的代数重数是特征值在特征多项式中的幂的最高次数。

对于每个特征值λ，我们创建一个与特征值的代数重数相对应的Jordan块。

Jordan块是一个形如λI+aJ的方阵，其中λ是特征值，I是单位矩阵，J是Jordan块的大小（有J^r个非零元素的r x r方阵）。

步骤5：将Jordan块连接成一个矩阵。

接下来，我们需要将所有的Jordan块连接成一个矩阵，以得到矩阵的Jordan标准型。

具体而言，我们按照如下的方式将Jordan块排列在一起：⎡J1 ⎡⎡⎡⎡J2 ⎡⎡⎡⎡J3 ⎡这样，我们就得到了一个与原始矩阵具有相同特征值和特征向量的Jordan 标准型矩阵。

步骤6：计算矩阵的Jordan标准型。

矩阵化jordan标准型步骤
矩阵化Jordan标准型的步骤如下：
1. 对于给定的矩阵A，计算其特征值λ和对应的特征向量。

2. 将矩阵A对角化，即找到一个可逆矩阵P使得P^-1·A·P得
到一个对角矩阵D，其中对角线上的元素是特征值λ。

3. 对于每个特征值λ，计算其对应的几何重数，即特征值λ对
应的特征向量线性无关的个数。

假设几何重数为k。

4. 对于特征值λ，如果几何重数等于代数重数（特征值λ的代
数重数即λ在特征多项式中出现的次数），则将λ对应的特征向量按列排列形成一个矩阵Ak。

如果几何重数小于代数重数，需要构建一个Jordan块，即由λ和其相关的线性无关向量组成。

5. 将所有特征值λ对应的特征向量矩阵Ak拼接形成一个矩阵P。

6. 计算可逆矩阵P的逆矩阵P^-1。

7. 计算矩阵A的Jordan标准型矩阵J = P^-1·A·P。

需要注意的是，在第4步中构建Jordan块时，需要按照一定
的规则填充向量。

具体规则如下：
- Jordan块的对角线元素为特征值λ；
- 块的数量等于特征值λ的代数重数减去几何重数；
- 每个块的大小等于块所对应的线性无关向量的数量减1。

最后得到的矩阵J即为矩阵A的Jordan标准型矩阵。

矩阵的Jordan标准型及其求解方法矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学和工程领域中扮演着重要的角色。

在矩阵理论中，Jordan标准型是一种重要的矩阵分解形式，它可以帮助我们更好地理解和求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等问题。

