2021届河南省南阳市第一中学高三实验班第一次考试数学(理)试题Word版含答案

河南省南阳一中2021届高三数学上学期第一次月考（8月）试题一：选择题（每小题5分，共60分） 1.函数x x y 412-+=的最小值是（ ）A.1B.21 C.41D.2 2.函数)1(42≥+=x x x y 的最小值是（ ） A.5 B. 4 C.3 D.23.函数)12(-x f 的定义域是]2,1[，则函数)1(+x f 的定义域是（ ）A.]3,1[B. ]42[，C.]10[，D.]2,0[4.函数)(x f 满足x x f x f =--)1(2)(，则函数)(x f 等于（ ）A.32-x B. 32+x C.1-x D.1+-x 5.函数),3[,1223)(+∞∈++=x x x x f 的值域是（ ） A. ),711[+∞ B. ),23[+∞ C.)2,711[ D.]711,23（6.函数⎩⎨⎧≥<-+=.2,log ,2,4)21()(x x x a x a x f a 是R 上的增函数，则实数a 的范围是（ ）A. ]2,1(B. ),21(+∞ C.)2,21( D.),1+∞（7.已知函数)(x f 的值域是]5,1[，则)(52)()(x f x f x g -+=的值域是（ ） A. ]8,4[ B. {}5 C.]6,5[ D.]6,4[8.函数)(x f 是R 上的奇函数，且函数())1(+=x f x g 是R 上的偶函数，则函数)2020(f 等于 （ ） A. 1- B. 1 C.0 D.20219.函数)1(lg )(2++=mx mx x f 的定义域为R ，则实数m 的范围是（ ） A.]4,0[ B. )4,0( C.),4()0,(+∞-∞ D.)4,0[ D10.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数()21cos 21x x f x x +=-的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．11．函数()21||21()log 112x f x x=+--，则使得()(21)f x f x ≤-成立的x 取值范围是（ ）A ． (,1]-∞B ． 111[,)(,1]322⋃ C ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ． 1,[1,)3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦12.设函数()f x 的定义域为R ，满足2(1)()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =--.若对任意[,)x m ∈+∞，都有8()9f x ≤，则m 的取值范围是( ) A ．7[,)6-+∞B ．5[,)3-+∞C ．5[,)4-+∞ D ．4[,)3-+∞ 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 函数2)1()1lg()(-++=x x x x f 的定义域为14.函数1)13()(2+-+=x a ax x f 的值域为R ，则实数a 的范围是15. 已知函数)3(ln )(2+-=ax x x f 在]4,3[上是增函数，则实数a 的范围是16．若函数()22f x x x a =-+在()0,2内有两个零点，则a 的取值范围是______．三：解答题（共70分）17．（10分）已知函数()()210f x x a x a =++->. （1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.18. （12分）已知函数21()12x xa f x ⋅-=+是R 上的奇函数. （1）求a 的值；（2）判断并证明()f x 的单调性；（3）若对任意实数，不等式[]()(3)0f f x f m +->恒成立，求m 的取值范围.19．（12分）已知不等式15|2|22x x -++≤的解集为M . （1）求集合M ；（2）设集合M 中元素的最大值为t .若0a >，0b >，0c >，满足111223t a b c++=，求2993a b c ++的最小值.20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin()4πρθ- （Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点(1,0)P -，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求PA PB +的值.21．（12分）已知函数()()217g x x m x m =--+-.（1）若函数()g x 在[]2,4上具有单调性，求实数m 的取值范围；（2）若在区间[]1,1-上，函数()y g x =的图象恒在29y x =-图象上方，求实数m 的范围22．（12分）已知函数21()(1)(12)ln (0)2f x ax a x a x a =+-+->． （1）若2x =是函数的极值点，求a 的值及函数()f x 的极值； （2）讨论函数的单调性．高三2021年秋期第一次月考数学学科试卷 一：选择题（每小题5分，共60分）1---5：B C D A D 6----10：A C C D B 11--12：B D 二：填空题13：{}101≠≠->x x x x 且且:14：{⎭⎬⎫≤≤≥9101a a a 或:15：)4,(-∞:16：{|01}a a << 三：解答题17．已知函数()()210f x x a x a =++->.（1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，()121f x x x =++-，故()4f x >等价于1314x x ≤-⎧⎨-+>⎩或1134x x -<≤⎧⎨-+>⎩或1314x x >⎧⎨->⎩，解得1x <-或53x >.故不等式()4f x >的解集为5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或.（2）当[]3,1x ∈--时，由()42f x x >-得22240x a x x ++-+->， 即2x a +>，即2a x >-或2a x <--对任意的[]3,1x ∈--恒成立. 又()max 25x -=，()min 21x --=-，故a 的取值范围为()(),15,-∞-+∞.又0a >，所以5a >， 综上，a 的取值范围为()5,+∞.18.已知函数21()12x xa f x ⋅-=+是R 上的奇函数. （1）求a 的值；（2）判断并证明()f x 的单调性；（3）若对任意实数，不等式[]()(3)0f f x f m +->恒成立，求m 的取值范围.解：（Ⅰ）∵()f x 为R 上的奇函数，∴()00f =，即102a -=，由此得1a =;经检验符合题意，故1a =（Ⅱ）由（1）知()21212121x x xf x -==-++∴()f x 为R 上的增函数. 证明，设12x x <，则()()12211222221121212121x x x x f x f x ⎛⎫-=---=- ⎪++++⎝⎭ ∵12x x <，∴212202121x x -<++，∴()()12f x f x <∴()f x 为R 上的增函数.法二：0)12(22ln 2)(2>+⋅='x xx f ∴()f x 为R 上的增函数. （Ⅲ）∵()f x 为R 上的奇函数∴原不等式可化为()()3f f x f m ⎡⎤>--⎣⎦，即()()3f f x f m ⎡⎤>-⎣⎦ 又∵()f x 为R 上的增函数，∴()3f x m >-， 由此可得不等式()23421xm f x <+=-+对任意实数x 恒成立 由2202110221x xx >⇒+>⇒<<⇒+ 22202442121x x-<-<⇒<-<++∴2m ≤.即]2,(-∞19．已知不等式15|2|22x x -++≤的解集为M . （1）求集合M ；（2）设集合M 中元素的最大值为t .若0a >，0b >，0c >，满足111223t a b c++=，求2993a b c ++的最小值. 【详解】（1）115|2|(2)222x x x x ⎛⎫-++≥--+≥ ⎪⎝⎭， 又因为15|2|22x x -++≤， 所以15|2|22x x -++=， 当21x <-时，()135122,2222x x x x ⎛⎫---+=-+==- ⎪⎝⎭舍去，当122x -≤≤时，()15222x x ⎛⎫--++= ⎪⎝⎭成立，当2x >时，()13522,2222x x x x ⎛⎫-++=-== ⎪⎝⎭舍去，则122M x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）设集合M 中元素的最大值为2t =，即111423a b c++=.又因为22121111199349932344a b c a b c a b c ⎫⎛⎫⎛⎫++=++++≥++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以即2993a b c++的最小值14，当且仅当34a =，38b =，14c =时取等号. 20．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin()42πρθ-=. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点(1,0)P -，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求PA PB +的值.解：（Ⅰ）由223cos 193x x y y αα=⎧⎪⇒+=⎨=⎪⎩,所以曲线的普通方程为22193x y +=由sin()sin cos cos sin 142442y x πππρθρθρθ-=⇒-=⇒-= 所以直线的直角坐标方程1y x =+（Ⅱ）由（Ⅰ）知,点-1,0P （）在直线l 上,可设直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）, 代入22193x y +=得2280,2640t --=∆=+> 设,A B 两点对应的参数分别是12,t t ,则121242t t t t +==-由参数的几何意义得122PA PB t t +=-==,所以PA PB += 21．已知函数()()217g x x m x m =--+-.（1）若函数()g x 在[]2,4上具有单调性，求实数m 的取值范围；（2）若在区间[]1,1-上，函数()y g x =的图象恒在29y x =-图象上方，求实数m 的取值范围.【详解】(1)()g x 的对称轴的方程为12m x -=，若函数()g x 在[]2,4上具有单调性， 所以122m -≤或142m -≥，所以实数m 的取值范围是5m ≤或9m ≥. （2）若在区间[]1,1-上，函数()y g x =的图象恒在29y x =-图象上方，则()21729x m x m x --+->-在[]1,1-上恒成立，即()2120x m x m -+++>在[]1,1-上恒成立，设()()212f x x m x m =-+++，则()min 0f x >， 当112m -≤-，即3m ≤-时，()()min 1240f x f m =-=+>，此时m 无解， 当1112m --<<，即31m -<<时，()2min 11702424m m f x f m +⎛⎫==-++> ⎪⎝⎭，此时11m -<<，当112m -≥，即1m ≥时，()()min 120f x f ==>，此时1m ≥，综上1m ≥-22．