外接球问题习题及答案——老师专用

外接球训练（1）——老师专用例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20πC ．24πD ．32π【答案】C【解析】162==h a V ，2=a ，22224441624R a a h =++=++=，24πS =．例2：如下图所示三棱锥A BCD -，其中5AB CD ==，6AC BD ==，7AD BC ==，则该三棱锥 外接球的表面积为 ． 【答案】55π【解析】对棱相等，补形为长方体，如图，设长宽高分别为c b a ,,，110493625)(2222=++=++c b a ，55222=++c b a ，5542=R ，55πS =．例3：一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上， 且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为 ．DCBA三、汉堡模型二、对棱相等模型一、墙角模型【答案】4π3【解析】设正六边形边长为a ，正六棱柱的高为h ，底面外接圆的半径为r ， 则12a =，正六棱柱的底面积为216()428S =⋅=，则988V Sh h ===，∴h =222414R =+=，也可2221()12R =+=，1R =， 设球的体积为V '，则4π3V '=．例4：正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为 ． 【答案】4π3【解析】方法一：找球心的位置，易知1=r ，1=h ，r h =， 故球心在正方形的中心ABCD 处，1=R ，4π3V =． 方法二：大圆是轴截面所截的外接圆，即大圆是SAC △的外接圆， 此处特殊，SAC Rt △的斜边是球半径，22=R ，1=R ，4π3V =．例5：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）五、垂面模型四、切瓜模型A ．3πB ．2πC ．16π3D ．以上都不对【答案】C【解析】法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上，221)3(R R =+-，32=R ，2164ππ3S R ==． 法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上， 故圆锥的轴截面三角形PMN的外接圆是大圆，于是22sin 60R ==︒例6：三棱锥ABC P -中，平面PAB ⊥平面ABC ，PAB △和ABC △均为边长为2的正三角形， 则三棱锥ABC P -外接球的半径为 ． 【解析】如图，12222sin 60r r ===︒，3221==r r ，312=H O ，六、折叠模型35343121222=+=+=r H O R，R =法二：312=H O ，311=H O ，1=AH ， 352121222=++==O O H O AH AO R ，315=R ．例7：在矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --， 则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ） A ．125π12B ．125π9C ．125π6D ．125π3【答案】C【解析】52==AC R ，25=R ，344125125πππ3386V R ==⋅=，故选C ．七、两直角三角形拼接在一起一、选择题1．已知底面边长为1 ） A ．32π3B ．4πC ．2πD ．4π3【答案】D【解析】根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线， 故22R ==，即得1R =，所以该球的体积344ππ33V R ==． 2．已知三棱锥S ABC -的三条侧棱两两垂直，且2SA =，4SB SC ==，则该三棱锥的外接球的半径 为（ ） A ．3 B ．6C ．36D ．9【答案】A【解析】因为三棱锥S ABC -的三条侧棱两两垂直，所以该三棱锥的外接球就是以三棱锥S ABC -的三条侧棱为棱的长方体的外接球， 3=． 3．在半径为1的球面上有不共面的四个点A ，B ，C ，D 且AB CD x ==，BC DA y ==，CA BD z ==，则222x y z ++等于（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】C【解析】如图，构造长方体，设长方体的长，宽，高分别为a ，b ，c ，则222224a b c ++==，根据题意222a b x +=，222b c y +=，222a c z +=，则2222222()8x y z a b c ++=++=．对点增分集训4．正四面体的棱长为，顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．36π B ．72πC ．144πD ．288π【答案】C【解析】正四面体底面三角形的外接圆的半径2πsin 33r =⋅=正四棱锥顶点到底面的距离为8h ==， 设正四棱锥的外接球的半径为R ，则有222()R r h R =+-，即222(8)R R =+-，解得6R =．则所求球的表面积为24π144πS R ==．5．一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的半径为（ ） A．2BCD ．3【答案】A【解析】球O的半径满足直三棱柱底面三角形外接圆半径31π2sin 3r =⨯=2223()2R R =+⇒=6．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ） AB．C．D ．132【答案】D【解析】可判断球心应在连接上下直角三角形斜边中点的线段的中点，那么半径，就是132R ==． 7．已知三棱锥D ABC -中，1AB BC ==，2AD =，BD =，AC =，BC AD ⊥，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） AB ．6πC ．5πD ．8π【答案】B【解析】如图所示，由已知，BC AD ⊥，AB BC ⊥，∴BC ⊥面ABD ，∴BC BD ⊥，∴2CD ==，∴222AD AC CD +=，∴AD AC ⊥，取CD 的中点O ，由直角三角形的性质，O 到A ，B ，C ，D其即为三棱锥的外接球球心，故三棱锥的外接球的表面积为24π6πS ==．8．在三棱锥A BCD -中，ABC △与BCD △都是边长为6的正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ， 则该三棱锥的外接球的体积为（ ） A． B ．60πC．D．【答案】D【解析】取BC 的中点为M ，E ，F 分别是正三角形ABC 和正三角形BCD 的中心，O 是该三棱锥外接球的球心，连接AM ，DM ，OF ，OE ，OM ，OB ，则E ，F 分别在AM ，DM 上，OF ⊥平面BCD ，OE ⊥平面ABC ，OM BC ⊥，AM BC ⊥，DM BC ⊥，所以AMD ∠为二面角A BC D --的平面角，因为平面ABC ⊥平面BCD ，所以AMDM ⊥，又AM DM ==，所以13EM FM AM === 所以四边形OEMF为正方形，所以OM =OMB 中，球半径OB ===C所以外接球的体积为V ==．9．在矩形ABCD 中，2AC =，现将ABC △沿对角线AC 折起，使点B 到达点B '的位置，得到三棱锥B ACD '-，则三棱锥B ACD '-的外接球的表面积为（ ）A ．πB ．2πC ．4πD ．大小与点B '的位置有关【答案】C【解析】由题意，AC 的中点为三棱锥B ACD '-的外接球的球心，∵2AC =，∴球的半径为1，∴三棱锥B ACD '-的外接球的表面积为4πS =．二、填空题10．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为则该球的体积为 ． 【答案】125π6【解析】如图所示，正四棱锥P ABCD -的外接球的球心O 在它的高PO '上，设球的半径为R ，底面边长为4AC =，在AO O 'Rt △中，222OA O O O A ''=+，即()22242R R =-+，所以52R =，所以球的体积34125ππ36V R ==．11．如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是 ． 【答案】29π【解析】由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为c b a ,,（,,a b c +∈R ），则⎪⎩⎪⎨⎧===6812ac bc ab ，∴24=abc ，∴3=a ，4=b ，2=c ，29)2(2222=++=c b a R ， 24π29πS R ==．12．在三棱锥BCD A -中，2==CD AB ，3==BC AD ，4==BD AC ，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为 ． 【答案】29π2【解析】设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为c b a ,,， 则922=+b a ，422=+c b ，1622=+a c ，∴291649)(2222=++=++c b a ，229222=++c b a ，22942=R ，29π2S =． 13．在直三棱柱111C B A ABC -中，4AB =，6AC =，π3A =，14AA =，则直三棱柱111CB A ABC -的外接球的表面积为 ． 【答案】160π3【解析】282164236162=⋅⋅⋅-+=BC ，72=BC ，37423722==r ，372=r ， 3404328)2(2122=+=+=AA r R ，160π3S =表． 14．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为的正三角形，SC 为球O 的 直径，且2SC =，则此棱锥的体积为 ．1【解析】36)33(12221=-=-=r R OO ，362=h ，1133V Sh ===球． 15．在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90A ∠=︒，45C ∠=︒，1==AD AB ，沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥'BD A 平面BCD ，若四面体BCD A -'的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为 ． 【答案】4π【解析】如图，易知球心在BC 的中点O 处，=4πS 表．16．在边长为32的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角C BD A --为120︒的四面体ABCD ，则此四面体的外接球表面积为 ． 【答案】28π【解析】如图，取BD 的中点M ，ABD △和CBD △的外接圆半径为221==r r ，ABD △和CBD △的外心21,O O 到弦BD 的距离（弦心距）为121==d d ，四边形21MO OO 的外接圆直径2=OM ，7=R ，28πS =．17．一个四棱柱的底面是正方形，侧棱与底面垂直，其长度为4，棱柱的体积为16，棱柱的各项点在一个 球面上，则这个球的表面积是（ ）A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π【答案】C【解析】正四棱柱的高为4，体积为16，则底面面积为4，即底面正方形的边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为，球的表面积为24π．18．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形， 则几何体的外接球的表面积为（ ）A ．3πB ．C ．12πD ．【答案】A【解析】把原来的几何体补成以DA ，DC ，DP 为长、宽、高的长方体， 原几何体四棱锥与长方体是同一个外接球，2R l ==R =，23=4π4π3π4S R =⨯=球． 19．直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC AA ===，则该三棱柱的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．8πC ．12πD ．32π3【答案】C【解析】∵在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC AA ===， ∴AB ，BC ，1AA 为棱构造一个正方体，则外接球的半径2R ==24π12πS R ==．20．点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB BC AC ===，若四面体ABCD ，则这个球的表面积为（ ） A ．169π16B ．289π16C ．25π16D ．8π【答案】B【解析】设ABC △的中心为E ，过点E 作平面ABC 的垂线l ，则有题意可知，点D 在直线l 上，ABC △的面积为1sin 602S =︒=． 由体积的最大值可得1133S DE DE ⨯⨯==，则4DE =．由题意易知，外接球的球心在DE 上， 设球心为点O ，半径OD OB R ==．ABC △的外接圆半径满足2sin a r A=2r =，∴1r BE ==．在OBE Rt △中，222OE BE OB +=，即222(4)1R R -+=，解得178R =． 据此可得这个球的表面积为22892894π4ππ6416S R ==⨯=．21，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．D ．6π【答案】A【解析】如图，将四面体补成正方体，则正方体的棱长是1，即此球的半径R =，故球的表面积24π3πS R ==．22．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在同一个球面上，底面ABC △满足BA BC ==90B ∠=︒，若该三棱锥体积最大值为3，则其外接球的表面积为（ ） A ．21π B ．32π3C ．16π3D ．16π【答案】D【解析】因为ABC △为等腰三角形，所以AC 为截面圆的直径，AC =即该三棱锥的外接球的球心O 在截面ABC 中的射影为AC 的中点D ，当P ，O ，D 三点共线且P ，O 位于截面同一侧时，三棱锥的体积最大，此时三棱锥的高为PD ，所以11=332PD ⨯，解得=3PD ，设外接球的半径为R ，则3OD R =-，OC R =，在OCD Rt △中，12CD AC ==222(3)R R -+=，解得2R =， 所以外接球的表面积为24π216πS =⨯=．23．已知四面体ABCD 中，6AB AD ==，4AC =，CD =，AB ⊥平面ACD ，则四面体ABCD 外接球的表面积为（ ） A ．36πB ．88πC ．92πD ．128π【答案】B【解析】在ACD △中，由6AD =，4AC =，CD =， 可得222AD AC CD +=，则AC AD ⊥，又AB ⊥平面ACD ，故2R ===，则24π88πV =⨯=．24．已知A ，B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为O 的体积为（ ） A ．81π B ．128πC ．144πD ．288π【答案】D【解析】由题意可知221111(sin 60)(sin 60)3232C OAB V R h R R -=︒≤︒=6R =，34=π288π3V R =球．25．已知A ，B ，C ，D 是同一个球面上的四个点，其中ABC △是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的表面积为（ ）A ．16πB ．24πC ．D ．48π【答案】C【解析】把A ，B ，C ，D 扩展为三棱锥，上下地面中心连线的中点与A 的距离为球的半径，26AD AB ==，3OE =，ABC △是正三角形，所以AE ==AO ==所以球的体积为34π3⨯=．26．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PA AB ⊥，PA AC ⊥，60BAC ∠=︒，2PA =，2AB =，3AC =，则球O 的表面积为（ ）A ．40π3B ．30π3C ．20π3D ．10π3【答案】A【解析】设ABC △外接圆半径为r ，三棱锥外接球半径为R ， ∵2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，∴22212cos604922372BC AB AC AB AC =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=，即BC =∴2sin 603BC r ==︒，解得3r =，∵PA AB ⊥，PA AC ⊥，∴PA ⊥平面ABC ，则将三棱锥补成三棱柱可得，2222110()1293PA R r =+=+=， 即球O 的表面积为21040π4π4π33S R ==⨯=． 27．如图，在四面体P ABC -中，4PA PB PC ===，点O 是点P 在平面ABC 上的投影，且tan 2APO ∠=．则四面体P ABC -的外接球的体积为（ ）A ．B ．24πC ．D ．48π【答案】A【解析】∵在四面体P ABC -中，4PA PB PC ===，点O 是点P 在平面ABC 上的投影，且tan 2APO ∠=．∴sin 3APO ∠=，cos 3APO ∠=，∴3AO =，3PO =． 由题意知四面体P ABC -的外接球的球心O '在线段PO 上，∴222O O AO AO ''+=，∴222()(33R R -+=，解得R =．∴四面体P ABC -的外接球的体积为．28．已知四面体ABCD 的外接球球心O 恰好在棱AD 上，且AB BC ==2AC =，DC =则这个四面体的体积为（ ）A ．23B ．3C ．3D ．3【答案】B【解析】∵AB BC ==2AC =，∴222AB BC AC +=．∴AB BC ⊥，∴ABC △外接圆的直径为AC ，球心O '为AC 的中点． ∵球心O 恰好在侧棱DA 上，∴OO '⊥面ABC ，又外接球球心O 恰好在棱AD 上，所以O 为AD 中点，所以AD BC ∥．即BC ⊥面ABC ，DC =则四面体的体积为111332ABC S DC ⋅=⨯=△．二、填空题29．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 ．【答案】29π【解析】由三视图可知该三棱锥为边长为2，3，4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体， 设该三棱锥的外接球半径为R ，∴2R ==，∴R =．∴外接球的表面积为24π29πS R ==．30．已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为正方形，若PA =OAB △的面积为 ．【答案】【解析】∵ABCD 是边长为PA ⊥平面ABCD ，PA =．∴222242448PC AP AC =+=+=，∴2R =R OP ==，∴1sin 602AOB S =⨯︒=△．31．在直三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，6AC =，π3A =，14AA =，则直三棱柱111ABC ABC -的 外接球的表面积 ． 【答案】160π3【解析】由题的直三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心就是直三棱柱上底面外接圆的圆心2O 和下底面 外接圆的圆心1O 的连线12O O 的中点O ．在三角形ABC 中，由余弦定理得222π46246cos283BC =+-⨯⨯⨯=，∴BC =2sin 3r ==，∴r = 在直角三角形1O OA 中，OA R =，12OO =，1O A r ==∴2428404214933R =+⨯=+=． ∴球的表面积为240160π4π4π33S R ==⨯=．32．已知某一多面体内接于球构成-个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是 ．【答案】12π【解析】由三视图可知，组合体是求内接正方体，正方体的棱长为2，球的直径就是正方体的体对角线的长，所以2r=r=所以球的表面积为2==．S R4π12π。

