2017高考数学文二轮复习讲义：第三编 考前冲刺攻略 第二步 高考题型大突破 第一讲 选择题速解方法

2017年高考数学冲刺复习的攻略今年数学高考考纲变动不大，一个比较明显的变化是最后一道选做题从“三选一”变成“二选一”，去掉了几何证明的内容。

考生在做立体几何、解析几何题时，要注意在立体几何和解析几何的考题中，很可能需要应用平面几何的知识点去解题，然后巧妙利用平面几何的性质，降低计算量和寻找解题突破口。

那么，在高考的最后阶段考生该如何复习？崔朝杰建议，考生重点复习以前做过的试卷，梳理之前出现的错题，会较有针对性。

通过梳理错题，分析错因，避免在高考中再犯类似的错误。

在纠错的同时，最好每天做一定的题量保持手感，但不建议再做偏题怪题，做中等难度题和基础题为佳。

在考前，考生若掌握一些答题技巧和策略，或许会对考场上得分有帮助。

技巧一：小题巧做在数学考试中，相对解答题，选择题被称为小题。

建议考生做题时采取灵活方法，通过对选项的观察，利用特殊值代入法、特殊方程法、排除法等，排除不可能的选项，把选择题从4选1变成2选1，提高解题的速度。

技巧二：掌握概念、公式得基础分在解答题中，考生要注意概念型的内容。

比如，在考试中，一些考生常写错极坐标，考生平时若能牢记极坐标概念，就知道极坐标怎么写，掌握这个知识点，在极坐标和平面坐标的转换中，就能立刻拿分。

另外就是熟练掌握公式。

数学解答题里，如果第一道大题考三角函数，三角函数的正弦定理、余弦定理、辅助角公式、诱导公式等若能熟悉掌握，即便题不会做，把这些公式写上去，也能得公式分。

此外，在数列类考题中，掌握递推公式求通项公式、前n项和公式，代入公式简单化简变形就能得分。

在立体几何考题中，有的考生喜欢用向量法答题，必须掌握面面角公式、线面角公式；在考极坐标与参数方程时，掌握极坐标与参数方程的转化公式就能得分，这些都属于公式分。

技巧三：分步骤答题抢计算分按目前的评分细则，数学考试按步骤给分：考生写对一步给一步的分。

比如，考线性回归方程，求回归系数b。

如果整体计算，算错一个地方，系数b的值算错，分数就没有了。

第一步考前必看八大提分笔记一、集合与常用逻辑用语1描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义，抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．2集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．3遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．4对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.5注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Ve nn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值的取舍．6“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．在否定条件或求结论时，应把“且”改成“或”，“或”改成“且”．7要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.8要注意全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题．如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a，b都是奇数”．忽视互异性致误例1 已知1∈{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，求实数a的值．[错解]由题意，得a＋2＝1或(a＋1)2＝1或a2＋3a＋3＝1，∴a ＝－1或a＝－2或a＝0.[错因分析]当a＝－2时，(a＋1)2＝a2＋3a＋3＝1，不符合集合元素的互异性；同理a＝－1时，也不符合要求．[正解]由题意得a＋2＝1或(a＋1)2＝1或a2＋3a＋3＝1.解得a ＝－1或a＝－2或a＝0.又当a＝－2时，(a＋1)2＝a2＋3a＋3＝1不符合集合中元素互异性这一特点．故a≠－2，同理a≠－1，故只有a＝0.[防范措施]上述解法造成本题失分的主要原因是忽视了集合元素具有互异性的特征.在解此类问题时注意代入检验是防范失分的一个重要措施.补救训练1若A＝{1,3，x}，B＝{x2,1}，且A∪B＝{1,3，x}，则这样的x为________．答案±3或0解析由已知得B⊆A，∴x2∈A且x2≠1.①x2＝3，得x＝±3，都符合．②x2＝x，得x＝0或x＝1，而x≠1，∴x＝0.综合①②，共有3个值.忽视空集致误例2 已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A.求实数m的取值范围．[错解]∵x2－3x－10≤0，∴－2≤x≤5.∴A ＝{x |－2≤x ≤5}．由A ∪B ＝A 知B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ＋1，2m －1≤5，即－3≤m ≤3. ∴m 的取值范围是－3≤m ≤3.[错因分析] B ⊆A ，B 可以为非空集合，B 也可以是空集．漏掉对B ＝∅的讨论，是本题的一个失分点．[正解] ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A.∵A ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}．①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，故m <2时，A ∪B ＝A ；②若B ≠∅，则m ＋1≤2m －1，即m ≥2.由B ⊆A ，如图所示，得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ＋1，2m －1≤5. 解得－3≤m ≤3.又∵m ≥2，∴2≤m ≤3.由①②知，当m ≤3时，A ∪B ＝A.[防范措施] 造成本题失分的根本原因是忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质．当题目中出现A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 时，注意对A 进行分类讨论，即分为A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论．补救训练2 已知集合A ＝{x |x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0，p ∈R }，若A ∩R＋＝∅，则实数p 的取值范围为________．答案 (－4，＋∞)解析 由于A ∩R ＋＝∅，先求A ∩R ＋≠∅的情况有⎩⎨⎧ Δ＝(p ＋2)2－4≥0，－p ＋22>0，即⎩⎪⎨⎪⎧p ≥0或p ≤－4，p <－2，解得p ≤－4. 故当A ∩R ＋＝∅时，p 的取值范围是(－4，＋∞).忽视集合运算中的边界点致误例3 记f (x )＝2－x ＋3x ＋1的定义域为A ，g (x )＝lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1)的定义域为B.若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．[错解1] f (x )的定义域为A ，则A ＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)． g (x )的定义域为B ，则B ＝(a ＋1,2a )．∵B ⊆A ，∴a ＋1≥1或2a ≤－1.∴a ≥0或a ≤－12.[错解2] 由2－x ＋3x ＋1≥0，得x <－1或x ≥1. ∴A ＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．由(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0.且a <1，∴2a <x <a ＋1.∴B ＝(2a ，a ＋1)，∵B ⊆A ，∴2a >1或 a ＋1<－1，∴a >12或a <－2.∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(－∞，－2)． [错因分析] 错解1忽视对条件a <1的考虑；错解2忽视了界点，事实上：2a ≥1或a ＋1≤－1.[正解] ∵2－x ＋3x ＋1≥0，∴x －1x ＋1≥0. ∴x <－1或x ≥1，即A ＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．∵(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0.∵a <1，∴a ＋1>2a ，∴B ＝(2a ，a ＋1)．∵B ⊆A ，∴2a ≥1或a ＋1≤－1，即a ≥12或a ≤－2，而a <1，∴12≤a <1或a ≤－2.故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. [防范措施] 对于错解1，解一元二次不等式时一定要将考虑抛物线的开口和含参数的讨论形成习惯.对于错解2，对于含参数的交、并、补集问题的运算，一定要注意界点.补救训练3 [2015·太原一模]已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |(x －1)(x ＋3)<0}，N ＝{x ||x |≤1}，则阴影部分表示的集合是( )A ．[－1,1)B.(－3,1]C.(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D.(－3，－1)答案 D解析 由题意可知，M ＝(－3,1)，N ＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M ∩(∁U N )＝(－3，－1).对命题的否定不当致误例4 已知M 是不等式ax ＋10ax －25≤0的解集且5∉M ，则a 的取值范围是________．[错解] (－∞，－2)∪(5，＋∞)[错因分析] 5∉M ，把x ＝5代入不等式，原不等式不成立，有两种情况：①5a ＋105a －25>0；②5a －25＝0，答案中漏掉了第②种情况． [正解] 解法一：∵5∉M ，∴5a ＋105a －25>0或5a －25＝0. ∴a <－2或a >5或a ＝5，故填a ≥5或a <－2.解法二：若5∈M ，则5a ＋105a －25≤0， ∴(a ＋2)(a －5)≤0且a ≠5，∴－2≤a <5.∴5∉M 时，a <－2或a ≥5.[答案] (－∞，－2)∪[5，＋∞)[防范措施] 本题失分率高达56%，实质上当x ＝5时，ax ＋10ax －25≤0不成立，即是对命题ax ＋10ax －25≤0的否定．失分的原因就在于对命题的否定不当．对于这类形式的命题的否定，一定要注意其否定为ax ＋10ax －25>0或ax －25＝0.当然，就本题而言，也可以先求出5∈M 时的a 的范围，再求其补集．补救训练4 已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ a 2x ＋2x －3ax －1<0，若2∉M ，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 若2∈M ，则2a 2＋12a －1<0， 即(2a －1)(2a 2＋1)<0，∴a <12. ∴当2∉M 时，a 的取值范围为a ≥12.错误理解简易逻辑中的概念致误例5 x 2＝x ＋2是x x ＋2＝x 2的________条件． [错解1] 由x 2＝x ＋2⇒x ＝x ＋2⇒x 2＝x x ＋2得出x 2＝x ＋2是x x ＋2＝x 2的充分条件．[错解2] 由x x ＋2＝x 2⇒x ＋2＝x ⇒x ＋2＝x 2 得出x 2＝x ＋2是x x ＋2＝x 2的必要条件．[错因分析] 错解1中，事实上x 2＝x ＋2⇒/ x ＝x ＋2；错解2中，x x ＋2＝x 2⇒/ x ＋2＝x .[正解] 方程x 2＝x ＋2的解集为{－1,2}，x x ＋2＝x 2的解集为{0,2}，但是{－1,2}⃘{0,2}，且{0,2}⃘{－1,2}，所以x 2＝x ＋2是x x ＋2＝x 2的既不充分也不必要条件．[答案] 既不充分也不必要[防范措施] ①因为在错解1的推理过程中，当x ＝－1时“⇒”左边成立，而右边不成立，所以这里“⇒”不成立．②因为在错解2的推理过程中，当x ＝0时“⇒”左边成立，而右边不成立，所以这里“⇒”不成立．事实上，在推理过程中错误地进行了开方，方程两边同时相消，无理方程中忽略了被开方数的范围等等．这是应该注意防范的．补救训练5 [2016·江西八校高三联考]在△ABC 中，“AB →·AC →＝BA →·BC →”是“|AC →|＝|BC →|”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 AB →·AC →＝BA →·BC →⇔bc cos A ＝ac cos B ⇔b cos A ＝a cos B ⇔si nB cos A ＝si nA cos B ⇔t anA ＝t anB ⇔A ＝B ⇔a ＝b ，故AB →·AC →＝BA →·BC →是|AC →|＝|BC →|的充要条件.二、函数与导数1函数是数集到数集的映射，作为一个映射，就必须满足映射的条件，只能一对一或者多对一，不能一对多．2求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．3用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题．4分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．5判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．6弄清函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．(3)若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)＝0.“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件．7求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．8函数图象的几种常见变换(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”．(2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)．(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称．9求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数．(2)图象法：适合于己知或易作出图象的函数．(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数．(4)导数法：适合于可导函数．(5)换元法(特别注意新元的范围)．(6)分离常数法：适用于一次分式．(7)有界函数法：适用于含有指、对数函数或正、余弦函数的式子．无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域．10二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合．二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系．(2)若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形．11有关函数周期的几种情况必须熟记：(1)f(x)＝f(x＋a)(a>0)，则f(x)的周期T＝a；(2)f(x＋a)＝1f(x)(f(x)≠0)或f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期T＝2a.12(1)指数运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs，(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r，s∈Q)．(2)对数运算性质已知a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0.则log a (MN )＝log a M ＋log a N ，log a M N ＝log a M －log a N ，log a M n ＝n log a M ，对数换底公式：log a N ＝log b N log b a . 推论：log amN n＝n m log a N ；log a b ＝1log b a . (3)指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象恒过定点(0,1)，对数函数y ＝log a x 的图象恒过定点(1,0)．13幂函数y ＝x α(α∈R )(1)①若α＝1，则y ＝x ，图象是直线．②当α＝0时，y ＝x 0＝1(x ≠0)图象是除点(0,1)外的直线．③当0<α<1时，图象过(0,0)与(1,1)两点，在第一象限内是上凸的． ④当α>1时，在第一象限内，图象是下凸的．(2)增减性：①当α>0时，在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x α是增函数；②当α<0时，在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x α是减函数．14函数与方程(1)对于函数y ＝f (x )，使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．事实上，函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根．(2)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续曲线，且有f (a )f (b )<0，那么函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，此时这个c 就是方程f (x )＝0的根．反之不成立．15求导数的方法(1)基本导数公式：c ′＝0(c 为常数)；(x m )′＝mx m －1(m ∈Q )；(si nx )′＝cos x ；(cos x )′＝－si nx ；(e x )′＝e x ；(a x )′＝a x l n a ；(l n x )′＝1x ；(log a x )′＝1x l n a (a >0且a ≠1)．(2)导数的四则运算：(u ±v )′＝u ′±v ′；(u v )′＝u ′v ＋u v ′；⎝ ⎛⎭⎪⎫u v ′＝u ′v －u v ′v 2(v ≠0)． (3)复合函数的导数：y x ′＝y u ′·u x ′.如求f (ax ＋b )的导数，令u ＝ax ＋b ，则(f (ax ＋b ))′＝f ′(u )·a.16函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数是曲线y ＝f (x )在P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率f ′(x 0)，相应的切线方程是y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．注意：过某点的切线不一定只有一条．17利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f (x )在某个区间内可导，如果f ′(x )>0，那么f (x )在该区间内为增函数；如果f ′(x )<0，那么f (x )在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f ′(x )＝0，那么f (x )在该区间内为常函数．注意：如果已知f (x )为减函数求字母取值范围，那么不等式f ′(x )≤0恒成立，但要验证f ′(x )是否恒等于0.增函数亦如此．18导数为零的点并不一定是极值点，如：函数f (x )＝x 3，有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．函数概念不清致误例1 已知函数f(x2－3)＝lgx2x2－4，求f(x)的定义域．[错解]由x2x2－4>0，得x>2或x<－2.∴函数f(x)的定义域为{x|x>2或x<－2}．[错因分析]错把lgx2x2－4的定义域当成了f(x)的定义域．[正解]由f(x2－3)＝lgx2x2－4，设x2－3＝t，则x2＝t＋3，因此f(t)＝lg t＋3 t－1.∵x2x2－4>0，即x2>4，∴t＋3>4，即t>1.∴f(x)的定义域为{x|x>1}．[防范措施]失分的原因是将f(x2－3)的定义域与f(x)的定义域等同起来了．事实上，f(x2－3)＝lg x2x2－4与f(x)是两个不同的函数，它们有不同的法则和定义域，造成错误的原因在于未弄清函数的概念．求函数定义域，首先应弄清函数的特征或解析式，可避免出错．补救训练1[2016·河南郑州一模]若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f(2x)x－1的定义域是________．答案[0,1)解析∵0≤2x≤2，∴0≤x≤1，又x－1≠0，即x≠1，∴0≤x<1，即函数g(x)的定义域是[0,1).分段函数的意义理解不准确致误例2 函数f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1，x ≥0，(a 2－1)e ax ，x >0在(－∞，＋∞)上单调，则a 的取值范围是________．[错解1] 若f(x )在R 上单调递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2－1>0， 解得a <－1；若f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－1>0，解得a >1. [错解2] ∵f (x )在R 上单调，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2－1>0，(a 2－1)e 0≥1，解得a ≤－ 2.[错解3] ∵f (x )在R 上单调，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a 2－1>0，(a 2－1)e 0≤1，解得1<a ≤ 2.[错因分析] 对分段函数的意义理解不准确或情况考虑不全致误．[正解] 若函数在R 上单调递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2－1>0，(a 2－1)e 0≥1，解之得a ≤－2；若函数在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a 2－1>0，(a 2－1)e 0≤1，解得1<a ≤2，故a 的取值范围是(－∞，－ 2 ]∪(1，2]．[答案] (－∞，－2]∪(1，2][防范措施] 上述错解1是对分段函数在R 上单调的限制条件不全而造成失分；错解2、3简单的认为单调只是增或减，没有进行分情况讨论．对此类问题的求解一定要考虑周全．补救训练2 [2016·陕西高三质检]设函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 13 ，x ≥8，2e x －8，x <8，则使得f (x )≤3成立的x 的取值范围是________．答案 (－∞，27]解析 当x ≥8时，x 13 ≤3，∴x ≤27，即8≤x ≤27；当x <8时，2e x －8≤3恒成立，故x <8.综上，x ∈(－∞，27].忽视函数的定义域致误例3 函数y ＝log 12(x 2－5x ＋6)的单调递增区间为________． [错解] ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，52 [错因分析] 忽略了x 2－5x ＋6>0，即函数的定义域．[正解] 由x 2－5x ＋6>0知{x |x >3或x <2}．令u ＝x 2－5x ＋6，则u ＝x 2－5x ＋6在(－∞，2)上是减函数，∴y ＝log 12(x 2－5x ＋6)的单调增区间为(－∞，2)．[答案] (－∞，2)[防范措施] 本题失分的原因就在于忽略了函数的定义域这一隐含条件.在研究函数问题时，不论什么情况，首先研究函数的定义域，这是研究函数的一条最基本原则.补救训练3 [2016·辽宁沈阳质检]已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23答案 A解析 ∵f (x )是偶函数，∴其图象关于y 轴对称，又f (x )在[0，＋∞]上单调递增，∴f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13⇔|2x －1|<13⇔13<x <23.故选A.混淆“过点”和“切点”致误例4 求过曲线y ＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程．[错解] ∵y ′＝3x 2－2，∴k ＝y ′|x ＝1＝3×12－2＝1.∴切线方程为：y ＋1＝x －1即x －y －2＝0.[错因分析] 错把(1，－1)当切点．[正解] 设P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为y ′⎪⎪ x ＝x 0＝3x 20－2.∴切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)，即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)．又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程，得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)，整理，得(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求切线方程为y －(1－2)＝(3－2)(x －1)，或y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－18＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即x －y －2＝0，或5x ＋4y －1＝0.[防范措施] 过曲线上的点(1，－1)的切线与曲线的切点可能是(1，－1)，也可能不是(1，－1).本题错误的根本原因就是把(1，－1)当成了切点.解决这类题目时，一定要注意区分“过点A 的切线方程”与“在点A 处的切线方程”的不同.虽只有一字之差，意义完全不同，“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点.补救训练4 已知函数f (x )＝a l n x －2ax ＋b ，函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程是y ＝2x ＋1，则a ＋b 的值是________．答案 －3解析 因为f ′(x )＝a x －2a ，函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为2，所以f ′(1)＝－a ＝2，所以a ＝－2，f (x )＝－2l n x ＋4x ＋b ，由切线方程可得f (1)＝3，所以f (1)＝4＋b ＝3，可得b ＝－1.所以a ＋b ＝－3.