已知函数21()(1)(12)ln (0)2f x ax a x a x a =+-+->． （1）若2x =是函数的极值点，求a 的值及函数()f x 的极值；（2）讨论函数的单调性．详解：（1）∵()()2112f x ax a =+- ()12ln x a x +-， ∴()()()1210a f x ax a x x -=++'->， 由已知()()122212a f a a -=+-+' 1202a =-=，解得14a =， 此时()2131ln 842f x x x x =-+， ()131442f x x x =-+' ()()124x x x--=， 当01x <<和2x >时， ()0f x '>， ()f x 是增函数，当12x <<时， ()0f x '<， ()f x 是减函数，所以函数()f x 在1x =和2x =处分别取得极大值和极小值，()f x 的极大值为()1351848f =-=-，极小值为()13112ln2ln212222f =-+=-. （2）由题意得()()121a f x ax a x -=+-+' ()()2112ax a x a x+-+-= ()()1210a a x x a x x-⎛⎫-- ⎪⎝⎭=>， ①当120a a -≤，即12a ≥时，则当01x <<时,()0f x '<,()f x 单调递减； 当1x >时 ,()0f x '>,()f x 单调递增． ②当1201a a -<<，即1132a <<时，则当120a x a-<<和1x >时,()0f x '>， ()f x 单调递增；当121a x a-<<时,()0f x '<,()f x 单调递减． ③当121a a ->，即103a <<时，则当01x <<和12a x a->时，()0f x '>,()f x 单调递增；当121a x a-<<时，()0f x '<，()f x 单调递减． ④当121a a -=，即13a =时，()0f x '≥，()f x 在定义域()0,+∞上单调递增． 综上：①当103a <<时，()f x 在区间121,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间()0,1和12,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；②当13a =时，()f x 在定义域()0,+∞上单调递增；③当1132a <<时， ()f x 在区间12,1a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间120,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增；④当12a ≥时 ()f x 在区间()0,1上单调递减，在区间（1,+∞）上单调递增．。

河南省南阳市第一实验高级中学2020-2021学年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 把函数的图象上个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；57 ：三角函数的图像与性质．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得平移后的函数，结合三角函数的性质对称中心．【解答】解：函数的图象上个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得y=sin（2x），再将图象向右平移个单位，可得：y=sin[2（x﹣）]=sin（2x）=﹣cos2x．令2x=，可得：x=，k∈Z．当k=0时，可得对称中点为（，0）．故选：D．2. 若是的重心，分别是角的对边，则角( )A． B. C． D.参考答案：D略3. 《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布585尺，问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为（）A．尺B．尺C．1尺D．尺参考答案：C4. 已知等差数列中，，记，S13=( ) A．78 B．68 C．56 D．52参考答案：D5. 已知幂函数的图像过点，令，，记数列的前项和为，则=10时，的值是( )A. 110B. 120C.130 D. 140参考答案：1206. 已知均为锐角，则下列不等式成立的是 ( )A. B.C. D.参考答案：B7. 已知A={x|﹣4＜x＜1}，B={x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∪B等于（）A．（﹣3，1）B．（﹣2，1）C．（﹣4，2）D．（﹣4，3）参考答案：D【考点】并集及其运算．【分析】先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．【解答】解A={x|﹣4＜x＜1}=（﹣4，1），B={x|x2﹣x﹣6＜0}=（﹣2，3）∴A∪B=（﹣4，3）故选：D．8. 已知锐角满足,则的最大值为A． B． C． D．参考答案：D9. 已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最大值为，则a=（）A．5 B．C．2 D．1参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．【解答】解：先作出不等式，对应的区域，如图：若z=2x+y的最大值为，则2x+y≤，直线y=a（x﹣2）过定点（2，0），则直线2x+y=与x+y=3相交于A，由得，即A（，），同时A也在直线y=a（x﹣2）上，即a（﹣2）=，得a=1故选：D．10. 将二项式（x+）6展开式中各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】二项式系数的性质．【分析】写出二项展开式的通项，求出所含有理项及无理项的个数，利用插空排列得到无理项互不相邻的事件数，由古典概型概率计算公式求得答案．【解答】解：由，可知，当r=0，2，4，6时，为有理项，则二项式（x+）6展开式中有4项有理项，3项为无理项．基本事件总数为．无理项互不相邻有．∴无理项互不相邻的概率是P=．故选：A．【点评】本题考查二项式系数的性质，考查了排列组合及古典概型概率计算公式，是中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知O是坐标原点，点A，若点M为平面区域上的一个动点，则的最小值是.参考答案：略12. 在等比数列{a n }中，a1=8，a 4=a 3?a 5，则a 7= ．参考答案：【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=8，a4=a3?a5，∴8q3=8q2?8q4，化为（2q）3=1，解得q=．∴a7==．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．13. 已知为抛物线上的两点，点的横坐标分别为，过分别作抛物线的切线，两切线交于点，则点的纵坐标为。

2021年河南省南阳市邓州第一中学高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知全集U={1,3,5,7,9}，A={1,5,7}，则（）A．{1,3} B．{3,7,9} C．{3,5,9} D．{3,9}参考答案：D由集合的补集概念可以直接得到.2. 如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（）A．与是异面直线B．平面C．，为异面直线，且D．平面参考答案：C3. 若函数是奇函数，则为A. B. C. D.参考答案：B略4. 已知点为正方体底面的中心，则下列结论正确的是A．直线平面 B．直线平面C．直线直线 D．直线直线参考答案：B略5. 下列说法正确的是（）A．对于函数f：A→B，其值域是集合BB．函数y=1与y=x0是同一个函数C．两个函数的定义域、对应关系相同，则表示同一个函数D．映射是特殊的函数参考答案：C【考点】函数的概念及其构成要素；命题的真假判断与应用；判断两个函数是否为同一函数．【专题】综合题；定义法；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】根据函数的定义进行判断即可．【解答】解：函数f：A→B，其值域是集合B的子集，故A错误，函数y=x0的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同，不是同一函数，故B错误，两个函数的定义域、对应关系相同，则表示同一个函数，正确，故C正确，函数是一种特殊的映射，但映射不一定是特殊的函数，只有建立在数集上的映射才是函数，故D错误，故选：C【点评】本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，利用函数的定义是解决本题的关键．比较基础．6. 已知函数，对于任意的，方程仅有一个实数根，则m的一个取值可以为A. B. C. D.参考答案：AB【分析】本题首先可以将转化为，然后可以利用推导出，再然后通过得出，最后根据题意可知，通过计算即可得出结果。

高中毕业班第一次模拟考试数 学（理科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝N ﹡，集合A ＝{1，2，3，5}，B ＝{2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为A ．{2}B ．{2，4，6}C ．{l ，3，5}D ．{4，6}2．已知i 是虚数单位，复数z 满足（i －1）z ＝i ，则z 的虚部是A ．12B ．－12C ．12iD ．－12i 3．若cos （2π2，则cos （π－2α）＝ A ．－59 B ．59C ． －29 D ．29 4．在区间上任选两个数x 和y ，则y ＜sinx 的概率为A ．24π B ．1－24πC ．22πD ．1－22π5．将函数y ＝cos （2x ＋6π）图象上的点P （4π，t ）向右平移m （m ＞0）个单位长度得到点P '，若P '位于函数y ＝cos2x 的图象上，则A ．t ＝－12，m 的最小值为12πB ．t ＝32－，m 的最小值为12π C ．t ＝－12，m 的最小值为6π D ．t ＝32－，m 的最小值为6π 6．执行如图所示的程序框图，若输入m ＝4，t ＝3，则输出y ＝A ．61B ．62C ．183D ．1847．在31()n x x －的展开式中，所有项的二项式系数之和为4096，则其常数项为A ．－1 10B ．110C ．220D ．－2208．已知M 是抛物线C ：2y ＝2px （p ＞0）上一点，F 是抛物线C 的焦点．若｜MF ｜＝p ，K 是抛物线C 的准线与x 轴的交点，则∠MKF ＝A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°9．函数f （x ）＝｜x ｜＋2a x （其中a ∈R ）的图象不可能是10．已知P 为矩形ABCD 所在平面内一点，AB ＝4，AD ＝3，PA 5PC ＝5PB uu r ·PD uu u r ＝A．