求解排列组合应用题的“八字诀”
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排列组合问题的基本类型及解题方法解决排列组合问题要讲究策略,首先要认真审题,弄清楚是排列(有序)还是组合(无序),还是排列与组合混合问题。
其次,要抓住问题的本质特征,准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。
加法原理的特征是分类解决问题,分类必须满足两个条件:①类与类必须互斥(不相容),②总类必须完备(不遗漏);乘法原理的特征是分步解决问题,分步必须做到步与步互相独立,互不干扰并确保连续性。
分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略,在实际操作中往往是“步”与“类”交叉,有机结合,可以是类中有步,也可以是步中有类。
以上解题思路分析,可以用顺口溜概括为:审明题意,排(组)分清;合理分类,用准加乘;周密思考,防漏防重;直接间接,思路可循;元素位置,特殊先行;一题多解,检验真伪。
(一)特殊元素的“优先安排法”对于特殊元素的排列组合问题,一般先考虑特殊元素,再考虑其他元素的安排。
在操作时,针对实际问题,有时“元素优先”,有时“位置优先”。
例1: 0,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有几个?解法一:(元素优先)分两类:第一类,含0,0在个位有24A 种,0在十位有1123A A 种;第二类,不含0,有1223A A 种。
故共有2111242323(A A A )+A A 30+=种。
注:在考虑每一类时,又要优先考虑个位。
解法二:(位置优先)分两类:第一类,0在个位有24A 种;第二类,0不在个位,先从两个偶数中选一个放个位,再选一个放百位,最后考虑十位,有111233A A A 种。
故共有21114233A +A A A =30(二)总体淘汰法对于含有否定词语的问题,还可以从总体中把不符合要求的除去,此时应注意既不能多减也不能少减,例如在例1中也可以用此法解答:5个数字组成三位数的全排列为35A ,排好后发现0不能在首位,而且3和5不能排在末尾,这两种不合题意的排法要除去,故有30个偶数.(三)合理分类与准确分步解含有约束条件的排列组合问题,应按元素的性质进行分类,事情的发生的连续过程分步,做到分类标准明确,分布层次清楚,不重不漏.例2:5个人从左到右站成一排,甲不站排头,乙不站第二个位置,不同的站法有 解:由题意,可先安排甲,并按其进行分类讨论:(1)若甲在第二个位置上,则剩下的四人可自由安排,有44A 种方法;(2)若甲在第三个或第四个位置上,则根据分布计数原理不同的站法有113333A A A 种站法;再根据分类计数原理,不同的站法共有:21134333A A A A 78+=种.(四)相邻问题:捆绑法对于某些元素要求相邻排列的问题,可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合概率题解题技巧排列组合概率题解题技巧有哪些?怎么样解决这类问题?下面是小编为大家整理的关于排列组合概率题解题技巧,希望对您有所帮助。
欢迎大家阅读参考学习!排列组合概率题解题技巧1.排列、组合、概率与错位公式2.排列组合概率解题思路——分类法3.例题1:繁琐的计算导致正确率变低4.例题2:通过选项思考暴力的可能性5.例题3:极为简单,一半做错的题6.例题4:分不同情况考虑安排方案7.例题5:分不同情况考虑安排方案8.例题6:理解排列组合题的关键一、排列、组合、概率与错位公式「数量关系」板块中的「排列、组合、概率」方面的题目每年必考、国考省考都会考,而此类题的难度一般较高,因此掌握它们的解题方法是非常有必要的。
总体来说,此类题目的公式非常简单,大致只有三个半,即排列公式、组合公式、概率公式和错位排列公式。
(1)排列公式A(总个数,选出排列的个数)特点是每个个体有「排列」的独特性,谁先选、谁后选会影响结果。
例如5个人选3个排队,5个项目选3个先后完成,两种情况的运算均为:A(5,3)=5×4×3=60种方式(2)组合公式C(总个数,选出组合的个数)特点是每个个体没有「排列」的独特性,谁先选、谁后选都不影响结果。
例如5个人选3个参加比赛,5个项目选3个于今年内完成(不要求完成顺序),则运算均为:C(5,3)=C(5,2)=5×4÷(1×2)=10种方式注意C(5,3)一般要转换为C(5,2),其原因是:C(5,3)=5×4×3÷(1×2×3)=5×4÷2,中间要约去3,因此可能会多花两三秒钟,故要尽量节约时间。
注:排列组合公式很好记忆,由于公考中考察的「排列组合概率」题的数值不会很大,因此在实际考试中,直接在纸上用笔列草稿即可:总数×(总数-1)×(总数-2)×……一直让相乘数字的个数达到「选出的个数」,即为排列公式;再从1开始乘,乘到「选出的个数」,用排列公式得出的结果除以该数即为「组合公式」。
排列组合题型分析还有21种常用方法的整理排列组合应用题的类型及解题策略一.处理排列组合应用题的一般步骤为:①明确要完成的是一件什么事(审题)②有序还是无序③分步还是分类。
