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湘教版数学八年级下册1.4《角平分线的性质》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级下册1.4《角平分线的性质》是初中数学的重要内容，主要介绍了角平分线的性质。
本节课的内容是学生学习几何知识的基础，也是学生进一步学习圆的知识的前提。
通过本节课的学习，学生可以掌握角平分线的性质，并能够运用角平分线的性质解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了角的概念、线的概念等基础知识，对几何图形有一定的认识。
但是，学生对角平分线的性质还没有接触过，对于如何运用角平分线的性质解决实际问题还需要引导。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解角平分线的性质，并能够运用角平分线的性质解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过学生自主探究、合作交流的方式，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.角平分线的性质的推导过程。
2.如何运用角平分线的性质解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、学生自主探究法、合作交流法等教学方法。
通过引导学生提出问题、自主探究、合作交流的方式，激发学生的学习兴趣，培养学生的几何思维能力。
六. 教学准备教师准备PPT、黑板、粉笔等教学工具。
学生准备课本、笔记本等学习工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引导学生思考：“如何找到一个角的平分线？”学生可以自由发言，教师引导学生提出问题，引出本节课的主题——角平分线的性质。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示角平分线的性质，让学生初步了解角平分线的性质。
然后，教师引导学生自主探究，让学生通过观察、思考、推理等过程，推导出角平分线的性质。
3.操练（10分钟）教师通过PPT展示一些练习题，让学生运用角平分线的性质解决问题。
学生在纸上完成练习题，教师选取部分学生的作业进行讲解和评价。
4.巩固（10分钟）教师通过PPT展示一些巩固题，让学生再次运用角平分线的性质解决问题。
湘教版八下数学1.4.1《角平分线的性质》说课稿一. 教材分析湘教版八下数学1.4.1《角平分线的性质》是本节课的主要内容。
在这一节中，学生将学习角平分线的定义、性质以及如何运用角平分线解决实际问题。
教材通过生动的例题和丰富的练习，帮助学生深入理解角平分线的性质，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析在进入本节课的学习之前，学生已经学习了角的概念、角的计算等基础知识，对角的性质有一定的了解。
但他们对角平分线的性质和应用可能还不够清晰。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的认知水平，通过合理的教学方法，引导学生逐步理解和掌握角平分线的性质。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能准确地描述角平分线的定义，掌握角平分线的性质，并能运用角平分线解决实际问题。
2.过程与方法：学生通过观察、操作、思考，培养他们的观察能力、动手能力和思维能力。
3.情感态度与价值观：学生培养对数学的兴趣，增强自信心，培养合作意识和探究精神。
四. 说教学重难点1.重点：角平分线的性质。
2.难点：如何运用角平分线解决实际问题。
五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、探究法、小组合作法等教学方法。
利用多媒体课件、几何画板等教学手段，为学生提供丰富的学习资源，帮助学生直观地理解角平分线的性质。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考角平分线的性质。
2.新课讲解：讲解角平分线的定义和性质，引导学生观察、操作、思考，培养他们的观察能力、动手能力和思维能力。
3.例题讲解：讲解运用角平分线解决实际问题的例题，让学生掌握角平分线在实际问题中的应用。
4.练习巩固：学生独立完成练习题，巩固所学知识。
5.课堂小结：总结本节课的主要内容，强调角平分线的性质和应用。
6.布置作业：布置一些有关角平分线的练习题，让学生进一步巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计如下：角平分线的性质1.定义：角的平分线是将一个角平分成两个相等角的线段。
湘教版八下数学1.4.1《角平分线的性质》教学设计一. 教材分析《角平分线的性质》是湘教版八年级下册数学第1.4.1节的内容。
本节主要让学生了解角平分线的性质，学会用角平分线判定角的相等和边的垂直平分关系。
教材通过生活实例引入角平分线的概念，接着引导学生探究角平分线的性质，最后通过角平分线的应用，使学生感受数学与生活的紧密联系。
二. 学情分析八年级的学生已具备一定的几何知识，对图形的性质有一定的了解。
但在探究角平分线的性质过程中，需要学生具备较强的观察能力、分析能力和推理能力。
此外，学生可能对角平分线与边的关系理解不够深入，因此在教学过程中需要引导学生反复探究、总结。
