2018年浙江高考数学试题及答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：若事件A ，B 互斥，则 ()()()P A B P A P B +=+若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B =若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k kn k n n P k p p k n -=-= 台体的体积公式121()3V S S h=++其中分别表示台体的上、下底面积，12,S S 表示台体的高h 柱体的体积公式V Sh=其中表示柱体的底面积，表示柱体的高S h 锥体的体积公式13V Sh=其中表示锥体的底面积，表示锥体的高S h 球的表面积公式24S R =π球的体积公式343V R =π其中表示球的半径R 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则C A=U A ．B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}∅2．双曲线的焦点坐标是221 3=x y -A ．，0)，，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，)，(0)D ．(0，−2)，(0，2)3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是侧侧侧侧侧侧A ．2B ．4C ．6D ．84．复数(i 为虚数单位)的共轭复数是21i-A ．1+iB ．1−i C ．−1+iD ．−1−i5．函数y =sin2x 的图象可能是||2xA B C D6．已知平面α，直线m ，n 满足m α，n α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的⊄⊂A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设0<p <1，随机变量ξ的分布列是ξ012P12p -122p 则当p 在（0，1）内增大时，A ．D （ξ）减小B ．D （ξ）增大C ．D （ξ）先减小后增大D ．D （ξ）先增大后减小8．已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −C 的平面角为θ3，则A ．θ1≤θ2≤θ3B ．θ3≤θ2≤θ1C ．θ1≤θ3≤θ2D ．θ2≤θ3≤θ19．已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2−4e ·bπ3+3=0，则|a −b |的最小值是( )A B C ．2D ．10．已知成等比数列，且．若，则( )1234,,,a a a a 1234123ln()a a a a a a a +++=++11a >A ．B ．C ．D ．1324,a a a a <<1324,a a a a ><1324,a a a a <>1324,a a a a >>非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。

2018浙江省高考数学试卷新教改一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的;A=1．4分2018 浙江已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则UA．B．{1,3} C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}2．4分2018 浙江双曲线﹣y2=1的焦点坐标是A．﹣,0,,0 B．﹣2,0,2,0 C．0,﹣,0,D．0,﹣2,0,23．4分2018 浙江某几何体的三视图如图所示单位：cm,则该几何体的体积单位：cm3是A．2 B．4 C．6 D．84．4分2018 浙江复数i为虚数单位的共轭复数是A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i5．4分2018 浙江函数y=2|x|sin2x的图象可能是A． B． C．D．6．4分2018 浙江已知平面α,直线m,n满足mα,nα,则“m∥n”是“m∥α”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．4分2018 浙江设0＜p ＜1,随机变量ξ的分布列是ξ 012P则当p 在0,1内增大时, A ．Dξ减小B ．Dξ增大C ．Dξ先减小后增大D ．Dξ先增大后减小8．4分2018 浙江已知四棱锥S ﹣ABCD 的底面是正方形,侧棱长均相等,E 是线段AB 上的点不含端点．设SE 与BC 所成的角为θ1,SE 与平面ABCD 所成的角为θ2,二面角S ﹣AB ﹣C 的平面角为θ3,则 A ．θ1≤θ2≤θ3B ．θ3≤θ2≤θ1C ．θ1≤θ3≤θ2D ．θ2≤θ3≤θ19．4分2018 浙江已知,,是平面向量,是单位向量．若非零向量与的夹角为,向量满足﹣4+3=0,则|﹣|的最小值是 A ．﹣1 B ．+1C ．2D ．2﹣10．4分2018 浙江已知a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列,且a 1+a 2+a 3+a 4=lna 1+a 2+a 3,若a 1＞1,则 A ．a 1＜a 3,a 2＜a 4B ．a 1＞a 3,a 2＜a 4C ．a 1＜a 3,a 2＞a 4D ．a 1＞a 3,a 2＞a 4二、填空题：本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分;11．6分2018浙江我国古代数学着作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一,值钱五；鸡母一,值钱三；鸡雏三,值钱一．凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别为x,y,z,则,当z=81时,x= ,y= ．12．6分2018 浙江若x,y 满足约束条件,则z=x+3y 的最小值是 ,最大值是 ．13．6分2018 浙江在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ．若a=,b=2,A=60°,则sinB= ,c= ． 14．4分2018 浙江二项式+8的展开式的常数项是 ．15．6分2018 浙江已知λ∈R,函数fx=,当λ=2时,不等式fx＜0的解集是．若函数fx恰有2个零点,则λ的取值范围是．16．4分2018 浙江从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数．用数字作答17．4分2018 浙江已知点P0,1,椭圆+y2=mm＞1上两点A,B满足=2,则当m= 时,点B横坐标的绝对值最大．三、解答题：本大题共5小题,共74分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤; 18．14分2018 浙江已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P﹣,﹣．Ⅰ求sinα+π的值；Ⅱ若角β满足sinα+β=,求cosβ的值．19．15分2018 浙江如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=l,AB=BC=B1B=2．Ⅰ证明：AB1⊥平面A1B1C1；Ⅱ求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．20．15分2018 浙江已知等比数列{an }的公比q＞1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项．数列{bn }满足b1=1,数列{bn+1﹣bnan}的前n项和为2n2+n．Ⅰ求q的值；Ⅱ求数列{bn}的通项公式．21．15分2018 浙江如图,已知点P是y轴左侧不含y轴一点,抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上．Ⅰ设AB中点为M,证明：PM垂直于y轴；Ⅱ若P是半椭圆x2+=1x＜0上的动点,求△PAB面积的取值范围．22．15分2018 浙江已知函数fx=﹣lnx．Ⅰ若fx在x=x1,x2x1≠x2处导数相等,证明：fx1+fx2＞8﹣8ln2；Ⅱ若a≤3﹣4ln2,证明：对于任意k＞0,直线y=kx+a与曲线y=fx有唯一公共点．2018年浙江省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的;A=1．4分2018 浙江已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则UA．B．{1,3} C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}考点1F：补集及其运算．A是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合．分析根据补集的定义直接求解：UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合,由已解答解：根据补集的定义,U知,有且仅有2,4,5符合元素的条件．A={2,4,5}U故选：C．点评本题考查了补集的定义以及简单求解,属于简单题．2．4分2018 浙江双曲线﹣y2=1的焦点坐标是A．﹣,0,,0 B．﹣2,0,2,0 C．0,﹣,0,D．0,﹣2,0,2考点KC：双曲线的性质．专题34 ：方程思想；4O：定义法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析根据双曲线方程,可得该双曲线的焦点在x轴上,由平方关系算出c==2,即可得到双曲线的焦点坐标．解答解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上,且a2=3,b2=1,由此可得c==2,∴该双曲线的焦点坐标为±2,0故选：B．点评本题考查双曲线焦点坐标,着重考查了双曲线的标准方程和焦点坐标求法等知识,属于基础题．3．4分2018 浙江某几何体的三视图如图所示单位：cm,则该几何体的体积单位：cm3是A．2 B．4 C．6 D．8考点L：由三视图求面积、体积．专题35 ：转化思想；5F ：空间位置关系与距离．分析直接利用三视图的复原图求出几何体的体积．解答解：根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱．如图所示：故该几何体的体积为：V=．故选：C．点评本题考查的知识要点：三视图的应用．4．4分2018 浙江复数i为虚数单位的共轭复数是A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点A5：复数的运算．专题5N ：数系的扩充和复数．分析化简已知复数z,由共轭复数的定义可得．解答解：化简可得z===1+i,∴z的共轭复数=1﹣i故选：B．点评本题考查复数的代数形式的运算,涉及共轭复数,属基础题．5．4分2018 浙江函数y=2|x|sin2x的图象可能是A． B． C．D．考点3A：函数的图象与图象的变换．专题35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用．分析直接利用函数的图象和性质求出结果．解答解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x,得到：函数的图象为奇函数,故排除A和B．当x=时,函数的值也为0,故排除C．故选：D．点评本题考查的知识要点：函数的性质和赋值法的应用．6．4分2018 浙江已知平面α,直线m,n满足mα,nα,则“m∥n”是“m∥α”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点29：充分条件、必要条件、充要条件．专题38 ：对应思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．分析根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答解：∵mα,nα,∴当m∥n时,m∥α成立,即充分性成立,当m∥α时,m∥n不一定成立,即必要性不成立,则“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选：A．点评本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据线面平行的定义和性质是解决本题的关键,是基础题．7．4分2018 浙江设0＜p＜1,随机变量ξ的分布列是ξ012P则当p在0,1内增大时,A．Dξ减小B．Dξ增大C．Dξ先减小后增大D．Dξ先增大后减小考点CH：离散型随机变量的期望与方差．专题33 ：函数思想；4O：定义法；5I ：概率与统计．分析求出随机变量ξ的分布列与方差,再讨论Dξ的单调情况．解答解：设0＜p＜1,随机变量ξ的分布列是Eξ=0×+1×+2×=p+；方差是Dξ=×+×+×=﹣p2+p+=﹣+,∴p∈0,时,Dξ单调递增；p∈,1时,Dξ单调递减；∴Dξ先增大后减小．故选：D．点评本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题,也考查了运算求解能力,是基础题．8．4分2018 浙江已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点不含端点．设SE与BC所成的角为θ1,SE与平面ABCD所成的角为θ2,二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3,则A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1考点MJ ：二面角的平面角及求法；L3：棱锥的结构特征；LM ：异面直线及其所成的角；MI ：直线与平面所成的角．专题31 ：数形结合；44 ：数形结合法；5G ：空间角．分析作出三个角,表示出三个角的正弦或正切值,根据三角函数的单调性即可得出三个角的大小．解答解：∵由题意可知S 在底面ABCD 的射影为正方形ABCD 的中心． 过E 作EF ∥BC,交CD 于F,过底面ABCD 的中心O 作ON ⊥EF 交EF 于N, 连接SN,取CD 中点M,连接SM,OM,OE,则EN=OM, 则θ1=∠SEN,θ2=∠SEO,θ3=∠SMO ． 显然,θ1,θ2,θ3均为锐角． ∵tanθ1==,tanθ3=,SN ≥SO,∴θ1≥θ3, 又sinθ3=,sinθ2=,SE ≥SM,∴θ3≥θ2． 故选：D ．点评本题考查了空间角的计算,三角函数的应用,属于中档题．9．4分2018 浙江已知,,是平面向量,是单位向量．若非零向量与的夹角为,向量满足﹣4+3=0,则|﹣|的最小值是 A ．﹣1 B ．+1C ．2D ．2﹣考点9O ：平面向量数量积的性质及其运算．专题11 ：计算题；31 ：数形结合；4R ：转化法；5A ：平面向量及应用． 分析把等式﹣4+3=0变形,可得得,即⊥,设,则的终点在以2,0为圆心,以1为半径的圆周上,再由已知得到的终点在不含端点O 的两条射线y=x ＞0上,画出图形,数形结合得答案． 解答解：由﹣4+3=0,得,∴⊥,如图,不妨设,则的终点在以2,0为圆心,以1为半径的圆周上, 又非零向量与的夹角为,则的终点在不含端点O 的两条射线y=x ＞0上．不妨以y=为例,则|﹣|的最小值是2,0到直线的距离减1．即．故选：A ．点评本题考查平面向量的数量积运算,考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法,属难题．10．4分2018 浙江已知a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列,且a 1+a 2+a 3+a 4=lna 1+a 2+a 3,若a 1＞1,则 A ．a 1＜a 3,a 2＜a 4B ．a 1＞a 3,a 2＜a 4C ．a 1＜a 3,a 2＞a 4D ．a 1＞a 3,a 2＞a 4考点8I ：数列与函数的综合；4H ：对数的运算性质；87：等比数列的性质． 专题11 ：计算题；32 ：分类讨论；34 ：方程思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用；54 ：等差数列与等比数列．分析利用等比数列的性质以及对数函数的单调性,通过数列的公比的讨论分析判断即可．解答解：a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列,由等比数列的性质可知,奇数项符号相同,偶数项符号相同,a 1＞1,设公比为q,当q ＞0时,a 1+a 2+a 3+a 4＞a 1+a 2+a 3,a 1+a 2+a 3+a 4=lna 1+a 2+a 3,不成立, 即：a 1＞a 3,a 2＞a 4,a 1＜a 3,a 2＜a 4,不成立,排除A 、D ．