2022年高考浙江数学高考真题变式题13-15题-(解析版)

2022年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学姓名________准考证号_________________本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至3页；非选择题部分3至4页．满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.参考公式：如果事件A ，B 互斥，则柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+V Sh=如果事件A ，B 相互独立，则其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P AB P A P B =×锥体的体积公式若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次 13V Sh =独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=L球的表面积公式台体的体积公式24S R p =()1213V S S h =++ 球的体积公式其中12,S S 表示台体的上、下底面积， 343V R p =h 表示台体的高其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B È=（ ）A. {2} B. {1,2}C. {2,4,6}D. {1,2,4,6}【答案】D 【解析】【分析】利用并集的定义可得正确的选项.【详解】{}1,2,4,6A B =U ，故选：D.2. 已知,,3i (i)i a b a b Î+=+R （i 为虚数单位），则（ ）A. 1,3a b ==- B. 1,3a b =-= C. 1,3a b =-=- D. 1,3a b ==【答案】B 【解析】【分析】利用复数相等的条件可求,a b .【详解】3i 1i a b +=-+，而,a b 为实数，故1,3a b =-=，故选：B.3. 若实数x ，y 满足约束条件20,270,20,x x y x y -³ìï+-£íï--£î则34z x y =+的最大值是（ ）A. 20B. 18C. 13D. 6【答案】B 【解析】【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线34z x y =+后可求最大值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：当动直线340x y z +-=过A 时z 有最大值.由2270x x y =ìí+-=î可得23x y =ìí=î，故()2,3A ，故max 324318z =´+´=，故选：B.4. 设x ÎR ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为22sin cos 1x x +=可得：当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立；当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立；所以当x ÎR ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件.故选：A.5. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A. 22πB. 8πC.22π3D.16π3【答案】C 【解析】【分析】根据三视图还原几何体可知，原几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，即可根据球，圆柱，圆台的体积公式求出．【详解】由三视图可知，该几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，球的半径，圆柱的底面半径，圆台的上底面半径都为1cm ，圆台的下底面半径为2cm ，所以该几何体的体积(322214122ππ1π122π2π12333V =´´+´´+´´´+´+=3cm ．故选：C ．6. 为了得到函数2sin 3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x æö=+ç÷èø图象上所有的点（ ）A. 向左平移π5个单位长度 B. 向右平移π5个单位长度C. 向左平移π15个单位长度 D. 向右平移π15个单位长度【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．【详解】因为ππ2sin 32sin 3155y x x éùæö==-+ç÷êúèøëû，所以把函数π2sin 35y x æö=+ç÷èø图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数2sin 3y x =的图象．故选：D.7. 已知825,log 3ab ==，则34a b -=（ ）A. 25 B. 5C.259D.53【答案】C 【解析】【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．【详解】因为25a=，821log 3log 33b ==，即323b=，所以()()22323232452544392a aa b b b -====．故选：C.8. 如图，已知正三棱柱1111,ABC A B C AC AA -=，E ，F 分别是棱11,BC A C 上的点．记EF 与1AA 所成的角为a ，EF 与平面ABC 所成的角为b ，二面角F BC A --的平面角为g ，则（ ）A.a b g££ B.b a g ££ C. b g a££ D.a g b££【答案】A 【解析】【分析】先用几何法表示出a b g ，，，再根据边长关系即可比较大小．【详解】如图所示，过点F 作FP AC ^于P ，过P 作PM BC ^于M ，连接PE ，则EFP a =Ð，FEP b =Ð，FMP g =，tan 1PE PE FP AB a ==£，tan 1FP AB PE PE b ==³，tan tan FP FPPM PEg b =³=，所以a b g££，故选：A ．9. 已知,a b ÎR ，若对任意,|||4||25|0x a x b x x Î-+---³R ，则（ ）A 1,3a b £³ B. 1,3a b ££ C. 1,3a b ³³ D. 1,3a b ³£【答案】D.【解析】【分析】将问题转换为|||25||4|a x b x x -³---，再结合画图求解．【详解】由题意有：对任意的x ÎR ，有|||25||4|a x b x x -³---恒成立．设()||f x a x b =-，()51,2525439,421,4x x g x x x x x x x ì-£ïïï=---=-<<íï-³ïïî，即()f x 的图象恒在()g x 的上方（可重合），如下图所示：由图可知，3a ³，13b ££，或13a £<，3143b a££-£，故选：D ．10. 已知数列{}n a 满足()21111,3n n n a a a a n *+==-ÎN ，则（ ）A. 100521002a << B.100510032a << C. 100731002a <<D.100710042a <<【答案】B 【解析】【分析】先通过递推关系式确定{}n a 除去1a ，其他项都在()0,1范围内，再利用递推公式变形得到1111133n n n a a a +-=>-，累加可求出11(2)3n n a >+，得出1001003a <，再利用11111111333132n n n a a a n n +æö-=<=+ç÷-+èø-+，累加可求出()111111113323n n a n æö-<-++++ç÷èøL ，再次放缩可得出10051002a >．【详解】∵11a =，易得()220,13a =Î，依次类推可得()0,1n a Î由题意，1113n n n a a a +æö=-ç÷èø，即()1131133n n n n n a a a a a +==+--，∴1111133n n n a a a +-=>-，即211113a a ->，321113a a ->，431113a a ->，…，1111,(2)3n n n a a -->³，累加可得()11113n n a ->-，即11(2),(2)3n n n a >+³，∴()3,22n a n n <³+，即100134a <，100100100334a <<,又11111111,(2)333132n n n n a a a n n +æö-=<=+³ç÷-+èø-+，∴211111132a a æö-=+ç÷èø，321111133a a æö-<+ç÷èø，431111134a a æö-<+ç÷èø，…，111111,(3)3n n n a a n -æö-<+³ç÷èø，累加可得()11111111,(3)3323n n n a n æö-<-++++³ç÷èøL ，∴10011111111133334943932399326a æöæö-<++++<+´+´<ç÷ç÷èøèøL ，即100140a <，∴100140a >，即10051002a >；综上：100510032a <<．故选：B ．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分．11. 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S =，其中a ，b ，c 是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边2a b c ===，则该三角形的面积S =___________．【解析】【分析】根据题中所给的公式代值解出．【详解】因为S =，所以S ==12. 已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2a =__________，12345a a a a a ++++=___________．【答案】 ①. 8②. 2-【解析】【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令0x =求出0a ，再令1x =即可得出答案．【详解】含2x 项为：()()3232222244C 12C 14128x x x x x x ×××-+×××-=-+=，故28a =；令0x =，即02a =，令1x =，即0123450a a a a a a =+++++，∴123452a a a a a ++++=-，的故答案为：8；2-．13.若3sin sin 2pa b a b -=+=，则sin a =__________，cos 2b =_________．【答案】 ①.②.45【解析】【分析】先通过诱导公式变形，得到a 的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出a ，接下来再求b ．【详解】2pa b +=，∴sin cos b a =，即3sin cos a a -=a a ö=÷÷øsin q =，cos q =，()a q -=，∴22k k Z pa q p -=+Î，，即22k pa q p =++，∴sin sin 2cos 2k pa q p q æö=++==ç÷èø，则224cos 22cos12sin 15b b a =-=-=．；45．14. 已知函数()22,1,11,1,x x f x x x x ì-+£ï=í+->ïî则12f f æöæö=ç÷ç÷èøèø________；若当[,]xa b Î时，1()3fx ££，则b a -的最大值是_________．【答案】 ①.3728②. 3+【解析】【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出a 的最小值,b 的最大值即可.【详解】由已知2117()2224f æö=-+=ç÷èø，77437(144728f =+-=，所以137(228f f éù=êúëû，当1x £时，由1()3f x ££可得2123x £-+£，所以11x -££，当1x >时，由1()3f x ££可得1113x x£+-£，所以12x <£+1()3f x ££等价于12x -££+，所以[,][1,2a b Í-，所以b a -的最大值为3故答案为：3728，3+.15. 现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为x ，则(2)P x ==__________，()E x =_________．【答案】 ①.1635， ②. 127##517【解析】【分析】利用古典概型概率公式求(2)P x =，由条件求x 分布列，再由期望公式求其期望.【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有37C 种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有112424C C C +种，所以11242437C C C 16(2)C 35P x +===，由已知可得x 的取值有1，2，3，4，2637C 15(1)C 35P x ===，16(2)35P x ==，，()()233377C 31134C 35C 35P P x x ======，所以15163112()1234353535357E x =´+´+´+´=,故答案为：1635，127.16. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．【解析】【分析】联立直线AB 和渐近线2:bl y x a=方程，可求出点B ，再根据||3||FB FA =可求得点A ，最后根据点A 在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过F 且斜率为4b a的直线:()4b AB y x c a =+，渐近线2:bl y x a =，联立()4b y x c ab y xa ì=+ïïíï=ïî，得,33c bc B a æöç÷èø，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a æö-ç÷èø而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率e =．17. 设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A L 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++uu u r uu L ur uu u r 的取值范围是_______．【答案】[12+【解析】【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设(,)P x y ，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到()2222212888PA PA PA x y +++=++uuu r uuu r uuu r L ，然后利用cos 22.5||1OP ££o 即可解出．【详解】以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：则1345726(0,1),,(1,0),,(0,1),,(1,0)A A A A A A A æ--ççè,8A æççè，设(,)P x y ,于是()2222212888PA PA PA x y +++=++uuu r uuu r uuu r L ，因为cos 22.5||1OP ££o，所以221cos 4512x y +£+£o ，故222128PA PA PA +++uuu r uuu r uuu r L 的取值范围是[12+.故答案为：[12+．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18. 在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知34,cos 5a C ==．（1）求sin A 的值；（2）若11b =，求ABC V 的面积．【答案】（1； （2）22．【解析】【分析】（1）先由平方关系求出sin C ，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论222cos 2a b c C ab+-=以及4a =可解出a ，即可由三角形面积公式in 12s S ab C =求出面积．【小问1详解】由于3cos 5C =， 0πC <<，则4sin 5C =．因为4a =，由正弦定理知4sin A C =，则sin A C ==【小问2详解】因为4a =，由余弦定理，得2222221612111355cos 22225a a a a b c C ab a a +--+-====，即26550a a +-=，解得5a =，而4sin 5C =，11b =，所以ABC V 的面积114sin 51122225S ab C ==´´´=．19. 如图，已知ABCD 和CDEF 都是直角梯形，//AB DC ，//DC EF ，5AB =，3DC =，1EF =，60BAD CDE Ð=Ð=°，二面角F DC B --的平面角为60°．设M ，N 分别为,AE BC 的中点．（1）证明：FN AD ^；（2）求直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析； （2．【解析】【分析】（1）过点E 、D 分别做直线DC 、AB 的垂线EG 、DH 并分别交于点G 、H ，由平面知识易得FC BC =，再根据二面角的定义可知，60BCF Ð=o ，由此可知，FN BC ^，FN CD ^，从而可证得FN ^平面ABCD ，即得FN AD ^；（2）由（1）可知FN ^平面ABCD ，过点N 做AB 平行线NK ，所以可以以点N 为原点，NK ，NB 、NF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系N xyz -，求出平面ADE 的一个法向量，以及BM uuuu r，即可利用线面角的向量公式解出．【小问1详解】过点E 、D 分别做直线DC 、AB 的垂线EG 、DH 并分别交于点交于点G 、H ．∵四边形ABCD 和EFCD 都是直角梯形，//,//,5,3,1AB DC CD EF AB DC EF ===，60BAD CDE Ð=Ð=°，由平面几何知识易知，2,90DG AH EFC DCF DCB ABC ==Ð=Ð=Ð=Ð=°，则四边形EFCG 和四边形DCBH 是矩形，∴在Rt EGD V 和Rt DHA V，EG DH ==∵,DC CF DC CB ^^，且CF CB C Ç=，∴DC ^平面,BCF BCF Ð是二面角F DC B --的平面角，则60BCF Ð=o ，∴BCF △是正三角形，由DC Ì平面ABCD ，得平面ABCD ^平面BCF ，∵N 是BC 的中点，\FN BC ^，又DC ^平面BCF ，FN Ì平面BCF ，可得FN CD ^，而BC CD C Ç=，∴FN ^平面ABCD ，而AD Ì平面ABCD FN AD \^．【小问2详解】因为FN ^平面ABCD ，过点N 做AB 平行线NK ，所以以点N 为原点， NK ，NB 、NF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系N xyz -，设(3,(1,0,3)A B D E，则32M æöç÷ç÷èø，33,,(2,(2BM AD DE æö\==--=-ç÷ç÷èøuuuu r uuu ruuu r 设平面ADE 的法向量为,)n y z r由00n AD n DE ì×=í×=îuuu v r uuu v r，得20230x x z ì--=ïí-++=ïî，取n =-r，设直线BM与平面ADE 所成角为q∴||sin cos ,|||n BM n BM n BM q ×=áñ===×uuuu r r uuuu r r uuuu r r20. 已知等差数列{}n a 的首项11a =-，公差1d >．记{}n a 的前n 项和为()n S n *ÎN ．（1）若423260S a a -+=，求n S ；（2）若对于每个n *ÎN ，存在实数n c ，使12,4,15n n n n n n a c a c a c +++++成等比数列，求d 取值范围．【答案】（1）235(N )2n n nS n *-=Î（2）12d <£【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式及前n 项和公式化简条件，求出d ，再求n S ；(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求d 的范围.【小问1详解】因为42312601S a a a -+==-，，所以()()46211260d d d -+--+-++=，所以230d d -=，又1d >，所以3d =，所以34n a n =-，所以()213522n na a n n n S +-==，【小问2详解】因为n n a c +，14n n a c ++，215n n a c ++成等比数列，所以()()()212415n n n n n n a c a c a c +++=++，的()()()2141115n n n nd c nd d c nd d c -+=-+-+-+++，22(1488)0n n c d nd c d +-++=，由已知方程22(1488)0n n c d nd c d +-++=的判别式大于等于0，所以()22148840d nd d D =-+-³，所以()()168812880d nd d nd -+-+³对于任意的n *ÎN 恒成立，所以()()212320n d n d ----³éùéùëûëû对于任意的n *ÎN 恒成立，当1n =时，()()()()21232120n d n d d d ----=++³éùéùëûëû，当2n =时，由()()2214320d d d d ----³，可得2£d 当3n ³时，()()21232(3)(25)0n d n d n n ---->--³éùéùëûëû，又1d >所以12d <£21. 如图，已知椭圆22112x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点0,21Q æöç÷èø在线段AB 上，直线,PA PB 分别交直线132y x =-+于C ，D 两点．（1）求点P 到椭圆上点的距离的最大值；（2）求||CD 的最小值．【答案】（1（2．【解析】【分析】（1）设,sin )Q q q 是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出2||PQ ，再根据二次函数的性质即可求出；（2）设直线1:2A B y kx =+与椭圆方程联立可得1212,x x x x +，再将直线132y x =-+方程与PA PB 、的方程分别联立，可解得点,C D 的坐标，再根据两点间的距离公式求出CD ，最后代入化简可【小问1详解】设,sin )Q q q 是椭圆上任意一点,(0,1)P ,则222221144144||12cos (1sin )1311sin 2sin 11sin 111111PQ q q q q q æö=+-=--=-+£ø+ç÷è，当且仅当1sin 11q =-时取等号，故||PQ【小问2详解】设直线1:2A B y kx =+,直线AB 方程与椭圆22112x y +=联立,可得22130124k x kx æö++-=ç÷èø,设()()1122,,,A x y B x y ，所以12212211231412k x x k x x k ì+=-ï+ïïíï=-æöï+ç÷ïèøî，因为直线111:1y PA y x x -=+与直线132y x =-+交于C ,则111114422(21)1C x x x x y k x ==+-+-,同理可得,222224422(21)1D x x x x y k x ==+-+-.则224||(21)1x CD k x =--+-==当且仅当316k =时取等号，故CD的最小值为.【点睛】本题主要考查最值计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较难题．22. 设函数e()ln (0)2f x x x x=+>．（1）求()f x 的单调区间；（2）已知,a b ÎR ，曲线()y f x =上不同三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a æö<-<-ç÷èø；（ⅱ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e 6e 6ea ax x a --+<+<-．（注：e 2.71828=L 是自然对数的底数）【答案】（1）()f x 的减区间为e 02æöç÷èø,，增区间为e ,2æö+¥ç÷èø. （2）（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）（ⅰ）由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，（ⅱ）31x k x =，1e a m =<，则题设不等式可转化为()()()2131313122236m m m t t m m t t --++--<+，结合零点满足的方程进一步转化为()()()()211312ln 0721m m m m m m ---++<+，利用导数可证该不等式成立.【小问1详解】()22e 12e 22xf x x x x -¢=-+=，当e02x <<，()0f x ¢<；当e 2x >，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为e 02æöç÷èø,，()f x 的增区间为e ,2æö+¥ç÷èø.的的【小问2详解】（ⅰ）因为过(),a b 有三条不同的切线，设切点为()(),,1,2,3i i x f x i =，故()()()i i i f x b f x x a ¢-=-，故方程()()()f x b f x x a ¢-=-有3个不同的根，该方程可整理为()21e e ln 022x a x b x x x æö----+=ç÷èø，设()()21e e ln 22g x x a x b x x x æö=----+ç÷èø，则()()22321e 1e 1e 22g x x a x x x x x xæö¢=-+-+--+ç÷èø()()31e x x a x=---，当0e x <<或x a >时，()0g x ¢<；当e x a <<时，()0g x ¢>，故()g x 在()()0,e ,,a +¥上为减函数，在()e,a 上为增函数，因为()g x 有3个不同的零点，故()e 0g <且()0>g a ，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b æö----+<ç÷èø且()21e e ln 022a a a b a a a æö----+>ç÷èø，整理得到：12e a b <+且()eln 2b a f a a>+=，此时()1e 13e11ln ln 2e 2e 22e 222a a a b f a a a a aæöæö---<+-+-+=--ç÷ç÷èøèø，设()3e ln 22u a a a =--，则()2e-202au a a ¢=<，故()u a 为()e,+¥上的减函数，故()3eln e 022eu a <--=，故()1012e a b f a æö<-<-ç÷èø.（ⅱ）当0e a <<时，同（ⅰ）中讨论可得：故()g x 在()()0,,e,a +¥上为减函数，在(),e a 上为增函数，不妨设123x x x <<，则1230e x a x x <<<<<，因为()g x 有3个不同的零点，故()0g a <且()e 0g >，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b æö----+>ç÷èø且()21e e ln 022a a a b a a a æö----+<ç÷èø，整理得到：1ln 2e 2ea ab a +<<+，因为123x x x <<，故1230e x a x x <<<<<，又()2e e 1ln 2a ag x x b x x+=-+-+，设e t x =，()0,1e a m =Î，则方程2e e 1ln 02a ax b x x+-+-+=即为：2e ln 0e 2e a a t t t b +-+++=即为()21ln 02m m t t t b -++++=，记123123e e e,,,t t t x x x ===则113,,t t t 为()21ln 02m m t t t b -++++=有三个不同的根，设3131e 1x t k t x a ==>>，1eam =<，要证：22122e 112e e 6e 6e a a x x a --+<+<-，即证13e 2e e 26e 6ea a t t a --+<+<-，即证：13132166m mt t m --<+<-，即证：131********m m t t t t m --æöæö+-+-+<ç÷ç÷èøèø，即证：()()()2131313122236m m m t t m m t t --++--<+，而()21111ln 02m m t t t b -++++=且()23331ln 02m m t t t b -++++=，故()()()22131313ln ln 102m t t t t m t t -+--+-=，故131313ln ln 222t t t t m m t t -+--=-´-，故即证：()()()21313131312ln ln 236m m m t t m t t m t t --+--´<-+，第21页 | 共22页 即证：()()()1213313ln1312072t t t m m m t t t +--++>-即证：()()()213121ln 0172m m m k k k --+++>-，记()()1ln ,11k k k k k j +=>-，则()()2112ln 01k k k k k j æö¢=-->ç÷èø-，设()12ln u k k k k =--，则()2122210u k k k k k¢=+->-=即()0k j ¢>，故()k j 在()1,+¥上为增函数，故()()k m j j >，所以()()()()()()22131213121ln 1ln 172172m m m m m m k k m m k m --+--++++>+--，记()()()()()211312ln ,01721m m m m m m m m w ---+=+<<+，则()()()()()()()2232322132049721330721721m m m m m m m m m m m w ---+-+¢=>>++，所以()m w 在()0,1为增函数，故()()10m w w <=，故()()()()211312ln 0721m m m m m m ---++<+即()()()213121ln 0172m m m m m m --+++>-，故原不等式得证：【点睛】思路点睛：导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等.第22页| 共22页。

