2018年普通高等学校招生全国统一考试 数学 (浙江卷) 精编版(含答案)

2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则=U A ð A ．∅B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}2．双曲线221 3=x y -的焦点坐标是A ．(−2，0)，(2，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，−2)，(0，2)D ．(0，−2)，(0，2)3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是A ．2B ．4C ．6D ．84．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i5．函数y =||2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．6．已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件侧视图俯视图正视图22117．设0<p <1，随机变量ξ的分布列是ξ 012P12p- 12 2p 则当p 在（0，1）内增大时， A ．D （ξ）减小B ．D （ξ）增大C ．D （ξ）先减小后增大D ．D （ξ）先增大后减小 8．已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −C 的平面角为θ3，则 A ．θ1≤θ2≤θ3B ．θ3≤θ2≤θ1C ．θ1≤θ3≤θ2D ．θ2≤θ3≤θ19．已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A ．3−1B ．3+1C ．2D ．2−310．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则 A ．1324,a a a a <<B ．1324,a a a a ><C ．1324,a a a a <>D ．1324,a a a a >>非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：若事件A，B互斥，则若事件A，B相互独立，则若事件A在一次试验中发生的概率是p，则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率台体的体积公式其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高柱体的体积公式其中表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式其中表示锥体的底面积，表示锥体的高球的表面积公式球的体积公式其中表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则A. B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5}【答案】C【解析】分析:根据补集的定义可得结果.详解：因为全集，，所以根据补集的定义得,故选C.点睛：若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．2. 双曲线的焦点坐标是A. (−，0)，(，0)B. (−2，0)，(2，0)C. (0，−)，(0，)D. (0，−2)，(0，2)【答案】B【解析】分析:根据双曲线方程确定焦点位置，再根据求焦点坐标.详解：因为双曲线方程为，所以焦点坐标可设为，因为，所以焦点坐标为，选B.点睛：由双曲线方程可得焦点坐标为，顶点坐标为，渐近线方程为.3. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】分析:先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.详解：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为选C.点睛：先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等.4. 复数(i为虚数单位)的共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i【答案】B【解析】分析:先分母实数化化简复数，再根据共轭复数的定义确定结果.详解：，∴共轭复数为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.5. 函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B; 因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．6. 已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析:根据线面平行的判定定理得充分性成立，而必要性显然不成立.详解：因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．7. 设0<p<1，随机变量ξ的分布列是ξ0 1 2P则当p在（0，1）内增大时，A. D（ξ）减小B. D（ξ）增大C. D（ξ）先减小后增大D. D（ξ）先增大后减小【答案】D【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.详解：，，，∴先增后减,因此选D.点睛：8. 已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则A. θ1≤θ2≤θ3B. θ3≤θ2≤θ1C. θ1≤θ3≤θ2D. θ2≤θ3≤θ1【答案】D【解析】分析:分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.详解：设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过O作ON垂直EF于N，连接SO，SN，OM，则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB，因此从而因为，所以即，选D.点睛：线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.9. 已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是A. −1B. +1C. 2D. 2−【答案】A【解析】分析:先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.详解：设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.10. 已知成等比数列，且．若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.详解：令则，令得，所以当时，，当时，，因此，若公比，则，不合题意；若公比，则但，即，不合题意；因此，，选B.点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：互斥，则 相互独立，则分别表示台体的上、下底面积，台体的高柱体的体积公式表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式表示锥体的底面积，表示锥体的高球的体积公式其中表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则A. B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5}【答案】C【解析】分析:根据补集的定义可得结果.详解：因为全集，，所以根据补集的定义得,故选C.点睛：若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．2. 双曲线的焦点坐标是A. (−，0)，(，0)B. (−2，0)，(2，0)C. (0，−)，(0，)D. (0，−2)，(0，2)【答案】B【解析】分析:根据双曲线方程确定焦点位置，再根据求焦点坐标.详解：因为双曲线方程为，所以焦点坐标可设为，因为，所以焦点坐标为，选B.点睛：由双曲线方程可得焦点坐标为，顶点坐标为，渐近线方程为.3. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】分析:先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.详解：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为选C.点睛：先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等.4. 复数(i为虚数单位)的共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i【答案】B【解析】分析:先分母实数化化简复数，再根据共轭复数的定义确定结果.详解：，∴共轭复数为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.5. 函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．6. 已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析:根据线面平行的判定定理得充分性成立，而必要性显然不成立.详解：因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．7. 设0<p<1，随机变量ξ的分布列是则当p在（0，1）内增大时，A. D（ξ）减小B. D（ξ）增大C. D（ξ）先减小后增大D. D（ξ）先增大后减小【答案】D【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.详解：，，，∴先增后减,因此选D.点睛：8. 已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则A. θ1≤θ2≤θ3B. θ3≤θ2≤θ1C. θ1≤θ3≤θ2D. θ2≤θ3≤θ1【答案】D【解析】分析:分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.详解：设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过O作ON垂直EF于N，连接SO，SN，OM，则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB，因此从而因为，所以即，选D.点睛：线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.9. 已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是A. −1B. +1C. 2D. 2−【答案】A【解析】分析:先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.详解：设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...10. 已知成等比数列，且．若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.详解：令则，令得，所以当时，，当时，，因此，若公比，则，不合题意；若公比，则但，即，不合题意；因此，，选B.点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷满分150分．考试用时120分钟． 考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上．