外接球专训——老师专用一、选择题1．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB ＝3,AC ＝4,AB ⊥AC ,AA 1＝12,则球O 的半径为( )A.3172 B ．210 C.132D ．310【答案】C【解析】如图所示,由球心作平面ABC 的垂线,则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52,OM ＝12AA 1＝6,所以球O 的半径R ＝OA ＝522＋62＝132. 2．【2018南阳第一中学】已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在某球面上， PC 为该球的直径， ABC ∆是边长为4的等边三角形，三棱锥P ABC -的体积为163，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A.163π B. 403π C. 643π D. 803π 【答案】D3．已知三棱锥A BCD -中，，，且各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A ．323π B ． 4π C ． 2π D ． 43π【答案】D【解析】补体为底面边长为1，外接球的球心为长方体体对角线中点，所以球的半径1r =，球的体积，故选D ．4．在四边形ABCD 中，， BC =， CD =， AB AD ⊥，现将ABD ∆沿BD 折起，得三棱锥A BCD -，若三棱锥A BCD -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的体积为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】BD =，所以，所以球心在BD 的中点处，，所以，故选D.5．已知三棱锥S ABC -， ABC ∆是直角三角形，其斜边平面，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ． 64πB ． 68πC ． 72πD ． 100π 【答案】D6．【2019四川乐山四校联考*模型法】如图，在等腰梯形ABCD 中，, E 为AB 中点.将ADE ∆与BEC ∆分别沿ED 、EC 折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P DCE -的外接球的体积为（ ）A.27 B. 2 C. 8 D. 246.C 【解析】由题意可知，折叠所得的几何体是一个棱长为1的正四棱锥，将其放入正方体如图所示，由题意可得，该三棱锥的外接球直径为：，外接球的体积：.7．【2018四川省联考*外接球的性质】设点,,A B C 是半径为2的球O 的球面上的三个不同的点，且OA BC ⊥， 3BC =，，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A.4 B. 2 C. 4D. 【答案】A【解析】作△ABC 的外接圆圆1O ，球心为1O ，由题意可得： 1OO ⊥平面ABC ，设△ABC 外接圆半径为r ，由正弦定理有，取BC 中点E ，由OB OC =可得： OE BC ⊥， 结合OA BC ⊥可知直线BC ⊥平面OAE ，则BC AE ⊥， 结合BE CE =可得： AB AC =，等腰三角形ABC 中，，则，，由勾股定理可得：，由三棱锥体积公式可得：.8．【2018河南漯河中学二模】四面体的四个顶点都在球的表面上，，，，平面，则球的表面积为（ ）A.B.C.D.8.D 【解析】如图，∵BC=CD=1，∠BCD=60°∴底面△BCD为等边三角形，取CD中点为E，连接BE，∴△BCD的外心G在BE上，设为G，取BC中点F，连接GF，在Rt△BCE中，由，，得，又在Rt△BFG中，得BG=，过G作AB的平行线与AB的中垂线HO交于O，则O为四面体ABCD 的外接球的球心，即R=OB，∵AB⊥平面BCD，∴OG⊥BG，在Rt△BGO中，求得OB=，∴球O的表面积为4π9．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，，E为对角线BD的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若∠PEC=120°，则三棱锥P﹣BCD的外接球的表面积为（）A．28πB．32πC．16πD．12π【答案】A10．已知四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 上，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆为正三角形，,则球O 的表面积为A.323π B.32π C.64π D.643π【答案】D【解析】如图2，将四棱锥P ABCD -补为一个三棱柱,因为PAD ∆为正三角形，2AD =,所以PAD ∆的外接圆的半径为3，所以球O 的半径为,所以球O 的表面积为11．已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________． 【答案】36π【解析】取SC 的中点O ，连接,OA OB ，因为所以因为平面SAC ⊥平面SBC 所以OA ⊥平面SBC 设OA r =所以，所以球的表面积为2436r ππ=12．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑中平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为__________.【答案】【解析】设的中点为，如图，由，且为直角三角形，得.由两两垂直，可知为和的斜边，故点到点的距离相等，故点为鳖臑的外接球的球心，设高鳖臑的外接球的半径与内切球的半径分别为,则由.得，解得.由等体积法，知.即，解得.13．【2017陕西汉中二模】如图中的三个直角三角形是一个体积为320cm 的几何体的三视图，则该几何体外接球的面积（单位 2cm ）等于 ( )．A ． 55πB ． 75πC ． 77πD ． 65π 【答案】C 【解析】14．【2017福建4月质检】已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，且2AB BC AC ===，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）A ．83π B ． C ． 163π D ． 323π 【答案】B【解析】由题意可知 可将三棱锥放入长方体中考虑，则长方体的外接球即三棱锥的外接球，故球的半径为长方体体对角线的一半，设PA x =，则2222275471PB PC BC x x x +==⇒-+-=⇒=，故1,2,PA PB PC R ===⇒== 343R π=15．【2017四川宜宾二诊】三棱锥A BCD -内接于半径为2的球O ， BC 过球心O ，当三棱锥A BCD -体积取得最大值时，三棱锥A BCD -的表面积为A ． 6+B ． 8+C ． 4+D ． 8+【答案】D16．【2017安徽马鞍山三模】已知△ABC 的顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的R ， AB BC AC ===，则球O 的体积是（ ） A ．163π B ． 16π C ． 323π D ． 32π 【答案】C【解析】ABC ∆是等边三角形，所以球心O 在底面的射影是ABC ∆的中心'O ，点'OO A 是直角三角形，满足2221R R ⎫=+⎪⎪⎭，解得 24R =， 2R =，所以343233V R ππ==，故选C ． 【点睛】本题考查了球与几何体的组合体问题，考查了空间想象能力以及计算能力，球心与截面圆的圆心连线垂直于截面，所以很多求球心问题，可先找底面多边形的外接圆的圆心，过圆心垂直于多边形的直线必过球心，然后再利用球心到所有顶点的距离相等的性质和构造直角三角形求球的半径．17．【2017黑龙江哈师大附中三模】已知三棱锥—P ABC 的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC ∆满足BA BC ==， π2ABC ∠=，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ） A ． 8π B ． 16π C ． 16π3 D ． 32π3【答案】D 【解析】18．【2017辽宁考前模拟】正四面体ABCD 的棱长为4， E 为棱AB 的中点，过E 作此正四面体的外接球的截面，则截面面积的最小值是（ ） A ． 4π B ． 8π C ． 12π D ． 16π 【答案】A【解析】 将四面体ABCD 放置在正方体中，如图所示，可得正方体的外接球就是四面体ABCD 的外接球，因为正四面体ABCD 的棱长为4，所以正方体的棱长为，可得外接球的半径满足2R ==R =，又E 为BC 的中点，过E 作其外接球的截面，当截面到球心O 的距离最大时，此时截面圆的面积最小，此时球心O 到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为2r ==，得到截面圆的面积的最小值为24S r ππ==，故选A ．二、单选题19．若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球表面积之比为A . 3 1B . 4 1C . 5 1D . 6 1 【答案】选C20．在正四棱锥S -ABCD 中，侧面与底面所成的角为3π，则它的外接球半径R 与内切球半径r 之比为（ ） A . 5 B . 32 C . 10 D . 52【答案】D【解析】由于侧面与底面所成角为，可知底面对边中心线与两个对面斜高构成正三角形，设底面边长为a ，则斜高也为a ，进而可得侧棱长为 ，高为四棱锥的内切球半径就是上述正三角形的内切圆半径为，其外接球球心必在顶点与底面中心连线上，如图 半径为R ，球心为O ，顶点为P ，底面中心为O 1，底面一个顶点为B ，则OB =OP ，于是就有 （ ﹣R ）2+（）2=R 2解得R =．所以两者的比为 ．故选D三、填空题21．【2017安徽阜阳二模】已知,,,A B C D 是球面上不共面的四点，AB AC BD CD BC =====，平面ABC ⊥平面BCD ，则此球的体积为_________．22．【2017河北唐山三模】直角ABC 的三个顶点都在球O 的球面上， 2AB AC ==，若球O 的表面积为12π，则球心O 到平面ABC 的距离等于__________．【答案】1【解析】直角ABC 的斜边CB 为ABC 所在截面小圆的直径，则该截面小圆的半径为r =，由球的表面积为12π可得球的半径R =O 到平面ABC 的距离1d ==．23．在三棱锥中，侧棱两两垂直，的面积分别为，则三棱锥的外接球的体积为_______.【答案】考点球与几何体【方法点睛】球与几何体的问题，属于中档题型，当条件为三棱锥有同一顶点的三条棱两两垂直时，可联想到长方体，这样的三棱锥就是长方体的一部分，如图所示，此时三棱锥的外接球就是长方体的外接球，而长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，.24．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑中平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为__________.【答案】【解析】设的中点为，如图，由，且为直角三角形，得.由两两垂直，可知为和的斜边，故点到点的距离相等，故点为鳖臑的外接球的球心，设高鳖臑的外接球的半径与内切球的半径分别为,则由.得，解得.由等体积法，知.即，解得.故该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为.25．已知边长为ABCD 中，∠BAD ＝60°，沿对角线BD 折成二面角A ­BD ­C 的大小为120°的四面体，则四面体的外接球的表面积为________． 【答案】28π 【解析】26．在四棱锥P ABCD -中， PC ⊥底面ABCD ，底面为正方形， //QA PC ， PBC AQB ∠=∠= 60，记四棱锥P ABCD -的外接球与三棱锥B ACQ -的外接球的表面积分别为12,S S ，则21S S =___． 【答案】157点睛 球的半径的计算，关键在球心位置的确定，三棱锥B AQC -中,QAC QBC ∆∆均为直角三角形，因此外接球的球心就是QC 的中点，因为它到四个顶点的距离是相等的．同理四棱锥P ABCD -外接球的球心就是AP 的中点．27．已知直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱外接球表面积的最小值为 ． 【答案】考点 1、几何体的外接球；2、基本不等式；3、球的体积和表面积. 【方法点睛】设，则有，利用直三棱柱中，，从而直三棱柱外接球的半径为，所以其比表面积的最小值为.根据直三棱柱中，，侧面的面积为，设，，利用均值不等式，确定直三棱柱外接球的半径的最小值是关键．28．如图所示，三棱锥P ABC -中，ABC 是边长为3的等边三角形， D 是线段AB 的中点，DE PB E ⋂=，且DE AB ⊥，若120EDC ∠=︒， 32PA =， PB =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__________．【答案】13π【解析】三棱锥P ABC -中，ABC 是边长为3的等边三角形，设ABC ∆的外心为1O ，外接圆的半径1032sin60O A ==PAB ∆中， 3,32PA PB AB ===，满足222PA PB AB +=， PAB ∆为直角三角形， PAB ∆的外接圆的圆心为D ，由于,CD AB ED AB ⊥⊥， 0120EDC ∠=为二面角P AB C --的平面角，分别过两个三角形的外心1,O D 作两个半平面的垂线交于点O ，则O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，在1Rt OO D ∆中， 01130,ODO DO ∠==，则01cos301O D OD OD ===，连接OA ，设OA R =，则22222313124R AD OD ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭， 21344=134S R πππ==⨯球. 【点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.。

