湖北省华中师大一附中2020-2021学年高一上学期期中检测数学试题

华中师大一附中2019-2020学年度上学期高一期中检测数学试题时限：120分钟 满分：150分 Ⅰ卷（共16小题，满分80分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.） 1. 函数()lg 1x f x +=的定义域为（ ）A . ()1,0-B . ()0,1C . ()1,-+∞D . ()0,+∞2. 与函数24log 2x y -=为同一函数的是（ ）A . y x =B . 1y x=C . 1y x=D . 1y x=-3. 已知集合{}0,2,A a =，{}21,B a =，若{}0,1,2,4,16A B =，则a 的值为（ ）A . 0B . 1C . 2D . 44. 已知实数2log 3a =，213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，131log 10c =，则它们的大小关系为（ ）A . a c b >>B . c a b >>C . a b c >>D . b c a >>5. 拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费（单位：元）由()()1.060.51f m m =⨯⨯+给出，其中0m >，m 是大于或等于m 的最小整数（如33=，3.74=，3.14=）.则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为（ ）A . 3.71B . 3.97C . 4.24D . 4.776. 函数()12f x ⎛= ⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ）A . (],2-∞-B . 12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C . 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D . 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭7. 已知函数()()13,ln ,a x a x ef x x x e-+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩（e 为自然对数的底数）的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A . ,13e e ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦B . ,13ee ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C . 1,13e e -⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ D . 1,13ee -⎡⎫⎪⎢-⎣⎭8. 给出下列四个说法：①已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()()1f x x x =+，则当0x >时，()2f x x x =-；②若函数()1y f x =-的定义域为()1,2，则函数()2y f x =定义域为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；③若3log 15a<，则a 的取值范围为3,15⎛⎫ ⎪⎝⎭； ④函数()log 322a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象必过定点()1,0. 其中正确说法的个数是（ ）A . 1B . 2C . 3D . 49. 函数()()23ln f x x x =-+的图象大致为（ ）A .B .C .D .10. 若对任意的,x y R ∈，有()()()3f x f y f x y +-+=，函数()()21xg x f x x =++，则()()22g g +-的值为（ ）A . 0B . 4C . 6D . 911. 已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，其中函数()f x 满足()()f x f x -=且在[)0,+∞上单调递减，函数()g x 满足()()11g x g x -=+且在()1,+∞上单调递减，设函数()()()()()12F x f x g x f x g x ⎡⎤=++-⎣⎦，则对任意x R ∈，均有（ ） A . ()()11F x F x -≥+ B . ()()11F x F x -≤+ C . ()()2211F xF x -≥+D . ()()2211F xF x -≤+12. 设函数()22,0,0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，()g x 为定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()225g x x x =--，若()()2f g a ≤，则实数a 的取值范围是（ ）A . (],10,221⎡⎤-∞--⎣⎦B . 1⎡⎤-⎣⎦C . (](,10,221⎤-∞--⎦D. 11⎡⎤--⎣⎦二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）13. 12log 311lg 26100+=______. 14. 已知幂函数()()()22321n n f x m xn Z -++=-∈为偶函数，且满足()()35f f <，则m n +=______.15. 已知0a >，且1a ≠，若函数()()2l n 23x x f x a-+=有最大值，则关于x 的不等式()2log 570a x x -+>的解集为______.16. 已知0a >且1a ≠，b 为实数，函数()22,01,0x x x x f x a x -⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的不等式()()220f x af x b +-<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解，则实数a 的取值范围为______. Ⅱ卷（共6小题，满分70分）三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）17. 已知全集U R =，集合5|02x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，(){}22|210B x x ax a =-+-<. （Ⅰ）当2a =时，求()()U U C A C B ；（Ⅱ）若AB A =，求实数a 的取值范围.18. 已知()311log 1xf x x-=++.（1）求1120192019f f ⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（2）当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()y f x =的最大值. 19. 某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生一些次品.根据经验知道，次品数P （万件）与日产量x （万件）之间满足函数关系：2,146325,412x x P x x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩.已知每生产1万件合格元件可盈利20万元，但每生产1万件次品将亏损10万元.（利润=盈利额-亏损额）（1）试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润T （万元）表示为日产量x （万件）的函数； （2）当工厂将该元件的日产量x （万件）定为多少时获得的日利润最大，最大日利润为多少万元？20. 对于函数()f x ，若在定义域D 内存在实数0x 满足()()002f x f x -=-，则称函数()y f x =为“类对称函数”.（1）判断函数()221g x x x =-+是否为“类对称函数”？若是，求出所有满足条件的0x 的值；若不是，请说明理由；（2）若函数()3xh x t =+为定义在[)1,3-上的“类对称函数”，求实数t 的取值范围.21. 定义在()(),00,-∞+∞上的函数()f x 满足：①对任意()(),,00,x y ∈-∞+∞恒有()()()f xy f x f y =+；②当1x >时，()0f x <，且()21f =-.（1）判断()f x 的奇偶性和单调性，并加以证明； （2）求关于x 的不等式()()3240f x f x -++≥的解集. 22. 已知函数()()2f x x mx m R =-∈，()lng x x =-.（1）若存在实数x ，使得()()22xxf f -=-成立，试求m 的最小值；（2）若对任意的[]12,1,1x x ∈-，都有()()122f x f x -≤恒成立，试求m 的取值范围； （3）用{}min ,m n 表示m ，n 中的最小者，设函数()()()()1min ,04h x f x g x x ⎧⎫=+>⎨⎬⎩⎭，讨论关于x 的方程()0h x =的实数解的个数.。

华中师大一附中2023-2024学年度上学期高三期中检测数学试题试卷满分：150分考试时间：120分钟一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足i 2z z +=，则i z +的模为（）A.1B.2C.5D.2.已知集合{}{}224,Z log 3xA xB x x =>=∈<∣∣，则()R A B ⋂=ð（）A.()0,2 B.(]0,2 C.{}1,2 D.(]1,23.在ABC 中，“π6A >”是“1sin 2A >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数()sin (0)f x x ωω=>的图象的一部分如图1，则图2中的函数图像对应的函数是（）A.122y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.122x y f ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.12x y f ⎛⎫=-⎪⎝⎭D.()21y f x =-5.在边长为2的正六边形ABCDEF 中，AC BF ⋅=（）A.6B.-6C.3D.-36.在声学中，音量被定义为：020lgp pL p =，其中p L 是音量（单位为dB ），0P 是基准声压为5210Pa -⨯，P 是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240Hz 对应的听觉下限阈值为20dB ，1000Hz 对应的听觉下限阈值为0dB ，则下列结论正确的是（）A.音量同为20dB 的声音，30~100Hz 的低频比1000~10000Hz 的高频更容易被人们听到.B.听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.C.240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa .D.240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz 的听觉下限阈值实际声压的10倍.7.若实数,,a b c 满足ln sin1a e a b b c +=+==，则,,a b c 的大小关系为（）A.a c b <<B.a b c <<C.c a b<< D.b a c<<8.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个极值点，且ππ062f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的值可以是（）A.6B.7C.8D.9二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()f x 及其导函数()f x '的部分图象如图所示，设函数()()xf xg x =e，则()g x （）A.在区间(),a b 上是减函数B.在区间(),a b 上是增函数C.在x a =时取极小值D.在x b =时取极小值10.已知0,0,a b a b >>≠，且2a b +=，则（）A.112a b+> B.22112a b +>C.222a b +> D.22log log 2a b +>11.若函数()()sin cos tan f x x a x =+在区间()0,πn 有2024个零点，则整数n 可以是（）A.2022B.2023C.2024D.202512.已知定义在R 上的函数()y f x =图象上任意一点(),x y 均满足20132013sin sin e e e e y x x x y x----=-，且对任意()0,x ∈+∞，都有()()21e ln 0xf x a f x x --+<恒成立，则下列说法正确的是（）A.()2023sin f x x x =- B.()f x 是奇函数C.()f x 是增函数D.1e>a 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分13.若直线y x a =+与曲线1e 1x y b -=-+相切，则a b +=__________.14.杭州第19届亚洲运动会，于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成（如图），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.已知该扇面呈扇环的形状，内环和外环均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的13，内环所在圆的半径为1，径长（内环和外环所在圆的半径之差）为1，则该扇面的面积为__________.15.一只钟表的时针OA 与分针OB 长度分别为3和4，设0点为0时刻，则OAB 的面积S 关于时间t （单位：时）的函数解析式为__________，一昼夜内（即[]0,24t ∈时），S 取得最大值的次数为__________.16.如图，在四边形ABCD 中，,4,2120AD CD BD ADC ABC ∠∠==== ，则ABC 面积的最大值为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知()π2sin sin 3f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的单调递增区间与对称中心；（2）当[]0,x a ∈时，()f x 的取值范围为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围.18.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知π2sin 6⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭b c a C .（1）求A 的值；（2）若BAC ∠的平分线与BC 交于点,D AD =ABC 面积的最小值.19.已知函数()3log (0a f x x x a =->且1)a ≠，（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有最大值122log 333a -，求实数a 的值.20.某城市平面示意图为四边形ABCD （如图所示），其中ACD 内的区域为居民区，ABC 内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段AB 和线段AD 上分别选一处位置，分别记为点E 和点F ，修建一条贯穿两块区域的直线道路EF ，线段EF 与线段AC 交于点G ，EG 段和GF 段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段AG 长2公里，线段AB 和线段AD 长均为6公里，π,6∠⊥=AB AC CAD ，设AEG θ∠=.（1）求修建道路的总费用y （单位：万元）与θ的关系式（不用求θ的范围）；（2）求修建道路的总费用y 的最小值.21.已知函数()[]e sin sin ,π,0xf x x x x x =+-∈-（1）求()f x 的零点个数；（2）若()40k f x -≤恒成立，求整数k 的最大值.22.已知函数()2e 2ln x f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭有三个极值点123,,x x x ，且123x x x <<.（1）求实数k 的取值范围；（2）若2是()f x 的一个极大值点，证明：()()23131ef x f x k k x x -<--.华中师大一附中2023-2024学年度上学期高三期中检测数学试题试卷满分：150分考试时间：120分钟一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足i 2z z +=，则i z +的模为（）A.1B.2C.5D.【答案】D 【解析】【分析】先化简求出z ,再根据共轭复数定义求出i z +,最后根据模长公式求解即可.【详解】()()()()()221i 21i 2i 21+i 2,1i 1+i 1i 1i 1i z z z z --+=∴=∴====--+- ，,=1i i=1+i+i=1+2i z z +∴+ ，,i =12i z ++.故选:D.2.已知集合{}{}224,Z log 3xA xB x x =>=∈<∣∣，则()R A B ⋂=ð（）A.()0,2 B.(]0,2 C.{}1,2 D.(]1,2【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数单调性求解集合A ，从而求解R A ð，利用对数函数单调性结合整数概念求解集合B ，最后利用交集运算即可求解.【详解】因为集合{}{}242xA x x x =>=>，所以{}R 2A x x =≤ð，又{}{}{}32Z log 3Z 021,2,3,4,5,6,7B x x x x =∈<=∈<<=，所以()R A B ⋂=ð{}1,2.故选：C3.在ABC 中，“π6A >”是“1sin 2A >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】结合正弦函数的性质由1sin 2A >，可得π5π66A <<，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】在ABC 中，()0,πA ∈，由1sin 2A >，可得π5π66A <<，所以“π6A >”是“1sin 2A >”的必要不充分条件.故选：B .4.已知函数()sin (0)f x x ωω=>的图象的一部分如图1，则图2中的函数图像对应的函数是（）A.122y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.122x y f ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.12x y f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.()21y f x =-【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数的平移伸缩可以得出函数关系.【详解】()sin (0)f x x ωω=>过点1,12⎛⎫⎪⎝⎭得1sin =π2ωω=∴,()sinπf x x ∴=,由图1和图2可知：函数的周期减半，就是()()2f x f x →,图1→图2说明图象向右平移12单位，得到()21y f x =-的图象．故选:D.5.在边长为2的正六边形ABCDEF 中，AC BF ⋅=（）A.6B.-6C.3D.-3【答案】B 【解析】【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，设出,,,A C B F 的坐标，求出AC BF ⋅即可得出答案．【详解】正六边形ABCDEF 中，每个内角都是120 ，30FEA FAE ∠=∠= ，有EA AB ⊥，以A 为原点，AB 为x 轴，AE 为y 轴，，建立平面直角坐标系，如图所示：因为2==AB AF ，1cos1202=-，3sin1202= ，则有(F -，所以(0,0)A ，(2,0)B ，(C ，AC =，(BF =- ，由平面向量数量积的运算可得()33936AC BF ⋅=⨯-+-+=-.故选：B ．6.在声学中，音量被定义为：020lgp pL p =，其中p L 是音量（单位为dB ），0P 是基准声压为5210Pa -⨯，P 是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240Hz 对应的听觉下限阈值为20dB ，1000Hz 对应的听觉下限阈值为0dB ，则下列结论正确的是（）A.音量同为20dB 的声音，30~100Hz 的低频比1000~10000Hz 的高频更容易被人们听到.B.听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.C.240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa .D.240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz 的听觉下限阈值实际声压的10倍.【答案】D 【解析】【分析】对于选项A 、B ，可以直接观察图像得出听觉下限阈值与声音频率的关系进行判断；对于C 、D ，通过所给函数关系020lgp pL p =代入听觉下限阈值计算即可判断.