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物理中的"过桥问题"通常指的是一个经典的力学问题，即一个桥上有若干人以不同的速度向对面走，问当他们相遇时，各自在桥上走了多少路程。
这个问题可以用物理学中的相对运动和速度的概念来解决。
基本公式可以通过以下步骤推导得到：
1. 假设桥长为L，两个人的速度分别为v1和v2（v1>v2）。
2. 假设两个人在桥上相遇时，走过的时间分别为t1和t2。
3. 根据相对运动的概念，两个人相遇时，两人在桥上走过的总路程应该是相等的，即v1*t1 = v2*t2。
4. 根据题目条件列出方程，并解方程组，就可以求解出t1和t2。
5. 最后代入 t1 和 t2 到距离公式 s = vt 中，就可以得到两个人在桥上走过的距离。
需要注意的是，这个问题的解法依赖于具体的题目条件，因此公式并非固定不变的，而是根据具体情况来推导和计算的。
1、一列客车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列客车长100米，火车每分钟行400米，这列客车经过长江大桥需要多少分钟？2、一列火车长160米，全车通过440米的桥需要30秒钟，这列火车每秒行多少米？3、某列火车通过360米的第一个隧道用了24秒钟，接着通过第二个长216米的隧道用了16秒钟，求这列火车的长度？4、某列火车通过342米的隧道用了23秒，接着通过234米的隧道用了17秒，这列火车与另一列长88米，速度为每秒22米的列车错车而过，问需要几秒钟？5、一列火车全长265米，每秒行驶25米，全车要通过一座985米长的大桥，问需要多少秒钟？6、一列长50米的火车，穿过200米长的山洞用了25秒钟，这列火车每秒行多少米？7、一列长240米的火车以每秒30米的速度过一座桥，从车头上桥到车尾离桥用了1分钟，求这座桥长多少米？8、列货车全长240米，每秒行驶15米，全车连续通过一条隧道和一座桥，共用40秒钟，桥长150米，问这条隧道长多少米？9、一列火车开过一座长1200米的大桥，需要75秒钟，火车以同样的速度开过路旁的电线杆只需15秒钟，求火车长多少米？10、上下行轨道上，两列火车相对开来，一列火车长182米，每秒行18米，另一列火车每秒行17米，两列火车错车而过用了10秒钟，求另一列火车长多少米？1、一列客车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列客车长100米，火车每分钟行400米，这列客车经过长江大桥需要多少分钟？2、一列火车长160米，全车通过440米的桥需要30秒钟，这列火车每秒行多少米？3、某列火车通过360米的第一个隧道用了24秒钟，接着通过第二个长216米的隧道用了16秒钟，求这列火车的长度？4、某列火车通过342米的隧道用了23秒，接着通过234米的隧道用了17秒，这列火车与另一列长88米，速度为每秒22米的列车错车而过，问需要几秒钟？5、一列火车全长265米，每秒行驶25米，全车要通过一座985米长的大桥，问需要多少秒钟？6、一列长50米的火车，穿过200米长的山洞用了25秒钟，这列火车每秒行多少米？7、一列长240米的火车以每秒30米的速度过一座桥，从车头上桥到车尾离桥用了1分钟，求这座桥长多少米？8、列货车全长240米，每秒行驶15米，全车连续通过一条隧道和一座桥，共用40秒钟，桥长150米，问这条隧道长多少米？9、一列火车开过一座长1200米的大桥，需要75秒钟，火车以同样的速度开过路旁的电线杆只需15秒钟，求火车长多少米？10、上下行轨道上，两列火车相对开来，一列火车长182米，每秒行18米，另一列火车每秒行17米，两列火车错车而过用了10秒钟，求另一列火车长多少米？。