外接球专项训练参考答案一．选择题1、已知球的半径为2，圆和圆是球的互相垂直的两个截面，圆和圆的面积分别为和，则（ ）A ．1 B．2 D【答案】D【解析】因由球心距与截面圆的半径之间的关系得，故D 。

考点：球的几何性质及运算。

2、在三棱锥中，，中点为，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C如图,易由余弦定理可因，故;同理，故，所以是棱长为应选C 。

考点：球与几何体的外接和表面积的计算公式。

3、球的球面上有四点，其中四点共面，是边长为2的正三角形，面面，则棱锥的体积的最大值为（ ）A．4 【答案】AO M N M N 2ππ||MN =538212221222221=-=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+d d R d R d 222PA AB PB =+BA PB ⊥222PC CB PB =+BC PB ⊥C B A P ,,,O ,,,S A B C ,,,O A B C ABC ∆SAB ⊥ABC S ABC -【解析】设球心和的外心为，延长交于点，则由球的对称性可知，继而由面面可得所在的平面，所以是三棱锥的高；再由四点共面可知是A 。

考点：几何体的外接球等有关知识的运用。

【易错点晴】球与几何体的外接和内切问题一直是高中数学中题的重要题型，也高考和各级各类考试的难点内容。

本题将三棱锥与球外接整合在一起考查三棱锥的体积的最大值无疑是加大了试题的难度。

解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，先确定球心的位置是三角形的外心，定当4、已知在三棱锥中，面，，若三棱锥的外接球的半径是3，，则的最大值是（ ）A ．36B ．28C ．26D ．18 【答案】D【解析】因为面，所以，，又因为,所以平面，所以，所以有，则由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以的最大值是,故选D.考点：1.线面垂直的判定与性质；2.长方体外接球的性质；3.基本不等式.【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、长方体外接球的性质、基本不等式,中档题；立体几何的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值或利用基本不等式来求解．5、如图所示是一个几何体的三视图, 则这个几何体外接球的表面积为（ ）ABC ∆O CO AB P AB PD ⊥SAB ⊥ABC ⊥PD ABC ∆PD ,,,O A B C O ABC ∆O ABC PD P ABC -PA ⊥ABC PC AB ⊥P ABC -ABC ABP ACP S S S S ∆∆∆=++S PA ⊥ABC PA AB ⊥PA AC ⊥PC AB ⊥AB ⊥PAC AB AC⊥2222(23)36AB AC AP ++=⨯=AB AC AP ==S 36A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】几何体为一个四棱锥，外接球球心为底面正方形（边长为4C.考点：三视图，外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 6、如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体 外接球的表面积为（ ）A ． C ． D 【答案】D【解析】由三视图可知，这个几何体是三棱锥.如图所示，为球心，为等边三角形的外心，由图可8π16π32π64π8π9πO F BCD考点：三视图. 【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球半径为（ ）A【答案】C【解析】从三视图可以看出这是一个正方体上的一个四面体,如图,其中正其外接圆的同样正的外接圆的半径是由球的对称性可知球心必在正方体的对角线上,,该球经过六个点,设球心到平面的距离为;球心到平面的距离为,而两个平面和之间的距离为则由球心距、垂面圆半径之间的关系可得,所以,即,将其代入可得由应选C. x ,,a b c MNP ∆111P N M ∆O AC 111,,,,,P N M P N M O 111P N M ∆1d O MNP ∆2d MNP 111P N M 2222221212,r d R r d R +=+=822212122=-=-r r d d 82122=-d d 82122=-d d考点：三视图的识读和理解及几何体体积的计算. 【易错点晴】本题以网格纸上的几何图形为背景,提供了一个三棱锥的几何体的三视图,要求求其外接球的半径,是一道较为困难的难题.难就难在无法搞清其几何形状,只知道是一个三棱锥（四面体）是没有任何用的.通过仔细观察不难看出这是一个正方体上的一个四面体,如图,正的边长为,其外接圆的半径,同样正的外接圆的半径是,由球的对称性可知球心必在对角线上,且经过六个点,设球心到平面的距离为；球心到平面的距离为,而两个平面和之间的距离为,则由球心距垂面圆半径之间的关系可得,所以,即,又,将其代入可得,由此可得,所以,所以外接球的半径,其中计算时可用等积法进行.8、一直三棱柱的每条棱长都是，且每个顶点都在球的表面上，则球的半径为（ ） A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】球的半径满足考点：外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解. 9、若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和侧视图如图所示，则此几何体的表面积是 A ．24π B ．24π＋8πOO 2O 1P 1N 1M 1C APNMMNP ∆243241=r 111P N M ∆3222=r O 111,,,,,P N M P N M O 111P N M ∆1d O MNP ∆2d MNP 111P N M 2121334)(34d d h h d +==+-=2222221212,r d R r d R +=+=822212122=-=-r r d d 82122=-d d 33421=+d d 82122=-d d 3212=-d d 3352=d 113333832522222==+=+=r d R 11=R 21,h h 3O O 212673O 2223321()(3)232R R =+⋅⇒=C ．24π＋4πD ．32π答案：C10、已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形,则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是（ ） （A（B ）1 （C（D【答案】A【解析】因为三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，在面内的射影为中点，平面，上任意一点到的距离相等．，，在面内作的垂直平分线，则为的外接球球心．，，，即为到平面的距离，故选A ．考点：球内接多面体；点到面的距离的计算．【名师点睛】(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．(3)一般三棱锥的外接球的球心可通过其中一个面的外心作此平面的垂线，则球心必在此垂线上．11、已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形,则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是（ ）（A （B）1 （C （D 【答案】A12、某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（ ）A ． C【答案】B【解析】几何体为一个四棱锥，其顶点为长方体四个顶点，长方体的长宽高为4,3,3，因此四棱锥外接球直径S ABC -AB 2,2,AB SA SB SC ====ABC S ABC -AB 2SA SB SC ===S ∴ABC AB H SH ∴⊥ABC SH ∴,,A B C 1CH =SHC SC MO O S ABC -2SC =Q 1SM ∴=30OSM ∠=︒O ABC S ABC -AB 2,2,AB SA SB SC ====ABC 34π，表面积是选B.考点：三视图【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解. 13、已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】连接，则由已知得，可知三棱锥是棱长为的正四面体，其高为，则三棱锥的高为，所以三棱锥的体积为考点：三棱锥外接球．14、半径为1的三个球平放在平面上，且两两相切，其上放置一半径为2的球，由四个球心构成一个新四面体，则该四面体外接球的表面积为（）A． D【答案】A【解析】由已知条件可知，该四面体是底面边长为的等边三角形，且侧棱长为.该四面体外接球半径计算公式为，其中为底面外接圆半径，为高.本题中，故考点：球的内接几何体.15、在正三棱锥中，是的中点，且，则正三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】【解析】根据三棱锥为正三棱锥，可证明出AC ⊥SB ，结合SB ⊥AM ，得到SB ⊥平面SAC ，因此可得SA 、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直．最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表面积公式，可得正三棱锥S-ABC 的外接2434.R ππ=OC OB OA ,,1======AC BC AB OC OB OA ABC O -1ABC S -ABC S -,,A B C αD ,,,A B C D O 9π23x h S ABC -M SC AM SB ⊥S ABC -6π12π32π36π球的表面积．取AC 中点，连接BN 、SN ，∵N 为AC 中点，SA=SC ，∴AC ⊥SN ， 同理AC ⊥BN ，∵SN ∩BN=N ，∴AC ⊥平面SBN ，∵SB 平面SBN ，∴AC ⊥SB，∵SB ⊥AM 且AC ∩AM=A ， ∴SB ⊥平面SAC ？SB⊥SA 且SB ⊥AC ， ∵三棱锥S-ABC 是正三棱锥，∴SA 、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直． SA=2，∴正三棱锥S-ABC ∴正三棱锥S-ABC 的外接球的表面积是，故选：B ．考点：空间线面垂直的判定与性质；球内接多面体16、已知三棱锥,在底面中则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A． 【答案】D【解析】底面三角形内，根据正弦定理，可得,,满足勾股定理，,底面,所以,那么平面,所以,那么直角三角形有公共斜边,所以三棱锥的外接球的球心就是的中点,是其外接球的直径，,所以外接球的表面积,故选D.⊂2412S R ππ==P ABC -ABC ∆16π2=AC 222AC BC AB =+090=∠ABC ⊥PA ABC BC PA ⊥⊥BC PAB PB BC ⊥PBC PAC ,PC PC O PC 4=PC ππ1642==R S考点：球与几何体17、已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的表面积为为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】由题意，三棱柱为直三棱柱，底面为直角三角形，把直三棱柱补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，则三棱柱1外接球的表面积是故选C ．考点：几何体的外接球18、如图，是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点，在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）111C C AB -A B 6O 3AB =C 4A =C AB ⊥A 112AA =O 153π160π169π360π111C C AB -A B C AB 111C C AB -A B 111C C AB -A B 224169R cm ππ=．1111ABCD A B C D -S ABCD -S 1111,,,A B C DA【答案】D【解析】按如图所示作辅助线，为球心，设，则，则在中，，D ．考点：1、球内接多面体的性质；2、球的表面积公式.19、在平行四边形中，，，将此平行四边形沿折成直二面角，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A ． C ． D ． 【答案】A【解析】因为平行四边形中，，沿折成直二面角，所以三棱锥的外接球的直径为，所以三棱锥的外接球的半径，所以三棱锥A ． O 1OG x =12OB SO x ==-11Rt OB G ∆2221111OB G B OG =+ABCD AB BD ⊥22421AB BD +=BD A BCD -π2π4πABCD BD AB ⊥BDC BD A --BCD A -AC BCD A -BCD A -考点：1.平面图形的折叠问题；2.多面体与球的组合．20、如图, 在菱形中为对角线的中点, 将沿折起到的位置，若 ，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设分别是等边三角形的外心，则画出图象如下图所示，由图象可知，,外接球面积为.考点：球的内接几何体. 21、已知从点出发的三条射线，，两两成角，且分别与球相切于，，三点．若球的体积为，则，两点间的距离为( )（A （B （C ）3 （D ） 【答案】B【解析】连接交平面于，由题意可得：和为正三角形，所以．因为ABCD BD ABD ∆BD PBD ∆120PEC ∠=o P BCD -28π32π16π12π,M N ,PBD CBD 11,2O N NC ==11120,60MO N OO N ∠=∠=o o 244728R πππ=⋅=P PA PB PC 60︒O A B C O 36πO P 6OP ABC 'O ABC ∆PAB ∆'AO PO OA PA ⊥⊥，为球的体积为，所以半径，所以考点：点、线、面间的距离计算． 【思路点睛】连接交平面于，由可得，根据球的体积可得半径，进而求出答案． 22、在半径为1的球面上有不共面的四个点A ，B ，C ，D 且，，，则等于（ ）A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】B 【解析】如图，构造长方体，设长方体的长、宽、高分别为，则，根据题意，得，则；故选B ．考点：多面体与球的组合23、“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（ ）【答案】B【解析】因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖），且正视图和侧视图是一个圆，所以从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，即俯视图是有两条对角线且为实线的正方形；故选B ．36π3OA =OP ABC 'O 'AO PO OA PA ⊥⊥，3OA =AB CD x ==BC DA y ==CA BD z ==222x y z ++c b a ,,422222==++c b a 222222222,,z c a y c b x b a =+=+=+8)(2222222=++=++c b a z y x考点：三视图．24、某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】从三视图可以看出该几何体是底面对角线长为正方形高为正四棱柱,故其对角线长为故该几何体的外接球的面积为,选C.考点：三视图与几何体的外接球．25、如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点△AED ，△EBF ，△FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使A ，B ，C 三点重合于点A ′,若四面体A ′EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（ ）C【答案】D 【解析】因为折起后三点重合，所以两两垂直，三棱锥的外接球，就是棱长为的长方体的外接球，球半径满足 D. 考点：几何体外接球的性质.26、已知三棱锥S ﹣ABC ，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SCQ 是外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为（ ）A ．3B ．2C 【答案】D【解析】因为三棱锥中，，且，所以三棱锥的外接球即为以43ππ2542==R S ,,A B C ',','A E A F A D 1,1,2R S ABC -,,SA SB SB SC SC SA ⊥⊥⊥SA SB SC ==,,SA SB SC所以球心到平面的距离所以点到平面的距离的最大值为D．考点：球的性质及组合体的应用．27、一个直棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为（）A．20 B． D【答案】A，两腰为的等腰三角形，高为，底面三角形的外接半径为，设该三棱柱的外接球的半径为，则，所以该三棱柱的外接球的表面积为，故选A．考点：1.三视图；2.球的切接问题；3.球的表面积．【名师点睛】本题主要考查三视图、球的切接问题、表面积公式及空间想象能力、运算能力，中档题；识图是数学的基本功，空间想象能力是数学与实际生活必备的能力，本题将这些能力结合在一起，体现了数学的实用价值，同时也考查了学生对球的性质与表面积公式的掌握与应用、计算能力．28、某四面体的三视图如图，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（）A． B． C． D．【答案】BABC Q ABCο120π25π222R221215R=+=2420S Rππ==【解析】由题意此四面体是棱长为的正四面体，其外接球半径为，所以B ． 考点：三视图，外接球，球体积．【名师点睛】正四面体的内切球与外接球：（1） 正四面体的内切球，如图. 位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合； 数据关系：设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有（可以利用体积桥证明）（2） 正四面体的外接球，如图5. 位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合； 数据关系：设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有（可用正四面体高减去内切球的半径得到）29、如图所示，在直三棱柱中，，，，点是线段的中点，则三棱锥的外接球的体积是（ ）a h R a h R h C C '''AB -A B C C A ⊥B C 2'B =BB =C 4A =M 'AB C M -ABA ． B【答案】A 【解析】由题意可取的中点，连接,在直角中，所以点在平面内的射影是的外心，即为的中点，设三棱锥的外接球的球心为，由球的截面性质可得，即，解得，故选A.考点：棱锥与球的组合体及球的体积.【方法点睛】本题主要考查了棱锥与球的组合体，球的截面性质及球的体积，考查了考生的空间想象能力属于中档题.本题解答的关键是根据已知条件求得,从而判断点在平面内的射影位置，而又是直角三角形，其外心位于斜边的中点上，据此可知三棱锥外接球的球心在上，根据球的截面性质得到球的半径，求得其体积.30、已知球面上有四个点，球心为点，在上，若三棱锥则该球的表面积为（ ） A ． B ．C【答案】B 【解析】设球的半径，首先因为在上，所以为球的直径，为直角三角形，，若使三角形的面积最大，则点到边的距离最大即可，因为三点共面．所以最大距离为半径，三角形；当点距离平面最大时为，则三棱锥的体积的，，所以该球的表面积为，选B ． 考点：1.球的表面积；2.棱锥的体积．31、一个几何体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图．图中圆内有一个以 圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（ ）36πAB D ,MD CD MCD ∆M ABC ABC ∆AB C M -AB O ()222MD r CD r -+=()2215r r -+=3r =MA MB MC ==M ABC ABC ∆C M -AB MD ,,,A B C D O O CD A BCD -O 4π16πr O CD CD O BCD ∆2CD r =B CD ,,B C D r BCD A BCD r A BCD -2r =4416ππ⋅=A ．2π B．3π C ．4π D．5π【答案】B【解析】由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体，此四面体的外接球的半径为正方体的对角线B ．二、填空题（注释）32、在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形.若直线与平面所成的角为30°，则四棱锥的外接球的表面积为_______.【答案】【解析】连结交于，则可证得平面，连接，则就是直线与平面所成的角，即，四棱锥的外接球的半，则所求外接球的表面积为,故应填.考点：四棱锥的外接球的面积及求法．33、已知矩形的顶点都在半径为的球的球面上，且棱锥的体积为，则= ________．【答案】【解析】由题可得四棱锥的侧棱为，则P ABCD -PB ⊥ABCD ABCD PC PDB P ABCD -12πAC BD H AC ⊥PDB PH CPH ∠PC PDB 30CPH ∠=°∴P ABCD -12π12πABCD R O O ABCD -R 4R考点：多面体与外接球．。

