北师大版八年级数学下册角平分线-教案

课题：1.4.1角平分线教学目标：1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理．2．进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力．3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。

教学重点与难点：重点: 角平分线的性质定理、判定定理.难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题.课前准备：多媒体课件、纸制角的模型。

教学过程：一、问题导学，自主探究【思考与探索】有一种蜘蛛网的主网线是它相邻的主网线构成的角平分线(如图)，如果蜘蛛在∠AOB 平分线OC 上一点P 处,为尽快爬到OA 或OB 上控制猎物,你认为它应该选择什么路线?两条路线长度关系怎样?处理方式：先观察图形，结合实践经验师生交流，根据“点到直线的距离垂线段的长最短”可以发现蜘蛛会沿着所在的点与角的边垂直的路线爬行，即蜘蛛所走的路线是从P 到A 和从P 到B ．然后教师提问：两条路线长度相等吗？学生讲述：我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：（边演示边说明．）从折纸过程中，我们可以得出PD =PE ，所以蜘蛛选择的两条路线长度相等 ．B P【预设：如果学生不易想到角平分线上的点到角两边的距离相等，教师可提问：同学们，还记得角平分线上的点有什么性质吗? 回想一下，当时是怎样得到的？】师：这节课，我们应用推理的方法探究角平分线的有关性质．【教师板书课题：1.4角平分线（1）】设计意图：通过蜘蛛实例的思考与探索，实际上既复习了点到直线的距离这一概念，又发现感知角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质定理．通过动手折出角平分线，观察、验证平分线上的点到角的两边的距离相等.其一是激发了学生的求知的欲望、培养了学生的学习兴趣，其二是为了培养学生善于动手动脑、善于发现的学习习惯．二、诱思探究，展示交流活动一：探究“角平分线上的点到角的两边的距离相等”．1．讨论问题1：你能否将“蜘蛛实例”的结论转化为一个命题？问题2：你能说出这一命题的条件与结论吗？处理方式：学生分组讨论，教师巡视，对有困难的学生进行指导，完成后在小组内交流，说出自己的发现．“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这一命题的条件是“点在角平分线上”，结论是“这点到角两边的距离相等”.师生结合图形认识“点到角的两边的距离”实际上就是“由点向这个角的两边所在直线作垂线，这个点与垂足之间垂线段的长度”.2．证明问题：你能否证明“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这一命题吗？处理方式：学生试着根据条件和结论画出图形，写出已知和求证.已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．教师给学生留出思考的时间和空间，不要代替学生思考，要给他们展示自我的机会．让一位学生到黑板上画出图形(示意图)、写出已知和求证，然后证明．其他学生在练习本上完成．同时巡视指导并收集具有代表性的错误及不规范的书写．证明：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠1=∠2，又∵OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．（请学生回忆蜘蛛控制猎物的方法、两条路线长度相等的道理．）3.小结师生共同归纳：我们把它叫做角平分线的性质定理(用多媒体演示并板书)定理在角平分线上的点到角的两边的距离相等.符号语言：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等) ．设计意图：放手让学生独立完成，并以黑板上学生的板演为样本，讲解定理及其证明，对学生不规范的书写和表达予以纠正，同时也能理顺学生的证明并让学生对定理的理解更加深入．通过符号语言，把抽象的问题形象化，有利于学生对定理的理解、应用．【教师提炼】这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一．活动二：探究“在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．”．1.写出“角平分线上的点到角的两边的距离相等.”的逆命题.同学们表现的的很好！请大家继续思考下面的问题：（1）你能写出角平分线的性质定理的逆命题吗？（2）它是真命题吗？处理方式：学生分组交流，教师对困难学生个别辅导，师生共同纠正得出逆命题．在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．【预设：此时有学生提问：“我觉得这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．”师释疑：这位同学思考问题很深刻．事实上，从同一点出发的两条射线一般组成两个角，而“角的内部”通常是指其中小于180°的角的内部，其余部分为角的外部．注意：如果没有学生提出，教师要适当引导，让学生看到这一情况.】如上图所示，只有射线OC(即在∠AOB内部的射线)才是∠AOB的平分线．因此逆命题中应加上“在角的内部”的条件．2.证明我们想想如何证明它的正确性，大家思考交流.（学生合作板书已知、求证.）已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E分别为垂足且PD=PE。