过桥问题1.一列客车经过南京长江大桥，大桥长是6700米，这列客车长100米，客车每分钟行400米。
这列客车经过长江大桥需要多少分钟？2.一列火车长150米，以每秒18米的速度通过一座长300米的铁路桥。
那么这列火车需要多少秒?3.一辆汽车长8米，以每秒10米的速度通过一座长242米的隧道。
全车通过隧道需要多少秒？4.一列火车全长240米，每秒行驶30米，要全部通过一座长570米的大桥需要多少秒钟？5.一列火车长160米，全车通过440米的桥需要30秒钟。
这列火车每秒行多少米？6.一列长280米的火车，穿过838米长的山洞用了43秒。
这列火车每秒行驶多少米？7.一辆汽车长12米，通过长208米的松花江大桥用了20秒，这辆汽车每秒行多少米？8.一列火车长240米，这列火车每秒行15米，从车头进洞到全车出洞共用40秒，山洞长多少米？9.一列长250米的火车以每秒22米的速度正好用1分钟完全通过一座铁路大桥。
这座桥长多少米？10.一列客车长300米，以每秒15米的速度通过一条隧道，全车通过隧道用了50秒。
这条隧道长多少米？11.一辆汽车以每秒12米的速度通过一条长240米的隧道，全车通过隧道用了21秒。
这辆汽车长多少米？12.一列火车每秒行驶25米，全部通过一座长580米的大桥用了40秒钟。
这列火车长多少米？13.一列火车每秒行24米，全车通过440米的桥需要30秒钟。
这列火车长多少米？14.一列火车，以每秒30米的速度穿过838米长的山洞用了43秒。
这列火车长多少米？15.一列火车长300米，通过一条1140米的山洞时用了80秒；然后又用同样的速度通过另一条长870米的山洞。
需要多少秒钟？16.一列火车长200米，通过一座长250米的大桥用了30秒；这列火车又以同样的速度通过一条长400米的隧道。
需要多少秒？17.一辆汽车长10米，通过一座长270米的大桥用了20秒；这辆汽车又以同样的速度通过一条长410米的隧道。
火车过桥问题练习题1. 一列火车以每小时60公里的速度行驶，通过一座长1000米的桥。
如果火车完全通过桥需要1分钟，求火车的长度。
2. 某列火车通过一座长2500米的桥，火车的速度是每小时80公里。
如果火车通过桥的时间是3分钟，求火车的长度。
3. 一列火车以每小时100公里的速度行驶，通过一座长500米的桥。
如果火车完全通过桥需要30秒，求火车的长度。
4. 某列火车通过一座长1500米的桥，火车的速度是每小时120公里。
如果火车通过桥的时间是2分钟，求火车的长度。
5. 一列火车以每小时90公里的速度行驶，通过一座长800米的桥。
如果火车完全通过桥需要40秒，求火车的长度。
6. 某列火车通过一座长2000米的桥，火车的速度是每小时70公里。
如果火车通过桥的时间是2分30秒，求火车的长度。
7. 一列火车以每小时110公里的速度行驶，通过一座长1200米的桥。
如果火车完全通过桥需要1分15秒，求火车的长度。
8. 某列火车通过一座长3000米的桥，火车的速度是每小时150公里。
如果火车通过桥的时间是2分钟，求火车的长度。
9. 一列火车以每小时80公里的速度行驶，通过一座长1800米的桥。
如果火车完全通过桥需要1分30秒，求火车的长度。
10. 某列火车通过一座长2200米的桥，火车的速度是每小时95公里。
如果火车通过桥的时间是2分钟，求火车的长度。
11. 一列火车以每小时60公里的速度行驶，通过一座长1500米的桥。
如果火车完全通过桥需要1分45秒，求火车的长度。
12. 某列火车通过一座长2800米的桥，火车的速度是每小时100公里。
如果火车通过桥的时间是3分钟，求火车的长度。
13. 一列火车以每小时70公里的速度行驶，通过一座长1100米的桥。
如果火车完全通过桥需要50秒，求火车的长度。
