高中数学新教材变式题：《圆锥曲线与方程》(命题人：广州市教育局教研室曾辛金)

2.3.2抛物线的几何性质
1、记住抛物线的几何性质，会根据抛物线的几何性质确定抛物线的位置及基本量p ；
2.会简单应用抛物线的几何性质
◇问题引导，自我探究◇
抛物线的几何性质列表如下
标准方程
22(0)y px
p => 22(0)y px
p =-> 22(0)
x py
p => 22(0)x py p =->
图形
焦点坐标
准线方程
范围
对称性
顶点
离心率
◇自学测试◇
1、___抛物线上的点M 到焦点的距离和他到准线的距离之比________叫做抛物线的离心率抛物线的离心率是 1
2 求适合下列条件的抛物线的标准方程
（1）顶点在原点，关于x 轴对称，并且经过点M(5,-4)
(2) 顶点在原点,焦点是F(0,5)
(3)焦点是F(0,-8),准线是y=8
（选做题）
3 、设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则FA FB FC ++=（ ）
A ．9
B ．6
C ．4
D ．3 4、已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点11
1222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+， 则有（ ）
Ａ．123FP FP FP +=
Ｂ．222123FP FP FP += Ｃ．2132FP FP FP =+ Ｄ．2213FP FP FP =·。

广州市2011届高三数学圆锥曲线练习题（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1椭圆错误！未找到引用源。

上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A ．5 B ．6 C ．4 D ．102双曲线1422=-y x 的焦点坐标为（ )A ．)0,3(±B ．)3,0(±C ．)0,5(±D ．)5,0(±3抛物线24y x =的准线方程是( )A .1y =B .1y =- C.116y = D. 116y =-4若R k ∈，则3>k 是方程22133x y k -=-表示双曲线的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要条件D ．既不充分也不必要5双曲线22221x y b a-=的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．236抛物线212y x =的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形面积等于A 7过抛物线24y x =的焦点的直线l 交抛物线于11(,)P x y 、22(,)Q x y 两点，如果126x x +=，则PQ = ( ) A ．9B ．8C ．7D ．68以椭圆2212449x y +=的焦点为顶点、顶点为焦点的的双曲线方程是( )A.2212524x y -=B. 2212425x y -=C. 2212524y x -=D. 2212425y x -=9如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122;a c a c +=+②1122;a c a c -=-③1212;c a a c >④1212.c c a a < 其中正确式子的序号是（ ）A ．①③B ．②③ C．①④ D．②④ 10竖在地面上的两根旗杆的高分别为10米和15米，相距20米，则地面上到两旗杆顶点的仰角相等的点的轨迹是（ ）A ． 圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．11已知双曲线112222=-y ax 的离心率2e = ，则双曲线的焦距为12以双曲线2213y x -=的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是___________ 13椭圆221259x y +=上一点M 到左焦点1F 的距离是2，N 是1MF 的中点，O 为坐标原点，则ON = .14设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F ,且和y 轴交于点A ,若OAF ∆(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为____________三、解答题:本大题共6小题，共80分。

年高考数学广东卷解析几何题的解题分析
曾辛金
【期刊名称】《中国数学教育（高中版）》
【年(卷),期】2015(000)001
【摘要】解析几何是高考考查的重点内容之一，是考查学生运算求解能力、推理
论证能力和数形结合思想的重要素材。

“圆锥曲线与方程”内容的考查主要聚焦于直线与圆锥曲线的位置关系，即以此为背景，考查解析几何的基础知识、基本技能、基本数学思想和能力。

对2014年高考数学广东卷一道解析几何题从四个不同角度进行解题分析，并对试题予以推广。

【总页数】5页(P98-102)
【作者】曾辛金
【作者单位】广东省广州市教育研究院
【正文语种】中文
【相关文献】
1.夯实基础培养能力优化素质——基于2010年高考数学广东卷试卷特点的备考建议 [J], 肖凌戆;朱志雄
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干建议 [J], 李兴怀
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高中教材变式题9：圆锥曲线与方程命题人：广州市教育局教研室 曾辛金1．〔人教A 版选修1－1，2－1第39页例2〕如图，在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作X 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？变式1：设点P 是圆224x y +=上的任一点，定点D 的坐标为〔8，0〕．当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹方程．解：设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，那么082x x +=，02yy =．即028x x =-，02y y =．因为点P ()00,x y 在圆224x y +=上，因此22004x y +=．即()()222824x y -+=，即()2241x y -+=，这确实是动点M 的轨迹方程．变式2：设点P 是圆224x y +=上的任一点，定点D 的坐标为〔8，0〕，假设点M 满足2PM MD =．当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹方程．解：设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，由2PM MD =，得()()00,28,x x y y x y --=--，即0316x x =-，03y y =．因为点P ()00,x y 在圆224x y +=上，因此22004x y +=．即()()2231634x y -+=，即2216439x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，这确实是动点M 的轨迹方程．变式3：设点P 是曲线(),0f x y =上的任一点，定点D 的坐标为(),a b ，假设点M 满足(,1)PM MD λλλ=∈≠-R ．当点P 在曲线(),0f x y =上运动时，求点M 的轨迹方程．解：设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，由PM MD λ=，得()()00,,x x y y a x b y λ--=--，即()01x x a λλ=+-，()01y y b λλ=+-． 因为点P ()00,x y 在圆(),0f x y =上，因此()00,0f x y =．即()()()1,10f x a y b λλλλ+-+-=，这确实是动点M 的轨迹方程．2．〔人教A 版选修1－1，2－1第40页练习第3题〕通过椭圆2212516x y +=的右焦点2F 作垂直于x 轴的直线A B ，交椭圆于A ，B 两点，1F 是椭圆的左焦点．〔1〕求1AF B ∆的周长；〔2〕假如AB 不垂直于x 轴，1AF B ∆的周长有变化吗？什么缘故？变式1〔2005年全国卷Ⅲ〕：设椭圆的两个焦点分不为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，假设△F 1PF 2为等腰直角三角形，那么椭圆的离心率是A ．2 B ．12C ．2D 1- 解一：设椭圆方程为22221x y a b +=，依题意，明显有212PF F F =，那么22b c a =，即222a c c a-=，即2210e e +-=，解得1e =．选D ．解二：∵△F 1PF 2为等腰直角三角形，∴c PF c F F PF 22,21212===. ∵a PF PF 221=+，∴a c c 222=+，∴12121-=+=ac．应选D ．变式2：双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分不为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，那么此双曲线的离心率e 的最大值为 ．解一：由定义知12||||2PF PF a -=，又12||4||PF PF =，解得183PF a =，223PF a =，在12PF F ∆中，由余弦定理，得2222218981732382494964cos e a a c a a PF F -=⋅⋅-+=∠，要求e 的最大值，即求21cos PF F ∠的最小值，当1cos 21-=∠PF F 时，解得53e =．即e 的最大值为53． 解二：设),(y x P ，由焦半径公式得a ex PF a ex PF -=+=21,，∵214PF PF =，∴)(4)(a ex a ex -=+，∴x a e 35=，∵a x ≥，∴35≤e ，∴e 的最大值为53． 变式3〔2005年全国卷Ⅰ〕：椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB +与(3,1)a =-共线．〔Ⅰ〕求椭圆的离心率；〔Ⅱ〕设M 为椭圆上任意一点，且 (,)OM OA OB λμλμ=+∈R ，证明22μλ+为定值．解：〔Ⅰ〕设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+，那么直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .设A 〔11,y x 〕，B 22,(y x 〕，那么22222121222222,.a c a c a b x x x x a b a b -+==++ 由1212(,),(3,1),OA OB x x y y a OA OB +=++=-+与a 共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴即232222c ba c a =+，因此36.32222ab ac b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e 〔Ⅱ〕证明：由〔Ⅰ〕知223b a =，因此椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设(,)OM x y =，由得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121y y y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由〔Ⅰ〕知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ 2222212223,8a c ab x xc a b -==+121212122121222233()()43()33930.22x x y y x x x c x c x x x x c c c c c +=+--=-++=-+= 又222222212133,33b y x b y x =+=+，代入①得.122=+μλ 故22μλ+为定值，定值为1.3．〔人教A 版选修1－1，2－1第47页习题2.1A 组第6题〕点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点1F ，2F 为顶点的三角形的面积等于1，求点P 的坐标．变式1〔2004年湖北卷理〕：椭圆191622=+y x 的左、右焦点分不为F 1、F 2，点P 在椭圆上，假设P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，那么点P 到x 轴的距离为A ．59B ．3C ．779 D ．49 解：依题意，可知当以F 1或F 2为三角形的直角顶点时，点P的坐标为94⎛⎫±⎪⎝⎭，那么点P 到x 轴的距离为49，应选D ．〔能够证明不存在以点P 为直角顶点的三角形〕 变式2〔2006年全国卷Ⅱ〕：ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，那么ABC ∆的周长是A． B ．6 C． D ．12解：由于椭圆2213x y +=的长半轴长a =而依照椭圆的定义可知ABC ∆的周长为4a =，应选C ．4．〔人教A 版选修1－1，2－1第47页习题2.1B 组第3题〕 如图，矩形ABCD 中，2AB a =，2BC b =，E ，F ，G ，H 分不是矩形四条边的中点，R ，S ，T 是线段OF 的四等分点，R '，S '，T '是线段CF 的四等分点．请证明直线ER 与GR '、ES 与GS '、ET 与GT '的交点L ，M ，N 在同一个椭圆上．变式1：直线:1l y kx =+与双曲线22:21C x y -=的右支交于不同的两点A 、B .假设双曲线C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆上时，那么实数k = ．解：将直线:1l y kx =+代入双曲线C 的方程2221x y -=整理，得.022)2(22=++-kx x k ……①依题意，直线L 与双曲线C 的右支交于不同两点，故2222220,(2)8(2)0,20,220.2k k k kk k ⎧-≠⎪∆=-->⎪⎪⎨->-⎪⎪>⎪-⎩解得22-<<-k ． N M LT /S /R /TSR O HGF EDC BA设A 、B 两点的坐标分不为),(11y x 、),(22y x ，那么由①式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+.22,22222221k x x kk x x ……② ∵双曲线C 的右焦点F (),0c 在以AB 为直径的圆上，那么由FA ⊥FB 得：.0)1)(1())((.0))((21212121=+++--=+--kx kx c x c x y y c x c x 即整理，得.01))(()1(221212=+++-++c x x c k x x k ……③ 把②式及26=c 代入③式化简，得.066252=-+k k 解得))(2,2(566566舍去或--∉-=+-=k k ，故566+-=k ． 变式2〔2002年广东卷〕：A 、B 是双曲线2212y x -=上的两点，点N 〔1，2〕是线段AB 的中点．〔Ⅰ〕求直线AB 的方程；〔Ⅱ〕假如线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？什么缘故？解：〔Ⅰ〕直线AB 的方程为1y x =+．〔求解过程略〕〔Ⅱ〕联立方程组221,1.2y x y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()1,0A -、()3,4B ． 由CD 垂直平分AB ，得CD 方程为3y x =-．代入双曲线方程2212y x -=整理，得26110x x +-=． 记()11,C x y ，()22,D x y 以及CD 的中点为()00,M x y ， 那么有12126,11.x x x x +=-⎧⎨=-⎩从而()3,6M -．∵12CD x =-==．∴MC MD == 又MA MB ===．即A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等． 故A 、B 、C 、D 四点共圆．变式3〔2005年湖北卷〕：设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N 〔1，3〕是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点. 〔Ⅰ〕确定λ的取值范畴，并求直线AB 的方程；〔Ⅱ〕试判定是否存在如此的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并讲明理由. 〔Ⅰ〕解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入整理，得.0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ① 设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根，0])3(3)3([422>--+=∆∴k k λ ②)3,1(.3)3(2221N k k k x x 由且+-=+是线段AB 的中点，得 .3)3(,12221+=-∴=+k k k x x 解得k ＝－1，代入②得，λ＞12，即λ的取值范畴是〔12，＋∞〕. 因此，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A.0))(())((33,32121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ 依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠.04),1(3).,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+⨯>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB 即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是λλ〔Ⅱ〕解法1：.02,13,=+--=-∴y x x y CD AB CD 即的方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③是方程则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(x x y x M CD y x D y x C ③的两根，).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+∴M x y x x x x x 即且 因此由弦长公式可得).3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④将直线AB 的方程代入椭圆方程得,04=-+y x .016842=-+-λx x ⑤ 同理可得.)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥.||||,)12(2)3(2,12CD AB <∴->->λλλ时当假设在在λ＞12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，那么CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为.2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦ 因此，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上.〔注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角即|,|||||2DN CN AN ⋅=⇔).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边＝.212-λ由④和⑦知，⑧式右边＝)2232)3(2)(2232)3(2(--+-λλ,2122923-=--=λλ ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆 解法2：由〔Ⅱ〕解法1及12>λ.,13,-=-∴x y CD AB CD 方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③ 解得2314,3-±-=λx .将直线AB 的方程,04=-+y x 代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤ 解得21222,1-±=λx .不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλ)21233,23123(-------+=λλλλ运算可得0=⋅DA CA ，∴A 在以CD 为直径的圆上. 又点A 与B 关于CD 对称，∴A 、B 、C 、D 四点共圆. 