苏教版高中数学必修五模块综合检测卷

必修5综合检测一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列各图中表示的区域是不等式3x +2y +6≥0的解的是( )2．等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 3+a 17=10，则S 19= （ ）A ．55B ．95C ．100D ．不能确定3．已知{}n a 是等比数列，a n ＞0，且a 4a 6+2a 5a 7+a 6a 8=36，则a 5+a 7等于（） A ．6 B ．12 C ．18 D ．244．下列不等式中解集为实数集R 的是（ ）A. 2440x x ++>B. 0C. 012≥+-x xD. x x 111<-5．等差数列{}n a 中，a 1＞0，d ≠0，S 3=S 11，则S n 中的最大值是 ( )A ．S 7B ．S 7或S 8C ．S 14D ．S 86． 不等式0)1)(1(>-+x x 的解集是（ ）A ．{}10<≤x x B. {}1,0-≠<x x x C. {}11<<-x x D. {}1,1-≠<x x x7． 已知12=+y x ，则y x 42+的最小值为（ ）A ．8B ．6C ．22D ．238．设{}n a 是正数等差数列，{}n b 是正数等比数列，且a 1=b 1，a 2n +1=b 2n +1，则 （ ）A ．a n +1=b n +1B ．a n +1＞b n +1C ．a n +1＜b n +1D ．a n +1≥b n +19. 不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是A. )2,(-∞B. []2,2-C. ]2,2(-D.)2,(--∞10．已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且sin 2cos sin A B C =，则------------------（ ）(A) B =C (B) B ＞C (C) B ＜C (D) B ,C 的大小与A 的值有关11．在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 （ ）2A.3 2B.-3 1C .-3 1D.-412．给出下列三个命题（1）若tan A tan B >1，则△ABC 一定是钝角三角形；（2）若sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C ，则△ABC 一定是直角三角形；（3）若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )＝1，则△ABC 一定是等边三角形以上正确命题的个数有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题，本大题共6小题，每小题4分，满分24分，把正确的答案写在题中横线上.13．在等差数列｛a n ｝中，已知公差d =21，且a 1+a 3+a 5+…+a 99=60，则a 1+a 2+a 3+…+a 99+a 100=______________14.已知平面平域D 由下列约束条件确定：2x -3y +5≥0,x +2y -8≤0,x -5y +6≥0,当点(x ,y )在D 上时，（1） 若y =3x -4y,则y 的最大值是______________，最小值是_______________（2） 当y =x 2+y 2时，则y 的最大值是_____________，最小值是_________________ 15．设等比数列｛a n ｝共有3n 项，它的前2n 项的和为100，后2n 项之和为200，则该等比数列中间n 项的和等于___________________16. 设1≥x ，则函数1)3)(2(+++=x x x y 的最小值是 .17．在△ABC 2sin b A =，则B 等于_____________18．等差数列｛a n ｝中，S n 是它的前n 项之和，且S 6＜S 7，S 7＞S 8，则①比数列的公差d ＜0 ②S 9一定小于S 6③a 7是各项中最大的一项 ④S 7一定是S n 中的最大值其中正确的是_______________________（填入你认为正确的所有序号）三、解答题, 本大题共5小题，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.19.(本题满分12分)若不等式0252>-+x ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x ，求不等式01522>-+-a x ax 的解集.已知f (x +1)=x 2－4，等差数列｛a n ｝中，a 1=f (x －1)，a 2=－23，a 3=f (x ) （1）求x 的值；（2）求通项a n ；（3）求a 2+a 5+a 8+…+a 26的值.△ABC 的三个内角A 、B 、C 对边分别是a , b , c ，且t a n t a n 3t a n t a n A B A B +=-72c =，又△ABC 的面积为ABC S ∆=. 求（1）角C ；（2）a +b 的值.某工厂要制造A种电子装置45台，B种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2㎡，可做A、B的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3㎡，可做A、B的外壳分别为5个和6个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的用料面积最小？试判断，能否构造一个等比数列｛a n｝，使其满足下列三个条件：①a1+a6=11 ②a3a4=329③至少存在一个自然数m，使23a m-1、a m2、a m+1+49依次组成等差数列，若能，写出这个数列的通项公式；若不能，请说明理由.。

高中2005~2006级模块考试（必修5）一、选择题：（每小题5分，共60分）1、ΔABC 中,a =1,b =3, A =30°,则B 等于 A ．60° B ．60°或120° C ．30°或150° D ．120°2、两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a (km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南偏东60°,则A,B 之间相距A ．a (km)B ．3a (km)C ．2a (km)D ．2a (km)3、等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2+a 5＝4，a n ＝33，则n 为A ．50B ．49C ．48D ．474、已知等比数列{a n }的公比为2, 前4项的和是1, 则前8项的和为 A ．15. B ．17. C ．19. D ．215、等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50＝200，a 51+a 52+…+a 100＝2700，则a 1等于 A ．－1221 B ．－21．5 C ．－20．5 D ．－206、设集合y x y x y x A --=1,,|),{(是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是Aoy x0.50.5oy x0.50.5oyx0.50.5oyx0.50.5． A B ． C ． D ．7、已知-9,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列，-9,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数列，则b 2(a 2-a 1)= （）A.8B.-8C.±8D.8、目标函数y x z +=2，变量y x ,满足43035251x y x y x -+<⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则有A ．3,12min max ==z zB ．,12max =z z 无最小值C ．z z ,3min =无最大值D ．z 既无最大值，也无最小值9、在三角形ABC 中，如果()()3a b c b c a bc +++-=，那么A 等于A ．030B ．060C ．0120D ．0150 10、已知数列{}n a 的前n 项和()21n S n n =+则5a 的值为A ．80B ．40C ．20D ．1011、f x ax ax ()=+-21在R 上满足f x ()<0，则a 的取值范围是 A ．a ≤0 B ．a <-4 C ．-<<40a D ．-<≤40a 12．若实数a 、b 满足a +b =2，则3a +3b 的最小值是A ．18B ．6C ．23D ．243 二、填空题：（每小题4分，共16分，答案写在第二卷上） 13、在△ABC 中，sin A =2cos B sin C ，则三角形为 三角形14、不等式21131x x ->+的解集是 ．15、已知数列{ a n }满足条件a 1 = –2 , a n + 1 =2 +nna 1a 2-, 则a 5 = ． 16、若关于x 的不等式m x x ≥-42对任意]1,0[∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是 ．日照实验高中2004级模块考试（必修5）一、填空题答案：1 3、 14、15、 16、 三、解答题： 17、（12分）三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各减2,则89成等差数列，求这三个数．18、（12分）解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0．19、（12分）如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD, AD=10, AB=14, ∠BDA=60︒,∠BCD=135︒ 求BC 的长．20、（12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南)102(cos =θθ方向300km 的O θ东北东海面P处,并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？21、（12分）某工厂用两种原料A、B配成甲、乙两种药品，每生产一箱甲药品使用4kg的A原料，耗时1小时，每生产一箱乙药品使用4kg的B原料，耗时2小时，该厂每天最多可从原料厂获取16kg的A原料和12kg的B原料，每天只能有8小时的合成生产时间，该厂生产一箱甲药品获得3万元，生产一箱乙药品获得1万元，怎样安排生产才能获利最大？最大利润是多少？22、（14分）设,4,221==a a 数列}{n b 满足：,1n n n a a b -=+ 122n n b b +=+，(1)求证：数列}2{+n b 是等比数列(要指出首项与公比)， (2)求数列}{n a 的通项公式．参考答案：一、选择题1-5BCABC 6-10ABDBC 11-12DB 二、填空题13、等腰14、 1|23x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭ 15、107 16、(,3]-∞-三、解答题17、解:设三数为.,,aq a q a ⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧==⇒=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴282)2(25123q a a aq q a a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.218q a 则三数为,4,816或,168,.418、解: 16．解：当a ＝0时，不等式的解为x ＞1；当a ≠0时，分解因式a (x－a1)(x －1)＜0当a ＜0时，原不等式等价于(x －a1)(x －1)＞0，不等式的解为x ＞1或x ＜a1；当0＜a ＜1时，1＜a1，不等式的解为1＜x ＜a1；当a ＞1时，a1＜1，不等式的解为a1＜x ＜1；当a ＝1时，不等式的解为 。

模块综合检测卷(二)(测试时间：分钟评价分值：分)一、选择题(每小题共个小题，每小题共分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)．对于任意实数，，，命题：①若>，≠，则>；②若<，则>；③若>，则>.其中真命题的个数是( )．．．．解析：当<时，①不正确；当＝时，②不正确；只有③正确．答案：．历届现代奥运会召开时间表如下：)．．．．解析：由题意得，历届现代奥运会召开时间构成以为首项，为公差的等差数列，所以＝＋(－)·，解得＝.答案：．若点(，)位于曲线＝与＝所围成的封闭区域，则－的最小值为( )．－．－．．解析：＝与＝的图象围成一个三角形区域，如图所示，个顶点的坐标分别是(，)，(－，)，(，)．在封闭区域内平移直线＝，在点(－，)时，－＝－取最小值．答案：．如图所示，设，两点在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点，测出的长为，∠＝°，∠＝°后，就可以计算出，两点的距离为( )．．．解析：由正弦定理得∠)＝∠)，又因为∠＝°－°－°＝°，所以＝∠∠)＝＝()．答案：．等比数列{}前项的积为，若是一个确定的常数，那么数列，，，中也是常数的项是( )．．．．解析：因为··＝···＝是一个确定常数，所以为确定的常数．＝··…·＝()，所以选.答案：．以原点为圆心的圆全部都在平面区域内，则圆面积的最大值为( )．π．π解析：作出不等式组表示的平面区域如图所示，。

综合检测卷(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知集合A ＝{x |x 2－16<0}，B ＝{x |x 2－4x ＋3>0}，则A ∪B ＝________. 答案 R解析 A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x <1，或x >3}，所以A ∪B ＝R .2．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝________.答案 34解析 由题意，得b 2＝ac ， 又c ＝2a ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－a ×2a 2a ×2a＝34.3．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为________． 答案 22解析 S 11＝(a 1＋a 11)×112＝11×(a 2＋a 10)2＝22.4．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，3]解析 ∵x >1，∴x ＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋1≥2(x －1)·1x －1＋1＝3.∴a ≤3.5．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为________．答案 ±15解析 a 24＋a 27＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9，∴a 4＋a 7＝±3，∴a 1＋a 10＝±3， ∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝±15.6．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当△ABC 的面积等于32时，sin C ＝________.答案 12解析 由三角形的面积公式，得S ＝12AB ·BC sin π3＝32，易求得AB ＝1，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π3，得AC ＝3，再由三角形的面积公式，得S ＝12AC ·BC sin C ＝32，即可得出sin C ＝12.7．函数y ＝ x 2＋mx ＋m2对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 0≤m ≤2解析 Δ＝m 2－4×m2＝m 2－2m ≤0，∴0≤m ≤2.8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项的和为________．答案 34(9n －1)解析 新数列是首项为a 2＝6，公比为q ＝9的等比数列，所以S n ＝6(9n －1)9－1＝34(9n －1)．9．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤40，x ＋2y ≤50，x ≥0，y ≥0.则z ＝3x ＋2y 的最大值是________．答案 70解析 作出可行域如图所示．由于2x ＋y ＝40、x ＋2y ＝50的斜率分别为－2、－12，而3x ＋2y ＝0的斜率为－32，故线性目标函数的倾斜角大于2x ＋y ＝40的倾斜角而小于x ＋2y ＝50的倾斜角，由图知，3x ＋2y ＝z 经过点A (10,20)时，z 有最大值，z 的最大值为70.10．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(叫做税率k %)，则每年的产销量将削减10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k 的取值范围为________．答案 [2,8]解析 设产销量为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·k %万元，其中x ＝100－10k .由题意，得70(100－10k )k %≥112，整理得k 2－10k ＋16≤0，解得2≤k ≤8.因此，当2≤k ≤8(单位：元)时，每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元． 11．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当zxy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为________．答案 2解析 由题意知：z ＝x 2－3xy ＋4y 2，则z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x－3≥1，当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝xy ＝2y 2. 所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2≤2. 12．观看下列等式 12＝1 12－22＝－312－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n ＋1n 2＝________.答案 (－1)n ＋1·n (n ＋1)2解析 观看等式左边的式子，每次增加一项，故第n 个等式左边有n 项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n ＋1n 2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其确定值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{a n }，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，…，a n －a n －1＝n ，各式相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ，即a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以第n 个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2. 13．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最终一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°，且座位A 、B 的距离为106米，则旗杆的高度为____米．答案 30解析 由题意，可知∠BAN ＝105°，∠BNA ＝30°， 由正弦定理，得AN sin 45°＝106sin 30°，解得AN ＝203米，在Rt △AMN 中，MN ＝203sin 60°＝30米． 故旗杆的高度为30米．14．设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.答案 2解析 作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点A (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点B (0,2)时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点A (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合题意． 综上可知，k ＝2.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知13S 3，14S 4的等比中项为15S 5；13S 3，14S 4的等差中项为1，求数列{a n }的通项公式．解 设等差数列{a n }的首项a 1＝a ，公差为d ，则S n ＝na ＋n (n －1)2d ，依题意，有⎩⎨⎧13⎝⎛⎭⎫3a ＋3×22d ×14⎝⎛⎭⎫4a ＋4×32d ＝125⎝⎛⎭⎫5a ＋5×42d 2，13⎝⎛⎭⎫3a ＋3×22d ＋14⎝⎛⎭⎫4a ＋4×32d ＝1×2.整理得⎩⎪⎨⎪⎧3ad ＋5d 2＝0，2a ＋52d ＝2.∴a ＝1，d ＝0或a ＝4，d ＝－125.∴a n ＝1或a n ＝325－125n ，经检验，a n ＝1和a n ＝325－125n 均合题意．∴所求等差数列的通项公式为a n ＝1或a n ＝325－125n .16．(14分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 由于B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.17．(14分)某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从其次年起包括修理费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元． (1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？ 解 (1)设该船捕捞n 年后的总盈利y 万元．则 y ＝50n －98－[12×n ＋n (n －1)2×4]＝－2n 2＋40n －98 ＝－2(n －10)2＋102∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．(2)年平均利润为y n ＝－2(n ＋49n －20)≤－2(2 n ·49n －20)＝12，当且仅当n ＝49n ，即n ＝7时上式取等号．所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元． 18．(16分)已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16，(1)求不等式g (x )<0的解集；(2)若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)g (x )＝2x 2－4x －16<0， ∴(2x ＋4)(x －4)<0，∴－2<x <4， ∴不等式g (x )<0的解集为{x |－2<x <4}． (2)∵f (x )＝x 2－2x －8.当x >2时，f (x )≥(m ＋2)x －m －15恒成立， ∴x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15， 即x 2－4x ＋7≥m (x －1)． ∴对一切x >2，均有不等式x 2－4x ＋7x －1≥m 成立．而x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2≥2(x －1)×4x －1－2＝2(当x ＝3时等号成立)．∴实数m 的取值范围是(－∞，2]．19．(16分)如图，某校有一块形如直角三角形ABC 的空地，其中∠B 为直角，AB 长为40米，BC 长为50米，现欲在此空地上建筑一间健身房，其占地外形为矩形，且B 为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．解 如图，设矩形为EBFP ，FP 长为x 米，其中0<x <40，健身房占地面积为y 平方米． 由于△CFP ∽△CBA ，所以FP BA ＝CF CB ，x 40＝50－BF 50，求得BF ＝50－54x ，从而y ＝BF ·FP ＝(50－54x )x ＝－54x 2＋50x＝－54(x －20)2＋500≤500，当且仅当x ＝20时，等号成立．答 该健身房的最大占地面积为500平方米．20．(16分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，等差数列{b n }中，b n ＞0(n ∈N *)，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列． (1)求数列{a n }、{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n ， 解 (1)∵a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)， ∴a n ＝2S n －1＋1(n ∈N *，n ＞1)， ∴a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)，即a n ＋1－a n ＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n (n ∈N *，n ＞1)． 而a 2＝2a 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1.∴数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴a n ＝3n －1(n ∈N *)．∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9， 在等差数列{b n }中，∵b 1＋b 2＋b 3＝15，∴b 2＝5.又∵a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列，设等差数列{b n }的公差为d ，则有(a 1＋b 1)(a 3＋b 3)＝(a 2＋b 2)2. ∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2， ∵b n ＞0(n ∈N *)，∴舍去d ＝－10，取d ＝2，∴b 1＝3，∴b n ＝2n ＋1(n ∈N *)．(2)由(1)知T n ＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n －1)·3n －2＋(2n ＋1)3n －1，① ∴3T n ＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)3n －1＋(2n ＋1)3n ，② ∴①－②得－2T n ＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－(2n ＋1)3n ＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n －1)－(2n ＋1)3n ＝3＋2×3－3n1－3－(2n ＋1)3n＝3n －(2n ＋1)3n ＝－2n ·3n . ∴T n ＝n ·3n .。