－5 B．－5或0 C．5 D．0 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．16B．13C．1 D．212．已知函数f（x）＝（22x－x－1）x e，则方程e2＋tf（x）－9e＝0（t∈R）的根的个数为A．2 B．3C．4 D．5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．双曲线22221x ya b－＝（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x－y＋3＝0平行，则此双曲线的离心率为______________．14．若实数x，y满足100,2,x yxy⎧⎪⎨⎪⎩－＋≤＞≤则221yx＋的取值范围是_______________15．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺．问受粟几何?”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能装多少斛米．”则该圆柱形容器能装米_________斛．（古制1丈＝10尺，1斛＝1．62立方尺，圆周率π≈3）16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞b ，a ＞c ．△ABC 的外接圆半径为1，a ＝3．若边BC 上一点D 满足BD ＝2DC ，且∠BAD ＝90°，则△ABC 的面积 为______________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足n a ＝2n S ＋1（n ∈N ﹡）．（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）若n b ＝（2n －1）·n a ，求数列{n b }的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电情况进行了调查，通过抽样，获得了某年200户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中m 的值并估计居民月均用电量的中位数；（Ⅱ）从样本里月均用电量不低于700度的用户中随机抽取4户，用X 表示月均用电量不低于800度的用户数，求随机变量X 的分布列及数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，侧面ABB 1A 1是边长为2的正方形，点E ，F 分别在线段AA 1，A 1B 1上，且AE ＝12， A 1F ＝34，CE ⊥EF （Ⅰ）证明：平面ABB 1A 1⊥平面ABC ；（Ⅱ）若CA ⊥CB ，求直线AC 1与平面CEF 所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知圆O ： 221x y ＋＝过椭圆C ：22221y x a b ＋＝(a ＞b ＞0)的短轴端点，P ，Q 分别是圆O 与椭圆C 上任意两点，且线段PQ 长度的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(0，t)作圆O 的一条切线交椭圆C 于M ，N 两点，求△OMN 的面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝2x ＋2ax ＋bcosx 在点（2π、f （2π））处的切线方程为y ＝34π． （Ⅰ）求a ，b 的值，并讨论f （x ）在上的增减性；（Ⅱ）若f （x 1）＝f （x 2），且0＜x 1＜x 2＜π，求证：12()2x x f '＋＜0． （参考公式cos θ－cos ϕ＝－2sin 2θϕ＋sin 2θϕ－）请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x t y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝1（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ．（Ⅰ）判断直线l 与圆C 的交点个数；（Ⅱ）若圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求线段AB 的长度．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数f （x ）＝｜x ＋2｜－｜x －2｜＋m （m ∈R ）．（Ⅰ）若m ＝1，求不等式f （x ）≥0的解集；（Ⅱ）若方程f （x ）＝x 有三个实根，求实数m 的取值范围．。

2021-2021学年河南省南阳、信阳等六市高考数学一模试卷（理科）2021-2021学年河南省南阳、信阳等六市高考数学一模试卷（理科）温馨提示：多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合集的个数是（） A．0B．1C．2D．4，C=A∩B，则C的子2．复数z满足（1��i）=|1+i|，则复数z的实部与虚部之和为（） A．B．��C．1D．03．设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是（）A．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β C．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β 4．给出下列四个结论：①已知X服从正态分布N（0，?2），且P（��2≤X≤2）=0.6，则P（X＞2）=0.2；B．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β②若命题��1≥0；，则�Vp：?x∈（��∞，1），x2��x③已知直线l1：ax+3y��1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是其中正确的结论的个数为（） A．0B．1C．2D．3，则tanC的值是（）D．��2．5．在△ABC中，A．1B．��1 C．26．如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．90，且z的最大值是最小值的4倍，7．已知z=2x+y，其中实数x，y满足则a的值是（） A．B． C．4D．8．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x��）=f（x+）恒成立，当x∈[2，3]时，f（x）=x，则当x∈（��2，0）时，函数f（x）的解析式为（） A．|x��2| B．|x+4|C．3��|x+1|D．2+|x+1|个单位后得到函数g（x）的图象，9．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移若函数g（x）在区间[0，]和[2a，是（）A．[，] B．[，] C．[��，]上均单调递增，则实数a的取值范围] D．[，]10．已知F2、F1是双曲线=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．3B．C．2D．11．一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（）A．π B．3π C．4π D．6π12．中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆O，其“优美函数“有无数个”；②函数可以是某个圆的“优美函数”；③正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数y=f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y=f（x）的图象是中心对称图形．其中正确的命题是（）A．①③B．①③④ C．②③ D．①④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量，若，则= ．14．（2x2+x��1）5的展开式中，x3的系数为．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c?cosB=2a+b，若△ABC的面积为S=16．椭圆C：c，则ab的最小值为． +=1的上、下顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[��2，��1]，那么直线PA1斜率的取值范围是．三、解答题（本题必作题5小题，共60分；选作题2小题，考生任作一题，共10分.）17．观察下列三角形数表：假设第n行的第二个数为，（1）归纳出an+1与an的关系式，并求出an的通项公式；（2）设anbn=1（n≥2），求证：b2+b3+…+bn＜2．18．如图所示的几何体中，ABC��A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．（1）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（2）若CD=2，AA1=λAC，二面角A��C1D��C的余弦值为的体积．，求三棱锥C1��A1CD19．为了对2021年某校中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学分数（已折算为百分制）从小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95．（1）若规定85分以上为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；（2）若这8位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95化学分数z 67 72 76 80 84 87 90 92 ①用变量y与x、z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；②求y与x、z与x的线性回归方程（系数精确到0.01），当某同学的数学成绩为50分时，估计其物理、化学两科的得分．参考公式：相关系数，回归直线方程是：，其中，参考数据：，，，．20．如图，抛物线C：y2=2px的焦点为F，抛物线上一定点Q（1，2）．（1）求抛物线C的方程及准线l的方程；（2）过焦点F的直线（不经过Q点）与抛物线交于A，B两点，与准线l交于点M，记QA，QB，QM的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2020届河南省南阳市第一中学高三下学期第一次月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合UA B 是( )A ．{1,3,5,6}B ．{1,3,5}C ．{1,3}D ．{1,5}2．已知复数z 满足()13z i i -=+（i 为虚数单位),则复数z =（ ） A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -3．等比数列{}n a 的各项均为正数，已知向量()45,a a a =，()76,b a a =，且4a b ⋅=，则2122210log log log (a a a ++⋯+= ) A ．