〔注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD 〕5．〔人教A 版选修1－1，2－1第59页习题2.2B 组第1题〕求与椭圆2214924x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线的方程． 变式1〔2002年北京卷文〕：椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是A ．y x 215±= B ．x y 215±= C ．y x 43±= D ．x y 43±=解：依题意，有22223523m n m n -=+，即228m n =，即双曲线方程为22221163x y n n -=，故双曲线的渐近线方程是22220163x y n n -=，即x y 43±=，选D ． 变式2〔2004年全国卷Ⅳ理〕：椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42-=的焦点重合， 那么此椭圆方程为〔 〕A ．13422=+y xB ．16822=+y x C ．1222=+y xD ．1422=+y x 解：∵抛物线x y 42-=的焦点坐标为〔－1，0〕，那么椭圆的1c =，又21=e ，那么2a =，进而23b =，因此椭圆方程为13422=+y x ，选A ．6．〔人教A 版选修1－1，2－1第66页例4〕斜率为1的直线l 通过抛物线24y x =的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．变式1：假如1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，假设12810x x x +++=，那么128PF P F P F +++=___．解：依照抛物线的定义，可知12ii i pPF x x =+=+〔1i =，2，……，8〕， ∴()1281288118PF P F P F x x x +++=++++⋅=．变式2〔2004年湖南卷理〕：设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点(1,2,3),i P i =使123,,,FP FP FP ，组成公差为d 的等差数列，那么d 的取值范畴为 ．解：设11FP a =，那么()11n FP a n d =+-，因此()11n FP FP n d -=-，即11n FP FP d n -=-，由于21n ≥，()()122n FP FP a c a c c -≤+--==，故110d ≤，又0d ≠，故d ∈11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦． 变式3〔2006年重庆卷文〕：如图，对每个正整数n ，(,)n n n A x y 是抛物线24x y =上的点，过焦点F 的直线n FA 交抛物线于另一点(,)n n n B s t ．〔Ⅰ〕试证：4(1)n n x s n =-≥；〔Ⅱ〕取2nn x =，并记n C 为抛物线上分不以n A 与n B 为切点的两条切线的交点．试证：112221n n n FC FC FC -++++=-+．证明：〔Ⅰ〕对任意固定的1n ≥,因为焦点(0,1)F ,因此可设直线n n A B 的方程为1n y k x -=,将它与抛物线方程24x y =联立，得2440n x k x --=，由一元二次方程根与系数的关系得4n n x s =-．〔Ⅱ〕对任意固定的1n ≥，利用导数知识易得抛物线24x y =在n A 处的切线的斜率2n n A x k =，故24x y =在n A 处的切线方程为()2n n n x y y x x -=-， ①类似地，可求得24x y =在n B 处的切线方程为)(2n nn s x s t y -=-， ②由②减去①得2222n n n nn n x s x s y t x ---=-+， 从而22224422n n n n n n x s x s x s x ---=-+， 2224n n n n x s x s x --=，2n nx s x +=， ③ 将③代入①并注意到4n n x s =-得交点n C 的坐标为)1,2(-+nn s x . 由两点间距离公式,得2222||()42244n n n nn x s x s FC +=+=++ =2222)22(244nn n n x x x x +=++.从而||2||2||n n n x FC x =+.现在2nn x =，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得，12||||n FC FC FC ++…+||1212111(||||)2(2||||n x x x x x =+++++…+||…1)||n x + 22111(22)2(222=+++++n …+2…1)2n + =11(21)(22)221nn n n -+-+-+-=-+.7．〔人教A 版选修2－1第67页例5〕过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴．变式〔2001年全国卷〕：设抛物线22y px =〔0p >〕的焦点为 F ，通过点 F 的直线交抛物线于A 、B 两点．点 C 在抛物线的准线上，且BC ∥X 轴．证明直线AC 通过原点O ．证明1：因为抛物线22y px =〔0p >〕的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，因此通过点F 的直线AB 的方程可设为 2px my =+，代人抛物线方程得 2220y pmy p --=．假设记()11,A x y ，()22,B x y ，那么21,y y 是该方程的两个根，因此212y y p =-．因为BC ∥X 轴，且点C 在准线2p x =-上，因此点C 的坐标为2,2p y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故直线CO 的斜率为21112.2y y p k p y x ===- 即k 也是直线OA 的斜率，因此直线AC 通过原点O ．证明2：如图，记X 轴与抛物线准线L 的交点为E ， 过A 作AD ⊥L ，D 是垂足．那么AD ∥FE ∥BC ．连结AC ，与EF 相交于点N ，那么||||||,||||||EN CN BF AD AC AB ==||||.||||NF AF BC AB = 依照抛物线的几何性质，|AF |=|AD |，|BF |=|BC | ，|,|||||||||||||||NF AB BC AF AB BF AD EN =⋅=⋅=∴即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，因此直线AC 通过原点O ．8．〔人教A 版选修1－1第74页，2－1第85页复习参考题A 组第8题〕斜率为2的直线l 与双曲线22132x y -=交于A ，B 两点，且4AB =，求直线的方程． 变式1〔2002年上海卷〕：点()A和)B，动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的轨迹与直线2y x =-交于D 、E 两点，求线段DE 的长．解：依照双曲线的定义，可知C 的轨迹方程为2212y x -=． 联立222,1.2y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得2460x x +-=． 设()11,D x y ，()22,E x y ，那么12124,6x x x x +=-=-．因此12DE x =-==故线段DE 的长为变式2：直线y kx =+2213x y +=交于不同两点A 和B ，且1OA OB ⋅=〔其中O 为坐标原点〕，求k 的值．O E BCN解：将y kx =+2213x y +=，得22(13)30k x +++=． 由直线与椭圆交于不同的两点，得2222130,)12(13)12(31)0.k k k ⎧+≠⎪⎨∆=-+=->⎪⎩即213k >． 设),(),,(B B A A y x B y x A，那么223,1313A B A Bx x x x k k +=-=++． 由1OA OB ⋅=，得2A B A B x x y y +=．而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x22222353(1)2131331k k k k k -=+-+=+++．因此2253131k k -=+．解得k =k的值为±．变式3：抛物线)0(22>=p px y ．过动点M 〔a ，0〕且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ．假设||2AB p ≤,求a 的取值范畴．解：直线l 的方程为a x y -=， 将 px y a x y 22=-=代入， 得 0)(222=++-a x p a x ．设直线l 与抛物线的两个不同交点的坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，那么 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+>-+.),(2,04)(42212122a x x p a x x a p a又a x y a x y -=-=2211,， ∴ 221221)()(||y y x x AB -+-= ]4)[(221221x x x x -+=)2(8a p p +=．∵ 0)2(8,2||0>+≤<a p p p AB ， ∴ p a p p 2)2(80≤+<． 解得42p a p -≤<-．。

