北师大版八年级下册1.4角平分线练习题( 无答案)

1.4角平分线巩固练习一、选择题1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积等于（）A．30 B．24 C．15 D．102．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（）A．OE是∠AOB的平分线B．OC＝ODC．点C、D到OE的距离不相等D．∠AOE＝∠BOE3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝2，AB＝8，则△ABD 的面积是（）A．6 B．8 C．10 D．124．如图，已知P是∠AOB的角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，点C是OB上的一个动点，若PC的最小值为3cm，则MD的长度为（）A．3cm B．3cm C．2cm D．2cm5．如图，已知△ABC的周长是20，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是（）A．20 B．25 C．30 D．356．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC＝6cm，则PD的长可以是（）A．7cm B．4cm C．5cm D．3cm7．如图，点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，则以下结论错误的是（）A．AD+BC＝AB B．∠AOB＝90°C．与∠CBO互余的角有2个D．点O是CD的中点8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题9．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为．10．如图，已知△ABC的周长是32，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝6，△ABC的面积是．11．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是．12．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A＝60°，则∠BOC＝．三、解答题13．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是28cm2，AB＝16cm，AC＝12cm，求DE的长．14．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，①请你判断并写出FE与FD之间的数量关系．②如果∠ACB不是直角，其他条件不变，①中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．15．如图，△ABC中，∠A＝60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．求证：GE＝GD．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF＝CE，求证：FK∥AB．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ABC的平分线交边AC于点D，延长BD至点E，且BD＝2DE，连接AE．（1）求线段CD的长；（2）求△ADE的面积．18．已知：△ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC．求证：AB＝AC．。

4 角平分线第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理1．下列各图中，OP 是∠MON 的平分线，点E ，F ，G 分别在射线OM ，ON ，OP 上，则可以解释定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是（ ）2．如图，点P 是∠AOB 的平分线上一点，PC ⊥OA 于点C ，PD ⊥OB 于点D ，连接CD 交OP 于点E ，下列结论不一定正确的是（ ）A ．PC ＝PDB ．OC ＝OD C ．OP 垂直平分CDD ．OE ＝CD第2题图 第3题图3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，DC ＝13AD ，BD 平分∠ABC ，则点D 到AB 的距离等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．如图，点P 是∠AOC 的平分线上一点，PD ⊥OA ，垂足为D ，且PD ＝3，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为 ．第4题图 第5题图5．如图，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC 于点E ，AB ＝7，DE ＝4，则△ABD 的面积为 ． 6．已知：如图所示，点O 在∠BAC 的平分线上，OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，DO ，EO 的延长线分别交AE ，AD 的延长线于点B ，C ，求证：OB ＝OC.7．如图，DA⊥AC，DE⊥BC.若AD＝5 cm，DE＝5 cm，∠ACD＝30°，则∠DCE＝（）A．30°B．40°C．50°D．60°8．如图，BE＝CF，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．9．已知D，E分别是△ABC中AB边，AC边上的一点，在△ABC内有一点O，使OE ＝OD，则AO平分∠CAB吗？解：AO平分∠CAB，理由如下：因为点O到∠CAB两边的距离相等，所以点O在∠CAB的平分线上．所以AO平分∠CAB.以上解法是否正确？若不正确，请说明理由，并写出正确的结论．10．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（）A．M点B．N点C．P点D．Q点第10题图第11题图11．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE ⊥AB，垂足为E.若DE＝1，则BC的长为（）A．2＋ 2 B.2＋3C．2＋ 3 D．312．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥BA于点E，AB＝6 cm，则△DEB的周长是cm.13．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM 平分∠BAD，DM平分∠ADC.(1)求证：AM⊥DM；(2)若BC＝8，求点M到AD的距离．14．已知：如图，锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，AC＝ 6.若点P是AD上一动点，且作PN⊥AC于点N，则PN＋PC2第2课时三角形三个内角的平分线1．到三角形三条边的距离相等的点是三角形________的交点（）A．三个内角平分线B．三边垂直平分线C．三条中线D．三条高线2．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，下面结论中正确的是（）A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2 D．∠1＝2∠2第2题图第3题图3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的三条内角平分线相交于点O，OM ⊥AB于点M.