【详解】对于A ，30~100Hz 的低频对应图像的听觉下限阈值高于20dB ，1000~10000Hz 的高频对应的听觉下限阈值低于20dB ，所以对比高频更容易被听到，故A 错误；对于B ，从图像上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B 错误；对于C ，240Hz 对应的听觉下限阈值为20dB ，50210Pa P -=⨯，令020lg20p pL p ==，此时0100.0002p p ===Pa ，故C 错误；对于D ，1000Hz 的听觉下限阈值为0dB ，令020lg0p pL p ==，此时0p p =，所以240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz 的听觉下限阈值实际声压的10倍，故D 正确.故选：D .7.若实数,,a b c 满足ln sin1a e a b b c +=+==，则,,a b c 的大小关系为（）A.a c b <<B.a b c <<C.c a b<< D.b a c<<【答案】A 【解析】【分析】由切线放缩可求a ，根据对数函数性质和正弦值域可判断b ，由不等式的关系可判断b c >.【详解】因为0sin1<1<，当0x >时，设()e 1xf x x =--，则()e 1xf x '=-，易知当0x =时，()00e 10f =-='，当0x >时，()f x 单调递增，所以e 1x x ≥+；()0x >所以sin1=e 10a a a a a +≥++⇒<；由已知可得0b >，因为0sin1<1<，所以01b <<；ln 0b <，所以sin1ln b b =-；00c ≥⇒≥，所以sin1c b =-<；故a c b <<；故选：A8.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个极值点，且ππ062f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的值可以是（）A.6 B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】先根据辅助角公式计算化简函数，再结合选项得出矛盾判断A,B,D 选项，再计算说明C 选项正确即可.【详解】()πsin =2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫=+⎪⎝⎭,当=6ω时,()π2sin 63f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(ππππ=2sin π+2sin 3π06233f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,A选项错误;当=7ω时,()π2sin 73f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()ππ7ππ7ππ=2sin +2sin 210626323f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,B 选项错误;当=9ω时,()π2sin 93f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ9ππ9ππ=2sin +2sin 110626323f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,πππ11π29π,,9,62366x x ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,()π2sin 93f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭恰有三个极值点，D 选项错误;当=8ω时,()π2sin 83f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ8ππ8ππ=2sin +2sin 0626323f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,πππ5π13π,,8,62333x x ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,()π2sin 83f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，C 选项正确;故选:C.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()f x 及其导函数()f x '的部分图象如图所示，设函数()()xf xg x =e，则()g x （）A.在区间(),a b 上是减函数B.在区间(),a b 上是增函数C.在x a =时取极小值D.在x b =时取极小值【答案】BC 【解析】【详解】根据图象得到()()f x f x -'的符号，即可得到()g x '的符号，进而得到()g x 的单调性和极值.【分析】结合图像可知，当x a <时()()0f x f x '->，当a x b <<时，()()0f x f x '-<，当x b >时，()()0f x f x '->，()()()exf x f xg x '-'=，因e 0x>，故当x a <时，()()()0xf x f xg x e'-'=<，()g x 在区间(),a -∞上单调递减，当a x b <<时，()()()0exf x f xg x '-'=>，()g x 在区间(),a b 上单调递增，当x b >时，()()()0xf x f xg x e'-'=<，()g x 在区间(),b ∞+上单调递减，故()g x 在x a =处取得极小值，在x b =处取得极大值，故选：BC10.已知0,0,a b a b >>≠，且2a b +=，则（）A.112a b +> B.22112a b +>C.222a b +> D.22log log 2a b +>【答案】ABC 【解析】【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解.【详解】()1111111222222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当b a a b =，即a b =时取等号，由于a b ¹，所以112a b+>，A 正确，由于212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，221122a b ab+≥=≥，当且仅当2211a b =且a b =时，即a b =时取等号，由于a b ¹，所以22112a b +>，B 正确，由2a b +=以及0,0,a b a b >>≠可得224a b +≥=，当且仅当22a b =，即a b =时取等号，由于a b ¹，所以2242a b +>>，故C 正确，2222log log log log 10a b ab +=≤=，当且仅当b a a b=，即a b =时取等号，由于a b ¹，22log log 0a b +<所以D 错误，故选：ABC11.若函数()()sin cos tan f x x a x =+在区间()0,πn 有2024个零点，则整数n 可以是（）A.2022B.2023C.2024D.2025【答案】BCD 【解析】【分析】令()()sin cos tan 0=+=f x x a x ，则()sin cos tan =-x a x ，将函数零点转化为两个函数()y g x =与tan =-y a x 的交点，结合函数性质以及函数图象分析判断.【详解】令()()sin cos tan 0=+=f x x a x ，则()sin cos tan =-x a x ，对于函数()()sin cos g x x =，由[]cos 1,1x ∈-，可知()()[]sin cos sin1,sin1=∈-g x x ，因为()()()()2πsin cos 2πsin cos ⎡⎤+=+==⎣⎦g x x x g x ，且()()()()2πsin cos 2πsin cos ⎡⎤-=-==⎣⎦g x x x g x ，()g x 的周期为2π，且关于直线πx =对称，又因为()()cos cos sin '=-⋅g x x x ，当[]0,πx ∈，则[][]cos 1,1,sin 0,1∈-∈x x ，且()cos cos 0>x ，可知()()cos cos sin 0'=-⋅≤g x x x ，则()g x 在[]0,π上单调递减，可知()g x 在[]π,2π上单调递增，若0a =时，因为tan y x =的定义域为π|π,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，则cos 0x ≠，可知()()sin cos 0=≠f x x ，无零点，不合题意，若0a <时，0a ->，结合图象可知：()y g x =与tan =-y a x 在ππ0,,,π22轹骣麋ê麋麋êë内各有一个交点，在3π3ππ,,,2π22⎛⎫⎛⎤ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦内没有交点，所以()()sin cos tan f x x a x =+在()0,π内有2个零点，在()π,2π内没有零点（区间端点均不是零点），因为()y g x =与tan =-y a x 的周期均为2π，则()f x 周期为2π，结合周期可知：若数()()sin cos tan f x x a x =+在区间()0,πn 有2024个零点，则整数n 可以是2023或2024，若0a >时，0a -<，结合图象可知：()y g x =与tan =-y a x 在ππ0,,,π22轹骣麋ê麋麋êë内没有交点，在3π3ππ,,,2π22⎛⎫⎛⎤⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦内各有一个交点，所以()()sin cos tan f x x a x =+在()0,π内没有零点，在()π,2π内有2个零点（区间端点均不是零点），结合周期可知：若数()()sin cos tan f x x a x =+在区间()0,πn 有2024个零点，则整数n 可以是2024或2025；综上所述：整数n 可以是2023或2024或2025.故选：BCD.【点睛】关键点睛：将函数()f x 转为两个函数：()y g x =与tan =-y a x 的零点，结合函数性质分析判断，并注意讨论a 的符号.12.已知定义在R 上的函数()y f x =图象上任意一点(),x y 均满足20132013sin sin e e e e y x x x y x----=-，且对任意()0,x ∈+∞，都有()()21e ln 0xf x a f x x --+<恒成立，则下列说法正确的是（）A.()2023sin f x x x =- B.()f x 是奇函数C.()f x 是增函数 D.1e>a 【答案】BCD 【解析】【分析】利用函数()=e e xxg x --的单调性可求()2013sin f x x x=+判断A ，根据奇函数的定义判断B ，根据导数符号判断函数的单调性判断C ，根据奇函数和单调性把不等式化为21ln ex x x xa -+>在()0,∞+上恒成立，构造函数求解最值即可判断D.【详解】20132013sin sin e e eey x xx yx ----=-，有()20132013sin sin e e =e ey x y x xx ------，记()=e e xxg x --，则()=e e0xxg x -+>'，所以()=e e x x g x --在R 上单调递增，所以2013sin y x x -=，所以()2013sin f x x x =+，故选项A 错误；因为()()()()()20132013sin sin f x x x x x f x -=-+-=-+=-且定义域R 关于原点对称，所以()f x 是奇函数，故选项B 正确；记()()2012cos 2013h x f x x x=+'=，[)0,x ∈+∞，则()2011sin 20132012h x x x=-+⨯'，[)0,x ∈+∞，对[)0,x ∈+∞，因为sin y x x =-，则cos 10y x '=-≤，即函数sin y x x =-在[)0,∞+单调递减，又0x =时，0y =，则sin 0x x -<，即sin x x <，根据幂函数性质知201120132012x x ⨯>，所以()2011sin 20132012sin 0h x x xx x =-+⨯>-≥'，所以函数()()2012cos 2013h x f x x x=+'=在[)0,∞+上单调递增，所以()()010f x f '='≥>，所以函数()2013sin f x x x=+在[)0,∞+上单调递增，又()f x 是奇函数，由奇函数性质知()f x 是增函数，故选项C 正确；因为对任意()0,x ∈+∞，都有()()21e ln 0xf x a f x x --+<恒成立，所以()()()21eln ln x f x a f x x f x x --<-=-在()0,∞+上恒成立，所以21e ln x x a x x --<-即21ln ex x x xa -+>在()0,∞+上恒成立，记()1ln m x x x =--，()0,x ∈+∞，则1()1m x x=-'，当()0m x '=时，1x =，当()0m x '>时，1x >，当()0m x '<时，01x <<，所以()1ln m x x x =--在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减，所以()1ln (1)0m x x x m =--≥=，所以1ln x x ≥+，所以22121ln e e x x x x x x --+≤，()0,x ∈+∞，记()221e x x n x -=，()0,x ∈+∞，则()()2121ex x x n x --'=，当()0n x '=时，1x =，当()0n x '>时，01x <<，当()0n x '<时，1x >，所以()221ex x n x -=在()1,+∞上单调递减，在()0,1上单调递增，所以()()22111e ex x n x n -=≤=，所以21ln 1e x x x x -+≤，当且仅当1x =时等号成立，所以1e>a ，故选项D 正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分13.若直线y x a =+与曲线1e 1x y b -=-+相切，则a b +=__________.【答案】1【解析】【分析】求导，结合导数的几何意义分析求解.【详解】因为1e 1x y b -=-+，则1e x y -'=，设切点坐标为()00,x y ，则00110e 1e 1x x b x a--⎧=⎪⎨-+=+⎪⎩，解得011x a b =⎧⎨+=⎩.故答案为：1.14.杭州第19届亚洲运动会，于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成（如图），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.已知该扇面呈扇环的形状，内环和外环均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的13，内环所在圆的半径为1，径长（内环和外环所在圆的半径之差）为1，则该扇面的面积为__________.【答案】π【解析】【分析】根据题意求出内环圆弧所对的圆心角，并求出外环圆弧所在圆的半径，利用扇形的面积公式可求得该扇面的面积.【详解】设内环圆弧所对的圆心角为α，因为内环弧长是所在圆周长的13，且内环所在圆的半径为1，所以，112π13α⨯=⨯⨯，可得2π3α=，因为径长（内环和外环所在圆的半径之差）为1，所以，外环圆弧所在圆的半径为112+=，因此，该扇面的面积为()2212π21π23⨯⨯-=.故答案为：π.15.一只钟表的时针OA 与分针OB 长度分别为3和4，设0点为0时刻，则OAB 的面积S 关于时间t （单位：时）的函数解析式为__________，一昼夜内（即[]0,24t ∈时），S 取得最大值的次数为__________.【答案】①.11π6|sin|6S t =（0t ≥，且6,N 11nt n ≠∈）②.44【解析】【分析】根据给定条件，求出AOB ∠，再利用三角形面积公式列式即得；探求面积函数的周期即可计算得解.【详解】OA 旋转的角速度为πrad/h 6-，OB 旋转的角速度为2πrad/h -，11π2π6AOB t k ∠=-或112ππ2π6AOB t k ∠=-+，Z k ∈，111π34|sin |6|sin |26S AOB t =⨯⨯∠=，而当6,N 11n t n =∈时，不能构成三角形，所以11π6|sin |6S t =（0t ≥，且6,N 11nt n ≠∈）；显然函数11π6|sin|6S t =的周期为611且每个周期仅出现一次最大值，而6244411=⨯，所以S 取得最大值的次数为44.故答案为：11π6|sin|6S t =（0t ≥，且6,N 11nt n ≠∈）；4416.如图，在四边形ABCD 中，,4,2120AD CD BD ADC ABC ∠∠==== ，则ABC 面积的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】通过证明ABC 是等边三角形并得出边长，即可求出三角形面积的最大值.【详解】由题意，在四边形ABCD 中，4,2120BD ADC ABC ∠∠=== ，∴60,180ABC ABC ADC ∠=︒∠+∠=︒,∴四边形ABCD 四点共圆，在ACD 中，AD CD =，120ADC ∠= ,∴ACD 是等腰三角形，30ACD CAD ∠=∠=︒，在ABC 中，2120ABC ∠= ∴60ABC ∠=︒，()22133sin 248S AB BC ABC AB BC AB BC =⋅∠=⋅≤+,当且仅当AB BC =时，等号成立，∵当AB BC =时，BD 垂直平分AC ,∴AC BD ⊥,ABC 是等边三角形，2AC AE =，∴1302ABD CBD ABC ∠=∠=∠=︒,1602ADE CDE ADC ∠=∠=∠=︒∴180306090BAD BCD ∠=∠=︒-︒-︒=︒,∴,3AE BE DE ===,∵44BD BE DE DE =+==,∴1,2DE AE AC AE ====∴ABC 面积的最大值为(22max 44S AC ==⨯=,故答案为：四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知()π2sin sin 3f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的单调递增区间与对称中心；（2）当[]0,x a ∈时，()f x 的取值范围为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()πππ,π+Z 63k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，()ππ1,Z 2122k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭（2）π2π,33⎡⎤⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换将函数表达式化简，然后根据正弦的单调递增区间与对称中心的定义计算即可得解.（2）画出函数图象分析可知当且仅当12x a x ≤≤时，其中()13min 0|2x x f x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭，(){}2min 0|0x x f x =>=，满足题意，从而计算即可得解.【小问1详解】由题意()π12sin sin 2sin sin cos 322f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2311π1sin cos 22sin 222262x x x x x x ⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，令()πππ2π22π+Z 262k x k k -≤-≤∈,解得()ππππ+Z 63k x k k -≤≤∈，令()ππZ 62k k x -=∈，解得()ππZ 212k x k =+∈，所以()f x 的单调递增区间与对称中心分别为()πππ,π+Z 63k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，()ππ1,Z 2122k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.【小问2详解】()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的函数图象如图所示，由题意当[]0,x a ∈时，()f x 的取值范围为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故当且仅当12x a x ≤≤，其中()13min 0|2x x f x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭，(){}2min 0|0x x f x =>=，令()π13sin 2622f x x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，得πsin 216x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即()ππ22πZ 62x k k -=+∈，解得()ππZ 3x k k =+∈，所以()13min 0|min 3|πππZ 2,30x x f x x k x k ⎧⎫⎧⎫==>==>=⎨⎬⎨⎩∈⎬⎩⎭⎭+，令()π1sin 2062f x x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，得π1sin 262x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()ππ22πZ 66x k k -=-+∈或()π7π22πZ 66x k k -=+∈，解得()πZ x k k =∈或()2ππZ 3x k k =+∈，所以()132π2πmin 0|min 0|ππ,Z 233x x f x x x k x k k ⎧⎫⎧⎫=>==>==+∈=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭或，综上所述：满足题意的实数a 的取值范围为π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知π2sin 6⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭b c a C .