14. 某列火车通过一座长3500米的桥，火车的速度是每小时130公里。
如果火车通过桥的时间是3分钟，求火车的长度。
15. 一列火车以每小时85公里的速度行驶，通过一座长2300米的桥。
火车过桥问题练习题一、基础题1. 一列火车长200米，以每小时60公里的速度通过一座长300米的桥，求火车通过桥所需的时间。
2. 一列火车长400米，以每小时80公里的速度通过一座长500米的桥，求火车通过桥所需的时间。
3. 一列火车长100米，以每小时50公里的速度通过一座长200米的桥，求火车通过桥所需的时间。
二、进阶题4. 一列火车长300米，以每小时100公里的速度通过一座长400米的桥，求火车完全通过桥所行驶的总距离。
5. 一列火车长500米，以每小时120公里的速度通过一座长600米的桥，求火车完全通过桥所行驶的总距离。
6. 一列火车长800米，以每小时140公里的速度通过一座长900米的桥，求火车完全通过桥所行驶的总距离。
三、综合题7. 一列火车长250米，以每小时90公里的速度通过一座长350米的桥，求火车通过桥所需的时间和行驶的总距离。
8. 一列火车长450米，以每小时110公里的速度通过一座长550米的桥，求火车通过桥所需的时间和行驶的总距离。
9. 一列火车长650米，以每小时130公里的速度通过一座长750米的桥，求火车通过桥所需的时间和行驶的总距离。
四、拓展题10. 两列火车分别长200米和300米，以相同的速度通过同一座长400米的桥，求两列火车通过桥所需的时间之差。
11. 两列火车分别长400米和500米，以不同的速度通过同一座长600米的桥，求两列火车通过桥所需的时间之差。
12. 两列火车分别长600米和700米，以不同的速度通过同一座长800米的桥，求两列火车通过桥所需的时间之差。
五、挑战题13. 一列火车长1000米，以每小时160公里的速度通过一座长1200米的桥，求火车通过桥所需的时间，并计算火车在桥上行驶的距离。
14. 一列火车长1200米，以每小时180公里的速度通过一座长1400米的桥，求火车通过桥所需的时间，并计算火车在桥上行驶的距离。
15. 一列火车长1500米，以每小时200公里的速度通过一座长1700米的桥，求火车通过桥所需的时间，并计算火车在桥上行驶的距离。
过桥问题例题
例1.火车长108米，每秒行12米，经过长48米的桥，要多少时间？
例2.小芳站在铁路边，一列火车从她身边开过用了2分钟，已知这列火车长360米，以同样的速度通过一座，用了6分钟，这座大桥长多少米？
例题3.一列火车通过一条长1260米的桥梁（车头上桥直至车尾离开桥）用了60秒，火车穿越长2010米的隧道用了90秒。
问：这列火车的车速和车长各是多少？
例题4.火车通过长为82米的铁桥用了22秒，如果火车的速度加快1倍，它通过162米的铁桥就用了16秒；求火车原来的速度和它的车长。
8过桥问题特别提示过桥问题的总路程应是桥长加上车长。
基本数量关系式是：车速×过桥时间=桥长+车长，这类问题的特点：有时是动态对静态的，有时是动态对动态的，所以要仔细分析题意，画出线段图或以身边实物为例来动手演示，可以帮助理解题目含义，准确找出题中的数量关系。
例1、一列火车长100米，以每秒25米的速度通过一座400米长的大桥，共需多长时间？100米桥400米？秒解析：火车过桥时间就是从车头上桥到车尾离桥这段时间，所走过的总路程是桥长加上车长。
用总路程除以火车速度得到过桥时间。
（400+100）÷25=500÷25=20（秒）答：共需20秒钟。
例2、一列火车长140米，速度是每秒10米，另一列火车长200米，速度是每秒7米，相向而行，从车头相遇到车尾离开共用多少秒？解析：根据题可知，从车头相遇到车尾离开共经过的路程是两列火车的车身总长度总和，由于两车是相向而行属相遇问题，所以要用总路程除以它们的速度和，得到的是多用的时间。