极值的概念不清致误例5已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值为10，则a ＋b ＝________.[错解] 由已知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，解得a ＝4，b ＝－11或a ＝－3，b ＝3， 故a ＋b ＝－7或a ＋b ＝0.[错因分析] x ＝1是f (x )的极值点⇒f ′(1)＝0；忽视了“f ′(1)＝0⇒/ x ＝1是f (x )的极值点”的情况．[正解] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由x ＝1时，函数取得极值10， 得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， ①②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3. 当a ＝4，b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)在x ＝1两侧的符号相反，符合题意．当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2在x ＝1两侧的符号相同，所以a ＝－3，b ＝3不符合题意，舍去．综上可知a ＝4，b ＝－11，∴a ＋b ＝－7.[答案] －7[防范措施] “函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处取极值”的必要条件，而非充分条件，但解题中却把“可导函数f (x )在x ＝x 0处取极值”的必要条件误作充要条件.对于可导函数f (x )：x 0是极值点的充要条件是x 0点两侧导数异号，即f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根x 0的左右的符号：“左正右负”⇔f (x )在x 0处取极大值；“左负右正”⇔f (x )在x 0处取极小值，而不仅是f ′(x 0)＝0.f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的必要而不充分条件.对于给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f ′(x 0)＝0，又考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则易产生增根.补救训练5 [2016·兰州质检]函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]有极大值又有极小值，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，因为f (x )既有极大值又有极小值，所以Δ>0，即36a 2－4×3×3(a ＋2)>0，解得a >2或a <－1.即a 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).函数零点求解讨论不全致误例6函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，1]B ．(－∞，0]∪{1} C.(－∞，0)∪{1} D ．(－∞，1)[错解] 若Δ＝0，解得m ＝1；若Δ>0，则x 1·x 2＝1m <0，解得m <0，故选C.[错因分析] 没有对m 是否为零进行讨论．[正解] 当m ＝0时，x ＝12为函数的零点；当m ≠0时，若Δ＝0，即m ＝1时，x ＝1是函数唯一的零点，若Δ≠0，显然x ＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f (x )＝mx 2－2x ＋1＝0有一个正根一个负根，即mf (0)<0，即m <0.故选B.[答案] B[防范措施] 解决此类问题的关键是对参数的讨论要全面，对函数零点的定理使用要正确，如本题错解中忽略了对m ＝0的讨论.补救训练6 [2016·东三省联考]已知在区间[－4,4]上f (x )＝⎩⎨⎧ log 2(x ＋5)＋43(x ＋1)，－4≤x ≤－1，2|x －1|－2，－1<x ≤4，g (x )＝－18x 2－x ＋2(－4≤x ≤4)，给出下列四个命题：①函数y ＝f [g (x )]有三个零点；②函数y ＝g [f (x )]有三个零点；③函数y ＝f [f (x )]有六个零点； ④函数y ＝g [g (x )]有且只有一个零点．其中正确命题的个数是( )A.1B ．2 C.3D ．4 答案 D解析 如图，画出f (x )，g (x )的草图．①设t ＝g (x )，则由f [g (x )]＝0，得f (t )＝0，则t ＝g (x )有三个不同值，由于y ＝g (x )是减函数，所以f [g (x )]＝0有3个解，所以①正确；②设m ＝f (x )，若g [f (x )]＝0，即g (m )＝0，则m ＝x 0∈(1,2)，所以f (x )＝x 0∈(1,2)，由图象知对应f (x )＝x 0∈(1,2)的解有3个，所以②正确；③设n ＝f (x )，若f [f (x )]＝0，即f (n )＝0，n ＝x 1∈(－3，－2)或n ＝0或n ＝x 2＝2，而f (x )＝x 1∈(－3，－2)有1个解，f (x )＝0对应有3个解，f (x )＝x 2＝2对应有2个解，所以f [f (x )]＝0共有6个解，所以③正确；④设s ＝g (x )，若g [g (x )]＝0，即g (s )＝0，所以s ＝x 3∈(1,2)，则g (x )＝x 3，因为y ＝g (x )是减函数，所以方程g (x )＝x 3只有1个解，所以④正确.导数与单调性的关系理解不准致误例7函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在R 上是增函数，则a 的取值范围是________．[错解] 由f (x )＝ax 3－x 2＋x －5得f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1，由f ′(x )>0，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，解得a >13. [错因分析] f (x )在R 上是增函数等价于f ′(x )≥0在R 上恒成立．漏掉了f ′(x )＝0的情况．[正解] f (x )＝ax 3－x 2＋x －5的导数f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1，由f ′(x )≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－12a ≤0，解得a ≥13. [答案] a ≥13[防范措施] f ′(x )>0(<0)(x ∈(a ，b ))是f (x )在(a ，b )上单调递增(递减)的充分不必要条件.实际上，对可导函数f (x )而言，f (x )在(a ，b )上为单调增(减)函数的充要条件为：对于任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )≥0(≤0)且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间上都不恒为零.在解题时，若求单调区间，一般用充分条件即可.若由单调性求参数，一般用充要条件即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，否则容易漏解.补救训练7 已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －l n x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，43 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，43 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，2 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 答案 D解析 因为函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，所以f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，易知y ＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上单调递减，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x m ax ＝83，所以2a ≥83，解得a ≥43.选D.三、三角函数、解三角形、平面向量1α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么si nα＝y r ，cos α＝x r ，t anα＝yx (x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．2同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：si n 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：t anα＝si nαcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限(1)五点法作图；(2)对称轴：y ＝si nx ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ；y ＝cos x ，x ＝k π，k ∈Z ； 对称中心：y ＝si nx ，(k π，0)，k ∈Z ；y ＝cos x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ；y ＝t anx ，⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z .(3)单调区间：y ＝si nx 的增区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )， 减区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )；y ＝cos x 的增区间：[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )，减区间：[2k π，π＋2k π](k ∈Z )；y ＝t anx 的增区间：⎝⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )．(4)周期性与奇偶性：y ＝si nx 的最小正周期为2π，为奇函数；y ＝cos x 的最小正周期为2π，为偶函数；y ＝t anx 的最小正周期为π，为奇函数．易错警示：求y ＝A si n (ωx ＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误： (1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反； (2)忘掉写＋2k π，或＋k π等，忘掉写k ∈Z ；(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.4两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 si n (α±β)＝si nαcos β±cos αsi nβ. cos(α±β)＝cos αcos β∓si nαsi nβ. t an (α±β)＝t anα±t anβ1∓t anαt anβ.si n 2α＝2si nαcos α.cos 2α＝1＋cos2α2，si n 2α＝1－cos2α2，t an 2α＝2t anα1－t an 2α. 在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]．α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4，α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4. 5三角变换基本方法：化切为弦、降幂升幂、用三角公式转化出特殊角、异角化同角、异名化同名．6解三角形(1)正弦定理：a si nA ＝b si nB ＝csi nC ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝si nA ∶si nB ∶si nC ；(ⅱ)si nA ＝a 2R ，si nB ＝b 2R ，si nC ＝c2R ；(ⅲ)a ＝2R si nA ，b ＝2R si nB ，c ＝2R si nC ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中A >B ⇔si nA >si n B.(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a22bc 等，常选用余弦定理判定三角形的形状．7解三角形的实际应用问题注意区分俯角和仰角，方位角和方向角的不同．8数0与零向量有区别，0的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定.0可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直，特别在书写时要注意，否则有质的不同．9平面向量的基本概念及线性运算(1)加、减法的平行四边形与三角形法则：AB →＋BC →＝AC →；AB →－AC →＝CB →.(2)向量满足三角形不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(3)实数λ与向量a 的积是一个向量，记为λa ，其长度和方向规定如下：①|λa |＝|λ||a |；②λ>0，λa 与a 同向；λ<0，λa 与a 反向；λ＝0或a ＝0，λa ＝0.(4)平面向量的两个重要定理①向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .②平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．10向量的平行与垂直设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且b ≠0，则a ∥b ⇔b ＝λa ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.a ⊥b (a ≠0)⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同． 11当a·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，消去律不成立；(a ·b )c 与a (b ·c )不一定相等，(a ·b )c 与c 平行，而a (b·c )与a 平行．12向量的数量积 |a |2＝a 2＝a ·a ，a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2， cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，a 在b 上的投影＝|a |cos 〈a ，b 〉＝a ·b |b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 22＋y 22. 注意：〈a ，b 〉为锐角⇔a ·b >0且a 、b 不同向； 〈a ，b 〉为直角⇔a ·b ＝0且a 、b ≠0； 〈a ，b 〉为钝角⇔a ·b <0且a 、b 不反向．13两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价．14向量a 在向量b 上的投影|a |cos θ是一个实数，可以是正数，可以是负数，也可以是零．15几个向量常用结论(1)P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心； (2)P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →⇔P 为△ABC 的垂心；(3)向量λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心； (4)|P A →|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的外心．忽视角的范围致误例1 已知si nα＝55，si nβ＝1010，且α，β为锐角，则α＋β＝________.[错解] ∵α、β为锐角，∴cos α＝1－si n 2α＝255，cos β＝1－si n 2β＝31010. ∴si n (α＋β)＝si nαcos β＋cos αsi nβ ＝55×31010＋255×1010＝22. 又0<α＋β<π.∴α＋β＝π4或α＋β＝34π.[错因分析] 错解中没有注意到0<α＋β<π，对于正弦值可能会有两个解，而利用余弦求解，利用正负关系即可判断．[正解] 因为α，β为锐角， 所以cos α＝1－si n 2α＝255，cos β＝1－si n 2β＝31010.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－si nαsi nβ ＝255×31010－55×1010＝22. 又因为0<α＋β<π，所以α＋β＝π4. [答案] π4[防范措施] 对三角函数的求值问题，不仅要看已知条件中角的范围，还要挖掘隐含条件，根据三角函数值缩小角的范围；本题中(0，π)中角和余弦值一一对应，最好在求角时选择计算cos (α＋β)来避免增解.补救训练1 [2016·嘉兴测试]已知α为钝角，si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34，则si n ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝________. 答案 －74解析 cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34⇒cos ⎝ ⎛π4－α )＝34，因为α为钝角，即π2<α<π⇒－3π4<π4－α<－π4，所以si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α<0， 则si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝－74.三角函数图象平移致误例2 函数y ＝3si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象可由函数y ＝3si n 2x 的图象( )A.向左平移π6个单位长度得到B.向右平移π6个单位长度得到 C.向左平移π12个单位长度得到 D.向右平移π12个单位长度得到 [错解] A[错因分析] 在三角函数图象变换时，对于先进行伸缩变换再进行平移变换的平移量搞错．[正解] y ＝3si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝3si n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12， ∴只需将y ＝3si n 2x 的x 换成x ＋π12即可． ∴y ＝3si n 2x 的图象向左平移π12个单位长度， 得到y ＝3si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象． [答案] C[防范措施] 三角函数图象变换时，由f (x )→f (x ±a )(a >0)是左加右减，即x ＋a 是f (x )向左平移a 个单位，x －a 是f (x )向右平移a 个单位．我们所说的平移多少是对x 说的，即“对x 说话”．解决此类问题的办法一般是先平移后伸缩．在平移时，如x 有系数ω，则先写成ω(x ＋φ)的形式．补救训练2 将函数h (x )＝2si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π4个单位，再向上平移2个单位，得到函数f (x )的图象，则函数f (x )的图象与函数h (x )的图象( )A.关于直线x ＝0对称B.关于直线x ＝1对称C.关于(1,0)点对称D.关于(0,1)点对称 答案 D解析 依题意，将h (x )＝2si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π4个单位，再向上平移2个单位后得y ＝2si n [ 2( x －π4 )＋π4 ]＋2，即f (x )＝2si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋2的图象，又∵h (－x )＋f (x )＝2，∴函数f (x )的图象与函数h (x )的图象关于点(0,1)对称.三角函数的单调性判断致误例3 函数y ＝12si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 3的单调区间是________． [错解] 函数y ＝12si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－23x 的单调递增区间为2k π－π2≤π4－23x ≤2k π＋π2，解得3k π＋3π8≤x ≤3k π＋98π；单调递减区间为2k π＋π2≤π4－2x 3≤2k π＋3π2，解得3k π－158π≤x ≤3k π－3π8，其中k ∈Z .[错因分析] 受思维定势，按函数y ＝12si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3－π4的单调区间的判断方法求解．[正解] 原函数变形为y ＝－12si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3－π4，令u ＝2x 3－π4，则只需求y ＝si nu 的单调区间即可，所以y ＝si nu 在2k π－π2≤2x 3－π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即3k π－3π8≤x ≤3k π＋9π8(k ∈Z )上单调递增；y ＝si nu 在2k π＋π2≤2x 3－π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即3k π＋9π8≤x ≤3k π＋218π(k ∈Z )上单调递减．故y ＝12si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 3＝－si nu 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π－3π8，3k π＋9π8(k ∈Z )，单调递增区间为⎣⎢⎡ 3k π＋9π8，⎦⎥⎤3k π＋21π8(k ∈Z )． [答案] 单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π＋9π8，3k π＋21π8(k ∈Z )，单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π－3π8，3k π＋9π8(k ∈Z ) [防范措施] 当题目涉及f (x )＝A si n (ωx ＋φ)的性质时，要将ωx ＋φ视为整体，再与y ＝si nx 的相关性质对应，同时注意ω与零的大小.补救训练3 [2016·海口调研]已知函数f (x )＝si n 2(ωx )－12(ω>0)的最小正周期为π2，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位(a >0)，所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为( )A.π4B.3π4C.π2D.π8答案 D解析 依题意得f (x )＝1－cos2ωx 2－12＝－12cos2ωx ，最小正周期T＝2π2ω＝π2，ω＝2，f (x )＝－12cos4x ，将f (x )＝－12cos4x 的图象向右平移a 个单位后得到的是函数g (x )＝－12cos[4(x －a )]的图象. 又函数g (x )的图象关于原点对称，因此有g (0)＝－12cos4a ＝0,4a ＝k π＋π2，k ∈Z ，即a ＝k π4＋π8，k ∈Z ，因此正实数a 的最小值是π8，选D.解三角形多解、漏解致误例4 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 且a ＝1，c ＝ 3.(1)若C ＝π3，求A ；(2)若A ＝π6，求b.[错解] (1)在△ABC 中，a si nA ＝c si nC ，∴si nA ＝a si nC c ＝12，∴A ＝π6或5π6.(2)由a si nA ＝c si nC ，得si nC ＝c si nA a ＝32.∴C ＝π3，由C ＝π3知B ＝π2，∴b ＝a 2＋c 2＝2.[错因分析] 在用正弦定理解三角形时，易出现丢解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c 边比a 边大，在求得si nA ＝a si nC c ＝12后，得出角A ＝π6或5π6；在第(2)问中又因为没有考虑角C 有两解，由si nC＝c si nA a ＝32，只得出角C ＝π3，所以角B ＝π2，解得b ＝2.这样就出现丢解的错误．[正解] (1)由正弦定理得a si nA ＝c si nC ，即si nA ＝a si nC c ＝12.又a <c ，∴A <C ，∴0<A <π3，∴A ＝π6.(2)由a si nA ＝c si nC ，得si nC ＝c si nA a ＝3·si n π61＝32.∴C ＝π3或2π3. 当C ＝π3时，B ＝π2，∴b ＝2；当C ＝2π3时，B ＝π6，∴b ＝1.综上所述，b ＝2或b ＝1.[防范措施] 已知两边及其中一边的对角解三角形时，注意要对解的情况进行讨论，讨论的根据一是所求的正弦值是否合理，当正弦值小于等于1时，还应判断各角之和与180°的关系；二是两边的大小关系.补救训练4 [2016·郑州质检]在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos2C －cos2A ＝2si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋C si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C . (1)求角A 的值；(2)若a ＝3且b ≥a ，求2b －c 的取值范围．解 (1)由已知得2si n 2A －2si n 2C ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫34cos 2C －14si n 2C ， 化简得si nA ＝32，故A ＝π3或2π3.(2)由正弦定理b si nB ＝c si nC ＝a si nA ＝2，得b ＝2si nB ，c ＝2si nC ，故2b －c ＝4si nB －2si nC ＝4si nB －2si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝ 3si nB －3cos B ＝23si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6. 因为b ≥a ，所以π3≤B <2π3，π6≤B －π6<π2.所以2b －c ＝23si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6∈[3，23).向量夹角定义不明致误例5 已知等边△ABC 的边长为1，则BC →·CA →＋CA →·AB →＋AB →·BC →＝。