（1）求A 的值；（2）若BAC ∠的平分线与BC 交于点,D AD =ABC 面积的最小值.【答案】（1）π3A =（2）【解析】【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换化简得π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再结合正弦函数的性质分析求解；（2）根据题意得BAD CAD ∠=∠，结合ABC ABD ACD S S S =+ ，得到()2bc b c =+，结合基本不等式，即可求解.【小问1详解】因为π2sin 6⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭b c a C ，由正弦定理可得πsin sin 2sin sin 6⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B C A C ，则()sin sin sin sin sin cos cos sin sin +=++=++B C A C C A C A C C ，π312sin sin 2sin sin sin sin cos622⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A C A C C A C A C ，即sin cos cos sin sin sin sin cos A C A C C A C A C ++=+，sin cos sin sin A C A C C -=，因为()0,πC ∈，则sin 0C ≠cos 1A A -=，整理得π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为()0,πA ∈，则ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，可得ππ66A -=，所以π3A =.【小问2详解】因为AD 平分BAC ∠且AD =π6BAD CAD ∠=∠=，由ABC ABD ACD S S S =+ ，可得131111222222⨯=⨯+⨯bc c ，整理得()2bc b c =+≥，则16bc ≥，当且仅当b c =时，等号成立，故ABC 面积的最小值为11622⨯⨯=．19.已知函数()3log (0a f x x x a =->且1)a ≠，（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有最大值122log 333a -，求实数a 的值.【答案】（1）答案见解析（2【解析】【分析】（1）首先对()f x 求导，然后分01a <<和1a >讨论导函数的符号，从而即可得解.（2）结合（1）中分析可知，当且仅当1111,log 33ln 122log 3333ln a a a a a ⎛⎫>-=⎪⎝-⎭，通过构造函数()1log 3a g x x x =-，说明()max23g x g ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭即可得解.【小问1详解】由题意()()2l ,013n f x x x ax =->'，分以下两种情形来讨论函数()f x 的单调区间，情形一：当01a <<时，()()201ln 0,3l 0,n a f x x x ax '<<->=，所以()f x 的单调递减区间为()0,∞+，没有单调递增区间.情形二：当1a >时，令()3201l 1n 0,n 3ln ln 3l a f x x x a x ax a -'>=-==，解得0x =>，当x ⎛∈ ⎝时，()313ln 0ln f x x a x a '-=>，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()313ln 0ln f x x a x a '-=<，所以()f x的单调递增区间为⎛ ⎝，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭.综上所述：当01a <<时，()f x 的单调递减区间为()0,∞+，没有单调递增区间；当1a >时，()f x的单调递增区间为⎛ ⎝，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭.【小问2详解】由题意若函数()f x 有最大值122log 333a -，则由（1）可知当且仅当1a >时，()f x 有最大值()maxf x f =⎡⎤⎣⎦，因此3111log 122log l 33ln 33l og 33n a a a f a a ⎛⎫==---=⎭ ⎪⎝，不妨令()1log 3a g x x x =-，求导得()()113ln 1,0,13ln 3ln x ag x x a x a x a -'=-=>>，令()13ln 03ln x a g x x a -'==，解得103ln x a=>，当10,3ln x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()13ln 03ln x a g x x a -'=>，当1,3ln x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()13ln 03ln x a g x x a -'=<，所以()1log 3a g x x x =-在10,3ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,3ln a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()max 111log 333l 122l l o n 3g 33n a a g x a a ⎛⎫=-=⎡⎤ ⎪⎣⎦-⎝⎭，故只能13ln 23a =，解得1ln ,12a a ==>符合题意；综上所述，满足题意的实数a.20.某城市平面示意图为四边形ABCD （如图所示），其中ACD 内的区域为居民区，ABC 内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段AB 和线段AD 上分别选一处位置，分别记为点E 和点F ，修建一条贯穿两块区域的直线道路EF ，线段EF 与线段AC 交于点G ，EG 段和GF 段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段AG 长2公里，线段AB 和线段AD 长均为6公里，π,6∠⊥=AB AC CAD ，设AEG θ∠=.（1）求修建道路的总费用y （单位：万元）与θ的关系式（不用求θ的范围）；（2）求修建道路的总费用y 的最小值.【答案】（1）2020πsin sin 3θθ=+⎛⎫- ⎪⎝⎭y （2）80万元【解析】【分析】（1）根据题意结合正弦定理可得2sin θ=EG ，1πsin 3θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭GF ，进而可得解析式；（2）利用三角恒等变换整理可得2π80sin 3π4sin 33θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭y，换元令πsin 32θ⎛⎤⎛⎫=+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦t ，结合函数单调性求最值.【小问1详解】在Rt AEG △中，因为sin ∠=AG AEG EG ，可得2sin sin θ==∠AG EG AEG ，在AFG 中，可知π3θ∠=-AFG ，由正弦定理sin sin =∠∠GF AGGAF AFG，可得sin 1πsin sin 3θ⋅∠==∠⎛⎫- ⎪⎝⎭AG GAFGF AFG，所以20201020πsin sin 3θθ=+=+⎛⎫- ⎪⎝⎭y EG GF .【小问2详解】由（1）可知：202020πsin sin sin 3θθθ=+=+⎛⎫- ⎪⎝⎭y2ππ80sin 80sin 332ππ2cos 214sin 333θθθθ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为π03θ<<，则ππ2π,333θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，令π3sin 32θ⎛⎤⎛⎫=+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦t ，则280803434==--t y t t t，且34,==-y t y t 在3,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递增，可知34y t t =-在3,12⎛⎤⎥ ⎝⎦上单调递增，所以280803434==--t y t t t 在3,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递减，当1t =，即π6θ=时，修建道路的总费用y 取到最小值80万元.21.已知函数()[]e sin sin ,π,0xf x x x x x =+-∈-（1）求()f x 的零点个数；（2）若()40k f x -≤恒成立，求整数k 的最大值.【答案】（1）2个（2）1-【解析】【分析】（1）令()e sin sin 0xf x x x x =+-=可得e sin 1x x x =-，利用导数判断出函数()e 1x g x x =-在[]π,0x ∈-上的单调性，利用函数与方程的思想画出函数()e 1xg x x =-与sin y x =在[]π,0-内的图象，根据交点个数即可求得()f x 的零点个数；（2）易知()e 1xx ≥+，sin x x ≥在[]π,0x ∈-上恒成立，则可得()()()e 1sin 11xf x x x x x x =+-≥++-，求出221y x x =-++在[]π,0x ∈-上的最小值即可得2π2π14k -++≤，便可知整数k 的最大值为1-.【小问1详解】根据由题意可知，令()e sin sin 0xf x x x x =+-=，又[]π,0x ∈-，整理可得e sin 1xx x =-；令()[]e,π,01xg x x x ∈=--，则()()()()()22e e 112e 1x xx x x x g x x =-----'=，显然当[]π,0x ∈-时，()()()2e 012x x g x x -=-'<恒成立，所以可得()e 1x g x x =-在[]π,0-上单调递减，且()e 01xx g x =-<在[]π,0x ∈-上恒成立，易知函数sin y x =在ππ,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；且()()πe sin π0ππ1g ---=-=+>，()πsin 1,sin 00120g ⎛⎫-=-=- ⎪⎝=⎭>画出函数()[]e ,π,01xg x x x ∈=--和函数[]sin ,π,0y x x =∈-在同一坐标系下的图象如下图所示：由图可知函数()e 1xg x x =-与sin y x =在区间[]π,0-上有两个交点，即可得函数()[]e sin sin ,π,0xf x x x x x =+-∈-有两个零点；【小问2详解】若()40k f x -≤恒成立，可得()4f x k ≤，令()[]π,0sin ,h x x x x -∈-=，则()1cos 0h x x '=-≥在[]π,0-上恒成立，即可得()sin h x x x =-在[]π,0-上单调递增，所以()()sin 00h x x x h =-≤=，所以sin 0x x -≤在[]π,0-上恒成立，即sin x x ≥；令()()[]0e 1,π,xx x x ϕ∈-=-+，则()e 10xx ϕ'=-≤在[]π,0-上恒成立，即()()e 1xx x ϕ=-+在[]π,0-上单调递减，即()()()e 100xx x ϕϕ=-+≥=，所以()e 1xx ≥+在[]π,0-上恒成立，可得()()()2e sin sin e 1sin 1121xxf x x x x x x x x x x x =+-=+-≥++-=-++；易知函数221y x x =-++在[]π,0x ∈-上单调递增，因此2min π2π1y =-++，即只需2minπ2π14y k =-++≥即可得2π2π14k -++≤，易知()2π2π1 2.57961,044-++-≈∈-，所以1k ≤-；注意到，由（1）可知，由()f x 有两个零点可知，必存在[]0π,0x ∈-，使得()00f x <，所以当0k ≥时，()()0040k f x f x -≥->，故()40k f x -≤不恒成立；综上，整数k 的最大值为1-.22.已知函数()2e 2ln x f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭有三个极值点123,,x x x ，且123x x x <<.（1）求实数k 的取值范围；（2）若2是()f x 的一个极大值点，证明：()()23131ef x f x k k x x -<--.【答案】（1）22e e e,,22⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）利用函数极值点个数可得()()32e x xf x k x x --⋅'=在()0,∞+上至少有三个实数根，即可知e x k x =在()0,∞+有两个不等于2的不相等的实数根；利用导数求出()()e ,0,xg x x x=∈+∞的单调性并在同一坐标系下画出函数()g x 与函数y k =的图象即可求得实数k 的取值范围；（2）根据（1）中的结论可得22x =，将要证明的不等式化为131ekx x <，利用分析法可得需证明311e x x -<，由()g x 的单调性可知()()()3113ex g x g g x -=<，化简可得313e 01ln x x---<，构造函数()1e ,11ln x h x x x -=-->即可得出证明.【小问1详解】根据题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，则()()()224332e e e 222221e xx x x x f x k k x x x x x x kx x x x x -⎛⎫'⎭-⋅-⋅--=--+=-⋅=⎪⋅ ⎝，由函数()f x 有三个极值点123,,x x x 可知()()3e 02x xf x xk x -'-⋅==在()0,∞+上至少有三个实数根；显然()20f '=，则需方程3e 0x kx x-=，也即e 0xkx -=有两个不等于2的不相等的实数根；由e 0xkx -=可得e xk x=，()0,x ∈+∞，令()()e ,0,xg x x x =∈+∞，则()()()2e 1,0,x x g x x x-'=∈+∞，显然当()0,1x ∈时，()0g x '<，即()g x 在()0,1上单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 在()1,+∞上单调递增；所以()()1e g x g ≥=，画出函数()()e ,0,xg x x x=∈+∞与函数y k =在同一坐标系下的图象如下图所示：由图可得e k >且2e 2k ≠时，e xk x=在()0,∞+上有两个不等于2的相异的实数根，经检验可知当22e e e,,22k ⎛⎫⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，导函数()()32e x xf x k x x --⋅'=在123,,x x x 左右符号不同，即123,,x x x 均是()0f x '=的变号零点，满足题意；因此实数k 的取值范围时22e e e,,22⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【小问2详解】根据题意结合（1）中的图象，由123x x x <<可知12x ≠，若2是()f x 的一个极大值点，易知函数()f x 在()10,x 上单调递减，可知22x =；因此13,x x 是方程e x kx =的两个不相等的实数根，即3113,e ex xkx kx ==所以()33333233333e 22ln ln l 1n x k k f x k x k x k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理可得()111ln 1f x k x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以()()333313333131313113111111ln l 11n ln ln 1l 1n x x x k x k x k x x k f x f x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-+---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-===----由3113,e e x x kx kx ==可知3331111331e e ln ln ln lne e ex x x x x x x k x x x k-====-,所以()()13131111331313331313131n 1l x x x x x k k x x f x f x x x x x x k x x x x x x x x --⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===⎝--⎭-又22e e e,,22k ⎛⎫⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要证()()23131e f x f x k k x x -<--，即证21311ek k k x x -<⎛⎫⎪⎭-⎝，也即13111e k x x -<-，所以131e k x x <；只需证13e kx x <，即31e e x x <⋅可得311e x x -<；由（1）可得1301,1x x <<>，所以可得310e 1x -<<，且根据（1）中结论可知函数()e xg x x=在()0,1上单调递减；所以要证证311e x x -<，即证()()311ex g g x -<，又3131e e x x k x x ==，即()()13g x g x =，即证()()313e x g g x -<，即1333e13e e e x x x x --<，可得13e 3e e x x -<，即3131e ln x x --<，可得313e 01ln x x ---<，令()1e ,11ln xh x x x -=-->，则()11e 1e 1x x x h x x x --=-+-'=，令()1e 1,1x x x x u --=>，则()()1e 01x u x x -'=-<，所以()u x 在()1,+∞上单调递减，即()()10u x u <=，所以()0h x '<，即()h x 在()1,+∞上单调递减；因此()()10h x h <=，即可得证.【点睛】方法点睛：在处理函数极值点问题时，是将极值点转化成导函数的变号零点，利用函数与方程的思想转化为图像交点个数的问题；双变量问题一般是通过已有的等量关系或者构造函数转化为单变量问题，利用单调性求解即可.。

