2020版数学人教B版必修5学案：第二章 2.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 Word版含解析

错位相减法广州市第六中学 江玉军教学目标:1会用错位相减法求“差比数列”的前n 项和； 2会用待定系数法求“差比数列”的前n 项和； 3理解错位相减法的本质是整体代换法；4引导学生探究数学问题的本质，培养敢于质疑的精神和善于归纳总结的能力。

一 复习与回顾（3分钟）等比数列{}n a 的前n 项和n S 的公式是⎪⎩⎪⎨⎧≠--==1,1)1(1,11q qq a q na S nn 。

同学们记得《课本》上是如何推导上述公式的吗？《课本》P55页是这样推导等比数列{}n a 的前n 项和n S 公式的。

n n n a a a a a S +++++=-132111212111--+++++=n n q a q a q a q a a …………………………………………………①用公比q 乘以①式的两边，可得n n n q a q a q a q a q a qS 11131211+++++=- ……………………………………………②①－②得，()n n q a a S q 111-=-。

当1≠q 时，()()1111≠--=q qq a S nn 。

二 引出新方法（8分钟，共11分钟）在①－②的过程中，由于存在如下形式的相减，故将此方法称为“错位相减法”。

(){}nn 312⋅-项和。

解：()()n n n n n S 3123323533311321⋅-+⋅-++⨯+⨯+⨯=- ………………③()()14323123323533313+⋅-+⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S ……………④③－④得：()1323)12(32323232+⋅--⨯++⨯+⨯+=-n n n n S)12323-⨯+=n (33-=n n S 项和。

（8（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n 221 （2）()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+nn 2112解：（1）n n n n n S 221222322252232211321⋅-+⋅-++⨯+⨯+⨯=- ……⑤ 1432221222322252232212+⋅-+⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S ……………⑥⑤－⑥得，()()32232212222221132-⋅-=⋅--++++⨯=-+n n nn n n S 所以()3232+⋅-=n n n S 。

2.3.2 等比数列的前n 项和(一)明目标、知重点 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)na 1(q ＝1). (2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况． 2．等比数列前n 项和公式的变式若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q (1－q n )＝A (q n －1)．其中A ＝a 1q －1.3．错位相减法推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在象棋的第一个格子里放1颗麦粒，第二个格子放2颗麦粒，第三个格子放4颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子的两倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求”．国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40 g ，据查目前世界年度小麦产量约6亿 t ，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言． 探究点一 等比数列前n 项和公式的推导思考1 在情境导学中，如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么这个数列是怎样的一个数列？通项公式是什么？答 所得数列为1,2,4,8，…，263.它是首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为a n ＝2n －1. 思考2 在情境导学中，国王能否满足发明者要求的问题，转化为数列的怎样的一个问题？ 答 转化为求通项为a n ＝2n－1的等比数列前64项的和．思考3 类比求等差数列前n 项和的方法，能否用倒序相加法求数列1,2,4,8，…，263的和？为什么？答 不能用倒序相加法，因为对应各项相加后的和不相等．思考4 对于S 64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S 64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S 64?答 比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S 64，即S 64＝1－2641－2＝264－1≈1.84×1019.思考5 类比思考4中求和的方法，如何求等比数列{a n }的前n 项和S n ? 答 设等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，前n 项和为S n . S n 写成：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1.① 则qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n .② 由①－②得：(1－q )S n ＝a 1－a 1q n . 当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q.当q ＝1时，由于a 1＝a 2＝…＝a n ，所以S n ＝na 1.思考6 下面提供了两种推导等比数列前n 项和公式的方法．请你补充完整． 方法一 由等比数列的定义知： a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a n a n －1＝q . 当q ≠1时，由等比性质得： a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝q ，即S n －a 1S n －a n＝q . 故S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q .当q ＝1时，易知S n ＝na 1.方法二 由S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 得： S n ＝a 1＋a 1q ＋a 2q ＋…＋a n －1q ＝a 1＋q ·(a 1＋a 2＋…＋a n －1) ＝a 1＋q ·(S n －a n )从而得(1－q )·S n ＝a 1－a n q . 当q ≠1时，S n ＝a 1－a n q1－q ；当q ＝1时，S n ＝na 1.小结等比数列{a n}的前n 项和S n可以用a 1，q ，a n表示为S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1a 1－a nq1－q ，q ≠1.例1 “一尺之棰，日取其半，万世不竭”，怎样用学过的知识来说明它？ 解 这句话用现代文叙述是“一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完”．如果每天取出的木棒的长度排成一个数列，则得到一个首项为a 1＝12，公比q ＝12的等比数列，它的前n 项和为S n ＝12×[1－(12)n ]1－12＝1－(12)n .不论n 取何值，1－S n ＝(12)n 总大于0，这说明一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完．反思与感悟 涉及等比数列前n 项和时，要先判断q ＝1是否成立，防止因漏掉q ＝1而出错． 跟踪训练1 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________. 答案 2 2n ＋1－2解析 设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2. 因此S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n ＋1－2.例2 等比数列{a n }的公比q ＝12，a 8＝1，求它的前8项和S 8.解 方法一 因为a 8＝a 1q 7，所以a 1＝a 8q 7＝27.因此S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝27[1－(12)8]1－12＝28－1＝255.方法二 把原数列的第8项当作第一项，第1项当作第8项，即顺序颠倒，也得到一个等比数列{b n }，其中b 1＝a 8＝1，q ′＝2，所以前8项和S 8＝b 1(1－q ′8)1－q ′＝1－281－2＝255.反思与感悟 等比数列的前n 项和公式和通项公式中共涉及a 1，a n ，q ，n ，S n 五个基本量，已知其中三个量，可以求出另外的两个量，我们可以简称为“知三求二”． 跟踪训练2 求下列等比数列前8项的和： (1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.解 (1)因为a 1＝12，q ＝12，所以S 8＝12[1－(12)8]1－12＝255256.(2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得1243＝27·q 8.又由q <0，可得q ＝－13.所以S 8＝27[1－(－13)8]1－(－13)＝1 64081.探究点二 等比数列前n 项和的实际应用例3 某工厂去年1月份的产值为a 元，月平均增长率为p (p >0)，求这个工厂去年全年产值的总和．解 该工厂去年2月份的产值为a (1＋p )元，3月，4月……的产值分别为a (1＋p )2元，a (1＋p )3元，……，去年12个月的产值组成以a 为首项，1＋p 为公比的等比数列，因此，该厂去年全年的总产值为S 12＝a [1－(1＋p )12]1－(1＋p )＝a [(1＋p )12－1]p .答 该工厂去年全年的总产值为a [(1＋p )12－1]p元．反思与感悟 解应用题先要认真阅读题目，尤其是一些关键词：“平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%”．理解题意后，将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学知识解决问题．跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？ 解 用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度， 由题意，得a n ＋1＝45a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列．热气球在前n 分钟内上升的总高度为 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝a 1(1－q n)1－q ＝25×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝125×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 探究点三 错位相减法求和例4 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)． 解 分x ＝1和x ≠1两种情况．当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ， xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1， ∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1 ＝x (1－x n )1－x －nx n ＋1.∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x.综上可得S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n＋1)2 (x ＝1)x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x (x ≠1且x ≠0).反思与感悟 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．跟踪训练4 求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)·a n －1的前n 项和．解 (1)当a ＝0时，S n ＝1.(2)当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)， 则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2.(3)当a ≠1且a ≠0时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)a n ② ①－②得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n ＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1) ＝1－(2n －1)a n ＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n＋2(a －a n )1－a，又1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2.综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (a ＝0)n 2(a ＝1)1－(2n －1)a n1－a ＋2(a －a n )(1－a )2(a ≠0且a ≠1).1．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 为( ) A.1－x n 1－xB.1－x n －11－xC.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n1－x ，x ≠1n ， x ＝1 D.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n －11－x ，x ≠1n ， x ＝1答案 C解析 当x ＝1时，S n ＝n ；当x ≠1时，S n ＝1－x n 1－x.2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A ．2B ．4 C.152 D.172答案 C解析 方法一 由等比数列的定义， S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 方法二 S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 2＝a 1q ，∴S 4a 2＝1－q 4(1－q )q ＝152. 3．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是( ) A ．179 B ．211 C ．243 D ．275 答案 B解析 ∵q 4＝a 5a 1＝1681＝(23)4，∴q ＝23，∴S 5＝a 1－a 5q 1－q ＝81－16×231－23＝211.4．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________． 答案 11a (1.15－1)解析 注意去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a .∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)．1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．一、基础过关1．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n ＋1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －12答案 D解析 S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12.2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 答案 C解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3， 得q 2＋q －6＝0.∵q >0，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22·S 3＝84.3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11 答案 D解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－19 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3解析 S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q⇒q 3＝3(q 3＝1舍去)． ∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3.6．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________. 答案 2n －1解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n－a n －1＝2n －1.相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2， 故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1.7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q . 解 当q ＝1时，S n ＝na 1，∴S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9； 当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2×a 1(1－q 9)1－q ，得2－q 3－q 6＝2－2q 9，∴2q 9－q 6－q 3＝0，解得q 3＝－12或q 3＝1(舍去)，∴q ＝－342.二、能力提升8．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A ．300米 B ．299米 C ．199米 D ．166米 答案 A解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964≈300(米)． 9．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)答案 C解析 先根据等比数列的定义判断数列{a n }是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n 项和公式计算．由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－(－13)101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10)．10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________． 答案 13解析 由已知4S 2＝S 1＋3S 3， 即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)． ∴a 2＝3a 3，∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.11．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n . 解 设S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ·2n ＋1∴－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1 ＝(1－n )·2n ＋1－2∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.12．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2013年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2013年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2013年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.910≈0.35.解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1)．(2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)． ∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910， ∴a ≤12.3.故2013年最多出口12.3吨．三、探究与拓展13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ， 即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1，① S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n 2n .② 所以，当n ＞1时，①－②得S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n ＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n . 所以S n ＝n 2n －1.当n ＝1时也成立． 综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n 2n －1.。