三. 教学目标1.理解角平分线的性质，并能运用角平分线判断角的相等和边的垂直平分关系。
2.培养学生的观察能力、分析能力和推理能力。
3.激发学生学习数学的兴趣，感受数学与生活的紧密联系。
四. 教学重难点1.角平分线的性质2.运用角平分线判断角的相等和边的垂直平分关系五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究角平分线的性质。
2.运用几何画板软件，动态展示角平分线的性质，增强学生的直观感受。
3.采用合作交流法，让学生在小组内讨论、分享解题心得，提高学生的合作能力。
4.运用实例分析法，让学生感受数学与生活的紧密联系。
六. 教学准备1.准备相关课件，展示角平分线的性质。
2.准备几何画板软件，用于动态展示角平分线的性质。
3.准备生活实例，使学生感受数学与生活的联系。
4.准备练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入角平分线的概念，引导学生思考：如何判断一个角是否为另一个角的平分线？2.呈现（10分钟）展示几何画板软件，动态展示角平分线的性质。
引导学生观察、分析，总结角平分线的性质。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，尝试运用角平分线判断角的相等和边的垂直平分关系。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立完成。
湘教版八下数学1.4角平分线的性质第1课时角平分线的性质和判定教学设计一. 教材分析湘教版八下数学第1.4节角平分线的性质，主要讲述了角平分线的性质和判定。
本节课的内容是学生学习几何知识的重要组成部分，也是学生进一步学习圆的性质和线段平分线性质的基础。
通过本节课的学习，学生可以掌握角平分线的性质和判定方法，为以后的学习打下坚实的基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了角的定义、角的计算等基本知识，同时也学习了线段的性质和判定。
但是，对于角平分线的性质和判定，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、思考、操作等活动，自主探索角平分线的性质和判定方法，从而达到理解掌握的目的。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解角平分线的性质，掌握角平分线的判定方法。
2.过程与方法：学生通过观察、操作、思考等活动，培养自己的逻辑思维能力和空间想象力。
3.情感态度与价值观：学生通过对角平分线性质的学习，增强对数学的兴趣和好奇心，培养自己的探索精神。
四. 教学重难点1.重点：角平分线的性质。
2.难点：角平分线的判定方法。
五. 教学方法采用问题驱动法、引导发现法、合作交流法等教学方法，引导学生通过观察、操作、思考等活动，自主探索角平分线的性质和判定方法。
六. 教学准备教师准备多媒体教学课件、角平分线的模型、练习题等教学资源。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾已学过的角和线段的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件呈现角平分线的性质和判定方法，引导学生观察、思考，引导学生发现角平分线的性质和判定方法。
3.操练（10分钟）教师学生进行小组合作交流，让学生通过实际操作，进一步理解和掌握角平分线的性质和判定方法。
4.巩固（10分钟）教师通过出示一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）教师出示一些拓展题，引导学生思考，进一步深化对角平分线性质和判定方法的理解。
湘教版八年级下册数学教案1.4 角平分线的性质教学目标1．角的平分线的性质2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．3．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．教学重难点重点：角平分线的性质及其应用．难点：灵活应用两个性质解决问题．教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．Ⅱ．导入新课角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．折出如图所示的折痕PD、PE．画一画按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？投影出下面两个图形，让学生评一评，以达明确概念的目的．结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．由已知事项推出的事项：PD=PE．于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？(出示投影)问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO(HL)．于是可得∠PDE=∠POD．由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．由此我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．这两个性质有什么联系吗？分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换．