二.处理排列组合应用题的规律(1)两种思路:直接法,间接法。
(2)两种途径:元素分析法,位置分析法。
解决问题的入手点是:特殊元素优先考虑;特殊位置优先考虑。
特殊优先法列组合问题,我们可以从这些特殊的东西入手,先解决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法。
例1.电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则共有种不同的播放方式(结果用数值表示).解:分二步:首尾必须播放公益广告的有A22种;中间4个为不同的商业广告有A44种,从而应当填A22·A44=48. 从而应填48.(3)对排列组合的混合题,一般先选再排,即先组合再排列。
弄清要“完成什么样的事件”是前提。
三.基本题型及方法:1.相邻问题(1)、全相邻问题,捆邦法例2、6名同学排成一排,其中甲,乙两人必须排在一起的不同排法有(C )种。
A)720 B)360 C)240 D)120说明:从上述解法可以看出,所谓“捆邦法”,就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时,可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。
(2)、全不相邻问题,插空法例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少不同的排法,解:先将6个歌唱节目排好,其中不同的排法有6!,这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有47A种排法,由乘法原理可知,任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为4676A A种例4高三(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是(A)1800 (B)3600 (C)4320 (D)5040解:不同排法的种数为5256A A=3600,故选B说明:从解题过程可以看出,不相邻问题是指要求某些元素不能相邻,由其它元素将它隔开,此类问题可以先将其它元素排好,再将特殊元素插入,故叫插空法。
排列组合解题技巧12法谈谈排列组合综合问题的一般解题规律:1)使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定,可以分类来完成这件事时用“分类计数原理”,需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”;那么,怎样确定是分类,还是分步骤?“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件,而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件,所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰,相互独立,彼此间交集为空集,并集为全集,不论哪类办法都能将事情单独完成,分步计数原理强调各步骤缺一不可,需要依次完成所有步骤才能完成这件事,步与步之间互不影响,即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。
2)排列与组合定义相近,它们的区别在于是否与顺序有关。
3)复杂的排列问题常常通过试验、画“树图”、“框图”等手段使问题直观化,从而寻求解题途径,由于结果的正确性难于检验,因此常常需要用不同的方法求解来获得检验。
4)按元素的性质进行分类,按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方法,要注意“至少、至多”等限制词的意义。
5)处理排列、组合综合问题,一般思想是先选元素(组合),后排列,按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”,始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法,通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能,保证每步独立,达到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。
6)在解决排列组合综合问题时,必须深刻理解排列组合的概念,能熟练地对问题进行分类,牢记排列数与组合数公式与组合数性质,容易产生的错误是重复和遗漏计数。
总之,解决排列组合问题的基本规律,即:分类相加,分步相乘,排组分清,加乘明确;有序排列,无序组合;正难则反,间接排除等。
其次,我们在抓住问题的本质特征和规律,灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时,还要注意讲究一些解题策略和方法技巧,使一些看似复杂的问题迎刃而解。