当q=﹣1时,a 1+a 2+a 3+a 4=0,lna 1+a 2+a 3＞0,等式不成立,所以q ≠﹣1； 当q ＜﹣1时,a 1+a 2+a 3+a 4＜0,lna 1+a 2+a 3＞0,a 1+a 2+a 3+a 4=lna 1+a 2+a 3不成立, 当q ∈﹣1,0时,a 1＞a 3＞0,a 2＜a 4＜0,并且a 1+a 2+a 3+a 4=lna 1+a 2+a 3,能够成立, 故选：B ．点评本题考查等比数列的性质的应用,函数的值的判断,对数函数的性质,考查发现问题解决问题的能力,难度比较大．二、填空题：本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分;11．6分2018浙江我国古代数学着作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一,值钱五；鸡母一,值钱三；鸡雏三,值钱一．凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别为x,y,z,则,当z=81时,x= 8 ,y= 11 ．考点53：函数的零点与方程根的关系．专题11 ：计算题；33 ：函数思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用．分析直接利用方程组以及z的值,求解即可．解答解：,当z=81时,化为：,解得 x=8,y=11．故答案为：8；11．点评本题考查方程组的解法,是基本知识的考查．12．6分2018 浙江若x,y满足约束条件,则z=x+3y的最小值是﹣2 ,最大值是8 ．考点7C：简单线性规划．专题1 ：常规题型；11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5T ：不等式．分析作出题中不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,再将目标函数z=x+3y对应的直线进行平移,观察直线在y轴上的截距变化,然后求解最优解得到结果．解答解：作出x,y满足约束条件表示的平面区域,如图：其中B4,﹣2,A2,2．设z=Fx,y=x+3y,将直线l：z=x+3y进行平移,观察直线在y轴上的截距变化,可得当l经过点B时,目标函数z达到最小值．∴z=F4,﹣2=﹣2．最小值可得当l经过点A时,目标函数z达到最最大值：z=F2,2=8．最大值故答案为：﹣2；8．点评本题给出二元一次不等式组,求目标函数的最小值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于中档题．13．6分2018 浙江在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c．若a=,b=2,A=60°,则sinB= ,c= 3 ．考点HP：正弦定理．专题11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；58 ：解三角形．分析由正弦定理得=,由此能求出sinB,由余弦定理得cos60°=,由此能求出c．解答解：∵在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c．a=,b=2,A=60°,∴由正弦定理得：,即=,解得sinB==．由余弦定理得：cos60°=,解得c=3或c=﹣1舍,∴sinB=,c=3．故答案为：,3．点评本题考查三角形中角的正弦值、边长的求法,考查正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题．14．4分2018 浙江二项式+8的展开式的常数项是7 ．考点DA：二项式定理．专题35 ：转化思想；4O：定义法；5P ：二项式定理．分析写出二项展开式的通项并整理,由x的指数为0求得r值,则答案可求．解答解：由=．令=0,得r=2．∴二项式+8的展开式的常数项是．故答案为：7．点评本题考查了二项式系数的性质,关键是熟记二项展开式的通项,是基础题．15．6分2018 浙江已知λ∈R,函数fx=,当λ=2时,不等式fx＜0的解集是{x|1＜x＜4} ．若函数fx恰有2个零点,则λ的取值范围是1,3 ．考点57：函数与方程的综合运用；3E：函数单调性的性质与判断；5B：分段函数的应用．专题11 ：计算题；31 ：数形结合；34 ：方程思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用．分析利用分段函数转化求解不等式的解集即可；利用函数的图象,通过函数的零点得到不等式求解即可．解答解：当λ=2时函数fx=,显然x≥2时,不等式x﹣4＜0的解集：{x|2≤x＜4}；x＜2时,不等式fx＜0化为：x2﹣4x+3＜0,解得1＜x＜2,综上,不等式的解集为：{x|1＜x＜4}．函数fx恰有2个零点,函数fx=的草图如图：函数fx恰有2个零点,则λ∈1,3．故答案为：{x|1＜x＜4}；1,3．点评本题考查函数与方程的应用,考查数形结合以及函数的零点个数的判断,考查发现问题解决问题的能力．16．4分2018 浙江从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成1260 个没有重复数字的四位数．用数字作答考点D8：排列、组合的实际应用．专题11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5O ：排列组合．分析可先从1,3,5,7,9中任取2个数字,然后通过0是否存在,求解即可．解答解：从1,3,5,7,9中任取2个数字有种方法,从2,4,6,0中任取2个数字不含0时,有种方法,可以组成=720个没有重复数字的四位数；含有0时,0不能在千位位置,其它任意排列,共有=540,故一共可以组成1260个没有重复数字的四位数．故答案为：1260．点评本题考查排列组合及简单的计数问题,先选后排是解决问题的关键,注意“0“是否在4位数中去易错点,是中档题．17．4分2018 浙江已知点P0,1,椭圆+y2=mm＞1上两点A,B满足=2,则当m= 5 时,点B横坐标的绝对值最大．考点K4：椭圆的性质．专题34 ：方程思想；48 ：分析法；5A ：平面向量及应用；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析设Ax1,y1,Bx2,y2,运用向量共线的坐标表示,以及点满足椭圆方程,求得y1,y2,有x22=m﹣2,运用二次函数的最值求法,可得所求最大值和m的值．解答解：设Ax1,y1,Bx2,y2,由P0,1,=2,可得﹣x1=2x2,1﹣y1=2y2﹣1,即有x1=﹣2x2,y1+2y2=3,又x12+4y12=4m,即为x22+y12=m,①x 22+4y22=4m,②①﹣②得y1﹣2y2y1+2y2=﹣3m,可得y1﹣2y2=﹣m,解得y1=,y2=,则m=x22+2,即有x22=m﹣2==,即有m=5时,x22有最大值16,即点B横坐标的绝对值最大．故答案为：5．点评本题考查椭圆的方程和应用,考查向量共线的坐标表示和方程思想、转化思想,以及二次函数的最值的求法,属于中档题．三、解答题：本大题共5小题,共74分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤; 18．14分2018 浙江已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P﹣,﹣．Ⅰ求sinα+π的值；Ⅱ若角β满足sinα+β=,求cosβ的值．考点GP：两角和与差的三角函数；G9：任意角的三角函数的定义．专题33 ：函数思想；4R：转化法；56 ：三角函数的求值．分析Ⅰ由已知条件即可求r,则sinα+π的值可得；Ⅱ由已知条件即可求sinα,cosα,cosα+β,再由cosβ=cosα+β﹣α=cosα+βcosα+sinα+βsinα代值计算得答案．解答解：Ⅰ∵角α的顶点与原点O重合,始边与x轴非负半轴重合,终边过点P﹣,﹣．∴x=﹣,y=,r=|OP|=,∴sinα+π=﹣sinα=；Ⅱ由x=﹣,y=,r=|OP|=1,得,,又由sinα+β=,得=,则cosβ=cosα+β﹣α=cosα+βcosα+sinα+βsinα=,或cosβ=cosα+β﹣α=cosα+βcosα+sinα+βsinα=．∴cosβ的值为或．点评本题考查了任意角的三角函数的定义,考查了三角函数的诱导公式的应用,是中档题．19．15分2018 浙江如图,已知多面体ABCA 1B 1C 1,A 1A,B 1B,C 1C 均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A 1A=4,C 1C=l,AB=BC=B 1B=2． Ⅰ证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；Ⅱ求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．考点MI ：直线与平面所成的角；LW ：直线与平面垂直．专题31 ：数形结合；41 ：向量法；5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角． 分析I 利用勾股定理的逆定理证明AB 1⊥A 1B 1,AB 1⊥B 1C 1,从而可得AB 1⊥平面A 1B 1C 1； II 以AC 的中点为坐标原点建立空间坐标系,求出平面ABB 1的法向量,计算与的夹角即可得出线面角的大小．解答I 证明：∵A 1A ⊥平面ABC,B 1B ⊥平面ABC, ∴AA 1∥BB 1, ∵AA 1=4,BB 1=2,AB=2, ∴A 1B 1==2,又AB 1==2,∴AA 12=AB 12+A 1B 12,∴AB 1⊥A 1B 1, 同理可得：AB 1⊥B 1C 1, 又A 1B 1∩B 1C 1=B 1, ∴AB 1⊥平面A 1B 1C 1．II 解：取AC 中点O,过O 作平面ABC 的垂线OD,交A 1C 1于D, ∵AB=BC,∴OB ⊥OC,∵AB=BC=2,∠BAC=120°,∴OB=1,OA=OC=,以O 为原点,以OB,OC,OD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示： 则A0,﹣,0,B1,0,0,B 11,0,2,C 10,,1, ∴=1,,0,=0,0,2,=0,2,1,设平面ABB 1的法向量为=x,y,z,则,∴,令y=1可得=﹣,1,0,∴cos＜＞===．设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ,则sinθ=|cos＜＞|=．∴直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为．点评本题考查了线面垂直的判定定理,线面角的计算与空间向量的应用,属于中档题．20．15分2018 浙江已知等比数列{an }的公比q＞1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项．数列{bn }满足b1=1,数列{bn+1﹣bnan}的前n项和为2n2+n．Ⅰ求q的值；Ⅱ求数列{bn}的通项公式．考点8M：等差数列与等比数列的综合．专题34 ：方程思想；48 ：分析法；54 ：等差数列与等比数列．分析Ⅰ运用等比数列的通项公式和等差数列中项性质,解方程可得公比q；Ⅱ设cn =bn+1﹣bnan=bn+1﹣bn2n﹣1,运用数列的递推式可得cn=4n﹣1,再由数列的恒等式求得b n =b1+b2﹣b1+b3﹣b2+…+bn﹣bn﹣1,运用错位相减法,可得所求数列的通项公式．解答解：Ⅰ等比数列{an }的公比q＞1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项,可得2a4+4=a3+a5=28﹣a4,解得a4=8,由+8+8q=28,可得q=2舍去,则q的值为2；Ⅱ设cn =bn+1﹣bnan=bn+1﹣bn2n﹣1,可得n=1时,c1=2+1=3,n≥2时,可得cn=2n2+n﹣2n﹣12﹣n﹣1=4n﹣1,上式对n=1也成立,则bn+1﹣bnan=4n﹣1,即有bn+1﹣bn=4n﹣1n﹣1,可得bn =b1+b2﹣b1+b3﹣b2+…+bn﹣bn﹣1=1+30+71+…+4n﹣5n﹣2,b=+3n+72+…+4n﹣5n﹣1,=+4+2+…+n﹣2﹣4n﹣5相减可得bnn﹣1=+4 ﹣4n﹣5n﹣1,化简可得b=15﹣4n+3nn﹣2．点评本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项的性质,考查数列的恒等式和错位相减法的运用,考查运算能力,属于中档题．21．15分2018 浙江如图,已知点P是y轴左侧不含y轴一点,抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上．Ⅰ设AB中点为M,证明：PM垂直于y轴；Ⅱ若P是半椭圆x2+=1x＜0上的动点,求△PAB面积的取值范围．考点KN：直线与抛物线的位置关系；KL：直线与椭圆的位置关系．专题34 ：方程思想；48 ：分析法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析Ⅰ设Pm,n,A,y1,B,y2,运用中点坐标公式可得M的坐标,再由中点坐标公式和点在抛物线上,代入化简整理可得y1,y2为关于y的方程y2﹣2ny+8m﹣n2=0的两根,由韦达定理即可得到结论；Ⅱ由题意可得m2+=1,﹣1≤m＜0,﹣2＜n＜2,可得△PAB面积为S=|PM||y1﹣y2|,再由配方和换元法,可得面积S关于新元的三次函数,运用单调性可得所求范围．解答解：Ⅰ证明：可设Pm,n,A,y1,B,y2,AB中点为M的坐标为,,抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上,可得2=4 ,2=4 ,化简可得y1,y2为关于y的方程y2﹣2ny+8m﹣n2=0的两根,可得y1+y2=2n,y1y2=8m﹣n2,可得n=,则PM垂直于y轴；Ⅱ若P是半椭圆x2+=1x＜0上的动点,可得m2+=1,﹣1≤m＜0,﹣2＜n＜2,由Ⅰ可得y1+y2=2n,y1y2=8m﹣n2,由PM垂直于y轴,可得△PAB面积为S=|PM||y1﹣y2|=﹣m=4n2﹣16m+2n2﹣m=n2﹣4m,可令t===,可得m=﹣时,t取得最大值；m=﹣1时,t取得最小值2,即2≤t≤,则S=t3在2≤t≤递增,可得S∈6,,△PAB面积的取值范围为6,．点评本题考查抛物线的方程和运用,考查转化思想和运算能力,以及换元法和三次函数的单调性,属于难题．22．15分2018 浙江已知函数fx=﹣lnx．Ⅰ若fx在x=x1,x2x1≠x2处导数相等,证明：fx1+fx2＞8﹣8ln2；Ⅱ若a≤3﹣4ln2,证明：对于任意k＞0,直线y=kx+a与曲线y=fx有唯一公共点．考点6E：利用导数研究函数的最值．专题14 ：证明题；35 ：转化思想；49 ：综合法；53 ：导数的综合应用．分析Ⅰ推导出x＞0,f′x=﹣,由fx在x=x1,x2x1≠x2处导数相等,得到+=,由基本不等式得：=≥,从而x1x2＞256,由题意得fx1+fx2==﹣lnx1x2,设gx=,则,利用导数性质能证明fx1+fx2＞8﹣8ln2．Ⅱ令m=e﹣|a|+k,n=2+1,则fm﹣km﹣a＞|a|+k﹣k﹣a≥0,推导出存在x∈m,n,使fx0=kx+a,对于任意的a∈R及k∈0,+∞,直线y=kx+a与曲线y=fx有公共点,由fx=kx+a,得k=,设hx=,则h′x==,利用导数性质能证明a≤3﹣4ln2时,对于任意k＞0,直线y=kx+a与曲线y=fx有唯一公共点．解答证明：Ⅰ∵函数fx=﹣lnx,∴x ＞0,f′x=﹣,∵fx 在x=x 1,x 2x 1≠x 2处导数相等, ∴=﹣,∵x 1≠x 2,∴+=,由基本不等式得：=≥,∵x 1≠x 2,∴x 1x 2＞256, 由题意得fx 1+fx 2==﹣lnx 1x 2,设gx=,则,∴列表讨论：x 0,16 16 16,+∞g′x ﹣ 0 + gx↓2﹣4ln2↑∴gx 在256,+∞上单调递增, ∴gx 1x 2＞g256=8﹣8ln2, ∴fx 1+fx 2＞8﹣8ln2． Ⅱ令m=e ﹣|a|+k ,n=2+1,则fm ﹣km ﹣a ＞|a|+k ﹣k ﹣a ≥0, fn ﹣kn ﹣a ＜n﹣﹣k ≤n﹣k ＜0,∴存在x 0∈m,n,使fx 0=kx 0+a,∴对于任意的a ∈R 及k ∈0,+∞,直线y=kx+a 与曲线y=fx 有公共点, 由fx=kx+a,得k=,设hx=,则h′x==,其中gx=﹣lnx,由1知gx ≥g16,又a ≤3﹣4ln2,∴﹣gx ﹣1+a ≤﹣g16﹣1+a=﹣3+4ln2+a ≤0,∴h′x≤0,即函数hx在0,+∞上单调递减,∴方程fx﹣kx﹣a=0至多有一个实根,综上,a≤3﹣4ln2时,对于任意k＞0,直线y=kx+a与曲线y=fx有唯一公共点．