若OM＝4，S△ABC＝180，则△ABC的周长是．4．如图，在△ABC中，AB＋AC＝20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC 于点D，且OD＝3，求图中阴影部分的面积．5．如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边垂直平分线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点6．如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且相交于点F，则下列说法错误的是（）A．BF＝CFB．点F到∠BAC两边的距离相等C．CE＝BDD．点F到A，B，C三点的距离相等第7题图第8题图8．如图，l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A．1处B．2处C ．3处D ．4处9．如图，BD 垂直平分线段AC ，AE ⊥BC ，垂足为E ，交BD 于点P ，AE ＝7 cm ，AP ＝4 cm ，则点P 到直线AB 的距离是 ．10．如图，在△ABC 中，PD ⊥AC ，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，PD ＝PE ＝PF ，求证：∠BPC ＝90°＋12∠BAC.11．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 是Rt △ABC 的一条角平分线，点O ，E ，F 分别在BD ，BC ，AC 上，且四边形OECF 是正方形(四边相等，四个角都是直角)．(1)求证：点O 在∠BAC 的平分线上； (2)若AC ＝5，BC ＝12，求OE 的长．参考答案：第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理1．下列各图中，OP 是∠MON 的平分线，点E ，F ，G 分别在射线OM ，ON ，OP 上，则可以解释定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是(D)2．如图，点P 是∠AOB 的平分线上一点，PC ⊥OA 于点C ，PD ⊥OB 于点D ，连接CD 交OP 于点E ，下列结论不一定正确的是(D)A ．PC ＝PDB ．OC ＝OD C ．OP 垂直平分CDD ．OE ＝CD第2题图 第3题图3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，DC ＝13AD ，BD 平分∠ABC ，则点D 到AB 的距离等于(C)A ．4B ．3C ．2D ．14．如图，点P 是∠AOC 的平分线上一点，PD ⊥OA ，垂足为D ，且PD ＝3，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为3．第4题图 第5题图5．如图，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC 于点E ，AB ＝7，DE ＝4，则△ABD 的面积为14． 6．已知：如图所示，点O 在∠BAC 的平分线上，OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，DO ，EO 的延长线分别交AE ，AD 的延长线于点B ，C ，求证：OB ＝OC.证明：∵点O 在∠BAC 的平分线上，OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，∴OE ＝OD ，∠BEO ＝∠CDO ＝90°. 在△BEO 和△CDO 中，⎩⎨⎧∠BEO ＝∠CDO ，OE ＝OD ，∠EOB ＝∠DOC ，∴△BEO ≌△CDO(ASA)． ∴OB ＝OC.7．如图，DA ⊥AC ，DE ⊥BC.若AD ＝5 cm ，DE ＝5 cm ，∠ACD ＝30°，则∠DCE ＝(A)A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°8．如图，BE ＝CF ，DE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC ，求证：AD 是∠BAC 的平分线．证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴∠BED ＝∠DFC ＝90°.在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，⎩⎨⎧BE ＝CF ，DB ＝DC ，∴Rt △DEB ≌Rt △DFC(HL)． ∴DE ＝DF.∴AD 是∠BAC 的平分线．9．已知D ，E 分别是△ABC 中AB 边，AC 边上的一点，在△ABC 内有一点O ，使OE ＝OD ，则AO 平分∠CAB 吗？解：AO 平分∠CAB ，理由如下：因为点O 到∠CAB 两边的距离相等，所以点O 在∠CAB 的平分线上．所以AO 平分∠CAB.以上解法是否正确？若不正确，请说明理由，并写出正确的结论．解：不正确．以上解法忽视了OD ，OE 分别垂直于AB ，AC 的条件，故产生错误．正确的结论是“AO 不一定平分∠CAB ”．10．在正方形网格中，∠AOB 的位置如图所示，到∠AOB 两边距离相等的点应是(A) A ．M 点B ．N 点C ．P 点D ．Q 点第10题图 第11题图11．如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝45°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E.若DE ＝1，则BC 的长为(A)A ．2＋ 2 B.2＋3 C ．2＋ 3D ．312．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥BA 于点E ，AB ＝6 cm ，则△DEB 的周长是6cm.13．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ∥CD ，M 为BC 边上的一点，且AM 平分∠BAD ，DM 平分∠ADC.(1)求证：AM ⊥DM ；(2)若BC ＝8，求点M 到AD 的距离．解：(1)证明：∵AM 平分∠BAD ，DM 平分∠ADC ， ∴∠MAD ＝12∠BAD ，∠ADM ＝12∠ADC.∵AB ∥CD ，∴∠BAD ＋∠ADC ＝180°.∴∠MAD ＋∠ADM ＝12(∠BAD ＋∠ADC)＝90°.又∵∠AMD ＋∠MAD ＋∠ADM ＝180°， ∴∠AMD ＝90°. ∴AM ⊥DM.(2)过点M 作MN ⊥AD 于点N. ∵AB ∥CD ，∠B ＝90°，∴∠C ＝90°，即BM ⊥AB ，MC ⊥DC. 又∵AM ，DM 分别平分∠BAD ，∠ADC ， ∴BM ＝MN ，MN ＝MC. ∴MN ＝12BC ＝4.∴点M 到AD 的距离为4.14．已知：如图，锐角△ABC 的两条高BD ，CE 相交于点O ，且OB ＝OC. (1)求证：△ABC 是等腰三角形；(2)判断点O 是否在∠BAC 的平分线上，并说明理由．解：(1)证明：∵BD ，CE 是△ABC 的高， ∴∠BEC ＝∠CDB ＝90°. 又∵∠EOB ＝∠DOC ， ∴∠ABD ＝∠ACE. ∵OB ＝OC ， ∴∠OBC ＝∠OCB. ∴∠ABC ＝∠ACB. ∴AB ＝AC.∴△ABC 是等腰三角形． (2)点O 在∠BAC 的平分线上．理由：∵∠BEO ＝∠CDO ＝90°，∠BOE ＝∠COD ，OB ＝OC ， ∴△BOE ≌△COD(AAS)． ∴OE ＝OD.又∵OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，∴点O在∠BAC的平分线上．