人教版高中必修5(B版)2.3.2等比数列的前n项和教学设计一、教学目标1.掌握等比数列的概念和性质，能够判断一个数列是否为等比数列；2.掌握等比数列的通项公式和求和公式；3.能够应用等比数列的公式解决实际问题。

二、教学重点和难点1.等比数列的通项公式和求和公式的推导；2.解决实际问题时对问题的转化和数据的分析。

三、教学过程设计1. 导入环节通过引入一些实际应用问题，比如生态链问题、财务问题等，介绍等比数列的应用场景，引发学生对等比数列的兴趣，并激发学生的求知欲望。

2. 概念讲解1.定义等比数列，列举等比数列的性质；2.推导等比数列的通项公式和求和公式，并简单讲解推导过程，引导学生理解公式；3.通过实例讲解公式的应用方法，强化学生的运用能力。

3. 练习与巩固1.利用课堂时间进行一些基础题型的演示和讲解，使学生对基础概念和公式更加熟悉；2.在课后布置一些练习，提高学生对等比数列的掌握程度；3.在下次课时进行讲解和答疑，帮助学生发现和纠正错误。

4. 实际应用通过一些实际问题的讲解和分析，如金融投资、人口增长等，让学生发现等比数列在实际问题中的应用，丰富学生的实际运用能力。

四、教学方法1.讲授法：通过讲述概念和公式，并通过例题让学生掌握解题方法；2.互动式教学：通过提问、讨论、闯关等方式，增强学生的参与性，让学生主动探究；3.多媒体教学：通过使用电子教具或多媒体课件辅助教学，让学生更加生动和直观地了解概念和公式。

五、教学反思1.整体教学效果良好，学生对等比数列的掌握程度得到了很大提高；2.需要针对性更强的练习来巩固学生的理论知识和应用技巧；3.可以结合实际应用更多的案例，让学生更加深入理解等比数列的实际应用。

第2课时 等比数列的性质学习目标 1.灵活应用等比数列的通项公式推广形式及变形.2.理解等比数列的有关性质，并能用相关性质简化计算.知识点一 等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{a n }的公比为q ，则 a n ＝a 1·q n -1 ① ＝a m ·q n -m ② ＝a 1q·q n ③其中当②中m ＝1时，即化为①.当③中q ＞0且q ≠1时，y ＝a 1q ·q x为指数型函数．知识点二 等比数列常见性质(1)对称性：a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝…＝a m ·a n -m +1(n >m 且n ，m ∈N ＋)； (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n ； (3)若m ，p ，n 成等差数列，则a m ，a p ，a n 成等比数列；(4)在等比数列{a n }中，连续取相邻k 项的和(或积)构成公比为q k (或2k q )的等比数列；(5)若{a n }是等比数列，公比为q ，则数列{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }都是等比数列，且公比分别是q ，1q，q 2.(6)若{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，公比分别是p 和q ，那么{a n b n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也都是等比数列，公比分别为pq 和pq.1．a n ＝a m q n -m (n ，m ∈N ＋)，当m ＝1时，就是a n ＝a 1q n -1.( √ ) 2．等比数列{a n }中，若公比q <0，则{a n }一定不是单调数列．( √ ) 3．若{a n }，{b n }都是等比数列，则{a n ＋b n }是等比数列．( × )4．若数列{a n }的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{a n }是等比数列．( × )题型一 等比数列通项公式的推广应用 例1 已知等比数列{a n }中． (1)若a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)若{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，求通项公式a n . 解 (1)∵a 7a 4＝q 7-4＝82，即q 3＝4，∴q ＝34，∴225444333422(2)2n n n n n a a q----=⋅=⋅=⋅= (n ∈N ＋)．(2)由a 25＝a 10＝a 5·q 10-5，且a 5≠0， 得a 5＝q 5，即a 1q 4＝q 5， 又q ≠0，∴a 1＝q .由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1得，2a n (1＋q 2)＝5qa n ， ∵a n ≠0，∴2(1＋q 2)＝5q ， 解得q ＝12或q ＝2.∵a 1＝q ，且{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2.∴a n ＝2·2n -1＝2n (n ∈N ＋)．反思感悟 (1)应用a n ＝a m q n －m ，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a 1.(2)等比数列的单调性由a 1，q 共同确定，但只要单调，必有q >0.跟踪训练1 已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21， 解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B.题型二等比数列的性质及其应用例2已知{a n}为等比数列．(1)若a n>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(2)若a n>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．解(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝25，∵a n>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.(2)根据等比数列的性质，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.反思感悟抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．跟踪训练2设各项均为正数的等比数列{a n}满足a4a8＝3a7，则log3(a1a2…a9)等于() A．38B．39C．9 D．7答案 C解析∵a4·a8＝a5·a7＝3a7且a7≠0，∴a5＝3，∴log3(a1a2…a9)＝log3a95＝log339＝9.题型三由等比数列衍生的新数列例3已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于() A．4 2 B．6 C．7 D．5 2答案 D解析∵{a n}为等比数列，∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9)＝5×10，又{a n}各项均为正数，∴a4a5a6＝5 2.反思感悟借助新数列与原数列的关系，整体代换可以减少运算量．跟踪训练3等比数列{a n}中，若a12＝4，a18＝8，则a36为()A ．32B ．64C ．128D ．256 答案 B解析 由等比数列的性质可知，a 12，a 18，a 24，a 30，a 36成等比数列，且a 18a 12＝2，故a 36＝4×24＝64.等比数列的实际应用典例 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示n (n ∈N ＋)年后这辆车的价值．(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解 (1)n 年后车的价值(万元)依次设为：a 1，a 2，a 3，…，a n ， 由题意，得a 1＝13.5(1－10%)，a 2＝13.5(1－10%)2，…. 由等比数列定义，知数列{a n }是等比数列， ∴n 年后车的价值为a n ＝13.5×(0.9)n 万元． (2)由(1)得a 4＝a 1·q 4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元．[素养评析] (1)等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题．(2)发现和提出问题，建立和求解模型，是数学建模的核心素养的体现.1．在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，则公比q 为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A解析 由a 5＝a 2q 3，得q 3＝8，所以q ＝2.2．等比数列{a n }中，若a 2a 6＋a 24＝π，则a 3a 5等于( ) A.π4 B.π3 C.π2 D.4π3 答案 C解析 a 2a 6＝a 24＝a 3a 5，∴a 3a 5＝π2.3．已知等比数列{a n }共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是( ) A.32 B. 2 C ．2 D ．2 2 答案 C解析 奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a 1a 3a 5a 7a 9＝2，a 2a 4a 6a 8a 10＝64，则a 2a 4a 6a 8a 10a 1a 3a 5a 7a 9＝q 5＝32，则q ＝2，故选C.4．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________． 答案 8解析 设这8个数组成的等比数列为{a n }，则a 1＝1，a 8＝2. 插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7 ＝(a 2a 7)·(a 3a 6)·(a 4a 5) ＝(a 1a 8)3＝23＝8.5．已知a n ＝2n ＋3n ，判断数列{a n }是不是等比数列？ 解 不是等比数列．∵a 1＝21＋31＝5，a 2＝22＋32＝13，a 3＝23＋33＝35， ∴a 1a 3≠a 22，∴数列{a n }不是等比数列．1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n 项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.一、选择题1．在等比数列{a n }中，若a 2 019＝8a 2 016，则公比q 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A解析 ∵a 2 019＝8a 2 016＝a 2 016·q 3，∴q 3＝8，∴q ＝2.2．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A ．100B ．－100C ．10 000D ．－10 000答案 C解析 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6，∴a 38＝106，∴a 8＝102＝100.∴a 1a 15＝a 28＝10 000.3．(2018·大连模拟)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1等于( )A ．2B ．4 C. 2 D ．2 2 答案 B解析 在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为单调递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12(舍负)，a 1＝a 2q ＝4.4．等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6.则a 8等于( ) A ．64 B ．128 C ．256 D ．512 答案 B解析 a 2＋a 3＝q (a 1＋a 2)＝3q ＝6， ∴q ＝2，∴a 1＋a 2＝a 1＋2a 1＝3a 1＝3， ∴a 1＝1.∴a 8＝27＝128.5．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( )A.13 B ．3 C ．±13 D ．±3 答案 B解析 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0. 则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )， 化简得d 2＝－2a 1d ，∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.6．(2018·长春模拟)公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11 答案 C解析 由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∵a 1a m ＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6，∴m ＝10，故选C.7．(2018·济南模拟)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( )A ．12B ．13C ．14D ．15 答案 C解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n -3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14，故选C. 二、填空题8．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________. 答案 18解析 由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝⎝⎛⎭⎫12＋32×32＝18. 9．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 答案 －6解析 由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6. ∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4， ∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1， 解得a 1＝－8，∴a 2＝－6.10．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝________. 答案 8解析 由等比数列的性质，得a 3a 11＝a 27，∴a 27＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 7＝a 7＝4. 再由等差数列的性质知b 5＋b 9＝2b 7＝8.11．在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，则a 41a 42a 43a 44＝________. 答案 1 024解析 设等比数列{a n }的公比为q ， a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41·q 6＝1，① a 13a 14a 15a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15＝a 41·q 54＝8，②②÷①得q 48＝8，q 16＝2，∴a 41a 42a 43a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160＝(a 41·q 6)(q 16)10＝210＝1 024. 三、解答题12．已知数列{a n }是等比数列，a 3＋a 7＝20，a 1a 9＝64，求a 11的值． 解 ∵{a n }为等比数列，∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64. 又∵a 3＋a 7＝20，∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4.①当a 3＝4，a 7＝16时，a 7a 3＝q 4＝4，此时a 11＝a 3q 8＝4×42＝64.②当a 3＝16，a 7＝4时，a 7a 3＝q 4＝14，此时a 11＝a 3q 8＝16×⎝⎛⎭⎫142＝1. 13．在等比数列{a n }(n ∈N ＋)中，a 1＞1，公比q ＞0.设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项公式a n ； (3)试比较a n 与S n 的大小． (1)证明 因为b n ＝log 2a n ，所以b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n ＝log 2q (q ＞0)为常数，所以数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q . (2)解 因为b 1＋b 3＋b 5＝6，所以(b 1＋b 5)＋b 3＝2b 3＋b 3＝3b 3＝6，即b 3＝2. 又因为a 1＞1， 所以b 1＝log 2a 1＞0，又因为b 1·b 3·b 5＝0，所以b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 3＝2，b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1，因此S n ＝4n ＋n (n －1)2·(－1)＝9n －n 22.又因为d ＝log 2q ＝－1， 所以q ＝12，b 1＝log 2a 1＝4，即a 1＝16，所以a n ＝25－n (n ∈N ＋)．(3)解 由(2)知，a n ＝25－n ＞0，当n ≥9时，S n ＝n (9－n )2≤0，所以当n ≥9时，a n ＞S n .又因为a 1＝16，a 2＝8，a 3＝4，a 4＝2，a 5＝1，a 6＝12，a 7＝14，a 8＝18，S 1＝4，S 2＝7，S 3＝9，S 4＝10，S 5＝10，S 6＝9，S 7＝7，S 8＝4， 所以当n ＝3,4,5,6,7,8时，a n <S n ； 当n ＝1,2或n ≥9，n ∈N ＋时，a n ＞S n .14．已知等比数列{a n }的公比为q (q ≠－1)，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N ＋)，则以下结论一定正确的是( ) A ．数列{b n }为等差数列，公差为q m B ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2m C ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2 D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m 答案 C解析 b n ＝a m (n －1)＋1·(1＋q ＋q 2＋…＋q m -1)，由q ≠－1易知b n ≠0，b n ＋1b n ＝a mn ＋1a m (n －1)＋1＝q m ，故数列{b n }为等比数列，公比为q m ，选项A ，B 均错误； c n ＝a m m (n －1)＋1·q 1＋2＋…＋(m -1)，c n ＋1c n ＝a m mn ＋1a m m (n －1)＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a mn ＋1a m (n －1)＋1m ＝(q m )m ＝2m q ，故数列{c n }为等比数列，公比为2m q ，D 错误．故选C.15．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1，a 2，a 4成等比数列，已知数列a 1，a 3，1k a ，2k a ，…，n k a ，…也成等比数列，求数列{k n }的通项公式．解 由题意得a 22＝a 1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，得d (d －a 1)＝0， 又d ≠0，∴a 1＝d .又a 1，a 3，1k a ，2k a ，…，n k a ，…成等比数列， ∴该数列的公比q ＝a 3a 1＝3dd＝3，∴n k a ＝a 1·3n +1.又n k a ＝a 1＋(k n －1)d ＝k n a 1，∴数列{k n }的通项公式为k n ＝3n +1(n ∈N ＋)．。

