华中师大一附中2017年高中招生考试
数学试题
考试时间：80分钟卷面满分：150分说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．
一、选择题(本大题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．)
1．实数a，b，c在数轴上对应的点如右图所示，化简代数式√a2−2a＋1＋∣b−c∣－
√a2−2ab＋b2的结果为( )
A．2b－c－1 B．－1 C．2a－c－1 D．b－c＋1
2．已知点A，B分别是双曲线y=4
x
和直线y=－x上任意一点，则AB的最小值为( ) A．2 B．4√2C．4 D．2√2
3．如图，反比例函数y=k
x
(k为非零常数)的图象经过二次函数
y=ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)的图象的顶点(－1
2
，m) (m>0)
则( )
A．a=b＋2k B．a=b－2k
C．k＜b＜0 D．a＜k＜0
4．若实数a，b满足a2＋b2=4，则√a(b−4)
3＋√ab−3a+2b−6=( )
A．－2 B．0 C．2 D．4
5．已知y=f(x)满足：(1)f(1)=1(f(1)表示x=1时对应的y的值，下同) ；(2)当00；
(3)对任意实数x，y有f(x＋y)－f(x－y)=2 f(1－x) f(y)，则f(1
3
)=( )
A．1 B．1
2C．√2
2
D．√3
3
6．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF=2，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则
GH＋CH的最小值为( )
A．4√5B．9
C．√83D．√85
二、填空题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)
7．x=b−√b2−412
2
(b＞21)，则x2－bx＋103=__________．
8．已知关于x的方程x−1
x−2−x
x+1
=ax+1
x2−x−2
无解，则a的值为__________．
9．已知√x2−1+√x2+6=7，则√x2−9+√x2−6=__________．
10．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若折痕AE=5√5，且tan∠EFC=3
4
，连接DF．则点A到DF的距离为__________．
第10题图第11题图
11．如图，PA，PB分别切⊙O于点A、点B，AC是⊙O的直径，AC，PB的延长线交于点
E，F为AP的中点，AB分别交OP、EF于点T、点S．若BE
BP =2
3
，则AT
SB
=__________．
12．定义：使函数y=f(x)的函数值为零的x的值叫函数y=f(x)的幸运点(如：y=x2－2x+1 的幸运点为x=1；y=x2－2x－3的幸运点为x=3，x=－1；y=x＋1的幸运点为x=－1)．设f(x) =
{(x+1)2−3(x≤1)
1
x
(x＞1)，若g(x) =f(x)－b恰好有两个幸运点，则实数b的取值范围为__________．
三、解答题(本大题共4小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 13．(本小题满分16分)如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，连接AC交⊙O于点E，连接BC交⊙O于点D，AD、BE交于点F，连接DE．
(1)求证：点F在△ABC的AB边的高上；
(2)若AB=√2DE，求∠AFB的度数．
14．(本小题满分16分)
(1)设k，t为常数，解关于x的方程kx2＋(3－3k)x＋2k－6=0…①
(2)在(1)的条件下，若方程①只有整数根，且关于y的一元二次方程(k＋3)y2－15y＋t=0…②有两个正整数根y1，y2，则t为何值时，y21+y22有最小值？
15．(本小题满分16分)已知ABCD 的对角线AC 、BD 相交于E 点，∠CAD=a ，∠BAC=β． (1)如图1，若a =2β，BD=10，AD=8，求AC 的长；
(2)如图2，若a =β=45°，点M 为线段AB 上一动点，连接DM ，将DM 绕D 点逆时针旋转60°得线段DN ，连接BN ．若点M 由A →E 匀速运动，点M 到达E 点后运动停止，在点M 运动的过程中，∠CBN 的度数是否变化？若变化，求其取值范围；若不变，求其值．
16．（本小题满分18分）已知抛物线y ＝x 2的图象如图1所示，A （0，a ）（a ＞0），直线l ：y ＝−1
4，点B 为抛物线上的任意一点且恒满足点B 到A 点距离与点B 到l 的距离相等． (1)求a 的值；
(2)如图2，若直线l 1：y ＝kx ＋1
4交抛物线于E ，D 两点，连接DO 、OE ． ①过点E 作EC ⊥x 轴于点C ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，求
tan ∠OEC tan ∠DOF
的值；
②过点E 作EM ⊥l 于点M ，过点D 作DN ⊥l 于点N ，点G 为MN 的中点，若点G 到DE 的距离为√5
2，求k 值．
A
B
C
D
E M
A B
D
C
E
N 图1
图2
