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正切函数的性质与图象【学习目标】1.能画出tan y x =的图象，并能借助图象理解tan y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的性质； 2.会利用正切函数的单调性比较函数值大小； 3．理解正切函数的对称性． 【要点梳理】要点一：正切函数的图象 正切函数R x xy ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”（1）复习单位圆中的正切线： A T=tan α （2）利用正切线画函数y= tanx ，x ∈)2,2(ππ-的图象步骤是：①作直角坐标系，并在x=2π-的左侧作单位圆 ②把单位圆的右半圆分成8份，（每份8π）.分别在单位圆中作出正切线；③把横坐标从2π-到2π也分成8份④把正切线的端点移到对应的位置； ⑤把上面的点连成光滑的曲线．由于tan （x+π）=tanx , y=tanx 是周期为π的周期函数只把y=tanx , x ∈)2,2(ππ-的图象左、右移动k π个单位（k ∈z ）就得到y=tanx （x ∈R 且x ≠k π+2π）的图象.要点二：正切函数的性质 1．定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ， 2．值域：R由正切函数的图象可知，当()2x k k z ππ<+∈且无限接近于2k ππ+时，tan x 无限增大，记作tan x →+∞（tan x 趋向于正无穷大）；当()2x k k z ππ>-+∈，tan x 无限减小，记作tan x →-∞（tan x趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此tan x可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线,2x k k z ππ=+∈为正切函数的渐进线．3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π 4．奇偶性：正切函数是奇函数，即()x x tan tan -=-． 要点诠释：观察正切函数的图象还可得到：点,0()2k k z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭是函数tan ,y x x R =∈，且2x k ππ≠+的对称中心，正切函数图象没有对称轴5．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增要点诠释：正切函数在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函数．要点三：正切函数型tan()(0,0)y A x A ωϕω=+≠>的性质 1．定义域：将“x ωϕ+”视为一个“整体”．令,2x k k z πωϕπ+≠+∈解得x ．2． 值域：(),-∞+∞3．单调区间：（1）把“x ωϕ+”视为一个“整体”；（2）0(0)A A ><时，函数单调性与tan (,)2y x x k k z ππ=≠+∈的相同（反）；（3）解不等式，得出x 范围． 要点诠释：若0ω<，一般先用诱导公式化为0ω>，使x 的系数为正值，然后求单调区间． 4．奇偶性：当()2k k z πϕ=∈时为奇函数，否则，不具备奇偶性． 5．周期：最小正周期为||T πω=． 【典型例题】类型一：正切函数的定义域 例1．求下列函数的定义域． （1）1lg(tan )y x =；（2）y =．【思路点拨】求函数的定义域应面面俱到，必须从各个角度来考虑，从各个角度来看，都必须有意义，通常需要考虑的方面有：分母不为0，真数大于0，偶次根式内的数大于或等于0，正切函数、余切函数自身有意义等．【答案】（1）,,442k k k k πππππππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（k ∈Z ）（2）,,,2332k k k k k k ππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（k ∈Z ） 【解析】 （1）要使1lg(tan )y x =有意义，必须满足()2tan 0tan 1x k k Z x x ππ⎧≠+∈⎪⎪>⎨⎪≠⎪⎩，即()2()2()4x k k Z k x k k Z x k k Z πππππππ⎧≠+∈⎪⎪⎪<<+∈⎨⎪⎪≠+∈⎪⎩， ∴函数1lg(tan )y x =的定义域为,,442xk k k k πππππππ⎛⎫⎛⎫∈+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（k ∈Z ）．（2）要使y=2()3x k x k x k k Z πππππ⎧⎪≠⎪⎪≠+⎨⎪⎪≠+∈⎪⎩，∴函数y =,,,2332x k k k k k k ππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（k ∈Z ）．【总结升华】求三角函数定义域时，常常归纳为解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集．举一反三：【变式1】（2016 宁夏期中）已知函数()tan()23f x x ππ=+ （1）求f （x ）的最小正周期．（2）求f （x ）的定义域和单调区间． （3）求方程()f x =【思路点拨】由条件利用正切函数的周期性、定义域、单调性，求得函数的周期、定义域的单调区间，解三角方程，求得方程()f x =【答案】（1）2；（2）定义域为：1{|2,}3x x k k Z π≠+∈；单调增区间为51(2,2)33k k -+，k ∈Z ；（3）{x ｜x =2k ，k ∈Z}．【解析】（1）对于函数()tan()23f x x ππ=+，它的周期等于22T ππ==．（2）令232x k ππππ+≠+，求得123x k ≠+，k ∈Z ，故函数的定义域为：1{|2,}3x x k k Z π≠+∈；令2232k x k ππππππ-<+<+，求得12523k x k -<<+， 可得函数的单调增区间为51(2,2)33k k -+，k ∈Z ． （3）由方程()tan()23f x x ππ=+=，可得233x k ππππ+=+， 求得x =2k ，故方程的解集为{x ｜x =2k ，k ∈Z}．类型二：正切函数的图象 例2．函数1tan 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在一个周期内的图象是下图中的（ ）【答案】A【解析】该题目借助于函数的图象考查了函数1tan 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的周期、单调性、图象分布的规律等知识，可从函数的周期与坐标轴的交点两个方面确定答案．由函数周期212T ππ==，排除选项B 、D ．将23x π=代入函数式中，12tan tan 00233ππ⎛⎫⨯-== ⎪⎝⎭．故函数图象与x 轴的一个交点为2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选A ．【总结升华】借助于函数周期公式及特殊点进行排除、验证是做选择题的有效方法． 举一反三：【变式1】（2015秋 安徽舒城县期末）如图所示，函数3cos |tan |(02y x x x π=≤≤且)2x π≠的图象是（ ）【答案】C【解析】∵sin , 02cos |tan |sin , 23sin , 2x x y x x x x x x πππππ⎧≤<⎪⎪⎪==-<≤⎨⎪⎪<<⎪⎩，∴函数3cos |tan |(02y x x x π=≤≤且)2x π≠的图象是C ． 故选C ．类型三：正切函数的周期性 例3．