2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 参考公式：若事件,A B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+若事件,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k k n k n n P k C p p k n -=-=台体的体积公式121()3V S S h =其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =，则U A =ð（） A ．∅B ．{1,3}C ．{2,4,5}D ．{1,2,3,4,5}【答案】C ，补集2．双曲线2213x y -=的焦点坐标是（） A．(， B ．(2,0)-，(2,0) C．(0,，D ．(0,2)-，(0,2)【答案】B ，双曲线性质3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8俯视图正视图【答案】C ，三视图，棱柱体积 4．复数21i -（i 为虚数单位）的共轭复数是（） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+D ．1i --【答案】B ，复数计算5．函数||2sin 2x y x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D ，函数的奇偶性，函数值的正负6．已知平面α，直线,m n 满足m α⊄，n α⊂，则“//m n ”是“//m α”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A ，线面平行判定，充要条件 7．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0,1)内增大时，则（） A ．()D ξ减小B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小后增大D ．()D ξ先增大后减小【答案】D ，方差的意义，可以由分布列的离散程度得出答案，如果按公式计算则计算量较大8．已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则（） A ．123θθθ≤≤B ．321θθθ≤≤C ．132θθθ≤≤D ．231θθθ≤≤【答案】B ，空间角的定义，三角函数值的大小1SEI θ=∠，2SEH θ=∠，3SFH θ=∠，由图形可知12sin sin θθ≥，∴12θθ≥；【32sin sin θθ≥，∴32θθ≥；有无均可】13tan tan θθ≥，13θθ≥．9．已知,,a b e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+= ，则||a b -的最小值是（）A 1B 1C ．2D ．2【答案】A ，向量的线性运算，向量的坐标运算，向量的几何意义，直线与圆 方法一：向量的坐标运算SABCDFHI E设(1,0)e =，11(,)a x y OA == ，22(,)b x y OB == ，∵a 与e 的夹角为3π，∴cos ,||||a ea e a e ⋅〈〉=，∴12，化简得11y =（10x >）……①，∵2430b e b -⋅+=，∴22222430x y x +-+=……②，由①②可知，点A在去掉端点的两条射线y =上，点B 在圆22(2)1x y -+=上，易知min ||1AB =．方法二：向量的线性运算∵2430b e b -⋅+= ，∴22430b e b e -⋅+= ，∴2()(3)0b e b e -⋅-= ，∴2()(3)b e b e -⊥-，根据向量的几何意义可得与“方法一”同样的轨迹方程，下略． 10．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则（） A ．13a a <，24a a < B ．13a a >，24a a < C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为,,x y z ，则1001531003x y z x y z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩，当81z =时，x =___________，y =___________．【答案】8，11，数学文化，二元一次方程组12．若,x y 满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最小值是___________，最大值是___________．【答案】2-，8，线性规划13．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c．若a =2b =，60A =︒，则sin B =___________，c =___________．，3，正弦定理，余弦定理 14．二项式81)2x的展开式的常数项是___________． 【答案】7，二项式通项 15．已知λ∈R ，函数24,()43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，当2λ=时，不等式()0f x <的解集是___________．若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】(1,4)，(1,3)(4,)+∞ ，分段函数，二次函数图象16．从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数．（用数字作答）【答案】1260，排列组合-分类，224211353453331260C C A C C C A +=17．已知点(0,1)P ，椭圆22(1)4x y m m +=>上两点,A B 满足2A P P B = ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．4【答案】5，直线与圆锥曲线，标点法，向量的坐标运算，韦达定理，方程思想，二次函数最值设11(,)A x y ，22(,)B x y ，∵2AP PB = ，∴1212212(1)x x y y -=⎧⎨-=-⎩，即1212223x x y y =-⎧⎨+=⎩，方法一：当直线AB 斜率不存在时，20x =，此时3m =，否则，设直线AB 方程为1y kx =+，代入224x y m +=， 得22(41)8440k x kx m +++-=，∴122841k x x k -+=+，1224441mx x k -=+， 又∵122x x =-，∴22841k x k =+，2222241m x k -=+，∴22226422(41)41k m k k -=++， 解得28419k m +=-，∴22(1)(9)4m m x --=21094m m -+-=，∴当5m =时，22x 取得最大值4； 方法二：标点法221144x y m +=，222244x y m +=……②，【结合1212223x x y y =-⎧⎨+=⎩进行消元】 ∴2221x y m +=……①，①－②得221243y y m -=-，【消元方法】 即1212(2)(2)3y y y y m -+=-，又∵1223y y +=，∴122y y m -=-，解得234m y +=，代入②得，222344()4m x m +=-21094m m -+-=∴当5m =时，22x 取得最大值4．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,)55P --．（Ⅰ）求sin()απ+的值； （Ⅱ）若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β的值．【解】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力．三角函数定义，诱导公式，同角三角函数关系，两角和差的三角函数 （Ⅰ）由角α的终边过点34(,)55P --，得4sin 5α=-， 所以4sin()sin 5απα+=-=． （Ⅱ）由角α的终边过点34(,)55P --，得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=，得12cos()13αβ+=±．由()βαβα=+-，得cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=-．19．（本题满分15分）如图，已知多面体111ABCA B C ，111,,AA B B C C 均垂直于平面ABC ，∠120ABC =︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（Ⅰ）证明：1AB ⊥平面111A B C ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值．【解】本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力．线面垂直判定，面面垂直判定， 方法一：（Ⅰ）由2AB =，14AA =，12BB =，1AA AB ⊥，1BB AB ⊥，得111AB AB ==， 所以2221111AB A B AA +=．故111ABA B ⊥． AC 1A 1C 1B A由2BC =，12BB =，11CC =，1BB BC ⊥，1CC BC ⊥，得11B C 由2AB BC ==，∠120ABC =︒，得AC =由1CC AC ⊥，得1AC 2221111AB BC AC +=，故111ABB C ⊥． 因此1AB ⊥平面111A B C ．（Ⅱ）如图，过点1C 作111C D A B ⊥于点D ，连结AD ． 由1AB ⊥平面111A B C ，得平面111A B C ⊥平面1ABB ， 由111C D A B ⊥，得1C D ⊥平面，所以∠1C AD 是1AC 与平面1ABB 所成的角．由11B C =，11A B =11AC =得111cos C A B ∠=111sin C A B ∠=，所以1C D =111sin C D C AD AC ∠==． 因此，直线1AC 与平面1ABB方法二：（Ⅰ）如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线,OB OC 为,x y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -． 由题意知各点坐标如下：(0,A ，(1,0,0)B，1(0,A ，1(1,0,2)B，1)C ，因此1(1AB =，11(12)A B =-，113)AC =- ， 由1110AB A B ⋅= ，得111AB A B ⊥． 由1110AB AC ⋅= ，得111ABAC ⊥． 所以1AB ⊥平面111A B C ．（Ⅱ）设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ．由（Ⅰ）可知1)AC =，(1AB =，1(0,0,2)BB = ，设平面1ABB 的法向量(,,)n x y z =．由10n AB n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可取(,0)n = ．所以111||sin |cos ,|||||AC n AC n AC n θ⋅=〈〉==．因此，直线1AC 与平面1ABB所成的角的正弦值是1320．（本题满分15分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且34528a a a ++=，42a +是35,a a 的等差中项．数列{}n b 满足11b =，数列1{()}n n n b b a +-的前n 项和为22n n +．（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）求数列{}n b 的通项公式．【解】本题主要考查等差数列（中项）、等比数列（通项、求和）、数列求和（错位相减）等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力．递推求通项-累和法 （Ⅰ）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+， 所以34543428a a a a ++=+=， 解得48a =．由3520a a +=得18()20q q+=， 因为1q >，所以2q =．（Ⅱ）设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S ． 