3.2 导数的应用(一)

3.2 导数的应用（一）

一、选择题

1．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是( )．

A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0

C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0

解析 设切点坐标为(x0，x20)，则切线斜率为2x0，

由2x0＝2得x0＝1，故切线方程为y－1＝2(x－1)，

即2x－y－1＝0.

答案 D

2．函数y＝4x2＋1x的单调增区间为( )． 学科

A．(0，＋∞) B.12，＋∞

C．(－∞，－1) D.－∞，－12

解析 由y＝4x2＋1x得y′＝8x－1x2，令y′>0，即8x－1x2>0，解得x>12，

∴函数y＝4x2＋1x在12，＋∞上递增．

答案 B

3．已知f(x)的定义域为R，f(x)的导函数f′(x)的图象如图所 示，则( )

A．f(x)在x＝1处取得极小值

B．f(x)在x＝1处取得极大值

C．f(x)是R上的增函数

D．f(x)是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数

解析：由图象易知f′(x)≥0在R上恒成立，所以f(x)在R上是增函数．

答案：C

4．已知直线y＝kx是y＝ln x的切线，则k的值为( )．

A．e B．－e C.1e D．－1e

Zxxk 解析 设(x0，ln x0)是曲线y＝ln x与直线y＝kx的切点，

由y′＝1x知y′|x＝x0＝1x0

由已知条件：ln x0x0＝1x0，解得x0＝e，k＝1e.

答案 C

5．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1a处有极值，则ab的值为( )

A．2 B．－2 C．3 D．－3

解析 f′(x)＝3ax2＋b，由f′1a＝3a1a2＋b＝0，可得ab＝－3.故选D.

答案 D

6．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( )．

A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)

C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1)

解析 不等式(x－1)f′(x)≥0等价于 x－1≥0，fx或 x－1≤0，fx

可知f(x)在(－∞，1)上递减，(1，＋∞)上递增，或者f(x)为常数函数，因此f(0)＋f(2)≥2f(1)．

答案 C

7．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( )．

A．(－1,1) B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)

解析 设g(x)＝f(x)－2x－4，由已知g′(x)＝f′(x)－2＞0，

则g(x)在(－∞，＋∞)上递增，又g(－1)＝f(－1)－2＝0，

由g(x)＝f(x)－2x－4＞0，知x＞－1.

答案 B

二、填空题

8．设函数f(x)＝x(ex＋1)＋12x2，则函数f(x)的单调增区间为________． 解析：因为f(x)＝x(ex＋1)＋12x2，

所以f′(x)＝ex＋1＋xex＋x＝(ex＋1)·(x＋1)．

令f′(x)>0，即(ex＋1)(x＋1)>0，解得x>－1.

所以函数f(x)的单调增区间为(－1，＋∞)．

答案：(－1，＋∞)

9．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．

解析 f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，

当x∈(0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，显然当x＝2时f(x)取极小值．

答案 2

10．若曲线f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．

解析 ∵f′(x)＝5ax4＋1x，x∈(0，＋∞)，

∴由题意知5ax4＋1x＝0在(0，＋∞)上有解．

即a＝－15x5在(0，＋∞)上有解．

∵x∈(0，＋∞)，∴－15x5∈(－∞，0)．∴a∈(－∞，0)． Zxxk

答案 (－∞，0)

11．函数f(x)＝xax－x2(a>0)的单调递减区间是________．

解析 由ax－x2≥0(a>0)解得0≤x≤a，即函数f(x)的定义域为[0，a]，f′(x)＝3ax－4x22ax－x2＝－2xx－3a4ax－x2，由f′(x)<0解得x≥3a4，因此f(x)的单调递减区间是3a4，a.

答案 3a4，a

12．已知函数f(x)＝x2(x－a)． 学科

若f(x)在(2,3)上单调则实数a的范围是________； 若f(x)在(2,3)上不单调，则实数a的范围是________．

解析 由f(x)＝x3－ax2得f′(x)＝3x2－2ax＝3xx－2a3.

若f(x)在(2,3)上不单调，则有 2a3≠0，2<2a3<3，解得：3

答案 (－∞，3 ]∪92，＋∞，3，92

三、解答题 学科

13. 已知函数f(x)＝ax2＋blnx在x＝1处有极值12.

(1)求a，b的值；

(2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．

解析 (1)因为函数f(x)＝ax2＋blnx，

所以f′(x)＝2ax＋bx.

又函数f(x)在x＝1处有极值12，

所以 f＝0，f＝12.即 2a＋b＝0，a＝12，解得 a＝12，b＝－1.

(2)由(1)可知f(x)＝12x2－lnx，其定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝x－1x＝x＋x－x.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (0,1) 1 (1，＋∞)

f′(x) － 0 ＋

f(x) 极小值

所以函数y＝f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)．

14．已知f(x)＝ex－ax－1.

(1)求f(x)的单调增区间；

(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．

解析：(1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a. 令f′(x)>0，得ex>a，

当a≤0时，有f′(x)>0在R上恒成立；

当a>0时，有x≥ln a.

综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；

当a>0时，f(x)的单调增区间为[ln a，＋∞)．

(2)由(1)知f′(x)＝ex－a.

∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立， 学#科#网Z#X#X#K]

即a≤ex，x∈R恒成立．

∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.

即a的取值范围为(－∞，0]．

15．已知函数f(x)＝x3－ax－1

(1)若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在试说明理由．

解析 (1)f′(x)＝3x2－a

由Δ≤0，即12a≤0，解得a≤0，

因此当f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增时，a的取值范围是(－∞，0]．

(2)若f(x)在(－1,1)上单调递减，

则对于任意x∈(－1,1)不等式f′(x)＝3x2－a≤0恒成立

即a≥3x2，又x∈(－1,1)，则3x2<3因此a≥3

函数f(x)在(－1,1)上单调递减，实数a的取值范围是[3，＋∞)． Z+xx+k

16．已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2fx＋m2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围． 解析 (1)根据题意知，f′(x)＝a－xx(x＞0)，

当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)；

当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；当a＝0时，f(x)不是单调函数．

(2)∵f′(2)＝－a2＝1，∴a＝－2，

∴f(x)＝－2ln x＋2x－3. Z,xx,k

∴g(x)＝x3＋m2＋2x2－2x，

∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.

∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g′(0)＝－2，

∴ gt＜0，g＞0.

由题意知：对于任意的t∈[1,2]，g′(t)＜0恒成立，

∴ g＜0，g＜0，g＞0，∴－373＜m＜－9.

【点评】 利用导数解决函数的单调性、最值、极值等问题时，主要分以下几步：,第一步：确定函数的定义域；

第二步：求函数fx的导数fx；

第三步：求方程fx＝0的根；

第四步：利用fx＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺序将定义域分成若干个小开区间，并列出表格； Z+xx+k

第五步：由fx在小开区间内的正、负值判断fx在小开区间内的单调性；

第六步：明确规范表述结论.