求下列函数的周期（1）y=3tan(2x+3π) （2）y=7tan(3x －6π) 【解析】（1）f(x)= 3tan(2x+3π)=3tan(2x+3π+π)= 3tan[2（x+2π）+3π]=f(x+2π). ∴周期为2π.（2）f(x)= y=7tan(3x －6π)=7tan(3x －6π+π)=7 tan[31（x+3π）－6π]=f(x+3π)∴周期为3π.举一反三：【变式1】判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期. （1）2tan y x =； （2）|tan |y x =； （3）tan ||y x =．【答案】（1）是（2）是（3）不是 【解析】 （1）22()tan tan ()()f x x x f x ππ==+=+∴函数2tan y x =是周期函数，最小正周期是π．（2）()|tan ||tan()|()f x x x f x ππ==+=+∴|tan |y x =是周期函数，最小正周期是π．（3）由图象知，函数不是周期函数类型四：正切函数的单调性例4．（2015秋 新疆阿勒泰市月考）已知函数()3tan(2)3f x x π=-．（1）求f （x ）的定义域与单调区间（2）比较()2f π与()8f π-的大小．【思路点拨】（1）由题意利用正切函数的定义域和单调性，求得f （x ）的定义域与单调区间． （2）根据函数的解析式，求得()2f π与()8f π-的值，可得()2f π与()8f π-的大小．【答案】（1）定义域为5{|,}212k x x k Z ππ≠+∈，单调增区间为5(,)212212k k ππππ-+；（2）()()28f f ππ<-【解析】（1）由函数()3tan(2)3f x x π=-，可得232x k πππ-≠+，求得5212k x ππ≠+，k ∈Z ，故函数的定义域为5{|,}212k x x k Z ππ≠+∈．令2232k x k πππππ-<-<+，求得5212212k k x ππππ-<<+， 故函数的单调增区间为5(,)212212k k ππππ-+．（2）2()3tan 23f ππ==-1tan73()3tan()3tan()336812431tan 3f ππππππ+-=-=-+=-⋅=-=+-， ∴()()28f f ππ<-．【总结升华】比较三角函数值大小时，①异名函数化为同名函数，②利用诱导公式化为同一单调区间，③利用函数的单调性比较大小． 举一反三：【变式1】求函数1tan 24y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调区间．【解析】11tan tan 2424y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由1()2242k x k k Z πππππ-<-<+∈． 得32222k x k ππππ-<<+，k ∈Z ．∴函数1tan 24y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为32,222k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ．【高清课堂：正切函数的图象与性质 394837 例3】 【变式2】求函数|tan(2-)|3y x =π的单调增区间.【答案】5,26212k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭【巩固练习】 1．函数tan()3y x π=+的定义域（ ）.A ．|,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭ B ．|,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭ C ．|2,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭ D ．|2,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭2．函数y=5tan(2x+1)的最小正周期为（ ）A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 3．tan (,)2y x x k k Z ππ=≠+∈在定义域上的单调性为（ ）.A ．在整个定义域上为增函数B ．在整个定义域上为减函数C ．在每一个开区间(,)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数 D ．在每一个开区间(2,2)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数4．当22x ππ-<<时，函数y=tan |x|的图象（ ）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．不是对称图形 5．下列各式正确的是（ ）.A ．1317tan()tan()45ππ-<- B ．1317tan()tan()45ππ->- C ．1317tan()tan()45ππ-=- D ．大小关系不确定6．函数1tan y x =（44x ππ-≤≤且x ≠0）的值域是（ ）A ．[―1，1]B ．（―∞，－1]∪[1，+∞）C ．（－∞，1]D ．[－1，+∞）7．（2017 广东惠州月考）直线y ＝a （a 为常数）与正切曲线y ＝tan x 相交的相邻两点间的距离是( )A ．2πB ．2πC ．πD ．与a 值有关 8．（2015秋 重庆期中）对于函数f (x )=tan 2x ，下列选项中正确的是（ ）A ．f （x ）在(,)24ππ-上是递增的B ．f （x ）在定义域上单调递增C ．f （x ）的最小正周期为πD ．f （x ）的所有对称中心为(,0)4k π9．函数5tan 3x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期是________。
正切函数的定义正切函数的图像与性质一、选择题(每小题3分,共18分)1.函数y=lg(3x-1)过定点(a,0),则tanaπ的值为( )A. B.- C. D.-【解析】选D.令3x-1=1,得x=,所以函数过定点,所以a=,tanπ=-.2.(2014·某某高一检测)函数y=tan3πx的最小正周期为( )A. B. C. D.【解析】选A. T==.【变式训练】函数y=tan(a≠0)的周期是.【解析】T=.答案:3.(2014·某某高一检测)函数y=的定义域为( )A.B.C.D.【解析】选A.由题意知,tan2x,tanx有意义且tanx≠0,所以所以所以x≠,k∈Z.4.(2014·某某高一检测)函数y=tan-x的值域为( )A.[-1,1]B.(-∞,-1]∪[1,+∞)C.(-∞,1]D.[-1,+∞)【解析】选B.因为x∈,所以-x∈,由正切函数的图像可知,tan∈(-∞,-1]∪[1,+∞).5.(2014·某某高一检测)函数f(x)=tan的单调增区间是( )A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z【解析】选C.由-+kπ<x+<+kπ,k∈Z,得-+kπ<x<+kπ,k∈Z,所以函数的单调增区间是,k∈Z.【误区警示】正切函数的单调区间是开区间,不是闭区间.6.(2014·某某高一检测)方程tan=在区间[0,2π)上解的个数为( )A.5B.4C.3D.2【解析】选B.由tan=得,2x+=kπ+,k∈Z,所以x=,k∈Z,即x=0,,π,∈[0,2π).二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·某某高一检测)不等式tan2x≤0的解集是.【解析】由正切函数的图像,知-+kπ<2x≤kπ,k∈Z,所以-+<x≤,k∈Z.答案:8.(2014·某某高一检测)函数y=2tan的单调减区间是.【解析】由-+kπ<3x-<+kπ,k∈Z,得-+<x<+,k∈Z,所以函数的单调减区间是(k∈Z).答案:(k∈Z)9.