全国青年数学教师优质课获奖教学设计：等比数列的前n项和 Word版含答案

课题：等比数列的前n 项和（第一课时）一 教学目标:1.知识与技能目标:1)掌握等比数列求和公式,并能用之解决简单的问题。

2)通过对公式的推导,对学生渗透方程思想、分类讨论思想以及等价转化思想。

2过程与方法目标：通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的多种数学思想。

3.情感与态度目标：通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。

二 教学重点：等比数列项前n 和公式的推导与简单应用。

三 教学难点：等比数列n 项和公式的推导。

四 教学方法：启发引导，探索发现（多媒体辅助教学）。

五 教学过程：1．创设情境，导入新课：1）复习旧知，铺垫新知：（1）等比数列定义及通项公式；（2）等比数列的项之间有何特点？说明：如此设计目的是在于引导学生发现等比数列各项特点：从第二项起每一项比前一项多乘以q ，从而为“错位相减法”求等比数列前n 和埋下伏笔。

2）问题情境，引出课题：从前，一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来，但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元，第二天借给穷人2万元，以后每天所借的钱数都比上一天多一万；但借钱第一天，穷人还1分钱，第二天还2分钱，以后每天所还的钱数都是上一天的两倍，30天后互不相欠。

穷人听后觉得挺划算，但怕上当受骗，所以很为难。

请在座的同学思考一下,帮穷人出个主意.注：师生合作分别给出两个和式：①学生会求，对②学生知道是等比数列项前n 和的问题但却感到不会解！问1：能不能用等差数列求和方法去求？（不行）问2：怎么办？（用追问的方式引出课题）2．师生互动，新课探究：① 30321S 30 ++++=②T 29283230222221++++++=如何求和： 注：（给学生时间让他们观察、思考）如果学生想不出来，师做必要启发：1） 等式右边各项有什么特点？（等比数列30项和）2） 公比是多少？（2）即：从第二项起每一项比前一项多乘以2.3）因此，如果两边……（教师语速放慢，看学生反应状况，再往下提示：把等式两边同乘以公比2）从而有： 3029432302222222++++++= T师：如何求30T ？（此处给学生充分的观察思考的时间，师不忙给出结论，让他们自己得出求解的方法：作差）注：①学生解出30T ，并与30S 比较（到底能不能向富人借钱）。

2.3.3 等比数列的前n 项和 第1课时 等比数列的前n 项和1．掌握等比数列前n 项和公式；能用公式解决一些简单问题．(重点) 2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．(难点)3．不对q 分析范围而错用求和公式．(易错点)[基础·初探]教材整理1 等比数列的前n 项和公式 阅读教材P 55～P 56，完成下列问题．设数列{a n }为等比数列，首项为a 1，公比为q ，则其前n 项和S n ＝⎩⎨⎧a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q ，q ≠1，na 1，q ＝1.1．在等比数列{a n }中，a 1＝2，S 3＝26，则公比q ＝________. 【解析】 ∵q ≠1，∴S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝2(1－q 3)1－q ＝26，∴q 2＋q －12＝0， ∴q ＝3或－4.【答案】3或－42．设{a n}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{a n}的前7项和为________．【解析】∵a5＝a1q4，∴q4＝24.∵q>0，∴q＝2，∴S7＝1－271－2＝127.【答案】127教材整理2等比数列前n项和的性质阅读教材P62第8题，完成下列问题．等比数列前n项和的性质(1)等比数列{a n}中，S m＋n＝S n＋q n S m＝S m＋q m S n.(2)等比数列{a n}中，若项数为2n，则S偶S奇＝q；若项数为2n＋1，则S奇－a1S偶＝q.(3)设数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和．①当q＝－1且k为偶数时，S k，S2k－S k，S3k－S2k不是等比数列；②当q≠－1或k为奇数时，数列S k，S2k－S k，S3k－S2k(k∈N*)是等比数列．在等比数列{a n}中，若S n是其前n项和，且S4＝3，S8＝9，则S12＝________.【解析】∵S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，∴3,6，S12－9成等比数列，∴3(S12－9)＝36，∴S12＝21.【答案】21[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：_________________________________________________[小组合作型]n (1)若S n ＝189，q ＝2，a n ＝96，求a 1和n ； (2)若a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求a 4和S 5； (3)若q ＝2，S 4＝1，求S 8.【精彩点拨】 利用公式S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q求解．【自主解答】 (1)由公式S n ＝a 1－a n q 1－q 及条件得189＝a 1－96×21－2，解得a 1＝3，又由a n ＝a 1·q n －1，得96＝3·2n －1， 解得n ＝6.(2)设公比为q ，由通项公式及已知条件得⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54，即⎩⎨⎧a 1(1＋q 2)＝10， ①a 1q 3(1＋q 2)＝54， ②∵a 1≠0,1＋q 2≠0，∴②÷①得， q 3＝18，即q ＝12，∴a 1＝8，∴a 4＝a 1q 3＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1，S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝8×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝312.(3)设首项为a 1， ∵q ＝2，S 4＝1， ∴a 1(1－24)1－2＝1，即a 1＝115，∴S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝115(1－28)1－2＝17.1．等比数列的前n 项和公式和通项公式中共涉及a 1，a n ，q ，n ，S n 五个基本量，已知其中三个量，可以求出另外的两个量，我们可以简称为“知三求二”．2．已知a n 时用S n ＝a 1－a n q 1－q 较简便，而S n ＝a 1(1－q n )1－q 在将已知量表示为最基本元素a 1和q 的表达式中发挥着重要作用．[再练一题]1．求下列等比数列前8项的和． (1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.【导学号：91730041】【解】 (1)因为a 1＝12，q ＝12，所以S 8＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1281－12＝255256. (2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得1243＝27·q 8. 又由q <0，可得q ＝－13. 所以S 8＝27⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1381－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1 64081.在等比数列{a n }中，若前10项的和S 10＝10，前20项的和S 20＝30，求前30项的和S 30.【精彩点拨】 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10，S 20＝30列方程组求得q 值，整体代换求S 30；法二：利用前n 项和的性质，连续10项之和成等比数列，求S 30.【自主解答】 法一：设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，显然q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 10)1－q＝10，a 1(1－q 20)1－q＝30，两式相除得1＋q 10＝3，∴q 10＝2. ∴S 30＝a 1(1－q 30)1－q ＝a 1(1－q 10)1－q (1＋q 10＋q 20)＝10×(1＋2＋4)＝70.法二：∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20仍成等比数列，又∵S 10＝10，S 20＝30，∴S 30－30＝(30－10)210，即S 30＝70.要注意等比数列前n 项和性质的使用条件，条件不具备时，性质不一定成立，如S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…满足(S 2m －S m )2＝S m ·(S 3m －S 2m )，但S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 不一定成等比数列，只有在一定的限制条件下才成等比数列．[再练一题]2．(1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________.(2)等比数列 {a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.【解析】 (1)设公比为q ，则S 6S 3＝(1＋q 3)S 3S 3＝1＋q 3＝3，所以q 3＝2，于是S 9S 6＝1＋q 3＋q 61＋q 3＝1＋2＋41＋2＝73. (2)S 奇＝－80，S 偶＝－160，∴q ＝S 偶S 奇＝2.【答案】 (1)73 (2)2[探究共研型]【提示】 所谓“复利”，即把上期的本利和作为下一期的本金．如把a 万元现金存入银行，按年息P %计算，n 年后的本利和为a (1＋P %)n －1万元．探究2 “分期付款”是怎么一回事？【提示】(1)分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；(2)到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和．借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计算借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)【精彩点拨】结合分期付款的定义求解本题．【自主解答】一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104·(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝a[(1＋0.01)6－1]1.01－1＝a[1.016－1]×102(元)．由S1＝S2，得a＝1.016×1021.016－1.∵1.016＝1.061，∴a≈1 739.故每月应支付1 739元．解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S 代表本利和．[再练一题]3．在一次人才招聘会上，A ，B 两家公司分别开出的工资标准：A 公司允诺第一年月工资为1 500元，以后每一年月工资比上一年月工资增加230元；B 公司允诺第一年月工资为2 000元，以后每年月工资在上一年月工资基础上递增5%.设某人年初被A ，B 两家公司同时录取，试问：(1)若该人分别在A 公司或B 公司连续工作n 年，则他在第n 年的月工资收入分别是多少？(2)该人打算在一家公司连续工作10年，仅从工资收入总量作为应聘标准(不计其他因素)，该人应该选择哪家公司？为什么？【解】 (1)设该人在A ，B 两家公司第n 年的月工资分别为a n ，b n . 由已知，得{a n }构成等差数列，以1 500为首项，230为公差，a n ＝230n ＋1 270.{b n }构成等比数列，以2 000为首项，以(1＋5%)为公比，b n ＝2 000(1＋5%)n－1.(2)若该人在A 公司连续工作10年，则他的工资收入总额为S 10＝12(a 1＋a 2＋…＋a 10)＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤10×1 500＋10(10－1)2×230＝304 200(元)；若该人在B 公司连续工作10年，则他的工资收入总额为S ′10＝12(b 1＋b 2＋…＋b 10)＝12×2 000(1－1.0510)1－1.05≈301 869(元)．由于在A 公司总收入多，因此该人应选择A 公司．[构建·体系]1．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 5＝－2，a 8＝16，则S 6等于________.【导学号：91730042】【解析】 ∵q 3＝a 8a 5＝(－2)3，∴q ＝－2，∴a 1＝(－2)×(－2)－4＝(－2)－3， ∴S 6＝(－2)－3[1－(－2)6]1－(－2)＝218.【答案】 2182．等比数列的公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和等于________．【解析】 ∵(S 8－S 4)∶S 4＝24＝16， ∴(S 8－10)∶10＝16， ∴S 8＝170. 【答案】 1703．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和为________米(结果保留到个位)．【解析】 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝2993964≈300(米)． 【答案】 3004．(2015·安徽高考)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．【解析】 设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎨⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴S n ＝1－2n 1－2＝2n －1.【答案】 2n －15．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q . 【解】 当q ＝1时，S n ＝na 1， ∴S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9；当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2×a 1(1－q 9)1－q ，得2－q 3－q 6＝2－2q 9，∴2q 9－q 6－q 3＝0，解得q 3＝－12， 或q 3＝1(舍去)，∴q ＝－342.我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和S 10＝________.【解析】 因为3a n ＋1＋a n ＝0，所以a n ＋1a n＝－13，所以数列{a n }是以－13为公比的等比数列．因为a 2＝－43，所以a 1＝4，所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101＋13＝3(1－3－10)． 【答案】 3(1－3－10)2．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.【导学号：91730043】【解析】 因为a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，且数列{a n }是递增的等比数列，所以a 1＝1，a 3＝4，q ＝2，所以S 6＝1－261－2＝63.【答案】 633．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________．【解析】 易知公比q ≠1.由9S 3＝S 6，得9·a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q ，解得q ＝2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，∴其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 【答案】 31164．已知等比数列的前n 项和S n ＝4n ＋a ，则a ＝______. 【解析】 ∵S n ＝Aq n －A ，∴a ＝－1. 【答案】 －15．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝________. 【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝a 1q ＋10a 1，a 1q 4＝9，解得⎩⎨⎧q 2＝9，a 1＝19，所以a 1＝19. 【答案】196．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝3116，a 3＝14，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a4＋1a 5＝________. 【解析】 设数列{a n }的公比为q ，则3116＝a 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1q 2＋1q ＋1＋q ＋q 2∴1q 2＋1q ＋1＋q ＋q 2＝314， ∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝1a 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1q 2＋1q ＋1＋q ＋q 2＝31.【答案】 317．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．【解析】 每天植树的棵树构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.由2n ＋1－2≥100，得2n ＋1≥102.由于26＝64,27＝128，则n ＋1≥7，即n ≥6.【答案】 68．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．【解析】 由题意可知，q ≠1， ∴S n ＝a 1(1－q n )1－q.又∵S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列， ∴2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2， 即2－2q n ＝2－q n ＋1－q n ＋2， 即2＝q ＋q 2，∴q ＝－2(q ＝1不合题意舍去)． 【答案】 －2 二、解答题9．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式． 【解】 (1)证明：因为a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－13n 2， 所以S n ＝1－a n2.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2. 所以{b n }的通项公式为b n ＝－n (n ＋1)2.10．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长14.设n 年内(本年度为第1年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ，b n 的表达式．【解】 第1年投入800万元，第2年投入800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15万元，…，第n 年投入800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15n －1万元，所以，总投入a n ＝800＋800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋…＋800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15n －1＝4 000×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n (万元)． 同理，第1年收入400万元，第2年收入400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14万元，…，第n 年收入400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14n －1万元．所以，总收入b n ＝400＋400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＋…＋400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14n －1＝1 600×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1.[能力提升]1．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n －1, 则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于________．【解析】∵S n ＝a 1(1－q n)1－q，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q ＝－1，q ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝1，∵{a n }为等比数列，∴{a 2n }也为等比数列，∴a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝1×(1－4n)1－4＝13(4n－1)．【答案】 13(4n －1)2．等比数列1，a ，a 2，a 3，…(a ≠0)的前n 项和S n ＝________.【导学号：91730044】【解析】当a ＝1时，S n ＝n ；当a ≠1时，S n ＝1－an1－a .即S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (a ＝1)，1－an 1－a(a ≠1).【答案】⎩⎨⎧n (a ＝1)，1－a n 1－a(a ≠1)3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．【解析】 由已知4S 2＝S 1＋3S 3， 即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)， ∴a 2＝3a 3，∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.【答案】 134．已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n≤136(n ∈N *)．【解】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1×32n .(2)证明：S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，S n ＋1S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎨⎧2＋12n (2n＋1)，n 为奇数，2＋12n(2n－1)，n 为偶数，当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n≤S 1＋1S 1＝136.当n 为偶数时， S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n≤S 2＋1S 2＝2512.故对于n ∈N *，有S n ＋1S n≤136.。