九、《圆锥曲线与方程》变式题（命题人：广州市教育局教研室 曾辛金）1．（人教A 版选修1－1，2－1第39页例2）如图，在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作X 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？变式1：设点P 是圆224x y +=上的任一点，定点D 的坐标为（8，0）．当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹方程．解：设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，则082x x +=，02yy =．即028x x =-，02y y =．因为点P ()00,x y 在圆224x y +=上，所以22004x y +=．即()()222824x y -+=，即()2241x y -+=，这就是动点M 的轨迹方程．变式2：设点P 是圆224x y +=上的任一点，定点D 的坐标为（8，0），若点M 满足2PM MD =．当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹方程．解：设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，由2PM MD =，得()()00,28,x x y y x y --=--，即0316x x =-，03y y =．因为点P ()00,x y 在圆224x y +=上，所以22004x y +=．即()()2231634x y -+=，即2216439x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，这就是动点M 的轨迹方程．变式3：设点P 是曲线(),0f x y =上的任一点，定点D 的坐标为(),a b ，若点M 满足(,1)PM MD λλλ=∈≠-R ．当点P 在曲线(),0f x y =上运动时，求点M 的轨迹方程．解：设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，由PM MD λ=，得()()00,,x x y y a x b y λ--=--，即()01x x a λλ=+-，()01y y b λλ=+-． 因为点P ()00,x y 在圆(),0f x y =上，所以()00,0f x y =．即()()()1,10fx a y b λλλλ+-+-=，这就是动点M 的轨迹方程．2．（人教A 版选修1－1，2－1第40页练习第3题）已知经过椭圆2212516x y +=的右焦点2F 作垂直于x 轴的直线A B ，交椭圆于A ，B 两点，1F 是椭圆的左焦点．（1）求1AF B ∆的周长；（2）如果AB 不垂直于x 轴，1AF B ∆的周长有变化吗？为什么？变式1（2005年全国卷Ⅲ）：设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是A ．2 B ．12C ．2D 1 解一：设椭圆方程为22221x y a b +=，依题意，显然有212PF F F =，则22b c a =，即222a c c a-=，即2210e e +-=，解得1e =．选D ． 解二：∵△F 1PF 2为等腰直角三角形，∴c PF c F F PF 22,21212===. ∵a PF PF 221=+，∴a c c 222=+，∴12121-=+=ac．故选D ．变式2：已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ．解一：由定义知12||||2PF PF a -=，又已知12||4||PF PF =，解得183PF a =，223PF a =，在12PF F ∆中，由余弦定理，得2222218981732382494964cos e a a c a a PF F -=⋅⋅-+=∠，要求e 的最大值，即求21cos PF F ∠的最小值，当1cos 21-=∠PF F 时，解得53e =．即e 的最大值为53．解二：设),(y x P ，由焦半径公式得a ex PF a ex PF -=+=21,，∵214PF PF =，∴)(4)(a ex a ex -=+，∴x a e 35=，∵a x ≥，∴35≤e ，∴e 的最大值为53． 变式3（2005年全国卷Ⅰ）：已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB +与(3,1)a =-共线．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且 (,)OM OA OB λμλμ=+∈R ，证明22μλ+为定值． 解：（Ⅰ）设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+， 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+by a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .设A （11,y x ），B 22,(y x ），则22222121222222,.a c a c a b x x x x a b a b -+==++ 由1212(,),(3,1),OA OB x x y y a OA OB +=++=-+与a 共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴即232222c ba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=，故离心率.36==a c e （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设(,)OM x y =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121y y y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ①由（Ⅰ）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+2222212223,8a c ab x xc a b -==+121212122121222233()()43()33930.22x x y y x x x c x c x x x x c c c c c +=+--=-++=-+=又222222212133,33b y x b y x =+=+，代入①得.122=+μλ故22μλ+为定值，定值为1.3．（人教A 版选修1－1，2－1第47页习题2.1A 组第6题）已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点1F ，2F 为顶点的三角形的面积等于1，求点P 的坐标．变式1（2004年湖北卷理）：已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为A ．59B ．3C ．779 D ．49 解：依题意，可知当以F 1或F 2为三角形的直角顶点时，点P的坐标为94⎛⎫± ⎪⎝⎭，则点P 到x 轴的距离为49，故选D ．（可以证明不存在以点P 为直角顶点的三角形） 变式2（2006年全国卷Ⅱ）：已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是 A． B ．6 C． D ．12解：由于椭圆2213x y +=的长半轴长a =ABC ∆的周长为4a =C ．4．（人教A 版选修1－1，2－1第47页习题2.1B 组第3题）如图，矩形ABCD 中，2AB a =，2BC b =，E ，F ，G ，H 分别是矩形四条边的中点，R ，S ，T 是线段OF 的四等分点，R '，S '，T '是线段CF 的四等分点．请证明直线ER 与GR '、ES 与GS '、ET 与GT '的交点L ，M ，N 在同一个椭圆上．变式1：直线:1l y kx =+与双曲线22:21C x y -=的右支交于不同的两点A 、B .若双曲线C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆上时，则实数k = ．解：将直线:1l y kx =+代入双曲线C 的方程2221x y -=整理，得.022)2(22=++-kx x k ……①依题意，直线L 与双曲线C 的右支交于不同两点，故2222220,(2)8(2)0,20,220.2k k k kk k ⎧-≠⎪∆=-->⎪⎪⎨->-⎪⎪>⎪-⎩解得22-<<-k ． 设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+.22,22222221k x x k k x x ……② ∵双曲线C 的右焦点F (),0c 在以AB 为直径的圆上，则由F A ⊥FB 得：.0)1)(1())((.0))((21212121=+++--=+--kx kx c x c x y y c x c x 即整理，得.01))(()1(221212=+++-++c x x c k x x k ……③ 把②式及26=c 代入③式化简，得.066252=-+k k 解得))(2,2(566566舍去或--∉-=+-=k k ，故566+-=k ．N M LT /S /R /TSR O H GF ED C BA变式2（2002年广东卷）：A 、B 是双曲线2212y x -=上的两点，点N （1，2）是线段AB 的中点．（Ⅰ）求直线AB 的方程；（Ⅱ）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？解：（Ⅰ）直线AB 的方程为1y x =+．（求解过程略）（Ⅱ）联立方程组221,1.2y x y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()1,0A -、()3,4B ．由CD 垂直平分AB ，得CD 方程为3y x =-．代入双曲线方程2212y x -=整理，得26110x x +-=． 记()11,C x y ，()22,D x y 以及CD 的中点为()00,M x y ，则有12126,11.x x x x +=-⎧⎨=-⎩从而()3,6M -．∵12CD x =-==∴MC MD == 又MA MB ===即A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等． 故A 、B 、C 、D 四点共圆．变式3（2005年湖北卷）：设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点. （Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入整理，得.0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根，0])3(3)3([422>--+=∆∴k k λ ②)3,1(.3)3(2221N k k k x x 由且+-=+是线段AB 的中点，得.3)3(,12221+=-∴=+k k k x x 解得k ＝－1，代入②得，λ＞12，即λ的取值范围是（12，＋∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A.0))(())((33,32121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ 依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠.04),1(3).,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+⨯>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB 即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是λλ（Ⅱ）解法1：.02,13,=+--=-∴y x x y CD AB CD 即的方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③是方程则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(x x y x M CD y x D y x C ③的两根，).