12B ．10C ．5D ．22log 5+4．下列四个命题：①函数()f x cosxsinx =的最大值为1；②“x R ∀∈，3210x x -+≤”的否定是“320,10x R x x ∃∈-+>”；③若ABC 为锐角三角形，则有++>++sinA sinB sinC cosA cosB cosC ；④“0a ≤”是“函数()2f x x ax =-在区间()0,∞+内单调递增”的充分必要条件．其中错误的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若221sin cos 2C C -=，则下列各式正确的是（ ） A ．2a b c += B ．2a b c +≤ C ．2a b c +<D ．2a b c +≥6．函数()3sin 2xx x f ex =+在[]2,2ππ-上的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．7．某简单几何体的三视图（俯视图为等边三角形）如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）为A ．18B ．C ．D ．8．已知正方形ABCD 的边长为2，以B 为圆心的圆与直线AC 相切.若点P 是圆B 上的动点，则DB AP ⋅的最大值是（ ）A ．B ．C ．4D ．89．已知函数()()2sin 10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>≤ ⎪⎝⎭，其图象与直线1y =-相邻两个交点的距离为π，若()1f x >对于任意的,123x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭恒成立，则ϕ的取值范围是( ) A ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,62ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 10．已知椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，I 为12PF F ∆的内心，且1221IPF IF F IPF S S S λ∆∆∆=-，若椭圆的离心率为e ，则λ=（ ） A ．1eB ．2eC ．eD ．2e11．已知椭圆22143x y +=的右焦点F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，则过F 作倾斜角为60︒的直线分别交抛物线于,A B （A 在x 轴上方）两点，则||||AF BF 的值为（ ） AB ．2C ．3D ．412．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+ ，当[0,1]x ∈时，()f x x =.函数|1|()(13)x g x e x --=-<<，则()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6二、填空题13．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为__________． 14．函数()f x x a =+的图象在1x =处的切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，则实数a 的值为________.15．已知6(12)x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则b a=___________.16．平行四边形ABCD 中，△ABD 是腰长为2的等腰直角三角形，90ABD ∠=︒，现将△ABD 沿BD 折起，使二面角A BD C --大小为23π，若,,,A B C D 四点在同一球面上，则该球的表面积为_____.三、解答题17．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若3B b ABC π==，的面积S =，求a +c 值；（2）若2cos C （BA BC ⋅+AB AC ⋅）=c 2，求角C ． 18．如图,四棱锥P ABCD -中，//AB DC ，2ADC π∠=，122AB AD CD ===，PD PB ==PD BC ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ；（2）在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为3π？若存在，求CMCP的值；若不存在，说明理由． 19．近来天气变化无常，陡然升温、降温幅度大于10C ︒的天气现象出现增多.陡然降温幅度大于10C ︒容易引起幼儿伤风感冒疾病.为了解伤风感冒疾病是否与性别有关，在某妇幼保健院随机对人院的100名幼儿进行调查,得到了如下的列联表,若在全部100名幼儿中随机抽取1人，抽到患伤风感冒疾病的幼儿的概率为25, (1)请将下面的列联表补充完整;(2)能否在犯错误的概率不超过0.1的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有关?说明你的理由;(3)已知在患伤风感冒疾病的20名女性幼儿中,有2名又患黄痘病.现在从患伤风感冒疾病的20名女性中,选出2名进行其他方面的排查,记选出患黄痘病的女性人数为X ,求X 的分布列以及数学期望.下面的临界值表供参考:参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中 .n a b c d =+++20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，过2F 的一条直线交椭圆于P Q 、两点，若12PF F ∆的周长为4+，且长轴长与短轴长之比为.(1)求椭圆C 的方程；(2)若12F P F Q PQ +=，求直线PQ 的方程. 21．已知函数()cos xf x e x =-.(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)证明：()f x 在区间(,)2π-+∞上有且仅有2个零点.22．在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为1(x cos y sin ααα=+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上，且满足||||8OA OB ⋅=，点B 的轨迹为2C . （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）设点M 的极坐标为2,2π⎛⎫⎪⎝⎭，求ABM ∆面积的最小值。

河南省南阳市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15(单位：升)，则输入的k 的值为（ ） A ．45B ．60C ．75D ．100【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算． 【详解】 由题意12315234S ⨯⨯⨯=，60S =．故选：B. 【点睛】本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键． 2．函数sin ln ||2y x x π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性可排除选项A,C ，当0x +→时，可分析函数值为正，即可判断选项. 【详解】sin ln ||cos ln ||2y x x x x π⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭,cos()ln ||cos ln ||x x x x ∴---=-,即函数为偶函数， 故排除选项A,C ，当正数x 越来越小，趋近于0时，cos 0,ln ||0x x -<<，所以函数sin ln ||02y x x π⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭，故排除选项B,故选：D 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，识别函数的图象，属于中档题.3．若复数z 满足3(1)1z z i +=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（ ） A ．1 B ．0C ．1-D ．132-+ 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则求出z ，再根据共轭复数的概念求解即可． 【详解】解：∵331z i zi -=，则122z =--， ∴1z z +=-， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算法则，考查共轭复数的概念，属于基础题． 4．关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D ．将函数2y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 【答案】B 【解析】 【分析】化简到()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据定义域排除ACD ，计算单调性知B 正确，得到答案.【详解】22tan ()cos 2sin 2cos 221tan 4x f x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪+⎝⎭，故函数的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，故A 错误；当3,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,224x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，函数单调递增，故B 正确；当4πx =-，关于8x π=的对称的直线为2x π=不在定义域内，故C 错误.平移得到的函数定义域为R ，故不可能为()y f x =，D 错误. 故选：B . 【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.让3个学生“向后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】 【分析】通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数. 【详解】“正面朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示， 利用列举法，可得下表，可知需要的次数为4次. 故选：B. 【点睛】本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直观感受，属于基础题.6．