[新高考全案]2009-2010年高考数学Ι轮精品教案及其练习精析 《弧度制和任意角的三角函数》.

高中数学弧度制课件教案
一、教学目标
1. 了解弧度的概念和定义；
2. 掌握角度和弧度的转换关系；
3. 掌握弧长和扇形面积的计算方法。

二、教学重点
1. 弧度的概念和定义；
2. 角度和弧度的转换；
3. 弧长和扇形面积的计算。

三、教学难点
1. 角度和弧度之间的转换；
2. 弧长和扇形面积的计算方法。

四、教学过程
1. 导入：通过一个实际生活中的例子引入弧度的概念，让学生了解弧度的重要性和应用。

2. 讲解：介绍弧度的定义，以π弧度为一周，让学生理解弧度的计量单位及其特点。

3. 实例演练：进行角度和弧度之间的转换计算，让学生掌握两者之间的关系。

4. 练习：让学生完成一定数量的练习题，巩固所学知识。

5. 讲解：介绍弧长和扇形面积的计算方法，以实例讲解其应用。

6. 实例演练：进行弧长和扇形面积的计算练习，让学生熟练掌握计算方法。

7. 拓展：引导学生应用弧度制进行更复杂的计算和问题解决。

五、教学评价
1. 课堂练习：随堂进行相关练习，检查学生对于弧度的理解和掌握情况。

2. 作业布置：布置相关作业，巩固学生对于弧度的学习成果。

3. 课后反思：对于本节课的教学效果进行总结和反思，为后续教学提供参考。

第2讲 等差数列★ 知 识 梳理 ★1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n)1(1-+=，1a 为首项，d为公差.⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=.3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法 ⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.5.等差数列的常用性质 ⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n)(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列；⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a a S S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇.★ 重 难 点 突 破 ★1.重点：理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式并能解决实际问题；理解等差中项的概念,掌握等差数列的性质.2.难点：利用等差数列的性质解决实际问题.3.重难点：正确理解等差数列的概念，灵活运用等差数列的性质解题.⑴求等差数列的公差、求项、求值、求和、求n S 最值等通常运用等差数列的有关公式及其性质.问题1：已知n m ≠,且n a a a m ,,,,321和n b b b b m ,,,,,4321都是等差数列，则=--2313b b a a分析：问题转化为：在n m ,插入若干个数，使其成等差，利用等差数列公差的求法公式解答. 解析：设等差数列n a a a m ,,,,321和n b b b b m ,,,,,4321的公差分别是21,d d 则1132d a a =-，14d m n =-，∴213mn a a -=-， 同理，得5223m n d b b -==-，∴=--2313b b a a 25.⑵问题2： ②+)20091(f f 解析： f (∴=)20092008(20091(f 100411004=⨯.热 点 考 点 题 型 探 析★考点1等差数列的通项与前n 项和 题型1已知等差数列的某些项，求某项【例1】已知{}n a 为等差数列，20,86015==a a ，则=75a【解题思路】可以考虑基本量法，或利用等差数列的性质【解析】方法1： 154,156420598141160115==⇒⎩⎨⎧=+==+=d a d a a d a a∴2415474156474175=⨯+=+=d a a方法2： 1544582015601560=-=--=a a d ，∴241541520)6075(6075=⨯+=-+=d a a方法3：令b an a n +=，则38,45162060815==⇒⎩⎨⎧=+=+b a b a b a∴24384516757575=+⨯=+=b a a 方法4： {}n a 为等差数列，∴7560453015,,,,a a a a a 也成等差数列，设其公差为1d ，则15a 为首项，60a 为第4项. ∴438203111560=⇒+=⇒+=d d d a a ∴2442016075=+=+=d a a方法5： {}n a )三点共线∴6075156060751560⇒--=--a a a a 【名师指引】.题型2已知前n 项和n S 【例2】⑴已知n S 63,=n S ，求n ；⑵若一个等差数列的前4780，求这个数列的项数n . 【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=求出1a 及d，代入n S 可求项数n ；⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出n a a +1，代入n S 可求项数n .【解析】⑴设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则3,186893111-==⇒⎩⎨⎧-=+=+d a d a d a∴7,663)1(231821==⇒=--=n n n n n S n ⑵ 124,363214321=+++=+++---n n n n a a a a a a a a3423121---+=+=+=+n n n n a a a a a a a a∴40160)(411=+⇒=+n n a a a a ∴39780207802)(1=⇒=⇒=+=n n a a n S n n【名师指引】解决等差数列的问题时，通常考虑两种方法：⑴基本量法；⑵利用等差数列的性质.题型3求等差数列的前n 项和【例3】已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，212n n S n -=.⑴求321a a a ++；⑵求10321a a a a ++++ ； ⑶求na a a a ++++ 321.【解题思路】利用n S 求出n a ，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题. 【解析】4. 212n n S n-=，∴当1=n 时，1111211=-==S a ，当2≥n 时，n n n n n S S a n n n 213)1()1(12)12(221-=-+---=-=-，当1=n 时，1213=⨯-由0213≥-=n a n ，得≤n 7≥n 时，0<n a . ⑴1321+=++a a a a ⑵)1098321a a a a a a ++++++26=S ；⑶当1≤n 232112n n a a a a a n n -=++++=++ ，当7≥n)(876321n n a a a a a a a a +++-++++=+.7212)12()662226+-=---⨯n n n n n【名师指引】含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论. 【新题导练】 1.已知{}n a 为等差数列，q a p a n m ==,（k n m ,,互不相等），求k a . 【解析】nm k m q n k p a n k q a n m q p n k a a n m a a k k n k n m --+-=⇒--=--⇒--=--)()(2.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，100,7,141===n S a a ，则=n .【解析】设等差数列的公差为d ，则23171414=-=--=a a d101002)1(21=⇒=⨯-+=n n n n S n . 3.已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为165，求这5个数. 【解析】设这5个数分别为.2,,,,2d a d a a d a d a ++--则⎩⎨⎧=+=⇒⎩⎨⎧=+++++-+-=+++++-+-1651051165)2()()()2(5)2()()()2(2222222d a a d a d a a d a d a d a d a a d a d a 解得4,1±==d a当4,1==d a 时，这5个数分别为：9,5,1,3,7--； 当4,1-==d a 时，这5个数分别为：.7,3,1,5,9--4.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，10,10010010==S S ，求110S .【解析】方法1：设等差数列的公差为d，则⎩⎨⎧=+=+4950100100451011d a d a ∴110109110211101110-=⨯⨯+=d a S ；方法2： 210100-==-S S ∴2)(1101101110+=a a S考点2 【例4】已知n S .求证：数列{}n b 是等差数列. 【解析】d ，d n n na S n )1(211-+=，∴n S b n n =∴2)122111dd n b b n n =--+（常数）∴数列{}n b 是等差数列.方法2： d n a n S b n n)1(211-+==， ∴nd a b n 2111+=+，d n a b n )1(2112++=+∴1111222)1(21)1(21++=+=-++++=+n n n b nd a d n a d n a b b ，∴数列{}n b 是等差数列.【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有： ⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列；⑶通项公式法：b kn a n+=（b k ,是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑷前n 项和公式法：Bn An S n +=2（B A ,是常数，0≠A ）⇔{}n a 是等差数列.【新题导练】 5.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=N n pna S n n ，.21a a =⑴求常数p 的值；⑵求证：数列{}n a 是等差数列.【解析】⑴ n n pna S =，21a a =，∴111=⇒=p pa a⑵由⑴知：n n na S =，当2≥n时，0))(1()1(111=--⇒--=-=---n n n n n n n a a n a n na S S a ，∴)2(01≥=--n a a n n ，∴数列{}n a 是等差数列.考点3 等差数列的性质【例5】⑴已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；⑵已知S n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .. 【解析】110011221166==⨯a a ；⑵方法1n m m n B m n A nBm Am mBn An -=-+-⇒⎩⎨⎧=+=+)()(2222. m n ≠，∴1)(-=++B m n A ，∴)()()(2n m n m B n m A S n m +-=+++=+；方法2：不妨设n m >m n a a n m a a a a a S S m n m m n n n n m -=+-=+++++=-+-+++2))((11321 .∴211-=+=+++m n n m a a a a ，∴)(2))((1n m a a n m S n m n m +-=++=++；方法3：{}n a 是等差数列，∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列∴⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m S n m m S m n S n n m m n ,,,,,三点共线.∴)(n m S nm nn m S n m n m m n n m n m +-=⇒-+=--++.【名师指引】利用等差数列的有关性质解题，可以简化运算. 【新题导练】 6.含12+n个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ）.A n n 12+ .B n n 1+ .C n n 1- .D nn 21+【解析】（本两小题有多种解法） 2531++++=a a a a S 奇642a a a S +++= 偶nn S S 1+=偶奇.∴选B. 7.设n S 、n T = .【解析】12651212==--T S b a n n n n ∴填1265. 考点4 等差数列与其它知识的综合【例6】已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，n n S n 211212+=；数列{}n b 满足：113=b ，n n n b b b -=++122，其前9项和为.153⑴求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；⑵设n T 为数列{}n c 的前n 项和，)12)(112(6--=n n n b a c ，求使不等式57k T n >对+∈∀N n 都成立的最大正整数k 的值.【解题思路】⑴利用n a 与n S 的关系式及等差数列的通项公式可求；⑵求出n T 后，判断n T 的单调性. 【解析】⑴ n n S n211212+=， ∴当1=n 时，611==S a ；当2≥n 时，5)1(211)1(2121121221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n 当1=n时，1651a ==+，∴5+=n a n ；222112+++++=⇒-=n n n n n n b b b b b b ，∴{}n b 是等差数列，设其公差为d .则3,5153369112111==⇒⎩⎨⎧=+=+d b d b d b ，∴23)1(35+=-+=n n b n .⑵=c n∴12((53(311(+-=n T n+∈N n ，∴n T ∴当1=n 时，()1min ==T T n ∴57k T n >对+∈∀N n 都成立38< ∴所求最大正整数k 的值为37【名师指引】这是历年高考的重点内容.【新题导练】 8.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，31=a ，)2(21≥=-n a S S n n n .⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵数列{}n a 中是否存在正整数k ，使得不等式1+>k k a a 对任意不小于k 的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k ，若不存在，说明理由. 【解析】⑴当2≥n时，)(22111----=⇒=n n n n n n n S S S S a S S∴21111-=--n n S S ，且3111=S ，∴{}n a 是以21-为公差的等差数列，其首项为31.∴nS n n S S n n 356635)1(21111-=⇒-=--=∴当2≥n 时，)53)(83(18211--==-n n S S a n n n 当1=n 时，11018)53)(83(18a ≠=--，∴⎪⎩⎪⎨⎧≥--=)2()53)(83(18)1(3n n n n ； ⑵0)23)(53)(83(181>---=-+k k k a a k k，得3532<<k 或38>k ，∴当3≥k 时，1+>k k a a 恒成立，所求最小的正整数.3=k★ 抢 分 频 道 ★基础巩固训练1.(2010广雅中学)设数列{}n a 是等差数列，且28a =-，155a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则A ．1011S S = B ．S 10S <【解析】C ．10916292S a a S =+=另法：由28a =-，155a =，计算知910S S =2.在等差数列{}n a 中，5=a 【解析】480 42++a a 3.数列{}n a 中，492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n .【解析】24 由492-=n a n 知{}n a 是等差数列，.250>⇒>n a n ∴.24=n4.已知等差数列{}n a 共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是 .【解析】4 已知两式相减，得.4205=⇒=d d5.设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a = .【解析】1)1(21++n n 利用迭加法（或迭代法），也可以用归纳—猜想—证明的方法. 6.从正整数数列 ,5,4,3,2,1中删去所有的平方数，得到一个新数列，则这个新数列的第1964项是 . 【解析】2008综合拔高训练7.( 2010广雅中学)广雅中学)已知等差数列{}n a 中，21920,28a a a =-+=-.⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵若数列{}n b 满足2log n n a b =，设12n n T bb b = ，且1n T =，求n 的值.【解析】⑴设数列{}n a 的公差为d ，则2,22288220111=-=⇒⎩⎨⎧-=+-=+d a d a d a∴242)1(222-=-+-=n n a n⑵ 242log 2-=n b n ，∴2422-=n n b∴n n n n n n n b b b b T 24)1(24)321(232122-+-++++===令(1)240n n n +-=，得23=n ∴当23n =时，.1=n T8.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，.16,2541==a a⑴当n 为何值时，n S⑵求8642a a a a +++++ ⑶求数列{}na 的前n 项和.nT【解析】⑴ 等差数列{}n a 3-=∴283+-=n a n ，令-=a n ∴当9≤n 时，；当n⑵ 数列{∴42a a +20)9325(101011-=⨯-==a ；0<.∴n n S S a T -==912)⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⨯-⨯=)1(2325)336259(2n n n 234253232+-=n n9.( 2010广雅中学)执信中学)已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈⑴证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；⑵求数列{}n a 的通项公式；⑶若数列{}n b 满足12111*44...4(1)(),nnb b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列.【解析】⑴证明：2132,n n n a a a ++=-∴)(2112n n n n a a a a -=-+++, 3,121==a a ,∴)(2112++++∈=--N n a a a a n n n n {}1n n a a +∴-是以21a a -2=为首项，2为公比的等比数列。

