最新人教版高中数学必修2第三章《点到直线的距离》预习导航

3.3.2点到直线的距离及两条平行直线间的距离 基础梳理1．点P0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0练习1：点P 0(0，5)到直线2x －y ＝02．平行直线Ax ＋By ＋n ＝0，Ax ＋By ＋m ＝0练习2：直线y ＝a 与直线y ＝b 的距离d ＝|b －a |．►思考应用1．点P(x ，y)到直线y ＝b 的距离为|b －y|，点P(x ，y)到直线x ＝a 的距离d ＝|a －x|．2．已知直线l 1：3x ＋y －3＝0，l 2：6x ＋2y ＋1＝0，l 1与l 2是否平行？若平行，求l 1与l 2间的距离．解析：l 1方程可化为6x ＋2y －6＝0，l 1∥l 2，由两平行线间的距离公式得d ＝|－6－1|36＋4＝71020. 自测自评1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为(D ) A ．1 B . 3 C ．2 D . 5解析：d ＝|－5|1＋22＝ 5.2．若点(2，k)到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是(D )A ．1B ．－3C ．1或53D ．－3或173解析：由点到直线的距离公式|10－12k ＋6|52＋122＝4， 解得k ＝－3或k ＝173. 3．点P(－2，0)到直线y ＝3的距离为3．4．两条平行直线3x ＋4y －2＝0，3x ＋4y －12＝0之间的距离为2．解析：d ＝|－2＋12|32＋42＝105＝2. 基础达标1．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(D) A ．4 B.21313C.52613D.72613 解析：∵3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0平行，∴m ＝4.∴两平行线间的距离：d ＝|－3－12|32＋22＝7213＝72613. 2．两平行线y ＝kx ＋b 1与y ＝kx ＋b 2之间的距离是(B )A ．b 1－b 2 B.|b 1－b 2|1＋k2 C ．|b 1－b 2| D ．b 2－b 1解析：两直线方程可化为kx －y ＋b 1＝0，kx －y ＋b 2＝0. ∴d ＝|b 1－b 2|1＋k2. 3．过点(1，2)且与原点距离最大的直线方程是(A )A ．x ＋2y －5＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝0解析：所求为过A (1，2)，且垂直OA 的直线，∴k ＝－12， ∴y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 4．点P (m －n ，－m )到直线x m ＋y n ＝1的距离等于(A )A.m 2＋n 2B.m 2－n 2C.n 2－m 2D.m 2±n 2解析：直线方程可化为nx ＋my －mn ＝0，故d ＝|（m －n ）n －m 2－mn |m 2＋n 2＝|mn －n 2－m 2－mn |m 2＋n2＝m 2＋n 2. 5．与直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于55的直线方程为(D ) A ．2x ＋y ＝0B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0解析：根据题意可设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，因为两直线间的距离等于55，所以d ＝|c －1|22＋12＝55，解得c ＝0，或c ＝2. 所以所求直线方程为2x ＋y ＝0，或2x ＋y ＋2＝0. 6．垂直于直线x －3y ＋1＝0且到原点的距离等于5的直线方程是________． 解析：由题意，可设所求直线方程为3x ＋y ＋c ＝0，则|c |2＝5. ∴|c |＝10，即c ＝±10.答案：3x ＋y －10＝0或3x ＋y ＋10＝07．求点P (3，－2)到下列直线的距离：(1)y ＝34x ＋14； (2)y ＝6；(3)x ＝4.解析：(1)把方程y ＝34x ＋14写成3x －4y ＋1＝0， 由点到直线的距离公式得 d ＝|3×3－4×（－2）＋1|32＋（－4）2＝185. (2)因为直线y ＝6平行于x 轴，所以d ＝|6－(－2)|＝8.(3)因为直线x ＝4平行于y 轴，所以d＝|4－3|＝1.巩固提升8．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是(A)A．8 B．2 2C. 2 D．169．直线l在x轴上的截距为1，又有两点A(－2，－1)，B(4，5)到l的距离相等，则l的方程为________．解析：显然l⊥x轴时符合要求，此时l的方程为x＝1；设l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.∵点A，B到l的距离相等，∴|－2k＋1－k|k2＋1＝|4k－5－k|k2＋1.∴|1－3k|＝|3k－5|，∴k＝1，∴l的方程为x－y－1＝0.综上，l的方程为x＝1，或x－y－1＝0.答案：x＝1，或x－y－1＝010．求与直线2x－y－1＝0平行，且和2x－y－1＝0的距离为2的直线方程．解析：解法一由已知可设所要求的直线方程为2x－y＋c＝0，则两条平行直线间的距离为d＝|c－（－1）| 22＋（－1）2，∴|c＋1|5＝2，∴|c＋1|＝2 5.∴c＝－1±25，所求直线方程为2x－y＋25－1＝0或2x－y－25－1＝0. 解法二设所要求的直线上任意一点P(x，y)，则P到直线2x－y－1＝0的距离为d＝|2x－y－1|22＋（－1）2，∴|2x－y－1|5＝2，∴2x－y－1＝±2 5.∴所要求的直线方程为2x－y＋25－1＝0或2x－y－25－1＝0.1．点到直线的距离公式是本节的重要公式，其用途十分广泛，在使用此公式时，若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．2．点到直线的距离的特殊形式：P(x0，y0)到直线y＝b的距离为|y0－b|，到直线x＝a 的距离为|x0－a|；若P(x0，y0)在直线上，公式也适用，此时d＝0.3．在求两平行线间距离时要注意首先将两直线方程中x，y的系数化为相同的．。