数学排列组合题解题技巧数学中的排列组合是一个重要的概念,在解题过程中使用排列组合技巧可以帮助我们更快地得到答案。
本文将介绍一些常用的排列组合题解题技巧,希望能对你的学习有所帮助。
一、排列组合的基本概念排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列的方式。
组合是指从一组元素中选取若干个元素不考虑顺序的方式。
排列组合的计算公式如下:排列:P(n,m) = n!/(n-m)!组合:C(n,m) = n!/(m!*(n-m)!)其中,n表示总的元素个数,m表示选取的元素个数,!表示阶乘运算。
二、全排列和循环排列全排列是指从一组元素中选取全部元素按照不同的顺序进行排列,这个排列中的每个元素都是唯一的。
全排列的个数可以通过n的阶乘来计算。
循环排列是指在全排列的基础上,将首尾相连形成一个圆环,这样的排列中的每个元素也是唯一的。
循环排列的个数可以通过n-1的阶乘来计算。
例如,有3个元素A、B、C,全排列的个数为3! = 6,可以得到6个排列方式:ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA;而循环排列的个数为2! = 2,可以得到2个排列方式:ABC和ACB。
三、组合的性质组合是不考虑元素顺序的排列,因此组合的个数要比排列的个数小。
在组合中,如果选取的元素个数等于总的元素个数,那么就是全组合,其个数为1。
组合有以下几个重要性质:1. C(n,m) = C(n,n-m):组合个数对称性质。
2. C(n,0) = C(n,n) = 1:选取0个或全部元素只有一种情况,即空集和全集。
3. C(n,1) = C(n,n-1) = n:选取一个元素的组合个数等于总的元素个数。
四、应用技巧在解答排列组合题时,可以结合具体问题使用以下技巧:1. 利用排列组合公式计算个数。
2. 利用组合性质简化计算。
3. 利用循环排列和全排列计算特定问题。
4. 引入辅助元素进行排列组合的计算。
5. 利用因子分解简化计算。
例如,某班有10位学生,要从中选取3位学生组成一个小组,有多少种不同的选取方式?根据组合的性质可知,该问题的解为C(10,3) = 10!/(3!*7!) = 120种选取方式。
排列组合常见题型及解法排列组合问题,通常都是出现在选择题或填空题中,问题千变万化,解法灵活,条件隐晦,思维抽象,难以找到解题的突破口,实践证明,解决问题的有效方法是:题型与解法归类、识别模式、熟练运用。
一.处理排列组合应用题的一般步骤为:①明确要完成的是一件什么事(审题)②有序还是无序③分步还是分类。
二.处理排列组合应用题的规律(1)两种思路:直接法,间接法。
(2)两种途径:元素分析法,位置分析法。
1 重复排列“住店法”重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复。
把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,则通过“住店法”可顺利解题。
例1 8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有()2. 特殊元素(位置)用优先法:把有限制条件的元素(位置)称为特殊元素(位置),可优先将它(们)安排好,后再安排其它元素。
对于这类问题一般采取特殊元素(位置)优先安排的方法。
例1. 6人站成一横排,其中甲不站左端也不站右端,有多少种不同站法?例2(2000年全国高考题)乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名参加比赛,3名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有_________种(用数字作答)。
例3 5个“1”与2个“2”可以组成多少个不同的数列?3. 相邻问题用捆绑法:对于要求某几个元素必须排在一起的问题,可用“捆绑法”“捆绑”为一个“大元素:与其他元素进行排列,然后相邻元素内部再进行排列。
例1. 5个男生和3个女生排成一排,3个女生必须排在一起,有多少种不同排法?例2(1996年上海高考题)有8本不同的书,其中数学书3本,外文书2本,其他书3本,若将这些书排成一列放在书架上,则数学书恰好排在一起,外文书也恰好排在一起的排法共有____________种(结果用数字表示)。
4. 相离问题用插空法:元素相离(即不相邻)问题,可以先将其他元素排好,然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。
n n nn 解排列组合应用题的解法·技巧引言:1、本资料对排列、组合应用题归纳为 8 种解法、13 种技巧2、解排列组合问题的“16 字方针”:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合一般先选再排,即先组合再排列,先分再排。