等比数列的前n项和（教案）■教学目标：1、知识与技能（1）掌握等比数列求和公式，并能用之解决简单的问题（2）通过对公式的推导，对学生渗透方程思想、分类讨论思想以及等价转化思想。

2、过程与方法通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题的能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的多种数学思想。

3、情感态度与价值观通过公式的推导与简单应用，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质■重点：等比数列前n项和公式的推导与简单应用■难点：启发引导、探索发现（多媒体辅助教学■教学方法：启发式、探究式■教学设计：1n a -++21?n a q -+=1,n q：利用等比性质11111n n a q a q a --+++1(1)(1(n a q q q q -≠-=11221n n na qq a q--+++32121.nn a q a a a -====22(2)121,n nnc c -+-+=≠+=则对公式的再认识。

11,n n n a q a a a q -++=++=-,q 9，，；1=27,a =243{n a 在等比数列,n a n 的前项和。

{n 根据下列条件，求出相应等比数列a课后反思这节课的教学目标是：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。

教学重点是：等比数列的前n项和公式推导；教学难点是：灵活应用公式解决有关问题和推导方法的掌握。

这样的教学设计在一节课中显得容量有点大。

公式的推导用了三种方法，最重要的是第一种方法：错位相减法。

上完课之后，我感觉为了突出这种方法，后面两种方法可以不讲，这样可以把时间节省下来多做几个练习，进一步练习等比数列前n 项和公式的运用，为灵活应用公式解决有关问题打下一个更好的基础，对难点的突破会更加有效。