思考：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1：20000)？1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？2．比例尺为1：20000是什么意思？结论：1．应该是用第二个性质．•这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，•这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中1cm•表示实际距离200m 的意思．作图如下：第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，•使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题．III例题与练习P23例1 如图1-28，∠BAD =∠BCD = 90°，∠1=∠2.(1)求证：点B在∠ADC的平分线上；(2)求证：BD是∠ABC的平分线.P25如图1-30，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE + PF与PB的大小关系.练习：强调：条件充足的时候应该直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等．IV．课时小结今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．。
课题角平分线性质（1）课时安排2课时教学目标1、探索和掌握角平分线性质定理：“角平分线上的点到角的两边距离相等”和性质定理逆定理“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”。
2、运用性质定理和逆定理解决简单几何问题。
3、渗透“类比”的思维方法。
重点探索和掌握角平分线性质定理及性质定理逆定理。
难点运用角平分线性质定理及性质定理逆定理解决简单几何问题。
教学过程问题导入展示教材P22“探究”（多媒体显示）：①线段的中垂线有怎样的性质？②我们学过角平分线的哪些性质？学生回答，全班交流。
引入课题：角平分线性质（1）。
自学指导提出问题，学生带着问题自学教材P22～P23内容：1、角平分线的性质定理是什么？2、角平分线性质定理逆定理是什么？3、这两个定理在格式上与我们学过的哪两个定理类似？完成学法P12“课前预习”。
合作交流讲述：1、角平分线性质定理：“角平分线上的点到角的两边距离相等”。
2、角平分线性质定理逆定理：“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”。
注意：在形式上可以类比线段的中垂线性质定理和逆定理。
应用：教材P23 例1 （性质简单应用）。
学法P12探究二例2 （判定简单应用）注意：思路的分析，格式的规范。
练习：教材P24“练习”T1、T2（学生板演）。
小结归纳1、角平分线性质定理。
2、角平分线性质定理逆定理。
3、“类比”的数学思想。
作业布置必做：教材习题1.4A组P26 T1、T2、T3。
选做：学法P12 “课堂探究”：探究一和探究二。
板书设计反思回顾角平分线性质课件展示1、性质定理2、逆定理3、注意事项应用：例1例2学生板演课题角平分线性质（2）课时安排2课时教学目标1、进一步掌握角平分线性质定理：“角平分线上的点到角的两边距离相等”和逆定理“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”。
2、运用性质定理和逆定理解决简单实际问题。
3、培养学生逻辑思维和演绎推理能力。
重点进一步掌握角平分线性质定理及性质定理逆定理。
湘教版八下数学1.4角平分线的性质教学设计一. 教材分析湘教版八下数学1.4角平分线的性质是本学期的重要内容，主要让学生了解角平分线的性质，学会运用角平分线解决一些几何问题。
本节内容分为两个部分，第一部分是角平分线的定义及性质，第二部分是角平分线在几何中的应用。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了角的概念、垂线的性质等知识，具备了一定的几何思维能力。
但部分学生对角平分线的性质理解不够深入，需要在教学中加以引导和巩固。
三. 教学目标1.理解角平分线的定义及性质；2.学会运用角平分线解决一些简单的几何问题；3.培养学生的空间想象能力和几何思维能力。
四. 教学重难点1.角平分线的定义及性质；2.角平分线在几何中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究角平分线的性质；2.利用几何画板软件，动态展示角平分线的性质，增强学生的直观感受；3.通过例题讲解，让学生学会运用角平分线解决实际问题；4.采用小组讨论法，培养学生合作学习的能力。
六. 教学准备1.准备相关教案、PPT及教学素材；2.准备几何画板软件，制作动态演示课件；3.准备相关练习题及答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用提问方式引导学生回顾角的概念、垂线的性质等知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）通过几何画板软件，动态展示角平分线的定义及性质，让学生直观地感受角平分线的特点。
同时，教师讲解角平分线的性质，引导学生理解并记忆。
3.操练（10分钟）让学生独立完成教材中的例题，教师巡回指导，解答学生疑问。