已知1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A 、B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足恰为1F ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2 BC ．D 【答案】B 【解析】 【分析】设点B 位于第二象限，可求得点B 的坐标，再由直线2BF 与直线by x a=垂直，转化为两直线斜率之积为1-可得出22b a的值，进而可求得双曲线C 的离心率.【详解】设点B 位于第二象限，由于1BF x ⊥轴，则点B 的横坐标为B x c =-，纵坐标为B B b bcy x a a=-=，即点,bc B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由题意可知，直线2BF 与直线b y x a =垂直，222BF bcb a a kc a b-==-=-，222b a ∴=， 因此，双曲线的离心率为2222213c a b b e a a a+===+=. 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出a 、b 、c 的等量关系，考查计算能力，属于中等题.7．已知函数f(x)＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f(x)＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( ) A ．1,e 2⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,2e e ⎛⎤ ⎥ ⎝⎦D ．1,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由已知可将问题转化为：y ＝f(x)的图象和直线y ＝kx －12有4个交点，作出图象，由图可得：点(1,0)必须在直线y ＝kx －12的下方，即可求得：k ＞12；再求得直线y ＝kx －12和y ＝ln x 相切时，k ＝e e；结合图象即可得解. 【详解】若关于x 的方程f(x)＝kx －12恰有4个不相等的实数根， 则y ＝f(x)的图象和直线y ＝kx －12有4个交点．作出函数y ＝f(x)的图象，如图，故点(1,0)在直线y ＝kx －12的下方．当直线y ＝kx －12和y ＝ln x 相切时，设切点横坐标为m ， 则k ＝1ln 2m m+＝1m，∴m ＝e . 此时，k ＝1m ＝e e，f(x)的图象和直线y ＝kx －12有3个交点，不满足条件， 故所求k 的取值范围是1,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭，故选D.. 【点睛】本题主要考查了函数与方程思想及转化能力，还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力，属于难题． 8．设复数z 满足()117i z i +=-，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】 【分析】化简得到34z i =--，得到答案. 【详解】()117i z i +=-，故()()()()1711768341112i i i iz i i i i -----====--++-，对应点在第三象限. 故选：C . 【点睛】本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力.9．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体平均水平优于甲 【答案】D 【解析】 【分析】根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项. 【详解】对于A 选项，甲的数据分析3分，乙的数据分析5分，甲低于乙，故A 选项错误. 对于B 选项，甲的建模素养3分，乙的建模素养4分，甲低于乙，故B 选项错误. 对于C 选项，乙的六大素养中，逻辑推理5分，不是最差，故C 选项错误.对于D 选项，甲的总得分45334322+++++=分，乙的总得分54545427+++++=分，所以乙的六大素养整体平均水平优于甲，故D 选项正确. 故选：D 【点睛】本小题主要考查图表分析和数据处理，属于基础题.10．35(1)(2)x y --的展开式中，满足2m n +=的m n x y 的系数之和为（ ） A ．640 B ．416C ．406D ．236-【答案】B 【解析】 【分析】2m n +=，有02m n =⎧⎨=⎩，11m n =⎧⎨=⎩，20m n =⎧⎨=⎩三种情形，用33(1)(1)x x -=-+中m x 的系数乘以55(2)(2)y y -=-+中n y 的系数，然后相加可得．【详解】当2m n +=时，35(1)(2)x y --的展开式中m nx y 的系数为358()55353535(1)(2)(1)22m m m n n n n n m n n m n n m n m n C x C y C C x y C C x y ---+---⋅-=⋅⋅-⋅=⋅⋅．当0m =，2n =时，系数为3211080⨯⨯=；当1m =，1n =时，系数为4235240⨯⨯=；当2m =，0n =时，系数为523196⨯⨯=；故满足2m n +=的m nx y 的系数之和为8024096416++=．【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项式定理和多项式乘法是解题关键． 11．已知13ω>，函数()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值，给出下列四个结论：①()f x 在(,2)ππ上单调递增； ②511,1224ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ③()f x 在[0,]π上没有零点； ④()f x 在[0,]π上只有一个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②④ B ．①③C ．②③D ．①②④【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数()sin 23f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值求出1512224k k ω-+或51112224k k ω++.再根据已知求出1132ω<，判断函数的单调性和零点情况得解. 【详解】因为函数()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值. 所以22422332k k πππππωπωππ--<-+，或32242,2332k k k πππππωπωππ+-<-+∈Z 解得1512224k k ω-+或51112224k k ω++. 又212,23T ππωω=>，所以1132ω<. 令0k =.可得511,1224ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.且()f x 在(,2)ππ上单调递减. 当[0,]x π∈时，2,2333x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，且72,3212ππππω⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 在[0,]π上只有一个零点. 所以正确结论的编号②④本题主要考查三角函数的图象和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．已知实数x 、y 满足不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =-+的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．32-D ．2-【答案】A 【解析】 【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案． 【详解】画出不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示平面区域，如图所示，由目标函数3z x y =-+，化为直线3y x z =+，当直线3y x z =+过点A 时， 此时直线3y x z =+在y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值，又由2100x y y -+=⎧⎨=⎩，解得(1,0)A -，所以目标函数的最大值为3(1)03z =-⨯-+=，故选A ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省南阳市2021届新高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好； ③若数据123,,,,n x x x x L 的方差为1，则1232+1,2+1,2+1,,2+1n x x x x L 的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据()()()11221010,,,,,,x y x y x y L ，其线性回归方程ˆˆˆybx a =+，则“()00,x y 满足线性回归方程ˆˆˆy bx a =+”是“1210010x x x x +++=L ，1210010y y y y ++=L ”的充要条件；其中真命题的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】 【分析】①根据线性相关性与r 的关系进行判断, ②根据相关指数2R 的值的性质进行判断, ③根据方差关系进行判断,④根据点()00,x y 满足回归直线方程，但点()00,x y 不一定就是这一组数据的中心点，而回归直线必过样本中心点，可进行判断. 【详解】①若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r 的绝对值越接近于1,故①正确; ②用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果,2R 越大,模型的拟合效果越好,故②错误;③若统计数据123,,,,n x x x x L 的方差为1,则1232+1,2+1,2+1,,2+1n x x x x L 的方差为224=,故③正确; ④因为点()00,x y 满足回归直线方程，但点()00,x y 不一定就是这一组数据的中心点，即1210010x x x x +++=L ，1210010y y y y ++=L 不一定成立，而回归直线必过样本中心点，所以当1210010x x x x +++=L ，1210010y y y y ++=L 时，点 ()00,x y 必满足线性回归方程 ˆˆˆybx a =+；因此“()00,x y 满足线性回归方程ˆˆˆy bx a =+”是“1210010x x x x +++=L ，1210010y y y y ++=L ”必要不充分条件.故 ④错误; 所以正确的命题有①③. 故选：C. 【点睛】本题考查两个随机变量的相关性，拟合性检验，两个线性相关的变量间的方差的关系，以及两个变量的线性回归方程，注意理解每一个量的定义，属于基础题.2．已知奇函数()f x 是R 上的减函数，若,m n 满足不等式组()(2)0(1)0()0f m f n f m n f m +-≥⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩，则2m n -的最小值为（ ） A ．-4 B ．-2C ．0D ．4【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性得到可行域，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】奇函数()f x 是R 上的减函数，则()00f =，且2100m nm n m ≤-⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，画出可行域和目标函数，2z m n =-，即2n m z =-，z 表示直线与y 轴截距的相反数，根据平移得到：当直线过点()0,2，即0.2m n ==时，2z m n =-有最小值为2-. 故选：B.【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，线性规划问题，意在考查学生的综合应用能力，画出图像是解题的关键.3．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。