外接球问题处理——老师专用1、已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，，，，则球的表面积为( )A. B. C. D.解析:如图所示，∵，∴为直角，即过的小圆面的圆心为的中点，和所在的平面互相垂直，则圆心在过的圆面上，即的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径，球的表面积为，故选．2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.设球心为，设正三棱柱上底面为，中心为，因为三棱柱所有棱的长都为，则可知，，又由球的相关性质可知，球的半径，所以球的表面积为，故选.3、已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为( )A. B. C. D.解析如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选.4、如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A. B. C. D.解析该几何体为三棱锥,设球心为，分别为和的外心，易求得,，∴球的半径，∴该几何体外接球的表面积为．5、已知都在半径为的球面上，且，，球心到平面的距离为1，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（）A. B. C. D.解析∵，∴，∴圆心在平面的射影为的中点，∴，∴．∴，当线段为截面圆的直径时，面积最小，∴截面面积的最小值为.6、四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于，则球的体积等于（ ） A.B.C.D解析由题意可知四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的直径，且四棱锥的高半径，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为的正三角形，底面为边长为的正方形，所以该四棱锥的表面积为，于是,，进而球的体积. 故选.7、一个三条侧棱两两互相垂直并且侧棱长都为的三棱锥的四个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为()A. B. C. D.解析由题可知该三棱锥为一个棱长的正方体的一角，则该三棱锥与该正方体有相同的外接球，又正方体的对角线长为，则球半径为，则. 故选.8、一个棱长都为的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为( )A. B. C. D.解析如图：设、为棱柱两底面的中心，球心为的中点.又直三棱柱的棱长为，可知，，所以，因此该直三棱柱外接球的表面积为，故选.9、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为( )A. B. C. D.解析此几何体是三棱锥，底面是斜边长为的等腰直角三角形，且顶点在底面内的射影是底面直角三角形斜边的中点.易知，三棱锥的外接球的球心在上.设球的半径为，则，∵，∴，解得：，∴外接球的表面积为. 答案：D10.已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】，，，，故选C ． 11.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是． 【答案】【解析】，．12.已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D41616π20π24π32π162==h a V 2=a 24164442222=++=++=h a a R 24πS =39π933342=++=R 24π9πS R ==P ABC -ABC △6BA BC ==π2ABC ∠=8π16π16π332π3【解析】因为是等腰直角三角形，所以外接球的半径是，设外接球的半径是，球心到该底面的距离，如图，则，，由题设，最大体积对应的高为，故，即，解之得，所以外接球的体积是，故答案为D ．13．棱长分别为2的长方体的外接球的表面积为（） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】设长方体的外接球半径为，由题意可知：，则：，该长方体的外接球的表面积为．本题选择B 选项．14．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（） A ．12π B ．28π C ．44π D ．60π【答案】B【解析】设底面三角形的外接圆半径为，由正弦定理可得：， 设外接球半径为，结合三棱柱的特征可知外接球半径，外接球的表面积．本题选择B 选项．15．把边长为3的正方形沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥ABC △11232r =⨯=R O d 1632ABC S =⨯=△3BD =116336ABC V S h h ==⨯=△3SD h ==223R d =+()2233R R =-+2R =3432ππ33R =354π12π24π48πR ()22222235R =++23R =24π4π312πS R ==⨯=23r 232r =2r =R (222327R =+=24π28πS R ==ABCD AC ABC ⊥ADC的外接球的表面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】把边长为3的正方形沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥的外接球直径为，外接球的表面积为，故选C．16．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为的正三棱锥，另一个是棱长为的正四面体，如图所示：该几何体的外接球与棱长为a 的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以，所以该几何体外接球面积，故选C ． 17．三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，，则球的表面积为（）D ABC -32π27π18π9πABCD AC ABC ⊥ADC D ABC -32AC =24π18πR =2πa 22πa 23πa 24πa 2a a 2a 222323R a a a a R =++⇒22234π4π3πS R a ⎫==⨯=⎪⎪⎝⎭A BCD -O AB ⊥BCD 2BC BD ==243AB CD ==OA ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】因为，，所以，， 因此三角形外接圆半径为，设外接球半径为，则，，故选D ．18．如图是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点，，，，在同一个球面上，则该球的表面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】如图所示，连结，，交点为，连结，易知球心在直线上，设球的半径，在中，由勾股定理有：，即：，解得：，则该球的表面积．本题选择D 选项．16π32π60π64π2BC BD ==23CD =()22222231cos 2222CBD +-∠==-⨯⨯2π3CBD ∴∠=BCD 122sin CDCBD=∠R 222=2+412162AB R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2=4π64πS R ∴=1111ABCD A B C D -S ABCD -S 1A 1B 1C 1D 9π1625π1649π1681π1611A C 11B D M SM O SM R OS x ==1Rt OMB △22211OM B M B O +=()22222x x -+=⎝⎭98x =229814π4ππ816S R ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭19．已知球的半径为，，，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，，则球的表面积为（） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由余弦定理得：，设三角外接圆半径为，由正弦定理可得：，则，又，解得：，则球的表面积．本题选择D 选项．20．已知正四棱锥(底面四边形是正方形，顶点P 在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为，则此球的体积为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】如图，设正方形的中点为，正四棱锥的外接球心为， 正四棱锥的体积为，， 则，，在中由勾股定理可得：，解得，，故选C ．21．如图，在中，，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥．若该三棱锥的所有O R A B C O O ABC 12R 2AB AC ==120BAC ∠=︒O 16π916π364π964π344222cos12023BC =+-⨯⨯︒=ABC r 232r =2r =22144R R =+2163R =2644ππ3S R ==P ABCD -ABCD 1050318π8636π323πABCD E P ABCD -O Q 105EA ∴=Q 503(21501033P ABCD V PE -∴=⨯⨯=5PE =5OE R ∴=-AOE △()2255R R -+=3R =34π36π3V R ∴==球ABC △6AB BC =90ABC ∠=︒D AC ABD △BD PBD △PC PD =PC P BCD -顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意得该三棱锥的面是边长为的正三角形，且平面， 设三棱锥外接球的球心为， 外接圆的圆心为，则面，∴四边形为直角梯形，由，，及，得，∴外接球半径为， ∴该球的表面积．故选A ． 22．四面体中，，，，则此四面体外接球的表面积为（）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】由题意，中，，，可知是等边三角形，， ∴的外接圆半径， ∵，可得可得∴，∴， ∴四面体高为设外接球，为球心，，可得：……①，7π5π3ππPCD 3BD ⊥PCD P BDC -O PCD △1O 1OO ⊥PCD 1OO DB 3BD =11O D =OB OD =7OB =7R =274π4π7π4S R ==⨯=A BCD -60ABC ABD CBD ∠=∠=∠=︒3AB =2CB DB ==19π21938π17π1717πBCD △2CB DB ==60CBD ∠=︒BCD △3BF BCD △23r BE ==3FE =60ABC ABD ∠=∠=︒7AD AC =6AF =AF FB ⊥AF BCD ⊥A BCD -6AF =R O OE m =222r m R +=……②由①②解得：．四面体外接球的表面积：．故选A ． 23．将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后四点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】中，，，，底面三角形的底面外接圆圆心为，半径为，由余弦定理得到，再由正弦定理得到， 见图示：是球的弦，，将底面的圆心平行于竖直向上提起，提起到的高度的一半，即为球心的位置，∴，在直角三角形中，应用勾股定理得到，即为球的半径．∴球的半径．该球的表面积为；故选B ． 24．在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A B C ． D ．【答案】D【解析】分别取，的中点，，连接相应的线段，，， 由条件，，，可知，与，都是等腰三角形，()2226πEF R -+=19R =2194ππ2S R ==ABC △AD 120BDC ∠=︒A B C D 、、、O O 7π27π13π213π3BCD △1BD =1CD =120BDC ∠=︒M r 3BC =321r r =⇒=AD 3DA =M AD AD O 3OM OMD OD OD 3714OD =+=24π7πOD ⨯=A BCD -6AB CD ==5AC BD AD BC ====4343π4343π43π243πAB CD E F CE ED EF 4AB CD ==5BC AC AD BD ====ABC △ADB △平面，∴，同理，∴是与的公垂线，球心在上，推导出，可以证明为中点，，，， ∴，球半径，∴外接球的表面积为． 故选D ． 25．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________．【答案】【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为， 则外接球的半径，则外接球的表面积为．26．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为，则该正四棱锥内切球的表面积为________．【答案】【解析】设正四棱锥的棱长为，则，解得． 于是该正四棱锥内切球的大圆是如图的内切圆，其中，．AB ⊥ECD AB EF ⊥CD EF ⊥EF AB CD G EF AGB CGD △≌△G EF 2594DE =-=3DF =1697EF =-=72GF =743942DG =+=24π43πS DG =⨯=84π161232sin6023r =⨯=⨯=︒()2232391221R =+=+=24π4π2184πS R ==⨯=163()32163π-a 234163a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭4a =PMN △4MN =23PM PN ==22PE =设内切圆的半径为，由，得，即， 解得，∴内切球的表面积为． 27．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的表面积等于______．【答案】【解析】∵三棱柱的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，，，，，， ，， 设外接圆的半径为，则，， ∴外接球的半径为，∴球的表面积等于．故答案为．28．在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积的最小值为_____．【答案】 【解析】如图所示，三棱锥的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线，设，那么，，所以积的最小值即为最小，时，的最小值为 r PFO PEN ≅△△FO PO EN PN =22223r r -=226231r ==-+()()224π4π6232163πS r ==-=-111ABC A B C -32AB =1AC =60BAC ∠=︒8π111ABC A B C -32AB =1AC =60BAC ∠=︒1121sin 6032AA ∴⨯⨯⨯︒⨯=12AA ∴=2222cos60412BC AB AC AB AC =+-⋅︒=+-Q 3BC ∴=ABC △R 2sin 60BC R ︒＝1R ∴=112+=()24π28π⨯=8πA BCD -AB AC =DB DC =4AB DB +=AB BD ⊥A BCD-82πA BCD -AD AB AC x ==4DB DC x ==-AB BD ⊥22AD AB DB +AD ()224AD x x +-2x =AD 2282π。