模块综合检测(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．函数f (x )＝lg(x 2－2x －3)的定义域为________． 解析：由x 2－2x －3>0得x <－1或x >3. 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)2．在△ABC 中，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若a ＝2，A ＝π4，B ＝5π12，则b ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B得，b ＝a sin B sin A＝2×6＋2422＝3＋1.答案：3＋13．已知等比数列{a n }，a 4＝7，a 6＝21，则a 10＝________. 解析：∵a 4＝a 1q 3，a 6＝a 1q 5， ∴q 2＝a 6a 4＝3. ∴a 10＝a 6q 4＝189. 答案：1894．已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________． 解析：由题意知Δ＝(－2)2－4(k 2－1)<0，即k 2－2>0，所以k ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞) 5．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x >1)的最小值为________． 解析：∵x >1，∴x ＋1x －1＋5＝x －1＋1x －1＋6≥2x －1x －1＋6＝8. 当且仅当x －1＝1x －1即x ＝2时取等号． ∴y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5≥log 28＝3. ∴y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x >1)的最小值为3.答案：36．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝0，S 15＝25，则S n ＝________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×9d 2＝0，15a 1＋15×14d2＝25，解得d ＝23，a 1＝－3，所以S n ＝－3n ＋n n －2×23＝n 2－10n 3. 答案：n 2－10n37．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为________．解析：已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－13.答案：－138．已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11＝________.解析：设等差数列的公差为d ，由a 4－2a 27＋3a 8＝0，得a 7－3d －2a 27＋3(a 7＋d )＝0，从而有a 7＝2或a 7＝0(a 7＝b 7，而{b n }是等比数列，故舍去)．设{b n }的公比为q ，则b 7＝a 7＝2，所以b 2b 8b 11＝b 7q5·b 7q ·b 7q 4＝(b 7)3＝23＝8.答案：89．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 016的值是________．解析：a 1a 2＝2×7＝14，所以a 3＝4,7×4＝28，所以a 4＝8,4×8＝32，所以a 5＝2,8×2＝16，所以a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8，a 11＝2，所以从第三项起，{a n }成周期数列，周期数为6,2 016＝336×6，所以a 2 016＝a 6＝6.答案：610．若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝________. 解析：依题意，结合正弦定理得6a ＝4b ＝3c ，设3c ＝12k (k >0)，则有a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ；由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝k2＋k 2－k22×2k ×4k＝1116. 答案：111611．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是________ km.解析：如图，由条件知AB ＝24×1560＝6.在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.由正弦定理知BS sin 30°＝ABsin 45°，所以BS ＝ABsin 45°sin 30°＝3 2.即电动车在点B 时与电视塔S 的距离是3 2 km. 答案：3 212．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是________． 解析：对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ，即x ＋y ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x ＝223，当且仅当x ＝22时取等号． 答案：22313．已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R)的值域为[0，＋∞)，则c ＋2a ＋a ＋2c的最小值为________．解析：∵二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R)的值域[0，＋∞)， ∴a >0，且4ac －14a ＝0.∴ac ＝14，∴c >0.∴c ＋2a ＋a ＋2c ＝c a ＋a c ＋2a ＋2c≥2c a ·ac＋24ac＝2＋8＝10，当且仅当a ＝c 时取等号． 答案：1014．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∴9S 3＝S 6. ∴8(a 1＋a 2＋a 3)＝a 4＋a 5＋a 6. ∴a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝q 3＝8.∴q ＝2，∴a n ＝2n －1.∴1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.答案：3116二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)的解集． 解：原不等式可化为(3x －a )(4x ＋a )>0.当a >0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－a 4或x >a3； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a <0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 3或x >－a4. 16．(本小题满分14分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ． ① 又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ． ② 由①②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B . 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.17．(本小题满分14分)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润W (万元)表示为年广告费x (万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？解：(1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q ＋3)万元，每万件销售价为32Q ＋3Q×150%＋x Q×50%万元，所以年销售收入为⎝⎛⎭⎪⎫32Q ＋3Q ×150%＋x Q ×50%·Q ＝32(32Q ＋3)＋12x 万元，所以年利润W ＝32(32Q ＋3)＋12x －(32Q ＋3)－x ＝12(32Q ＋3－x )＝－x 2＋98x ＋35x ＋(x ≥0)．(2)令x ＋1＝t (t ≥1)， 则W ＝－t －2＋t －＋352t＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋32t .因为t ≥1，所以t 2＋32t ≥2t 2·32t＝8，即W ≤42， 当且仅当t 2＝32t，即t ＝8时，W 有最大值42，此时x ＝7.答：当年广告费为7万元时，企业年利润最大，最大值为42万元．18．(本小题满分16分)已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R)，且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，试比较1a 2＋1a 22＋1a 23＋…＋1a 2n 与1a 1的大小．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a22＝1a 1·1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，从而a 1d ＝d 2. 因为d ≠0.所以d ＝a 1＝a . 故通项公式a n ＝na .(2)记T n ＝1a 2＋1a 22＋…＋1a 2n ，因为a 2n ＝2na ，所以T n ＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋ (12)＝1a ·12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 从而，当a ＞0时，T n ＜1a 1；当a ＜0时，T n ＞1a 1.19．(本小题满分16分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝2sin A ，cos B cos C ＋2a c ＋bc＝0.(1)求c 的值；(2)求△ABC 面积的最大值． 解：(1)∵cos B cos C ＋2a c ＋bc ＝0，∴c cos B ＋2a cos C ＋b cos C ＝0，∴sin C cos B ＋sin B cos C ＋2sin A cos C ＝0， ∴sin A ＋2sin A cos C ＝0.又∵sin A ≠0， ∴cos C ＝－12，∴C ＝2π3，∴c ＝a sin A·sin C ＝ 3.(2)∵cos C ＝－12＝a 2＋b 2－32ab ，∴a 2＋b 2＋ab ＝3，∴3ab ≤3，即ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时取等号， ∴S △ABC ＝12ab sin C ≤34，即△ABC 面积的最大值为34. 20．(本小题满分16分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，a 2－c 2＝b 2－8bc5，a ＝3，△ABC 的面积为6，D 为△ABC 内(不包括三角形的边)任一点，点D 到三边距离之和为d .(1)求角A 的正弦值； (2)求边b ，c; (3)求d 的取值范围．解：(1)a 2－c 2＝b 2－8bc 5⇒b 2＋c 2－a 22bc ＝45⇒cos A ＝45⇒sin A ＝35.(2)∵S △ABC ＝12bc sin A ＝6.∴bc ＝20.由b 2＋c 2－a 22bc ＝45及bc ＝20与a ＝3解得b ＝4，c ＝5或b ＝5，c ＝4.(3)设点D 到三边的距离分别为x ，y ，z ， 则S △ABC ＝12(3x ＋4y ＋5z )＝6，d ＝x ＋y ＋z＝125＋15(2x ＋y )， 又x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y <12，x >0，y >0，画出不等式表示的平面区域得125<d <4.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作章末综合测评(一)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝ .【导学号：92862026】【解析】 C ＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ，即6sin 60°＝AC sin 45°，解得AC ＝2.【答案】 22．在△ABC 中，已知c ＝6，a ＝4，B ＝120°，则b ＝ . 【解析】 由b 2＝16＋36－2×4×6cos 120°， 得b ＝219. 【答案】 2193．在△ABC 中，a ＝4，b ＝43，A ＝30°，则B ＝ . 【解析】 sin B ＝b sin A a ＝43sin 30°4＝32.又a <b ，故B >A ，∴B ＝60°或120°. 【答案】 60°或120°4．在△ABC 中，化简b cos C ＋c cos B ＝ .【解析】 利用余弦定理，得b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝a .【答案】 a5．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos C ＝ . 【解析】 ∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ， ∴a ∶b ∶c ＝2∶3∶4. 设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，则 cos C ＝4k 2＋9k 2－16k 22×2k ×3k ＝－14.【答案】 －146．在△ABC 中，若A ＝60°，b ＝16，S △ABC ＝2203，则a ＝ . 【解析】 由12bc sin A ＝2203，可知c ＝55.又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2 401， ∴a ＝49. 【答案】 497．在△ABC 中，若sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是 ． 【解析】 ∵c sin C ＝a sin A ＝403， ∴c ＝403sin C ，∴0<c ≤403. 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，4038．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是 ．(填序号)【导学号：92862027】(1)a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解； (2)b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解； (3)a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解； (4)a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解． 【解析】 (1)中，∵a sin A ＝bsin B ， ∴sin B ＝16×sin 30°8＝1，∴B ＝90°，即只有一解； (2)中，sin C ＝20sin 60°18＝539，且c >b ，∴C >B ，故有两解；(3)中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝25－4＝21，即有解，故(1)(2)(3)都不正确．所以答案为(4)．【答案】 (4)9．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝ .【解析】 化简23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos A ＝15.由余弦定理，知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入数据解方程，得b ＝5.【答案】 5 10．在△ABC 中，若acos A 2＝b cos B 2＝c cos C 2，那么△ABC 是 三角形． 【解析】 由正弦定理得，sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin Ccos C 2， ∴sin A 2＝sin B 2＝sin C 2.∵0<A 2，B 2，C 2<π2，∴A 2＝B 2＝C2，即A ＝B ＝C ，∴△ABC 是等边三角形． 【答案】 等边11．如图1所示，在△ABC 中，∠ACB 的平分线CD 交AB 于D ，AC →的模为2，BC →的模为3，AD →的模为1，那么DB →的模为．图1【解析】 由三角形内角平分线的性质得|AC →|∶|BC →|＝|AD →|∶|DB →|， 故|DB →|＝32. 【答案】 3212．如图2所示，在山底测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000 m 至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为m.图2【解析】 由题可知，∠SAB ＝45°－30°＝15°，又∠SBD ＝15°，∴∠ABS ＝45°－15°＝30°，AS ＝1 000.由正弦定理可知BS sin 15°＝1 000sin 30°，∴BS ＝2 000sin 15°，∴BD ＝BS ·sin 75°＝2 000sin 15°cos 15°＝1 000sin 30°＝500，且DC ＝1 000sin 30°＝500，∴BC ＝DC ＋BD ＝1 000 m.【答案】 1 00013．已知角A ，B ，C 是三角形ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其对边长，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23sin A 2，cos 2A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，－2，m ⊥n ，且a ＝2，cos B ＝33，则b ＝ .【解析】 ∵m·n ＝0，∴23sin A 2cos A 2－2cos 2A 2＝0，∵cos A2≠0， ∴tan A 2＝33，∴A2＝30°，∴A ＝60°， ∵a sin A ＝bsin B ，sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63， ∴b ＝a sin B sin A ＝2×6332＝43 2.【答案】 43 214．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b a ＋ab ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B 的值是 ．【解析】 ∵b a ＋ab ＝6cos C ， ∴a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab ， 即a 2＋b 2＝32c 2， ∴tan C tan A ＋tan C tan B ＝tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A sin A ＋cos B sin B＝sin 2Ccos C sin A sin B ＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝4. 【答案】 4二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，求角A 的大小及b sin Bc .【解】 由b 2＝ac 及a 2－c 2＝ac －bc ，得b 2＋c 2－a 2＝bc . 在△ABC 中，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. ∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°. 在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin Aa .又∵b 2＝ac ，A ＝60°， ∴b sin B c ＝b 2sin A ac ＝sin 60°＝32.16．(本小题满分14分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值． 【解】 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π， ∴sin B ＝1－cos 2B ＝45. 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ， sin A ＝a sin B b ＝2×454＝25. (2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4， ∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17. 17．(本小题满分14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B＝2c －a b .(1)求sin Csin A 的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长． 【解】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ， 则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B＝2sin C －sin A sin B ，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin Asin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A . 因此sin Csin A ＝2.(2)由sin Csin A ＝2，得c ＝2a ，由余弦定理及cos B ＝14得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2， 所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，从而a ＝1， 因此b ＝2.18．(本小题满分16分)在△ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状.【导学号：92862028】【解】 (1)由2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ， ∴2bc cos A ＝－bc ，∴cos A ＝－12，又A ∈(0，π)， ∴A ＝2π3.(2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， 又sin B ＋sin C ＝1，得sin B ＝sin C ＝12. 又B ，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰三角形．19．(本小题满分16分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA→在BC →方向上的投影．【解】 (1)由cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35. 又0<A <π，则sin A ＝45.(2)由正弦定理，有a sin A ＝bsin B ， 所以sin B ＝b sin A a ＝22.由题知a >b ，则A >B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.20．(本小题满分16分)如图3，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.图3(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？【解】(1)在△ABC中，因为cos A＝1213，cos C＝35，所以sin A＝513，sin C＝45.从而sin B＝sin[]π－(A＋C)＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365.由ABsin C＝ACsin B，得AB＝ACsin B×sin C＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB的长为1 040 m.(2)设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d m，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×12 13＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤1 040130，即0≤t≤8，故当t＝3537min时，甲、乙两游客距离最短．(3)由BCsin A＝ACsin B，得BC＝ACsin B×sin A＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤500v－71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．。