（200+140）÷（10+7）=340÷17=20（秒）答：从车头相遇到车尾离开共用20秒。
例3、一列快车长130米，速度是每秒10米，另一列慢车长200米，速度是每秒7米，它们同向而行，从追及到离开一共用了多长时间？解析：根据题意可知，从追及到离开共走出两列车车长总和，由于两辆车同向而行属追及问题。
要用总路程除以速度差得到从追及到离开的时间。
（130+200）÷（10－7）=330÷3=110（秒）答：从追及到离开共用时110秒。
基本题特训1、一列火车长180米，它以每秒10米的速度通过一座长200米的大桥，从车头上桥到车尾离开桥要用多长时间？2、一列火车通过一条长1500米的隧道要用3分钟，已知火车的车速是每秒钟12米，求这列火车的车长。
3、一列火车长160米以每秒15米的速度过一座大桥，完全通过桥要用40秒的时间，求这座大桥有多长？4、一列货车车头及车身共41节，车头与每节车身都是30米，节与节间隔1.5米，这列火车以每分钟1千米的速度穿过山洞，恰好用2分钟，这个山洞长多少米？（2001年哈尔滨“萌芽杯”小学数学竞赛题）5、一列火车上102米，每秒行17米，一列慢车长114米，每秒行8米两列火车在双轨道上向同一方向前进，从追及到相离一共用多长时间？6、一列火车长230米，每秒行21米，一列货车车长210米，每秒23米两辆火车在双轨道上相向而行，从相遇到相离共用多长时间？7、某人沿铁路步行，一列火车从身边向后开过，用了15秒钟。
过桥问题的公式(二)过桥问题的公式在数学中，“过桥问题”是一个经典的问题，通常用于测试一个人在考虑多个因素时的决策能力和逻辑思维能力。
这个问题可以通过公式进行解析，下面将介绍过桥问题的公式、解释和举例。
1. 过桥问题的描述在过桥问题中，有n个人需要通过一座桥，每个人过桥的时间不同。
桥一次只能承受两个人，且需要一盏灯作为光源。
每次过桥时，过去的人需要手持灯返回，直到所有人都通过桥。
问最短需要多少时间，才能让所有人都过桥。
2. 公式解析过桥问题可以用如下公式进行解析：总时间 = 最短时间 + (n-2) * 最慢者过桥时间其中，最短时间是指最快的两个人一起过桥的时间，最慢者过桥时间是指整体最慢的一人过桥所需的时间。
3. 解释和举例过桥问题的解释如下：•最快者（a），次快者（b）一起过桥，耗时为t1•最快者（a）返程，耗时为t2•最慢者（c）与次慢者（d）一起过桥，耗时为t3•重复以上步骤，直到所有人都过桥过桥问题可以用如下示例进行解释：假设有四个人：a, b, c, d，他们过桥的时间分别为：1, 2, 5, 10。
1.最快者（a），次快者（b）一起过桥，耗时为2过程：a, b过桥，花费时间为22.最快者（a）返程，耗时为1过程：a返回，花费时间为13.最慢者（c）与次慢者（d）一起过桥，耗时为10过程：c, d过桥，花费时间为104.最快者（a），次快者（b）一起过桥，耗时为2过程：a, b过桥，花费时间为2总时间 = 2 + 1 + 10 + 2 = 15所以，最短需要15的时间，才能让所有人都过桥。
以上就是过桥问题的公式、解释和举例。
通过使用公式来解决过桥问题，我们可以更加高效地计算最短时间，对于类似的问题也可借鉴类似思路进行求解。
火车过桥问题火车过桥问题例题1、一列小火车长48米，以每小时16千米的速度通过一座752米的桥。
问：从车头上桥到车尾离桥共要多少时间？问：从车头上桥到车尾离桥共要多少时间？需要多少秒？1、一列列车车长150米，每秒行19米，全车通过420米的大桥，需要多少秒？2、一列火车长260米，每秒行20米，要经过一个800米长的隧道，问：这列火车通过这个隧道需要多少秒？火车通过这个隧道需要多少秒？3、一列火车长150米，每秒钟行19米。