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+∴M x y x x x x x 即且 于是由弦长公式可得).3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④将直线AB 的方程代入椭圆方程得,04=-+y x .016842=-+-λx x ⑤同理可得.)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥.||||,)12(2)3(2,12CD AB <∴->->λλλ时当假设在在λ＞12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为.2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角即|,|||||2DN CN AN ⋅=⇔).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边＝.212-λ 由④和⑦知，⑧式右边＝)2232)3(2)(2232)3(2(--+-λλ,2122923-=--=λλ ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆解法2：由（Ⅱ）解法1及12>λ.,13,-=-∴x y CD AB CD 方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③ 解得2314,3-±-=λx .将直线AB 的方程,04=-+y x 代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤ 解得21222,1-±=λx .不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλCA)21233,23123(-------+=λλλλDA计算可得0=⋅，∴A 在以CD 为直径的圆上. 又点A 与B 关于CD 对称，∴A 、B 、C 、D 四点共圆.（注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）5．（人教A 版选修1－1，2－1第59页习题2.2B 组第1题）求与椭圆2214924x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线的方程． 变式1（2002年北京卷文）：已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是A ．y x 215±= B ．x y 215±= C ．y x 43±= D ．x y 43±= 解：依题意，有22223523m n m n -=+，即228m n =，即双曲线方程为22221163x y n n -=，故双曲线的渐近线方程是22220163x y n n -=，即x y 43±=，选D ． 变式2（2004年全国卷Ⅳ理）：已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42-=的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ） A ．13422=+y x B ．16822=+y xC ．1222=+y xD ．1422=+y x 解：∵抛物线x y 42-=的焦点坐标为（－1，0），则椭圆的1c =，又21=e ，则2a =，进而23b =，所以椭圆方程为13422=+y x ，选A ．6．（人教A 版选修1－1，2－1第66页例4）斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．变式1：如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若12810x x x +++=，则128PF P F P F +++=___．解：根据抛物线的定义，可知12i ii p PF x x =+=+（1i =，2，……，8）， ∴()1281288118PF P F PF x x x +++=++++⋅=． 变式2（2004年湖南卷理）：设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点(1,2,3),i P i =使123,,,FP FP FP ，组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为 ．解：设11FP a =，则()11n F P a n d =+-，于是()11n FP FP n d -=-，即11n F P F Pd n -=-，由于21n ≥，()()122n FP FP a c a c c -≤+--==，故110d ≤，又0d ≠，故d ∈11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．变式3（2006年重庆卷文）：如图，对每个正整数n ，(,)n n n A x y 是抛物线24x y =上的点，过焦点F 的直线n FA 交抛物线于另一点(,)n n n B s t ．（Ⅰ）试证：4(1)n n x s n =-≥；（Ⅱ）取2n n x =，并记n C 为抛物线上分别以n A 与n B 为切点的两条切线的交点．试证：112221n n n FC FC FC -++++=-+．证明：（Ⅰ）对任意固定的1n ≥,因为焦点(0,1)F ,所以可设直线n n A B 的方程为1n y k x -=,将它与抛物线方程24x y =联立，得2440n x k x --=，由一元二次方程根与系数的关系得4n n x s =-．（Ⅱ）对任意固定的1n ≥，利用导数知识易得抛物线24x y =在n A 处的切线的斜率2n n A x k =，故24x y =在n A 处的切线方程为()2n n n x y y x x -=-， ① 类似地，可求得24x y =在n B 处的切线方程为)(2n n n s x s t y -=-， ②由②减去①得2222n n n nn n x s x s y t x ---=-+， 从而22224422n n n n n n x s x s x s x ---=-+， 2224n n n nx s x s x --=，2n n x s x +=， ③将③代入①并注意到4n n x s =-得交点n C 的坐标为)1,2(-+nns x . 由两点间距离公式,得2222||()42244n n n n n x s x s FC +=+=++ =2222)22(244nn n n x x x x +=++.从而||2||2||n n n x FC x =+. 现在2nn x =，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得，12||||n FC FC FC ++…+||1212111(||||)2(2||||n x x x x x =+++++…+||…1)||n x + 22111(22)2(222=+++++n …+2…1)2n +=11(21)(22)221n n n n -+-+-+-=-+.7．（人教A 版选修2－1第67页例5）过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴．变式（2001年全国卷）：设抛物线22y px =（0p >）的焦点为 F ，经过点 F 的直线交抛物线于A 、B 两点．点 C 在抛物线的准线上，且BC ∥X 轴．证明直线AC 经过原点O ．证明1：因为抛物线22y px =（0p >）的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为 2px my =+，代人抛物线方程得 2220y pmy p --=．若记()11,A x y ，()22,B x y ，则21,y y 是该方程的两个根，所以212y y p =-．因为BC ∥X 轴，且点C 在准线2p x =-上，所以点C 的坐标为2,2p y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故直线CO 的斜率为21112.2y y p k p y x ===- 即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ．证明2：如图，记X 轴与抛物线准线L 的交点为E ， 过A 作AD ⊥L ，D 是垂足．则 AD ∥FE ∥BC ．连结AC ，与EF 相交于点N ，则||||||,||||||EN CN BF AD AC AB ==||||.||||NF AF BC AB = 根据抛物线的几何性质，|AF |=|AD |，|BF |=|BC | ，|,|||||||||||||||NF AB BC AF AB BF AD EN =⋅=⋅=∴即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O ．8．（人教A 版选修1－1第74页，2－1第85页复习参考题A 组第8题）斜率为2的直线l 与双曲线22132x y -=交于A ，B 两点，且4AB =，求直线的方程． 变式1（2002年上海卷）：已知点()A和)B，动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的轨迹与直线2y x =-交于D 、E 两点，求线段DE 的长．解：根据双曲线的定义，可知C 的轨迹方程为2212y x -=． 联立222,1.2y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得2460x x +-=．设()11,D x y ，()22,E x y ，则12124,6x x x x +=-=-．所以12DE x =-==故线段DE 的长为变式2：直线y kx =2213x y +=交于不同两点A 和B ，且1OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），求k的值．解：将y kx =2213x y +=，得22(13)30k x +++=．由直线与椭圆交于不同的两点，得2222130,)12(13)12(31)0.k k k ⎧+≠⎪⎨∆=-+=->⎪⎩即213k >． 设),(),,(B B A A y x B y xA ，则2313A B A B x x x x k+==+． 由1OA OB ⋅=，得2A B A B x x y y +=．而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x2222353(1)21331k k k k -=++=++．于是2253131k k -=+．解得3k =±．故k的值为3±．变式3：已知抛物线)0(22>=p px y ．过动点M （a ，0）且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ．若||2AB p ≤,求a 的取值范围．解：直线l 的方程为a x y -=， 将 px y a x y 22=-=代入， 得 0)(222=++-a x p a x ．设直线l 与抛物线的两个不同交点的坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+>-+.),(2,04)(42212122a x x p a x x a p a又a x y a x y -=-=2211,， ∴ 221221)()(||y y x x AB -+-= ]4)[(221221x x x x -+=)2(8a p p +=．∵ 0)2(8,2||0>+≤<a p p p AB ， ∴ p a p p 2)2(80≤+<． 解得42p a p -≤<-．。