函数y=的定义域是.【解析】要使函数有意义,自变量x的取值应满足tanx-≥0,即tanx≥,解得+kπ≤x<+kπ,k ∈Z.答案:【变式训练】若tan≤1,则x的取值X围是.【解析】令z=2x-,在上满足tanz≤1的z的值是-<z≤,在整个定义域上有-+kπ<z≤+kπ,解-+kπ<2x-≤+kπ,得-+<x≤+,k∈Z.答案:(k∈Z)三、解答题(每小题10分,共20分)10.比较下列各数的大小.(1)tan,tan.(2)tan2,tan3,tan4.【解析】(1)因为0<<<,且y=tanx在上是增加的,所以tan<tan.(2)tan2=tan(2-π),tan3=tan(3-π),tan4=tan(4-π),又因为-<2-π<-1<3-π<4-π<,且y=tanx在上是增加的,所以tan(2-π)<tan(3-π)<tan(4-π),即tan2<tan3<tan4.11.已知函数y=tanx在区间(a>0)上单调递增,求a的取值X围. 【解析】因为函数y=tanx在区间(a>0)上单调递增,所以-≤-,≤,即0<a≤1.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·嘉定高一检测)函数y=的定义域是( )A.B.C.D.【解析】选C.由题意,得⇒⇒0<tanx≤1⇒kπ<x≤kπ+(k∈Z).2.(2014·某某高一检测)a,b是不等于1的正数,θ∈,若>>1,则下列不等式成立的是( )A.a>b>1B.a<b<1C.b<a<1D.b>a>1【解题指南】由正切函数在区间的取值,结合指数函数的单调性判断a,b的取值.【解析】选A.因为θ∈,所以tanθ>0,又>>1,所以a>1,b>1,当θ=时,tan=1,所以a>b.3.设a=sin,b=cos,c=tan,则( )A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c【解析】选D.b=cos=cos=sin<sin=a<1,c=tan>tan=1,所以有b<a<c. 【举一反三】将本题中的“”全部换为“1”,则a,b,c的大小关系为.【解析】cos1=sin<sin1<1,tan1>tan=1,所以有b<a<c.答案:b<a<c4.(2014·某某高一检测)当0<x<时,函数f(x)=的最小值是( )A. B. C.2 D.4【解题指南】将f(x)用tanx来表示,结合正切函数的性质求最值.【解析】选D.f(x)===,因为0<x<,所以tanx∈(0,1),所以tanx-tan2x=-+=-+,当tanx=时,tanx-tan2x的最大值为,即的最小值为4.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·某某高一检测)函数y=的奇偶性为.【解析】由1+cosx≠0,得cosx≠-1,又x≠kπ+,k∈Z,所以函数的定义域为x,k∈Z,关于原点对称,又f(-x)===-f(x),所以函数为奇函数.答案:奇函数6.函数y=tanx,x∈与y=sinx的交点个数为.【解析】画出草图,如图:交点个数为1.答案:1三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2013·日照高一检测)已知函数f(x)=3tan.(1)求f(x)的定义域和值域.(2)讨论f(x)的周期性、奇偶性和单调性.【解析】(1)由x-≠+kπ,k∈Z,解得x≠+2kπ,k∈Z,所以定义域为,值域为R.(2)f(x)为周期函数,周期T==2π.f(x)为非奇非偶函数.由-+kπ<x-<+kπ,k∈Z,解得-+2kπ<x<+2kπ,k∈Z.所以函数的单调增区间为(k∈Z),不存在单调减区间.8.已知函数f(x)=.(1)求函数定义域.(2)用定义判断f(x)的奇偶性.(3)在[-π,π]上作出f(x)的图像.(4)写出f(x)的最小正周期及单调区间.【解析】(1)因为由cosx≠0,得x≠kπ+(k∈Z),所以函数的定义域是.(2)由(1)知函数的定义域关于原点对称.又因为f(-x)==-=-f(x),所以f(x)是奇函数.(3)f(x)=f(x)(x∈[-π,π])的图像如图所示.(4)f(x)的最小正周期为2π,增区间是-+2kπ,+2kπ(k∈Z),减区间是+2kπ,+2kπ(k∈Z).。
正切函数图像及性质 知识点梳理函数y ＝tan x 的图象与性质 y ＝tan x π例1、求下列函数的定义域：(1)y ＝11＋tan x；(2)y ＝lg(3－tan x )．练习、求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域.例3、求下列函数的周期（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42tan 3πx y （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=421tan 3πx y例4、求函数区间，对称中心的定义域、周期和单调⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32tan πx y练习1、求函数⎪⎭⎫⎝⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，并指出它的单调性、周期性；练习2、求函数的单调区间⎪⎭⎫⎝⎛+-=421tan 3πx y课堂练习1． 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是 ( )2.在区间(－3π2，3π2)内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象的交点个数为( )A.1B.2C.3D.43．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是 ( )4.利用函数图象，解不等式－1≤tan x ≤33.5.下列说法正确的是( )A.y ＝tan x 是增函数B.y ＝tan x 在第一象限是增函数C.y ＝tan x 在每个区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内是增函数D.y ＝tan x 在某一区间上是减函数6.函数y ＝3tan(2x ＋π4)的定义域是 ( )A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z}B ．{x |x ≠k 2π－3π8，k ∈Z}C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z}D ．{x |x ≠k 2π，k ∈Z}7.直线y ＝a (a 为常数)与正切曲线y ＝tan x 相交的相邻两点间的距离是( )A.π2B.2πC.πD.与a 值有关8.下列各式中正确的是( )A.tan 4π7＞tan 3π7B.tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＜tan ⎝⎛⎭⎫－17π5C.tan 4＞tan 3D.tan 281°＞tan 665°9.函数y ＝lg(1＋tan x )的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π4(k ∈Z )C.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋π2(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )10.已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围为__________.11.函数y ＝2tan(3x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2＜φ＜π2的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π4，0，则φ＝________.12.若tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，则x 的取值范围是________.13已知函数f (x )＝3tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3.(1)求f (x )的定义域和值域.(2)讨论f (x )的周期性、奇偶性和单调性.14.求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3的值域.。