高一数学总复习学案 必修2第三章：直线与方程一、知识点 倾斜角与斜率1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<.2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2121y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）12//l l ⇔12k k =；（2）12l l ⊥⇔121k k ⋅=-.2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；…. 直线的点斜式方程1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：00y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.直线的两点式方程1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=.3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++. 直线的一般式方程1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A Cy x B B=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为C B -的直线.2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为10Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为10Bx Ay C -+=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B CA B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠. 两条直线的交点坐标1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.两点间的距离1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y，则两点间的距离为：12||PP .特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；点到直线的距离及两平行线距离1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为d =.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式d ，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即002Ax By C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为d =二、直线方程对应练习 一.选择题1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=02. 过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A. 012=-+y x B.052=-+y x C. 052=-+y x D. 072=+-y x 3. 已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ） A. 0 B. 8- C. 2 D. 104.(安徽高考)直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是（ ）A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=05.设直线ax+by+c=0的倾斜角为θ，切sin cos 0θθ+=则a,b 满足 （ ） A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=06. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、23- D 、327.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ） A 2 B 21 C 1 D 278. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）9. （上海文，15）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 值是（ ）A. 1或3B.1或5C.3或5D.1或210、若图中的直线L 1、L 2、L 3的斜率分别为K 1A 、K 1﹤K 2﹤K 3B 、K 2﹤K 1﹤K 3C 、K 3﹤K 2﹤K 1D 、K 1﹤K 3﹤K 211、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C. 3x-2y-12=0D. 2x+3y+8=0 12. 若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则( )A. ab ＞0，bc ＞0B. ab ＞0，bc ＜0C. ab ＜0，bc ＞0D. ab ＜0，bc ＜013. 如果直线 l 经过两直线2x - 3y + 1 = 0和3x - y - 2 = 0的交点，且与直线y = x 垂直，则原点到直线 l 的距离是( )A. 2B. 1C.2D. 22 14. 原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为( )A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54- B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- 二、填空题1. 点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________。

点到直线的距离公式说课稿今天我说课的内容是人教版数学必修（2）第三章“3.3.3点到直线的距离”，主要内容是点到直线的距离公式的推导和公式的简单应用．我将通过教材分析、目标分析、教法学法、教学程序和教学评价五个部分，阐述本课的教学设计．一一、、教教材材与与学学情情分分析析1．地位与作用：本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了高中解析几何的定量计算。

对本节的研究，既是两点间距离公式的继续,又为两条平行直线的距离的推导以及后面直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习，奠定了基础，具有承上启下的重要作用。

2．学情分析：学生已经学习了两点之间的距离公式，具备直线的有关知识，如交点、垂直、三角形、两点间距离公式等。

学生对坐标法解决几何问题有了初步的认识。

我校学生实际是基础扎实、思维活跃，但解题能力特别是抽象思维的能力比较欠缺，所以需要老师循序渐进的引导。

二二、、目目标标分分析析【知识与技能】让学生理解点到直线距离公式的推导过程 ，掌握点到直线距离公式及其简单应用【过程与方法】通过推导公式方法的发现，培养学生观察发现、分析归纳、抽象概括、数学表达等基本数学思维能力；在推导过程中，渗透数形结合、转化化归等数学思想以及特殊与一般的方法.【情感态度价值观】引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神.【重点】 点到直线距离公式和简单应用．【难点】 点到直线距离公式的推导．三三、、教教法法学学法法数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，使学生在学习中培养坚强的意志品质、形成良好的道德情感。

为此我设计如下教法和学法：1．教学方法在“以生为本”理念的指导下，充分体现课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，构建学生主动的学习活动过程。

高中数学必修 2 知识点总结 （2）画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等（ 1）棱柱：定义 ：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体。

分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱 ABCDE A 'B 'C 'D 'E ' 或用对角线的端点字母，如五棱柱 AD 几何特征 ：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于 底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥定义 ：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示 ：用各顶点字母，如五棱锥 P A 'B 'C 'D 'E '几何特征 ：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方。

（ 3）棱台：定义 ：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示 ：用各顶点字母，如五棱台 P A 'B 'C 'D 'E '几何特征 ：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （ 4）圆柱：定义 ：以矩形的一边所在的直线为轴旋转 ,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征 ：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（ 5）圆锥：定义 ：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征 ：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（ 6）圆台：定义： 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征： ①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