点评本题考查函数的单调性,导数的运算及其应用,同时考查逻辑思维能力和综合应用能力,是中档题．。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，集合P ={1，3，5}，Q ={1，2，4}，则U P Q （）ð=（ ） A.{1} B.{3，5}C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，5}【答案】C考点：补集的运算.2. 已知互相垂直的平面αβ， 交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则（ ） A.m ∥l B.m ∥n C.n ⊥l D.m ⊥n【答案】C 【解析】试题分析：由题意知,l l αββ=∴⊂，,n n l β⊥∴⊥．故选C ．考点：线面位置关系.3. 函数y =sin x 2的图象是（ ）【答案】D 【解析】试题分析：因为2sin =y x 为偶函数，所以它的图象关于y 轴对称，排除A 、C 选项；当22x π=，即x =时，1max y =，排除B 选项，故选D. 考点：三角函数图象.4. 若平面区域30,230,230x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）【答案】B考点：线性规划.5. 已知a，b>0，且a≠1，b≠1，若4log>1b，则（）A.(1)(1)0a b--< B. (1)()0a a b-->C. (1)()0b b a--< D. (1)()0b b a-->【答案】D【解析】试题分析：log log1>=a ab a，当1>a 时，1>>b a ，10,0∴->->a b a ，(1)()0∴-->a b a ；当01<<a 时，01∴<<<b a ，10,0∴-<-<a b a ，(1)()0∴-->a b a ．故选D ． 考点：对数函数的性质.6. 已知函数f （x ）=x 2+bx ，则“b <0”是“f （f （x ））的最小值与f （x ）的最小值相等”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A考点：充分必要条件.7. 已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2,xf x x ≥∈R .（ ） A.若()f a b ≤，则a b ≤ B.若()2bf a ≤，则a b ≤ C.若()f a b ≥，则a b ≥ D.若()2bf a ≥，则a b ≥ 【答案】B 【解析】试题分析：由已知可设2(0)()2(0)-⎧≥⎪=⎨<⎪⎩x x x f x x ，则2(0)()2(0)-⎧≥⎪=⎨<⎪⎩aa a f a a ，因为()f x 为偶函数，所以只考虑0≥a 的情况即可．若()2≤b f a ，则22≤a b ，所以≤a b ．故选B ．考点：函数的奇偶性.8. 如图，点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上，且*1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈N ， *1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N .(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则（ ）A.{}n S 是等差数列B.{}2n S 是等差数列C.{}n d 是等差数列D.{}2n d 是等差数列【答案】A考点：新定义题、三角形面积公式.二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______cm 2,体积是______cm 3.【答案】80 ；40． 【解析】试题分析：由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体，22262244242280S =⨯+⨯+⨯⨯-⨯=表，3244240V =+⨯⨯=．考点：三视图.10. 已知a ∈R ，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______. 【答案】(2,4)--；5．考点：圆的标准方程.11. 已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______．1． 【解析】试题分析：22cos sin21cos2sin2)14x x x x x π+=++++，所以 1.A b =考点：三角恒等变换.12．设函数f (x )=x 3+3x 2+1．已知a ≠0，且f (x )–f (a )=(x –b )(x –a )2，x ∈R ，则实数a =_____，b =______．【答案】－2；1． 【解析】试题分析：32323232()()313133f x f a x x a a x x a a -=++---=+--，23222()()(2)(2)x b x a x a b x a ab x a b --=-+++-，所以223223203a b a ab a b a a --=⎧⎪+=⎨⎪-=--⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩．考点：函数解析式.13．设双曲线x 2–23y =1的左、右焦点分别为F 1，F 2．若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是_______．【答案】．考点：双曲线的几何性质.14．如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，AD∠ADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD'，直线AC 与BD'所成角的余弦的最大值是______．所以cos cos ',BD n θ=<>uuu r r ''BD n BD n⋅=uuu r ruuu r rcos 1α=时，cos θ取最大值9考点：异面直线所成角.15．已知平面向量a ，b ，|a |=1，|b |=2，a ·b =1．若e 为平面单位向量，则|a ·e |+|b ·e |的最大值是______．【解析】考点：平面向量的数量积和模.三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b +c =2a cos B ． （Ⅰ）证明：A =2B ； （Ⅱ）若cos B =23，求cos C 的值． 【答案】（1）证明详见解析；（2）22cos 27C =. 【解析】试题分析：本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力． 试题解析：（1）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，故2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++， 于是，sin sin()B A B =-，又,(0,)A B π∈，故0A B π<-<，所以()B A B π=--或B A B =-， 因此，A π=（舍去）或2A B =， 所以，2A B =.（2）由2cos 3B =，得sin 3B =，21cos 22cos 19B B =-=-，故1cos 9A =-，sin 9A =， 22cos cos()cos cos sin sin 27C A B A B A B =-+=-+=. 考点：三角函数及其变换、正弦和余弦定理.17. （本题满分15分）设数列{n a }的前n 项和为n S .已知2S =4，1n a +=2n S +1，*N n ∈. （I ）求通项公式n a ；（II ）求数列{2n a n --}的前n 项和.【答案】（1）1*3,n n a n N -=∈；（2）2*2,13511,2,2n n n T n n n n N =⎧⎪=⎨--+≥∈⎪⎩. 考点：等差、等比数列的基础知识.18. （本题满分15分）如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（I）求证：BF⊥平面ACFD；（II）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.【答案】（1）证明详见解析；（2.考点：空间点、线、面位置关系、线面角.19. （本题满分15分）如图，设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |-1.（I ）求p 的值；（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围.【答案】（1）p=2；（2）()(),02,-∞+∞.考点：抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系.20. （本题满分15分）设函数()f x =311x x++，[0,1]x ∈.证明： （I ）()f x 21x x ≥-+；（II ）34<()f x 32≤. 【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）证明详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.第一问，利用放缩法，得到41111x x x-≤++，从而得到结论；第二问，由01x ≤≤得3x x ≤，进行放缩，得到()32f x ≤， 再结合第一问的结论，得到()34f x >， 从而得到结论. 试题解析：(Ⅰ)因为()()4423111,11x x x x x x x----+-==--+考点：函数的单调性与最值、分段函数.。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B = 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k kn kn nP k p p k n -=-=台体的体积公式121()3V S S h =其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R =π球的体积公式343V R =π其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则=UAA ．∅B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}2．双曲线221 3=x y -的焦点坐标是A ．(−2，0)，(2，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，−2)，(0，2)D ．(0，−2)，(0，2)3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是侧视图俯视图正视图2211A ．2B ．4C ．6D ．84．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i5．函数y =||2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．6．已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设0<p <1，随机变量ξ的分布列是则当p 在（0，1）内增大时， A ．D （ξ）减小B ．D （ξ）增大C ．D （ξ）先减小后增大D ．D （ξ）先增大后减小8．已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −C 的平面角为θ3，则A ．θ1≤θ2≤θ3B ．θ3≤θ2≤θ1C ．θ1≤θ3≤θ2D ．θ2≤θ3≤θ19．已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是A 1BC ．2D 10．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则 A ．1324,a a a a <<B ．1324,a a a a ><C ．1324,a a a a <>D ．1324,a a a a >>非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2018年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷一、选择题（本大题共１0小题，每小题４分，共４0分)1. 已知全集U =｛１,２，3,4，5｝，A ＝｛１，3},则C U A =( )Ａ． ∅ﻩＢ. ｛1，3}ﻩＣ. {2，4，5}ﻩＤ. {1,2,３，4,5}2. 双曲线 x 23−y ２＝１的焦点坐标是( )Ａ. (−√2，０)，(√2，0)ﻩB ． （−2，0)，(2,０) C . (0，−√2)，(0,√2） D . （0，−２)，(０，2)3. 某几何体的三视图如图所示(单位：c ｍ),则该几何体的体积(单位:cm 3）是（ )A . ２B . ４ﻩC ． 6ﻩD . ８4. 复数21−i（i 为虚数单位)的共轭复数是（ ) A ． 1+i B ． 1−i ﻩC . −1+i D . −1−i5. 函数ｙ=2|x |s ｉn ２x 的图象可能是( ）俯视图正视图6. 已知平面α，直线m ,n 满足m ⊄α,n ⊂α,则“ｍ∥n ”是“m ∥α”的( )A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件 Ｃ． 充分必要条件ﻩD . 既不充分也不必要条件7. 设0<ｐ＜１,随机变量ξ的分布列是则当p 在(0,１）内增大时（ )A . D (ξ）减小 Ｂ. D (ξ）增大 Ｃ. D (ξ)先减小后增大ﻩD . D (ξ)先增大后减小8. 已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点(不含端点)，设S Ｅ与ＢC 所成的角为θ１，SE 与平面A ＢCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −Ｃ的平面角为θ3,则( )A ． θ１≤θ2≤θ3ﻩB ． θ3≤θ2≤θ1C . θ1≤θ３≤θ2D . θ2≤θ3≤θ１9. 已知ａ，b ,ｅ是平面向量,e 是单位向量,若非零向量ａ与e 的夹角为 π3,向量ｂ满足b 2−４e •b +３=0，则|a −b ｜的最小值是( )A . √3−1B . √3+1ﻩC . 2ﻩD ． 2−√310. 已知a １，a 2，a 3,a 4成等比数列，且a 1+a 2+a 3+a4=ｌn （a 1+ａ２＋a ３),若a 1>1，则( ）DC B A。