另外就是课堂的练习量不够，这样学生对公式的记忆不牢固，运用时自然也就不熟练了，练习中应该再加入一道有关公比需要分类讨论的练习，使学生了解掌握分类讨论的思想方法。

2．3.1 等比数列1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用．2.掌握等比中项的概念并会应用．3．掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程． 4.掌握等比数列的有关性质及应用．1．等比数列的概念(1)等比数列①文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q≠0)表示．②符号语言：a na n－1＝q(q为常数，n∈N＋，n≥2)．(2)等比中项如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项，即G2＝xy．2．等比数列的通项公式已知等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则这个数列的通项公式为a n＝a1·q n－1.3．等比数列的性质已知等比数列{a n}，首项为a1，公比为q，则a n＝a1q n－1.(1)a n＝a m·q n－m(n，m∈N＋)．(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则有a m·a n＝a p·a q.(3)a1·a n＝a2·a n－1＝a3·a n－2＝…＝a m·a n－(m－1)．(4)在等比数列{a n}中，每隔k项取一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为q k＋1.(5)当数列{a n}是各项都为正数的等比数列时，数列{lg a n}是公差为lg q的等差数列．(6)公比为q的等比数列{a n}，具有如下性质：①当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，{a n}是递增数列；②当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，{a n}是递减数列；③当q＝1时，{a n}是常数列；当q<0时，{a n}是摆动数列．1．在等比数列{a n }中，a 3a 4a 5＝8，则a 2a 3a 4a 5a 6＝________． 解析：在等比数列中， 由a 3a 4a 5＝a 34＝8，得a 4＝2. 又因为a 2a 6＝a 3a 5＝a 24， 所以a 2a 3a 4a 5a 6＝a 54＝25＝32. 答案：322．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列，对吗？解：不对．在b 2＝ac 中，a ，b ，c 可以为0，故不能推出a ，b ，c 成等比数列．所以，应明确它成立的前提条件是a ，c 同号，且a ，c ≠0.3．等比数列与指数函数有什么关系？ 解：因为a n ＝a 1qn －1＝a 1qq n ＝cq n(令c ＝a 1q)．所以表示数列{cq n}的点都在函数y ＝c ·q x的图象上．等比数列的判定与证明在数列{a n }中，若a n >0，且a n ＋1＝2a n ＋3(n ∈N ＋)．证明：数列{a n ＋3}是等比数列．【证明】 法一：因为a n >0， 所以a n ＋3>0. 又因为a n ＋1＝2a n ＋3， 所以a n ＋1＋3a n ＋3＝2a n ＋3＋3a n ＋3＝2（a n ＋3）a n ＋3＝2. 所以数列{a n ＋3}是首项为a 1＋3，公比为2的等比数列． 法二：因为a n >0， 所以a n ＋3>0.又因为a n ＋1＝2a n ＋3，所以a n ＋2＝4a n ＋9. 所以(a n ＋2＋3)(a n ＋3)＝(4a n ＋12)(a n ＋3) ＝(2a n ＋6)2＝(a n ＋1＋3)2.即a n ＋3，a n ＋1＋3，a n ＋2＋3成等比数列，所以数列{a n ＋3}是等比数列．本例的条件不变，若a 1＝2，求数列{a n }的通项公式．解：由数列{a n ＋3}是等比数列， 当a 1＝2时，a 1＋3＝5，所以数列{a n ＋3}是首项为5，公比q ＝2的等比数列， 所以a n ＋3＝5×2n －1，即a n ＝5×2n －1－3.等比数列的三种判定方法(1)定义法a n ＋1a n＝q (q 为常数且q ≠0)等价于{a n }是等比数列． (2)等比中项法a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N ＋且a n ≠0)等价于{a n }是等比数列．(3)通项公式法a n ＝a 1q n －1(a 1≠0且q ≠0)等价于{a n }是等比数列．1.在数列{a n }中，对任意n ∈N ＋，都有a n ＋1－2a n ＝0，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( )A ．14B ．13C ．12D ．1解析：选A.a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，a 4＝8a 1， 所以2a 1＋a 22a 3＋a 4＝4a 116a 1＝14.故选A.2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，求证：数列{a n }是等比数列． 证明：因为S n ＝2－a n ，所以S n ＋1＝2－a n ＋1.所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2－a n ＋1)－(2－a n )＝a n －a n ＋1， 所以a n ＋1＝12a n .又因为S 1＝2－a 1，所以a 1＝1≠0， 又由a n ＋1＝12a n 知a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝12， 所以{a n }是等比数列，且首项为1，公比为12.等比数列的通项公式已知等比数列{a n }，若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n . 【解】 法一：因为a 1a 3＝a 22， 所以a 1a 2a 3＝a 32＝8，所以a 2＝2. 从而⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝5，a 1a 3＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 3＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，a 3＝1.当a 1＝1时，q ＝2；当a 1＝4时，q ＝12.故a n ＝2n －1或a n ＝23－n.法二：由等比数列通项公式知a 2＝a 1q ，a 3＝a 1q 2.代入已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7，a 1·a 1q ·a 1q 2＝8， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ＋q 2）＝7，a 31q 3＝8， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ＋q 2）＝7，①a 1q ＝2.② 将a 1＝2q 代入①得2q 2－5q ＋2＝0.所以q ＝2或q ＝12.由②得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12.以下同法一．法三：由等比数列的定义可知a 1＝a 2q，a 3＝a 2q ， 代入a 1a 2a 3＝8，得a 2＝2，所以a 1＝2q，a 3＝2q .代入a 1＋a 2＋a 3＝7，得2q＋2＋2q ＝7.解得q ＝2或q ＝12.以下同法一．等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件，建立关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再求a n ，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q 后，再求a 1，最后求a n ，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．1.在等比数列{a n }中，a 4＝27，q ＝－3，则a 7＝________．解析：a 4＝a 1q 3＝a 1(－3)3＝27，故a 1＝－1， 所以a 7＝a 1q 6＝－1×(－3)6＝－729. 答案：－7292．已知数列{a n }为递增的等比数列，其中a 2＝9，a 1＋a 3＝30.求数列{a n }的通项公式． 解：设等比数列的公比为q ，又由已知a 2＝9，a 1＋a 3＝30， 可得9q ＋9q ＝30，解得q ＝3或q ＝13，由已知，数列为递增数列， 所以q ＝3， 故a n ＝a 1qn －1＝a 2qn －2＝9×3n －2＝3n.等比数列性质的应用(1)已知{a n }是等比数列，且a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于________．(2)等比数列{a n }中，若a 9＝－2，则此数列前17项之积为________． (3)在等比数列中，若a 2＝2，a 6＝162，则a 10＝________． 【解析】(1)由等比数列性质知a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25， 把a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25化为a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25， 得(a 3＋a 5)2＝25，又a n >0，所以a 3＋a 5＝5. (2)由题意得a 1a 2a 3…a 15a 16a 17 ＝(a 1a 17)·(a 2a 16)·(a 3a 15)·…·a 9 ＝a 29·a 29…·a 9＝a 179＝(－2)17＝－217.(3)因为{a n }为等比数列，所以a 2，a 6，a 10仍成等比数列，所以a 26＝a 2a 10，所以a 10＝a 26a 2＝16222＝13 122.【答案】 (1)5 (2)－217(3)13 122本题的解答用到了等比数列的性质“若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N ＋)，则a m a n ＝a 2p ”，大大简化了运算．因此，在解决数列问题时，首先要有运用数列性质的意识，然后仔细观察各项序号之间的关系，以寻求满足数列性质的条件．已知数列{a n }为等比数列，且a 1a 9＝64，a 3＋a 7＝20，求a 11.解：因为{a n }为等比数列， 所以a 1·a 9＝a 3·a 7＝64. 又a 3＋a 7＝20，所以a 3，a 7是方程t 2－20t ＋64＝0的两个根． 所以a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4. 当a 3＝4时，a 3＋a 7＝a 3＋a 3q 4＝20. 所以1＋q 4＝5，所以q 4＝4.当a 3＝16时，a 3＋a 7＝a 3(1＋q 4)＝20， 所以1＋q 4＝54.所以q 4＝14.所以a 11＝a 1q 10＝a 3q 8＝64或1.等比数列的综合应用设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝7，且a 1＋3，3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1，2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .【解】 (1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1＋3＋a 3＋42＝3a 2.解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ， 由a 2＝2，可得a 1＝2q，a 3＝2q .又因为S 3＝7，所以2q＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q 1＝2，q 2＝12，由题意知q >1，所以q ＝2.于是a 1＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ＝1，2，…)．(2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1，2，….由(1)得a 3n ＋1＝23n ，所以b n ＝ln 23n＝3n ln 2， 又因为b n ＋1－b n ＝3ln 2， 所以{b n }是等差数列． 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n （b 1＋b n ）2＝n （3ln 2＋3n ln 2）2＝3n （n ＋1）2ln2，故T n ＝3n （n ＋1）2ln 2，n ＝1，2，….解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用． (2)对于解答题注意基本量及方程思想．(3)注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用公式和性质解题．(4)当题中出现多个数列时，既要纵向考察单一数列的项与项之间的关系，又要横向考察各数列之间的内在联系．1.三个数成等比数列，其积为512，若第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．解：法一：设三个数为a q，a ，aq ，则⎩⎪⎨⎪⎧a q ·a ·aq ＝5122a ＝（aq －2）＋（aq －2）， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8q ＝12，所以所求三数依次为4，8，16或16，8，4.法二：设成等差数列的三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则要求三个数为a －d ＋2，a ，a ＋d ＋2，则⎩⎪⎨⎪⎧（a －d ＋2）（a ＋d ＋2）＝a 2（a －d ＋2）·a ·（a ＋d ＋2）＝512， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8d ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8d ＝－6，则所求三个数依次为4，8，16或16，8，4.2．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)． (1)求{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .解：(1)由a n ＋1＝2S n ＋1，可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝2a n ，a n ＋1＝3a n (n ≥2)．又因为a 2＝2S 1＋1＝3，所以a 2＝3a 1. 故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， 所以a n ＝3n －1.(2)设{b n }的公差为d ，由T 3＝15，得b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5， 故可设b 1＝5－d ，b 3＝5＋d . 又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，由题意可得(5－d ＋1)(5＋d ＋9)＝(5＋3)2. 解得d 1＝2，d 2＝－10. 因为等差数列{b n }的各项为正， 所以d ＞0，所以d ＝2.T n ＝3n ＋n （n －1）2×2＝n 2＋2n .1．等比数列判断方法主要有：(1)定义法：利用a n ＋1a n＝q (q 为不等于0的常数)；(2)通项公式法：a n ＝a 1qn －1；(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2.用定义判断是主要的方法．2．等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1中含有四个量a 1，q ，n ，a n 已知任意三个可求第四个．利用通项公式列方程组求a 1与q 是常用的方法．3．等比数列的性质，特别是若m ＋n ＝k ＋l (m ，n ，k ，l ∈N ＋)，则a m ·a n ＝a k ·a l ，要注意灵活应用并同等差数列区分开．特别地，对a 2k ＝a m ·a n 中a k 符号的判断，要结合前后项考虑确定．在解决等比数列的问题时，一定要注意题目中的条件，尤其是隐含条件，来决定公比正负的取舍，有时甚至要对数列进行检验，看是否符合条件．1.28是等比数列42，4，22，…的( ) A ．第10项 B ．第11项 C ．第12项D ．第13项解析：选B.设该等比数列为{b n }，公比为q ， 由题意知b 1＝42，q ＝22， 所以b n ＝42·(22)n －1. 由28＝42·(22)n －1得n ＝11. 2．等比数列前3项的积为2，最后三项的积为4，所有项的积为64，则该数列有( ) A ．13项 B ．12项 C ．11项D ．10项解析：选B.设该数列为{a n }，由题意得a 1a 2a 3＝2，a n ·a n －1·a n －2＝4，所以(a 1a n )3＝8， 所以a 1a n ＝2，又因为a 1a 2…a n ＝64，所以(a 1a n )n2＝64＝26，所以2n2＝26，所以n ＝12.3．在等比数列{a n }中，已知a 1>0，8a 2－a 5＝0，则数列{a n }为________数列．(填“递增”或“递减”)解析：由8a 2－a 5＝0，可知a 5a 2＝q 3＝8，解得q ＝2. 又a 1>0，所以数列{a n }为递增数列． 答案：递增4．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝2，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝________． 解析：a 3＋a 4＝(a 1＋a 2)q 2，q 2＝2，a 5＋a 6＝(a 3＋a 4)q 2＝4，a 7＋a 8＝(a 5＋a 6)q 2＝8.所以a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝12. 答案：12[A 基础达标]1．已知数列a ，a (1－a )，a (1－a )2，…是等比数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≠1 B ．a ≠0或a ≠1 C ．a ≠0D ．a ≠0且a ≠1解析：选D.由于a ，a (1－a )，a (1－a )2，…是等比数列，则a 需满足a ≠0，a (1－a )≠0，a (1－a )2≠0，所以a ≠0且a ≠1.2．在等比数列{a n }中，a 1＝98，a n ＝13，q ＝23，则项数n 为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B.由a 1q n －1＝a n ⇒98·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝13，解得n ＝4.3．在等比数列{a n }中，a 5、a 9是方程7x 2－18x ＋7＝0的两个根，则a 7等于( ) A ．－1 B ．1C ．±1D ．以上都不正确解析：选B.设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，由a n ＝a 1q n －1，知数列{a n }奇数项和偶数项的符号分别相同．这样由a 5＋a 9＝187＞0，a 5·a 9＝1，得a 7＝1，选B.4．一个数分别加上20，50，100后得到的三个数成等比数列，其公比为( ) A ．53 B ．43 C ．32D ．12解析：选A.设这个数为x ， 则(50＋x )2＝(20＋x )·(100＋x )， 解得x ＝25，所以这三个数为45，75，125，公比q 为7545＝53. 5．在等比数列{a n }中，a 3a 4a 5＝3，a 6a 7a 8＝24，则a 9a 10a 11的值为( )A ．48B ．72C ．144D ．192 解析：选D.因为a 6a 7a 8a 3a 4a 5＝q 9＝8(q 为公比)， 所以a 9a 10a 11＝a 6a 7a 8q 9＝24×8＝192.6．若－1，2，a ，b 成等比数列，则a ＋b ＝________．解析：根据题意有2－1＝a 2＝b a，解得a ＝－4，b ＝8， 所以a ＋b ＝(－4)＋8＝4.答案：47．在等比数列{a n }中，各项均为正数，且a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝5，则a 4＋a 8＝________． 解析：因为a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24，所以a 28＋a 24＝41. 又因为a 4a 8＝5，a n >0，所以a 4＋a 8＝（a 4＋a 8）2＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝51. 答案：518．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是________．解析：设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b ，（a －6）2＝3b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27. 所以这个未知数为3或27.答案：3或279．已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解：(1)由题意可得a 2＝12，a 3＝14. (2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0 得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12. 故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1. 10．等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解：(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2. 所以a n ＝a 1q n －1＝2n. (2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12. 从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28， 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n （－16＋12n －28）2＝6n 2－22n . [B 能力提升]11．数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n ，若b 10·b 11＝2，则a 21＝( ) A ．20B ．512C ．1 013D ．1 024 解析：选D.因为b n ＝a n ＋1a n ，且b 10·b 11＝2， 又{b n }是等比数列，所以b 1·b 20＝b 2·b 19＝…＝b 10·b 11＝2， 则a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3…a 21a 20＝b 1b 2b 3…b 20＝210，即a 21a 1＝1 024， 从而a 21＝1 024a 1＝1 024.12．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，则{a n }的通项公式为________． 解析：设{a n }的公比为q . 所以a 2＋a 4＝203，即a 3q ＋a 3q ＝203，即2q ＋2q ＝203，解得q 1＝13或q 2＝3.当q ＝13时，a n ＝a 3q n －3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －3＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.当q ＝3时，a n ＝a 3q n －3＝2×3n－3＝29×3n －1.答案：a n ＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1或a n ＝29×3n －113．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1.(1)求证：{a n }是等比数列，并求出其通项公式；(2)设b n ＝a n ＋1＋2a n ，求证：数列{b n }是等比数列． 解：(1)因为S n ＝2a n ＋1， 所以S n ＋1＝2a n ＋1＋1，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝(2a n ＋1＋1)－(2a n ＋1) ＝2a n ＋1－2a n ，所以a n ＋1＝2a n ①，由已知及①式可知a n ≠0. 所以由a n ＋1a n＝2，知{a n }是等比数列． 由a 1＝S 1＝2a 1＋1，得a 1＝－1，所以a n ＝－2n －1.(2)证明：由第一问知，a n ＝－2n －1，所以b n ＝a n ＋1＋2a n ＝－2n －2×2n －1＝－2×2n ＝－2n ＋1＝－4×2n －1. 所以数列{b n }是等比数列．14．(选做题)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n (n ≥2，n ∈N ＋)的前n 项和． 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为a 23＝9a 2a 6＝9a 24，所以q 2＝a 24a 23＝19，因为a n ＞0，所以q ＞0，所以q ＝13，因为2a 1＋3a 2＝2a 1＋3a 1q ＝1， 所以3a 1＝1，a 1＝13，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝log 3(a 1·a 2·…·a n )＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋2＋3＋…＋n＝－n （n ＋1）2. 设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为S n ， 则S n ＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝－2nn ＋1.。