2022年浙江省高考数学试题及答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设集合A={x|0<x<1}，B={x|x^2<4}，则A∩B=（）A. {x|0<x<2}B. {x|0<x<1}C. {x|2<x<0}D. {x|2<x<2}2. 若函数f(x)=x^33x+1在区间（1，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. a>1B. a<1C. a≥1D. a≤13. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3=20，a2+a4=26，则数列{an}的公差d=（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，∠BAC=60°，则三角形ABC的面积是（）A. 2√3B. 4√3C. 6√3D. 8√35. 已知圆C：x^2+y^2=4，直线l：y=kx+2与圆C相交于A、B两点，若AB=2√2，则实数k的值是（）A. 1B. 1C. ±1D. 06. 已知函数f(x)=log2(x+1)，则f(x)的值域是（）A. (∞，0)B. (0，+∞)C. (∞，+∞)D. (0，+∞)7. 已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，高为h，则该三棱柱的体积V是（）A. V=√3/4a^2hB. V=√3/2a^2hC. V=a^2hD. V=√3a^2h8. 若复数z满足|z1|=|z+1|，则z在复平面上的轨迹是（）A. 以原点为中心，半径为1的圆B. 以原点为中心，半径为2的圆C. 以点（1，0）为中心，半径为1的圆D. 以点（1，0）为中心，半径为1的圆9. 已知等比数列{an}的首项a1=1，公比q=2，则数列{an}的前5项和S5=（）A. 31B. 32C. 33D. 3410. 已知函数f(x)=x^2+ax+b（a，b∈R），若f(x)在区间（1，1）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. a>2B. a<2C. a≥2D. a≤2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 若函数f(x)=x^33x+1在区间（1，1）上单调递减，则实数a的取值范围是_________。