2018年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ）一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，2}B．{1，2}C．{0}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．（5分）设z=+2i，则|z|=（）A．0B．C．1D．3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．（5分）已知椭圆C：+=1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A．12πB．12πC．8πD．10π6．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x7．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（）A．﹣B．﹣C．+D．+ 8．（5分）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（）A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为49．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3D．210．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为（）A．8B．6C．8D．811．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，则|a﹣b|=（）A．B．C．D．112．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（0，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，0）二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2} 2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（）A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C．D．4．（5分）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣D．﹣5．（5分）（x2+）5的展开式中x4的系数为（）A．10B．20C．40D．806．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3] 7．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．＜P（X=6），则p=（）9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．10．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）A．12B．18C．24D．5411．（5分）设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（）A．B．2C．D．12．（5分）设a=log2A．a+b＜ab＜0B．ab＜a+b＜0C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年普通高等学校招生全国统一考试 (浙江卷)数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1. 已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则C U A =( )A . ∅B . {1，3}C . {2，4，5}D . {1，2，3，4，5}2. 双曲线−y 2=1的焦点坐标是( )A . (−，0)，(，0)B . (−2，0)，(2，0)C . (0，−)，(0，)D . (0，−2)，(0，2)3. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A . 2B . 4C . 6 D. 8俯视图正视图4. 复数(i 为虚数单位)的共轭复数是( )A . 1+iB . 1−iC . −1+iD . −1−i5. 函数y =sin 2x 的图象可能是()D C B A6. 已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件7. 设0<p <1则当p 在(0，1)内增大时( ) A . D (ξ)减小 B . D (ξ)增大 C . D (ξ)先减小后增大 D . D (ξ)先增大后减小 8. 已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点(不含端点)，设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −C 的平面角为θ3，则( ) A . θ1≤θ2≤θ3 B . θ3≤θ2≤θ1 C . θ1≤θ3≤θ2D . θ2≤θ3≤θ1 9. 已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2−4e •b +3=0，则|a −b |的最小值是( ) A . −1 B . +1 C . 2 D . 2− 10. 已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=ln (a 1+a 2+a 3)，若a 1>1，则( ) A . a 1<a 3，a 2<a 4 B . a 1>a 3，a 2<a 4 C . a 1<a 3，a 2>a 4 D . a 1>a 3，a 2>a 4 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 11. 我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则，当z =81时，x =__________________________，y =___________________________ 12. 若x ，y 满足约束条件，则z =x +3y 的最小值是________________________，最大值是_____________________ 13. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =，b =2，A =60°，则sinB =_________________，此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号c=___________________14.二项式(+)8的展开式的常数项是_________________________15.已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是_____________________，若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________________________16.从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成______________________个没有重复数字的四位数(用数字作答)17.已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B 满足=2，则当m=____________________时，点B横坐标的绝对值最大三、解答题(本大题共5小题，共74分)18.(14分)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P (−，−)(1)求sin(α+π)的值(2)若角β满足sin(α+β)=，求c osβ的值19.(15分)如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值C1B1A1CA20.(15分)已知等比数列{a n}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项，数列{b n}满足b1=1，数列{(b n+1−b n)a n}的前n项和为2n2+n(1)求q的值(2)求数列{b n}的通项公式21.(15分)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴(2)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围22.(15分)已知函数f(x )=−lnx(1)若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2(2)若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点2018年普通高等学校招生全国统一考试 (浙江卷) 数 学 答 案1.答案：C解答： 由题意知U C A ={2,4,5}.2.答案：B解答：∵2314c =+=，∴双曲线2213xy -=的焦点坐标是(2,0)-，(2,0).3.答案：C解答：该几何体的立体图形为四棱柱，(12)2262V +⨯=⨯=.4.答案：B解答：22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+，∴1z i =-.5.答案：D解答：令||()2sin 2x y f x x ==，||||()2sin(2)2sin 2()x x f x x x f x --=-=-=-，所以()f x 为奇函数①；当(0,)x p Î时，||20x >，sin 2x 可正可负，所以()f x 可正可负②.由①②可知，选D.6.答案：A解答：若“//m n ”，平面外一条直线与平面内一条直线平行，可得线面平行，所以“//m α”；当“//m α”时，m 不一定与n 平行，所以“//m n ”是“//m α”的充分不必要条件.7.答案：D解答：111()0122222ppE p x -=???+，22211113()()()()222222p p D p p p x -=?+?+?22111()422p p p =-++=--+， 所以当p 在(0,1)内增大时，()D x 先增大后减小，故选D. 8.答案：D 解答： 作SO 垂直于平面ABCD ，垂足为O ，取AB 的中点M ，连接SM .过O 作ON 垂直于直线SM ，可知2SEO θ=∠，3SMO θ=∠，过SO 固定下的二面角与线面角关系，得32θθ≥. 易知，3θ也为BC 与平面SAB 的线面角，即OM 与平面SAB 的线面角， 根据最小角定理，OM 与直线SE 所成的线线角13θθ≥， 所以231θθθ≤≤. 9.答案：A 解答： 设(1,0)e = ，(,)b x y = ， 则222430430b e b x y x -⋅+=⇒+-+= 22(2)1x y ⇒-+= 如图所示，a OA = ，b OB = ，（其中A 为射线OA 上动点，B 为圆C 上动点，3AOx π∠=.）∴min 11a b CD -=-= .（其中CD OA ⊥.）10.答案：B解答：∵ln 1x x ≤-，∴1234123123ln()1a a a a a a a a a a +++=++≤++-，得41a ≤-，即311a q ≤-，∴0q <.若1q ≤-，则212341(1)(1)0a a a a a q q +++=++≤，212311(1)1a a a a q q a ++=++≥>，矛盾.∴10q -<<，则2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<.∴13a a >，24a a <.11.答案：8 11解答：当81z =时，有811005327100x y x y ì++=ïïíï++=ïî，解得811x y ì=ïïíï=ïî.12.答案：2- 8解答：不等式组所表示的平面区域如图所示，当42x yì=ïïíï=-ïî时，3z x y =+取最小值，最小值为2-；当22x y ì=ïïíï=ïî时，3z x y =+取最大值，最大值为8.13.答案：73解答： 由正弦定理sin sin a b A B =2sin B =，所以sin 7B =由余弦定理，222cos 2b c a A bc +-=，得214724c c +-=，所以3c =. 14.答案：7 解答： 通项1813181()()2r r r r T C x x --+=843381()2r r r C x -=. 84033r -=，∴2r =.∴常数项为2281187()7242C ⨯⋅=⨯=. 15.答案：(1,4) (1,3](4,)⋃+∞ 解答： ∵2λ=，∴24,2()43,2x x f x x x x -≥⎧=⎨-+<⎩. 当2x ≥时，40x -<得24x ≤<. 当2x <时，2430x x -+<，解得12x <<. 综上不等式的解集为14x <<. 当243y x x =-+有2个零点时，4λ>. 当243y x x =-+有1个零点时，4y x =-有1个零点，13λ<≤. ∴13λ<≤或4λ>. 16.答案：1260 解答： 224121353435337205401260C C A C C C A +=+=. 17.答案：5 解答：方法一：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当直线斜率不存在时，9m =，20x =.当直线斜率存在时，设AB 为1y kx =+.联立2241x y m y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(41)8440k x kx m +++-=，20410mk m ∆>⇒+->，122841kx x k +=-+，1224441mx x k -=+.∵2AP PB = ，∴122x x =-，解得121641kx k -=+，22841kx k =+. ∴228821414k x k k k==≤++（当且仅当12k =时取“=”）.122216884141k k x x k k -=⋅=-++，122442241mx x m k -==-+，得5m =，∴当5m =时，点B 横坐标最大.方法二：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,1)AP x y =-- ，22(,1)PB x y =-，∵2AP PB = ，∴1212232x x y y =-⎧⎨=-⎩， ∴22222222(2)(32)(1)4(2)4x y m x y m ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，由(1)(2)得234m y +=.(3)将(3)代入(2)，得222(5)164m x --+=，∴2x =，∴当5m =时，2x 取最大值.18.答案：（1）45；（2）5665-或1665. 解答： （1）445sin()sin 15απα-+=-=-=. （2）∵()βαβα=+-，∴cos cos[()]βαβα=+-， ∵5sin()13αβ+=，∴12cos()13αβ+=±， 又∵4sin 5α=-，且α终边在第三象限，∴3cos 5α=-. ①当12cos()13αβ+=时， cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++ 12354362056()()1351356565--=⨯-+⨯-==-. ②当12cos()13αβ+=-时， cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++ 1235416()()()13513565=-⨯-+⨯-=. 19.答案： （1）略； （2解答： （1）∵12AB B B ==，且1B B ⊥平面ABC ， ∴1B B AB ⊥，∴1AB =.同理，1AC ===过点1C 作1B B 的垂线段交1B B 于点G ，则12C G BC ==且11B G =，∴11B C =. 在11AB C ∆中，2221111AB B C AC +=， ∴111AB B C ⊥，①过点1B 作1A A 的垂线段交1A A 于点H .则12B H AB ==，12A H =，∴11A B =.在11A B A ∆中，2221111AA AB A B =+，∴111AB A B ⊥，②综合①②，∵11111A B B C B ⋂=，11A B ⊂平面111A B C ，11B C ⊂平面111A B C ，∴1AB ⊥平面111A B C .（2）过点B 作AB 的垂线段交AC 于点I ，以B 为原点，以AB 所在直线为x 轴，以BI 所在直线为y 轴，以1B B 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系B xyz -.则(0,0,0)B ，(2,0,0)A -，1(0,0,2)B，1(1C ，设平面1ABB 的一个法向量(,,)n a b c =，则1020200n AB a c n BB ⎧⋅==⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩，令1b =，则(0,1,0)n = ，又∵1AC =，1cos ,13n AC <>==.由图形可知，直线1AC 与平面1ABB 所成角为锐角，设1AC 与平面1ABB 夹角为α.∴sin 13α=. 20.答案： （1）2q =； （2）243152n n n b -+=-. 解答： （1）由题可得34528a a a ++=，4352(2)a a a +=+，联立两式可得48a =. 所以34518(1)28a a a q q ++=++=，可得2q =（另一根112<，舍去）. （2）由题可得2n ≥时，221()2[2(1)(1)]41n n n b b a n n n n n +-=+--+-=-， 当1n =时，211()213b b a -=+=也满足上式，所以1()41n n n b b a n +-=-，n N +∈, 而由（1）可得41822n n n a --=⋅=，所以1141412n n n n n n b b a +----==， 所以121321()()()n n n b b b b b b b b --=-+-++- 01223711452222n n --=++++ ， 错位相减得1243142n n n b b -+-=-， 所以243152n n n b -+=-. 21.答案： （1）略； （2）. 