5.3.2 等比数列的前n 项和新版课程标准学业水平要求1.探索并掌握等比数列的前n 项和公式,理解等比数列的通项公式与前n 项和公式的关系2.能在具体问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题1.借助教材实例了解等比数列前n 项和公式的推导过程.(数学运算)2.借助教材掌握a 1,a n ,q,n,S n 的关系.(数学运算)3.掌握等比数列的前n 项和公式、性质及其应用.(数学运算)4.能利用等比数列的通项公式、前n 项和公式解决实际问题,能解决数列求和等相关问题.(数学运算、数学建模)第1课时等比数列的前n 项和必备知识·素养奠基等比数列的前n 项和公式q=1 na 1q ≠1a 1,q,n S n =a 1,q,a n S n =对于等比数列的前n 项和S n ==一定成立吗? 提示:不一定,当q=1时不成立.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)若等比数列的首项a1=1,公比为2,则前n项和S n=. ( )(2)已知等比数列的a1,q,a n,则S n=. ( )(3)等比数列1,-1,1,-1,…的前n项和等于0. ( )提示:(1)×.S n=.(2)×.S n=.(q≠1)(3)×.S n==.2.已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n,S4=3(a1+a2),则公比q的值为( )A.2B.C.D.【解析】选D.因为S4=3(a1+a2),所以q≠1.所以=3a1(1+q),化为q2=2,解得q=(负值舍去).3.在等比数列{a n}中,a2=1,a5=8,则数列{a n}的前n项和S n=________. 【解析】因为a2=1,a5=8,所以a5=a2q3,即q3==8,即q=2,首项a1=,则数列{a n}的前n项和S n==2n-1-.答案:2n-1-关键能力·素养形成类型一等比数列前n项和的计算【典例】1.(2020·福州高二检测)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若a2+a4=2(a1+a3),且a1a3a5=512,则S10= ( )A.1022B.2046C.2048D.40942.设S n是等比数列{a n}的前n项和,若S3=6,S6=54,则a1=________. 【思维·引】1.利用已知项的关系解出a1和q代入公式求S10.2.先求出数列的公比,代入前n项和公式求首项.【解析】1.选B.由等比数列的性质可知,a1a3a5==512,所以a3=8,因为a2+a4=2(a1+a3),所以+8q=2,整理可得,q3+q=2(1+q2),所以q=2,a1=2,S10==2 046.2.因为S3==6,S6==54,所以=1+q3=9,解得q3=8,则q=2,所以=6,解得a1=.答案:【内化·悟】本例2中的消元方法是什么?有什么优点?提示:利用两式相除消元,消去a1的同时起到了降低次数的作用.【类题·通】等比数列前n项和的运算技巧(1)注意考查条件,公比为1时是否成立.(2)涉及的基本量有a1,q,n,a n,S n共五个,“知三求二”,常常列方程组来求解.(3)消元解方程组的过程中,常常用到两式相除、整体代入的方法. 【习练·破】1.(2020·全国Ⅱ卷)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则= ( )A.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-1【解析】选B.设等比数列的公比为q,由a5-a3=12,a6-a4=24可得:⇒,所以a n=a1q n-1=2n-1,S n===2n-1,因此==2-21-n.2.(2020·吉林高二检测)已知数列{a n}是等比数列,其前n项和为S n,a1=,6=a6,则S5=________.【解析】设等比数列{a n}的公比为q.因为a1=,6=a6,所以6×=q5,解得,q=2,则S5==.答案:【加练·固】(2020·株洲高二检测)记S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=,=a6,则S4=________.【解析】设等比数列{a n}的公比为q.因为a1=,=a6,所以=q5,解得,q=2,则S4==.答案:类型二等比数列前n项和的实际应用【典例】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行数里,请公仔细算相还”.其意思为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,请问从第几天开始,走的路程少于30里( ) A.3B.4C.5D.6【思维·引】首先判断数列类型,其次确定数列的基本量计算.【解析】选B.此人每天走的步数构成以为公比的等比数列,所以=378,解得a1=192,所以a n=192×=384×,因为384×<30,所以2n>12.8,经验证可得n≥4,即从第4天开始,走的路程少于30里.【内化·悟】从本例条件中可以提取哪些等比数列的基本量?提示:S n=378,q=,n=6.【类题·通】解答数列应用问题的方法(1)判断、建立数列模型①变化“量”是同一个常数:等差数列;②变化“率”是同一个常数:等比数列.(2)提取基本量从条件中提取相应数列的基本量a1,q(d),n,a n,S n,列出方程(组)求解.【习练·破】(2020·汕尾高二检测)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?该问题中,1斗为10升,则羊主人应偿还多少升粟? ( )A. B. C. D.【解析】选C.设牛、马、羊所吃禾苗分别为a1,a2,a3,则{a n}是公比为的等比数列,所以S3==50,解得a1=,所以羊主人应偿还:a3=×=升粟.类型三等比数列前n项和的简单性质角度1 前n项和公式的函数特征【典例】已知等比数列{a n}的前n项和S n=λ·3n-1-1(λ∈R),则= ( )A.B.3C.6D.9【思维·引】利用前n项和公式的结构特征求出λ及公比,再利用S n 的表达式计算;也可由S n表示出a1,a2,a3后求λ及公比,再利用S n的表达式计算.【解析】选D.方法一:S n=λ·3n-1-1=·3n-1,所以=1,λ=3且q=3,又a1=S1=3·3n-1-1=2,==9;方法二:等比数列{a n}满足S n=λ·3n-1-1,当n=1时,有a1=S1=λ-1,有a2=S2-S1=(3λ-1)-(λ-1)=2λ,a3=S3-S2=(9λ-1)-(3λ-1)=6λ,则有6λ×(λ-1)=(2λ)2,解可得λ=3或0(舍),首项a1=2,则==9.【素养·探】等比数列的前n项和公式实质是关于n的函数,再利用其结构特征可以确定系数之间的关系,这用到了核心素养中的数学抽象.将本例中的条件变为“S n=3×2n+a”,则S5=________.【解析】数列{a n}是等比数列,①若q=1,显然S n=3×2n+a,不成立.②故数列{a n}的公比q≠1,所以S n==-q n+,故q=2,=-3,故a=-3.所以S5=3×25-3=93.答案:93角度2 前n项和的性质【典例】设等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9= ( )A.B.-C. D.【思维·引】利用S3,S6-S3,S9-S6的关系求值.【解析】选A.方法一:由等比数列前n项和的性质知S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,又a7+a8+a9=S9-S6,则S3,S6-S3,a7+a8+a9成等比数列,从而a7+a8+a9==.方法二:因为S6=S3+S3q3,所以q3==-,所以a7+a8+a9=S9-S6=S3q6=8×=.【类题·通】1.等比数列前n项和公式的特征数列{a n}是非常数数列的等比数列⇔S n=-Aq n+A(A≠0,q≠0,1,n∈N+).即指数式的系数与常数项互为相反数,其中A=.2.等比数列前n项和公式的性质等比数列的前n项和为S n,则S n,S2n-S n,S3n-S2n仍成等比数列.【习练·破】(2020·重庆高二检测)已知公比不为1的正项等比数列{a n}的前n 项和,前2n项和,前3n项和分别为A,B,C,则( )A.A+C>2BB.AC<B2C.AC>B2D.A+C<2B【解析】选B.设等比数列{a n}的公比为q,则B=A+Aq n,C=A+Aq n+Aq2n,则AC=A2(1+q n+q2n),B2=A2(1+2q n+q2n),又q>0,故AC<B2.A+C-2B=+-2·=-=,当q>1时A+C>2B,当0<q<1时A+C<2B,故A,C 不正确.【加练·固】一个等比数列的首项是1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数.【解析】因为S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…+a2n-1q=(a1+a3+…+a2n-1)q=S奇·q.所以q===2.又S n=85+170=255,据S n=,得=255,所以2n=256,所以n=8.即公比q=2,项数n=8.课堂检测·素养达标1.等比数列1,a,a2,a3,…的前n项和为( )A.1+B.C. D.以上都不对【解析】选D.当a=1时,S n=n.2.在等比数列{a n}中a1+a2=1,a4+a5=27,则{a n}的前5项和为( )A.29B.C.30D.【解析】选D.设等比数列{a n}的公比为q,则,解得,因此,数列{a n}的前5项和S5===.3.数列{2n-1}的前99项和为( )A.2100-1B.1-2100C.299-1D.1-299【解析】选C.数列{2n-1}为等比数列,首项为1,公比为2,故其前99项和为S99==299-1.4.已知首项为3的等比数列{a n}的前n项和为S n,若2S2=S3+S4,则a2020的值为________.【解析】设等比数列{a n}的公比为q.因为a1=3,2S2=S3+S4,当q=1时显然不成立,故q≠1,所以=+,整理可得,q2+q-2=0,解得,q=-2或q=1(舍),则a2 020=3×(-2)2 019=-3×22 019.答案:-3×22 019【新情境·新思维】已知等比数列{a n}的各项均为正数,设其前n项和为S n,若a n a n+1=4n(n∈N+),则S5= ( )A.30B.31C.15D.62【解析】选B.因为等比数列{a n}的各项均为正数,且a n a n+1=4n(n∈N+),所以a1a2=4,a2a3=16,且q>0,a1>0,解得q=2,a1=,所以S5==31.。