通过例题让学生学会运用角平分线解决实际问题。
4.巩固（10分钟）学生分组讨论，共同完成教师提供的练习题。
教师选取部分答案进行讲解，巩固学生对角平分线性质的理解。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：角平分线在实际生活中有哪些应用？让学生举例说明，进一步拓展学生的知识应用能力。
6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调角平分线的性质及应用。
湘教版数学八年级下册《1.4 角平分线的性质》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级下册第1.4节“角平分线的性质”是初中数学中的一部分重要内容。
本节课主要让学生掌握角平分线的性质，理解并能够运用角平分线性质解决一些几何问题。
教材通过引入角平分线的概念，引导学生探究角平分线的性质，从而培养学生解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了角的概念、线段的中垂线等知识，具备了一定的几何思维能力。
但部分学生对于角平分线的性质的理解和应用仍有困难，需要教师在教学中进行针对性的引导和辅导。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握角平分线的性质，能够运用角平分线性质解决一些简单的几何问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的几何思维能力和探究能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：角平分线的性质。
2.难点：角平分线性质在几何问题中的应用。
五. 教学方法1.引导法：教师引导学生观察、操作、猜想、验证，激发学生的思维。
2.合作学习法：学生分组讨论，培养团队合作意识。
3.实践操作法：让学生动手操作，加深对知识的理解。
六. 教学准备1.教具准备：三角板、直尺、圆规等。
2.教学课件：制作课件，展示角平分线的性质。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过复习角的概念和线段的中垂线性质，引导学生思考：角有没有中垂线？如果有，它的性质是什么？从而引出本节课的主题——角平分线的性质。
2.呈现（10分钟）教师展示角平分线的定义和性质，引导学生观察、操作、猜想、验证。
学生分组讨论，总结出角平分线的性质。
3.操练（10分钟）教师给出几个有关角平分线的几何问题，学生分组讨论、解答。
教师巡回指导，帮助学生解决解答过程中遇到的问题。
4.巩固（10分钟）教师挑选几名学生进行上台演示，让学生通过实践操作，加深对角平分线性质的理解。
湘教版八下数学1.4角平分线的性质第2课时角平分线的性质和判定的应用教学设计一. 教材分析湘教版八下数学1.4节“角平分线的性质”是初中数学的重要内容，主要让学生了解和掌握角平分线的性质及其应用。
本节内容是在学生已经掌握了角的概念、角的计算等基础知识的基础上进行学习的，为后续学习三角形、四边形等复杂图形的性质和判定打下基础。
本节课的主要内容有：角平分线的定义、性质及其应用。
其中，角平分线的性质是本节课的重点，包括角平分线上的点到角的两边的距离相等，角平分线垂直平分角所在的边等。
角平分线的应用是本节课的难点，主要让学生学会如何利用角平分线的性质解决实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对角的概念和性质有一定的了解。
但是，对于角平分线的性质及其应用，部分学生可能还比较陌生，需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生了解角平分线的定义，掌握角平分线的性质，并能运用角平分线的性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生推理、概括的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：角平分线的性质。
2.难点：角平分线的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究角平分线的性质。
2.利用多媒体展示角平分线的性质和应用，增强学生的直观感受。
3.运用实例和练习，让学生在实践中掌握角平分线的性质和应用。
4.采用小组合作学习，培养学生团队合作和交流的能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.角平分线的性质和应用的相关课件和素材。
3.练习题和答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一个角，引导学生思考如何找到这个角的平分线。
通过提问，引出本节课的主题——角平分线的性质。
2.呈现（10分钟）展示角平分线的性质，包括角平分线上的点到角的两边的距离相等，角平分线垂直平分角所在的边等。
湘教版八下数学1.4.1《角平分线的性质（一）》教学设计一. 教材分析湘教版八下数学1.4.1《角平分线的性质（一）》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握角平分线的性质。
本节课的内容是在学生已经掌握了角的概念、角的计算等基础知识的基础上进行学习的，为后续学习角平分线的应用打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了角的概念、角的计算等基础知识，对于图形的性质也有了一定的了解。