华中师大一附中2020～2021学年度上学期期中检测高一年级数学试题试卷总分150分 考试时间120分钟一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．已知A ＝{3-，0，1 }，B ＝{4-，3-，1}，则A ∪B 的真子集的个数为（ ）A ．3B ．7C ．15D ．312．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话中，“不便宜”是“好货”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 的定义域为(1,1)-，函数()(21)g x f x =-，则函数()g x 的定义域为 （ ）A ．(1,1)-B ．(0, 1)C ．(3,1)-D ．((3),(1))f f - 4．若正实数a ，b 满足1a b +=，则12a b+的最小值为（ ）A．B ．6C ．D ．3+5．函数(f x（ ）A ．(,2]-∞B ．[2,)+∞C ．[0，2]D ．[2，4]6．若关于x 的不等式2|1||2|1()x x a a a -+-≤++∈R 的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10a -<<B ．01a <<C ．12a <<D ．1a <-7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递减，(2)0f -=，则不等式()0xf x > 的解集为（ ）A ．(,2)(0,2)-∞-B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．(2,0)(0,2)-D ．(2,0)(2,)-+∞8．已知函数2()2+1,[0,2]f x x x x =-+∈，函数()1,[1,1]g x ax x =-∈-，对于任意1[0,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,3]-∞-B ．[3,)+∞C ．(,3][3,)-∞-+∞D ．(,3)(3,)-∞-+∞二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9．已知a ，b ，c 为互不相等的正数，且222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是 （ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >> 10．下列各结论中正确的是（ ） A ．“0ab >”是“0ab>”的充要条件． B．函数y =2．C ．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是“01x ∃≤，200x x -≤” ． D ．若函数21y x ax =-+有负值，则实数a 的取值范围是2a >或2a <-．11．定义域为R 的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x >．以下结论正确的是（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为偶函数C ．()f x 为增函数D ．()f x 为减函数12．设定义域为R 的函数1, 1|1|()1, 1x x f x x ⎧≠-⎪+=⎨⎪=-⎩，若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=有且仅有三个不同的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1 < x 2 < x 3．下列说法正确的是 （ ）A ．2221235x x x ++=B ．10a b ++=C ．1322x x x +>D ．132x x +=-三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知集合{2,1}A =-，{|2}B x ax ==，若AB B =，则实数a 的取值集合为____________．14．关于x 的一元二次方程2210x kx k ++-=在区间(1,2)-内、外各有一个实数根，则实数k 的取值范围是___________．15．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.则第______种购物方式比较经济．16．已知函数2()=x ax a f x x++在(]0,1上单调递减，则实数a 的取值范围为____________．四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）已知集合26{||1|2}{|1}4x A x x B x x -=-≤=<-，，定义{|}A B x x A x B -=∈∉且. （1）求A B -；（2）求B A -．18．（本题满分12分）已知非空集合()(){}2|312310A x x a x a =-++-<，集合(){}223|220B x x a a x a a =-++++<.命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.19．（本题满分12分）已知函数2()1mx nf x x +=+是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f = （1）求m ，n 的值；判断函数()f x 的单调性并用定义加以证明； （2）求使2(1)(1)0f a f a -+-<成立的实数a 的取值范围．20．（本题满分12分）已知函数2()(1)()f x x a x a =-++∈R ．（1）若对于任意[1,2]x ∈，恒有2()2f x x ≥成立，求实数a 的取值范围； （2）若2a ≥，求函数()f x 在区间[0, 2]上的最大值()g a ．21．（本题满分12分）华师一附中为了迎接建校70周年校庆，决定在学校艺术中心利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室．由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设荣誉室的左右两面墙的长度均为x 米(36)x ≤≤．（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？并求最低报价； （2）现有乙工程队也要参与此荣誉室的建造竞标，其给出的整体报价为1800(1)a x x+元(a>0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低），试求实数a 的取值范围．22．（本题满分12分）若函数()y f x =自变量的取值区间为[a , b ]时，函数值的取值区间恰为22[,]b a，就称区间[a , b ]为()y f x =的一个“和谐区间”．已知函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当(0,)x ∈+∞时，()3g x x =-+．（1）求()g x 的解析式；（2）求函数()g x 在(0,)+∞内的“和谐区间”；（3）若以函数()g x 在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数()y h x =的图像，是否存在实数m ，使集合2{(,)|()}{(,)|}x y y h x x y y x m ==+恰含有2个元素．若存在，求出实数m 的取值集合；若不存在，说明理由．高一年级数学试题参考答案一、单选题1．C 2．B 3．B 4．D 5．D 6．A 7．A 8．C 二、多选题9．BC 10．AD 11． AC 12．ABD 三、填空题13．{-1,0,2} 14．3,04⎛⎤- ⎥⎝⎦15．二 16．12a ≤-或1a ≥四、解答题17．解：{||1|2}{|13}A x x x x =-≤=-≤≤， (2)分26{|1}{|24}4x B x x x x -=<=<<- (4)分（1）{|12}A B x x -=-≤≤ (7)分（2）{|34}B A x x -=<< (10)分18．解：()(){}|2310A x x x a =---<⎡⎤⎣⎦，()(){}2|20B x x a x a ⎡⎤=--+<⎣⎦.∵22172024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，∴22a a +>.∴{}2|2B x a x a =<<+. (2)分∵p 是q 的充分条件，∴A B ⊆. (3)分① 当1a =时，312a -=，A =∅，不符合题意； (5)分② 当1a >时，312a ->，{}|231A x x a =<<-，要使A B ⊆，则212312a a a a ⎧>⎪≤⎨⎪-≤+⎩ ∴12a <≤. (8)分③ 当1a <时，312a -<，{}|312A x a x =-<<，要使A B ⊆，则213122a a a a ⎧<⎪≤-⎨⎪≤+⎩ ∴112a ≤<. (11)分综上所述，实数a 的取值范围是1[,1)(1,2]2. (12)分19．（1）解法一：因为函数()f x 是定义在[-1,1]上的奇函数，则()()0011f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得012n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得20m n =⎧⎨=⎩， (2)分经检验2m =，0n =时，()221xf x x =+是定义在[1,1]-上的奇函数. (3)分法二：()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，则()()f x f x -=-，即2211mx n mx nx x -+--=++，则0n =，所以()21mxf x x =+，又因为()11f =，得2m =，所以2m =，0n =. ………………3分设12,[1,1]x x ∀∈-且12x x <，则()()22121221211212222222121212222(1)2(1)2()(1)11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++1211x x -≤<≤ 222112120,10,(1)(1)0x x x x x x ∴->-<++>()()120f x f x ∴-< ()()12f x f x ∴< ()f x ∴在[1,1]-上是增函数 (6)分（2）由（1）知()221xf x x =+，()f x 在[1,1]-上是增函数， 又因为()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，由()()2110f a f a -+-<，得()()211f a f a -<-， (7)分2211111111a a a a -≤-≤⎧⎪∴-≤-≤⎨⎪-<-⎩， (10)分即2020221a a a ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-<<⎩，解得01a ≤<． 故实数a 的取值范围是[0，1)． (12)分20．（1）解法一：对任意的[]1,2x ∈，恒有()22f x x ≥，即22(1)2x a x x -++≥，整理得23(1)0x a x -+≤对任意的[]1,2x ∈恒成立， (2)分构造函数()23(1)g x x a x =-+，其中[]1,2x ∈，则()max0g x ≤，即()()1020g g ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，…… 4分 即3(1)0122(1)0a a -+≤⎧⎨-+≤⎩，解得5a ≥，因此，实数a 的取值范围是[)5,+∞.………………6分解法二：对任意的[]1,2x ∈，恒有()22f x x ≥，即22(1)2x a x x -++≥，整理得23(1)0x a x -+≤对任意的[]1,2x ∈恒成立， (2)分max 1(3)6a x ∴+≥= (5)分因此，实数a 的取值范围是[)5,+∞. (6)分（2）()()22211(1)24a a f x x a x x ++⎛⎫=-++=--+⎪⎝⎭． 2a ≥ 102a +∴> (7)分①当122a +<，即23a ≤<时，函数()y f x =在10,2a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 在1,22a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时()()21124a a g a f ++⎛⎫== ⎪⎝⎭； (9)分②当122a +≥，即3a ≥时，()y f x =在[0, 2]上单调递增，此时()()222g a f a ==-．………………11分 综上所述，2(1),23()422,3a a g a a a ⎧+≤<⎪=⎨⎪-≥⎩． (12)分21．（1）设甲工程队的总造价为y 元， 则72163006400144001800()14400(36)y x x x x x =⨯+⨯+=++≤≤， ………………2分161800()14400180021440028800x x ++≥⨯=， ………………4分 当且仅当16x x =，即x = 4时等号成立． ………………5分故当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，最低报价为28800元． ……6分（2）由题意可得161800(1)1800()14400a x x x x+++>对任意的[3,6]x ∈恒成立． 故2(4)(1)x a x x x ++>，从而2(4)1x a x +>+恒成立， ………………8分令1x t +=，22(4)(3)961x t t x t t++==+++，[4,7]t ∈． 又96y t t =++在[4,7]t ∈为增函数，故min 494y =. ………………11分所以a 的取值范围为49(0,)4． (12)分22．（1）因为()g x 为R 上的奇函数，∴(0)0g =又当(0,)x ∈+∞时，()3g x x =-+所以，当(,0)x ∈-∞时，()()(3)3g x g x x x =--=-+=--；3,0()0,03,0x x g x x x x --<⎧⎪∴==⎨⎪-+>⎩ (3)分 （2）设0a b <<，∵()g x 在(0,)+∞上递单调递减，2()32()3g b b b g a a a⎧==-+⎪⎪∴⎨⎪==-+⎪⎩，即,a b 是方程23x x =-+的两个不等正根． ∵0a b << ∴12a b =⎧⎨=⎩ ∴()g x 在(0,)+∞内的“和谐区间”为[1,2]． ………………6分 （3）设[a , b ]为()g x 的一个“和谐区间”，则22a b b a <⎧⎪⎨<⎪⎩，∴a ，b 同号． 当0a b <<时，同理可求()g x 在(,0)-∞内的“和谐区间”为[2,1]--．[1,2]3,()[2,1]3,h x x x x x -+∈⎧⎨----∈∴=⎩ (8)分依题意，抛物线2y x m =+与函数()h x 的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．因此，m 应当使方程23x m x +=-+在[1,2]内恰有一个实数根，并且使方程23x m x +=--，在[2,1]--内恰有一个实数.由方程23x m x +=-+，即230x x m ++-=在[1,2]内恰有一根，令2()3F x x x m =++-，则(1)10(2)30F m F m =-≤⎧⎨=+≥⎩，解得31m -≤≤；由方程23x m x +=--，即230x x m +++=在[2,1]--内恰有一根，令2()3G x x x m =+++，则(1)30(2)50G m G m -=+≤⎧⎨-=+≥⎩，解得53m -≤≤-. 综上可知，实数m 的取值集合为{3}-． ………………12分（用图象法解答也相应给分）。

屠1 生琛A 光" 漏暮輕.2 — 2 ・A. (S-2]B. （\-a ）x + 3a,x <eIn x,x>e7. 已知函数/（x ） = Q 为自然对数的底数） D. 1 —,-HX) 2 的值域为则 A. B.D. 华中师大一附中2019-2020学年度上学期高一期中检测数学试题时限：120分钟满分:150分I 卷（共16小题，满分80分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选 中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）1.函数/（0 = 雀巴的定义域为（） 丁1一2、A. （-1,0）B. （0,1）C. （一1,乜） 2.与函数y = 2%宀为同一函数的是（） 3. 已知集合 4 = {0,2m}. B = {ta 2}9 若 4UB = {0 丄 2416}.则"的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 4 4. 已知实数“ = log,3,c = log,l,则它们的大小关系为（） 13 丿 3 10 A. a>c>b B. oa>b C. a>b>cD ・ b>c> a 5. 拟定从甲地到乙地通话加分钟的电话费（单位：元）由f （m ） = 1.06x （0.5x （tn ） +1）给出，其中in > 0,〈〃»是大于或等于加的最小整数（如〈3〉= 3,（3.7）= 4,〈3・1〉= 4） •则从甲地到乙地通话时间为分钟的话费为（ ）A.B. C. D. 6.函数/（x ） = [lp '的单调递增区间为（ ） D. (0,+oc)A. y = xB. )，= + kl0. y =— X・3 — 3・8.给出下列四个说法：① 已知函数门尤)是定义在R 上的偶函数，当%<0时，/(x) = x(x+l),则当 x>0时，f(x) = x 2—x ； ② 若函数y = f(x-\)的定义域为(1,2),则函数y = f(2x)定义域为3 $ 3 、③ 若log -<1T 则"的取值范围为「1 ;10. 若对任意的x,ywR,有f(x)+f(y)-f(x+y) = 3,g(x) = £ + 4),则g (2)+ g(_2)的值为()X *1 1A. 0B. 4C. 6 11. 已知定义在人上的函数/(A ), g(X ),其中函数/(龙)满足/(-X )= /(X )且在 [0,乜)上单调递减，函数g(%)满足g(l-x) = g(l + x)且在(l,*o)上单调递减，设 函数 F (A-) = l[/(X )+ g(X )+ |/(X )-^(A-)|],则对任意心,均有()B. F (l-x)＜F(l+x)④函数y = log rt (3x-2) + 2 (°>0且心1)的图象必过定点(1,0)・ 其中正确说法的个数是() 1 B. 2 C. 函数/(x) = (-x 2+3)ln|x|的图象大致为(A. 9. D. 4 D.函数 D. 9A. F （l-x ）＞F （l+x ）C. F （1-X 2）＞F （1 + X 2）D. F （1-X 2）＜F （1+X 2）A.-4 — 4 -12. 设函数/（A-） = f7X ，A<0» 为定义在R 上的奇函数，且当XVO 时， -x\x>08（x ） = x 2-2x-5t 若/（g ⑷）52,则实数"的取值范围是（） A. （―°o,—1] LjF 0,2^2 — 1^B. —1,2-^^—1JC. （-°o,-1]D. — 1 — 2>/2,2>/2 — 1J二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分•谓把结果填在答题纸上的 相应位置•）I . 1 1 鞘 313. 化简：#（3小+石仗而+ 2 了 = ________ •14. 已知幕函数鮎 =（2加_1）严“eZ ）为偶函数，且满足/（3）</（5）,则 in+n= _______ •15. 已知6/>0,且。

2023-2024学年湖北省武汉市华中师大一附中高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足z +zi ＝2，则z +i 的模为（ ） A ．1B ．2C ．5D ．√52．已知集合A ＝{x |2x ＞4}，B ＝{x ∈Z |log 2x ＜3}，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．（0，2）B ．（0，2]C ．{1，2}D ．（1，2]3．在△ABC 中，“A ＞π6”是“sinA ＞12”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）的图象的一部分如图1，则图2中的函数图像对应的函数是（ ）A ．y =f(2x −12)B ．y =f(x 2−12)C ．y =f(x2−1)D ．y ＝f （2x ﹣1）5．在边长为2的正六边形ABCDEF 中，AC →⋅BF →=（ ） A ．﹣6B ．−2√3C ．2√3D ．66．在声学中，音量被定义为：L p =20lgp p 0，其中L p 是音量（单位为dB ），p 0是基准声压为2×10﹣5p a ，p 是实际声音压强．人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值．经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如图所示，其中240Hz 对应的听觉下限阈值为20dB ，1000Hz 对应的听觉下限阈值为0dB ，则下列结论正确的是（ ）A．音量同为20dB的声音，30～100Hz的低频比1000～10000Hz的高频更容易被人们听到B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小C．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为0.002PaD．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍7．若实数a，b，c满足e a+a=lnb+b=√c+c=sin1，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c8．已知函数f(x)=sinωx+√3cosωx(ω＞0)在区间[π6，π2]上恰有两个极值点，且f(π6)+f(π2)=0，则ω的值可以是（）A．6B．7C．8D．9二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数f（x）及其导函数f'（x）的部分图象如图所示，设函数g(x)=f(x)，则g（x）（）e xA．在区间（a，b）上是减函数B．在区间（a，b）上是增函数C．在x＝a时取极小值D．在x＝b时取极小值10．已知a＞0，b＞0，a≠b，且a+b＝2，则（）A．1a+1b＞2B．1a2+1b2＞2C．2a+2b＞2D．log2a+log2b＞211．若函数f（x）＝sin（cos x）+a tan x在区间（0，nπ）有2024个零点，则整数n可以是（）A．2022B．2023C．2024D．202512．已知定义在R上的函数y＝f（x）图像上任意一点（x，y）均满足e y−sinx−e x2023=e sinx−y−e−x2023，且对任意x∈（0，+∞），都有f（x﹣ae2x﹣1）+f（xlnx）＜0恒成立，则下列说法正确的是（）A．f（x）＝sin x﹣x2023B．f（x）是奇函数C．f（x）是增函数D．a＞1e三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分13．若直线y＝x+a与曲线y＝e x﹣1﹣b+1相切，则a+b＝．14．杭州第19届亚洲运动会，于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成（如图），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴．已知该扇面呈扇环的形状，内环和外环均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的13，内环所在圆的半径为1，径长（内环和外环所在圆的半径之差）为1，则该扇面的面积为．15．一只钟表的时针OA与分针OB长度分别为3和4，设0点为0时刻，则△OAB的面积S关于时间t （单位：时）的函数解析式为，一昼夜内（即t∈[0，24]时），S取得最大值的次数为．16．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，BD＝4，∠ADC＝2∠ABC＝120°，则△ABC面积的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知f(x)=2sinxsin(x+π3)．（1）求f（x）的单调递增区间与对称中心；（2）当x∈[0，a]时，f（x）的取值范围为[0，32]，求实数a的取值范围．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b+c=2asin(C+π6)．（1）求A的值；（2）若∠BAC的平分线与BC交于点D，AD＝2√3，求△ABC面积的最小值．19．（12分）已知函数f（x）＝log a x﹣x3（a＞0且a≠1），（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有最大值13loga23−23，求实数a的值．