全车通过长800米的大桥，需要多少时间？4、一列火车长200米，它以每秒10米的速度穿过200米长的隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道共需要多少秒？5、一列火车长700米，以每分钟400米的速度通过一座长900米的大桥.从车头上桥到车尾离要多少分钟？6、一条隧道长760米.现有一列长240米的火车以每秒25米的速度经过这条隧道要用多少时间?7.一列火车长200米,它以每秒10米的速度穿过300米长的隧道,从车头进入隧道到车尾离开隧道共需要多长时间？道到车尾离开隧道共需要多长时间？8．一列火车长180米，米，每秒行每秒行20米，米，这列火车通过这列火车通过320米长的大桥，米长的大桥，需要多需要多少时间？少时间？9． 长150米的火车以每秒18米的速度穿越一条300米的隧道。
问火车穿越隧道（进入隧道直到完全离开）要多少时间？隧道（进入隧道直到完全离开）要多少时间？10、夏令营的小同学们要过一座296米长的大桥。
米长的大桥。
他们共有他们共有162人，人，排成两路排成两路纵队，每两个人相距50厘米，队伍行进的速度是每分钟56米。
问整个队伍通过桥共需多少分钟？过桥共需多少分钟？11、少先队员248人排成两路纵队去参观科技展览，队伍行进的速度是每分钟28米，前后两人都相距1米，现在队伍要通过一座长45米的地下通道，整个队伍从进通道到离开通道需几分钟？队伍从进通道到离开通道需几分钟？2、一列火车长200米，以每秒8米的速度通过一条隧道，从车头进洞到车尾6、少先队员628人排成两路纵队去春游，队伍行进的速度是每分钟行24米，前后两人都相距1米，途中队伍要通过一座长143米的桥，这个队伍从上桥到离桥共需几分钟？离桥共需几分钟？7、有644名解放军官兵排成4路纵队去参加抗洪抢险，队伍行进速度是每秒4路纵队去参加抗洪抢险，队伍行进速度是每秒米，前后两排的间隔距离是1米，现在要通过一座长312米的大桥，整个队伍从开始上桥到全部离桥需要多少时间？从开始上桥到全部离桥需要多少时间？8、铁路沿线的电杆间隔是40米，某旅客在运行的火车中，从看到第一根电线杆到看到第51根电线杆正好是2分钟，火车每小时行多少千米？9. 一列火车长400米,铁路沿线的电线杆间隔都是40米,这列火车从车头到达第一根电线杆到车尾离开第51根电线杆用了2分钟.这列火车每小时行多少千米?10. 夏令营的小同学们要通过一座296米长的大桥.他们共有162人,排成两路纵队,每两个人相距半米,队伍行进的速度是每分钟56米.问整个队伍通过桥共需多少分钟?11. 一个车队以4米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥,共用115秒钟.已知每辆车长5米,两车间隔10米,问这个车队共有多少辆车?4 、一列火车通过530米的桥需40秒钟，以同样的速度穿过380米的山洞需30秒钟。
过桥问题经典智力题
过桥问题是一个经典的智力题，通常涉及一群人或动物需要通
过一座桥，但桥上只能同时容纳一定数量的过客，并且需要灯光或
其他限制条件。
这个问题可以从多个角度进行讨论和解答。
首先，我们可以从数学的角度来分析过桥问题。
假设有n个人
需要通过一座桥，每个人通过桥的时间不同，我们的目标是找到最
短的总过桥时间。
这个问题可以转化为一个最优化问题，可以使用
动态规划或者贪心算法来求解。
我们可以列出所有可能的过桥方案，并计算出每种方案的总过桥时间，然后选择最短的那个。
另外，我们还可以从逻辑推理的角度来分析过桥问题。
在一些
变体中，桥上可能只有一盏灯，且在夜晚只能由一到两个人携带。