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，AC＝ 6.若点P是AD上一动点，且作PN⊥AC于点N，则PN＋PC2第2课时三角形三个内角的平分线1．到三角形三条边的距离相等的点是三角形________的交点(A)A．三个内角平分线B．三边垂直平分线C．三条中线D．三条高线2．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，下面结论中正确的是(B) A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2 D．∠1＝2∠2第2题图第3题图3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的三条内角平分线相交于点O，OM ⊥AB于点M.若OM＝4，S△ABC＝180，则△ABC的周长是90．4．如图，在△ABC中，AB＋AC＝20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC 于点D，且OD＝3，求图中阴影部分的面积．解：连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F.∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝3.同理可得OF＝OD＝3.∴S阴影＝S△AOB＋S△AOC＝12AB·OE＋12AC·OF＝12(AB＋AC)·OE＝12×20×3＝30.5．如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(C)A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边垂直平分线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点6．如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置．解：如图所示，分别作三角形绿地两个角的平分线交于点P，点P即为所求．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且相交于点F，则下列说法错误的是(D)A．BF＝CFB．点F到∠BAC两边的距离相等C．CE＝BDD．点F到A，B，C三点的距离相等第7题图第8题图8．如图，l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(D)A．1处B．2处C．3处D．4处9．如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点P，AE＝7 cm，AP ＝4 cm，则点P到直线AB的距离是3_cm．10．如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF，求证：∠BPC＝90°＋12∠BAC.证明：∵PD ⊥AC ，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，PD ＝PE ＝PF ，∴点P 是△ABC 三个内角平分线的交点．∴CP 平分∠ACB ，BP 平分∠ABC.∴∠PCB ＝12∠ACB ，∠PBC ＝12∠ABC. ∴∠BPC ＝180°－∠PCB －∠PBC＝180°－12∠ACB －12∠ABC ＝180°－12(∠ACB ＋∠ABC) ＝180°－12(180°－∠BAC) ＝90°＋12∠BAC. 11．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 是Rt △ABC 的一条角平分线，点O ，E ，F 分别在BD ，BC ，AC 上，且四边形OECF 是正方形(四边相等，四个角都是直角)．(1)求证：点O 在∠BAC 的平分线上；(2)若AC ＝5，BC ＝12，求OE 的长．解：(1)证明：过点O 作OM ⊥AB 于点M.∵BD 是△ABC 的一条角平分线，OM ⊥AB ，OE ⊥BC ，∴OE ＝OM.∵四边形OECF 是正方形，∴OE ＝OF ，OF ⊥AC.∴OM ＝OF.∴点O 在∠BAC 的平分线上．(2)∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，∴由勾股定理，得AB ＝13.易证BE ＝BM ，AM ＝AF.∵BE ＝BC －CE ，AF ＝AC －CF ，CE ＝CF ＝OE ，∴BE＝12－OE，AF＝5－OE.∵BM＋AM＝AB，∴BE＋AF＝13，即12－OE＋5－OE＝13.解得OE＝2，即OE的长为2.。

2020年北师大版八年级下册课时训练：1.4 《角平分线》一．选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝4，AB＝6，则S△ABD：S△ACD＝（）A．3：2B．2：3C．1：1D．4：32．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则点P、Q、M、N中在∠AOB的平分线上是（）A．P点B．Q点C．M点D．N点3．如图，P是△ABC的三条角平分线的交点，连接P A、PB、PC，若△P AB、△PBC、△P AC 的面积分别为S1、S2、S3，则S1（）S2+S3．A．＞B．＝C．＜D．无法确定4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC＝14，且AD：DC＝4：3，则点D到AB的距离DE是（）A．3B．4C．5D．65．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（）cm2．A．24B．27C．30D．336．如图，已知P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，若PC＝5，则PD的长为（）A．2B．3C．4D．57．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点E是射线OB上的一个动点，若PD＝3，则PE的最小值（）A．等于3B．大于3C．小于3D．无法确定8．如图所示，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC＝1000m，一个人从B处出发沿着BC行走了800m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为（）A．1000m B．800m C．200m D．1800m二．填空题9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，已知CD＝3，则D到AB的距离是．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为D，其中CE ＝4.5，AB＝10，那么△ABE的面积为．11．如图，已知△ABC的周长是8，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，∠1＝∠2，CB＝8，BD＝5．则点D 到AB的距离为．13．如图，OP是∠AOB的平分线，PM⊥OA于点M，PM＝3，点N是射线OB上的动点，则线段PN的最小值为．三．解答题14．小明采用如图所示的方法作∠AOB的平分线OC：将带刻度的直角尺DEMN按如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上并标记出点D的位置，量出OD 的长，再重新如图放置直角尺，在DN边上截取DP＝OD，过点P画射线OC，则OC平分∠AOB．请判断小明的做法是否可行？并说明理由．15．