导数的应用

导数的几何意义应用

1．抛物线𝑦2=4𝑥在点(3 ，  2√3)处切线的倾斜角是__________．

2．已知函数𝑓(𝑥)的导函数为𝑓′(𝑥)，且满足𝑓(𝑥)=2𝑥𝑓′(1)+ln𝑥，则𝑓(𝑥)图象在点𝑀(1,𝑓(1))处的切线斜率为__________．

3．设点P是曲线𝑦=𝑥3−√3𝑥+35上的任意一点，点P处切线的倾斜角为𝛼，则角𝛼的取值范围是（ ）

A. [0，2𝜋3] B. [0，𝜋2)∪[2𝜋3，𝜋) C. (𝜋2，2𝜋3] D. [𝜋3，2𝜋3]

4．设𝑃为曲线𝐶:𝑦=𝑥2+2𝑥+3上的点，且曲线𝐶在点𝑃处的切线的倾斜角的取值范围是[0,𝜋4]，则点𝑃的横坐标的取值范围为（ ）

A. [0,1] B. [−1,0] C. [−1,−12] D. [12,1]

5．已知函数𝑓(𝑥)=𝑎ln𝑥−2𝑎𝑥+𝑏，函数𝑓(𝑥)在(1,𝑓(1))处切线方程为𝑦=2𝑥+1，则𝑎𝑏的值为__________

6．函数𝑓(𝑥)=𝑥ln𝑥在点𝑥=1𝑒处的切线方程为__________．

7．函数𝑦=𝑓(𝑥)在点𝑃(1,𝑚)处切线方程为𝑥+𝑦−6=0，则𝑓(1)+𝑓′(1)=______.

8．已知函数𝑓(𝑥)=(𝑥−1)(𝑥2+1)+1.

（1）求函数𝑓(𝑥)的导函数𝑓′(𝑥)；

（2）求过点(1,1)且与曲线𝑦=𝑓(𝑥)相切的直线方程.

9．已知曲线𝑦=13𝑥3+43．

求：（1）曲线在点𝑃(2,4)处的切线方程；

（2）曲线过点𝑃(2,4)的切线方程．

（参考数据：𝑥3−3𝑥2+4=(𝑥+1)(𝑥−2)2）

1 四：导数的应用题

【例1】 将边长为1m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2s梯形的周长梯形的面积，则s的最小值是 ．

【关键词】2010，江苏，高考，题14

【解析】 记剪下的三角形边长为xm，则01x，梯形的周长为2(1)13xxx；梯形的面积为23(1)4x，故2222(3)4(3)33(1)(1)4xxsxx，

从而222242(3)(1)(3)(2)(1)3xxxxsx228(3)(13)3(1)xxx，

故s在10,3上单调递减，在1,13上单调递增，当13x时取到极小值，也即最小值．

132323333s．

【答案】3233

【例2】 设球的半径为时间t的函数()Rt．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径（ ）

A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2C

C．成反比，比例系数为C D．成反比，比例系数为2C

【关键词】2009，湖北，高考

【解析】 由题意可知球的体积为34()π()3VtRt，则2()4π()()cVtRtRt，

由此可得4π()()()cRtRtRt，而球的表面积为2()4π()StRt，

所以球的表面积的增长速度2()[4π()]8π()()vStRtRtRt表，

即228π()()24π()()()()()()ccvRtRtRtRtRtRtRtRt表，故选D．

【答案】D

【例3】 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为2xx万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y万元．

§3.1 导数的概念及运算

1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率

函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为fx2－fx1x2－x1，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.

2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.

(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

3．函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.

4．基本初等函数的导数公式

原函数 导函数

f(x)＝c (c为常数) f′(x)＝__0__

f(x)＝xα (α∈Q*) f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax (a>0) f′(x)＝axln_a

f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝logax (a>0，且a≠1) f′(x)＝1xln a

f(x)＝ln x f′(x)＝ 1x 5.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2 (g(x)≠0)．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

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高等数学导数的应用

作者：张德全

来源：《文存阅刊》2017年第22期

摘要：对高等数学导数教学的应用进行研究，能够有效提高高数教学的应用质量。基于此，本文将对高等数学导数的定义进行简单介绍，并对高等数学导数的教学应用进行具体分析，包括经济领域的数学建模应用、淘宝电商增长数目建模中的高等数学应用、数据分析应用以及定积分在企业经营成本中的应用四方面内容。

关键词：高等数学；导数应用；数学建模

导数在高等数学中象征着极限问题，也就是说极限是高等数学导数存在的前提条件，另外，导数在整个高等数学中起着承上启下的作用。导数的学习质量直接决定着接下来高数的学习质量，由此可以看出导数在高数中的重要地位。导数指的是数学变量中变量变化的速率，也称为瞬时变化率。导数可以表示质点在运动过程中瞬时速度的抽象变化，同时也可以表示曲线中某一点切线的斜率，分析高等数学中导数的教学应用有一定的必要。

一、高等数学导数的定义

高数中导数表示的是某一极限量，转换为文字就是应变量的增量与自变量增量的比值，进而表示出研究对象的极限值。在列出相应导数之后还要对该公式是否具有意义进行判断，如果该公式具有存在意义，则表示的则为导数。具体的导数定义为，如果一个函数在一个区域内有存在定义，则导数中一个自变量发生变化时，则该导数也会发生相应的变化。其中导数变化的极限量有存在意义，则该函数在该范围内成立，这一极限值为该函数在自变量初始阶段的函数值。除此之外，导数还可以应用在几何领域中，通过以上介绍可以知，导数能够表示出曲线内某点的斜率，假设该点的斜率为k，该点的自变量变化为x-x0，则该函数的导数可以表示为y=k（x-x0）。当倾斜角为90度时，经过点P的垂直斜线为该函数的法线，当其中的切线函数为零时，则法线的方程为x=x0。例如，y=x3，求点A（x，y）的切线方程和法线方程，已知函数公式，则将点A带入公式可得出y-ya=3xa2（x-x0）。法线方程需要分情况进行，当其中的x0等于零时，则法线方程为x=0，当x0不等于零时，则法线方程为3xa2、-1、变量的增值之间的积。通过以上导数的应用能够看出，导数不仅能够利用自身的性质进行求导，还可以应用在曲线切线以及法线的求解中，由此可以看出，高数导线的应用范围以及在高数中的重要地位。