由11,1,2n nn S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩，解得41n c n =-．由（Ⅰ）可知12n n a -=， 所以111(41)()2n n n b b n -+-=-⋅，故211(45)()2n n n b b n ---=-⋅(2)n ≥，111221()()()n n n n n b b b b b b b b ----=-+-++- 23111(45)()(49)()73222n n n n --=-⋅+-⋅++⨯+ ．设3211137(49)()(45)()(2)222n n n T n n n --=+⨯++-⋅+-⋅≥ ……①，211111137(49)()(45)()(2)22422n n n T n n n --=⨯+⨯++-⋅+-⋅≥ ……②， ①－②得，21111113444()(45)()22422n n n T n --=+⨯+⨯++--⋅ ，因此2114(43)()2n n T n -=-+⋅(2)n ≥， 又11b =，所以2115(43)()2n n b n -=-+⋅．21．（本题满分15分）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线:C 24y x =上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求△PAB 面积的取值范围．【解】本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力．方程思想，消元，换元，二次函数最值．（Ⅰ）设00(,)P x y ，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ． 因为,PA PB 的中点在抛物线上，所以12,y y 为方程22014()422y x y y ++=⋅，即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根．所以1202y y y +=．因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1202120028y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩， 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，△PAB的面积32212001||||3)2PABS PM y y y x ∆=⋅-=-． 因为220014y x +=，所以2200004444y x x x -=--+， ∵10x -≤<，∴2004[4,5]y x -∈．因此，△PAB面积的取值范围是．22．（本题满分15分）已知函数()ln f x x ．（Ⅰ）若()f x 在()1212,x x x x x =≠处导数相等，证明：()()1288ln2f x f x +>-； （Ⅱ）若34ln2a ≤-，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点．【解】本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力．均值不等式，构造函数，利用导数判定函数单调性求最值证明不等式 （Ⅰ）函数()f x的导函数1'()f x x=-， 由12'()'()f x f x =1211x x -=， 因为12x x ≠12=．=≥ 因为12x x ≠，所以12256x x >．由题意得()()121212ln ln ln()f x f x x x x x +=+=．设()ln g x x =，则1'()4)4g x x =，所以()g x 在[266,)+∞上单调递增，故12()(256)88ln 2g x x g >=-，即()()1288ln2f x f x +>-．（Ⅱ）令(||)a k m e -+=，2||1()1a n k+=+，则 ()||0f m km a a k k a -->+--≥，()))0a f n kn a n k n k n --<-≤-<， 所以，存在0(,)x m n ∈使00()f x kx a =+，所以，对于任意的a ∈R 及(0,)k ∈+∞，直线y kx a =+与曲线()y f x =有公共点． 由()f x kx a =+，得k =． 设()h x =， 则22ln 1()12'()x a g x a h x x x -+--+==， 其中()ln g x x =． 由（Ⅰ）可知()(16)g x g ≥，又34ln 2a ≤-，故()1(16)134ln 20g x a g a a --+≤--+=-++≤，所以'()0h x ≤，即函数()h x 在(0,)+∞上单调递减，因此方程()0f x kx a --=至多有1个实根．综上，当34ln2a ≤-时，对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点．。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，则U A =ð（ ）A. ∅B. {}1,3C. {}2,4,5D. {}1,2,3,4,5【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义可得结果.【详解】因为全集{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =，所以根据补集的定义得{}2,4,5U A =ð，故选C. 【点睛】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．2.双曲线221 3x y -=的焦点坐标是（ ）A. ()，)B. ()2,0-，()2,0C. (0,，(D. ()0,2-，()0,2【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标【详解】因为双曲线方程为2213x y -=，所以焦点坐标可设为(,0)c ±，因为222314,2c a b c =+=+==，所以焦点坐标为(20)?，选B.【点睛】由双曲线方程22221(0,0)x y a b a b-=>>可得焦点坐标为(,0)(c c ±=，顶点坐标为(,0)a ±，渐近线方程为b y x a=±.3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】 【分析】先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.【详解】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1、2，梯形的高为2，因此几何体的体积为()1122262⨯+⨯⨯=，选C. 【点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状，再在具体几何体中求体积或表面积等. 4.复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A. 1+i B. 1−iC. −1+iD. −1−i【答案】B 【解析】分析：化简已知复数z ，由共轭复数的定义可得．详解：化简可得z=21i -()()()21+=111i i i i =+-+ ∴z 的共轭复数为1﹣i. 故选：B ．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．5.函数y =2x sin2x 的图象可能是 A. B. C. D.【答案】D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令()2sin 2xf x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2xf x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．6.已知直线m ，n 和平面α，n ⊂α，则“m n P ”是“m αP ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】试题分析：直线，平面，且，若，当时，，当时不能得出结论，故充分性不成立；若，过作一个平面，若时，则有，否则不成立，故必要性也不成立．由上证知“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D ． 考点：1、线面平行；2、命题的充分必要条件．7.设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（ ）A. ()D ξ减小B. ()D ξ增大C. ()D ξ先减小后增大D. ()D ξ先增大后减小【答案】D 【解析】 【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 【详解】111()0122222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+Q ， 2222111111()(0)(1)(2)2222224p p D p p p p p ξ-∴=--+--+--=-++，1(0,1)2∈Q ，∴()D ξ先增后减，因此选D. 【点睛】222111(),()(())().n nni iii i i i i i E x p D x E p x p E ξξξξ=====-=-∑∑∑8.已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则（ ） A. 123θθθ≤≤ B. 321θθθ≤≤C. 132θθθ≤≤D. 231θθθ≤≤【答案】D 【解析】 【分析】分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系. 【详解】设O 为正方形ABCD 的中心，M 为AB 中点，过E 作BC 的平行线EF ，交CD 于F ，过O 作ON 垂直EF 于N ，连接SO 、SN 、OM ，则SO 垂直于底面ABCD ，OM 垂直于AB ，因此123,,,SEN SEO SMO θθθ∠=∠=∠= 从而123tan ,tan ,tan ,SN SN SO SOEN OM EO OMθθθ==== 因为SN SO EO OM ≥≥，，所以132tan tan tan ,θθθ≥≥即132θθθ≥≥，选D.【点睛】线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.9.已知a r 、b r 、e r 是平面向量，e r 是单位向量．若非零向量a r 与e r的夹角为3π，向量b r 满足2430b e b -⋅+=r r r ，则a b -r r的最小值是（ ）A.1B.1C. 2D. 2【答案】A 【解析】 【分析】先确定向量a r 、b r所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【详解】设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===r r r，则由π,3a e =r r 得πcos ,3a e e x y a ⋅=⋅=∴=r r r r ， 由2430b e b -⋅+=r r r 得()2222430,21,m n m m n +-+=-+=因此，a b -r r 的最小值为圆心()2,0到直线y =1 1.选A.【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.10已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则（ ） A. 1324,a a a a << B. 1324,a a a a >< C. 1324,a a a a <> D. 1324,a a a a >>【答案】B 【解析】 【分析】先证不等式ln 1x x +≥，再确定公比的取值范围，进而作出判断.【详解】令()ln 1,f x x x =--则1()1f x x'=-，令()0,f x '=得1x =，所以当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，因此()(1)0,ln 1f x f x x ≥=∴≥+，若公比0q >，则1234123123ln()a a a a a a a a a a +++>++>++，不合题意；若公比1q ≤-，则212341(1)(1)0,a a a a a q q +++=++≤ 但212311ln()ln[(1)]ln 0a a a a q q a ++=++>>，即12341230ln()a a a a a a a +++≤<++，不合题意； 因此210,(0,1)q q -<<∈，22113224,0a a q a a a q a ∴>=<=<，选B.【点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如ln 1,x x ≥+2e 1,e 1(0).x x x x x ≥+≥+≥非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