高中数学必修5教案等比数列第2课时第一篇：高中数学必修5教案等比数列第2课时等比数列第２课时授课类型：新授课●教学目标知识与技能：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。

情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。

●教学重点等比中项的理解与应用●教学难点灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题●教学过程Ⅰ.课题导入首先回忆一下上一节课所学主要内容：1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠an0），即：=q（q≠0）an-12.等比数列的通项公式:an=a1⋅q3．｛an｝成等比数列⇔列的必要非充分条件4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列Ⅱ.讲授新课1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G=±ab（a,b同号）如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则n-1(a1⋅q≠0)，an=am⋅qn-m(am⋅q≠0)an+1+=q（n∈N,q≠0）“an≠0”是数列｛an｝成等比数anGb=⇒G2=ab⇒G=±ab，aG反之，若G=ab,则≠0）[范例讲解] 课本P58例4 证明：设数列{an}的首项是a1，公比为q1;{bn}的首项为b1，公比为q2，那么数列{an⋅bn}的第n项与第n+1项分别为：2Gb2=，即a,G,b成等比数列。

∴a,G,b成等比数列⇔G=ab（a·baGa1⋅q1n-1⋅b1⋅q2与a1⋅q1⋅b1⋅q2即为a1b1(q1q2)n-1与a1b1(q1q2)nn-1nnan+1⋅bn+1a1b1(q1q2)nΘ==q1q2.n-1an⋅bna1 b1(q1q2)它是一个与n无关的常数，所以{an⋅bn}是一个以q1q2为公比的等比数列拓展探究：对于例4中的等比数列{an}与{bn}，数列{an}也一定是等比数列吗？ bnana，则cn+1=n+1 bnbn+1探究：设数列{an}与{bn}的公比分别为q1和q2，令cn=∴cn+1bn+1abqa==(n+1)γ(n+1)=1，所以，数列{n}也一定是等比数列。