模块综合检测卷(二)(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(每小题共12个小题，每小题共5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．对于任意实数a，b，c，d命题：①若a>b，c≠0，则ac>bc；②若a<b，则ac2>bc2；③若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：当c<0时，①不正确；当c＝0时，②不正确；只有③正确．答案：B2．历届现代奥运会召开时间表如下：A．29 B．30 C．31 D．32解析：由题意得，历届现代奥运会召开时间构成以1 896为首项，4为公差的等差数列，所以2 016＝1 896＋(n－1)·4，解得n＝31.答案：C3．若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x －y的最小值为()A ．－6B ．－2C ．0D ．2解析：y ＝|x |与y ＝2的图象围成一个三角形区域，如图所示，3个顶点的坐标分别是(0，0)，(－2，2)，(2，2)．在封闭区域内平移直线y ＝2x ，在点(－2，2)时，2x －y ＝－6取最小值．答案：A4．如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的长为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为()A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD.2522m解析：由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠ABC ，又因为∠ABC ＝180°－45°－105°＝30°， 所以AB ＝AC sin ∠ACB sin ∠ABC＝50×2212＝502(m)．答案：A5．等比数列{a n }前n 项的积为T n ，若a 3a 6a 18是一个确定的常数，那么数列T 10，T 13，T 17，T 25中也是常数的项是( )A ．T 10B ．T 13C ．T 17D ．T 25解析：因为a 3·a 6·a 18＝a 9q 6·a 9q 3·a 9·q 9＝a 39是一个确定常数，所以a 9为确定的常数．T 17＝a 1·a 2·…·a 17＝(a 9)17，所以选C. 答案：C6．以原点为圆心的圆全部都在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2≥0内，则圆面积的最大值为( )A.18π5B.9π5C ．2πD ．π 解析：作出不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知，最大圆的半径为点(0，0)到直线x －y ＋2＝0的距离， 即|0－0＋2|12＋（－1）2＝2，所以圆面积的最大值为π·(2)2＝2π. 答案：C7．已知三角形的两边长分别为4，5，它们夹角的余弦值是方程2x 2＋3x －2＝0的根，则第三边长是( )A.20B.21C.22D.61解析：设长为4，5的两边的夹角为θ，由2x 2＋3x －2＝0得x ＝12或x ＝－2(舍)，所以cos θ＝12，所以第三边长为 42＋52－2×4×5×12＝21.答案：B8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2＝⎩⎨⎧－8，n ＝1，－10＋2n ，n ≥2.因为n ＝1时适合a n ＝2n －10， 所以a n ＝2n －10(n ∈N *)． 因为5<a k <8，所以5<2k －10<8. 所以152<k <9.又因为k ∈N *，所以k ＝8.答案：C9．函数f (x )＝1x ln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为( )A ．(－∞，－4)∪[2，＋∞)B ．(－4，0)∪(0，1)C ．[－4，0)∪(0，1]D ．[－4，0)∪(0，1)解析：函数f (x )有定义等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x 2－3x ＋2≥0，－x 2－3x ＋4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x 2－3x ＋2>0，－x 2－3x ＋4≥0，解得－4≤x <0或0<x <1.答案：D10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 22a＝2a 22a ＝a ＝a sin A ， 所以sin A ＝1.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π2，即△ABC 是直角三角形．答案：B11．在数列{x n }中，2x n ＝1x n －1＋1x n ＋1(n ≥2)，且x 2＝23，x 4＝25，则x 10等于( )A.211B.16C.112D.15解析：由已知可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 成等差数列，而1x 2＝32，1x 4＝52，所以2d ＝52－32＝1，即d ＝12.故1x 10＝1x 1＋(10－1)d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋9×12＝112.所以x 10＝211. 答案：A12．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2，4)D ．(－4，2)解析：因为x >0，y >0且2x ＋1y ＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋xy ≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y，即x ＝4，y ＝2时取等号， 所以(x ＋2y )min ＝8.要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立， 只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立， 即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，－x ，x ≤0.则不等式f (x )<4的解集是________．解析：不等式f (x )<4等价于⎩⎨⎧x >0，x 2＋1<4或⎩⎨⎧x ≤0，－x <4，即0<x <3或－4<x ≤0.因此，不等式f (x )<4的解集是(－4，3)． 答案：(－4，3)14．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －2004，则这个数列的前________项和最小．解析：设a n ＝2n －2 004的对应函数为y ＝2x －2 004.易知函数y ＝2x －2 004在R 上是增函数，且当y ＝0时，x ＝1 002. 因此，数列{a n }是单调递增数列，且当1≤n ≤1 002时，a n ≤0；当n >1 002时，a n >0. 所以数列{a n }的前1 001项或前1 002项的和最小． 答案：1 001或1 002.15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 等于________．解析：由正弦定理，且sin C ＝23sin B ⇒c ＝23b .又a 2－b 2＝3bc ，故由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－（b 2＋3bc ）2bc ＝c 2－3bc 2bc ＝（23b ）2－3b ·23b 2b ·23b＝32，所以A ＝30°. 答案：30°16．(2015·山东卷)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．解析：因为x ⊗y ＝x 2－y 2xy ，所以(2y )⊗x ＝4y 2－x 22xy .又x >0，y >0，故x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ≥22xy2xy ＝2，当且仅当x ＝2y 时，等号成立． 答案： 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤)17．(本小题满分10分)(2015·江苏卷)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°.(1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．解：(1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A ，所以sin C ＝ABBC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角， 则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2·217·277＝437.18．(本小题满分12分)设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .解：(1)设q 为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2，所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N ＋)．(2)S n ＝2（1－2n ）1－2＋n ·1＋n （n －1）2·2＝2n ＋1＋n 2－2.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边c 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求C 的大小．解：(1)由sin A ＋sin B ＝2sin C 及正弦定理可知： a ＋b ＝2c .又因为a ＋b ＋c ＝2＋1，所以2c ＋c ＝2＋1，从而c ＝1. (2)三角形面积S ＝12ab sin C ＝16sin C ，所以ab ＝13，a ＋b ＝ 2.因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（a ＋b ）2－2ab －12ab ＝12，又因为0<C <π，所以C ＝π3.20．(本小题满分12分)如图所示，公园有一块边长为2的等边三角形ABC 的边角地，现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，点D 在AB 上，点E 在AC 上．(1)设AD ＝x (x ≥0)，ED ＝y ，求用x 表示y 的函数关系式； (2)如果DE 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置又在哪里？解：S △ABC ＝34×4＝3，所以S △ADE ＝12·x ·AE · sin 60°＝32，所以x ·AE ＝2，所以AE ＝2x≤2，所以x ≥1.(1)在△ADE 中，y 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－2·x ·2x ·cos 60°＝x 2＋4x 2－2，所以y ＝x 2＋4x2－2(1≤x ≤2)．(2)令t ＝x 2，则1≤t ≤4，所以y ＝t ＋4t－2(1≤t ≤4)． 当t ＝2，即x ＝2时，即当AD ＝2，AE ＝2时，DE 最短为2；当t ＝1或4，即AD ＝2，AE ＝1或AD ＝1，AE ＝2时，DE 最长为 3.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－ax (a ∈R)， (1)若不等式f (x )>a －3的解集为R ，求实数a 的取值范围； (2)设x >y >0，且xy ＝2，若不等式f (x )＋f (y )＋2ay ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)不等式f (x )>a －3的解集为R ，即不等式x 2－ax －a ＋3>0的解集为R ，所以Δ＝a 2＋4(a －3)<0恒成立，即a 2＋4a －12<0恒成立，所以－6<a <2.(2)不等式f (x )＋f (y )＋2ay ≥0恒成立，即不等式x 2－ax ＋y 2－ay ＋2ay ≥0恒成立，所以x 2＋y 2≥a (x －y )恒成立．所以实数a 的取值范围为(－∞，4]．22．(本小题满分12分)已知公差大于0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c，求非零常数c ； (3)若(2)中的{b n }的前n 项和为T n ，求证：2T n －3b n －1>64b n （n ＋9）b n ＋1. (1)解：{a n }为等差数列，因为a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22， 又因为a 3·a 4＝117，所以a 3，a 4是方程n 2－22x ＋117＝0的两个根． 又因为公差d >0，所以a 3<a 4，所以a 3＝9，a 4＝13.所以⎩⎨⎧a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13即⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝4，所以a n ＝4n －3.(2)解：由(1)知，S n ＝n ·1＋n （n －1）2·4＝2n 2－n ， 所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ，所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c， b 3＝153＋c. 因为{b n }是等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3，所以2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12或c ＝0(舍去)． (3)证明：由(2)得b n ＝2n 2－n n －12＝2n ，T n ＝2n ＋n （n －1）·22＝n 2＋n ，2T n －3b n －1＝2(n 2＋n )－3(2n －2)＝2(n －1)2＋4≥4，当n ＝1时取“＝”，又n >1，所以取不到“＝”，即2T n －3b n －1>4.64b n （n ＋9）b n ＋1＝64×2n （n ＋9）·2（n ＋1）＝64n n 2＋10n ＋9＝64n ＋9n＋10≤4，当n ＝3时取“＝”．上述两式中“＝”不可能同时取到，所以2T n －3b n －1>64b n （n ＋9）b n ＋1.。