解答： （1）设00(,)P x y ，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ， 则PA 中点为20011(,)282x y y y ++，由AP 中点在抛物线上，可得220101()4()228y y x y +=+，化简得2210100280y y y x y -+-=，显然21y y ≠， 且对2y 也有2220200280y y y x y -+-=， 所以12,y y 是二次方程22000280y y y x y -+-=的两不等实根，所以1202y y y +=，1202M P y y y y y +===，即PM 垂直于x 轴.（2）121()(||||)2M P M M S x x y y y y =--+-0121()||2M x x y y =--，由（1）可得1202y y y +=，212008y y x y =-，2220000012(2)4(8)8(4)0()y x y y x y y ∆=--=->≠，此时00(,)P x y 在半椭圆221(0)4y x x +=<上，∴2220000008(4)8[4(1)4]32(1)y x x x x x ∆=-=--=--，∵010x -≤<，∴0∆>，∴12||y y -===2222220000121212000042(8)6(44)()2||38888M P y x y x y y y y y y x x x x x x ---++--=-=-=-=-2003(1)x x =--，所以23012001()||2M S x x y y x x =--=--=，t =，所以3S =∈，即PAB ∆的面积的取值范围是4.22.答案：（1）略；（2）略.解答：（1）1()f x x '=-，不妨设12()()f x f x t ''==，即12,x x1t x -=的两根，2102xtx -+=的根， 所以1404t ∆=->，得1016t <<12t =1t =，12122111()()ln ln 2ln 22f x f x x x t t t t +=-=-=+， 令1()2ln 2g t t t =+，222141()022t g t t t t -'=-=<，∴()g t 在1(0,)16上单调递减. 所以1()()88ln 216g t g >=-，即12()()88ln 2f x f x +>-. （2）设()()()ln h x kx a f x kx x a =+-=+， 则当x 充分小时()0h x <，充分大时()0h x >，所以()h x 至少有一个零点，则2111())164h x k k x '=+=-+-， ①116k ≥，则()0h x '≥，()h x 递增，()h x 有唯一零点， ②1016k <<，则令211())0416h x k '=+-=，得()h x 有两个极值点1212,()x x x x <，14>，∴1016x <<. 可知()h x 在1(0,)x 递增，12(,)x x 递减，2(,)x +∞递增，∴1111111()ln )ln h x kx x a x x a x =+=+11ln x a =++，又1111()h x x '=+=， ∴1()h x 在(0,16)上单调递增， ∴1()(16)ln163ln16334ln 20h x h a <=-+≤-+-=， ∴()h x 有唯一零点， 综上可知，0k >时，y kx a =+与()y f x =有唯一公共点.。

2018年普通高等学校招生全国统一考试全1文科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2018·全国Ⅰ卷,文1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B等于( A )(A){0,2} (B){1,2}(C){0} (D){-2,-1,0,1,2}解析:A∩B={0,2}∩{-2,-1,0,1,2}={0,2}.故选A.2.(2018·全国Ⅰ卷,文2)设z=+2i,则|z|等于( C )(A)0 (B)(C)1 (D)解析:因为z=+2i=+2i=+2i=i,所以|z|=1.故选C.3.(2018·全国Ⅰ卷,文3)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:则下面结论中不正确的是( A )(A)新农村建设后,种植收入减少(B)新农村建设后,其他收入增加了一倍以上(C)新农村建设后,养殖收入增加了一倍(D)新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析:设新农村建设前,农村的经济收入为a,则新农村建设后,农村的经济收入为2a.新农村建设前后,各项收入的对比如下表:新农村建设前新农村建设后新农村建设结论后变化情况种植收入60%a 37%×2a=74%a 增加A错其他收入4%a 5%×2a=10%a 增加一倍以上B对养殖收入30%a 30%×2a=60%a 增加了一倍C对养殖收入+第三产业收入(30%+6%)a=36%a(30%+28%)×2a=116%a超过经济收入2a的一半D对故选A.4.(2018·全国Ⅰ卷,文4)已知椭圆C:+=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为( C )(A)(B)(C)(D)解析:因为a2=4+22=8,所以a=2,所以e===.故选C.5.(2018·全国Ⅰ卷,文5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O 1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( B )(A)12π(B)12π(C)8π(D)10π解析:设圆柱的轴截面的边长为x,则由x2=8,得x=2,所以S圆柱表=2S底+S侧=2×π×()2+2π××2=12π.故选B.6.(2018·全国Ⅰ卷,文6)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( D )(A)y=-2x (B)y=-x (C)y=2x (D)y=x解析:法一因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),由此可得a=1,故f(x)=x3+x,f′(x)=3x2+1,f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.法二因为f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,所以f′(x)=3x2+2(a-1)x+a为偶函数,所以a=1,即f′(x)=3x2+1,所以f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.7.(2018·全国Ⅰ卷,文7)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则等于( A )(A)-(B)-(C)+(D)+解析:=+=-(+)+=-.故选A.8.(2018·全国Ⅰ卷,文8)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则( B )(A)f(x)的最小正周期为π,最大值为3(B)f(x)的最小正周期为π,最大值为4(C)f(x)的最小正周期为2π,最大值为3(D)f(x)的最小正周期为2π,最大值为4解析:因为f(x)=2cos2x-sin2x+2=1+cos 2x-+2=cos 2x+,所以f(x)的最小正周期为π,最大值为4.故选B.9.(2018·全国Ⅰ卷,文9)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为( B )(A)2(B)2(C)3 (D)2解析:先画出圆柱的直观图,根据题图的三视图可知点M,N的位置如图①所示.圆柱的侧面展开图及M,N的位置(N位于OP的四等分点)如图②所示,连接MN,则图中MN即为M到N的最短路径.ON=×16=4,OM=2,所以MN===2.故选B.10.(2018·全国Ⅰ卷,文10)在长方体ABCD A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为( C )(A)8 (B)6(C)8(D)8解析:如图,连接AC1,BC1,AC.因为AB⊥平面BB1C1C,所以∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角,所以∠AC1B=30°.又AB=BC=2,在Rt△ABC1中,AC1==4,在Rt△ACC1中,CC1===2,所以V长方体=AB·BC·CC1=2×2×2=8.故选C.11.(2018·全国Ⅰ卷,文11)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=,则|a-b|等于( B ) (A)(B)(C)(D)1解析:由cos 2α=,得cos2α-sin2α=,所以=,即=,所以tan α=±,即=±,所以|a-b|=.故选B.12.(2018·全国Ⅰ卷,文12)设函数f(x)=则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是( D )(A)(-∞,-1] (B)(0,+∞)(C)(-1,0) (D)(-∞,0)解析:法一①当即x≤-1时,f(x+1)<f(2x)即为2-(x+1)<2-2x,即-(x+1)<-2x,解得x<1.因此不等式的解集为(-∞,-1].②当时,不等式组无解.③当即-1<x≤0时,f(x+1)<f(2x),即1<2-2x,解得x<0.因此不等式的解集为(-1,0).④当即x>0时,f(x+1)=1,f(2x)=1,不合题意.综上,不等式f(x+1)<f(2x)的解集为(-∞,0).故选D.法二当x≤0时,函数f(x)=2-x是减函数,则f(x)≥f(0)=1.作出f(x)的大致图象如图所示,结合图象可知,要使f(x+1)<f(2x),则需或所以x<0,即不等式f(x+1)<f(2x)的解集为(-∞,0).故选D.二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2018·全国Ⅰ卷,文13)已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,则a= .解析:因为f(x)=log2(x2+a)且f(3)=1,所以1=log2(9+a),所以9+a=2,所以a=-7.答案:-714.(2018·全国Ⅰ卷,文14)若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为.解析:作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示.由z=3x+2y得y=-x+.作直线l0:y=-x,平移直线l,当直线y=-x+过点(2,0)时,z取最大值,zmax=3×2+2×0=6.答案:615.(2018·全国Ⅰ卷,文15)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|= .解析:由x2+y2+2y-3=0,得x2+(y+1)2=4.所以圆心C(0,-1),半径r=2.圆心C(0,-1)到直线x-y+1=0的距离d==,所以|AB|=2=2=2.答案:216.(2018·全国Ⅰ卷,文16)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为.解析:因为bsin C+csin B=4asin Bsin C,所以由正弦定理得sin Bsin C+sin Csin B=4sin Asin Bsin C.又sin Bsin C>0,所以sin A=.由余弦定理得cos A===>0,所以cos A=,bc==,所以S△ABC=bcsin A=××=.答案:三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(2018·全国Ⅰ卷,文17)(12分)已知数列{an }满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=.(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;(3)求{an}的通项公式.解:(1)由条件可得=an.将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得=,即=2bn ,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得=2n-1,所以an=n·2n-1.18.(2018·全国Ⅰ卷,文18)(12分)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q ABP的体积.(1)证明:由已知可得,∠BAC=90°,即BA⊥AC.又BA⊥AD,所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.(2)解:由已知可得DC=CM=AB=3,DA=3.又BP=DQ=DA,所以BP=2.因为∠BAC=90°,AB=AC,所以∠ABC=45°.如图,过点Q作QE⊥AC,垂足为E,则QE DC.由已知及(1)可得DC⊥平面ABC,所以QE⊥平面ABC,QE=1.因此,三棱锥Q ABP的体积为=×S△ABP×QE=××3×2sin 45°×1=1.19.(2018·全国Ⅰ卷,文19)(12分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7)频数1 32 4 9 26 5使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) 频数 1 5 13 10 16 5(1)在图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率;(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)解:(1)如图所示.(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,因此该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48. (3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为=×(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48. 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为=×(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35.估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m 3).20.(2018·全国Ⅰ卷,文20)(12分)设抛物线C:y 2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A 的直线l 与C 交于M,N 两点.(1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程; (2)证明:∠ABM=∠ABN.(1)解:当l 与x 轴垂直时,l 的方程为x=2,可得M 的坐标为(2,2)或(2,-2). 所以直线BM 的方程为y=x+1或y=-x-1.(2)证明:当l 与x 轴垂直时,AB 为MN 的垂直平分线, 所以∠ABM=∠ABN.当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y=k(x-2)(k ≠0), M(x 1,y 1),N(x 2,y 2), 则x 1>0,x 2>0. 由得ky 2-2y-4k=0,可知y 1+y 2=,y 1y 2=-4. 直线BM,BN 的斜率之和为 k BM +k BN =+=.①将x 1=+2,x 2=+2及y 1+y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)===0.所以k BM +k BN =0,可知BM,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN. 综上,∠ABM=∠ABN.21.(2018·全国Ⅰ卷,文21)(12分)已知函数f(x)=ae x -ln x-1. (1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间; (2)证明:当a ≥时,f(x)≥0.(1)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ae x-.由题设知,f′(2)=0,所以a=.从而f(x)=e x-ln x-1,f′(x)=e x-.当0<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0.所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.