第三讲10大模板规范解答题题型地位解答题作为高考数学试卷的最后一道大题，通常有六道题，分值为70分，约占总分的一半，其得分直接决定了高考中数学的成败．如果说客观题是得分的基础，那么解答题就是提高得分的保障，而且在每年的数学试卷中解答题的题型具有延续性，因此在备考复习中要加强高考题型的针对性训练．题型特点首先，解答题应答时不仅要得出最后的结论，还要写出解答过程的主要步骤，给出合情合理的说明；其次，解答题的内涵丰富，考点相对较多，综合性强，区分度高，难度较大．解题策略(1)常见失分原因及应对办法：①对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题、快做题；②公式记忆不牢，一定要熟记公式、定理、性质等；③解题步骤不规范，一定要按课本要求的步骤去解答，否则会因不规范答题失分，应避免“对而不全”，如解概率题，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或只给出单纯的结论，表达不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分”；④计算能力差、失分多，会做的一定不能放过，不能一味求快，例如平面解析几何中的圆锥曲线问题就要求有较强的运算能力；⑤不要轻易放弃试题，难题不会做，可分解成小问题，分步解决，如将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，也许随着这些小步骤的罗列，还能产生解题的灵感．(2)怎样才能分段给分：对于同一道题目，有的人理解得深，有的人理解得浅；有的人解决得多，有的人解决得少，为了区分这种情况，高考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分．这种方法我们叫“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分，与之对应的“分段得分”的基本精神是会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分，分段得分的方法有以下几种：①缺步解答；②跳步解答；③辅助解答；④退步解答．总之，解解答题的基本原则是“步步为营”．模板一 三角函数的图象与性质例1 [2016·山东淄博实验中学模拟]已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少有10个零点，求b 的最小值．审题视角 (1)利用恒等变换将f (x )化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再结合正弦函数的性质求解．(2)由平移得到g (x )的解析式，再通过解方程求出[0，π]上零点个数，结合周期确定b 的取值．解 (1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx － 3＝sin2ωx －3cos2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3， 由函数的最小正周期为π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， 令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin2x ＋1的图象，所以g (x )＝2sin2x ＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以y ＝g (x )在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标，即b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.构建解题程序 第一步：运用三角恒等变换，将f (x )化成y ＝A sin (ωx ＋φ)的形式.,第二步：将ωx ＋φ视为一个整体，代入y ＝sin t 的单调区间内求解x 的范围.,第三步：结合函数图象的平移得出g (x )的表达式.,第四步：通过解方程得出其一个周期内的零点个数，再结合其周期性求出b 的最小值.批阅笔记 1.①本题第(1)问的关键为三角恒等变换及整体的应用意识.②第(2)问注意平移的相关应用，结合周期性求出结论.2.本题易错点：①公式变换与平移变换不准确而得不出正确的解析式造成错解.②不能由一个周期内的零点个数转化到所给区间[0，b ]上. 模板二 三角变换与解三角形例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小；(3)若a 2＋c 2－b 2＝ac ，且c ＝2.求△ABC 的面积．审题视角 (1)由边化角，完成边角转化．(2)正、逆用两角和的正、余弦公式，将3sin A －cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4化为正弦型函数，根据三角函数性质，求角A 、B .(3)由余弦定理，求B 进而求A ，得到S △ABC 的值．解 (1)∵c sin A ＝a cos C ，由正弦定理，得sin C sin A ＝sin A cos C . 又0<A <π，∴sin A >0，从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，∴tan C ＝1.又C ∈(0，π)，则C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝34π－A ，B ＋π4＝π－A ，则3sin A －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6. 因为0<A <34π，则π6<A ＋π6<1112π.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6取最大值2. 综上可知，3sin A －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值为2， 此时A ＝π3，B ＝5π12.(3)由a 2＋c 2－b 2＝ac 及余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.又0<B <34π，因此B ＝π3.A ＝π－(B ＋C )＝5π12.又c ＝2，c sin A ＝a sin C .从而2sin 512π＝a sin π4，即2×6＋24＝22a ，∴a ＝3＋1.∴△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝3＋32.构建解题程序 第一步：运用正弦定理，将边化为角的关系，进而由角的范围及tan C ＝1，求角C .第二步：化三角函数为a 2＋b 2sin(x ＋φ)的形式．第三步：根据三角函数性质，求出A ，B .第四步：利用余弦定理与面积公式求S △ABC .第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，规范解题步骤． 批阅笔记 1.①本题第(1)、(3)问的求解关键充分运用条件特征，灵活运用正余弦定理，完成边角的转化．②第(2)问注意到A 、B 关系，逆用两角和的正弦公式．2．本题易错点：①第(2)问中，忽视角的取值范围，推理计算不严谨；②不会将cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4转化为cos(π－A )，导致求解复杂化，使得求错结论；③抓不住第(3)问的条件特征，盲目代入，无果而终.模板三 数列的通项与求和例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，等差数列{b n }中，b n >0(n ∈N *)，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列．(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .审题视角 (1)a n ＝S n －S n －1(n ≥2)→消去S n →得a n ＋1＝3a n → a n ＝3n －1 (2)观察{a n ·b n }中a n 与b n 的特点→在T n 前乘以{a n }的公比，构造使用错位相减的条件→ －2T n ＝－2n ·3n →得T n解 (1)∵a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，∴a n ＝2S n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)．∵a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)，即a n ＋1－a n ＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n (n ∈N *，n ≥2)．而a 2＝2a 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1.∴数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列．∴a n ＝3n －1(n ∈N *)．∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9.在等差数列{b n }中，∵b 1＋b 2＋b 3＝15，∴b 2＝5.又∵a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列，设等差数列{b n }的公差为d ，则有(a 1＋b 1)(a 3＋b 3)＝(a 2＋b 2)2.∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2.∵b n >0(n ∈N *)，∴舍去d ＝－10，取d ＝2.∴b 1＝3，∴b n ＝2n ＋1(n ∈N *)．(2)由(1)知T n ＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n －1)3n －2＋(2n ＋1)3n －1，①∴3T n ＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)3n －1＋(2n ＋1)3n .② ∴①－②得－2T n ＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－(2n ＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n －1)－(2n ＋1)3n＝3＋2×3－3n1－3－(2n ＋1)3n ＝3n －(2n ＋1)3n ＝－2n ·3n ，∴T n ＝n ·3n .构建解题程序 第一步：令n ＝1，由S n ＝f (a n )求出a 1.第二步：令n ≥2，构造a n ＝S n －S n －1，用a n 代换S n －S n －1(或用S n －S n －1代换a n ，这要结合题目特点)，由递推关系求通项．第三步：验证当n ＝1时的结论是否适合当n ≥2时的结论．如果适合，则统一“合写”；如果不适合，则应分段表示．第四步：写出明确规范的答案．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．本题的易错点，易忽略对n＝1和n≥2分两类进行讨论，同时忽视结论中对二者的合并．批阅笔记 1.本题第(1)问利用S n与a n的关系，根据递推关系式可得a n与a n＋1的关系，从而判断{a n}是等比数列可求其通项公式；而{b n}中可设出公差d利用题中条件解方程组得b1，d，即知{b n}的通项公式．第(2)问根据{a n，b n}的通项公式特点可知求其和T n时用错位相减法．2．本题易错点：①第(1)问求a n时忘记检验a2与a1的关系即n ＝1时的情况，且求{b n}的公差d时忽略b n>0从而导致多解．②第(2)问用错位相减法时容易发生计算失误，尤其是项数和项的符号.模板四概率与统计例4 某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)其中a，a分别表示甲组研发成功和失败；b，b分别表示乙组研发成功和失败．(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．审题视角第(1)问，直接利用方差的公式求解；第(2)问，利用古典概型的概率公式求解．解 (1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1.其平均数为x 甲＝1015＝23；方差为s 2甲＝115⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×5＝29. 乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1.其平均数为x 乙＝915＝35；方差为s 2乙＝115⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352×9＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－352×6＝625. 因为x 甲>x 乙，s 2甲<s 2乙，所以甲组的研发水平优于乙组．(2)记E 为事件：恰有一组研发成功，在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，共7个，故事件E 发生的频率为715.将频率视为概率，即得所求概率为P (E )＝715.构建解题程序 第一步：统计成绩，计算平均数x 甲、x 乙，方差s 2甲，s 2乙.第二步：利用古典概型公式求概率．批阅笔记 1.两组数据的平均值x 、y 代表平均水平，方差s 2代表稳定性．古典概型要明确基本事件是什么．2．常见错误：(1)计算平均值x 、方差出错．(2)古典概型要保证每个基本事件发生概率相等，能列出所有结果．易列错结果．模板五 立体几何例5 [2016·全国卷Ⅱ]如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置．(1)证明：AC ⊥HD ′；(2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝54，OD ′＝22，求五棱锥D ′－ABCFE的体积．审题视角 (1)利用平行线的判定和性质证明；(2)利用线面垂直的判定定理找到五棱锥的高，利用补形法求五边形的面积，结合锥体的体积公式求解．解 (1)证明：由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD .又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD ，故AC ∥EF .由此得EF ⊥HD ，EF ⊥HD ′，所以AC ⊥HD ′.(2)由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4.所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是OD ′2＋OH 2＝(22)2＋12＝9＝D ′H 2，故OD ′⊥OH .由(1)知，AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ，所以AC ⊥平面BHD ′，于是AC ⊥OD ′.又由OD ′⊥OH ，AC ∩OH ＝O ，所以OD ′⊥平面ABC .又由EFAC＝DHDO得EF＝92.五边形ABCFE的面积S＝12×6×8－12×92×3＝694.所以五棱锥D′－ABCFE的体积V＝13×694×22＝2322.构建解题程序第一步：弄清折叠前后没有发生变化的量．第二步：明确AC与EF的关系，利用平行线的判定和性质证明．第三步：找到五棱锥的高，利用割补法求出五边形的面积．第四步：利用锥体的体积公式求出结论．批阅笔记 1.立体几何中折叠问题要注意，折叠前后异同；通过数量运算，得到平行、垂直位置关系；体积的等价转化．以上体现了数形结合、转化与化归思想．2．常见错误：(1)折叠前后关系判断错误．(2)计算错误．(3)空间立体感不强．模板六直线与圆锥曲线例6 [2016·天津高考]设椭圆x2a2＋y23＝1(a>3)的右焦点为F，右顶点为A.已知1|OF|＋1|OA|＝3e|F A|，其中O为原点，e为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l 的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．审题视角(1)用待定系数法求解即可；(2)把几何条件转化为坐标关系，得出关于直线l的斜率的不等式，求之即可．解(1)设F(c,0)，由1|OF|＋1|OA|＝3e|F A|，即1c＋1a＝3ca(a－c)，可得a2－c2＝3c2，又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.所以，椭圆的方程为x24＋y23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －2)消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0.解得x ＝2，或x ＝8k 2－64k 2＋3，由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k 4k 2＋3. 由(1)知，F (1,0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝⎛⎭⎪⎫9－4k 24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k .因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k 212k .设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎨⎧ y ＝k (x －2)，y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912(k 2＋1).