20．（12分）某城市平面示意图为四边形ABCD（如图所示），其中△ACD内的区域为居民区，△ABC内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段AB和线段AD上分别选一处位置，分别记为点E和点F，修建一条贯穿两块区域的直线道路EF，线段EF与线段AC交于点G，EG段和GF段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段AG长2公里，线段AB和线段AD长均为6公里，AB⊥AC，∠CAD=π6，设∠AEG＝θ．（1）求修建道路的总费用y（单位：万元）与θ的关系式（不用求θ的范围）；（2）求修建道路的总费用y的最小值．21．（12分）已知函数f（x）＝e x+sin x﹣x sin x，x∈[﹣π，0]．（1）求f（x）的零点个数；（2）若4k﹣f（x）≤0恒成立，求整数k的最大值．22．（12分）已知函数f(x)=e xx2−k(2x+lnx)有三个极值点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3．（1）求实数k的取值范围；（2）若2是f（x）的一个极大值点，证明：f(x3)−f(x1)x3−x1＜k2e−k．2023-2024学年湖北省武汉市华中师大一附中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足z +zi ＝2，则z +i 的模为（ ） A ．1B ．2C ．5D ．√5解：z +zi ＝2，则z （1+i ）＝2，故z =21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i ， z =1+i ，|z +i|=|1+2i|=√12+22=√5． 故选：D ．2．已知集合A ＝{x |2x ＞4}，B ＝{x ∈Z |log 2x ＜3}，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．（0，2）B ．（0，2]C ．{1，2}D ．（1，2]解：A ＝{x |x ＞2}，B ＝{x ∈Z |0＜x ＜8}＝{1，2，3，4，5，6，7}， ∴∁R A ＝{x |x ≤2}，（∁R A ）∩B ＝{1，2}． 故选：C ．3．在△ABC 中，“A ＞π6”是“sinA ＞12”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：在△ABC 中，A ∈（0，π）， 由sinA ＞12，可得π6＜A ＜5π6，因为{A |π6＜A ＜5π6}⫋{A |A ＞π6}，所以“A ＞π6”是“sinA ＞12”的必要不充分条件．故选：B ．4．已知函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）的图象的一部分如图1，则图2中的函数图像对应的函数是（ ）A ．y =f(2x −12)B ．y =f(x 2−12)C ．y =f(x2−1)D ．y ＝f （2x ﹣1）解：图1的横坐标先缩短为原来的12，再向右平移12个单位长度，纵坐标均不改变，可得到图2对应的图象，所以图2对应的函数解析式为y ＝f （2x ﹣1）． 故选：D ．5．在边长为2的正六边形ABCDEF 中，AC →⋅BF →=（ ） A ．﹣6B ．−2√3C ．2√3D ．6解：如图：边长为2的正六边形ABCDEF ， AC →=AB →+BC →，BF →=BA →+AF →，AF →=CD →则AC →⋅BF →=−AB →2+AB →⋅AF →+BC →⋅BA →+BC →•CD →=− 22+2×2×cos120°+2×2×cos120°﹣2×2×cos120°＝﹣6． 故选：A ．6．在声学中，音量被定义为：L p =20lgp p 0，其中L p 是音量（单位为dB ），p 0是基准声压为2×10﹣5p a ，p 是实际声音压强．人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值．经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如图所示，其中240Hz 对应的听觉下限阈值为20dB ，1000Hz 对应的听觉下限阈值为0dB ，则下列结论正确的是（ ）A．音量同为20dB的声音，30～100Hz的低频比1000～10000Hz的高频更容易被人们听到B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小C．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为0.002PaD．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍解：对于A，30～100Hz的低频对应图像的听觉下限阈值高于20dB，1000～10000Hz的高频对应的听觉下限阈值低于20dB，所以对比高频更容易被听到，故A错误；对于B，从图像上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B错误；对于C，240Hz对应的听觉下限阈值为20dB，P0=2×10−5Pa，令L p=20lg pp0=20，此时p＝10p0＝0.0002Pa，故C错误；对于D，1000Hz的听觉下限阈值为0dB，令L p=20lg pp0=0，此时p＝p0，所以240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍，故D正确．故选：D．7．若实数a，b，c满足e a+a=lnb+b=√c+c=sin1，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c解：因为0＜sin1＜1，当x＞0时，设f（x）＝e x﹣x﹣1，则f'（x）＝e x﹣1，易知当x＝0时，f'（0）＝e0﹣1＝0，当x＞0时，f（x）单调递增，所以e x≥x+1（x＞0），所以sin1＝e a+a≥a+1+a⇒a＜0，由已知可得b＞0，因为0＜sin1＜1，所以0＜b＜1；lnb＜0，所以b＝sin1﹣lnb，因为√c≥0⇒c≥0，所以c=sin1−√c＜b，故a＜c＜b．故选：A．8．已知函数f(x)=sinωx+√3cosωx(ω＞0)在区间[π6，π2]上恰有两个极值点，且f(π6)+f(π2)=0，则ω的值可以是（）A．6B．7C．8D．9解：f(x)=sinωx+√3cosωx=2sin(ωx+π3 )，当ω＝6时，f(x)=2sin(6x+π3)f(π6)+f(π2)=2sin(π+π3)+2sin(3π+π3)=−√3+(−√3)≠0，A选项错误；当ω＝7时，f(x)=2sin(7x +π3)f(π6)+f(π2)=2sin(7π6+π3)+2sin(7π2+π3)=−2+(−1)≠0，B 选项错误；当ω＝8时，f(x)=2sin(8x +π3)f(π6)+f(π2)=2sin(8π6+π3)+2sin(8π2+π3)=−√3+√3=0，x ∈[π6，π2]，8x +π3∈[5π3，13π3]，f(x)=2sin(8x +π3)恰有两个极值点，C 选项正确；当ω＝9时，f(x)=2sin(9x +π3)f(π6)+f(π2)=2sin(9π6+π3)+2sin(9π2+π3)=−1+1=0，x ∈[π6，π2]，9x +π3∈[11π6，29π6]，f(x)=2sin(9x +π3)恰有三个极值点，D 选项错误．故选：C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数f （x ）及其导函数f '（x ）的部分图象如图所示，设函数g(x)=f(x)e x，则g （x ）（ ）A ．在区间（a ，b ）上是减函数B ．在区间（a ，b ）上是增函数C ．在x ＝a 时取极小值D ．在x ＝b 时取极小值解：由图象知，当x ＜a 时，f （x ）﹣f ′（x ）＞0；当a ＜x ＜b 时，f （x ）﹣f ′（x ）＜0； 当x ＞b 时，f （x ）﹣f ′（x ）＞0， 已知g(x)=f(x)e x，函数定义域为R ， 可得g ′(x)=f′(x)−f(x)e x， 因为e x ＞0，所以当x ＜a 时，g ′(x)=f′(x)−f(x)e x＜0，g （x ）单调递减； 当a ＜x ＜b 时，g ′(x)=f′(x)−f(x)e x＞0，g （x ）单调递增； 当x ＞b 时，g ′(x)=f′(x)−f(x)e x＜0，g （x ）单调递减， 所以函数g （x ）在x ＝a 处取得极小值，在x ＝b 处取得极大值， 故选：BC ．10．已知a＞0，b＞0，a≠b，且a+b＝2，则（）A．1a+1b＞2B．1a2+1b2＞2C．2a+2b＞2D．log2a+log2b＞2解：因为a＞0，b＞0，a≠b，且a+b＝2，所以1a+1b=（a+ba+a+bb）×12=12（2+ba+ab）≥12(2+2√ba⋅ab)=2，当且仅当a＝b＝1时取等号，显然等号无法取得，A正确；因为ab≤(a+b2)2=1，显然等号无法取得，故1a2+1b2＞2√1a2b2=2ab＞2，B正确；2a+2b＞2√2a⋅2b=2√2a+b=4，C正确；log2a+log2b＝log2（ab）＜log21＝0，D错误．故选：ABC．11．若函数f（x）＝sin（cos x）+a tan x在区间（0，nπ）有2024个零点，则整数n可以是（）A．2022B．2023C．2024D．2025解：令f（x）＝sin（cos x）+a tan x＝0，则sin（cos x）＝﹣a tan x，对于函数g（x）＝sin（cos x），由cos x∈[﹣1，1]，可知g（x）＝sin（cos x）∈[﹣sin1，sin1]，因为g（x+2π）＝sin[cos（x+2π）]＝sin（cos x）＝g（x），且g（2π﹣x）＝sin[cos（2π﹣x）]＝sin（cos x）＝g（x），g（x）的周期为2π，且关于直线x＝π对称，又因为g'（x）＝﹣cos（cos x）sin x，当x∈[0，π]，则cos x∈[﹣1，1]，sin x∈[0，1]，且cos（cos x）＞0，可知g′（x）＝﹣cos（cos x）sin x≤0，则g（x）在[0，π]上单调递减，可知g（x）在[π，2π]上单调递增，若a＝0时，因为y＝tax的定义域为{x|x≠kπ+π2，k∈Z}，则cos x≠0，可知f（x）＝sin（cos x）≠0，无零点，不合题意，若a＜0时，﹣a＞0，结合图象可知：y＝g（x）与y＝﹣a tan x在[0，π2)，(π2，π)内各有一个交点，在(π，3π2)，(3π2，2π]没有交点，所以f（x）＝sin（cos x）+a tan x在（0，π）内有2个零点，在（π，2π）内没有零点（区间端点均不是零点），因为y＝g（x）与y＝﹣a tan x的周期均为2π，则f（x）周期为2π，结合周期可知：若数f（x）＝sin（cos x）+a tan x在区间（0，nπ）（n∈Z），有2024个零点，则整数n可以是2023或2024，若a＞0时，﹣a＜0，结合图像可和：y＝g（x）＝y﹣a tan x在[0.π2)，(π2，π)内没有交点，在(π，3π2)，(3π2，2π]内各有一个交点，所以f（x）＝sin（cos x）+a tan x在（0，π）内没有零点，在（π，2π）内有2个零点（区间端点均不是零点），结合周期可知：若数f（x）＝sin（cos x）+a tan x在区间（0，nπ）有2024个零点，则整数n可以是2024或2025，综上所述：整数n可以是2023或2024或2025．故选：BCD．12．已知定义在R上的函数y＝f（x）图像上任意一点（x，y）均满足e y−sinx−e x2023=e sinx−y−e−x2023，且对任意x∈（0，+∞），都有f（x﹣ae2x﹣1）+f（xlnx）＜0恒成立，则下列说法正确的是（）A．f（x）＝sin x﹣x2023B．f（x）是奇函数C．f（x）是增函数D．a＞1e解：因为e y−sinx−e x2023=e sinx−y−e−x2023，所以e y−sinx−e−(y−sinx)=e x2023−e−x2023，不妨设g（x）＝e x﹣e﹣x，函数定义域为R，可得g′（x）＝e x+e﹣x＞0，所以函数g（x）在R上单调递增，此时y﹣sin x＝x2023，所以f（x）＝sin x+x2023，故选项A错误；因为f（﹣x）＝sin（﹣x）+（﹣x）2023＝﹣（sin x+x2023）＝﹣f（x），且定义域R关于原点对称，所以f（x）是奇函数，故选项B正确；不妨设h（x）＝f′（x）＝cos x+2023x2022，函数定义域为[0，+∞），可得h′（x）＝﹣sin x+2023×2022x2021，因为当x≥0时，y＝sin x﹣x，可得y′＝cos x﹣1≤0，所以函数y＝sin x﹣x在[0，+∞）单调递减，当x＝0时，y＝0，则sin x﹣x＜0，即sin x＜x，易知2023×2022x2021＞x，所以h′（x）＝﹣sin x+2023×2022x2021＞x﹣sin x≥0，可得函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，此时f′（x）≥f′（0）＝1＞0，所以函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，因为函数f（x）为奇函数，所以函数f（x）是增函数，故选项C正确；因为对任意x∈（0，+∞），都有f（x﹣ae2x﹣1）+f（xlnx）＜0恒成立，所以f（x﹣ae2x﹣1）＜﹣f（xlnx）＝f（﹣xlnx）在（0，+∞）上恒成立，即a＞x+xlnxe2x−1在（0，+∞）上恒成立，不妨设k（x）＝x﹣1﹣lnx，函数定义域为（0，+∞），可得k′（x）＝1−1x=x−1x，当0＜x＜1时，k′（x）＜0，k（x）单调递减；当x＞1时，k′（x）＞0，k（x）单调递增，所以k（x）≥k（1）＝0，即x≥1+lnx，所以x+xlnxe2x−1≤x2e2x−1在（0，+∞）上恒成立，不妨设m（x）=x2e2x−1，函数定义域为（0，+∞），可得m′（x）=2x(1−x) e2x−1，当0＜x＜1时，m′（x）＞0，m（x）单调递增；当x＞1时，m′（x）＜0，m（x）单调递减，所以m（x）≤m（1）=1 e ，则x+xlnxe2x−1≤1，当且仅当x＝1时，等号成立，所以a＞1e，故选项D正确．故选：ABCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分13．若直线y＝x+a与曲线y＝e x﹣1﹣b+1相切，则a+b＝1．解：设切点为(x0，e x0−1−b+1)，y′＝e x﹣1，所以切线方程为y−(e x0−1−b+1)=e x0−1（x﹣x0），即y=e x0−1⋅x+e x0−1−b+1−e x0−1⋅x0，与y＝x+a是同一条直线，所以e x0−1=1①，e x0−1⋅(1−x0)−b+1=a②，由①得x0＝1，代入②式得a+b＝1．故答案为：1．14．杭州第19届亚洲运动会，于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成（如图），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴．已知该扇面呈扇环的形状，内环和外环均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的13，内环所在圆的半径为1，径长（内环和外环所在圆的半径之差）为1，则该扇面的面积为π．解：设内环圆弧所对的圆心角为α，因为内环弧长是所在圆周长的13，且内环所在圆的半径为1，所以α×1=13×2π×1，可得α=2π3， 因为径长（内环和外环所在圆的半径之差）为1， 所以外环圆弧所在圆的半径为1+1＝2， 因此该扇面的面积为12×2π3×(22−12)=π．故答案为：π．15．一只钟表的时针OA 与分针OB 长度分别为3和4，设0点为0时刻，则△OAB 的面积S 关于时间t （单位：时）的函数解析式为 S ＝6|sin 11π6t | ，一昼夜内（即t ∈[0，24]时），S 取得最大值的次数为44 ．解：OA 旋转的角速度为−π6rad /h ，OB 旋转的角速度为﹣2πrad /h ；所以∠AOB =11π6t +2k π，k ∈Z ， 所以△OAB 的面积为S =12×3×4×|sin ∠AOB |＝6|sin 11π6t |，三角函数的周期为π11π6=611，且每个周期出现1次最大值，所以最大值取得的次数为1×24611=44．故答案为：S ＝6|sin 11π6t |，44．16．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝CD ，BD ＝4，∠ADC ＝2∠ABC ＝120°，则△ABC 面积的最大值为 3√3 ．解：设AD ＝CD ＝x ，因为∠ADC ＝120°，所以AC =√3x ，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理知，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC cos∠ABC，所以3x2＝c2+a2﹣2ac×12≥2ac﹣ac＝ac，当且仅当c＝a（即BC＝AB）时，等号成立，此时ac的最大值为3x2，又AD＝CD，BD＝BD，所以△ABD≌△CBD，所以∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠CDB，所以∠ABD=12∠ABC＝30°，∠ADB=12∠ADC＝60°，所以△ABD为直角三角形，所以x＝AD＝4cos60°＝2，所以△ABC面积S=12ac sin∠ABC=√34ac≤√34•3x2=√34•3•4＝3√3，即△ABC面积的最大值为3√3．故答案为：3√3．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知f(x)=2sinxsin(x+π3)．（1）求f（x）的单调递增区间与对称中心；（2）当x∈[0，a]时，f（x）的取值范围为[0，32]，求实数a的取值范围．解：（1）f(x)=2sinx⋅sin(x+π3)=2sinx(12sinx+√32cosx)．=sin2x+√3sinx⋅cosx=√32sin2x−12cos2x+12=sin(2x−π6)+12，令2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2(k∈Z)，解得kπ−π6≤x≤kπ+π3(k∈Z)，令2x−π6=kπ(k∈Z)，解得x=kπ2+π12(k∈Z)，所以f（x）的单调递增区间与对称中心分别为[kπ−π6，kπ+π3](k∈Z)，(kπ2+π12，12)（k∈Z）；（2）f(x)=sin(2x−π6)+12的函如图所示：由题意当x＝[0，a]时，f（x）的取值范围为[0：32 ]，故当且仅当x1≤a≤x2，中x1=min{x＞0|f(x)=32}，x2＝min{x＞0|f（x）＝0}，令f(x)=sin(2x−π6)+12=32，得sin(2x−π6)=1，即2x−π6=π2+2kπ(k∈Z)，解得x=π3+kπ(k∈Z)，所以x1=min{x＞0|f(x)=32}=min{x＞0|x=π3+kπ，k∈Z}=π3，令f(x)=sin(2x−π6)+12=0，得sin(2x−π6)=−12，即2x−π6=−π6+2kπ(k∈Z)或2x−π6=7π6+2kπ(k∈Z)，解得x＝kx（k∈Z）或x=2π3+kπ(k∈Z)，所以x1=min{x＞0|f(x)=32}=min{x＞0|x=kπ或x=2π3+kπ，k∈Z}=2π3，综上所述；满足题意的实数a的取值范围为[π3：2π3]．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b+c=2asin(C+π6)．（1）求A的值；（2）若∠BAC的平分线与BC交于点D，AD＝2√3，求△ABC面积的最小值．解：（1）∵b+c=2asin(C+π6 )，∴由正弦定理得：sinB+sinC=2sinAsin(C+π6 )，则sinB+sinC=2sinA(√32sinC+12cosC)=√3sinAsinC+sinAcosC，∴sin(A+C)+sinC=√3sinAsinC+sinAcosC，∴cosAsinC+sinC=√3sinAsinC，又∵C∈（0，π），∴sin C≠0，∴cosA+1=√3sinA，∴√3sinA−cosA=1，即sin(A−π6)=12，∵A∈（0，π），A−π6∈(−π6，5π6)，∴A−π6=π6，解得A=π3；（2）∵AD平分∠BAC且AD=2√3，∴∠BAD=∠CAD=π6，由S△ABC＝S△ABD+S△ACD，可得12bcsin∠BAC=12c⋅ADsin∠BAD+12b⋅ADsin∠CAD，整理得bc=2(b+c)≥4√bc，则bc≥16，当且仅当b＝c时，等号成立，故△ABC面积的最小值为4√3．19．（12分）已知函数f（x）＝log a x﹣x3（a＞0且a≠1），（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有最大值13loga23−23，求实数a的值．解：（1）已知f（x）＝log a x﹣x3（a＞0且a≠1），可得f′(x)=1xlna−3x2，(x＞0)，当0＜a＜1时，lna＜0，此时f′(x)=1xlna−3x2＜0，(x＞0)，所以f（x）的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；当a＞1时，令f′(x)=1xlna−3x2=1−3x3lnaxlna=0，解得x=√1 3lna3＞0，当0＜x＜√1 3lna3时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞√1 3lna3时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）的单调递增区间为（0，√1 3lna3），单调递减区间为(√1 3lna3，+∞)，综上，当0＜a＜1时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；当a＞1时，f（x）的单调递增区间为（0，√1 3lna3），单调递减区间为(√1 3lna3，+∞)；（2）若函数f（x）有最大值13loga23−23，由（1）可知当且仅当a＞1时，f（x）有最大值，最大值f（√1 3lna3）＝log a（√1 3lna3）﹣（√1 3lna3）3=13log a（13lna）−13lna=13log a23−23，不妨设g(x)=13log a x−x，（x＞0，a＞1），可得g′(x)=13xlna−1=1−3xlna3xlna，(x＞0，a＞1)，不妨令g′（x）＝0，解得x=13lna＞0，当x∈(0，13lna)时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈(13lna，+∞)时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以[g(x)]max=13log a(13lna)−13lna=13log a23−23，此时13lna=23，解得a=√e，又√e＞1符合题意，综上，满足条件的实数a的值为√e．