(2)证明:当a≥时,f(x)≥-ln x-1.设g(x)=-ln x-1,则g′(x)=-.当0<x<1时,g′(x)<0;当x>1时,g′(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值点.故当x>0时,g(x)≥g(1)=0.因此,当a≥时,f(x)≥0.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.(2018·全国Ⅰ卷,文22)[选修44:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l 1,y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,点A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,点A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=-|x|+2.23.(2018·全国Ⅰ卷,文23)[选修45:不等式选讲](10分) 已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围. 解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=故不等式f(x)>1的解集为{x|x>}.(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立. 若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a>0,则|ax-1|<1的解集为{x|0<x<},所以≥1,故0<a≤2.综上,a的取值范围为(0,2].2018年普通高等学校招生全国统一考试全2文科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2018·全国Ⅱ卷,文1)i(2+3i)等于( D )(A)3-2i (B)3+2i(C)-3-2i (D)-3+2i解析:i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i.故选D.2.(2018·全国Ⅱ卷,文2)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B等于( C )(A){3} (B){5}(C){3,5} (D){1,2,3,4,5,7}解析:A∩B={1,3,5,7}∩{2,3,4,5}={3,5}.故选C.3.(2018·全国Ⅱ卷,文3)函数f(x)=的图象大致为( B )解析:因为y=e x-e-x是奇函数,y=x2是偶函数,所以f(x)=是奇函数,图象关于原点对称,排除A选项.因为f(1)==e-,e>2,所以<,所以f(1)=e->1,排除C,D选项.故选B.4.(2018·全国Ⅱ卷,文4)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)等于( B )(A)4 (B)3 (C)2 (D)0解析:a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-a·b.因为|a|=1,a·b=-1,所以原式=2×12+1=3.故选B.5.(2018·全国Ⅱ卷,文5)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为( D )(A)0.6 (B)0.5 (C)0.4 (D)0.3解析:设2名男同学为a,b,3名女同学为A,B,C,从中选出两人的情形有(a,b), (a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C),共10种,而都是女同学的情形有(A,B),(A,C),(B,C),共3种,故所求概率为=0.3.故选D.6.(2018·全国Ⅱ卷,文6)双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为( A )(A)y=±x (B)y=±x(C)y=±x (D)y=±x解析:双曲线-=1的渐近线方程为bx±ay=0.又因为离心率==,所以a2+b2=3a2.所以b=a(a>0,b>0).所以渐近线方程为ax±ay=0,即y=±x.故选A.7.(2018·全国Ⅱ卷,文7)在△ABC中,cos =,BC=1,AC=5,则AB等于( A )(A)4(B)(C)(D)2解析:因为cos =,所以cos C=2cos2-1=2×()2-1=-.在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos C=52+12-2×5×1×(-)=32,所以AB==4.故选A.8.(2018·全国Ⅱ卷,文8)为计算S=1-+-+…+-,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入( B )(A)i=i+1 (B)i=i+2 (C)i=i+3 (D)i=i+4解析:由题意可将S变形为S=(1++…+)-(++…+),则由S=N-T,得N=1++…+,T=++…+.据此,结合N=N+,T=T+易知在空白框中应填入i=i+2.故选B.9.(2018·全国Ⅱ卷,文9)在正方体ABCD A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为( C )(A)(B)(C)(D)解析:如图,因为AB∥CD,所以AE与CD所成的角为∠EAB.在Rt△ABE中,设AB=2,则BE=,则tan∠EAB==,所以异面直线AE与CD所成角的正切值为.故选C.10.(2018·全国Ⅱ卷,文10)若f(x)=cos x-sin x在[0,a]是减函数,则a的最大值是( C )(A)(B)(C)(D)π解析:f(x)=cos x-sin x=cos(x+).当x∈[0,a]时,x+∈[,a+],所以结合题意可知,a+≤π,即a≤,故所求a的最大值是.故选C.11.(2018·全国Ⅱ卷,文11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为( D )(A)1-(B)2-(C) (D)-1解析:由题设知∠F1PF2=90°,∠PF2F1=60°,|F1F2|=2c,所以|PF2|=c,|PF1|= c.由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,即c+c=2a,所以(+1)c=2a,故椭圆C的离心率e===-1.故选D.12.(2018·全国Ⅱ卷,文12)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)等于( C )(A)-50 (B)0 (C)2 (D)50解析:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(1-x)=-f(x-1).由f(1-x)=f(1+x),所以-f(x-1)=f(x+1),所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),所以函数f(x)是周期为4的周期函数.由f(x)为奇函数及其定义域得f(0)=0.又因为f(1-x)=f(1+x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(2)=f(0)=0,所以f(-2)=0.又f(1)=2,所以f(-1)=-2,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(2)+f(-1)+f(0)=2+0-2+0=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(49)+f(50)=0×12+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2+0=2.故选C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2018·全国Ⅱ卷,文13)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为.=2,解析:因为y′=,y′|x=1所以切线方程为y-0=2(x-1),即y=2x-2.答案:y=2x-214.(2018·全国Ⅱ卷,文14)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为.解析:由不等式组画出可行域,如图(阴影部分).目标函数z=x+y取得最大值⇔斜率为-1的平行直线x+y=z(z看作常数)的截距最大,由图可得直线x+y=z过点C时z 取得最大值.=5+4=9.由得点C(5,4),所以zmax答案:915.(2018·全国Ⅱ卷,文15)已知tan(α-)=,则tan α= .解析:tan (α-)=tan(α-)==,解得tan α=.答案:16.(2018·全国Ⅱ卷,文16)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30°,若△SAB的面积为8,则该圆锥的体积为.=·SA2=8,解析:在Rt△SAB中,SA=SB,S△SAB解得SA=4.设圆锥的底面圆心为O,底面半径为r,高为h,在Rt△SAO中,∠SAO=30°,所以r=2,h=2,所以圆锥的体积为πr2·h=π×(2)2×2=8π.答案:8π三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题.考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(2018·全国Ⅱ卷,文17)(12分)记Sn 为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn ,并求Sn的最小值.解:(1)设{an }的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{an }的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.18.(2018·全国Ⅱ卷,文18)(12分)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2, …,17)建立模型①:=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.解:(1)利用模型①,可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=-30.4+13.5×19=226.1(亿元).利用模型②,可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5×9=256.5(亿元).(2)利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下(写出一种,合理即可):(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠. (ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.19.(2018·全国Ⅱ卷,文19)(12分)如图,在三棱锥P ABC中,AB=BC=2,PA=PB= PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.(1)证明:因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=2.如图,连接OB.因为AB=BC=AC,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=AC=2.由OP2+OB2=PB2知,OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC知,PO⊥平面ABC.(2)解:如图,作CH⊥OM,垂足为H,又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC=AC=2,CM=BC=,∠ACB=45°.所以OM=,CH==.所以点C到平面POM的距离为.20.(2018·全国Ⅱ卷,文20)(12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解:(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2), 所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y),则解得或因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.21.(2018·全国Ⅱ卷,文21)(12分)已知函数f(x)=x3-a(x2+x+1).(1)若a=3,求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)只有一个零点.(1)解:当a=3时,f(x)=x3-3x2-3x-3,f′(x)=x2-6x-3.令f′(x)=0,解得x=3-2或x=3+2.当x∈(-∞,3-2)∪(3+2,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(3-2,3+2)时,f′(x)<0.故f(x)在(-∞,3-2),(3+2,+∞)单调递增,在(3-2,3+2)单调递减.(2)证明:因为x2+x+1>0,所以f(x)=0等价于-3a=0.设g(x)=-3a,则g′(x)=≥0,仅当x=0时g′(x)=0,所以g(x)在(-∞,+∞)单调递增.故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.又f(3a-1)=-6a2+2a-=-6-<0,f(3a+1)=>0,故f(x)有一个零点.综上,f(x)只有一个零点.(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.(2018·全国Ⅱ卷,文22)[选修44:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率. 解:(1)曲线C的直角坐标方程为+=1.当cos α≠0时,l的直角坐标方程为y=tan α·x+2-tan α,当cos α=0时,l的直角坐标方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+ 3cos 2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由①得t1+t2=-,故2cos α+sin α=0,于是直线l的斜率k=tan α=-2.23.(2018·全国Ⅱ卷,文23)[选修45:不等式选讲](10分)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2,所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).2018年普通高等学校招生全国统一考试全Ⅲ文科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2018·全国Ⅲ卷,文1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B等于( C )(A){0} (B){1} (C){1,2} (D){0,1,2}解析:因为A={x|x-1≥0}={x|x≥1},所以A∩B={1,2}.故选C.2.(2018·全国Ⅲ卷,文2)(1+i)(2-i)等于( D )(A)-3-i (B)-3+i (C)3-i (D)3+i解析:(1+i)(2-i)=2+2i-i-i2=3+i.故选D.3.(2018·全国Ⅲ卷,文3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( A )解析:由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示,由直观图可知其俯视图应选A.4.(2018·全国Ⅲ卷,文4)若sin α=,则cos 2α等于( B )(A)(B)(C)-(D)-解析:因为sin α=,所以cos 2α=1-2sin2α=1-2×()2=.故选B.5.(2018·全国Ⅲ卷,文5)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( B )(A)0.3 (B)0.4 (C)0.6 (D)0.7解析:由题意可知不用现金支付的概率为1-0.45-0.15=0.4.故选B.6.(2018·全国Ⅲ卷,文6)函数f(x)=的最小正周期为( C )(A)(B)(C)π (D)2π解析:由已知得f(x)====sin x·cos x=sin 2x,所以f(x)的最小正周期为T==π.