模块综合检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系为( ) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )＝g (x ) C ．f (x )<g (x )D ．随x 值变化而变化解析：选A 因为f (x )－g (x )＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，所以f (x )>g (x )．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么角A 等于( )A ．135°B ．90°C ．45°D ．30°解析：选C 由正弦定理知a sin A ＝bsin B， ∴sin A ＝a sin Bb ＝2sin 60°3＝22. 又a <b ，B ＝60°，∴A <60°，∴A ＝45°. 3．若a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第4项是( ) A.116 B.117 C.110D.125解析：选C a 2＝a 13a 1＋1＝13＋1＝14， a 3＝a 23a 2＋1＝1434＋1＝17，a 4＝a 33a 3＋1＝1737＋1＝110.4．若关于x 的不等式x 2－3ax ＋2>0的解集为(－∞，1)∪(m ，＋∞)，则a ＋m ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．3解析：选D 由题意，知1，m 是方程x 2－3ax ＋2＝0的两个根，则由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋m ＝3a ，1×m ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，m ＝2，所以a ＋m ＝3，故选D. 5．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( )A ．16B ．25C ．9D ．36解析：选B (1＋x )(1＋y )≤⎣⎡⎦⎤(1＋x )＋(1＋y )22＝⎣⎡⎦⎤2＋(x ＋y )22＝⎝⎛⎭⎫2＋822＝25，因此当且仅当1＋x ＝1＋y 即x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y )取最大值25，故选B.6．已知数列{a n }为等差数列，且a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( ) A ．40 B ．42 C ．43D ．45解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，则2a 1＋3d ＝13， ∴d ＝3，故a 4＋a 5＋a 6＝3a 1＋12d ＝3×2＋12×3＝42.7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2cos 2A ＋B 2－cos 2C ＝1,4sin B＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( )A.13B.7C.37D ．6解析：选A 由已知可得cos 2C ＝2cos 2A ＋B2－1＝cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，则2cos 2C ＋cos C －1＝0.∵C ∈(0，π)，解得cos C ＝12，根据余弦定理得12＝a 2＋b 2－c 22ab.∵4sin B ＝3sin A ，由正弦定理可得4b ＝3a .又∵a －b ＝1，∴b ＝3，a ＝4，代入余弦公式得到c 的值为13.故选A.8．已知S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，S 3＝3a 1＋2a 2，且a 2－12，a 4，a 5成等差数列，则a 1＝( )A ．2 B.12 C.14D ．4解析：选C 设数列{a n }的公比为q (q >0)，则由S 3＝3a 1＋2a 2可得q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，又a 2－12，a 4，a 5成等差数列，所以2a 4＝a 2－12＋a 5，即a 2＝12，所以a 1＝14. 9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边．若2sin C ＝sin A ＋sin B ，cos C ＝35，且S △ABC ＝4，则c ＝( ) A.463B ．4C.263D ．5解析：选A 在△ABC 中，2sin C ＝sin A ＋sin B ， 由正弦定理可得2c ＝a ＋b .∵cos C ＝35，∴sin C ＝1－cos 2C ＝45.∵S △ABC ＝4，即12ab sin C ＝4，∴ab ＝10.由余弦定理，得a 2＋b 2－c 22ab ＝35，∴(a ＋b )2－2ab －c 22ab ＝35，即4c 2－20－c 220＝35，解得c ＝463(负值舍去)．故选A.10．设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对任意的x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋4恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，0] B.⎣⎡⎭⎫0，57 C ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，57 D.⎝⎛⎭⎫－∞，57 解析：选D 函数f (x )＝mx 2－mx －1， 若对任意的x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋4恒成立， 即mx 2－mx ＋m －5<0对于x ∈[1,3]恒成立．令g (x )＝mx 2－mx ＋m －5，当m ＝0时，－5<0恒成立． 当m <0时，g (x )max ＝g (1)＝m －5<0，解得m <5， ∴m <0.当m >0时，g (x )max ＝g (3)＝7m －5<0，解得m <57，∴0<m <57.综上所述，实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，57. 11．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin A ＋2sin B ＝2sin C ，b ＝3，当内角C 最大时，△ABC 的面积等于( )A.9＋334B.6＋324C.326－24D.36－324解析：选A 根据正弦定理及sin A ＋2sin B ＝2sin C 得a ＋2b ＝2c ，∴c ＝a ＋322，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9－a 2＋62a ＋1846a ＝a 8＋34a －24≥2a 8·34a －24＝6－24，当且仅当a 8＝34a ，即a ＝6时，等号成立．此时sin C ＝6＋24，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×3×6＋24＝9＋334. 12．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝5－n ，其前n 项和为S n ，将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n .若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ成立，则实数λ的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选D 由已知得S n ＝－12n 2＋92n ，(S n )max ＝S 4＝S 5＝10.等比数列{b n }的前3项为4,2,1，所以T n ＝8⎝⎛⎭⎫1－12n ，显然{T n }是递增数列，且4≤T n <8.因为存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ成立，则10<8＋λ，所以λ>2.故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．解析：因为实数x ，y 满足xy ＝1，所以x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝22(xy )2＝22，并且仅当x 2＝2y 2且xy ＝1，即x 2＝2y 2＝2时等号成立，故x 2＋2y 2的最小值为2 2.答案：2 214．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．解析：由于三边长构成公差为4的等差数列， 故可设三边长分别为x －4，x ，x ＋4.由一个内角为120°，知其必是最长边x ＋4所对的角．由余弦定理得，(x ＋4)2＝x 2＋(x －4)2－2x (x －4)·cos 120°，∴2x 2－20x ＝0，∴x ＝0(舍去)或x ＝10，∴S △ABC ＝12×(10－4)×10×sin 120°＝15 3.答案：15 315．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________. 解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1. ∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1. 又1S 1＝－1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列． ∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ， ∴S n ＝－1n . 答案：－1n16．设a 为实常数，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝9x ＋a 2x ＋7.若f (x )≥a＋1对一切x ≥0成立，则a 的取值范围是________．解析：当x <0时，－9x －a 2x ≥6|a |， ∴f (x )≤7－6|a |.∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴当x >0时，f (x )≥6|a |－7. ∵a ＋1≤f (x )对一切x >0成立， ∴a ＋1≤f (x )min ，即a ＋1≤6|a |－7，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤6a －7，a ≥0，a ＋1≤－6a －7，a <0.解得a ≤－87或a ≥85.当x ＝0时，f (0)＝0≥a ＋1，∴a ≤－1. 综上可知a ≤－87.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－87 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ；(2)若DC ＝22，求BC .解：(1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB，即5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25. 由题设知，∠ADB <90°， 所以cos ∠ADB ＝1－225＝235. (2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25， 所以BC ＝5.18．(本小题满分12分)已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)． (1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意的x ∈[－1,1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，所以2x 2＋bx ＋c <0的解集是(0,5)，所以0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根， 由根与系数的关系，知－b 2＝5，c2＝0，所以b ＝－10，c ＝0， 所以f (x )＝2x 2－10x .(2)对任意的x ∈[－1,1]，f (x )＋t ≤2恒成立等价于对任意的x ∈[－1,1]，2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立．设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2，则由二次函数的图象可知g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1,1]上为减函数， 所以g (x )max ＝g (－1)＝10＋t ， 所以10＋t ≤0，即t ≤－10， 所以t 的取值范围为(－∞，－10]．19．(本小题满分12分)(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n＝a nn .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．解：(1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)n a n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2)数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n ＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.20．(本小题满分12分)十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽、柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划.2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2 500万元，每生产汽车x (百辆)，需另投入成本C (x )(万元)，且C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2＋100x ，0<x <40，501x ＋10 000x －4 500，x ≥40.由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．(1)求出2018年的利润L (x )(万元)关于年产量x (百辆)的函数关系式；(利润＝销售额－成本)(2)2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大，并求出最大利润．解：(1)当0<x <40时，L (x )＝5×100x －10x 2－100x －2 500＝－10x 2＋400x －2 500； 当x ≥40时，L (x )＝5×100x －501x －10 000x＋4 500－2 500＝2 000－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x . ∴L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－10x 2＋400x －2 500，0<x <40，2 000－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ，x ≥40. (2)当0<x <40时，L (x )＝－10(x －20)2＋1 500， ∴当x ＝20时，L (x )max ＝L (20)＝1 500；当x ≥40时，L (x )＝2 000－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤2 000－2 x ·10 000x ＝2 000－200＝1 800，当且仅当x ＝10 000x ，即x ＝100时，L (x )max ＝L (100)＝1 800>1 500.∴当x ＝100时，即2018年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1 800万元．21．(本小题满分12分)在△ABC 中，BC ＝6，点D 在BC 边上，且(2AC －AB )cos A ＝BC cos C .(1)求角A 的大小；(2)若AD 为△ABC 的中线，且AC ＝23，求AD 的长；(3)若AD 为△ABC 的高，且AD ＝33，求证：△ABC 为等边三角形．解：(1)由(2AC －AB )cos A ＝BC cos C 及正弦定理，有(2sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ， 得2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B ，所以cos A ＝12.因为0°<A <180°，所以A ＝60°.(2)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得sin B ＝AC sin A BC ＝12.因为A ＋B <180°，所以B ＝30°，所以C ＝90°. 因为D 是BC 的中点，所以DC ＝3， 由勾股定理，得AD ＝AC 2＋DC 2＝21. (3)证明：因为12AD ·BC ＝12AB ·AC sin A ，且AD ＝33，BC ＝6，sin A ＝32， 所以AB ·AC ＝36.因为BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ， 所以AB 2＋AC 2＝72， 所以AB ＝AC ＝6＝BC ， 所以△ABC 为等边三角形．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足2S n ＋a n ＝1，数列{b n }中，b 1＝1，b 2＝12，2b n ＋1＝1b n ＋1b n ＋2(n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n ＝a n b n ，求证：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <34.解：(1)由2S n ＋a n ＝1，得S n ＝12(1－a n )．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12(1－a n )－12(1－a n －1)＝－12a n ＋12a n －1，即2a n ＝－a n ＋a n －1，∴a n a n －1＝13(由题意可知a n －1≠0)． ∴{a n }是公比为13的等比数列，而S 1＝a 1＝12(1－a 1)，∴a 1＝13，∴a n ＝13×⎝⎛⎭⎫13n －1＝⎝⎛⎭⎫13n.由2b n ＋1＝1b n ＋1b n ＋2，1b 1＝1，1b 2＝2，得d ＝1b 2－1b 1＝1⎝⎛⎭⎫d 为等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的公差， ∴1b n ＝n ，∴b n ＝1n. (2)证明：c n ＝a nb n＝n ⎝⎛⎭⎫13n ，设T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，则T n ＝1×⎝⎛⎭⎫131＋2×⎝⎛⎭⎫132＋3×⎝⎛⎭⎫133＋…＋n ×⎝⎛⎭⎫13n ，13T n ＝1×⎝⎛⎭⎫132＋2×⎝⎛⎭⎫133＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫13n ＋n ×⎝⎛⎭⎫13n ＋1，由错位相减，得23T n ＝13＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －n ×⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13－n ×⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝12－12×⎝⎛⎭⎫13n －n ×⎝⎛⎭⎫13n ＋1， 所以T n ＝34－34×⎝⎛⎭⎫13n －12n ×⎝⎛⎭⎫13n ＝34－2n ＋34×13n <34.由Ruize收集整理。