弄清要完成什么样的事件是前提,解决这类问题通常有三种途径(1) 以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素(2) 以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则.(3) 先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数 前两种方式叫直接解法,后一种方式叫间接(剔除)解法 注:数量不大时可以逐一排出结果。
3、解排列组合问题的依据是:分类相加(每类方法都能独立地完成这件事,它是相互独立的,一次的且 每次得出的是最后的结果,只需一种方法就能完成这件事),分步相乘(一步得出的结果都不是最后的结果, 任何一步都不能独立地完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事,各步是关联的),有序排列, 无序组合.(一)排列组合应用题的解法排列组合应用题的解题方法既有一般的规律,又有很多特别的技巧,它要求我们要认真地审题,对题目中的信息进行科学地加工处理。
下面通过一些例题来说明几种常见的解法。
一. 运用两个基本原理二. 特殊元素(位置)优先 三. 捆绑法 四. 插入法 五. 排除法 六. 机会均等法 七. 转化法 八. 隔板法一. 运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点,可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。
例 1:n 个人参加某项资格考试,能否通过,有多少种可能的结果?解法 1:用分类记数的原理,没有人通过,有 C 0 种结果;1 个人通过,有 C 1 种结 n n果,……;n 个人通过,有C n 种结果。
所以一共有C 0 + C 1 + +C n = 2n 种可能的结果。
公务员考试逻辑判断技巧之:排列组合题型解题技巧第一篇:公务员考试逻辑判断技巧之:排列组合题型解题技巧公务员考试逻辑判断技巧之:排列组合题型解题技巧排列组合是组合学最基本的概念。
所谓排列,就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。
排列组合问题是历年国家公务员考试行测的必考题型,“16字方针”是解决排列组合问题的基本规律,即:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合。
一、试验:题中附加条件增多,直接解决困难时,用试验逐步寻找规律。
例、将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4,的方格中,每方格填1个,方格标号与所填数字均不相同的填法种数有() A6 B.9 C.11 D.23解析:第一方格内可填2或3或4,如第一填2,则第二方格可填1或3或4,若第二方格内填1,则后两方格只有一种方法;若第二方格填3或4,后两方格也只有一种填法。
一共有9种填法,故选B二、不相邻问题用“插空法”:对某几个元素不相邻的排列问题,可将其他元素排列好,然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。
三、合理分类与准确分步:含有约束条件的排列组合问题,按元素的性质进行分类,按事情发生的连续过程分步,做到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。
四、消序例、4个男生和3个女生,高矮不相等,现在将他们排成一行,要求从左到右女生从矮到高排列,有多少种排法。
解析:先在7个位置中任取4个给男生,有种排法,余下的3个位置给女生,只有一种排法,故有种排法。
五、顺序固定用“除法”:对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。
经验分享:虽然自己在这帖子里给大家发了很多感慨,但我更想跟大家说的是自己在整个公务员考试的过程中的经验的以及自己能够成功的考上的捷径。
首先就是自己的阅读速度比别人的快考试过程中的优势自然不必说,平时的学习效率才是关键,其实很多人不是真的不会做,90%的人都是时间不够用,要是给足够的时间,估计很多人能够做出大部分的题。
排列组合问题的解题方略排列组合知识,广泛应用于实际,掌握好排列组合知识,能帮助我们在生产生活中,解决许多实际应用问题。
同时排列组合问题历来就是一个老大难的问题。
因此有必要对排列组合问题的解题规律和解题方法作一点归纳和总结,以期充分掌握排列组合知识。
首先,谈谈排列组合综合问题的一般解题规律:1.使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定,可以分类来完成这件事时用“分类计数原理”,需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”;那么,怎样确定是分类,还是分步骤?“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件,而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件,所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰,相互独立,彼此间交集为空集,并集为全集,不论哪类办法都能将事情单独完成,分步计数原理强调各步骤缺一不可,需要依次完成所有步骤才能完成这件事,步与步之间互不影响,即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。