故选C.7.(2018·全国Ⅲ卷,文7)下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是( B )(A)y=ln(1-x) (B)y=ln(2-x)(C)y=ln(1+x) (D)y=ln(2+x)解析:函数y=f(x)的图象与函数y=f(a-x)的图象关于直线x=对称,令a=2可得与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是函数y=ln(2-x)的图象.故选B. 8.(2018·全国Ⅲ卷,文8)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是( A )(A)[2,6] (B)[4,8](C)[,3] (D)[2,3]解析:由题意知圆心的坐标为(2,0),半径r=,圆心到直线x+y+2=0的距离d==2,所以圆上的点到直线的最大距离是d+r=3,最小距离是d-r=.易知A(-2,0),B(0,-2),所以|AB|=2,所以2≤S≤6.即△ABP面积的取值范围△ABP是[2,6].故选A.9.(2018·全国Ⅲ卷,文9)函数y=-x4+x2+2的图象大致为( D )解析:法一f′(x)=-4x3+2x,则f′(x)>0的解集为(-∞,-)∪(0,),f(x)单调递增;f′(x)<0的解集为(-,0)∪(,+∞),f(x)单调递减.故选D.法二当x=1时,y=2,所以排除A,B选项.当x=0时,y=2,而当x=时,y=-++2=>2,所以排除C选项.故选D.10.(2018·全国Ⅲ卷,文10)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为( D )(A) (B)2 (C)(D)2解析:由题意,得e==,c2=a2+b2,得a2=b2.又因为a>0,b>0,所以a=b,渐近线方程为x±y=0,点(4,0)到渐近线的距离为=2.故选D.11.(2018·全国Ⅲ卷,文11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC 的面积为,则C等于( C )(A)(B)(C)(D)解析:因为S=absin C===abcos C,所以sin C=cos C,即tan C=1.因为C∈(0,π),所以C=.故选C.12.(2018·全国Ⅲ卷,文12)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D ABC体积的最大值为( B ) (A)12(B)18(C)24(D)54解析:由等边△ABC的面积为9可得AB2=9,所以AB=6,所以等边△ABC的外接圆的半径为r=AB=2.设球的半径为R,球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d,则d===2.所以三棱锥D ABC高的最大值为2+4=6,所以三棱锥D ABC体积的最大值为×9×6=18.故选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2018·全国Ⅲ卷,文13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= .解析:由题易得2a+b=(4,2),因为c ∥(2a+b),所以4λ=2,得λ=.答案:14.(2018·全国Ⅲ卷,文14)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是.解析:因为客户数量大,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,所以最合适的抽样方法是分层抽样.答案:分层抽样15.(2018·全国Ⅲ卷,文15)若变量x,y满足约束条件则z=x+y的最大值是.解析:画出可行域如图所示阴影部分,由z=x+y得y=-3x+3z,作出直线y=-3x,并平移该直线,当直线y=-3x+3z过点A(2,3)时,目标函数z=x+y取得最大值,即=2+×3=3.zmax答案:316.(2018·全国Ⅲ卷,文16)已知函数f(x)=ln(-x)+1,f(a)=4,则f(-a)= .解析:因为f(x)+f(-x)=ln(-x)+1+ln(+x)+1=ln(1+x2-x2)+2=2,所以f(a)+f(-a)=2,所以f(-a)=-2.答案:-2三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(2018·全国Ⅲ卷,文17)等比数列{an }中,a1=1,a5=4a3.(1)求{an}的通项公式;(2)记Sn 为{an}的前n项和,若Sm=63,求m.解:(1)设{an }的公比为q,由题设得an=q n-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an =(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an =(-2)n-1,则Sn=.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若an =2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.18.(2018·全国Ⅲ卷,文18)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图,(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:超过m 不超过m 第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附:K2=,.解:(1)第二种生产方式的效率更高.理由如下(写出一种,合理即可):①由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.②由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.③由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟,因此第二种生产方式的效率更高.④由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布,又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.(2)由茎叶图知m==80.2×2列联表如下:超过m 不超过m 第一种生产方式15 5第二种生产方式 5 15(3)由于K2==10>6.635,所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.19.(2018·全国Ⅲ卷,文19)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.(1)证明:由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.(2)解:当P为AM的中点时,MC∥平面PBD.证明如下:连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形,所以O为AC的中点.连接OP,因为P为AM的中点,所以MC∥OP.又MC⊄平面PBD,OP⊂平面PBD,所以MC∥平面PBD.20.(2018·全国Ⅲ卷,文20)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点.线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=0.证明:2||=||+||.证明:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.两式相减,并由=k得+·k=0. 由题设知=1,=m,于是k=-.由题设得0<m<,故k<-.(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y 3=-(y1+y2)=-2m<0.又点P在C上,所以m=, 从而P(1,-),||=. 于是||===2-.同理||=2-.所以||+||=4-(x1+x2)=3.故2||=||+||.21.(2018·全国Ⅲ卷,文21)已知函数f(x)=.(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥0.(1)解:f′(x)=,f′(0)=2.因此曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程是2x-y-1=0.(2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥(x2+x-1+e x+1)e-x.令g(x)=x2+x-1+e x+1,则g′(x)=2x+1+e x+1.当x<-1时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x>-1时,g′(x)>0,g(x)单调递增;所以g(x)≥g(-1)=0.因此f(x)+e≥0.(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.(2018·全国Ⅲ卷,文22)[选修44:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中,☉O的参数方程为(θ为参数),过点(0,-)且倾斜角为α的直线l与☉O交于A,B两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.解:(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.当α=时,l与☉O交于两点.。

2018年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理科)一．选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分、 在每小题给出得四个选项中,只有一项就是符合题目要求得、(1)设全集,集合,则( )A. B 、 C 、 D 、（2）已知就是虚数单位,,则“”就是“”得( )A 、 充分不必要条件B 、 必要不充分条件C 、 充分必要条件D 、 既不充分也不必要条件(3)某几何体得三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体得表面积就是A 、 90B 、 129C 、 132D 、 1384.为了得到函数得图像,可以将函数得图像( )A.向右平移个单位 B 、向左平移个单位C 、向右平移个单位D 、向左平移个单位5.在得展开式中,记项得系数为,则 ( )A 、45B 、60C 、120D 、 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f ( )A. B 、 C 、 D 、7.在同意直角坐标系中,函数得图像可能就是( )8.记,,设为平面向量,则( )A 、B 、C 、D 、9、已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有个红球与个篮球,从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中、(a)放入个球后,甲盒中含有红球得个数记为;(b)放入个球后,从甲盒中取1个球就是红球得概率记为、则A. B 、C 、D 、10.设函数,,,记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-=Λ,则A 、B 、C 、D 、二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分、11.若某程序框图如图所示,当输入50时,则该程序运算后输出得结果就是________、12.随机变量得取值为0,1,2,若,,则________、13.当实数,满足时,恒成立,则实数得取值范围就是________、14.、在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖、将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同得获奖情况有_____种(用数字作答)、15.设函数若,则实数得取值范围就是______16.设直线与双曲线(0a b>>)两条渐近线分别交于点,若点满足,则该双曲线得离心率就是__________17、如图,某人在垂直于水平地面得墙面前得点处进行射击训练、已知点到墙面得距离为,某目标点沿墙面得射击线移动,此人为了准确瞄准目标点,需计算由点观察点得仰角得大小、若则得最大值19(本题满分14分)已知数列与满足、若为等比数列,且（1）求与;（2）设。

2018年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1. 已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则C U A =( )A . ∅B . {1，3}C . {2，4，5}D . {1，2，3，4，5}2. 双曲线−y 2=1的焦点坐标是( )A . (− ，0)，( ，0)B . (−2，0)，(2，0)C . (0，− )，(0， )D . (0，−2)，(0，2)3. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A . 2B . 4C . 6D . 84. 复数-(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A . 1+i B . 1−i C . −1+i D . −1−i5. 函数y = sin 2x 的图象可能是( )6. 已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件7. 设0<p <1，随机变量ξ则当p 在(0，1)A . D (ξ)减小 B . D (ξ)增大 C . D (ξ)先减小后增大 D . D (ξ)先增大后减小 8. 已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点(不含端点)，设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −C 的平面角为θ3，则( ) A . θ1≤θ2≤θ3 B . θ3≤θ2≤θ1 C . θ1≤θ3≤θ2 D . θ2≤θ3≤θ19. 已知a，b ，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为 ，向量b 满足b 2−4e •b +3=0，则|a −b|俯视图正视图DC B A的最小值是( )A. −1B. +1C. 2D. 2−10.已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)，若a1>1，则( )A. a1<a3，a2<a4B. a1>a3，a2<a4C. a1<a3，a2>a4D. a1>a3，a2>a4二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11.我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则，当z=81时，x=__________________________，y=___________________________12.若x，y满足约束条件−≤ ，则z=x+3y的最小值是________________________，最大值是_____________________13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，A=60°，则sinB=_________________，c=___________________14.二项式(+)8的展开式的常数项是_________________________15.已知λ∈R，函数f(x)=−，−，，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是_____________________，若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________________________16.从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成______________________个没有重复数字的四位数(用数字作答)17.已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=____________________时，点B横坐标的绝对值最大三、解答题(本大题共5小题，共74分)18.(14分)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(− ，− )(1)求sin(α+π)的值(2)若角β满足sin(α+β)=，求cosβ的值19. (15分)如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°，A 1A =4，C 1C =1，AB =BC =B 1B =2(1) 证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1(2) 求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值20. (15分)已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项，数列{b n }满足b 1=1，数列{(b n +1−b n )a n }的前n 项和为2n 2+n (1) 求q 的值(2) 求数列{b n }的通项公式21. (15分)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上(1) 设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴C 1B 1A 1CA(2)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围22.(15分)已知函数f(x)=−lnx(1)若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2(2)若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