模块综合检测卷(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(每小题共10个小题，每小题共5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝(D ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7解析：∵{a n }为等比数列，∴a 4a 7＝a 5a 6＝－8.又a 4＋a 7＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4.当a 4＝4，a 7＝－2时，a 1＝－8，a 10＝1，∴a 1＋a 10＝－7； 当a 4＝－2，a 7＝4时，a 10＝－8，a 1＝1，∴a 1＋a 10＝－7. 综上，a 1＋a 10＝－7.2．某人投资10 000万元，如果年收益利率是5%，按复利计算，5年后能收回本利和为(B )A ．10 000×(1＋5×5%)B ．10 000×(1＋5%)5C ．10 000×1.05×（1－1.054）1－1.05 D ．10 000×1.05×（1－1.055）1－1.05解析：注意与每年投入10 000万元区别开来．3．在△ABC 中，已知cos A ＝513，sin B ＝35，则cos C 的值为(A )A.1665B.5665 C.1665或5665 D ．－1665解析：∵cos A ＝513＞0，∴sin A ＝1213＞sin B ＝35.∴B 为锐角，故cos B ＝45.从而cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝1665.4．若a <b <0，d >c >0，则不等式①ad >bc ；②c a >cb；③a 2>b 2；④a －d <b －c 中正确的个数是(C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①错，②③④正确．将a <b <0转化为－a >－b >0，可得(－ad )>(－bc )，即ad <bc ，故知①错；由a <b <0⇒1a >1b，c >0，故②正确；因为函数y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，故③正确；由d >c >0，得－d <－c <0，故知a －d <b －c ，故④正确．5．设x ，y ∈R ＋，且xy －(x ＋y )＝1，下列结论中正确的是(A ) A ．x ＋y ≥22＋2 B ．xy ≤2＋1 C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥22＋2解析：∵1＋x ＋y ＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，∴(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0.即x ＋y ≥2(1＋2)(当x＝y ＝1＋2时等号成立)，x ＋y 的最小值为2(1＋2)．6．数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 015等于(D )A ．1 006B ．1 008C ．－1 006D ．－1 008 解析：由a n ＝n cosn π2可得S 2 015＝1×0－2×1＋3×0＋4×1＋…－2 014×1＋2 015×0＝－2＋4－6＋…－2 010＋2 012－2 014＝2×503－2 014＝－1 008.7．已知方程x 2＋(m ＋2)x ＋m ＋5＝0有两个正实根，则实数m 的取值范围是(D ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，－4] C ．(－5，＋∞) D ．(－5，－4] 解析：方程两根为正，则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－（m ＋2）>0，⇒－5<m ≤－4m ＋5>0. 8．已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，则2a ＋3b 的取值范围是(D)A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，172B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，112C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，132D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，132 解析：用待定系数法可得 2a ＋3b ＝52(a ＋b )－12(a －b )，由⎩⎪⎨⎪⎧－1＜a ＋b ＜3，2＜a －b ＜4⇒⎩⎪⎨⎪⎧－52＜52（a ＋b ）＜152，－2＜－12（a －b ）＜－1. 两式相加即得－92＜2a ＋3b ＜132.9．已知锐角三角形的边长分别是2，3，x ，则x 的取值范围是(B ) A ．(1，3) B ．(5，13) C ．(0，5) D ．(13，5)解析：由三角形的三个角为锐角，结合余弦定理的推论可知，⎩⎪⎨⎪⎧22＋32－x 2>0，22＋x 2－32>0，32＋x 2－22>0，解得5＜x 2＜13，即5<x < 13.10．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(a >0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则(A ) A ．f (x 1)<f (x 2) B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)>f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定解析：函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(a >0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为x ＝－1，a >0，又∵x 1＋x 2＝0，x 1与x 2的中点为0，x 1<x 2，∴x 2到对称轴的距离大于x 1到对称轴的距离．∴f (x 1)<f (x 2)，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝________．解析：先求出角A 的余弦值，再利用余弦定理求解． 由23cos 2A ＋cos 2A ＝0得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0， 解得cos A ＝±15.∵A 是锐角，∴cos A ＝15.又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴49＝b 2＋36－2×b ×6×15.∴b ＝5或b ＝－135.又∵b ＞0，∴b ＝5. 答案：512．(2013·陕西卷)观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…，照此规律，第n 个等式可为____________．解析：当n 为偶数时，(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－n （n ＋1）2；当n 为奇数时，(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －2)2－(n －1)2]＋n 2＝－（n －1）n 2＋n 2＝n （n ＋1）2.答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n （n ＋1）213．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值为________．解析：作出可行域(如图)，由z ＝x －2y 得y ＝12x －z2，则当目标函数过C (1，－1)时z取得最大值，所以z max ＝1－2×(－1)＝3.答案：314．若a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0，则b a ，a b ，b ＋m a ＋m ，a ＋nb ＋n由大到小的顺序是__________________________．解析：用特殊值法或作差比较法都很容易得出答案． 答案：a b ＞a ＋nb ＋n ＞b ＋m a ＋m ＞ba三、解答题(本题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤) 15．(本小题满分12分)等差数列{}a n 不是常数列，a 5＝10，且a 5，a 7，a 10是某一等比数列{}b n 的第1，3，5项．(1)求数列{}a n 的第20项； (2)求数列{}b n 的通项公式．解析：(1)设数列{}a n 的公差为d ，则a 5＝10，a 7＝10＋2d ，a 10＝10＋5d . 因为等比数列{}b n 的第1、3、5项成等比数列， 所以a 27＝a 5a 10，即(10＋2d )2＝10(10＋5d )． 解得d ＝2.5，d ＝0(舍去)． 所以a 20＝47.5.(2)由(1)知{}a n 为各项非负的数列，所以q 2＝b 3b 1＝a 7a 5＝32.∴q ＝±32.又b 1＝a 5＝10， ∴b n ＝b 1q n －1＝±10·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －12，n ∈N *.16．(本小题满分12分)(2013·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解析：(1)由正弦定理得： 3sin A ＝26sin 2A ，解得cos A ＝63. (2)由cos A ＝63⇒sin A ＝33，又∠B ＝2∠A ， ∴cos B ＝2cos 2A －1＝13.∴sinB ＝223，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×13＋63×223＝539. ∴c ＝a sin Csin A＝5. 17．(本小题满分14分)已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，求－cx 2＋2x －a ＞0的解集．解析：由ax 2＋2x ＋c ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12知a ＜0，－13和12是方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根，由韦达定理－13＋12＝－2a ，－13×12＝c a ，解得a ＝－12，c ＝2，∴－cx 2＋2x －a ＞0，即－2x 2＋2x ＋12＞0亦即x 2－x －6＜0.其解集为(－2，3)．18．(本小题满分14分)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物、42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解析：方法一 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.z 在可行域的四个顶点A (9，0)，B (4，3)，C (2，5)，D (0，8)处的值分别是 z A ＝2.5×9＋4×0＝22.5， z B ＝2.5×4＋4×3＝22， z C ＝2.5×2＋4×5＝25， z D ＝2.5×0＋4×8＝32.比较之，z B 最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．方法二 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.作出平行域如下图所示．让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在B(4，3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．19．(本小题满分14分)如右图，某观测站C在城A南偏西20°的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A城？解析：根据题意，可得下图，其中BC ＝31千米，BD ＝20千米，CD ＝21千米，∠CAD ＝60°.设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β. 在△CDB 中，由余弦定理得：cos β＝CD 2＋BD 2－BC 22CD ·BD ＝212＋202－3122×21×20＝－17，sin β＝1－cos 2β＝437. sin α＝sin(180°－∠CAD －∠CDA ) ＝sin(180°－60°－180°＋β) ＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－cos βsin 60° ＝437×12＋17×32＝5314.在△ACD 中，由正弦定理得：AD ＝CDsin A ·sin α＝21sin 60°×5314＝15. 此人还得走15千米到达A 城．20．(本小题满分14分)数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2且满足a n ＋2＝2a n ＋1－a n ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n ； (3)设b n ＝1n （12－a n ）(n ∈N *)，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n (n ∈N *)，是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N *，均有T n ＞m32成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ⇒a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ， 可知{a n }成等差数列，d ＝a 4－a 14－1＝－2，∴a n ＝8＋(n －1)·(－2)＝10－2n (n ∈N)． (2)由a n ＝10－2n ≥0得n ≤5，∴当n ≤5时，S n ＝－n 2＋9n .当n ＞5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝n 2－9n ＋40.故S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋9n ，1≤n ≤5，n 2－9n ＋40，n ≥5.(3)b n ＝1n （12－a n ）＝1n （2n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 2（n ＋1）＞n －12n ＝T n －1＞T n －2＞…T 1.∴要使T n ＞m 32总成立，需m 32＜T 1＝14恒成立，即m ＜8(m ∈Z)．故适合条件的m 的最大值为。

模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．在△ABC 中，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若a ＝2，A ＝π4，B ＝π6，则b 等于________．【解析】 由正弦定理得b ＝asin Bsin A＝2×1222＝ 2.【答案】 22．已知等比数列{a n }的公比q 为正数，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝________. 【解析】 ∵{a n }成等比数列，∴a 5·a 7＝a 26，∴a 26＝4a 24，∴q 2＝4，∴q ＝±2. 又q>0，∴q ＝2. ∴a 1＝a 2q ＝12.【答案】123．设x>0，y>0，下列不等式中等号不成立的是________． ①x ＋y ＋2xy≥4；②(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥4；③⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ≥4；④x 2＋3x 2＋2≥2.【解析】 ④中，x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2.因为x 2＋2≥2，故应用不等式时，等号不成立． 【答案】 ④4．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为________．【解析】由a24＋a27＋2a4a7＝9，可知a4＋a7＝±3.∴S10＝10(a1＋a10)2＝10(a4＋a7)2＝±15.【答案】±155．已知点A(3，－1)，B(－1,2)在直线ax＋2y－1＝0的同侧，则实数a的取值范围为________．【解析】由题意可知，(3a－3)(－a＋3)>0，即(a－1)(a－3)<0，∴1<a<3.【答案】(1,3)6．已知2a＋1<0，关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是________．【解析】x2－4ax－5a2>0，即(x－5a)(x＋a)>0，而方程(x－5a)(x＋a)＝0的根为x1＝－a，x2＝5a.∵2a＋1<0，则a<－12，∴－a>5a，∴原不等式的解集为{x|x<5a或x>－a}．【答案】{x|x<5a或x>－a}7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c，成等比数列，且c＝2a，则cos B＝________.【解析】由已知可知b2＝ac.又c＝2a，∴cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－b22ac＝a2＋4a2－2a24a2＝34.【答案】3 48．(2016·南通高二检测)已知数列1，a1，a2,4等差数列，且实数列1，b1，b 2，b3,4成等比数列，则a1＋a2b2的值为________.【91730077】【解析】∵a1＋a2＝1＋4＝5，b22＝1×4＝4，但b2＝1×q2>0，∴b 2＝2，故a 1＋a 2b 2＝52. 【答案】529．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内持续的时间为________小时．【解析】 设t 小时后，B 市处于危险区内，则由余弦定理得(20t)2＋402－2×20t ×40cos 45°≤302.化简得4t 2－82t ＋7≤0，∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝1. 【答案】 110．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为________．【解析】 首先画出线性约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0的可行域(如图阴影部分)，是一个三角形，然后在可行域内平行移动目标函数z ＝3x －y ，当经过x ＋2y ＝4与x －y ＝1的交点(2,1)时，目标函数取得最大值z ＝3×2－1＝5.【答案】 511．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和为________．。

最新苏教版高中数学必修五测试题全套带答案模块综合测评（时间120分钟，满分160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分•请把答案填在题中的横线上）TT 7T1.在£\ABC 中,a,b,c 所对的角分别为C,若则b 等于 ______________________________.2X 丄【解析】 由正弦定理得b =豊晋=话 =©2【答案】^22. ________________________________________________________ 已知等比数列｛a”｝的公比g 为正数，且05应7 = 4必 血=1，贝Uai= _______________ • 【解析】T ｛a”｝成等比数列， ・•.血5二尿, ••- dg 二 4^4 !• •孑=4 ］：・ q = ±2.又 q>0 ,:・q 二 2. ・ °2 1 ・・©二严. 【答案】I3. ________________________________________ 设兀>0,尹>0,下列不等式中等号不成立的是 __________________________________________②（*+叨1+册4；因为毎刁上2 ,故应用不等式时，等号不成立. 【答案】④4. ___________________________________________________ 等差数列仪”｝满足a ；+t^+2<24Q7 = 9,则其前10项之和为 ___________________________【解析】 由 «4 + «7 + 2fl4«7 = 9，可知 04 + ^7 = ±3. . 10（如 + <710） 10（血 + 07）丄仁 • •510 — r\ 一 ° 一 ±13.x 2+ 3 【解析】④中，主壬=归花+：7^眉®x+y24；【答案】±155. __ 已知点A （3, -1）, 5（-1,2）在直线ax+2y~1^0的同侧，则实数a 的取值范围 为__________ •【解析】由题意可知， （3。

模块综合检测(B)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝x ·3n －1－16，则x ＝________.2．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝________.3．在△ABC 中，已知sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C ，则角B 的大小为________．4．关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋bx －2≤0的解集是________．5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为________．6．不等式2x －3x ＋1≤12(x >0)的解为______________．7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 21＝42，记A ＝2a 211－a 9－a 13，则A 的值为________．8．设a >0，b >0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为________．9．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.10．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝12(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，P 与Q 的大小关系是________．11．已知f (x )＝32x －k ·3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围为________．12．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn的最小值为________．13．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则u ＝x 2＋y 2xy的取值范围是________．14．在△ABC 中，A 、B 、C 分别为a 、b 、c 边所对的角．若a 、b 、c 成等差数列，则B 的取值范围是________． 二、解答题15．(14分)记等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，设S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，求S n .16．(14分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若2b ＝a ＋c ，∠B ＝30°，△ABC 的面积为32，求b .17．(14分)已知a 、b 、c 都是实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥a ＋b ＋c 23.。