2022年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学姓名________ 准考证号_________________本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至3页；非选择题部分3至4页．满分150分，考试时间120分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，则 柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，则 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P AB P A P B =⋅ 锥体的体积公式若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次 13V Sh =独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()C (1)(0,1,2,,)k k n k n n P k p p k n -=-= 球的表面积公式台体的体积公式 24S R =π()112213V S S S S h =球的体积公式 其中12,S S 表示台体的上、下底面积， 343V R =π h 表示台体的高 其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B =（ ）A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,4,6}D ．{1,2,4,6} 2．已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（ ）A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==3．若实数x ，y 满足约束条件20,270,20,x x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩则34z x y =+的最大值是（ ）A ．20B ．18C ．13D ．64．设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．22πB ．8πC ．22π3 D ．16π36．为了得到函数2sin3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（ ） A ．向左平移π5个单位长度 B ．向右平移π5个单位长度 C ．向左平移π15个单位长度 D ．向右平移π15个单位长度7．已知825,log 3ab ==，则34a b-=（ ）A ．25B ．5C ．259D ．538．如图，已知正三棱柱1111,ABC A B C AC AA -=，E ，F 分别是棱11,BC AC 上的点．记EF 与1AA 所成的角为α，EF 与平面ABC 所成的角为β，二面角F BC A --的平面角为γ，则（ ）A ．αβγ≤≤B ．βαγ≤≤C ．βγα≤≤D ．αγβ≤≤ 9．已知,a b ∈R ，若对任意,|||4||25|0x a x b x x ∈-+---≥R ，则（ ）A ．1,3a b ≤≥B ．1,3a b ≤≤C ．1,3a b ≥≥D ．1,3a b ≥≤10．已知数列{}n a 满足()21111,3n n n a a a a n *+==-∈N ，则 A ．100521002a << B ．100510032a << C ．100731002a << D ．100710042a <<非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分．11．我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，其中a ，b ，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边2,3,2a b c ===，则该三角形的面积S =___________．12．已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2a =__________，12345a a a a a ++++=___________．13．若3sin sin 10,2παβαβ-=+=，则sin α=__________，cos2β=_________．14．已知函数22,1,()11,1,x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩则12f f⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________；若当[,]x a b ∈时，1()3f x ≤≤，则b a -的最大值是_________．15．现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则(2)P ξ==__________，()E ξ=_________．16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．17．设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++的取值范围是_______．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本题满分14分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． 已知345,cos 5a c C ==． （Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）若11b =，求ABC △的面积．19．（本题满分15分）如图，已知ABCD 和CDEF 都是直角梯形，AB DC ∥，DC EF ∥，5AB =，3DC =，1EF =，60BAD CDE ∠=∠=︒，二面角F DC B --的平面角为60︒．设M ，N 分别为,AE BC 的中点．（Ⅰ）证明：FN AD ⊥；（Ⅱ）求直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值．20．（本题满分15分）已知等差数列{}n a 的首项11a =-，公差1d >．记{}n a 的前n 项和为()n S n *∈N．（Ⅰ）若423260S a a -+=，求n S ；（Ⅱ）若对于每个n *∈N ，存在实数n c ，使12,4,15n n n n n n a c a c a c +++++成等比数列，求d 的取值范围．21．（本题满分15分）如图，已知椭圆22112x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点10,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭在线段AB 上，直线,PA PB 分别交直线132y x =-+于C ，D 两点．（Ⅰ）求点P 到椭圆上点的距离的最大值； （Ⅱ）求||CD 的最小值．22．（本题满分15分）设函数e()ln (0)2f x x x x=+>． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知,a b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明： （ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭； （ⅱ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e 6e 6ea a x x a --+<+<-．（注：e 2.71828=是自然对数的底数）2022年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学参考答案选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. D2. B3. B4. A5. C6. D7. C8. A9. D10. B非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分．11.2312.①. 8②. 2-13. ①. 310②.4514. ①. 3728②. 333+315.①. 1635，②.127##51716. 36 417. [1222,16]+三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.（15；（2）22．19.（1）过点E、D分别做直线DC、AB的垂线EG、DH并分别交于点交于点G、H．∵四边形ABCD 和EFCD 都是直角梯形，//,//,5,3,1AB DC CD EF AB DC EF ===，60BAD CDE ∠=∠=︒，由平面几何知识易知，2,90DG AH EFC DCF DCB ABC ==∠=∠=∠=∠=︒，则四边形EFCG 和四边形DCBH 是矩形，∴在Rt EGD 和Rt DHA ，23EG DH ==∵,DC CF DC CB ⊥⊥，且CF CB C ⋂=，∴DC ⊥平面,BCF BCF ∠是二面角F DC B --的平面角，则60BCF ∠=， ∴BCF △是正三角形，由DC ⊂平面ABCD ，得平面ABCD ⊥平面BCF ，∵N 是BC 的中点，∴FN BC ⊥，又DC ⊥平面BCF ，FN ⊂平面BCF ，可得FN CD ⊥，而BC CD C ⋂=，∴FN ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD FN AD ∴⊥． （25720.（1）235(N )2n n nS n *-=∈（2）12d <≤ 21.（11211； （265． 22.（1）()f x 的减区间为e 02⎛⎫ ⎪⎝⎭,，增区间为e ,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. （2）（ⅰ）因为过(),a b 有三条不同的切线，设切点为()(),,1,2,3i i x f x i =， 故()()()i i i f x b f x x a '-=-，故方程()()()f x b f x x a '-=-有3个不同的根， 该方程可整理为()21e e ln 022x a x b x x x ⎛⎫----+=⎪⎝⎭， 设()()21e e ln 22g x x a x b x x x ⎛⎫=----+ ⎪⎝⎭， 则()()22321e 1e 1e22g x x a x x x x x x⎛⎫'=-+-+--+ ⎪⎝⎭ ()()31e x x a x=---， 当0e x <<或x a >时，0g x ；当e x a <<时，0g x ，故()g x 在()()0,e ,,a +∞上为减函数，在()e,a 上为增函数， 因为()g x 有3个不同的零点，故()e 0g <且()0>g a ，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭， 整理得到：12e a b <+且()eln 2b a f a a>+=， 此时()1e 13e11ln ln 2e 2e 22e 222a a a b f a a a a a⎛⎫⎛⎫---<+-+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设()3e ln 22u a a a =--，则()2e-202a u a a'=<， 故()u a 为()e,+∞上的减函数，故()3eln e 022eu a <--=， 故()1012e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭. （ⅱ）当0e a <<时，同（ⅱ）中讨论可得：故()g x 在()()0,,e,a +∞上为减函数，在(),e a 上为增函数， 不妨设123x x x <<，则1230e x a x x <<<<<， 因为()g x 有3个不同的零点，故()0g a <且()e 0g >， 故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫----+>⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭， 整理得到：1ln 2e 2ea ab a +<<+， 因为123x x x <<，故1230e x a x x <<<<<， 又()2e e 1ln 2a ag x x b x x+=-+-+， 设e t x =，()0,1eam =∈，则方程2e e 1ln 02a a x b x x +-+-+=即为： 2e ln 0e 2e a a t t t b +-+++=即为()21ln 02mm t t t b -++++=， 记123123e e e,,,t t t x x x === 则113,,t t t 为()21ln 02m m t t t b -++++=有三个不同的根，设3131e1x t k t x a ==>>，1ea m =<， 要证：22122e 112e e 6e 6e a ax x a --+<+<-，即证13e 2e e 26e 6ea a t t a --+<+<-， 即证：13132166m mt t m --<+<-， 即证：131********m m t t t t m --⎛⎫⎛⎫+-+-+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即证：()()()2131313122236m m m t t m m t t --++--<+， 而()21111ln 02m m t t t b -++++=且()23331ln 02m m t t t b -++++=， 故()()()22131313ln ln 102m t t t t m t t -+--+-=， 故131313ln ln 222t t t t m m t t -+--=-⨯-， 故即证：()()()21313131312ln ln 236m m m t t m t t m t t --+--⨯<-+， 即证：()()()1213313ln1312072t t t m m m t t t +--++>-即证：()()()213121ln 0172m m m k k k --+++>-，记()()1ln ,11k k k k k ϕ+=>-，则()()2112ln 01k k k k k ϕ⎛⎫'=--> ⎪⎝⎭-， 设()12ln u k k k k =--，则()2122210u k k k k k'=+->-=即()0k ϕ'>， 故()k ϕ在()1,+∞上为增函数，故()()k m ϕϕ>，所以()()()()()()22131213121ln 1ln 172172m m m m m m k k m m k m --+--++++>+--， 记()()()()()211312ln ,01721m m m m m m m m ω---+=+<<+，则()()()()()()()2232322132049721330721721m m m m m mm m m m m ω---+-+'=>>++，所以()m ω在0,1为增函数，故()()10m ωω<=，故()()()()211312ln 0721m m m m m m ---++<+即()()()213121ln 0172m m m m m m --+++>-，故原不等式得证：。

★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试〔浙江卷〕数 学本试题卷分选择题和非选择题两局部。

全卷共4页，选择题局部1至2页；非选择题局部3至4页。

总分值150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前，请务势必自己的姓名、。

2．答题时，请按照答题纸上“考前须知〞的要求，在答题纸相应的位置上标准作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：假设事件A ，B 互斥，那末()()()P A B P A P B +=+ 假设事件A ，B 相互独立，那末()()()P AB P A P B = 假设事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那末n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k k n k nnP k p p k n -=-=台体的体积公式11221()3V S S S S h =++其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的外表积公式 24S R =π球的体积公式343V R =π其中R 表示球的半径选择题局部〔共40分〕一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分。