第四章 数列4.3.2 等比数列的前n 项和公式学案一、学习目标1. 理解等比数列的前n 项和公式的推导方法；2. 掌握等比数列的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题. 二、基础梳理1.等比数列的前n 项和公式：当1q ≠时， ()11(1)1n n a q S q q-=≠-或1(1)1n n a a qS q q-=≠-. 2.等比数列的前n 项和的性质（1）当q =1时，n m s m s n =，当1q ≠±时，11nn mm s q s q-=-. （2）m n n m m n n m s s q s s q s +=+=+.（3）设s 偶与s 奇分别是偶数项的和与奇数项的和，若项数为2n ，则s q s =偶奇，若项数为2n +1，则1s a q s -=奇偶.（4）当1q ≠-时，连续m 项的和（232m m m m m s s s s s --⋅⋅⋅，，，）仍成等比数列，公比为2m q m ≥，，注意：连续m 项的和必须非零才能成立. 三、巩固练习1.已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，正项等比数列{}n b 满足1134,1b a b a ==+，则使61n b S +≥成立的n 的最大值为( ) A.5B.6C.7D.82.已知数列{}n a 为等比数列，11a =，2q =，且第m 项至第()n m n <项的和为112，则m n +的值为( ) A.11B.12C.13D.143.记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知{}n a 和{}n S k - (k 为常数)均为等比数列,则k 的值可能为( )A.1aB.2aC.3aD.13a a +4.5个数依次组成等比数列,且公比为2-,则其中奇数项和与偶数项和的比值为( ) A.2120-B.2-C.2110-D.215-5.已知n S 是等比数列{}n a 的前 n 项和,若存在*m ∈N ,满足22519,1m m mm S a m S a m +==-,则数列{}n a 的公比为( ) A.2-B.2C.3-D.36.已知等比数列{}n a 的公比2q =,前100项的和10090S =,则246100a a a a ++++=( )A.15B.30C.45D.607.（多选）已知等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，且满足11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-，则以下结论正确的是( ) A.01q << B.9910110a a -<C.100T 的值是n T 中最大的D.使1n T >成立的最大正整数数n 的值为1988. （多选）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件11a >，201920201a a ⋅>，20192020101a a -<-，则下列结论中正确的是( ) A.20192020S S <B.2019202110S S ⋅-<C.2019T 是数列{}n T 中的最大值D.数列{}n T 无最大值答案以及解析1.答案：D解析：设等比数列{}n b 的公比为q ， 由题意可知当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-； 当1n =时，112a S ==，2,1,21,2,n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩213412,18b b a b q ∴==+==. 0n b >，2,2n n q b ∴=∴=，66264b ∴==，2651n ∴≥+，8n ∴≤，∴n 的最大值为8，故选D.2.答案：B解析：由已知，得()()11121121121212n m -⨯-⨯--=--，即()11422127m n m --+⋅-=⨯，则14122217m n m --+⎧=⎨-=⎩，解得57m n =⎧⎨=⎩，所以12m n +=，故选B. 3.答案：C解析：若公比1q =,则{}1,n n S k na k S k -=--不可能为等比数列,因此1q ≠,此时1111111n nn a q a q S k a k k q q q ⎛⎫---=-=+- ⎪---⎝⎭,只需101a k q -=-即可.A 选项,{}1n S a -的首项为0,不满足题意；B 选项, 1211011a a a q q q ⎛⎫-=-=⎪--⎝⎭,即211300124q q q ⎛⎫-=⇒-+= ⎪-⎝⎭不成立；C 选项,21311011a a a q q q ⎛⎫-=-= ⎪--⎝⎭,即23210101q q q q -=⇒-+=-,该方程必然有解,成立；D 选项,()2113111011a a a a q q q ⎛⎫-+=--= ⎪--⎝⎭,即()221101001q q q q q q--=⇒-+=⇒=-,不成立. 4.答案：C解析：由题意可设这5个数分别为,2,4,8,16a a a a a --,其中0a ≠,故奇数项和与偶数项和的比值为416212810a a a a a ++=---,故选C.5.答案：B解析：设数列{}n a 的公比为 q ,若1q =,则22mmS S =,与题中条件矛盾,故1q ≠.()()21211119,811m m mm m m a q S q q q S a q q--==+=∴=--.2132111518,3,8,21m m m m m a a q m q m q q a a q m --+====∴=∴=∴=-. 6.答案：D 解析：1001210090S a a a =+++=,设1399S a a a =+++,则241002S a a a =+++,100290,30S S S S ∴+==∴=,故24100260a a a S +++==.故选D.7.答案：ABD解析：9910010a a ->，991001a a ∴>，0q ∴>.99100101a a -<-，()()99100110a a ∴--<，又11a >，01q ∴<<.故A 正确.由A 选项的分析可知991a >，10001a <<，2991011001a a a ∴=<，9910110a a ∴-<，1009910099T T a T =<，故B 正确，C 不正确.()()()()99198121981198219799100991001T a a a a a a a a a a a ===>，()()()1991991219819911992198991011001001T a a a a a a a a a a a a ===<，∴使1n T >成立的最大正整数数n 的值为198，故D 正确. 8.答案：AC解析：由题意，得20191a >，202001a <<，所以01q <<，等比数列{}n a 是各项都为正数的递减数列，即122019202010a a a a >>>>>>>.因为2020201920200S S a -=>，所以20192020S S <，故A 正确；因为20191220191S a a a =+++>，所以()()22201920212019201920202021201920192020202120191S S S S a a S S a a S ⋅=⋅++=+⋅+>>，即2019202110S S ⋅->，故B 错误；根据122019202010a a a a >>>>>>>，可知2019T 是数列{}n T 中的最大项，故C 正确，D 错误.故选AC.。

2.3.2 等比数列的前n 项和 第1课时 等比数列的前n 项和等比数列的前n 项和公式思考：等比数列求和应注意什么？ [提示] 公比q 是否等于1.1．在公比为整数的等比数列{a n }中，a 1－a 2＝3，a 3＝4，则{a n }的前5项和为( )A ．10B ．212 C ．11D ．12C [设公比为q (q ∈Z )，则a 1－a 2＝a 1－a 1q ＝3，a 3＝a 1q 2＝4，求解可得q ＝－2，a 1＝1，则{a n }的前5项和为1－(－2)51－(－2)＝11.]2．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 3a 2＝( )A ．3B ．4C ．72D ．132C [易知等比数列{a n }的首项为a 1，则S 3a 2＝a 1(1－23)1－2a 1×2＝72.]3．在等比数列{a n }中，a 1＝2，S 3＝26，则公比q ＝________.3或－4 [∵S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝2(1－q 3)1－q ＝26，∴q 2＋q －12＝0，∴q ＝3或－4.]4．等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1＝________. 4 [由S 5＝a 1[1－(－2)5]1－(－2)＝44，得a 1＝4.]n (1)若q ＝2，S 4＝1，求S 8；(2)若a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求a 4和S 5. [解] (1)法一：设首项为a 1， ∵q ＝2，S 4＝1，∴a 1(1－24)1－2＝1，即a 1＝115，∴S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝115(1－28)1－2＝17.法二：∵S 4＝a 1(1－q 4)1－q＝1，且q ＝2，∴S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝a 1(1－q 4)1－q(1＋q 4)＝S 4·(1＋q 4)＝1×(1＋24)＝17.(2)设公比为q ，由通项公式及已知条件得⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54.即⎩⎨⎧a 1(1＋q 2)＝10， ①a 1q 3(1＋q 2)＝54， ②∵a 1≠0,1＋q 2≠0，∴②÷①得，q 3＝18，即q ＝12， ∴a 1＝8.∴a 4＝a 1q 3＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1，S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝8×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝312.1．解答关于等比数列的基本运算问题，通常是利用a 1，a n ，q ，n ，S n 这五个基本量的关系列方程组求解，而在条件与结论间联系不很明显时，均可用a 1与q 列方程组求解．2．运用等比数列的前n 项和公式要注意公比q ＝1和q ≠1两种情形，在解有关的方程组时，通常用两式相除约分的方法进行消元．1．在等比数列{a n }中，其前n 项和为S n . (1)S 2＝30，S 3＝155，求S n ； (2)已知S 4＝1，S 8＝17，求a n .[解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝30，a 1(1＋q ＋q 2)＝155，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎨⎧a 1＝180，q ＝－56，从而S n ＝14×5n ＋1－54或S n ＝1 080×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56n 11.(2)设{a n }的公比为q ，由S 4＝1，S 8＝17知q ≠1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 4)1－q＝1， ①a 1(1－q 8)1－q ＝17， ②①÷②得 11＋q4＝117， 解得q ＝±2，所以⎩⎨⎧a 1＝115，q ＝2或⎩⎨⎧a 1＝－15，q ＝－2.所以a n ＝2n －115或a n ＝(－1)n ×2n －15.笫二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元(1.016≈1.061,1.015≈1.051)?[解] 法一：设每个月还贷a 元，第1个月后欠款为a 0元，以后第n 个月还贷a 元后，还剩下欠款a n 元(1≤n ≤6)，则a 0＝10 000，a 1＝1.01a 0－a ，a 2＝1.01a 1－a ＝1.012a 0－(1＋1.01)a ， …a 6＝1.01a 5－a ＝…＝1.016a 0－(1＋1.01＋…＋1.015)a ．由题意，可知a 6＝0，即1.016a 0－(1＋1.01＋…＋1.015)a ＝0，a ＝1.016×1021.016－1.因为1.016≈1.061，所以a ≈1.061×1021.061－1≈1 739(元)．故每月应支付1 739元．法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S 1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还货a 元，分6个月还清，到货款还清时，其本利和为S 2＝a (1＋0.01)5＋a (1＋0.01)4＋…＋a ＝a [(1＋0.01)6－1]1.01－1＝a (1.016－1)×102(元)．由S 1＝S 2，得a ＝1.016×1021.016－1≈1 739(元)． 故每月应支付1 739元．解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S ＝P (1＋r )n ，其中P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本利和．2．一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？[解] 用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度，由题意， 得a n ＋1＝45a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列． 热气球在前n 分钟内上升的总高度为：S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1(1－q n)1－q ＝25×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n 1－45＝125×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.[探究问题]1．由项数相等的等差数列{n }与等比数列{2n }相应项的积构成新的数列{n ·2n }是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n 项和S n 的表达式是什么？[提示] 由等差数列及等比数列的定义可知数列{n ·2n }既不是等差数列，也不是等比数列．该数列的前n 项和S n 的表达式为S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n .2．在等式 S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n 两边同乘以数列{2n }的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求S n 的问题转化为等比数列的前n 项和问题吗？[提示] 在等式S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，① 两边同乘以{2n }的公比可变形为2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，② ②－①得：S n ＝－1·21－22－23－24－…－2n ＋n ·2n ＋1 ＝－(21＋22＋23＋…＋2n )＋n ·2n ＋1.此时可把求S n 的问题转化为求等比数列{2n }的前n 项和问题．我们把这种求由一个等差数列{a n }和一个等比数列{b n }相应项的积构成的数列{a n b n }前n 项和的方法叫错位相减法．【例3】 设数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋n ，数列{b n }的通项公式为b n ＝x n－1(x ≠0)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n .[思路探究] 由a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2完成第(1)问；由题设知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，因此可用错位相减法求T n .[解] (1)∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n ，n ≥2.当n ＝1时，a n ＝2n 也成立，∴a n ＝2n ，即数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由a n ＝2n ，b n ＝x n －1且c n ＝a n b n 可得c n ＝2nx n －1， T n ＝2＋4x ＋6x 2＋8x 3＋…＋2nx n －1，① 则xT n ＝2x ＋4x 2＋6x 3＋8x 4＋…＋2nx n .②①－②，得(1－x )T n ＝2＋2x ＋2x 2＋…＋2x n －1－2nx n . 当x ≠1时，(1－x )T n ＝2×1－x n 1－x－2nx n ，∴T n ＝2－2(n ＋1)x n ＋2nx n ＋1(1－x )2. 当x ＝1时，T n ＝2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n 2＋n .错位相减法的适用范围及注意事项：(1)适用范围：它主要适用于{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和．(2)注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出S n 与qS n 的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1－q )S n 的表达式．②利用此法时要注意讨论公比q 是否等于1的情况．3．12＋12＋38＋…＋n2n ＝________.2n ＋1－n －22n [令S n ＝12＋24＋38＋…＋n2n ，① 则12S n ＝14＋28＋316＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，②由①－②得，12S n ＝12＋14＋18＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－n2n ＋1， 得S n ＝2－22n －n 2n ＝2n ＋1－n －22n.]1．本节课的重点是等比数列前n 项和公式的基本运算．2．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．3．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即当q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求等比数列{a n }的前n 项和时可直接套用公式S n ＝a 1(1－q n )1－q 来求．( )(2)首项为a 的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n 项和为S n ＝na ．( ) (3)若某数列的前n 项和公式为S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0且q ≠1，n ∈N ＋)，则此数列一定是等比数列．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ 2．数列 {2n －1}的前99项和为( ) A ．2100－1 B ．1－2100 C ．299－1D ．1－299C [数列{2n －1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S 99＝1－2991－2＝299－1.]3．已知等比数列{a n }中，q ＝2，n ＝5，S n ＝62，则a 1＝________. 2 [∵q ＝2，n ＝5，S n ＝62， ∴a 1(1－q n )1－q ＝62， 即a 1(1－25)1－2＝62，∴a 1＝2.]4．已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．[解] (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1. (2)由(1)知a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝b n3， 因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列． 记{b n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n1－13＝32－12×3n －1.。