运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点,可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分类或分步处理。
例1.n 个人参加某项资格考试,能否通过,有多少种可能的结果?解法1:用分类计数的原理:没有人通过,有C n 0种结果;1个人通过,有C n1种结果,……;n 个人通过,有C n n 种结果。
所以一共有C C C nn n n n 012+++= 种可能的结果。
解法2:用分步计数的原理:第一个人有通过与不通过两种可能,第二个人也是这样,……,第n 个人也是这样。
所以一共有2n 种可能的结果。
例2.同室四人各写了一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有( )(A )6种 (B )9种 (C )11种 (D )23种解:设四个人分别为甲、乙、丙、丁,各自写的贺年卡分别为a 、b 、c 、d 。
第一步,甲取其中一张,有3种等同的方式;第二步,假设甲取b ,则乙的取法可分两类:(1)乙取a ,则接下来丙、丁的取法都是唯一的,(2)乙取c 或d (2种方式),不管哪一种情况,接下来丙、丁的取法也都是唯一的。
排列组合解题运算技巧
排列组合是概率论和组合数学中的基本概念,解题时需要灵活运用一些技巧。
以下是一些排列组合解题的常见技巧:
排列:
1. 基本定义:排列是指从一组元素中取出一部分元素进行安排,考虑元素的顺序。
2. 公式:对于n个不同的元素,取r个进行排列的方法数为\(P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}\)。
3. 重复排列:如果有重复的元素,需要除以重复元素的阶乘。
组合:
1. 基本定义:组合是指从一组元素中取出一部分元素,不考虑元素的顺序。
2. 公式:对于n个不同的元素,取r个进行组合的方法数为\(C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)。
3. 二项式定理:\((a+b)^n\) 的展开式中各项的系数就是\(C(n, r)\)。
常见技巧:
1. 分步法:复杂问题可以分解为若干个简单的排列或组合问题。
2. 分类讨论:当问题中有多个条件时,可以分情况讨论,再求解各种情况下的排列或组合。
3. 相对排列组合:某些问题中,可以将问题转化为相对排列或组合,简化计算。
4. 应用场景:排列组合常见于概率、统计、密码学等领域,多在计数问题中使用。
5. 注意特殊情况:在排列组合中,0的阶乘为1,\(C(n, 0) = C(n, n) = 1\)。
这些技巧在解决排列组合问题时可以提供一些指导。
在具体问题中,理解问题的本质,巧妙应用这些技巧,可以更高效地解决问题。
学习改变命运求解排列组合应用题的“八字诀”分——注意利用分类计数原理和分步计数原理解题。
对于一个比较复杂的排列组合应用问题;通常情况下,可以通过“分类”、“分步”等手段分解成若干个易于解决的小问题,然后各个击破之。
特——从特殊的元素、特殊的位置入手解题。
附条件的排列组合应用问题往往涉及一些特殊的元素或特殊的位置;对特殊的元素和特殊的位置作特殊的照顾,则容易找到通向成功之路的入口处。
反——利用“正难则反”的原则解题。
当问题的正面情况错综复杂时,即正面进攻很难奏效时,可以考虑从问题的反面入手,有时会帮你进入“柳暗花明”的境界。
等——利用概率相等解题。
充分利用各元素在每个位置上出现的概率相等,有时可以直捣题目结论。
化——注意用转化思想指导解题。
许多排列组合应用问题,表面上看似乎是风马牛不相及,若能用转化的思想方法剥去其外包装,则会发现其本质是相同的,仅仅是问题的“情境”不同而已。
转化思想是我们通向成功彼岸的指路明灯,对此要引起特别的重视。
捆——解决若干元素必须排在一起的重要解题技巧。
插——解决若干元素必须互不相邻的重要解题技巧。
推——运用递推关系解决排列组合应用问题。
递推方法是把复杂问题化归为简单问题,未知问题转化为已知问题的重要手段之一,也是应用转化思想指导解题的重要体现。
若能对上述“八字诀”做到烂熟于心,又能对具体情况作具体分析,合理地选择方法和技巧,并综合运用之;则通常情况下能立于不败之地。
下面通过几个例题的解答和评注,说明“八字诀”的具体应用。
例2.(1994年上海高考题)计划在某画廊展示出10幅不同的画,其中1幅水彩画,4幅油画,5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须放在一起,并且水彩画不放在两端,那么不同的陈列方式有( )种A .5544A A B .554435A A A C .554413A A A D .554422A A A解:第一步:确定4幅油画的相对位置(捆在一起)的方法数44A . 第二步:确定5幅国画的相对位置(捆在一起)的方法数55A .第三步:确定国画和油画的相对位置的方法数22A ,再把水彩画插在国画和油画之间11A .∴满足条件的陈列方式有:224544A A A ⨯⨯种故选D 。