2018年浙江省高考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（4.00分）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则∁U A=（）A．∅B．{1，3}C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5}2．（4.00分）双曲线﹣y2=1的焦点坐标是（）A．（﹣，0），（，0）B．（﹣2，0），（2，0）C．（0，﹣），（0，）D．（0，﹣2），（0，2）3．（4.00分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．2 B．4 C．6 D．84．（4.00分）复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）1A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i5．（4.00分）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．（4.00分）已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4.00分）设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是ξ012P则当p在（0，1）内增大时，（）2A．D（ξ）减小B．D（ξ）增大C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小8．（4.00分）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（）A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ19．（4.00分）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4•+3=0，则|﹣|的最小值是（）A ．﹣1B ．+1 C．2 D．2﹣10．（4.00分）已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B = A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，， 2．()()1i 2i +-=A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是4．若1sin 3α=，则cos 2α=A ．B ．79C ．79-D ．89-5．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．806．直线20x y ++=分别与轴，轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，7．函数422y x x =-++的图像大致为8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3 9．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为，，，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3C ．π4D ．π610．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为 A ．123B ．183C ．243D ．543 11．设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为A ．5B ．2C ．3D ．2 12．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．14．曲线()1e x y ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________． 15．函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________． 16．已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为的直线与C 交于A ，B 两点．若 90AMB =︒∠，则k =________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（12分）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前项和．若63m S =，求m ．18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式 第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥ 0.050 0.0100.0013.8416.635 10.82819．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AM D ⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．20．（12分）已知斜率为的直线与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差． 21．（12分）已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-．（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（为参数），过点()02-，且倾斜角为α的直线与O ⊙交于A B ，两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 23．选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()211f x x x =++-．（1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．参考答案：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CDABCADBCBCB13.1214.3- 15. 16.2 17.(12分)解：（1）设{}n a 的公比为，由题设得1n n a q -=.由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =. 故1(2)n n a -=-或12n n a -=.（2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3n n S --=.由63m S =得(2)188m -=-，此方程没有正整数解.若12n n a -=，则21n n S =-.由63m S =得264m=，解得6m =. 综上，6m =.18.（12分）解：（1）第二种生产方式的效率更高. 理由如下：（i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.（iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. （2）由茎叶图知7981802m +==. 列联表如下：超过m 不超过m第一种生产方式 15 5 第二种生产方式515（3）由于2240(151555)10 6.63520202020K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.19.（12分） 解：（1）由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .因为BC ⊥CD ,BC ⊂平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC ⊥DM .因为M 为CD 上异于C ，D 的点,且DC 为直径，所以 DM ⊥CM . 又 BC CM =C ,所以DM ⊥平面BMC .而DM ⊂平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC .（2）以D 为坐标原点,DA 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz .当三棱锥M −ABC 体积最大时，M 为CD 的中点.由题设得(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,1,1)D A B C M ，(2,1,1),(0,2,0),(2,0,0)AM AB DA =-== 设(,,)x y z =n 是平面MAB 的法向量,则 0,0.AM AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.x y z y -++=⎧⎨=⎩ 可取(1,0,2)=n .DA 是平面MCD 的法向量,因此5cos ,5||||DA DA DA ⋅==n n n ， 25sin ,5DA =n ， 所以面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值是255. 20.（12分）解：（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=. 两式相减，并由1221y x y k x -=-得1122043y x y k x +++⋅=. 由题设知12121,22x y x y m ++==，于是 34k m=-.①由题设得302m <<，故12k <-.（2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=.由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<.又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =.于是222211111||(1)(1)3(1)242x x FA x x y =-+=-+-=-.同理2||22x FB =-. 所以121||||4()32FA FB x x +=-+=. 故2||||||FP FA FB =+，即||,||,||FA FP FB 成等差数列.设该数列的公差为d ，则1122212112||||||||||()422FB FA x x x x x x d =-=-=+-.② 将34m =代入①得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=.故121212,28x x x x +==，代入②解得321||28d =.所以该数列的公差为32128或32128-. 21.(12分)解：（1）当0a =时，()(2)ln(1)2f x x x x =++-，()ln(1)1xf x x x'=+-+. 设函数()()ln(1)1x g x f x x x '==+-+，则2()(1)xg x x '=+. 当10x -<<时，()0g x '<；当0x >时，()0g x '>.故当1x >-时，()(0)0g x g ≥=，且仅当0x =时，()0g x =，从而()0f x '≥，且仅当0x =时，()0f x '=. 所以()f x 在(1,)-+∞单调递增.学#又(0)0f =，故当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >. （2）（i ）若0a ≥，由（1）知，当0x >时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=，这与0x =是()f x 的极大值点矛盾.（ii ）若0a <，设函数22()2()ln(1)22f x xh x x x ax x ax==+-++++. 由于当1||min{1,}||x a <时，220x ax ++>，故()h x 与()f x 符号相同. 又(0)(0)0h f ==，故0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点. 2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++. 如果610a +>，则当6104a x a +<<-，且1||min{1,}||x a <时，()0h x '>，故0x =不是()h x 的极大值点.如果610a +<，则224610a x ax a +++=存在根10x <，故当1(,0)x x ∈，且1||min{1,}||x a <时，()0h x '<，所以0x =不是()h x 的极大值点.如果610a +=，则322(24)()(1)(612)x x h x x x x -'=+--.则当(1,0)x ∈-时，()0h x '>；当(0,1)x ∈时，()0h x '<.所以0x =是()h x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点综上，16a =-.22．选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）O 的直角坐标方程为221x y +=．当2απ=时，与O 交于两点． 当2απ≠时，记tan k α=，则的方程为2y kx =-．与O 交于两点当且仅当22||11k<+，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈．综上，α的取值范围是(,)44π3π．（2）的参数方程为cos ,(2sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数，44απ3π<<．设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A B P t tt +=，且A t ，B t 满足222sin 10t t α-+=．于是22sin A B t t α+=，2sin P t α=．又点P 的坐标(,)x y 满足cos ,2sin .P P x t y t αα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩ 所以点P 的轨迹的参数方程是2sin 2,222cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数，44απ3π<<．23．选修4—5：不等式选讲]（10分）【解析】（1）13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示．（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为．。