在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔|MA |≤|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1，即20k 2＋912(k 2＋1)≥1，解得k ≤－64，或k ≥64.所以，直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－64∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫64，＋∞. 构建解题程序 第一步：利用待定系数法设出椭圆方程，利用条件进行求解．第二步：设出直线方程(注意对斜率k 的讨论)，与椭圆方程联立，由韦达定理得出B 点坐标．第三步：依据BF ⊥HF 得出点H 坐标，进而可设出MH 的直线方程．第四步：用k 表示出点M 的坐标，将∠MOA ≤∠MAO 转化出|MA |≤|MO |即可得到关于k 的不等式关系．第五步：通过解不等式即可求出直线l 斜率的取值范围．批阅笔记 1.本题第(1)问的关键是利用1|OF |＋1|OA |＝3e |F A |得出a 与c 的关系式，再由关系式a 2－c 2＝b 2可求出a 的取值．第(2)问是设出直线方程与椭圆方程联立，顺次求出点B 、H 、M 的坐标，转化∠MOA ≤∠MAO 条件构建不等式进行求解．2．本题易错点：①第(1)问不能正确利用a ，b ，c 的关系准确求出椭圆方程造成后继过程不得分．②第(2)问的运算量较大，涉及到的点比较多，容易造成运算上的失误；此外，对条件∠MOA ≤∠MAO 不能转化成边的关系，进而构造不出相应的不等式关系，以至于无法进行运算求解.模板七 解析几何中的探索性问题例7已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 中点的横坐标是－12，求直线AB 的方程；(2)在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．审题视角 设AB 的方程y ＝k (x ＋1)→待定系数法求k →写出方程；设M 存在即为(m,0)→求MA →·MB →→在MA →·MB →为常数的条件下求m .解 (1)依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，将y ＝k (x ＋1)代入x 2＋3y 2＝5，消去y 整理得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧ Δ＝36k 4－4(3k 2＋1)(3k 2－5)>0，x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1. ①②由线段AB 中点的横坐标是－12，得x 1＋x 22＝－3k 23k 2＋1＝－12，解得k ＝±33，适合①. 所以直线AB 的方程为x －3y ＋1＝0或x ＋3y ＋1＝0.(2)假设在x 轴上存在点M (m,0)，使MA →·MB →为常数．(ⅰ)当直线AB 与x 轴不垂直时，由(1)知x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－53k 2＋1.③ 所以MA →·MB →＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－m )·(x 1＋x 2)＋k 2＋m 2.将③代入，整理得MA →·MB →＝(6m －1)k 2－53k 2＋1＋m 2＝⎝⎛⎭⎪⎫2m －13(3k 2＋1)－2m －1433k 2＋1＋m 2＝m 2＋2m －13－6m ＋143(3k 2＋1). 注意到MA →·MB →是与k 无关的常数，从而有6m ＋14＝0，m ＝－73，此时MA →·MB →＝49.(ⅱ)当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A 、B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫－1，23、⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－23，当m ＝－73时，也有MA →·MB →＝49. 综上，在x 轴上存在定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0，使MA →·MB →为常数．构建解题程序 第一步：假设结论存在．第二步：以存在为条件，进行推理求解．第三步：明确规范表述结论．若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设．第四步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．如本题中第(1)问容易忽略Δ>0这一隐含条件．第(2)问易忽略直线AB 与x 轴垂直的情况．批阅笔记 1.第(1)问设出直线AB 的斜率k ，写出AB 的方程与椭圆联立，通过韦达定理可得出AB 的中点横坐标，从而求出k .即得AB方程．第(2)问先假设存在M ，再利用MA →·MB →为常数，探索M 点的坐标，所谓MA →·MB →为常数，是指与AB 的位置无关的定值．2．本题易错点：①第(1)问利用x 1＋x 22＝－12求出k 未检验Δ>0.②第(2)问未对AB 的斜率存在与否进行讨论，或不能正确理解MA →·MB →为常数这一条件.模板八 圆锥曲线中的定值(定点)问题例8 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2.设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m ，0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2.若k ≠0，试证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值． 审题视角 (1)依据题意可建立关于a 与b 的方程组；(2)利用角平分线上的点满足的性质，将m 用P 点横坐标进行表示，然后依据P点横坐标的范围求出m 的范围；也可利用角平分线定理求解；(3)采用直接推理的方法，用P 点坐标表示1kk 1＋1kk 2，并在计算过程中消去，得出所求定值．解 (1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a .由题意知2b 2a ＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)解法一：设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，又F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以直线PF 1，PF 2的方程分别为lPF 1：y 0x －(x 0＋3)y ＋3y 0＝0，lPF 2：y 0x －(x 0－3)y －3y 0＝0. 由题意知|my 0＋3y 0|y 20＋(x 0＋3)2＝|my 0－3y 0|y 20＋(x 0－3)2由于点P 在椭圆上，所以x 204＋y 20＝1.所以|m ＋3|⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 0＋22＝|m －3|⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 0－22 . 因为－3<m <3，－2<x 0<2，可得m ＋332x 0＋2＝3－m 2－32x 0， 所以m ＝34x 0.因此，－32<m <32.解法二：设P (x 0，y 0)，当0≤x 0<2时，①当x 0＝3时，直线PF 2的斜率不存在，易知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－12. 若P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，则直线PF 1的方程为x －43y ＋3＝0. 由题意得|m ＋3|7＝3－m ，因为－3<m <3，所以m ＝334.若P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－12，同理得m ＝334. ②当x 0≠3时，设直线PF 1，PF 2的方程分别为 y ＝k 1(x ＋3)，y ＝k 2(x －3)． 由题意知|mk 1＋3k 1|1＋k 21＝|mk 2－3k 2|1＋k 22， 所以(m ＋3)2(m －3)2＝1＋1k 211＋1k 22.因为x 204＋y 20＝1， 并且k 1＝y 0x 0＋3，k 2＝y 0x 0－3， 所以(m ＋3)2(m －3)2＝4(x 0＋3)2＋4－x 204(x 0－3)2＋4－x 20＝3x 20＋83x 0＋163x 20－83x 0＋16＝(3x 0＋4)2(3x 0－4)2， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋3m －3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x 0＋43x 0－4. 因为－3<m <3，0≤x 0<2且x 0≠3， 所以3＋m 3－m ＝4＋3x 04－3x 0，整理得m ＝3x 04， 故0≤m <32且m ≠334.综合①②可得0≤m <32.当－2<x 0<0时，同理可得－32<m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32. (3)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)．联立⎩⎨⎧ x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k (x －x 0)，整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0.由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0.又x 204＋y 20＝1，所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－x 04y 0. 由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0， 所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 1＋1k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4y 0x 0·2x 0y 0＝－8. 因此1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8. 构建解题程序 第一步：引进参数，从目标对应的关系式出发，设出相关的参数．(一般所引入量为斜率、截距、点的坐标等)．第二步：列出所需要的关系式：(1)如果涉及定点，则根据题设条件表示出对应的动态直线方程求曲线方程；(2)如果涉及定值，则可直接进行运算推理．第三步：(1)探求直线过定点．将直线方程化为y －y 0＝k (x －x 0)的形式．若是曲线方程，则将方程化为f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0的形式；(2)探求定值问题则在运算过程中可消掉参数得到定值．第四步：下结论．第五步：回顾反思．在解决圆锥曲线问题中的定点、定值问题时，引进参数的目的是以这个参数为中介，通过证明目标关系式与参数无关，达到解决问题的目的．批阅笔记 1.第(1)问利用椭圆中a ，b ，c 的关系求出其值，得到椭圆的方程；第(2)问利用解分线的性质建立关于m 的函数关系求出其范围；第(3)问设出直线方程与椭圆方程联立，得出k 与1k 1＋1k 2的关系，可证得结论．2．本题易错点：第(2)问不能正确利用角平分线的性质而得不出m 的关系式；第(3)问在联立方程后不能正确利用P 点坐标表示k 与1k 1＋1k 2而求不出定值. 模板九 函数的单调性、极值、最值问题例9 [2016·兰州诊断]已知函数f (x )＝x ln x ＋ax ，x >1. (1)若f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝2，求函数f (x )的极小值；(3)若方程(2x －m )ln x ＋x ＝0在(1，e]上有两个不等实根，求实数m 的取值范围．审题视角 (1)求导，由f ′(x )≤0在(1，＋∞)上恒成立进行求解；(2)f ′(x )＝0的根进行验证确定函数的极值点，进而求出极值；(3)将方程根的问题转化为图象交点个数的问题．解 (1)f ′(x )＝ln x －1ln 2 x ＋a ，由题意可得f ′(x )≤0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1ln 2 x －1ln x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x －122－14. ∵x ∈(1，＋∞)，∴ln x ∈(0，＋∞)，∴当1ln x －12＝0时函数t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x －122－14的最小值为－14，∴a ≤－14.(2)当a ＝2时，f (x )＝x ln x ＋2x ，f ′(x )＝ln x －1＋2ln 2 x ln 2 x， 令f ′(x )＝0得2ln 2 x ＋ln x －1＝0，解得ln x ＝12或ln x ＝－1(舍)，即x ＝e12 .当1<x <e 12时，f ′(x )<0，当x >e 12 时，f ′(x )>0， ∴f (x )的极小值为f (e 12 )＝e1212＋2e12 ＝4e 12. (3)将方程(2x －m )ln x ＋x ＝0两边同除以ln x 得(2x －m )＋x ln x ＝0，整理得x ln x ＋2x ＝m ，即函数g (x )＝x ln x ＋2x 的图象与函数y ＝m 的图象在(1，e]上有两个不同的交点．由(2)可知，g (x )在(1，e 12 )上单调递减，在(e12，e]上单调递增，g (e12 )＝4e 12，g (e)＝3e ，当x →1时，x ln x →＋∞， ∴4e 12 <m ≤3e ，实数m 的取值范围为(4e12，3e]．构建解题程序 第一步：先确定函数的定义域，然后对f (x )求导． 第二步：求方程f ′(x )＝0的实数根．第三步：利用f ′(x )＝0的根和区间端点的x 的值，从小到大顺次将定义域划分成若干个区间，列出表格．第四步：由f ′(x )的正负，确定f (x )在各区间内的单调性． 第五步：确定结论．批阅笔记 1.第(1)问解题时要注意利用单调性求参数范围时转化要等价；第(2)问要注意极值满足的条件，否则易失分；第(3)问要注意进行转化，构造新的函数关系求解．2．本题易错点：①第(1)问易丢掉区间端点；②第(2)问易忽略函数f (x )的定义域而造成失分；③第(3)问不能进行合理转化，构造新函数，造成错解.模板十 函数导数与不等式问题例10已知函数f (x )＝(x －2)e x 和g (x )＝kx 3－x －2. (1)若函数g (x )在区间(1,2)上不单调，求实数k 的取值范围；(2)当x ∈[0，＋∞)时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，求实数k 的最大值．解 (1)依题意知，g ′(x )＝3kx 2－1.①当k ≤0时，g ′(x )＝3kx 2－1≤0，所以g (x )在(1,2)上单调递减，不满足题意；②当k >0时，g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13k 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ，＋∞上单调递增，因为函数g (x )在区间(1,2)上不单调，所以1<13k <2，解得112<k <13. 综上所述，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫112，13. (2)令h (x )＝f (x )－g (x )＝(x －2)e x －kx 3＋x ＋2，依题意可知h (x )＝(x －2)e x －kx 3＋x ＋2≥0在[0，＋∞)上恒成立， h ′(x )＝(x －1)e x －3kx 2＋1，令φ(x )＝h ′(x )＝(x －1)e x －3kx 2＋1， 则φ(0)＝h ′(0)＝0且φ′(x )＝x (e x －6k )，①当6k ≤1，即k ≤16时，因为x ≥0，e x ≥1，所以φ′(x )＝x (e x －6k )≥0，所以函数φ(x )即h ′(x )在[0，＋∞)上单调递增．所以当x ∈[0，＋∞)时，h ′(x )≥h ′(0)＝0，所以h (x )在[0，＋∞)上单调递增，因为h (0)＝0，所以h (x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，满足题意；②当6k >1，即k >16时，当x ∈(0，ln (6k ))时，φ′(x )＝x (e x －6k )<0，函数φ(x )即h ′(x )单调递减，所以当x ∈(0，ln (6k ))时，h ′(x )<h ′(0)＝0，所以h (x )在(0，ln (6k ))上单调递减，又h (0)＝0，所以x ∈(0，ln (6k ))时，h (x )<0，这与题意h (x )≥0在[0，＋∞)上恒成立相矛盾，故舍去．综上所述，k ≤16，即实数k 的最大值是16.构建解题程序 第一步：求导数．第二步：讨论参数k ，判断函数单调性，写出其单调区间，从而求出k 的取值范围．第三步：构建新函数h (x )＝f (x )－g (x )．第四步：对h (x )求导得新函数φ(x )＝h ′(x )，再次对φ(x )求导．第五步：e x≥1，故以16为界对k 进行分类讨论，并注意h (0)＝0，从而得到结论．第六步：反思检验，讨论是否全面．批阅笔记 1.本题主要考查导数与函数的单调性，注重分类讨论思想．2．本题易错点：(1)忽视参数k 对单调性的影响．第(2)问不知二次求导，不会利用特殊值h (0)＝0把问题简单化．。