评注:由于本题的主要附加条件是“连在一起”,故容易相到使用“捆”的技巧。
例3.(2002年全国高考题)从正方体的6个面中选取3个面,其中有两个面不相邻的选法共有( ) A.8种 B.12种 C.16种 D.20种解评:由于正面考虑比较复杂,而问题的反面即为三个面两两相邻,一个顶点对应于一种取法,故用“正难则反”的方法解之,即12820836=-=-C 种故选B 。
例4.五个成年人和两个小孩(一男一女)排成一排照相,要求每个小孩两边都是成年人,且小女孩要和其母亲(五个成年人之一)排在一起,问:有多少种不同的排法?解:第一步:从其他四位成年人中选出一人和小女孩的母亲排在小女孩的两边成“成女母”的方法数为:82214=⋅A C 。
第二步:把“成女母”看成一个成年人和另外三位成年人排成一排的方法数:2444=A第三步:把小男孩插入相应的位置的方法数为:313=A .∴满足条件的排法数为:8×24×3=576.评注:①由于小女孩最为特殊,故首先照顾小女孩,即从特殊的元素入手; ②小女孩必须和母亲在一起,且两边都是成年人,故易想到用“捆”的技巧; ③由于小男孩必须排在两成年人之间,故可采用“插”的技巧。
例5.编号为1.2.3……n 的n 个人,坐到编号为1.2.3……n 的n 把椅子上,且每个人都不对号入座的方法数记为n x 。
求,54321,,,,x x x x x 。
解:易见:1x =0 ,12=x ,23=x ,∵n 个人坐到n 把不同的椅子上的方法数为n n A 。
其中:有且仅有n 个对号入座的方法数为:1.有且仅有(n-1)个人对号入座的方法数为:11x C n . 有且仅有(n-2)个人对号入座的方法数为:22x C n . 有且仅有(n-3)个人对号入座的方法数为:33x C n . …………………………………………………… 有且仅有(n-k )个人对号入座的方法数为:k k n x C . …………………………………………………… 有且仅有1个人对号入座的方法数为:11--n n nx C .有且仅有0个人对号入座的方法数为:n x . ∴n n A =1+11x C n +22x C n +33x C n +……+11--n n n x C +n x .令n=4可得:24=1+224x C +334x C +4x =1+6+8+4x ∴4x =9.令n=5可得:120=1+225x C +335x C +445x C +5x =1+10+20+45+5x ,5x =44.首先我们把人数推广到 n 个人,即n 个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上。
设满足这样的站队方式有an 种,现在我们来通过合理分步,恰当分类找出递推关系:第一步:第一个人不站在原来的第一个位置,有n-1种站法。
第二步:假设第一个人站在第2个位置,则第二个人的站法又可以分为两类:第一类,第二个人恰好站在第一个位置,则余下的n-2个人有an-2种站队方式;第二类,第二个人不站在第一个位置,则就是第二个人不站在第一个位置,第三个人不站在第三个位置,第四个人不站在第四个位置,……,第n 个人不站在第n 个位置,所以有an-1种站队方式。
由分步计数原理和分类计数原理,我们便得到了数列an 的递推关系式:an=(n-1)*(an-1+an-2),显然,a1=0,a2=1,a3=2,a4=9,a5=44评注:①给出的问题本身就有点递推数列的“味道”,故选择递推方法解之。
②在实施递推策略的过程中,注意到问题的反面——至少有一人对号入座的问题已经解决,故又使用了“正难则反”的解题策略。
③从理论上讲,上述给出的公式已彻底解决了n 个元素对n 个位置的错位排列问题。
例6:(1993年全国高考题)同室4人然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则4张贺年卡的不同分配方式有( )A.6种B.9种C.11种D.23种解评:本题可转化为:编号为:1.2.3.4的四个人坐在编号为1.2.3.4的四把椅上,4人都不对号入座的方法数为多少?由例5可知:4x =9.故选(B ).例7:4对夫妻排成一排照相,每对夫妻要排在一起的方法数为多少? 解:第一步:请每对夫妻各自手拉手(捆)的方法数为:2×2×2×2=16. 第二步:把每对夫妻看成一个人排成一排的方法数为:2444 A .∴满足条件的排法数为:16×24=384.评注:由于每对夫妻要排在一起,故使用先捆后排的策略。
例8.4对夫妻排成前后两排,每排4人,使每对夫妻前后对号的排法有多少种? 解评:易见本题和例7是同一个问题,故方法数为384.例9.4对夫妻排成前后两排,每排4人,使每对夫妻前后都不对号的排法有多少种?解:第一步:对四对夫妻进行重新组合,建立4个新的临时家庭,使每个家庭一男一女,但不是夫妻,由例5可知其方法数为4x =9.第二步:对四个临时家庭进行排队,由例8解法可知,其方法数为384. ∴满足条件的排法数为:9×384=3456.评注:本题看似复杂,但利用分步计数原理可以分解为两个小题,事实上本题可以看成是由例6和例8组合并成的。