在每题给出的四个选项中，惟独一项为哪一项符合题目要求的。

1．全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，那末()UA B =A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-2．渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A ．22B ．1C ．2D ．23．假设实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，那末z =3x +2y 的最大值是A ．1-B ．1C ．10D ．124．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，那末积不容异〞称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．假设某柱体的三视图如下图〔单位：cm 〕，那末该柱体的体积〔单位：cm 3〕是A ．158B ．162C ．182D ．3245．假设a >0，b >0，那末“a +b ≤4〞是 “ab ≤4〞的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6y =1xa ，y =log a (x +12)(a >0，且a ≠1)的图象可能是7．设0＜a ＜1，那末随机变量X 的分布列是那末当a 在〔0,1〕内增大时， A ．D 〔X 〕增大B ．D 〔X 〕减小C ．D 〔X 〕先增大后减小D ．D 〔X 〕先减小后增大8．设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点〔不含端点〕．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P –AC –B 的平面角为γ，那末 A ．β<γ，α<γB ．β<α，β<γC ．β<α，γ<αD ．α<β，γ<β9．,a b ∈R 32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．()y f x ax b =--恰有3个零点，那末 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >010．设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，b *∈N ，那末A ．当b =12时，a 10>10B ．当b =14时，a 10>10C ．当b =–2时，a 10>10D ．当b =–4时，a 10>10非选择题局部〔共110分〕二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2022年全国新高考Ⅰ卷数学试题变式题13-16题原题131．81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭地展开式中26x y 地系数为________________（用数字作答）．变式题1基础2．511813x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭地展开式中常数项为___________.变式题2基础3．()()632x y x y +-地展开式中52x y 地系数为_______．变式题3基础4．在()232311x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中,4x 地系数为________.变式题4基础5．()()5321xx -+地展开式地中4x地系数是______．变式题5巩固6．()6213x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭地展开式中,2x 项地系数是___________.（用数字作答）变式题6巩固7．()()52121xx+-展开式中地常数项是______．变式题7巩固8．()26(2)x x x --展开式中含2x 项地系数为___________.变式题8巩固9．在35(1(1+-地展开式中,x 地系数为_________．变式题9提升10．()82022111x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭地展开式中2x 地系数为___________.（用数字作答）.变式题10提升11．102(1)⎫+⋅⎪⎭x x 地展开式中地3x 项前地系数为___________.变式题11提升12．在()4221211x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭地展开式中,常数项为______.原题1413．写出与圆221x y +=和22(3)(4)16x y -+-=都相切地一款直线地方程________________．变式题1基础14．已知圆221:1C x y +=,圆222:(4)25C x y -+=,则两圆公切线地方程为__________．变式题2基础15．圆221:(1)(2)9C x y -++=和圆222:(1)(1)4C x y ++-=地公切线款数为_________款.变式题3基础16．设圆221:244C x y x y +-+=,圆222:680C x y x y ++-=,则圆12,C C 有公切线___________款.变式题4基础17．圆1C ：22650x y y +-+=与圆2C ：22870x y x +-+=地公切线款数为____________.变式题5巩固18．已知圆()()()222111:220C x y r r -+-=>,圆()()()222222:110,C x y r r +++=>圆1C 与圆2C 相切,并且两圆地一款外公切线地斜率为7,则12rr 为_________.变式题6巩固19．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一款公切线,则4a 2＋b 2＝________．变式题7巩固20．如图,平面直角坐标系中,已知圆1C 和圆2C 均与直线l ：y kx =及x 轴相切,且圆1C 和圆2C 相切于点（4,2）,则两圆心地距离12C C =___________.变式题8巩固21．圆22:4210A x y x y +-++=与圆22:612440B x y x y +--+=,则圆A 与圆B 地公切线方程为___________.变式题9提升22．在平面直角坐标系xOy 中,已知圆221:2C x y +=,圆((222:8x C y +=,若过第四象限地直线l 是两圆地公切线,且两圆在公切线地同一侧,则直线l 地方程为________.变式题10提升23．已知圆1C ：22()1x a y -+=和2C ：222240x y by b +-+-=恰好有三款公切线,则2268a b a b +--地取值范围是___________.变式题11提升24．已知两圆221:1C x y +=,222:68110C x y x y +---=,则两圆地位置关系为___________,两圆地公切线方程为___________.（用一般式表示）原题1525．若曲线()e x y x a =+有两款过坐标原点地切线,则a 地取值范围是________________．变式题1基础26．已知函数f （x ）＝x 3－3x,若过点A （1,m ）（m≠－2）可作曲线y ＝f （x ）地三款切线,则实数m 地取值范围为________．变式题2基础27．若过点(),0A a 地任意一款直线都不与曲线():1xC y x e =-相切,则a 地取值范围是________．变式题3基础28．假如函数()363f x x bx b =-+在区间()0,1内存在与x 轴平行地切线,则实数b 地取值范围是___________.变式题4基础29．若函数()21ln 2f x x ax x =-+存在平行于x 轴地切线,则实数a 取值范围是______.变式题5巩固30．已知函数()xf x e =,函数()2(0)g x ax a =>,若曲线()f x 和()g x 存在公切线,则a 地取值范围为___________.变式题6巩固31．已知函数()1xf x e mx =-+地图象为曲线C ,若曲线C 存在与直线12y x =垂直地切线,则实数m 地取值范围是______．变式题7巩固32．若曲线()ln y x b =+与直线()1y k x =+相切,则实数b 地最大值是___________.变式题8巩固33．已知函数3()23f x x x =-,若过点()1,1M m -存在三款直线与曲线()y f x =相切,则m 地取值范围为___________．变式题9提升34．设函数()xf x e x =-,直线y ax b =+是曲线()y f x =地切线,则a b +地最大值是___________.变式题10提升35．已知函数()ln ln 1(1)f x x nx m m =-++>,()f x '是其导函数,若曲线()y f x =地一款切线为直线l ：210x y -+=,则mn 地最小值为___________.变式题11提升36．已知()2af x x x=+.若曲线()y f x =存在两款过()2,0点地切线,则a 地取值范围是___________.原题1637．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,C 地上顶点为A ,两个焦点为1F ,2F ,离心率为12．过1F 且垂直于2AF 地直线与C 交于D ,E 两点,||6DE =,则ADE 地周长是________________．变式题1基础38．已知椭圆22163x y +=地左焦点为F ,点A 是椭圆上异于顶点地任意一点,O 为坐标原点.若点B 是线段AF 地中点,则FOB △地周长为___________.变式题2基础39．椭圆C ：2221(0)x y a a +=>地左，右焦点分别为1F ,2F ,P 为椭圆上异于左右顶点地任意一点,1PF ，2PF 地中点分别为M ，N ,O 为坐标原点,四边形OMPN 地周长为4,则12PF F △地周长是_____．变式题3基础40．已知12F F ，分别为椭圆22132x y C +=：地左右焦点,直线 210x y -+=与椭圆交于P Q ，两点,则△2PQF 地周长为_________.变式题4基础41．已知12,F F 分别为椭圆221259x y +=地左右焦点,倾斜角为3π地直线l 经过1F ,且与椭圆交于,A B 两点,则△2F AB 地周长为___．变式题5巩固42．已知AB 是过椭圆2212516x y +=左焦点F 1地弦,且|AF 2|＋|BF 2|＝8,其中F 2是椭圆地右焦点,则弦AB 地长是___．变式题6巩固43．假如椭圆地焦点坐标为()()121,0.1,0F F -,离心率为23,过1F 作直线交椭圆于,A B 两点,则2ABF ∆地周长为_________.变式题7巩固44离心率23e =地椭圆两焦点为1F ,2F ,过1F 作直线交椭圆于A ,B 两点,则2ABF 地周长为__________．变式题8巩固45．已知椭圆22:1167x y C +=地左焦点为,F A B 、是C 上有关原点对称地两点,且90AFB ∠=︒,则ABF 地周长为___________．变式题9提升46．点F 为椭圆22198x y +=地右焦点,M 在椭圆上运动,点()1,2P -,则MPF ∆周长地最大值为_________.变式题10提升47．已知椭圆2212516x y +=地左焦点为1F ,点P 是椭圆上异于顶点地任意一点,O 为坐标原点,若点M 是线段1PF 地中点,则1MOF ∆地周长为______.变式题11提升48．椭圆221167x y +=地左，右焦点分别为1F ，2F ,弦AB 过点1F ,若2ABF 地内切圆周长为π,A ,B 两点地坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则12y y -= ________．参考结果：1．-28【思路】()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭可化为()()88y x y x y x +-+,结合二项式展开式地通项公式求解.【详解】因为()()()8881=y y x y x y x y x x ⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭,所以()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭地展开式中含26x y 地项为6265352688C 28y x y C x y x y x -=-,()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭地展开式中26x y 地系数为-28故结果为：-282．2281-【思路】先求得513x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式地通项公式,再分别用81乘以513x ⎛⎫- ⎪⎝⎭地展开式中地常数项和1x 乘以513x ⎛⎫- ⎪⎝⎭地展开式中含x 地一次项地两种情况求解.【详解】513x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式地通项公式为()551551C 13C 3rr r r r r r r T x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,当81乘以513x ⎛⎫- ⎪⎝⎭时,令50r -=,解得=5r ,常数项为()555518113C 3-⨯-=-。