等比数列的前n项和（第一课时）焦作市第一中学柴艳丹教材：北师大版高中数学必修五第一章第三节一、教材分析从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n项和是第一章“数列”第三节的内容，一方面它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又为进一步学习数学归纳法等内容作准备.就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数列求和问题中有着广泛的应用；另外它在实际问题的计算中也经常涉及到，比如“分期付款”的相关计算.就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的思维能力和创新意识,同时，也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．教师教学用书安排“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系.二、教学目标依据新课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法（错位相减法）；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题．过程与方法目标：通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．三、教学重点和难点重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用．从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来看，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力.突出重点方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境→公式推导→公式运用；（二）过程与方法线:特殊到一般、猜想归纳→错位相减法等→转化、方程思想；（三）能力线：观察能力→数学思想解决问题能力→灵活运用能力及严谨态度.难点：等比数列的前n 项和公式的推导．从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高.从知识本身特点来看，等比数列前n 项和公式的推导方法和等差数列的的前n 项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进行，它需要对等比数列的概念和性质能充分理解并融会贯通，而知识的整合对学生来说又是比较困难的，而且错位相减法是第一次碰到，对学生来说是个新鲜事物.突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导. 四、教学方法利用计算机和实物投影等辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式. 大家来想一下：高利贷商人能否笑到最后？142+(观察数字特征，引出课题解决情境问题：实际问题数学化，建立数学模型。

等比数列的前n 项和一．教材分析1.在教材中的地位和作用在《数列》一章中，《等比数列的前n 项和》是一项重要的基础内容，从知识体系来看，它不仅是《等差数列的前 n 项和》与《等比数列》的顺延，也是前面所学函数的延续，实质是一种特殊的函数。

而且还为后继深入学习提供了知识基础，同时错位相减法是一种重要的数学思想方法，是求解一类混合数列前 n 项和的重要方法，因此，本节具有承上启下的作用。

等比数列的前 n 项和公式的推导过程中蕴涵了基本的数学思想方法，如分类讨论、错位相减等在数列求和问题中时常出现。

在实际问题中也有广泛的应用，如储蓄、分期付款的有关计算。

2.教材编排与课时安排提出问题——解决问题——等比数列的前n 项和公式推导——强化公式应用（例题与练习）二．教学目标知识目标：理解并掌握等比数列前n 项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。

能力目标：通过启发、引导、分析、类比、归纳，并通过严谨科学的解题思想和解题方法的训练，提高学生的数学素养。

情感目标：通过解决生产实际和社会生活中的实际问题了解社会、认识社会，形成科学的世界观和价值观。

三．教学重点与难点：教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的应用。

教学难点：公式的推导方法(“错位相减” )和公式的灵活运用。

四．教学过程：（一）、复习回顾：（1）等比数列及等比数列通项公式。

复习回顾例题1：a n为等比数列，请完成下表除s n外的所有项a1a2a3a4⋯⋯q a n s n127⋯⋯11⋯⋯22241 3⋯⋯3答案如下：a1a2a3a4⋯⋯qa n s n133227⋯⋯33n11111⋯⋯11222232422n3111⋯⋯1133233n2（2）回等差数列前n 和公式的推程，是用什么方法推的。

（二）、情境入：国象棋起源于古代印度 .相国王要国象棋的明者 .个故事大家听？“ 在第一个格子里放上 1 麦粒，第二个格子里放上 2 麦粒，第三个格子里放上 4 麦粒，以此推 .每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的 2 倍.直到第 64 个格子 .我足的麦粒以上述要求 .” 就是国象棋明者向国王提出的要求。

等比数列的前n 项和班级___________ 姓名_____________ 学号__________层级一 学业水平达标1．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( ) A ．1 B ．0 C ．1或0D ．－12．已知数列{a n }是公比为3的等比数列，其前n 项和S n ＝3n ＋k (n ∈N *)，则实数k 为( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．23．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( ) A ．31 B ．33 C ．35D ．374．已知在递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6＝( )A ．93B ．189 C.18916D ．3785．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝2，S 10＝6，则a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20等于( ) A ．8 B ．12 C ．16D ．246．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.7．等比数列{a n }中，若a 1＋a 3＋…＋a 99＝150，且公比q ＝2，则数列{a n }的前100项和为________．8．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.9．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .10．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．层级二 应试能力达标1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－112．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5C.3116D.1583．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( )A ．(2n －1)2 B.13(4n －1)C.13(2n －1) D ．4n －14．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．1935．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________. 6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎫n ，S n n (n ∈N *)均在直线y ＝x ＋12上．若b n ＝3a n ＋12，则数列{b n }的前n 项和T n ＝________.7．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－1，S 10S 5＝3132. (1)求等比数列{a n }的公比q ；(2)求a 21＋a 22＋…＋a 2n. 答案解析1．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( )A ．1B ．0C ．1或0D ．－1解析：选A 因为S n －S n －1＝a n ，又{S n }是等差数列，所以a n 为定值，即数列{a n }为常数列，所以q ＝a na n －1＝1. 2．已知数列{a n }是公比为3的等比数列，其前n 项和S n ＝3n ＋k (n ∈N *)，则实数k 为( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．2解析：选C 由数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋k (n ∈N *)， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋k ； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋k －(3n －1＋k ) ＝2×3n －1.因为数列{a n }是公比为3的等比数列，所以a 1＝2×31－1＝3＋k ，解得k ＝－1. 3．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( ) A ．31 B ．33 C ．35D ．37解析：选B 根据等比数列性质得S 10－S 5S 5＝q 5，∴S 10－11＝25，∴S 10＝33. 4．已知在递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6＝( )A ．93B ．189 C.18916D ．378解析：选B 设数列的公比为q ，由题意可知q >1，且2(a 2＋2)＝a 1＋1＋a 3，即2×(6＋2)＝6q＋1＋6q ，整理可得2q 2－5q ＋2＝0，则q ＝2或q ＝12(舍去)．∴a 1＝62＝3，该数列的前6项和S 6＝3×(1－26)1－2＝189.故选B.5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝2，S 10＝6，则a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20等于( ) A ．8 B ．12 C ．16D ．24解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 2n －S n ＝q n S n ，所以S 10－S 5＝q 5S 5，所以6－2＝2q 5，所以q 5＝2，所以a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝a 1q 15＋a 2q 15＋a 3q 15＋a 4q 15＋a 5q 15＝q 15(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＝q 15S 5＝23×2＝16.6．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.解析：设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1， 偶数项之和与奇数项之和分别为S 偶，S 奇， 由题意S 偶＋S 奇＝3S 奇， 即S 偶＝2S 奇，因为数列{a n }的项数为偶数， 所以q ＝S 偶S 奇＝2. 答案：27．等比数列{a n }中，若a 1＋a 3＋…＋a 99＝150，且公比q ＝2，则数列{a n }的前100项和为________．解析：由a 2＋a 4＋…＋a 100a 1＋a 3＋…＋a 99＝q ，q ＝2，得a 2＋a 4＋…＋a 100150＝2⇒a 2＋a 4＋…＋a 100＝300，则数列{a n }的前100项的和S 100＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)＝150＋300＝450.答案：4508．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝74，S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14， 则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案：329．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .解：设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3(2n －1)； 当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n －1.10．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式． 解：(1)证明：因为a n ＝13×⎝⎛⎭⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝1－13n2，所以S n ＝1－a n2. (2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n (n ＋1)2. 层级二 应试能力达标1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11解析：选D 设{a n }的公比为q .因为8a 2＋a 5＝0. 所以8a 2＋a 2·q 3＝0.所以a 2(8＋q 3)＝0. 因为a 2≠0，所以q 3＝－8.所以q ＝－2.所以S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q a 1(1－q 2)1－q＝1－q 51－q 2＝1＋321－4＝33－3＝－11.故选D.2．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5C.3116D.158解析：选C 由题意，q ≠1，由9S 3＝S 6，得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q ，解得q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1，1a n＝⎝⎛⎭⎫12n －1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116.3．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( )A ．(2n －1)2 B.13(4n －1)C.13(2n －1) D ．4n －1解析：选B 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，得a 1＝1，a 2＝2，所以{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，所以{a 2n }是以1为首项，4为公比的等比数列，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n＝1×(1－4n )1－4＝13(4n－1)． 4．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．193解析：选C 设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1271－12＝381，解得a 1＝192.5．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________. 解析：依题意得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝4，a 4＝－8，所以a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝15. 答案：156．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎫n ，S n n (n ∈N *)均在直线y ＝x ＋12上．若b n ＝3a n ＋12，则数列{b n }的前n 项和T n ＝________.解析：依题意得S n n ＝n ＋12，即S n ＝n 2＋12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫n 2＋12n －[(n －1)2＋12(n －1)]＝2n －12；当n ＝1时，a 1＝S 1＝32，符合a n ＝2n －12，所以a n ＝2n －12(n ∈N *)，则b n ＝3a n ＋12＝32n ，由b n ＋1b n ＝32(n ＋1)32n ＝32＝9，可知{b n }为等比数列，b 1＝32×1＝9，故T n ＝9(1－9n )1－9＝9n ＋1－98.答案：9n ＋1－987．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－1，S 10S 5＝3132. (1)求等比数列{a n }的公比q ；(2)求a 21＋a 22＋…＋a 2n. 解：(1)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1，知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12. (2)由(1)，得a n ＝(－1)×⎝⎛⎭⎫－12n －1， 所以a 2n＝⎝⎛⎭⎫14n －1，所以数列{a 2n}是首项为1，公比为14的等比数列， 故a 21＋a 22＋…＋a 2n＝1×⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝43⎝⎛⎭⎫1－14n .。