第三章直线与方程复习整体设计教学分析本节课是对第三章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生基本知识系统化和网络化，基本方法条理化．本章内容大致分为三个部分：(1)直线的倾斜角和斜率；(2)直线方程；(3)两条直线的位置关系．可采用分单元小结的方式，让学生自己回顾和小结各单元知识．在此基础上，教师可对一些关键处予以强调．比如可重申解析几何的基本思想——坐标法，并用解析几何的基本思想串联全章知识，使全章知识网络更加清晰．指出本章学习要求和要注意的问题，可让学生先阅读教科书中“学习要求和要注意的问题”有关内容．教师重申坐标法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与讨论思想等数学思想方法在本章中的特殊地位．三维目标通过总结和归纳直线与方程的知识，对全章知识内容进行一次梳理，突出知识间的内在联系，进一步提高学生综合运用知识解决问题的能力．能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力．重点难点教学重点：①直线的倾斜角和斜率．②直线的方程和两直线的位置关系的应用．③激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力．教学难点：①数形结合和分类讨论思想的渗透和理解．②处理直线综合问题的策略．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.我们知道学习是一个循序渐进的过程，更是一个不断积累的过程．送给大家这样一句话：疏浚源头流活水，承上基础梳理已整合；千寻飞瀑悬彩练，启下重点突破须提升．每学完一个单元都要总结复习，这节课我们就来复习刚结束的本章．引出课题．思路2.为了系统掌握第三章的知识，教师直接点出课题．推进新课新知探究提出问题①第一节是直线的倾斜角和斜率棳需 要注意什么?②第二节是直线的方程,有几种形式? 各自的适用范围怎样?③第三节是两直线的位置关系,分为哪些内容? 如何判断?④画出本章的知识结构图.活动：让学生自己回顾所学知识或结合教材，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按教材的章节标题来分类．对于画知识结构图，可让学生合作交流，待学生有了不同画法后，先对比分析，再画本章的知识结构图．讨论结果：①直线的倾斜角(α)和斜率(k )：倾斜角范围：0°≤α<180°，斜率：k ∈R .k 与α的关系：k ＝⎩⎪⎨⎪⎧不存在，α＝90°，tan α＝y 2－y 1x 2－x 1，α∈[0°，90°)∪(90°，180°). 注意倾斜角为90°的直线的斜率不存在(分类讨论)．②直线方程的五种形式及适用范围：(a)斜截式：y ＝kx ＋b ，不含与x 轴垂直的直线．(b)点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，不含与x 轴垂直的直线．(c)两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1，不含与x轴、y轴垂直的直线．(d)截距式：xa＋yb＝1，不含过原点和与x轴、y轴垂直的直线．(e)一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，无限制(可表示任何直线)．注：两点式的“改良”(x－x1)(y2－y1)－(y－y1)(x2－x1)＝0，可表示任何直线．③分为：两条直线的位置关系及点到直线的距离和两条平行线间的距离．判定两条直线的位置关系(三种：相交、平行、重合)．设l1：y＝k1x＋b1，A1x＋B1y＋C1＝0；l2：y＝k2x＋b2，A2x＋B2y＋C2＝0.(a)l1∩l2＝P⇔k1≠k2或仅有一个不存在⇔A1B2－A2B1≠0；l1⊥l2⇔k1k2＝－1或一个为零一个不存在⇔A1A2＋B1B2＝0.(b)l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2或k1，k2均不存在⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0.(c)l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2或k1，k2均不存在⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0.④第三章的知识结构图如图1所示．从几何直观到代数表示(建立直线的方程)从代数表示到几何直观(通过方程研究几何性质和度量)图1应用示例思路11求满足下列条件的直线方程：(1)经过点P(2，－1)且与直线2x＋3y＋12＝0平行；(2)经过点Q(－1,3)且与直线x＋2y－1＝0垂直；(3)经过点R(－2,3)且在两坐标轴上截距相等；(4)经过点M(1,2)且与点A(2,3)、B(4，－5)距离相等；(5)经过点N(－1,3)且在x轴的截距与它在y轴上的截距的和为零．解：(1)2x＋3y－1＝0.(2)2x－y＋5＝0.(3)x＋y－1＝0或3x＋2y＝0.(4)4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.(5)3x＋y＝0或x－y＋4＝0.224，求直线l 的方程．解：设l ：3x ＋4y ＋m ＝0，则当y ＝0时，x ＝－m 3；当x ＝0时，y ＝－m 4. ∵直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为24，∴12·|－m 3|·|－m 4|＝24.∴m ＝±24.1．如果直线x ＋2ay －1＝0与直线(3a －1)x －ay －1＝0平行，则a 等于( )A ．0 B.16 C ．0或1 D ．0或162．直线l 1：mx ＋(m －1)y ＋5＝0与l 2：(m ＋2)x ＋my －1＝0互相垂直，则m 的值是________．答案：1.D 2.m ＝0或m ＝－12拓展提升问题：过点M (1,2)作l 1交x 正半轴于A ，作l 2交y 正半轴于B ，若l 1⊥l 2，且AB 恰平分四边形OAMB 的面积，求直线AB 的方程．解：设l 1：y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，l 2：y －2＝－1k(x －1)，即x ＋ky －2k －1＝0.则A (1－2k ，0)，B (0,2＋1k)． 则|OA |·|OB |＝|MA |·|MB |，∴|1－2k |·|2＋1k |＝(2k )2＋4·1＋(1k)2.解得k ＝34或k ＝－43. 则A (－53，0)，B (0，103)或A (52，0)，B (0，54)． ∴AB 方程为x －53＋y 103＝1或x 52＋y 54＝1， 即6x －3y ＋10＝0或2x ＋4y －10＝0.课堂小结本节课总结了第三章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法，渗透了几种重要的数学思想方法．作业课本本章复习参考题A 组8、9、10.设计感想本节在设计过程中，注重了两点：一是体现学生的主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是既有基础知识的复习、基本题型的联系，又为了满足高考的要求，对教材内容适当拓展．本节课对此进行了归纳和总结．备课资料备用习题1．已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0都通过点P (2,3)，求经过两点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)的直线方程．解：依题意得2a 1＋3b 1＋1＝0，这说明Q 1(a 1，b 1)在直线2x ＋3y ＋1＝0上，同理，Q 2(a 2，b 2)也在直线2x ＋3y ＋1＝0上．因为两点确定一直线，所以经过两点Q 1(a 1，b 1)、Q 2(a 2，b 2)的直线方程为2x ＋3y ＋1＝0.2．从点A (－4,1)出发的一束光线l ，经过直线l 1：x －y ＋3＝0反射，反射光线恰好通过点B (1,6)，求入射光线l 所在的直线方程．解：设B (1,6)关于直线l 1的对称点为B ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋12－y 0＋62＋3＝0，y 0－6x 0－1·1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝4. ∴直线AB ′的方程为y －14－1＝x ＋43＋4，即3x －7y ＋19＝0. 故直线l 的方程为3x －7y ＋19＝0.3．已知直线l ：2x －y ＋1＝0和点A (－1,2)、B (0,3)，试在l 上找一点P ，使得|P A |＋|PB |的值最小，并求出这个最小值．解：过点B (0,3)且与直线l 垂直的直线方程为l ′：y －3＝－12x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，y ＝－12x ＋3，得⎩⎨⎧ x ＝45，y ＝135，即直线l 与直线l ′相交于点Q (45，135)． 点B (0,3)关于点Q (45，135)的对称点为B ′(85，115)， 连接AB ′，则依平面几何知识，知AB ′与直线l 的交点P 即为所求．直线AB ′的方程为y －2＝113(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，y ＝113x ＋2713，得⎩⎨⎧x ＝1425，y ＝5325，即P (1425，5325)，相应的最小值为|AB ′|＝(－1－85)2＋(2－115)2＝1705.。