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2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。

满分150分.考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项"的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式： 若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B =若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k k n k n n P k p p k n -=-=台体的体积公式11221()3V S S S S h =柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R =π其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高球的体积公式343V R =π其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

2018年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1. 已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则C U A =( )A . ∅B . {1，3}C . {2，4，5}D . {1，2，3，4，5}2. 双曲线 x 23−y 2=1的焦点坐标是( )A . (−√2，0)，(√2，0)B . (−2，0)，(2，0)C . (0，−√2)，(0，√2)D . (0，−2)，(0，2) 3. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A . 2B . 4C . 6D . 84. 复数21−i(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A . 1+i B . 1−i C . −1+i D . −1−i5. 函数y =2|x |sin 2x 的图象可能是( )6. 已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件7. 设0<p <1，随机变量ξ则当p 在(0，1)内增大时A . D (ξ)减小 B . D (ξ)增大 C . D (ξ)先减小后增大 D . D (ξ)先增大后减小8. 已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点(不含端点)，设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −C 的平面角为θ3，则() A . θ1≤θ2≤θ3B . θ3≤θ2≤θ1 C . θ1≤θ3≤θ2 D . θ2≤θ3≤θ1俯视图正视图DC B A9. 已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为 π3，向量b 满足b 2−4e •b +3=0，则|a −b |的最小值是( ) A . √3−1 B . √3+1 C . 2 D . 2−√3 10. 已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=ln (a 1+a 2+a 3)，若a 1>1，则( )A . a 1<a 3，a 2<a 4B . a 1>a 3，a 2<a 4C . a 1<a 3，a 2>a 4D . a 1>a 3，a 2>a 4 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 11. 我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则{x +y +z =1005x +3y +13z =100，当z =81时，x =__________________________，y =___________________________12. 若x ，y 满足约束条件{x −y ≥02x +y ≤6x +y ≥2 ，则z =x +3y 的最小值是________________________，最大值是_____________________13. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =√7，b =2，A =60°，则sinB =_________________，c =___________________ 14. 二项式(√x 3+ 12x )8的展开式的常数项是_________________________15. 已知λ∈R ，函数f (x )={x −4，x ≥λ x 2−4x +3，x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是_____________________，若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________________________16. 从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成______________________个没有重复数字的四位数(用数字作答)17. 已知点P (0，1)，椭圆 x 24+y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则当m =____________________时，点B 横坐标的绝对值最大三、解答题(本大题共5小题，共74分)18. (14分)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P (− 35，− 45)(1) 求sin (α+π)的值(2) 若角β满足sin (α+β)= 513，求cosβ的值19. (15分)如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°，A 1A =4，C 1C =1，AB =BC =B 1B =2(1) 证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1(2) 求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值20. (15分)已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项，数列{b n }满足b 1=1，数列{(b n +1−b n )a n }的前n 项和为2n 2+n (1) 求q 的值(2) 求数列{b n }的通项公式C 1B 1A 1CA21.(15分)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足P A，PB的中点均在C上(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴(2)若P是半椭圆x2+ y 24=1(x<0)上的动点，求△P AB面积的取值范围22.(15分)已知函数f(x)=√x−lnx(1)若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2(2)若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点。

2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学一、选择题（本大题共小题，共分）1.已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则∁U A=（）A. ∅B. {1，3}C. {2，4，5}D. {1，2，3，4，5}2.y2=1的焦点坐标是（）A. （B. （-2，0），（2，0）C. （，-0，D. （0，-2），（0，2）3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A. 2B. 4C. 6D. 84.i为虚数单位）的共轭复数是（）A. 1+iB. 1-iC. -1+iD. -1-i5.函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）6.已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.则当在（，）内增大时，（）A. D（ξ）减小B. D（ξ）增大C. D（ξ）先减小后增大D. D（ξ）先增大后减小8.已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB ﹣C的平面角为θ3，则（）A. θ1≤θ2≤θ3B. θ3≤θ2≤θ1C. θ1≤θ3≤θ2D. θ2≤θ3≤θ19.+3=0）A. -1B.C. 2D.10.已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A. a1＜a3，a2＜a4B. a1＞a3，a2＜a4C. a1＜a3，a2＞a4D. a1＞a3，a2＞a4二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，当z=81时，x=______，y=______．12.若x，y则z=x+3y的最小值是______，最大值是______．13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a b=2，A=60°，则sin B= ，c= ．14.8的展开式的常数项是______．15.已知λ∈R，函数f（x）λ=2时，不等式f（x）＜0的解集是______．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是______．16.从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成______个没有重复数字的四位数．（用数字作答）17.已知点P(0，1)，y2=m(m>1)上两点A，B则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）cosβ的值．19.如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2．（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1，所成的角的正弦值．20.（Ⅰ（Ⅱ21.如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2（x＜0）上的动点，求△PAB面积的取值范围．22.已知函数f（x）x．（Ⅰ）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）＞8-8ln2；（Ⅱ）若a≤3-4ln2，证明：对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学答案和解析【答案】1. C2. B3. C4. B5. D6. A7. D8. D9. A10. B11. 8，1112. -2 8314. 