北师大版数学八年级下 1.4 角平分线（1）教学设计已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E.求证：PD＝PE.归纳：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．几何语言：∵点P在∠AOB平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE.练习1：如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是()A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC＝ODC．∠OPC＝∠OPD D．PC＝PD答案：D想一想：你能写出定理：“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你加以证明.答案：逆命题：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．是真命题.已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD丄OA，PE丄OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE．求证：OP平分∠AOB.证明：∵PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E，∴∠ODP＝∠OEP＝90°，∵PD＝PE，OP＝OP，∴Rt△DOP≌Rt△EOP ( HL ).∴∠1＝∠2 (全等三角形的对应角相等).∴OP平分∠AOB.归纳：角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上.追问：角平分线的性质定理及判定定理之间有什么关系呢？答：它们是一组互逆定理.温馨提示：角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等的新途径；角平分线的逆定理是证明点在直线上（或直线经过某一点）的根据之一.练习2：如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是( )A．线段CD的中点B．CD与过点O作CD的垂线的交点C．CD与∠AOB的平分线的交点D．以上都不对答案：C例1:如图,在△ABC中,∠BAC＝60°,点D在BC上,AD＝10, DE丄AB,DF丄AC ,垂足分别为E，F，且DE＝DF，求DE的长.证明：∵DE丄AB, DF丄AC，垂足分分别为E，F,且DE＝DF，∴AD平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.又∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°.在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10，∴DE＝12AD＝12×10＝5 (在直角三角形中，如果一个锐角等于30°. 那么它所对的直角边等于斜边的一半).练习3：如图，已知BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB 于点E，BF和CE相交于点D. 求证：AD平分∠BAC.证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，∴∠DEB=∠DFC＝90°.在△BDE和△CDF中，∵∠BDE=∠CDF，∠DEB=∠DFC，BE=CF，∴△BDE≌△CDF(AAS)．∴DE=DF.又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，∴AD平分∠BAC.1．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是()A．1 B．2 C．3 D．4答案了：B2．在正方形网格中，∠AOB和点P，Q，M，N的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是()A．M B．N C．P D．Q答案：A如图,在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E.若AB＝6 cm，求△DEB的周长．解：∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴CD＝DE，∠C＝∠DEA＝90°.在Rt△ACD和Rt△AED中，∵CD＝ED，AD＝AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．∴AC＝AE.又∵CD＝DE，∴BC＝CD＋DB＝DE＋DB.又∵AC＝BC，∴AE＝AC＝DE＋DB.∴DE＋DB＋BE＝AB＝6 cm.∴△DEB的周长为6 cm.下面让我们一起赏析一道中考题：（2018·大庆）如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（）A．30° B．35° C．45° D．60°答案：B在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知。

1．4角平分线第1课时角平分线1．复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理；(重点) 2．能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题．(难点)一、情境导入问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线的性质定理【类型一】应用角平分线的性质定理证明线段相等如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F 在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB ＝AF＋2EB.解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即CD＝DE.再根据Rt△CDF≌Rt△EBD，得CF＝EB；(2)利用角平分线的性质证明△ADC和△ADE全等得到AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行证明．证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE ⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.在Rt△DCF和Rt△DEB中，∵BD＝DF，DC＝DE，∴Rt△CDF ≌Rt△EBD(HL)．∴CF＝EB；(2)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在△ADC与△ADE 中，∵CD＝DE，AD＝AD，∴△ADC≌△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB ＝AF＋2EB.方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等．【类型二】角平分线的性质定理与三角形面积的综合运用如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB ＝4，则AC的长是()A．6 B．5 C．4 D．3解析：过点D作DF⊥AC于F，∵AD 是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝12×4×2＋12×AC×2＝7，解得AC＝3.故选D.方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．【类型三】角平分线的性质定理与全等三角形的综合运用如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF ⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.解析：由角平分线上的性质可得DE＝DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△CDF 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE ⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∵CD＝CD，DE＝DF，∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．探究点二：角平分线的判定定理【类型一】角平分线的判定如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．解析：先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分线的判定可知AD是∠BAC的平分线．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF ⊥AC于点F，∴∠BED＝∠CFD，∴△BDE 与△CDF是直角三角形．在Rt△BDE和Rt △CDF中，∵BE＝CF，BD＝CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC 的平分线．方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．【类型二】角平分线的性质和判定的综合如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.下面给出四个结论，①AD 平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC可得DE＝DF，由此易得△ADE≌△ADF，故∠ADE＝∠ADF，即①AD平分∠EDF正确；②AE＝AF正确；中垂线上的点到两端点的距离相等，故③正确；∵④到AE、AF距离相等的点，在∠BAC 的角平分线AD上，到DE、DF的距离相等的点在∠EDF的平分线DA上，两者同一条直线上，所以到DE、DF的距离也相等正确，故④正确；①②③④都正确．故选 D.方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等．【类型三】添加辅助线解决角平分线的问题如图，△ABC的∠ABC和∠ACB 的外角平分线交于点 D.求证：AD是∠BAC 的平分线．解析：分别过点D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE＝DG，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上来证明．证明：分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G.∵BD 平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴点D在∠BAC的平分线上，∴AD是∠BAC的平分线．方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．【类型四】线段垂直平分线与角平分线的综合运用如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.(1)找出图中相等的线段；(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可证明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根据角平分线的性质可得OE＝OF.解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，∴OC ＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD；(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，∵AC＝AD，OC＝OD，AO＝AO，∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键．三、板书设计1．角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．2．角平分线的判定定理在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练.。