一、Jordan标准型的定义和性质在矩阵理论中，Jordan标准型是指一个矩阵可以通过相似变换转化为一个由Jordan块组成的对角矩阵。

Jordan块是一个由特征值和特征向量构成的方阵，它具有一些特殊的性质。

首先，Jordan块是一个上三角矩阵，即除了对角线上的元素外，其余元素都为零。

其次，对于一个Jordan块，对角线上的元素都是特征值，而其余元素则是1或0。

这些1的位置与特征向量有关，具体来说，特征向量在Jordan块中的位置决定了1的个数和位置。

Jordan标准型的重要性在于它可以将一个复杂的矩阵分解为一组简单的Jordan 块，从而更容易求解相关问题。

例如，通过Jordan标准型，我们可以求解线性方程组的解、计算矩阵的幂等等。

二、求解Jordan标准型的方法求解矩阵的Jordan标准型有多种方法，其中最常用的方法是通过特征值和特征向量来进行计算。

首先，我们需要计算矩阵的特征值。

特征值是一个标量，它代表了矩阵的某种性质或特征。

通过求解矩阵的特征值，我们可以确定矩阵是否可逆、是否存在特殊结构等。

特征值的计算可以通过求解矩阵的特征多项式来进行，具体计算方法可以使用特征值分解、特征向量分解等。

接下来，我们需要计算矩阵的特征向量。

特征向量是一个非零向量，它与矩阵相乘后等于特征值与特征向量的乘积。

通过求解矩阵的特征向量，我们可以确定矩阵的行与列之间的关系，从而进一步求解Jordan标准型。

在求解特征向量时，我们可以使用多种方法，例如高斯消元法、雅可比迭代法等。

这些方法可以帮助我们求解特征向量的近似解或精确解，从而进一步求解Jordan标准型。

三、应用举例Jordan标准型在实际问题中有着广泛的应用。

关于Jordan标准形的教学探讨Jordan标准形是数学中的一个重要概念，特别在线性代数中扮演了重要的角色。

它是矩阵理论中的一个标准矩阵形式，可以将一个线性变换矩阵简化为一种特殊的形式。

本文将对Jordan标准形进行教学探讨，介绍其定义、性质、计算方法以及其在矩阵理论和线性代数中的应用。

我们来看Jordan标准形的定义。

给定一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP的形式为Jordan方阵，那么A被称为具有Jordan标准形。

具体来说，一个Jordan方阵是由多个Jordan块组成的矩阵，它是一个上三角矩阵，主对角线上的元素是矩阵的特征值，而对角线上方的元素表示Jordan块的大小和结构。

接下来，我们来讨论Jordan标准形的性质。

Jordan标准形是唯一的，也就是说，对于任意一个矩阵A，它都存在唯一一个Jordan标准形。

Jordan标准形对于相似变换是不变的，也就是说，如果A和B是相似矩阵，那么它们的Jordan标准形也是相似的。

Jordan标准形还具有一些其他的重要性质，比如Jordan块的大小等于其特征值的重数，Jordan块的个数等于矩阵A的线性无关的特征向量的个数。

那么，如何计算一个矩阵的Jordan标准形呢？计算Jordan标准形的方法主要有两种，一种是使用线性代数的理论方法，一种是采用计算机的数值算法。

对于小规模的矩阵，理论方法可以直接求解Jordan标准形，但是对于大规模的矩阵，数值算法更加高效和实用。

常用的计算Jordan标准形的数值算法有Givens旋转法、Householder变换法和幂法，它们分别侧重于不同的矩阵计算问题和复杂性。

我们来讨论Jordan标准形在矩阵理论和线性代数中的应用。

Jordan标准形的计算和分析是矩阵理论的核心内容之一，它在矩阵相似性、特征值和特征向量的计算、线性微分方程和差分方程的求解等方面都有广泛的应用。

在实际问题中，Jordan标准形也常常被用来简化线性变换的计算和分析，找到线性变换的规律和性质。

第三章 矩阵的标准形与若干分解形式§1 矩阵的相似对角形一、知识回顾1．线性变换在两组基下的矩阵相似，相似变换矩阵是两组基下的过渡矩阵。

2．特征值与特征向量，特征子空间λV 及其维数，特征值的代数重数与几何重数。

3．矩阵与对角形相似的充要条件：有n 个线性无关的特征向量。

4．矩阵与对角形相似的充分条件：有n 个不同的特征值。

若A 为n 阶矩阵，矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-nn n n n n a a a a a aa a a A E λλλλ212222111211称为A 的特征矩阵。

又多项式n i n i n n a a a A E f +++++=-=-- λλλλλ11||)(称为A 的特征多项式，这里A aa ni ii∑=-=-=11tr ，||)1(A a n n -=，i a 是A 的所有i 阶主子式的和与i )1(-的乘积。

A tr 叫A 的迹。

属于矩阵A 的同一个特征值0λ的所有特征向量连同零向量一起，构成一个线性空间0λV ，称为A 的特征子空间。

特征子空间0λV 的维数不超过特征根0λ的重数。

二、寻找矩阵的相似对角形的方法例3-1 研究下列矩阵是否能与对角形相似(1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=121101365A ，(2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A ，(3) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=284014013A 。

提示：(1)31,31,2321-=+==λλλ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=3213,3213,011321x x x ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+----=32320111332P ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---++--=-633321332163332133210311P。

(2) 5,1321=-==λλλ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=3213,3213,011321x x x ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111110101P ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-111121112311P 。