河南省南阳市第一中学校2021-2022学年高三上学期第一次月考数学（理）试题一、单选题(★★) 1. 设集合，集合，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 函数 y＝的值域为（）A．(0，3)B．[0，3]C．(－∞，3]D．[0，＋∞)(★★) 3. 下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是A．B．C．D．二、多选题(★★★) 4. 下列命题正确的是（）A．若或，则.B．设命题，，则为，C．在为减函数D．命题的一个必要不充分条件是三、单选题(★★) 5. 设函数是定义在上的奇函数，且则（）A．3B．－3C．2D．－2(★★★) 6. 设 a＝log 50.5， b＝log 20.3， c＝log 0.32，则 a， b， c的大小关系是（）A．b<a<c B．b<c<aC．c<b<a D．a<b<c(★★★) 7. 已知对数函数是增函数，则函数的图象大致是A．B．C．D．(★★★) 8. 设函数，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．或D．(★★) 9. 已知是上的奇函数，当时，，函数，若，则实数的取值范围是A．B．C．D．(★★★) 10. 奇函数的定义域为 R，若为偶函数，且，则（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1(★★) 11. 若函数有最小值，则实数 a的取值范围是（）A．(0，1)B．(0，1)∪(1，)C．(1，)D．[，＋∞)(★★★★) 12. 已知函数，，若有且只有一个零点，则正实数的取值范围是（）A．B．C．D．四、填空题(★★) 13. 函数的定义域是 ______ ．(★★★) 14. 已知函数的图象关于原点对称，是偶函数，则 ______ .(★★★)15. 若关于的不等式（，且）对于任意的恒成立，则的取值范围为 ___________ .(★★★) 16. 对于函数，如果存在，使得，则称（，）与（，）为函数图象的一组奇对称点.若（为自然对数的底数）的图象上存在奇对称点，则实数的取值范围是 ___________ .五、解答题(★★) 17. （1）化简：；（2）计算：.(★★★)18. 设命题对任意，不等式恒成立；命题存在，使得不等式成立.（1）若非为假命题，求实数的取值范围；（2）若命题或为真命题，命题且为假命题，求实数的取值范围.(★★★) 19. 已知二次函数，满足，. （1）求函数的解析式；（2）求在区间上的值域；（3）若函数在区间上单调，求实数的取值范围.(★★) 20. 定义在上的函数对任意的，都有，且当时，.（1）若，证明：是奇函数.（2）若，解不等式.(★★★) 21. 已知函数是定义在上的奇函数，且．（1）确定函数的解析式；（2）用定义证明在上是增函数：（3）解关于 x的不等式．(★★★) 22. 已知（，且），且.（1）求的值；（2）设函数，试判断的奇偶性，并说明理由；（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.。

2020-2021学年河南省南阳一中（上）第一次月考高三数学试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．（5分）全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则∁U（M∪N）等于（）A．{1，3，5} B．{1，5} C．{l，6} D．{2，4，6}2．（5分）集合P={3，4，5}，Q={6，7}，定义P*Q={（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P*Q的子集个数为（）A．7 B．12 C．32 D．643．（5分）已知命题p：函数y=2﹣a x+1的图象恒过定点（1，2）；命题q：若函数y=f（x﹣1）为偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p∧q D．p∨￢q4．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）为减函数，若a=f（20.3），，c=f（log25），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b5．（5分）函数f（x）=为R的单调函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[﹣1，0）C．（﹣2，0）D．（﹣∞，﹣2）6．（5分）下列说法正确的是（）A．命题p：“”，则¬p是真命题B．命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”C．“x=﹣1”是“x2+2x+3=0”的必要不充分条件D．“a＞1”是“f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件7．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜）图象的一条对称轴为x=，则要得到函数F（x）=f′（x）﹣f（x+）的图象，只需把函数f（x）的图象（）A．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍B．向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍C．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍D．向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍8．（5分）已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（2x）的定义域为[0，1]，则f（log2x）的定义域为（）A．[0，1] B．[1，2] C．[2，4] D．[﹣1，0]10．（5分）已知f（x）是定义在R上且以3为周期的奇函数，当时，f（x）=ln（x2﹣x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（）A．3 B．5 C．7 D．911．（5分）已知函数f（x）=，且对于任意实数a∈（0，1）关于x的方程f（x）﹣a=0都有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是（）A．（2，4] B．（﹣∞，0]∪[4，+∞） C．[4，+∞）D．（2，+∞）12．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f （x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）二、填空题（每小题5分，共20分.）13．（5分）已知直线x=是函数f（x）=asinx﹣bcosx（ab≠0）图象的一条对称轴，则直线ax+by+c=0的倾斜角为．14．（5分）函数f（x）=lg（2cosx﹣1）+的定义域是．15．（5分）已知f（x）=log（x2﹣ax+3a）在区间[2，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是．16．（5分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f′′（x）是f′（x）的导数，若方程f′′（x）有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数f（x）=x3﹣x2+3x﹣，请你根据这一发现，计算f（）+f（）+f（）+…+f（）= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）化简计算下列各式的值（1）+；（2）．18．（12分）已知集合A={x|≤2x≤128}，B={y|y=log2x，x∈[，32]．（1）若C={x|m+1≤x≤2m﹣1}，C⊆（A∩B），求实数m的取值范围．（2）若D={x|x＞6m+1}，且（A∪B）∩D=∅，求实数m的取值范围．19．（12分）命题p：“关于x的方程x2+ax+1=0有解”，命题q：“∀x∈R，e2x﹣2ex+a≥0恒成立”，若“p ∧q”为真，求实数a的取值范围．20．（12分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=[f（x﹣）]2，求函数g（x）在x∈[﹣，]上的最大值，并确定此时x的值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+a2，a∈R．（1）若a=0，求函数f（x）在[1，e]上的最小值；（2）根据a的不同取值，讨论函数f（x）的极值点情况．22．（12分）已知函数f（x）=ln（1+x）﹣（a＞0）．（1）若函数在x=1处的切线与x轴平行，求a的值；（2）若f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：（）2017＜（e是自然对数的底数）．2020-2021学年河南省南阳一中（上）第一次月考高三数学试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．（5分）全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则∁U（M∪N）等于（）A．{1，3，5} B．{1，5} C．{l，6} D．{2，4，6}【分析】由题意和并集的运算求出M∪N，再由补集的运算求出∁U（M∪N）【解答】解：因为M={2，3，4}，N={4，5}，所以M∪N={2，3，4，5}，又全集U={1，2，3，4，5，6}，所以∁U（M∪N）={l，6}，故选：C．