715. {x|1＜x＜4} （1，3]∪（4，+∞）16. 126017. 518. 解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（∴x y r=|OP∴sin（α+π）=-；（Ⅱ）由x y，r=|OP|=1，，又由sin（α+β）=则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=或cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）∴cosβ19. （I）证明：∵A1A⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC，∴AA1∥BB1，∵AA1=4，BB1=2，AB=2，∴A1B1又AB1∴AA12=AB12+A1B12，∴AB1⊥A1B1，同理可得：AB1⊥B1C1，又A1B1∩B1C1=B1，∴AB1⊥平面A1B1C1．（II）解：取AC中点O，过O作平面ABC的垂线OD，交A1C1于D，∵AB=BC，∴OB⊥OC，∵AB=BC=2，∠BAC=120°，∴OB=1，OA=OC以O为原点，以OB，OC，OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则A（0，0），B（1，0，0），B1（1，0，2），C1（01），（10（0，0，2（0，1），设平面ABB1（x，y，zy=1（1，0），∴cos＜＞设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ，则sinθ=|cos∴直线AC1与平面ABB120. 解：（Ⅰ）等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项，可得2a4+4=a3+a5=28-a4，解得a4=8，q=28，可得q=2则q的值为2；（Ⅱ）设c n=（b n+1-b n）a n=（b n+1-b n）2n-1，可得n=1时，c1=2+1=3，n≥2时，可得c n=2n2+n-2（n-1）2-（n-1）=4n-1，上式对n=1也成立，则（b n+1-b n）a n=4n-1，即有b n+1-b n=（4n-1n-1，可得b n=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（b n-b n-1）=1+30+71+…+（4n-5n-2，•（+7•（2+…+（4n-5）•（n-1，n相减可得n=）+2+…+n-2]-（4n-5n-1（4n-5n-1，化简可得b n=15-（4n+3n-2．21. 解：（Ⅰ）证明：可设P（m，n），A y1），By2），AB中点为M抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上，2=4）2=4，化简可得y1，y2为关于y的方程y2-2ny+8m-n2=0的两根，可得y1+y2=2n，y1y2=8m-n2，可得n则PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2（x＜0）上的动点，可得m2，-1≤m＜0，-2＜n＜2，由（Ⅰ）可得y1+y2=2n，y1y2=8m-n2，由PM垂直于y轴，可得△PAB面积为S|•|y1-y2|m=[•（4n2-16m+2n2）]n2-4m，可令t可得m=-时，t取得最大值m=-1时，t取得最小值2，即2≤t则S3在2≤t S∈，△PAB面积的取值范围为．22. 证明：（Ⅰ）∵函数f（x）=x，∴x＞0，f′（x）∵f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，∵x1≠x2，∴+由基本不等式得：∵x1≠x2，∴x1x2＞256，由题意得f（x1）+f（x2）（x1x2），设g（x）列表讨论：∴g（x1x2）＞g（256）=8-8ln2，∴f（x1）+f（x2）＞8-8ln2．（Ⅱ）令m=e-（|a|+k），n=2+1，则f（m）-km-a＞|a|+k-k-a≥0，f（n）-kn-a＜n k）≤n k）＜0，∴存在x0∈（m，n），使f（x0）=kx0+a，∴对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点，由f（x）=kx+a，得k设h（x），则h′（x）其中g（x）=-ln x，由（1）知g（x）≥g（16），又a≤3-4ln2，∴-g（x）-1+a≤-g（16）-1+a=-3+4ln2+a≤0，∴h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，∴方程f（x）-kx-a=0至多有一个实根，综上，a≤3-4ln2时，对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．【解析】1. 解：根据补集的定义，∁U A是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合，由已知，有且仅有2，4，5符合元素的条件．∁U A={2，4，5}故选：C．根据补集的定义直接求解：∁U A是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合．本题考查了补集的定义以及简单求解，属于简单题．2. 解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上，且a2=3，b2=1，由此可得c，∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0）故选：B．根据双曲线方程，可得该双曲线的焦点在x轴上，由平方关系算出c，即可得到双曲线的焦点坐标．本题考查双曲线焦点坐标，着重考查了双曲线的标准方程和焦点坐标求法等知识，属于基础题．3. 解：根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱．如图所示：故该几何体的体积为：V故选：C．直接利用三视图的复原图求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图的应用．4. 解：化简可得zi，∴z的共轭复数i故选：B．化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．5. 【分析】本题考查的知识要点：函数的性质和赋值法的应用．直接利用函数的图象和性质求出结果．【解答】解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x，得到函数为奇函数，故排除A和B．当x0，故排除C．故选D．6. 解：∵m⊄α，n⊂α，∴当m∥n时，m∥α成立，即充分性成立，当m∥α时，m∥n不一定成立，即必要性不成立，则“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选：A．根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面平行的定义和性质是解决本题的关键，是基础题．7. 解：设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是E（ξ）=0×+1×+2×p方差是D（ξ）×××=-p2+p∴p∈（0，）时，D（ξ）单调递增；p∈1）时，D（ξ）单调递减；∴D（ξ）先增大后减小．故选：D．求出随机变量ξ的分布列与方差，再讨论D（ξ）的单调情况．本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．8. 【分析】本题考查了空间角的计算，三角函数的应用，属于中档题．作出三个角，表示出三个角的正弦或正切值，根据三角函数的单调性即可得出三个角的大小．【解答】解：∵由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心．过E作EF∥BC，交CD于F，过底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N，连接SN，取AB中点M，连接SM，OM，OE，则EN=OM，则θ1=∠SEN，θ2=∠SEO，θ3=∠SMO．显然，θ1，θ2，θ3均为锐角．∵tanθ1tanθ3SN≥SO，∴θ1≥θ3，又sinθ3sinθ2SE≥SM，∴θ3≥θ2．故选D．9.∴⊥（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，端点O的两条射线y x＞0）上．不妨以y2，0）的距离减1．故选：A．变形，即⊥，的终点在以（2，0）为圆心，以1点O的两条射线y x＞0）上，画出图形，数形结合得答案．本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属难题．10. 解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1＞1，设公比为q，当q＞0时，a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），不成立，即：a1＞a3，a2＞a4，a1＜a3，a2＜a4，不成立，排除A、D．当q=-1时，a1+a2+a3+a4=0，ln（a1+a2+a3）＞0，等式不成立，所以q≠-1；当q＜-1时，a1+a2+a3+a4＜0，ln（a1+a2+a3）＞0，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）不成立，当q∈（-1，0）时，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，并且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），能够成立，故选：B．利用等比数列的性质以及对数函数的单调性，通过数列的公比的讨论分析判断即可．本题考查等比数列的性质的应用，函数的值的判断，对数函数的性质，考查发现问题解决问题的能力，难度比较大．11. 【分析】本题考查方程组的解法，是基本知识的考查．直接利用方程组以及z的值，求解即可．【解答】当z=81时，化为：解得x =8，y=11．故答案为8，11．12. 解：作出x，y示的平面区域，如图：其中B（4，-2），A（2，2）．设z=F（x，y）=x+3y，将直线l：z=x+3y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最小值．∴z最小值=F（4，-2）=-2．可得当l经过点A时，目标函数z达到最最大值：z最大值=F（2，2）=8．故答案为：-2；8．作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+3y 对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，然后求解最优解得到结果．本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．13. 【分析】sin B，由余弦定理得c．本题考查三角形中角的正弦值、边长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a b=2，A=60°，∴解得sin B．由余弦定理得：解得c=3或c=-1（舍），∴sin B c=3．故答案为：3．14. 【分析】写出二项展开式的通项并整理，由x的指数为0求得r值，则答案可求．本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．【解答】=0，得r=2．∴二项式（8故答案为7．15. 解：当λ=2时函数f（x）x≥2时，不等式x-4＜0的解集：{x|2≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x2-4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：{x|1＜x＜4}．函数f（x）恰有2个零点，函数f（x）图如图：函数f（x）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4．故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．利用分段函数转化求解不等式的解集即可；利用函数的图象，通过函数的零点得到不等式求解即可．