各写一张贺年卡,先集中起来,二 知识要点 (一).两个计数原理:1.分类计数原理:做一件事,完成它可以有n 类办法,在第一类办法中有m 1种不同的方法,在第二类办法中有m 2种不同的方法,…,在第n 类办法中有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有N = m 1+ m 2+ m 2+…+ m n 种不同的方法.(分类满足的条件是不重不漏).2.分步计数原理:做一件事,完成它需要分成n 个步骤,做第一步有m 1种不同的方法,做第二步有m 2种不同的方法,…,做第n 步有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有N = m 1× m 2× m 2×…× m n 种不同的方法.(注意分步的标准,既不重步也不漏步).3.注意:两个原理是解决以后问题的基础,多数的问题在解决的最后,都可以归结到这两个原理上来,特别要注意分步与分类的区别. (二)排列1.排列的定义:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素(被取出的元素各不相同),按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个元素中取出m 个元素的一个排列(有序性是排列的本质).2.排列数的定义:从n 个元素中取出m (m ≤n )个元素的所有排列的个数,叫做从n 个元素中取出m 个元素的排列数,用符号m n A 表示.3.排列数公式:(1)当m<n 时,排列称为选排列,排列数为(1)(2)(1)mn A n n n n m =---+ (必须熟记.) (2)当m=n 时,排列称为全排列,排列数为(1)(2)321!m n A n n n n =--⋅⋅= .规定0!1=.(3)排列数公式的另一种形式:!()!mn n A n m =-(在计算,化简,证明中用途比较大).(4)两个性质:①11mm n n A nA --=;②111m m mn n n A mA A ---=+.(三).组合1.组合的定义:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素并成一组,叫做从n 个元素中取出m 个元素的一个组合(组合中的元素与顺序无关).2.组合数的定义:从n 个元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数,叫做从n 个元素中取出m 个元素的组合数,用符号mn C 表示. 3.组合数公式:(1)基本公式(1)(2)(1)(1)(2)21m mn n m m A n n n n m C A m m m ---+==--⋅ (必须熟记.)(2)组合数公式的另一种形式:!(,*)!()!m n n C m n n N m n m =≤∈-(在计算,化简,证明中用途比较大).规定01n C =.(3)两个性质:①mn m nn C C -=;②11m m m n n n C C C -+=+.(两个很重要的公式,一定要记住).4.排列组合常见问题解题策略: (1).特殊元素优先安排的策略; (2).合理分类与准确分步的策略; (3).排列、组合混合问题先选后排的策略; (4).正难则反、等价转化的策略; (5).相邻问题捆绑处理的策略; (6).不相邻问题插空处理的策略; (7).定序问题除法处理的策略; (8).分排问题直排处理的策略;(9).“小集团”排列问题中先整体后局部的策略; (10).构造模型的策略. (四)二项式定理1.二项式定理:一般地,对于任意正整数n ,都有:011()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=++++++∈这个公式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项式叫做()na b +的二项展开式,其中系数(0,1,2,,)r n C r n = 叫做二项式系数,式中的r n r r n C a b -叫做二项式的通项公式,用1r T +表示,式展开式中的第r +1项.2.二项式系数的性质①对称性:与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即mn mnn C C -=.②增减性与最大值:如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大.当n 是偶数时,n +1是奇数,展开式共有n +1项,所以展开式有中间一项,并且这一项的二项式系数最大,最大为2n nC .当n 是奇数时,n +1是偶数,展开式共有n +1项,所以展开式有中间两项,并且这两项的二项式系数相等并且最大,最大为1122n n nnCC-+=.