2．3.2 等比数列的前n项和整体设计教学分析本节是数列一章的最后内容，分两课时完成，第一课时侧重于公式的推导及记忆，第二课时侧重于公式的灵活应用．等比数列的前n项和是教材中很重要的一部分内容，是等比数列知识的再认识和再运用，它对学生进一步掌握、理解等比数列以及数列的知识有着很重要的作用．等比数列前n项和公式的推导，也是培养学生分析、发现、类比等能力的很好的一个工具．在讲求和公式推导时，应指出其运算的依据是等式性质和数运算的通性(交换律、结合律、分配律)．培养学生逻辑思维的习惯和代数运算技能．新大纲中对本知识有较高层次的要求，教学地位很重要，是教学全部学习任务中必须优先完成的任务．这项知识内容有广泛的实际应用，很多问题都要转化到等比数列的求和上来才能得到解决．如增长率、浓度配比、细胞分裂、储蓄信贷、养老保险、分期付款的有关计算等许多方面均用到等比数列的知识，因而考题中涉及数列的应用问题屡见不鲜．掌握等比数列的基础知识，培养建模和解模能力是解决数列应用问题的基本途径．等比数列的通项公式与前n项和公式中共涉及五个量，将两个公式结合起来，已知其中三个量可求另两个量，即已知a1，a n，q，n，S n五个量中的任意三个，就可以求出其余的两个量，这其中渗透了方程的思想．其中解指数方程的难度比较大，训练时要控制难度和复杂程度，要大胆地摒弃“烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容”．数列模型运用中蕴含着丰富的数学思想方法(如方程的思想、分类讨论思想、算法思想等)，这些思想方法对培养学生的阅读理解能力、运算能力和逻辑思维能力等基本能力有着不可替代的作用．教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间．三维目标1．通过本节学习，使学生会用方程的思想认识等比数列前n项和公式，会用等比数列前n项和公式及有关知识解决现实生活中存在着的大量的数列求和的问题，将等比数列前n 项和公式与等比数列通项公式结合起来解决有关的求解问题．2．通过启发、引导、分析、类比、归纳，并通过严谨科学的解题思想和解题方法的训练，提高学生的数学素养．3．通过解决生产实际和社会生活中的实际问题了解社会、认识社会，形成科学的世界观和价值观．重点难点教学重点：等比数列前n 项和公式的推导及灵活运用，及生产实际和社会生活中有关的实际问题．教学难点：建立等比数列模型，用等比数列知识解决有关的生产实际及社会生活中的热点问题．课时安排 2课时教学过程 第1课时导入新课思路1.(故事导入)国际象棋起源于古代印度，相传有位数学家带着画有64个方格的木盘，和32个雕刻成六种立体形状，分别涂黑白两色的木制小玩具，去见波斯国王并向国王介绍这种游戏的玩法．国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，一天到晚兴致勃勃地要那位数学家或者大臣陪他玩．高兴之余，他便问那位数学家，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐呢？数学家开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的2倍，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了．“好吧！”国王挥挥手，慷慨地答应了数学家的这个谦卑的请求．国王觉得，这个要求太低了，问他：“你怎么只要这么一点东西呢？”数学家笑着恳求道：“陛下还是叫管理国家粮仓的大臣算一算吧！”第二天，管理粮仓的大臣满面愁容地向国王报告了一个数字，国王大吃一惊：“我的天！我哪来这么多的麦子？”这个玩具也随着这个故事传遍全世界，这就是今日的国际象棋．假定千粒麦子的质量为40 g ，那么，数学家要求的麦粒的总质量究竟是多少呢？由此传说向学生发问：怎样算出小麦的总质量呢？思路2.(问题导入)买24枚钉子，第一枚14分钱，第二枚12分钱，第三枚1分钱，以此类推，每一枚钉子的钱是前一枚的2倍，共要多少钱？请学生想一想，多数学生认为大概没有多少钱，结果一算吓一跳，大约要4万2千元．事实上，这是等比数列的求和问题，即S ＝14＋12＋1＋2＋…＋221＝？那么怎样求等比数列的前n 项和呢？在学生急于揭开谜底的强烈欲望下展开新课的探究．推进新课新知探究 提出问题(1)回忆等差数列前n 项和公式的推导过程，是用什么方法推导的？ (2)对任意数列{a n }，前n 项和与通项a n 的关系是什么？ (3)对首项为1的等比数列{a n }，你能探究它的前n 项和吗？(4)对任意等比数列{a n }，怎样推导它的前n 项和公式呢？你能联想到哪些推导思路？ (5)对于思路1中麦粒问题，国王应发给数学家多少麦粒？对于S n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1的两边为什么要乘以2而不是乘以3或4呢？活动：教师引导学生回忆前面学过的等差数列前n 项和问题，我们用倒序相加法推得了它的前n 项和公式，并且得到了求等差数列通项公式的一个方法：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，S n －S n －1，n ＝1，n≥2，还知道这个由数列S n 来确定a n 的方法适用于任何数列，且a 1不一定满足由S n－S n －1＝a n 求出的通项表达式．类比联想以上方法，怎样探究等比数列的前n 项和呢？我们先来探究象棋格里填麦粒的问题，也就是求S ＝1＋2＋…＋263＝？让学生充分观察这个式子的特点，发现每一项乘以2后都得它的后一项，点拨学生找到解决问题的关键是等式左右同乘以2，再相减得和．通过这个问题的解决，先让学生有一个感觉，就是等比数列的前n 项和可化为一个比较简单的形式，关键的问题是如何简化．再让学生探究首项为1的等比数列的前n 项和，即1，q ，q 2，…，qn －1的前n 项和．观察这个数列，由于各项指数不同，显然不能倒序相加减．但可发现一个规律，就是次数是依次增加的，教师引导学生模仿等差数列写出两个求和式子，给学生以足够的时间让其观察、思考、合作交流、自主探究．经过教师的点拨，学生的充分活动，学生会发现把两个S n ＝1＋q ＋q 2＋…＋qn －1错一个位，两边再同乘以公比q ，那么相同的指数就对齐了．这一发现是突破性的智慧发现，是石破惊天的发现．这样将S n ＝1＋q ＋q 2＋…＋qn －1与qS n ＝q ＋q 2＋q 3＋…＋q n两式相减就有(1－q)S n ＝1－q n，以下只需讨论q 的取值就可得到S n 了．在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法．我们将这种方法简称为“错位相减法”．在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”．如果记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，那么qS n ＝a 1q ＋a 2q ＋a 3q ＋…＋a n q ，要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1－q)S n ＝a 1－a n q. 这里要提醒学生注意q 的取值． 如果q≠1，则有S n ＝a 1－a n q1－q.上述过程我们略加变化一下，还可以得到如下的过程： 如果记S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，那么qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1＋a 1q n，要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1－q)S n ＝a 1－a 1q n. 如果q≠1，则有S n ＝a 11－q n1－q.上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”． 形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a 1，q ，a n ，S n ，n 中a 1，q ，a n ，S n 四个；后者出现的是a 1，q ，S n ，n 四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n 项的和提供了选择的余地．值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的．言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式．对于等比数列的一般情形，如果q ＝1会是什么样呢？学生很快会看出，若q ＝1，则原数列是常数列，它的前n 项和等于它的任一项的n 倍，即S n ＝na 1.由此我们得到等比数列{a n }的前n 项和的公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n1－q，q≠1或S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q1－q，q≠1.教师进一步启发学生根据等比数列的特征和我们所学知识，还能探究其他的方法吗？经过学生合作探究，联想初中比例的性质等，我们会有以下推导方法：思路一：根据等比数列的定义，我们有a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a na n －1＝q ，再由合比定理，则得a 2＋a 3＋a 4＋…＋a na 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝q ，即S n －a 1S n －a n＝q ， 从而就有(1－q)S n ＝a 1－a n q.当q ＝1时，S n ＝na 1，当q≠1时，S n ＝a 1－a n q1－q.思路二：由S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，得S n ＝a 1＋a 1q ＋a 2q ＋…＋a n －1q ＝a 1＋q(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＝a 1＋q(S n －a n )， 从而得(1－q)S n ＝a 1－a n q. (以下从略)在思路二中，我们巧妙地利用了S n －S n －1＝a n 这个关系式，教师再次向学生强调这是一个非常重要的关系式，应引起足够的重视，几乎在历年的高考中都有它的影子．但要注意这里n≥2，也就是n 的取值应使这个关系式有意义，若写S n －1－S n －2＝a n －1，则这里n≥3，以此类推．教师引导学生对比等差数列的前n 项和公式，并结合等比数列的通项公式，从方程角度认识这个公式，以便正确灵活地运用它．(1)在等比数列的通项公式及前n 项和公式中共有a 1，a n ，n ，q ，S n 五个量，只要知道其中任意三个量，都可以通过建立方程(组)等手段求出其余两个量；(2)在应用公式求和时，应注意到公式的使用条件q≠1，当q ＝1时，应按常数列求和，即S n ＝na 1.在解含字母参数的等比数列求和问题时，常应分类讨论q ＝1与q≠1两种情况．讨论结果：(1)倒序相加法； (2)a n ＝S n －S n －1(n≥2)； (3)利用错位相减法； (4)利用a n ＝S n －S n －1(n≥2)；(5)乘以2的目的是为了错位相减，共有麦粒264－1(颗)，每千粒麦子按40 g 计算，共约7 000亿吨．应用示例例1求下列等比数列的前8项的和： (1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q ＜0. 