《弧度制》教学设计深入挖掘数学学科的核心价值，树立以发展学生数学学科核心素养为导向的教学意识，将数学学科核心素养的培养贯穿于教学活动的全过程——这是我教学设计的根本宗旨。

本节课我教学的重点就是弧度制概念，设计的一大亮点就是由一道探究题目，展开本节课的全部教学内容。

一．教学内容解析弧度制在本章的位置：本节知识结构：《弧度制》是人教A版必修4第一章第一节第二课时的知识内容，教学重点是弧度制的概念。

本节内容起着承上启下的作用，在弧度制下，任意角的集合和实数集建立起一一对应的关系，为三角函数奠定基础。

二．教学目标设置首先，理解1弧度的角及弧度制的定义；掌握角度和弧度的换算公式；理解任意角的集合和实数集之间一一对应的关系；理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用。

其次，以本节数学知识作为载体，为渗透类比的思想、转化化归的思想、归纳推理的思想、以及数形结合的思想，还有提高数学推理论证能力、几何直观能力、数据处理与数值计算能力都提供了很好的契机。

另外，探究新概念时，树立敢于质疑，善于思考，严谨求实的科学精神；系统的去思考概念产生的必要性，合理性，优越性，概念的内涵和外延；同时，培养学生自主学习习惯，增强同学间相互交流，取长补短，形成良好课堂学习氛围，达到学生主动、全面、健康发展。

三．学生学情分析其一学生熟知角度制，其二学生能体会不同的单位制会给解决问题带来方便，其三学生已经学习了任意角的概念，这是本节课的知识基础。

能力上，学生经过高中半个多学期的数学思维训练，已经具有一定的学习能力和探索意识，本节课要学习和探究的内容都在学生的最近发展区内。

弧度制的概念教学是重点也是难点，力求讲清概念的内涵和外延，分析概念生成的必要性、合理性、优越性。

四．教学策略分析本节课采用问题驱动式教学，学生探究与教师讲授相结合，结合多媒体辅助教学，围绕这样的问题链展开：引发学生探究性思维活动，使学生在思考、讨论、交流中经历每个知识点的产生和发展过程。