3．3.4 两条平行直线间的距离1．掌握两条平行直线间距离的定义．2．会求两条平行直线间的距离．两条平行直线间的距离(1)定义：夹在两条平行直线间__________的长叫做这两条平行直线间的距离．(2)求法：转化为求__________的距离，即在其中任意一条直线上任取一点，这点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离．【做一做】 两条平行直线x ＋y ＋2＝0与x ＋y －3＝0的距离等于( ) A.52 2 B.22 C ．5 2 D. 2答案：(1)公垂线段 (2)点到直线【做一做】 A两条平行直线间的距离公式剖析：对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.当直线l 1∥l 2时，它们的方程可以化为以下形式：直线l 1：A x ＋B y ＋D 1＝0，直线l 2：A x ＋B y ＋D 2＝0. 在直线l 1上任取一点P(x 0，y 0)，则有l 1：A x 0＋B y 0＋D 1＝0，即A x 0＋B y 0＝－D 1.所以点P 到直线l 2的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋D 2|A 2＋B 2＝|－D 1＋D 2|A 2＋B 2＝|D 1－D 2|A 2＋B 2， 即直线l 1，l 2的距离d ＝|D 1－D 2|A 2＋B 2.(1)使用两条平行直线间的距离公式的前提条件：①把直线方程化为直线的一般式方程；②两条直线方程中x ，y 系数必须分别相等．(2)求两条平行直线间的距离通常转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，且两条平行线间距离与其中一条直线上点的选取无关．(3)当两条直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合方法来解决．①两条直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则两条平行直线间的距离d ＝|x 2－x 1|；②两条直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则两条平行直线间的距离d ＝|y 2－y 1|.题型一：求两条平行线间的距离【例1】 求两条平行线l 1：3x ＋4y －5＝0和l 2：6x ＋8y －9＝0间的距离．反思：求两条平行直线间距离有两种思路：①利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算，如本题解法一．②利用两条平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2，如本题解法二． 题型二：两条平行直线间距离公式的应用【例2】 平行于直线x －3y ＝0，且与其距离为3的直线l 的方程是__________． 反思：求平行于直线A x ＋B y ＋C ＝0的直线方程时，常设为A x ＋B y ＋m ＝0(m ≠C)，利用待定系数法来解决．有关平行直线间距离问题，常利用两条平行直线间的距离公式列出方程来解决．题型三：易错辨析易错点 利用两条平行直线间的距离公式求距离时，常忽略方程的系数【例3】 求两条平行直线l 1：3x ＋4y ＋2＝0，l 2：12x ＋16y －8＝0之间的距离．错解：d ＝|2－(－8)|32＋42＝105＝2. 错因分析：错解中，没有把l 2的方程化为3x ＋4y ＋m ＝0的形式，导致出错．反思：使用两条平行线间的距离公式求距离时，应把直线方程化为一般式，同时要使两个直线方程中x ，y 的系数对应相等．答案：【例1】 解：解法一：在直线l 1：3x ＋4y －5＝0上任取一点，不妨取点P (0，54)， 则点P 到直线l 2：6x ＋8y －9＝0的距离即为两条平行直线间的距离．因此d ＝|0×6＋8×54－9|62＋82＝110. 解法二：把l 2：6x ＋8y －9＝0化为3x ＋4y －92＝0， 由两条平行直线间的距离公式，得d ＝|－5－(－92)|32＋42＝110. 【例2】 x －3y ＋6＝0或x －3y －6＝0【例3】 正解：l 2：12x ＋16y －8＝0可化为3x ＋4y －2＝0，根据两条平行线间的距离公式，可得d ＝|2－(－2)|32＋42＝45.1．直线46x y -＝1与y ＝32x ＋1之间的距离为( )A.13B.13C.2D．242．平行直线x－y＝0与x－y＋m＝0，则实数m＝__________.3．直线l与两条平行直线l1：x－3y＋1＝0，直线l2：x－3y＋5＝0的距离相等，则直线l的方程是__________．4．两条平行线3x＋4y＋5＝0与6x＋a y＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝__________.5．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．答案：1．B 2.±2 3.x－3y＋3＝0 4.105．解：设所求直线的方程为5x－12y＋m＝0(m≠6)，由两条直线的距离为2＝2.则m＝32或m＝－20，故所求直线方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.。

《点到直线的距离公式》教学设计一，学习目标：（1）理解点到直线的距离公式的推导过程，选择恰当的方法得到点到直线距离公式。

（2）掌握点到直线的距离公式，掌握点到直线的距离公式的应用。

二，学习重点：点到直线的距离公式的建立。

三，学习难点：选择恰当的解决问题的办法。

四，预习内容：复习回顾：两点间距离公式_______________________.问题1：点P （2,-3）到x 轴、y 轴的距离分别是_______ ___________问题2：点P （2,-3）到直线y=2的距离是______ _________(画图)问题3：点P （2,-3）到直线x=1的距离是_____ __________(画图)问题4：点p 到直线L 的距离定义：_____ _______________ _______________ __________。

五，探究新课在平面直角坐标系中，如果已知某点0P 的坐标为),(00y x ，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点0P 到直线0:=++C By Ax l 的距离呢?方法一：定义法方法二：等面积法：如图：设00≠≠B A ，,则直线l 与y x 、轴都相交.过点0P ),(00y x 分别作两坐标轴的平行线，交直线l 于S R 、，则直线R P 0的方程为 ，R 的坐标为 ；直线S P 0的方程为 ，S 的坐标为 .于是有=||0R P ；=||0S P ；=||RS .设d Q P =|0，由三角形面积公式可得： ,于是得到点0P ),(00y x 到直线0:=++C By Ax l 的距离公式为： .六，当堂检测，及时反馈师生活动：由学生独立完成，教师根据实时反馈，落实教学效果。