【点评】本题考查了补、交、并的混合运算，属于基础题．2．（5分）集合P={3，4，5}，Q={6，7}，定义P*Q={（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P*Q的子集个数为（）A．7 B．12 C．32 D．64【分析】先求出集合P*Q中的元素有6个，由此可得P*Q的子集个数为26个，从而得出结论．【解答】解：集合P*Q中的元素为（3，6），（3，7），（4，6），（4，7），（5，6），（5，7）共6个，故P*Q的子集个数为26=64，故选 D．【点评】本题主要考查求集合的子集，属于基础题．3．（5分）已知命题p：函数y=2﹣a x+1的图象恒过定点（1，2）；命题q：若函数y=f（x﹣1）为偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p∧q D．p∨￢q【分析】由函数的翻折和平移，得到命题p假，则￢p真；由函数的奇偶性，对轴称和平移得到命题q假，则命题￢q真，由此能求出结果．【解答】解：函数y=2﹣a x+1的图象可看作把y=a x的图象先沿轴反折，再左移1各单位，最后向上平移2各单位得到，而y=a x的图象恒过（0，1），所以函数y=2﹣a x+1恒过（﹣1，1）点，所以命题p假，则￢p真．函数f（x﹣1）为偶函数，则其对称轴为x=0，而函数f（x）的图象是把y=f（x﹣1）向左平移了1各单位，所以f（x）的图象关于直线x=﹣1对称，所以命题q假，则命题￢q真．综上可知，命题p∧￢q为真命题．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断，是中档题，解题时要认真审题，注意得复合命题的性质的合理运用．4．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）为减函数，若a=f（20.3），，c=f（log25），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b【分析】由题意可知f（x）在[0，+∞）为增函数，根据函数的单调性即可判断．【解答】解：函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）为减函数，∴f（x）在[0，+∞）为增函数，∵=f（﹣2）=f（2），1＜20.3＜2＜log25，∴c＞b＞a，故选：B．【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．5．（5分）函数f（x）=为R的单调函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[﹣1，0）C．（﹣2，0）D．（﹣∞，﹣2）【分析】先求f′（x），讨论a的取值从而判断函数f（x）在每段上的单调性，当在每段上都单调递增时求得a＞0，这时需要求函数ax2+1在x=0时的取值大于等于（a+2）e ax在x=0时的取值，这样又会求得一个a的取值，和a＞0求交集即可；当在每段上都单调递减时，求得﹣2＜a＜0，这时需要求函数ax2+1在x=0处的取值小于等于（a+2）e ax在x=0处的取值，这样又会求得一个a的取值，和﹣2＜a＜0求交集即可；最后对以上两种情况下的a求并集即可．【解答】解：f′（x）=；∴（1）若a＞0，x≥0时，f′（x）≥0，即函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且ax2+1≥1；要使f（x）在R上为单调函数，则x＜0时，a（a+2）＞0，∵a＞0，∴解得a＞0，并且（a+2）e ax＜a+2，∴a+2≤1，解得a≤﹣1，不符合a＞0，∴这种情况不存在；（2）若a＜0，x≥0时，f′（x）≤0，即函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且ax2+1≤1；要使f（x）在R上为单调函数，则x＜0时，a（a+2）＜0，解得﹣2＜a＜0，并且（a+2）e ax＞a+2，∴a+2≥1，解得a≥﹣1，∴﹣1≤a＜0；综上得a的取值范围为[﹣1，0）．故选：B．【点评】考查函数导数符号和函数单调性的关系，函数单调递增，递减函数的定义．6．（5分）下列说法正确的是（）A．命题p：“”，则¬p是真命题B．命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”C．“x=﹣1”是“x2+2x+3=0”的必要不充分条件D．“a＞1”是“f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件【分析】A．利用含有量词的命题的否定去判断．B．利用含有量词的命题的否定去判断．C．利用充分条件和必要条件的定义判断．D．利用对数函数单调性的性质判断．【解答】解：A．∵sinx+cosx=，∴sinx+cosx成立，即p为真命题，则￢p为假命题，∴A错误．B．根据特称命题的否定是特称命题可知：命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，∴B错误．C．∵△=4﹣4×3=﹣8＜0，∴x2+2x+3=0方程无解，∴C错误．D．根据对数函数的性质可知，若a＞1时，f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数，成立．若f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数，则a＞1．∴“a＞1”是“f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件，∴D正确．故选D．【点评】本题主要考查命题的真假判断，利用充分条件和必要条件的定义以及含有量词的命题的否定的定义和性质是解决本题的关键．7．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜）图象的一条对称轴为x=，则要得到函数F（x）=f′（x）﹣f（x+）的图象，只需把函数f（x）的图象（）A．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍B．向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍C．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍D．向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍【分析】由题意根据正弦函数的图象的对称性，求得φ的值，可得f（x）的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由于函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜）图象的一条对称轴为x=，可得2×+φ=kπ+，k∈Z，求得φ=kπ+，k∈Z．再结合0＜φ＜，可得φ=，f（x）=sin（2x+），∴f′（x）=2cos（2x+），∴F（x）=f′（x）﹣f（x+）=2cos（2x+）﹣sin（2x+）=2cos2xcos﹣2sin2xsin﹣cos2x=﹣sin2x．故把函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位，可得y=sin[2（x+）+]=﹣sin2x的图象；再把所得图象的纵坐标伸长为原来的倍，可得F（x）=﹣sin2x的图象，故选：C．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．8．（5分）已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】由于f（x）=x2+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函数的定义得函数f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合．【解答】解：由于f（x）=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣f′（x），故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x=时，f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合，故选：A．【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，同时考查导数的计算，属于中档题．9．（5分）已知函数f（2x）的定义域为[0，1]，则f（log2x）的定义域为（）A．[0，1] B．[1，2] C．[2，4] D．[﹣1，0]【分析】由f（2x）的定义域为[0，1]，能够导出1≤2x≤2，从而得到在f（log2x）中，1≤log2x≤2，由此能求出f（log2x）的定义域．【解答】解：∵f（2x）的定义域为[0，1]，∴0≤x≤1，1≤2x≤2，∴在f（log2x）中，令1≤log2x≤2，解得2≤x≤4，故选C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查指数函数和对数函数的运算，属于基础题．10．（5分）已知f（x）是定义在R上且以3为周期的奇函数，当时，f（x）=ln（x2﹣x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（）A．3 B．5 C．7 D．9【分析】由f（x）=ln（x2﹣x+1）=0，先求出当时的零点个数，然后利用周期性和奇偶性判断f（x）在区间[0，6]上的零点个数即可．【解答】解：因为函数为奇函数，所以在[0，6]上必有f（0）=0．当时，由f（x）=ln（x2﹣x+1）=0得x2﹣x+1=1，即x2﹣x=0．解得x=1．因为函数是周期为3的奇函数，所以f（0）=f（3）=f（6）=0，此时有3个零点0，3，6．f（1）=f（4）=f（﹣1）=f（2）=f（5）=0，此时有1，2，4，5四个零点．当x=时，f（）=f（）=f（）=﹣f（），所以f（）=0，即f（）=f（）=f（）=0，此时有两个零点，．所以共有9个零点．故选D．【点评】本题主要考查函数零点的判断，利用函数的周期性和奇偶性，分别判断零点个数即可，综合性较强．11．（5分）已知函数f（x）=，且对于任意实数a∈（0，1）关于x的方程f（x）﹣a=0都有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是（）A．（2，4] B．（﹣∞，0]∪[4，+∞） C．[4，+∞）D．（2，+∞）【分析】利用分段函数，分析出m的范围，然后利用数形结合求解选项即可．【解答】解：函数f（x）=，可知x≤1时，函数是圆的上半部分，函数的最大值为1，x＞1时，f（x）=﹣x2+2mx﹣2m+1，的对称轴为x=m，开口向下，对于任意实数a∈（0，1）关于x的方程f （x）﹣a=0都有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x＞1时，函数的最大值中的最小值为1，此时m≥2，在平面直角坐标系中，画出函数y=f（x）与y=a的图象如图：x1+x2=0，x3+x4≥2m≥4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是[4，+∞）．