导数的应用(二)

1 §1.1.2 导数的概念

教学目标：

1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

3．会求函数在某点的导数。

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；

教学难点：导数的概念．

（一）、情景引入，激发兴趣

【教师引入】 ：“生活中有一些现象值得我们去研究，比如，子弹离开枪管那一瞬间的速度，奥运会上百米赛跑运动员冲向终点那一时刻的速度。科学上对瞬时速度的研究也是非常有必要的，比如在天宫一号与神州八号的成功对接，最关键的就是它们每个瞬间的速度都相等。

(二)、探究新知，揭示概念

教学环节 内 容 师生活动 设计意图

复

习

引

入

提

出

问

题

【回顾1】

当运动员从10米高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的.假设t秒后运动员相对地面的高度为：105.69.4)(2tttH，问在2秒时运动员的瞬时速度为多少？

【回顾2】

已知曲线C是函数105.69.4)(2xxxf的图象,求曲线上点P),(00yx处的切线斜率.

【思考】对瞬时速度和和切线的斜率两个具体问题，解决方法上有什么共同之处？

学生相互交流探讨瞬时速度和和切线的斜率两个具体问题，解决方法上有什么共同之处.

针对新概念创设相应的学生熟悉的问题情景，让学生从概念的现实原型，体验、感受直观背景和概念间的关系，为学生主动建构新知提供自然的生长点.

2

类

比

探

索

形

成

概

念

①归纳共性 揭示本质

研究

对象 求解问题 求解方法 本质 思想

具体例子 物体运动规律

H=h(t) 物体在0t时

的瞬时速度 求时间

增量t 求位移

增量h 求平均

速度th 求瞬时速度

vtht0lim 平均速度

的极限 极限

思想

曲线

y=f(x) 曲线上P),(00yx

导数应用（二）

教学目标：了解函数的极大（小）值、最大（小）值与导数的关系；会求不超过三次的多项式函数的极大（小）值，以及在指定区间上不超过三次的多项式函数的最大（小）值，2010年考试说明要求为B级。

知识点回顾：

1.利用导数求极值：ⅰ）求导数)(xf；ⅱ）求方程0)(xf的根；ⅲ）列表得极值

2.利用导数最大值与最小值：ⅰ）求极值；ⅱ——求区间端点值（如果有）；ⅲ）得最值

课前训练：

1. 求下列函数的极值

（1）xxy1； （2）31431)(3xxxf； （3）32xxy；

（4）xxycos2，)2,23(x （5）exeyx

2．求下列函数在所给区间上的值域

（1）]3,31[,1)(xxxxf；（2）]3,2[,5323xxxy；（3）]2,0[,sinxxxy

（4）]2,0[,21xxxy； （5）]2,2[,cos21xxxy；（6）xxxfsin21)(在 ]2,0[

3.已知函数f(x)= sinx+cosx，x∈(0,2)（1）求0x，使得0)(0'xf；（2）解释（1）中的0x及)(0xf的意义。 典型例题：

已知0a，)ln()(axxxf，),0(x．若)(xf在),0(上存在极值，求实数a取值范围．

设函数)1ln(2)1()(2xxxf．若当]1,11[eex（其中71828.2e）时，不等式mxf)(恒成立，求实数m的取值范围。

课堂检测：

1．已知函数qxpxxxf23)(的图象与x轴切于点)0,1(，则)(xf的极大值和极小值分别为

和

2. 函数3221fxxaxbxax在处有极小值10，则a+b的值为__ __

§3.1 导数的概念及运算

1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率

函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为fx2－fx1x2－x1，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.

2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.

(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

3．函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.

4．基本初等函数的导数公式

原函数 导函数

f(x)＝c (c为常数) f′(x)＝__0__

f(x)＝xα (α∈Q*) f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax (a>0) f′(x)＝axln_a

f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝logax (a>0，且a≠1) f′(x)＝1xln a

f(x)＝ln x f′(x)＝ 1x 5.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2 (g(x)≠0)．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

导数的应用（2）

1 基本模式

（1）()fxmxD恒成立minfxm（m为常数）；

（2）()fxmxD恒成立maxfxm（m为常数）.

2 变式

2.1 函数表达式含参数：

已知()fxmxD恒成立，其中fx表达式含参数k，m为确定常数.

2.2 常用解法：

 若是熟悉的常见函数（如一次函数型、二次函数型、双钩函数型等），可直接对k分类讨论最小值：minfxm；此法较一般，典型如二次函数在闭区间上最值问题的含参讨论；

例1： （《全品》16P.变式）已知函数221fxxaxa，2fx对一切[0,2]x恒成立.求常数a的取值范围.

 非常见函数用上法讨论过于复杂时，首先考虑用“参变量分离”，将问题转化为前述“基本模式”；

 “参变量分离”有时会遇到作除法时除数正负不定的情况，可考虑对自变量“分段讨论”；

例2： （《精编》101P，第6题）已知函数331fxaxx，0fx对一切[1,1]x恒成立.求常数a的取值范围.

上述“错误！未找到引用源。例1：”也可用此法.

 “分段讨论”过于复杂时，或“参变量分离”后，用导数法求“新函数”最值较困难时，也可采用解法①；

此类解法在2010年各地高考导数综合题中较为常见（上述“例2：”也可用此法）.如： 例3： （2010湖北理，21）已知函数(0)bfxaxcax的图像在点1,1f处的切线方程为1yx.

（1） 用a表示,bc；

（2） （*）若lnfxx在[1,)上恒成立，求a的取值范围；

（3） 证明：1111ln112321nnnnn.

3 此类问题常见呈现方式

3.1 直接求证不等式恒成立；

例4： （2011届湖北八校第一次联考）已知函数211ln(0)22fxaxxaxa.