这就需要考虑如何在有限的灯光下安全地过桥。
我们可以通过逻辑
推理和排除法来找到最佳的过桥方案，例如考虑每次过桥的组合和
可能的情况，然后排除那些不符合条件的方案，最终找到最优解。
此外，过桥问题还可以从心理学角度来分析。
在一些变体中，
可能还会考虑到人们的个性、行为习惯和心理状态对过桥方案的影响。
例如，有些人可能害怕黑暗，有些人可能步伐较慢，这些因素
都会影响到过桥的时间和方式。
因此，我们可以通过心理学的知识
来分析每个人的特点，然后制定一个最适合的过桥方案。
总的来说，过桥问题是一个富有挑战性的智力题，可以从数学、逻辑推理和心理学等多个角度进行全面分析和讨论。
通过综合运用
各种方法，我们可以找到最佳的过桥方案，从而解决这个经典的智
力问题。
一、问题在漆黑的夜里，四位旅行者来到了一座狭窄而且没有护栏的桥边。
如果不借助手电筒的话，大家是无论如何也不敢过桥去的。
不幸的是，四个人一共只带了一只手电筒，而桥窄得只够让两个人同时过。
如果各自单独过桥的话，四人所需要的时间分别是1、2、5、8分钟；而如果两人同时过桥，所需要的时间就是走得比较慢的那个人单独行动时所需的时间。
问题是，如何设计一个方案，让这四人尽快过桥。
假设这四人分别为A、B、C、D。
很明显，开始两人拿着手电筒过桥后，手电筒就在桥的另一边了，此时需要已经过桥的那两人中的一个再把手电筒送回桥这边。
送手电筒回来过桥也要化时间，所以要选一个跑得比较快的。
一个很自然的想法就是，每次让跑得最快的A 陪着另一个过桥，然后A快速地跑回来，再陪下一位过去，最后所有人就都可以过桥了。
让我们来算一下这要多长时间。
为了方便起见，我们把旅行者出发的桥的这一边称为“此岸”，而把旅行者想要到达的那边叫“彼岸”。
在表达一个过桥方案时，我们用“←”来表示从彼岸到此岸的移动，用“→”表示从此岸到彼岸的移动。
前面“A护送大家过河”的方案就可以写成：（右边数字为完成此步骤所需时间）A B → 2A ← 1A C → 5A ← 1A D →8一共就是2+1+5+1+8=17分钟。
但其实有更快的办法：A B → 2A ← 1C D →8B ← 2A B → 2一共是2+1+8+2+2=15分钟。
这个办法的聪明之处在于让两个走得最慢的人同时过桥，这样花去的时间只是走得最慢的那个人花的时间，而走得次慢的那位就不用另花时间过桥了。
可以把所有可能的方案都列举一遍，就会发现这是最快的方案了。
现在我们把这个问题推广到N(N≥4)个人过桥的情况：如果有N个旅行者，假设他们有各自所需的过桥时间（正实数）。
在只有一只手电筒的情况下，要过上述的一条桥，怎样才能找到最快的过桥方案？假设最快地把N个旅行者从此岸移动到彼岸需要f分钟时间，那么我们把所有在f分钟时间内把N个旅行者从此岸移动到彼岸的方案称为“最佳方案”。
最佳方案很有可能不止一个，我们的目的是要找到一个最佳方案，但是并不需要把所有的最佳方案全都找出来。
二、一个合理的假设为了讨论的方便起见，这一节我们要说明的是，事实上我们可以假设每个旅行者的速度都是不一样的。
这样当我们说一些人中“最快的那个”，“次慢的那一个”时，都不会有歧义了，因为每个人的速度都是独一无二的。
这个假设在讨论中并非必要，只是为了在证明的叙述过程中避免不断地啰嗦类似“我们让两人中最快的那个过桥，如果两人一样快，那就随便选一人”、“我们选在彼岸最快的那个人回来，如果上一步刚从此岸到彼岸的人中，其中有一个是现在彼岸走得最快的之一，我们就特别选择让他回来”之类的话。
为什么我们可以假设每个旅行者的速度都是不一样的？原理就在于，我们可以把原来过桥时间相同的旅行者的过桥时间分别加上一个不同的但是非常非常小的量，这样就能保证旅行者的速度是不一样的了。
但是因为加上去的量都非常小，所以对最终总的过桥时间的影响也非常小。