本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及函数的零点个数的判断，考查发现问题解决问题的能力．16. 【分析】本题考查排列组合及简单的计数问题，先选后排是解决问题的关键，注意“0“是否在4位数中去易错点，是中档题．可先从1，3，5，7，9中任取2个数字，然后通过0是否存在，求解即可．【解答】解：从1，3，5，7，9中任取2从2，4，6，0中任取2个数字不含0个没有重复数字的四位数；含有0时，0，故一共可以组成720+540=1260个没有重复数字的四位数．故答案为1260．17. 解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由P（0，1可得-x1=2x2，1-y1=2（y2-1），即有x1=-2x2，y1+2y2=3，又x12+4y12=4m，即为x22+y12=m，①x22+4y22=4m，②①-②得（y1-2y2）（y1+2y2）=-3m，可得y1-2y2=-m，解得y1y2则m=x22+（）2，即有x22=m-（2即有m=5时，x22有最大值16，即点B横坐标的绝对值最大．故答案为：5．设A（x1，y1），B（x2，y2），运用向量共线的坐标表示，以及点满足椭圆方程，求得y1，y2，有x22=m-2，运用二次函数的最值求法，可得所求最大值和m的值．本题考查椭圆的方程和应用，考查向量共线的坐标表示和方程思想、转化思想，以及二次函数的最值的求法，属于中档题．18. 本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式的应用，是中档题．（Ⅰ）由已知条件即可求r，则sin（α+π）的值可得；（Ⅱ）由已知条件即可求sinα，cosα，cos（α+β），再由cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα代值计算得答案．19. （I）利用勾股定理的逆定理证明AB1⊥A1B1，AB1⊥B1C1，从而可得AB1⊥平面A1B1C1；（II）以AC的中点为坐标原点建立空间坐标系，求出平面ABB1的夹角即可得出线面角的大小．本题考查了线面垂直的判定定理，线面角的计算与空间向量的应用，属于中档题．20. （Ⅰ）运用等比数列的通项公式和等差数列中项性质，解方程可得公比q；（Ⅱ）设c n=（b n+1-b n）a n=（b n+1-b n）2n-1，运用数列的递推式可得c n=4n-1，再由数列的恒等式求得b n=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（b n-b n-1），运用错位相减法，可得所求数列的通项公式．本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，考查数列的恒等式和错位相减法的运用，考查运算能力，属于中档题．21. （Ⅰ）设P（m，n），A y1），B y2），运用中点坐标公式可得M的坐标，再由中点坐标公式和点在抛物线上，代入化简整理可得y1，y2为关于y的方程y2-2ny+8m-n2=0的两根，由韦达定理即可得到结论；（Ⅱ）由题意可得m2，-1≤m＜0，-2＜n＜2，可得△PAB面积为S|•|y1-y2|，再由配方和换元法，可得面积S关于新元的三次函数，运用单调性可得所求范围．本题考查抛物线的方程和运用，考查转化思想和运算能力，以及换元法和三次函数的单调性，属于难题．22. （Ⅰ）推导出x＞0，f′（x）f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，，由基本不等式得：x1x2＞256，由题意得f（x1）+f（x2）（x1x2），设g（x）f（x1）+f（x2）＞8-8ln2．（Ⅱ）令m=e-（|a|+k），n=2+1，则f（m）-km-a＞|a|+k-k-a≥0，推导出存在x0∈（m，n），使f（x0）=kx0+a，对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点，由f（x）=kx+a，得k h（x）h′（x）利用导数性质能证明a≤3-4ln2时，对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．本题考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟 考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B = 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k k n kn n P k p p k n -=-=L 台体的体积公式11221()3V S S S S h =++其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 24S R =π球的体积公式343V R =π其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则=U A ð A ．∅B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}2．双曲线221 3=x y -的焦点坐标是A ．(−2，0)，(2，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，−2)，(0，2)D ．(0，−2)，(0，2)3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是侧视图俯视图正视图2211A ．2B ．4C ．6D ．84．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i5．函数y =||2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．6．已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设0<p <1，随机变量ξ的分布列是ξ 012P12p- 12 2p 则当p 在（0，1）内增大时， A ．D （ξ）减小B ．D （ξ）增大C ．D （ξ）先减小后增大D ．D （ξ）先增大后减小 8．已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −C 的平面角为θ3，则 A ．θ1≤θ2≤θ3B ．θ3≤θ2≤θ1C ．θ1≤θ3≤θ2D ．θ2≤θ3≤θ19．已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A ．3−1B ．3+1C ．2D ．2−310．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则 A ．1324,a a a a <<B ．1324,a a a a ><C ．1324,a a a a <>D ．1324,a a a a >>非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（浙江卷）本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页.满分150分.考试用时120分钟. 考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上.2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 参考公式：若事件A ，B 互斥，则 柱体的体积公式V =Sh若事件A ，B 相互独立，则 其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高锥体的体积公式若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次 13V Sh =独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高球的表面积公式台体的体积公式 24S R =π1()3a a b b V h S S S S =+⋅+ 球的体积公式其中S a ，S b 分别表示台体的上、下底面积 343V R =πh 表示台体的高选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则【C 】A. B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5}2. 双曲线的焦点坐标是【B 】A. (−，0)，(，0)B. (−2，0)，(2，0)C. (0，−)，(0，)D. (0，−2)，(0，2)3. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积(单位：cm 3)是【C 】A . 2B . 4C . 6D . 8俯视图正视图22114. 复数(i 为虚数单位)的共轭复数是【B 】A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i 5. 函数y =sin2x 的图象可能是【D 】A. B.C. D.6 .已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的【A 】A. 充分不必要条件 B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件7. 设0<p <1，随机变量ξ的分布列是ξ 0 1 2 P则当p 在(0，1)内增大时【D 】A.D (ξ)减小 B . D (ξ)增大C .D (ξ)先减小后增大 D . D (ξ)先增大后减小8. 已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点(不含端点)，设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −C 的平面角为θ3，则【D 】A . θ1≤θ2≤θ3B . θ3≤θ2≤θ1C . θ1≤θ3≤θ2D . θ2≤θ3≤θ19. 已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足b 2−4e •b +3=0，则|a −b |的最小值是【A 】A . 13-B .13+C . 2D . 32-10. 已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=ln (a 1+a 2+a 3)，若a 1>1，则【B 】A . a 1<a 3，a 2<a 4B . a 1>a 3，a 2<a 4C . a 1<a 3，a 2>a 4D . a 1>a 3，a 2>a 4非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则100,153100,3x y z x y z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩当81z =时，x = 8 ，y = 11 . 12．若,x y 满足约束条件0,26,2,x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩则3z x y =+的最小值是 -2 ，最大值是 8 .13 . 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a=，b=2，A =60°，则sinB=_______721，c = 8 . 14．二项式831()2x x的展开式的常数项是 7 15．已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎪⎨-+<⎪⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是 （1,4） ，若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是 （1,3）∪（1，+∞）.16. 从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 1260个没有重复数字的四位数(用数字作答)17．