2021届高考数学专题:立体几何之内切球和外接球(答案不全)
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高考数学中的内切球和外接球问题
一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题
例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为______________ .
例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该正方体的表面积为,则该球的体积为
______________.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3 一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为
,则此球的表面积
为 .
例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为( ).
A.π16
B. π20
C. π24
D.π32
3.求多面体的外接球的有关问题
例5. 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为
8
9,底面周长为3,则这个球的体积为 .
241,2,3
二、构造法(补形法)
1、构造正方体
例6 若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是_______________.
例 7 一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( )
A. π3
B. π4
C. π33
D. π6
例8 在等腰梯形ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E 为AB 的中点,将△ADE 与△BEC 分布沿ED 、FC 向上折起,使A 、B 重合于点P ,则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为( ). A. π2734 B.π26 C. π86 D. π24
6
例9 已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ,DA ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,DA=AB=BC=3,则球O 的体积等于 .
2、构造长方体
例10.已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上,AB ⊥平面BCD ,BC ⊥DC ,若AB=6,AC=
132,AD=8,则球的体积是 .
三.多面体几何性质法
例1 1.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是
A.π16
B.π20
C.π24
D.π32
四.寻求轴截面圆半径法
例12.正四棱锥S-ABCD 的底面边长和各侧棱长都为2,点S 、A 、B 、C 、D 都在同一球面上,则此球的体积为 .
五 .确定球心位置法
例13.在矩形ABCD 中,AB=4,BC=3,沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B-AC-D ,则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3
125
高考题汇编
1.(2020年全国三·理科15)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为 .
2.(2018年全国三·理科10)设A B C D ,,,是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC ∆为等边三角形且
其面积为D ABC -体积的最大值为
A .
B .
C .
D .
3.(2017年全国三·理科8)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为
A .π
B .3π4
C .π2
D .π4
4.(2016年全国三·理科10)在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球,若AB BC ⊥,6AB =,
8BC =,13AA =,则V 的最大值是( )
A .4π
B .92π
C .6π
D .323
π 5.(2020年全国二·理科10)已知ABC ∆是面积为
4
39的等边三角形,且其顶点都在球O 的球面上。若球O 的表面积为π16,则O 到平面ABC 的距离为 A. 3 B. 23 C. 1 D. 2
3 6.(2020年全国一·理科10)已知A 、B 、C 为球O 的球面上的三个点,⊙O 1为ABC ∆的外接圆。若⊙O 1的面积为π4,1OO AC BC AB ===,则球O 的表面积为
A. π64
B. π48
C. π36
D. π32
7.(2019年全国一·理科12)已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上,P A =PB =PC ,△ABC 是边长
为2的正三角形,E ,F 分别是P A ,AB 的中点,△CEF =90°,则球O 的体积为
A .
B .
C . D
高考题汇编参考答案 1.π32
2.B
3.B
4.D
5.C
6.A
7.D