但学生的几何直观能力、逻辑推理能力还有待提高，因此，在教学过程中，需要注重培养学生的几何直观能力和逻辑推理能力。
三. 教学目标1.让学生理解角平分线的性质，并能运用角平分线的性质解决一些简单的问题。
2.培养学生的几何直观能力和逻辑推理能力。
3.激发学生学习数学的兴趣，提高学生自主学习的能力。
四. 教学重难点1.角平分线的性质的推导过程。
2.如何运用角平分线的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、推理等过程，发现角平分线的性质。
2.运用几何画板等软件，动态展示角平分线的性质，增强学生的直观感受。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论中提高自己的逻辑推理能力。
4.通过典型例题的讲解，引导学生运用角平分线的性质解决实际问题。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件、几何画板软件等。
2.准备一些典型的例题和练习题。
3.准备一些关于角平分线的实际问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习角的概念、角的计算等基础知识，引导学生进入本节课的学习。
2.呈现（15分钟）利用几何画板软件，动态展示角平分线的性质，引导学生观察、思考，发现角平分线的性质。
3.操练（15分钟）让学生通过自主学习、小组合作学习的方式，掌握角平分线的性质。
在此过程中，教师引导学生运用逻辑推理能力，解决一些相关问题。
4.巩固（10分钟）通过一些典型的例题和练习题，让学生巩固所学知识，提高运用角平分线的性质解决实际问题的能力。
1．4 角平分线的性质
1．理解并掌握角平分线的性质及判定；(重点)
2．能够对角平分线的性质及判定进行简单应用．(难点
)
一、情境导入
在S 区有一个集贸市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路．
问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？
二、合作探究
探究点一：角平分线上的点到角两边的距离相等
【类型一】 利用角平分线的性质求线段长
如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，
AC ＝BC ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若AB ＝7cm ，则△DBE 的周长是____________．
解析：在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，根据角平分线的性质，可得CD ＝ED ，AC ＝AE ＝BC ，继而可得△DBE 的周长为DE ＋BD ＋BE ＝CD ＋BD ＋BE ＝BC ＋BE ＝AE ＋BE ＝AB .故答案为7cm.
方法总结：此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
【类型二】 利用角平分线的性质求面积
如图，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB
于点E ，DF ⊥BC 且交BC 的延长线于点F .若AB ＝18cm ，BC ＝12cm ，DE ＝2.4cm ，求△ABC 的面积．
解析：根据角平分线的性质得到DE ＝DF ，再将△ABC 分成△BCD 和△ADB 两个三角形，分别求出它们的面积再求和．
解：∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，DF ⊥BF ，∴DE ＝DF .∵S △ABC ＝S △BCD ＋S △ABD ＝12BC ·DF ＋12AB ·DE ＝12(BC ＋AB )·DE ＝12
×30×2.4＝36(cm 2)．
方法总结：如果求三角形面积出现困难可将此三角形分成几个三角形再利用一些性质，如角平分线的性质或等腰三角形的性质，求这几个三角形面积的和．
【类型三】 利用角平分线的性质进行证明
如图，已知∠1＝∠2，P 为BN 上
一点且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC ＝2BD ，求证：∠BAP ＋∠BCP ＝180°.
解析：过点P 作PE ⊥BA ，根据已知条件得Rt △BPE ≌Rt BPD ，再根据AB ＋BC ＝2BD 得AE ＝CD ，可证Rt △APE 和Rt PDC ，可得∠PCD ＝∠P AE ，根据邻补角互补可得∠BAP ＋∠BCP ＝180°.
证明：过P 作PE ⊥AB ，交BA 的延长
线于E .∵PD ⊥BC ，∠1＝∠2，∴PE ＝PD ，
在Rt △BPE 和Rt △BPD 中，⎩
⎪⎨⎪⎧PE ＝PD ，
BP ＝BP ，∴
Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL)，∴BE ＝BD .∵AB
＋BC ＝2BD ，BC ＝CD ＋BD ，AB ＝BE －AE ，∴AE ＝CD .∵PE ⊥BE ，PD ⊥BC ，∴∠PEA ＝∠PDC ＝90°.在△PEA 和△PDC 中，⎩⎪⎨⎪
⎧PE ＝PD ，∠PEB ＝∠PDC ，AE ＝CD ，
∴△PEA ≌△PDC (SAS)，∴∠PCD ＝∠P AE .∵∠BAP ＋∠EAP ＝180°，∴∠BAP ＋∠BCP ＝180°.