学习目标 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．知识点一 等比数列的前n 项和公式的推导思考 对于S 64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S 64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S 64?答案 比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S 64，即S 64＝1－2641－2＝264－1.梳理 设等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，前n 项和S n 可用下面的“错位相减法”求得．S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1.① 则qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1＋a 1q n.②由①－②得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n. 当q ≠1时，S n ＝a1(1－qn)1－q.当q ＝1时，由于a 1＝a 2＝…＝a n ，所以S n ＝na 1. 结合通项公式可得： 等比数列前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a1(1－qn)1－q＝a1－anq 1－q (q≠1)，na1(q ＝1).知识点二 等比数列的前n 项和公式的应用 思考 要求等比数列前8项的和：(1)若已知其前三项，用哪个公式比较合适？ (2)若已知a 1，a 9，q 的值．用哪个公式比较合适？ 答案 (1)用S n ＝a1(1－qn)1－q .(2)用S n ＝a1－anq 1－q .梳理 一般地，使用等比数列求和公式时需注意： (1) 一定不要忽略q ＝1的情况；(2) 知道首项a 1、公比q 和项数n ，可以用a1(1－qn)1－q ；知道首尾两项a 1，a n 和q ，可以用a1－anq1－q ；(3) 在通项公式和前n 项和公式中共出现了五个量：a 1，n ，q ，a n ，S n .知道其中任意三个，可求其余两个．类型一 等比数列前n 项和公式的应用 命题角度1 前n 项和公式的直接应用 例1 求下列等比数列前8项的和： (1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0. 解 (1)因为a 1＝12，q ＝12，所以S 8＝12[1－(12)8]1－12＝255256.(2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得1243＝27·q 8.又由q <0，可得q ＝－13.所以S 8＝27[1－(－13)8]1－(－13)＝164081.反思与感悟 求等比数列前n 项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q ＝1是否成立． 跟踪训练1 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________. 答案 2 2n ＋1－2解析 设等比数列的公比为q ， ∵a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40， ∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20， 解得q ＝2，且a 1＝2. 因此S n ＝a1(1－qn)1－q＝2n ＋1－2.命题角度2 通项公式、前n 项和公式的综合应用 例2 在等比数列{a n }中，a 1＝2，S 3＝6，求a 3和q . 解 由题意，得若q ＝1，则S 3＝3a 1＝6，符合题意． 此时，q ＝1，a 3＝a 1＝2.若q ≠1，则由等比数列的前n 项和公式， 得S 3＝a1(1－q3)1－q ＝2(1－q3)1－q＝6，解得q ＝－2.此时，a 3＝a 1q 2＝2×(－2)2＝8.综上所述，q ＝1，a 3＝2或q ＝－2，a 3＝8.反思与感悟 (1)应用等比数列的前n 项和公式时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．(2)当q ＝1时，等比数列是常数列，所以S n ＝na 1；当q ≠1时，等比数列的前n 项和S n 有两个公式．当已知a 1，q 与n 时，用S n ＝a1(1－qn)1－q 比较方便；当已知a 1，q 与a n 时，用S n ＝a1－anq1－q比较方便．跟踪训练2 在等比数列{a n }中，S 2＝30，S 3＝155，求S n .解 方法一 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a1(1＋q)＝30，a1(1＋q ＋q2)＝155，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a1＝180，q ＝－56.从而S n ＝5(1－5n)1－5＝54(5n－1)或S n ＝180[1－(－56)n]1－(－56)＝1080[1－(－56)n]11，n ∈N *.方法二 若q ＝1，则S 3∶S 2＝3∶2， 而事实上，S 3∶S 2＝31∶6，故q ≠1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a1(1－q2)1－q ＝30， ①a1(1－q3)1－q ＝155，②两式作比，得1＋q 1＋q ＋q2＝631，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a1＝180，q ＝－56，从而S n ＝5(1－5n)1－5＝54(5n－1)或S n ＝180[1－(－56)n]1－(－56)＝1080[1－(－56)n]11，n ∈N *.类型二 等比数列前n 项和的实际应用例3 借贷10000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051，精确到整数)解 方法一 设每个月还贷a 元，第1个月后欠款为a 0元，以后第n 个月还贷a 元后，还剩下欠款a n 元(1≤n ≤6，n ∈N *)，则a 0＝10000，a 1＝1.01a 0－a ，a 2＝1.01a 1－a ＝1.012a 0－(1＋1.01)a ，…a 6＝1.01a 5－a ＝…＝1.016a 0－a . 由题意，可知a 6＝0， 即1.016a 0－a ＝0，a ＝1.016×1021.016－1.因为1.016≈1.061，所以a ≈1.061×1021.061－1≈1739(元)．故每月应支付1739元．方法二 一方面，借款10000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S 1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)，另一方面，设每个月还贷a 元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S 2＝a (1＋0.01)5＋a (1＋0.01)4＋…＋a＝a[(1＋0.01)6－1]1.01－1＝a ×102(元)．由S 1＝S 2，得a ＝1.016×1021.016－1≈1739(元)．故每月应支付1739元．反思与感悟 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S ＝P (1＋r )n，其中P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本利和．跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m 吗？ 解 用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度， 由题意，得a n ＋1＝45a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列．热气球在前n 分钟内上升的总高度为S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a1(1－qn)1－q＝25×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n 1－45＝125×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n <125.故这个热气球上升的高度不可能超过125m.1．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 等于( ) A.1－xn1－xB.1－xn －11－xC.⎩⎪⎨⎪⎧1－xn 1－x ， x≠1，n ，x ＝1D.⎩⎪⎨⎪⎧1－xn －11－x ，x≠1，n ，x ＝1答案 C解析 当x ＝1时，S n ＝n ； 当x ≠1时，S n ＝1－xn1－x.2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S4a2等于( )A ．2B ．4C.152D.172答案 C解析 方法一 由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a2q ＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S4a2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 方法二 S 4＝a1(1－q4)1－q ，a 2＝a 1q ，∴S4a2＝1－q4(1－q)q ＝152. 3．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是( ) A ．179 B ．211 C ．243 D ．275答案 B解析 ∵q 4＝a5a1＝1681＝(23)4，且q >0，∴q ＝23，∴S 5＝a1－a5q1－q ＝81－16×231－23＝211.4．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________． 答案 11a (1.15－1)解析 去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a ，1.12a,1.13a,1.14a,1.15a . ∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)．1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即当q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．40分钟课时作业一、选择题1．设数列{(－1)n}的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n[(－1)n －1]2B.(－1)n ＋1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －12答案 D解析 S n ＝(－1)[1－(－1)n]1－(－1)＝(－1)n －12.2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189答案 C解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3， 得q 2＋q －6＝0. ∵q >0， ∴q ＝2，∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝q 2·S 3 ＝22·21＝84.3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S5S2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11答案 D解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0， ∴q ＝－2，则S5S2＝a1(1＋25)a1(1－22)＝－11.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B ．－13C.19 D ．－19答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1， 即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.5．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A ．300米 B ．299米 C ．199米 D ．166米答案 A解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝2993964≈300(米)．6．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)答案 C解析 由3a n ＋1＋a n ＝0， 得an ＋1an ＝－13， 故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－(－13)101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．二、填空题7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3 解析 ∵S 6＝4S 3⇒a1(1－q6)1－q ＝4·a1(1－q3)1－q⇒q 3＝3.∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3.8．数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________. 答案 2n－1 解析 a n －a n －1＝a 1qn －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a2－a1＝2，a3－a2＝22，…an －an －1＝2n －1.各式相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n－2，故a n ＝a 1＋2n－2＝2n－1.9．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________． 答案 13解析 由已知4S 2＝S 1＋3S 3， 即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)． ∴a 2＝3a 3，∴{a n }的公比q ＝a3a2＝13.10．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，则数列的公比q ＝________.答案 －342解析 当q ＝1时，S n ＝na 1，S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9；当q ≠1时，a1(1－q3)1－q ＋a1(1－q6)1－q ＝2×a1(1－q9)1－q ，得2－q 3－q 6＝2－2q 9， ∴2q 9－q 6－q 3＝0，解得q 3＝－12或q 3＝1(舍去)或q 3＝0(舍去)，∴q ＝－342. 三、解答题11．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，n ∈N *.解 设S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n， 则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，∴－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2(1－2n)1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )×2n ＋1－2，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.12．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2013年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2013年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2013年最多出口多少吨？(保留一位小数，参考数据：0.910≈0.35)解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9， ∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1，n ∈N *)．(2)10年的出口总量S 10＝a(1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3.故2013年最多出口12.3吨． 13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an 2n －1的前n 项和． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a1＋d ＝0，2a1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n ，n ∈N *. (2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an 2n －1的前n 项和为S n ， 即S n ＝a 1＋a22＋…＋an2n －1，① Sn 2＝a12＋a24＋…＋an2n .②所以，当n ＞1时，①－②得 Sn 2＝a 1＋a2－a12＋…＋an －an －12n －1－an 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n2n .所以S n ＝n2n －1，当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an 2n －1的前n 项和S n ＝n 2n －1，n ∈N *.。

课时规范练A组基础对点练1．已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝() A．21 B.42C．63 D.842．(2018·石家庄质检)在等比数列{a n}中，a2＝2，a5＝16，则a6＝()A．14 B.28C．32 D.643．(2017·邢台摸底考试)已知数列{a n}为等比数列，a5＝1，a9＝81，则a7＝() A．9或－9 B.9C．27或－27 D.274．(2018·昆明调研测试)已知等差数列{a n}的公差为2，且a4是a2与a8的等比中项，则{a n}的通项公式a n＝()A．－2n B.2nC．2n－1 D.2n＋15．在等比数列{a n}中，S n表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q 等于()A．－3 B.－1C．1 D.36．我国古代有用一首诗歌形式提出的数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增．共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？()A．5 B.4C．3 D.27．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝()A．5 B.9C．log345 D.108．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a25＝2a3a6，S5＝－62，则a1的值是____. 9．(2018·重庆调研)在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5＝5，则log5a1＋log5a2＋…＋log 5a 9＝ ____.10．(2018·洛阳统考)已知各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝4，a n ＋1＝3S n ＋4(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a n b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <89. 11．(2017·合肥质检)在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n ，n ∈N *. (1)求证：数列{a nn }为等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .B 组 能力提升练1．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( ) A ．2 B.1 C.12D.182．(2018·安徽质检)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( )A ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且a ＝507B ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且c ＝507 C ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且a ＝507 A ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且c ＝5073．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为( )A ．4 B.5 C ．6D.74．(2018·贵阳适应性考试)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a 2a 6＝8(a 4－2)，则S 2 018＝( ) A ．22 017－12 B.1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2 017C ．22 018－12D.1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2 0185．(2016·高考天津卷)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( ) A ．充要条件 B.充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件6．若等比数列{a n }的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为( ) A.32 B.94 C ．1D.27．已知等比数列{a n }的各项都是正数，且3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7＝( ) A ．6 B.7 C ．8D.98．(2018·合肥质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S n ＝2a n －3n ，则a 2 018＝( ) A ．22 018－1 B.32 018－6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2 018－72 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13 2 018－103 9．(2018·郑州质量预测)已知数列{a n }满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N *)，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1，则log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝____.10．已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是__． 11．(2018·石家庄质检)已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，若a 1＝1，a 2·a 4＝16.(1)设b n＝log2a n，求数列{b n}的通项公式；(2)求数列{a n·b n}的前n项和S n.12．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知数列{a n}的前n项和S n＝1＋λa n，其中λ≠0.(1)证明{}a n是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝3132，求λ.。

《§2.5.1 等比数列的前n项和》教学设计一、教材分析1.在教材中的地位与作用《等比数列的前n项和》是必修5第二章数列中的一个重要内容，从知识体系来看，它不仅是《等差数列的前n项和》与《等比数列》的顺延，也是前面所学《函数》的延续，实质上是一种特殊的函数，而且还为后继深入学习提供了知识基础。

错位相减法是一种重要的数学思想方法，是求解一类混合数列前n项和的重要方法，因此，本节具有承上启下的作用；从知识的应用价值来看，它是从大量现实和数学问题中抽象出来的一个模型，前n项和公式的推导过程中蕴涵了基本的数学思想方法，如分类讨论、错位相减等在数列求和问题中时常出现。

等比数列的前n项和在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

2．教材编排与课时安排提出问题→探究等比数列前n项和公式→公式运用→问题解决。

本节“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间为2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程，并充分揭示公式的结构特征和内在联系。

二、教学目标依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特点，确定本节课的教学目标如下：理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。

感悟并理解公式的探求过程，感受公式探求过程所蕴涵的的思维方法，渗透类比思想、方程思想、分类讨论思想，优化思维品质，初步提高学生的数学问题意识和探究、分析与解决问题的能力。

通过经历对公式的探索过程，对学生进行思维严谨性的训练，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验。

三、重、难点分析1.教学重点等比数列前n项和公式的推导及其简单应用。

2.教学难点等比数列前n项和公式推导方法的理解。

等比数列的前n 项和教学设计【教学目标】一、知识与技能1.掌握等比数列前n 项和公式；2.体会等比数列前n 项和公式的推导过程;3.会简单运用等比数列前n 项和公式。

二、过程与方法1.通过对等比数列前n 项和公式的推导,体会“错位相减法〞求和的思想方法；2.通过对公式推导方法的探索与发现，渗透特殊到一般、分类讨论等数学思想，提高观察、比拟、抽象、概括等逻辑思维能力。

三、情感态度与价值观将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣。

【教学重点】等比数列的前n 项和公式的推导和灵活应用。

【教学难点】在等比数列前n 项和公式的推导过程中体会“错位相减法〞的思想方法。

【教学用具】多媒体【教学方法】启发引导合作探究【教学过程】一 复习回忆1、等比数列的定义:1n n a q a -=≥（n 2）2、等比数列的通项公式：11n n a a q -= 二 情景引入某中学高一、12班有个学生小明，经常上学迟到，班主任老师想了一个方法，和该生做一个“约定〞，规定：第一次迟到爱心捐款1分钱；第二次迟到爱心捐款2分钱；第三次迟到爱心捐款4分钱------以后每次迟到捐款是前一次的两倍，假设一学期小明迟到30次，那么小明能否按“约定〞完成爱心捐款？问题分析：设迟到30次后，小明爱心捐款的总钱数为S 30〔分〕，①② ① - ②，得 三合作探究对于一般的等比数列 ，其前n 项和如何计算？①②① - ②，得 四 例题讲解五 课堂检测(1) 6=364答案 S (2)378答案六 课堂小结七 课后作业课本P 30 A 组 6,8题 ．229301222S =++++ (30)3012S -=-303021S =-{}n a 23303022222S =++++…11212111...--+++++=n n n q a q a q a q a a S n n n n q a q a qa q a q a qS 11121211...+++++=--。