二、考前必记的45个知识点[学生用书P86]集合(1)集合间关系的两个重要结论①A ⊆B 包含A ＝B 和A B 两种情况，两者必居其一，若存在x ∈B 且x ∉A ，说明A ≠B ，只能是A B .②集合相等的两层含义：若A ⊆B 且B ⊆A ，则A ＝B ；若A ＝B ，则A ⊆B 且B ⊆A . [提醒] 1任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A .2含有n 个元素的集合有2n 个子集，有2n －1个真子集，有2n －2个非空真子集．(2)集合之间关系的判断方法①A B ⇔A ⊆B 且A ≠B ，类比于a <b ⇔a ≤b 且a ≠b . ②A ⊆B ⇔A B 或A ＝B ，类比于a ≤b ⇔a <b 或a ＝b . ③A ＝B ⇔A ⊆B 且A ⊇B ，类比于a ＝b ⇔a ≤b 且a ≥b . 常见关键词及其否定形式(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假性[2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3在判断一些命题的真假时，如果不容易直接判断，则可以判断其逆否命题的真假．充分、必要条件记p ，q 对应的集合分别为A ，B ，则有 ①A B ，p 是q 的充分不必要条件； ②AB ，p 是q 的必要不充分条件；③A ＝B ，p 是q 的充要条件；④A B 且A ⊉B ，p 是q 的既不充分也不必要条件． 函数的定义域及相关的6个结论(1)如果f (x )是整式函数，那么函数的定义域是R .(2)如果f (x )是分式函数，那么函数的定义域是使分母不等于0的实数的集合． (3)如果f (x )是偶次根式函数，那么函数的定义域是使被开方数大于或等于0的实数的集合．(4)如果f (x )是对数函数，那么函数的定义域是使真数大于0的实数的集合．(5)如果f (x )是由几个代数式构成的，那么函数的定义域是使各式子都有意义的实数的集合．(6)如果f (x )是从实际问题中得出的函数，则要结合实际情况考虑函数的定义域． 函数的值域求函数值域常用的7种方法(1)配方法：二次函数及能通过换元法转化为二次函数的函数类型．(2)判别式法：分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为x 2A (y )＋xB (y )＋C (y )＝0的形式，再利用判别式加以判断．(3)换元法：无理函数、三角函数(用三角代换)等，如求函数y ＝2x －3＋13－4x 的值域． (4)数形结合法：函数和其几何意义相联系的函数类型，如求函数y ＝3－sin x 2－cos x 的值域．(5)不等式法：利用几个重要不等式及推论求最值，如a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab (a ，b 为正实数)．(6)有界性法：一般用于三角函数类型，即利用sin x ∈[－1，1]，cos x ∈[－1，1]等． (7)分离常数法：适用于解析式为分式形式的函数，如求y ＝x ＋1x －1的值域．指数函数与对数函数指数函数函数图象的交点的横坐标即底数．函数零点的判断方法(1)利用零点存在定理判断法：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0.这个c 也就是方程f (x )＝0的根．口诀：函数零点方程根，数形本是同根生，函数零点端点判，图象连续不能忘．(2)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(3)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．导数(1)基本初等函数的导数公式 ①c ′＝0(c 为常数)． ②(x n )′＝nx n －1(n ∈Q *)．③(sin x )′＝cos x ，(cos x )′＝－sin x .④(ln x )′＝1x (x >0)，(log a x )′＝1x ln a (x >0，a >0，且a ≠1)．⑤(e x )′＝e x ，(a x )′＝a x ln a (a >0，且a ≠1)． (2)导数的四则运算法则①(u ±v )′＝u ′±v ′⇒[f 1(x )＋f 2(x )＋…＋f n (x )]′ ＝f ′1(x )＋f ′2(x )＋…＋f ′n (x )．②(u v )′＝v u ′＋v ′u ⇒(c v )′＝c ′v ＋c v ′＝c v ′(c 为常数)． ③⎝⎛⎭⎫u v ′＝v u ′－v ′uv 2(v ≠0)．[提醒]1注意公式不要用混，如(a x )′＝a x ln a ，而不是(a x )′＝xa x －1.2导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)．极值与最值(1)判断极大、极小值的方法当函数f(x)在点x0处连续时①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)是极大值．②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)是极小值．[提醒]1可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f(x)＝x3，x＝0时就不是极值点，但f′(0)＝0.2极值点不是一个点，而是一个数x0，当x＝x0时，函数取得极值．在x0处有f′(x0)＝0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件．3函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点函数值中的最大值，函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点函数值中的最小值．(2)极值与最值的区别与联系①区别：点；(ii)极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．□11同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商的关系：tan α＝sin αcos α(α≠kπ＋π2，k∈Z)．[提醒]1公式常见变形：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sin α＝±1－cos2α，cos α＝±1－sin2α，sin α＝cos αtan α，cos α＝sin αtan α等．2对“同角”的理解：只要是同一个角，基本关系式就成立，不拘泥于角的形式，比如sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π3＋cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π3＝1，tan 3α＝sin 3αcos 3α等都成立，但sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π3＋cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝1就不一定成立．□12 三角函数的诱导公式 公式一：sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α， tan(2k π＋α)＝tan α，k ∈Z . 公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α， tan (π＋α)＝tan α. 公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α， tan (π－α)＝－tan α. 公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α. 推广公式：sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝sin α， sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α. [提醒] 奇变偶不变，符号看象限“奇、偶”指的是π2的倍数是奇数，还是偶数，“变与不变”指的是三角函数名称的变化，“变”是指正弦变余弦(或余弦变正弦)．“符号看象限”的含义是：把角α看作锐角，看n ·π2±α(n ∈Z )是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号．□13 三角函数的图象变换 (1)y ＝sin x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位得到y ＝sin(x ＋φ)的图象(当φ<0时，则向右平移|φ|个单位)．(2)y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的1ω倍，得到y ＝sin ωx的图象．(3)y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到y ＝A sin x 的图象．[提醒]1由y ＝sin ωx 的图象经过平移变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，平移的单位不是|φ|，而是|φω|.2函数图象平移、伸缩变换的实质是点的变化，所以可以借助三角函数图象上特征点坐标的变化寻找平移、伸缩变换的规律，一般借助于两个函数图象上的最高点或最低点的坐标来分析．□14 三角函数的对称性 (1)曲线y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ，对称轴方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z .(2)曲线y ＝cos x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，对称轴方程为x ＝k π，k ∈Z . (3)曲线y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z ，无对称轴．(4)求曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ))的对称中心(或对称轴)，只需令ωx ＋φ等于对应的值，求出x 即可．□15 三角恒等变换 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β(平方正弦公式)． cos(α＋β)cos(α－β)＝cos 2α－sin 2β. (2)二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(3)辅助角公式 a sin α＋b cos α＝ a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2(0≤φ<2π)．□16 正、余弦定理及其推论 (1)正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ⇔a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .(2)余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . (3)三角形内角和定理在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π⇔C ＝π－(A ＋B )⇔C 2＝π2－A ＋B2⇔2C ＝2π－2(A ＋B )．(4)三角形面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C (A ，B ，C 是△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角)□17 平面向量 (1)平面向量共线的坐标表示的两种形式①若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，此形式对任意向量a ，b (b ≠0)都适用．②若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 2y 2≠0，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2.需要注意的是可以利用x 1x 2＝y 1y 2来判定a ∥b ，但是反过来不一定成立．(2)有关数量积应用的常见结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 ①a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.②|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.③cos a ，b＝a·b|a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. □18 等差数列 (1)等差数列的判断方法①定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．②通项公式法：a n ＝a 1＋(n －1)d (其中a 1，d 为常数，n ∈N *)⇔{a n }为等差数列． ③等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．④前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (2)等差数列前n 项和的最大值、最小值的求法①通项公式法：当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，可由a n ≥0且a n ＋1≤0求得n ，从而求出S n 的最大值；当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，可由a n ≤0且a n ＋1≥0求得n ，从而求出S n的最小值．②二次函数法：用求二次函数最值的方法求S n 的最值．值得注意的是n ∈N *，因此等差数列前n 项和取得最值时n 的值可能不是一个值，也有可能是两个值．□19 等比数列的判断方法 (1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 为常数且q ≠0，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为常数且q ≠0，n ≥2)⇔{a n }为等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．(3)通项公式法：a n ＝a 1q n －1(其中a 1，q 为非零常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．[提醒] 判断一个数列是否是等比数列，还有一种直观的判断方法，即前n 项和公式法：若S n 表示数列{a n }的前n 项和，且S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0，q ≠1)，则数列{a n }是公比为q 的等比数列．但此方法不能用于证明一个数列是等比数列．□20 数列中项的最值的求法 (1)根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数f (n )＝a n ，利用求解函数最值的方法(多利用函数的单调性)进行求解，但要注意自变量的取值必须是正整数的限制．(2)利用数列的单调性求解，由不等式a n ＋1≥a n (或a n ＋1≤a n )求解出n 的取值范围，从而确定数列单调性的变化，进而确定相应的最值．(3)转化为关于n 的不等式组求解：若求数列{a n }的最大项，则可解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1；若求数列{a n }的最小项，则可解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1，求出n 的取值范围之后再确定取得最值的项．□21 不等式的解法 (1)分式不等式的解法分式不等式f （x ）g （x ）>0(或<0)的求解可应用同解原理，转化为整式不等式求解．f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)；f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）≠0，f （x ）·g （x ）≥0（≤0）. [提醒] 对于解分式不等式，将分式不等式转化成整式不等式时，如果不等式是含有等号的不等式形式，则很容易忘掉分母不为0的情形，从而导致出错；另一种可能出现错误的情形是在两边进行平方时，容易扩大或缩小不等式的范围．(2)指数、对数不等式的解法①解指数、对数不等式的依据是指数、对数函数的概念和性质，因而同底法是解指数、对数不等式的基本方法．当然最终的目的是将它们转化为代数不等式，其主要类型和解法有：(i)a f (x )>aφ(x )⇔f (x )>φ(x )(a >1)或f (x )<φ(x )(0<a <1)．(ii)log a f(x)>log aφ(x)⇔f(x)>φ(x)>0(a>1)或0<f(x)<φ(x)(0<a<1)．②在解对数不等式时，要注意变形的等价性；也要注意底数大于零且不等于1，真数大于零的制约因素．(3)一元二次不等式的恒成立问题①在实数集R上，ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立，则a>0(a<0)，且Δ<0，反之也成立；ax2＋bx＋c≥0(≤0)恒成立，则a>0(a<0)，且Δ≤0，反之也成立．②若一元二次不等式在某一区间上恒成立，则可结合相应二次函数的图象，判断函数图象在这个区间上与对称轴的相对位置，列出不等式恒成立时满足的条件即可．③一般地，不等式恒成立的问题通常转化为函数的最值问题来解决．如f(x)≤a恒成立⇔f(x)max≤a，f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a.□22简单的线性规划(1)画二元一次不等式组表示的平面区域的基本要点①画线——画出不等式对应的方程所表示的直线(如果原不等式中含有等号，则画成实线，否则，画成虚线)．②定域——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧．③求“交”——如果平面区域是由不等式组所确定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，再求这些区域的公共部分，这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域．这种方法俗称“直线定界，特殊点定域”．(2)线性目标函数在约束条件下的最值问题①作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l.②平移——将直线l平移，确定最优解所对应的点的位置．③求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．[提醒]最优解有时是唯一的，有时不是唯一的，甚至是无穷多的．(3)求解线性目标函数的最优整点解当线性目标函数的最优整点解不在可行域的顶点或边界处取得，此时不能直接代入顶点坐标求最值，可用下面的方法求解．①平移直线法：先在可行域内打网格，再描整点，平移目标函数所表示的直线，最先经过或最后经过的整点坐标就是最优整点解．②检验优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经过比较得出最优整点解．③调整优值法：先求非整数点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优值，最后筛选出最优整点解．□23 基本不等式 (1)基本不等式的变形①根式形式：a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．②整式形式：ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R )，⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )，以上不等式当且仅当a ＝b 时，等号成立．③分式形式：b a ＋ab≥2(ab >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．④倒数形式：a ＋1a ≥2(a >0)，当且仅当a ＝1时，等号成立；a ＋1a ≤－2(a <0)，当且仅当a ＝－1时，等号成立．(2)利用基本不等式求最值①对于正数x ，y ，若积xy 是定值p ，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2p . ②对于正数x ，y ，若和x ＋y 是定值s ，则当x ＝y 时，积xy 有最大值14s 2.③已知a ，b ，x ，y 为正实数，若ax ＋by ＝1，则有1x ＋1y ＝(ax ＋by )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝a ＋b ＋by x ＋ax y ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2.④已知a ，b ，x ，y 为正实数，若a x ＋b y ＝1，则有x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2.[提醒] 利用基本不等式求最大值、最小值时应注意“一正、二定、三相等”，即：①所求式中的相关项必须是正数；②求积xy 的最大值时，要看和x ＋y 是否为定值，求和x ＋y 的最小值时，要看积xy 是否为定值，求解时，常用到“拆项”“凑项”等解题技巧；③当且仅当各项相等时，才能取等号．以上三点应特别注意，缺一不可．□24 空间几何体的表面积和体积 (1)直棱柱的侧面积：S 侧＝cl (c 是底面周长，l 为侧棱长)． 正棱锥的侧面积：S 侧＝12ch ′(c 是底面周长，h ′为斜高)．正棱台的侧面积：S 侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ，c ′分别是上、下底面周长，h ′为斜高)．圆柱的侧面积：S 侧＝cl ＝2πrl (c 是底面周长，l 为母线长)． 圆锥的侧面积：S 侧＝12cl ＝πrl (c 是底面周长，l 为母线长)．圆台的侧面积：S 侧＝12(c ＋c ′)l ＝π(r ＋r ′)l (c ，c ′分别是上、下底面周长，l 为母线长)．球的表面积：S ＝4πR 2.(2)柱体的体积：V 柱＝Sh (S 为底面积，h 是柱体的高)． 锥体的体积：V 锥＝13Sh (S 为底面积，h 是锥体的高)．球的体积：V 球＝43πR 3＝13S 表R .□25 球的组合体 (1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长．(3)球与正四面体的组合体：棱长为a 的正四面体的内切球的半径为612a (正四面体高63a 的14)，外接球的半径为64a (正四面体高63a 的34)． □26 异面直线 (1)异面直线不具有传递性，注意不能把异面直线误解为：分别在两个不同平面内的两条直线或平面内的一条直线与平面外的一条直线．(2)异面直线所成角的范围是(0°，90°]，所以两条直线垂直可能为异面垂直或相交垂直． (3)求异面直线所成角的一般步骤：①找出(或作出)适合题设的角——用平移法；②求解——转化为三角形中的角进行求解；③得结论——由②所求得的角或其补角即所求．□27 证明空间位置关系的方法 (1)线面平行：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ⊂αa ⊄α⇒a ∥α，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊂β⇒a ∥α， ⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βa ⊥βa ⊄α⇒a ∥α. (2)线线平行：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥α a ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b ，⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b ，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ∥c ⇒c ∥b .(3)面面平行：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝O a ∥β，b ∥β⇒α∥β，⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥β⇒α∥β，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βγ∥β⇒α∥γ. (4)线线垂直：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b . (5)线面垂直：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝O l ⊥a ，l ⊥b⇒l ⊥α，⎭⎪⎬⎪⎫α⊥β α∩β＝l a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊥α⇒a ⊥β，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α. (6)面面垂直：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂βa ⊥α⇒α⊥β，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥βa ⊥α⇒α⊥β. [提醒] 利用定理证明线面关系时要注意结合几何体的结构特征，尤其要注意灵活利用正棱柱、正棱锥等特殊几何体的性质，进行空间线面关系的相互转化．□28 直线 (1)直线方程的5种形式①已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，A 2，B 2全不为0)，则l 1，l 2相交⇔A 1A 2≠B 1B 2，l 1∥l 2⇔A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，l 1，l 2重合⇔A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2.当A 1，B 1，A 2，B 2中有0时，应单独讨论．②直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 21＋B 21≠0，且A 22＋B 22≠0)垂直⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.[提醒] 讨论两条直线的位置关系时应注意斜率不存在或斜率为0的情况，当两条直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，它们也垂直．□29 圆 (1)圆的四种方程①圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)．②圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．③圆的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ为参数)．④圆的直径式方程：(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0(圆的直径的端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2))．(2)直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)有相交、相离、相切三种情况．可从代数和几何两个方面来判断：①代数方法(判断直线与圆的方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交；Δ<0⇔相离；Δ＝0⇔相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d ，则d <r ⇔相交；d >r ⇔相离；d ＝r ⇔相切．(3)圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)，则其位置关系的判断方法如下表：30了椭圆的圆扁程度．因为a 2＝b 2＋c 2，所以b a ＝1－e 2，因此，当e 越趋近于1时，ba 越趋近于0，椭圆越扁；当e 越趋近于0时，ba 越趋近于1，椭圆越接近于圆．所以e 越大椭圆越扁，e 越小椭圆越圆．当且仅当a ＝b ，c ＝0时，椭圆变为圆，方程为x 2＋y 2＝a 2.□31 双曲线 (1)双曲线的标准方程及几何性质当e 越接近于＋∞时，双曲线开口越大．2满足||PF 1|－|PF 2||＝2a 的点P 的轨迹不一定是双曲线，当2a ＝0时，点P 的轨迹是线段F 1F 2的中垂线；当0<2a <|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，点P 的轨迹是两条射线；当2a >|F 1F 2|时，点P 的轨迹不存在．(2)双曲线的方程与渐近线方程的关系①若双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则渐近线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝0，即y ＝±ba x .②若渐近线的方程为y ＝±b a x ，即x a ±y b ＝0，则双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ.③若所求双曲线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有公共渐近线，其方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ>0，焦点在x 轴上；λ<0，焦点在y 轴上)．④焦点到渐近线的距离总是b .□32 抛物线 (1)抛物线的标准方程及几何性质设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，α为直线AB 的倾斜角，则①焦半径|AF |＝x 1＋p 2＝p 1－cos α，|BF |＝x 2＋p 2＝p1＋cos α.②x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.③弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α.④1|F A |＋1|FB |＝2p. ⑤以弦AB 为直径的圆与准线相切． ⑥S △OAB ＝p 22sin α(O 为抛物线的顶点)．□33 直线与圆锥曲线的位置关系 (1)弦长的求解方法设直线与圆锥曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若直线AB 的斜率存在(设为k )，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|；若k ≠0，则|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|，其中|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2，|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.当直线AB 的斜率不存在时，可直接求出直线与圆锥曲线的交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长．(2)圆锥曲线中的最值问题①利用圆锥曲线的定义进行转化，一般在三点共线时取得最值．②求圆锥曲线上的点到已知直线的距离的最值，则当已知直线的平行线与圆锥曲线相切时，两平行线间的距离即所求．③利用基本不等式求最值．□34频率与概率的区别与联系(1)区别①频率具有随机性，在不同的试验中，同一事件发生的频率可能不同；②概率是频率的稳定值，是一个确定的常数，不管进行多少次试验，同一事件发生的概率是不变的．(2)联系①频率和概率都是用来刻画随机事件发生的可能性大小的量；②概率可看作频率在理论上的期望值，随试验次数的增加，频率可近似地作为这个事件的概率．□35事件的关系与运算(1)包含关系：如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A，记作B⊇A(或A⊆B)．(2)相等事件：如果B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等，记作A＝B.(3)并(和)事件：若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A 与事件B的并事件(或和事件)，记作A∪B(或A＋B)．(4)交(积)事件：若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A 与事件B的交事件(或积事件)，记作A∩B(或AB)．(5)互斥事件：若A∩B为不可能事件(即A∩B＝∅)，那么称事件A与事件B互斥，其含义是事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生．(6)对立事件：若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是事件A与事件B在任何一次试验中有且只有一个发生．[提醒]互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生以外，还要求二者必须有一个发生．因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件未必是对立事件．□36概率的几个基本性质(1)任何事件A的概率都在0～1之间，即0≤P(A)≤1.(2)若A⊆B，则P(A)≤P(B)．(3)必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0.(4)当事件A与事件B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．注意没有事件A与事件B互斥这一条件时，这个公式不成立．(5)若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＋P(B)＝1.[提醒]当一事件的概率不易直接求，但其对立事件的概率易求时，可运用(5)，即用间接法求概率．□37古典概型的概率公式如果随机事件A 包含的基本事件数为m ，总的基本事件数为n ，则 P (A )＝事件A 包含的基本事件的个数总的基本事件的个数＝m n .[提醒] 求解古典概型问题的步骤 1判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件A .2分别计算总的基本事件的个数n 和所求的事件A 所包含的基本事件的个数m . 3利用古典概型的概率公式P (A )＝mn，求出事件A 的概率．□38 几何概型的概率公式 在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下：P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.[提醒] 在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置与形状无关．□39 几何概型与古典概型的差异40隔为k ＝Nn；如果总体容量N 不能被样本容量n 整除，先用简单随机抽样剔除多余个体，抽样间隔k ＝⎣⎡⎦⎤N n .2用分层抽样法抽样时，各层抽样标准要一致，互不重叠；各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即n N.□41 变量间的相关关系 线性相关系数r 是从数值上来判断变量间的线性相关程度，若|r |的值越接近于1，说明变量之间的线性相关程度越高；|r |的值越接近于0，说明变量之间的线性相关程度越低．当两个变量的关系可用一次函数表示时，r ＝±1，若斜率为正，r ＝1，否则r ＝－1.r 为正时表示正相关，r 为负时表示负相关．□42 线性回归方程的求解步骤 (1)利用散点图或进行相关性检验判定两个变量具有线性相关关系． (2)列表求出x ，y ，∑i ＝1nx 2i ，∑i ＝1nx 2i y i.(3)利用相应公式计算a ^，b ^. (4)写出线性回归方程．[提醒] 回归直线一定经过样本点的中心(x ，y )，据此性质可以解决有关的计算问题、判断结论的正确性．□43 独立性检验的基本方法 一般地，假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表如表：根据观测数据计算由公式K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（a ＋c ）（b ＋d ）（c ＋d ）所给出的检验随机变量K 2的观测值k ，并且k 的值越大，说明“X 与Y 有关系”成立的可能性越大，可以利用数据来确定“X 与Y 有关系”的可信程度．□44 复数的四则运算法则 (1)(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. (2)(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i.(3)(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d2i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0)．[提醒] 几个结论：1(1±i)2＝±2i.21＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i. 3i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *.4ω＝－12±32i ，且ω0＝1，ω2＝ω，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0.□45 算法的三种基本逻辑结构环次数，同时它的取值还用于判断循环是否终止；累加(乘)变量用于表示每一步的计算结果．计数变量和累加(乘)变量一般同步执行，累加(乘)一次，计数一次．。