高中数学学习资料金戈铁骑整理制作模块综合检测卷(测试时间： 120 分钟评论分值：150分)一、选择题 (每题共 10 个小题，每题共 5 分，共 50 分，在每题给出的四个选项中，只有一项切合题目要求 )1．已知 {a n}为等比数列， a4＋a7＝ 2，a5a6＝－ 8，则 a1＋a10＝ (D) A．7 B．5 C．－ 5D．－ 7分析：∵{a n}为等比数列，∴ a4a7＝a5a6＝－ 8.又a4＋a7＝ 2，∴a4＝4，a4＝－ 2，或a7＝ 4.a7＝－ 2当 a4＝4，a7＝－ 2 时， a1＝－ 8， a10＝1，∴ a1＋a10＝－ 7；当 a4＝－ 2，a7＝ 4 时， a10＝－ 8，a1＝1，∴ a1＋a10＝－ 7.综上， a1＋a10＝－ 7.2．某人投资 10 000 万元，假如年利润利率是5% ，按复利计算，5 年后能回收本利和为 (B)A ．10 000×(1＋5×5%)B ． 10 000× (1＋5%)5C ．10 000××（ 1－4）D ．10 000××（ 1－5）1－1－分析：注意与每年投入 10 000 万元差别开来．533．在△ ABC 中，已知 cosA ＝13，sin B ＝5，则 cosC 的值为 (A)1656A.65B.6516 56 16C.65或65D ．－ 65512 3分析： ∵cosA ＝13＞0，∴ sin A ＝13＞sin B ＝5.∴B 为锐角，故 cosB ＝4进而 ＝－ ＋ ＝－5.cosC cos(A B) cos Acos16B ＋ sin Asin B ＝ 65.4．若 a<b<0，d>c>0，则不等式① ad>bc ；②a c >cb ；③ a 2>b 2；④ a－d<b －c 中正确的个数是 (C)A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个分析：①错，②③④正确． 将 a<b<0 转变为－ a>－b>0，可得 (－1 1ad)>(－bc)，即 ad<bc ，故知 ①错；由 a<b<0? a >b ，c>0，故 ②正确；由于函数 y ＝x 2 在(－∞，0)上单一递减，故 ③正确；由 d>c>0，得－d<－c<0，故知 a －d<b －c ，故 ④正确．＋5．设 x ，y ∈R ，且 xy －(x ＋y)＝1，以下结论中正确的选项是 (A)C．x＋y≤( 2＋1)2D．xy≥2 2＋2分析：∵1＋x＋y＝xy≤x＋y 2，∴ (x＋ y)2－4(x＋ y)－4≥0.即 x 2＋y≥2(1＋2)(当 x＝y＝1＋ 2等号建立 )，x＋ y 的最小 2(1＋2)．nπ6．数列 {a n}的通公式a n＝ncos 2，其前n和S n，S2 015等于 (D)A．1 006 B．1 008C．－ 1 006 D．－ 1 008nπ分析：由 a n＝ ncos 2 可得S2 015＝1×0－2×1＋3×0＋ 4×1＋⋯－2 014×1＋2 015×0＝－2＋4－6＋⋯－2 010＋2 012－2 014＝2×503－2 014＝－ 1 008.7．已知方程 x2＋(m＋2)x＋m＋5＝0 有两个正根，数m 的取范是 (D)A．(－∞，－ 2) B．(－∞，－ 4]C．(－5，＋∞ ) D．(－5，－ 4]分析：方程两根正，Δ≥0，－（ m＋2）>0，?－5<m≤－4.m＋5>08．已知－ 1＜a＋b＜3 且 2＜a－b＜4， 2a＋3b 的取范是(D)A. －13，17B. －7，11 2222C. －7，13D. －9，132222分析：用待定系数法可得512a＋3b＝2(a＋b)－2(a－b)，－1＜a＋b＜ 3，－5＜5（a＋b）＜15，2 22由＜－＜?12 a b 4－2＜－2（a－ b）＜－ 1.913两式相加即得－2＜2a＋3b＜2 .9．已知锐角三角形的边长分别是2，3，x，则 x 的取值范围是(B)A．(1，3) B．( 5，13) C．(0， 5) D．( 13，5)分析：由三角形的三个角为锐角，联合余弦定理的推论可知，22＋32－ x2>0，22＋x2－ 32>0，解得 5＜ x2＜13，即 5<x<13.32＋x2－ 22>0，10．已知函数 f(x)＝ax2＋2ax＋ 4(a>0)，若 x1<x2，x1＋x2＝ 0，则(A)A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)＝f(x2)C．f(x1)>f(x2) D．f(x1)与 f(x2)的大小不可以确立分析：函数 f(x)＝ax2＋2ax＋4(a>0)，二次函数的图象张口向上，对称轴为 x＝－ 1，a>0，又∵ x1＋ x2＝0，x1与 x2的中点为 0，x1<x2，∴x2到称的距离大于 x1到称的距离．∴ f(x1)<f(x2)，故 A. 二、填空(本大共 4 小，每小 5 分，共 20 分，把答案填在中横上 )11．(2013 ·新全国卷Ⅰ)已知角△ ABC 的内角 A，B，C 的2分 a，b，c，23cosA＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6， b＝________．分析：先求出角 A 的余弦，再利用余弦定理求解．2＋＝得2＋2－＝，由 23cosA cos 2A 023cosA2cosA 101解得 cosA＝±.51∵A 是角，∴ cosA＝5.又 a2＝b2＋c2－2bccosA，∴49＝b2＋36－ 2×b×6×1 5.13∴b＝5 或 b＝－5 .又∵b＞ 0，∴ b＝5.答案：512． (2013 · 西卷 )察以下等式： 12＝ 1，12－22＝－ 3，12－22＋32＝ 6，12－22＋32－ 42＝－ 10，⋯，照此律，第n 个等式可____________．分析：当 n 偶数， (12－22)＋(32－42＋⋯＋－2－n2]＝)[(n1)－n（n＋1）；2当 n 奇数， (12－22)＋(32－42)＋⋯＋[(n－2)2－(n－1)2]＋n2（n －1）n2n （＋ ）＝－n1.2＋n ＝2答案： 12－22＋ 32－42＋⋯＋ (－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n （ n ＋1）2y ≤1，．若 量 x ， y 足 束条件x ＋y ≥0，＝ － 2y 的最13z xx －y －2≤0，大 ________．分析：作出可行域 (如 )，由 z ＝x － 2y 得 y ＝12x －2z， 当目函数 C(1，－ 1)z 获得最大 ，所以z max ＝1－2×(－1)＝3.答案：314．若b a b ＋m a ＋ na ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0， a ，b ，a ＋m ，b ＋ n 由大到小的 序是．分析：用特别 法或作差比 法都很简单得出答案．a a ＋nb ＋m b答案： b＞b ＋n＞a ＋m＞a三、解答 (本 共 6 小 ，共 80 分．解答 写出文字 明、证明过程或推演步骤 )15．(本小题满分 12 分)等差数列{a n}不是常数列， a5＝ 10，且 a5，a7，a10是某一等比数列{b n}的第 1，3， 5 项．(1)求数列{a n}的第 20 项；(2)求数列{b n}的通项公式．分析：(1)设数列{a n}的公差为 d，则 a5＝10，a7＝10＋2d，a10＝10＋5d.由于等比数列 {b n}的第1、3、5项成等比数列，所以 a72＝ a5a10，即 (10＋2d)2＝10(10＋5d)．解得 d＝，d＝ 0(舍去 )．所以 a20＝47.5.(2)由 (1)知{a n}为各项非负的数列，所以2b3a73q＝b1＝a5＝2.∴q＝±3.又 b1＝a5＝ 10，2－3 n－1∴b n＝b1q n 1＝±10·2，n∈ N* .216．(本小题满分12 分)(2013 北·京卷 )在△ ABC 中，a＝3，b＝26，∠B＝2∠A.(1)求 cosA 的值；(2)求 c 的值．分析： (1)由正弦定理得：3266sin A ＝sin 2A，解得cosA＝3.(2)由＝6? sin A ＝3，又 ∠B ＝2∠ A ，cosA33212 2∴cosB ＝2cosA － 1＝3.∴ sin B ＝ 3 ，sin C ＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝ 3 1 6 2 23 ×3＋3 × 3＝59 3.asin C∴c ＝ sin A ＝5.17．(本小题满分 14 分)已知对于 x 的不等式 ax 2＋2x ＋c ＞0 的解集为 －31，12 ，求－ cx 2＋2x －a ＞0 的解集．21 11 1分析：由 ax ＋2x ＋c ＞ 0 的解集为 －3，2 知 a ＜0，－3和2是方21 1 21 1 c程 ax ＋2x ＋c ＝0 的两个根，由韦达定理－ 3＋2＝－a ，－ 3×2＝a ，解得 a ＝－ 12，c ＝2，∴－ cx 2＋2x －a ＞0，即－ 2x 2＋2x ＋12＞0 亦即x 2－x －6＜0.其解集为 (－2，3)．18． (本小题满分 14 分 )某营养师要为某个小孩预定午饭和晚餐．已知一个单位的午饭含12 个单位的碳水化合物、 6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C ；一个单位的晚饭含 8 个单位的碳水化合物、 6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.此外，该小孩这两餐需要的营养中起码含64 个单位的碳水化合物、42 个单位的蛋白质和54 个单位的维生素C.假如一个单位的午饭、晚饭的花费分别是元和 4 元，那么要知足上述的营养要求，而且花销最少，应该为该小孩分别预定多少个单位的午饭和晚饭？分析：方法一设需要预定知足要求的午饭和晚饭分别为 x 个单位和y 个单位，所花的花费为 z 元，则依题意得： z＝＋4y，且 x，y知足x≥0，y≥0，x≥ 0，y≥0，12x＋8y≥64，3x＋2y≥16，即6x＋6y≥42，x＋y≥7，6x＋10y≥54，3x＋5y≥27.z在可行域的四个极点 A(9， 0)，B(4， 3)，C(2，5)，D(0，8)处的值分别是z A＝×9＋4×0＝，z B＝×4＋4×3＝22，z C＝×2＋4×5＝25，z D＝×0＋ 4×8＝32.比较之， z B最小，所以，应该为该小孩预定 4 个单位的午饭和3个单位的晚饭，便可知足要求．方法二设需要预定知足要求的午饭和晚饭分别为x 个单位和 y 个单位，所花的花费为 z 元，则依题意得 z＝＋4y，且 x，y 知足x≥0，y≥0，x≥ 0，y≥0，12x＋8y≥64，3x＋2y≥16，即6x＋6y≥42，x＋y≥7，6x＋10y≥54，3x＋5y≥27.作出平行域以以下图所示．让目标函数表示的直线＋4y＝z 在可行域上平移，由此可知z＝＋4y 在 B(4，3)处获得最小值．所以，应该为该小孩预定 4 个单位的午饭和 3 个单位的晚饭，就可知足要求．19．(本小题满分 14 分)如右图，某观察站 C 在城 A 南偏西 20°的方向上，由 A 城出发有一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得距 C 为31 千米的公路上 B 处有一人正沿公路向 A 城走去，走了20 千米后，抵达 D 处，此时 C、D 间距离为 21 千米，问这人还需走多少千米抵达 A 城？分析：依据题意，可得以下图，此中 BC ＝ 31 千米， BD ＝ 20 千米， CD ＝21 千米，∠CAD ＝60 ° .设∠ACD ＝α，∠ CDB ＝β.在△CDB 中，由余弦定理得：cos β＝ CD 2＋BD 2－BC 2 212＋202－312 12CD · ＝ × × ＝－ 7，BD 2 21 202 4 3sin β＝ 1－cos β＝ 7 .sin α＝sin(180°－ ∠CAD －∠CDA)＝sin(180°－ 60°－ 180°＋ β)＝ s in(β－60°)＝sin βcos 60°－ cos βsin 60°4 3 1 1 3＝ 7 ×2＋7×25 3＝ 14 .在△ACD 中，由正弦定理得：CD 215 3AD ＝sin A ·sin α＝ °× 14 ＝ 15.sin 60这人得走 15 千米抵达 A 城．20．(本小分 14 分)数列 {a n}中， a1＝8，a4＝2 且足 a n＋2＝2a n＋1－a n， n∈N *.(1)求数列 {a n}的通公式；(2)S n ＝|a1＋ 2 ＋⋯＋n，求S n；||a ||a |(3)b n ＝1∈ *，T n＝b1＋b2＋⋯＋ b n∈*，是n（12－a n）(n N )(n N )否存在最大的整数m，使得随意 n∈N*，均有 T n＞m建立？若存32在，求出 m 的；若不存在，明原因．分析：(1)由 a n＋2＝2a n＋1－a n? a n＋2－ a n＋1＝a n＋1－a n，a4－a1可知 {a n}成等差数列， d＝＝－2，∴a n＝8＋ (n－1) ·(－2)＝ 10－ 2n(n∈N)．(2)由 a n＝10－2n≥0 得 n≤5，∴当 n≤5 ， S n＝－ n2＋9n.当 n＞5 ，S n＝|a1|＋ |a2|＋⋯＋|a n|＝a1＋a2＋⋯＋a5－a6－a7－⋯－a n＝2(a1＋a2＋⋯＋a5)－(a1＋a2＋⋯＋ a n)＝n2－9n＋40.－n2＋9n，1≤n≤5，故 S n＝n2－ 9n＋40，n≥5.11 1 11(3)b n＝n（12－a n）＝n（2n＋2）＝2 n－n＋1.∴T n＝b1＋ b2＋⋯＋b n1 1 1 1 1 1＝2 1－2 ＋ 2－3 ＋ 3－ 4 ＋⋯＋1 1 1 1－ －n ＋ n － ＋ 1 n 1n 1 1＝2 1－n ＋1n ）＞ n －1 ＝ （ ＋ 2n ＝T n －1＞T n － 2＞⋯T 1. 2 n 1∴要使 m T n ＞32 建立，需 m 1 32＜ T 1＝4恒建立，即 m ＜ 8(m ∈ Z)．故合适条件的 m 的最大。