所以这样改动过后得到的最佳方案在原来的条件下实施的话，也该是原来条件下的最佳方案。
如果你对上面的说明满意了，就完全可以跳过这一节直接看第三节。
这一节后面啰哩叭嗦的都是为了向一些对严格性要求比较高的朋友解释上面所说的方法的确可行。
首先对于任何一组N个旅行者，假定他们过桥所需的时间分别为a1、a2、……、aN，它们都是大于零的实数。
假设这个序列已经从小到大排列了（当然不排除其中有数相等）。
每次都由第一个旅行者陪同一个人过桥，然后第一个旅行者回来，这样一个方案所需要的时间是：S = (N-2)*a1+a2+……+an（第一个旅行者要返回N-2次）。
所以最佳方案所需要的时间一定不会比S大。
我们把一个过桥方案中让一个或者两个人拿着手电筒从桥的一边走到另一边的一次移动叫做这个方案中的一次移动或者“一步”，就是前面解四个人的题中使用“→”或“←”来表示的一个步骤。
因为一次移动所需要的最少的时间是a1分钟，所以最佳方案中所需的移动步数一定不会多于K=[S/a1]步，这里"[]"是取整运算。
让我们考虑一下所有在K步以内完成的方案。
上面的例子表明这样的方案至少有一个，而且这样的方案显然只有有限多个，假设一共有M个。
我们又设这些方案执行时要花的时间是t1、t2、……、tM我们还可以假设上面这些时间已经从小到大排列了，t1就是最佳方案所需要的时间。
现在是关键的步骤。
我们要选取一个很小的正实数ε＞0。
它有多小呢？它必须满足下面的条件：1) 对于任何两个过桥时间不同的旅行者（假设他们的过桥时间是a和b分钟），必须满足ε＜|a-b|/N。
换句话说，Nε要小于不同的旅行者过桥时间之间的差别。
2) 对于任何两个所需的完成时间不同的K步以内的方案（假设它们的所需时间是t和s分钟），必须满足ε＜|t-s|/K。
换句话说，Kε要小于不同的方案完成时间之间的差别。
因为旅行者的数目和方案的数目都是有限的，所以我们必然可以选取这样一个ε。
至于这两个条件有什么用，我们马上就可以看到。
假设若干个旅行者过桥的时间都是一样的a分钟，我们就把题目改一下，使得他们的过桥时间分别为a、a+ε/N、a+2ε/N、a+3ε/N……如果有其他的旅行者过桥时间相互一样，也按照同样方式修改题目。
这时在修改后的题目中，如果原来两个旅行者所需的过桥时间相同，那么现在就变得不同，差一个非常小的量（不会超过ε）；如果原来两个旅行者所需的过桥时间不同，那么根据上面的条件1)，现在还是不同，而且原来谁比较快，现在仍旧是他比较快。
我们看看这个修改后的题目的最佳方案和原来的题目的最佳方案有什么联系。
假设我们已经有一个关于修改后的题目的最佳方案，那么它所需要的时间必定是这个模样的：a + bε我们知道bε部分是修改时把旅行者过桥时间“微调”了以后造成的，而且每走一步这部分的改变不会超过ε，所以我们有0＜b＜K=[S/a1]。
如果我们把这个最佳移动方案照搬到原来的题目中去，所需要的时间就是a分钟。
这个方案应该同样是原来题目中的最佳方案。
否则的话，假设我们有另一个方案，所需时间为a'，而且a'＜a。
根据上面取ε时候的条件2)，我们有a' ＜ a + Kε把这个耗时a'的方案搬到改动过的题目里去的话，所需的时间就会是a' + b'ε其中0＜b'＜K。
所以根据a'＜a+Kεa' + b'ε＜ a + bε这就和a+bε是改动后题目的最佳方案所需的时间矛盾了。
所以只要找到一个修改过的题目中的最佳方案，我们就得到了原来题目中的一个最佳方案，于是我们只要考虑所有旅行者的速度都不同的题目就可以了。
三、一个“很显然”的结论编个计算机程序，把所有步数少于上一节中所计算的K=[S/a1]的可能的过桥方案都列举一遍，然后找出最快的，当然是一种方法，这理论上也是可行的，因为少于K步的方案只有有限多个，计算机程序必定能够将它们全部列举出来。