2021年北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》教案一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学八年级下册第1章“角的计算”中的一个知识点。

在此之前，学生已经学习了角的概念、分类和度量。

角平分线的引入，既是对角概念的深化，也是对角度量方法的扩展。

它不仅有助于提高学生的空间想象力，还能够培养学生的几何思维能力。

二. 学情分析八年级的学生在数学学习方面已经有了一定的基础，对于角的概念和度量方法有一定的了解。

但学生在空间想象力方面参差不齐，对于抽象的几何概念的理解和运用还有待提高。

因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，引导学生通过观察、操作、思考、讨论等多种方式，理解和掌握角平分线的性质和运用。

三. 教学目标1.知识与技能：理解角平分线的定义，掌握角平分线的性质，能够运用角平分线解决一些简单的几何问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、讨论等活动，培养学生的空间想象力，提高学生的几何思维能力。

3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 教学重难点1.重点：角平分线的定义和性质。

2.难点：角平分线的运用和证明。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、直观演示法等多种教学方法，引导学生主动探究，合作交流，提高学生的几何思维能力。

六. 教学准备1.教具：直尺、圆规、三角板、多媒体设备。

2.学具：每位学生准备一套几何画图工具，包括直尺、圆规、三角板等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活中的实例引入角平分线的概念，如：“在修筑公路时，如何确定两条路的交叉口的角度？”引导学生思考，角平分线在实际生活中的应用。

2.呈现（10分钟）呈现角平分线的定义和性质，引导学生通过观察、操作、思考，总结出角平分线的性质。

3.操练（10分钟）学生分组进行讨论，尝试用角平分线解决一些简单的几何问题，如：“已知一个三角形的两个角，如何求第三个角？”4.巩固（10分钟）学生独立完成一些有关角平分线的练习题，巩固所学知识。

北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》教案一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学八年级下册第1章“几何变换”中的一个重要内容。

本节课主要介绍了角平分线的性质及其在几何图形中的应用。

学生通过学习角平分线，可以进一步理解几何图形的性质，提高解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了线段的中垂线、垂直平分线的性质，对几何图形的变换有一定的了解。

但部分学生对角平分线的概念和性质理解不够深入，运用角平分线解决实际问题的能力较弱。

三. 教学目标1.理解角平分线的定义及其性质；2.学会运用角平分线解决简单几何问题；3.培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.角平分线的定义及其性质；2.运用角平分线解决实际问题。

五. 教学方法采用讲授法、示范法、讨论法、实践法等多种教学方法，引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，掌握角平分线的性质和应用。

六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材；2.准备角平分线的模型或实物；3.准备练习题和拓展题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件或实物展示，引导学生回顾线段的中垂线、垂直平分线的性质。

提问：线段的垂直平分线和中垂线有什么关系？它们在几何图形中有什么作用？2.呈现（10分钟）展示角平分线的模型或实物，引导学生观察并思考：角平分线是什么？它有什么特点？通过示范和讲解，阐述角平分线的定义及其性质。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，尝试运用角平分线解决简单几何问题。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立完成。

教师选取部分学生的作业进行点评，指出错误并讲解原因。

5.拓展（10分钟）出示拓展题，引导学生运用所学知识解决实际问题。

学生分组讨论，教师巡回指导。

6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调角平分线的性质及其在几何图形中的应用。

7.家庭作业（5分钟）布置适量的作业，让学生巩固所学知识。

8.板书（5分钟）设计简洁明了的板书，突出角平分线的性质和应用。

2024北师大版数学八年级下册1.4.1《角平分线的性质定理及逆定理》教学设计一. 教材分析《角平分线的性质定理及逆定理》是北师大版数学八年级下册第1章第4节的内容。