正切函数的图像与性质【知识框架】正切函数的性质正切函数正切函数的图像1.正切函数图像画法：三点两线法2、正切函数图像与性质y t an x图像值域对称中心【典型例题】1例1.求yt an 3x 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。
例2.求函数 y 例3. 不求值比较下列各组数的大小：例4. 判断下列函数的奇偶性：t an 2 x t an x1 t an x xt an 2x x 4 y（2）（1） y 例5.例6.若函数 f (x)3y tanx t an x 2 的最值。
例7. 已知 x，求函数 2[ , ] 12 6例8. 若 x 时，例9. 函数 y的值域。
4y t an x【巩固练习】1. 函 数y =tan (2x +) 的 周 期 是6(B)2π2 42. 已 知a =tan1,b =tan2,c =tan3, 则a 、b 、c 的 大 小 关 系 是21(A) y =|tanx |tanx(C) y =tan x2x 4.函数的定义域是2(A){x |k π<x <k π+ ,k ∈Z}(B) {x |4k π<x <4k π+ ,k ∈Z}42(C) {x |2k π<x <2k π+π,k ∈Z}5.已 知 函 数 y =tan ωx 在 (- , )内 是 单 调 减 函 数 ,则 ω 的 取 值 范 围 是22α 、 β∈(,π) 且 tan α<tan β ， 那 么 必 有2( )2x 7.函数 y =2tan( -)的定义域是 3 2,周期是 ;8.函数 y =tan 2x -2tan x +3的最小值是 ; x 9.函数 y =tan( + )的递增区间是;23段 AB 长为 π；②直线 x =k π+ ,(k ∈Z)都是曲线的对称轴;③曲线的对称中心是2k( ,0),(k ∈Z),正确的命题序号为 .43 (2)tan()与 tan ( )8167x 13.求下列函数 )的周期和单调区间y t an(2 3522 B．的值域是（B．上是增函数；②为奇函数；③以，下列判断正确的个数是（是区间是区间是区间B．1C．向右平移D．向右平移个单位的一个对称中心是（C．B．0与函数B．2的最小正周期是____________．的定义域是_________．最新文件仅供参考已改成word文本。
第一章 三角函数1．4 三角函数的图象与性质1．4.3 正切函数的性质与图象[A 组 学业达标]1．关于正切函数y ＝tan x ，下列判断不正确的是( ) A ．是奇函数B ．在整个定义域上是增函数C ．在定义域内无最大值和最小值D ．平行于x 轴的直线被正切曲线各支所截线段相等解析：正切函数在整个定义域上不具有单调性，正切函数在每个单调区间内是增函数．答案：B2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的定义域是 ( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π－π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z 解析：x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠k π＋π4，k ∈Z .答案：D3．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3在一个周期内的大致图象是 ( )解析：由函数周期T ＝π12＝2π，排除选项B 、D.将x ＝23π代入函数解析式中，得y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23π－π3＝tan 0＝0，故函数图象与x 轴的一个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，0，排除C ，故选A.答案：A4．与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是 () A ．x ＝π2 B ．x ＝－π2C ．x ＝π4 D ．x ＝π8解析：当x ＝π2时，y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝tan 5π4＝1； 当x ＝－π2时，y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝1； 当x ＝π4时，y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝tan 3π4＝－1； 当x ＝π8时，y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝tan π2，不存在． 答案：D5．若f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则 ( )A ．f (1)>f (0)>f (－1)B ．f (0)>f (1)>f (－1)C ．f (0)>f (－1)>f (1)D ．f (－1)>f (0)>f (1) 解析：f (0)＝tan π4，f (－1)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－1，f (1)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋1＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋1－π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34π. ∵－π2<1－34π<π4－1<π4<π2，又y ＝tan t 在t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数， ∴tan π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－1>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34π， ∴f (0)>f (－1)>f (1)．答案：C6．函数y ＝1－tan x 的定义域是________．解析：由1－tan x ≥0，即tan x ≤1，结合图象(图略)可解得．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π＋π4，k ∈Z7．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6的值域是________． 解析：∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6，∴x 2＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4∈(1，3)． 答案：(1，3)8．关于函数y ＝tan x 2的说法正确的是________．(填所有正确答案的序号)①在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增；②为奇函数；③以π为最小正周期；④定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π2，k ∈Z . 