2022年高考浙江数学高考真题变式题16-18题原题161．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________． 变式题1基础2．已知点F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点，A 为直线:b l y x a=在第一象限内的点，过原点O 作OA 的垂线交FA 于点B ，且B 恰为线段AF 的中点，若ABO 的内切圆半径为2(2)4b ab a ->，则该双曲线的离心率大小为_________． 变式题2基础3．设1F ，2F 为双曲线C ：222116x ya -=（0a >）的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点，124PF PF -=，那么双曲线C 的离心率为______.变式题3基础4．已知直线24y x =-与双曲线222:1y C x b-=有且只有一个公共点，则C 的离心率等于________． 变式题4巩固5．已知F 为双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点，过点F 作C 的渐近线的垂线FD ，垂足为D ，且满足12FD OF =（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为______变式题5巩固6．已知双曲线22221x y a b-=，(),0a b >的左右焦点记为1F ，2F ，直线l 过2F 且与该双曲线的一条渐近线平行，记l 与双曲线的交点为P ，若所得12PF F △的内切圆半径恰为3b，则此双曲线的离心率为______． 变式题6巩固7．设12,F F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，B 为双曲线虚轴的下端点，P 为过点12,,F F B 的圆与双曲线C 的一个交点，且112PF F F ⊥，则双曲线的离心率为_________；8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点A 是C 左支上一点，点B 是C 渐近线上一点，O 为坐标原点．若1290,2F BO F B OA ∠==，则C 的离心率为_________． 变式题8提升9．已知点F 为抛物线28x y =的焦点，()0,2M -，点N 为抛物线上一动点，当NF NM最小时，点N 恰好在以,M F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为___________. 变式题9提升10．若点P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b -=>上任意一点，则P 满足性质：点P 到右焦点的距离与它到直线2a x c =的距离之比为离心率e ，若C 的右支上存在点Q ，使得Q 到左焦点的距离等于它到直线2a x c=的距离的6倍，则双曲线的离心率的取值范围是______．变式题10提升11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，分别过12,F F ，作斜率为2的直线交C 在x 轴上半平面部分于P ，Q 两点．记12,OPF OQF 面积分别为12,S S ，若213S S =，则双曲线C 的离心率为_____________． 变式题11提升 12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，A 是C 上一点，B 是C 的渐近线上一点，O 为坐标原点．若2FB AB =，0FB BO ⋅=，则双曲线C 的离心率为________． 原题1713．设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++的取值范围是_______． 变式题1基础14．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，若F 为正方形内（含边界）任意一点，则AE AF ⋅的最大值为______.15．已知在ABC 中，对任意的,||||t BA tBC AC ∈-R 恒成立，且10,:4:3,AB AC BC P ==为ABC 内切圆上的点，则PA PB ⋅的取值范围是________．变式题3基础16．在梯形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=︒，23AB CD ==，2AD =，若EF 在线段AB 上运动，且1EF =，则CE CF ⋅的最小值为_________． 变式题4巩固17．在ABC 中，4,5,6AB BC AC ===，点M 为ABC 三边上的动点，PQ 是ABC 外接圆的直径，则MP MQ ⋅的取值范围是_______________________ 变式题5巩固18．已知平面向量a ，b ，c ，d 满足1a b ==，2c =，0a b ⋅=，1c d -=，则2a b d ++的取值范围为______. 变式题6巩固19．已知非零向量a 、b 、c ，满足2a =，1b =，1a b ⋅=，若220c b c -⋅=，则c a-的取值范围是__________． 变式题7巩固20．设2a =，1b =，1a b ⋅=，12i c a -=（1,2i =），则1222c b c b λλ-+-（R λ∈）的最小值为___________. 变式题8提升21．已知同一平面内的单位向量1e ，2e ，3e ，则()()2123e e e e -⋅-的取值范围是________. 变式题9提升22．已知e 为单位向量，向量,a b 满足|2|23a b -≥，223a e b e -+-≤，若||2b =，则||a 的取值范围是_______． 变式题10提升23．已知平面向量a 、b 、c 满足0a b ⋅=，1c =，5a c b c -=-=，则1122a b c +-的取值范围为______． 变式题11提升24．已知平面向量,,a b c 满足：1a b a b -=⋅+，1a c ==，则3a b c -+的最小值为原题1825．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知34,cos 5a C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积． 变式题1基础26．在ABC 中，7,5b c ==，再从条件①､条件①这两个条件中选择一个作为已知，求： (1)B 的值； (2)ABC 的面积.条件①：sin2sin B B =；条件①：cos2cos B B =. 变式题2基础27．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 为BC 边上一点，2BD DC =，sin sin CD BAC BD C ⋅=⋅．(1)证明：2a c =；(2)若34cos ,B AD =ABC 的面积．变式题3基础28．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos 2a C c A +=，cos 1a B c =+．(1)求A ；(2)若D 为BC 上一点，AD AC ⊥，CD =ABC 的面积． 变式题4基础29．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知a b ==，52B A +=(1)求角A 的大小； (2)求ABC 的面积. 变式题5巩固30．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos sin c b A A -=. (1)求角B ；(2)若4,a b ==ABC 的面积. 变式题6巩固tan tan tan 0B C B C +=．(1)求角A 的大小；(2)若2BD DC =，2AD =，且AD 平分BAC ∠，求ABC 的面积． 变式题7巩固32．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知)cos cos c B b C -=.(1)求角B 的大小；(2)若点D 在BC 上，b =AD =π3ADC ∠=，求ABC 的面积. 变式题8巩固33．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，b =4,2cos 3.2c B C π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭(1)求B ；(2)若C 为锐角，求ABC 的面积． 变式题9提升34．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b =222sin sin sin sin sin A C B A C +=-．(1)求角B 的大小；(2)求ABC 的面积的最大值． 变式题10提升35．在 ABC 中，c = ABC 同时满足条件①、条件①、条件①、条件①这四个条件中的三个，请选择三个条件并解答下列问题: (1)求边 b ; (2)求 ABCS.条件① 5a b +=; 条件①sin B =条件①cos b B =; 条件①cos A =变式题11提升36．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin ,c A B c ==． (1)求A ；参考答案：1【分析】联立直线AB 和渐近线2:bl y x a=方程，可求出点B ，再根据||3||FB FA =可求得点A ，最后根据点A 在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过F 且斜率为4b a 的直线:()4b AB y x c a=+，渐近线2:bl y x a =， 联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率e =．2【分析】设,OA n OB m ==，根据点A 在渐近线by x a =上，点B 在直线a y x b=-上，求得,A B 的坐标，结合B 为线段AF 的中点，求得,2bm n a ==，利用内切圆半径的计算公式，求得2r OA OB =+2212b a =，根据离心率为c e a ==.【详解】如图所示，设,OA n OB m ==， 由题意知，点A 在渐近线by x a =上，点B 在直线a y x b=-上， 可得(,),(,)a b b aA n nB m m c c c c-，因为B 为线段AF 的中点，且(,0)F c -，所以22b a m n c c ca b m nc c ⎧-⋅=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得,2b m n a ==，所以,2bOA a OB ==，则AB ==因为ABO 的内切圆半径为24b a-，所以2r OA OB =+-2242b b a a ⨯=+- 化简得2212b a =，即2212b a=，所以离心率为c e a ===.3【分析】根据双曲线定义知2a =，再由双曲线参数关系求得c =. 【详解】由题意1224PF PF a -==，则2a =， 又222+=a b c，则c = 所以双曲线C的离心率为ce a==4【分析】由题意可得直线24y x =-与双曲线的一条渐近线平行，从而可求出b 的值，进而可求出双曲线的离心率【详解】双曲线222:1y C x b-=的渐近线方程为y bx ±=，1a =，因为直线24y x =-与双曲线222:1y C x b -=有且只有一个公共点，所以直线24y x =-与渐近线y bx =平行， 所以2b =，所以c = 所以双曲线的离心率为551c e a，5【分析】由题意得渐近线的倾斜角，从而得出其斜率ba的值，变形后可得离心率．【详解】由FD OD ⊥，12FD OF =得30FOD ∠=︒，所以tan 30b a =︒=所以c e a ==． 6．2【分析】先求出直线2PF 的方程()by x c a=-，与双曲线方程联立，求出点P 的坐标，根据三角形的面积和双曲线的定义表示出2||PF ，根据解三角形整理可得2220a ac c +-=，解得即可．【详解】解：由题意可知1(,0)F c -，2(,0)F c ， 设双曲线一条渐近线方程by x a=，则直线2PF 的方程()by x c a=-， 联立方程组2222()1b y x c ax y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 消去y 可得222cx a c =+，解得222a c x c+=，32b y ac-∴=， ∴点P 的坐标为223,22a c b cac ⎛⎫+- ⎪⎝⎭， 设1||PF m =，2||PF n =，由三角形的面积可得311(2)22322b b m n c c ac ⨯⨯++=⨯⨯，化简可得232b m n c a+=-①， 又2m n a -=①，由①①解得232b n a c a=--， 设直线2PF 的倾斜角为θ，过点P 作PA x ⊥轴，垂足为A ，则tan baθ=， sin b cθ∴=，在2Rt PAF ，322sin 32b ac b a c aθ=--，∴32232b b ac b ca c a=--，整理可得2220a ac c +-=，即220e e --=， 解得2e =，1e =-（舍去）． 故答案为：2． 7【分析】由112PF F F ⊥得2PF 为圆的直径，2(,)b P c a-，再由2PB BF ⊥得20PB BF ⋅=，求得a b =，即可求出离心率.【详解】如图，不妨设P 在第二象限，由112PF F F ⊥知2PF 即为圆的直径，连接2,PB BF ，易得2PB BF ⊥，将x c =-代入22221x y a b-=解得2b y a =±，则2(,)bP c a -，又2(0,),(,0)B b F c -，()23222,,0b b PB BF c b c b c b a a ⎛⎫⋅=--⋅=--= ⎪⎝⎭，即32b a a =，则a b =，离心率为c a =8【分析】先由190F BO∠=求出2,a abBc c⎛⎫--⎪⎝⎭，再由22F B OA=求出22,22a c abAc c⎛⎫+--⎪⎝⎭，再代入双曲线即可求出离心率.【详解】如图，不妨设B在第三象限，则B在by xa=上，1(,0)F c-，又190F BO∠=，则1F B b=，则OB a==，则B的纵坐标为abc-，代入by xa=得2axc=-，则2,a abBc c⎛⎫--⎪⎝⎭，由22F B OA=可得22F B OA=，2F B OA，又O为12F F中点，则A为1F B中点，则22,22a c abAc c⎛⎫+--⎪⎝⎭，又A在22221x ya b-=上，则()()22222222144a c aba cb c+-=，整理得222c a=，则离心率为ca=9．2+1##1+2【分析】设点2(,)8xN x，根据抛物线的定义表示出2028xNF=+，将NFNM用x表示，并逐步转化为一个基本不等式形式，从而求出取最小值时的点N的坐标，再根据双曲线的定义及离心率的公式求值.【详解】由题意可得，(0,2)F ，()0,2M -，抛物线的准线为2y =-，设点200(,)8x N x ，根据对称性，不妨设00x >，由抛物线的定义可知2028x NF =+，又NM所以22x NF NM+===≥，当且仅当04x =时，等号成立，此时(4,2)N ， 设以,M F 为焦点的双曲线方程为22221y x a b-=，则241)a NF NM =-=-=，即1)a =， 又24c MF ==，2c =，所以离心率1c e a ===.1.【点睛】关键点点睛：本题的关键是将NF NM的坐标表达式逐渐转化为一个可以用基本不等式求最值的式子，从而找出取最小值时的点N 的坐标. 10．(][)1,23,6⋃【分析】若Q 到2a x c=的距离为d 有60d ed ->，由题设有26a ca a c+≥-，结合双曲线离心率的性质，即可求离心率的范围.