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF求证：AD平分∠BAC．16．如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．17．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，（1）若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BOC的度数；（2）若∠ABC＝60°，OB＝4，且△ABC的周长为16，求△ABC的面积．18．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E、D为垂足，CF＝CB．（1）求证：BE＝FD；（2）若AC＝10，AD＝8，求四边形ABCF的面积．参考答案一．选择题1．解：过点D作DE⊥AB于点E，如图所示.∵AD是∠BAC的平分线，∴DC＝DE．∵S△ABD＝AB•DE，S△ACD＝AC•DC，∴＝＝．故选：A．2．解：如图，C点到OA、OB的距离相等，所以OC平分∠AOB，所以Q在∠AOB的平分线．故选：B．3．解：过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，如图，∵P是△ABC的三条角平分线的交点，∴PD＝PE＝PF，∵S1＝•AB•PD，S2＝•BC•PF，S3＝•AC•PE，∴S2+S3＝•（AC+BC）•PD，∵AB＜AC+BC，∴S1＜S2+S3．故选：C．4．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝CD，∵AC＝14，且AD：DC＝4：3，∴DC＝14×＝6，∴DE＝CD＝6，即点D到AB的距离DE等于6，故选：D．5．解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝3，同理可得OF＝OD＝3，∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC＝（AB+BC+AC），∵△ABC的周长是18，∴S△ABC＝×18＝27（cm2）．故选：B．6．解：∵P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC＝PD＝5，故选：D．7．解：过P点作PH⊥OB于H，如图，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB于H，∴PH＝PD＝3，∵点E是射线OB上的一个动点，∴点E与H点重合时，PE有最小值，最小值为3．故选：A．8．解：∵AD恰为∠CAB的平分线，DC⊥AC，∴DC＝D点到AB的距离，∵BC＝1000m，BD＝800m，∴DC＝200m，∴D点到AB的最短距离＝200m，故选：C．二．填空题9．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD是∠BAC的平分线，∴DE＝CD，∵CD＝3，∴DE＝3．故答案为：3．10．解：∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥BC，∴ED＝EC＝4.5，∴S△ABE＝×10×4.5＝22.5．故答案为22.5．11．解：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OD＝3，∴OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，∵△ABC的周长是8，∴AB+BC+AC＝8，∴△ABC的面积S＝S△ABO+S△BCO+S△ACO＝AB×OE++＝＝×（AB+BC+AC）＝＝12，故答案为：12．12．解：过D作DE⊥AB于E，∵∠1＝∠2，∴AD平分∠BAC，∵∠C＝90°，∴DE＝CD＝BC﹣BD＝3，∴D到AB的距离为3．故答案为3．13．解：当PN⊥OB时，线段PN的值最小，∵OP是∠AOB的平分线，PM⊥OA，PN⊥OB，PM＝3，∴PN＝PM＝3，即PN的最小值是3，故答案为：3．三．解答题14．解：小明的做法可行．理由如下：在直角尺DEMN中，DN∥EM，∴∠DPO＝∠POM，∵DP＝OD，∴∠DPO＝∠DOP，∴∠POM＝∠DOP，∴OC平分∠AOB．15．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC．16．解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N则∠CMD＝∠BND＝90°，∵AD是∠EAF的平分线，∴DM＝DN，∵∠ACD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠MCD＝180°，∴∠MCD＝∠NBD，在△CDM和△BDN中，∠CMD＝∠BND＝90°，∠MCD＝∠NBD，DM＝DN，∴△CDM≌△BDN，∴CD＝DB．17．解：（1）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∵∠ABC＝60°，∠ACB＝40°∴∠OBC＝30°，∠OCB＝20°，∴∠COB＝180°﹣（30°+20°）＝130°；（2）过O作OD⊥AB于D点，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接AO，如图，∵∠ABC＝60°，OB＝4∴∠OBD＝30°，∴OD＝OB＝2，∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴OE＝OF＝2，∵S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC＝×2×AB+×2×AC+×2×BC＝AB+BC+AC，又∵△ABC的周长为16，∴S△ABC＝16．18．（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，∴CD＝CE，在Rt△CBE和Rt△CFD中，，∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL），∴BE＝FD；（2）解：在Rt△ACD中，∵AC＝10，AD＝8，∴CD＝＝6，∵AC＝AC，CD＝CE，∴Rt△ACD≌Rt△ACE（HL），∴S△ACD＝S△ACE，∵Rt△CBE≌Rt△CFD，∴S△CBE＝S△CFD，∴四边形ABCF的面积＝S四边形AECD＝2S△ACD＝2××6×8＝48．。

1.4.1角平分线一、选择题1.如图,BP为∠ABC的平分线,过点D作BC,BA的垂线,垂足分别为E,F,则下列结论中错误的是()A.∠DBE=∠DBFB.DE=DFC.2DF=DBD.∠BDE=∠BDF2.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点应是()A.M点B.N点C.P点D.Q点3.如图,已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是()A.24B.30C.36D.424.如图,在平面直角坐标系中,AD平分∠OAB,DB⊥AB,BC∥OA,若点B的横坐标为1,点D的坐标为(0,√3),则点C 的坐标是()A.(0,2)B.(0,5)C.(0,√5)D.(0,√3+√2)二、填空题5.如图,∠AOB=70°,QC⊥OA于点C,QD⊥OB于点D,若QC=QD,则∠CQO=°.6.已知:如图,AB∥CD,AP,CP分别平分∠BAC和∠ACD,PE⊥AC于点E,且PE=3 cm,则AB与CD之间的距离为cm.7.如图,∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB.若EC=1,则EF=.8.