设计意图：对于学生的实时反馈，可以更好的了解课堂成效。

七、课堂总结师生活动：先由学生总结，然后师生共同总结。

设计意图：帮助学生形成良好的学习习惯。

八、布置作业学生活动：学生课后根据自己的学习情况独立完成。

《点到直线的距离》教案【课题】点到直线的距离【教材】普通高中课程标准实验教科书〔必修2〕一. 教学目标1．教材分析⑴教学内容《点到直线的距离》是普通高中课程标准实验教科书〔必修二·人民教育〕，“§3.3直线的交点坐标与距离公式〞的第三节课，主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用．⑵地位与作用本节对“点到直线的距离〞的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识．对“点到直线的距离〞的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．2. 学情分析高一年级学生已掌握了函数等有关知识，具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力．根据我校学生基础知识较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高的学习现状和认知特点，本课采用启发引导法、讨论教学法．3.教学目标〔1〕知识技能①理解点到直线的距离公式的推导过程；②掌握点到直线的距离公式；③掌握点到直线的距离公式的应用．〔2〕数学思考①通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，渗透算法的思想；②通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的证明过程，培养学生的数学阅读能力；③通过灵活应用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力．〔3〕情感态度结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，认识事物〔知识〕之间相互联系、互相转化的辩证法思想，培养学生转化的思想和综合应用知识分析问题解决问题的能力。

二. 教学重点、难点1．教学重点⑴ 点到直线的距离公式的推导思路分析； ⑵ 点到直线的距离公式的应用．2．教学难点点到直线的距离公式的推导思路和算法分析．三．教学方法启发引导法、讨论法四．教学过程复习旧知:111(,)P x y ,222(,)P x y ,那么12||PP =问题引入:思考如图，点P 00(,)x y ，直线22:0(0)l Ax By C A B ++=+≠，如何求点P 到直线l 的距离？解法一：〔定义法〕0,0A B ≠≠1 当时，,PQ BQ l Q k A⊥=作P 于点则 000:()P Q Bl y y x x A-=- 00()()A y y B x x -=-即00()()0A y yB x x Ax ByC -=-⎧⎨++=⎩由得 000000()()0(1)()()(2)B x x A y y A x x B y y Ax By C⎧---=⎪⎨-+-=---⎪⎩()2222220000(1)(2)()()()A B x x y y Ax By C ⎡⎤++-+-=++⎣⎦2得22200002()()()Ax By C x x y y A B ++∴-+-=+2*d==即思考:当A=0,或B=0时,上述公式是否成立?0,0:||C CA B l y d yB B=≠=-=+2当时，此时满足*式0,0:||C CA B l x d xA A≠==-=+3当时，此时满足*式d=综上解法二：〔面积法〕利用直角三角形的面积公式的算法思路如下：教师：根据得到的算法思路，请同学们自学教材107P的证明方法．例1求点(1,2)P-到以下直线的距离：(1)2100;x y+-=(2)32;x=(3)37x y-+=; ()24(4)133y x-=-〔1〕解：根据点到直线的距离公式，得)yd===〔2〕解法①因直线32x=平行于y轴，所以25(1).33d=--=解法②根据点到直线的距离公式，得53d==(3):370l x y-+=解: 根据点到直线的距离公式, 得0.d==(4):4320.l x y--=根据点到直线的距离公式，得12.5d==注意：使用点到直线的距离公式的前提条件是把直线的方程化成一般式方程，如果给出的直线方程不是一般式方程，应先将方程化成一般式，以便确定系数A B、的值，这一点对于直线方程中含参数的问题尤为重要．.(1,3),(3,1)A B例2在平面直角坐标系内，已知两点(1)AB求直线的方程；(2)(1,0)C ABC-∆若点的坐标为，求的面积；(3)D,x ABD∆在轴求一点使的面积为7.BC:40C(1,0)ABx yh+-=-==解：(1)直线(2)点到直线的距离11||||522ABCAB S AB h∆==⨯⨯=⨯=又D(,0)AB|11||4x h ABS AB h x==∴=⨯⨯=⨯=-(3)设到直线的距离(3,0)(11,0)D D -故例3点P(m,n)在直线x + y=4上,O 是原点，那么|OP|的最小值是( )注意：等价于求原点O 到直线x + y=4的距离变式(1)：点P(m,n)在直线x + y=4上，那么m 2+ n 2的最小值是( )变式(2)：点P(m,n)在直线x + y=4( )小结本课主要学习了以下内容：〔1〕点到直线的距离公式的推导中不同的算法思路： 利用定义的算法、利用直角三角形的面积公式的算法； 〔2〕点到直线的距离公式：点00(,)P xy 到直线0Ax By C ++=的距离d =说明：对于00A B ==或时的特殊情况公式仍然适用． 〔3〕数学思想方法：作业布置〔1〕书面作业：课本110P B 组 2、5 〔2〕课后尝试：(1,3),(3,1)20A B ax y a --=1.在平面直角坐标系内，已知到直线的距离相等，求的值..2B D 74=7,3,11ABC S x x x ∆=-=-=-又，所以解得或.4.8B C .2.4A B C课后反思1．数学公式的教学应包含两个部分：公式的推导和公式的运用。