【详解】由题意，26a ca a c+≥-，即22261ac c e e ac a e ++=≥--，整理有2560e e -+≥， 所以3e ≥或2e ≤，若Q 到2a x c=的距离为d ，则Q 到左、右焦点的距离分别为6d 、ed ，又Q 在C 的右支上，所以60d ed ->，则6e <，又1e >，综上，双曲线的离心率的取值范围是(][)1,23,6⋃. 故答案为：(][)1,23,6⋃【点睛】关键点点睛：若Q 到2a x c=的距离为d ，根据给定性质有Q 到左、右焦点的距离分别为6d 、ed ，再由双曲线性质及已知条件列不等式组求离心率范围. 11【分析】根据213S S =得到213F Q F P =，结合双曲线的定义、余弦定理列方程，化简求得双曲线C 的离心率.【详解】依题意，12//PF QF ，12,OPF OQF 面积分别为12,S S ，且213S S =，由于1212,sin sin OF OF c PFO QF O ==∠=∠，所以213F Q F P =， 设()21330F Q F P m m ==>，由双曲线的定义可知212,23PF a m QF a m =+=+，由22sin tan 2cos sin cos 1π02θθθθθθ⎧==⎪⎪+=⎨⎪⎪<<⎩，可解得cos θ故12cos PFO QF O ∠=∠=在三角形12PF F 和三角形12QF F ，分别由余弦定理得 ()()22222224223294232m a m c m c m a m c m c ⎧+=+-⋅⋅⎪⎪⎨⎪+=++⋅⋅⎪⎩，整理得22223ma a c ma a c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得2c ma e a =⇒==.【点睛】求解双曲线与焦点三角形有关的问题，可结合双曲线的定义来进行考虑.求解双曲线的离心率，可利用直接法求得,a c 来求，也可以根据题意建立关于,a c 的方程，通过化简来求得离心率. 12【分析】设B 在b y x a =-上，由FB BO ⊥及勾股定理可得||BO a =，进而求得2(,)a abB c c-，利用向量的数量关系求A 的坐标，再由点在曲线上得到关于参数的齐次方程，即可求离心率.【详解】不妨假设B 在by x a=-上，由0FB BO ⋅=，即FB BO ⊥，在Rt △FBO 中||||FB bBO a=，若||FB bx =，则||BO ax =，且||OF c =， 所以222||||||FB BO OF +=，即2222()a b x c +=，而222+=a b c ，故1x =， 所以||BO a =，则2(,)a ab B c c -，又(,0)F c -，故2(,)a abFB c c c =-，若(,)A x y ，则2(,)a abAB x y c c=---，由2FB AB =，即222()2()a c c ab c a x c ab y c ---⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2222a c x cab y c ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由A 在双曲线上，222222222()144a c a b a c b c+-=，整理可得22e =，又1e >，所以e =【点睛】关键点点睛：根据向量数量积判断垂直关系，再利用勾股定理及点的位置求B 坐标，由向量线性关系求A 坐标，根据点在曲线上得到齐次方程. 13．[12+【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设(,)P x y ，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到()2222212888PA PA PA x y +++=++，然后利用cos 22.5||1OP ≤≤即可解出．【详解】以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示：则1345726(0,1),,(1,0),,(0,1),,(1,0)A A A A A A A ⎛-- ⎝⎭⎝⎭⎝⎭,8A ⎛ ⎝⎭，设(,)P x y ,于是()2222212888PA PA PA x y +++=++，因为cos 22.5||1OP ≤≤，所以221cos 4512x y +≤+≤，故222128PA PA PA +++的取值范围是[12+.故答案为：[12+． 14．32【分析】先设出点A 以及点F 的坐标，求出其它各点的坐标，并利用点的坐标表示出AE AF ⋅，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可. 【详解】解：如图建立平面直角坐标系，则点(0,0)A ，则1(1,0),(1,1),(0,1),1,2B C D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(,)F x y ，则0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，对应的平面区域如图：因为11,,(,)2AE AF x y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以12AE AF x y ⋅=+， 借助于图象得当12x y +过点(1,1)C 时取最大值，此时1322x y +=，故答案为：32.【点睛】本题主要考查向量在几何中的应用以及数形结合思想的应用和转化思想的应用，是对基础知识和基本思想的考查，属于基础题.15．[1616---+【解析】先由向量加法、减法的几何意义判断出ABC 的形状，再利用数量积的概念选择合适的计算方法，最后结合圆的有关知识计算出取值范围即可． 【详解】解：因为对任意的,||||t R BA tBC AC ∈-≥恒成立， 所以AC BC ⊥．又10,:4:3AB AC BC ==， 所以8AC =，6BC =．设ABC 内切圆的半径为r ，圆心为M ，则1()22BACrAB BC AC S AC BC ++==⋅， 所以2r =．以C 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则(0,0),(0,8),(6,0),(2,2)C A B M ， 设(,)P x y ，则2222(,8)(6,)68(3)(4)25PA PB x y x y x x y y x y ⋅=--⋅--=-+-=-+--，22(3)(4)x y -+-的几何意义为内切圆M 上的动点(,)P x y 与点(3,4)N 的距离的平方， 连接PN ，所以222(3)(4)||x y PN -+-=． 连接MN ，因为||2NM =>，2||2PN -≤≤，所以29||9PN ≤-≤+所以[1616PA PB ⋅∈---+，故答案为：[1616---+．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量加法、减法的几何意义，考查考生的数形结合能力、运算求解能力及分析问题、解决问题的能力． 16．154【分析】根据题意建立直角坐标系，把CE CF ⋅转化为()215=1+4CE CF t -，利用二次函数求最值即可.【详解】如图示，以A 为原点，AB 为x 轴正方向，AD 为y 轴正方向建立平面直角坐标系，则：、 ()()()30,0,3,0,,2,0,2,2A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭不妨设()()(),0,1,002E t F t t +≤≤则31,2,,2,22CE t CF t ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①()2313115,2,2=+4=1+22224CE CF t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-----⨯-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①CE CF ⋅的最小值为154，当且仅当1t =时取得. 故答案为：154【点睛】向量的基本运算处理的常用方法：(1)向量几何化：画出合适的图形，利用向量的运算法则处理； (2)向量坐标化：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算处理． 17．[]9,0-【解析】根据向量关系可得22MP MQ MO R ⋅=-，即判断22MO R -的取值范围即可，由图可知MO 的最大值为R 【详解】设外接圆的圆心为O ，半径为R ，可得()()MP MQ MO OP MO OQ ⋅=+⋅+ ()2MO MO OP OQ OP OQ =+⋅++⋅ 22MO R =-，M 为ABC 三边上的动点，可知MO 的最大值为O 到三角形顶点的距离，即为半径R ，且MO 的最小值为O 到AC 边的距离，过O 作0OM AC ⊥，垂足为0M ，则0OM =∴MP MQ ⋅的最大值为220R R -=，最小值为2222099OM R R R -==--=-，故MP MQ ⋅的取值范围是[]9,0-. 故答案为：[]9,0-.【点睛】关键点睛：本题考查数量积的取值范围，解题的关键是利用向量关系整理出22MP MQ MO R ⋅=-，从而转化为22MO R -的取值范围.18．3⎡⎤⎣⎦【解析】用几何意义求解．不妨设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，则(,)C x y 在圆心在原点，半径为2的圆上，设(),d x y '='，则(,)D x y ''在以C 为圆心半径为1的圆上，C 运动后，D 形成的轨迹是圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环，2a b d ++表示圆环内的点D 与定点()2,1P --的距离，由图形可得最大值和最小值．【详解】令()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，设C 的坐标为(),x y ，C 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆上.设(),d x y '='，D 的坐标为(),x y ''，D 的轨迹为圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环上.()22,1a b d d ++=---表示D 与点()2,1P --的距离，由图可知，故2a b d ++的取值范围为3⎡⎤⎣⎦.故答案为：3⎡⎤⎣⎦【点睛】本题考查向量模的几何意义，考查模的最值，解题关键是设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，(),d x y '='，固定,a b 后得出了,C D 的轨迹，然后由模2a b d ++的几何意义得出最值．19．1⎤⎦【分析】利用平面向量数量积可得出c b -、b a -，再利用平面向量模的三角不等式可求得c a -的取值范围.【详解】220c b c -⋅=且1b =，则2221c b c b -⋅+=，可得1c b -=，由已知可得()22223b a b a b a b a -=-=-⋅+=，因为()()c a c b b a -=-+-，由三角不等式可得c b b a c a c b b a ---≤-≤-+-，即131c a ≤-≤+.故答案为：1⎤⎦.2032【分析】设OA a =，OB b =，11OC c =，22OC c =，可得45AOB ∠=，1C ､2C 是以A 为圆心，以12为半径的圆上的动点，设2c a d -=，2a OD =，22c OE =，2b OP λ=，则E 在以D 为圆心，以1为半径的圆上，所求的即为 113||2PC PE PC PE AD ''+=+≥-即可求解.【详解】设OA a =，OB b =，11OC c =，22OC c =，则2OA =1OB =，1cos 21a b AOB a b⋅∠===⨯⋅ 因为0180AOB ≤∠<，所以45AOB ∠=， 因为12i c a -=，所以1C ､2C 是以A 为圆心，以12为半径的圆上的动点， 设2c a d -=，12d =，则2c a d =+，2222c a d =+， 设2a OD =，22c OE =，则E 在以D 为圆心，以1为半径的圆上， 设2b OP λ=，则11222c b c PC PE b λλ-+-=+133||22PC PE AD ''=+≥-=，32.21．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】可设2(1,0)e =，1(cos ,sin )e αα=， 3(cos ,sin )e ββ=，转化为坐标运算，再化简转化成三角函数与二次函数复合而成的复合函数的值域问题. 【详解】设2(1,0)e =，1(cos ,sin )e αα=， 3(cos ,sin )e ββ=， 则()()2123e e e e -⋅-(1cos ,sin )(1cos ,sin )ααββ=--⋅-- 1cos cos cos cos sin sin αβαβαβ=--++ 1cos()(cos cos )αβαβ=+--+1cos 2()[cos()cos()]22222αβαβαβαβαβ-+-+-=+-++-22cos 2coscos222αβαβαβ-+-=-由令t =cos[1,1]2αβ-∈-，则y =()()2123e e e e -⋅-222cos 2t t αβ+=-，[1,1]t ∈-函数开口向上，对称轴为01cos22t αβ+=-11[,]22∈- 故当cos 12t αβ-==，cos12αβ+=-或cos12t αβ-==-，cos12αβ+=时，max 4y =；当cos12αβ+=，1cos22t αβ-==或cos 12αβ+=-，1cos 22t αβ-==-时， min 12y =-，故1[,4]2y ∈-.故答案为：1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了向量的坐标运算，求三角函数与二次函数复合而成的复合函数的值域问题，还考查了学生分生思维能力，运算能力，难度较大.22．1,1⎤⎦【分析】根据向量的三角不等式确定出2a b -的值以及2a e -与b e -的方向之间的关系，然后作出向量的图示，根据向量的三角不等式求解出a 的最小值，再结合余弦定理以及基本不等式求解出a 的最大值，由此可求a 的取值范围.【详解】因为()()222a e b e a e b e a b -+-≥---=-，且223a b -≥，223a e b e -+-≤，所以2223a e b e a b -+-=-=，且2a e -与b e -反向， 设2a 对应向量OA ，b 对应向量为OB ，所以e 对应向量为OC ， 由2a e -与b e -反向可知：C 在线段AB 中间某点处，如下图所示：因为OA BA BO =-，所以232OA BA BO BA BO =-≥-=，所以2232a ≥-，所以31a ≥-，取等号时,BA BO 同向，即O 在线段AB 上，当O 不在线段AB 上时，因为222=2cos 16OA OB AB OB AB B B +-=-，又因为22223131cos 2444OB BC OC BC B BC OB BC BC BC +-+⎛⎫===+≥⋅= ⎪⋅⎝⎭取等号时BC =，即C 为AB 中点，所以2164OA ≤-=，所以2OA ≤，所以22a ≤，即1a ≤， 综上可知：31,1a ⎡⎤∈-⎣⎦.故答案为：1,1⎤⎦.【点睛】结论点睛：向量的三角不等式如下： （1）a b a b a b -≤+≤+；当且仅当,a b 反向时，左边取等号，当且仅当,a b 同向时，右边取等号； （2）a b a b a b -≤-≤+；当且仅当,a b 同向时，左边取等号，当且仅当,a b 反向时，右边取等号. 23．