本节课主要介绍了角平分线的性质定理及逆定理，并通过实例让学生了解这两个定理在实际问题中的应用。

教材通过探究活动，引导学生发现角平分线的性质定理及逆定理，培养学生的观察、思考、推理能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了角的概念、线段中点的性质等知识。

但由于角平分线的性质定理及逆定理较为抽象，学生可能难以理解和运用。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知基础，通过直观演示、实例分析等方式，帮助学生理解和掌握角平分线的性质定理及逆定理。

三. 教学目标1.理解角平分线的性质定理及逆定理；2.学会运用角平分线的性质定理及逆定理解决实际问题；3.培养学生的观察、思考、推理能力；4.培养学生的合作交流意识。

四. 教学重难点1.角平分线的性质定理及逆定理的理解和运用；2.引导学生发现角平分线的性质定理及逆定理的过程。

五. 教学方法1.启发式教学：通过问题引导，激发学生的思考，培养学生解决问题的能力；2.直观演示：利用教具演示，让学生直观地理解角平分线的性质定理及逆定理；3.实例分析：通过实际问题，让学生学会运用角平分线的性质定理及逆定理解决问题；4.合作交流：引导学生分组讨论，培养学生的合作交流意识。

六. 教学准备1.教具：角平分线演示教具；2.实例：选取一些实际问题，用于练习和巩固角平分线的性质定理及逆定理；3.课件：制作课件，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件或教具，引导学生回顾角的概念和线段中点的性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）展示角平分线的性质定理及逆定理的定义，引导学生观察和思考。

通过演示教具，让学生直观地理解角平分线的性质定理及逆定理。

3.操练（15分钟）分组让学生进行讨论，分析教材中的实例，运用角平分线的性质定理及逆定理解决问题。

第一章证明（二）４．角平分线（一）一、学生知识状况分析本节在学习了直角三角形全等的判定定理及已有公理和学过的定理的基础上进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论.学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，学习角平分线的画法，并还能说明所作的射线是角平分线的理由，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质．二、教学任务分析本节课的教学目标是：．知识目标：①角平分线的性质定理的证明．②角平分线的判定定理的证明．③用尺规作已知角的角平分线．．能力目标：①进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力．②体验解决问题策略的多样性，提高实践能力．．情感与价值观要求①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．．教学重点、难点重点①角平分线的性质和判定定理的证明．②用尺规作已知角的角平分线并说明理由．难点①正确地表述角平分线性质定理的逆命题．②正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明．三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：设置情境温故知新；第二环节：展示思维空间.构建活动空间；第三环节：随堂练习及时巩固；第四环节：课时小结；第五环节：课后作业第一环节：设置情境温故知新搭建探究平台问题我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：从折纸过程中，我们可以得出，即角平分线上的点到角两边的距离相等．你能证明它吗?第二环节：展示思维空间.构建活动空间请同学们自己尝试着证明它，然后在全班进行交流．已知：如图，是∠的平分线，点在上，⊥，⊥，垂足分别为、．求证：．证明：∵∠∠，，∠∠°，∴△≌△()．∴(全等三角形的对应边相等)．(教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导)我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理，我们再来一起陈述：(用多媒体演示)角平分线上的点到这个21ED CPOBA角的两边的距离相等．我们经常用逆向思维得到一个原命题的逆命题．你能写出这个定理的逆命题吗?我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题．如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．此时有学生提问：“我觉得这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．”教师肯定这位同学思考问题很仔细．并加以解释。