解析：令x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以y ＝tan x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，①正确；tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝－tan x 2，故y ＝tan x 2为奇函数，②正确；T ＝πω＝2π，所以③不正确；由x 2≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π＋2k π，k ∈Z ，即函数y ＝tan x 2的定义域为{x |x ≠π＋2k π，k ∈Z }，所以④不正确．答案：①②9．不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：(1)tan 13π4与tan 17π5；(2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5. 解析：(1)因为tan 13π4＝tan π4，tan 17π5＝tan 2π5，又0<π4<2π5<π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4<tan 2π5，即tan 13π4<tan 17π5.(2)因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝－tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5＝－tan π5， 又0<π5<π4<π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增， 所以tan π4>tan π5，所以－tan π4<－tan π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5. 10．画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．解析：由y ＝|tan x |，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，k π≤x <k π＋π2（k ∈Z ），－tan x ，－π2＋k π<x <k π（k ∈Z ），其图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数，单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )， 单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )，周期为π. [B 组 能力提升]11．已知a ，b 是不等于1的正数，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，若a tan θ>b tan θ>1，则下列关系式成立的是 ( )A ．a >b >1B ．a <b <1C ．b <a <1D ．b >a >1 解析：∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴－tan θ>0.由a tan θ>b tan θ>1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －tan θ>⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －tan θ>1，知1a >1b >1，∴a <b <1.答案：B12．函数y ＝|tan x |cos x 的部分图象是 ( )解析：当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，3π2时，tan x ≥0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，tan x <0.当x ＝π2或3π2时，tan x 无意义．从而当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，3π2时，y ＝|tan x |cos x 与y ＝sin x 的图象相同；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，y ＝|tan x |cos x 与y ＝sin x 的图象关于x 轴对称，故选C.答案：C13．函数y ＝tan 2x －2tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π3的值域为________． 解析：令u ＝tan x ，∵|x |≤π3，∴由正切函数的图象知u ∈[－3，3]，∴原函数可化为y ＝u 2－2u ，u ∈[－3，3]，∵二次函数y ＝u 2－2u 图象开口向上，对称轴方程为u ＝1，∴当u ＝1时，y min ＝12－2×1＝－1，当u ＝－3时，y max ＝3＋23，∴原函数的值域为[－1，3＋23]．答案：[－1，3＋23]14．关于函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4有以下命题： ①函数f (x )的周期是π2；②函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π2＋π8，k ∈Z ； ③y ＝f (x )是奇函数；④y ＝f (x )的一个单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. 其中，正确的命题是________．解析：f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的周期T ＝π2，故①正确；f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π2＋3π8，k ∈Z ，故②不正确；f (x )是非奇非偶函数，故③不正确；f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，k π2＋38π，k ∈Z ，故④不正确． 答案：①15．已知函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω<0)的周期为π2，求该函数的定义域、值域，并讨论其单调性和奇偶性．解析：y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω<0)的周期为π|ω|＝π2，解得ω＝2或ω＝－2.因为ω<0，所以ω＝－2，故y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 由2x －π4≠k π＋π2(k ∈Z )，解得x ≠k π2＋3π8(k ∈Z )，所以该函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋3π8，k ∈Z ，值域为R .由于该函数的定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数．令t ＝2x －π4，所以y ＝－tan t ，该函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上单调递减． 由k π－π2<2x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，解得k π2－π8<x <k π2＋3π8(k ∈Z )，所以所求函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，k π2＋3π8(k ∈Z )． 16．若函数y ＝tan 2 x －a tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最小值为－6，求实数a 的值．解析：设t ＝tan x ．因为|x |≤π4，所以tan x ∈[－1，1]，则原函数化为y ＝t 2－at ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22－a 24，对称轴方程为t ＝a 2. ①若－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2，则当t ＝a 2时，y min ＝－a 24＝－6， 所以a 2＝24，不符合题意，舍去；②若a 2<－1，即a <－2，则二次函数在[－1，1]上单调递增，当t ＝－1时，y min ＝1＋a ＝－6，所以a ＝－7；③若a 2>1，即a >2，则二次函数在[－1，1]上单调递减， 当t ＝1时，y min ＝1－a ＝－6，所以a ＝7. 综上所述，实数a 的值为－7或7.。
, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2－3π8，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z 解析：选C.由2x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π8(k ∈Z )． 2．若tan θ·sin θ<0，则θ位于( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限解析：选C.依题意，tan θ·sin θ<0，所以tan θ与sin θ异号．当tan θ>0，sin θ<0时，θ为第三象限角．当tan θ<0，sin θ>0时，θ为第二象限角．3．函数y ＝|tan x |的周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．3π解析：选B.结合函数y ＝|tan x |的图像可知周期为π.4．关于x 的函数f (x )＝tan(x ＋φ)，下列说法不正确的是( )A ．对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数B ．不存在φ，使f (x )既是奇函数，又是偶函数C ．存在φ，使f (x )为奇函数D ．对任意的φ ，f (x )都不是偶函数解析：选A.当φ＝k π(k ∈Z )时，f (x )＝tan(x ＋k π)＝tan x 为奇函数．5．在下列函数中，同时满足以下三个条件的是( )(1)在⎝⎛⎭⎫0，π2上是递减的． (2)最小正周期为2π.(3)是奇函数．A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin(x ＋3π)D ．y ＝sin 2x解析：选C.y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是递增的，不满足条件(1)． B ．函数y ＝cos x 是偶函数，不满足条件(3)．C ．函数y ＝sin(x ＋3π)＝－sin x ，满足三个条件．D ．函数y ＝sin 2x 的最小正周期T ＝π，不满足条件(2)．6．直线y ＝a (a 为常数)与函数y ＝tan x 2的图像相交，两相邻交点间的距离为________． 解析：结合图像可知(图略)，两相邻交点间的距离恰为一个最小正周期．答案：2π7．比较大小：tan 211°________tan 392°.解析：tan 211°＝tan(180°＋31°)＝tan 31°.tan 392°＝tan(360°＋32°)＝tan 32°，因为tan 31°<tan 32°，所以tan 211°<tan 392°.答案：<8．函数f (x )＝tan x －1＋1－x 2的定义域为________．解析：要使函数f (x )有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≥0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥1，x 2≤1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π4≤x <k π＋π2，k ∈Z ，－1≤x ≤1，故π4≤x ≤1. 答案：⎣⎡⎦⎤π4，1 9．化简：tan （2π－α）sin （－2π－α）cos （6π－α）sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2. 解：原式＝tan （－α）·sin （－α）·cos （－α）sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α ＝（－tan α）·（－sin α）·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α. 10．(1)求y ＝tan 2x ＋4tan x －1的值域；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3时，y ＝k ＋tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的值总不大于零，求实数k 的取值范围． 解：(1)设t ＝tan x ，则y ＝t 2＋4t －1＝(t ＋2)2－5≥－5，所以y ＝tan 2x ＋4tan x －1的值域为[－5，＋∞)．(2)由y ＝k ＋tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x ≤0， 得k ≤－tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3， 所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤0，π3. 由正切函数的单调性，得0≤tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤3， 所以要使k ≤tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3恒成立，只要k ≤0即可． 所以k 的取值范围为(－∞，0]．[B.能力提升]1．已知f (tan x )＝cos 3x ，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (tan 375°)的值为( ) A.12 B ．－22C.22 D ．－12解析：选C.因为tan 375°＝tan(360°＋15°)＝tan 15°，所以f (tan 375°)＝f (tan 15°)＝cos(3×15°)＝cos 45°＝22. 2．已知a ＝tan 2，b ＝tan 3，c ＝tan 5，不通过求值，判断下列大小关系正确的是( )A ．a >b >cB ．a <b <cC ．b >a >cD ．b <a <c解析：选C.tan 5＝tan[π＋(5－π)]＝tan(5－π)，由正切函数在⎝⎛⎭⎫π2，π上为增函数可得tan 3>tan 2>tan(5－π)．3．已知f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1满足f ⎝⎛⎭⎫π5＝7，则f ⎝⎛⎭⎫995π＝________． 解析：依题意得f ⎝⎛⎭⎫π5＝a sin π5＋b tan π5＋1＝7， 所以a sin π5＋b tan π5＝6， 所以f ⎝⎛⎭⎫995π＝a sin 995π＋b tan 995π＋1＝ a sin ⎝⎛⎭⎫995π－20π＋b tan ⎝⎛⎭⎫995π－20π＋1 ＝－a sin π5－b tan π5＋1 ＝－⎝⎛⎭⎫a sin π5＋b tan π5＋1 ＝－6＋1＝－5.答案：－54．