已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP u u u u r =2PB u u u u r ，则当m = 5 时，点B 横坐标的绝对值最大.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本题满分14分）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 解：（Ⅰ）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 19．（本题满分15分）如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°，A 1A =4，C 1C =1，AB =BC =B 1B =2．（Ⅰ）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（Ⅱ）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值． 解：方法一：（Ⅰ）由11112,4,2,,AB AA BB AA AB BB AB ===⊥⊥得11122AB A B ==，所以2221111A B AB AA +=.故111AB A B ⊥.由2BC =，112,1,BB CC ==11,BB BC CC BC ⊥⊥得115B C = 由2,120AB BC ABC ==∠=︒得23AC =由1CC AC ⊥，得113AC =2221111AB B C AC +=，故111AB B C ⊥.因此1AB ⊥平面111A B C .（Ⅱ）如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连结AD.由1AB ⊥平面111A B C 得平面111A B C ⊥平面1ABB ， 由111C D A B ⊥得1C D ⊥平面1ABB ， 所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角.由1111115,22,21BC A B AC ===得1111116cos ,sin 77C A B C A B ∠=∠=， 所以13C D =，故11139sin C D C AD AC ∠==. 因此，直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值是39. 方法二：（Ⅰ）如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O -xyz .由题意知各点坐标如下：111(0,3,0),(1,0,0),(0,3,4),(1,0,2),(0,3,1),A B A B C --因此11111(1,3,2),(1,3,2),(0,23,3),AB A B AC ==-=-uuu r uuu u r uuu u r由1110AB A B ⋅=uuu r uuu u r得111AB A B ⊥. 由1110AB AC ⋅=uuu r uuu u r 得111AB AC ⊥. 所以1AB ⊥平面111A B C .（Ⅱ）设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ.由（Ⅰ）可知11(0,23,1),(13,0),(0,0,2),AC AB BB ===uuu r uu u r uuu r设平面1ABB 的法向量(,,)x y z =n .由10,0,AB BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r uuu r n n 即30,20,x z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩可取(3,1,0)=-n . 所以111|39sin |cos ,||||AC AC AC θ⋅===⋅uuu ruuu r uuu rn |n n |因此，直线1AC 与平面1ABB 3920．（本题满分15分）已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ． （Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）求数列{b n }的通项公式．解：（Ⅰ）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+，所以34543428a a a a ++=+=， 解得48a =.由3520a a +=得18()20q q+=， 因为1q >，所以2q =.（Ⅱ）设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S . 由11,1,, 2.n n n S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩解得41n c n =-.由（Ⅰ）可知12n n a -=，所以111(41)()2n n n b b n -+-=-⋅，故211(45)(),22n n n b b n n ---=-⋅≥，11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-++-+-L23111(45)()(49)()73222n n n n --=-⋅+-⋅++⋅+L .设221113711()(45)(),2222n n T n n -=+⋅+⋅++-⋅≥L ，2211111137()(49)()(45)()22222n n n T n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅L 所以22111111344()4()(45)()22222n n n T n --=+⋅+⋅++⋅--⋅L ，因此2114(43)(),22n n T n n -=-+⋅≥，又11b =，所以2115(43)()2n n b n -=-+⋅.21．（本题满分15分）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．PMBAOyx（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根．所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，PAB △的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△． 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈．因此，PAB △面积的取值范围是． 22．（本题满分15分）已知函数f (xln x ．（Ⅰ）若f (x )在x =x 1，x 2(x 1≠x 2)处导数相等，证明：f (x 1)+f (x 2)>8−8ln2；（Ⅱ）若a ≤3−4ln2，证明：对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f (x )有唯一公共点．解：（Ⅰ）函数f （x）的导函数1()f x x'=， 由12()()f x f x ''=1211x x =-， 因为12x x ≠12=．≥ 因为12x x ≠，所以12256x x >．由题意得12112212121()()ln ln ln()2f x f x x x x x x x x x +=-+-=-． 设1()ln 2g x x x =-， 则1()(4)4g x x x'=-， 所以x （0，16）16 （16，+∞）()g x ' − 0 + ()g x2−4ln2所以g （x ）在[256，+∞）上单调递增， 故12()(256)88ln 2g x x g >=-， 即12()()88ln 2f x f x +>-． （Ⅱ）令m =()e a k -+，n =21()1a k++，则 f （m ）–km –a >|a |+k –k –a ≥0， f （n ）–kn –a <()an k n n -≤()n k n<0， 所以，存在x 0∈（m ，n ）使f （x 0）=kx 0+a ，所以，对于任意的a ∈R 及k ∈（0，+∞），直线y =kx +a 与曲线y =f （x ）有公共点． 由f （x ）=kx +a 得ln x x ak --= 设h （x ）ln x x a--则h ′（x ）=22ln 1()12xx ag x a x x -+--+=， 其中g （x ）ln xx -． 由（Ⅰ）可知g （x ）≥g （16），又a ≤3–4ln2， 故–g （x ）–1+a ≤–g （16）–1+a =–3+4ln2+a ≤0，所以h ′（x ）≤0，即函数h （x ）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f （x ）–kx –a =0至多1个实根．综上，当a ≤3–4ln2时，对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f （x ）有唯一公共点．绝密★启用前。

2018 年一般高等学校招生全国一致考试数学（浙江卷）选择题部分（共40 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每题 4 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．已知全集U1,2,3,4,5，A1,3，则C U A （）．A．B．1,3C．2,4,5D． 1,2,3,4,5【答案】： C【分析】：∵全集 U1,2,3,4,5 ， A1,3∴ A的补集C U A2,4,5∴正确答案为C2．双曲线x2y2 1 的焦点坐标是（）．3A．( 2,0)， (2,0)B． (2,0) ， (2,0)C．(0,2) ， (0,2)D． (0,2)， (0,2)【答案】： B【分析】：双曲线x2y21，此中 a2 3 ， b213∴c2 a2 b 2 3 1 4∴双曲线的焦点坐标为( 2,0) 和 (2,0)∴正确答案是B3．某几何体的三视图以下图（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（）．A．2B．4C．6D．8【答案】： C【分析】：由三视图可知，原图以下：V S底 h 【注意有文字】(1 2)2262∴正确答案为C4．复数2（ i为虚数单位）的共轭复数是（）．1iA 1 iBC 1 iD 1 i．． 1 i．．【答案】： B【分析】：2(12(1 i )2(1i )1i1i i )(1 i )1i 2∴其共轭复数为1i∴正确答案为 B5．函数y 2 x sin2x 的图象可能是（）．A．B．C．D．【答案】： D【分析】：函数 y2x sin 2x 是奇函数，其函数图象对于原点对称∴清除 A,B选项又∵ 当 x ( ,0)时，函数有零点x2∴正确答案为 D6．已知平面，直线m ， n 知足m， n，则“m∥n ”是“m∥”的（）．A．充足不用要条件C．充足必需条件B．必需不充足条件D．既不充足也不用要条件【答案】： A【分析】：∵ m∴“， nm∥n ”是“， m∥n 能够推出 m∥m∥”的充足条件又∵ m∴“， n，m∥m∥n ”不是“ m∥不可以推出 m∥n”的必需条件综上“ m∥n ”是“∴正确答案是Am∥”的充足不用要条件7．设 0 p 1 ，随机变量的散布列012P 1p1p 222则当 p 在(0,1)内增大时，（）．A．D( )减小B．D( )增大C． D ( ) 先减小后增大D． D ( ) 先增大后减小【答案】： D【分析】： E( ) 0 1 p112p1p 222221 p 21 1 2D ( )11pp1p22p222 2221 pp 41 21p22∴ p 在 (0,1) 上增大时， D ( ) 先增大后减小∴正确答案为 D8．已知四棱锥 S ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段 AB 上的点（不含端点），设 SE 与 BC 所成的角为 1 ， SE 与平面 ABCD 所成的角为 2 ，二面角 SAB C 的平面角为3 ，则（）．A ．1≤2≤3B ．3≤2≤1C ．1≤3≤2D ． 2≤3≤1【答案】： D【分析】：∵线线角大于或等于线面角，二面角大于或等于线面角∴ 1≥2，3≥2∴正确答案是 D9．已知 a ， b ， e 是平面向量， e 是单位向量，若非零向量a 与 e 的夹角为π，向量 b 知足32，则 a b 的最小值是（ ）．b 4e b 3 0A ．