第九章综合检测 解析几何初步一.选择题: （以下题目从4项答案中选出一项，每小题5分，共40分） 1. 原点在直线l 上的射影是P (－2，1)，则直线l 的方程是（ ） A ．x ＋2y ＝0 B ．x ＋2y －4＝0 C ．2x －y ＋5＝0 D ．2x ＋y ＋3＝0 [解析] C ．[221,=∴-=⊥l OP k k l OP ]2. 已知点的集合),,{(z y x A =},0|||||R z a y a x ∈=-+-，则， A ．A 中的每个点到x 轴的距离相等 B ．A 中的每个点到y 轴的距离相等 C ．A 中的每个点到z 轴的距离相等D ．A 中的每个点到xoy 平面的距离相等[解析] C ．[点集A 是一条平行于z 轴的直线]3. 若直线02=++m y x 按向量)2,1(--=a 平移后与042:22=-++y x y x C 相切，则实数m 的值等于A 3或13B 3或-13C 或7D -3或-13[解析]D.[直线02=++m y x 按向量)2,1(--=平移后，方程为052=+++m y x=⇒=+∴m m 55|8|-3或-13] 4. (山东省济南市2008年2月高三统一考试)已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x 及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a 等于（ ）A ．2 B.32- C.12-± D.12+[解析] C[易知圆心C(a,2)到直线的距离为1，12|32|=+-∴a ，12-±=∴a ] 5. 若直线x k y l )1(2:1-=-和直线2l 关于直线1+=x y 对称，那么直线2l 恒过定点A ．（2，0）B ．（1，－1）C ．（1，1）D ．（－2，0）[解析] C[直线1l 经过定点)2,0(P ，)2,0(P 关于直线1+=x y 的对称点为（1，1），直线2l 恒过定点（1，1）]6. 已知过点)1,1(P 作直线l 与两坐标轴正半轴相交，所围成的三角形面积为2，则这样的直线l 有A ． 1条B ．2条C ．3条D ．0条[解析]A.[设直线l 的方程为1=+b y a x ,则⎩⎨⎧==+4ab ab b a ,b a ,∴ 是方程0442=+-x x 的根,只有一解2==b a ]7. 已知半径为1的动圆与圆（x-5）2+(y+7)2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）A （x-5）2+(y+7)2=25B （x-5）2+(y+7) 2=17 或（x-5）2+(y+7)2=15C （x-5）2+(y+7)2=9D （x-5）2+(y+7) 2=25 或（x-5）2+(y+7)2=9 [解析] D[分内切和外切两种情况]；8. 直线0)1()1(=+++y b x a 与圆222=+y x 的位置关系是 ( ) A.相离 B.相切 C.相交或相切 D.不能确定 [解析] D[圆心O 到直线0)1()1(=+++y b x a 的距离22||ba b a d ++=，b a ab b a b a ,2)()(222∴=+-+ 同号时1||22>++=ba b a d ；0=ab 时，1||22=++=ba b a d ；b a ,异号时，1||22<++=ba b a d ，]二.填空题: （本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分）9. 已知两点(2,0),(0,2)A B -，点C 是圆2220x y x +-=上任意一点，则ABC ∆面积的最大值是 . 解析：23+.[直线AB 的方程为2+=x y ，圆心到直线AB 的距离为223，C 到直线AB 的距离的最大值为2223+， ABC ∆面积的最大值是 23+] 10. 点(4,a )在两条平行线033,063=++=-+y x y x 之间,则a 的取值范围是 [解析])6,15(--[直线4=x 与两条平行线033,063=++=-+y x y x 分别交于点)15,4(),6,4(--,615-<<-∴a ]11. 已知圆16)4()7(22=++-y x 与圆16)6()5(22=-++y x 关于直线l 对称 ，则直线l 的方程是 .[解析] 0156=--y x [依题意得，两圆的圆心)4,7(-A 与)6,5(-B 关于直线l 对称，故直线l 是线段AB 的垂直平分线，直线l 的方程为0156=--y x ].12. 已知0232=-+y x ，则22y x +的最小值为 [解析]134[22y x +的最小值是原点到直线0232=-+y x 的距离的平方，134)132(222==+∴y x ]13. 一条光线从点)3,2(P 射出，经x 轴反射，与圆1)2()3(22=-++y x 相切，则反射光线所在直线的方程是 .[解析] 0134=++y x 或0643=++y x[依题意得，点P 关于x 轴的对称点)3,2('-P 在反射光线所在的直线上，故可设反射光线所在直线的方程为)2(3-=+x k y ，即032=---k y kx .由反射光线与圆相切得11552=++k k ，解得34-=k 或43-=k ，∴反射光线所在直线的方程是)2(343--=+x y 或)2(433--=+x y ，即0134=++y x 或0643=++y x ]14. 若圆042222=-+-+m mx y x 与圆08442222=-+-++m my x y x 相切，则实数m 的取值集合是 .[解析] }2,0,25,512{--[∵圆4)(22=+-y m x 的圆心为)0,(1m O ，半径21=r ，圆9)2()1(22=-++m y x 的圆心为)2,1(2m O -，半径32=r ，且两圆相切，∴2121r r O O +=或1221r r O O -=，∴5)2()1(22=++m m 或1)2()1(22=++m m ，解得512-=m 或2=m ，或0=m 或25-=m ，∴实数m 的取值集合是}2,0,25,512{--] 15.过点)2,1(P 向圆)5(222<=+r r y x 引两条切线PB PA ,,B A ,为切点,则三角形PAB的外接圆面积为[解析]45π[OA PA ⊥ ,OB PB ⊥,故O 、A 、B 、P 四点共圆，所以三角形PAB 的外接圆就是四边形OAPB 的外接圆，直径为OP=5, 外接圆面积为45π]三.解答题:16. （华南师大附中2007—2008学年度高三综合测试）已知与曲线轴分别交相线的直线x l y x y x C 0122:22=+--+、y 轴于)0,(a A 、O b a b B ),2,2(),0(>>两点为原点。

《弧度制》教学设计一、【内容解读与教学定位】《弧度制》是高中数学苏教版数学必修4中§1.1.2的课程内容，其引入了一种新的角的度量方法弧度制，承接于《任意角的概念》，为扩充后的角度提供了一个更为方便的表示方法，同时也为后面的三角函数的知识打下基础，具有重要的战略意义。

同时建立了角的集合和实数集的一一对应关系，发展学生数学抽象和直观想象素养，学会用数学思维分析问题，发展逻辑推理和数学运算素养。

二、【学生学情分析】1、学生的知识储备是角度制，刚刚学完角度的扩充，对于角度的范围有了新的认识，并且对于角度制有很好的理解和记忆，那我们现在要引入弧度制，那么就需要让学生理解为什么要引入弧度制，非常的必要，不然从感情上学生就不会接受弧度制，因为这是一个外来者，首要必须解决“为什么”的问题。

2、学生普遍缺乏创造性思维，希望他们理解弧度制不是与生俱来的，是被人创造出来的，让他们自己去探索弧度制的发现过程，可以更好得理解弧度制的概念，也就是弧度制“是什么”。

3、学生对于新事物的接受，理解和熟练需要时间，所以这里需要帮助他们解决弧度与角度的转化问题，也就是“如何化”，以及弧度制“怎么用”的问题。

三、【学习目标与教学重、难点】1、知识目标：(1)“为什么”——为什么要引入弧度制，理解引入弧度制的必要性；(2)“是什么”——弧度是什么，理解弧度的定义；(3)“如何化”——如何进行弧度与角度的转化，掌握弧度与角度之间的相互转化；（4）“怎么用”——如何使用弧度制，学会使用弧度制下的新的弧长与扇形面积公式解题。

2、能力目标：让学生经历一个新事物从思考到提出的过程和其意义，培养学生的创新意识，只有创新才是进步的源动力。

【教学重点】：.理解弧度“是什么”；学会弧度与角度之间“如何化”；学会新的弧度制来计算弦长和面积“怎么用”。

【教学难点】：.理解“为什么”要引入弧度制；理解弧度“是什么”。

四、【教学策略分析】本节课围绕在学情分析中的4个问题来进行策略分析：1、“为什么”（为什么要引入弧度制？）学生对于角度制的熟悉程度是非常之深，熟悉的事物总是会有感情，对于新的弧度制一定会有一些排斥。