20．（12分）某城市平面示意图为四边形ABCD（如图所示），其中△ACD内的区域为居民区，△ABC内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段AB和线段AD上分别选一处位置，分别记为点E和点F，修建一条贯穿两块区域的直线道路EF，线段EF与线段AC交于点G，EG段和GF段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段AG长2公里，线段AB和线段AD长均为6公里，AB⊥AC，∠CAD=π6，设∠AEG＝θ．（1）求修建道路的总费用y（单位：万元）与θ的关系式（不用求θ的范围）；（2）求修建道路的总费用y的最小值．解：（1）在Rt△AEG中，AG＝2，∠AEG＝θ，∴EG=2sinθ，在△AGF中，∠GAF=π6，∴∠AFG=π3−θ，由正弦定理可得AGsin∠AFG=GFsin∠GAF，即2sin(π3−θ)=GFsinπ6，∴GF=1sin(π3−θ)，∴y=20sin(π3−θ)+20sinθ；（2）由（1）可得y=20sin(π3−θ)+20sinθ=20[sin(π3−θ)+sinθ]sin(π3−θ)⋅sinθ=20(√32cosθ−12sinθ+sinθ)(√32cosθ−12sinθ)⋅sinθ=20(√32cosθ+12sinθ)34sin2θ−12sin=20sin(θ+π3)34sin2θ−14+14cos2θ=20sin(θ+π3)12sin(2θ+π6)−14=80sin(θ+π3)2sin[2(θ+π3)−π2]−1=80sin(θ+π3)−2cos2(θ+π3)−1=80sin(θ+π3)4sin2(θ+π3)−3=804sin(θ+π3)−3sin(θ+π3)，令t=sin(θ+π3)，∵θ∈(0，π3)，∴t∈(√32，1]，∵u=4t−3t在区间(√32，1]上单调递增，所以当t＝1，即θ=π6时u取最大值1，∴y取最小值80，此时AE=AF=2√3＜6，所以修道路总费用的最小值为80万元．21．（12分）已知函数f（x）＝e x+sin x﹣x sin x，x∈[﹣π，0]．（1）求f（x）的零点个数；（2）若4k﹣f（x）≤0恒成立，求整数k的最大值．解：（1）已知f（x）＝e x+sin x﹣x sin x，x∈[﹣π，0]，令f（x）＝0，可得e xx−1=sinx，不妨设g(x)=e xx−1，x∈[−π，0]，可得g′(x)=e x(x−1)−e x(x−1)2=e x(x−2)(x−1)2，当x∈[﹣π，0]时，g′(x)=e x(x−2)(x−1)2＜0恒成立，所以函数g（x）在[﹣π，0]上单调递减，且g（x）在x∈[﹣π，0]上恒成立，易知函数y＝sin x在[−π，−π2]上单调递减，在[−π2，0]上单调递增，又sin(−π)=0＞g(−π)=−e−ππ+1，sin(−π2)=−1，sin0=0＞g(0)=−1，作出函数y＝g（x）和y＝sin x在区间[﹣π，0]上的图象：易知函数g（x）与y＝sin x在区间[﹣π，0]上有两个交点，所以函数f（x）＝e x+sin x﹣x sin x，x∈[﹣π，0]有两个零点；（2）若4k﹣f（x）≤0恒成立，此时k≤f(x) 4，不妨设h（x）＝x﹣sin x，x∈[﹣π，0]，可得h′（x）＝1﹣cos x≥0恒成立，所以函数h（x）在[﹣π，0]上单调递增，此时h（x）≤h（0）＝0，即sin x≥x在[﹣π，0]上恒成立，不妨设k（x）＝e x﹣（x+1），x∈[﹣π，0]，可得k′（x）＝e x﹣1≤0恒成立，所以函数k（x）在[﹣π，0]上单调递减，此时k（x）≥k（0）＝0，即e x≥（x+1）在[﹣π，0]上恒成立，则f（x）＝e x+sin x﹣x sin x＝e x+（1﹣x）sin x≥x+1+（1﹣x）x＝﹣x2+2x+1；易知函数y＝﹣x2+2x+1是开口向下的二次函数，对称轴x＝1，所以该函数在[﹣π，0]上单调递增，此时y min=−π2−2π+1，要使4k﹣f（x）≤0恒成立，需满足y min≥4k，即k≤−π2−2π+14，易知−π2−2π+14∈（﹣4，﹣3），所以k≤﹣4，由（1）可知，若函数f（x）有两个零点，此时存在点x0∈[﹣π，0]，使得f（x0）＜0，所以当k≥0时，4k﹣f（x0）≥﹣f（x0）＞0，则4k﹣f（x）≤0不恒成立，综上，满足条件的整数k的最大值为﹣4．22．（12分）已知函数f(x)=e xx2−k(2x+lnx)有三个极值点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3．（1）求实数k的取值范围；（2）若2是f（x）的一个极大值点，证明：f(x3)−f(x1)x3−x1＜k2e−k．解：（1）根据题意可知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），则f′(x)=e x⋅x2−e x⋅2xx4−k(−2x2+1x)=e x(x−2)x3−k⋅x−2x2=(x−2)⋅e x−kxx3，由函数f（x）有三个极值点x1，x2，x3可知，f′(x)=(x−2)⋅e x−kxx3=0在（0，+∞）上至少有三个实数根．显然f′（2）＝0，则需方程e x−kxx3=0，也即e x﹣kx＝0有两个不等于2的不相等的实数根．由e x﹣kx＝0，可得k=e xx，x∈(0，+∞)，令g(x)=e xx，x∈(0，+∞)，则g′(x)=ex(x−1)x2，x∈(0，+∞)，显然当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，即g（x）在（0，1）上单调递减；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，即g（x）在（1，+∞）上单调递增；所以g（x）≥g（1）＝e，画出函数g(x)=e xx，x∈(0，+∞)与函数y＝k在同一坐标系下的图象，如下图所示：由图，可得k＞e且k≠e22时，k=e xx在（0，+∞）上有两个不等于2的相异的实数根，经检验可知，当k∈(e，e22)∪(e22，+∞)时，导函数f′(x)=(x−2)⋅e x−kxx3在x1，x2，x3左右符号不同，即x1，x2，x3均是f′（x）＝0的变号零点，满足题意；因此实数k的取值范围时(e，e22)∪(e22，+∞)．（2）证明：根据题意结合（1）中的图象，由x1＜x2＜x3可知，x1≠2，若2是f（x）的一个极大值点，易知函数f（x）在（0，x1）上单调递减，则x2＝2，因此x1，x3是方程e x＝kx的两个不相等的实数根，即e x1=kx1，e x3=kx3，所以f(x3)=e x3x32−k(2x3+lnx3)=kx3−2kx3−klnx3=−k(1x3+lnx3)，同理，可得f(x1)=−k(1x1+lnx1)，所以f(x3)−f(x1)x3−x1=−k(1x3+lnx3)+k(1x1+lnx1)x3−x1=−k(1x3+lnx3−1x1−lnx1)x3−x1=−k(x1−x3x1x3+ln x3x1)x3−x1，由e x1=kx1，e x3=kx3可知，ln x3x1=lne x3ke x1k=lne x3e x1=lne x3−x1=x3−x1，所以f(x3)−f(x1)x3−x1=−k(x1−x3x1x3+ln x3x1)x3−x1=−k(x1−x3x1x3+x3−x1)x3−x1=k(1x1x3−1)，又k∈(e，e22)∪(e22，+∞)，要证f(x3)−f(x1)x3−x1＜k2e−k，即证k(1x1x3−1)＜k2e−k，也即1x1x3−1＜ke−1，所以1x1x3＜ke．由（1），可得0＜x1＜1，x3＞1，所以0＜e1−x3＜1，且根据（1）中结论可知，函数g(x)=e xx在（0，1）上单调递减．所以要证证e1−x3＜x1，即证g(x1)＜g(e1−x3)，又k=e x3x3=e x1x1，即g（x1）＝g（x3），即证g(x3)＜g(e1−x3)，即e x3x3＜e1−x3e1−x3，所以ex3＜e1−x3，即1−lnx3＜e1−x3，所以1−lnx3−e1−x3＜0，令h（x）＝1﹣lnx﹣e1﹣x，x＞1，则ℎ′(x)=−1x+e1−x=xe1−x−1x，令u（x）＝xe1﹣x﹣1，x＞1，则u′（x）＝（1﹣x）e1﹣x＜0，所以u（x）在（1，+∞）上单调递减，即u（x）＜u（1）＝0，所以h′（x）＜0，即h（x）在（1，+∞）上单调递减；因此h（x）＜h（1）＝0，所以f(x3)−f(x1)x3−x1＜k2e−k．第21页（共21页）。

华中师大一附中2020～2021学年度上学期期中检测高一年级数学试题试卷总分150分 考试时间120分钟 命题人：张丹 审题人：黄进林一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1 ．已知{}3,0,1A =−，{}4,3,1B =−−，则A B 的真子集的个数为（ ）A ．3B ．7C ．15D ．31 2 ．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话中，“不便宜”是“好货”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3 ．已知函数()f x 的定义域为(1,1)−，函数()()21g x f x =−，则函数()g x 的定义域为（ ）A ．()1,1−B ．()0,1C ．()3,1−D ．()()()3,1f f −4 ．若正实数a ，b 满足1a b +=，则12a b+的最小值为（ ）A ．B ．6C ．D ．3+5 ．函数()f x 的单调递减区间是（ ）A ．(],2−∞B ．[)2,+∞C ．[]0,2D ．[]2,46 ．若关于x 的不等式()2121x x a a a −+−++∈R ≤的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10a −＜＜ B ．01a ＜＜ C ．12a ＜＜ D ．1a −＜7 ．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递减，()20f −=，则不等式()0xf x ＞的解集为（ ）A ．()(),20,2−∞−B ．()(),22,−∞−+∞C ．()()2,00,2−D ．(2,0)(2,)−+∞ 8 ．已知函数()22+1f x x x =−+，[]0,2x ∈，函数()1g x ax =−，[]1,1x ∈−，对于任意[]10,2x ∈，总存在[]21,1x ∈−，使得()()21g x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],3−∞− B ．[)3,+∞ C ．(][),33,−∞−+∞ D ．()(),33,−∞−+∞二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9 ．已知a ，b ，c 为互不相等的正数，且222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ） A ．a b c ＞＞ B ．c b a ＞＞ C ．b a c ＞＞ D ．a c b ＞＞ 10．下列各结论中正确的是（ ）A ．“0ab ＞”是“0ab＞”的充要条件B ．函数y =+ 2C ．命题“1x ∀＞，20x x −＞”的否定是“01x ∃≤，2000x x −≤” D ．若函数21y x ax =−+有负值，则实数a 的取值范围是2a ＞或2a −＜11．定义域为R 的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且当0x ＞时，()0f x ＞．以下结论正确的是（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为偶函数12．设定义域为R 的函数()1, 11,1x x f x x x ⎧≠−⎪+=⎨⎪=−⎩，若关于x 的方程()()20f x af x b ++=⎡⎤⎣⎦有且仅有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且123x x x ＜＜．下列说法正确的是（ ）A ．2221235x x x ++= B ．10a b ++=C ．1322x x x +＞D ．132x x +=−三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知集合{}2,1A =−，{}2B x ax ==，若A B B =，则实数a 的取值集合为_______． 14．关于x 的一元二次方程2210x kx k ++−=在区间()1,2−内、外各有一个实数根，则实数k 的取值范围是_______．15．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.则第_______种购物方式比较经济．16．已知函数()2=x ax af x x++在(]0,1上单调递减，则实数a 的取值范围为_______．四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）已知集合{}12A x x =−≤，2614x B x x ⎧−⎫=⎨⎬−⎩⎭＜，定义{}A B x x A x B −=∈∉且.（1）求A B −；（2）求B A −． 18．（本题满分12分）已知非空集合()(){}2312310A x x a x a =−++−＜，集合(){}223220B x x a a x a a =−++++＜.命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.已知函数()21mx nf x x +=+是定义在[]1,1−上的奇函数，且()11f =.（1）求m ，n 的值；判断函数()f x 的单调性并用定义加以证明； （2）求使()()2110f a f a −+−＜成立的实数a 的取值范围． 20．（本题满分12分）已知函数()()21f x x a x =−++()a ∈R ．（1）若对于任意[]1,2x ∈，恒有()22f x x ≥成立，求实数a 的取值范围； （2）若2a ≥，求函数()f x 在区间[]0,2上的最大值()g a ．华师一附中为了迎接建校70周年校庆，决定在学校艺术中心利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室．由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设荣誉室的左右两面墙的长度均为x 米()36x ≤≤． （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？并求最低报价；（2）现有乙工程队也要参与此荣誉室的建造竞标，其给出的整体报价为()18001a x x+元()0a ＞，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低），试求实数a 的取值范围．22．（本题满分12分）若函数()y f x =自变量的取值区间为[],a b 时，函数值的取值区间恰为22,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，就称区间[],a b 为()y f x =的一个“和谐区间”．已知函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()3g x x =−+．（1）求()g x 的解析式；（2）求函数()g x 在()0,+∞内的“和谐区间”；（3）若以函数()g x 在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数()y h x =的图像，是否存在实数m ，使集合()(){}(){}2,,x y y h x x y y xm ==+恰含有2个元素．若存在，求出实数m 的取值集合；若不存在，说明理由．。

湖北省华中师大一附中2020届高三数学上学期期中试题 理（含解析）时间：120分钟 满分：150分一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1. 已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{(1)(2)0}B x x x =-+>，则B A ⋂的子集个数为（ ） A. 2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】由已知得：{2,1,0,1,2}A =--，{(1)(2)0}B x x x =-+>2}-{1，=，B A ⋂={-2,1}，所以子集个数：224=个2. 设命题p ：n N ∃∈，22n n >，则p ⌝为 （ ）A ．2,2n n N n ∀∈>B ．2,2n n N n ∃∈≤C ．2,2n n N n ∃∈=D ．2,2n n N n ∀∈≤【答案】D【解析】由已知得：命题p ：n N ∃∈，22n n >，命题p ⌝：2,2n n N n ∀∈≤3. 若复数z 满足(34)112i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 （ ） A. 2- B. 2 C. 2i - D. 2i 【答案】B【解析】由已知得：(34)112i z i -=+⇒i iiz 2143211+=-+=4. 我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。

问两鼠在第几天相遇？（ ）A. 第2天B.第3天C.第4天D.第5天 【答案】B【解析】第一天：大老鼠1+小老鼠1=2； 第二天：大老鼠2+小老鼠1.5=3.5第三天：大老鼠4+小老鼠1.75=5.75相遇5. 已知变量x , y 满足约束条件13230x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩，则y x z +=2的最小值为（ ）A.1B.2C.3D.6【答案】A6. 已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足12130,0,S S ><且{S n }的最大项为m S ，12m a +=-，则13S -=（ ）A. 20B.22C.24D.26 【答案】D【解析】由已知得：12130,0,S S ><⇒0076<>a a ，，{S n }的最大项为m S ，所以m=6即：27-=a ，262)(1313113=+-=-a a S7. 右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论 ①AN GC ⊥ ②CF 与EN 所成的角为60︒③BD //MN ④二面角E BC N --的大小为45︒ 其中正确的个数是（ ）A .1B .2C .3D .4 【答案】C8. 已知ABC ∆中，2AD DC =u u u r u u u r，E 为BD 中点，若BC AE AB λμ=+uu u r uu u r uu u r ，则2λμ-的值为 （ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C【解析】由已知得：AD BA AC BA BC 23+=+=()ED AE BA ++=23()AE AB BA AE BA 325223+-=++=所以253-==μλ，.2λμ-8=9. 若1164log 9a =，33log 2b =，0.20.6c =，则,,a b c 的大小关系为 （ ） A. c b a >> B. c a b >> C. b a c >> D. a b c >>【答案】A10. 已知函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如右图所示，且(,1),(,1)2A B ππ-，则ϕ的值为 （ ）A.56πB. 6πC. 56π-D. 6π-【答案】C【解析】由已知得：1,2==ωπT ，图像经过(,1),(,1)2A B ππ-65-πϕ=11. 已知函数2()ln(1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是（ ） A. (1)(1,)-∞-⋃+∞，B. (1,+)∞C. 1(,)(1,+)3-∞-⋃∞D. (,2)(1,)-∞-⋃+∞【答案】D【解析】由已知得：函数是偶函数，在[)∞+，1是增函数，|2||1|x x <+⇒ 解之得：(,2)(1,)-∞-⋃+∞12. 已知函数()sin )4f x x x x π=+，若对于任意的1212,[0,),()2x x x x π∈≠，均有1212|()()|||x x f x f x a e e -<-成立，则实数a 的最小值为（ ）A.23B.1C.32D. 3 【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13. 曲线x y xe -=在点1(1,)e 处的切线方程为 .【答案】1y e=【解析】由已知得：求导'y =x xxe e ---，当1=x 时，k=0,所以切线方程：1y e=14. 已知3sin()2cos()sin 2παπαα-+-=，则2sin sin cos ααα-= . 【答案】56 【解析】3sin()2cos()sin 2παπαα-+-=⇒3tan -=∂2sin sin cos ααα-=56tan 1tan tan 22=∂+∂-∂15. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1c =，ABC ∆的面积为2214a b +-，则ABC ∆面积的最大值为 .【答案】1416. 已知ABC ∆的外接圆圆心为O ，||6,||8AB AC ==，(,)AO AB AC R αβαβ=+∈uuu r uu u r uuu r，若21sin ()2A t αβ⋅+-（t 为实数）有最小值，则参数t 的取值范围是 .