③各项二项式系数的和:0122n n nn n n C C C C ++++= .奇数项的二项式系数和等于偶数项的系数和:02413512n nn n n n n C C C C C C -+++=+++= .3.展开式中各项的系数和:只需要将变元值令为1,算出值即可.4.二项展开式中系数最大问题①由二项式系数性质可知,当项数n 是偶数时,展开式中二项式系数最大的项是中间项,最大为2n nC ;当n 是奇数时,展开式中二项式系数最大的项为中间两项,最大为1122n n nnCC-+=.②展开式中系数与二项式系数不同,设1r t +是展开式中1r T +项的系数,若1r T +项为系数最大的值,则必有112,0,r r r r t t r n t t +++≥⎧≤≤⎨≥⎩.由此不等式组,可确定r 的值,从而确定系数最大的项. (五)概率1.随机事件的概率 (1)基本概念①随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件. ②必然事件:在一定条件下必然要发生的事件. ③不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件.④基本事件:一次试验连同其中出现的每一个结果称为一个基本事件.(2)随机事件的概率①定义:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率mn总是接近于某一个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作:P(A).②必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,所以随机事件的概率0≤P(A)≤1. (3)等可能事件的概率①一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常一次试验中的某一事件A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n 个,即此试验由n 个基本事件组成,而且每一个结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是1n .如果某个事件A 的结果有m 个,那么事件A 的概率为()m P A n=. ②求等可能事件的基本步骤:A.算出基本事件的总个数n ;B.算出事件A 中包含基本事件的个数m ;C.算出事件A 的概率,()mP A n=. 2.互斥事件有一个发生的概率 (1)基本概念:①互斥事件:事件A 与B 不可能同时发生,这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件. ②对立事件:其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件,事件A 的对立事件记作A .③两个对立事件一定是互斥事件,反之两个互斥事件不一定是对立事件;两个事件对立是两个事件互斥的充分非必要条件;两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件. (2)事件A+B 的意义及其概率运算公式①若事件A,B 互斥,事件A+B 的含义是A,B 中有一个发生且只有一个发生,只有对于互斥事件才能运用概率运算的加法公式.②如果事件A,B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B ).③如果事件A 1,A 2,A 3,…,A n 彼此互斥,则P (A 1+A 2+…+A n )= P (A 1)+P (A 2) +…+P (A n ). ④对立事件A 与A 的概率和等于1,即()()()1()1()P A P A P A A P A P A +=+=⇒=-.3.相互独立事件同时发生的概率 (1)相关概念:①相互独立事件:如果事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响,那么这样的两个事件叫做相互独立事件.②性质:如果事件A 与B 相互独立,那么,,A B A A B 与与B 与也都是相互独立的.③事件A ·B :表示相互独立事件A 与B 同时发生的事件.(2)两个相互独立事件A 与B 同时发生的概率公式: P (A ·B )=P (A )·P (B ).(3)推广:如果事件A 1,A 2,A 3,…,A n 相互独立,则P (A 1·A 2·…·A n )= P (A 1)·P (A 2)·…·P (A n ). (4)两个相互独立事件A 与B 至少有一个发生的概率:()1()P A B P A B +=-⋅. (5)相互独立事件同时发生的概率的乘法公式求概率的解题步骤: ①确定诸事件是相互独立的; ②确定诸事件会同时发生;③先求每个事件发生的概率,再求其积. 4.独立重复试验n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率记为()n P k ,设在一次试验中事件A 发生的概率是P ,则()(1)k kn k n n P k C P P -=-.。