求矩阵jordan标准型矩阵Jordan标准型是线性代数中一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析线性变换。

在这篇文档中，我们将详细介绍求解矩阵Jordan标准型的方法，希望能够帮助到正在学习线性代数的同学们。

首先，我们来了解一下什么是矩阵Jordan标准型。

矩阵Jordan标准型是指，对于任意一个n阶方阵A，都存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP是一个特殊形式的矩阵，这个特殊形式就是Jordan标准型。

具体来说，Jordan标准型是一个分块对角矩阵，每个对角块都是一个Jordan块，而Jordan块是一个形如λI+N的矩阵，其中λ是A的特征值，N是一个特殊的矩阵，称为Jordan块。

接下来，我们来介绍如何求解矩阵Jordan标准型。

首先，我们需要求出矩阵A的特征值和特征向量。

假设矩阵A有n个互不相同的特征值λ1,λ2,...,λn，对应的特征向量分别为v1,v2,...,vn。

然后，我们将这些特征向量按照特征值进行分组，得到线性无关的特征向量组成的矩阵P。

接下来，我们可以利用P^-1AP的形式化简出Jordan标准型。

具体来说，我们可以按照以下步骤来求解矩阵Jordan标准型：1. 求出矩阵A的特征值和特征向量。

2. 将特征向量按照特征值进行分组，组成矩阵P。

3. 计算P^-1AP，得到矩阵的Jordan标准型。

需要注意的是，当矩阵A的特征值重复时，我们需要使用Jordan块的形式来表示特征向量。

具体来说，假设特征值λ的代数重数为k，几何重数为r，那么对应于λ的Jordan块的大小为r×r，且其上对角线元素全为λ，下对角线元素全为1。

通过这种方式，我们可以得到矩阵A的Jordan标准型。

最后，我们来举一个具体的例子来说明如何求解矩阵Jordan标准型。

假设我们有一个3阶方阵A，其特征值为λ1,λ2,λ3，对应的特征向量为v1,v2,v3。

我们按照特征值进行分组，得到矩阵P=[v1,v2,v3]，然后计算P^-1AP，就可以得到矩阵A 的Jordan标准型。

Jordan 标准型的认识欧峥 11应数一班 2011326660117矩阵内容，是大学学习中必须学习的知识点！其广泛的应用性，还有在处理数据上的优越性，矩阵是学习很多知识体系的支柱，在数据结构，自动控制原理，常微分计算等等上都是基础！矩阵的对角化用处很大，因为对角化后，对矩阵加乘等运算都可以简单很多，尤其在涉及特征值的方面！但是许多时候矩阵不能对角化。

这时候相似变换的最好结果就是Jordan 标准型的形式，因为矩阵的Jordan 标准型是最简单的！一、若尔当标准型定义1 设λ是一个复数，矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ10000 (00)...100 (01)00 (00)（ 1 ） 其中主对角上的元素都是λ，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于λ的一个若尔当（或若尔当块）.当λ=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵.定理1 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，k λλλ,...,,21都是σ的一切互不相同的本征值，那么存在V 的一个基，似的σ关于这个基的矩阵有形状⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛k B B B 0021（ 2 ） 这里i B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛i is i i J J J 0021，而i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块，.,...,2,1k i = 定义2 形式如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛m J J J 0021的n 阶矩阵，其中每一J 都是一个若尔当块，叫做一个若尔当标准形式.例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2000001000001000001100002,2000001000001000001000002,1100001100001000002100002都是若尔当标准形式.定理2 复数域上每一n 阶矩阵都与一个当尔当标准形式相似，除了各若尔当块排列的次序外，与A 相似的若尔当标准形式是由A 唯一确定的.二、用Jordan 标准型求解线性微分方程组现实的很多问题，都可以用现行微分方程组近似的去模拟，但很多的死后，不需要用到复数去求解，这个时候，如果使用Jordan 标准型就可以迅速的解决问题！上面我们大概讲述了Jordan 标准型的定义及定理，下面我们就来看一下其应用。