模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－1,2)，则a ＋b 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0D ．－2C [由已知得－b a ＝－1＋2，2a ＝－1×2，a <0，解得a ＝－1，b ＝1，故a ＋b ＝0，故选C.]2．已知一个等差数列{a n }的第8,9,10项分别为b －1，b ＋1,2b ＋3，则通项a n 等于( )A ．2n －5B ．2n －9C ．2n －13D ．2n －17D [依题意得2(b ＋1)＝b －1＋2b ＋3，解得b ＝0，∴d ＝2，a 8＝－1，a n ＝a 8＋(n －8)d ＝－1＋(n －8)×2＝2n －17.]3．在△ABC 中，已知sin A cos B ＝sin C ＝cos C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形C [由sin A cos B ＝sin C 及正、余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ，可得b 2＋c 2＝a 2，即A ＝90°，由sin C ＝cos C 得C ＝45°.故△ABC 为等腰直角三角形．]4．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝450，则a 4＋a 8的值为( ) A ．45 B ．75 C ．180D ．300C [a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝(a 4＋a 8)＋(a 5＋a 7)＋a 6＝5a 6＝450，∴a 6＝90. ∴a 4＋a 8＝2a 6＝2×90＝180.]5．下列不等式中，恒成立的是( ) A ．x ＋1x ≥2(x ≠0) B ．x 2－2x －3>0 C.2x 2－x ＋2x 2－x ＋1>1 D ．log 12(x 2＋1)≥0C [当x <0时，x ＋1x ≥2不成立；当－1≤x ≤3时，不等式x 2－2x －3>0不成立；因为x 2＋1≥1，则log 12(x 2＋1)≤log 121＝0，故D 项不成立；由于x 2－x ＋1>0，不等式等价于2x 2－x ＋2>x 2－x ＋1，即x 2＋1>0，故C 项正确．]6．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92D ．5C [∵2y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋4a b ＋b a ，又∵a >0，b >0，∴2y ≥5＋24a b ·ba ＝9，∴y min ＝92，当且仅当b ＝2a 时“＝”成立．]7．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B ，则B ＝( )A.π6B.π4C.π3D.3π4C [因为c －bc －a ＝sin A sin C ＋sin B ，所以c －b c －a ＝ac ＋b ，即(c －b )·(c ＋b )＝a (c －a )，所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以cos B ＝12，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.]8．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( )A.1210B.129C.110D.15D [当n ≥2时，由已知得1－a n a n －1＝a na n ＋1－1，∴2＝a na n －1＋a n a n ＋1，∴2a n ＝1a n －1＋1a n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，又∵a 1＝2，a 2＝1，∴1a 1＝12，1a 2＝1，d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a n＝n 2，∴a n ＝2n ，∴a 10＝210＝15.]9．若关于x 的不等式x 2＋ax －a －2>0和2x 2＋2(2a ＋1)x ＋4a 2＋1>0的解集依次为A 和B ，那么，使得A ＝R 和B ＝R 至少有一个成立的实常数a ( )A ．可以是R 中的任何一个数B ．有无穷多个，但并不是R 中所有的实数都能满足要求C ．有且仅有一个D ．不存在B [若A ＝R ，则Δ1＝a 2＋4(a ＋2)<0成立，显然是不可能的，即这样的a ∈∅；若B ＝R ，则Δ2＝4(2a ＋1)2－8(4a 2＋1)<0成立，即(2a －1)2>0，因而存在无穷多个实常数a ，当a ＝12时，上述不等式不成立，从而选B.]10．已知不等式x 2－ax ＋a －2＞0的解集为(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，其中x 1＜0＜x 2，则x 1＋x 2＋2x 1＋2x 2的最大值为( )A.32 B ．0 C ．2D ．－32B [不等式x 2－ax ＋a －2＞0的解集为(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，其中x 1＜0＜x 2，所以x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝a －2＜0，所以x 1＋x 2＋2x 1＋2x 2＝(x 1＋x 2)＋2(x 1＋x 2)x 1x 2＝a ＋2a a －2＝a ＋2a －4＋4a －2＝a ＋2＋4a －2＝(a －2)＋4a －2＋4；又a －2＜0，所以－(a －2)＞0， 所以－(a －2)－4a －2≥2－(a －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a －2＝4， 当且仅当－(a －2)＝－4a －2，即a ＝0时，取“＝”．所以(a －2)＋4a －2＋4≤－4＋4＝0， 即x 1＋x 2＋2x 1＋2x 2的最大值为0.]11．若直线ax ＋2by －2＝0(a ，b ∈R ＋)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b 的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2D [∵直线平分圆， ∴直线过圆心(2,1)，即2a ＋2b －2＝0，a ＋b ＝1，1a ＋2b ＝a ＋b a ＋2a ＋2b b ＝3＋b a ＋2ab ≥3＋2 2.] 12．如图所示，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，且货轮与灯塔S 相距20海里，货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(2＋6)海里/小时B ．20(6－2)海里 /小时C ．20(3＋6)海里/小时D ．20(6－3)海里/小时B [设货轮的速度为v 海里/小时，∠NMS ＝45°，∠MNS ＝105°，则∠MSN ＝30°，由MS ＝20，MN ＝v 2，则v2sin 30°＝20sin 105°，v ＝20sin 105°＝20(6－2)．]二、填空题(每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知x >1，y >1，且ln x,1，ln y 成等差数列，则x ＋y 的最小值为________． 2e [由已知ln x ＋ln y ＝2， ∴xy ＝e 2，x ＋y ≥2xy ＝2e.当且仅当x ＝y ＝e 时取“＝”，∴x ＋y 的最小值为2e.]14．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N ＋，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．110 [设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ＝16，S 20＝20a 1＋20×192d ＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝162a 1＋19d ＝2，解得d ＝－2，a 1＝20.∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝200－90＝110.]15．在△ABC 中，已知|AB →|＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝3，则AB →·AC →的值为________． 2或－2 [∵S △ABC ＝12|AB →||AC →|·sin A ＝12×4×1×sin A ＝3，∴sin A ＝32.∴cos A ＝12或－12. ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ， ∴AB →·AC →＝2或－2.]16．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．20 [设一年的总费用为y 万元，则y ＝4×400x ＋4x ＝1 600x ＋4x ≥2 1 600x ·4x ＝160.当且仅当1 600x ＝4x ，即x ＝20时，等号成立．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，cos A ＝－513，cos B ＝35. (1)求sin C 的值；(2)设BC ＝5，求△ABC 的面积．[解] (1)由cos A ＝－513，得sin A ＝1213，由cos B ＝35，得sin B ＝45. ∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝1213×35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×45＝1665.(2)由正弦定理得AC ＝BC ·sin B sin A ＝5×451213＝133.∴△ABC 的面积S ＝12·BC ·AC ·sin C ＝12×5×133×1665＝83.18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.[解] 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1. 由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.① (1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝3，q ＝0，(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.所以b n ＝2n －1.(2)∵b 1＝1，T 3＝21，∴1＋q ＋q 2＝21. 解得q ＝4或q ＝－5.当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6； 当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21.19．(本小题满分12分)已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． [解] (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可化为a 2－6a －3＜0， 解得3－23＜a ＜3＋2 3.∴原不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}．(2)f (x )＞b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于⎩⎨⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝－3.20．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长． [解] (1)由已知及正弦定理得， 2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 2cos C sin(A ＋B )＝sin C . 故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3. (2)由已知，得12ab sin C ＝332. 又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7. 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25.∴a ＋b ＝5. 所以△ABC 的周长为5＋7.21．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． 又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15，∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ， 则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )． 又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列， ∴a n －3n ＝2×(－2)n －1， 即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．22．(本小题满分12分)某学校为了解决教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A (m 2)的宿舍楼．已知土地的征用费为2 388元/m 2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍．经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/m 2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m 2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用．(总费用为建筑费用和征地费用之和)[解] 设楼高为n 层，总费用为y 元，则征地面积为2.5A n m 2，征地费用为5 970An 元，楼层建筑费用为[445＋445＋(445＋30)＋(445＋30×2)＋…＋445＋30×(n －2)]·A n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15n ＋30n ＋400A 元，从而y ＝5 970A n ＋15nA ＋30A n ＋400A ＝(15n ＋6 000n ＋400)A ≥1 000A (元)．当且仅当15n ＝6 000n ，即n ＝20(层)时，总费用y 最少．故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时，费用最少，最少总费用为1 000A 元．。

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）高中新课标数学必修(5)综合测试（一）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．下列四个数中，哪一个是数列{(1)n n +}中的一项 （ A ）A ．380B ． 39C ． 35D ． 232．已知数列{}n a 满足12a =，110n n a a +-+=()n N *∈ ，则此数列的通项n a 等于 ( D )A ．21n + B ．1n + C ．1n - D ．3n -3．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 （ C ） A ．170 B 。

190C 。

210D 。

2304．在等差数列{}n a 中，公差为d ，且1054S S =，则1a d等于 （ C ） A.14B. 8C. 12D. 4 5．在ΔABC 中，BAba tan tan 22=，则ΔABC 是（ D ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形6．若数列{}n a 满足,11=a nn a a n n 11+=+，则此数列是 （ A ） A ． 等差数列 B ． 等比数列C ． 既是等差数列又是等比数列D ． 既非等差数列又非等比数列7．设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =，则95SS 的值为 （ A ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．218．各项为正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠，且2311,,2a a a 成等差数列，则3445a a a a ++的值是 （ B ） A.512+ B. 512- C. 152- D. 512+或512-9．将棱长相等的正方体按右图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3 层，…，则第6层正方体的个数是 （ B ） A ．28 B ．21 C ．15 D ．1110．某人坚持早晨在一条弃用的旧公路上步行锻炼身体，同时数数训练头脑，他先从某地向前走2步后后退1步，再向前走4步后后退2步，··· ，再向前走2n步后后退n 步，··· 。

科学就医安全用药知识讲座小结科学就医安全用药知识讲座小结一、科学就医科学就医是保障人们健康的基本保障，科学的就医方式包括对疾病的科学诊断、合理的治疗方案和科学的用药。