教学设计2．3.2 等比数列的前n项和整体设计教学分析本节是数列一章的最后内容，分两课时完成，第一课时侧重于公式的推导及记忆，第二课时侧重于公式的灵活应用．等比数列的前n项和是教材中很重要的一部分内容，是等比数列知识的再认识和再运用，它对学生进一步掌握、理解等比数列以及数列的知识有着很重要的作用．等比数列前n项和公式的推导，也是培养学生分析、发现、类比等能力的很好的一个工具．在讲求和公式推导时，应指出其运算的依据是等式性质和数运算的通性(交换律、结合律、分配律)．培养学生逻辑思维的习惯和代数运算技能．新大纲中对本知识有较高层次的要求，教学地位很重要，是教学全部学习任务中必须优先完成的任务．这项知识内容有广泛的实际应用，很多问题都要转化到等比数列的求和上来才能得到解决．如增长率、浓度配比、细胞分裂、储蓄信贷、养老保险、分期付款的有关计算等许多方面均用到等比数列的知识，因而考题中涉及数列的应用问题屡见不鲜．掌握等比数列的基础知识，培养建模和解模能力是解决数列应用问题的基本途径．等比数列的通项公式与前n项和公式中共涉及五个量，将两个公式结合起来，已知其中三个量可求另两个量，即已知a1，a n，q，n，S n五个量中的任意三个，就可以求出其余的两个量，这其中渗透了方程的思想．其中解指数方程的难度比较大，训练时要控制难度和复杂程度，要大胆地摒弃“烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容”．数列模型运用中蕴含着丰富的数学思想方法(如方程的思想、分类讨论思想、算法思想等)，这些思想方法对培养学生的阅读理解能力、运算能力和逻辑思维能力等基本能力有着不可替代的作用．教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间．三维目标1．通过本节学习，使学生会用方程的思想认识等比数列前n项和公式，会用等比数列前n项和公式及有关知识解决现实生活中存在着的大量的数列求和的问题，将等比数列前n 项和公式与等比数列通项公式结合起来解决有关的求解问题．2．通过启发、引导、分析、类比、归纳，并通过严谨科学的解题思想和解题方法的训练，提高学生的数学素养．3．通过解决生产实际和社会生活中的实际问题了解社会、认识社会，形成科学的世界观和价值观．重点难点教学重点：等比数列前n 项和公式的推导及灵活运用，及生产实际和社会生活中有关的实际问题．教学难点：建立等比数列模型，用等比数列知识解决有关的生产实际及社会生活中的热点问题．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(故事导入)国际象棋起源于古代印度，相传有位数学家带着画有64个方格的木盘，和32个雕刻成六种立体形状，分别涂黑白两色的木制小玩具，去见波斯国王并向国王介绍这种游戏的玩法．国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，一天到晚兴致勃勃地要那位数学家或者大臣陪他玩．高兴之余，他便问那位数学家，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐呢？数学家开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的2倍，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了．“好吧！”国王挥挥手，慷慨地答应了数学家的这个谦卑的请求．国王觉得，这个要求太低了，问他：“你怎么只要这么一点东西呢？”数学家笑着恳求道：“陛下还是叫管理国家粮仓的大臣算一算吧！”第二天，管理粮仓的大臣满面愁容地向国王报告了一个数字，国王大吃一惊：“我的天！我哪来这么多的麦子？”这个玩具也随着这个故事传遍全世界，这就是今日的国际象棋．假定千粒麦子的质量为40 g ，那么，数学家要求的麦粒的总质量究竟是多少呢？由此传说向学生发问：怎样算出小麦的总质量呢？思路2.(问题导入)买24枚钉子，第一枚14分钱，第二枚12分钱，第三枚1分钱，以此类推，每一枚钉子的钱是前一枚的2倍，共要多少钱？请学生想一想，多数学生认为大概没有多少钱，结果一算吓一跳，大约要4万2千元．事实上，这是等比数列的求和问题，即S ＝14＋12＋1＋2＋…＋221＝？那么怎样求等比数列的前n 项和呢？在学生急于揭开谜底的强烈欲望下展开新课的探究．推进新课新知探究提出问题(1)回忆等差数列前n 项和公式的推导过程，是用什么方法推导的？(2)对任意数列{a n }，前n 项和与通项a n 的关系是什么？(3)对首项为1的等比数列{a n }，你能探究它的前n 项和吗？(4)对任意等比数列{a n }，怎样推导它的前n 项和公式呢？你能联想到哪些推导思路？(5)对于思路1中麦粒问题，国王应发给数学家多少麦粒？对于S n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1的两边为什么要乘以2而不是乘以3或4呢？活动：教师引导学生回忆前面学过的等差数列前n 项和问题，我们用倒序相加法推得了它的前n 项和公式，并且得到了求等差数列通项公式的一个方法：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，S n －S n －1， n ＝1，n ≥2，还知道这个由数列S n 来确定a n 的方法适用于任何数列，且a 1不一定满足由S n －S n －1＝a n 求出的通项表达式．类比联想以上方法，怎样探究等比数列的前n 项和呢？我们先来探究象棋格里填麦粒的问题，也就是求S ＝1＋2＋…＋263＝？让学生充分观察这个式子的特点，发现每一项乘以2后都得它的后一项，点拨学生找到解决问题的关键是等式左右同乘以2，再相减得和．通过这个问题的解决，先让学生有一个感觉，就是等比数列的前n 项和可化为一个比较简单的形式，关键的问题是如何简化．再让学生探究首项为1的等比数列的前n 项和，即1，q ，q 2，…，q n －1的前n 项和．观察这个数列，由于各项指数不同，显然不能倒序相加减．但可发现一个规律，就是次数是依次增加的，教师引导学生模仿等差数列写出两个求和式子，给学生以足够的时间让其观察、思考、合作交流、自主探究．经过教师的点拨，学生的充分活动，学生会发现把两个S n ＝1＋q ＋q 2＋…＋q n －1错一个位，两边再同乘以公比q ，那么相同的指数就对齐了．这一发现是突破性的智慧发现，是石破惊天的发现．这样将S n＝1＋q＋q2＋…＋q n－1与qS n＝q＋q2＋q3＋…＋q n两式相减就有(1－q)S n＝1－q n，以下只需讨论q的取值就可得到S n了．在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法．我们将这种方法简称为“错位相减法”．在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”．如果记S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n，那么qS n＝a1q＋a2q＋a3q＋…＋a n q，要想得到S n，只要将两式相减，就立即有(1－q)S n＝a1－a n q.这里要提醒学生注意q的取值．如果q≠1，则有S n＝a1－a n q 1－q.上述过程我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：如果记S n＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1，那么qS n＝a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1＋a1q n，要想得到S n，只要将两式相减，就立即有(1－q)S n＝a1－a1q n.如果q≠1，则有S n＝a1(1－q n) 1－q.上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”．形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a1，q，a n，S n，n中a1，q，a n，S n 四个；后者出现的是a1，q，S n，n四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n项的和提供了选择的余地．值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的．言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式．对于等比数列的一般情形，如果q ＝1会是什么样呢？学生很快会看出，若q ＝1，则原数列是常数列，它的前n 项和等于它的任一项的n 倍，即S n ＝na 1.由此我们得到等比数列{a n }的前n 项和的公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1或S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ，q ≠1.教师进一步启发学生根据等比数列的特征和我们所学知识，还能探究其他的方法吗？经过学生合作探究，联想初中比例的性质等，我们会有以下推导方法：思路一：根据等比数列的定义，我们有a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a n a n －1＝q ， 再由合比定理，则得a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝q ， 即S n －a 1S n －a n ＝q ，从而就有(1－q)S n ＝a 1－a n q.当q ＝1时，S n ＝na 1，当q ≠1时，S n ＝a 1－a n q 1－q. 思路二：由S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，得S n ＝a 1＋a 1q ＋a 2q ＋…＋a n －1q ＝a 1＋q(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＝a 1＋q(S n －a n )，从而得(1－q)S n ＝a 1－a n q.(以下从略)在思路二中，我们巧妙地利用了S n －S n －1＝a n 这个关系式，教师再次向学生强调这是一个非常重要的关系式，应引起足够的重视，几乎在历年的高考中都有它的影子．但要注意这里n ≥2，也就是n 的取值应使这个关系式有意义，若写S n －1－S n －2＝a n －1，则这里n ≥3，以此类推．教师引导学生对比等差数列的前n 项和公式，并结合等比数列的通项公式，从方程角度认识这个公式，以便正确灵活地运用它．(1)在等比数列的通项公式及前n 项和公式中共有a 1，a n ，n ，q ，S n 五个量，只要知道其中任意三个量，都可以通过建立方程(组)等手段求出其余两个量；(2)在应用公式求和时，应注意到公式的使用条件q ≠1，当q ＝1时，应按常数列求和，即S n ＝na 1.在解含字母参数的等比数列求和问题时，常应分类讨论q ＝1与q ≠1两种情况．讨论结果：(1)倒序相加法；(2)a n ＝S n －S n －1(n ≥2)；(3)利用错位相减法；(4)利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)；(5)乘以2的目的是为了错位相减，共有麦粒264－1(颗)，每千粒麦子按40 g 计算，共约7 000亿吨．应用示例例1求下列等比数列的前8项的和：(1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q ＜0. 活动：本例目的是让学生熟悉公式，第(1)小题是对等比数列的前n 项和公式的直接应用；第(2)小题已知a 1＝27，n ＝8，还缺少一个已知条件，由题意显然可以通过解方程求得公比q.题目中要求q ＜0，一方面是为了简化计算，另一方面是想提醒学生q 既可为正数，又可为负数．本题中由条件可得q 8＝a 9a 1＝1243×27，再由q ＜0可得q ＝－13.将所得的值代入公式就可以了．本例可由学生自己探究解答．解：(1)因为a 1＝12，q ＝12，所以当n ＝8时，S 8＝12[1－(12)8]1－12＝255256. (2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得q 8＝a 9a 1＝1243×27，又由q ＜0，可得q ＝－13， 于是当n ＝8时，S 8＝27(1－1243×27)1－(－13)＝1 64081. 点评：通过本例要让学生熟悉方程思想，再次让学生明确，等比数列的通项公式与前n 项和公式中共五个量：a 1，a n ，q ，n ，S n ，五个量中已知任意三个就可以求出其余的两个，其中a 1，q 为最基本的两个量．同时提醒学生注意，由于等比数列涉及到指数问题，有时解题计算会很烦琐，要注意计算化简中的技巧，灵活运用性质．例2(教材本节例2)活动：本例是等比数列求和公式的直接运用，引导学生结合方程思想，按算法的思路来解答．本例可由学生自己完成．点评：通过本例让学生明确，等比数列的通项公式和求和公式共涉及5个量：a 1，q ，a n ，n ，S n ，已知其中3个量就可以求出另外的2个量．变式训练设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128答案：C解析：∵a 5＝a 1q 4，∴16＝q 4.又∵q ＞0，∴q ＝2.∴S 7＝a 1(1－q 7)1－q＝127.例3(教材本节例3)活动：本例仍属等比数列求和公式的直接应用．虽然原数列不是等比数列，不能用公式求和，但可这样转化：9＝10－1,99＝100－1,999＝1 000－1，…，这样就容易解决了．点评：让学生体会本例中的转化思想．变式训练求和：2＋22＋222＋…＋.解：原式＝29(10－1)＋29(102－1)＋…＋29(10n －1) ＝29(10＋102＋…＋10n －n) ＝29[10(1－10n )1－10－n] ＝2081(10n －1)－29n.例4求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)a n －1的前n 项的和．活动：教师引导学生观察数列特点，其形式是{a n ·b n }型数列，且{a n }是等差数列，{b n }是等比数列．根据本节等比数列求和公式的推导方法，可采用错位相减法进行求和．教学时可让学生自己独立探究，教师适时地点拨，要注意学生规范书写．解：当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)，则S n ＝n[1＋(2n －1)]2＝n 2. 当a ≠1时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1，①aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)a n ，②①－②，得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ，(1－a)S n ＝1－(2n －1)a n ＋2(a ＋a 2＋a 3＋…＋a n －1)＝1－(2n －1)a n ＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n ＋2(a －a n )1－a . 又1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a －2(a －a n )(1－a )2. 点评：通过本例，让学生反思解题时要善于识别题目类型，善于分类讨论．在应用错位相减时，写出的“S n ”与“qS n ”的表达式应特别注意将两式“同项对齐”，以便于下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．变式训练等差数列{a n }中，a 2＝8，S 6＝66.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{C n }的通项为C n ＝2n ，求数列{a n C n }的前n 项和A n .解：(1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝8，(a 1＋a 6)62＝66，解得a 1＝6，d ＝2. ∴a n ＝2n ＋4.