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为48和26,则△EDF的面积为.三、解答题9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,CD=3.(1)求DE的长;(2)若AC=6,BC=8,求△ADB的面积.10.已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,F,G分别是OA,OB上的点,且PF=PG,DF=EG.求证:OC是∠AOB的平分线.11.如图,某地有两个村庄M,N,和两条相交叉的公路OA,OB,现计划在∠AOB内部修建一个物资仓库,希望仓库到两个村庄的距离相等,到两条公路的距离也相等,请你确定该仓库的位置.12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是Rt△ABC的一条角平分线,点O,E,F分别在BD,BC,AC上,且四边形OECF 是正方形.(1)求证:点O在∠BAC的平分线上;(2)若AC=5,BC=12,求OE的长.13.感知:如图①,AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°,∠B=90°,易知:DB=DC.探究:如图②,AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD<90°,求证:DB=DC.应用:如图③,在四边形ABDC中,∠B=45°,∠C=135°,DB=DC=a,则AB-AC=(用含a的代数式表示)答案1.[答案] C2.解析： A 从图上可以看出点M 在∠AOB 的平分线上,其他三点均不在∠AOB 的平分线上, 所以点M 到∠AOB 两边的距离相等.故选A .3.解析： B 如图,过点D 作DH ⊥BA 交BA 的延长线于点H.∵BD 平分∠ABC ,∠BCD=90°,∴DH=CD=4,∴四边形ABCD 的面积=S △ABD +S △BCD =12AB ·DH+12BC ·CD=12×6×4+12×9×4=30.故选B .4.解析： D ∵AD 平分∠OAB ,DB ⊥AB ,DO ⊥OA ,∴DB=DO=√3.∵点B 的横坐标为1,∴BC=1.∵OA ⊥y 轴,BC ∥OA ,∴BC ⊥y 轴,即∠BCD=90°,∴CD=√(√3)2-12=√2,∴OC=OD+CD=√3+√2,∴点C 的坐标是(0,√3+√2).故选D .5.[答案] 55解析： ∵QC ⊥OA 于点C ,QD ⊥OB 于点D ,QC=QD ,∴OQ 是∠AOB 的平分线.∵∠AOB=70°,∴∠AOQ=12∠AOB=12×70°=35°, ∴∠CQO=90°-∠AOQ=90°-35°=55°.故答案为55. 6.[答案] 6解析： 过点P 作PM ⊥AB 于点M ,并反向延长交CD 于点N.∵AB ∥CD ,∴PN ⊥CD.∵AP 平分∠BAC ,PE ⊥AC ,PM ⊥AB ,PE=3 cm,∴PM=PE=3 cm .同理PN=PE=3 cm,∴MN=PM+PN=6 cm,∴AB 与CD 之间的距离是6 cm . 7.[答案] 2解析： 如图,过点E 作EG ⊥OA 于点G.根据角平分线的性质定理得到EG 的长,再根据平行线的性质得到∠OEF=∠COE=15°,然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG=30°,利用在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半解题.8.[答案] 11解析： 如图,过点D 作DH ⊥AC 于点H.∵AD 是△ABC 的角平分线,DF ⊥AB ,DH ⊥AC ,∴DF=DH.在Rt △FDE 和Rt △HDG 中,∵DF= DH ,DE=DG ,∴Rt△FDE ≌Rt △HDG (HL).同理,Rt △FDA ≌Rt △HDA (HL).设△EDF 的面积为x ,由题意,得48-x=26+x ,解得x=11,即△EDF 的面积为11.故答案为11.9.解:(1)∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠CAB ,DE ⊥AB 于点E ,CD=3,∴DE=CD=3. (2)∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,CD=3,∴BD=BC-CD=5,∴S △ADB =12BD ·AC=12×5×6=15.10.证明:∵PD ⊥OA 于点D ,PE ⊥OB 于点E ,∴∠PDF=∠PEG=90°.在Rt △PFD 和Rt △PGE 中,∵PF=PG ,DF=EG , ∴Rt △PFD ≌Rt △PGE (HL), ∴PD=PE.∵P 是OC 上一点,PD ⊥OA ,PE ⊥OB , ∴OC 是∠AOB 的平分线.11.解:如图,点P 即为该仓库的位置.12.解:(1)证明:如图,过点O 作OM ⊥AB 于点M.∵四边形OECF 是正方形,∴OE=EC=CF=OF ,OE ⊥BC ,OF ⊥AC. ∵BD 平分∠ABC , ∴OM=OE , ∴OM=OF.又∵OM ⊥AB ,OF ⊥AC ,∴点O 在∠BAC 的平分线上.(2)方法一:∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=5,BC=12,∴由勾股定理得AB=13. 易证BE=BM ,AM=AF.又∵BE=BC-CE ,AF=AC-CF ,CE=CF=OE ,∴BE=12-OE ,AF=5-OE. ∵BM+AM=AB ,∴BE+AF=13,即12-OE+5-OE=13, 解得OE=2,即OE 的长为2. 方法二:利用面积法.连接OC.∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=5,BC=12, ∴由勾股定理得AB=13.∵S △ABC =12AC ·BC ,S △ABC =12BC ·OE+12AC ·OF+12AB ·OM , ∴12AC ·BC=12BC ·OE+12AC ·OF+12AB ·OM ,即12×5×12=12×12OE+12×5OF+12×13OM. 由(1)得,OM=OE=OF ,∴OE=2.13.解:探究:证明:如图①,过点D 作DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC ,交AC 的延长线于点F.∵AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB ,DF ⊥AC , ∴DE=DF.∵∠B+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°, ∴∠B=∠FCD.在△DEB 和△DFC 中,∵∠DEB=∠F=90°,∠B=∠FCD ,DE=DF , ∴△DEB ≌△DFC ,∴DB=DC.应用:如图②,连接AD ,过点D 作DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC ,交AC 的延长线于点F.∵∠B+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°, ∴∠B=∠FCD.在△DEB和△DFC中,∵∠DEB=∠F=90°,∠B=∠FCD,DB=DC, ∴△DEB≌△DFC,∴DE=DF,BE=CF.在Rt△ADF和Rt△ADE中,∵AD=AD,DF=DE,∴Rt△ADF≌Rt△ADE,∴AF=AE,∴AB-AC=(AE+BE)-(AF-CF)=2BE.在Rt△DEB中,∵∠DEB=90°,∠B=∠EDB=45°,BD=a,∴BE=√2a,∴AB-AC=√2a.2故答案为√2a.。