1.4角均分线（第 2 课时三角形三个内角的均分线）教课目的1．在角均分线的基础上概括出三角形三个内角的均分线的有关性质．2．可以运用三角形三个内角的均分线的性质解决实质问题．3．提升学生综合运用数学知识和方法解决问题的能力．教课要点在角均分线的基础上概括出三角形三个内角的均分线的有关性质．教课难点可以运用三角形三个内角的均分线的性质解决实质问题．课时安排1课时教课过程导入新课【问题】在一个三角形居住区内修有一个学校 P，P 到 AB，BC，CA三边的距离都相等 , 请在三角形居住区内标出学校 P的地点 ,P 在哪处？研究新知【活动】活动 1 分别画出以下三角形三个内角的均分线，你发现了什么？锐角三角形直角三角形钝角三角形【互动】（小组议论作图，教师指引总结结论）锐角三角形直角三角形钝角三角形发现：三角形的三条角均分线订交于一点.【活动】活动 2 （学生着手作图，发现结论）分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.【研究】（小组议论）剪一个三角形纸片，经过折叠找出每个角的角均分线，察看这三条角均分线，你能否发现相同的结论？结论：三角形三个角的均分线订交于一点, 且到三边的距离相等 .【思虑】（小组合作，老师指导）要证明这个结论，该怎样设计证明思路呢?要证明三角形的三条角均分线订交于一点，只需证明此中两条角均分线的交点必定在第三条角均分线上即可.【互动】（引起学生思虑，老师指导）试写出证明过程．已知：如图，△ ABC的角均分线 BM，CN订交于点 P.求证：点 P 在∠ A 的均分线上，且点P 到三边 AB， BC，CA的距离相等 .证明：过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直于 AB， BC，CA，垂足分别为 D，E，F.∵BM是△ ABC的角均分线，点 P 在 BM上，∴ PD=PE同.理 PE=PF.∴PD=PE=PF.即点 P 到三边 AB， BC，CA的距离相等 .由 PD=PF，可得点 P 在∠ A 的均分线上 .【研究】（师生互动）下边我们用学得的这个结论，解决下边的例题.【例题】如图，在直角△ ABC 中， AC=BC,∠C ＝90 ，AP 均分∠ BAC ，BD 均分∠ ABC ，AP,BD 交于点 O ，过点 O 作 OM ⊥AC,OM ＝4.(1) 求点 O 到△ ABC 三边的距离和；(2) 若△ ABC 的周长为 32，求△ ABC 的面积 .【思虑】（激发学生思虑）先剖析第（ 1）小题 .由三角形三个角的均分线订交于一点 , 且到三边的距离相等知，点 O 到△ ABC 三边的距离和为 3OM=12.【研究】（学生小组议论）第（ 2）小题，直角△ ABC 的两直角边的长未知，周长已知，怎样利用条件求△ ABC 的面积？用面积切割法来解答：解：如图，连结 OC ，过点 O 作 ON ⊥BC ， OE ⊥AB ，垂足分别为 N ，E ，则 S △ ABC =S △ AOC +S △ BOC +S △ AOB=1 1 12 AC ·OM+ BC ·ON+ AB · OE 22 = 1 OM ·(AC+BC+AB)2= 1 ×4×32=64.2【总结】 ( 学生总结，老师评论 ) 三角形内角均分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角均分线的交点，这一结论在此后的学习中会常常用到．讲堂练习1.如图，在△ ABC中，点 O是△ ABC内一点，且点 O到△ ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠ BOC的度数为 ()A．110°B．120°C．130°D．140°2.已知： OE 均分∠ AOB，P 为 OE上一点， PC⊥OA于 C，且 PC=5，则 P 点到OB的距离为 _____.3．已知：如图，在直角三角形ACB中，∠ ACB=90°，∠ B=40°，AD 均分∠ CAB 交BC于 D点，则∠ CAD =________.4.如图 , 直线 l1、l2、l 3表示三条相互交错的公路 , 现要建一个货物中转站 , 要求它到三条公路的距离相等 , 可选择的地点有几处 ? 画出它的地点 .参照答案1.A2.53.25°4.解：有四周，如下图 .讲堂小结三角形内角平分线的性质部署作业性质：三角形的三条角均分线交于一点，而且这一点到三条边的距离相等应用：地点的选择问题教材习题 1.10题1、题2、题3.板书设计4角均分线第 2 课时三角形三个内角的均分线锐角三角形直角三角形钝角三角形结论：三角形三个内角的均分线订交于一点, 且到三边的距离相等 .已知：如图，△ ABC的角均分线 BM，CN订交于点 P.求证：点 P 在∠ A 的均分线上，且点P 到三边 AB， BC，CA的距离相等 .证明：过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直于 AB， BC，CA，垂足分别为 D，E，F.∵BM是△ ABC的角均分线，点 P 在 BM上，∴ PD=PE同.理 PE=PF.∴PD=PE=PF.即点 P 到三边 AB， BC，CA的距离相等 .由 PD=PF，可得点 P 在∠ A 的均分线上 .例如图，在直角△ ABC中，AC=BC,∠C＝90 ，AP均分∠ BAC，BD均分∠ABC，AP,BD交于点 O，过点 O作 OM⊥AC,OM＝4.(1)求点 O到△ ABC三边的距离和；(2)若△ ABC的周长为 32，求△ ABC的面积 .。