第3讲 圆的方程★知识梳理★1. 圆的标准方程与一般方程①圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-，其中圆心为),(b a ,半径为r ； ②圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆心坐标(,)22D E --，半径为2422F E D -+。

方程表示圆的充要条件是2240D E F +->2.以),(),(2211y x B y x A 、为直径端点的圆方程为0))(())((2121=--+--y y y y x x x x3. 若圆222)()(r b y a x =-+-与x 轴相切，则r b =||;若圆222)()(r b y a x =-+-与y 轴相切，则r a =||4. 若圆220x y Dx Ey F ++++=关于x 轴对称，则0=E ； 若圆220x y Dx Ey F ++++=关于y 轴对称，则0=D ；若圆220x y Dx Ey F ++++=关于x y =轴对称，则E D =； 5、点),(00y x M 与圆022=++++F Ey Dx y x 的位置关系：M 在圆内⇔0002020<++++F Ey Dx y xM 在圆上⇔0002020=++++F Ey Dx y xM 在圆外⇔0002020>++++F Ey Dx y x★重难点突破★重点: 掌握确定圆的几何要素, 掌握圆的标准方程和圆的一般方程, 难点:根据已知条件,求圆的方程重难点:围绕圆的几何性质进行合理转化,运用方程思想列出关于参数：r b a 、、(或F E D 、、)得到方程组,进而求出圆的方程 1.充分利用圆的几何性质解题圆上的动点到已知直线（或点）的距离的最大值和最小值，转化为圆心到已知直线（或点）的距离来处理问题1：已知圆1)3()4(:22=-+-y x C 和点)0,1(),0,1(B A -，点P 在圆上，求PAB ∆面积的最小值点拔:圆心(4,3)到直线01:=--y x AB 的距离为2,P 到直线AB 的距离的最小值为12-，求PAB ∆面积的最小值为222)12(221-=-⨯⨯2.运用转化的思想处理圆的对称问题问题2:圆222)()(r b y a x =-+-关于直线0722=-+y x 对称，则=+b a 点拨：圆C 关于直线l 对称的实质是圆心C 在直线l 上，因此可将圆心坐标代入直线方程解决 解析：270722=+⇒=-+b a b a 问题3:圆122=+y x 关于直线01=-+y x 的对称圆的方程为点拨：两圆C 和'C 关于直线l 对称，可以转化为点对称问题（即圆心C 和'C 关于直线l 对称且半径相等），也可以用相关点法来处理，后一种方法更有推广价值解析：方法1：原点关于直线01=-+y x 的对称点为（1，1），所以圆122=+y x 关于直线01=-+y x 的对称圆的方程为1)1()1(22=-+-y x方法2：设)','('y x P 是圆122=+y x 上一动点，它关于直线01=-+y x 的对称点为),(y x P ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=-+++1)1(''012'2'x x y y y y x x ⎩⎨⎧-=-=⇒x y y x 1'1')','('y x P 在圆122=+y x ， 1)1()1(22=-+-∴y x圆122=+y x 关于直线01=-+y x 的对称圆的方程为1)1()1(22=-+-y x★热点考点题型探析★考点1 圆的方程题型1: 对圆的方程的认识[例1 ]设方程x 2+y 2－2(m+3)x+2(1－4m 2)y+16m 4+9=0。

5.1.2 弧度制（一节课）
③弧度与角度不能混用．即不能出现这样的形式:6
30π
+︒。

填写下列表中特殊角的弧度数或度数。

角度 00
300
600
1200 1350
2700
弧度
4π 2
π
6
5π
π
π
2
角的概念推广后，角与实数之间建立了一一对应关系，
任意角的集合 实数集R
三，达标检测
1．正确表示终边落在第一象限的角的范围的是( )
A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2(k ∈Z )
B ．⎝ ⎛
⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z ) C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z ) D ．⎣⎢⎡
⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )
2．与30°角终边相同的角的集合是( )
A
{α|α=k ∙360°+π
6,k ∈Z}
B
{α|α=2kπ+30°,k ∈Z }
C
{α|α=2k ∙360°+30°,k ∈Z }
D
{α|α=2kπ+π
6,k ∈Z}
3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( ) A ．403π B ．203π C ．2003π D ．400
3π
4．将－1 485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为．
四、小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
五、作业
1.当堂作业：课本 175 页练习，1,2 题。

2.必做部分作业：课本 P176 页， 5,6 题。

3.选择性作业：课本 P176 8 ,9题。

弧度制高中数学教案主题：弧度制教学目标：1. 了解弧度的定义和计算方法；2. 掌握弧度和角度之间的转换关系；3. 能够运用弧度制解决实际问题。

教学重点：弧度的定义、计算方法和角度与弧度的转换关系。

教学难点：弧度制在实际问题中的应用。

教学准备：教师准备黑板、彩色粉笔、教具等。

教学过程：一、导入（5分钟）教师向学生提出一个问题：“角度制是我们常用的计量角度的单位，那么在数学中还有一种计量角度的单位叫做什么呢？”引出弧度的概念。

二、讲解弧度的定义和计算方法（15分钟）1. 弧度的定义：假设在单位圆上取一长度为r的弧所对的圆心角θ，那么这个圆心角所对的弧长就是这个圆心角的弧度数。

一个完整的圆周对应的角度是360度，对应的弧度是2π弧度。

2. 弧度的计算方法：弧度数 = 弧长 / 半径三、讲解角度与弧度的转换关系（10分钟）1. 角度与弧度的换算公式：1° = π/180 弧度2. 举例说明如何将角度转换为弧度，如何将弧度转换为角度。