故选：C．【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数与方程的应用，函数的图象，以及分析问题解决问题的能力，是难度比较大的题目．12．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f （x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）【分析】由题意可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，令g（x）=log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点，画出图形，数形结合，根据g（2）＞f（2），求得a的取值范围．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），可得f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数f（x）的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．作出函数的图象，如图所示，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1．要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），即 log a（2+1）＞f（2）=﹣2，∴log a3＞﹣2，∴3＜，解得﹣＜a＜．又a＞0，∴0＜a＜，故选：B．【点评】本题主要考查函数周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分.）13．（5分）已知直线x=是函数f（x）=asinx﹣bcosx（ab≠0）图象的一条对称轴，则直线ax+by+c=0的倾斜角为．【分析】先根据函数的对称轴推断出f（0）=f（），求得a和b的关系，进而求得直线的斜率，则直线的倾斜角可求得．【解答】解：由条件知f（0）=f（），∴﹣b=a，∴=﹣1，∴k=﹣=1，故倾斜角为．故答案为：．【点评】本题主要考查了函数的图象，直线的方程及斜率的问题．考查了学生逻辑思维和空间思维的能力．解题的关键是利用好函数的对称轴．14．（5分）函数f（x）=lg（2cosx﹣1）+的定义域是{x|﹣7≤x＜﹣或＜x＜或＜x≤7} ．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即，解得﹣7≤x＜﹣或＜x＜或＜x≤7，故函数的定义域为{x|﹣7≤x＜﹣或＜x＜或＜x≤7}，故答案为：{x|﹣7≤x＜﹣或＜x＜或＜x≤7}．【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件15．（5分）已知f（x）=log（x2﹣ax+3a）在区间[2，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是﹣4＜a≤4 ．【分析】令t=x2﹣ax+3a，则由题意可得函数t在区间[2，+∞）上为增函数且t（2）＞0，故有，由此解得实数a的取值范围．【解答】解：令t=x2﹣ax+3a，则由函数f（x）=g（t）=log t 在区间[2，+∞）上为减函数，可得函数t在区间[2，+∞）上为增函数且t（2）＞0，故有，解得﹣4＜a≤4，故答案为：﹣4＜a≤4．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．16．（5分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f′′（x）是f′（x）的导数，若方程f′′（x）有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数f（x）=x3﹣x2+3x﹣，请你根据这一发现，计算f（）+f（）+f（）+…+f（）= 2014 ．【分析】由题意可推出（，1）为f（x）的对称中心，从而可得f（）+f（）=2f（）=2，从而求f（）+f（）+f（）+…+f（）=2014的值．【解答】解：f′（x）=x2﹣x+3，由f′′（x）=2x﹣1=0得x0=，f（x0）=1，则（，1）为f（x）的对称中心，由于，则f（）+f（）=2f（）=2，则f（）+f（）+f（）+…+f（）=2014．故答案为：2014．【点评】本题考查了类比推理的应用，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）化简计算下列各式的值（1）+；（2）．【分析】（1）利用诱导公式化简函数的表达式即可．（2）利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：（1）+==﹣sinα+sinα=0；（2）==1．【点评】本题考查三角函数化简求值，对数运算法则的应用，考查计算能力．18．（12分）已知集合A={x|≤2x≤128}，B={y|y=log2x，x∈[，32]．（1）若C={x|m+1≤x≤2m﹣1}，C⊆（A∩B），求实数m的取值范围．（2）若D={x|x＞6m+1}，且（A∪B）∩D=∅，求实数m的取值范围．【分析】先化简集合A，B，（1）根据集合的交集的运算和C⊆（A∩B），分类讨论，求出m的范围，（2）根据集合的并集和（A∪B）∩D=∅，求出m的范围．【解答】解：A={x|﹣2≤x≤7}，B={y|﹣3≤y≤5}（1）A∩B={x|﹣2≤x≤5}，①若C=φ，则m+1＞2m﹣1，∴m＜2；②若C≠φ，则，∴2≤m≤3；综上：m≤3；（2）A∪B={x|﹣3≤x≤7}，∴6m+1≥7，∴m≥1．【点评】本题主要考查集合的基本运算，参数的取值范围，属于中档题．19．（12分）命题p：“关于x的方程x2+ax+1=0有解”，命题q：“∀x∈R，e2x﹣2ex+a≥0恒成立”，若“p ∧q”为真，求实数a的取值范围．【分析】若p为真，可得△≥0，解得a范围．若q为真，令h（x）=e2x﹣2ex+a，利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出，a的取值范围．由“p∧q”为真，可得p为真且q为真．【解答】解：若p为真，则△=a2﹣4≥0，故a≤﹣2或a≥2．若q为真，则令h（x）=e2x﹣2ex+a，则h′（x）=2e2x﹣2e=2e（e2x﹣1﹣1），令h′（x）＜0，则，∴h（x）在上单调递减；令h′（x）＞0，则x，∴h（x）在上单调递增．∴当时，h（x）有最小值，．∵∀x∈R，h（x）≥0恒成立，∴a≥0．∵“p∧q”为真，∴p为真且q为真．∴，解得a≥0．从而所求实数a的取值范围为[0，+∞）．【点评】本题考查了导数的应用、一元二次方程的实数根与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=[f（x﹣）]2，求函数g（x）在x∈[﹣，]上的最大值，并确定此时x的值．【分析】（1）结合具体的图象进行确定其解析式；（2）首先，结合（1）对所给函数进行化简，然后，结合三角函数的单调性求解．【解答】解：（1）结合图象，得A=2，T=，∴T=，∴=，∴ω=，∴y=2sin（x+φ），将点（﹣，0）代入，得2sin（﹣+φ）=0，∴φ=，∴f（x）=2sin（x+），（2）结合（1）f（x）=2sin（x+），∴g（x）=[f（x﹣）]2，={2sin[（x﹣）+]}2，=4sin2（x+）=4×[1﹣cos（3x+）]=2﹣2cos（3x+），∴g（x）=2﹣2cos（3x+），∵x∈[﹣，]，∴3x∈[﹣，π]，∴3x+∈[﹣，]，∴cos（3x+）∈[﹣1，1]，∴cos（3x+）=﹣1时，函数取得最大值，此时，x=，最大值为4．【点评】本题重点考查了二倍角公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+a2，a∈R．（1）若a=0，求函数f（x）在[1，e]上的最小值；（2）根据a的不同取值，讨论函数f（x）的极值点情况．【分析】（1）求出函数的导数，判断函数的单调性求出f（x）的最小值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调性，从而判断函数的极值问题．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=lnx+x2，其定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x＞0，所以f（x）在[1，e]上是增函数，当x=1时，f（x）min=f（1）=1；故函数f（x）在[1，e]上的最小值是1．（2）f′（x）=，g（x）=2x2﹣2ax=1，（ⅰ）当a≤0时，在（0，+∞）上g（x）＞0恒成立，此时f′（x）＞0，函数f（x）无极值点；（ⅱ）当a＞0时，若△=4a2﹣8≤0，即0＜a≤时，在（0，+∞）上g（x）≥0恒成立，此时f′（x）≥0，函数f（x）无极值点；若△=4a2﹣8＞0，即a＞时，易知当＜x＜时，g（x）＜0，此时f′（x）＜0；当0＜x＜或x＞时，g（x）＞0，此时f′（x）＞0，所以当a＞时，x=是函数f（x）的极大值点，x=是函数f（x）的极小值点，综上，当a≤时，函数f（x）无极值点；a＞时，x=是函数f（x）的极大值点，x=是函数f（x）的极小值点．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．22．（12分）已知函数f（x）=ln（1+x）﹣（a＞0）．（1）若函数在x=1处的切线与x轴平行，求a的值；（2）若f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：（）2017＜（e是自然对数的底数）．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1）=0，解得a的值即可；（2）通过讨论a的范围，求出f（x）的单调性，从而求出f（x）的最小值，结合题意确定a的范围即可；（3）问题转化为证明，即证，由（2）知a=1时，f（x）=ln（1+x）﹣在[0，+∞）单调递增，从而证出结论即可．【解答】解：（1）∵f（x）=ln（1+x）﹣，（a＞0），∴f′（x）=，f′（1）=0，即a=2；（2）∵f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）min≥0，当0＜a≤1时，f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，即f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（x）min=f（0）=0成立，即0＜a≤1，当a＞1时，令f′（x）≥0，则x＞a﹣1，令f′（x）＜0，则0≤x＜a﹣1，即f（x）在[0，a﹣1）上为减函数，在（a﹣1，+∞）上为增函数，∴f（x）min=f（a﹣1）≥0，又f（0）=0＞f（a﹣1），则矛盾．综上，a的取值范围为（0，1]．（3）要证，只需证两边取自然对数得，，即证，即证，即证，由（2）知a=1时，f（x）=ln（1+x）﹣在[0，+∞）单调递增．又，f（0）=0，所以，所以成立．【点评】本题考查了函数的单调性、极值的意义，考查导数的意义以及不等式的证明，分类讨论思想，是一道综合题．。