北师大版2023-2024学年八年级下册数学《角平分线》暑期练习试题一、单选题1．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于OB OA 点P ，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）OP AOB ∠A ．角平分线上的点到这个角两边的距离相等B ．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上C ．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D ．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等2．下列命题：（1）等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合；（2）在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角平分线上；（3）直角三角形的两个锐角互余；（4）有一个角等于的三60︒角形是等边三角形；（5）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为16．其中正确的命题个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知内一点M ，如果点M 到两边，的距离相等，那么点M 的位置是（ ）ABC AB BC A ．在边的高上B ．在边的中线上AB AC C ．在的平分线上D ．在边的垂直平分线上ABC ∠AC 4．如图，公路，公路交公路于，交公路于，若要建一汽车旅店到三条公MN PQ ∥AB MN A PQ B 路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）12 A．处B．处5．如图，在正方形网格中，到A．M点A．17．如图，在直角△ABCAB的距离为（）14．（2016育才月考）育才中学内有一块直角三角形空地15．如图，中，ABC 90C ∠=16．如图，△ABC 的角平分线18．如图，△ABC 中，AB ，AC 的平行线交BC三、解答题21．阅读与思考：下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．×年×月×日星期日任务：(1)请你补全小宇日记中不完整的部分：①__________(2)尺规作图：在图2中作的角平分线，交CAB ∠BC (3)在（2）的条件下，求线段的长度．CD21．(1) (2)(3)32 CD=．略．(1)略(2)DBE ∠=︒75(3)2BE CD =24．略。

北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》精选练习一、选择题1.三角形中到三边距离相等的点是（）A.三条边的中垂线交点B.三条高交点毛C.三条中线交点D.三条角平分线的交点2.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（）A.4cmB.6cmC.10cmD.不能确定3.如图，MP⊥NP，MQ为△MNP的角平分线，MT=MP，连接TQ，则下列结论中不正的是（）A.TQ=PQB.∠MQT=∠MQPC.∠QTN=90°D.∠NQT=∠MQT4.如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于( )A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm5.如图，AB=AD，CB=CD，AC、BD相交于点O，则下列结论正确的是（）A.OA=OCB.点O到AB、CD的距离相等C.∠BDA=∠BDCD.点O到CB、CD的距离相等6.已知：△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC度数为（）A.60°B.90°C.45°D.135°7.三角形中∠B的角平分线和外角的角平分线的夹角是（）.A.60°B.90°C.45°D.135°8.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，下列结论不一定成立的是（）A.PA=PBB.PO平分∠APBC.OA=OBD.AB垂直平分OP9.如图所示，D，E分别是△ABc的边AC.Bc上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）A.15°B.20°C.25°D.30°10.如图所示.在ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E.若AB=6 cm，则DEB的周长为（）A.12 cmB.8 cmC.6 cmD.4 cm11.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的平分线.”他这样做的依据是( )A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D.以上均不正确12.如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.1处B.2处C.3处D.4处二、填空题13.到一个角的两边距离相等的点都在_____________14.三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到_______________相等15.点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC度数为_______16.在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为17.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D；若DC=7，则D到AB距离是______.18.如图，在ΔABC中，BC=5 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则ΔPDE的周长是___________ cm三、解答题19.已知：AC=AD,AB是∠CAD的角平分线，求证：BC=BD20.在△ABC中，AB=BC，∠ABC=84°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC；求∠EDB的度数.21.如图，AB⊥AC，BF是∠ABC的角平分线，若∠BFC=110°，求∠C的度数.22.在△ABC中，AB=AC，BD是角平分线，BD=AD，求∠A的度数.23.已知：如图△ABC中，AB=AC，CD、BE是△ABC的角平分线；求证：AD=AE.24.如图（1）所示，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为公共边的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题.（1）如图（2）所示，在∠ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA 的平分线，AD，CE相交于点F，请你写出FE与FD之间的数量关系；（不要求写证明）（2）如图（3）所示，在AABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，那么（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.参考答案25.答案为：D26.答案为：B27.答案为：D28.答案为：B29.答案为：D30.答案为：D31.答案为：B32.答案为：D.33.答案为：D.34.答案为：C.35.答案为：A；36.答案为：D37.答案为：角平分线上38.答案为：三边的距离39.