2021年广东省新高考数学总复习第九章《平面解析几何》微专题十二 圆锥曲线中性质的推广[真题研究]一道高考解析几何试题的命题背景可能就是圆锥曲线的一个性质定理的特殊情况．如果掌握了定理的原理，也就把握了试题的本质．对一些典型的试题，不应满足于会解，可以引导学生深入探究试题背后的知识背景，挖掘问题的本质．这样才能真正找到解决问题的方法，学会用更高观点去看待数学问题，把握问题的本质．正如《普通高中数学课程标准(实验)》所倡导的数学探究性课题学习，引导学生围绕某个数学问题，观察分析，自主探究，提出有意义的数学问题，探求适当的数学结论和规律．一、试题展示题1 (2020·模拟)如图1所示，设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2，0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN .(1)解 当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得点M 的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1. 即x －2y ＋2＝0或x ＋2y ＋2＝0.(2)证明 当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM ＝∠ABN .当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝2x ，得ky 2－2y －4k ＝0，显然方程有两个不等实根． 所以y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4. 直线BM ，BN 的斜率之和k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ① 将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)k ＝－8＋8k＝0. 所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN .综上，∠ABM ＝∠ABN .题2 (2018·全国Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .(1)解 由已知得F (1,0)，l 的方程为x ＝1.由已知可得，点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，22或⎝⎛⎭⎫1，－22.又M (2,0)， 所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2. 即x ＋2y －2＝0或x －2y －2＝0.(2)证明 当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为。

新课标高中数学必修（数学1）教材内容的变化与教学建议黄埔区教育局教研室曾辛金一、数学1内容的变化1. 加强的内容（1）加强了函数模型的背景和应用的要求了解指数函数模型的实际背景，了解对数函数模型的实际背景；认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义；让学生通过收集现实生活中普遍使用的函数模型实例．（2）加强了分段函数的教学，分段函数要求能简单应用.（3）加强了知识之间的联系函数与方程、不等式、算法等内容的横向联系，以及在整个中学数学中多次接触，反复体会，螺旋上升地学习函数的纵向联系.沟通各模块之间的联系，使学生体会知识间的有机联系，例如，《标准》要求结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系；根据具体函数的图象，能借助计算器用二分法求相应方程的近似解，为后面的算法学习作一些准备等．（4）加强了对数形结合、几何直观等数学思想方法学习的要求函数这一内容是学习数形结合、几何直观等数学思想方法很好的数学载体.（5）加强了信息技术整合的要求明确指出了要运用信息技术进行教学．如：能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点；能借助计算器用二分法求相应方程的近似解等．都体现了加强与信息技术整合的要求．2．削弱的内容（1）削弱了对定义域、值域的过于繁难的，尤其是人为的过于技巧化的训练.（2）削弱了反函数的概念，只要求知道指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）是互为反函数；将复合函数概念放到“导数及其应用”的相关内容中.此外，对于对数函数内容的要求也有所降低．这都是为了尽可能地减轻学生的负担．3. 增删的内容（与原《教学大纲》比较）（1）增加的内容：幂函数（y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝12x ）；函数与方程. （2）删减的内容：简易逻辑.二、数学1的教学建议1. 集合是一个不加定义的概念，教学中要结合学生的生活经验和已有知识，列举丰富的实例，使学生理解集合的含义.在教学中要创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，以使学生在实际使用中逐渐熟悉“自然语言”、“集合语言”、“图形语言”各自的特点，进行相互转换并掌握集合语言.在关于集合之间的关系和运算的教学中，尽量使用Venn 图直观表示，这样有助于学生学习、掌握、运用集合语言和其他数学语言.【例1】某年级先后举行数学、物理、化学三科的竞赛活动，其中有75人参加数学竞赛，68人参加物理竞赛，61人参加化学竞赛.17人同时参加数学、物理竞赛，12人同时参加数学、化学竞赛，9人同时参加物理、化学竞赛，还有6人三科都参加.求参加竞赛的人数.本题如果采用“自然语言”将很难处理，而采用“图形语言”则一目了然。

高考数学圆锥曲线与方程变式试题命题人：广州市教育局教研室 曾辛金1．（人教A 版选修1－1，2－1第39页例2）如图，在圆224xy +=上任取一点P ，过点P 作X 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？变式1：设点P 是圆224xy +=上的任一点，定点D 的坐标为（8，0）．当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹方程．解：设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，则082x x +=，02y y =．即028x x =-，02y y =．因为点P()00,x y 在圆224x y +=上，所以22004x y +=． 即()()222824x y -+=，即()2241x y -+=，这就是动点M 的轨迹方程．变式2：设点P 是圆224x y +=上的任一点，定点D 的坐标为（8，0），若点M 满足2PM MD =．当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹方程．解：设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，由2PM MD =，得()()00,28,x x y y x y --=--，即0316x x =-，03y y =．因为点P ()00,x y 在圆224x y +=上，所以22004x y +=．即()()2231634x y -+=，即2216439x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，这就是动点M 的轨迹方程． 变式3：设点P 是曲线(),0f x y =上的任一点，定点D 的坐标为(),a b ，若点M 满足(,1)PM MD λλλ=∈≠-R ．当点P 在曲线(),0f x y =上运动时，求点M 的轨迹方程．解：设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，由PM MD λ=，得()()00,,x x y y a x b y λ--=--，即()01x x a λλ=+-，()01y y b λλ=+-． 因为点P ()00,x y 在圆(),0f x y =上，所以()00,0f x y =．即()()()1,10f x a y b λλλλ+-+-=，这就是动点M 的轨迹方程．2．（人教A 版选修1－1，2－1第40页练习第3题）已知经过椭圆2212516x y +=的右焦点2F 作垂直于x 轴的直线A B ，交椭圆于A ，B 两点，1F 是椭圆的左焦点． （1）求1AF B ∆的周长；（2）如果AB 不垂直于x 轴，1AF B ∆的周长有变化吗？为什么？变式1（2005年全国卷Ⅲ）：设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是A．2B．12 C．2 D1- 解一：设椭圆方程为22221x y a b +=，依题意，显然有212PF F F =，则22b c a =，即222a c c a-=，即2210e e +-=，解得1e =．选D ．解二：∵△F 1PF 2为等腰直角三角形，∴c PF c F F PF 22,21212===.∵a PF PF 221=+，∴a c c 222=+，∴12121-=+=ac ．