在就医过程中，要选择正规的医院和有资质的医生进行诊断和治疗，不要盲目相信一些偏方或者没有医学依据的治疗方法。

二、安全用药安全用药是保障治疗效果和减少药物不良反应的关键环节。

在医生的指导下使用药物，按照医嘱来服药，严格控制用药的剂量和频次。

对于药物的储存和保存也要做好相应的工作，避免药品受潮或者过期。

药物治疗过程中要定期复诊，及时向医生反馈用药效果以及药物可能出现的不良反应。

三、知识讲座小结在此次就医安全用药知识讲座中，医生强调了科学就医的重要性，同时提出了安全用药的注意事项。

医生对于常见疾病的早期症状、就医途径等方面进行了全面的介绍，强调了对疾病的早期预防和及时治疗的重要性。

医生重点讲解了药物的正确使用方法和常见不良反应，提醒听众在用药过程中要严格按照医嘱进行用药，并定期复诊。

医生还针对一些常见的误区和不良用药行为进行了详细讲解，提醒大家不要盲目听信一些不科学、不合理的用药观念。

四、个人观点和理解通过此次知识讲座，我深刻地意识到了科学就医和安全用药的重要性。

在日常生活中，我们要提高预防意识，注意身体健康，一旦出现异常症状要及时就医。

在用药过程中，要严格按照医生的指导进行用药，避免盲目自行更改用药方案或者减少用药剂量。

也要养成良好的药品储存习惯，避免药品受潮或者过期。

科学的就医和安全的用药是保障我们身体健康的基础，我们要时刻关注自己的身体健康，保持科学的生活方式和用药态度。

总结通过本次知识讲座，我深刻认识到了科学就医和安全用药对于保障人们健康的重要性。

科学就医包括对疾病的科学诊断、合理的治疗方案和科学的用药，要选择正规的医院和有资质的医生进行诊断和治疗。

安全用药是保障治疗效果和减少药物不良反应的重要环节，要在医生的指导下使用药物，严格控制用药的剂量和频次。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作章末综合测评(一)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝ .【导学号：92862026】【解析】 C ＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ，即6sin 60°＝AC sin 45°，解得AC ＝2.【答案】 22．在△ABC 中，已知c ＝6，a ＝4，B ＝120°，则b ＝ . 【解析】 由b 2＝16＋36－2×4×6cos 120°， 得b ＝219. 【答案】 2193．在△ABC 中，a ＝4，b ＝43，A ＝30°，则B ＝ . 【解析】 sin B ＝b sin A a ＝43sin 30°4＝32.又a <b ，故B >A ，∴B ＝60°或120°. 【答案】 60°或120°4．在△ABC 中，化简b cos C ＋c cos B ＝ .【解析】 利用余弦定理，得b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝a .【答案】 a5．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos C ＝ . 【解析】 ∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ， ∴a ∶b ∶c ＝2∶3∶4. 设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，则 cos C ＝4k 2＋9k 2－16k 22×2k ×3k ＝－14.【答案】 －146．在△ABC 中，若A ＝60°，b ＝16，S △ABC ＝2203，则a ＝ . 【解析】 由12bc sin A ＝2203，可知c ＝55.又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2 401， ∴a ＝49. 【答案】 497．在△ABC 中，若sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是 ． 【解析】 ∵c sin C ＝a sin A ＝403， ∴c ＝403sin C ，∴0<c ≤403. 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，4038．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是 ．(填序号)【导学号：92862027】(1)a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解； (2)b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解； (3)a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解； (4)a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解． 【解析】 (1)中，∵a sin A ＝bsin B ， ∴sin B ＝16×sin 30°8＝1，∴B ＝90°，即只有一解； (2)中，sin C ＝20sin 60°18＝539，且c >b ，∴C >B ，故有两解；(3)中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝25－4＝21，即有解，故(1)(2)(3)都不正确．所以答案为(4)．【答案】 (4)9．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝ .【解析】 化简23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos A ＝15.由余弦定理，知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入数据解方程，得b ＝5.【答案】 5 10．在△ABC 中，若acos A 2＝b cos B 2＝c cos C 2，那么△ABC 是 三角形． 【解析】 由正弦定理得，sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin Ccos C 2， ∴sin A 2＝sin B 2＝sin C 2.∵0<A 2，B 2，C 2<π2，∴A 2＝B 2＝C2，即A ＝B ＝C ，∴△ABC 是等边三角形． 【答案】 等边11．如图1所示，在△ABC 中，∠ACB 的平分线CD 交AB 于D ，AC →的模为2，BC →的模为3，AD →的模为1，那么DB →的模为．图1【解析】 由三角形内角平分线的性质得|AC →|∶|BC →|＝|AD →|∶|DB →|， 故|DB →|＝32. 【答案】 3212．如图2所示，在山底测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000 m 至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为m.图2【解析】 由题可知，∠SAB ＝45°－30°＝15°，又∠SBD ＝15°，∴∠ABS ＝45°－15°＝30°，AS ＝1 000.由正弦定理可知BS sin 15°＝1 000sin 30°，∴BS ＝2 000sin 15°，∴BD ＝BS ·sin 75°＝2 000sin 15°cos 15°＝1 000sin 30°＝500，且DC ＝1 000sin 30°＝500，∴BC ＝DC ＋BD ＝1 000 m.【答案】 1 00013．已知角A ，B ，C 是三角形ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其对边长，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23sin A 2，cos 2A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，－2，m ⊥n ，且a ＝2，cos B ＝33，则b ＝ .【解析】 ∵m·n ＝0，∴23sin A 2cos A 2－2cos 2A 2＝0，∵cos A2≠0， ∴tan A 2＝33，∴A2＝30°，∴A ＝60°， ∵a sin A ＝bsin B ，sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63， ∴b ＝a sin B sin A ＝2×6332＝43 2.【答案】 43 214．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b a ＋ab ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B 的值是 ．【解析】 ∵b a ＋ab ＝6cos C ， ∴a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab ， 即a 2＋b 2＝32c 2， ∴tan C tan A ＋tan C tan B ＝tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A sin A ＋cos B sin B＝sin 2Ccos C sin A sin B ＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝4. 【答案】 4二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，求角A 的大小及b sin Bc .【解】 由b 2＝ac 及a 2－c 2＝ac －bc ，得b 2＋c 2－a 2＝bc . 在△ABC 中，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. ∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°. 在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin Aa .又∵b 2＝ac ，A ＝60°， ∴b sin B c ＝b 2sin A ac ＝sin 60°＝32.16．(本小题满分14分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值． 【解】 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π， ∴sin B ＝1－cos 2B ＝45. 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ， sin A ＝a sin B b ＝2×454＝25. (2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4， ∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17. 17．(本小题满分14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B＝2c －a b .(1)求sin Csin A 的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长． 【解】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ， 则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B＝2sin C －sin A sin B ，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin Asin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A . 因此sin Csin A ＝2.(2)由sin Csin A ＝2，得c ＝2a ，由余弦定理及cos B ＝14得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2， 所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，从而a ＝1， 因此b ＝2.18．(本小题满分16分)在△ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状.【导学号：92862028】【解】 (1)由2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ， ∴2bc cos A ＝－bc ，∴cos A ＝－12，又A ∈(0，π)， ∴A ＝2π3.(2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， 又sin B ＋sin C ＝1，得sin B ＝sin C ＝12. 又B ，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰三角形．19．(本小题满分16分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA→在BC →方向上的投影．【解】 (1)由cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35. 又0<A <π，则sin A ＝45.(2)由正弦定理，有a sin A ＝bsin B ， 所以sin B ＝b sin A a ＝22.由题知a >b ，则A >B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.20．(本小题满分16分)如图3，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.图3(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？【解】(1)在△ABC中，因为cos A＝1213，cos C＝35，所以sin A＝513，sin C＝45.从而sin B＝sin[]π－(A＋C)＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365.由ABsin C＝ACsin B，得AB＝ACsin B×sin C＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB的长为1 040 m.(2)设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d m，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×12 13＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤1 040130，即0≤t≤8，故当t＝3537min时，甲、乙两游客距离最短．(3)由BCsin A＝ACsin B，得BC＝ACsin B×sin A＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤500v－71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．。

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）章末综合测评(三)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．若不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，那么a＋b＝.【解析】因为x2－2x－3<0的解集为A＝{x|－1<x<3}，不等式x2＋x－6<0的解集为B＝{x|－3<x<2}，不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B＝{x|－1<x<2}，所以x2＋ax＋b＝0的解为x1＝－1，x2＝2.由根与系数的关系，得a＝－1，b＝－2，则a＋b＝－3.【答案】－32．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．【解析】设生产产品A x件，产品B y件，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．【答案】 216 0003．利用基本不等式求最值，下列运用正确的是 ． ①y ＝|x |2＋4|x |≥2|x |2·4|x |＝4|x |≥0；②y ＝sin x ＋4sin x ≥2sin x ·4sin x ＝4(x 为锐角)；③已知ab ≠0，a b ＋ba ≥2a b ·ba＝2； ④y ＝3x ＋43x ≥23x ·43x ＝4.【解析】 ①错，右侧不为定值；②错，sin x ＝4sin x ，则sin x ＝2>1；③错，a b 与ba 为负时不成立．【答案】 ④4．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b .这两年的平均增长率为x ，则x 与a ＋b2的大小关系为 .【导学号：92862106】【解析】 由题意可知A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )≤A ⎝⎛⎭⎪⎫2＋a ＋b 22，∴x ≤a ＋b 2. 【答案】 x ≤a ＋b25．若0≤x ≤1,0≤y ≤2，且2y －x ≥1，则z ＝2y －2x ＋4的最小值为 ． 【解析】 由已知作出可行域(如图)，由z ＝2y －2x ＋4，得y ＝x －2＋z 2， 当x ＝1，y ＝1时，z min ＝4. 【答案】 46．设M ＝a ＋1a －2(2<a <3)，N ＝，x ∈R ，则M ，N 的大小关系为 ．【解析】 M ＝a －2＋1a －2＋2≥2＋2＝4， 此时a －2＝1，a ＝3， 而2<a <3，则M >4，∴M >N . 【答案】 M >N7．在如图1所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值是 ．图1【解析】 若最优解有无数个，则y ＝－1a x ＋za 与其中一条边平行，而三边的斜率分别为13，－1,0，与－1a 对照可知a ＝－3或1，又因z ＝x ＋ay 取得最小值，则a ＝－3.【答案】 －38．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是 ．(1)6.5 m ；(2)6.8 m ；(3)7 m ；(4)7.2 m.【解析】 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故答案为(3)．【答案】 (3)9．方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0的两根都大于2，则m 的取值范围是 ．【解析】 令f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m ， 要使f (x )＝0的两根都大于2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －2)2－4(5－m )≥0，f (2)>0，－m －22>2，解得⎩⎨⎧m 2≥16，m >－5，⇒－5<m ≤－4，m <－2故答案为(－5，－4]． 【答案】 (－5，－4]10．已知等比数列{a n }各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝a 2＋a 92，Q ＝a 4a 7，则P 与Q 的大小关系是 ．【解析】 ∵{a n }是等比数列， ∴a 2·a 9＝a 4·a 7， ∴a 2＋a 92≥a 2a 9＝a 4a 7.又q ≠1，∴a 2≠a 9， ∴a 2＋a 92>a 4a 7，∴P >Q . 【答案】 P >Q11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是 ．【解析】 f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.【答案】 (－1,3)12．已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值为 ．【解析】 由题意知y ＝x ＋3z 2，所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz＝x 2＋9z 24xz ＋32≥29x 2z 24xz＋32＝32＋32＝3，当且仅当x 2＝9z 2时等号成立， 所以y 2xz 的最小值为3. 【答案】 313．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么不等式f (x ＋2)<5的解集是 .【导学号：92862107】【解析】 因为f (x )为偶函数，所以f (|x ＋2|)＝f (x ＋2)， 则f (x ＋2)<5可化为f (|x ＋2|)<5， 即|x ＋2|2－4|x ＋2|<5， (|x ＋2|＋1)(|x ＋2|－5)<0，所以|x ＋2|<5，解得－7<x <3，所以不等式f (x ＋2)<5的解集是(－7,3)． 【答案】 (－7,3)14．设m >1，在约束条件⎩⎨⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋5y 的最大值为4，则m 的值为 ．【解析】 不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，把目标函数化为y ＝－15x ＋z 5，显然当y ＝－15x ＋z5过点A 时取到最大值．此时z ＝4，即y ＝－15x ＋45.由⎩⎨⎧x ＋5y ＝4，y ＝x ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23.把A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23代入y ＝mx 得，23m ＝23，∴m ＝1. 【答案】 1二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)解关于x 的不等式：x －ax －a 2<0(a ∈R )． 【解】 原不等式等价于(x －a )(x －a 2)<0. (1)当a ＝0时，原不等式为x 2<0， ∴x ∈∅.(2)当a ＝1时，原不等式为(x －1)2<0， ∴x ∈∅.(3)当0<a <1时，a >a 2，∴原不等式的解集为{x |a 2<x <a }． (4)当a <0或a >1时，a 2>a ， ∴原不等式的解集为{x |a <x <a 2}．综上，当a ＝0或a ＝1时，不等式解集为∅； 当0<a <1时，不等式解集为{x |a 2<x <a }； 当a <0或a >1时，不等式解集为{x |a <x <a 2}．16．(本小题满分14分)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)． (1)若不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集是R ，求k 的取值范围．【解】 (1)因为不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，所以－3，－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根且k <0.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧(－3)×(－2)＝6，(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.(2)因为不等式的解集为R ，所以⎩⎨⎧k <0，Δ＝4－4k ·6k <0，即⎩⎨⎧k <0，k >66或k <－66，所以k <－66.即k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－66.17．(本小题满分14分)画出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？ (3)求z ＝x －2y 的最大值．【解】 (1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集点，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，3，y ∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－52≤x ≤3，且x ∈Z ，当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点；当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点；当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点；当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点；当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点；当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点．所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．(3)平移直线y＝12x－z2，所以当直线过点()3，－3时z值最大．所以zmax＝3－2×(－3)＝9.18．(本小题满分16分)在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin B sin C，求tan A tan B tan C的最小值.【导学号：92862108】【解】在锐角三角形ABC中，∵sin A＝2sin B sin C，∴sin(B＋C)＝2sin B sin C，∴sin B cos C＋cos B sin C＝2sin B sin C，等号两边同除以cos B cos C，得tan B＋tan C＝2tan B tan C.∴tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝tan B＋tan Ctan B tan C－1＝2tan B tan C tan B tan C－1.①∵A，B，C均为锐角，∴tan B tan C－1>0，∴tan B tan C>1.由①得tan B tan C＝tan A tan A－2.又由tan B tan C>1得tan Atan A－2>1，∴tan A>2.∴tan A tan B tan C＝tan2A tan A－2＝(tan A－2)2＋4(tan A－2)＋4tan A－2＝(tan A－2)＋4tan A－2＋4≥24＋4＝8，当且仅当tan A－2＝4tan A－2，即tan A＝4时取得等号．故tan A tan B tan C的最小值为8.19．(本小题满分16分)规定：max(a，b，c)与min(a，b，c)分别表示a，b，c中的最大数与最小数，若正系数二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，试证：(1)max(a，b，c)≥49f(1)；(2)min(a ，b ，c )≤14f (1)．【证明】 由题意知a ，b ，c >0，f (1)＝a ＋b ＋c ，Δ＝b 2－4ac ≥0. (1)若b ≥49f (1)，结论显然成立； 下面证明当b <49f (1)时，结论也成立．记f (1)＝a ＋b ＋c ＝d .，由b 2－4ac ≥0，可知ac ≤b 24<481d 2，而a ＋c ＝d －b >59d ，所以a 2＋481d 2≥a 2＋ac ＝a (a ＋c )>59ad ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a －19d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －49d >0，解得a <19d 或 a >49d .若a <19d ，则a ＋c >59d ，c >49d . 因此，必有a >49f (1)或b ≥49f (1)或 c >49f (1)，于是max(a ，b ，c )≥49f (1)． (2)若a ≤14f (1)，结论显然成立；下面证明当a >14f (1)时，结论也成立． 因为b ＋c ＝d －a <34d 且b 2≥4ac >cd ， 所以c ＋cd <c ＋b <34d ， 整理为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32d ⎝ ⎛⎭⎪⎫c －12d <0，解得c <14d .因此，必有a ≤14f (1)或c <14f (1)，于是min(a ，b ，c )≤14f (1)．20．(本小题满分16分)某个集团公司下属的甲、乙两个企业在2016年1月的产值都为a 万元，甲企业每个月的产值与前一个月相比增加的产值相等，乙企业每个月的产值与前一个月相比增加的百分数相等，到2017年1月两个企业的产值再次相等．(1)试比较2016年7月甲、乙两个企业产值的大小，并说明理由． (2)甲企业为了提高产能，决定投入3.2万元买台仪器，并且从2017年2月1日起投入使用．从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910元，(n ∈N *)，求前n 天这台仪器的日平均耗资(含仪器的购置费)，并求日平均耗资最少时使用的天数？【解】 (1)设从2016年1月到2017年1月甲企业每个月的产值分别为a 1，a 2，a 3，…，a 13，乙企业每个月的产值分别为b 1，b 2，…，b 13，由题意{a n }成等差数列，{b n }成等比数列，所以a 7＝12(a 1＋a 13)，b 7＝b 1·b 13，因为a 1＝b 1，a 13＝b 13，从而a 7＝12(a 1＋a 13)>a 1·a 13＝b 1·b 13＝b 7，所以到7月份甲企业的产值比乙企业的产值要大． (2)设一共使用了n天，n天的平均耗资P (n )＝32 000＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4910＋2＋4910＋3＋4910＋…＋n ＋4910n＝32 000＋49n 10＋n (n ＋1)20n＝32 000n ＋n 20＋9920≥232 000n ×n 20＋9920＝1 69920(元)，当且仅当32 000n ＝n20时，取得最小值，此时n ＝800，即日平均耗资最少时使用了800天．。