答案为：120°40.答案为：1841.答案为：742.答案为：543.证明：∵AB是∠CAD的角平分线，∴∠BAC=∠BAD，在△ABC和△ABD中，∴△ABC≌△ABD（SAS），∴BC=BD.44.解：因为AB=BC，所以可知三角形ABC是等腰三角形，即∠ABC=∠ACB=84°，因为BD是∠ABC的平分线，所以∠DBC=84°÷2=42°；因为DE∥BC，所以∠EDB=∠DBC=42°45.解：因为∠BFC=110°，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，可以得到∠ABF+∠A=110°所以∠ABF=110°—90°=20°，因为BF是∠ABC的角平分线，所以可以得到∠ABC=2∠ABF=40°，即在三角形ABC中∠C=180°—90°—40°=50°46.解：设∠A=x°.∵BD=AD，∴∠A=∠ABD=x°，∠BDC=∠A+∠ABD=2x°，∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=2x°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCD=2x°，在△ABC中x+2x+2x=180，解得：x=36，∴∠A=36°47.证明：∵AB=AC（已知），∴∠ABC=∠ACB.∵CD、BE是△ABC的角平分线（已知），∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，∴∠1=∠2.又∵∠A=∠A（已知），∴△ADC≌△AEB.∴AD=AE.48.解：在OM，ON上分别取OA，OB，使OA=OB，再在OP上任取一点D，连接AD，BD，则△OAD与△OBD全等，如图（1）所示.（1）FE与FD之间的数量关系为FE=FD.（2）（1）中的结论FE=FD仍然成立.证法：如图（2）所示，在AC上截取AG=AE，连接FG，则△AEF≌△AGF，所以∠AFE=∠AFG，FE=FG.由∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，可得∠2＋∠3＝60°，所以∠AFE=∠AFG=∠CFD=∠2＋∠3=60°，所以∠CFG=180°－60°－60°＝60°，所以∠CFG=∠CFD.由∠3=∠4及FC为公共边，可得△CFG≌△CFD，所以FG=FD，所以FE=FD.。

角平分线的性质与判定学习目标熟练掌握角平分线的定义，利用角平分线的性质及判定解三角形定义：1从一个角的顶点引出一条射线，把这个角平均分成两个相同的角，这条射线就是这个角的角平分线2三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线性质：1.角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半。

（定义）2·角平分线上的点到角的两边的距离相等。

3，角平分线是射线；三角形的角平分线是线段判定：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上。

随堂练习一、填空题1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=3，则PE=__________.(1)(2) (3)4.已知，如图（4），∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=_______度.5.如图（5），已知MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△DOM=6 cm2，OP=3 cm，则MQ=__________cm.(4)(5)二、选择题1.下列各语句中，不是真命题的是A.直角都相等B.等角的补角相等C.点P在角的平分线上D.对顶角相等2.下列命题中是真命题的是A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B.相等的角是对顶角C.余角相等的角互余D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等3.如左下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于( )A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm4.如右上图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF②△BDF≌△CDE③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是( )A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①，②与③四、解答题1.如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC同步练习：1、如图1，∠B=∠C=90°，根据角平分线的性质填空：①若∠1=∠2，则= ；②若∠3=∠4，则= 。

1.4角平分线同步练习一．选择题1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝3，则△ABD的面积为（）A．15B．30C．12D．102．如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是（）A．2B．3C．4D．5.53．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为（）A．5B．6C．3D．44．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确5．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路AB，AC，BC两两相交围成的一块平地内修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在何处？可供选择的位置有（）处．A．一B．二C．三D．四6．如图，点O是△ABC的两个外角平分线的交点，下列结论：①点O在∠A的平分线上；②点O到△ABC的三边的距离相等；③OB＝OC．以上结论正确的有（）A．②③B．①②C．①③D．①②③7．如图，P是△ABC的三条角平分线的交点，连接P A、PB、PC，若△P AB、△PBC、△P AC 的面积分别为S1、S2、S3，则S1（）S2+S3．A．＞B．＝C．＜D．无法确定8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（）A．BE是△ABD的中线B．BD是△BCE的角平分线C．∠1＝∠2＝∠3D．S△AEB＝S△EDB9．如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，AE平分∠CAB，交BD于点E，AB＝8，DE ＝3，则△ABE的面积等于（）A．15B．12C．10D．1410．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠F AG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．A．①②③④B．①②③C．②④D．①③二．填空题11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC边于点D，若AB＝12，CD＝4，则△ABD的面积为．12．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，BD为△ABC的角平分线，则点D 到边AB的距离为．13．