透视全国高考 揭秘命题规律(三)——数列(全国卷第17题)数列问题是高频考点中的高频，历年来是命题专家命题的热点，每年的考题都是在以基础知识为起点上的推陈出新，似有岁岁年年花相似、年年岁岁题不同之感，然而归纳起来有下列三种常考题型．数列的基本运算[学生用书P37](2016·高考全国卷甲)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.【解】 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3. 解得a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35.(2)由(1)知，b n ＝⎣⎡⎦⎤2n ＋35.当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4，5时，2<2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9，10时，4<2n ＋35<5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.1．根据数列类型，结合两个已知条件，列出方程组．(若是等差数列，列出关于首项a 1与公差d 的方程组；若是等比数列，列出关于首项a 1，与公比q 的方程组)．2．根据条件，求解方程组．3．根据结论需求代入相关公式求通项或前n 项和．数列的判定与证明[学生用书P37]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数． (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．【解】 (1)证明：由题设知a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1， 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1， 由于a n ＋1≠0， 所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设知a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3， 解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2，因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．1．将已知关系转化为a n ＋1－a n ＝d (等差数列)或a n ＋1a n＝q (等比数列)．2．常用a n 与S n 的关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1S n －S n －1，n ≥2.3．常见的类型有①a n ＝kn ＋b ⇔{a n }是等差数列． ②S n ＝An 2＋Bn ⇔{a n }是等差数列． ③a n ＝c 1·c n 2(c 1c 2≠0)⇔{a n }是等比数列． ④S n ＝c ＋λq n ⇔{a n }是等比数列．已知递推关系求解数列[学生用书P38]满分展示(满分12分)(2016·高考全国卷乙)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和． [联想破译]联想因素：等差数列、通项公式、前n 项和联想线路：(1)把n ＝1代入式子a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，即可求出数列{a n }的首项，再利用等差数列的通项公式，即可求其通项公式；(2)将(1)中得到的{a n }的通项公式代入式子a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，即可判断{b n }为等比数列，再利用等比数列的前n 项和公式，得出结果．[标准答案](1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2.(3分)所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，(4分) 通项公式为a n ＝3n －1.(6分)第(1)问得分点说明： 正确求出a 1的值得3分； 指出数列{a n }的性质得1分； 正确求出数列{a n }的通项公式得2分(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝b n3，(9分)因此数列{b n }是首项为1，公比为13的等比数列.(10分) 设数列{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝⎛⎭⎫13n1－13＝32－12×3n －1.(12分)第(2)问得分点说明：正确求出b n ＋1与b n 的关系得3分； 指出数列{b n }的性质得1分； 代入求和公式，正确求出S n 得2分 ,[解题程序]第一步：将n ＝1代入关系式a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，求出a 1的值； 第二步：利用等差数列的通项公式求出a n ；第三步：将第(1)问中求得的a n 代入关系式a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，求得b n ＋1与b n 的关系； 第四步：判断数列{b n }为等比数列； 第五步：代入等比数列的前n 项和公式求S n . [满分心得] (1)写全得分步骤对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问要写出a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，才能得出a 1，第(2)问中一定要写出求b n＋1＝b n3的步骤并要指明{b n }的性质． (2)写明得分关键对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中不能直接写出a 1＝2，必须列出a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，否则不能得全分；必须指出数列{a n }的性质，不能直接写出a n ，否则不能得全分；第(2)问中必须由a n b n ＋1＋b n＋1＝nb n 得出b n ＋1＝13b n ，并得出{b n }为等比数列的结论，否则不得分，必须代入求和公式而不能直接写出结果，否则要扣分．。