方法总结：题目中有角平分线可过角平分线上的点作角两边的垂线，这是角平分线题目中常见的辅助线．
探究点二：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
如图所示，在△ABC 中，PD 垂直
平分BC ，PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥AC 交AC 的延长线于点N ，且BM ＝CN .求证：∠1＝∠
2.
解析：先根据中垂线性质得出PB ＝PC ，再根据HL 证Rt △PBM ≌Rt △PCN ，再根据角平分线性质的逆定理得出结论．
证明：连接PB 、PC .∵PD 垂直平分BC ，∴PB ＝PC .∵PM ⊥AB ，PN ⊥AC ，∴∠PMB ＝∠PNC ＝90°.在Rt △PBM 与Rt △PCN 中，∵PB ＝PC ，BM ＝CN ，∴Rt △PBM ≌Rt △PCN (HL)．∴PM ＝PN .∴点P 在∠BAC 的平分线上，即∠1＝∠2.
方法总结：证明一条射线是角的平分线
有两种方法：一是利用三角形全等证明；二是利用角平分线性质定理的逆定理证明．显然，方法二比方法一更简捷，在用方法二判定一条射线是一个角的平分线时一般分两步：一是找出或作出射线上的一点到角两边的垂线段；二是证明这两条线段相等．
探究点三：角平分线的性质和判定的综合应用
如图所示，在△ABC 外作等腰三
角形ABD 和等腰三角形ACE ，且使它们的顶角∠DAB ＝∠EAC ，连接BE 、CD 相交于P 点，AP 的延长线交BC 于F 点，试判断∠BPF 与∠CPF 的关系，并加以说明．
解析：首先猜想∠BPF ＝∠CPF ，即∠DP A ＝∠EP A ，显然这两个角所在的三角形不一定全等，可考虑用角平分线的判定来求解．
解：∠BPF ＝∠CPF ，理由如下：过A 点作AM ⊥DC 于M ，作AN ⊥BE 于N .∵∠DAB ＝∠EAC ，∴∠DAB ＋∠BAC ＝∠EAC ＋∠BAC ，∴∠DAC ＝∠BAE ，在△BAE 和△DAC 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝AD ，∠BAE ＝∠DAC ，AE ＝AC ，
∴△BAE ≌△DAC (SAS)，∴BE ＝DC ，S △BAE ＝S △DAC .∵AM ⊥DC ，AN ⊥BE ，∴
12
BE ·AN ＝1
2DC ·AM ，∴AN ＝AM ，∴P A 平
分∠DPE ，∴∠DP A ＝∠APE .又∵∠DP A ＝∠CPF ，∠EP A ＝∠BPF ，∴∠BPF ＝∠CPF .
方法总结：证明两个角相等：①如果在一个三角形里，通常利用等边对等角；②如果在两个三角形里，通常证所在的两个三角形全等或利用角平分线的判定．
探究点四：利用角平分线的性质作图
如图所示，一条南北走向的铁路
与一条东西走向的公路交叉通过，一工厂在
铁路的东面，公路的南面，距交叉路口300m ，并且工厂到铁路与公路的距离相等．请在图上标出工厂的位置，并说明理由(比例尺为1∶20000)．
解：画出∠AOB 的平分线OC ，在射线OC 上量出表示实际距离300m 长度的图上距离线段OP ，OP ＝300×1
20000＝0.015(m)
＝1.5(cm)．
因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以点P 即是工厂在图中的位置．
方法总结：解决此类问题的关键是把实际问题转化为数学模型，进一步运用数学知识来解决．
三、板书设计 角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．
角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
在教学中要注意强调与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等，从而可以简化解题过程.。