只是当人数N增大时，过桥方案数会增加得很快。
事实上，如果我们只考虑“每次过去两个人，然后这两个人中其中一个人回来”这类方案的数目的数量就已经远远超过N!个了，想像一下如果N=1000的话所需要的计算量！况且还有更多数量的其他类型方案。
特别是，我们是在做智力题，不是在学编程。
当然你还可以说，如果人多的话，所需要的时间超过了12小时，那时天已经亮了，不再需要手电筒，大家可以直接过桥——唉！我们是在做智力题，不是在做抬杠式的脑筋急转弯——我们可以假设是在有漫长极夜的极地嘛，要不然，这桥是在一个黑暗山洞里，就象电影《指环王》中的那样……但是如果不用列举法的话，我们有一个重要的任务要做，就是不仅要说明如何找到一个我们自以为最快的方案，而且还要证明这样的方法的确给出了一个最佳方案。
在我们的直觉当中，最快的方案必然有这样一个特征：每次过桥去彼岸的一定是两个人，然后一定只有一个人把手电筒送回此岸（当然要除去最后一次过桥的情况，那时就不需有人把手电筒送回来了）。
但是为什么一定是这样的呢？为什么不可能有一个意想不到的巧妙方案，在那里有某一步居然需要一个人单独过到彼岸去，或者需要有两个人把手电筒送回此岸来？这是个看起来很显而易见但是我们不能支吾不回答的问题。
在讨论中我们经常需要说明，在某一时刻，桥的两边分别有哪些人，手电筒又在哪一边。
这样的说明称为一个“局面”。
当然，一个局面必须是合理的。
比如说，不能够所有人都在桥的一边，而手电筒却在桥的另一边；一个人必须处在桥的某一边，而且只能处在桥的某一边。
比如说，在四个旅行者的问题里，如果某一个时刻A、B和C在此岸，而D在彼岸，手电筒也在彼岸，这就给出了一个局面（这个局面看起来有点奇怪，大概是D拿着手电筒一个人跑过桥去了，接下去除了他再拿着手电筒回来别无它法）。
所有人和手电筒都在此岸，就是一个特殊的局面，叫作初始局面；而所有人和手电筒都在彼岸，也是一个特殊的局面，叫完结局面；所有其他的局面我们称为中间局面。
想像一下现在有两种局面。
在两种局面中，手电筒都在桥的同一边（都在此岸或都在彼岸）；而且在第一种局面里所有在彼岸的旅行者，在第二种局面里也都在彼岸，而且有这样的旅行者，在第一种局面中他在此岸，而第二种局面中他在彼岸。
那么我们就说第二种局面“优于”第一种局面。
比如说，在四个旅行者的问题里，第一种局面是A、B和C在此岸，而D在彼岸，手电筒也在彼岸；第二种局面是A和B在此岸，C和D在彼岸，手电筒也在彼岸。
那么第二种局面就优于第一种局面。
很显然，除了初始局面以外，所有手电筒在此岸的局面都优于初始局面；除了完结局面本身外，完结局面要优于所有手电筒在彼岸的局面。
但是要注意的是，并不是任意给两个局面都能比较哪个优于哪个，比如说初始局面和完结局面，谁都不优于谁。
如果现在有两个局面，第二种局面要优于第一种局面。
假设现在我已经有了一个方案，从第一种局面开始，通过符合题目要求的方法来移动旅行者（最多只能同时移动两个旅行者，手电筒必须和他们一起移动），在t分钟内能够使所有旅行者到达彼岸（也就是说转变成完结局面，或者说“解决”了这种局面），那么我们可以保证我们同样也有了一个方案，从第二种局面开始，在不多于t分钟内使它转变成完结局面。
为什么呢？假设第一种局面的方案中的第一步是要把某个（或某两个）旅行者从此岸移动到彼岸（这时手电筒开始一定在此岸）。
1) 如果被移动的这个（或这两个）旅行者，在第二种局面里也在此岸，那么我们同样把他们从此岸移动到彼岸。
这时两个局面化了同样多的时间转化成另两个局面，而且仍旧是第二种局面优于第一种局面。
（严格说来应该是“从第二种局面演化来的局面要优于从第一种局面演化来的局面”，不过这样也太拗口了，所以在下面我都用前面那种虽然不严格但是比较简明的方法来叙述。