外接球问题处理——老师专用1、已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，，，，则球的表面积为( )A. B. C. D.解析:如图所示，∵，∴为直角，即过的小圆面的圆心为的中点，和所在的平面互相垂直，则圆心在过的圆面上，即的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径，球的表面积为，故选．2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.设球心为，设正三棱柱上底面为，中心为，因为三棱柱所有棱的长都为，则可知，，又由球的相关性质可知，球的半径，所以球的表面积为，故选.3、已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为( )A. B. C. D.解析如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选.4、如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A. B. C. D.解析该几何体为三棱锥,设球心为，分别为和的外心，易求得,，∴球的半径，∴该几何体外接球的表面积为．5、已知都在半径为的球面上，且，，球心到平面的距离为1，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（）A. B. C. D.解析∵，∴，∴圆心在平面的射影为的中点，∴，∴．∴，当线段为截面圆的直径时，面积最小，∴截面面积的最小值为.6、四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于，则球的体积等于（）A. B. C.D解析由题意可知四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的直径，且四棱锥的高半径，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为的正三角形，底面为边长为的正方形，所以该四棱锥的表面积为，于是,，进而球的体积. 故选.7、一个三条侧棱两两互相垂直并且侧棱长都为的三棱锥的四个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为( )A. B. C. D.解析由题可知该三棱锥为一个棱长的正方体的一角，则该三棱锥与该正方体有相同的外接球，又正方体的对角线长为，则球半径为，则. 故选.8、一个棱长都为的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为( )A. B. C. D.解析如图：设、为棱柱两底面的中心，球心为的中点.又直三棱柱的棱长为，可知，，所以，因此该直三棱柱外接球的表面积为，故选.9、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为( )A. B. C. D.解析此几何体是三棱锥，底面是斜边长为的等腰直角三角形，且顶点在底面的射影是底面直角三角形斜边的中点.易知，三棱锥的外接球的球心在上.设球的半径为，则，∵，∴，解得：，∴外接球的表面积为. 答案：D10.已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π【答案】C【解析】162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，24πS =，故选C ． 11.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是． 【答案】9π【解析】933342=++=R ，24π9πS R ==．12.已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC △满足6BA BC ==，π2ABC ∠=，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ） A ．8π B ．16π C ．16π3 D ．32π3【答案】D【解析】因为ABC △是等腰直角三角形，所以外接球的半径是11232r =⨯=，设外接球的半径是R ，球心O 到该底面的距离d ，如图，则1632ABC S =⨯=△，3BD =，由题设116336ABC V S h h ==⨯=△，最大体积对应的高为3SD h ==，故223R d =+，即()2233R R =-+，解之得2R =， 所以外接球的体积是3432ππ33R =，故答案为D ．13．棱长分别为235的长方体的外接球的表面积为（） A ．4π B ．12πC ．24πD ．48π【答案】B【解析】设长方体的外接球半径为R ，由题意可知：()()()22222235R =++，则：23R =，该长方体的外接球的表面积为24π4π312πS R ==⨯=．本题选择B 选项．14．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为23，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（） A ．12π B ．28π C ．44π D ．60π【答案】B【解析】设底面三角形的外接圆半径为r ，由正弦定理可得：232r =，则2r =， 设外接球半径为R ，结合三棱柱的特征可知外接球半径()222327R =+=，外接球的表面积24π28πS R ==．本题选择B 选项．15．把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ，则三棱锥D ABC -的外接球的表面积为（）A ．32πB ．27πC ．18πD ．9π【答案】C【解析】把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ， 则三棱锥D ABC -的外接球直径为32AC =，外接球的表面积为24π18πR =，故选C ． 16．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（ ）A ．2πaB ．22πaC ．23πaD ．24πa【答案】C【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，2a 的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a 2a 的正四面体，如图所示：该几何体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以222323R a a a a R a =++=⇒=，所以该几何体外接球面积22234π4π3πS R a a ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选C ． 17．三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，2BC BD ==，243AB CD ==，则球O 的表面积为（）A ．16πB ．32πC ．60πD ．64π 【答案】D 【解析】因为2BC BD ==，23CD =，所以()22222231cos 2222CBD +-∠==-⨯⨯，2π3CBD ∴∠=， 因此三角形BCD 外接圆半径为122sin CDCBD=∠，设外接球半径为R ，则222=2+412162AB R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，2=4π64πS R ∴=，故选D ．18．如图1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点S ，1A ，1B ，1C ，1D 在同一个球面上，则该球的表面积为（）A ．9π16B ．25π16C ．49π16D ．81π16【答案】D【解析】如图所示，连结11A C ，11B D ，交点为M ，连结SM ，易知球心O 在直线SM 上，设球的半径R OS x ==，在1Rt OMB △中，由勾股定理有：22211OM B M B O +=，即：()22222x x ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得：98x =，则该球的表面积229814π4ππ816S R ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭．本题选择D 选项．19．已知球O 的半径为R ，A ，B ，C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则球O 的表面积为（） A ．16π9B ．16π3C ．64π9D ．64π3【答案】D【解析】由余弦定理得：44222cos12023BC =+-⨯⨯︒=，设三角ABC 外接圆半径为r ，由正弦定理可得：232r =，则2r =，又22144R R =+，解得：2163R =，则球的表面积2644ππ3S R ==．本题选择D 选项．20．已知正四棱锥P ABCD -(底面四边形ABCD 是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，10503，则此球的体积为（ ） A ．18π B ．86C ．36πD ．323π【答案】C 【解析】如图，设正方形ABCD 的中点为E ，正四棱锥P ABCD -的外接球心为O ， 底面正方形的边长为10，5EA ∴=， 正四棱锥的体积为503，()21501033P ABCD V PE -∴=⨯⨯=， 则5PE =，5OE R ∴=-，在AOE △中由勾股定理可得：()2255R R -+=，解得3R =，34π36π3V R ∴==球，故选C ．21．如图，在ABC △中，6AB BC ==，90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到PBD △的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A ．7πB ．5πC ．3πD ．π【答案】A【解析】由题意得该三棱锥的面PCD 3BD ⊥平面PCD ， 设三棱锥P BDC -外接球的球心为O ，PCD △外接圆的圆心为1O ，则1OO ⊥面PCD ，∴四边形1OO DB 为直角梯形，由3BD 11O D =，及OB OD =，得7OB =7R = ∴该球的表面积274π4π7π4S R ==⨯=．故选A ． 22．四面体A BCD -中，60ABC ABD CBD ∠=∠=∠=︒，3AB =，2CB DB ==，则此四面体外接球的表面积为（）A ．19π2B ．1938πC ．17πD ．1717π 【答案】A【解析】由题意，BCD △中，2CB DB ==，60CBD ∠=︒，可知BCD △是等边三角形，3BF =， ∴BCD △的外接圆半径23r BE ==，3FE ， ∵60ABC ABD ∠=∠=︒，可得7AD AC ==可得6AF ，∴AF FB ⊥，∴AF BCD ⊥， ∴四面体A BCD -高为6AF =设外接球R ，O 为球心，OE m =，可得：222r m R +=……①， )2226πEF R +=……②由①②解得：19R =2194ππ2S R ==．故选A ． 23．将边长为2的正ABC △沿着高AD 折起，使120BDC ∠=︒，若折起后A B C D 、、、四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．7π2B ．7πC ．13π2D ．13π3【答案】B【解析】BCD △中，1BD =，1CD =，120BDC ∠=︒， 底面三角形的底面外接圆圆心为M ，半径为r ，由余弦定理得到3BC 321r r =⇒=， 见图示：AD 是球的弦，3DA =，将底面的圆心M 平行于AD 竖直向上提起，提起到AD 的高度的一半，即为球心的位置O ，∴3OM =，在直角三角形OMD 中，应用勾股定理得到OD ，OD 即为球的半径．∴球的半径3714OD =+=．该球的表面积为24π7πOD ⨯=；故选B ． 24．在三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，5AC BD AD BC ====，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A ．4343πB ．4343πC ．43π2D ．43π【答案】D【解析】分别取AB ，CD 的中点E ，F ，连接相应的线段CE ，ED ，EF ， 由条件，4AB CD ==，5BC AC AD BD ====，可知，ABC △与ADB △，都是等腰三角形，AB ⊥平面ECD ，∴AB EF ⊥，同理CD EF ⊥，∴EF 是AB 与CD 的公垂线， 球心G 在EF 上，推导出AGB CGD △≌△，可以证明G 为EF 中点， 2594DE =-=，3DF =，1697EF =-=，∴7GF =，球半径74394DG =+=，∴外接球的表面积为24π43πS DG =⨯=． 故选D ．25．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________．【答案】84π【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为161232sin6023r=⨯=⨯=︒，则外接球的半径()2232391221R=+=+=，则外接球的表面积为24π4π2184πS R==⨯=．26．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为163，则该正四棱锥切球的表面积为________．【答案】()32163π-【解析】设正四棱锥的棱长为a，则234163a⎛⎫=⎪⎪⎝⎭，解得4a=．于是该正四棱锥切球的大圆是如图PMN△的切圆，其中4MN=，23PM PN==22PE=设切圆的半径为r，由PFO PEN≅△△，得FO POEN PN=，即22223r r-=，解得226231r==+(224π4π6232163πS r===-．27．已知三棱柱111ABC A B C-的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积32AB=，1AC=，60BAC∠=︒，则此球的表面积等于______．【答案】8π【解析】∵三棱柱111ABC A B C-32AB=，1AC=，60BAC∠=︒，1121sin6032AA∴⨯⨯⨯︒⨯=12AA∴=，2222cos60412BC AB AC AB AC=+-⋅︒=+-，3BC∴，设ABC △外接圆的半径为R ，则2sin 60BC R ︒＝，1R ∴=， ∴外接球的半径为112+=，∴球的表面积等于()24π28π⨯=．故答案为8π．28．在三棱锥A BCD -中，AB AC =，DB DC =，4AB DB +=，AB BD ⊥，则三棱锥A BCD -外接球的体积的最小值为_____．【答案】82π 【解析】如图所示，三棱锥A BCD -的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线AD ，设AB AC x ==，那么4DB DC x ==-，AB BD ⊥，所以22AD AB DB =+积的最小值即为AD 最小，()224AD x x =+-2x =时，AD 的最小值为22282π。