故选D ．变式2：已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ．解一：由定义知12||||2PF PF a -=，又已知12||4||PF PF =，解得183PF a =，223PF a =，在12PF F ∆中，由余弦定理，得2222218981732382494964cos e a a c a a PF F -=⋅⋅-+=∠，要求e的最大值，即求21cos PF F ∠的最小值，当1c o s 21-=∠PF F 时，解得53e =．即e 的最大值为53． 解二：设),(y x P ，由焦半径公式得a ex PF a ex PF -=+=21,，∵214PF PF =，∴)(4)(a ex a ex -=+，∴x a e 35=，∵a x ≥，∴35≤e ，∴e 的最大值为53． 变式3（2005年全国卷Ⅰ）：已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB +与(3,1)a=-共线．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且 (,)OMOA OB λμλμ=+∈R ，证明22μλ+为定值．解：（Ⅰ）设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+， 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+by a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .设A （11,y x ），B 22,(y x ），则22222121222222,.a c a c a b x x x x a ba b-+==++由1212(,),(3,1),OA OB x x y y a OA OB +=++=-+与a 共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴即232222c ba c a =+，所以36.32222ab ac b a =-=∴=，故离心率.36==a c e （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设(,)OM x y =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121y y y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ①由（Ⅰ）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+2222212223,8a c a b x x c a b -==+ 12121212211222233()()43()33930.22x x y y x x x c x c x x x x c c c c c +=+--=-++=-+=21212212122233()()43()33930.22x x y y x x x c x c x x x x c c c c c +=+--=-++=-+=121212122121222233()()43()33930.22x x y y x x x c x c x x x x c c c c c +=+--=-++=-+= 又222222212133,33b y x b y x =+=+，代入①得.122=+μλ故22μλ+为定值，定值为1.3．（人教A 版选修1－1，2－1第47页习题2.1A 组第6题） 已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点1F ，2F 为顶点的三角形的面积等于1，求点P 的坐标． 变式1（2004年湖北卷理）：已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为A ．59B ．3C ．779 D ．49 解：依题意，可知当以F 1或F 2为三角形的直角顶点时，点P的坐标为94⎛⎫± ⎪⎝⎭，则点P 到x 轴的距离为49，故选D ．（可以证明不存在以点P 为直角顶点的三角形）变式2（2006年全国卷Ⅱ）：已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是A． B ．6 C． D ．12解：由于椭圆2213x y +=的长半轴长a =ABC ∆的周长为4a =，故选C ．4．（人教A 版选修1－1，2－1第47页习题2.1B 组第3题）如图，矩形ABCD 中，2AB a =，2BC b =，E ，F ，G ，H 分别是矩形四条边的中点，R ，S ，T 是线段OF 的四等分点，R '，S '，T '是线段CF 的四等分点．请证明直线ER 与GR '、ES 与GS '、ET 与GT '的交点L ，M ，N 在同一个椭圆上．变式1：直线:1l y kx =+与双曲线22:21C x y -=的右支交于不同的两点A 、B .若双曲线C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆上时，则实数k = ．解：将直线:1l y kx =+代入双曲线C 的方程2221x y -=整理，得.022)2(22=++-kx x k …①依题意，直线L 与双曲线C 的右支交于不同两点，故2222220,(2)8(2)0,20,220.2k k k kk k ⎧-≠⎪∆=-->⎪⎪⎨->-⎪⎪>⎪-⎩解得22-<<-k ． 设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+.22,22222221k x x kk x x ……②∵双曲线C 的右焦点F (),0c 在以AB 为直径的圆上，则由FA ⊥FB 得：.0)1)(1())((.0))((21212121=+++--=+--kx kx c x c x y y c x c x 即.0)1)(1())((.0))((21212121=+++--=+--kx kx c x c x y y c x c x 即整理，得.01))(()1(221212=+++-++c x x c k x x k ……③把②式及26=c代入③式化简，得.066252=-+k k 解得))(2,2(566566舍去或--∉-=+-=k k ，故566+-=k ． 变式2（2002年广东卷）：A 、B 是双曲线2212y x -=上的两点，点N （1，2）是线段AB 的中点．（Ⅰ）求直线AB 的方程；（Ⅱ）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？ 解：（Ⅰ）直线AB 的方程为1y x =+．（求解过程略）（Ⅱ）联立方程组221,1.2y x y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()1,0A -、()3,4B ． 由CD 垂直平分AB ，得CD 方程为3y x =-．代入双曲线方程2212y x -=整理，得26110x x +-=． 记()11,C x y ，()22,D x y 以及CD 的中点为()00,M x y ，则有12126,11.x x x x +=-⎧⎨=-⎩从而()3,6M -．∵12CD x =-==MC MD ==又MA MB ===．即A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等．故A 、B 、C 、D 四点共圆．变式3（2005年湖北卷）：设A 、B 是椭圆λ=+223y x上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点. （Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入整理，得.0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①N M LT /S /R /TSR O H GF ED C BA设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根，0])3(3)3([422>--+=∆∴k k λ ②)3,1(.3)3(2221N k k k x x 由且+-=+是线段AB 的中点，得.3)3(,12221+=-∴=+k k k x x 解得k ＝－1，代入②得，λ＞12，即λ的取值范围是（12，＋∞）.于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A .0))(())((33,32121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠ .04),1(3).,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+⨯>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB 即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是λλ（Ⅱ）解法1：.02,13,=+--=-∴y x x y CD AB CD 即的方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得 .04442=-++λx x ③是方程则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(x x y x M CD y x D y x C ③的两根，).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+∴M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得).3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④将直线AB 的方程代入椭圆方程得,04=-+y x .016842=-+-λx x ⑤同理可得.)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥.||||,)12(2)3(2,12CD AB <∴->->λλλ时当假设在在λ＞12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为.2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得： A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角即|,|||||2DN CN AN ⋅=⇔).