【答案】 3315(,)1616-【解析】由已知得：;64cos 4832;cos 483618βαβα+==+==A A ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⇒A A A A 22sin 8cos 34sin 6cos 43βαβ 21sin ()2A t αβ⋅+-2sin 8cos 346)cos 43(2A A A t --+-=2cos 8332cos 212t A t A +⎪⎭⎫⎝⎛+-=()1,1,cos -∈=m A m原式28332212tm t m +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=有最小值； 所以()1,12128332-∈⨯⎪⎭⎫⎝⎛+--=t m 16151633-<<⇒t三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17. （本小题满分12分）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若21cos 222A bc=+（1）求角C ；（2）BM 平分角B 交AC 于点M ，且1,6BM c ==，求cos ABM ∠. 【解析】（1）由题1cos 1cos 222A b bA c c+=+∴= cos sin sin sin()sin cos cos sin A C B A C A C A C ∴==+=+sin cos 0A C ∴=又(0,)sin 0cos 02A A C C ππ∈∴≠∴=∴=（2）记ABMα∠=，则MBC α∠=，在Rt MCB ∆中，cos CB α=，在Rt ACB ∆中，cos BC ABC AB ∠=，即cos cos 26αα= 即2cos 2cos 16αα-=3cos 4α∴=或23-（舍）3cos 4ABM ∴∠=18. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，*211,n n S a n N nn =+-∈ （1）证明：数列1{}n n S n+为等差数列； （2）若数列{b n }满足12n nn n nb S S +=⋅⋅，求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】（1）2n ≥时，22221()n n n n S n a n n n S S n n -=+-=-+-即221(1)(1)n n nS n S n n --=+-(2)n ≥同除以(1)n n -得111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥- 1{}n n S n+∴为等差数列，首项为1，公差为1 （2）由（1）知211n n n n S n S n n +=∴=+ 1211(1)22(1)2n n n nn b n n n n -+==-++ 1121111111(1)()()12222322(1)2(1)2n n n nT n n n -∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-⨯⨯⨯++19. （本小题满分12分）已知函数()(cos sin )(cos sin )cos 222222x x x x x xf x =+-+（1）求函数()f x 的最大值并指出()f x 取最大值时x 的取值集合；（2）若,αβ为锐角，126cos(),()135f αββ+==，求()6f πα+的值. 【解析】（1）22()cossin 23sin cos 2222x x x x f x =-+=cos 3sin 2sin()6x x x π+=+ 令262x k πππ+=+ 得2,3x k k Z ππ=+∈所以最大值为2，此时x 的取值集合为{|2,}3x x k k Z ππ=+∈（2）由,αβ为锐角，12cos()13αβ+=得5sin()13αβ+= Q 02πβ<<2663πππβ∴<+<又312sin()(,)6522πβ+=∈ 664πππβ∴<+<4cos()65πβ∴+=cos()cos[()()]66ππααββ∴-=+-+63cos()cos()sin()sin()6665ππαββαββ=+++++=126()2sin()2sin()2cos()6326665f πππππαααα∴+=+=+-=-=20. （本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，AD //BC ，AB BC ⊥，3,22,AB BC AD ===E 为CD 的中点，PB AE ⊥（1）证明:平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）若PB PD =，PC 与平面ABCD 所成的角为4π，试问“在侧面PCD 内是否存在一点N ，使得BN ⊥平面PCD ？”若存在，求出点N 到平面ABCD 的距离；若不存在，请说明理由.【解析】（1）证明:由四边形ABCD 是直角梯形, AB=，BC=2AD=2，AB ⊥BC ，可得DC =2,∠BCD =3π，从而△BCD 是等边三角形,BD=2,BD 平分∠ADC.∵E 为CD 的中点,∴DE=AD=1,∴BD ⊥AE ,又∵PB ⊥AE ,PB ∩BD=B ,∴AE ⊥平面PBD. 又∵AE ⊂平面ABCD ∴平面PBD ⊥平面ABCD.(2) 在平面PBD 内作PO ⊥BD 于O ,连接OC ,又∵平面PBD ⊥平面ABCD ,平面PBD ∩平面ABCD=BD , ∴PO ⊥平面ABCD∴∠PCO 为PC 与平面ABCD 所成的角, 则∠PCO=4π∴易得OP=OC= ∵PB=PD ,PO ⊥BD ,∴O 为BD 的中点,∴OC ⊥BD.以OB ,OC ,OP 所在的直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则B (1,0,0),C (0,,0),D (-1,0,0),P (0,0,),假设在侧面PCD 内存在点N ，使得BN ⊥平面PCD 成立，设(,0,1)PN PD PC λμλμλμ=+≥+≤uuu r uu u r uu u r，易得(,1))N λλμ-+-由00BN PC BN PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uu u r uuu r uu u r得12,55λμ==，满足题意 所以N 点到平面ABCD的距离为1)5λμ+-= 21. （本小题满分12分）（1）已知21()ln f x x x =+，证明：当2x ≥时，221ln 1(ln 2)4x x x +≥+；（2）证明：当4211(2,1)a e e ∈----时，33131()ln (39a g x x x x x x -=++有最小值，记()g x 最小值为()a ϕ，求()a ϕ的值域.【解析】（1）证明：2/33122()0x f x x x x-=-=≥()f x ∴在)+∞上单增 2x ∴≥时，()(2)f x f ≥即211ln ln 24x x +≥+∴2x ≥时，221ln 1(ln 2)4x x x +≥+（2）/222221311()ln 1(ln )33a g x x x x x x x a x-=+++=++由()f x在)+∞上单增且22411()1,()2,f e f e e e =+=+4211(2,1)a e e ∈---- 知存在唯一的实数20(,)x e e∈，使得/0()0g x =，即0201ln 0x a x ++=/0),()0,()x x g x g x ∴∈<单减；/0(,),()0,()x x g x g x ∈+∞>单增min 0()()g x g x ∴=，0x 满足0201ln 0x a x ++=0201ln a x x ∴=--∴3300000131()ln 39a g x x x x x -=++320002()93x x e x e =-+<<记3212()()93h x x x e x e =-+<<，则2/2()033x h x =-<()h x ∴在2(,)e e 上单减632222()()()9393e e e h e h x h e e ∴-+=<<=-+所以()a ϕ的值域为63222(,)9393e e e e -+-+22. （本小题满分10分）已知函数()|2||24|f x x x =-++（1）解不等式()34f x x ≥-+；（2）若函数()f x 最小值为a ，且2(0,0)m n a m n +=>>，求21+1m n+的最小值. 【解析】（1）当2x <-时，3234x x --≥-+，无解当22x -≤≤时，634x x +≥-+，得122x -≤≤ 当2x >时，3234x x +≥-+，得2x >所以不等式解集为1[,)2-+∞（2）()|2||24||2||2||2|f x x x x x x =-++=-++++|(2)(2)||2|x x x ≥--+++ 当且仅当22x -≤≤时取等 4|2|4x =++≥ 当且仅当2x =-时取等所以当2x =-时，()f x 最小值为4，即4a =，所以24m n +=所以21121[2(1)]()161m n m n m n +=+++++12(1)2(5)61m n n m +=+++13(562≥+= 当且仅当2(1)21m n n m +=+且24m n +=即1,2m n ==时取“=” 所以21+1m n+最小值为32。

湖北省武汉市东西湖区华中师范大学第一附属中学2020届高三数学上学期期中试题 理（含解析）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{(1)(2)0}B x x x =-+>，则A B 的子集个数为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得AB ，进而求得A B 的子集个数.【详解】由()()120x x -+>得21x -<<，故{}1,0A B ⋂=-，其子集个数为224=. 故选B.【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，考查集合子集的个数求法，考查一元二次不等式的解法.2.设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A. 2,2nn N n ∀∈> B. 2,2nn N n ∃∈≤ C. 2,2nn N n ∀∈≤ D. 2,2nn N n ∃∈=【答案】C 【解析】【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.3.若复数z 满足(34)112i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ） A. 2- B. 2C. 2i -D. 2i【答案】B 【解析】【分析】用复数除法运算求得z ，由此求得z 的虚部. 【详解】依题意()()()()1123411225501234343425i i i iz i i i i ++++====+--+，虚部为2. 故选B.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数虚部的概念，属于基础题.4.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两鼠在第几天相遇？（ ） A. 第2天 B. 第3天C. 第4天D. 第5天【答案】B 【解析】 【分析】用列举法求得前几天挖的尺寸，由此求得第几天相遇.【详解】第一天共挖112+=，前二天共挖220.5 4.5++=，故前3天挖通，故两鼠相遇在第3天. 故选B.【点睛】本小题主要考查中国古代数学问题，考查等比数列的概念，属于基础题.5.已知变量x , y 满足约束条件13230x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 6【答案】A 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，由此求得z 的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，此时z 取得最小值为()2111⨯+-=. 故选A.【点睛】本小题主要考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 6.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足12130,0,S S ><且{}n S 的最大项为m S ，12m a +=-，则13S =（ ） A. 20- B. 22-C. 24-D. 26-【答案】D 【解析】 【分析】根据题目所给n S 的不等式，求得m 的值，根据1m a 的值求得13S 的值.【详解】依题意() 112126711313712602131302a aS a aa aS a+⎧=⨯=⨯+>⎪⎪⎨+⎪=⨯=<⎪⎩，所以670,0a a><，故等差数列{}n a 前6项的和最大，即6m=，所以72a=-，所以1131371313262a aS a+=⨯==-.故选D.【点睛】本小题主要考查等差数列前n项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.7.如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论:①AN GC⊥，②CF与EN所成的角为60︒,③BD//MN，④二面角E BC N--的大小为45︒,其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据题意画出正方体直观图，建立空间直角坐标系，计算0AN GC⋅=，由此判断①正确.根据线线角的知识，判断②正确.根据线线的位置关系，判断③错误.根据二面角的知识，判断④正确.【详解】画出正方体的直观图，如下图所示，设正方体边长为2，以,,DA DC DG分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则()()()()2,0,0,0,2,2,0,0,2,0,2,0A N G C，所以()()2,2,20,2,20AN GC⋅=-⋅-=，所以AN GC⊥，故①正确.由于//EN AC，所以CF与EN所成的角为FCA∠，而在FAC∆中，AF FC CA==，也即FAC∆是等边三角形，故60FCA∠=，所以②正确.由于//EN AC，而AC与BD相交，故,BD MN不平行，③错误.由于,EB BC FB BC⊥⊥，所以EBF∠即是二面角E BC N--的平面角.EBF∆是等腰直角三角形，所以45EBF∠=，故④正确.综上所述，正确的命题个数为3个.故选C.【点睛】本小题主要考查空间线线、面面的位置关系有关命题的真假性判断，属于中档题. 8.已知ABC ∆中，2AD DC =，E 为BD 中点，若BC AE AB λμ=+，则2λμ-的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 10【答案】C 【解析】 【分析】将BC AE AB λμ=+中的向量，都转化为以,AB AC 为基底的向量表示，由此列方程组，解方程组求得,λμ的值，进而求得2λμ-的值. 【详解】由BC AE ABλμ=+得()12AC AB AD AB AB λμ-=⋅++，即1223AC AB AC AB AB λμ⎛⎫-=++ ⎪⎝⎭，即1132AC AB AC AB λλμ⎛⎫-=++ ⎪⎝⎭，故113112λλμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，解得53,2λμ==-，故2358λμ-=+=. 故选C.【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查方程的思想，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 9.若1164log 9a =，33log 2b =，0.20.6c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. c b a >> B. c a b >>C. b a c >>D. a b c >>【答案】A 【解析】 【分析】根据对数运算，结合对数函数的性质、指数函数的性质以及幂函数的性质，比较出三者的大小关系.【详解】依题意22434333log log log 222a b --⎛⎫==<= ⎪⎝⎭，而0.20.2333log log 30.50.50.62b c =<=<<= 故c b a >>. 故选A.【点睛】本小题主要考查对数运算，考查利用指数、对数和幂函数的性质，比较大小，属于基础题.10.已知函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，且(,1),(,1)2A B ππ-，则ϕ的值为（ ）A.56π B.6π C. 56π-D. 6π-【答案】C 【解析】 【分析】根据,A B 两点的坐标列方程组，解方程组求得ϕ的值.【详解】由于函数()f x 过,A B 两点，故()()ππ2sin 122π2sin π1ff ωϕωϕ⎧⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪=+=-⎩，由于0,||ωϕπ><，所以方程组解得25π6ωϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩.故选C.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.11.已知函数2()ln(1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是（ ）A. (1)(1,)-∞-⋃+∞，B. (1,+)∞C. 1(,)(1,+)3-∞-⋃∞D. (,2)(1,)-∞-+∞【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，由此列不等式组，解不等式组求得x 的取值范围.【详解】由210x ->解得1x <-或1x >，故函数的定义域为{|1x x <-或}1x >，且()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，且当1x >时，令22x x y -=+，'1412ln 2ln 2022x x xx y -⎛⎫=-=⨯> ⎪⎝⎭，所以22x xy -=+在1x >时递增，根据复合函数单调性可知()2ln 1y x =-在1x >时递增，所以函数()f x 在1x >时递增，故在1x <-时递减.由(1)(2)f x f x +<可知121121x x x x ⎧+<⎪+>⎨⎪>⎩，解得(,2)(1,)x -∞-∈+∞.故选D.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查利用导数判断函数的单调性，考查函数不等式的解法，属于中档题.12.已知函数()sin )4f x x x x π=+，若对于任意的1212,[0,),()2x x x x π∈≠，均有1212|()()|||x x f x f x a e e -<-成立，则实数a 的最小值为（ ）A.23B. 1C.32D. 3【答案】B 【解析】 【分析】首先判断()f x 的单调性，假设12x x >，将1212|()()|||x x f x f x a e e -<-去绝对值，化简后构造函数()sin sin cos xF x x x x x ae =++-，利用导数结合()F x 的单调性进行化简，利用分离常数法求得实数a 的最小值. 【详解】依题意()sin sin cos f x x x x x =++，且π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.所以()'cos cos 0f x x x x =+>，故()f x 在π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时单调递增.不妨设12x x >，则()()11f x f x >，且12x x e e >.故由1212|()()|||x x f x f x a e e -<-得()()1212x x f x f x ae ae -<-，即()()1212x x f x ae f x ae -<-，构造函数()()x F x f x ae =-，则()F x 在π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时单调递减.故()'cos cos 0xF x x x x ae =+-≤在区间π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，即cos cos x x x x a e +≥在区间π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立.构造函数()cos cos π0,2x x x x g x x e +⎛⎫⎡⎫=∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，()()()'1sin cos 0x x x x g x e ++=-<，故()g x 在区间π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，故()()max 01g x g ==，所以1a ≥.故a 的最小值为1. 故选B.【点睛】本小题主要考查利用导数求解有关不等式恒成立问题，考查构造函数法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．) 13.曲线xy xe -=在点1(1,)e处的切线方程为_______【答案】1y e= 【解析】 【分析】先求得函数在1x =处切线的斜率，由此求得切线方程.【详解】依题意x x y e =，所以'21x x x xe xe x y e e--==，故当1x =时，导数为0，也即在点11,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为0，故切线方程为1y e=. 故答案为1y e=. 【点睛】本小题主要考查过曲线上一点切线方程的求法，考查除法的导数运算，属于基础题. 14.已知3sin()2cos()sin 2παπαα-+-=，则2sin sin cos ααα-=________ 【答案】65【解析】 【分析】利用诱导公式化简已知条件，求得tan α的值，利用“1”的代换的方法将所求表达转化为只含tan α的式子，由此求得表达式的值. 