四、练习与讨论（15分钟）让学生做几道练习题，巩固所学的知识，并带领学生讨论习题解法。

五、应用（10分钟）通过实际问题，引导学生运用弧度制解决实际问题，训练学生的应用能力。

六、小结（5分钟）回顾本节课所学内容，让学生总结弧度制的重点和难点。

七、作业布置（5分钟）布置相应的作业，以巩固所学内容。

拓展延伸：学生可以通过实际生活中的实际问题来练习弧度制的应用，如摆锤摆动问题、圆周运动问题等。

教学反思：通过引入弧度制这一新概念，激发学生的学习兴趣和求知欲。

同时，通过实际问题的运用，帮助学生更好地理解和掌握弧度的定义和计算方法。

第九章综合检测 解析几何初步一.选择题: （以下题目从4项答案中选出一项，每小题5分，共40分）1. 原点在直线l 上的射影是P (－2，1)，则直线l 的方程是（ ）A ．x ＋2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x －y ＋5＝0D ．2x ＋y ＋3＝0[解析] C ．[221,=∴-=⊥l OP k k l OP ]2. 已知点的集合),,{(z y x A =},0|||||R z a y a x ∈=-+-，则，A ．A 中的每个点到x 轴的距离相等B ．A 中的每个点到y 轴的距离相等C ．A 中的每个点到z 轴的距离相等D ．A 中的每个点到xoy 平面的距离相等 [解析] C ．[点集A 是一条平行于z 轴的直线]3. 若直线02=++m y x 按向量)2,1(--=a 平移后与042:22=-++y x y x C 相切，则实数m 的值等于A 3或13B 3或-13C 或7D -3或-13[解析]D.[直线02=++m y x 按向量)2,1(--=a 平移后，方程为052=+++m y x=⇒=+∴m m 55|8|-3或-13] 4. (山东省济南市2008年2月高三统一考试)已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x 及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a 等于（ ）A ．2 B.32- C.12-± D.12+[解析] C[易知圆心C(a,2)到直线的距离为1，12|32|=+-∴a ，12-±=∴a ] 5. 若直线x k y l )1(2:1-=-和直线2l 关于直线1+=x y 对称，那么直线2l 恒过定点 A ．（2，0） B ．（1，－1） C ．（1，1） D ．（－2，0）[解析] C[直线1l 经过定点)2,0(P ，)2,0(P 关于直线1+=x y 的对称点为（1，1），直线2l 恒过定点（1，1）]6. 已知过点)1,1(P 作直线l 与两坐标轴正半轴相交，所围成的三角形面积为2，则这样的直线l 有A ． 1条B ．2条C ．3条D ．0条[解析]A.[设直线l 的方程为1=+b y a x ,则⎩⎨⎧==+4ab ab b a ,b a ,∴ 是方程0442=+-x x 的根,只有一解2==b a ] 7. 已知半径为1的动圆与圆（x-5）2+(y+7)2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）A （x-5）2+(y+7)2=25B （x-5）2+(y+7) 2=17 或（x-5）2+(y+7)2=15C （x-5）2+(y+7)2=9D （x-5）2+(y+7) 2=25 或（x-5）2+(y+7)2=9[解析] D[分内切和外切两种情况]；8. 直线0)1()1(=+++y b x a 与圆222=+y x 的位置关系是 ( )A.相离B.相切C.相交或相切D.不能确定[解析] D[圆心O 到直线0)1()1(=+++y b x a 的距离22||b a b a d ++=，b a ab b a b a ,2)()(222∴=+-+ 同号时1||22>++=b a b a d ； 0=ab 时，1||22=++=b a b a d ；b a ,异号时，1||22<++=b a b a d ，]二.填空题: （本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分）9. 已知两点(2,0),(0,2)A B -，点C 是圆2220x y x +-=上任意一点，则ABC ∆面积的最大值是 .解析：23+.[直线AB 的方程为2+=x y ，圆心到直线AB 的距离为223，C 到直线AB 的距离的最大值为2223+， ABC ∆面积的最大值是 23+] 10. 点(4,a )在两条平行线033,063=++=-+y x y x 之间,则a 的取值范围是[解析])6,15(--[直线4=x 与两条平行线033,063=++=-+y x y x 分别交于点)15,4(),6,4(--,615-<<-∴a ]11. 已知圆16)4()7(22=++-y x 与圆16)6()5(22=-++y x 关于直线l 对称 ，则直线l的方程是 .[解析] 0156=--y x [依题意得，两圆的圆心)4,7(-A 与)6,5(-B 关于直线l 对称，故直线l 是线段AB 的垂直平分线，直线l 的方程为0156=--y x ].12. 已知0232=-+y x ，则22y x +的最小值为[解析]134[22y x +的最小值是原点到直线0232=-+y x 的距离的平方，134)132(222==+∴y x ] 13. 一条光线从点)3,2(P 射出，经x 轴反射，与圆1)2()3(22=-++y x 相切，则反射光线所在直线的方程是 .[解析] 0134=++y x 或0643=++y x[依题意得，点P 关于x 轴的对称点)3,2('-P 在反射光线所在的直线上，故可设反射光线所在直线的方程为)2(3-=+x k y ，即032=---k y kx .由反射光线与圆相切得11552=++k k ，解得34-=k 或43-=k ，∴反射光线所在直线的方程是)2(343--=+x y 或)2(433--=+x y ，即0134=++y x 或0643=++y x ] 14. 若圆042222=-+-+m mx y x 与圆08442222=-+-++m my x y x 相切，则实数m 的取值集合是 .[解析] }2,0,25,512{-- [∵圆4)(22=+-y m x 的圆心为)0,(1m O ，半径21=r ，圆9)2()1(22=-++m y x 的圆心为)2,1(2m O -，半径32=r ，且两圆相切，∴2121r r O O +=或1221r r O O -=，∴5)2()1(22=++m m 或1)2()1(22=++m m ，解得512-=m 或2=m ，或0=m 或25-=m ，∴实数m 的取值集合是}2,0,25,512{--] 15.过点)2,1(P 向圆)5(222<=+r r y x 引两条切线PB PA ,,B A ,为切点,则三角形PAB的外接圆面积为[解析]45π[OA PA ⊥ ,OB PB ⊥,故O 、A 、B 、P 四点共圆，所以三角形PAB 的外接圆就是四边形OAPB 的外接圆，直径为OP=5, 外接圆面积为45π] 三.解答题:16. （华南师大附中2007—2008学年度高三综合测试）已知与曲线轴分别交相线的直线x l y x y x C 0122:22=+--+、y 轴于)0,(a A 、O b a b B ),2,2(),0(>>两点为原点。

人教版高中数学弧度制教案
教学内容：弧度制
教学目标：
1. 理解弧度制的概念及与角度制的转换关系；
2. 掌握弧度制的计算方法；
3. 能够运用弧度制解决相关问题。

教学重点：
1. 弧度制的概念及运用；
2. 弧度制和角度制的转换。

教学难点：
1. 弧度制与角度制的转换；
2. 弧度制的计算方法。

教学过程：
一、导入新知识（5分钟）
教师引导学生回顾角度制的概念及计算方法，并提出弧度制的定义。

二、讲解弧度制的概念及计算方法（15分钟）
1. 教师讲解弧度制的定义及计算方法，强调弧度制的优势和应用范围；
2. 带领学生进行弧度制与角度制的转换练习，并解释计算过程。