(2)由题意，知a n C n ＝(2n ＋4)·2n ，∴A n ＝6·21＋8·22＋10·23＋…＋(2n ＋4)·2n .①在上式中两边同乘以2，得2A n ＝6·22＋8·23＋10·24＋…＋(2n ＋4)·2n ＋1.②①－②，得－A n ＝6·21＋2·22＋2·23＋…＋2·2n －(2n ＋4)·2n ＋1＝4－(2n ＋2)·2n ＋1， ∴A n ＝(n ＋1)·2n ＋2－4.例5已知数列{a n }中，a 1，a 2，a 3，…，a n ，…构成一个新数列：a 1，(a 2－a 1)，…，(a n－a n －1)，…，此数列是首项为1，公比为13的等比数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .活动：教师引导学生观察新数列的各项，不难发现这样一个事实：新数列的前n 项和恰为a n ，这样即可将问题转化为首项为1，公比为13的等比数列的前n 项和，数列{a n }的通项公式求出后，计算其前n 项和S n 就容易多了．解：(1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋13＋(13)2＋…＋(13)n －1＝32[1－(13)n ]． (2)S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝32(1－13)＋32[1－(13)2]＋…＋32[1－(13)n ]＝32{n －[13＋(13)2＋…＋(13)n ]} ＝32n －34[1－(13)n ] ＝34(2n －1)＋14(13)n －1. 点评：本例思路新颖，方法独特，解完本例后教师引导学生反思本例解法，注意平时学习中培养思路的灵活性．知能训练1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( )A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．1∶32．在等比数列{a n }中，(1)已知a 2＝18，a 4＝8，求a 1与q ；(2)已知a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，求a 3.答案：1．C 解析：∵S 6∶S 3＝1∶2，由a 1(1－q 6)1－q ＋a 1(1－q 3)1－q＝12，得q 3＝－12. ∴S 9S 3＝1－q 91－q 3＝34. 2．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝18，a 1q 3＝8. 解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝27，q ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－27，q ＝－23. (2)根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4－a 1＝15，a 1q 3－a 1q ＝6. 方程两边分别相除，得a 1q 4－a 1a 1q 3－a 1q ＝156. 整理，得2q 2－5q ＋2＝0.解这个方程，得q ＝2或q ＝12. 当q ＝2时，a 1＝1；当q ＝12时，a 1＝－16. 所以a 3＝4或a 3＝－4.课堂小结1．由学生总结本节学习的内容：等比数列前n项和公式的推导，特别是在推导过程中，学到了错位相减法；在运用等比数列求和时，注意q的取值范围是很重要的一点，需要放在第一位来思考．2．等比数列求和公式有两种形式，在应用中应根据题目所给的条件灵活选用，注意从方程的角度来观察公式，并结合等比数列的通项公式共5个量，知三可求二，并注意解题中的化简技巧．作业课本习题2—3 B组2、3.设计感想“探索是教学的生命线”，本教案设计体现以学生为本的思想．为了让学生较好掌握本课内容，本节课主要采用观察法、归纳法等教学方法，同时采用设计变式题的教学手段进行教学．通过具体问题的引入，使学生体会数学源于生活．本教案设计加强数学思想方法的训练．因为数列内容几乎渗透了中学数学所有的数学思想方法，而数列模型运用中更是蕴含着丰富的数学思想方法，这些思想方法对培养学生的阅读理解能力、运算能力和逻辑思维能力等有着不可替代的作用．教学中应充分让学生体会这些思想方法的运用．“问题是数学的心脏”，本教案设计注重了情境教学．通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得的成功．(设计者：张晓君)第2课时导入新课思路1.(情境导入)一个人为了积累养老金，他每个月按时到银行存100元，银行的年利率为4%，假设可以任意分段按复利计算，试问此人在5年后共积累了多少养老金？如果存款和复利按日计算，则他又有多少养老金？如果复利和存款连续计算呢？银行复利计息的计算方法正是我们今天要探究的内容，由此展开新课．思路2.(习题导入)在等比数列{a n}中，已知a1＋a2＋a3＝8，a4＋a5＋a6＝－4，则数列前15项的和S15为()A.112B.312C ．5D ．15 本题如果运用方程的思想，求数列{a n }的首项a 1和公比q 之后再求S 15，是一种常规思路，但运算量较大．可将原数列按一定规律重新组合成一个新的等比数列，S 15又刚好是新数列前5项的和，新数列的首项和公比又容易求得，使得小题巧解．具体解法如下：解析：设b 1＝a 1＋a 2＋a 3＝8；b 2＝a 4＋a 5＋a 6＝－4；…；b 5＝a 13＋a 14＋a 15，则b 1，b 2，b 3，b 4，b 5构成一个等比数列，其首项为8，公比为－12. 故S 15＝S 5′＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＝112.选A. 由此展开本课的进一步探究．答案：A推进新课新知探究提出问题(1)回忆等比数列前n 项和公式的推导过程，是用什么方法推导的？需要注意什么问题？(2)比较等差、等比数列的前n 项和公式，从推导方法到应用有什么不同？怎样从方程的角度理解等比数列的求和公式？(3)利用等比数列求和的关键是什么？(4)你能对等差、等比数列求和问题作一归纳总结吗？(5)应用等比数列可解决哪些类型的实际问题？活动：教师引导学生回忆上节课所学的等比数列的求和公式，通过“错位相减”的思路方法很巧妙地将等式S n ＝a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －1的两边同乘以该数列的公比q ，使得等式右边各项都向右错了一位；然后通过求S n －qS n 把相同项消去，达到简化的目的，最后解出S n .这种求和方法具有普通性，教师再次引导学生回顾这种求和方法的精髓，注意的问题是必须注意q 是否等于1，如果不确定，就应分q ＝1与q ≠1两种情况或更多的情况进行讨论．等比数列求和的关键与等差数列求和一样，在于数列通项公式的表达形式，由通项公式的形式特点确定相应的求和方法．为了达到求和时的简化运算，应充分利用等比数列的前n 项和的性质．(1)若某数列的前n 项和公式为S n ＝a n －1(a ≠0,1)，则{a n }成等比数列．(2)若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列；若项数为2n(n ∈N *)，则S 偶S 奇＝q. 应用等比数列可解决的实际问题有：产量增减、价格升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题．解决方法是建立数列模型，应用数列知识解决问题，要让学生明了数列的实际应用一直是全国各地市高考的热点、重点，考题的形式多种多样，难度为中、高档．等比数列求和问题作为数列的重要内容之一，蕴含着丰富的数学思想方法，教学时可与等差数列对比，归纳、总结．(1)求和问题可以利用等差、等比数列的前n 项和公式解决，在具体问题中，既要善于从数列的通项入手观察数列的特点与变化规律，又要注意项数．(2)非等差(比)的特殊数列求和题通常的解题思路是：①设法转化为等差数列或等比数列，这一思考方法往往通过通项分解或错位相减来完成．②不能转化为等差(比)的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法和倒序相加法求和．一般地，如果数列能转化为等差数列或等比数列就用公式法；如果数列项的次数及系数有规律，一般可用错位相减法；如果每项可写成两项之差一般可用拆项法；如果能求出通项，可用拆项分组法．(3)数列求和的关键在于数列通项公式的表达形式，根据通项公式的形式特点，观察采用哪种方法是这类题的解题诀窍．(4)通项公式中含有(－1)n 的一类数列，在求S n 时要注意需分项数n 的奇偶性讨论． 讨论结果：(1)(2)(3)(5)略．(4)数列求和的常用方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法和裂项相消法，这也是高考常考的几种求和方法．例1某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台？(结果保留到个位)活动：教师引导学生探究，根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列模型，并明确这是一个已知S n ＝30 000求n 的问题．本例的解答应先根据等比数列的前n 项和公式列方程，再用对数的知识解方程．解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1＝5 000，q ＝1＋10%＝1.1，S n ＝30 000.于是得到5 000(1－1.1n )1－1.1＝30 000， 整理，得1.1n ＝1.6，两边取对数，得nlg1.1＝lg1.6，用计算器算得n ＝lg1.6lg1.1≈0.20.041≈5(年)． 答：大约5年可以使总销售量达到30 000台．点评：本例是一道关于等比数列模型的应用题，需要从实际问题中抽象出等比数列模型．从实际背景的角度讲，本例的设计一方面是想让学生了解计算机日益普及，其销量越来越大；另一方面，对于一个商场来讲，为实现一定的商品销售目标而制订计划也是一件自然的事情．变式训练某市2003年共有1万辆燃油型公交车．有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13？ 解：(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{a n }，其中a 1＝128，q ＝1.5，则在2010年应该投入的电力型公交车为a 7＝a 1·q 6＝128×1.56＝1 458(辆)．(2)记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，依据题意，得S n 10 000＋S n ＞13. 于是S n ＝128(1－1.5n )1－1.5＞5 000(辆)， 即1.5n ＞65732，则有n －lg 65732lg1.5≈7.5， 因此n ≥8.所以，到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13.例2(教材本节例4)活动：这是本单元教材安排的最后一道例题．教师引导学生写出每个月的产值，建立等比数列的数学模型，通过数量分析理解任一月份的计算表达式和求总和的计算方法．例3某教师购买安居工程集资房72 m 2，单价为1 000元/m2，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，余款由个人负担．房地产开发公司对教师实行分期付款，每期为1年，等额付款．签订购房合同后，1年付款1次，再过1年又付款1次等等，共付10次，10年后还清．如果按年利率7.5%，每年复利1次计算，那么每年应付多少元？(计算结果精确到百元．下列数据供参考：1.0752≈1.921,1.07510≈2.065,1.07511≈2.221)活动：教师引导学生理清问题中的基本数量关系，建立等比数列的模型，然后按等比数列的知识就很容易解决了．本例由教师与学生共同探究完成．解：设每年应付款x 元，那么到最后1次付款时付款金额的本利和为x(1＋1.075＋1.0752＋1.0753＋…＋1.0759)元；购房余款10年后的本利和为[1 000×72－(28 800＋14 400)]·1.07510＝28 800×1.07510元，根据10年后还清，得x(1＋1.075＋1.0752＋…＋1.0759)＝28 800×1.07510，∴x ＝28 800×1.07510×1.075－11.07510－1≈4 200(元)， 即每年应付4 200元．点评：解决本例的关键是建立等比数列模型．分期付款以及新生利息之和，应等于购房个人分担部分10年后的本息和．变式训练假如一个人得到了一条消息，他偷偷地告诉了两个朋友，半小时后这两个朋友又各自偷偷地告诉了自己的两个朋友．如果每个得到消息的人在半小时内把这一消息告诉两个朋友，计算一下，24小时后有多少人知道了这条消息？解：按题意，半小时有1＋2人，一小时有1＋2＋22人，...，设24小时后有x 人知道，则x ＝1＋2＋22＋23＋ (248)2x ＝2＋22＋23＋24＋ (249)两式相减得x ＝249－1.利用对数计算可知x ≈5.61×1014.也就是说从第一个人知道消息开始，只过了一天时间，就有五百六十一万亿人知道了这条消息．例4某地现有居民住房的总面积为a m 2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建新住房．(1)如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x 是多少？(可取1.110≈2.6)(2)过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少？(保留到小数点后第1位)解：(1)根据题意，可知1年后住房总面积为1.1a －x ；2年后住房总面积为1.1(1.1a －x)－x ＝1.12a －1.1x －x ；3年后住房总面积为1.1(1.12a －1.1x －x)－x ＝1.13a －1.12x －1.1x －x ；……；10年后住房总面积为1.110a －1.19x －1.18x －…－1.1x －x＝1.110a －1.110－11.1－1x ＝2.6a －16x. 由题意，得2.6a －16x ＝2a.解得x ＝380a(m 2)．(2)所求百分比为a 2－380a ×102a ＝116≈6.3%. 答：每年应拆除的旧住房总面积为380a m 2，过10年还未拆除的旧房总面积占当时住房总面积的百分比是6.3%.知能训练1．已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项的和，求证：S 7，S 14－S 7，S 21－S 14成等比数列．设k ∈N *，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等比数列吗？2．家用电器一件，现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每月为一期，购买一个月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812＝1.1)答案：1．证明：∵S 14－S 7＝(a 1＋a 2＋…＋a 14)－(a 1＋a 2＋…＋a 7)＝a 8＋a 9＋…＋a 14＝a 1q 7＋a 2q 7＋…＋a 7q 7＝S 7·q 7.同理，S 21－S 14＝q 14·S 7，∴S 7(S 21－S 14)＝(S 14－S 7)2.可用同样的方法证明S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等比数列．2．解：设每期付款x 元，则第1期付款后还欠款2 000(1＋0.008)－x ＝2 000·1.008－x ，第2期付款后还欠款[2 000(1＋0.008)－x]·1.008－x ＝2 000·1.0082－1.008x －x ，…，第12期付款后欠款应为0，所以有2 000·1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x ＝0，∴x ＝2 000·1.008121.00812－11.008－1≈175.46(元)， 即每期付款175.46元．课堂小结1．由学生自己总结本节所探究的内容与方法：教育储蓄中的计算问题，用计算机程序。