31B ． 31C ． 2D ．2 3【答案】： Ar r r r r rr【分析】： b 4e b 3 ( b e)(b 3e) 0r r( x, y)设 e (1,0)， b∴ (x 1)(x 3) y 2 0∴ ( x 2)2y 21r r uuur uuurOA 时最短，如图 a b BA而BA在OAr r uuur uuur uuur此时 a b BA OA OB3 1∴正确答案是A10．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且 a1a2a3a4ln(a1a2 a3 ) ，若 a1 1 ，则（）．A．a1a3， a2a4B．a1a3， a2a4C．a1a3， a2a4D．a1a3， a2a4【答案】： B【分析】：若 q0，则 a1a2a3a4a1a2a31∴ a1a2a3a4ln( a1a2a3a4 )ln(a1a2a3 )∴ ln( a1 a2a3 )0∴ a1a2a3a4a1 (1 q q2q3 ) 0q41∴0q 1∴a2 0∴ a1a1q2a3， a2a2q 2a4∴正确答案是 B非选择题部分二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．11．我国古代数学着作《张丘建算经》中记录百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五．鸡母一，值钱三．鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁．母．雏各几何”设鸡翁，鸡母，鸡x y z100雏个数分别为 x ，，z，则1，当z81时，x__________， __________ ．y100y5 x 3 y z3【答案】： x8 ，y 11【分析】：将 z81 代入，得x y195x 3 y73∴x 8 y11x y≥012 ．若x，y知足拘束条件2 x y≤6 ，则 z x 3 y 的最小值是 __________ ，最大值是x y≥2__________．【答案】： 2 ； 8【分析】：经过不等式组，画出可行域，如图：∴A(2,2) , B(4, 2)∴ z x 3 y 的最小值是 2 ，最大值是 813．在△ABC 中，角A，B， C 所对的边分别为 a ，b， c ．若a7 ， b 2 ， A60 ，则 sinB__________，c __________．【答案】：21；37【分析】：∵ a 7 ， b 2 ， A 60 ，∴ sin A32∵absin B sin A ∴ sin B217∴ sin C sin( A B)32 7 17 3 21727142∴ ca2 21sin A3sin C∴ c3814．二项式3 x1 的睁开式的常数项是 __________ ．2 x【答案】： 71 r【分析】：由通项公式 T r 1C 8r (3 x )8 r，2x∴求常数项可得：8 r ( r )0 ，3∴ r 2∴常数项是 C 82 1 7 4x 4≥R ，函数 f (x)2 时，不等式 f ( x)0 的解集是15 ．已知x24 x 3 ，当x__________．若函数 f (x) 恰有 2个零点，则的取值范围是 __________．【答案】： 1 x 4 ； 1 ≤3 或4【分析】当2 时， f ( x) x 4x 2x 24x 3 x ，图象以下：2则 f ( x) 0 的解集为 1 x 4若函数 f (x) 恰有 2 个零点：① 二次函数有两个零点，一次函数没有零点，则 4 ； ②二次函数有一个零点，一次函数有一个零点，则1 ≤3；综上可得 1 ≤3 或 416．从 ， 3， 5， 7， 9中任取2个数字，一共能够构成__________个没有重复数字的四位1数．（用数字作答） 【答案】： 1260【分析】：分两种状况：① 包括 0 的四位数： C 52 C 31 ( A 44 A 33 ) 540 ;②不包括 0 的四位数： C 52 C 32 A 44720∴一共有 1260 种．17．已知点 P(0,1) ，椭圆x2y2uuur uuurm(m1) 上两点 A ，B 知足 AP 2 PB 则当 m __________4时，点 B 横坐标的绝对值最大．【答案】： 5【分析】：设直线 AB : y kx 12xy 2 my kx 1∴ x 2k 2 x 2 2kx1 m 04∴ x 1x 28k4 4m4k2， x 1x 2 4k21 1 uuuruuur ∵ AP2 PB∴ x12x2∴ x16k， x28k114k214k2∴ 32k 2(1m)(14k 2 )若 B 的横坐标的绝对值最大，则x288≥2，14k214 kk当且仅当 k 1时， m 5 ．2三、解答题：本大题共 5 小题，共74 分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．18．（此题满分 14 分）已知角的极点与原点 O 重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点 P3,4 ．55（Ⅰ）求 sin(π)的值．（Ⅱ）若角知足 sin()5，求 cos的值．1344【分析】： (1) sin52253455cos 3 5sin()sin 4 5(2) ∵sin()513∴ cos()12 13①当 cos()12 时，13cos cos()cos() cos sin() sin123541351355665②当 cos()12 时，13cos 12354 1351351665综上： cos56或16．656519．此题满分15分如图，已知多面体ABCAB C， A A，BB，CC均垂直于平面ABC，() 1 1 1111∠ABC=120 ， A1 A=4 ， C1C1， AB BC B1B 2 ．（Ⅰ）证明：AB1平面A1B1C1．（Ⅱ）求直线AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值．【分析】： (1) 过B1作B1E AA1于点E过C1作 C1F BB1于点FB1E AB 2AE BB1 2AE12∴ A1B1A1 E2B1E 2 2 2AB1BB12AB222AA14∴A1B12 AB12 AA12∴AB1 A1 B1又 C1F BC 2,B1F 1∴ B C C F 2 B F 251111AC 23∴ AC1AC 2CC1213∴A1B12 B1C12 AC12∴AB1 B1C1∵B1C1平面 A2 B1C1A1B1平面A1B1C1∴AB1平面 A1 B1C1(2)以 A为原点，AC为 y 轴，AA1为z轴成立空间直角坐标系则： A(0,0,0)A1 (0,0,4)B(1, 3,0)B1 (1, 3,2)C1 (0,2 3,1)uuuur∴AC1 (0,2 3,1)uuuurAB1(1, 3,2)uuurAA1(0,0,4)r设 n ( x, y,z) 的法向量x3y 2z 0r4z0(3,1,0)∴ nuuur r uuur rsinAC n AC n uuur rAC n2 32 133913∴正弦值是39 ．1320．(此题满分15 分)已知等比数列a n的公比q1 ，且a3a4a528 ，a4 2 是 a3，a5的等差中项，数列b n知足b11，数列(b n 1 b n )a n的前n项和为2n2n ．（Ⅰ）求 q 的值．（Ⅱ）求数列 b n的通项公式．【分析】：(1)∵ a3 a4 a5 28 ，2(a42)a3a5∴ a3a3 q a3q 2282a3q4a32 a3q∴a3 4 ，q 2∴ a n2n 1， q2(2) 设S n为 (b n 1 b n )a n的前n项和即 S n2n2n(b n 1b n ) a n S n Sn 1(n 2)∴(b2b1 ) a1S13(n 1)∴ (b n 1b n ) a n4n1∴ b n 1 b n4n 12n 1b nbn 14n52n 2Mb 23b 120累加得： bb 37 L4 n 1n 112021 2n 1令 T n3 7 4n 120 21L2n 11 374n 5 4n 12Tn2122 L 2n 12 n∴ T n 144n 72n 1∴ b n 1 154n 72n1∴ b n 154n 32 n 221． (此题满分 15 分 )如图，已知点 P 是 y 轴左边（不含 y 轴）一点，抛物线 C : y 24 x 上存在不一样的两点A ，B 知足 PA ， PB 的中点均在C 上． （Ⅰ）设 AB 中点为 M ，证明： PM 垂直于 y 轴．（Ⅱ）若 P 是半椭圆 x 2y 21(x 0) 上的动点，求 △PAB 面积的取值范围．4【分析】：（Ⅰ）设 A( x 1 , y 1 ) , B( x 2 , y 2 )M ( x m , y m ) ， P(x p , y p )y 12 4 x 1 (1)∴2 4 x(2)y22(1) (2) 得：( y 1 y 2 )( y 1 y 2 ) 4( x 1 x 2 )∴ y 1y 2 y 14 y 2 4 2 x 1x 2 2 y m y mx 1 x p y 1y p又∵ E(,2 )2 x 2 x py 2 y pF ( ,2 )2E ,F 在抛物线上 ( y 1 y p ) 2 4( x 1 x p ) ∴ 4 2y 12 2 y 1 y p y p 28( x 1 x p )∵ y 12 4x 1∴ 2 y 2 y p y p 2 4 x 1 8x p(3)同理 2y 2 y p 24 x 2 8x p (4)y p (3) (4) 2y p (y 1 y 2 ) 4( x 1 x 2 )∴ y 1y 2 2x 1x 2y p∴22y m y p∴ y m y p∴ PM y 轴（Ⅱ） S1 x py 1 y 2PAB xmV212 y 22y 1x p y 1 y 2281( y 1y 2 )2 - 2 y 1 y 2 - 8 x p( y y2- 4 y y)28121 2y 1 2 2 y 1 y p y p 2y 12y 2 2 2 y 2 y p y p 2 y 22由第（Ⅰ）问可知42 2 x p ，42x p2可知 y 1y 22 y p ， y 1 y 28x 0y 0 23 2( y p 23∴ S4x p )24又∵x p 2 y p21 ， x p1,04∴ S6 2 x p2x p 1∴ △PAB 面积的取值范围是6 2,1510422．（此题满分 15 分）已知函数 f ( x) x ln x ．（Ⅰ）若 f ( x) 在 x x 1 ， x 2 ( x 1 x 2 ) 处倒数相等，证明：f (x 1 ) f ( x 2 ) 8 8ln 2．（Ⅱ）若 a ≤34ln2 ，证明：对于随意 k0 ，直线 y kxa 与曲线 yf (x) 有独一公共点．【分析】：（Ⅰ） f (x)x ln x1 1 1 x 2f ( x)xx2 x2当 x ≥4 时， f ( x) 单一递加0 x 4 时， f (x) 单一递减∵ f (x 1 )f (x 2 )x 1 2x 22∴2 x 22x 1 ∴ x 1 x 22( x 1x 2 ) ∴ x 1 x 2 4( x 1 x 22 x 1x 2 )x 1x 2 8 x 1 x 24(x 1 x 2 ) 8 x 1x 2 ( x 1 x 2 )∴ x 1 x 2 16 x 1 x 2∴ x 1 x 2 16∵ f (x1 ) f (x 2 )x1x2 ln x1 ln x21x1 x2ln( x1 x 2 )2令x1 x2t 16 f (x1) f ( x2 ) g (t )g(t)1t ln t 22t4g (t)2t当t 4 时，g (t)单一递加∴ g(t) g (16) 8 8ln 2∴ f ( x1 ) f ( x2 )88ln 2（Ⅱ）设函数 g( x)x ln x112kxx 2 kx，则g ( x)xk2 x 2 x①当116k≤0 时，即k≥116此时 g ( x)0 恒成立则 g( x) 在,单一递减∴x ln x kx a 只有一个实数根②当116k0 时，即01 k16设 x1， x2为 g (x)0 的两个根∴ g( x) 在 (0, x1 ) 单一递减，在( x1 , x2 ) 单一递加，在 (x2 ,) 单一递减∵ g( x1 )x1ln x1kx12kx1x1 2 0∴ g( x1 )x1ln x1 1 ，a≤3 4ln2 2∴x11116k , k0, 14k16∴x12,4令x1t则 g(t)t ln t 212t4g (t)2t∴g(t ) 在 2,4 上单一递减∴ g(t ) g 4 3 2ln 2∴ a≤3 4ln2 时，x ln x kx a 只有一个实数根综合得证。