[]3,4【分析】设()1,0c =，11,ax y ，()22,b x y =，作OA a =，OB b =，OC c =，则()1,0C，求出线段AB 的中点M 的轨迹方程为2214924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，可得出1122a b c CM +-=，设点1,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，由CM DM DC =-结合向量模的三角不等式可求得1122a b c +-的取值范围.【详解】如图，设()1,0c =，11,ax y ，()22,b x y =，作OA a =，OB b =，OC c =，则()1,0C ，则()22211125a c x y -=-+=，()22222125b c x y -=-+=，12120a b x x y y ，令()()1,2OM a b x y =+=，即()1212,,22x x y y x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()()22222222221212112212122211222444x x y y x y x y x x y y x y x y x y ++++++++++++===()()()222211221211224481244x y x y x x x x ⎡⎤⎡⎤-++-+++-+⎣⎦⎣⎦===+，整理得2214924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故点M 的轨迹方程为2214924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，1122a b c OM OC CM +-=-=，设点1,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆D 的方程为2214924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，半径为92r =，因为CM DM DC =-，且72DM =，12DC =， 所以，3CM DM DC DM DC =-≥-=，4CM DM DC DM DC =-≤+=. 即34CM ≤≤，即113422a b c ≤+-≤. 故1122a b c +-的取值范围是[]3,4. 故答案为：[]3,4.【点睛】关键点点睛：本题考查向量模的最值的求解，对于较为复杂的题型，可以考虑将向量特殊化、坐标化来处理，利用解析法结合平面几何的相关知识、向量模的三角不等式来求解.24．1##1-+【分析】建立平面直角坐标系，设()=1,0OA a =，()=,OB b x y =，求出B 的轨迹方程，再根据3a b c -+的几何意义求其最小值.【详解】如图，在平面直角坐标系中，设()=1,0OA a =，()=,OB b x y =，则A (1，0)，B (x ，y )，则()1,a b x y -=--，21(14a b a b x x y x -=⋅+⇒=+⇒=，即B 的轨迹为抛物线：24y x =.设0()3,'A ，则3a OA '=，3a b -＝BA '，设c A C '=，①1c =，故C 的轨迹是以A '为圆心，半径为1的圆，①3a b c BC -+=，可看作抛物线上任意点B 到以0()3,'A 为圆心，半径为1的圆上任一点C 的距离，则11BC BA '≥-111=≥，当1x =时取等号.故3a b c -+的最小值为1.故答案为：1.25． (2)22．【分析】（1）先由平方关系求出sin C ，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论222cos 2a b c C ab+-=以及4a =可解出a ，即可由三角形面积公式in 12s S ab C =求出面积． （1）由于3cos 5C =， 0πC <<，则4sin 5C =．因为4a =，由正弦定理知4sin A C =，则sin A C ==（2）因为4a =，由余弦定理，得2222221612111355cos 22225a a a abc C ab a a +--+-====， 即26550a a +-=，解得5a =，而4sin 5C =，11b =， 所以ABC 的面积114sin 51122225S ab C ==⨯⨯⨯=．26．(1)若选择条件①，3B π=；若选择条件①，23B π=(2)若选择条件①，ABC的面积①，ABC【分析】（1）若选择条件①，根据二倍角正弦公式，化简整理，可得B ；若选择条件①，根据二倍角的余弦公式，化简整理，可得B .（2）若选择条件①，根据余弦定理，可求得a 值，代入面积公式，即可得答案；若选择条件①，根据余弦定理，可求得a 值，代入面积公式，即可得答案； （1）若选择条件①，则sin 22sin cos sin B B B B ==， 因为(0,)B π∈，所以sin 0B ≠， 所以1cos 2B =，则3B π=.若选择条件①，则2cos22cos 1cos B B B =-=， 所以cos 1B =或12-，因为(0,)B π∈，所以1cos 2B =-，则23B π=. （2）若选择条件①，则3B π=，所以222225491cos 2252a cb a B ac a +-+-===⨯⨯，所以8a =或-3（舍）， 所以ABC的面积11sin 8522S ac B ==⨯⨯= 若选择条件①，则23B π=， 所以222225491cos 2252a cb a B ac a +-+-===-⨯⨯，所以3a =或-8（舍）， 所以ABC的面积11sin 3522S ac B ==⨯⨯=27．(1)证明见解析【分析】（1）根据正弦定理角化边可证结论成立；（2）在三角形ABD 中，根据余弦定理求出3c =，再根据三角形面积公式可求出结果. （1）由2BD DC =，sin sin CD BAC BD C ⋅=⋅， 得sin 2sin BAC BDC DC==，由正弦定理得2ac=，即2a c =. （2）224333BD BC a c ===， 在三角形ABD 中，22473cos 423c c B c c ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⋅⋅34=，解得3c =，又sin B === 所以ABC的面积为11sin 6322ac B =⨯⨯=28．(1)23A π=；(2)3【分析】（1）利用余弦定理的边角关系可得2b =且22212a c b c c+-=+，应用余弦定理求cos A ，即可得结果.（2）由题设知45ACD ∠=︒，过B 作BE CA ⊥于E ，设BC =(2x >)，应用余弦定理求BC ，最后由三角形面积公式求面积. （1）由题设，222222222a b c b c a b b b +-+-+==，又222cos 12a c b a B c c+-==+，所以2222a c b c bc --==，而2221cos 22b c a A bc +-==-，0A π<<， 所以23A π=. （2）由（1）知：2b AC ==，而AD AC ⊥，CD =所以在Rt △ADC 中45ACD ∠=︒，又120A =︒，则15ABC ∠=︒，过B 作BE CA ⊥于E ，则BC ==(2x >)且60EAB ∠=︒，所以BE x ==，故2AB EA ==， 在①ABC 中2222cos45AC BC AC BC AB +-⋅︒=，所以2244243x x x +-=，则2660x x -+=，可得3x =BC =则1sin 32ABCSAC BC C =⋅⋅=. 29．(1)3π【分析】（1）由正弦定理可得sin B =sin A ，即可求出A ； （2）由（1）可得B ，再根据()sin sin C A B =+利用两角和的正弦公式求出sin C ，最后根据面积公式计算可得； （1）解：由正弦定理sin sin a b A B =，又a b ===所以sin B =52B A =52A =，即sin A =，又02A π<<，所以3A π=；（2）解：由（1）可得sin2B =，又02B π<<，所以4B π=，所以()sin sin sin 34C A B ππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭sin coscossin3434ππππ=+12==，所以11sin 22ABCS ab C ===30．(1)6π(2)【分析】（1）利用正弦定理化简得到sin cos sin A B B A =，求得tan B =（2）由余弦定理列出方程求得c =. （1）解：因为cos sin c b A A -=，由正弦定理，可得sin sin cos sin C B A B A -=，即sin cos cos sin sin cos sin A B A B B A B A +-=，化简得sin cos sin A B B A =，因为(0,)A π∈，可得sin 0A ≠，所以tan B =因为()0,B π∈，所以6B π=.（2）解：因为4,a b ==6B π=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得231168c c =+-即2150c --=，解得c =c =，故ABC 的面积为111sin 4222ac B =⨯⨯=31．(1)60A =︒【分析】（1）由两角和的正切公式化简后求解（2）由AD 是角平分线得到2c b =，再利用面积公式求解 （1）tan tantan tan tan 0tan()1tan tan B CB C B C B C B C++⇒+==-故tan A =60A =︒； （2）设BC 边的高为h ， 所以11sin 22ABDSAB AD BAD BD h =⨯∠=⨯，11sin 22ABCS AC AD DAC CD h =⨯∠=⨯ 又AD 是角平分线，所以BAD DAC ∠=∠ 所以AB BDAC DC=，即2c b =， 又ABCABD ACDSSS=+，则111sin 602sin 302sin 30222bc c b ︒=⋅⋅︒+⋅⋅︒，解得b =c =，1sin 602ABC S bc =︒=△32．(1)π4B =(2)3+【分析】（1cos sin cos sin cos A B C B B C -=，由()sin sin A B C =+，化简可求得cos B =，可求出B ；（2）在ABD △中，由正弦定理可得求出c 边长，在ACD △中，由正弦定理可得sin 1sin 2AD ADC C b ∠==，再利用()sin sin A B C =+可得sin A ，由面积公式1sin 2bc A 即可求出结果.（1）因为)cos cos c B b C -=，cos sin cos sin cos A B C B B C -=，()cos sin cos sin cos sin A B B C C B B C =+=+.因为πA B C ++=，所以()sin sin A B C =+，1B =，即cos B =. 因为0πB <<，所以π4B =. （2） 因为π3ADC ∠=，所以2π3ADB ∠=.在ABD △中，由正弦定理可得sin sin AD c B ADB =∠，则sin sin AD ADB c B ∠== 在ACD △中，由正弦定理可得sin sin AD b C ADC =∠，则sin 1sin 2AD ADC C b ∠==. 因为π3ADC ∠=，所以2π03C <<，所以π6C =.因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=则ABC 的面积为1sin 32bc A =+ 33．(1)6B π=；(2)【分析】（14sin C B =，与条件2cos 32B C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭联立可求B .（2）由余弦定理求a ，再根据三角形面积公式求ABC 的面积．（1）由正弦定理，可得sin sin b C c B =，又b =4c =4sin C B =，因为2cos 2sin 2B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2cos 2sin 4sin 6sin 32B C B B B π⎛⎫-+=+== ⎪⎝⎭， 所以1sin 2B =． 在ABC 中，因为b c <，所以B C <，所以B 为锐角， 故6B π=．（2）由（1），得sinC因为C 为锐角，所以cos C由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，可得290a --=，解得a =a =所以ABC 的面积为11sin 22S ab C ==⨯= 34．(1)2π3B =【分析】（1）用正弦定理角化边，再用余弦定理即可求解；（2）利用基本不等式求出ac 的最大值，再用面积公式即可.（1）由正弦定理得222a c b ac +-=-，由余弦定理得2221cos 22a c b B ac +-∠==- ， ()0,B π∠∈ ，①2π3B ∠=； （2）因为2222cos b a c ac B =+-∠ ，223ac ac ac ≥+=，当且仅当a c =时，等号成立，所以4ac ≤，所以11sin 422ABC S ac B =∠≤⨯=，所以ABC 综上，2π3B ∠= ，ABC 35．(1)答案见解析；(2)答案见解析；【分析】(1)选①①①，由①结合同角关系可求cos B ,由①可求b ，选①①①，由①结合同角关系可求cos B ,由①可求b ，选①①①，由①结合同角关系可求sin A ,根据正弦定理可求b ；选①①①，由余弦定理可将条件cos b B =化为边的关系，解方程可求b ；(2) 选①①①，由条件先求a ,利用三角形面积公式可求ABC 的面积，选①①①，由正弦定理求a ，利用三角形面积公式可求ABC 的面积，选①①①，由条件①求a ,利用三角形面积公式可求ABC 的面积，选①①①，由条件①求a ,利用三角形面积公式可求ABC 的面积.（1）选①①①，因为sin B =cos b B =，所以cos B ==1b =，选①①①，因为sin B =cos b B =，所以cos B ==1b =，选①①①，因为cos A =可得sin A =由正弦定理可得sin sin a b A B =，所以a b =， 所以32a b =，又5a b +=，所以2b =，选①①①，因为cos b B =，又222cos 2a c b B ac +-=所以()2222b a c b +-=c = 所以()2278b a b a +-=，又5a b +=，所以2,3b a ==（2）选①①①，由(1) 1b =，又5a b +=，所以4a =，所以11=sin 422ABC S ac B =⨯选①①①，由cos A =sin A =由正弦定理可得sin sin a b A B =，又1b =，sin 7B = 所以32a =，所以113=sin 222ABC S ac B =⨯， 选①①①，由(1)2b =，因为5a b +=，所以3a =，所以11=sin 322ABC S ac B =⨯， 选①①①，由(1) 2b =，因为5a b +=，所以3a =，所以cos B =sin B =所以11=sin 322ABC S ac B =⨯， 36．(1)π4A =； (2)92.【分析】（1）根据给定条件，再利用正弦定理边化角，借助同角公式计算作答. （2）利用余弦定理求出b ，再利用三角形面积公式计算作答.（1）在ABC 中，由cos sin ,c A B c ==得：cos sin b A a B =，由正弦定理得sin cos sin sin B A A B =，而0πB <<，即sin 0B >，则tan 1B =，又0πA <<, 所以π4A =.（2）依题意，13AD AB ==，在ACD △中，由余弦定理得：2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅，即222255299b b b b =+-=，解得3b =，所以ABC 的面积21π9sin sin 242ABC S bc A ===.。