给出下列命题：①函数y ＝tan x 的图像关于点⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z )对称； ②函数f (x )＝sin |x |是最小正周期为π的周期函数；③函数y ＝cos 2x ＋sin x 最小值为－1；④设θ为第二象限的角，则tan θ2>cos θ2，且sin θ2>cos θ2.其中正确的命题序号是________．解析：①函数y ＝tan x 的图像关于点⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z )对称，正确；②函数f (x )＝sin|x |是最小正周期为π的周期函数，错误，函数f (x )＝sin|x |不是周期函数；③因为函数y ＝cos 2x＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1，所以其最小值为－1，正确；④设θ为第二象限的角，即π2＋2k π<θ<π＋2k π，k ∈Z ，所以π4＋k π<θ2<π2＋k π，k ∈Z ，即θ2为第一象限或第三象限的角，所以④不对．答案：①③5．已知函数f (x )＝sin x |cos x |. (1)求函数的定义域；(2)用定义判断f (x )的奇偶性；(3)在[－π，π]上作出f (x )的图像；(4)写出f (x )的最小正周期及单调性．解：(1)因为由cos x ≠0，得x ≠k π＋π2(k ∈Z )， 所以函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z . (2)由(1)知函数的定义域关于原点对称．又因为f (－x )＝sin （－x ）|cos （－x ）|＝－sin x |cos x | ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(3)f (x )＝⎩⎨⎧tan x ，－π2<x <π2，－tan x ，－π≤x <－π2或π2<x ≤π， 则f (x )在其定义域上的图像如图所示．(4)f (x )的最小正周期为2π，递增区间是⎝⎛⎭⎫－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )， 递减区间是⎝⎛⎭⎫－π＋2k π，－π2＋2k π，⎝⎛⎭⎫π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )． 6．(选做题)已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值； (2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1， 3 ]上是单调函数．解：(1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝⎝⎛⎭⎫x －332－43，x ∈[－1，3]， 所以当x ＝33时，f (x )的最小值为－43， 当x ＝－1时，f (x )的最大值为233. (2)因为f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ， 所以原函数的图像的对称轴方程为x ＝－tan θ.因为y ＝f (x )在[－1，3]上是单调函数，所以－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－3，所以π4＋k π≤θ<π2＋k π或－π2＋k π<θ≤－π3＋k π， k ∈Z .又θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以θ的取值范围是⎝⎛⎦⎤－π2，－π3∪⎣⎡⎭⎫π4，π2.。
第六讲 正切函数的图像与性质一、知识回顾知识点1：正切函数{ EMBED Equation.3 |R x x y ∈=tan ，且的图象，称“正切曲线”知识点2：正切函数的性质：定义域： 值域：最值： 渐近线： 周期性：奇偶性： 单调性： 对称性：二、 典型例题例1、.求函数的定义域，单调区间，最小正周期例2、求函数y ＝的定义域例3、 比较tan 与tan 的大小例4、若直线的斜率，则倾斜角的范围是多少？三、课堂练习1、若tan 0x ≤,则（ ）.A ．22,2k x k k Z πππ-<<∈B ．2(21),2k x k k Z πππ+≤<+∈ C ．,2k x k k Z πππ-<≤∈ D ．,2k x k k Z πππ-≤≤∈2、 函数的周期是 ( )(A) (B) (C) (D)3、函数tan 2()tan x f x x =的定义域为 ；tan()4y x π=-的定义域是 .4、下列函数中,同时满足(1)在(0, )上递增,(2)以为周期,(3)是奇函数的是 ( )(A) (B) (C) (D)5、给出下列命题: 其中正确命题的序号是______________。
(1)函数y =sin|x |不是周期函数; (2)函数y =|cos2x +1/2|的周期是π/2;(3)函数y =tan x 在定义域内是增函数; (4)函数y =sin(5π/2+x )是偶函数;(5)函数y =tan(2x +π/6)图象的一个对称中心为(π/6,0)四、总结提升1、正切函数的定义与图像，定义域、值域和周期性、奇偶性、单调性。
2、数形结合的数学思想方法。
五、课后作业1、tan (,)2y x x k k Z ππ=≠+∈在定义域上的单调性为（ ）.A ．在整个定义域上为增函数B ．在整个定义域上为减函数C ．在每一个开区间(,)()22k k k Z ππππ-++∈上为减函数 D ．在每一个开区间(2,2)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数 2、比较大小：①tan1380 tan1430； ②tan （— 13π4|） tan （）3、.求函数y=lg(1-tanx)的定义域。
正切函数的性质与图像【知识梳理】1．正切函数的性质函数 y ＝tan x定义域 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z函数 y ＝tan x 值域 (－∞，＋∞)周期 T ＝π 奇偶性 奇函数单调性在每个开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数 2．(1)正切函数的图像：(2)正切函数的图像叫做正切曲线． (3)正切函数的图像特征：正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．【常考题型】题型一、正切函数的定义域、值域问题【例1】求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4；(2)y ＝3－tan x .[解](1)由x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为xx ≠k π＋π4，k ∈Z ，其值域为(－∞，＋∞)． (2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图像可知，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上， 满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π3，所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z ，其值域为[0，＋∞)．【类题通法】求正切函数定义域的方法及求值域的注意点求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图像求解．解形如tan x >a 的不等式的步骤：【对点训练】 求函数y ＝11＋tan x的定义域．解：要使函数有意义，则有1＋tan x ≠0， ∴tan x ≠－1，∴x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .因此，函数y ＝11＋tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .题型二、正切函数的单调性及应用【例2】 (1)求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调区间； (2)比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－12π5的大小． [解](1)由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )得，2k π－π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． (2)由于tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋3π4＝tan 3π4＝－tan π4，tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5＝－tan 2π5， 又0<π4<2π5<π2，而y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， 所以tan π4<tan 2π5，－tan π4>－tan 2π5，即tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5. 【类题通法】1．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω>0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，求得x 的范围即可．(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan [－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．(2)运用单调性比较大小关系． 【对点训练】1．比较tan1，tan2，tan3的大小．解：因为tan2＝tan(2－π)，tan3＝tan(3－π)． 又因为π2<2<π，所以－π2<2－π<0.因为π2<3<π，所以－π2<3－π<0.显然－π2<2－π<3－π<1<π2，又y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是增函数， 所以tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 即tan2<tan3<tan1.2．求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调区间． 解：y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 由－π2＋k π<2x －π4<π2＋k π得，－π8＋k 2π<x <3π8＋k2π(k ∈Z )， 所以y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－π8＋k 2π，3π8＋k 2π(k ∈Z )．题型三、与正切函数有关的周期性、奇偶性问题【例3】(1)求f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期； (2)判断y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性． [解](1)∵tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，即tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π2. (2)定义域为错误!，关于原点对称，∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )， ∴它是奇函数． 【类题通法】与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略(1)一般地，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|，常常利用此公式来求周期．(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f (－x )与f (x )的关系．【对点训练】关于x 的函数f (x )＝tan(x ＋φ)有以下几种说法：①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②f (x )的图像关于⎝⎛⎭⎫π2－φ，0对称；③f (x )的图像关于(π－φ，0)对称；④f (x )是以π为最小正周期的周期函数．其中不正确的说法的序号是________．解析：①若取φ＝k π(k ∈Z )，则f (x )＝tan x ，此时，f (x )为奇函数，所以①错；观察正切函数y ＝tan x 的图像，可知y ＝tan x 关于⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )对称，令x ＋φ＝k π2得x ＝k π2－φ，分别令k ＝1,2知②、③正确，④显然正确．答案：①【练习反馈】1．函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z 的单调性为( ) A ．在整个定义域上为增函数 B ．在整个定义域上为减函数C ．在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上为增函数 D ．在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上为增函数 解析：选C 由正切函数的图像可知选项C 正确． 2．函数y ＝tan(cos x )的值域是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π4，π4B.⎣⎡⎦⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1]D ．以上均不对解析：选C ∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan x ≤tan1. 即－tan1≤tan x ≤tan1.3．函数y ＝5tan ⎝⎛⎭⎫－x2的最小正周期是________． 解析：T ＝π⎪⎪⎪⎪－12＝2π.答案：2π4．函数y ＝3tan(π＋x )，－π4<x ≤π6的值域为________．解析：函数y ＝3tan(π＋x )＝3tan x ，因为正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，所以－3<y ≤3，所以值域为(－3，3]．答案：(－3， 3 ]5．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域、周期及单调区间． 解：由12x －π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠4π3＋2k π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠4π3＋2k π，k ∈Z .T ＝π12＝2π，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的周期为2π. 由－π2＋k π<12x －π6<π2＋k π，k ∈Z ，得－2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z . 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－2π3＋2k π，4π3＋2k π(k ∈Z )．。