外接球专题（含答案）类型一：正方体、长方体、直棱锥（有三条线两两互相垂直于同一点）1．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝，AA1＝2，则该长方体的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．16πD．32π2．在三棱锥P﹣ABC中，三条侧棱P A，PB，PC两两互相垂直，且△P AB，△P AC，△PBC 的面积依次为1，1，2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为（）A．B．3C．4D．2类型二：柱体、侧棱垂直底面的棱锥3．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝2，BC＝2，∠BAC＝，则三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的体积为（）A．4B．6C．8D．124．三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝2，AB＝BC＝1，则三棱锥S﹣ABC 的外接球的表面积为（）A．6πB．12πC．16πD．24π类型三：侧棱相等的椎体5．在三棱锥P﹣ABC中，P A＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝1，BC＝，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．8πB．C．D．6．已知正四面体A﹣BCD的外接球的体积为8π，则这个四面体的表面积为（）A．18B．16C．14D．12类型四：侧面垂直底面的椎体7．已知在三棱锥P﹣ABC中，P A＝PB＝BC＝1，AB＝，AB⊥BC，平面P AB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A．B．3πC．D．2π类型五：若椎体顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是外接球的球心8．如图，已知矩形ABCD中，，现沿AC折起，使得平面ABC⊥平面ADC，连接BD，得到三棱锥B﹣ACD，则其外接球的体积为（）A．B．C．D．9．在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥BC，SA⊥AC，SB＝BC，SA＝AC，AB＝SC，且三棱锥S ﹣ABC的体积为，则该三棱锥的外接球的半径为（）A．1B．2C．3D．4答案详解1．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝，AA1＝2，则该长方体的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．16πD．32π【解答】解：由题意可知，长方体的对角线长为，则该长方体的外接球的半径为r＝，因此，该长方体的外接球的表面积为4πr2＝8π．故选：B．11．在三棱锥P﹣ABC中，三条侧棱P A，PB，PC两两互相垂直，且△P AB，△P AC，△PBC 的面积依次为1，1，2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为（）A．B．3C．4D．2【解答】解：由题意得，，解得，，由P A，PB，PC两两垂直可知该三棱锥是球内接长方体的一角，球的直径即为长方体的体对角线长，体对角线长为＝3，∴外接球半径为：，故选：A．4．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝2，BC＝2，∠BAC＝，则三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的体积为（）A．4B．6C．8D．12【解答】解：由正弦定理可知，△ABC的外接圆直径为，由于三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，该三棱柱为直三棱柱，所以，该三棱柱的外接球直径为，则．因此，三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的体积为．故选：A．19．三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝2，AB＝BC＝1，则三棱锥S﹣ABC 的外接球的表面积为（）A．6πB．12πC．16πD．24π【解答】解：取SC的中点为O，则∵SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，AC⊂平面ABC∴SA⊥BC，SA⊥AC∵AB⊥BC，SA∩AB＝A∴BC⊥平面SAB∵SB⊂平面SAB∴BC⊥SB∵SC的中点为O∴OS＝OA＝OB＝OC∴O为三棱锥S﹣ABC的外接球的球心∵SA＝2，AB＝BC＝1∴SC＝∴三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为＝6π故选：A．21．在三棱锥P﹣ABC中，P A＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝1，BC＝，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．8πB．C．D．【解答】解：如图，由P A＝PB＝PC＝2，过P作PG⊥平面ABC，垂足为G，则G为三角形ABC的外心，在△ABC中，由AB＝AC＝1，BC＝，可得∠BAC＝120°，则由正弦定理可得：＝2AG，即AG＝1．∴PG＝＝．取P A中点H，作HO⊥P A交PG于O，则O为该三棱锥外接球的球心．由△PHO∽△PGA，可得，则PO＝＝．即该棱锥外接球半径为．∴该三棱锥外接球的表面积为，故选：B．5．已知正四面体A﹣BCD的外接球的体积为8π，则这个四面体的表面积为（）A．18B．16C．14D．12【解答】解：∵V，得R＝，即OA＝OB＝，在正四面体A﹣BCD中，＝，∴OO′＝，∴O′B＝，∴BC＝4，S＝4×＝16，故选：B．8．已知在三棱锥P﹣ABC中，P A＝PB＝BC＝1，AB＝，AB⊥BC，平面P AB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A．B．3πC．D．2π【解答】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC＝＝，设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，∵P A＝PB＝1，AB＝，∴P A⊥PB，∵平面P AB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距离为．由勾股定理可得R2＝（）2+d2＝（）2+（﹣d）2，∴d＝0，R2＝，∴球的表面积为4πR2＝3π．故选：B．31．如图，已知矩形ABCD中，，现沿AC折起，使得平面ABC⊥平面ADC，连接BD，得到三棱锥B﹣ACD，则其外接球的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：设矩形对角线的交点为0，则由矩形对角线互相平分，可知OA＝OC＝OD ＝OB．∴点O到四面体的四个顶点A，B，C，D的距离相等，即点O为四面体的外接球的球心，如图所示．∴外接球的半径5．外接球的体积V＝＝．故选：D．15．在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥BC，SA⊥AC，SB＝BC，SA＝AC，AB＝SC，且三棱锥S ﹣ABC的体积为，则该三棱锥的外接球的半径为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：如图，取SC的中点O，连接OB，OA，∵SB⊥BC，SA⊥AC，SB＝BC，SA＝AC，∴OB⊥SC，OA⊥SC，OB＝SC，OA＝SC，∴SC⊥平面OAB，O为三棱锥的外接球的球心，SC为球O的直径，设球O得半径为R，则AB＝SC＝R，∴△AOB为正三角形，则∠BOA＝60°，∴V S﹣ABC＝V S﹣OAB+V C﹣OAB＝，解得R＝3．故选：C．。