活动：本例目的是让学生熟悉公式，第(1)小题是对等比数列的前n 项和公式的直接应用；第(2)小题已知a 1＝27，n ＝8，还缺少一个已知条件，由题意显然可以通过解方程求得公比q.题目中要求q ＜0，一方面是为了简化计算，另一方面是想提醒学生q 既可为正数，又可为负数．本题中由条件可得q 8＝a 9a 1＝1243×27，再由q ＜0可得q ＝－13.将所得的值代入公式就可以了．本例可由学生自己探究解答．解：(1)因为a 1＝12，q ＝12，所以当n ＝8时，S 8＝12[1－128]1－12＝255256. (2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得q 8＝a 9a 1＝1243×27，又由q ＜0，可得q ＝－13，于是当n ＝8时，S 8＝271－1243×271－－13＝1 64081. 点评：通过本例要让学生熟悉方程思想，再次让学生明确，等比数列的通项公式与前n 项和公式中共五个量：a 1，a n ，q ，n ，S n ，五个量中已知任意三个就可以求出其余的两个，其中a 1，q 为最基本的两个量．同时提醒学生注意，由于等比数列涉及到指数问题，有时解题计算会很烦琐，要注意计算化简中的技巧，灵活运用性质．例2(教材本节例2)活动：本例是等比数列求和公式的直接运用，引导学生结合方程思想，按算法的思路来解答．本例可由学生自己完成．点评：通过本例让学生明确，等比数列的通项公式和求和公式共涉及5个量：a 1，q ，a n ，n ，S n ，已知其中3个量就可以求出另外的2个量．变式训练设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( ) A ．63 B ．64 C ．127 D ．128 答案：C解析：∵a 5＝a 1q 4，∴16＝q 4. 又∵q＞0，∴q＝2.∴S 7＝a 11－q 71－q＝127.例3(教材本节例3)活动：本例仍属等比数列求和公式的直接应用．虽然原数列不是等比数列，不能用公式求和，但可这样转化：9＝10－1,99＝100－1,999＝1 000－1，…，这样就容易解决了．点评：让学生体会本例中的转化思想． 变式训练求和：2＋22＋222＋…＋.解：原式＝29(10－1)＋29(102－1)＋…＋29(10n －1)＝29(10＋102＋ (10)－n) ＝29[101－10n1－10－n]＝2081(10n－1)－29n. 例4求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)an －1的前n 项的和．活动：教师引导学生观察数列特点，其形式是{a n ·b n }型数列，且{a n }是等差数列，{b n }是等比数列．根据本节等比数列求和公式的推导方法，可采用错位相减法进行求和．教学时可让学生自己独立探究，教师适时地点拨，要注意学生规范书写．解：当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)， 则S n ＝n[1＋2n －1]2＝n 2.当a≠1时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)an －1，①aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)a n，② ①－②，得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)a n，(1－a)S n ＝1－(2n －1)a n＋2(a ＋a 2＋a 3＋…＋a n －1)＝1－(2n －1)a n＋2·a1－a n －11－a＝1－(2n －1)a n＋2a －a n1－a.又1－a≠0， ∴S n ＝1－2n －1a n1－a －2a －an 1－a2.点评：通过本例，让学生反思解题时要善于识别题目类型，善于分类讨论．在应用错位相减时，写出的“S n ”与“qS n ”的表达式应特别注意将两式“同项对齐”，以便于下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．变式训练等差数列{a n }中，a 2＝8，S 6＝66. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{C n }的通项为C n ＝2n，求数列{a n C n }的前n 项和A n .解：(1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝8，a 1＋a 662＝66，解得a 1＝6，d ＝2.∴a n ＝2n ＋4.(2)由题意，知a n C n ＝(2n ＋4)·2n，∴A n ＝6·21＋8·22＋10·23＋…＋(2n ＋4)·2n.① 在上式中两边同乘以2，得2A n ＝6·22＋8·23＋10·24＋…＋(2n ＋4)·2n ＋1.②①－②，得－A n ＝6·21＋2·22＋2·23＋…＋2·2n－(2n ＋4)·2n ＋1＝4－(2n ＋2)·2n ＋1，∴A n ＝(n ＋1)·2n ＋2－4.例5已知数列{a n }中，a 1，a 2，a 3，…，a n ，…构成一个新数列：a 1，(a 2－a 1)，…，(a n－a n －1)，…，此数列是首项为1，公比为13的等比数列．(1)求数列{a n }的通项； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .活动：教师引导学生观察新数列的各项，不难发现这样一个事实：新数列的前n 项和恰为a n ，这样即可将问题转化为首项为1，公比为13的等比数列的前n 项和，数列{a n }的通项公式求出后，计算其前n 项和S n 就容易多了．解：(1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋13＋(13)2＋…＋(13)n －1＝32[1－(13)n]．(2)S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝32(1－13)＋32[1－(13)2]＋…＋32[1－(13)n] ＝32{n －[13＋(13)2＋…＋(13)n]} ＝32n －34[1－(13)n ] ＝34(2n －1)＋14(13)n －1. 点评：本例思路新颖，方法独特，解完本例后教师引导学生反思本例解法，注意平时学习中培养思路的灵活性．知能训练1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( )A ．1∶2 B．2∶3 C．3∶4 D．1∶3 2．在等比数列{a n }中，(1)已知a 2＝18，a 4＝8，求a 1与q ； (2)已知a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，求a 3. 答案：1．C 解析：∵S 6∶S 3＝1∶2， 由a 11－q 61－q＋a 11－q 31－q＝12，得q 3＝－12. ∴S 9S 3＝1－q 91－q 3＝34. 2．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝18，a 1q 3＝8.解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝27，q ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－27，q ＝－23.(2)根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4－a 1＝15，a 1q 3－a 1q ＝6.方程两边分别相除，得a 1q 4－a 1a 1q 3－a 1q ＝156.整理，得2q 2－5q ＋2＝0. 解这个方程，得q ＝2或q ＝12.当q ＝2时，a 1＝1；当q ＝12时，a 1＝－16.所以a 3＝4或a 3＝－4.课堂小结1．由学生总结本节学习的内容：等比数列前n 项和公式的推导，特别是在推导过程中，学到了错位相减法；在运用等比数列求和时，注意q 的取值范围是很重要的一点，需要放在第一位来思考．2．等比数列求和公式有两种形式，在应用中应根据题目所给的条件灵活选用，注意从方程的角度来观察公式，并结合等比数列的通项公式共5个量，知三可求二，并注意解题中的化简技巧．作业课本习题2—3 B 组2、3.设计感想“探索是教学的生命线”，本教案设计体现以学生为本的思想．为了让学生较好掌握本课内容，本节课主要采用观察法、归纳法等教学方法，同时采用设计变式题的教学手段进行教学．通过具体问题的引入，使学生体会数学源于生活．本教案设计加强数学思想方法的训练．因为数列内容几乎渗透了中学数学所有的数学思想方法，而数列模型运用中更是蕴含着丰富的数学思想方法，这些思想方法对培养学生的阅读理解能力、运算能力和逻辑思维能力等有着不可替代的作用．教学中应充分让学生体会这些思想方法的运用．“问题是数学的心脏”，本教案设计注重了情境教学．通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得的成功．(设计者：张晓君)第2课时导入新课思路1.(情境导入)一个人为了积累养老金，他每个月按时到银行存100元，银行的年利率为4%，假设可以任意分段按复利计算，试问此人在5年后共积累了多少养老金？如果存款和复利按日计算，则他又有多少养老金？如果复利和存款连续计算呢？银行复利计息的计算方法正是我们今天要探究的内容，由此展开新课．思路2.(习题导入)在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝8，a 4＋a 5＋a 6＝－4，则数列前15项的和S 15为( )A.112 B.312C ．5D ．15 本题如果运用方程的思想，求数列{a n }的首项a 1和公比q 之后再求S 15，是一种常规思路，但运算量较大．可将原数列按一定规律重新组合成一个新的等比数列，S 15又刚好是新数列前5项的和，新数列的首项和公比又容易求得，使得小题巧解．具体解法如下：解析：设b 1＝a 1＋a 2＋a 3＝8；b 2＝a 4＋a 5＋a 6＝－4；…；b 5＝a 13＋a 14＋a 15， 则b 1，b 2，b 3，b 4，b 5构成一个等比数列，其首项为8，公比为－12.故S 15＝S 5′＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＝112.选A.由此展开本课的进一步探究．答案：A推进新课新知探究提出问题 1回忆等比数列前n 项和公式的推导过程，是用什么方法推导的？需要注意什么问题？ 2比较等差、等比数列的前n 项和公式，从推导方法到应用有什么不同？怎样从方程的角度理解等比数列的求和公式？ 3利用等比数列求和的关键是什么？ 4你能对等差、等比数列求和问题作一归纳总结吗？ 5应用等比数列可解决哪些类型的实际问题？活动：教师引导学生回忆上节课所学的等比数列的求和公式，通过“错位相减”的思路方法很巧妙地将等式S n ＝a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －1的两边同乘以该数列的公比q ，使得等式右边各项都向右错了一位；然后通过求S n －qS n 把相同项消去，达到简化的目的，最后解出S n .这种求和方法具有普通性，教师再次引导学生回顾这种求和方法的精髓，注意的问题是必须注意q 是否等于1，如果不确定，就应分q ＝1与q≠1两种情况或更多的情况进行讨论．等比数列求和的关键与等差数列求和一样，在于数列通项公式的表达形式，由通项公式的形式特点确定相应的求和方法．