三、练习与讨论（20分钟）
1. 学生自主练习弧度制计算方法，并相互讨论解题思路；
2. 教师布置相关练习题，让学生在课后进行巩固练习。

四、检测与总结（10分钟）
1. 教师让学生进行弧度制的应用题练习，并及时纠正；
2. 学生合作讨论，总结本节课的知识点，提出问题并解决。

五、作业布置（5分钟）
布置相关作业，要求学生巩固掌握弧度制的概念和计算方法。

教学反思：
本节课主要围绕弧度制展开教学，通过讲解、练习和讨论，让学生充分理解弧度制的概念和计算方法，提高学生的数学运算能力和分析问题的能力。

在课后作业中，学生可以继续巩固弧度制的知识，提高解题的能力和速度。

第1课时 任意角、弧度制及任意角的三角函数1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．『梳理自测』一、任意角1．若α＝k·180°＋45°(k ∈Z)，则α在( ) A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限 D ．第三或第四象限2．(教材改编)下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z)B ．k ·360°＋94π(k ∈Z)C ．k ·360°－315°(k ∈Z)D ．k π＋5π4(k ∈Z)『答案』1.A 2.C◆以上题目主要考查了以下内容：二、弧度制1．圆中等于半径长的弦所对的圆心角的弧度数为________．2．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________． 『答案』1.π32.4 6π◆以上题目主要考查了以下内容：(1)定义：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧长公式：l ＝|α|r ；③扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2．三、任意角的三角函数1．已知角α的终边上一点A (2，2)，则α的大小为( ) A.π4 B.π6C ．k ·360°＋45°，k ∈ZD ．k ·360°＋30°，k ∈Z 2．已知角α的终边过点P (－1，2)，则sin α＝( ) A.55 B.255C ．－55 D ．－2553．若点P 在角2π3的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标是________．『答案』1.C 2.B 3.(－1，3) ◆以上题目主要考查了以下内容：(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．『指点迷津』1．一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP |＝r 一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 3．三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用，不可写α＝2k π＋60°，k ∈Z.(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题． 4．四个公式(1)与α终边相同的角度公式 (2)角的弧度数(弧长公式) (3)扇形面积公式 (4)三角函数定义公式考向一 象限角及终边相同的角(1)如果α是第三象限的角，那么－α，2α的终边落在何处？ (2)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合．『审题视点』 利用象限角及终边相同的角的表示方法求角．『典例精讲』 (1)由α是第三象限的角得π＋2k π＜α＜3π2＋2k π⇒－3π2－2k π＜－α＜－π－2k π，即π2＋2k π＜－α＜π＋2k π(k ∈Z)．∴角－α的终边在第二象限； 由π＋2k π＜α＜3π2＋2k π得2π＋4k π＜2α＜3π＋4k π(k ∈Z)．∴角2α的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴． (2)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为 {α|α＝π3＋k π，k ∈Z}．『类题通法』 (1)利用终边相同的角的集合S ＝{β|β＝2k π＋α，k ∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成『0，2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．1．若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在『0，2π)内终边与θ3角的终边相同的角．『答案』∵θ＝6π7＋2k π(k ∈Z)，∴θ3＝2π7＋2k π3(k ∈Z)．依题意0≤2π7＋2k π3＜2π⇒－37≤k ＜187，k ∈Z.∴k ＝0，1，2，即在『0，2π)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π21.考向二 三角函数的定义(1)(2014·大庆模拟)已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π3B.2π3 C.5π6 D.11π6(2)若角θ的终边在直线y ＝2x 上(x ≠0)，求cos 2θ的值． 『审题视点』 (1)|OP |＝1，P 点在第四象限． (2)设θ终边上点M (t ，2t )，求cos θ.『典例精讲』 (1)由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z)，所以α的最小正值为11π6.故选D.(2)设P (t ，2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点， 则cos θ＝t5|t |. 当t ＞0时，cos θ＝55； 当t ＜0时，cos θ＝－55. 因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.『类题通法』 1.三角函数定义的理解在直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是角α终边上任意一点，且|PO |＝r ，则sin α＝yr ；cosα＝x r ；tan α＝y x.2．定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．2．角α终边上一点P (4m ，－3m )(m ≠0)，则2sin α＋cos α的值为________． 『答案』由题意，有x ＝4m ，y ＝－3m ， 所以r ＝（4m ）2＋（－3m ）2＝5|m |. ①当m ＞0时，r ＝5m ，sin α＝－35，cos α＝45，则2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25.②当m ＜0时，r ＝－5m ，sin α＝35，cos α＝－45，则2sin α＋cos α＝65－45＝25.『答案』±25考向三 扇形的弧长及面积公式已知一扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 『审题视点』 (1)把α换成弧度制，直接用公式l ＝|α|R . (2)用R 表示S ，求其最大值，再求l 和α. 『典例精讲』 (1)α＝60°＝π3 rad ，∴l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)．(2)由题意得l ＋2R ＝20， ∴l ＝20－2R (0＜R ＜10)． ∴S 扇＝12l ·R ＝12(20－2R )·R＝(10－R )·R ＝－R 2＋10R .∴当且仅当R ＝5时，S 有最大值25. 此时l ＝20－2×5＝10，α＝l R ＝105＝2 rad.∴当α＝2 rad 时，扇形面积取最大值．『类题通法』 (1)引进弧度制后，实现了角度与弧度的相互转化，在弧度制下可以应用弧长公式：l ＝r |α|，扇形面积公式：S ＝12lr ＝12r 2|α|，求弧长和扇形的面积．(2)应用上述公式时，要先把角统一用弧度制表示．利用弧度制比角度制解题更为简捷、方便．3．扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦AB 的长． 『答案』设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，圆心角的弧度数为α，则有⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝412lr ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1l ＝2，由|α|＝lr 得α＝2，∴|AB |＝2sin 1(cm)．∴弦长AB 为2sin 1(cm)．考向四 三角函数线的应用在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32；(2)cos α≤－12. 『审题视点』 作出满足sin α＝32，cos α＝－12的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围．『典例精讲』 (1)作直线y ＝32交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋23π，k ∈Z . (2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .『类题通法』 利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤： ①用边界值定出角的终边位置； ②根据不等式(组)定出角的范围； ③求交集，找单位圆中公共的部分； ④写出角的表达式．4．(2014·合肥调研)函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________． 『解析』∵3－4sin 2x ＞0， ∴sin 2x ＜34，∴－32＜sin x ＜32. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z)． 『答案』⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z)『对应学生用书P47』错用三角函数的定义(2014·天津模拟)已知角θ的终边上一点P (3a ，4a )(a ≠0)，则sin θ＝________． 『正解』 ∵x ＝3a ，y ＝4a ，∴r ＝（3a ）2＋（4a ）2＝5|a |. (1)当a ＞0时，r ＝5a ，∴sin θ＝y r ＝45.(2)当a ＜0时，r ＝－5a ，∴sin θ＝y r ＝－45.∴sin θ＝±45.『答案』 ±45『易错点』 (1)角的终边是一条射线，而不是直线．该题中，我们只能确定角的终边所在直线．(2)由终边上一点求三角函数时，由于没有考虑参数的取值情况，从而求出r ＝（3a ）2＋（4a ）2＝25a 2＝5a ，结果得到下列错误的解法：sin θ＝y r ＝45.『警示』 (1)区分两种三角函数定义如果是在单位圆中定义任意角的三角函数，设角α的终边与单位圆的交点坐标为(x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，但如果不是在单位圆中，设角α的终边经过点P (x ，y )，|OP |＝r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx.(2)明确三角函数的定义与角的终边所在的象限位置的关系．1．(2013·高考江西卷)如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t ＝0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t (0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f (t )的图象大致为( )『解析』选B.通过圆心角α将弧长x 与时间t 联系起来． 圆半径为1，设弧长x 所对的圆心角为α，则α＝x ，如图所示，cosα2＝1－t ，即cos x 2＝1－t ，则y ＝cos x ＝2cos 2x2－1＝2(1－t )2－1＝2(t －1)2－1(0≤t ≤1)．其图象为开口向上，在『0，1』上的一段抛物线．2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45『答案』选B.取终边上一点(a ，2a )，a ≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.3．(2013·高考福建卷)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x ＜0，－tan x ，0≤x ＜π2，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫π4＝________． 『解析』分步求函数值，先内后外． ∵π4∈⎣⎡⎭⎫0，π2， ∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝－tan π4＝－1，∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫π4＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2. 『答案』－24．(2012·高考山东卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP →的坐标为________．『解析』如图，连AP ，分别过P ，A 作PC ，AB 垂直x 轴于C ，B 点，过A 作AD ⊥PC 于D 点．由题意知BP ︵的长为2.∵圆半径为1，∴∠BAP ＝2，故∠DAP ＝2－π2.∴DP ＝AP·sin ⎝⎛⎭⎫2－π2＝－cos 2， ∴PC ＝1－cos 2，DA ＝AP cos ⎝⎛⎭⎫2－π2＝sin 2， ∴OC ＝2－sin 2.故OP →＝(2－sin 2，1－cos 2)．『答案』(2－sin 2，1－cos 2)。

[新高考全案]2009-2010 年高考数学Ι轮精品教案及其
练习精析《导
第2 讲导数在研究函数中的应用
★知识梳理★
1. 函数的单调性与导数的关系
一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间内，如果，那幺函数在这个区间内；如果，那幺函数在这个区间内.
解析：单调递增；单调递减
2. 判别f(x0)是极大、极小值的方法
若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足”左正右负”，则是的，是极大值；如果在两侧满足”左负右正”，则是的极小值点，是
解析：极大值点；极小值.
3．解题规律技巧妙法总结: 求函数的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x).
(2)求方程f′(x)=0的根.
(3)用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查
f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那幺f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那幺f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那幺f(x)在这个根处无极值.
4．求函数最值的步骤：（1）求出在上的极值.（2）求出端点函数值.。