高考数学总复习培优练习：外接球（含答案）1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20πC ．24πD ．32π【答案】C【解析】162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，24πS =，故选C ．2．补形法（补成长方体）c ab图1CP A Babc 图2PCBAabc 图3CBPAa bc PCO 2BA例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 ． 【答案】9π【解析】933342=++=R ，24π9πS R ==．3．依据垂直关系找球心例3：已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC △满足6BA BC =，π2ABC ∠=，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ） A ．8π B ．16π C ．16π3 D ．32π3【答案】D【解析】因为ABC △是等腰直角三角形，所以外接球的半径是11232r =的半径是R ，球心O 到该底面的距离d ，如图，则1632ABC S =⨯=△，3BD =116336ABC V S h h ==⨯=△，最大体积对应的高为3SD h ==，故223R d =+，即()2233R R =-+，解之得2R =，所以外接球的体积是3432ππ33R =，故答案为D ．一、单选题1．棱长分别为235的长方体的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．12π C ．24π D ．48π【答案】B【解析】设长方体的外接球半径为R ，由题意可知：()22222235R =++，则：23R =，该长方体的外接球的表面积为24π4π312πS R ==⨯=．本题选择B 选项．2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为23，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．12π B ．28π C ．44π D ．60π【答案】B【解析】设底面三角形的外接圆半径为r ，由正弦定理可得：232r =2r =， 对点增分集训设外接球半径为R ，结合三棱柱的特征可知外接球半径()222327R =+=，外接球的表面积24π28πS R ==．本题选择B 选项．3．把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ，则三棱锥D ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．32π B ．27πC ．18πD ．9π【答案】C【解析】把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ， 则三棱锥D ABC -的外接球直径为32AC =，外接球的表面积为24π18πR =，故选C ． 4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（ ）A ．2πaB ．22πaC ．23πaD ．24πa【答案】C【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为2a 的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a 的正三棱锥，另一个是棱长为2a 的正四面体，如图所示：该几何体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以2223232R a a a a R a =++=⇒=，所以该几何体外接球面积22234π4π3π2S R a a ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选C ． 5．三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，2BC BD ==，243AB CD ==，则球O 的表面积为（ ）A ．16πB ．32πC ．60πD ．64π【答案】D【解析】因为2BC BD ==，23CD =，所以()22222231cos 2222CBD +-∠==-⨯⨯，2π3CBD ∴∠=， 因此三角形BCD 外接圆半径为122sin CDCBD=∠，设外接球半径为R ，则222=2+412162AB R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，2=4π64πS R ∴=，故选D ．6．如图1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点S ，1A ，1B ，1C ，1D 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．9π16B ．25π16C ．49π16D ．81π16【答案】D【解析】如图所示，连结11A C ，11B D ，交点为M ，连结SM ，易知球心O 在直线SM 上，设球的半径R OS x ==，在1Rt OMB △中，由勾股定理有：22211OM B M B O +=，即：()222222x x ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得：98x =，则该球的表面积229814π4ππ816S R ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭．本题选择D 选项．7．已知球O 的半径为R ，A ，B ，C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则球O 的表面积为（ ）A ．16π9B ．16π3C ．64π9D ．64π3【答案】D【解析】由余弦定理得：44222cos12023BC =+-⨯⨯︒=， 设三角ABC 外接圆半径为r ，由正弦定理可得：232sin120r =︒，则2r =，又22144R R =+，解得：2163R =，则球的表面积2644ππ3S R ==．本题选择D 选项． 8．已知正四棱锥P ABCD -(底面四边形ABCD 是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，10若该正四棱锥的体积为503，则此球的体积为（ ） A ．18π B ．86C ．36πD ．323π【答案】C 【解析】如图，设正方形ABCD 的中点为E ，正四棱锥P ABCD -的外接球心为O ， 底面正方形的边长为10，5EA ∴=， 正四棱锥的体积为503，()21501033P ABCD V PE -∴=⨯⨯=， 则5PE =，5OE R ∴=-，在AOE △中由勾股定理可得：()2255R R -+=，解得3R =，34π36π3V R ∴==球，故选C ．9．如图，在ABC △中，6AB BC ==，90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到PBD △的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）A ．7πB ．5πC ．3πD ．π【答案】A【解析】由题意得该三棱锥的面PCD 3BD ⊥平面PCD ， 设三棱锥P BDC -外接球的球心为O ，PCD △外接圆的圆心为1O ，则1OO ⊥面PCD ，∴四边形1OO DB 为直角梯形，由3BD 11O D =，及OB OD =，得7OB =，∴外接球半径为7R =∴该球的表面积274π4π7π4S R ==⨯=．故选A ． 10．四面体A BCD -中，60ABC ABD CBD ∠=∠=∠=︒，3AB =，2CB DB ==，则此四面体外接球的表面积为（ ） A ．19π2B ．1938π24C ．17πD ．1717π6【答案】A 【解析】由题意，BCD △中，2CB DB ==，60CBD ∠=︒，可知BCD △是等边三角形，3BF = ∴BCD △的外接圆半径23r BE ==，3FE = ∵60ABC ABD ∠=∠=︒，可得7AD AC =可得6AF ∴AF FB ⊥，∴AF BCD ⊥， ∴四面体A BCD -高为6AF设外接球R ，O 为球心，OE m =，可得：222r m R +=……①，)2226πEF R +=……②由①②解得：19R =2194ππ2S R ==．故选A ． 11．将边长为2的正ABC △沿着高AD 折起，使120BDC ∠=︒，若折起后A B C D 、、、四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．7π2B ．7πC ．13π2D ．13π3【答案】B【解析】BCD △中，1BD =，1CD =，120BDC ∠=︒，底面三角形的底面外接圆圆心为M ，半径为r ，由余弦定理得到3BC =321r r =⇒=，见图示：AD 是球的弦，3DA =，将底面的圆心M 平行于AD 竖直向上提起，提起到AD 的高度的一半，即为球心的位置O ，∴32OM =，在直角三角形OMD 中，应用勾股定理得到OD ，OD 即为球的半径．∴球的半径37142OD =+=．该球的表面积为24π7πOD ⨯=；故选B ． 12．在三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，5AC BD AD BC ====，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．4343π24B ．4343π6C ．43π2D ．43π【答案】D【解析】分别取AB ，CD 的中点E ，F ，连接相应的线段CE ，ED ，EF ，由条件，4AB CD ==，5BC AC AD BD ====，可知，ABC △与ADB △，都是等腰三角形，AB ⊥平面ECD ，∴AB EF ⊥，同理CD EF ⊥，∴EF 是AB 与CD 的公垂线，球心G 在EF 上，推导出AGB CGD △≌△，可以证明G 为EF 中点， 2594DE =-=，3DF =，1697EF =-=，∴72GF =，球半径743942DG =+=，∴外接球的表面积为24π43πS DG =⨯=．故选D ．二、填空题13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________． 【答案】84π【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为1616232sin60232r =⨯=⨯=︒，则外接球的半径()2232391221R =+=+=，则外接球的表面积为24π4π2184πS R ==⨯=．14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为163，则该正四棱锥内切球的表面积为________． 【答案】()32163π-【解析】设正四棱锥的棱长为a ，则2341634a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，解得4a =． 于是该正四棱锥内切球的大圆是如图PMN △的内切圆，其中4MN =，23PM PN ==22PE =．设内切圆的半径为r ，由PFO PEN ≅△△，得FO POEN PN =，即22223r r -=， 解得226231r ==+∴内切球的表面积为(224π4π6232163πS r ===-．15．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积32AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则此球的表面积等于______． 【答案】8π【解析】∵三棱柱111ABC A B C -32AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，1121sin 6032AA ∴⨯⨯⨯︒⨯=，12AA ∴=，2222cos60412BC AB AC AB AC =+-⋅︒=+-，3BC ∴=，设ABC △外接圆的半径为R ，则2sin60BCR ︒＝，1R ∴=， ∴外接球的半径为112+=，∴球的表面积等于()24π28π⨯=．故答案为8π．16．在三棱锥A BCD -中，AB AC =，DB DC =，4AB DB +=，AB BD ⊥，则三棱锥A BCD-外接球的体积的最小值为_____． 【答案】82π3【解析】如图所示，三棱锥A BCD -的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线AD ，设AB AC x ==，那么4DB DC x ==-，AB BD ⊥，所以22AD AB DB +积的最小值即为AD 最小，()224AD x x =+-2x =时，AD 的最小值为22282π。

高中数学立体几何外接球专题练习(含解析)1.已知菱形ABCD满足|AB|=2，∠ABC=120°，将菱形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B-AC-D，则三棱锥B-ACD外接球的表面积为（）。

A。

πB。

8πC。

7πD。

4π2.如图，四面体ABCD中，面ABD和面BCD都是等腰直角三角形，AB=BD=BC=1，∠CBD=60°，且二面角A-BD-C的大小为120°，∠BAD=45°，若四面体ABCD的顶点都在球O上，则球O的表面积为（）。

A。

12πB。

20πC。

24πD。

36π3.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）。

A。

28πB。

32πC。

41πD。

31π4.已知一个几何体是由半径为2的球挖去一个三棱锥得到（三棱锥的顶点均在球面上）．若该几何体的三视图如图所示（侧视图中的四边形为菱形），则该三棱锥的体积为（）。

A。

4/3B。

2/3C。

8/3D。

16/35.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）。

A。

2+2+2B。

4+4+2C。

2+4+4D。

4+4+46.某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）。

A。

25πB。

20πC。

16πD。

40π7.如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）。

A。

18+2B。

15+2C。

12+2D。

18+48.在四面体ABCD中，AD⊥底面ABC，DE⊥AC，E为棱BC的中点，DG⊥BE，点G在AE上且满足AG=2GE，若四面体ABCD的外接球的表面积为S，则tan∠AGD=S/12.A。