第3讲 高考客观题的解法1．在“限时”的高考考试中，解答选择题不但要“准”，更要“快”，只有“快”，才能为后面的解答题留下充足的时间．而要做到“快”，必然要追求“巧”，“巧”即“不择手段、多快好省”．由于数学选择题是四选一的形式，因而在解答时应突出一个“选”字，要充分利用题干和选项两方面提供的信息，尽量减少书写解题过程，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速解答．一般来说，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；能使用间接法的，就不必采用直接法；对于明显可以否定的选项应及早排除，以缩小选择的范围；初选后要认真检验，确保准确．2．数学填空题只要求写出结果，不要求写出计算和推理过程，其结果必须是数值准确、形式规范、表达式(数)最简．解题时，要有合理地分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整．合情推理、优化思路、少算多思是快速、准确地解答填空题的基本要求．数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．求解填空题的基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等．[学生用书P5]技法一 直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论，涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．(1)(2016·高考全国卷丙)已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30° B.45° C ．60°D.120°(2)(2016·高考全国卷甲)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．【解析】 (1)由题意得cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝12×32＋32×121×1＝32，所以∠ABC ＝30°，故选A.(2)由条件可得sin A ＝35，sin C ＝1213，从而有sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sinA cos C ＋cos A sin C ＝6365.由正弦定理a sin A ＝b sinB ，可知b ＝a sin B sin A ＝2113.【答案】 (1)A (2)2113[名师点评] 直接法是解决选择题、填空题最常用的基本方法，直接法适用范围很广．一般来说，涉及概念、性质或运算比较简单的题多采用直接法．在计算过程中，要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解问题的关键．[变式训练]1．(1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B.7 C ．9D.11(2)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若点P 在C 上，且PF 1⊥F 1F 2，|PF 2|＝2|PF 1|，则C 的离心率为________．[解析] (1)法一：因为a 1＋a 5＝2a 3，所以a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，所以a 3＝1， 所以S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5a 3＝5.法二：因为a 1＋a 3＋a 5＝a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋4d )＝3a 1＋6d ＝3，所以a 1＋2d ＝1， 所以S 5＝5a 1＋5×42d ＝5(a 1＋2d )＝5.(2)因为PF 1⊥F 1F 2，|PF 2|＝2|PF 1|，所以|PF 1|＝b 2a ，|PF 2|＝2b 2a ，由椭圆定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝3b 2a ＝2a ，即2a 2＝3(a 2－c 2)，化简得a ＝3c ，故离心率e ＝c a ＝33. [答案] (1)A (2)33技法二 特例法当已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例．(1)(2016·高考全国卷乙)若a >b >0，0<c <1，则( ) A ．log a c <log b c B.log c a <log c b C ．a c <b cD.c a >c b(2)(2016·高考山东卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．矩形ABCD 的四个顶点在E上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是__________．【解析】 (1)法一：因为0＜c ＜1，所以y ＝log c x 在(0，＋∞)单调递减，又0＜b ＜a ，所以log c a ＜log c b ，故选B.法二：取a ＝4，b ＝2，c ＝12，则log 412＝－12＞log 212，排除A ；412＝2＞212，排除C ；⎝⎛⎭⎫124＜⎝⎛⎭⎫122，排除D ；故选B.(2)如图，不妨设|AB |＝3，则|BC |＝2，双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，则AB 的中点为F 1，故|DF 1|＝52，|DF 2|＝32，根据双曲线的定义知2a ＝1，又2c ＝2，所以该双曲线的离心率为2c2a＝2.【答案】 (1)B (2)2[名师点评] 特例法具有简化运算和推理的优点，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题或填空题，但用特例法解题时，要注意以下三点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解；第三，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，不能使用该种方法求解． [变式训练]2．(1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( )A ．130 B.170 C ．210D.260(2)如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P 、Q 满足A 1P ＝BQ ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A ．3∶1 B.2∶1 C ．4∶1D.3∶1(3)若函数f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，则a ＝________．[解析] (1)取m ＝1，依题意a 1＝30，a 1＋a 2＝100， 则a 2＝70， 又{a n }是等差数列，所以a 3＝110，故S 3＝210，故选C.(2)将P 、Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有VC ­AA 1B ＝VA 1­ABC ＝VABC ­A 1B 1C 13，故选B.(3)由题意，对任意的x ∈R ，有f ⎝⎛⎭⎫－π8＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫－π8－x ，取f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫－π4得a ＝－1.[答案] (1)C (2)B (3)－1 技法三 图解法(数形结合法)对于一些含有几何背景的问题，若能“数中思形”“以形助数”，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果．V enn 图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形．(1)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7 B.6 C ．5D.4(2)(经典考题改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a （x ＋2），x ≥221－x ，x ＜2(a ＞0，且a ≠1)．若f (6)＋f (－1)＝7.函数y ＝f (x )－b 仅有一个零点，则实数b 的范围为( )A.⎣⎡⎦⎤12，2B.⎝⎛⎦⎤12，2 C.⎣⎡⎭⎫12，2D.⎝⎛⎭⎫12，2【解析】 (1)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3，4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.(2)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a （x ＋2），x ≥221－x ，x ＜2(a ＞0且a ≠1)，且f (6)＋f (－1)＝7，则log a 8＋22＝7. 所以log a 8＝3，即a 3＝8，所以a ＝2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x ＋2），x ≥221－x ，x ＜2，又函数y ＝f (x )－b 仅有一个零点等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 仅有一个交点，如图，b 的范围为12＜b ＜2.故选D.【答案】 (1)B (2)D[名师点评] 图解法实质上就是数形结合的思想方法在解题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．[变式训练]3．(1)函数y ＝|log 12x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0，2]，则区间[a ，b ]的长度b －a 的最小值是( )A ．2 B.32 C ．3 D.34(2)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx (－2≤x ≤4)的所有零点之和等于________．[解析] (1)作出函数y ＝|log12x |的图象，如图所示，由y ＝0，解得x＝1，由y ＝2，解得x ＝4或x ＝14.所以区间[a ，b ]的长度b －a 的最小值为1－14＝34.(2)由f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx ＝0，得⎝⎛⎭⎫12|x －1|＝－2cos πx ，令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)，h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)，又因为g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －1，1≤x ≤4，2x －1， －2≤x <1.在同一坐标系中分别作出函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象(如图)，由图象可知， 函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)关于x ＝1对称，又x ＝1也是函数h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的对称轴，所以函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的交点也关于x ＝1对称，且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.[答案] (1)D (2)6 技法四 构造法构造法是指利用数学的基本思想，经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得以解决．构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点采取相应的解决办法，其基本的方法是借用一类问题的性质，来研究另一类问题的相关性质．常见的构造法有构造函数、构造方程、构造图形等．(1)已知m ，n ∈(2，e)，且1n 2－1m 2<ln mn ，则( )A ．m >n B.m <nC ．m >2＋1nD.m ，n 的大小关系不确定(2)已知三棱锥P -ABC ，P A ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥P -ABC 的体积为________．【解析】 (1)由不等式可得1n 2－1m 2<ln m －ln n ，即1n 2＋ln n <1m2＋ln m .设f (x )＝1x 2＋ln x (x ∈(2，e))，则f ′(x )＝－2x 3＋1x ＝x 2－2x3.因为x ∈(2，e)，所以f ′(x )>0，故函数f (x )在(2，e)上单调递增． 因为f (n )<f (m )，所以n <m .故选A.(2)如图所示，把三棱锥P -ABC 补成一个长方体AEBG -FPDC ，易知三棱锥P -ABC 的各边分别是长方体的面对角线，不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100，x 2＋z 2＝136，y 2＋z 2＝164，解得x ＝6，y ＝8，z ＝10. 从而V三棱锥P -ABC＝V长方体AEBG -FPDC－V三棱锥P -AEB－V三棱锥C -ABG－V 三棱锥B -PDC －V 三棱锥A -FPC ＝V长方体AEBG -FPDC－4V 三棱锥P -AEB＝6×8×10－4×16×6×8×10＝160. 故所求三棱锥P -ABC 的体积为160. 【答案】 (1)A (2)160[名师点评] 构造法的实质是转化，通过构造函数、方程或图形等将问题转化为对应的问题解决．如本例(1)属于比较两个数值大小的问题，根据数值的特点，构造相应的函数f (x )＝1x2＋ln x ；本例(2)则是根据几何体的结构特征，通过构造长方体将问题简化，从而求解． [变式训练]4．(1)已知a ＝ln 12 015－12 015，b ＝ln 12 016－12 016，c ＝ln 12 017－12 017，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >c B.a >c >b C ．b >c >aD.c >a >b(2)已知a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角是________． [解析] (1)令f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1＝1－x x .当0<x <1时，f ′(x )>0，即函数f (x )在(0，1)上是增函数．因为1>12 015>12 016>12 017>0，所以a >b >c .(2)令OA →＝a ，OB →＝b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b ，又|a |＝|b |＝|a －b |，所以△OAB 是正三角形．由向量加法的几何意义，可知OC 是∠AOB 的平分线，所以a 与a ＋b 的夹角是π6.[答案] (1)A (2)π6技法五 排除法排除法也叫筛选法、淘汰法，此法适用于选择题，它是充分利用选择题的特征，即有且只有一个正确的选项，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法．(2016·高考浙江卷)函数y ＝sin x 2的图象是( )【解析】 由于函数y ＝sin x 2是一个偶函数，选项A 、C 的图象都关于原点对称，所以不正确；选项B 与选项D 的图象都关于y 轴对称，在选项B 中，当x ＝±π2时，函数y ＝sinx 2<1，显然不正确，当x ＝±π2时，y ＝sin x 2＝1，而π2<π2，故选 D. 【答案】 D[名师点评] 排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，在近几年高考选择题中占有很大的比重．[变式训练]5．(1)下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B.y ＝e x C ．y ＝cos xD.y ＝e x －e －x(2)函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )[解析] (1)选D.对于A ，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B ，f (－x )≠－f (x )，故不符合要求；对于C ，满足f (－x )＝f (x )，故不符合要求；对于D ，因为 f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，所以y ＝e x －e －x 为奇函数，故选 D.(2)选C.由题意得，x ≠0，排除A ；当x <0时，x 3<0，3x－1<0，所以x 33x －1>0，排除B ；又因为x →＋∞时，x 33x －1→0，所以排除 D.故选C.技法六 估值法估值法就是不需要计算出代数式的准确数值，通过估计其大致取值范围从而解决相应问题的方法．该种方法主要适用于比较大小的有关问题，尤其是在选择题或填空题中，解答不需要详细的过程，因此可以由猜测、合情推理、估算而获得，从而减少运算量．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π.若f (x )>1对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π3恒成立，则φ的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π12，π2C.⎣⎡⎦⎤π12，π3 D.⎝⎛⎦⎤π6，π2 【解析】 因为函数f (x )的最小值为－2＋1＝－1，由函数f (x )的图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π可得，该函数的最小正周期为T ＝π，所以2πω＝π，解得ω＝2.故f (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1.由f (x )>1，可得sin(2x ＋φ)>0. 