疱丁巧解牛知识·巧学一、点到直线的距离1.从直线外一点向该直线引垂线，所得垂线段的长度称为点到直线的距离.2.若P(x 0，y 0)，l ：Ax+By+C=0，则点P 到直线l 的距离为d=2200|C By Ax |B A +++.3.点到直线的距离公式适用于任何情况.其中点P 在直线l 上时，则点P 到直线l 的距离为0.4.应用点到直线距离公式解决某些综合问题时，常常借助于平面几何的有关结论，数形结合在本部分应用比较广泛.5.点到直线的距离公式为用解析法解决问题提供了依据,并且某些距离的最值问题可以转化为点到直线的距离公式来求.误区警示 (1)这个式子对A ＝0或B ＝0时的特殊情况下的直线仍成立，但实际运用比较麻烦，不如直接画出图形，观察即可得出.如点P （-1，2）到直线y ＝4的距离为d ＝｜4-2｜＝2，到直线x ＝-5的距离为d ＝｜-1-（-5）｜＝4.(2)点到直线的距离公式是本节的重要公式，其用途十分广泛.在使用此公式时，应先将直线的方程整理为一般式.另外，公式中的分子含有绝对值符号.问题·探究问题1 点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离.那么使用点到直线的距离公式的前提条件是什么？点P(x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0的距离的计算步骤是什么？ 探究:使用点到直线的距离公式的前提条件是把直线方程先化为一般式方程.点P(x 0，y 0)到直线Ax+By+C=0的距离的计算步骤是：(1)给点的坐标赋值：x 0=?,y 0=?；(2)给A 、B 、C 赋值：A=?,B=?,C=?；(3)计算d=2200|C By Ax |B A +++；(4)给出ｄ的值.问题2 如果A 、B 是平面上位于一条直线l 外的两个不同的点，你能否在该直线上确定一个点P ，使得｜PA ｜+｜PB ｜最小？有哪些情况？分别如何解决？探究:该问题共有两种情况：一是两点A 、B 在直线l 的同侧；二是两点A 、B 在直线l 的异侧.所以直线上点的确定可以分两种情况来分析.(1)若A 、B 两点在直线l 同侧，将A 、B 中任意一点对称过去，如将B 关于l 的对称点B′求出，连结AB′，交l 于P 点，因为｜PB′｜=｜PB ｜，所以｜PA ｜+｜PB ｜最小.(2)若A 、B 两点在直线l 异侧，连结AB,交l 于点P ，则｜PA ｜+｜PB ｜最小.其原理是：设P′是l 上与P 不重合的任意一点，则三点P′、A 、B 构成三角形，所以｜P′A ｜+｜P′B ｜＞｜PA ｜+｜PB ｜=｜AB ｜.典题·热题例1 求过点M(2，3)且与点P(1，0)距离是1的直线的方程.思路解析：考查点到直线的距离和直线方程的求法，可先根据条件设出所求直线的方程，由点线距离公式及题意求得待定的系数，由于在设直线方程时不包括斜率不存在时的直线，所以最后还需对直线x=2进行检验.解：当直线的斜率存在时，设过点M(2，3)且与点P(1，0)距离是1的直线的方程是y-3=k(x-2)，将其化为一般形式得kx-y-2k+3=0.由点到直线的距离得P 点到直线的距离是d=1|32|2++-k k k ，解得k=34，所求直线方程为4x-3y+1=0.当直线的斜率不存在时，直线方程为x=2也满足已知条件.综上可知，所求直线方程为4x-3y+1=0或x=2.误区警示 在求直线方程时，一般情况下，若直线过定点可设直线的点斜式方程.但要注意在直线的点斜式方程中不含斜率不存在的直线，即斜率不存在的直线不能用点斜式表示，所以应验证斜率不存在的直线是否满足已知条件.注意不要漏解.例2 已知点P(2，-1)，求：(1)过点P 且与原点的距离为2的直线方程.(2)过点P 且与原点的距离最大的直线方程，并求出最大值.(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.思路解析：由已知条件求直线的方程，往往用待定系数法，设好直线的方程后，由于题目条件与点到直线的距离有关，所以根据点到直线的距离公式列关系式求解未知量即可. 解：(1)当斜率不存在时，方程x=2适合题意.当直线的斜率存在时，设为k ，则直线方程应为y+1=k(x-2)，即kx-y-2k-1=0. 根据题意21|12|2=++k k ，解得k=43. ∴直线方程为3x-4y-10=0.∴适合题意的直线方程应为x-2=0或3x-4y-10=0.(2)过点P 且与原点的距离最大的直线方程应为过点P 且与OP 垂直的直线.易求其方程为2x-y-5=0，且最大距离d=5.(3)不存在.由于原点到过点(2，-1)的直线的最大距离为5，而56>，故不存在这样的直线. 深化升华 解决此题要注意两点，一是已知直线上一点坐标设直线方程时，一定要考虑到验证斜率不存在的特殊情况.二是对于存在性问题的解决方式，可以通过反例否决，如本题第(3)问，也可以先假设存在，然后在正确的逻辑推理下得出未知数的解，则存在，若得不出合乎条件的量，则不存在.例3 直线4x+3y-12=0与x 轴、y 轴分别交于点A 、B.(1)求∠BAO 的平分线所在直线的方程；(2)求O 到∠BAO 的平分线的距离;(3)求过B 与∠BAO 的平分线垂直的直线方程.思路解析：角平分线的性质：在角平分线上的点到角两边的距离相等.在角平分线上任取一点P(x ，y)，利用它到角两边的距离相等列出关系式，化简求解.另外结合图形分析∠BAO 的平分线只有一条，从而斜率是唯一的，观察图形便知斜率的正负情况.解：(1)由直线4x+3y-12=0，令x=0，得y=4，令y=0，得x=3，即B(0，4)，A(3，0).由图3-3-4可知，∠BAO 为锐角，∴∠BAO 的平分线所在直线的倾斜角为钝角，其斜率为负数.图3-3-4设P(x ，y)为∠BAO 的平分线上任意一点，则点P 到OA 的距离为｜y ｜，到AB 的距离为5|1234|34|1234|22-+=+-+y x y x . 由角平分线性质，得｜y ｜=5|1334|-+y x . ∴4x+3y-12=5y 或4x+3y-12=-5y ，即2x-y-6=0或x+2y-3=0.由于斜率取负值，故∠BAO 的平分线所在直线的方程为x+2y-3=0.(2)由(1)，原点O(0，0)到∠BAO 的平分线所在直线x+2y-3=0的距离为5535321|300|22==+-+. (3)由于∠BAO 所在直线的斜率为21-，∴与其垂直的直线的斜率为2. ∴过点B 且与其垂直的直线方程为y=2x+4，即2x-y+4=0.深化升华 当题目给出的条件与特殊的平面图形相关时，如与正方形、正三角形、圆等，要注意挖掘特殊图形的性质，并根据这一性质列出关系式解题.如果涉及平面图形中的一些特殊位置，如正方形的中心、三角形的重心、垂心、外心、内心、角分线等时，也要根据其定义与性质列出相应关系式.如本题中出现了一个角的平分线问题，一是考虑定义，角分线上的点到角的两边距离相等，二是可以利用对称问题，角的一边上的任一点关于角分线的对称点一定在角的另一边上.。