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边＝.212-λ由④和⑦知，⑧式右边＝)2232)3(2)(2232)3(2(--+-λλ,2122923-=--=λλ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆解法2：由（Ⅱ）解法1及12>λ.,13,-=-∴x y CD AB CD 方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③ 解得2314,3-±-=λx .将直线AB 的方程,04=-+y x 代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤ 解得21222,1-±=λx .不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλCA ，)21233,23123(-------+=λλλλ 计算可得0=⋅DA CA ，∴A 在以CD 为直径的圆上.又点A 与B 关于CD 对称，∴A 、B 、C 、D 四点共圆.（注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）5．（人教A 版选修1－1，2－1第59页习题2.2B 组第1题）求与椭圆2214924x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线的方程． 变式1（2002年北京卷文）：已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 A ．y x 215±= B ．x y 215±= C ．y x 43±= D ．x y 43±= 解：依题意，有22223523m n m n -=+，即228m n =，即双曲线方程为22221163x y n n -=，故双曲线的渐近线方程是22220163x y n n -=，即x y 43±=，选D ． 变式2（2004年全国卷Ⅳ理）：已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42-=的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ）A ．13422=+y x B ．16822=+y x C ．1222=+y x D ．1422=+y x 解：∵抛物线x y 42-=的焦点坐标为（－1，0），则椭圆的1c =，又21=e ，则2a =，进而23b =，所以椭圆方程为13422=+y x ，选A ．6．（人教A 版选修1－1，2－1第66页例4） 斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．变式1：如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若12810x x x +++=，则128PF P F P F +++=___．解：根据抛物线的定义，可知12i ii pPF x x =+=+（1i =，2，……，8）， ∴()1281288118PF P F P F x x x +++=++++⋅=． 变式2（2004年湖南卷理）：设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点(1,2,3),i P i =使123,,,FP FP FP ，组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为 ． 解：设11FP a =，则()11n F P a n d =+-，于是()11n FP FP n d -=-，即11n FP FP d n -=-，由于21n ≥，()()122n FP FP a c a c c -≤+--==，故110d ≤，又d ≠，故d ∈11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．变式3（2006年重庆卷文）：如图，对每个正整数n ，(,)n n n A x y 是抛物线24x y =上的点，过焦点F 的直线n FA 交抛物线于另一点(,)n n n B s t ．（Ⅰ）试证：4(1)n n x s n =-≥；（Ⅱ）取2n n x =，并记n C 为抛物线上分别以n A 与n B 为切点的两条切线的交点．试证：112221n n n FC FC FC -++++=-+．证明：（Ⅰ）对任意固定的1n ≥,因为焦点(0,1)F ,所以可设直线n n A B 的方程为1n y k x -=,将它与抛物线方程24x y =联立，得2440n xk x --=，由一元二次方程根与系数的关系得4n n x s =-．（Ⅱ）对任意固定的1n ≥，利用导数知识易得抛物线24xy =在n A 处的切线的斜率2n nA x k =，故24xy =在n A 处的切线方程为()2nn n x y y x x -=-， ①类似地，可求得24xy =在n B 处的切线方程为)(2n nn s x s t y -=-， ②由②减去①得2222n n n nn n x s x s y t x ---=-+， 从而22224422n n n n n n x s x s x s x ---=-+， 2224n n n n x s x s x --=，2n nx s x +=， ③ 将③代入①并注意到4n n x s =-得交点n C 的坐标为)1,2(-+nn s x .由两点间距离公式,得2222||()42244n n n n n x s x s FC +=+=++ =2222)22(244nn n n x x x x +=++.从而||2||2||n n n x FC x =+. 现在2n nx =，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得，12||||n FC FC FC ++...+||1212111(||||)2(2||||n x x x x x =+++++...+|| (1))||n x +22111(22)2(222=+++++n ...+2 (1))2n +=11(21)(22)221n n n n -+-+-+-=-+.7．（人教A 版选修2－1第67页例5）过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴．变式（2001年全国卷）：设抛物线22y px =（0p >）的焦点为 F ，经过点 F 的直线交抛物线于A 、B 两点．点 C 在抛物线的准线上，且BC ∥X 轴．证明直线AC 经过原点O ．证明1：因为抛物线22y px =（0p >）的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为2p x my =+，代人抛物线方程得 2220y pmy p --=． 若记()11,A x y ，()22,B x y ，则21,y y 是该方程的两个根，所以212y y p =-．因为BC ∥X 轴，且点C 在准线2p x =-上，所以点C 的坐标为2,2p y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故直线CO 的斜率为21112.2y y p k p y x ===- 即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ．证明2：如图，记X 轴与抛物线准线L 的交点为E ， 过A 作AD ⊥L ，D 是垂足．则 AD ∥FE ∥BC ． 连结AC ，与EF 相交于点N ，则||||||,||||||EN CN BF AD AC AB ==||||.||||NF AF BC AB =根据抛物线的几何性质，|AF |=|AD |，|BF |=|BC | ，|,|||||||||||||||NF AB BC AF AB BF AD EN =⋅=⋅=∴即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O ．8．（人教A 版选修1－1第74页，2－1第85页复习参考题A 组第8题）斜率为2的直线l 与双曲线22132x y -=交于A ，B 两点，且4AB =，求直线的方程． 变式1（2002年上海卷）：已知点()A和)B，动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的轨迹与直线2y x =-交于D 、E 两点，求线段DE 的长．解：根据双曲线的定义，可知C 的轨迹方程为2212y x -=．联立222,1.2y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得2460x x +-=． 设()11,D x y ，()22,E x y ，则12124,6x x x x +=-=-．所以12DE x =-==故线段DE 的长为变式2：直线y kx =+2213x y +=交于不同两点A 和B ，且1OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），求k的值． 解：将y kx =2213x y+=，得22(13)30k x +++=．由直线与椭圆交于不同的两点，得2222130,)12(13)12(31)0.k k k ⎧+≠⎪⎨∆=-+=->⎪⎩即213k >． 设),(),,(B B A A y x B yx A ，则223,1313A B A Bx x x x k k +=-=++．由1OA OB ⋅=，得2A B A B x x y y +=．而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A BA x x k x x k kx kx x x y y x x22222353(1)2131331k k k k k -=++=+++．于是2253131k k -=+．解得k =k的值为．变式3：已知抛物线)0(22>=p px y ．过动点M （a ，0）且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ．若||2AB p ≤,求a 的取值范围．解：直线l 的方程为a x y -=， 将 px y a x y 22=-=代入，得 0)(222=++-a x p a x ．设直线l 与抛物线的两个不同交点的坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+>-+.),(2,04)(42212122a x x p a x x a p a又a x y a x y -=-=2211,，∴221221)()(||y y x x AB -+-=]4)[(221221x x x x -+=)2(8a p p +=．∵ 0)2(8,2||0>+≤<a p p p AB ，∴p a p p 2)2(80≤+<． 解得42p a p -≤<-．。