又x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π3，所以2x ∈⎝⎛⎭⎫－π6，2π3.对于选项B ，D ，若取φ＝π2，则2x ＋π2∈⎝⎛⎭⎫π3，7π6，在⎝⎛⎭⎫π，7π6上，sin(2x ＋φ)<0，不合题意；对于选项C ，若取φ＝π12，则2x ＋π12∈⎝⎛⎭⎫－π12，3π4，在⎝⎛⎭⎫－π12，0上，sin(2x ＋φ)<0，不合题意．选A.【答案】 A[名师点评] 估算能省去很多推导过程和比较复杂的计算，节省时间，是发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法．但要注意估算也要有依据，如本例是结合选项与题干综合估值，不用直接解不等式，以选项中φ的范围的端点值作为突破口，估计相应角的取值范围，判断三角函数值是否满足题意，从而排除干扰选项，得到正确结果．[变式训练]6．在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<12B.p 2<12<p 1C.12<p 2<p 1 D.p 1<12<p 2D [解析] 如图，满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 内，其面积为1.事件“x ＋y ≤12”对应的图形为阴影△ODE ，其面积为12×12×12＝18，故p 1＝18<12，事件“xy ≤12”对应的图形为斜线表示部分，其面积显然大于12，故p 2＞12，则p 1<12<p 2，故选 D.课时作业[学生用书P105(独立成册)][A 组]1．(2016·云南第一次统一检测)已知i 为虚数单位，则复数1＋ii ＝( )A ．1＋i B.1－i C ．1＋i2D.1－i 2B [解析]1＋i i ＝（1＋i ）（－i ）i （－i ）＝1－i. 2．已知集合S ＝{1，2，a }，T ＝{2，3，4，b }，若S ∩T ＝{1，2，3}，则a －b ＝( ) A ．2B.1C ．－1 D.－2A [解析] 依题意，a ＝3，b ＝1，所以a －b ＝2.3．已知平面向量a ＝(x ，1)，b ＝(2，－3)，如果a ∥b ，那么x ＝( ) A.32 B.－32C.23D.－23D [解析] 依题意，－3x －2＝0，即x ＝－23.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝2的x 的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫14，4 B.{1，4} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，14D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，14，4A [解析] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，当x ≤0时，2x ＝2，可得x ＝1(舍去)．当x >0时，|log 2x |＝2，即log 2x ＝±2，解得x ＝4或x ＝14，故使f (x )＝2的x 的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫14，4.5．已知a ＝312，b ＝log 1312，c ＝log 213，则( )A ．a >b >c B.b >c >a C ．c >b >aD.b >a >cA [解析] a ＝312＝3>1，b ＝log 1312∈(0，1)，c ＝log 213<0，所以a >b >c .6．已知－2，a 1，a 2，－8成等差数列，－2，b 1，b 2，b 3，－8成等比数列，则a 2－a 1b 2等于( )A.14B.12 C ．－12D.12或－12B [解析] 因为－2，a 1，a 2，－8成等差数列，所以a 2－a 1＝－8－（－2）3＝－2，又因为－2，b 1，b 2，b 3，－8成等比数列，所以b 22＝(－2)×(－8)＝16，解得b 2＝±4，又b 21＝－2b 2，所以b 2＝－4，所以a 2－a 1b 2＝－2－4＝12.7．(2016·昆明两区七校调研)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则此双曲线的离心率是( )A.32B.52C. 5D.4 3C [解析] 依题意得ba＝2，因此该双曲线的离心率e ＝1＋b 2a2＝5，选C. 8．(2016·银川模拟)已知角θ的终边经过点P (－1，－2)，则sin 2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－2cos 2θ＝( )A ．－26B.26C ．－23D.23D [解析] 法一：因为角θ的终边经过点P (－1，－2)，故tan θ＝2，故sin θcos θ＝2，由sin 2θ＋cos 2θ＝1可得cos 2θ＝13，即cos θ＝－33，所以sin θ＝－63，sin 2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝23＋⎝⎛⎭⎫－63×⎝⎛⎭⎫－33－23＝23，选 D.法二：因为角θ的终边经过点P (－1，－2)，故tan θ＝2，故sin 2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝（2）2＋2－2（2）2＋1＝23，选 D.9．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥42x －y ≤2y －x ≤4下，目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．26 B.24 C ．22D.20A [解析] 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋2y 得y ＝－12x ＋z 2，当y ＝－12x ＋z2经过点C 时，目标函数z ＝x ＋2y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝2y －x ＝4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝10，即C (6，10)，故目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为6＋2×10＝26.10．(2016·哈尔滨四校联考)如图为一个圆柱中挖去两个完全相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.13π B.23π C.43π D.53π C [解析] 由已知三视图，可得这个几何体的直观图如图所示，则其体积为圆柱的体积减去两个圆锥的体积，即π×12×2－2×13×π×12×1＝43π，故选C.11．设椭圆C ：x 24＋y 23＝1的长轴的两端点分别是M ，N ，P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，则PM 与PN 的斜率之积等于( )A.34B.－34C.43D.－43B [解析] 取特殊点，设P 为椭圆的短轴的一个端点(0，3)，又取M (－2，0)，N (2，0)，所以k PM ·k PN ＝32·3－2＝－34(亦可用常规解法，即设P (x ，y ))，故选 B.12．方程x lg(x ＋2)＝1的实数根的个数为( ) A ．1B.2C ．0 D.不确定B [解析] 方程x lg(x ＋2)＝1⇔lg(x ＋2)＝1x ，在同一直角坐标系中画出函数y ＝lg(x ＋2)与y ＝1x的图象，可得两函数图象有两个交点，故所求方程有两个不同的实数根．13．已知程序框图如图，则输出的i 为________．[解析] 由程序框图可得S ＝1，i ＝3不满足条件S ≥100，执行循环体；S ＝1×3＝3，i ＝3＋2＝5，不满足条件S ≥100，执行循环体； S ＝3×5＝15，i ＝5＋2＝7，不满足条件S ≥100，执行循环体；S ＝15×7＝105，i ＝7＋2＝9，满足条件S ≥100，退出循环体，此时i ＝9. [答案] 914．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |＝________．[解析] 如图，建立平面直角坐标系，则A (0，1)，B (0，0)，C (1，0)，所以AB →＝a ＝(0，－1)，BC →＝b ＝(1，0)，AC →＝c ＝(1，－1)，所以a ＋b ＋c ＝(2，－2)，|a ＋b ＋c |＝2 2. [答案] 2 215．若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________．[解析] 若a >1，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意．若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意．[答案] 1416．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x <1，log 2（x －m ），x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1，8)，则实数m 的值为________．[解析] 作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1，0)，(x 2，0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.由f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，结合图象可知点A 的坐标为(9，3)，代入函数解析式，得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.[答案] 1[B 组]1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB.a 2>b 2C.a c 2＋1>bc 2＋1D.a |c |>b |c |C [解析] 取a ＝1，b ＝－1，排除A ；取a ＝0，b ＝－1，排除B ；取c ＝0，排除D ，故选C.2．函数f (x )＝x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线斜率是( ) A ．0 B.－1 C ．1D.22C [解析] 因为f ′(x )＝cos x －x sin x ，所以f ′(0)＝1，故选C.3．(2016·郑州第一次质量检测)已知函数f (x )＝⎝⎛⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1 B.2 C ．3D.4C [解析] 作出g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x与h (x )＝cos x 的图象(图略)，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.4．一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻着1点至6点，甲、乙二人各掷骰子一次，则甲掷得的向上的点数比乙大的概率为( )A.29B.14C.512D.12C [解析] 一共有36种情况，其中甲掷得的向上的点数比乙大的有：(6，1)、(6，2)、(6，3)、(6，4)、(6，5)、(5，1)、(5，2)、(5，3)、(5，4)、(4，1)、(4，2)、(4，3)、(3，1)、(3，2)、(2，1)，共15种，所以所求概率为1536＝512，故选C.5．函数y ＝e sin x (－π≤x ≤π)的大致图象为( )D [解析] 当x 取－π，0，π这三个值时，y 的取值总是1，故排除A 、C ；当0<x <π2时，y ＝e sin x 是增函数，排除B.故选 D.6．设{a n }是等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，对任意正整数n ，有a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0，又a 1＝2，则S 101的值为( )A ．2 B.200 C ．－2D.0A [解析] 设等比数列的公比为q . 由a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0得a n (1＋2q ＋q 2)＝0. 因为a n ≠0，所以可得1＋2q ＋q 2＝0， 解得q ＝－1，所以S 101＝a 1＝2.7．若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35 B.45 C.74D.34D [解析] 法一：由θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，得2θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π. 又sin 2θ＝378，故cos 2θ＝－18.故sin θ＝1－cos 2θ2＝34. 法二：因为θ∈⎣⎡⎤π4，π2，所以sin θ≥22，从而可排除 A 、C ；若sin θ＝45，则cos θ＝35，所以sin 2θ＝2425，从而可排除B.故选D.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中B ＝π3.设向量m ＝(cos A ，cos2A )，n ＝⎝⎛⎭⎫－125，1，当m·n 取得最小值时，△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B.正三角形 C ．钝角三角形 D.锐角三角形D [解析] 因为m·n ＝－125cos A ＋cos 2A ＝－125cos A ＋2cos 2A －1＝2⎝⎛⎭⎫cos 2A －65cos A －1＝2⎝⎛⎭⎫cos A －352－ 4325，所以当cos A ＝35时，m·n 取得最小值． 此时12<cos A ＝35<32(0<A <π)，于是π6<A <π3.又B ＝π3，所以A ＋B >π2，即C <π2.所以△ABC 为锐角三角形．9．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M 、N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－34，0 B.⎣⎡⎦⎤－33，33 C.[]－3，3D.⎣⎡⎦⎤－23，0 B [解析] 由题意，圆心到直线的距离d ＝|k ·2－3＋3|1＋k 2＝|2k |1＋k 2，若|MN |≥23，则4－d 2≥(3)2，解得－33≤k ≤33. 10．(2016·合肥第一次质量检测)若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2 B.4 C ．6D.8B [解析] 由题意得，ba ＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故选B.11．(2016·唐山模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．6π＋4 B.π＋4 C.5π2D.2πD [解析] 由三视图知，该几何体为一个底面半径为1，高为1的圆柱体，与底面半径为1，高为2的半圆柱体构成，所以该几何体的体积为π×12×1＋12π×12×2＝2π，故选D.12．(教材改编)若f (x )＝ln x ＋ax －1有且仅有一个零点，则实数a 的最小值为( ) A ．0 B.－1e 2C ．－1D.1B [解析] 由f (x )＝0得ln x ＝－ax ＋1，在同一坐标系中画出y ＝ln x 和y ＝－ax ＋1的图象如图所示，直线y ＝－ax ＋1的斜率k ＝－a ，且恒过(0，1)点．当k ≤0，即a ≥0时，只有一个交点，从而f (x )只有一个零点，当k ＞0，且直线与y ＝ln x 相切于点P (x 0，ln x 0)时，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，得x ＝0，y ＝1代入得ln x 0＝2， 即x 0＝e 2，k ＝1x 0＝1e 2，所以a ＝－1e2，所以当a ＝－1e 2时，直线y ＝－ax ＋1与y ＝ln x 图象只有一个交点，即f (x )只有一个零点，故a 的最小值为－1e2.13．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．[解析] 当x ≤2时，y ＝－x ＋6≥4.因为f (x )的值域为[4，＋∞)， 所以当a >1时，3＋log a x >3＋log a 2≥4，所以log a 2≥1， 所以1<a ≤2；当0<a <1时，3＋log a x <3＋log a 2，不合题意． 故a ∈(1，2]． [答案] (1，2]14．已知函数f (x )＝e x －mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝e x 垂直的切线，则实数m 的取值范围是________．[解析] 函数f (x )的导数f ′(x )＝e x －m ，若曲线C 存在与直线y ＝e x 垂直的切线，则切线斜率k ＝e x －m ，满足(e x －m )e ＝－1，即e x －m ＝－1e 有解，即m ＝e x ＋1e 有解，因为e x ＋1e >1e ，所以m >1e.[答案] ⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ 15．(2016·福州五校联考)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 、Q 分别是边AB 、BC 边上的动点且DP →⊥AQ →，则CP →·QP →的最小值为________．[解析] 如图所示，由条件易证△ABQ ≌△DAP ，所以设AP ＝BQ ＝t (0≤t ≤2)，建立平面直角坐标系，则C (0，2)，P (2，t )，Q (2－t ，2)，所以CP →＝(2，t －2)，QP →＝(t ，t －2)，所以CP →·QP →＝2t ＋t 2－4t ＋4＝(t －1)2＋3≥3，当且仅当t ＝1时，等号成立，故所求最小值为3.[答案] 316．(2016·武汉模拟)已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为22，则该球的表面积为________．[解析] 如图，正四棱锥P -ABCD 的外接球的球心O 在它的高PO 1上，设球的半径为R ，因为底面边长为22，所以AC ＝4.在Rt △AOO 1中，R 2＝(4－R )2＋22，所以R ＝52，所以球的表面积S ＝4πR 2＝25π.[答案] 25π。