如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点E．若BC＝6cm，DE＝2cm，则△BCD的面积为cm2．14．如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为cm2．15．如图所示，已知P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB于点D，若PD＝5，△ACB 的周长为20，则△ABC的面积是．三．解答题（共3小题）16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE ＝FC．求证：BD＝DF．17．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H．（1）若PH＝8cm，求点P到直线BC的距离；（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．18．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．参考答案一．选择题1．解：过D点作DE⊥AB于E，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC＝3，∴S△ABD＝×10×3＝15．故选：A．2．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∵△ABD的面积为9，AB＝6，∴DE＝，∵BM是∠ABC的平分线，∴DE＝3，∴DP≥3，故选：A．3．解：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，∴PE＝PD＝6，∴点P到边OB的距离为6．故选：B．4．解：（1）如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：A．5．解：∵度假村到三条公路的距离相等，∴度假村在三条公路AB，AC，BC所组成的角的平分线上，∵△ABC的三条角平分线相交于一点，∴度假村可供选择的位置有一处，故选：A．6．解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如图，∵BO平分∠DBC，OD⊥BD，OE⊥BC，∴OD＝OE，同理可得OE＝OF，∴OD＝OF，∴点O在∠A的平分线上，所以①正确；OD＝OE＝OF，所以②正确；∵不能确定∠ABC＝∠ACB，∴不能确定∠OBE＝∠OCE，∴不能确定OB＝OC，所以③错误．故选：B．7．解：过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，如图，∵P是△ABC的三条角平分线的交点，∴PD＝PE＝PF，∵S1＝•AB•PD，S2＝•BC•PF，S3＝•AC•PE，∴S2+S3＝•（AC+BC）•PD，∵AB＜AC+BC，∴S1＜S2+S3．故选：C．8．解：A．∵AE＝DE，∴BE是△ABD的中线，故本选项不符合题意；B．∵BD平分∠EBC，∴BD是△BCE的角平分线，故本选项不符合题意；C．∵BD平分∠EBC，∴∠2＝∠3，但不能推出∠2、∠3和∠1相等，故本选项符合题意；D．∵S AEB＝AE×BC，S△EDB＝DE×BC，AE＝DE，∴S△AEB＝S△EDB，故本选项不符合题意；故选：C．9．解：过点E作EF⊥AB于点F，如图：∵BD是AC边上的高，∴ED⊥AC，又∵AE平分∠CAB，DE＝3，∴EF＝3，∵AB＝8，∴△ABE的面积为：8×3÷2＝12．故选：B．10．解：∵BE是AC边的中线，∴AE＝CE，∵△ABE的面积＝，△BCE的面积＝AB，∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；∵AD是BC边上的高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠F AG+∠DAC＝90°，∴∠F AG＝∠ACB，∵CF是∠ACB的角平分线，∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，∴∠F AG＝2∠FCB，故②错误；∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，∴∠AFG＝∠AGF，∴AF＝AG，故③正确；根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；即正确的为①③，故选：D．二．填空题11．解：作DH⊥AB于D，如图，∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，∴DH＝DC＝4，∴S△ABD＝AB×DH＝×12×4＝24．故答案为：24．12．解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∵BD为△ABC的角平分线，∴DE＝DF，设DE＝DF＝R，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴S△ABC＝＝＝24，∴S△ABD+S△DBC＝24，∵AB＝6，BC＝8，∴R+＝24，解得：R＝，即DF＝，∴点D到边AB的距离是，故答案为：．13．解：作DF⊥BC于F，∵CD是它的角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DF＝DE＝2，∴△BCD的面积＝×BC×DF＝6（cm2），故答案为：6．14．解：如图，过点P作PF⊥AN于F，作PG⊥AM于G，连接AP，∵∠GBC和∠FCB的平分线BP、CP交于P，PE⊥BC，∴PF＝PG＝PE＝3，∵S△BPC＝7.5，∴BC•3＝7.5，解得BC＝5，∵△ABC的周长为14cm，∴AB+AC+BC＝14，∴AB+AC＝9，∴S△ABC＝S△ACP+S△ABP﹣S△BCP＝（AB+AC﹣BC）×3＝×（9﹣5）×3＝6（cm2）．故答案为：6．15．解：作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图，∵点P是△ABC三条角平分线的交点，∴PE＝PF＝PD＝5，∴S△ABC＝S△P AB+S△PBC+S△P AC＝PD•AB+PE•BC+PF•AC＝（AB+BC+AC）＝×20＝50，故答案为：50．三．解答题（共3小题）16．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，在△DCF和△DEB中，，∴△DCF≌△DEB，（SAS），∴BD＝DF．17．（1）解：作PQ⊥BE于Q，如图，∵BP平分∠ABC，∴PH＝PQ＝8，即点P到直线BC的距离为8cm；（2）证明：∵PC平分∠ACE，∴PD＝PQ，而PH＝PQ，∴PD＝PH，∴点P在∠HAC的平分线上．18．（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，∴∠F AE＝90°﹣50°＝40°，∵∠BAD＝100°，∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，∵∠FEA＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，∴EF＝EG，∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，∴EF＝EH，∴EG＝EH，∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴DE平分∠ADC；（3）解：∵S△ACD＝15，∴×AD×EG+×CD×EH＝15，即×4×EG+×8×EG＝15，解得，EG＝EH＝，∴EF＝EH＝，∴△ABE的面积＝×AB×EF＝×7×＝．。