预习导航请沿着以下脉络预习：1．数轴：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，也称直线坐标系．2．数轴上的向量：数轴上的任意一点A 沿着数轴的正向或负向移动到另一点B ，则说点在轴上作了一次位移，简称为向量；用一个实数表示轴上的向量，实数的绝对值为线段AB 的长度，如果起点到终点的方向与轴同向，则此实数为正数，否则为负数，那么这个实数为向量AB 的数量．3．设A 、B 、C 是数轴上的三点，则AC ＝AB ＋B C ．4．数轴上两点间的距离公式：设A (x 1)、B (x 2)，则AB OB OA == ＝x 2－x 1，d (A ，B )＝|x 2－x 1|.1．不在数轴上画点，确定下列各组点中，哪几组中的点C 位于点D 的右侧( )．A ．C (－3)和D (－4)B ．C (3)和D (4)C ．C (－4)和D (3) D ．C (－4)和D (－3)答案：A2．下列说法正确的个数有( )．①数轴上的向量的坐标一定是一个实数；②向量的坐标等于向量的长度；③向量AB 与向量BA 的长度一样；④如果数轴上两个向量的坐标相等，那么这两个向量相等．A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B解析：①③④是正确的．3．A 、B 、C 三点都在数轴上，且A 是线段BC 的中点，则以下四个结论：①AB ＝BC ；②BC ＝AC ；③AB －CA ＝0中，正确命题的序号是____．答案：③4．若点A (x )位于点B (2)和点C (8)之间，则x 的取值范围是______．答案：2＜x ＜85．在数轴上，画出以下各点．A (2)；B (－3)；C (2)；D (|x |x ＋|y |y)(x ≠0，y ≠0)． 解：对于D (|x |x ＋|y |y)可能为D (2)或D (0)或D (－2)，图略． 6．对点A (a )和B (－a )在数轴上的位置，你认为有几种，依据是什么？解：三种．当a ＞0时，A (a )位于B (－a )的右侧；当a ＜0时，A (a )位于B (－a )的左侧；当a ＝0时，两点重合．。

3.3.4 两条平行直线间的距离
一览众山小
三维目标
1.探索并掌握两条平行直线间的距离公式，并能应用公式求解与距离有关的问题.
2.通过两条平行直线间的距离公式的推导过程，掌握逻辑推导的技巧.从公式的推导过程中充分培养分析与解决问题的能力.
3.通过本小节的学习，体会新知识均是建立在所学知识的基础上的.结合实例，感受科学理论的重要作用，培养学习科学知识的兴趣，树立献身于科学的理想.
学法指导
本节运用上节所学过的点到直线的距离公式以及设而不求的思想，完成思维上的转化过程，从而寻找到解题思路，进而得出两条平行线间距离.所以要先对点到直线的距离公式等相关知识进行全面复习，由旧知识阶梯性发展，从而接受新的知识.当两直线平行时，把两平行线间的距离转化为其中一条直线上的一点到另一条直线的距离.在学习时要注意对问题的分析、研究和探索.。