2022高考数学浙江卷真题（答案）高考不是成功的唯一出路，但是高考却是你人生中很重要的经历。

今年的高考结束了，你们知道高考数学浙江卷真题是怎么样的吗?以下是小编为大家带来的2022高考数学浙江卷真题(答案)，希望您能喜欢!2022高考数学浙江卷真题(答案)2022年高考数学浙江卷真题(答案)还未公布，后续将继续更新，敬请关注及收藏!高考后女生可以做什么1、谨慎填报志愿选择志愿的重要性不亚于高考，因为志愿的选择决定着我们的职业规划，间接的决定着我们以后的发展，所以填报志愿是非常重要的，我们在这段时间里要好好考虑我们的兴趣和志向，填好志愿。

2、做做家务你已经是一个成年人了，独立自强，学会自理是你必须要学会的。

不然日后你自己去大学让父母如何放心。

同时这也是增进与父母交流的一种方式。

考完了不要总觉得自己才是需要别人照顾的人，不要总觉得是如何有功，必须要别人来照顾。

其实你该好好照顾照顾家了，你不是一个不懂事的孩子了。

3、锻炼身体高考压力之下，很多同学有意无意地忽视了身体的锻炼，或体形发胖，或身体虚弱，这个时候，根据自己的喜好选择适合的健身项目不仅有益，而且必须。

或者选择早晚慢跑，或者选有一些球类运动，篮球、足球、羽毛球、乒乓球、网球。

或者学习游泳、跆拳道、散打。

你至少得会1-2样并且能把它当做乐趣，不仅对你身体锻炼有益，甚至是大学交友，体育课都会非常有帮助。

4、在家陪陪父母无论什么时候，父母都是我们最坚实的后盾，我们在学校读书很辛苦，父母在工作之余还要照顾我们的生活，比我们更加辛苦，高考结束这段时间，我们可以在家陪父母聊聊天，帮助父母分担一些家务，是时候让父母知道我们已经长大了，可以替他们分担生活上的重任了。

高考结束后家长该做什么1.首先要淡定对考生而言，成绩出来后最难过的一关是家长关，尤其是对考砸了、“发挥失常”的考生，家长的反应与态度十分重要。

有时候，家长的咒骂、责备，都可能让孩子那本已难受至极的心痛上加痛，生出自暴自弃的念头来。

2022年浙江高考数学试卷及答案解析为了帮助大家全面了解2022年浙江高考数学卷，了解它的难易程度如何，以下是小编整理的2022年浙江高考数学试卷及答案解析参考，欢迎大家借鉴与参考!2022年浙江高考数学试卷及答案解析截止目前，2022年浙江高考数学试卷还未出炉，待高考结束后，小编会第一时间更新2022年浙江高考数学试卷，供大家对照、估分、模拟使用。

数学选择题解题策略(1)注意审题。

把题目多读几遍，弄清这个题目求什么，已知什么，求、知之间有什么关系，把题目搞清楚了再动手答题。

(2)答题顺序不一定按题号进行。

可先从自己熟悉的题目答起，从有把握的题目入手，使自己尽快进入到解题状态，产生解题的激情和欲望，再解答陌生或不太熟悉的题目。

若有时间，再去拼那些把握不大或无从下手的题。

这样也许能超水平发挥。

(3)挖掘隐含条件，注意易错易混点，例如集合中的空集、函数的定义域、应用性问题的限制条件等。

(4)方法多样，不择手段。

高考试题凸现能力，小题要小做，注意巧解，善于使用数形结合、特值(含特殊值、特殊位置、特殊图形)、排除、验证、转化、分析、估算、极限等方法，一旦思路清晰，就迅速作答。

不要在一两个小题上纠缠，杜绝小题大做，如果确实没有思路，也要坚定信心，“题可以不会，但是要做对”，即使是“蒙”也有25%的胜率。

高考填报志愿有哪些技巧吗先弄清自己可以填几个志愿无论是批次合并还是取消批次，都会对考生高考志愿填报产生一定影响，而志愿设置等变化更为明显。

以河南和北京本科二批、三批合并为例。

河南省之前本科二、三批次都可填报1-6所高校志愿，2017年本科二、三批合并后，二批可填报1-9所高校志愿，每个学校志愿可填1-5个专业和是否同意调剂专业。

北京市本科二批志愿设置也有所增加，今年本科二批可填报10所平行志愿高校，每所志愿高校设置6个志愿专业及是否服从院校专业调剂。

批次合并后，本科二批志愿院校数量增加，考生可选择的院校、专业也相应增加。

2022年全国高考甲卷数学（理）试题变式题13-16题原题131．设向量a ,b 地夹角地余弦值为13,且1a = ,3b =r ,则()2a b b +⋅= _________．变式题1基础2．设,a b 为单位向量,且,a b 地夹角为23π,则()·a b b +v v v 地值为_________.变式题2基础3．已知向量12a e e =+ ,123b e e =- 其中1e ,2e 为单位向量,向量1e ,2e 地夹角为120°,则a b ⋅=___________.变式题3基础4．若a c ⊥ ,b 与a ､c地夹角都是60°,且1a b ==r r ,2c = ,则()()232a c b c -⋅-= ___________.变式题4基础5．已知向量a 与b 地夹角是60︒,且||1,||2a b ==,则()a a b ⋅+= ________．变式题5巩固6．已知向量a ,b 满足1a = ,a - ,若23a b π⋅= ,则⋅=a b ___________.变式题6巩固7．已知||2a →=,||1b →=,,60a b →→<>=︒,则|2|a b →→-=________．变式题7巩固8．已知向量a 与b地夹角为60︒,且12a ⎛=⎝ ,|2|a b -= 则||b = ________．变式题8提升9．已知a b c ，，为单位向量,且满足370a b c λ++=,a 与b 地夹角为3π,则实数λ=_______________.变式题9提升10．已知1e →，2e →是两个单位向量,它们地夹角是60︒,设12122,32ae e b e e →→→→→→=+=-+,则向量a →与b →地夹角大小是__________．变式题9提升11．已知向量a 和b 地夹角为150°,2b += ,则b 在a上地投影为___________.原题1412．若双曲线2221(0)x y m m-=>地渐近线与圆22430x y y +-+=相切,则m =_________．变式题1基础13．若双曲线2221(0)y x b b-=>地渐近线与圆()2223x y -+=相切,则b =___________.变式题2基础14．在平面直角坐标系xOy 中,双曲线C ：()222210,0y x a b a b-=>>地一款渐近线与圆()()22211x y -+-=相切,则b a =______．变式题3基础15．若双曲线()222103x y a a-=>地一款渐近线被圆()2224x y -+=所截得地弦长为2,则该双曲线地实轴长为______.变式题4巩固16．（理）已知双曲线2221(0)y x m m-=>地渐近线与圆22(2)1x y ++=没有公共点, 则该双曲线地焦距地取值范围为_____.变式题5巩固17．已知双曲线C ：2221(0)y x b b-=>,圆M ：22(3)1x y +-=与C 地一款渐近线相切于点P（P 位于第二象限）．若PM 所在直线与双曲线地另一款渐近线交于点S ,与x 轴交于点T ,则ST 长度为________．变式题6巩固18．已知双曲线C ：22221()00a x y a bb >-=>，地斜率为正地渐近线为l ,若曲线E ：()22x -＋2y ＝4上恰有不同3点到l 地距离为1,则双曲线C 地离心率是______．变式题7巩固19．已知圆22240x y x y +-+=有关双曲线C ：()221021x y m m m -=>+地一款渐近线对称,则m =_________.变式题8提升20．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>地左，右焦点分别为1F ,2F ,点M 在C 地渐近线上,且12MF MF ⊥,122MF b MF =+,则22b a =______.变式题9提升21．已知1F ,2F 分别是双曲线C ：22221x y a b -=（0a >,0b >）地左，右焦点,过1F 地直线l 与圆222x y a +=相切,且与双曲线地两渐近线分别交于点A ,B ,若()220F A F B AB +⋅=u u u r u u u r u u u r,则该双曲线C 地离心率为______.变式题10提升22．设直线()20y x t t =+≠与双曲线()2222100x y a b a b -=>>，两款渐近线分别交于点A ,B ,若点()40P t ，满足PA PB =,则该双曲线地渐近线方程是_______．原题1523．从正方体地8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面地概率为________．变式题1基础24．在正六棱柱地所有棱中任取两款,则它们直线是互相垂直地异面直线地概率为______（结果用数字表示）．变式题2基础25．若从正六边形地6个顶点中随机选出3个点,以选出地这3个点为顶点构成直角三角形地概率为__________．变式题3基础26．阿基米德多面体（Archimedeanpolyhedra ）是由两种或三种正多边形面组成地半正多面体.它共有13种,其特点是棱长相等.如图1,顺次连接棱长为2地正方体各棱地中点,得到一个阿基米德多面体,如图2,在此阿基米德多面体地所有棱中任取两款,则两款棱垂直地概率为___________.变式题4巩固27．如图,在平面直角坐标系xOy 中,O 为正八边形128A A A 地中心,1(1,0)A .任取不同地两点(,,{1,2,3,,8}),i j i j i j A A ≠∈ ,点P 满足0i j OA OP OA ++=,则点P 落在第一象限地概率是_____________.变式题5巩固28．从下图12个点中任取三个点则所取地三个点能构成三角形地概率为________．变式题6巩固29．住在同一个小区地三位同学在暑假里报名参加小区地志愿者服务,该小区共有四个志愿者服务点,若随机分配,则两位同学刚好分到同一个志愿者服务点地概率是 _______变式题7巩固30．我国古代认为构成宇宙万物地基本要素是金，木，水，火，土这五种物质,称为“五行”.古人构建了金生水，水生木，木生火，火生土，土生金地相生理论,随机任取“两行”,则取出地“两行”相生地概率是_______变式题8提升31．一个正方体,它地表面涂满了红色,把它切割成27个完全相等地小正方体,从中任取2个,其中1个恰有一面涂有红色,另1个恰有两面涂有红色地概率为 变式题9提升32．如图,在33⨯地点阵中,依次随机地选出A ，B ，C 三个点,则选出地三点满足0AB AC ⋅<地概率是______．变式题10提升33．在平面直角坐标系xOy 中,点集{(,){1,2},{1,2,3,4}}K x y x y =∈∈．从K 中随机取出五个点,则其中有四点共线或四点共圆地概率为____________．原题1634．已知ABC 中,点D 在边BC 上,120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB得到最小值时,BD =________．变式题1基础35．在ABC ∆中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若2224b c a +=,则cos A 地最小值为__________.变式题2基础36．已知ABC 地内角A B C ，，地对边分别为a b c ，，,若2b c a +=且6a =,则ABC 面积地最大值为__________.变式题3基础37．已知ABC 地面积为2,30BAC ∠= ,则边长BC 地最小值为__________.变式题4巩固38．在ABC 中,内角A ，B ，C 地对边分别为a ，b ，c ,3A π=,3a =,且2BC BD =,则AD 地最大值为___________.变式题5巩固39．如图所示,在平面四边形ABCD 中,已知232, 4,,cos 34AD CD D B π====,则AB BC ⋅地最大值为_______．变式题6巩固40．2022年3月,中共中央办公厅，国务院办公厅印发了《有关构建更高水平地全民健身公共服务体系地意见》,再次强调持续推进体育公园建设．如图,某市拟建造一个扇形体育公园,其中π3AOB ∠=,2OA OB ==千米．现需要在OA ,OB , AB 上分别取一点D ,E ,F ,建造三款健走长廊DE ,DF ,EF ,若DF OA ⊥,EF OB ⊥,则DE EF FD ++地最大值为______千米．变式题7巩固41．在ABC 中,角A ,B ,C 地对边分别为a ,b ,c ,且2224a b c +=,则tan B 地最大值为______．变式题8提升42．设ABC ∆地内角、、A B C 所对地边a b c 、、成等比数列,则b aa b +地取值范围为__________．变式题9提升43．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 设 ABC ∆ 地内角 A 满足()2f A = ,且 AB AC ⋅= ,则 BC 边上地高 AD 长地最大值是________.变式题10提升44．在ABC 中,角A ,B ,C 所对地边分别为a ,b ,c ,D 是AB 地中点,若1CD =,且()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭,则当ab 取最大值时ABC 地周长为_________．。