【第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数】之小船创作1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：3.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sin αx叫做α的余弦，记作cosαyx叫做α的正切，记作tan α一＋＋＋各象限符号二＋－－三－－＋四－＋－三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线1．(2019·海门一中月考)若角α满足α＝45°＋k·180°，k∈Z，则角α的终边落在第________象限．答案：一、三2．(2018·南京调研)已知角α的终边过点P(－5,12)，则cos α＝________.答案：－5 133．已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为________．答案：1.21．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．4．三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx.[小题纠偏]1．(2019·如皋模拟)－10π3为第________象限角．答案：二2．若角α终边上有一点P(x,5)，且cos α＝x13(x≠0)，则sin α＝________.答案：5 13考点一角的集合表示及象限角的判定基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2019·海安模拟)若α是第二象限角，则α2是第______象限角．解析：∵α是第二象限角，∴π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∴π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为奇数时，α2是第三象限角．故α2是第一或三象限角．答案：一或三2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°＜0°，得－765°≤k×360°＜－45°，解得－765360≤k＜－45360， 从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.答案：－675°或－315°3．终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________．解析：如图，在平面直角坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－5π3，－2π3，π3，4π3. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－5π3，－2π3，π3，4π3 4．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．解析：由角α是第三象限角，知2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z)，则k π＋π2＜α2＜k π＋3π4(k ∈Z)，故α2是第二或第四象限角．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，知sinα2＜0，所以α2只能是第四象限角．答案：四[谨记通法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；(4)求并集化简集合．2．确定kα，αk(k ∈N *)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；(2)再写出kα或αk的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在位置．考点二 扇形的弧长及面积基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2019·盐城模拟)在半径为1的圆中，3弧度的圆心角所对的弧长为________．解析：在半径为1的圆中，3弧度的圆心角所对的弧长l ＝|α|r ＝3×1＝3.答案：32．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解析：设此扇形的半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.答案：1或43．如果一个扇形的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．解析：设圆的半径为r ，弧长为l ，则其弧度数为lr.将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l12r＝3·lr，即弧度数变为原来的3倍．答案：3[谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝12lr＝12|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．考点三三角函数的定义题点多变型考点——多角探明[锁定考向]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．常见的命题角度有：(1)三角函数定义的应用；(2)三角函数值的符号判定； (3)三角函数线的应用．[题点全练]角度一：三角函数定义的应用1．(2019·淮安调研)已知角α的终边经过点(4，a )，若sin α＝35，则实数a 的值为________．解析：∵角α的终边经过点(4，a )，∴sin α＝35＝a16＋a2，解得a ＝3. 答案：32．已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.解析：因为角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，所以cos α＝－x x 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，所以P ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－52，－6， 所以sin α＝－1213，所以tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.答案：－23角度二：三角函数值的符号判定3．若sin αtan α＜0，且cos αtan α＜0，则点(cos α，－sin α)在第________象限．解析：由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号， 则α为第二或第三象限角．由cos αtan α＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角． 故α为第三象限角，所以cos α＜0，－sin α＞0.故点(cos α，－sin α)在第二象限． 答案：二角度三：三角函数线的应用4．(2018·汇龙中学测试)设MP和OM分别是角17π18的正弦线和余弦线，给出以下不等式：①MP＜OM＜0；②OM＜0＜MP；③OM＜MP＜0；④MP＜0＜OM.其中正确的是________(填序号)．解析：因为sin 17π18＝MP＞0，cos17π18＝OM＜0，所以OM＜0＜MP.答案：②[通法在握]定义法求三角函数的3种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[演练冲关]1．(2019·无锡调研)如图，已知点A 为单位圆上一点，∠xOA ＝π4，将点A 沿逆时针方向旋转角α到点B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫35，45，则sin 2α＝________.解析：由题意可得，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π4， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α－1 ＝2×925－1＝－725，即－sin 2α＝－725，∴sin 2α＝725. 答案：7252．(2018·扬州调研)在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，点A 的坐标为(3，－1)，将OA 绕O 逆时针旋转450°到点B ，则点B 的坐标为________．解析：设B (x ，y )，由题意知OA ＝OB ＝2，∠BOx ＝60°，且点B 在第一象限，所以x ＝2cos 60°＝1，y ＝2sin 60°＝3，所以点B 的坐标为(1，3)．答案：(1，3)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·如东模拟)与－600°终边相同的最小正角的弧度数是________．解析：－600°＝－720°＋120°，与－600°终边相同的最小正角是120°，120°＝2π3.答案：2π32．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0＜α＜π)的弧度数为________．解析：设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，所以α＝ 3.答案：33．(2019·苏州期中)已知扇形的圆心角为θ，其弧长是其半径的2倍，则sin θ|sin θ|＋|cos θ|cos θ＋|tan θ|tan θ＝________.解析：圆心角θ＝l r ＝2，∵π2＜2＜π，∴sin θ＞0，cos θ＜0，tan θ＜0，∴sin θ|sin θ|＋|cos θ|cos θ＋|tan θ|tan θ＝1－1－1＝－1.答案：－14．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y＝________.解析：因为sin θ＝y42＋y2＝－255，所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.答案：－85．已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sinα＝2m4，则m＝________.解析：由题设知点P的横坐标x＝－3，纵坐标y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－3)2＋m2(O为原点)，即r＝3＋m2.所以sin α＝mr＝2m4＝m22，所以r＝3＋m2＝22，即3＋m2＝8，解得m＝± 5.答案：±56．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＝k ·π2，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＝k π±π2，k ∈Z ，则M ，N 之间的关系为 ________.解析：k π±π2＝(2k ±1)·π2是π2的奇数倍，所以N ⊆M .答案：N ⊆M二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·常州调研)若扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，则该扇形圆心角的弧度数为________．解析：设该扇形圆心角的弧度数是α，半径为r ， 根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝4，12α·r 2＝1，解得α＝2，r ＝1.故该扇形圆心角的弧度数为2. 答案：22．(2018·黄桥中学检测)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan 2α＝________.解析：由三角函数的定义可得cos α＝x x 2＋42.因为cosα＝15x ，所以x x 2＋42＝15x ，又α是第二象限角，所以x ＜0，解得x ＝－3，所以cos α＝－35，sin α＝1－cos 2α＝45，所以 tan α＝sin αcos α＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247.答案：2473．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α＝________.解析：因为r ＝2sin 22＋－2cos 22＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝yr＝－cos 2.答案：－cos 24．已知角2α的终边落在x 轴上方，那么α是第________象限角．解析：由题知2k π＜2α＜π＋2k π，k ∈Z ，所以k π＜α＜π2＋k π，k ∈Z.当k 为偶数时，α是第一象限角；当k 为奇数时，α为第三象限角，所以α为第一或第三象限角．答案：一或三5．与2 017°的终边相同，且在0°～360°内的角是________．解析：因为2 017°＝217°＋5×360°，所以在0°～360°内终边与2 017°的终边相同的角是217°.答案：217°6．(2019·淮安调研)已知α为第一象限角，sin α＝35，则cos α＝________.解析：∵α为第一象限角，sin α＝35，∴cos α＝1－sin2α＝1－925＝4 5.答案：4 57．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2r 32πr 2＝527，所以α＝5π6. 所以扇形的弧长与圆周长之比为l c ＝5π6·23r 2πr ＝518.答案：5188．在(0,2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围为_____________．解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4，5π4. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4，5π4 9．(2019·镇江中学高三学情调研)点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按顺时针方向运动π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．解析：由题意可得点Q 的横坐标为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π3＝12，Q 的纵坐标为sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π3＝－sin π3 ＝－32，故点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，－32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－32 10．已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．解：设α终边上任一点为P (k ，－3k )， 则r ＝k 2＋－32＝10|k |.当k ＞0时，r ＝10k ，所以sin α＝－3k 10k ＝－310，1cos α＝10 kk ＝10，所以10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k ＜0时，r ＝－10k ，所以sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10kk ＝－10，所以10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.11．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，所以α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)法一：因为2r ＋l ＝8，所以S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫822＝4， 当且仅当2r ＝l ，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4.所以圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二：因为2r ＋l ＝8，所以S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝l r＝2时，扇形面积取得最大值4.所以弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP―→的坐标为________．解析：如图，作C Q ∥x 轴，P Q ⊥C Q ，Q 为垂足．根据题意得劣弧D P ＝2，故∠DCP ＝2弧度，则在△PC Q 中，∠PC Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－π2弧度，C Q ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－π2＝sin 2，P Q ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－π2＝－cos 2，所以P 点的横坐标为2－C Q ＝2－sin 2，P 点的纵坐标为1＋P Q ＝1－cos2，所以P 点的坐标为(2－sin 2，1－cos 2)，此即为向量OP―→的坐标．答案：(2－sin 2,1－cos 2)2．已知sin α＜0，tan α＞0.(1)求α角的集合；(2)求α2终边所在的象限； (3)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号． 解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为⎩⎪⎨⎪⎧ α⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ， 故α2终边在第二、四象限．(3)当α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2 sin α2 cos α2取正号；当α2在第四象限时， tan α2＜0，sin α2＜0, cos α2＞0， 所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．。