1/2B。

1C。

2D。

49.在三棱锥S-ABC中，∠ASB=90°，SA=SB=SC=2，且三棱锥S-ABC的体积为8/3，则该三棱锥的外接球的表面积为（）。

A。

4πB。

16πC。

36πD。

72π10.如图所示，正方形ABCD的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为（）。

A.B.C.D.外接球问题处理——老师专用1、已知如图所示的三棱锥 的四个顶点均在球的球面上， 和 所在的平面互相垂直， ，，，则球的表面积为( )A.B.C.D.解析:如图所示，∵ ，∴为直角，即过的小圆面的圆心 为 的 中 点，和所在的平面互相垂直，则圆心在过的圆面上，即 的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径，球的表面积为，故选 ．2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）设球心为，设正三棱柱上底面为，中心为，因为三棱柱所有棱的长都为 ，则可知，，又由球的相关性质可知，球的半径，所以球的表面积为，故选.3、已知是球的球面上两点，, 为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为( )A. B. C. D.解析如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选.4、如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）D.∴该几何体外接球的表面积为．5、已知面都在半径为的球面上，且的距离为 1，点是线段的中点，过点，作球，球心到平的截面，则截面面积的最小值为（）A. B. C. D.解析∵，∴，∴圆心在平面的射影为的中点，∴，∴．∴，A. B. C.解析该几何体为三棱锥,设球心为，分别为和的外心，易求得, ，∴球的半径，C.当线段为截面圆的直径时，面积最小，∴截面面积的最小值为.6、四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于，则球的体积等于（）A. B. D解析由题意可知四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的直径，且四棱锥的高半径，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为的正三角形，底面为边长为的正方形，所以该四棱锥的表面积为，于是, ，进而球的体积. 故选.7、一个三条侧棱两两互相垂直并且侧棱长都为的三棱锥的四个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为( )A. B. C. D. 解析由题可知该三棱锥为一个棱长的正方体的一角，则该三棱锥与该正方体有相同的外接球，又正方体的对角线长为，则球半径为，则. 故选.8、一个棱长都为的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为( )A. B. C. D.解析如图：设、为棱柱两底面的中心，球心为的中点.又直三棱柱的棱长为，可知，，所以，因此该直三棱柱外接球的表面积为，故选.9、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为( )6A. B.C.D.解析此几何体是三棱锥，底面是斜边长为 的等腰直角三角形，且顶点在底面内的射影 是底面直角三角形斜边的中点.易知，三棱锥的外接球的球心在 上.设球的半径为 ，则，∵，∴ ，解得：，∴外接球的表面积为.答案：D10. 已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4 ，体积为16 ，则这个球的表面积是（）A ．16πB ． 20πC ． 24πD ． 32π【答案】C【解析】V = a 2h = 16 ， a = 2 ， 4R 2 = a 2 + a 2 + h 2 = 4 + 4 + 16 = 24 ， S = 24π ，故选 C ．11.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为【答案】9π【解析】 4R 2 = 3 + 3 + 3 = 9 ， S = 4πR 2 = 9π ．，则其外接球的表面积是．12. 已知三棱锥 P - ABC 的四个顶点均在同一个球面上，底面△ABC 满足 BA = BC = ，∠ABC = π，若该三棱锥体积的最大值为 3，则其外接球的体积为（ ）2A ． 8πB ．16πC ． 16 π3 D ． 32 π 3【答案】D312 3 3 3 5 【解析】因为△ABC 是等腰直角三角形，所以外接球的半径是 r = 1⨯ =，设外接球2的半径是 R ，球心O 到该底面的距离d ，如图，则 S= 1⨯ 6 = 3 ， BD = ，由题设 V = 1 S h = 1 ⨯ 6h = 3 ，△ABC23 △ABC 6最大体积对应的高为 SD = h = 3 ，故 R 2 = d 2+ 3 ，即 R 2 = (3 - R )2+ 3 ，解之得 R = 2 ，所以外接球的体积是 4 πR 3 = 32π，故答案为 D ．3 313. 棱长分别为 2、 、 的长方体的外接球的表面积为（）A ． 4πB ．12πC ． 24πD ． 48π【答案】B【解析】设长方体的外接球半径为 R ，由题意可知： (2R )2= 22 +( 3 )2+ ( 5 )2，则： R 2 = 3 ，该长方体的外接球的表面积为 S = 4πR 2 = 4π ⨯ 3 = 12π ．本题选择 B 选项．14. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为2 表面积为（） ，顶点都在一个球面上，则该球的A ．12πB ．28πC ．44πD ．60π【答案】B【解析】设底面三角形的外接圆半径为r ，由正弦定理可得： 2r =2 3sin60︒ ，则 r = 2 ， 设外接球半径为 R ，结合三棱柱的特征可知外接球半径 R 2 =( 3 )2+ 22 = 7 ，外接球的表面积 S = 4πR 2 = 28π ．本题选择 B 选项．15. 把边长为 3 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 对折，使得平面 ABC ⊥ 平面 ADC ，则三棱锥32 3⎪ D - ABC 的外接球的表面积为（） A ． 32π B ． 27π C ．18π D ． 9π【答案】C【解析】把边长为 3 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 对折，使得平面 ABC ⊥ 平面 ADC ，则三棱锥 D - ABC 的外接球直径为 AC = 3 ，外接球的表面积为4πR 2 = 18π ，故选 C ．16. 某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（ ）A. a 2π 【答案】CB. 2a 2πC. 3a 2πD. 4a 2π【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为 2a的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a 的正三棱锥，另一个是棱长为 2a 的正四面体，如图所示：该几何体的外接球与棱长为a 的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对 角线，所以2R =⎛ ⎫2= 3a ⇒ R =3 a ，所以该几何体外接球面积2S = 4πR 2 = 4π ⨯ a ⎝ 2 ⎭= 3a 2π ，故选 C ．17. 三棱锥 A - BCD 的所有顶点都在球O 的表面上， AB ⊥ 平面 BCD ， BC = BD = 2 ，a 2 + a 2 + a 2⎛2 ⎫2 AB = 2CD = 4 ，则球O 的表面积为（）A ．16πB ． 32πC ． 60πD ． 64π22+ 22- (2 3)2【答案】D 【解析】因为 BC = BD = 2 ， CD = 2∴∠CBD = 2π，3，所以cos ∠CBD = = - 1，2 ⨯ 2 ⨯ 22因此三角形 BCD 外接圆半径为 1 CD= 2 ，2 sin ∠CBD⎛ AB ⎫2设外接球半径为 R ，则 R 2=22+ ⎪ = 4 + 12 = 16 ，∴ S =4πR 2 = 64π ，故选 D ．⎝ 2 ⎭1如8．图 A BCD - A 1B 1C 1D 1 是边长为1 的正方体， S - ABCD 是高为1 的正四棱锥若，点 S ，A 1 ，B 1 ，C 1 ，D 1 在同一个球面上，则该球的表面积为（）A.9π 16【答案】DB.25 π 16C.49 π 16D.81 π 16【解析】如图所示，连结 A 1C 1 ， B 1D 1 ，交点为 M ，连结 SM ，易知球心O 在直线 SM 上，设球的半径 R = OS = x ，在Rt △OMB 1 中，由勾股定理有：9 OM 2 + B M 2 = B O 2 ，即： (2 - x )2+ ⎪ = x 2 ，解得： x = ，则该球的表面积 1 1 ⎝ 2 ⎭8 3 34 + 4 - 2 ⨯ 2 ⨯ 2cos120︒ 35 ⎛ 9 ⎫2 S = 4πR 2= 4π ⨯ ⎪ ⎝ 8 ⎭ = 8116π ．本题选择 D 选项．19.已知球O 的半径为 R ， A ， B ， C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面 ABC 的距离为1R ， AB = AC = 2 ， ∠BAC = 120︒ ，则球O 的表面积为（） 2A. 16 π 9 【答案】DB. 16 π 3C. 64 π 9D.64π 3【解析】由余弦定理得： BC = = 2 ，设三角 ABC 外接圆半径为r ，由正弦定理可得： 2 3sin120︒= 2r ，则 r = 2 ，又 R 2 = 1 R 2 + 4 ，解得： R 2 = 16 ，则球的表面积 S = 4πR 2 = 64π ．本题选择 D 选项．4 3 320.已知正四棱锥 P - ABCD (底面四边形 ABCD 是正方形，顶点P 在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为球的体积为（ ） ，若该正四棱锥的体积为 50，则此 3 A ．18π B ． 8 【答案】C 【解析】 C ． 36πD ． 32 3π如图，设正方形 ABCD 的中点为 E ，正四棱锥 P - ABCD 的外接球心为O ，底面正方形的边长为 ，∴ EA = ， 正四棱锥的体积为50 ，∴V= 1⨯ ( 10 )2 ⨯ PE = 50 ， 3则 PE = 5 ，∴OE = 5 - R ， P - ABCD3 3在△AOE 中由勾股定理可得： (5 - R )2+ 5 = R 2，解得 R = 3 ，∴V = 4 πR 3= 36π ，故选 C ． 310610 球6 3 37 6 21.如图，在△ABC 中， AB = BC =， ∠ABC = 90︒ ，点 D 为 AC 的中点，将△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置，使 PC = PD ，连接 PC ，得到三棱锥 P - BCD ．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A. 7π B ． 5π C ． 3π D ． π【答案】A【解析】由题意得该三棱锥的面 PCD 是边长为设三棱锥 P - BDC 外接球的球心为O ，的正三角形，且 BD ⊥ 平面 PCD ， △PCD 外接圆的圆心为O 1 ，则OO 1 ⊥ 面 PCD ，∴四边形OO 1DB 为直角梯形，由 BD = ， O 1D = 1 ，及OB = OD ，得OB =7 ，∴外接球半径为 R =7 ，22∴该球的表面积 S = 4πR 2 = 4π ⨯ 7= 7π ．故选 A ．42.四面体 A - BCD 中， ∠ABC = ∠ABD = ∠CBD = 60︒ ， AB = 3 ， CB = DB = 2 ，则此四面体外接球的表面积为（） A.19π 2【答案】A 【解析】B ．19 38π 24C ．17πD ．17 17π 6由题意， △BCD 中， CB = DB = 2 ， ∠CBD = 60︒ ，可知△BCD 是等边三角形， BF = ， ∴△BCD 的外接圆半径 r =2 3 = BE ， FE =3 ，33∵ ∠ABC = ∠ABD = 60︒ ，可得 AD = AC = ，可得 AF = ，∴ AF ⊥ FB ，∴ AF ⊥ BCD ，36 6 3 3 ∴四面体 A - BCD 高为 AF = ．设外接球 R ， O 为球心， OE = m ，可得： r 2 + m 2 = R 2 ……①，(- π)2+ EF 2 = R 2 ……②由①②解得： R =19．四面体外接球的表面积： S = 4πR 2 = 19π ．故选 A ．8 2 23.将边长为 2 的正△ABC 沿着高 AD 折起，使∠BDC = 120︒ ，若折起后 A 、B 、C 、D 四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A.7π 2【答案】BB. 7πC ． 13 π2D ． 13 π3【解析】△BCD 中， BD = 1， CD = 1， ∠BDC = 120︒ ，底面三角形的底面外接圆圆心为 M ，半径为r ，由余弦定理得到 BC = ，再由正弦定理得到 3sin120︒ 见图示：= 2r ⇒ r = 1 ，AD 是球的弦， DA = ，将底面的圆心 M 平行于 AD 竖直向上提起，提起到 AD 的高度的一半，即为球心的位置O ，∴ OM = OD 即为球的半径． 3 ，在直角三角形OMD 中，应用勾股定理得到OD ，2∴球的半径OD = =7 ．该球的表面积为4π ⨯ OD 2 = 7π ；故选 B ．224.在三棱锥 A - BCD 中， AB = CD = 6 ， AC = BD = AD = BC = 5 ，则该三棱锥的外接球的表面积为（） A ．43 43π 24 【答案】DB ．43 43π 6C ．43π 2D ． 43π1 + 3 416 - 9 7 3 9 +12 21 【解析】分别取 AB ， CD 的中点 E ， F ，连接相应的线段CE ， ED ， EF ，由条件， AB = CD = 4 ， BC = AC = AD = BD = 5 ，可知， △ABC 与△ADB ，都是等腰三角形，AB ⊥ 平面 ECD ，∴ AB ⊥ EF ，同理CD ⊥ EF ，∴ EF 是 AB 与CD 的公垂线， 球心G 在 EF 上，推导出△AGB ≌△CGD ，可以证明G 为 EF 中点，DE = = 4 ， DF = 3 ， EF = = ，∴ GF =故选 D ．7 ，球半径 DG = 2 = 43 ，∴外接球的表面积为 S = 4π ⨯ DG 2 = 43π ． 225.棱长均为 6 的直三棱柱的外接球的表面积是 ．【答案】84π【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为 r = 1 ⨯ 6= 1 ⨯ 6 = 2 ，则外接球的半径 R == = ， 2 sin60︒ 2 3 2则外接球的表面积为 S = 4πR 2 = 4π ⨯ 21 = 84π ．26.已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为16【答案】(32 - 16 3 )π，则该正四棱锥内切球的表面积为 ．【解析】设正四棱锥的棱长为a ，则4⎛ 3 a 2 ⎫= 16 ，解得 a = 4 ． 4 ⎪ ⎝ ⎭于是该正四棱锥内切球的大圆是如图△PMN 的内切圆，25 - 9 7 + 9 4 32 + (2 3)23 33 22 2 - r 2 322 3 6 3 3 3 2其 中 MN = 4 ， PM = PN = 2 ．∴ PE = 2 ．设内切圆的半径为r ，由△PFO ≅ △PEN ，得FO =PO ，即 r= ，ENPN2解得 r == - + 1，∴内切球的表面积为 S = 4πr 2 = 4π( - 2 )2= (32 - 16 3 )π ．27. 已知三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为 ， AB = 2 ， AC = 1 ， ∠BAC = 60︒ ，则此球的表面积等于 ．【答案】8π【解析】∵三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为 ∠BAC = 60︒ ，∴ 1⨯ 2 ⨯1⨯ sin 60︒⨯ AA = ，∴ AA = 2 ，， AB = 2 ， AC = 1 ， 21 1BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2 A B ⋅ AC cos 60︒ = 4 + 1 - 2 ，∴ BC = ，设△ABC 外接圆的半径为 R ，则 BCsin 60︒＝2R ，∴ R = 1 ，= ，∴球的表面积等于4π ⨯( 2 )2= 8π ．故答案为8π ．28.在三棱锥 A - BCD 中， AB = AC ， DB = DC ， AB + DB = 4 ， AB ⊥ BD ，则三棱锥A - BCD 外接球的体积的最小值为 ．【答案】8 2π3【解析】如图所示，三棱锥 A - BCD 的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线 AD ，2 63 1 + 1AB 2 + DB 2 x 2 + (4 - x )22设 AB = AC = x ，那么 DB = DC = 4 - x ， AB ⊥ BD ，所以 AD = ．由题意，体积的最小值即为 AD 最小， AD = ，所以当 x = 2 时， AD 的最小值为2 ，所以半径为 ，故体积的最小值为8 2π． 32。

高中外接球试题解析及答案一、选择题1. 已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，求正方体的外接球的半径。

A. 1B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$D. $\frac{\sqrt{6}}{4}$答案：B2. 若长方体ABCD-EFGH的对角线长为$\sqrt{2}$，则其外接球的直径为：A. $\sqrt{2}$B. 2C. $\sqrt{3}$D. 3答案：A二、填空题3. 已知球O的半径为R，球面上的点P到球心O的距离为r，求球面上的点P到球的切平面的距离。

答案：R - r4. 若三棱锥的四个顶点都在同一球面上，且三棱锥的高为h，底面三角形的边长分别为a、b、c，求球的半径。

答案：$\frac{h}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - \frac{(a + b +c)^2}{3}}}$三、解答题5. 已知正四面体ABCD的棱长为a，求其外接球的半径。

解析：正四面体的高可以通过公式计算，设正四面体的高为h，有： \[ h = \sqrt{\frac{2}{3}}a \]外接球的半径R可以通过正四面体的高和棱长计算，有：\[ R = \frac{1}{2} \sqrt{h^2 +\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2} \]将h的表达式代入，得到：\[ R = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{3}a^2 + \frac{1}{2}a^2}= \frac{\sqrt{3}}{2}a \]答案：$\frac{\sqrt{3}}{2}a$6. 若球面上有两点A、B，且AB是球的直径，求球心到AB中点C的距离。

解析：由于AB是球的直径，根据球的性质，球心O到AB中点C的距离等于球的半径R。

答案：R四、证明题7. 证明：若球面上的点A、B、C不共线，且三角形ABC的外心为球心O，那么A、B、C三点共面。