【详解】由3sin()2cos()sin 2παπαα-+-=得sin 3cos αα=-，故tan 3α=-.所以2sin sin cos ααα-=222sin sin cos sin cos ααααα-+，分子分母同时除以2cos α得22tan tan 936tan 1915ααα-+==++. 故答案为65. 【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查“1”的代换以及齐次式的计算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.15.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1c =，ABC ∆的面积为2214a b +-，则ABC ∆面积的最大值为_____.【答案】14【解析】 【分析】结合已知条件，结合余弦定理求得π4C =，然后利用基本不等式求得ab 的最大值，进而求得三角形ABC 面积的最大值.【详解】由于三角形面积2211sin 24a b S ab C +-==①，由余弦定理得221cos 2a b C ab +-=②，由①②得sin cos C C =，由于()0,πC ∈，所以π4C =.故221cos 2a b C ab +-==221a b =+-22121a b ab =+-≥-，化简得22ab +≤.所以三角形面积1121sin 22224S ab C +=≤⨯=.故答案为14. 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，考查基本不等式求最值的方法，属于中档题.16.已知ABC ∆的外接圆圆心为O ，||6,||8AB AC ==，(,)AO AB AC R αβαβ=+∈，若21sin ()2A t αβ⋅+-（t 为实数）有最小值，则参数t 的取值范围是______.【答案】3315(,)1616- 【解析】 【分析】首先求得,AO AB AO AC ⋅⋅，进而用cos A 表示出,αβ，由此化简21sin ()2A t αβ⋅+-，结合二次函数的性质，列不等式，解不等式求得t 的取值范围. 【详解】先求,AO AB AO AC ⋅⋅： 如图所示，设D 是线段AB的中点，由于O 是三角形ABC 外接圆的圆心，故⊥OD AB ，所以211cos ,1822AO AB AB AO AO AB AB AB AB ⋅=⋅⋅=⋅==，同理可得211cos ,3222AO AC AC AO AO AC AC AC AC ⋅=⋅⋅=⋅==.由于(,)AO AB AC R αβαβ=+∈故221832AO AB AB AB AC AO AC AC AB AC αββα⎧⋅=+⋅=⎪⎨⋅=+⋅=⎪⎩，即43cos 268cos 3A A βααβ+=⎧⎨+=⎩，解得2234cos 6sin 43cos 8sin A AA A αβ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，将上式代入21sin ()2A t αβ⋅+-并化简得2123cos cos 238A t A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由于1cos 1A -<<，依题意2123cos cos 238A t A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭有最小值，结合二次函数的性质可知当233811122t -+-<-<⨯时，2123cos cos 238A t A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭有最小值.由233811122t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-<-<⨯解得33151616t -<<.故答案为3315(,)1616-.【点睛】本小题主要考查平面向量的数量积的运算，考查圆的几何性质，考查方程的思想，考查二次函数在给定区间上有最小值问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题.三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若21cos 222A bc=+. （1）求角C ；（2）BM 平分角B 交AC 于点M ，且1,6BM c ==，求cos ABM ∠. 【答案】（1）2C π=；（2）3cos 4ABM ∠=【解析】 【分析】（1）利用降次公式化简21cos222A b c=+，再用正弦定理、三角形内角和定理、两角和的正弦公式进行化简，由此求得cos C 的值，进而求得C 的大小. （2）设B ABM M C α∠∠==，求得CB ，然后利用cos BCABC AB∠=以及二倍角公式列方程，解方程求得cos ABM ∠的值. 【详解】（1）由题1cos 1cos 222A b bA c c+=+∴= cos sin sin sin()sin cos cos sin A C B A C A C A C ∴==+=+sin cos 0A C ∴=又(0,)sin 0cos 02A A C C ππ∈∴≠∴=∴=（2）记ABM α∠=，则MBC α∠=，在Rt MCB ∆中，cos CB α=，在Rt ACB ∆中，cos BC ABC AB ∠=，即cos cos 26αα= 即2cos 2cos 16αα-=3cos 4α∴=或23-（舍）3cos 4ABM ∴∠=. 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查二倍角公式和降次公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，*211,n n S a n N nn =+-∈（1）证明：数列1{}n n S n+为等差数列； （2）若数列{b n }满足12n nn n nb S S +=⋅⋅，求数列{b n }的前n 项和T n .【答案】（1）见解析；（2）11(1)2n nT n =-+【解析】 【分析】（1）当2n ≥时，利用1n n n a S S -=-，化简已知条件，得到111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥-，由此证得数列1{}n n S n+为等差数列. （2）利用（1）的结论求得1n n S n n+=，由此求得n S 的表达式，进而求得n b 的表达式，利用裂项求和法求得{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）2n ≥时，22221()n n n n S n a n n n S S n n -=+-=-+-， 即221(1)(1)n n n S n S n n --=+-(2)n ≥同除以(1)n n -得111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥- 1{}n n S n+∴为等差数列，首项为1，公差为1 （2）由（1）知211n n n n S n S n n +=∴=+，1211(1)22(1)2n n n nn b n n n n -+==-⋅+⋅+⋅1121111111(1)()()12222322(1)2(1)2n n n nT n n n -∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅. 【点睛】本小题主要考查根据递推关系是证明等差数列，考查等差数列通项公式，考查裂项求和法，考查运算求解能力，属于中档题.19.已知函数()(cos sin )(cos sin )cos 222222x x x x x xf x =+-+（1）求函数()f x 的最大值并指出()f x 取最大值时x 的取值集合； （2）若,αβ为锐角，126cos(),()135f αββ+=-=，求()6f πα+的值. 【答案】（1）最大值为2，此时x 的取值集合为{|2,}3x x k k Z ππ=+∈；（2）6665-【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简()f x 解析式，然后根据正弦型函数最大值的求法，求得函数()f x 的最大值，以及此时对应的x 的取值集合. （2）利用同角三角函数的基本关系式求得()πsin ,cos 6αββ⎛⎫++⎪⎝⎭的值，然后利用cos()cos[()()]66ππααββ-=+-+，结合两角差的余弦公式，求得cos()6πα-的值，进而利用诱导公式，求得()6f πα+的值.【详解】（1）22()cos sin cos 2222x x x x f x =-+=cos 2sin()6x x x π+=+ 令262x k πππ+=+ 得2,3x k k Z ππ=+∈所以最大值为2，此时x 的取值集合为{|2,}3x x k k Z ππ=+∈（2）由,αβ为锐角，12cos()13αβ+=-得5sin()13αβ+=2πβ<<2663πππβ∴<+<又31sin()(652πβ+=∈，664πππβ∴<+< 4cos()65πβ∴+=，cos()cos[()()]66ππααββ∴-=+-+33cos()cos()sin()sin()6665ππαββαββ=+++++=-66()2sin()2sin()2cos()6326665f πππππαααα∴+=+=+-=-=-【点睛】本小题主要考查二倍角公式、辅助角公式，考查三角函数最大值的求法，考查三角恒等变换，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题. 20.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，AD //BC ，AB BC ⊥，3,22,AB BC AD ===E 为CD 的中点，PB AE ⊥（1）证明:平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）若PB PD =，PC 与平面ABCD 所成的角为4π，试问“在侧面PCD 内是否存在一点N ，使得BN ⊥平面PCD ？”若存在，求出点N 到平面ABCD 的距离；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）存在N 点到平面ABCD 23【解析】 【分析】（1）通过证明BD AE ⊥，结合题目所给已知PB AE ⊥，由此证得AE ⊥平面PBD ，进而证得平面PBD ⊥平面ABCD .（2）存在.通过（1）的结论，利用面面垂直的性质定理建立空间直角坐标系，假设存在符合题意的点N ，使BN ⊥平面PCD ，利用向量线性运算设出N 点坐标，结合00BN PC BN PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩求得N 点坐标，由此证得存在一点N ，使得BN ⊥平面PCD .利用点到平面距离的向量求法，求得点N 到平面ABCD 的距离.【详解】（1）证明:由四边形ABCD 是直角梯形, 3，BC=2AD=2，AB ⊥BC ，可得DC =2,∠BCD =3π，从而△BCD 是等边三角形,BD=2,BD 平分∠ADC. ∵E 为CD 的中点,∴DE=AD=1,∴BD ⊥AE ,又∵PB ⊥AE ,PB ∩BD=B ,∴AE ⊥平面PBD.又∵AE ⊂平面ABCD∴平面PBD ⊥平面ABCD. (2) 存在.在平面PBD 内作PO ⊥BD 于O ,连接OC ,又∵平面PBD ⊥平面ABCD ,平面PBD ∩平面ABCD=BD ,∴PO ⊥平面ABCD ，∴∠PCO 为PC 与平面ABCD 所成的角, 则∠PCO=4π ∴易得OP =OC =3，PB=PD ,PO ⊥BD ,所以O 为BD 的中点，OC ⊥BD.以OB ,OC ,OP 所在的直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则B (1,0,0),C （0,3，0）D (-1,0,0),P （0,0,3）假设在侧面PCD 内存在点N ，使得BN ⊥平面PCD 成立，设(,0,1)PN PD PC λμλμλμ=+≥+≤，易得(,3,3(1))N λμλμ--+- 由00BN PC BN PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩得12,55λμ==，满足题意，所以N 点到平面ABCD 的距离为233(1)λμ-+-=【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查利用空间向量法求点到面的距离，考查存在性命题的向量证法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 21.（1）已知21()ln f x x x =+，证明：当2x ≥时，221ln 1(ln 2)4x x x +≥+； （2）当4211(2,1)a e e ∈----时，33131()ln (2)39a g x x x x x x -=++有最小值，记()g x 最小值为()a ϕ，求()a ϕ的值域.【答案】（1）见解析；（2）63222(,)9393e e e e -+-+【解析】 【分析】 （1）首先利用()'fx 证得()f x在)+∞上单增，然后根据函数()f x 的最小值列不等式，由此证得不等式成立.（2）首先求得()'g x ，结合（1）的结论以及零点存在性定理，证得存在唯一的实数20(,)x e e ∈，使得'0()0g x =，根据()g x 的单调性求得()g x 最小值的表达式()a ϕ，用0x 表示出a ，利用导数求得()a ϕ的值域.【详解】（1）证明：2'33122()0x f x x x x-=-=≥()f x ∴在)+∞上单增， 2x ∴≥时，()(2)f x f ≥即211ln ln 24x x +≥+，∴2x ≥时，221ln 1(ln 2)4x x x +≥+ （2）'222221311()ln 1(ln )33a g x x x x x x x a x-=+++=++ 由()f x在)+∞上单增且22411()1,()2,f e f e e e=+=+4211(2,1)a e e ∈----知存在唯一的实数20(,)x e e ∈，使得'0()0g x =，即0201ln 0x a x ++=，'0),()0,()x x g x g x ∴∈<单减；'0(,),()0,()x x g x g x ∈+∞>单增min 0()()g x g x ∴=，0x 满足0201ln 0x a x ++=，0201ln a x x ∴=-- ∴3300000131()ln 39a g x x x x x -=++320002()93x x e x e =-+<< 记3212()()93h x x x e x e =-+<<，则2'2()033x h x =-<()h x ∴在2(,)e e 上单减，632222()()()9393e e e h e h x h e e ∴-+=<<=-+所以()a ϕ的值域为63222(,)9393e e e e -+-+【点睛】本小题主要考查利用导数证明不等式，考查利用导数求单调区间、最值或值域，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.22.已知函数()|2||24|f x x x =-++ （1）解不等式()34f x x ≥-+；（2）若函数()f x 最小值为a ，且2(0,0)m n a m n +=>>，求21+1m n+的最小值. 【答案】（1）1[,)2-+∞；（2）最小值为32【解析】 【分析】（1）利用零点分段法去绝对值，由此解不等式()34f x x ≥-+，求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式求得()f x 的最小值，也即求得a 的值.利用配凑法，结合基本不等式，求得21+1m n+的最小值. 【详解】（1）当2x <-时，3234x x --≥-+，无解 当22x -≤≤时，634x x +≥-+，得122x -≤≤ 当2x >时，3234x x +≥-+，得2x > 所以不等式解集为1[,)2-+∞ （2）()|2||24||2||2||2|f x x x x x x =-++=-++++|(2)(2)||2|x x x ≥--+++4|2|4x =++≥当且仅当22x -≤≤时取等 当且仅当2x =-时取等所以当2x =-时，()f x 最小值为4，即4a =，所以24m n += 所以21121[2(1)]()161m n m n m n +=+++++12(1)2(5)61m n n m +=+++13(562≥+= 当且仅当2(1)21m nn m +=+且24m n +=即1,2m n ==时取“=” 所以21+1m n +最小值为32. 【点睛】本小题主要考查含有绝对值不等式的解法，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。

华中师大一附中2019—2020学年度上学期期中考试高三年级数学（理科）答案选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 已知集合，，则的子集个数为（ B ）A. 2 B．4 C．6 D．82.设命题：，，则为（ D ）A．B．C．D．3.若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ B ）A. B. 2 C.D.4. 我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。

问两鼠在第几天相遇？（ B ）A. 第2天B.第3天C.第4天D.第5天5. 已知变量,满足约束条件，则的最小值为（ A ）A.1B.2C.3D.66. 已知等差数列的前项和满足且的最大项为，，则（ D ）A. 20B.22C.24D.267. 右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论①②与所成的角为③||④二面角的大小为其中正确的个数是（ C ）A.1B.2C.3D. 48. 已知中，，为中点，若，则的值为（ C ）A. 2B. 6C. 8D.109. 若，，，则的大小关系为（ A ）A. B. C. D.10. 已知函数的部分图像如右图所示，且，则的值为（ C ）A. B. C. D.11. 已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（ D ）A. B. C. D.12. 已知，若对于任意的，均有成立，则实数a的最小值为（ B ）A. B.1 C. D. 3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13. 曲线在点处的切线方程为14. 已知，则15. 已知的内角的对边分别为.若，的面积为，则面积的最大值为16. 已知的外接圆圆心为O，，，若有最小值，则参数的取值范围是三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17. （本小题满分12分）已知的内角的对边分别为，（1）求角C （2）BM平分角B交AC于点M，且，求解：（1）由题……………………..2分又…………………4分（2）记，则，在中，，在中，，即………………..10分即或（舍）……….……….12分18. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，，（1）证明：数列为等差数列（2）若数列满足，求数列的前项和解：（1）时，…………………2分即同除以得为等差数列，首项为1，公差为1 …………………6分（2）由（1）知…………………..8分 (10)分………..12分19. （本小题满分12分）已知函数（1）求函数的最大值并指出取最大值时的取值集合（2）若为锐角，，求的值解：（1）………..2分令得所以最大值为2，此时的取值集合为…………………..4分（2）由为锐角，得…………………6分又………………..8分………………10分………………12分（说明：若不利用三角函数值压缩的范围而直接得出正确答案的或者得出两个答案的，扣2分）20. （本小题满分12分）已知四棱锥的底面是直角梯形，||，，为的中点，（1）证明:平面平面（2）若，与平面所成的角为，试问“在侧面内是否存在一点，使得平面？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，请说明理由角梯形, AB=，BC=2AD=2，解（1）证明:由四边形ABCD是直AB⊥BC，可得DC=2,∠BCD=，从而△BCD是等边三角形,BD=2,BD平分∠ADC.∵E为CD的中点,∴DE=AD=1,∴BD⊥AE,又∵PB⊥AE,PB∩BD=B,∴AE⊥平面PBD.又∵AE⊂平面ABCD∴平面PBD⊥平面ABCD. ……………….4分(2) 在平面PBD内作PO⊥BD于O,连接OC,又∵平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,∴PO⊥平面ABCD∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角, 则∠PCO=…………………….6分∴易得OP=OC=∵PB=PD,PO⊥BD,∴O为BD的中点,∴OC⊥BD.以OB,OC,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0),P(0,0,),假设在侧面内存在点，使得平面成立，设，易得……………………8分由得，满足题意……………………10分所以N点到平面ABCD的距离为………………….12分（说明：若没有说明或者用其它方法解答但没有说明点N在侧面上，扣2分）21. （本小题满分12分）（1）已知，证明：当时，（2）证明：当时，有最小值，记最小值为，求的值域解：（1）证明：在上单增时，即时，……………………4分（2）由在上单增且知存在唯一的实数，使得，即单减；单增，满足……………………..8分…….10分记，则在上单减所以的值域为 (12)分22. （本小题满分10分）已知函数（1）解不等式（2）若函数最小值为，且，求的最小值解：（1）当时，，无解当时，，得当时，，得所以不等式解集为………………..5分（2）当且仅当时取等当且仅当时取等所以当时，最小值为4，即，……………7分所以所以当且仅当且即时取“=”所以最小值为…………….10分。