课堂导学三点剖析一、用两点式和截距式求直线方程【例1】 求满足下列条件的直线方程:（1）过点A(-2,3)、B(4,-1)；（2）在x 轴、y 轴上的截距分别为4,-5；（3）过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等.思路分析：（1）要根据题设的不同要求，选择适当的方程形式；（2）“截距”相等要注意分过原点和不过原点两种情况考虑.解：（1）由两点式方程得242313++=---x y ，化简得2x+3y-5=0. （2）由截距式得54-+y x =1，即5x-4y-20=0. （3）当直线过原点时，所求直线方程为3x-2y=0； 当直线不过原点时，设直线方程为a y a x +=1. 因为直线过点P(2,3)，所以a32+=1，即a=5. 所以所求直线方程为x+y-5=0.温馨提示目前我们学习求直线方程的四种形式，在求解时根据题目的条件选择合适的形式,但要注意直线方程各种形式的适用范围.各个击破类题演练1已知直线l 的斜率为-2，在x 轴、y 轴上的截距之和为12，求直线l 的方程.解法一：设直线方程的斜截式为y=-2x+b ，则令y=0得x=2b ， 由题意知b+2b =12，解得b=8. 故直线方程为y=-2x+8. 解法二：由题意知，直线在x 轴、y 轴上的截距都存在且不为零，故设直线方程为b y a x +=1，由题意得a=4,b=8. 所以所求直线方程为84y x +=1，即2x+y-8=0. 变式提升1一条直线在两轴上的截距相等，且与两轴围成的三角形的周长为4+22，求此直线的方程.解：由条件知该直线在两轴的截距均不为0，可设其方程为ay a x +=1. ①当a>0时，由条件知a+a+22a a +=4+22,即a(2+22)=4+22,∴a=2.此时其方程为x+y=2.②当a<0时，则-2a-2a=4+22.得a=-2，此时其方程为x+y=-2.综上可知，所求的直线方程为x+y=2和x+y=-2.二、灵活选用方程的不同形式来求方程【例2】 一直线过点P(-5,-4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求此直线方程. 思路分析：截距与距离不同，截距可正、可负、可为零，故这类问题会出现多解. 解法一：用点斜式显然，直线l 不垂直于坐标轴，设l 的方程为y+4=k(x+5).令x=0，得y=5k-4；令y=0，得x=k4-5, 即直线在两坐标轴上的截距分别为k4-5和5k-4. 由题意得21|(5k-4)(k4-5)|=5, 所以(5k-4)(k4-5)=±10. 若(5k-4)(k4-5)=10时，解得k 无解； 若(5k-4)(k 4-5)=-10时，解得k=58或k=52. 所以所求直线方程为y+4=58(x+5)或y+4=52(x+5). 解法二：设直线方程为by a x +=1. 因为过点P(-5,-4)，所以b a 45-+-=1. 又因为|ab|=10, 联立方程组⎩⎨⎧-==⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧±==-+-.2,5.4,25.10,145b a b a ab b a 或解得 所以所求直线方程为52-x+4y =1或25-+y x =1, 化简得8x-5y+20=0和2x-5y-10=0.类题演练2已知△ABC 的三个顶点A （-5，0），B （3，-3），C （0，2），求这个三角形三边所在直线的方程.思路分析：根据两点式、斜截式、截距式方程，分别求出三角形三边所在直线的方程. 解：直线AB 过A （-5，0）、B （3，-3）两点，由两点式得)5(3)5(030----=---x y , 整理得3x+8y+15=0.这就是直线AB 的方程.直线BC 过点C （0，2），斜率为k=3530)3(2-=---,由斜截式得，y=35-x+2. 直线AC 过点A （-5，0），C （0，2）两点，从而由截距式得25y x +-=1. 整理得AC 的直线方程为2x-5y+10=0.变式提升2已知直线l 过点（1，1）且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 的方程. 思路分析：本题条件中涉及到了点及两轴的截距问题，可用点斜式和截距式求之. 解法一：由条件知l 的斜率存在且不为0，可设l 方程为y-1=k(x-1),则由条件知，1-k=2（1-k1），解得k=1或k=-2.故l 方程为x=y 和y=-2x+3. 解法二：（1）当直线过原点时，其斜率k=101--=1，此时l 方程为y=x. （2）当直线l 不过原点时，可设截距式为ay a x 2+=1.又知l 过点（1，1），代入得a a 211+=1,∴a=23. ∴l 方程为2x+y=3.综上知l 方程为y=x 和2x+y=3.三、直线方程的综合应用【例3】 已知直线l 1：（a+2）x+(1-a)y-3=0和直线l 2:(a-1)x+(3+2a)y+2=0互相垂直. 求a 的值.思路分析：对l 1⊥l 2，若利用k 1·k 2=-1，不难发现k 1与k 2的算式中含有字母，因此要分类讨论.解：（1）当1-a=0，即a=1时，直线方程分别化为l 1：x=1，l 2：y=25-，显然l 1⊥l 2.∴a=1成立.（2）当2a+3=0,即a=23-时，l 1与l 2不垂直. ∴a=23-不成立. （3）当a≠1且a≠23-时，将直线方程可化为斜截式为l 1:y=1312---+a x a a , l 2:y=ax a a 23231+-+-. 由aa a a 23112+-∙-+=-1，得a=-1. 综上知，a=±1.温馨提示在利用直线方程判断两直线的位置关系时，在求斜率的过程中，若分母中含字母，一定要分类讨论，不要遗漏.类题演练3已知直线l 1：2x+(m+1)y+4=0和直线l 2:mx+3y-2=0平行，求m 的值.解：当m=-1时，显然l 1与l 2不平行.当m≠-1时，将直线化为斜截式方程分别为l 1:y=1412+-+-m x m ， l 2:y=323+-x m .则由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+-+-=-3214,123m m m 得m=2或m=-3. 变式提升3三条直线x+y=0,x-y=0,x+ay=3构成三角形，则a 的取值范围是（ ）A.a≠±1B.a≠1,a≠2C.a≠-1D.a≠±1,a≠2解析：直线x+y=0与x-y=0都经过原点，而无论a 为何值，直线x+ay=3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x+ay=3与另两条直线不平行，∴a≠±1.∴应选A.答案：A。

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1．点到直线的距离
点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝
0022
Ax By C
A B +++ (A 2＋B 2≠0)．
名师点拨 (1)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离． (2)在利用公式时，若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式． (3)点到几种特殊直线的距离，可不套公式而直接求出 ①点P (x 0，y 0)到x 轴的距离d ＝|y 0|； ②点P (x 0，y 0)到y 轴的距离d ＝|x 0|；
③点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y
＝a 的距离d ＝|y 0－a |； ④点P (x 0，y
0)到与y 轴平行的直线x ＝b 的距离d ＝|x 0－b |． 2．两条平行线间的距离
名师点拨 (1)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离．
(2)求两平行直线的距离时可直接用公式d ．使用两平行直线的距离公式的
前提是：①把直线方程转化成一般式；②两直线方程中x ，y 的系数必须对应相等．
思考计算平行线间的距离，若转化为其中一条直线上一点到另一条直线的距离时，点的选取对计算结果有影响吗？
提示：对计算结果无影响．
设P (x 0，y 0)为直线Ax ＋By ＋C 1＝0上的点，则Ax 0＋By 0＝－C 1，点P 到直线Ax ＋By ＋
C2＝0的距离为d
，其大小与点P的坐标无关．。

§3.3.3 点到直线的距离第一课时学习目标：通过推导点到直线距离公式，掌握点到直线距离公式重点：掌握点到直线距离公式 难点：点到直线的距离公式的推导思路和算法分析自主学习思考1 两点间的距离公式是什么？已知平面上的两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），如何求两点的距离|P 1P 2|？ 思路一，用向量知识______________21=P P .______________2121==P P P P . 思路二，构造如上图所示的直角三角形______________21=P P 两点间的距离公式：思考2 什么是平面上点到直线的距离？答思考3 如何利用三角形面积公式推出点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 呢？ 两种特殊情况的点到线的距离求法1. 当B=0时，直线的方程为________________________________点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝如P （2.3）到x=1的距离为______________2.当A=0时, 直线的方程为_________________________________.点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝ y o o x y .p （x 0,y 0) .p l x如P （2.3）到y=-1的距离为______________. 3.当A,B 均不为0时，如何求P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离，参考课本P107,请写出你的思路。

课堂新知当A,B 均不为0时，P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离的求解过程：小结 点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝ 例1：求点（3,2）到直线l :x-2y+3=0的距离。

例2：已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，求三角形ABC 的面积．附加例题3： 求过点)0,1(-A ，且与原点的距离等于22的直线方程。