为了达到求和时的简化运算，应充分利用等比数列的前n 项和的性质．(1)若某数列的前n 项和公式为S n ＝a n－1(a≠0,1)，则{a n }成等比数列．(2)若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列；若项数为2n(n∈N *)，则S 偶S 奇＝q. 应用等比数列可解决的实际问题有：产量增减、价格升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题．解决方法是建立数列模型，应用数列知识解决问题，要让学生明了数列的实际应用一直是全国各地市高考的热点、重点，考题的形式多种多样，难度为中、高档．等比数列求和问题作为数列的重要内容之一，蕴含着丰富的数学思想方法，教学时可与等差数列对比，归纳、总结．(1)求和问题可以利用等差、等比数列的前n 项和公式解决，在具体问题中，既要善于从数列的通项入手观察数列的特点与变化规律，又要注意项数．(2)非等差(比)的特殊数列求和题通常的解题思路是：①设法转化为等差数列或等比数列，这一思考方法往往通过通项分解或错位相减来完成．②不能转化为等差(比)的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法和倒序相加法求和．一般地，如果数列能转化为等差数列或等比数列就用公式法；如果数列项的次数及系数有规律，一般可用错位相减法；如果每项可写成两项之差一般可用拆项法；如果能求出通项，可用拆项分组法．(3)数列求和的关键在于数列通项公式的表达形式，根据通项公式的形式特点，观察采用哪种方法是这类题的解题诀窍．(4)通项公式中含有(－1)n 的一类数列，在求S n 时要注意需分项数n 的奇偶性讨论． 讨论结果：(1)(2)(3)(5)略．(4)数列求和的常用方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法和裂项相消法，这也是高考常考的几种求和方法．例1某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台？(结果保留到个位)活动：教师引导学生探究，根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列模型，并明确这是一个已知S n ＝30 000求n 的问题．本例的解答应先根据等比数列的前n 项和公式列方程，再用对数的知识解方程．解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1＝5 000，q ＝1＋10%＝1.1，S n ＝30 000.于是得到5 0001－1.1n 1－1.1＝30 000，整理，得1.1n ＝1.6，两边取对数，得nlg1.1＝lg1.6，用计算器算得n ＝lg1.6lg1.1≈0.20.041≈5(年)． 答：大约5年可以使总销售量达到30 000台．点评：本例是一道关于等比数列模型的应用题，需要从实际问题中抽象出等比数列模型．从实际背景的角度讲，本例的设计一方面是想让学生了解计算机日益普及，其销量越来越大；另一方面，对于一个商场来讲，为实现一定的商品销售目标而制订计划也是一件自然的事情．变式训练某市2003年共有1万辆燃油型公交车．有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13？ 解：(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{a n }，其中a 1＝128，q ＝1.5， 则在2010年应该投入的电力型公交车为a 7＝a 1·q 6＝128×1.56＝1 458(辆)．(2)记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，依据题意，得S n 10 000＋S n ＞13. 于是S n ＝1281－1.5n 1－1.5＞5 000(辆)，即1.5n ＞65732，则有n －lg 65732lg1.5≈7.5， 因此n ≥8.所以，到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13. 例2(教材本节例4)活动：这是本单元教材安排的最后一道例题．教师引导学生写出每个月的产值，建立等比数列的数学模型，通过数量分析理解任一月份的计算表达式和求总和的计算方法．例3某教师购买安居工程集资房72 m 2，单价为1 000元/m2，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，余款由个人负担．房地产开发公司对教师实行分期付款，每期为1年，等额付款．签订购房合同后，1年付款1次，再过1年又付款1次等等，共付10次，10年后还清．如果按年利率7.5%，每年复利1次计算，那么每年应付多少元？(计算结果精确到百元．下列数据供参考：1.0752≈1.921,1.07510≈2.065,1.07511≈2.221)活动：教师引导学生理清问题中的基本数量关系，建立等比数列的模型，然后按等比数列的知识就很容易解决了．本例由教师与学生共同探究完成．解：设每年应付款x 元，那么到最后1次付款时付款金额的本利和为x(1＋1.075＋1.0752＋1.0753＋…＋1.0759)元；购房余款10年后的本利和为[1 000×72－(28 800＋14 400)]·1.07510＝28 800×1.07510元，根据10年后还清，得x(1＋1.075＋1.0752＋…＋1.0759)＝28 800×1.07510，∴x＝28 800×1.07510×1.075－11.07510－1≈4 200(元)， 即每年应付4 200元．点评：解决本例的关键是建立等比数列模型．分期付款以及新生利息之和，应等于购房个人分担部分10年后的本息和．变式训练假如一个人得到了一条消息，他偷偷地告诉了两个朋友，半小时后这两个朋友又各自偷偷地告诉了自己的两个朋友．如果每个得到消息的人在半小时内把这一消息告诉两个朋友，计算一下，24小时后有多少人知道了这条消息？解：按题意，半小时有1＋2人，一小时有1＋2＋22人，...，设24小时后有x 人知道，则x ＝1＋2＋22＋23＋ (248)2x ＝2＋22＋23＋24＋ (249)两式相减得x ＝249－1.利用对数计算可知x≈5.61×1014.也就是说从第一个人知道消息开始，只过了一天时间，就有五百六十一万亿人知道了这条消息．例4某地现有居民住房的总面积为a m 2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建新住房．(1)如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x 是多少？(可取1.110≈2.6)(2)过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少？(保留到小数点后第1位)解：(1)根据题意，可知1年后住房总面积为1.1a －x ；2年后住房总面积为1.1(1.1a －x)－x ＝1.12a －1.1x －x ；3年后住房总面积为1.1(1.12a －1.1x －x)－x ＝1.13a －1.12x －1.1x －x ；……；10年后住房总面积为1.110a －1.19x －1.18x －…－1.1x －x＝1.110a －1.110－11.1－1x ＝2.6a －16x.由题意，得2.6a －16x ＝2a.解得x ＝380a(m 2)． (2)所求百分比为a 2－380a×102a ＝116≈6.3%. 答：每年应拆除的旧住房总面积为380a m 2，过10年还未拆除的旧房总面积占当时住房总面积的百分比是6.3%.知能训练1．已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项的和，求证：S 7，S 14－S 7，S 21－S 14成等比数列．设k∈N *，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等比数列吗？2．家用电器一件，现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每月为一期，购买一个月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812＝1.1)答案：1．证明：∵S 14－S 7＝(a 1＋a 2＋…＋a 14)－(a 1＋a 2＋…＋a 7)＝a 8＋a 9＋…＋a 14＝a 1q 7＋a 2q 7＋…＋a 7q 7＝S 7·q 7.同理，S 21－S 14＝q 14·S 7，∴S 7(S 21－S 14)＝(S 14－S 7)2.可用同样的方法证明S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等比数列．2．解：设每期付款x 元，则第1期付款后还欠款2 000(1＋0.008)－x ＝2 000·1.008－x ，第2期付款后还欠款[2 000(1＋0.008)－x]·1.008－x ＝2 000·1.0082－1.008x －x ， …，第12期付款后欠款应为0，所以有2 000·1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x ＝0，∴x＝2 000·1.008121.00812－11.008－1≈175.46(元)， 即每期付款175.46元． 课堂小结1．由学生自己总结本节所探究的内容与方法：教育储蓄中的计算问题，用计算机程序计算数列的求和问题等．其中等比数列应用问题的解决是个重点，其特点是综合性强、立意新、角度宽、难度大，因而在解题中务必注重基础、凸现能力，灵活掌握．2．学完本节后，充分利用网络资源，多方查找资料，进一步拓展数列在实际生活中的应用问题，培养主动探究问题、解决问题的能力，提高我们的创新意识和团结协作的精神．作业1．课本习题2—3 A组8、9、10；习题2—3 B组，4选做．2．利用网络资源，探究分期付款问题．设计感想本教案注重知识过程的教学，要求学生通过自主地观察、讨论、归纳、反思来参与学习，学会发现问题并尝试解决问题，在活动中进一步提升自己的能力．本教案设计体现了本章教材设置理念．本章各节内容均由“实例分析”或“问题提出”创设问题情境，这些具有代表性和趣味性的问题将内容自然引入，再通过对问题的分析和解决，由特殊过渡至一般．等比数列及其求和问题作为数列一章的最后一个内容，蕴含着极大的宝藏，是一个进行研究性学习的好题材．有人说“学情决定教法”，但反过来“教法也能造就学情”．在教学中注意激发学生的创造热情，培养学生的主动精神，以充分发挥本节内容的教育功能．备课资料一、关于银行利率问题的探究问题：(1)依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期(3年)或6年时一次可支取本息共多少元？(2)依教育储蓄的方式，每月存a元，连续存3年，到期(3年)或6年时一次可支取本息共多少元？(3)依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期(3年)时一次可支取本息比同档次的“零存整取”多收益多少元？(4)欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计1万元，每月应存入多少元？(5)欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计a万元，每月应存入多少元？(6)依教育储蓄方式，原打算每月存100元，连续存6年，可是到了4年时，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元？。