第三节 等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念 (1)定义：①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数． ②符号语言：a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数).(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab (a ，G ，b 不为零).2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1． (2)前n 项和公式：S n ＝⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(m ，n ∈N *).(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ． 特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p ．(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列，即(S 2m －S m )2＝S m (S 3m－S 2m )(m ∈N *，公比q ≠－1).(4)数列{a n }是等比数列，则数列{pa n }(p ≠0，p 是常数)也是等比数列．(5)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k ．1．(1)在等比数列求和时，要注意q ＝1和q ≠1的讨论． (2)当{a n }是等比数列且q ≠1时，S n ＝a 11－q －a 11－q ·q n ＝A －A ·q n .2．当项数是偶数时，S 偶＝S 奇·q ； 当项数是奇数时，S 奇＝a 1＋S 偶·q .1．(基础知识：等比中项)等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32答案：C2．(基本能力：等比数列的前n 项和)设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128答案：C3．(基本能力：求公比)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14 ，则公比q ＝( )A ．12B ．13C ．－12D ．22答案：A4．(基本能力：求等比数列的项)在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________.答案：12，485．(基本应用：等比数列的通项)记S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ＝2a n ＋1，则a n ＝________．答案：－2n －1题型一 等比数列的基本量的运算[典例剖析][典例] (1)(2020·高考全国卷Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S na n＝( )A ．2n －1B ．2－21－n C ．2－2n －1D ．21－n －1解析：法一：设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 6－a 4a 5－a 3 ＝2412 ＝2.由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12得a 1＝1，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝2n －1，所以S n a n ＝2n－12n －1 ＝2－21－n .法二：设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3q 2－a 3＝12，①a 4q 2－a 4＝24，②②①得a 4a 3 ＝q ＝2.将q ＝2代入①，解得a 3＝4，所以a 1＝a 3q 2 ＝1，下同法一．答案：B(2)(2020·高考全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝4，a 3－a 1＝8. ①求{a n }的通项公式；②记S n 为数列{log 3a n }的前n 项和．若S m ＋S m ＋1＝S m ＋3，求m . 解析：①设{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1. 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝4，a 1q 2－a 1＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3，所以{a n }的通项公式为a n ＝3n －1. ②由①知log 3a n ＝n －1， 故S n ＝n （n －1）2.由S m＋S m＋1＝S m＋3得m(m－1)＋(m＋1)m＝(m＋3)·(m＋2)，即m2－5m－6＝0，解得m＝－1(舍去)或m＝6.方法总结解决等比数列有关基本能力问题的常用思想方法(1)方程思想：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，a n，S n，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和涉及对公比q的分类讨论：当q＝1时，其前n项和S n＝na1；当q≠1时，其前n项和S n＝a1（1－q n）1－q＝a1－a n q1－q.[对点训练]等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{a n}的通项公式；(2)记S n为{a n}的前n项和．若S m＝63，求m.解析：(1)设{a n}的公比为q，由题设得a n＝q n－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2，故a n＝(－2)n－1或a n＝2n－1.(2)若a n＝(－2)n－1，则S n＝1－（－2）n3.由S m＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若a n＝2n－1，则S n＝2n－1.由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.题型二 等比数列的判定与证明[典例剖析] 类型 1 定义法证明等比数列[例1] (2019·高考全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．解析：(1)证明：由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )，即a n ＋1＋b n ＋1＝12 (a n ＋b n ).又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12 的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8， 即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1 ，a n －b n ＝2n －1，所以a n ＝12 [(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12 ，b n ＝12 [(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12 .类型 2 等比中项法判定等比数列[例2] (1)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：设等比数列的公比为q ，则a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，a 9＝a 1q 8，满足(a 1q 5)2＝a 1q 2·a 1q 8， 即a 26 ＝a 3·a 9. 答案：D(2)(2020·湖南郴州模拟)在数列{a n }中，满足a 1＝2，a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，S n 为{a n }的前n 项和，若a 6＝64，则S 7的值为( )A ．126B ．256C ．255D ．254解析：数列{a n }中，满足a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }为等比数列，设其公比为q ，又由a 1＝2，a 6＝64，得q 5＝a 6a 1＝32，则q ＝2，则S 7＝a 1（1－27）1－2＝28－2＝254.答案：D 方法总结等比数列的判断与证明的常用方法方法解读适合题型定义 法在a n ≠0(n ∈N *)前提下，若a n ＋1a n＝q (q 为非零常数)或a na n －1 ＝q (q 为非零常数，n ≥2且n ∈N *)，则{a n }是等比数列已知中提供的递推关系式，或者是a n 与S n 的关系式进行化简，转化为数列{a n }中相邻两项之间的关系等比中项法数列{a n }中，a n ≠0，如果根据已知条件能化简得到a 2n ＋1 ＝a n ·a n ＋2(n ∈N*)，或者是证明此式成立，则数列{a n }是等比数列证明三项成等比数列续表[题组突破]1．(教材精选)已知{a n}是各项均为正数的等比数列，{a n}是等比数列吗？为什么？解析：{a n}是等比数列．①a n为等比数列，且a n＞0，a n＝a1·q n－1(a1＞0，q＞0)，从而a n的通项公式a1·q n－1＝a1·(q ) n－1，表示首项为a1，公比为q 的等比数列．②从定义角度：a na n－1＝a na n－1＝q ，是等比数列．③从等比中项角度：a n－1·a n＋1＝a n－1·a n＋1＝a2n，即a n－1·a n＋1＝(a n)2成等比数列．2．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，S n＋1＝4a n＋2.(1)设b n＝a n＋1－2a n，证明：数列{b n}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式．解析：(1)证明：由a1＝1及S n＋1＝4a n＋2，得a1＋a2＝S2＝4a1＋2.∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2（n ≥2）， ②由①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2). ∵b n ＝a n ＋1－2a n ， ∴b n ＝2b n －1(n ≥2)，故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． (2)由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1， ∴a n ＋12n ＋1 －a n 2n ＝34 ，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12 ，公差为34 的等差数列，∴a n 2n ＝12 ＋(n －1)·34 ＝3n －14 ， 故a n ＝(3n －1)·2n －2.题型三 等比数列的性质[典例剖析] 类型 1 等比数列项的性质[例1] (2021·黑龙江哈尔滨模拟)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 3a 5解析：因为a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·…·a 10) ＝log 3(a 5a 6)5＝5log 39＝10. 答案：B类型 2 等比数列前n 项和的性质[例2] 已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80， 解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇 ＝－160－80 ＝2.答案：2类型 3 等比数列综合问题[例3] (2020·高考山东卷)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)记b m 为{a n }在区间(0，m ](m ∈N *)中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100. 解析：(1)设{a n }的公比为q . 由题设得a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8. 解得q ＝12 (舍去)或q ＝2.由题设得a 1＝2，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)由题设及(1)知b 1＝0，且当2n ≤m ＜2n ＋1时，b m ＝n ，所以S 100＝b 1＋(b 2＋b 3)＋(b 4＋b 5＋b 6＋b 7)＋…＋(b 32＋b 33＋…＋b 63)＋(b 64＋b 65＋…＋b 100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480.方法总结1．在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n＋3k ，…为等比数列，公比为q k .2．在一个无穷等比数列中，其中任何一项都是和这项项数距离相等的两项的等比中项，即a 2m ＝a m －k ·a m ＋k (m ，k 为正整数，且m ＞k ).3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，这个性质成立的前提条件是公比不为－1.[题组突破]1．(2021·山东菏泽模拟)在等比数列{a n }中，a 2，a 16是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．2B ．－2C ．2D ．－2 或2解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2，a 16是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，可得a 2a 16＝2，即有a 21 q 16＝2，则有a 29 ＝2，则a 2a 16a 9＝a 9＝±2 . 答案：D2．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n ＝________． 解析：第一步 利用等比数列前n 项和的性质． S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n 成等比数列． 第二步 应用等比中项列出方程求解． (S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )， 即(S 2n －2)2＝2·(14－S 2n )， 解得S 2n ＝6或S 2n ＝－4(舍去)， 同理可得S 4n ＝30. 答案：30再研高考基本量与性质相结合1．(2020·高考全国卷Ⅰ)设{a n }是等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＝1，a 2＋a 3＋a 4＝2，则a 6＋a 7＋a 8＝( )A ．12B ．24C ．30D ．32解析：设等比数列{a n }的公比为q ， 则q ＝a 2＋a 3＋a 4a 1＋a 2＋a 3 ＝21＝2，所以a 6＋a 7＋a 8＝(a 1＋a 2＋a 3)·q 5＝1×25＝32.答案：D2．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )A ．16B ．8C ．4D ．2 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0，q ＞0，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝15，a 1q 4＝3a 1q 2＋4a 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴a 3＝a 1q 2＝4. 答案：C3．(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13 ，a 24 ＝a 6，则S 5＝________.解析：由a 24 ＝a 6得(a 1q 3)2＝a 1q 5，整理得q ＝1a 1＝3， ∴S 5＝13×（1－35）1－3＝1213 . 答案：1213素养升华找共性、析个性、巧解开放题设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，________________．给出下列三个条件：条件①：数列{a n }为等比数列，数列{S n ＋a 1}也为等比数列；条件②：点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋1上；条件③：2n a 1＋2n －1a 2＋…＋2a n ＝na n ＋1.试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1log 2a n ＋1·log 2a n ＋3，求数列{b n }的前n 项和T n . 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．解析：方案一：选条件①.(1)因为数列{S n ＋a 1}为等比数列， 所以(S 2＋a 1)2＝(S 1＋a 1)(S 3＋a 1)，即(2a 1＋a 2)2 ＝2a 1·(2a 1＋a 2＋a 3).设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 1＝1， 所以(2＋q )2＝2(2＋q ＋q 2)， 解得q ＝2或q ＝0(舍去)， 所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1(n ∈N *).(2)由(1)得a n ＝2n －1(n ∈N *)，所以b n ＝1log 2a n ＋1·log 2a n ＋3 ＝1n （n ＋2） ＝12 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ， 所以T n ＝12 ⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫13－15＋… ⎦⎥⎤＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2 ＝34 －12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2 ＝34 －2n ＋32（n ＋1）（n ＋2）. 方案二：选条件②.(1)因为点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋1上， 所以a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)， 所以a n ＝S n －1＋1(n ≥2)，两式相减得a n ＋1－a n ＝a n ，a n ＋1a n＝2(n ≥2).因为a 1＝1，a 2＝S 1＋1＝a 1＋1＝2，所以a 2a 1＝2适合上式， 所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1(n ∈N *).(2)同方案一的(2).方案三：选条件③.(1)当n ≥2时，因为2n a 1＋2n －1a 2＋…＋2a n ＝na n ＋1(n ∈N *) (ⅰ)， 所以2n －1a 1＋2n －2a 2＋…＋2a n －1＝(n －1)a n ， 所以2n a 1＋2n －1a 2＋…＋22a n －1＝2(n －1)a n (ⅱ)， (ⅰ)－(ⅱ)得2a n ＝na n ＋1－2(n －1)a n ，即a n ＋1a n ＝2(n ≥2)，当n ＝1时，2a 1＝a 2，a 2a 1 ＝2适合上式，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1(n ∈N *).(2)同方案一的(2).。