新高考全案20092010年高考数学Ι轮精品教案及其练习精析对数及对数函数第2讲 对数及对数函数 ★知识梳理 对数的概念如果ab=N （a ＞0，a≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作logaN=bab=N logaN=b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）. 二、对数的运算性质loga （MN ）－logaN.＞0，a ≠1） a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，四、对数函数的图像及性质①函数y=logax （a ＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，图像如下yOxy<a <y = l o g x a111()) ②对数函数的性质：定义域：（0，+∞）； 值域：R ； 过点（1，0），即当x=1时，y=0. 当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数。

五、对数函数与指数函数的关系对数函数log ay x =与指数函数xy a =互为反函数，它们的图像关于直线y=x 对称.。

★重、难点突破重点：掌握对数的运算性质及对数函数的图像与性质。

难点：综合运用对数函数的图像与性质解决问题。

重难点：1．对数函数性质的拓展 （Ⅰ）同底数的两个对数值)(log x f a与)1,0)((log≠>a a x g a的大小比较若0)(,0)(,1>>>x g x f a ，则0)()()(log )(log >>⇔>x g x f x g x f a a若)(,0)(,10>><<x g x f a ，则)()(0)(log )(log x g x f x g x f a a <<⇔< （Ⅱ）同真数的对数值大小关系如图 对应关系为（1）x y alog =，（2）x y blog =，（3）x y clog =，（4）x y dlog =则作直线1=y 得b a d c <<<<<10即图象在x 轴上方的部分自左向右底数逐渐增大2．常见对数方程或对数不等式的解法 （1）形如)1,0)((log )(log ≠>=a a x g x f a a转为)()(x g x f =，但要注意验根 对于)(log )(logx g x f a a>，则当1>a 时，得⎩⎨⎧>>)()(0)(x g x f x g ；当10<<a 时，得⎩⎨⎧<>)()(0)(x g x f x f（2）形如0)(log =x F a或)0)(log (0)(log<>x F x F a a的方程或不等式，一般用换元法求解。

1.1.2 弧度制教案一：知识准备长度的度量：长度可以用米、厘米、英尺、码等不同的单位度量.重量的度量：物体的重量可以用千克、磅等不同的单位度量.（不同的单位制能给解决问题带来方便。

）角度的度量2、思考：同学们以前学过哪些度量角度的方法？（角度制）●用度作为单位来度量角的单位制，称为角度制。

（单位：度，记作“0”）●在平面几何当中：周角（3600） 10的角等于周角的。

为了研究学习的需要，我们除了角度制外，还要学习新的度量角的单位制.弧度制二：学习目标◆理解并掌握弧度制的定义；◆理解1弧度的定义；◆熟练的进行弧度与角度的互化。

三：自主学习请同学们自主学习课本P6、P7、P8，并回答以下问题：1、什么是弧度制？2、弧度制的单位是什么？3、弧度数有无正负之分?4、1弧度的角是多少？5、弧度和角度如何进行互化？四：新知学习•1、什么是弧度制？用弧度做单位来度量角的单位制，称为弧度制。

•2、弧度制的单位是，记作，读作 .（单位可以省略不写）•3、弧度数有无正负之分?☐正角的弧度数是一个正数，☐负角的弧度数是一个负数，☐零角的弧度数为0.☐4、1弧度的角是多少？把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

如右图所示：圆O的半径为r，弧AB =r，那么，就是1弧度的角。

如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是：（注意： α 的正负由角α 的终边旋转方向决定。

）（α 代表圆心角的弧度，l 代表圆心角所对的弧长，r 代表半径。

）3、弧度和角度如何进行互化？• 周角的度数是3600，• 周角所对的弧长是：• 周角的弧度是所以3600 =角度和弧度的换算：练一练：• 猜一猜2 rad=（ ）0 - rad=（ ）01 rad=（ ）0 -2 rad=（ ）001180rad π=01801rad π⎛⎫= ⎪⎝⎭五：例题练习•课本P7 例1把67°30′化成弧度六：随堂练习1、把下列角度化成弧度（课本P9）① 22°30′② -210°③ 1200°2、已知半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，求该弧所对的圆心角（正角）的弧度数。

弧度制（一）教学设计教学目标： 1、知识目标1）理解1弧度的角的意义。

2）理解弧度制的定义，建立弧度制的概念。

2、能力目标1）掌握角度制与弧度制的换算公式并能熟练地进行角度制与弧度制的换算。

2）牢记特殊角的弧度数与角度数的互化。

3、情感目标通过弧度制一弧度角及弧度制定义的探索过程，培养学生主动探索、勇于发现的精神，渗透由特殊到一般的思想方法。

通过弧度制与角度制之间的联系及转化，渗透广泛联系，透过本质看问题的辨证唯物主义的思想。

教学重点：理解弧度的意义，正确进行弧度与角度的换算。

教学难点：弧度的概念，弧度制与角度制之间的关系。

教学方法：目标式教学．教学过程：（一） 情景设定：（1）由教师身高的度量单位引入新课.(2)初中几何研究过角的度量，当时是用度来做单位度量角的。

那么1的角是如何定义的？规定周角的1360做为1的角。

我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，有了它就可以计算弧长，公式为180n rl π=。

遵循四条原则： 以问题为载体； 以学生为主体； 以合作交流为手段； 以能力提高为目的。

重视四项过程： 概念的提取过程; 知识的形成过程; 解题的探索过程; 情感的体验过程。

角度制是度量角的一种单位制。

单位制这个概念我们并不陌生，比如说测量长度的单位制，古代常以人体的一部分作为长度的单位。

例如我国三国时期(公元三世纪初)王肃编的《孔子家语》一书中记载有：“布指知寸，布手知尺，舒肘知寻。

”两臂伸开长八尺，就是一寻。

还有记载说：“十尺为丈，人长八尺，故曰丈夫。

”可见，古时量物，寸与指、尺与手、寻与身有一一对应的关系。

现在国际上通用的是国际单位制中的“米制” ，米的标准长度，等于光在真空中在1/299792458秒的时间间隔内所传播路径的长度。

“米制”教之“尺、寸……”应用起来要方便得多。

在角度制下，当两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进制非十进制，总给我们带来不少困难。

弧度制【学习目标】1．了解角的另外一种度量方法——弧度制．2．能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算．【学习重难点】角度制和弧度制之间的换算．【学习过程】一、初试身手1．下列说法中，错误的说法是A．半圆所对的圆心角是π radB．周角的大小是2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度2．时针经过一小时，时针转过了A．错误!rad B．－错误!radC．错误!rad D．－错误!rad3．若θ＝－5，则角θ的终边在A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限4．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是A．1 B．4C．1或4D．2或4二、合作探究1．角度与弧度的互化【例1】设α1＝510°，α2＝－750°，β1＝错误!，β2＝－错误!（1）将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；（2）将β1，β2用角度表示出来，并在-360°～360°范围内找出与它们终边相同的所有的角．2．用弧度制表示终边相同的角【例2】（1）把－1 480°写成α＋2π∈Z的形式，其中0≤α<2π；（2）若β∈[－4π，0，且β与（1）中α终边相同，求β【学习小结】1．弧度制（1）弧度制的定义在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．它的单位符号是rad，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制．（2）角度制与弧度制的互化①弧度数ⅰ正角的弧度数是一个正数；ⅱ负角的弧度数是一个负数；ⅲ零角的弧度数是0；ⅳ弧度数与十进制实数间存在一一对应关系．②弧度数的计算|α|＝错误!如图：③角度制与弧度制的换算2．弧长公式与扇形面积公式已知r【精炼反馈】1．判断正确的打“√”，错误的打“×”（1）“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．（2）1度的角是周角的错误!，1弧度的角是周角的错误!（3）180°等于π弧度．2．－72°化为弧度是A．－错误!B．－错误!πC．－错误!D．－错误!3．－错误!π化为角度为________．4．设集合M＝错误!，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________5．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________．。