导数的应用(2)

- 1 - 导数的七种应用

导数是微积分里面非常重要的概念之一，它是求解函数的变化率的重要工具。在现实世界中，各种科学领域和工程学都有着广泛的应用。本文将介绍导数的七种应用，包括微积分学，物理学，经济学，机械工程，数学，生物学和计算机科学。

一、微积分学

导数在微积分学中有各种广泛的应用，例如求解定积分以及求解复合函数的极值问题。比如，我们可以使用梯度（即导数）来求解函数的最小值或最大值，这在实际工程中也经常用到。

二、物理学

导数在物理学中也有广泛的应用，其中最重要的是用导数来求解动量。根据动量定理，物体的动量是受速度函数的变化来决定的，而速度函数的变化正是由导数来求解的。

三、经济学

导数在经济学中又有广泛的应用，例如用来求解经济的最优状态。在经济学中，基本的决策问题都可以用导数来求解，从而找到满足所有参与者条件的最佳解决方案。

四、机械工程

导数在机械工程中也有广泛的应用，最常用的就是热力学运用。它可以用来表示流体在特定温度和压强条件下的特性，从而确定机械系统的传热量、流量及其他物理参数。

五、数学 - 2 - 导数在数学中也有广泛的应用，例如用来求解方程组的最优解，以及线性规划问题、最小二乘问题和其他优化问题。

六、生物学

导数在生物学中也有广泛的应用，主要用于研究植物的生长状况，以及植物体内及周围环境中生物活动的影响。

七、计算机科学

导数在计算机科学中也发挥了重要作用，比如使用导数解决数值优化问题，以及机器学习中的梯度下降法，这都是实现机器智能的重要技术。

综上所述，导数在各种科学和工程领域有着广泛的应用。它是一种重要的数学工具，在现实世界中有着各种各样的应用，从而改变了我们对函数变化和流体传热的认识，为探索现实世界科学规律，提供了重要依据。

一、选择题

1．函数,00,sinxfxxxx的图象大致是（ ）

A．

B．

C．

D．

2．已知函数()xfxeexa与1()lngxxx的图象上存在关于x轴对称的点，则a的取值范围是（ ）

A．(,]e B．(,1]  C．[1,)  D．[,)e

3．已知函数3fxxax在(1,1)上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）

A．1, B．3,

C．,1 D．,3

4．已知函数322()fx=xaxbxa在1x处的极值为10，则ab（ ）．

A．6 B．15 C．15 D．6或15

5．若函数22ln45fxxxbx的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则b的取值范围是（ ）

A．,8 B．8,

C．,8 D．8,

6．若函数sinxfxexa在区间,22上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A．2, B．1, C．1, D．2,

7．已知函数2()ln(1)22xxfxx，则使不等式(1)(2)fxfx成立的x的取值范围是（ ）

A．(1)(1,)， B．(1,+)

C．1(,)(1,+)3 D．(,2)(1,)

8．已知定义在R上的可导函数()fx的导函数为'()fx，满足()'()fxfx，且(0)1f，则不等式()xefx（e为自然对数的底数）的解集为（ ）

A．(1,) B．(0,) C．(1,) D．(,0)

9．设函数fx在R上存在导数fx，对任意的xR，有2fxfxx，且在0,上有fxx.若222fkfkk，则k的取值范围是（ ）

导数2

一、选择题

【山东省莱州一中2012届高三第一次质检理】12.已知函数()(R)fxx导函数f′()x满足f′()x<()fx，则当0a时，()fa与(0)aef之间的大小关系为（）

A.()(0)afaef B.()(0)afaef

C.()(0)afaef D.不能确定，与()fx或a有关

【答案】A

【山东滨州2012届高三期中联考理12.函数32()393,fxxxx若函数()()[2,5]gxfxmx在上有3个零点，则m的取值范围为（）

A．（-24,8） B．（-24,1] C．[1,8] D．[1,8）

【答案】D

【山东济宁梁山二中2012届高三12月月考理】11. 已知函数在区间上是减函数，则的最小值是

A. B. C.2 D. 3

【答案】C

二、解答题

【山东省聊城一中2012届高三上学期期中理】21．（本小题满分12分）

函数

（I）当时，求函数的极值；

（II）设，若，

求证：对任意，且，都有.

【答案】21.（本小题满分12分）

解：（1）当时，

函数定义域为（）且 )(131)(23Rbabxaxxxf、[-1,3]ba3223R,2)1ln()(2bxxbxxf23b)(xfxxfxg2)()(2b),1(,21xx21xx)(2)()(2121xxxgxg23b,2)1ln(23)(2xxxxf,1导数2

令，解得或…………………2分

当变化时，的变化情况如下表：

+ 0 _ 0 +

增函数 极大值 减函数 极小值 增函数

所以当时，，

当时，；……………………6分

（2）因为，

所以，

因为，所以（当且仅当时等号成立），

所以在区间上是增函数，……………………10分

从而对任意，当时，，

山西大学附中高三年级（上）数学学案 编号24

课题：导数的应用二

制作人：宋文霞 审核人：牛瑞兰

1.【2013高考重庆理17】设256lnfxaxx，其中aR，曲线yfx在点1,1f处的切线与y轴相交于点0,6。

（1）确定a的值；

（2）求函数fx的单调区间与极值

解:(I)因,ln6)5()(2xxaxf故xxaxf6)5(2)('

令1x，得af16)1(，af86)1('，所以曲线)(xfy在点))1(,1(f处的切线方程为)1)(86(16xaay，由点)6,0(在切线上可得68166aa，故21a

(II)由(I)知，)0(ln6)5(21)(2xxxxf，xxxxxxf)3)(2(65)('

令0'xf，解得3,221xx

当20x或3x时，0)('xf，故)(xf在)2,0(，（,3）上为增函数；当32x时，0)('xf，故)(xf在)3,2(上为减函数.

由此可知)(xf在2x处取极大值2ln629)2(f，在3x处取得极小值3ln62)3(f

2.设函数21xfxxekx(其中kR).

(Ⅰ) 当1k时,求函数fx的单调区间;

(Ⅱ) 当1,12k时,求函数fx在0,k上的最大值M.

【答案】(Ⅰ) 当1k时,

21xfxxex,1222xxxxfxexexxexxe

令0fx,得10x,2ln2x

当x变化时,,fxfx的变化如下表:

x ,0 0 0,ln2 ln2 ln2,

fx  0  0 

fx 极大值 极小值

右表可知,函数fx的递减区间为0,ln2,递增区间为,0,ln2,.